Mesure de débit

34

MESURE DE DÉBIT

I - INTRODUCTION

Un premier banc de mesure permet l'étude comparée de plusieurs dispositifs de mesure dedébit!: un tube de Venturi, un diaphragme, un coude et un rotamètre ou débimètre à flotteur(figure 1), qui seront étalonnés grâce à une mesure par pesée. Le but est de comparer lesdifférents dispositifs de mesure : linéarité, précision, sensibilité, facilité de fabrication etd'emploi, etc…

Un deuxième banc de mesure (figure 2) permet une étude plus détaillée du tube de Venturi.Un tube de Venturi est une conduite dont la section varie continûment. Dans la premièrepartie du tube, les sections vont en décroissant (zone convergente) ; dans la seconde partie lessections vont en augmentant (zone divergente). Un tube de Venturi est donc un "convergent-divergent" qui est souvent utilisé pour mesurer un débit par mesure d'une différence depression. Le principe de l'appareil est basé sur la loi de Bernoulli, valable dansl'approximation de fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité (préliminaire 1). Le dispositifpermet également d'étudier la perte de charge le long du dispositif de mesure qui existe car lefluide est toujours visqueux (fluide réel).

II - MANIPULATION DU BANC EXPERIMENTAL "DEBITMETRES"

Les deux bancs de mesures utilisent un multimanomètre qui comporte plusieurs tubesverticaux permettant ainsi de mesurer la pression à différents endroits d'une conduite par lamesure des hauteurs d'eau. Le multimanomètre n'est pas en liaison directe avec l'atmosphère :les hauts de tous les tubes débouchent dans un réservoir d'air commun muni d'une valvepermettant de faire une contre-pression réglable.

1. Dispositf expérimental

Le schéma (figure 1) montre les différents appareils placés dans l'ordre suivant (sens del'écoulement) :

- tube de Venturi : deux prises de pression sont situées l'une à l'amont (1), l'autre au coldu tube (2).

- divergent : deux prises de pression sont situées l'une à l'entrée (3), l'autre à la sortie(4), mais ne sont pas utilisées au cours de cette manipulation.

- diaphragme : Les deux prises de pression respectivement avant et après lediaphragme sont les prises (5) et (6). Le rayon de l'orifice est r = 10,5 mm, plus petitque le rayon de la conduite R = 25,5 mm.

- coude : la différence de pression dans le coude est obtenue à partir des prises (7) et (8).- rotamètre : une échelle graduée permet de mesurer le déplacement du flotteur.

Mesure de débit

35

2. Mode opératoire

Vérification de l'horizontalité

Vérifier l'horizontalité du tube et la verticalité du manomètre ; trois vis situées à la base del'installation permettent de faire ces réglages (si vous constater que l'horizontalité estmauvaise contacter l'enseignant avant de faire quoique ce soit).

Figure 1 : Disposition des différents débimètres sur le montage.

Réglage de la sensibilité

Afin d'obtenir la meilleure sensibilité, il faut faire en sorte qu'on puisse avoir un écartmaximum entre le niveau le plus haut et celui le plus bas. Pour ce faire, on procédera de lafaçon suivante :

• Avant la mise en route de la pompe, on remplira d'air le multimanomètre au maximumsans toutefois introduire d'air dans le banc d'étude. Pour cela ouvrir la valve A pour mettre leréservoir d'air à la pression atmosphérique et ouvrir la vanne aval. Refermer alors la valve Aet la vanne aval W.

• Mettre en marche la pompe (bouton-poussoir vert) et ouvrir la vanne amont : l'eau àl'intérieur du tube Venturi est alors sous pression mais sans débit (car la vanne aval W estfermée), ce qui se traduit par une remontée égale des niveaux d'eau dans les tous les tuyaux dumultimanomètre. Si ce n'est pas le cas, la différence est due à la présence de bulles d'air danscertains des tubes qu'il faut soigneusement et délicatement éliminer (attention à ne pas tropsolliciter les points de soudure des tuyaux à la conduite principale).

• Ouvrir progressivement la vanne aval W. En écoulement, les niveaux d'eau dans lesmanomètres ne sont alors plus les mêmes. Procéder alors de façon itérative pour exploitertoute la gamme utile du multimanomètre.:

i) Si le niveau le plus bas du multimanomètre est au zéro et si le niveau le plushaut n'est pas au maximum de l'échelle de mesure, réduire la pression de l'air en haut du

Mesure de débit

36

multimanomètre en ouvrant brièvement la valve ; les niveaux d'eau se déplacent alors tousvers le haut.

ii) Dans le cas contraire, augmenter légèrement le débit avec la vanne aval W.Réitérer les étapes (i) et (ii) jusqu'à ce que le niveau le plus haut et le niveau le plus basarrivent aux valeurs extrêmes de l'échelle de mesure.

• Une fois ce réglage fait, ne plus retoucher à la valve A pour tout le reste de lamanipulation.

3. Mesures et analyse des résultats

Mesurer pour différentes valeurs du débit (une dizaine entre 0 et le débit maximum):- toutes les hauteurs d'eau hi du multimanomètre (sauf la hauteur h4 correspondant à la

sortie du divergent),- la position l du flotteur du rotamètre,- le débit à l'aide de la balance.

On aura soin d'arrêter la pompe à la fin des mesures (bouton poussoir rouge).

Tracer les points expérimentaux sur 4 graphes différents:* q v exp

= f h1 - h2( ) pour le tube de Venturi,

* qv exp = f h5 - h6( ) pour le diaphragme,

* qv exp = f ( h7 - h8 ) pour le coude,

* qv exp = f(l) pour le rotamètre.

Pour le tube de Venturi et le diaphragme, tracer à l'aide des formules données en annexeles courbes théoriques sur le même graphe que les valeurs expérimentales correspondantes.

Tracer sur un autre graphique, les courbes Cq = f Re( ) du coefficient de débit du tube deVenturi et du diaphragme en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement Re = V d / n ,où d est le diamètre de la conduite, V la vitesse correspondante et n la viscosité cinématiquedu fluide (v = h/r, avec h viscosité dynamique et r masse volumique du fluide). Pour l'eau à20°C, h = 10-3 Pa.s et r = 103 kg/m3, donc n = 10-6 m2/s.

Tracer enfin les courbes e = f Re( ) du coefficient de perte de charge du tube de Venturiet du diaphragme en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement. Pour le débitmaximum, calculer la puissance dissipée Pf en Watt de chacun de ces deux dispositifs.

III - MANIPULATION DU BANC EXPERIMENTAL "VENTURI"

1. Dispositif expérimental

Le but de ce second dispositif expérimental est d'étudier plus en détail l'écoulement le longdu tube de Venturi. Le dispositif, schématisé sur la figure 2b, est similaire au banc"Débitmètre", avec un multimanomètre à 11 prises de pression le long du tube de Venturi. Lemode opératoire est identique à celui du dispositif expérimental "débitmètres".

Mesure de débit

37

a)

balance

réservoir d'eau

Vanneamont

Vanneaval

venturi

valve

multimanomètre

pompe

réservoir d'air

b)

25mm 16mm 89mm

16mm 26mm26mm

Figure 2 : a) Schéma d'ensemble du dispositif. b) Coupe détaillée du tube de Venturi.

2. Mesures et analyse des résultats

Relever toutes les hauteurs d'eau hi (i = 1 à 11) du multimanomètre pour un débitmaximum et pour un débit moyen que l'on mesurera.

Déterminer le profil de pression détaillé le long du tube : sur le graphe fourni (le demanderaux enseignants) qui représente la courbe d'équation

f (x) = S4

S1

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

-S4

S(x)Ê

Ë Á ˆ

¯

2

,

où S(x) est la section à l'abscisse x, reporter vos points expérimentaux correspondant à lacourbe

g(x) = h i(x) - h1 V4

2

2g

(i = 2 à 11)

Les abscisses x correspondant aux prises de pression i sont indiquées sur le tableau dugraphe fourni. Attention : Il y deux bancs de mesures qui ne sont pas identiques quant auxemplacements des prises de pression le long du tube. Référez-vous au tableau correspondant àvotre banc (notation prime ou non prime).

Commenter et discuter les résultats obtenus.

Mesure de débit

38

ANNEXE THÉORIQUE

1. Théorème de Bernoulli

a) Approximation de fluide parfait (sans viscosité)

Théorème de Bernoulli et conservation de la masseAvec les hypothèses d'un fluide parfait (viscosité nulle) et incompressible

(r = cte fi div VÆ

= 0 ), d'un écoulement stationnaire (indépendant du temps) etirrotationnel (rot

Æ

VÆ

= 0Æ

), et en considérant que la force de pesanteur dérive d'un potentiel

( FÆ

= -gradæ Æ æ

gz ), le théorème de Bernoulli (voir préliminaire 1), qui traduit la conservation del'énergie le long d'une ligne de courant (chaque terme est homogène à une énergie par unité devolume) :

p + rgz +r V 2

2= cte (1)

est valable en tout point du fluide. On dit que l'écoulement est à énergie constante.

Pour un écoulement dans une conduite de section S variable, en faisant l'hypothèsesupplémentaire qu'il y a une répartition uniforme des vitesses dans chaque section droite,c'est-à-dire que les lignes de courant sont rectilignes et parallèles (ce qui n'est pas tout à fait lecas dans les zones convergentes et divergentes) la conservation de la masse s'écrit :

qv = V1 S1 = Vi Si = cte , (2)

où Vi et Si sont respectivement les vitesses et sections dans les différentes sections i. Enconsidérant en plus que le dispositif est horizontal (z = cte), la relation de Bernoulli s'écrit :

p1 + rV1

2

2= pi + r

Vi2

2 (3)

b) Cas du fluide réel (prise en compte de la viscosité)

Théorème de Bernoulli généralisé

En conservant toutes les hypothèses précédentes sauf celle de fluide parfait, le théorème deBernoulli généralisé, qui n'est autre qu'un bilan de puissance (pour avoir des termeshomogènes à une puissance, il faut multiplier par un débit (q = VS) les termes du théorème deBernoulli, homogènes à une énergie par unité de volume), donne :

V1 S1 p1 + r V12

2Ê

Ë Á ˆ

¯ = Vn Sn pn + r Vn

2

2Ê

Ë Á ˆ

¯ + Pf (n = 2 à 11) (4)

où le terme supplémentaire introduit, Pf, représente la puissance dissipée due à la viscositédu fluide (Pf > 0). L'équation de conservation de la masse (2) reste valable.

Mesure de débit

39

2. Tube de Venturi

Utilisation du tube de Venturi en débitmètreLa combinaison des équations (2) et (3) en considérant la section correspondant au col du

Venturi (par exemple i = 4), donne :

p1 - p4 = r 42V

2 1 - S4

S1

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2È

Î Í

˘

˚ ˙ (5)

Or la différence de pression p1 - p4 est mesurée par la différence des hauteurs d'eau h1 eth4 lues dans les tubes 1 et 4 du multimanomètre différentiel : p1 - p4 = r g (h1 - h4 ) .

D'où la relation :

V4 = 2 g

1 - S4

S1

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2 h1 - h4 (6)

et par suite :

qVth = V4 S4 = S4

2 g

1 - S4

S1

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2 h1 - h4 (7)

Répartition détaillée des pressions le long du tube de Venturi

En introduisant les hauteurs d'eau hi, l'équation (3) s'écrit : h1 + V12

2 g = hi + Vi

2

2 g.

En divisant par V4 , il vient alors :

hi - h1

V42

2 g

=S4

S1

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

-S4

Si

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

(7)

Utilisation du tube de Venturi en débitmètreDans ces conditions, qv réel est plus petit que qv th et l'on pose :

Cq = qvré el

qvth

(9)

où Cq est un coefficient sans dimension appelé souvent coefficient de débit (Cq < 1), quiest fonction de la géométrie du tube et du nombre de Reynolds Re de l'écoulement.

Perte de charge due au tube de VenturiAppliquons l'équation (4) en amont et et aval du tube de Venturi, par exemple entre les

sections 1 et 11 où l'on a S1 = S1 1 , c'est-à-dire V1 = V1 1(par conservation du débit) ; il vient :

p1 - p1 1 = Pf

V1 S1 =

Pf

qv

Soit encore :

Mesure de débit

40

h1 - h1 1 = Pf

r g qv

On pose habituellement :

Pf

qv

= erV1

2

2 (10)

soit :

h 1 - h1 1 = e V12

2 g (11)

où e est un nombre sans dimension, appelé souvent coefficient de perte de charge, qui estfonction de la géométrie du tube de Venturi et du nombre de Reynolds Re.

3. Diaphragme en paroi mince

Un diaphragme placé dans un conduit crée une perte de charge importante. Cependant, sila section de mesure aval (6) est située à proximité (environ un diamètre) du diaphragme(figure 3) la perte de charge entre les sections amont (5) et aval (6) reste faible. La différencede pression entre les sections 5 et 6 est reliée au débit. L'expérience montre en effet que lapression est constante non seulement à l'intérieur du jet, mais aussi sur tout le reste de lasection.

A

B

C

D

5 6

Figure 3 : Lignes de courant au voisinage du diaphragme.

a) Profils des vitesses dans les sections de mesure (figure 3)- section amont (5) : A l'amont, si la section est située assez loin du diaphragme pour

que l'écoulement n'y soit pas encore perturbé (environ un diamètre), le profil des vitesses estcelui d'un écoulement permanent en conduit. Si l'écoulement est laminaire, le profil estparabolique, si l'écoulement est turbulent, le profil est sensiblement plat.

- section aval (6) : L'écoulement à l'aval est celui d'un jet noyé. Donc, si la section demesure est à une distance d'environ un diamètre, les vitesses sont uniformes dans toute lasection du jet.

b) Calcul du débitLe théorème de Bernoulli non généralisé implique que la vitesse soit uniforme dans les

deux sections de mesure (voir préliminaire "tube de Pitot"). Lorsqu'il n'en est pas ainsi, onpeut appliquer le théorème de Bernoulli généralisé sur une surface fermée S ; alors, dans unécoulement permanent, s'il n'y a aucune puissance fournie ou reçue à l'intérieur d'un volumede contrôle, nous avons :

p + r g h + r V2

2Ê

Ë Á ˆ

¯ SÚ Vn dS = 0

Appliquons cette formule à la surface fermée représentée sur la figure 2 et limitée par lecontour ABCD comprenant la section amont (5), les lignes de courant limitant le jet : AC et

Mesure de débit

41

BD, et la section du jet CD située dans la section de mesure (6). Le long des surfaces latéralesil n'y a aucun débit et il vient donc :

pg + r V2

2Ê

Ë Á ˆ

¯ S5Ú Vn dS = pg + r V 2

2Ê

Ë Á ˆ

¯ CDÚ Vn dS

où pg = p + rgh est la pression motrice.Dans les deux sections (5) et (6) la vitesse est parallèle à la direction du tube, ce qui

entraîne pg = Cte sur chacune des sections et nous obtenons alors :

pg5 + a5 r V5

2

2 = pg6

+ a6 r V62

2où V5 et V 6 sont les vitesses moyennes dans les sections et où a5 et a 6 sont des

coefficients numériques dépendant uniquement de la loi de répartition des vitesses. Dans lecas d'un écoulement turbulent pleinement développé (section 5) a5 = 1,02 ; dans le cas del'écoulement uniforme (section 6) a6 = 1. En reportant on obtient :

pg5 - pg6

r g = h5 - h6 = a5 V5

2

2 g a6

a 5 V6

V5

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

- 1È

Î Í

˘

˚ ˙

Par ailleurs, la conservation du volume s'écrit :qv = S5 V5 = s V6 = Cc SD V6

où Cc = sSD

, s est l'aire du jet et SD l'aire du diaphragme.

L'expérience montre en effet qu'au passage du diaphragme, le jet se contracte et ques < S D . Le coefficient de contraction Cc dépend du rapport r/R des rayons du diaphragmeet du conduit, ainsi que du nombre de Reynolds de l'écoulement et de la qualité du biseau.Cependant, on peut, en première approximation, supposer qu'il ne dépend que du rapport r/R.Les valeurs suivantes sont alors suffisantes pour déterminer Cc (tableau 1). Ces valeurs,données ici dans le cas d'un canal de section rectangulaire, sont pratiquement identiques pourune section circulaire.

Tableau 1 : Valeurs de CC, d'après "Theory of jets in ideal fluids", M.I. Gurevich.

En reportant Cc dans la relation précédente, on obtient :

h5 - h6 = a 5 V52

2ga6

a 5

S5

SD

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

21

Cc2 - 1

È

Î Í

˘

˚ ˙

et en éliminant V5 :

h5 - h6 = a5 q v 2

2g S52

a6

a5

S5

SD

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

21

Cc2 - 1

È

Î Í

˘

˚ ˙

qv th = S5

a 5a6

a5

S5

SD

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

21

Cc2 - 1

È

Î Í

˘

˚ ˙

2g(h5 - h6)

r/R 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9Cc 0,611 0,611 0,616 0,622 0,633 0,644 0,662 0,687 0,722 0,781

Mesure de débit

42

4. Coude

Deux prises de pression placées à l'amont (7) et à l'aval (8) du coude permettent demesurer la chute de pression en écoulement réel dans le coude. Les sections S7 et S8 ont lesmêmes valeurs et la relation entre la chute de pression et la vitesse est de la forme :

pg 7 - pg 8

= K 1 V2 fi qv = K h7 - h8

5. Rotamètre

Le rotamètre est constitué d'un flotteur pouvant se déplacer dans un tube verticaltransparent dont le diamètre est légèrement croissant (figure 4). Le déplacement du flotteurest sensiblement proportionnel au débit. Cependant, la théorie qui va suivre est très simplifiéeet un rotamètre nécessite normalement un étalonnage.

rfd

d

q

l

Figure 4 : sections transverse et longitudinale du rotamètre.

Le rotamètre peut être assimilé à un convergent suivi d'un divergent ou plutôt unélargissement brusque. Dans cette configuration, le théorème des quantités de mouvementconduit à la formule de Borda-Carnot :

DH = 12g

VA - VB( )2

où VA est la vitesse dans la section minimale et VB la vitesse après l'élargissement.Lorsque le flotteur est immobile, son poids est équilibré par la chute de pression dans le

rotamètre. Le poids du flotteur étant constant, la perte de charge l'est également :DH = 1

2gVA - VB( )2 = cte

Nous exprimons d'abord la conservation de la masse : qv = VA SA = VB SB , avec :SA ª 2p rf d .

SB = SA + p rf2 = p rf + d( )2

où rf est le rayon du flotteur et d l'espace supposé petit entre le tuyau et le bord extérieurdu flotteur.

Mesure de débit

43

VA - VB = qv1

SA - 1

SB

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ = qv

SB - SA

SA SB

où SB - SA = p rf2 et SA SB = 2p rf d p rf

2 + 2p rf d( ) ª p rf2. 2p rf d , d'où :

DH = 12g

q v

2p rf d

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

= cte

Par suite, qv = cte d . On voit donc que qv est proportionnel à d . Si l est la distance duflotteur à la position 0 et si q est l'angle du tuyau tronconique, on a d ª l q et qv estproportionnel à l en 1ère approximation.

Par ailleurs, le rotamètre devant fonctionner en position verticale, on peut considérer que laperte de charge introduite dans une installation par le rotamètre est constituée par celle ducoude et de l'appareil lui-même. Les prises de pression (8) et (9) permettent en principe demesurer cette perte.