XXIe Olympiades de Physique

Mesure de la Terre

Jules BazinFlorent Bonzon

Habibatou DialloSolenn Sarton

Lycée Jean Monnet – Annemasse

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Table des matières

INTRODUCTION.....................................................................................3

I. COMMENT MESURER LA TERRE ?.........................................................3

1. La méthode d'Ératosthène..................................................................................32. Comment mesurer une différence de latitude ?................................................4

a) Détermination de la latitude d'un lieu....................................................................................4

b) Utilisation du sextant..............................................................................................................5

3. Comment mesurer une grande longueur à la surface de la Terre ?................7a) Une relation de trigonométrie................................................................................................7b) Méthode de la triangulation...................................................................................................8

c) Utilisation du théodolite.........................................................................................................9

II. MESURES ET CALCULS........................................................................10

1. Les observations de latitude aux extrémités de la triangulation...................102. La triangulation.................................................................................................12

a) Longueur de la base.............................................................................................................12b) Premier triangle Andilly A – Andilly M – Salève.................................................................14

c) Orientation du côté Andilly A – Salève.................................................................................15d) La chaîne de triangles jusqu'à la Croix du Nivolet..............................................................15

3. Calcul du rayon de la Terre..............................................................................21

III. PRÉCISION DE NOTRE RÉSULTAT......................................................21

1. Les différentes erreurs de mesure....................................................................21a) Une erreur sur la différence de latitude...............................................................................21

b) Une erreur sur la mesure de la base....................................................................................23c) Une erreur sur les mesures des angles du premier triangle.................................................23

d) Un erreur sur l'orientation de la chaîne...............................................................................23e) Une erreur sur tous les angles de la triangulation...............................................................23

2. Récapitulatif et possibilités d'amélioration.....................................................24

CONCLUSION.......................................................................................24

2

INTRODUCTION

Pendant notre année de seconde, un groupe d'élèves qui participait aux Olympiades 2012/13est venu faire une répétition de la présentation orale de son projet dans notre classe. Leur but étaitde déterminer la durée des saisons en utilisant un sextant. Nous n'avons pas tout compris mais celanous a donné envie, à nous aussi, d'y participer et de nous engager dans un projet. Pendant cettemême année de seconde, nous avons étudié la mesure du rayon terrestre par Ératosthène, un savantdu IIIe siècle avant notre ère de l'Ecole d'Alexandrie en Egypte. Serions nous capables, nous ausside mesurer la Terre ? C'est le défi que nous nous sommes donné. Le professeur qui a bien voulunous encadrer, nous a fourni une règle de 2m (ou plus précisément une mire de géométre), unsextant et un théodolite en nous disant : « avec cela, vous devriez y arriver ! » Le défi s'est corsé :mesurer la Terre avec une règle de 2m, cela semblait impossible !

Dans notre travail, nous allons commencer par exposer les différentes mesures à effectuer :mesures de latitudes et mesures de distances. Nous allons ensuite montrer comment se servir dusextant (en nous aidant du travail effectué par nos camarades de l'année dernière) et du théodolite.Nous verrons en quoi consiste une triangulation géodésique : comment la mesure d'une grandedistance peut être remplacée par la mesure d'une petite distance et d'une multitude d'angles. Nousentrerons ensuite dans le vif du sujet : réaliser la triangulation sur une distance de 50 km ! Trouverles points à viser, aller de l'un à l'autre, effectuer l'ensemble des mesures, puis construire la chaînede triangles en utilisant le logiciel GeoGebra. Dans la dernière partie, nous chercherons àdéterminer la précision de notre mesure et nous réfléchirons à ce qu'il aurait fallu faire pourl'améliorer.

Nous remercions chaleureusement Philippe Merlin, astronome à l'Observatoire de Lyon, quia accepté de nous conseiller et de relire notre mémoire. Il nous a aidé à maîtriser notre sujet et àcorriger toutes les erreurs et ambiguïtés disséminées dans notre texte. S'il reste des erreurs ou desimprécisions, ce n'est certes pas de sa faute !

I. COMMENT MESURER LA TERRE ?

1. La méthode d'Ératosthène

Figure 1 : La mesure de la Terre selon Ératosthène

Ératosthène est un savant du IIIe siècle avant J.-C., vivant à Alexandrie en Égypte. Il estconnu pour avoir donné la première estimation précise du rayon de la Terre. Il sait qu'à Syène(aujourd'hui Assouan en Égypte), les puits sont éclairés jusqu'au fond sans ombre le jour du solstice

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α

Terre

Axe de rotation

équateur

rayons parallèles du Soleil

Syène

Alexandrie

α

d'été à midi (cela se produit sur une bande de latitudes de 300 stades de large, centrée sur Syène).Le Soleil y passe donc exactement à la verticale du lieu. Au même moment à Alexandrie, villesituée à peu près sur le même méridien mais plus au nord, l'ombre d'un objet vertical indique que leSoleil n'est déjà plus au zénith. La longueur de l'ombre permet de calculer l'angle α que fait ladirection du Soleil avec la verticale à Alexandrie. Ératosthène trouve 1/50e de cercle. En raison desangles alternes-internes (Figure 1), l'angle calculé est également l'angle que font les rayonsrejoignant les deux villes au centre de la Terre.

La distance Alexandrie-Syène est estimée à 5 000 stades à partir du temps de marche descaravanes ralliant les deux villes. La circonférence de la Terre étant 50 fois plus grande, Ératosthèneobtient la valeur de 250 000 stades. Le résultat est ensuite augmenté à 252 000 stades, pourpermettre une division facile par 60 (Ératosthène utilise en effet une division du cercle ensoixantième, les degrés et l'écriture décimale n'ayant pas encore été inventés). La valeur du stadeégyptien généralement adoptée est : 1 stade = 157,50m. La circonférence mesurée par Ératosthèneest donc de 39 690 km (valeur actuelle 40 000 km). Pour avoir le rayon, il suffit de diviser par 2π,soit 6317 km (valeur actuelle 6371 km). Malgré la méthode rudimentaire, le résultat est donc trèsproche de la valeur moderne.

Conclusion : pour calculer le rayon de la Terre, il faut effectuer deux sortes de mesures trèsdifférentes :

• Mesure de l'angle entre les rayons rejoignant les deux villes au centre de la Terre. Cet anglecorrespond à leur différence de latitude.

• Mesure de la distance séparant les deux villes.

2. Comment mesurer une différence de latitude ?

Il existe de nombreuses méthodes pour déterminer la latitude d'un lieu, utilisant soit leSoleil, soit les étoiles. Puisque nous disposons d'un sextant, nous exposons une méthode utilisant lahauteur du Soleil lorsqu'il culmine (passage au méridien, lors du midi solaire).

a) Détermination de la latitude d'un lieu

Figure 2 : Relation entre la hauteur h du Soleil, sa déclinaison δ et la latitude φ du lieud'observation A.

La latitude φ d'un lieu terrestre est l'angle entre la verticale du lieu et le plan de l'équateur.Lorsque le Soleil passe au sud dans l'hémisphère nord (lorsqu'il culmine), sa position dans le cielpeut être repérée par deux angles différents :

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Axe de rotation

Rayons solaires

δ

h

équateur

verti

calehorizon

φ

φ - δ

O

A

• Sa hauteur h au-dessus de l'horizon : angle entre la direction du Soleil et le plan horizontal.Si on tend un bras vers l'horizon et le deuxième vers le Soleil, la hauteur h du Soleil estdonnée par l'angle formé par les deux bras. La hauteur h du Soleil vaut 0° lorsque le Soleil est à l'horizon (au moment de son lever et deson coucher) et croît jusqu'au passage au méridien. Elle vaut 90° si le Soleil passe au zénithdu lieu (ce qui n'arrive jamais sous nos latitudes).

• Sa déclinaison δ au-dessus de l'équateur céleste : angle entre la direction du Soleil et le plande l'équateur. δ varie de -23,43° (solstice d'hiver) à +23,43° (solstice d'été). Les astronomespeuvent calculer sa valeur pour n'importe quel moment de l'année. Ces angles h et δ varient selon des échelles de temps différentes. La hauteur h varie au cours

de la journée, en fonction de la rotation journalière de la Terre. La déclinaison δ varie au cours del'année, en fonction de la révolution de la Terre autour du Soleil.

Sur la figure 2, on voit que : 90=ϕ−δ+h et donc : ϕ=90+δ−h .

Si on mesure h et si on connaît la déclinaison δ, alors on peut calculer la latitude φ.

b) Utilisation du sextant

Avant le GPS, le sextant était l'instrument utilisé par les marins pour mesurer des angles afinde faire le point en mer (détermination de leur position, en particulier la latitude). Il estspécialement adapté pour mesurer la hauteur du Soleil. Il permet aussi de mesurer des angles entredeux étoiles ou entre deux repères près d'une côte.

Figure 3 : Les différentes parties d'un sextant

En mer, pour une mesure de hauteur, le marin tient le sextant verticalement à la main etdirige la lunette vers l'horizon (surface de l'océan ou loin). C'est la vision directe. Il règle l'alidadepour incliner plus ou moins le grand miroir afin d'amener le Soleil vu au moyen du grand miroirdans la lunette. L'alidade est bien positionnée lorsque les rayons du soleil se reflètent tout d'abordsur le grand miroir, puis sur le petit et enfin entrent dans la lunette parallèlement à l'horizon. Une vismicrométrique permet de faire des réglages fins. Si le Soleil a une hauteur h, l'observateur a tourné

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Lunette

Grand miroir

Petit miroir

Filtres colorés

Vis micrométrique

Alidade

Limbe

l'alidade d'un angle égal à h/2 (Figure 4). Pour éviter de devoir faire la multiplication par deux,l'échelle de la graduation du limbe est déjà doublée (les degrés gravés sur le limbe sont en réalitédes demi-degrés). C'est pourquoi le limbe est gradué de 0 à 120° bien qu'il ne fasse qu'un sixièmede cercle (60°).

Figure 4 : Fonctionnement d'un sextant. Le petit miroir m et la lunette sont fixes. Le grand miroir Mtourne au moyen de l'alidade.

A Annemasse, nous ne disposons pas de l'océan ! La méthode consiste à utiliser le reflet duSoleil sur la surface de l'eau contenue dans un petit récipient et qui donne une référence horizontale.A travers la lunette, on observe le reflet du Soleil dans l'eau. Puis on ajuste l'alidade pour aussiobserver le Soleil direct. La mesure est effectuée lorsqu'on superpose les deux images du Soleil. Decette manière, on trouve le double de la hauteur du soleil. Il suffit alors de diviser l'angle obtenu pardeux pour trouver la valeur cherchée.

Figure 5 : Mesure du double de la hauteur du Soleil grâce au reflet des rayons dans un récipientrempli d'eau.

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L'alidade est mal positionnée

horizon

hM

m

horizon

A B

Climbe avec graduation

lunette

alidade

Soleil

horizon

h

h/2

M

m

horizon

A B

Climbe

lunette

alidade

Soleil

L'alidade est bien positionnée

Soleil reflété dans l'eau

Soleil direct

2h

Figure 6 : En pointant la lunette du sextant vers le Soleil reflété dans le récipient rempli d'eau, onmesure un angle égal à 2h.

Figure 7 : Ce que l'on voit dans un sextant. Grâce à la vis micrométrique, on arrive à superposerparfaitement les deux images.

3. Comment mesurer une grande longueur à la surface de la Terre ?

Mesurer une grande distance à la surface de la Terre n'est pas une technique facile. On utilisela méthode dite de la « triangulation ». Elle consiste à remplacer la mesure directe d'une grandedistance par la mesure d'une petite distance et par la mesure d'une série d'angles, permettant deconstruire des triangles où toutes les quantités peuvent être connues. Ces mesures sont aisémentréalisables avec un théodolite.

a) Une relation de trigonométrie

Toute la triangulation repose sur le principe suivant : si l'on connaît la longueur d'un descôtés du triangle et deux angles, alors les longueurs des deux autres côtés peuvent être calculées.

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Image du Soleil reflété dans le récipient rempli d'eau

Image du Soleil réfléchi par les deux miroirs du sextant.

2hM

m

horizon

limbe

alidade

lunette

Soleil

horizon

h

h h

Soleil

Figure 8 : Le principe de la triangulation. En rouge, les quantités connues. En noir, les quantitésque l'on peut calculer.

Dans le triangle ci-dessus, on suppose que l'on connaît la longueur c et les angles α et β.Dans les triangles quelconques, la relation suivante est toujours vérifiée :

asin α

=b

sin β=

csin γ

On a donc : a=c×sin α

sinγ et b=

c×sin β

sin γ

Or γ=180−(α+ β) puisque la somme des trois angles d'un triangle fait 180°.

De plus : sin(180−(α+ β))=sin(α+ β)

Finalement : a=c×sinα

sin(α+ β)et b=

c×sinβ

sin (α+ β).

Si on connaît c, α et β, alors on peut calculer les longueurs a et b.

b) Méthode de la triangulation

La triangulation consiste à appliquer sur une grande échelle la propriété que l'on vientd'établir. C'est la technique qui a été employée au XVIIe et au XVIIIe siècles pour la mesure desdegrés du méridien terrestre. Plusieurs mesures se succèdent :

• On commence par la mesure de la longueur de la base de départ. Sur la figure suivante, labase est AC.

• On construit de proche en proche une chaîne de triangles pour relier le point de départ A aupoint d'arrivée B. Sur le terrain, les sommets des triangles doivent être des repères bienmarqués et repérables (antennes, arbre, croix, etc.). Ils doivent être visibles entre eux, pourpermettre la mesure des trois angles des triangles.

• La chaîne de triangles doit être orientée par rapport au méridien. On mesure l'azimut Az du premier côté.

La mesure de la base de départ et de tous les angles permet, grâce à la trigonométrie, decalculer de proche en proche la longueur de tous les côtés des triangles. On peut aussi se servir, plusfacilement, d'un logiciel de construction géométrique GeoGebra. Grâce à l'orientation du réseau detriangles, on peut alors connaître la distance AB le long du méridien.

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cb α

βγa

Figure 9 : La chaîne de triangles.

c) Utilisation du théodolite

Nous utilisons un théodolite optique des années 1970, acheté par notre professeur à ungéomètre à la retraite.

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A

G

C

D

E

F

baseAz

B

Cadran des mesures

Réglage de la netteté

Réglage de la hauteur

Lunette

Réglage du zéro de l'azimut

Réglage fin de la hauteur

Réglage de l'azimut

Figure 10 : Les différentes parties d'un théodolite.

Pour réaliser une mesure angulaire à l'aide d'un théodolite, plusieurs opérations sont nécessaires :• Premièrement, la mise en station. On place le théodolite au point à partir duquel on veut

faire la mesure. On règle les trois pieds du théodolite pour avoir une horizontalitéapproximative, puis on utilise le niveau à bulle. Trois vis permettent un réglage fin. Onparfait l'horizontalité en plaçant successivement le niveau à bulle dans deux directionsperpendiculaires.

• Deuxièmement, le réglage du 0 des azimuts sur le point origine de nos mesures. Dans leviseur, on cherche d'abord le 0 des azimuts, la lunette pointe alors un point quelconque del'horizon. On «déverrouille» le théodolite, ce qui lui permet de tourner tout en restant sur laposition 0 et on vise un des sommets du triangle. En verrouillant à nouveau le théodolite,celui-ci est prêt pour les mesures.

• Troisièmement, la mesure proprement dite. On vise un deuxième sommet du triangle, entournant vers la droite (sens horaire en regardant le théodolite par au-dessus), pour avoir desangles qui varient de 0 à 400 grad.

• Quatrièmement, la lecture de la mesure, qui se fait dans un petit viseur éclairé par la lumièrenaturelle.

II. MESURES ET CALCULS

1. Les observations de latitude aux extrémités de la triangulation

Nous avons mesuré la hauteur du Soleil au midi solaire (passage au méridien) aux deuxextrémités de la triangulation : à Andilly A, le mercredi 4 septembre à 11h35min TU (tempsuniversel : temps de la montre moins 2 heures en été et 1 heure en hiver), et à la Croix du Nivolet, lesamedi 14 septembre à 11h32min TU. Les horaires précis des passages au méridien nous ont été

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Réglage fin de l'azimut

Niveau à bulle

Lunette

Miroir réfléchissant pour éclairer le cadran

des mesures

Réglage du niveau

donné par le site de l'IMCCE (Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides. Pour en déduire la latitude des deux lieux, nous devons connaître la déclinaison du Soleil

aux instants des mesures. Le site de l'IMCCE a mis en ligne sur son site internet un générateurd'éphémérides appelé « Ephémérides générales de position des corps du système solaire » quicalcule la déclinaison du Soleil pour toute date :http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php.

La procédure est la suivante :

• Choix du corps :

• Choix du type d'éphémérides : La déclinaison du Soleil dépend de nombreux phénomènesperturbateurs. Le type « moyenne de la date » donne la déclinaison moyenne du Soleil aumoment de la date, sans tenir compte de très faibles perturbations.

• Époque des calculs : il faut indiquer la date et l'heure TU.

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On obtient dans une autre fenêtre, parmi d'autres grandeurs, la valeur de la déclinaison duSoleil au moment demandé.

Aux deux instants des mesures au sextant, nous trouvons :• Andilly A : 4 septembre à 11h 35min (TU) : δA = 7° 1' 13'' = 7,020°• Croix du Nivolet : 14 septembre à 11h 32min (TU) : δN = 3° 14' 42'' = 3,245

Dans le tableau suivant, nous résumons l'ensemble des mesures et des calculs. La hauteur duSoleil au-dessus de l'horizon correspond à la moitié de la valeur mesurée au sextant. La latitude estcalculée par la formule : ϕ=90−h+δ .

La différence de latitude entre Andilly A et la Croix du Nivolet est donc égale à : 0,475°.Notre triangulation s'étend donc sur 1/2° environ de méridien.

2. La triangulation

Dans son principe, la méthode de la triangulation est assez simple. En pratique, elle est plusdélicate. Il faut trouver un terrain horizontal pour la mesure de la base, puis trouver des repèresvisibles entre eux de proche en proche pour former les différents triangles.

a) Longueur de la base

La première opération consiste à déterminer la longueur de la base de départ entre un pointA (Andilly A) et un point M (Andilly M). Le point M est situé sur un petit monticule (réservoird'eau), ce qui nous permet de nous positionner pour que la ligne AM soit pratiquement horizontale.Le théodolite est placé au point A et une mire de géomètre de 2,5 m de haut au point M. La règlepossède un niveau à bulle pour qu'elle soit positionnée bien verticalement. Nous effectuons deuxmesures (Figure 12) :

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Valeur de la déclinaison du Soleil

LieuxMesure sextant Hauteur du Soleil h

° ' ° ° °

101 49 50,908 7,02 46,112

95 13 47,608 3,245 45,637

Différence de latitude (°) 0,475

Déclinaison du Soleil δ Latitude φ

Andilly

Nivolet

• L'angle β1 entre la verticale et le point M : β1=100,06 grad

• L'angle β2 entre la verticale et le point N, situé 1,90 m au-dessus du point M :β2=99,50 grad . La distance MN est la première distance connue. C'est celle qui va nous

permettre de déterminer toutes les autres. Pour qu'elle soit la plus grande possible, N estchoisi le plus haut possible.

Figure 11 : Positionnement de la règle au point Andilly M.

Figure 12 : Mesure de la distance de la base de départ. Le point A est Andilly A et le point M,Andilly M. Le point N, un point de la mire, situé à 1,90 m au-dessus de M.

Grâce à nos deux mesures, nous pouvons connaître l'angle α :

α=β1−β2=100,06−99,50=0,56 grad soit α=0,56×180200

=0,504 °

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mir

e ve

rtic

ale

α = 0,56 grdAM

N

Base de départ : Andilly A – Andilly M

1,90

m

β 1 = 100,06

grd

β 2 = 99,50

grd

Second point visé (N)

Premier point visé (M)

M

La mire vue à travers la lunette du théodolite

En utilisant la trigonométrie, on peut calculer la distance AM :

tan α=MNAM

donc AM =MNtan α

=1,90

tan 0,504=216 m

b) Premier triangle Andilly A – Andilly M – Salève

A partir de la base Andilly A – Andilly M, nous mesurons et construisons un premier triangleen visant le Salève, qui possède un petit monticule servant de point de repère. Les points A (AndillyA) et M (Andilly M) ont été choisis à côté de repères restant à demeure : un piquet indiquant unterrain d'aéromodélisme pour le point A et un panneau photovoltaïque pour le point M. Ils peuventêtre visés depuis le Salève sans avoir besoin de laisser l'un d'entre nous pour tenir lieu de point derepère.

Figure 13 : Visée du Salève depuis Andilly A. Le panneau nous servira ensuite de repère pour lavisée depuis le Salève.

Figure 14 : Premier triangle

Nos mesures des trois angles du triangles sont les suivantes :

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Andilly A

Andilly M

α = 137,64°

β = 41,03° Salèveγ = 1,305°

a

bc = 216 m

Mesure effectuée depuis Angle (en grad) Angle (en °)

Andilly A 152,935 137,642

Andilly M 45,59 41,031

Salève 1,45 1,305

En additionnant les trois angles du triangles, nous obtenons 179,978°. Comme la sommedevrait être égale à 180°, nous avons commis une erreur de 0,022°. Nous discuterons desimprécisions de mesure et de leurs conséquences dans la troisième partie.

Pour construire le premier triangle, nous savons que la distance Andilly A – Andilly M est de216 m et nous calculons la longueur du côté Andilly A – Salève :

b=c×sinβ

sin (γ)=

216×sin 41,03sin 1,305

=6226 m=6,226 km

c) Orientation du côté Andilly A – Salève

Orienter la chaîne de triangles consiste à orienter l'un des côtés par rapport au sud. Nousorientons le côté Andilly A – Salève. Pour trouver la direction du sud, nous nous servons du Soleil.Sur le site de l'IMCCE, nous trouvons que pour notre lieu de mesure, le Soleil passe au sud à 11h 34min 47s le 4 septembre 2013 (l'horaire ne tient pas compte des deux heures d'été).

Pour avoir un horaire précis, nous avons réglé notre montre sur le site de l'horloge parlante.Le 0 des azimuts étant sur le Salève, nous avons visé le Soleil à l'heure dite, bien sûr sans regarderdans la lunette. Pour nous assurer de la bonne position de la lunette, nous avons fait l'image duSoleil sur une feuille de papier.

Nous avons trouvé que l'angle entre la direction Andilly A – Salève et la direction du sud estde 98,05 grad = 88,3°.

Figure 15 : Image du Soleil sur une feuille de papier.

d) La chaîne de triangles jusqu'à la Croix du Nivolet

• La chaîne

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A partir de Andilly A et du Salève, nous construisons une chaîne de triangles qui nous amènejusqu'à la Croix du Nivolet.

Figure 16 : La chaîne de triangles. La carte et le tracé ont été effectués sur le site géoportail :http://www.geoportail.gouv.fr/accueil

• Exemples de points visés

Les points visés doivent avoir des repères bien marqués : antenne (Chaumont), pilonne detélésiège (Semnoz), table d'orientation (Clergeon), croix (Croix du Nivolet). La lunette duthéodolite, qui a une agrandissement de 30, permet de faire des visées précises.

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Figure 17 : Exemples de points de repère visés.

• Les mesures :

Il s'agit de mesurer tous les angles des triangles. Depuis un lieu de mesure (par exemple leSalève), nous réglons le 0 des azimuts sur un des points à viser (le Semnoz). Puis nous mesurons lesangles en tournant vers la droite et en visant successivement les différents points (Chaumont etAndilly A). Pour obtenir les angles des différents triangles, il suffit de faire la soustraction desvaleurs obtenues.

L'antenne de Chaumont constitue un point qui peut être facilement visé. Malheureusement,elle émerge d'une forêt. Depuis Chaumont, il n'a donc pas été possible de viser les autres sommetsdes triangles (il aurait fallu avoir l'autorisation de grimper sur l'échelle de l'antenne et caler lethéodolite). Nous l'avons quand même conservée comme repère car nous n'avons pas trouvé unautre point qui aurait pu la remplacer avantageusement.

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Antenne de Chaumont Croix du Nivolet

Croix du Nivolet vue à travers la lunette du théodolite

Lieu de mesure Repère visé Azimut (grd) Azimut (°)

Andilly ASalève 0 0

Chaumont 144,725 130,253

Salève

Semnoz 0 0

Chaumont 65,78 59,202

Andilly A 98,56 88,704

Semnoz

Croix du Nivolet 0 0

Clergeon 90,59 81,531

Chaumont 143,16 128,844

Salève 172,33 155,097

Clergeon

Chaumont 0 0

Semnoz 99,16 89,244

Croix Nivolet 161,94 145,7462

Croix du NivoletClergeon 0 0

Semnoz 46,61 41,949

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SalèveAndilly A

Croix du Nivolet

Chaumont

Semnoz

Clergeon

Az = 88,3°

B

29,502°

130,253°

59,202°

26,253°

47,313°

81,531°

89,244°

56,502°

41,949°

La figure ci-contre (qui n'est pas à l'échelle) montre les différents angles des triangles déduits de nos mesures.

Nous n'avons pas pu effectuer de mesures depuis Chaumont (Antenne).

• Calcul de la distance

Pour calculer la longueur de tous les côtés des triangles, nous n'avons pas utilisé latrigonométrie mais le logiciel Géogebra, qui permet de faire des constructions géométriquesexactes. Nous avons procédé en plusieurs étapes :

Étape 1 : Nous avons commencé par tracer la droite qui correspond à la direction nord-sud. Partantd'un point de cet axe, nous avons orienté le coté Andilly A – Salève grâce à la valeur de l'azimut(88,3°). Puis nous avons donné à ce côté la valeur arbitraire de 1. La distance Andilly A – Salèvefixe donc l'échelle de la figure.

On trace la droite nord-sud et on oriente le côté Andilly A - Salève,en lui attribuant la valeur arbitraire de 1.

Étape 2 : On construit le premier triangle Andilly – Salève – Chaumont avec les angles mesurésdepuis Andilly et depuis le Salève. On trouve la position de Chaumont.

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Étape 3 : Pour le deuxième triangle Salève – Chaumont – Semnoz, nous connaissons les anglesmesurés depuis le Salève et depuis le Semnoz. Nous en déduisons le troisième, en utilisant le faitque la somme des trois angles égale 180°. Avec les angles depuis Chaumont et depuis le Salève,nous pouvons trouver la position du Semnoz.

Étape 4 : Nous construisons de proche en proche la chaîne de triangulation complète.

Le logiciel permet de connaître la longueur dusegment Andilly A – Point B.

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Nos deux mesures sont les angles δ et ζ. Grâce à ceux-ci, on peut calculer l'angle ε. C'est grâce à ε et δ qu'on peut alors construire le triangle Salève, Chaumont, Semnoz dans Geogebra.

Andilly A et la Croix du Nivolet ne sont pas exactement situés sur le même méridien. Lacroix du Nivolet est un peu à l'ouest d'Andilly A. Nous projetons la Croix du Nivolet sur la lignenord-sud (l'axe des ordonnées). Le point B obtenu a la même latitude que la Croix du Nivolet (il estsitué sur le même parallèle). C'est la distance Andilly A – point B que nous déterminons.

Nous trouvons que la distance Andilly A – Point B est 8,24 fois la distance Andilly A –Salève. Puisque cette dernière est de 6,226 km, la distance entre les points extrêmes de latriangulation est :

Andilly A−Point B=8,24×6,226=51,30 km .

3. Calcul du rayon de la Terre

Récapitulons l'ensemble de nos résultats : • Différence de latitude entre Andilly A et la croix du Nivolet : Δϕ=0,475 ° .• Distance Andilly A – Point B : 51,30 km.

Pour avoir le périmètre p de la Terre, il suffit d'effectuer un produit en croix :

p=360×51,30

0,475=38880km

Nous obtenons le rayon R de la Terre en divisant le périmètre par 2π :

R=p

2 π=

388802π

=6190km

Actuellement, la valeur du rayon terrestre communément admise est de 6370 km. Noussommes à moins de 200 km de celle-ci.

III. PRÉCISION DE NOTRE RÉSULTAT

Nous voulons maintenant connaître la précision de notre résultat en fonction de nosimprécisions de mesures. Nous allons d'abord nous interroger sur nos différentes mesures et estimerà chaque fois les marges d'erreurs. Puis chercher quelles en sont les répercussions sur le résultatfinal.

1. Les différentes erreurs de mesure

a) Une erreur sur la différence de latitude

Quelle est la précision d'une mesure au sextant ? Il est difficile de répondre d'emblée.Lorsque le Soleil culmine au méridien, sa trajectoire dans le Ciel est pratiquement horizontalependant quelques instants. Entre le moment où il finit de monter et le moment où il commence àdescendre, il se passe dix bonnes minutes sans que sa hauteur varie. Cela laisse le temps à chacund'entre nous de faire une mesure de hauteur et de comparer les résultats. Lors de nos premiersessais, nos mesures étaient très divergentes. Puis, au fur et à mesure de notre entraînement, noussommes devenus capables de faire les mesures beaucoup plus rapidement et en obtenant des valeurstrès proches : la différence étant de 1 à 2' au plus. Cette légère différence est inévitable. Elleprovient de la difficulté de bien superposer les deux images du Soleil dans la lunette du sextant.

Lors de nos essais au lycée, nous avons effectué 5 mesures de hauteur du Soleil toujoursdepuis le même endroit. Ces mesures permettent de calculer 5 fois la latitude du lycée. Le site de

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l'IGN donne la valeur exacte de la latitude de ce point (φlycée = 46,182°). Nous pouvons donccomparer nos différentes mesures à la réalité.

On observe que les erreurs sont toujours positives et comprises entre 0,02 et 0,04°. Commeelles sont toujours positives, elles contiennent une composante systématique, qui peut provenir denotre manière de procéder, d'une phénomène non pris en compte (par exemple la réfractionatmosphérique qui dévie les rayons lumineux) ou d'un mauvais étalonnage de notre sextant. Cetteerreur systématique n'est pas gênante pour nous. En effet, dans notre calcul du rayon terrestre, nousutilisons une différence de latitude. Si chaque mesure a une légère erreur systématique, cette erreurest éliminée par la soustraction. Il ne reste plus que l'erreur due à l'observateur, que l'on peut estimerà ± 0,02°, soit ± 1,2'. On retrouve bien notre estimation de l'erreur à 1 ou 2'.

Les cartes de l'IGN permettent également de connaître la latitude précise des deuxextrémités de la triangulation. La latitude d'Andilly est 46°04'45'' = 46,0792°. La latitude de laCroix du Nivolet est 45°36'49'' = 45,6136°. La différence de latitude est donc de 0,4656° alors quenous avons trouvé 0,475°, ce qui fait une différence de 0,01°. L'écart entre la différence de latitudemesurée et la différence de latitude vraie est concordante avec l'estimation de notre erreur.

Pour voir les conséquences de cette erreur de 0,01° sur le résultat, on effectue l'ensemble denos calculs dans un tableur. On voit que lorsqu'on modifie la différence de latitude d'une minuted'arc (1'=0,017°), alors la valeur du rayon terrestre est changé de 210 km (ce qui représente 3% durésultat) ! C'est assez important ! Et malheureusement, avec le sextant, nous n'avons aucun moyende réduire cette erreur de 1' sur la mesure de la différence de latitude.

Tableau qui nous permet de tester l'influence de chaque grandeur sur la précision du résultat final.Les nombres en bleu correspondent à nos mesures, les nombres en vert aux erreurs estimées et les

nombres en violet aux calculs intermédiaires.

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Mesures Erreur estiméLongueur sur la règle (m) 1,9 0 Longueur de la base AM (m) 216,0

41,03 0 6,2261,305 0

Facteur multiplicatif chaîne 8,24 51,30

Différence de latitudes (°) 0,475 0,017

Rayon de la Terre (km)Calcul sans erreur mesures 6188Calcul avec erreurs mesures 5978Variation 210

Angle β du 1er triangle (°) Longueur Andilly -Salève (km)Angle γ du 1er triangle (°)

Longueur Andilly – Point B (km)

JourMesure sextant Hauteur h Erreur

° ' ° ° ° °

6 sep. 100 8 50,067 6,277 46,210 0,028

13 sep. 94 51 47,425 3,628 46,203 0,021

25 sep. 85 33 42,775 -1,018 46,207 0,025

27 sep. 84 0 42,000 -1,797 46,203 0,0212 oc. 80 5 40,042 -3,738 46,220 0,038

Déclinaison δ Latitude φ

b) Une erreur sur la mesure de la base

Pour mesurer la longueur de la base Andilly A – Andilly M, nous avons visé une longueur de1,90 m sur la règle. Quelle erreur sur cette mesure ? Grâce à la lunette du théodolite, nous voyionstrès distinctement la règle. Nous avons placé le viseur séparant une plage blanche d'une plage noire,chacune des plages mesurant 10 cm. Pour chaque visée, nous estimons notre erreur à 1 ou 2 cm, cequi fait que la longueur visée était de 1,90 m ± 2 ou 4 cm. Nous considérons une erreur de 3 cm.Celle-ci modifie notre résultat final sur le rayon terrestre de 100 km (1,5% du résultat). C'est encoretrès grand !

c) Une erreur sur les mesures des angles du premier triangle

Pour le premier triangle, nous avons pu mesurer les trois angles du triangle et voir que lasomme était de 179,978°. L'erreur est donc de 0,022° pour la somme des 3 angles, ou environ 0,01°par angle. Que représente cette erreur pour la visée ? Pour répondre, nous utilisons le trianglesuivant :

Nous obtenons : d =6000×tan 0,01=1m . L'erreur de 0,01° dans l'angle implique quenous ayons visé 1 m à côté de la cible. C'est tout-à-fait cohérent avec ce que nous voyions dans lalunette du théodolite.

La répercussion dans notre résultat final est étonnante : si on change la valeur de l'angle β de0,01°, la valeur du rayon terrestre est modifiée de 1 km. C'est entièrement négligeable. En revanche,si on change la valeur de l'angle γ de 0,01°, cette fois la valeur du rayon terrestre est modifiée de 47km.

d) Un erreur sur l'orientation de la chaîne

L'orientation de la chaîne provient de la mesure de l'azimut du côté Andilly A – Salève. Cetazimut a été mesuré grâce au passage du Soleil au méridien. Nous faisions l'image du Soleil sur unefeuille de papier. Le Soleil n'était donc peut-être pas exactement bien centré dans la lunette duthéodolite mais l'erreur commise reste faible, maximum un demi degré. Dans GéoGebra, nouschangeons donc la valeur de l'angle correspondant et nous voyons que le coefficient multiplicatif dela chaîne passe de 8,24 à 8,25 et que le résultat final sur le rayon terrestre est changé de 15 km. Parrapport aux erreurs précédentes, c'est tout à fait négligeable.

e) Une erreur sur tous les angles de la triangulation

Nous avons déjà dit que sur le premier triangle, l'erreur des angles était d'environ 0,01°.Dans le dernier triangle, Clergeon-Semnoz-Nivolet, nous avons aussi mesuré les trois angles. Leursomme est égale à 41,949 + 81,531 + 56,502 = 179,982°. Là encore, l'erreur sur la somme des troisangles est de 0,02° donc toujours à peu près 0,01° par angle.

Pour voir quelle est la répercussion sur le calcul final, nous décidons d'augmenter la valeurde tous les angles qui apparaissent dans la chaîne de triangulation de 0,01° de telle sorte que lachaîne soit la plus longue possible (cela correspond au cas le plus défavorable, où les erreurs ne

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0,01°

6 km

d = ?

s'annulent pas l'une l'autre mais ont un effet cumulatif). Le coefficient multiplicatif de la chaînepasse de 8,24 à 8,26, ce qui occasionne un changement dans la valeur du rayon terrestre de 30 km.C'est encore négligeable par rapport aux erreurs précédentes.

2. Récapitulatif et possibilités d'amélioration

Notre résultat final est plus sensible à certaines mesures qu'à d'autres. Trois mesures sonttrès importantes :

• La différence de latitude : une erreur de 1' = 0,017° occasionne une erreur sur le rayon de200 km.

• La longueur de la base : une erreur de 3 cm sur la règle occasionne une erreur sur le rayonde 100 km.

• L'angle γ du premier triangle : une erreur de 0,01° occasionne une erreur sur le rayon de 50km.

Notre résultat est donc précis à 400 km près. Il s'écrit : RTerre=6200±400 km .

Que pourrions nous faire pour améliorer notre détermination du rayon de la Terre ? Lamesure de la différence de latitude est la plus délicate car c'est elle qui occasionne la plus grandeerreur. Or, nous sommes déjà très précis ! Notre mesure est à 0,02° près. Il est impossible del'améliorer avec le sextant. Avec le théodolite, nous aurions pu mesurer la hauteur méridienned'étoiles, qui sont plus facile à viser. Et surtout, nous aurions pu en viser plusieurs et en faisant lamoyenne des différents résultats, nous aurions pu diminuer nos erreurs d'observation. Nous aurionspu aussi augmenter la longueur de la chaîne, en la prolongeant vers le Jura par exemple. Notreerreur de 0,02° aurait alors eu moins de conséquence.

La deuxième mesure délicate est celle de la longueur de la base. Il existe aujourd'hui desméthodes plus précises, disponibles sur les théodolites modernes : mesure du temps de parcoursd'une onde infra-rouge. Nous aurions pu aussi chercher à mesurer une base plus longue.

CONCLUSION

Mesurer le rayon de la Terre n'est pas une mince affaire ! Malgré toutes les difficultésrencontrées, nous avons beaucoup apprécié mener ce projet du début à la fin, un projet que nousavions choisi. Rien à voir avec la routine des cours ! Avec l'aide du professeur, nous avons dûavancer peu à peu, trouver les méthodes pour déterminer nos deux grandeurs : la distance entre lesdeux lieux du méridien et la différence de leur latitude. Pour cela, apprendre à se servir du sextant etdu théodolite était particulièrement intéressant. Au début, nos mesures étaient très imprécises. Alorsque nous mesurions la même chose, nous obtenions des valeurs assez différentes. C'était frustrant.Puis nos mesures se sont harmonisées et nous étions capables, en plus, de les faire de plus en plusrapidement. Faire une mesure précise s'apprend ! En anecdote, lorsque nous faisons nos mesures dela hauteur du Soleil avec le sextant à la Croix du Nivolet, un couple de randonneurs s'est intéressé àce que nous faisions. Nous leur avons proposé de regarder à travers le sextant pour réaliser euxaussi une mesure. En voyant les difficultés qu'ils avaient pour faire coïncider les deux images duSoleil, nous avons réalisé que nous avions fait de grands progrès !

Un grand avantage de notre projet est qu'il nous emmenait à l'extérieur. Réaliser des mesuressur le terrain, même quand il a fallu porter les instruments et marcher pendant une heure pourrejoindre un point de mesure, même quand il a fallu se lever tôt un samedi matin, était une belleexpérience qui nous a permis de faire de la science en dehors de l'école. La réflexion sur laprécision de notre résultat nous a aussi beaucoup appris : celle-ci est tout aussi importante que le

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résultat lui-même. Et parmi toutes les mesures réalisées pour arriver au résultat, toutes n'ont pas lamême importance. Certaines sont plus cruciales que d'autres et pour améliorer la précision, c'est surcelles-ci qu'il faut porter son attention.

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