_____________________________ 1 - Mesurer avec des outils simples

Mesurer avec des outils simples

Cette rubrique a pour but de montrer qu'il n'est point besoin d'outillage compliqué ou d'un bagage scientifique confirmé pour effectuer des mesures. Nos Anciens, sans électronique ni informatique, l'ont démontré depuis longtemps...

Sommaire : - La hauteur d'une construction 2 - La balance romaine 3 - La circonférence de la terre 4 - La distance qui nous sépare d'une étoile 5 - La vitesse de la lumière 6 - L'aréomètre 7 - Calculer π 8 - Réaliser un angle droit 12

______________________ Cette page est extraite d'un site concernant les unités de mesure dont l'adresse est : http://www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites

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Mesurer la hauteur d'une construction

L'écrivain grec Plutarque affirme que "...dressant verticalement un bâton au côté de l'ombre de la pyramide de Chéops, Thalès montra qu'il y avait une proportion de la hauteur de la pyramide à celle du bâton comme il y a de la longueur de l'ombre de l'un, à la longueur de l'ombre de l'autre...". C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Thalès.

Soit deux droites quelconques d et d' se coupant en O, elle-mêmes coupées par deux droites parallèles p et p', et soit A, B, A' et B', les intersections, alors :

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Thalès de Milet (624 à 547 av JC), philosophe, mathématicien, ingénieur, astronome... grec est né en Lydie (Turquie). D'abord commerçant, il s'intéresse alors à la science. Pour fuir ses parents, il embarque pour l'Egypte où il étudiera les mathématiques et la géométrie. Il aura accès à la bibliothèque d'Alexandrie considérée temple de la science. Sa prédiction de l'éclipse de Soleil de -585 le rendit célèbre. On ignore toujours d'où il a tiré ses informations, mais l'éclipse provoqua une telle panique, du fait de sa prédiction, que les Mèdes et les Lydiens signèrent la paix. Il existe une autre version concernant la mesure de la grande pyramide. Il aurait dit au pharaon qui voulait l'impressionner par la hauteur du monument. "Il est facile de mesurer la hauteur de l'édifice : quand mon ombre sera égale à ma hauteur, alors l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur." Le principe est toujours le même, il s'agit de triangle semblable et c'est Euclide démontrera le théorème sous sa forme générale et définitive.

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La balance romaine

La balance romaine est l'application du célèbre levier d'Archimède. Le savant aurait dit : « …donnez-moi un point d'appui, je soulèverai le monde… »

Soit deux poids P et P' suspendus aux extrémités d'une barre AB en équilibre sur le point O. L'équilibre est obtenu si OA x P = OB x P'. Ainsi, si P est deux fois plus grand que P', alors OB = 2 x OA

Dans le cas de la balance romaine, P' est constant et mobile, et la règle est graduée en unité de masse. Il suffit de déplacer P' jusqu'à ce qu'il y ait équilibre, il ne reste plus qu'à lire la masse sur la règle. Ce système ingénieux qui évite d'avoir sur soi, un ensemble de poids de référence manque cruellement de précision (le point d'appui n'est pas une arête coupante, l'équilibre n'est pas repéré, l'étalonnage laisse à désirer...).

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étym. : La balance romaine n'est pas d'origine romaine. Le nom vient de l'arabe roummana signifiant grenade, en référence à la ressemblance entre le fruit et le peson mobile.

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Archimède de Syracuse (287 à 212 av. JC) est un mathématicien, géomètre, ingénieur et physicien grec. Fils d'astronome, il est l'ami d'Eratosthène et l'élève d'Euclide. Diverses théories et inventions portent son nom comme la poussée d'Archimède, la vis d'Archimède, le nombre d'Archimède (π) ... Découvrant la poussée qui porte son nom en prenant son bain, il se serait écrié : Eurêka!, (j'ai trouvé!). Il inventa des machines de guerre pour repousser les Romains lors du siège de Syracuse en 215 av. JC, mais fut tué par un soldat romain. Marcellus, commandant de l'armée romaine, ordonna des funérailles solennelles en hommage à ce grand savant.

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Mesurer la circonférence de la Terre

Né vers 280 avant J.-C. dans la colonie grecque de Lybie, Ératosthène de Cyrène, historien, poète, grammairien, mathématicien, astronome et géographe est déjà fort connu et apprécié à Athènes lorsque Ptolémée III lui demande de devenir le précepteur de son fils en -245. En -235, peu après son avènement, le jeune pharaon Ptolémée IV lui confie la direction de la grande bibliothèque d'Alexandrie. Il y restera jusqu'à sa mort en -194. Les savants de l'époque avaient émis l'hypothèse que la terre était ronde. Vers -205, Ératosthène propose une méthode purement géométrique pour mesurer la taille de la Terre.

Observant que les ombres sont différentes selon l'endroit où l'on se trouve, il compare les ombres le jour du solstice d'été à midi dans deux villes : Syène (Assouan) au sud et Alexandrie au nord. Ce jour là, à Syène lorsque le Soleil est au zénith, Eratosthène constate que les objets n'ont pas d'ombre et que les rayons du Soleil atteignent le fond d'un puit. Cette observation réfute l'hypothèse d'une terre plate car toutes les ombres auraient le même angle de projection et conforte celle d'un soleil très éloigné. Alors qu'à Alexandrie, les bâtiments ont une ombre, dont l'angle est de 7,12° par rapport la verticale. La distance entre les deux villes est de 5 000 stades, une simple règle de trois donne la solution, soit 257 000 stades ou 39 690 km (1 stade = 157 m).

Effectivement, Syène est bien à la latitude du tropique du Cancer, mais les deux villes ne sont pas tout à fait sur le même méridien d'où une légère erreur à ajouter à celle sur la distance estimée entre les deux villes et celle de l'angle fait par l'ombre de l'obélisque. La valeur aujourd'hui mesurée est 40 074 km. La performance reste la simplicité de la méthode.

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Mesurer la distance qui nous sépare des étoiles

Lorsque la terre fait un tour autour du soleil, l'étoile observée semble bouger sur un fond d'étoiles lointaines, ce phénomène s'appelle le "déplacement apparent". Le déplacement apparent est d'autant plus important que l'étoile est proche. Quelle est la distance entre l'étoile C et la terre A. - On mesure l'angle a compris entre les directions Terre/étoile et Terre/Soleil ; - Six mois plus tard, on refait la même mesure, soit b le nouvel angle. La distance AB est fonction des dates auxquelles les mesures sont faites (la révolution terrestre est une ellipse). Cette distance étant donc connue, un peu de trigonométrie sera nécessaire pour calculer la dite distance.

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Cette méthode est appelée : "Méthode des parallaxes", elle a été initiée par Aristarque de Samos (310 - 230 av.J.C.), mathématicien et astronome grec, pour mesurer la distance Terre/Soleil Aristarque affirme que la Terre tourne autour du Soleil (1) (orbite circulaire) et que les quartiers de Lune correspondent à des positions particulières de la Terre par rapport au Soleil. Le premier quartier correspond à un angle Terre-Lune-Soleil de 90°. Il mesure l'angle Lune-Terre-Soleil et en déduit que la distance qui nous sépare du Soleil est de 380 rayons terrestres. Les différentes erreurs (mesure d'angle, estimation du rayon terrestre...) conduisent à une distance 20 fois inférieure à celle que nous connaissons aujourd'hui, mais le principe reste bon. - À consulter :

http://savar.astronomie.ch/volume6/page5/odba01.html http://asso.nordnet.fr/carl/kepler.htm

- À lire : Science & Vie n°1032-sept. 2003 pp118-121 ________________________ (1) - L'idée de révolution et de la rotation, qui explique l'alternance jour/nuit, va à l'encontre de celle de Platon et Aristote. Il faudra attendre Copernic, 18 siècles plus tard, pour prouver qu'Aristarque avait raison.

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Mesurer la vitesse de la lumière

Cette expérience réalisée en 1849 par Hyppolite Fizeau fait appel à un matériel que l'on qualifierait aujourd'hui de simple. - deux lunettes de visée L1 et L2; - une roue tournante percée de

fentes; - un miroir M; - un miroir semi-réfléchissant MS; - une source de lumière S. La lumière issue d'une lampe à oxygène et hydrogène est défléchie par MS avant d'être hachée à travers la roue tournante. Les "paquets" de lumière sont focalisés par la lunette L2 sur le miroir M qui les réfléchit selon le même trajet, retraversant la roue pour arriver dans une lunette d'observation L1. La roue est à Montmartre et le miroir M à Suresnes, soit une distance D de 17 km. Selon le nombre d'ouverture No, il existe une vitesse de rotation minimale Vmin, et d'autres correspondant à des multiples de cette vitesse, telle que l'observateur perçoit un clignotement dont la durée est celle du passage d'une ouverture à la suivante. La vitesse de la lumière est donc : V = 2 x D x Vmin x No Application : Vmin = 12 tr/s, No = 720

V = 293 760 au lieu de 299 792 km/s L'erreur provient entre autres, de la constance de la rotation et de la mesure de la distance; une des difficultés étant de concevoir le mouvement tournant régulier et surtout de le mesurer.

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Hyppolite Fizeau (1819 - 1896), physicien français avait renoncé à une carrière médicale pour raison de santé avant de s'intéresser aux propriétés physiques de la lumière. Avec Léon Foucault, il obtient la première image photographique du soleil, étudie les interférences lumineuses et mesure la vitesse de la lumière. Avec Doppler, il découvre l'effet qui porte leur nom (variation de la fréquence d'une vibration en fonction du déplacement de la source par rapport à

l'observateur). Professeur à l'École Polytechnique ...

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Site à consulter : http://www.patrimoine.polytechnique.fr/instruments/optique/Optique.html

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Doser grâce à l'aréomètre Lorsque l'on modifie la concentration d'une solution, on modifie sa densité. Le principe d'Archimède stipule que « Tout corps plongé dans un liquide, reçoit une poussée de bas en haut, égale au poids du volume du liquide déplacé ». Donc, pour un corps donné, la poussée est proportionnelle à la densité du liquide et peut se quantifier en fonction de la partie émergée du corps.

exemples : - La hauteur de la partie émergée d'un iceberg dépend de la densité de l'océan. - La teneur en sel de la mer Morte est si élevée que les baigneurs flottent naturellement.

ATTENTION : La densité varie avec la température.

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L'appareil permettant de mesurer la densité d'un liquide est constitué d'une ampoule de verre remplie d'air, d'un lest pour maintenir la flottaison verticale, le tout surmonté d'une règle graduée et s'appelle un aréomètre.

Principe : Soit Cx, une solution de concentration à déterminer et C1, C2 les concentrations connues de deux solutions, et L1, L2 et Lx, les valeurs respectives lues lors des immersions dans les solutions de concentration C1, C2 et Cx alors : Application : Quelle est la teneur en sucre d'un soda ? Matériel :

- une solution étalon 1 d'eau pure (C1 = 0); - une solution étalon 2 contenant 200 g de sucre pour 1 L d'eau; - une tige en bois à laquelle on fixera des punaises en guise de lest.

Opération : - mettre l'aréomètre dans la solution 1, repérer la ligne de flottaison et tracer un trait (L1) à l'aide d'un crayon; - faire de même avec la solution 2, puis le soda; - à l'aide d'une règle, mesurer les écarts entre L1 et Lx, puis entre L2 et L1. - appliquer la formule...

Un aréomètre est spécifique de ce que l'on veut doser (sucre, alcool, acide...) et doit être fourni avec des abaques de correction de température. Il prend alors le nom de densimètre, pèse-sirop, pèse-alcool...

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Il existe différents types d'aréomètre, celui d'Antoine Baumé (chimiste et pharmacien français : 1728 - 1804) dit à poids constant permet de mesurer la concentration de n'importe quelle solution en degré Baumé. L'aréomètre de Gay-Lussac mesure la quantité d'alcool d'une solution. Cet appareil a surtout permis de calculer les taxes des produits alcoolisés. Site à consulter : http://www.inrp.fr/she/instruments/instr_hydros_areometres.htm

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Calculer la valeur de π : La méthode d’Archimède

Un cercle n'est défini que par une valeur, son rayon r. On sait que sa circonférence vaut 2πr, mais qu'elle est la valeur de π.

Archimède avait remarqué que si l'on trace deux polygones réguliers à n côtés, l'un inscrit et l'autre circonscrit au cercle, la valeur de la circonférence du cercle était comprise entre les valeurs des périmètres des deux polygones. De plus, plus n est grand, plus l'écart entre les périmètres des deux polygones diminue, meilleure est la précision.

Si on appelle u et v, les longueurs respectives des côtés des polygones inté-rieur et extérieur à n côtés :

Intéressons nous aux polygones à 6 x 2k côtés (6, 12, 24, 48, ...).

Soit u et v, les longueurs respectives des côtés des polygones intérieur et extérieur à 6 x 2k côtés et, x et y, les longueurs respectives des côtés des polygones intérieur et extérieur à 6 x 2k+1 côtés. Une démonstration géométrique établit que :

Les côtés des polygones à 6 x 2k côtés peuvent être calculés à partir des polygones à 6 x 2k-1 côtés.

Sachant qu'il est aisé de calculer le périmètre d'un hexagone, on peut calculer celui d'un polygone à 12 côtés, puis 24, 48, ...

C'est ainsi qu'Archimède a déterminé une valeur approchée de π, en calculant les périmètres des polygones intérieur et extérieur à 96 côtés.

À consulter : - Le calcul de π par la méthode d'Archimède : ACL - Ed. du Kangourou

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Calculer la valeur de π : suite…

Soit Ci et Ce, les côtés des polygones intérieur et extérieur à n côtés d'un cercle de rayon r, on peut écrire :

Ce = 2r tg (αÊ/2) = 2r tg (π/n) Ci = 2r sin (αÊ/2) = 2r sin (π/n) Pi < 2πr < Pe d’où n sin (180/n) < π < n tg(180/n)

Prenez votre calculette, n = 10 : 3,090 < π < 3,249 n = 20 : 3,128 < π < 3,168 n = 100 : 3,1411 < π < 3,1426

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899

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Quelle est la surface d'un cercle sachant que sa circonférence vaut 2π r ? Imaginons un polygone régulier inscrit à 2n côtés. Nous pouvons arranger les triangles différemment comme dans l'exemple ci-dessous, ce qui donne un parallélogramme, dont la surface égale le produit de la hauteur par le côté.

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Calculer la valeur de π : … fin

x2 + y2 = r2 est l'équation d'un cercle de rayon r. Nous allons grâce à un générateur de nombres aléatoires, tirer des valeurs de x et y dans l'intervalle [0;1]. Si x2 + y2 <= 1, alors le point appartient au cercle de rayon 1. La probabilité que le point soit dans le cercle correspond au rapport de surface du cercle sur celle du carré circonscrit, soit π/4 puisque l'intervalle des points est [0;1]. La valeur de π sera donc 4 fois le rapport du nombre de points appartenant au cercle sur le nombre total de points générés. Plus le nombre de points tirés est grand, meilleure est la précision de π. Cette méthode s'appelle la méthode de Monte-Carlo. Sites à consulter : - Mathématikos : J.-P. Quelen, lycée Jean Monnet de Strasbourg - Histoire de π

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Réaliser un angle droit Vous n’avez pas d’équerre et vous devez tracer un angle droit sur une feuille de papier. - a) prenez une feuille de papier ; - b) pliez-la en deux de manière quelconque et

marquez bien le pli ; - c) pliez-la à nouveau mais perpendiculairement en

faisant bien coïncider le pli réalisé à l’étape précédente

L’angle droit est connu depuis fort longtemps puisque c’est Pythagore, un philosophe et mathématicien grec (580-495 av. J.-C.) qui a énoncé la relation entre les côtés d’un triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse.

soit a2 + b2 = c2 Si les mathématiques vous rebutent, sachez que trois valeurs simples résolvent cette équation : a = 3, b = 4 et c = 5 (9 + 16 = 25) Ces 3 valeurs sont bien connues des artisans dans le domaine de la construction, certains utilisent 6, 8 et 10... La corde égyptienne à 13 nœuds ou 12 intervalles (3 + 4 + 5 = 12), connue depuis la haute antiquité, permet de construire un angle droit. Cette corde permet également de construire de nombreuses figures

ainsi qu’à matérialiser le nombre d’or Φ, cher aux architectes. @ consulter

- La corde à 13 nœuds - Xavier Hubaut, Université Libre de Bruxelles http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/13noeuds.htm