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MEMOIRE DE FIN DETUDES Anne universitaire 2007-2008
MASTER EN ACTUARIAT
Ralis par
JAFFAL MOUSSA HANAN
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Stage ralis
Au Cabinet MOEGLIN
CABINET DACTUAIRES CONSULTANTS Actuariat - Informatique Formation Finance
Responsable de mmoire : Alain MOEGLIN
Impact du risque de mortalit dans Solvabilit2
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Remerciements
Je remercie Monsieur le Directeur Alain MOEGLIN pour mavoir claire tout au long du droulement de ce stage. Sa disponibilit de tous les instants, ses avis clairs et son foisonnement dides ont t dun grand secours. Je remercie galement lquipe du Cabinet MOEGLIN ; en particulier M. Anthony Nahelou, M. Francis Van de Riet, M.Ali Goumar et M.Philippe Marchois. Mon attention sadresse galement toutes les personnes qui, de prs ou de loin, ont contribu lcriture de ces lignes. Je remercie galement Monsieur Le BORGNE, Directeur de LEURIA, le Dr. Ali Mneimneh, Doyen de la facult de science section I Hadath, et le Dr. Shawki Abi Najem, Directeur de lActuariat luniversit libanaise et tous les professeurs de mon universit pour les connaissances quils mont transmises et pour lopportunit de faire ce stage. Finalement, je tiens remercier mes parents qui mont accompagne durant ces annes de travail mes amis, mes proches, sans qui rien de tout cela naurait t possible.
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Rsum
Aujourd'hui, une vritable rvolution est en train de s'oprer, celle de la perception du risque. Le paysage conomique europen est devenu fortement imprvisible. Sous la pression de conditions conomiques difficiles et varies, de l'largissement de l'Union Europenne, de mutations technologiques, de perturbations climatiques Les dirigeants d'entreprises doivent tre capables de grer un grand nombre d'incertitudes pour prserver et maintenir la croissance de leur entreprise. Ainsi, la gestion de tous les types de risque est devenue une obligation et un vritable atout concurrentiel. Le monde des services modernes, assurances et banques, est vari et extrmement important pour le fonctionnement des conomies nationales et internationales : il est donc fortement li cette vritable rvolution qui se manifeste par les rformes Solvabilit 2 pour les entreprises dassurances et Ble 2 pour les banques. Mon projet sintitule Impact du risque de mortalit dans Solvabilit 2 et a pour objet de
calculer le capital minimum de solvabilit li au risque de mortalit ( life mortalitSCR ) dans le cadre des rflexions menes actuellement sur les nouvelles normes Solvabilit 2.
Pour ce faire, il est possible de calculer le life mortalitSCR avec deux modles : le modle standard et le modle interne. Le modle standard propos dans le Quantitative Impact Studies 4 (QIS4) prconise de calculer le capital minimum de solvabilit li au risque de mortalit en utilisant la mthode de Best Estimate avec des taux de mortalit augments de 10%. Ce taux correspond environ une Value-At-Risk de 99,5% 1 an (qui
correspond au life mortalitSCR 99.5% 1an). Le modle interne est bas sur la modlisation stochastique de la mortalit qui peut tre effectue, par exemple, grce au modle de Log Poisson, qui permet de faire des simulations du nombre de dcs par ge.
Le but tant ensuite dvaluer le life mortalitSCR le plus adquat pour rpondre aux besoins des compagnies d'assurances.
On dispose galement dun portefeuille de contrats capitaux dcs qui servira de base dapplication.
Mots cls : Solvabilit 2, assurance vie, risque, mortalit, taux instantan de mortalit, SCR, tables de mortalit, modle, simulation, estimation, choc
Abstract
Today, a revolution is taking place, the perception of risk. The European economy has become highly unpredictable. Under the pressure of difficult economic conditions, the expansion of the European Union, technological changes, and climatic disturbances ..., the directors should be able to manage a large number of uncertainties in order to preserve and sustain growth of their companies. The management of all types of risk has become a requirement and a real competitive tool. The world of modern services, insurance and banks, is varied and extremely important for the functioning of national and international economies and it is therefore closely linked to the revolution which is manifested by the reforms Solvency 2 for insurance companies and Basel 2 for banks. My project is called "Impact of the mortality risk in Solvency II. Its objective is to calculate the minimum solvency capital related to the mortality risk (SCR life mortality) in the context of ongoing discussions on the new revolution Solvency II. To achieve this, two models can be used to calculate SCR life mortality: the standard model and the internal model. The standard model proposed in the Quantitative Impact Studies 4 (QIS4) recommends calculating the minimum solvency capital related to mortality risk using the "Best Estimate" with mortality rates increased by 10%. This rate corresponds to Value-At-Risk of 99.5% for 1 year (which corresponds to
life mortalitSCR 99.5% for 1 year). The internal model is based on stochastic modelling of mortality that can be carried out by using the Log Poisson model, allowing for simulations of the number of deaths by age. The goal is then to evaluate the most appropriate SCR life mortality that meets the needs of insurance companies. We also have a portfolio of contracts death capital which serves as a basis for application. Keywords: Solvency 2, life insurance, risk, mortality, instantaneous rate of mortality, SCR, mortality tables, model, simulation, estimation, shock.
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Sommaire
RAPPORT DE STAGE .......................................................................................................................................... 8
A. INTRODUCTION............................................................................................................................................... 8
B. PRESENTATION CABINET MOEGLIN ........................................................................................................... 8
C. MISSIONS REALISEES .................................................................................................................................. 10
D. CONCLUSION ............................................................................................................................................... 10
MEMOIRE : IMPACT DU RISQUE DE MORTALITE DANS SOLVABILITE 2 .... ERREUR ! SIGNET NON DEFINI.
I INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 12
II SOLVABILITE 2............................................................................................................................................ 15
A. INTRODUCTION............................................................................................................................................. 15
1. Convergence de solvabilit 2 .............................................................................................................. 15
2. Qu'est-ce que la marge de solvabilit ? ....................................................................................... 16
B. INSUFFISANCE DE SOLVABILITE 1................................................................................................................ 16
1. La vue de solvabilit 1 .......................................................................................................................... 16
2. Le bilan en Solvabilit 1 ....................................................................................................................... 17
C. HISTORIQUE DE SOLVABILITE 2 ................................................................................................................... 18
1. Schma ................................................................................................................................................... 18
2. Les trois piliers ....................................................................................................................................... 18
3. Bilan dune compagnie dassurance dans Solvabilit 2 .................................................................. 20
III SCR ................................................................................................................................................................. 21
A. SCR GLOBAL ............................................................................................................................................... 21
1. Dfinition ................................................................................................................................................. 21
2. Dfinition de QIS 4 ................................................................................................................................ 21
3. Formule standard du SCR suivant la note QIS4 ............................................................................. 22
B. SCR LIFE ..................................................................................................................................................... 24
a. Schma zoom issu du SCR life en modle standard ...................................................................... 24
i. Life mort : Risque de mortalit ............................................................................................................ 24
ii. Life long : Risque de longvit ........................................................................................................ 24
iii. Life dis : Risque dinvalidit ............................................................................................................. 24
iv. Life lapse : Risque de rachat ........................................................................................................... 24
v. Life exp : Risque de dpenses ............................................................................................................ 25
vi. Life rev : Risque de rvision ............................................................................................................ 25
vii. Life cat : Risque de catastrophe ..................................................................................................... 25
b. Calcul du SCR life ................................................................................................................................. 25
IV SCR LIFE MORTALITE ............................................................................................................................... 27
A. RISQUE DE MORTALITE ................................................................................................................................ 27
1. Introduction ............................................................................................................................................ 27
2. Causes de la mortalit. ......................................................................................................................... 28
3. Paramtres lis la mortalit. ............................................................................................................. 29
B. LE MODELE STANDARD DE QIS4 ................................................................................................................. 29
1. Best Estimate ......................................................................................................................................... 31
i. Actualisation ........................................................................................................................................... 36
2. Participations aux bnfices (PB) ....................................................................................................... 37
3. Marge de risque ou Risk Margin . ................................................................................................. 38
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4. MCR ........................................................................................................................................................ 39
C. LE MODELE INTERNE LOG POISSON ..................................................................................................... 40
Conclusion ...................................................................................................................................................... 48
V APPLICATION............................................................................................................................................... 49
A. ASSURANCE VIE ........................................................................................................................................... 49
a. Historique ................................................................................................................................................ 49
b. Quest ce quun contrat dassurance vie ? ......................................................................................... 50
c. Quels sont les caractristiques dun contrat de capital dcs ? ................................................... 52
B. NOTRE PORTEFEUILLE DAPPLICATION ........................................................................................................ 53
1. Gnralit du portefeuille ..................................................................................................................... 53
2. Mthodes de calcul ............................................................................................................................... 55
a) Le modle standard .......................................................................................................................... 55
b) Le modle interne .............................................................................................................................. 55
3. Conclusion des calculs ......................................................................................................................... 59
VI CONCLUSION ............................................................................................................................................... 60
A. ANNEXE ......................................................................................................................................................... 62
ANNEXE 1 : DETERMINISTE OU STOCHASTIQUE .................................................................................................. 62
ANNEXE 2 : HISTOIRE DES LOIS ........................................................................................................................... 63
ANNEXE 3: MODELE DE LEE-CARTER ................................................................................................................. 65
ANNEXE 4:DETAIL DANS LE MODELE DE LOG POISSON ...................................................................................... 69
B. SITE REFERENTS ....................................................................................................................................... 72
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Rapport de stage
A. Introduction
Etre tudiant dActuariat , ce nest pas seulement connatre le mtier dactuaire, cest aussi le pratiquer. Le stage est donc un lment indispensable cette formation car cest loccasion dapprendre la ralit du monde de lentreprise et lopportunit de dcouvrir un secteur dactivit, une entreprise et un mtier. Cest une ncessit et une affirmation certaine de la russite dans le domaine professionnel, il permet de mesurer lcart existant entre ltude thorique acquise luniversit et ltude pratique acquise en entreprise. Cest sous ce double objectif dacquisition dun savoir tre et dun savoir-faire que se place le stage.
De plus, mon stage effectu dans une entreprise trangre au Liban, le Cabinet MOEGLIN, a t loccasion de me familiariser avec le systme franais et de travailler dans un nouvel environnement : ce fut un bon apprentissage.
Cette exprience pratique denviron cinq mois a t loccasion de passer des connaissances thoriques aux ralits du mtier. Elle ma t dun apport technique considrable au travers des missions et projets riches et varis sur lesquels jai travaill.
B. Prsentation Cabinet MOEGLIN
Le Cabinet MOEGLIN est une socit de conseil en actuariat, en informatique et de formation Implante Champs sur Marne. Fonde en 1986 par Alain MOEGLIN cette socit intervient auprs de diffrents clients :
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Son objectif est dapporter des solutions en toute indpendance et confidentialit dans les techniques financires, actuarielles et informatiques.
Le cabinet MOEGLIN est galement diteur de logiciels actuariels :
Les logiciels utiliss au Cabinet MOEGLIN :
Les logiciels que jai eu utiliser ont t divers : GOELAND, TPFM, Osiris. Le logiciel GOELAND
Ce logiciel permet de calculer les provisions techniques par la mthode du Best Estimate , pour un portefeuille de contrats dassurance vie et de les comparer aux provisions actuarielles. Le principe gnral mis en uvre consiste, pour chaque garantie dun contrat, gnrer un chancier de lensemble des flux financiers puis, pour chaque flux dterminer sa valeur probable de survenance (li au domaine de variation de leurs lois de survie ou de maintien) puis sa valeur actuelle par une courbe de taux coupon zro. Le logiciel TPFM
TPFM (tarification prvoyance et frais mdicaux) Dans la pratique, le cabinet MOEGLIN utilise et vend son propre logiciel TPFM pour tarifer les risques prvoyance et sant. Il a t cr et utilis pour tarifer la prime commerciale des assurs. Ce logiciel utilise un barme de tarification. Il permet de rentrer pour chaque acte mdical, les niveaux de couverture dcids par lassureur complmentaire, tout en tenant compte des caractristiques dmographiques du groupe de personnes assurer grce des correctifs utiliss.
Le logiciel Osiris
Osiris calcule en sus des provisions mathmatiques ; les valeurs de rachat, rduction, et capitaux supplmentaires produits par une participation aux bnfices, pour des contrats Garanties Obsques : le calcul est toujours bas sur le capital dcs, la prime nette et le frais de gestion.
Editeur de logiciels dactuariat
Tarification, Prvoyance
Frais de sant
Calculs des provisions
Calculs des comptes de
rsultats
Calculs de dcomptes de points
de retraite
Calculs des engagements indemnits de fin de carrire
(IFC)
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C. Missions ralises
Jai effectu mon stage au cabinet MOEGLIN du 1er
septembre au 15 dcembre 2008.
Au cours de ce stage, jai particip plusieurs missions. Excel
Jai dabord ralis un fichier Excel pour le contrle des calculs statistiques darrt de travail (taux dabsentisme, nombre de jours darrt de travail, coefficient de perturbation par diffrents critres (ge, sexe)) Provisions mathmatiques
Puis jai, dans le domaine de lassurance vie, rpertori diffrents contrats du march ainsi que les tarifications correspondantes et jai calcule des provisions mathmatiques avec le logiciel GOELAND partir des donnes : primes, sinistres, courbe de taux zro, commission, frais. Etude statistique Ensuite, jai effectu une tude statistique sur les causes de dcs dans diffrents pays europens, pour les examiner et les comparer. Tarification Enfin la dernire mission tait consacre la manipulation du logiciel TPFM : jai eu tarifer les prestations de frais de sant pour une compagnie franaise et effectuer le calcul des provisions de rachat pour un portefeuille de diffrents produits dune compagnie dassurance avec le logiciel Osiris. Outre ces missions, jai aussi particip llaboration dune prsentation sur Solvabilit 2 pour le cabinet MOEGLIN devant un nombre important de clients et de compagnies dassurances.
D. Conclusion
Au cours de ce rapport, je vous ai prsent toutes les informations qui mont parue tre pertinentes pour la comprhension de ma mission. A mon arrive, les logiciels utiliss mtaient totalement inconnus et jai donc d faire le lien entre les travaux que jai effectus et le cadre thorique dans lequel ils sinscrivaient. A titre personnel, mon stage au Cabinet MOEGLIN fut trs panouissant. Il ma permis daborder lexpatriation comme une tape enrichissante de la vie dun tudiant dactuariat. Jai eu la chance de rencontrer des gens formidables, qui nont pas hsit me considrer en amie et me confier des missions responsabilits.
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Mmoire : Impact du risque de mortalit dans Solvabilit 2
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I Introduction
Le problme de financement des compagnies dassurances est un sujet important au cur des dbats
publics et mondiaux. Chaque compagnie dassurances cherche toujours tre solvable pour assurer
son existence sur le march.
Quest ce quon entend par compagnie solvable ou solvabilit ?
Par dfinition, une compagnie dassurances est solvable, cest--dire suffisamment solide
financirement pour respecter les engagements quelle a envers ses assurs et ses autres cranciers.
Plus prcisment, la solvabilit peut tre dfinie sous deux angles :
la possibilit qua une entreprise de respecter ses obligations financires en termes de paiement de
prestations, dintrts et damortissements des dettes ;
le fait de disposer dun tampon financier suffisant pour couvrir les risques, frais et pertes imprvus
sans mettre en pril la prennit de lentreprise.
La France, comme la plupart des pays europens, est confronte une rvolution du secteur de
lassurance et dirige son attention vers ltude des risques associs aux compagnies dassurances.
En particulier deux facteurs peuvent avoir un impact sur les grands quilibres des compagnies
dassurance vie sur lesquels reposent les tarifications de rentes viagres et de capitaux dcs : le
risque de longvit et le risque de mortalit.
Le risque de mortalit intresse galement les assureurs vie dans leurs tarifications ainsi que dans
lvaluation des engagements techniques des contrats. De plus, ce risque entre dans la catgorie des
risques modles et se fonde sur ladquation du travail des actuaires face la sinistralit incertaine.
Une inadquation peut provoquer la faillite dune compagnie.
Plus quavant un assureur doit donc tre capable de rpondre ces questions :
Quels peuvent tre les facteurs expliquant la sinistralit ?
Dans le cas des capitaux dcs ou de rentes, comment faut-il tenir compte du risque de mortalit ?
Comment peut-on tre prudent pour valuer la mortalit ou prvoir lesprance de vie moyenne ?
Pour faire face ces diffrents risques, plusieurs tudes et rformes ont t mises en place
concernant la gestion des compagnies dassurance. Parmi ces rformes, on distingue la rforme
europenne Solvabilit 2 qui est le rsultat d'une lente convergence des outils de contrle et des
normes comptables au niveau europen. Son but est de calculer la marge de solvabilit -
Solvency capital Requirement en anglais, capital de Solvabilit requis en franais (SCR) en
tenant compte des risques auxquels sont soumis les compagnies dassurances, et en particulier le
risque de mortalit. Les compagnies dassurances auront le choix entre deux possibilits de calcul du
SCR : via une formule standard ou via un modle interne. Le but est darriver un bilan plus
scurisant pour chaque compagnie dassurances et une convergence vers un seul bilan pour toutes
les compagnies dassurances.
Solvabilit 2 promet le passage des normes et des seuils dterministes un monde prospectif et
probabiliste o les tudes stochastiques deviennent le matre-mot.
Notre mmoire consiste calculer le SCR pour une compagnie dassurance vie. Et plus
particulirement, nous nous sommes intresss la part du risque de mortalit life mortalitSCR .
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Pour cela, nous calculons les provisions avec la mthode dite Best Estimate prconise par le
modle standard de QIS4 (en utilisant GOELAND, un logiciel dvelopp par le Cabinet MOEGLIN),
puis nous valuons le life mortalitSCR avec un modle interne se basant sur le modle Log Poisson.
Nous prsenterons dans une premire partie une ide globale de la rforme Solvabilit 2 et des
dfinitions gnrales sur des trois piliers.
Puis, dans une deuxime partie, nous dfinirons le modle standard de QIS4 avec un zoom sur le
bilan dune compagnie, en dfinissant les passifs et en dtaillant notamment la partie lie aux fonds
propres et la marge de solvabilit.
Dans une troisime partie, nous nous basons sur le modle interne pour estimer de la mortalit avec
le modle de Log Poisson.
Une application sur un portefeuille de contrats capitaux dcs sera prsente dans une quatrime
partie.
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Le schma ci-dessous prsente la dmarche du projet :
SCR : Solvabilit Capital Requirement ; cest une partie des fonds propres que nous appelons marge de
solvabilit ou capital ncessaire quil faut dtenir pour que la compagnie soit solvable.
QIS4 : Quantitative Impact Studies 4 ou Quatrime Etude dImpact est la quatrime tape des QIS (QIS1, QIS2, QIS3) qui sont les tudes sur les nouveaux bilans et exigences en capitaux des entreprises dassurances.
Modle standard
de QIS 4
Un modle interne par
Log Poisson
Solvabilit II
Impact du risque de mortalit dans Solvabilit II
SCR lifemortalit
SCR
SCR life
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II Solvabilit 2
A. Introduction
Le systme actuel de solvabilit sest enrichi au cours du temps du fait de lidentification
des nouveaux risques et de la mise en place de mesures destines sen prmunir.
A la lumire des volutions des techniques de gestion des risques, lUnion Europenne a dmarr le
projet Solvabilit 2 qui doit aboutir un nouveau systme de solvabilit qui soit plus adapt aux
risques effectifs qui psent sur les compagnies dassurance.
Solvabilit 2 vient renforcer la gestion des risques par les compagnies dassurances et lexhaustivit
de leur prise en compte, en prvoyant un dispositif prudentiel destin mieux les apprhender.
Nous pouvons la considrer comme une volution de Solvabilit 1 et de ses directives. Elle va modifier deux principes essentiels : -Le calcul de la marge de solvabilit des compagnies. - Le mode de supervision des groupes multinationaux. Ce projet sappuiera sur les nouvelles normes comptables IFRS et en particulier sur la norme IFRS 4
qui a t mise en place dans les annes 1970 et rvise en 2002. Sa version dfinitive est
arrte en 2007 pour une application prvue en 2012.
1. Convergence de solvabilit 2
Le projet Solvabilit 2 fait converger les pratiques actuelles des compagnies dassurance vers une
pratique commune au niveau europen qui se manifeste par :
-Une meilleure gestion des risques.
-Un dveloppement de la concurrence dans lUnion Europenne et de la comptitivit lextrieur
(allocation en capital).
-Une protection des assurs.
-Une Convergence internationale (IAIS; IASB).
-Une Meilleure rglementation (fonde sur des principes, document unique).
Mme si son application nest pas encore effective, le projet Solvabilit 2 vise une refonte en
profondeur des rgles applicables aux compagnies dassurance et apparat comme un vecteur de
changement pour le monde de lassurance. Son objectif est dadapter au mieux les fonds propres
exigs des compagnies dassurance, aux risques que celles-ci encourent dans leur activit, ce qui
revient amliorer le systme de solvabilit actuel en lharmonisant lchelle europenne et en le
rendant plus cohrent avec le systme prudentiel bancaire. Par la suite, chaque assureur doit tre
mme de comprendre les risques inhrents son activit afin de pouvoir allouer suffisamment de
capital pour les couvrir, garantissant ainsi la prennit de son exploitation.
Solvabilit 2 dessine les prmices dune gestion prudentielle des risques, ce qui reste un point sensible
pour toute entreprise soucieuse de prenniser son activit et sa solvabilit. S'agissant de la dfinition
de la marge de solvabilit en fonction des diffrents risques, une adaptation de la rglementation des
assurances, intgrant le facteur risque, s'impose.
-IFRS (International Financial Reporting Standards.): les nouvelles normes comptables IFRS -IAIS (International association of insurance supervisons Association internationale des contrleurs dassurance) - IASB (International Accounting Standards Board): Ce sont des organismes privs qui ont t fonds par les instituts d'experts-comptables de neuf pays avec pour principal objectif d'tablir des normes comptables acceptables au plan international.
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2. Qu'est-ce que la marge de solvabilit ?
La marge de solvabilit est le volet du capital supplmentaire que les autorits de rglementation des
tats membres obligent les compagnies d'assurance dtenir. Elle correspond une partie de leurs
fonds propres, libres de tout engagement prvisible, dduction faite des immobilisations incorporelles.
Pour protger les assurs, il apparait ncessaire dimposer aux entreprises dassurances la dtention
dun montant de ressources supplmentaires pouvant servir de matelas en cas de sinistres ou de
frais imprvus. Ce matelas dont doit disposer chaque entreprise dassurance est appel marge de
solvabilit.
Cette exigence doit tre suffisante pour amortir les effets des risques non quantifis et les
consquences dune sous estimation ou dune fluctuation anormale des risques quantifis.
Les exigences de marge de solvabilit sont en place depuis les annes 1970. Il a t reconnu dans les
directives dassurances de troisime gnration, adoptes dans les annes 1990, que les rgles de
solvabilit de l'UE devraient tre rvises. Ces directives exigeaient que la Commission rexamine les
besoins en matire de solvabilit. Suite cet examen une rforme limite a t adopte par le
Parlement europen et le Conseil en 2002. Cette rforme s'appelle Solvabilit 1.
B. Insuffisance de Solvabilit 1
Les directives Solvabilit 1 reprsentent ltape la plus fondamentale d'un examen de rgime
prudentiel pour les assureurs. Ainsi, lexigence de fonds propres rvise dans les directives
Solvabilit 1 a t conue principalement en tant que mesure intrimaire. Cette rforme a pris
naissance grce au Parlement du Conseil europen et fait suite un examen minutieux des besoins
de solvabilit.
1. La vue de solvabilit 1
Solvabilit 1 prvoyait la mesure de la marge de solvabilit des compagnies dassurance sur la base
des affaires souscrites, et ce, partir de donnes telles que le pourcentage des provisions techniques,
des primes et des sinistres.
Les rgles de Solvabilit 1 fixent :
Des exigences de composition des actifs et de couverture des engagements par des actifs adquats.
Contraindre les compagnies de prsenter chaque anne un rapport de solvabilit ainsi quun rapport de rassurance.
La ralisation chaque trimestre de simulations normalises permettant de juger de ladquation actif-passif.
La dtermination dun niveau minimum de fonds propres : lEMS (exigence de marge de solvabilit).
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2. Le bilan en Solvabilit 1
Cette rforme a abouti la cration dun indicateur dexigence de marge de Solvabilit. Cependant
cet indicateur ne prend pas en compte les exigences de lassureur relatives aux options et garanties
implicites des contrats. Cest lune des faiblesses de Solvency I. Dautres critiques relatives au fait que
la rforme ne distingue pas les risques au sein dune mme branche, ou quelle ne porte que sur le
montant espr de provisions techniques, ont t mises. Il est aussi regrettable que cette premire
rforme ne propose aucune distinction entre assureur et rassureur.
Il sen suit la volont de dvelopper un nouveau systme de solvabilit : Solvabilit 2 pour toutes les
entreprises dassurances vie/non vie et de rassurance qui est ne de besoins non encore satisfaits par
la premire version Solvabilit 1. Cette rforme devrait encourager et mme inciter les entreprises
d'assurances identifier, mesurer et grer leurs risques (assurance, crdit, march, liquidit,
oprationnelle) et assurer ainsi une allocation optimale des capitaux propres.
Provisions Techniques
Actif et investisseme
nt
PT la charge des rassureurs
Actif (A) Passif
A
Capitaux Propres
Provisions
techniques
Fonds Propres et Exigence de
la marge
B
A-B
Autres dettes
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C. Historique de Solvabilit 2
A la lumire des volutions des techniques de gestion des risques, lUnion Europenne a dmarr le
projet Solvabilit 2 qui doit aboutir un nouveau systme de solvabilit plus adapt aux risques
effectifs qui psent sur les compagnies dassurance.
Solvabilit 2 se fonde sur 3 piliers :
1. Schma
2. Les trois piliers
Le premier pilier : les exigences quantitatives Cest la pierre angulaire du projet Solvabilit 2. Son but est dassurer que les provisions techniques
sont la fois suffisantes et calcules suivant des principes harmoniss entre les diffrentes
compagnies europennes.
Des seuils quantitatifs aussi bien pour les provisions techniques que pour les fonds propres sont mis
en place. Ces seuils deviendront des seuils rglementaires qui se prsenteront par deux niveaux sur
les fonds propres :
-MCR (Minimum Capital Requirement ou Capital Minimum Requis) reprsente le niveau minimum de
fonds propres en-dessous duquel l'intervention de l'autorit de contrle sera automatique.
-SCR (Solvency Capital Requirement ou Capital Cible) reprsente le capital cible ncessaire pour
absorber le choc provoqu par une sinistralit exceptionnelle.
Pilier 1 Pilier 2 Pilier 3
Provisions techniques
Besoin de capital Capital cible
Capital minimum
Risque prendre en compte et la dpendance des
risques.
Contrle interne Gestion interne
du risque.
Information et Publication.
Contenu.
Contrle des groupes et convergence entre les diffrents secteurs financiers
Surveillance prudentielle
Information publique
Exigences quantitatives
Solvabilit II
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Le deuxime pilier : la surveillance prudentielle Lautre aspect du contenu du projet Solvabilit 2 est la possibilit de donner aux autorits de contrle
les moyens didentifier les compagnies prsentant des risques financiers ou organisationnels
importants. Ce pilier porte sur le contrle prudentiel ou la supervision financire, dont lobjectif est de
fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux socits et de dfinir comment
l'autorit de contrle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte (gestion interne et
externe).
L'identification des socits "les plus risques" est lun des objectifs de la rforme. Les autorits de
contrle auront en leur pouvoir la possibilit dexiger que ces socits dtiennent un capital plus lev
que le montant suggr par le calcul du SCR et/ou de rduire leur exposition aux risques.
Le troisime pilier : linformation publique Cest le dernier point du projet . Il traite de la question de lharmonisation des reporting des
entreprises dassurances aux autorits de contrle europennes.
Cest la discipline de march o les informations publier par les entreprises dassurance sont :
- linformation publique en vue damliorer la discipline de march
- linformation lusage des superviseurs
- les rgles dinformation des assurs
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3. Bilan dune compagnie dassurance dans Solvabilit 2
En comptabilit, chaque compagnie possde un bilan : cest un document synthtisant ce que
l'entreprise possde (terrains, immeubles... : l'actif) et l'ensemble de ses ressources (capital, rserve,
crdits... : le passif) un moment donn. Il en est de mme pour les compagnies dassurances dont
le bilan est reprsent ci-dessous :
Pour lactif :
Investissements et autres actifs reprsentent : les obligations, les actions, les options, les
immeubles.
PT la charge des rassureurs : provisions la charge des rassureurs, il s'agit des montants de
provisions techniques charge des rassureurs. Cest la part associe au rassureur quil doit payer
en cas de sinistre inattendue.
Pour le passif : on note seulement les lments qui seront ensuite dtaills dans les paragraphes
suivants.
Les fonds propres : sont constitus par le SCR (Solvency capital Requirement), le MCR (minimum
capital Requirement), A-B (actif-provisions techniques SCR /MCR).
Les provisions techniques : sont constitues de la Marge de risque, du Best Estimate et de la
participation aux bnfices.
Autres dettes : dettes fournisseurs, emprunts et dcouverts
Notre travail se base sur la partie Passif dont tous les lments sont dtaills dans les
paragraphes suivants.
Provisions Techniques
Investissements Et Autres actifs * Obligations *Actions *Options
*Immeubles
PT la charge des rassureurs
Best Estimate tenant compte de la Participation aux bnfices
Marge de risque
Autres dettes
Actif (A) Passif
B A
SCR MCR A-B
Capitaux Propres
http://fr.wikipedia.org/wiki/Actif_(comptabilit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Passif_(comptabilit%C3%A9)
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III SCR
A. SCR global
1. Dfinition
SCR Solvency Capital Requirement ou Capital cible est le niveau de fonds propres souhaitable conomiquement, cest--dire le niveau de fonds propres dont la socit a besoin pour fonctionner avec un faible niveau de faillite. Il y a faillite quand le montant des actifs admissibles est infrieur celui des provisions techniques. Les assureurs seront contraints de mesurer leurs risques et de s'assurer qu'ils ont suffisamment de fonds propres pour les couvrir. Cest le niveau de prudence (probabilit d'tre solvable un an) qui sera requis. Le niveau de probabilit retenu pour le SCR est de 99.5% pour 1 an. Ce pourcentage constitue une hypothse de travail, c..d. que les paramtres de calcul du Capital de Solvabilit Requis doivent tre tablis de manire prendre en compte les risques quantifiables auxquels une entreprise possdant un portefeuille de risques diversifis est expose. Il convient de dfinir les mthodes employer pour vrifier que ce niveau est rellement respect. Le respect de lexigence de Capital de Solvabilit Requis devrait tre vrifi de faon continue. Ces principes devraient sappliquer indpendamment de lutilisation dun modle standard ou dun modle interne. La formule standard est actuellement en cours de dfinition et de calibrage au travers de la note technique de QIS4 (Quantative Impact Studies4, questionnaire remis toutes les compagnies dassurance de lUnion Europenne qui doit permettre de calibrer lensemble des calculs de Solvabilit2). Un modle interne propre chaque compagnie dassurance nest quune traduction littrale et quantitative de la ralit dun ensemble de risques assurs susceptible de tenir compte de la volatilit des phnomnes tudis o lassurance doit utiliser les processus alatoires pour envisager une ralisation prospective des risques. Ce modle s'appuie sur la description d'un certain nombre de facteurs de risque, exognes ou endognes, et de leur structure de dpendance. Les facteurs de risque retenus pour le calcul des exigences de fonds propres devraient tre tirs de la classification des risques. La figure suivante nous montre la diversification des risques au niveau du SCR par rapport la note de QIS4.
2. Dfinition de QIS 4
Dans loptique du passage Solvabilit2, la Commission europenne a demand au CEIOPS Committee of European Insurance and Occupational Pension Supervisors (comit regroupant lensemble des autorits de contrle dassurance des 27 pays de l'Union europenne) dtudier les rpercussions quantitatives du nouveau systme par le biais dtudes quantitatives dimpact (QIS Quantitative Impact Studies). Les QIS permettent de recueillir des retours qualitatifs et quantitatifs auprs des acteurs du march. Ils traduisent lorigine les orientations du CEIOPS et permettent au final, grce leur exploitation de faire voluer et damliorer ces orientations. L'ide de QIS est de retenir un besoin de capital ncessaire pour chaque risque (risque de taux, risque de mortalit, risque de taux d'intrt...). Ces besoins sont ensuite agrgs partir d'une matrice de corrlation entre les risques, donnant le besoin de marge minimum. Les modles pour chaque risque sont en gnral une mesure de l'impact d'un stress (exemple : une augmentation des taux de mortalit de 10%, impact sur les actifs d'une baisse de 40% des actions ;...). QIS4 Quantitative Impact Studies 4 ou Quatrime Etude dImpact est la quatrime tape des QIS (QIS1, QIS2, QIS3 ) qui sont les tudes sur les nouveaux bilans et exigences en capitaux des entreprises dassurances. Les diffrentes tudes quantitatives dimpact et leurs rsultats, que nous rappelons ci-aprs, sont donns sur le site de la CCAMIP ( http://www.ccamip.fr/fichiers/Note_de_synth_se_QIS3_407.pdf ):
http://www.ccamip.fr/fichiers/Note_de_synth_se_QIS3_407.pdf
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Les objectifs de cette quatrime tude QIS4 en cours portent sur : -les informations sur limpact sur le bilan du passage de Solvabilit 1 Solvabilit 2. -la cohrence des spcifications techniques. -la collecte de donnes qualitatives et quantitatives pour analyser diffrentes options. -la mthodologie simplifie pour le calcul du SCR et les PT. -laspect groupe et comparaison entre solo et groupe pour les exigences en capital. -la comparaison du SCR formule standard et modles internes et calcul.
3. Formule standard du SCR suivant la note QIS4
Le calcul de la formule standard du SCR sorganise en modules : Le SCR global est donn par la formule suivante :
OpSCR = BSCR - Adj +SCR
a. SCR oprationnel
Par risques oprationnels, il faut entendre les risques que lorganisation, ses acteurs et
lenvironnement externe encourent, comme par exemple :
Le risque li au systme dinformation : dfaillance matrielle, bug logiciel, obsolescence des
technologies (matriel, langages de programmation, ) ;
Le risque li aux processus (saisies errones, non respect des procdures,) ;
SCR Heth
SCR life
Life mort
Life exp
Life long
Life cat
Life lapse
Life rev
Life dis
Health WC
Health LT
SCR def SCRmarket
SCR non life
Adj BSCR SCRop
MkT equity
MkTintert
MkTproprity
MkT flux
Health & accident ST
MkT spread
NL pr
NL cat
SCR
MkT concentration
SCR health
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Le risque li aux personnes (absentisme, fraude, mouvements sociaux, mais aussi capacit de
l'entreprise assurer la relve sur les postes cls) ;
Le risque li aux vnements extrieurs (terrorisme, catastrophe naturelle, environnement
rglementaire,).
Il comprend galement les risques juridiques, mais il exclut les risques de rputation et les risques
rsultant de dcisions stratgiques.
Le SCR op est gal 0,3% du Best Estimate. Autant dire que son champ d'application semble
tellement large qu'on n'en peroit pas d'emble l'application pratique.
b. Le BSCR Le BSCR est la somme des SCR suivants :
- SCR dfaut :Le risque de contrepartie est le risque de pertes rsultant dune dfaillance imprvue
ou dune dgradation de la note de crdit des contreparties ou des dbiteurs de contrats de rduction
des risques, tels que des dispositifs de rassurance, des titrisations et des drives..
- SCR non life : il correspond au risque de non vie .Lanalyse du risque de souscription non-vie
ncessite de segmenter lactivit non-vie du participant en diffrentes branches.
- SCR market : rsulte du niveau ou de la volatilit de la valeur de march des instruments
financiers. Lexposition au risque de march est mesure par limpact des mouvements de variables
financires telles que les cours des actions, les taux dintrt, les prix de limmobilier et les taux de
change.
- SCR health : Ce module couvre le risque de souscription pour toutes les garanties sant et
accidents du travail ; il se divise en trois sous-modules : sant long terme pratique sur une base de
technique similaire celle de lassurance vie, sant court terme et accidents du travail.
- SCR life : Ce module concerne le risque rsultant de la souscription de contrats dassurance
vie qui est associ aux risques couverts et aux procdures suivies dans la gestion de lactivit. Le
risque de souscription vie est compos des risques biomtriques (risque de mortalit, risque de
longvit et risque dinvalidit/de morbidit), du risque de rachat, du risque de dpenses, du risque de
rvision et du risque de catastrophe.
c. Adj.
Ajustements au titre des proprits dabsorption des risques des futures participations aux bnfices.
Pour les activits dassurance vie avec participation aux bnfices, la formule standard tient compte de
la capacit dabsorption des risques des futures participations aux bnfices (pertes inattendues pour
les participations bnfices).
Le risque de mortalit est lun des risques prendre en compte lors du calcul du capital minimum
dans le cas de la souscription vie et celui-ci est la base de notre mmoire : nous allons donc
dvelopper ce point dans la partie suivante.
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B. SCR life
a. Schma zoom issu du SCR life en modle standard
Le schma suivant prsente les lments prendre en compte pour calculer le SCR vie.
On distingue dans le SCR life :
i. Life mort : Risque de mortalit
Le risque de mortalit reprsente lincertitude relative aux tendances et paramtres, dans la
mesure o ceux-ci ne sont pas dj pris en compte dans lvaluation des provisions techniques.
ii. Life long : Risque de longvit
Le risque de longvit rsulte de lincertitude relative aux tendances et paramtres dans la
mesure o ceux-ci ne sont pas dj pris en compte dans lvaluation des provisions techniques.
iii. Life dis : Risque dinvalidit
Le traitement du risque dinvalidit reprsente le risque dincertitude relative aux tendances et
paramtres dans la mesure o ceux-ci ne sont pas dj pris en compte dans lvaluation des
provisions techniques.
iv. Life lapse : Risque de rachat
Le risque de rachat concerne la perte ou la modification dfavorable de la valeur des passifs
dassurance rsultant dune variation du niveau ou de la volatilit des taux de dchance, de
rsiliation, de modification du statut libr (cessation du paiement des primes) et de rachat des polices.
SCRlife
Life exp
Life rev
Life mort
Life long
Life cata Life dis
Life lapse
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v. Life exp : Risque de dpenses
Le risque de dpenses rsulte de la variation des frais de gestion des contrats dassurance ou
de rassurance.
vi. Life rev : Risque de rvision
Le risque de rvision reprsente le risque de variation dfavorable du montant dune rente du
fait dune rvision imprvue du processus des sinistres.
vii. Life cat : Risque de catastrophe
Les risques de catastrophe en vie ont trait des vnements extrmes ou irrguliers (une
pandmie par exemple) qui ne sont pas suffisamment pris en compte par les chargements en capital
des autres sous-modules du risque de souscription vie.
b. Calcul du SCR life
rxclife r crxcSCR CorrLife Life Life
O
lifeSCR : Chargement en capital au titre du risque de souscription vie
rxcCorrLife : Cellules du tableau de corrlation CorrLife
rLife , cLife : Chargements en capital au titre des sous-risques de souscription vie selon les lignes et
colonnes du tableau de corrlation CorrLife
Le chargement en capital au titre du risque de souscription vie est une combinaison des chargements
en capital au titre des sous-risques en vie suivant un tableau de corrlation :
CorrLife Lifemort Lifelong Lifedis Lifelapse Lifeexp Liferev LifeCAT
Lifemort 1
Lifelong -0,25 1
Lifedis 0,5 0 1
Lifelapse 0 0,25 0 1
Lifeexp 0,25 0,25 0,5 0,5 1
Liferev 0 0,25 0 0 0,25 1
LifeCAT 0 0 0 0 0 0 1
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Le principal objectif du SCR est donc destimer le risque encouru. Le risque souscription vie
est un risque de base pour le calcul de SCR global qui se manifeste par le SCR vie.
Par exemple, pour le module Life mort (mortalit), on fait subir au portefeuille concern un choc de
mortalit de +10% et on calcule le life mortalitSCR qui correspond donc la couverture inattendue de
la mortalit.
Ce life mortalitSCR est considr comme une couverture inattendue dun changement incertain de la
mortalit. On peut aussi le dfinir dune autre manire : Chargement en capital au titre du risque de
souscription vie (mortalit).
Maintenant nous allons dtailler notre travail sur le life mortalitSCR afin dtudier limpact du risque de mortalit dans solvabilit 2.
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IV SCR life mortalit
A. Risque de mortalit
1. Introduction
Mortalit, esprance de vie, taux instantan de dcs, annes. Ces mots cls sont bien connus par les dmographes et les assureurs. Mais lorsquils sont associs pour les tudes de portefeuilles, ils peuvent devenir inquitants. En effet, le risque de mortalit est un risque difficile apprhender car il repose sur des bases en constante volution ; lesprance de vie la naissance ne cesse daugmenter et si cette augmentation a dabord t due un recul de la mortalit infantile, depuis ces dernires dcennies, cest le seul recul de la mortalit du troisime ge qui joue un rle essentiel dans cette volution. Nous assistons de nos jours une forte diminution du taux de mortalit dont leffet est gnralement associ deux tendances majeures : une importante rduction de la mortalit cause par les maladies infectieuses touchant les enfants en bas ge, et la chute de la mortalit des personnes ges (allongement de la dure de vie). Or la population ge constitue la clientle la plus importante des entreprises dassurances qui proposent en grand nombre des contrats de type rente viagre pour les personnes retraites particulirement. Le calcul classique effectu par les compagnies dassurance semble aujourdhui obsolte, sous-estimant les primes de ces rentes, ce qui ncessite donc de pouvoir valuer le plus prcisment possible la dure de vie des assureurs en prenant en compte lvolution future de la mortalit dans les calculs de primes.
L'anticipation pertinente de l'volution de la mortalit dans les annes venir constitue un enjeu important pour le dveloppement des rgimes de rentes et le suivi technique des rgimes de retraite.
Mentionnons ici le graphe de quotient de mortalit par rapport aux diffrents pays europens et remarquons comment lvolution de lesprance de vie est apparue au cours des annes partir de la diminution des quotients de mortalit.. (Donnes issues de www.mortality.org)
volution des x % millsime
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
1950
1953
1956
1959
1962
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
millsime
tau
x
50
60
65
70
80
90
http://www.mortality.org/
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2. Causes de la mortalit.
De nombreuses tudes ont valu le nombre de dcs rsultant des diffrentes pathologies. Jai effectu une mission sur ces causes pour la France, qui ma permis destimer quelles sont les pathologies les plus importantes. Nous obtenons dans lordre : - le cancer - linfarctus aigu du myocarde (appel le plus souvent une crise cardiaque) - les accidents - les maladies nerveuses - le diabte - les maladies dues au systme respiratoire - la maladie crbro-vasculaire - le suicide Le schma ci dessous reprsente la rpartition de ces pathologies chez les hommes en France en 2005.
Rpartition des pathologies en France pour les Hommes en 2005
54.17%
10.29%
8.20%
9.47%
3.18%
6.68%
0.51%7.51%
cancer
systme respiratoire
maladie crbro-vasculaire
accidents
diabte sucr
suicide
Infarctus aigu du myocarde
maladies nerveuses
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3. Paramtres lis la mortalit.
xL =dsigne le nombre moyen de survivants dge x dune cohorte de 0L Individus initialement.
t xp = probabilit de survie ou probabilit pour quun individu dge x soit encore vivant x+t
t xq = probabilit de dcs ou probabilit pour quun individu dge x dcde avant davoir atteint lge x+t.
x+t = A lintrieur dun intervalle dge, la force de mortalit ou taux instantan de mortalit mesure
la mortalit de chaque instant, le taux instantan de mortalit par ge, ainsi x+t est le taux instantan de mortalit pour chaque ge compris entre x et x+t, o t varie entre 0 et 1. Il peut tre considr comme une moyenne des taux de lintervalle.
xe = Lesprance de vie xe pour une population dge x, est le nombre moyen dannes vcues par
ce groupe, entre lge x et lge limite de la table. Par rapport aux tables de mortalit, on distingue trois types de tables de mortalit : table de moment, table de gnration et table dexprience. Une table de gnration est construite en observant une cohorte de 100 000 personnes depuis leur naissance la mme anne jusqu' l'extinction de la cohorte (autrement dit 120 ans et mme plus), par exemple celle des personnes nes en 1980. Cette prsentation des tables de mortalit met bien en vidence la difficult de la raliser. Il faut attendre la fin des consquences de lvnement fondateur pour pouvoir en connaitre les tenants et aboutissants. Une table de moment se ralise en constituant une gnration (ou cohorte) fictive englobant toute la population d'une rgion quelconque un moment prcis dans le temps. Cette gnration fictive compte arbitrairement 100 000 individus. Ceux-ci sont ensuite soumis aux conditions de mortalit qui prvalent au moment choisi. Cette analyse dcrit donc une population pour une anne calendaire et examine les phnomnes relatifs cette anne. Parfois, les assureurs travaillent laide de tables dexpriences quils ont eux-mmes constitues sur la base des statistiques de mortalit de leur propre fichier clients. Une telle table est bien entendu la plus adapte et permet chaque assureur de trouver le meilleur tarif.
B. Le modle standard de QIS4
Dans le projet Solvabilit 2, les tests dimpacts quantitatifs (QIS1, QIS2, QIS3, QIS4) effectus par les assureurs permettent de calibrer la future formule standard qui reprsente un ensemble de calculs simplifis reposant sur des donnes comptables et des indicateurs connus permettant dtablir un besoin minimum de capital admis comme relativement arbitraire. Ils intgrent le risque de mortalit travers un choc sur la mortalit qui se traduit par une hausse des taux de mortalit de 10% dans le cas du capital dcs et une baisse de la mortalit de 25% en cas de rente (ou + 25% sur la longvit). Le modle standard utilis dans QIS 4 prconise de calculer le capital minimum de solvabilit li au risque de mortalit en recalculant le Best Estimate avec des taux de mortalit augments de 10% ou diminus de 25% (cest li au type de contrat tudi) et par voie de consquences, le chargement en capital li la mortalit est le SCR life mortalit qui correspond la value-at-risk 99.5% 1 an. Pour mieux comprendre var 99.5 qui correspond au SCR, regardons le graphe suivant qui reprsente la charge de sinistralit :
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Exemple: Portefeuille de 100 000 assurs avec des contrats temporaires dcs
Les sinistres suivent une loi normale ( , )N m Moyenne : 50 000 cart-type : 9 930 Par dfinition du SCR, on veut: Proba (sinistralit < SCR) = 99,5% Ce qui s'obtient par approximation de la loi normale pour
SCR 2,58* cart-type moyenne 75621 lavaleur du graphique
Nous avons dj mentionn que Solvabilit 2 se rfrera un montant de provisions techniques avec une marge de risque o ces provisions techniques devront tre calcules en mthode Best Estimate puis tenir compte dune marge de scurit supplmentaire, de sorte que la probabilit dune insuffisance de provisions par rapport aux prestations futures soit rduite. Lapplication du modle standard se base sur ces provisions calcules par la mthode du Best Estimate de faon appliquer les notions de solvabilit en effectuant un changement sur les tables de mortalit (hausse ou baisse de taux). Mathmatiquement parlant, on peut traduire le modle standard qui correspond appliquer les notions
de Solvabilit pour le calcul de life mortalitSCR avec deux formules qui rsument le choc de mortalit en intgrant le changement de la mortalit dans les provisions techniques de faon ce quon cherche lcart entre les provisions calcules par la mthode de Best Estimate avec choc et sans choc comme suivant : Cas de capital dcs :
life mortalit avec choc de 10%SCR =BE( )-BE Cas des rentes :
life longvit avec choc de +25%SCR =BE( )-BE
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Les provisions techniques sont constitues de la Marge de risque, du Best Estimate et de la participation aux bnfices.
Quest ce que le Best Estimate ??
1. Best Estimate
a. Formule gnrale Le Best Estimate est la mesure retenue par la commission europenne pour mesurer le niveau des provisions techniques sans marge de risque quune compagnie doit dtenir. La notion de Best Estimate est dfinie par lextrait suivant : La meilleure estimation est gale la moyenne pondre par leur probabilit des flux de trsorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de largent (valeur actuelle probable des flux de trsorerie futurs), dtermine partir de la courbe des taux sans risque pertinent. Le calcul de la meilleure estimation est fond sur des informations actuelles crdibles et des hypothses ralistes et fait appel des mthodes actuarielles et des techniques statistiques adquates . Le Best Estimate est calcul selon la mthode de la meilleure estimation et est dfini comme la moyenne pondre probable des futurs flux de trsorerie, actualiss selon la courbe des taux sans risque, avec la validation de lautorit de contrle.
0 (1 )
nt
tt t
CFBE
r
Avec CF0, , CFn : Les flux de trsorerie non actualiss des engagements dassurance Vie.
tr : Les taux dintrt sur la courbe de taux de rfrence n : horizon choisi de faon couvrir la dure de vie totale du portefeuille dassurance. Pour valuer le best Estimate, on a utilis le logiciel GOELAND dvelopp par le Cabinet MOEGLIN. Le logiciel GOELAND permet de calculer les provisions techniques pour un portefeuille de contrats dassurance de personnes. La mthode dveloppe est nouvelle et permettra de rpondre aux futures exigences du projet dharmonisation des rgles de solvabilit (Solvabilit 2) des assureurs de la Communaut Europenne, applicables lhorizon 2010. Son principe gnral consiste, pour chaque garantie dun contrat, gnrer un chancier de lensemble des flux financiers, puis pour chaque flux, de dterminer sa probabilit de survenance, sa valeur actuelle et, finalement, la valeur actuelle probable pour chaque contrat. Le calcul du best Estimate par GOELAND, inclut une loi de maintien afin de modliser les probabilits de rachat des contrats et calcule la valeur de rachat de chaque contrat quil intgre ensuite dans lchancier des flux.
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, ,i t i t t
i i
PM M P A
Les provisions mathmatiques sont la diffrence entre la somme des flux probabiliss et actualiss de lassureur (prestations, frais, et commissions) et ceux de lassur (cotisations). La mthode de calcul adopte pour dterminer la provision mathmatique est la suivante : - partir des caractristiques du contrat, un chancier des flux lmentaires est tabli ; - chaque flux lmentaire est probabilis puis actualis ; - la somme des flux probabiliss et actualiss donne la provision mathmatique.
i,t i,t t
i t
i,t
i,t
t
PM= M P A
o M :le montant du flux i la date t.
P : le coefficient de probabilit du flux i la date t.
A :le coefficient d'actualisation la date t.
b. Comment seffectue le calcul par GOELAND ? GOELAND tient compte de plusieurs tapes au niveau du calcul de Best Estimate :
- Calcul de lge exact de lassur - Calcul des probabilits - Prise en compte dune loi de rachat
Calcul de lge de lassur Pour le calcul de lge, deux mthodes sont possibles :
- ge anniversaire - ge millsime
Lge anniversaire : lge est exprim en xx annes yy mois arrondi au mois le plus proche (35 ans 8 mois 10 jours 35 ans 8 mois et si 35 ans 8 mois 25 jours 35 ans 9 mois. Lge millsime : dans lexemple prcdent on ne retiendra que 35 ans. Les probabilits La probabilit de survenance de chaque flux dpend du type de flux et de lchance du flux.
Contrat Paramtres du contrat Paramtres des flux
Echancier t
.
i . Mi, t
Pi, t
Actualisation
At
Provisions Mathmatiques
i,t i,t t
i t
PM= M P A
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On introduit plusieurs probabilits de base : i) probabilit relative lassur ii) probabilit relative au contrat.
Comment se fait le calcul du Best Estimate sur GOELAND ? 1) Probabilit relative lassur
a) en cas de vie
Cette probabilit repose sur le calcul de probabilit de dcs et de survie donc sur les tables de mortalit utilises et la mthode de calcul utilise pour le calcul des Lx.
Suivant la mthode de calcul de lge, on calcule les Lx :
-dans le cas de lge anniversaire : on utilise linterpolation linaire suivant la formule ci-dessous :
t en moisx t x x x+1
x+12
L =l =l - (l -l )
12
- dans le cas de lge millsime : on prend t =0
Exemple: 1) Avec un ge anniversaire : Table = GBM0005 Date de naissance de lassur: 10/03/1965 Date du flux lmentaire n2 : 20/10/2007 Date destimation : 31/12/2006 Age la date destimation : 41 ans 9 mois 26 jours = 41 ans 10 mois
10 41 41 4241
12
10 10l l (l l ) 97130 (97130 96972) 96998.33
12 12
ge la date du flux : 42 ans 7 mois 14 jours = 42 ans 07 mois
7 42 42 4342
12
7 7l l (l l ) 96972 (96972 96800) 96871.667
12 12
La probabilit de survie associe au flux n2 la date de calcul est donc :
41ans10mois 42 ans 7mois
96871.6670.99869
96998.33P
2) avec un ge millsime : on travaille sur des entiers
4242 41
41
969720.99837
94197
lP
l
4242 41
41
969720.99837
94197
lP
l
b) en cas de dcs
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Hypothse : le dcs intervient au milieu de lanne. Suivant la date de calcul, la probabilit de dcs du premier flux varie du cas prcdent. Cas 1 : La diffrence entre la date anniversaire du contrat 1 an et la date de calcul est infrieure 6 mois, pour simplifier les choses on prend k=0. 6mois 1ans et 6 mois 0 1 2 3 annes
Date de calcul flux1 flux2 flux3 Le calcul des Lx ne changent pas par rapport aux probabilits en cas de vie. Les probabilits de dcs dans Goland sont donnes par les formules suivantes :
- Premier flux qui suit la date de calcul
x Date de calcul x k 2
1
x Date de calcul
-Deuxime flux qui suit la date de calcul
x+k+2 x k 32
x Date de calcul
-flux suivants
l lProba dcs Flux =
l
l lProba dcs Flux =
l
Proba dc
x+k+j-1 x k j
( j 1)
x Date de calcul
l ls Flux = avec j 3
l
Cas 2: La diffrence entre la date anniversaire du contrat 1 an et la date de calcul est suprieure 6 mois, pour simplifier les choses on prend k=0 6mois 1ans et 6mois 1 2 3 annes
1) Date
de calcul flux1 flux2 flux3
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- Premier flux qui suit la date de calcul
x Date de calcul x k 1
1
x Date de calcul
-Deuxime flux qui suit la date de calcul
x+k+1 x k 22
x Date de calcul
-flux suivants
l lProba dcs Flux =
l
l lProba dcs Flux =
l
Proba dc
x+k+j-2 x k j 1
( j 1)
x Date de calcul
l ls Flux = avec j 3
l
2) Probabilit relative au contrat probabilit de chute ou de rachat
Le droit au rachat permet au souscripteur dobtenir de lassureur le paiement prvu de sa crance, cest--dire la valeur de rachat de son contrat. Lobligation de lassureur qui tait conditionnelle (exemple : chance au dcs) ou terme, est alors transforme en une obligation chance immdiate. Il est important de noter que la facult de rachat constitue pour lassur un moyen de grer son contrat dassurance-vie.
Le droit de rachat est attach exclusivement la personne du souscripteur qui est donc seul dcider de lexercer ou non. La dcision de proroger ou de rsilier le contrat qui lie un assur un assureur revient entirement lassur, ou ses bnficiaires si ce dernier est dcd. 3) Estimation de la valeur de rachat pour chaque date horizon Lorsquon calcule le Best Estimate, la valeur de rachat est calcule mais il est galement ncessaire de tenir compte de la loi de maintien des autres flux. La valeur de rachat doit tre calcule pour chaque horizon la date deffet du contrat. La formule gnrale utilise dans Goland est la suivante :
_ 1 _ _ 1%k DateHorizon k DateHorizon k DateHorizon kVR x VAP t VAP VAP
Avec : _ VAP calcule avec le taux technique et la table de rglementaireDateHorizon kVAP
% le pourcentage de la VAP qui donne la valeur de rachatx
nombre de mois entre la date horizon k-1 et la date d'effett Expression de la valeur de rachat en % de la VAP La valeur de rachat est exprime en % de la VAP. Mais ce pourcentage varie en fonction de la dure coule du contrat. Par exemple : k est lge anniversaire du contrat la date deffet .
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0 si k
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2. Participations aux bnfices (PB)
En assurance vie, lassureur reoit des primes et cotisations quil place long terme. Il ralise alors des bnfices sur la gestion financire de ces ressources constitues. Il peut aussi raliser des bnfices sur la gestion technique du contrat (volution dmographique de la communaut des assurs plus favorable que les hypothses envisages initialement). Ces bnfices provenant de la communaut des assurs ou des ressources verses par ceux-ci la souscription et lors de la vie du contrat, il est logique quune partie leur soit reverse. Cest le mcanisme de la participation aux bnfices, rglementairement prvue par le Code des assurances. Les assureurs vont souvent au-del de la participation minimale prescrite dans le Code des assurances en prvoyant dans les contrats dattribuer une quote-part des bnfices plus importante.
Dans le rgime Solvabilit 2, les engagements tant calculs en projetant les flux futurs Best Estimate , ils intgrent des prvisions de participations aux bnfices. Sil savre que les hypothses de projections taient trop optimistes, les bnfices seront moindres (voire ngatifs en cas de dficits) et par consquent, les participations aux bnfices seront galement rduites. Cette capacit dabsorption des pertes futures dans les participations bnficiaires futures doit apparatre dans le modle qui sera retenu pour Solvabilit 2. Calcul des participations aux bnfices Les participations aux bnfices sont un droit de lassur car la loi oblige l'assureur redistribuer ses bnfices aux assurs dans une proportion au moins gale 85 %. Les bons contrats prvoient une participation aux bnfices de 100 %. Cette participation est provisionne par la formule suivante :
PB %donne ( ) Provisionrendement garantietaux taux
Ce solde peut tre affect directement aux provisions mathmatiques ou port totalement ou partiellement la provision pour participation aux excdents. valuation des participations futures Lvaluation des participations aux bnfices futurs peut se diviser en 2 parties : PB intrinsque
- Provisions pour participations aux bnfices futurs intrinsques qui correspond la projection des participations aux bnfices bases sur une courbe de rendement estime ; elle correspond lactualisation avec une courbe de taux des augmentations futures des capitaux dcs (ou rentes) ;par exemple on peut estimer la courbe de rendement avec une courbe de rendement des Swap 7ans.
- 2 tapes suivre : -estimation du rendement futur. -dduction du bonus de capital par anne.
PB temps - Provisions pour participations aux bnfices futurs temps pour tenir compte de la volatilit de la courbe de rentabilit ou bien ajuster la valeur des participations aux bnfices par rapport la volatilit de la courbe de rendement, par exemple on peut faire lvaluation partir de deux mthodes de calcul( la premire par Black and Scholes , la deuxime par Black and Scholes mais avec volatilit nulle) et calculer ensuite lcart entre les deux.
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3. Marge de risque ou Risk Margin .
La marge de risque reprsente le cot additionnel ncessaire pour garantir que la valeur des provisions techniques est gale la somme (cot du capital) que lverait ou immobiliserait un assureur tiers qui reprendrait le portefeuille de contrats considr. Cette approche protge les droits des assurs et tient compte de l'incertitude lie l'valuation du "Best Estimate".
Calcul de la marge de risque Elle est calcule par la mthode de cot de capital (CoC) qui tait propose dans le QIS4. Il s'agit de mesurer le cot d'opportunit consenti par un investisseur en immobilisant des capitaux propres afin de pouvoir exercer l'activit de lassureur. Il correspond une quantit ajoute au Best Estimate. La marge de risque dun segment base sur le cot du capital est dtermine par la formule :
)0()5.0( modtflobSCRDurCoCCoCM
O CoCM est la marge base sur le cot du capital CoC est le cot du capital
)0(tflobSCR est le SCR actuel du segment hors risque de march et risque de contrepartie pour les drivs financiers.
modDur Durmod est la duration modifie du Best Estimate des provisions du segment (nette de
rassurance).
Elle est calcule par la formule suivante :
imod(flux probables futurs pour chaque anne)
Dur =Best estimate totale sur toutes les annes i
Reserve BE 2007 2008 2009 2010 2011 2012
BE F1 F2 F3 F4 F5 F6
Duration i
F (probabilis)
BEi
Pour dterminer)0(tflobSCR , il peut tre ncessaire de recalculer le SCR au titre du risque de
souscription en vie restreint au segment. Ce calcul peut tre simplifi en redistribuant les chargements au titre des sous-risques (mortalit, longvit, etc.) de lensemble du portefeuille aux segments proportionnellement aux mesures dexposition appropries. Les mesures dexposition suivantes peuvent tre prises en considration : - Mortalit - Longvit - Invalidit - Rachat - Frais - Rvision
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Le modle standard utilise la mthode du cot du capital pour calculer la marge de risque (MR) :
2 2MR 6% 0,5
0,25
passif
vie defaut vie defaut op
duration
SCR SCR SCR SCR SCR
On dtaille ensuite les SCR vie, dfaut, oprationnel. Les fonds propres dune compagnie dassurance contiennent encore le MCR.
4. MCR
Le MCR reprsente le niveau minimum de fonds propres en-dessous duquel l'intervention de l'autorit de contrle sera automatique. Le niveau du Minimum de Capital Requis sera fix une fois les tudes quantitatives dimpact ralises. Il doit tre calcul d'une manire plus simple et p lus robuste que le Capital Requis de Solvabilit (SCR), parce que le type d'intervention vis peut tre subordonn l'autorisation des tribunaux nationaux.
Le MCR correspond au minimum absolu de marge de solvabilit. Son calcul est en discussion : soit le calcul de marge actuel lgrement modifi, soit un ratio plus simple sur les provisions, soit encore, un calcul plus complexe dcoulant directement de lautre niveau de capital SCR et incluant une meilleure adquation aux risques. Il devrait tre calcul tous les trois mois, avec obligation den communiquer le rsultat lautorit de contrle. Il prsente un minimum absolu de 1 million d'euros pour les compagnies d'assurance non vie et de 2 millions d'euros pour les compagnies
d'assurance vie. (MCR < fonds propres de base). Nous ne nous intresserons pas au MCR dans notre tude car il ne se base pas sur le risque de mortalit.
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C. Le modle interne Log Poisson
a. Introduction
Laspect forfaitaire dun modle standard, labsence de prospective et le problme des diffrences
rglementaires dvaluation des provisions techniques dun pays lautre risquent de rendre lide de
lapplication dune solvabilit europenne compltement ingale et inapplicable en pratique, le modle
standard exclut plusieurs risques importants pour les compagnies dassurances. Donc, pour mieux
mettre en pratique, et pour mieux couvrir toute incertitude dommageable, un deuxime modle est
tabli par les compagnies dassurances :cest le modle interne dont lide de dpart est nanmoins
simple et pragmatique : la ralisation de modlisations personnalises et globales des portefeuilles
dassurances. 1) Quest ce quun modle interne ?
Un modle interne est un outil de simulation qui vise anticiper la ralisation dvnements futurs et leurs impacts, en particulier sur la solvabilit de la compagnie / du groupe tudi. Il sagit l dune modlisation non pas statique mais dynamique, voluant au mme rythme que la compagnie / le groupe tudi. Ce modle nest rien dautre quune traduction littrale et quantitative de la ralit dun ensemble de risques assurs, susceptible de tenir compte de la volatilit des phnomnes tudis. Lassurance doit utiliser les processus alatoires pour envisager une ralisation prospective des risques. Un modle interne satisfaisant est un modle utilisant les techniques stochastiques lactif et au passif : linterdpendance des aspects financiers avec les risques dassurance est telle que seule lutilisation conjointe de plusieurs modles stochastiques assurera une relle efficacit des modles internes. 2) Comment construire un modle interne ?
La construction dun modle interne, dont le but est de modliser lensemble de la compagnie, est par nature un projet transversal. Il est donc important que les intervenants des dpartements concerns soient impliqus, de manire ce que : chacun soit en mesure dapporter ses connaissances concernant le fonctionnement de la compagnie, les conditions de confiance en rsultats du modle soient runies. Le point le plus important considrer avant dentreprendre la cration dun modle interne est le fait que celui-ci ne constitue pas une couche supplmentaire sajoutant sans lien direct aux procdures et rapports existants de la compagnie. Le modle interne doit au contraire tre en cohrence parfaite avec lensemble des tudes produites pour pouvoir satisfaire le travail de la compagnie. Il doit ainsi sintgrer effectivement aux pratiques de risk management, aux tudes de rassurance, aux tudes de provisionnement et tre en cohrence avec les donnes comptables et le business plan.
Le but initial est dassurer une marge de risque adquate en prenant en compte les diffrents risques lis chaque compagnie. Le risque de mortalit est bien sr un risque trs important pour les compagnies dassurances vie et oblige les compagnies dassurances tudier ce risque de faon ne pas tomber dans des cas dommageables.
Proposer des modles ralistes et oprationnels a toujours t le but pour mesurer le risque systmatique associ aux tables de mortalit prospectives. Dans cette approche, il faudra, en toute rigueur, modliser les chocs sur les niveaux de mortalit futurs dautant plus que ceux-ci sont gnralement systmatiques et ne se mutualisent pas par leffet taille du portefeuille. Dans notre projet, nous travaillons sur lajustement de la mortalit par le modle de Log Poisson o nous estimons que le nombre de dcs suit une loi de Poisson.
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3) Comment et pourquoi un Modle interne pour la mortalit ? Les tables de mortalit sont un lment essentiel en actuariat puisque lgalement, le seul rle reconnu aux actuaires est prcisment la certification des tables. Mais de plus, historiquement, les tables de mortalit sont intressantes puisqu'elles ont permis aux actuaires de participer au dveloppement de la thorie des probabilits. Une table de mortalit (aussi appele table de survie) est une construction qui permet de suivre minutieusement le destin d'une population afin d'tudier le nombre de dcs, les probabilits de dcs ou de survie et l'esprance de vie selon l'ge, le sexe, le pays et lpoque laquelle vit une personne. Pour mieux tudier la mortalit, on a recours lajustement des tables de mortalit par un modle interne. Notre mmoire utilise lajustement de la mortalit par le modle de Log Poisson comme un modle interne de travail.
b. Modle du Log Poisson 1) Naissance du modle de Log Poisson
L'anticipation pertinente de l'volution de la mortalit dans les annes venir constitue un enjeu
important pour le dveloppement des rgimes de rentes et le suivi technique des rgimes de retraite.
Si les tables de mortalit prospectives sont devenues un outil incontournable sur ce sujet, la quasi-
totalit des modles proposs cherchent un moyen d'extrapoler les tendances passes dans le futur.
Avant dtudier le modle de Log poisson, nous prsenterons un rsum du modle de Lee Carter.
La modlisation propose par Lee Carter pour le taux instantan de mortalit est la suivante :
lnxtxt x x t
u k
Avec xtu taux instantan de mortalit la date t et lge x (pour plus de dtail voir Annexe2).
Or Lee Carter et son critre des moindres carrs (qui mne la dcomposition aux valeurs
singulires), est raisonnable mais certainement pas optimal.
Le principal dfaut du modle de Lee Carter rside dans l'hypothse d'homoscdasticit des erreurs
requise pour l'estimation par moindres carrs ordinaires. En effet, le logarithme du taux instantan de
mortalit observ est gnralement bien plus variable aux grands ges que chez les jeunes, tant
donn le faible nombre d'observations. Cest pourquoi des tudes ont suggr la modlisation du
nombre x,tD de dcs constats l'ge x durant l'anne t l'aide de la loi de Poisson et ceci par le
modle Log Poisson.
Log Poisson est un modle stochastique de mortalit qui considre que le taux de mortalit futur
xtu est lui-mme alatoire, et que donc
xtu est un processus stochastique (comme fonction de t x
fix). Lala est introduit de manire capturer lincertitude sur lestimation de la tendance future de la
composante temporelle des taux de mortalit.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Populationhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9shttp://fr.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%A9rance_de_vie
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2) Prsentation du modle La loi de Poisson est la loi des variables alatoires qui comptent le nombre d'occurrences d'un
vnement rare. Le domaine d'application de la loi de Poisson a t longtemps limit celui des
vnements rares comme les suicides d'enfants, les arrives de bateaux dans un port
L'effectif xD de dcs observ dans une anne donne suit une loi binomiale de paramtres n et xq
(n effectif de la population en vie en dbut d'anne et xq probabilit thorique de dcs durant
l'anne),n tant grand et xq petit ;donc cette loi binomiale est approxime par une loi de Poisson de
paramtre estim par xq n o reprsente le nombre moyen de dcs pour une anne
donne.
Log Poisson est bas sur le modle de Lee Carter en affirmant que le nombre de dcs suit une loi
de Poisson comme suivant :
( )xt xtD poisson O xt = xt xtL
( )xt xt xtD poisson L
xtL : dfinit le nombre observ de personnes dge x et dans lanne t ou bien le nombre de personnes soumises au risque de dcs lge x dans lanne t.
x t : Cest le taux de mortalit instantan dfini pour lge x linstant t.
xt x x t=exp( + k ) Reprsentons la figure de Ln(x) pour lanne 2005 pour quon puisse voir clairement la forme de alfa.
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Alfa
-10
-8
-6
-4
-2
0ge x
alfa
x : reprsente la composante spcifique lge x indpendante de temps t. Il dcrit le
comportement moyen des ln( )xtu au cours du temps.
Les alfas sont toujours ngatives car chaque alfa est un comportement moyen des ln( )xtu au cours
du temps or le x t est un taux, donc
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Beta
beta
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
beta estim
x : indique la sensibilit de la mortalit instantane par rapport lvolution gnrale de la
mortalit cest--dire lcart des x tln( ) par rapport tk x tln( )
x
t
d
dk
On vrifie que x t(ln( )) t
x
d dk
dt dt
Les ges x pour lesquels x est grand seront donc trs sensibles l'volution temporelle. Si
les tk sont (approximativement) linaires, les taux de mortalit x t prsentent une dcroissance
exponentielle un taux constant x t tx
d ln( ) d(k )=
dt dt
.
3) Estimation des paramtres par maximum de vraisemblance
Un grand avantage du modle Log Poisson est qu'il est ais d'en estimer les paramtres par la
mthode de maximum de vraisemblance. En notant xt le nombre attendu de dcs l'ge x durant
l'anne t, i.e.
xt xt xt xt xt x x t =E( D ) =E( L )=E(L exp( + k ))
Chaque , ,D (1 )i x t xtpoisson o i,x,tD est la variable alatoire qui tudie le comportement
dune personne dge x sil dcde ou non dans un temps t. Les i,x,tD sont iid (indpendant
identiquement distribus) car le dcs dune personne est indpendant des autres personnes.
Alors la vraisemblance maximum scrit :
1 2 n ki ,x,t i ,x,t i ,x,t i ,x,t
k
v(D ;D ;.....;D ;....)= v(D )
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O v est la fonction de distribution de chaque i,x,tD estime par la loi de Poisson ; donc la fonction
de maximum de vraisemblance sera :
max max
min min
xt
xt
t x
x x t
t x xt
xt
d exp(- )
v( , , )=(D )!
On cherche le log simplifiant au mieux notre travail et on remplace xt par sa formule ; on obtient
alors la fonction log-vraisemblance suivante :
max max
min min
t x
xt x x t xt x x t
t x
xmin xmax
ln v(),= (D ( + k )-L ( + k ))
=( ,....., )
Les estimations du maximum de vraisemblance des paramtres x , tk et x sont les valeurs de
ceux-ci qui maximisent x x tv( , , ) et qui rendent les statistiques de mortalit dont on dispose les
plus vraisemblables dans le modle.
Le terme x t k rend lestimation des paramtres irralisable par les logiciels commerciaux traitant de
la rgression de Poisson (qui ne couvre que les formules linaires). Pour notre travail, on a besoin
dutiliser un logiciel de lanalyse numrique qui assure notre rsultat de faon vraisemblable; cest la
mthode de NewtonRaphson multivarie. (Bien dtaille dans lannexe 4).
(Pour plus de dtail voir le livre de F. PLANCHET, V. LELIEUR)
Pour rendre le modle identifiable, on reprend les contraintes de Lee Carter :
xmax
x
xmin
=0 et tmax
t
tmin
k =1
Un passage par lapplication de Log Poisson partant des donnes initiales des tables nous donne une
fonction de vraisemblance qui sera rsolue par la mthode de Newton Raphson (comme on la dj
mentionn plus haut) applique la matrice constitue des x t o lge correspond aux lignes et t
correspond aux colonnes ; le but est de calculer la vraisemblance maximum c..d. le maximum
de x t pour un (x, t)donn.
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Aprs calcul des itrations associes aux x , x et tk ; on obtient pour chaque ge x des x et
x correspondantes pour un t donn et tk pour chaque t donn comme le montrent les figures
suivantes.
4) Mesure de la qualit du modle
Une fois le modle ajust, il est primordial den valuer la qualit, c..d. son habilet dcrire le
nombre de dcs touchant les individus observs.
Certains critres nous aideront valider la qualit de lajustement et des tests statistiques et nous
donneront, par une mesure globale des erreurs, la probabilit que la loi dajustement soit rejete,
cest--dire la probabilit que les carts ne soient pas dus au hasard : cest le test du khi2.
On calcule la dviation entre les dcs observs (par les donnes brutes) et les dcs thoriques
(par le modle de lissage employ, Log Poisson) pour chaque gnration et chaque classe dge .Le
calcul de la dviation (cart lindpendance entre les dcs observs et thoriques) pour un ge x
et une anne t seffectue par la formule suivante :
22
(x,t)
(D(x,t)-D(x,t)) =
D(x,t)
O D(x, t) reprsente le nombre de dcs observs (issus directement des taux bruts) lge x et
pour lanne t et D(x,t) reprsente les dcs thoriques par application de la mthode de lissage de
Log poisson.
La valeur globale de la dviation entre les dcs observs et thoriques est gale la somme de tous
les Chi-deux locaux:
22 2
t (x,t)
x x
(D(x,t)-D(x,t)) = =
D(x,t)
Ou on prend comme degr de libert (d.d .l.) maxx moins le nombre des paramtres estims.
Le test de Khi2 permet daccepter ou de rejeter le modle tudi par observation de 2
t et de
2 (ddl) thorique.
Si 2
t 2 (ddl) alors lhypothse dajustement est accepte (on est en H0).
Ou on suppose que H0 : le test est bon.
H1 : le test nest pas bon.
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5) Extrapolation aux grands ges ou fermetures des tables de mortalit
Les tables de mortalit calcules de manire classique sur la base des statistiques de dcs publies
annuellement et des estimations de population par ge chaque anne, souffrent dincohrences
quand il sagit des grands ges. Le problme est
