Mesures de tendance centrale - HEC UNIL · les statistiques descriptives, vous obtenez aussi la moyenne tronquée (Moyenne TR), sans le 5% des valeurs les plus petites et 5% des valeurs

A. Mattei 1

Mesures de tendance centrale

• Moyenne arithmétique• Médiane• Mode• Moyenne géométrique• Moyenne harmonique• Quantiles

A. Mattei 2

Moyenne arithmétique (MA)

48

65554331 =+++++++

xn

xi =∑ µ=∑N

X i

A. Mattei 3

Propriétés

• Dépend de toutes les valeurs

• Facile à calculer• C’est la valeur attendue (voir plus tard)

∑ = xccxn i

1

cxcxn i

±=±∑ )(1

∑ =− 0)( xxi

A. Mattei 4

Moyenne pondérée

∑ ∑∑∑ =→=

i

iiii

i

ii

w

wx

w

xwωω

413121

6153413211 =++++

×+×+×+×+×

468

15

8

34

8

13

8

21

8

1 =++++

A. Mattei 5

Défauts

• Peut ne correspondre à aucune des valeurs• Peut donner une fausse image d’une

majorité de valeurs• Est influencée par les valeurs extrêmes:

9 x 1000 + 1 x 20000 donne 2900• Prendre alors la moyenne tronquée (sans les

valeurs extrêmes). On obtient 1000

A. Mattei 6

Commande TI-83/84• Introduire les valeurs dans la liste L1 et les

fréquences dans L2 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans CALC et choisir 1-Var Stats• Presser ENTER et taper L1,L2• En pressant ENTER vous obtenez la

moyenne (x) et d’autres mesures.• Si vous voulez uniquement la moyenne,

choisissez LIST /MATH et ensuite 3:mean(.• Introduire L1,L2) et presser ENTER.

A. Mattei 7

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans CALC / Statistiques par colonne et choisir Moyenne. Si vous allez dans Stat / Statistiques élémentaires / Afficher les statistiques descriptives, vous obtenez aussi la moyenne tronquée (Moyenne TR), sans le 5% des valeurs les plus petites et 5% des valeurs les plus grandes).

• Pour EXCEL, chercher Moyenne dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =MOYENNE(A1:A20)

A. Mattei 8

Médiane

• Sépare les valeurs en deux parties égales lorsqu’elles sont ordonnées (de manière croissante ou décroissante)

• Meilleur indice pour les valeurs asymétriques• Correspond à une des valeurs dans le cas

d’un nombre impair d’éléments• 1 3 5 7 9• 1 3 5 7 9 12 : médiane 6 = (5+7)/2

A. Mattei 9• Médiane 7522 , Moyenne 8387

0 10000 20000

0

500

1000

REVENU

Effe

ctif

REVENU MENSUEL DES MENAGES

A. Mattei 10

Propriétés

• N’est pas influencée par les valeurs extrêmes

• La somme des écarts absolus par rapport à une valeur est minimale lorsque cette valeur est la médiane:

• Min

• Min

médianeccxabs i =⇒−∑ )(

∑ =⇒− moyenneccxi2)(

A. Mattei 11

A. Mattei 12

Commande TI-83/84• Introduire les valeurs dans la liste L1 en

utilisant la commande STAT / EDIT.• Aller dans CALC et choisir 1-Var Stats• Presser ENTER et taper L1• En pressant ENTER vous obtenez la

médiane (Med) et d’autres mesures.• Si vous voulez uniquement la médiane,

choisissez LIST /MATH et ensuite 4:median(.• Introduire L1) et presser ENTER.

A. Mattei 13


• Pour MINITAB, aller dans CALC / Statistiques par colonne et choisir Médiane. Si vous allez dans Stat / Statistiques élémentaires / Afficher les statistiques descriptives, vous obtenez aussi la médiane.

• Pour EXCEL, chercher MEDIANE dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =Mediane(A1:A20)

A. Mattei 14

Mode

• C’est la valeur la plus fréquente• C’est le sommet d’une distribution de

fréquence• Distribution unimodale: un seul sommet• Distribution bimodale: deux sommets• Défaut: valeur pas très stable

A. Mattei 15

Distribution bimodale

10 20 30 40 50 60 70 80

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

Den

sity

Kernel density plot

A. Mattei 16

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs dans la liste L1 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir MODE• Presser ENTER et taper L1• Ce programme ne fait pas partie des

programmes standard de la TI. Vous devez le télécharger (voir page du cours).

A. Mattei 17


• Pour MINITAB, aller dans Stat / Tableaux / Tri à plat. Choisir Dénombrements. Le mode est la valeur qui a la fréquence la plus élevée.

• Pour EXCEL, chercher MODE dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =MODE(A1:A20)

A. Mattei 18

Moyenne géométrique

• C’est la n-ième racine des valeurs:

• Uniquement pour des valeurs positives• A utiliser pour le calcul du taux moyen de variation

nnxxxMG ×⋅⋅⋅××= 21

∑= )ln(1

)ln( ixn

MG

A. Mattei 19

Commande TI-83/84


• Aller dans PRGM et choisir MGEO• Presser ENTER et taper L1• Ce programme ne fait pas partie des


A. Mattei 20


• Pour MINITAB: taper, dans la fenêtre Session %MGEO C1 (Ce programme ne fait pas partie des commandes MINITAB standard)

• Pour EXCEL, chercher MOYENNE GEOMETRIQUE dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =MOYENNE.GEOMETRIQUE(A1:A20)

A. Mattei 21

Calcul du taux moyen de variation

• Taux moyen: MG-1

11

−=−t

tt p

pr

nnrrrMG )1()1()1( 21 +⋅⋅⋅+×+=

no

non MGpmoyentauxpp =+= ).1(

12

3

1

21

−

⋅⋅⋅=n

n

oon p

p

p

p

p

p

p

ppp

A. Mattei 22

Exemple

• Rendement SPI en 2002: -25.95%

• Rendement SPI en 2003: 22.06%• Rendement SPI en 2004: 6.86%

• Rendement SPI en 2005: 35.65%• Rendement moyen:

• SPI en 2001: 4382.94. En 2005:

%99.60699.13565.10686.12206.17405.04 →=×××

99.57420699.194.4382 4 =×

A. Mattei 23

(1+r)5 = 2.8357 �� r = 0.2318 (23.18%)

5 ln(1+r)=ln(2.8357) �� ln(1+r)=ln(2.8357)/5 = 0.2085

e0.2085 = 1.2318

A. Mattei 24

MG≤MA

• MA≥MG

[ ] 02 2121

2

21 ≥−+=− xxxxxx

2121 2 xxxx ≥+

A. Mattei 25

Moyenne harmonique

• Peu utilisée

• Formule des moyennes:• avec α=-1,0,1

• Inégalités:

∑=

+⋅⋅⋅++=

in x

n

xxx

nMH

1111

21αα

1

.

= ∑

n

xM

i

MAMGMH ≤≤

A. Mattei 26

Vitesse moyenne

• 120 Km à 80 km/h � 1.5 h• 120 Km à 120 Km/h � 1.0 h

• 240 Km et 2.5 h �(240/2.5) = 96 Km/h

96

1201

801

2 =+

=MH

A. Mattei 27

MH ≤ MG

•

012111

2211

2

21

≥+−=

−

xxxxxx

2121

211

xxxx≥+

MHMG

xx

xx ≥⇒+

≥

21

21 112

A. Mattei 28

Quantiles • Quartiles: division de la série ordonnée en 4

parties égales• Qk=(1-Ө)xs + Өxs+1 k=1,2,3 ; r=k(n+1)/4 ;

s=ent(r) ; Ө=r-s ; médiane: k=2• 1 3 5 7 9 12 14 15 17 18 25• Q1 = 5 ; Q2 =ME=12 ; Q3 = 17• Quintiles: division en 5 parties• Déciles: division en 10 parties• Centiles: division en 100 parties

A. Mattei 29

Exemple

• Qk = (1-Ө)xs + Өxs+1; r=k(n+1)/4 ;s=ent(r) ; Ө=r-s

• 5 6 10 14 15 17 19 22 26 30 (n=10)• k=1�r=(11/4)=2.75 ; s=2 ;Ө=0.75

Q1=0.25 x 6 + 0.75 x 10 = 9• k = 2�r=(2x11/4)=5.5 ; s=5 ; Ө=0.5

Q2 = 0.5 x 15 + 0.5 x 17 = 16 (médiane)• k=3�r=(33/4)=8.25 ; s=8 ; Ө=0.25

Q3= 0.75 x 22+0.25 x 26 = 23

A. Mattei 30

•

Revenu des nouveaux diplômés universitaires en 2001

Quartile inférieur Médiane

Quartile supérieur

Hommes 60'000 76'500 90'000Femmes 55'000 72'000 83'000Total 56'000 74'000 86'000Hommes 75'000 83'000 91'000Femmes 70'000 80'000 86'500Total 72'000 80'000 90'000Hommes 30'000 60'000 80'000Femmes 28'000 60'000 78'000Total 30'000 60'000 80'000Hommes 50'000 62'000 80'000Femmes 43'000 60'000 74'000Total 49'000 60'000 78'000Hommes 62'000 73'000 80'000Femmes 60'000 73'000 80'000Total 60'500 73'000 80'000Hommes 60'000 73'000 85'000Femmes 54'000 61'500 75'000Total 58'000 71'000 83'000Hommes 57'500 66'500 74'000Femmes 62'000 72'000 83'000Total 60'000 70'000 80'000Hommes 56'000 74'000 85'000Femmes 53'000 70'000 80'000Total 55'000 72'000 84'000

Interdisciplinaire + autre

Total

Médecine + pharmacie

Sciences techniques

salaire brut annuel pondéré

Droit

Sciences exactes + naturelles

Sciences humaines + sociales

Sciences économiques

A. Mattei 31

A. Mattei 32

•

A. Mattei 33

Commande TI-83/84


• Aller dans PRGM et choisir QUARTILE• Presser ENTER et taper L1• Ce programme ne fait pas partie des


• Les quartiles obtenus avec CALC / 1-var Stat peuvent ne pas être correctes.

A. Mattei 34

Commandes MINITAB et EXCEL• Pour MINITAB, aller dans Stat / Statistiques

élémentaires / Afficher les statistiques descriptives. Les quartiles sont Q1 et Q3

• Pour EXCEL, chercher Quartile dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =QUARTILE(A1:A20;1)

• Même commande pour CENTILE.• On peut aussi obtenir les quantiles en utilisant

la commande Kième minimum et Kièmemaximum avec Utilitaire d’analyse / Statistiques descriptives.

A. Mattei 35

Indices de dispersion

• Etendue (range): valeur la plus grande – valeur la plus petite

• Intervalle interquartile: IR = Q3 – Q1

contient le 50% des valeurs• Diagramme en forme de boîte (boxplot)• Variance• Ecart-type , erreur absolue• Coefficient de variation

A. Mattei 36

Boxplot• Lignes verticales: quartiles• Ligne horizontale: moustaches (Qk±1.5 IR) ou fin

(sans valeurs exentriques: *)

10 20 30 40 50 60 70 80

age

AGE DES ASSUREES POUR LES FRAIS DE MATERNITE

A. Mattei 37

•

A. Mattei 38

Commande TI-83/84

• Introduire les données dans la liste L1 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Ajuster les dimensions du graphique avec la touche WINDOW. En pressant la touche Stat Plot, choisir 1:Plot1 et le quatrième type de graphique. Mettre L1 dans Xlist. Presser GRAPH.

A. Mattei 39

Commande MINITAB

• Pour MINITAB, aller dans Graphique / Boîte à moustaches. Dans Variables du graphique, sélectionner le vecteur C1 pour Y. Cliquer sur Options et cocher Transposer X et Y.

• Il n’y a pas de commande Boxplot pour EXCEL.

A. Mattei 40

Variance

• Population: σ2 = (1/N)Σ (Xi – µ)2

• Echantillon:

• Unité de mesure: u2 → prendre √ : σ ou s • Principale mesure de dispersion

• Ne peut pas être négative

∑ −−

= 22 )(1

1xx

ns i

A. Mattei 41

•

A. Mattei 42

Exemple

• Q1=2 ; ME=5 ; Q3=10.5, µ=6 ;σ2 = 20; s2 = 25

100030Σ

64814x5

117x4

1-15x3

9-33x2

25-51x1

(X-µ)2(X-µ)X

A. Mattei 43

Propriétés

• Soit x={x1,x2,…,xn}• Var(cx) = c2 Var(x)• Var(x+c) = Var(x)• Var[(x-µ)/σ]=1• Var(c)=0• Dépend des unités de mesure• Prendre alors le coefficient de variation:

CV = σ/µ

A. Mattei 44

Commande TI-83/84• Introduire les valeurs dans la liste L1 en utilisant la

commande STAT / EDIT.• Aller dans CALC et choisir 1-Var Stats

• Presser ENTER et taper L1• En pressant ENTER vous obtenez l’écart-type de

l’échantillon (Sx) et de la population (σx).

• Si vous voulez uniquement l’écart-type de l’échantillon, choisissez LIST /MATH et ensuite 7:stdDev(L1).

• Pour la variance de l’échantillon, presser ensuite la touche x2.

A. Mattei 45

Ecart-type et variance de la population

• Si vous voulez uniquement l’écart-type de la population, après la commande Calc 1-Var Stats, presser la touche Vars. Choisir 5:Statistics et ensuite 4:σx.

• Si vous voulez la variance de la population, il suffit d’élever au carré l’écart-type obtenu ci-dessus (touche x2).

A. Mattei 46


• Pour MINITAB, aller dans CALC / Statistiques par colonne et choisir Ecart-type. Vous obtenez s. Si vous allez dans Stat / Statistiques élémentaires / Afficher les statistiques descriptives, vous obtenez aussi s (EcarType).

• Pour EXCEL, chercher ECARTYPE dans les fonctions statistiques ou taper, dans une cellule: =ECARTYPE(A1:A20). Pour σ, choisir ECARTYPEP. Pour la variance, choisir Var pour s2 ou Var.P pour σ2 .

A. Mattei 47

La semi-variance

• La variance prend le carré des différences positives et négatives par rapport à la moyenne. Parfois, les différences positives n’ont pas la même valeur que les différences négatives. On peut alors calculer la semi-variance qui ne considère que les différences négatives.

A. Mattei 48

Exemple• Rendement de deux titres:• A: 0 0 0 0 50• B: -11.103 -10 10 18.103 43• Dans les deux cas, µ=10% ,σ=20%• En finance, σ représente le risque. Or, on

pourrait préférer A qui n’a pas de rendement négatif. Si l’on prend la semi-variance, on obtient un écart-type de 8.94 pour A et 13 pour B. Résultat équivalent avec la moyenne géométrique pour les rendements.

A. Mattei 49

Indices de forme

• Le moments• Le coefficient d’asymétrie• Le coefficient d’aplatissement

A. Mattei 50

Les moments

• Moments

• Moments centrés

moyenneXN

rir =→= ∑ 1

1 µµ

∑ =→−= 22)(

1 σµµµ cri

cr X

N

A. Mattei 51

Coefficient d’asymétrie

• Distribution symétrique: moments d’ordre impair =0

• Coefficient pour un échantillon

• Distribution étalée vers la droite: g1 >0 mode < médiane < moyenne

• Distribution étalée vers la gauche: g1<0 moyenne < médiane < mode

∑

−−−

=3

1 )2)(1( s

xx

nn

ng i

A. Mattei 52

Distributions asymétriques

• Etalée vers la:

• droite (g1 > 0) gauche (g1 < 0)• MO<ME<MA MA<ME<MO

0 10000 20000 30000 40000

0.00000

0.00005

0.00010

Den

sity

Kernel density plot

0 10000 20000 30000 40000

0.00000

0.00005

0.00010

Den

sity

Kernel density plot

A. Mattei 53

Commande TI-83/84


• Aller dans PRGM et choisir ASYM• Presser ENTER et taper L1• Ce programme ne fait pas partie des


• La valeur obtenue est le coefficient d’asymétrie pour un échantillon.

A. Mattei 54


élémentaires / Afficher les statistiques descriptives. Cliquer sur Graphiques et choisir récapitulatif graphique.

• Pour EXCEL, choisir Outils / Utilitaire d’analyse / Statistiques descriptives. Introduire la plage et choisir rapport détaillé.

• Vous pouvez aussi taper, dans une cellule: =COEFFICIENT.ASYMETRIE(A1:A9).

• Il s’agit des coefficients pour un échantillon.

A. Mattei 55

Coefficient d’aplatissement

• Kurtosis:

• Mesocurtique (normale): g2=0• Platicurtique (aplatie): g2<0

• Leptocurtique (mince): g2>0

−

−−+

−−−= ∑ 3

)1(

)1(

)3)(2(

)1(4

3

2

2 s

xx

n

nn

nn

ng i

A. Mattei 56

Kurtosis

• Platicurtique (g2<0) Leptocurtique (g2>0)

• Mesocurtique (g2=0)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

Den

sity

Kernel density plot

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Den

sity

Kernel density plot

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4D

ensi

ty

Kernel density plot

A. Mattei 57

Commande TI-83/84


• Aller dans PRGM et choisir KURTOSIS• Presser ENTER et taper L1• Ce programme ne fait pas partie des


A. Mattei 58


élémentaires / Afficher les statistiques descriptives. Cliquer sur Graphiques et choisir récapitulatif graphique.

• Pour EXCEL, choisir Outils / Utilitaire d’analyse / Statistiques descriptives. Introduire la plage et choisir rapport détaillé.

• Vous pouvez aussi taper, dans une cellule: =KURTOSIS(A1:A9).

• Il s’agit des coefficients pour un échantillon.

A. Mattei 59

Relations entre les variables

• Graphique: nuage de points (scatterplot)• Covariance• Corrélation • Corrélation des rangs

A. Mattei 60

100 200 300 400

50

70

90

110

130

150

170

190

210

230

PIB

CO

NS

OM

MA

TIO

NLIEN ENTRE PIB ET CONSOMMATION (1949-2005)

A. Mattei 61

Commande TI-83/84

• Introduire les données de X et Y dans les listes L1 et L2 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Ajuster les dimensions du graphique avec la touche WINDOW. En pressant la touche Stat Plot, choisir 1:Plot1 et le premier type de graphique. Mettre L1 et L2 dans Xlist et Ylist. Presser GRAPH.

A. Mattei 62


• Pour MINITAB, aller dans Graphique / Diagramme. Introduire les deux variables. Cliquer sur OK.

• Pour EXCEL, introduire les données dans les colonnes A et B. Cliquer sur Assistant graphique. Choisir nuage de points dans sous-type de graphique et cliquer sur Terminer.

A. Mattei 63

Covariance

• Lien positif � Cov > 0• Lien négatif � Cov < 0• Pas de lien � Cov = 0

∑ −−= ))((1

),( YiXi YXN

YXCov µµ

∑ −−−

= ))((1

1),cov( yyxx

nyx ii

A. Mattei 64

Exemple

• µx=6;σx=4.47;µy=7;σy=4.05 ;σxy=12.8 ;ρ=0.707

64003530Σ

486813145

-4-41374

-22-1953

-31-3832

25-5-5211

(X-µx)(Y-µy)(Y-µy)(X-µx)YXi,j

A. Mattei 65

Propriétés

• Dépend des unités de mesure• Lien entre les variables• cov(ax,by)=ab cov(x,y)• cov(x+a,y+b)=cov(x,y)• cov(ax+by,z)=a cov(x,z) + b cov(y,z)• var(ax+by)=a2 var(x)+b2var(y)+2ab cov(x,y)• var(x+y)+var(x-y)=2 var(x)+2 var(y)

A. Mattei 66

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs de X dans la liste L1, celles de Y dans L2 et les fréquences dans L3 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir COV• Presser ENTER• Ce programme ne fait pas partie des


A. Mattei 67


élémentaires / Covariance. On obtient la matrices des variances-covariances de l’échantillon.

• Pour EXCEL, chercher covariance dans les fonctions statistiques.

• Vous pouvez aussi taper, dans une cellule: =COVARIANCE(A1:A9;B1:B9).

• Il s’agit des covariances pour un échantillon.

A. Mattei 68

Exemple

84.11;36.47;8.1;96.2;8.5 22 −===== xyyyxx σσµσµ

02.08.0284.1136.472.096.28.0 222 =×××−×+×=Pσ

5165

5-784

51333

5552

5-371

P=0.8X+0.2YYjXii,j

A. Mattei 69

Corrélation ρ= cov(X,Y)/(σxσy)=cov(x,y)/(sxsy)• Ne dépend pas des unités de mesure• Entre -1 et +1• lien linéaire positif parfait: ρ=1• lien linéaire négatif parfait: ρ=-1• approximation si lien non linéaire parfait• ρ(ax,by)=ρ(x,y)• ρ(x+a,y+b)=ρ(x,y)• var(ax+by)=a2var(x)+b2var(y)+2ab ρ σxσy

A. Mattei 70

│ρ(x,y)│≤ 1

• Soient les variables standardisées:

• on a:

1 ; ; ==−

=−=yx ZZ

y

yy

x

xx

YZ

XZ σσ

σµ

σµ

∑∑

==−−

=yxzzyx

yx

yixi

ZZN

YXNYX σ

σσ

µµρ 1))((

1

),(

02)()()( ≥±+=±yxZZyxyx ZVarZVarZZVar σ

10)1(2 ≤→≥± ρρ

A. Mattei 71

• Corrélation positive

• Corrélation négative0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

X

Y

RHO=0.568

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X

Y

RHO=-0.764

A. Mattei 72

Pas de corrélation

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

5

10

15

C1

C2

RHO=0

1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

C4

C3

RHO=0

A. Mattei 73

Corrélation parfaite

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

5

10

x

y

RHO=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-30

-20

-10

0

10

20

X

Y

RHO=-1

A. Mattei 74

A. Mattei 75

A. Mattei 76

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs de X dans la liste L1, celles de Y dans L2 et les fréquences dans L3 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Mettre des 1 dans L3 si les valeurs ne sont pas regroupées.

• Aller dans PRGM et choisir CORR• Presser ENTER• Ce programme ne fait pas partie des


A. Mattei 77


élémentaires / Corrélation.• Pour EXCEL, chercher

COEFFICIENT.CORRELATION dans les fonctions statistiques.

• Vous pouvez aussi taper, dans une cellule: =COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A9;B1:B9)

• Il y a un seul coefficient de corrélation (population ou échantillon).

A. Mattei 78

Le rang

• Classer les données par ordre croissant• Calculer ensuite le rang• Si les données xs,…,xt sont identiques, leur

rang sera (t+s)/2• Exemple:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• 3 7 9 10 10 10 12 14 19 19 20 • rang: 1 2 3 5 5 5 7 8 9.5 9.5 11

A. Mattei 79

Corrélation des rangs

• Spearman: ranger les données (mettre un rang aux données) et ensuite calculer la corrélation

• N’est pas influencée par les valeurs extrêmes:• x: 1 3 5 6 ; y: 5 2 7 8 � ρ= 0.653 ; ρR =0.8• x: -5 3 5 6 ; y: 5 2 7 8 � ρ= 0.366 ; ρR=0.8• Meilleur résultat pour des valeurs non linéaires• Ex: y=x2 �ρ<1 ; Spearman=1• Peut être utilisée pour des données ordinales

A. Mattei 80

•

A. Mattei 81

Exemple: ρR = 0.976

181-H

293*G

3.5133*F

3.5133*E

5155.5**D

6175.5**C

7187***B

8198****A

rangGault-M.rangMichelinRest.

A. Mattei 82

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs de X et de Y en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir RCORR• Introduire les valeurs de X et de Y• Presser ENTER• Ce programme ne fait pas partie des


A. Mattei 83

Commandes MINITAB et EXCEL• Dans MINITAB, introduire les données dans C1 et C2• Aller dans Manip et choisir RANG.

• Calculer le rang des données et mettre le résultat dans deux colonnes différentes (C3 et C4).

• Calculer le coefficient de corrélation de ces rangs (C3 et C4)

• EXCEL a la commande RANG dans les formules statistiques mais elle donne un même rang, supérieur d’une unité à celui de la donnée précédante, lorsqu’il y a des données identiques.

A. Mattei 84

Les indices statistiques

• Une seule valeur pour résumer des phénomènes souvent très complexes:

• indices des prix, indice de confiance des consommateurs, indice de compétitivité des nations, indice de développement humain, indice des cours, indice de masse corporelle, etc.

• Indice élémentaire et indice synthétique

A. Mattei 85

Indice élémentaire

• Rapport entre deux valeurs: it/0=pt/po

• Ex. cours de la livre sterling en francs• iCH/£ = 2.5/1• Réversibilité : cours du franc en £

i£/CH=0.4=1/2.5• Circularité: i£/€ =0.64 ; i€/CH = 0.625

i£/€ x i€/CH = i£/CH

0.64 x 0.625=0.4

A. Mattei 86

Indice synthétique

• Combinaison d’indices élémentaires

• Carli (1764): moyenne de 3 prix pour le calcul du taux d’inflation (blé, huile, vin)

• Soit it un indice élémentaire par rapport à la période de base (it/0). On a:

• où ωj est la pondération

∑= tjj

t iI ω

A. Mattei 87

Exemples

• SMI: indice du cours de 20 titres. Pondération: capitalisation boursière (Novartis 15%, UBS 12%, Nestlé 19%, etc.)

• ISPC: indice suisse des prix à la consommation. Pondération: 220 groupes de dépense (loyer 19.5%, repas dans les restaurants 3.6%, etc.)

• HDI: indice de développement humain. Trois indices: taux d’alphabétisation, espérance de vie, PIB par tête.

A. Mattei 88

Indice de Laspeyres

• Indice de prix (pondération période de base)

• Indice de quantité

∑ ∑∑∑ ====

oj

oj

oj

ojo

joj

tjt

jtj

ojo

joj

oj

tjt

L qp

qp

p

pii

qp

qpP ωω ;;

⟩=⟨== ∑∑∑

oj

tjt

jtj

ojo

joj

oj

tjt

L q

qii

pq

pqQ ;ω

A. Mattei 89

Indice Paasche

• Indice de prix (pondération variable)

• Indice de quantité

∑∑=

tj

oj

tj

tjt

P qp

qpP

∑∑=

tj

oj

tj

tjt

P pq

pqQ

A. Mattei 90

165125200100

80408020440104

45406015430103

40456020330152

po.q1p1.qop1.q1q1p1po.qoqopo

65.1100

165 ; 25.1

100

125 ==== LL QP

6.1125

200...; 21.1

165

200 ==== PP QP

A. Mattei 91

Indice Fisher

• hausse nominale

• Réversibilité satisfaite (contrairement à Laspeyresqui devient Paasche ou Paasche qui devient Laspeyres)

PLF III ×=6248.1..;23.121.125.1 ==×= FF QP

:100

2002 HQP FF ===×

A. Mattei 92

Relations entre les indices

• Soit H la hausse nominale. On a:• PL x QP = H• PP x QL = H• PF x QF = H• Si on connaît la hausse nominale et un

indice, on peut obtenir l’autre en utilisant ces formules

A. Mattei 93

Faiblesse de Laspeyres

• En utilisant la pondération de base, l’indice Laspeyres ne tient pas compte des possibilités de substitution

• Indice-chaîne: on change la pondération chaque année:

0.101;2.104 04.12/05.1200.5/04.12 == LL PP

2.1050.1012.10400.5/05.1204.12/05.1200.5/04.12 =×==× LLL PPP

A. Mattei 94

Valeur nominale et réelle

• Inflation = hausse généralisée des prix• Si tous les prix augmentent de 5% on dit que

le taux d’inflation est de 5%• Dans le cas d’une hausse différenciée des

prix on calcule le taux d’inflation en prenant un indice de prix

• Valeur réelle=valeur nominale/indice des prix• Quantité=valeur réelle

A. Mattei 95

160200100

643.28020440104

483.26015430103

482.46020330152

x .q1p1/PLp1.q1q1p1po.qoqopo

PQ→= 6.1100

160

A. Mattei 96

• (+15.5%: hausse nominale)

• (+10% hausse réelle)• taux réel= taux nominal – taux d’inflation • 1 + taux d’inflation• taux réel ~ taux nominal - taux inflation=10.5%

48.5142

27.724.46.32446

9.242.24.2824

11.555.52.11052

p1.q1q1=1.1qop1=1.05popo.qoqopo

155.142

51.48 =

10.105.1

155.1 =

A. Mattei 97

Illusion monétaire

• Difficulté à saisir le concept de valeur réelle (consommateurs, syndicats, hommes politiques)

• Taux d’intérêt nominal et taux réel• Hausse de salaire nominale ou réelle• 4% avec 2% inflation ou 3% avec 1%?• Turquie, 03: taux intérêt 37.7%, inflation 25.2%• Déflation: baisse généralisée des prix

A. Mattei 98

-2

0

2

4

6

8

10

1950 1960 1970 1980 1990 2000

TAUX D'INFLATION EN SUISSE

A. Mattei 99

Indice des prix à la consommation

• Calculé depuis 1922 en Suisse• Indice Laspeyres avec pondération tirée des

budgets des ménages, changée chaque année

• Prix relevés chaque mois pour alimentation et produits pétroliers, autres 3 ou 6 mois

• 1046 biens et services• 12 groupes principaux, 83 groupes• Pondération pour 218 biens (ERC 2005)

A. Mattei 100

A. Mattei 101

• 11 régions (Genève, Lausanne, Sion en Suisse romande)

• 2200 points de vente• Décembre 2005=100• Problème en cas de changement de qualité• Indice « plutocratique »• Pas de substitution � surestimation du coût

de la vie• Moyenne géométrique pour les prix des

variétés. Ex: citrons et oranges pour les agrumes

A. Mattei 102

Indice plutocratique et démocratique

• Pondération autres biens:• plutocratique 0.304 ; démocratique 0.248

12500050000Total

0.68850000.210000Autres

0.16200000.420000Loyer

0.16200000.420000Alimentation

DépenseDépense

%1%9Ménages:

A. Mattei 1039.17.28.33.11.61.1autres

4.65.16.87.07.05.0équipement

1.72.02.02.43.12.0boissons al.

8.99.59.35.52.50.3restaurants

9.210.37.713.85.03.0loisirs

10.89.49.713.17.43.9transports

15.913.410.27.07.02.0santé

4.65.16.58.013.015.0habillement

25.426.525.223.023.027.0logement

11.011.514.317.130.440.7alimentation

200720001993197719661939

A. Mattei 10410.517.911.7autres

2.90.30.7enseignement

2.43.91.7boissons alcoolisées

8.17.78.9restaurants

5.98.69.2loisirs

16.616.010.9transports

6.09.115.9santé

4.25.84.6habillement

33.714.425.4logement

9.716.311.0alimentation

Etats-UnisFranceSuisse

A. Mattei 105

Budgets des ménages

• Environ 20000 adresses tirées au sort• Demande téléphonique de participation• 70% ne sont pas d’accord• Échantillon aléatoire de 3300 ménages• Relevé des dépenses quotidiennes

pendant 1 mois (gros travail)

A. Mattei 106

•

A. Mattei 107

•

A. Mattei 108

A. Mattei 109

Septembre 2007

• ISPC=101.1 (décembre 05=100)• +0.7% par rapport à septembre 06• Alimentation: -0.7%• Habillement: +3.2%• Communications: -3.4%• Marchandises: +0.3%• Services: +1.1%• Biens importés: +0.7%

A. Mattei 110

Indices de concentration

• Distribution des revenus: courbe de Lorenz• Egalité parfaite: diagonale• Inégalité parfaite: axe horizontal jusqu’à la fin

et ensuite rejoint la diagonale• Pas d’ambiguïté si pas de croisement• Indice de Gini• Indice d’Atkinson• Indice d’Herfindahl

A. Mattei 111

•

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

COURBE DE LORENZ

INEGALITE PARFAITE

EGALITE PARFAITE

A. Mattei 112100%100%

100%35%100%10%

65%40%90%40%

25%25%50%50%

% cumulés% revenu% cumulés%

100010

3503501

4001004

250505

totalrevenunombre

A. Mattei 113

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

COURBE DE L0RENZB

C

D

E

A

G=ABDE/ABC

A. Mattei 114

•

0

20

40

60

80

100

25 50 75 100

COURBES DE LORENZ

IQ

TAILLE

REVENUFORTUNE

A. Mattei 115

A. Mattei 116

A. Mattei 117

A. Mattei 118

Coefficient de Gini

• µ=moyenne, n=nombre individus• G=0 � égalité parfaite; G=1� inégalité parfaite• 0 ≤ G ≤ 1 (avantage par rapport au CV)

11

)32(2

3212−−+⋅⋅⋅+++=

nnyyyy

nG nµ

nyyyy ≤⋅⋅⋅≤≤≤ 321

∑∑ −=j

jii

yyn

Gµ22

1

A. Mattei 119

Quelques coefficients de Gini

• Suède: G=0.22• France: G=0.30• Suisse: G=0.32• Irlande: G=0.33• Etats-Unis: G=0.34• Taille: G=0.1• IQ: G=0.15

A. Mattei 120

Une faiblesse de cet indice

• A B C• 100 50 100• 200 250 200• 300 300 250• 400 400 450

• Gini: 0.250 0.275 0.275• Atkinson (ε=1.5) 0.175 0.344 0.190

A. Mattei 121

Commande TI-83/84

• Introduire les données par ordre croissant dans L1 et les fréquences dans L2 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir GINI• Presser ENTER• Ce programme ne fait pas partie des


A. Mattei 122

Commande MINITAB

• Introduire les données dans C1• Taper, dans la fenêtre Session %GINI C1 • (Ce programme ne fait pas partie des

commandes MINITAB standard)

• Il n’y a pas de commande spéciale dans EXCEL

A. Mattei 123

Indice d’Atkinson

• fi=proportion d’individus avec le revenu yi

• Différence entre inégalité dans les bas et les hauts revenus

• Dépend de l’importance attribuée à l’inégalité (ε=0� aucune I=0)

)1/(11

1

εε

µ

−−

−= ∑ ii f

yI

A. Mattei 124

Indice d’Herfindahl

• Herfindahl: concentration industrielle

• 1200-1700: doutes sur la concurrence• > 1700 � la concurrence est en danger

Q

qH i

ii == ∑ ωω ; 10000 2

A. Mattei 125

Indices pour la Suisse

• Industrie chimique: 2571• Banques: 1781• Industrie textile: 1655• Industrie du papier: 1220• Commerce de gros: 570• Commerce de détail: 374• Restauration: 125

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Mesures de tendance centrale - HEC UNIL · les statistiques descriptives, vous obtenez aussi la moyenne tronquée (Moyenne TR), sans le 5% des valeurs les plus petites et 5% des valeurs