Méthode de calcul de l'encombrement dans les systèmes téléphoniques automatiques a marquage

M]~THODE DE CALCUL DE L'ENCOMBREMENT DANS LES SYSTI~MES 'i'~L~IPHONIQUES AUT(~MATIQUES A MARQUAGE

par Pierre LE GALL Ing~n ieur des T616eommunica t ions *

SOMM,~ae. - - Dans la pr&ente gtude, nous d@agerons des lois ggn&ales et nous /ormulerons une r@le tondamentale permettant d' gtudier commodgment, dans tons les cas, l'encombrement dans les systdmes de commutation tgl@honique automatique h marquage. La m~thode expos& s'gtend aisgment dt l'gtude de l'encombrement dans le cas de

tr~fics quelconques, sans aucun rapport a~,ec le trafie t~l@honique.

PLAN. - - I n t r o d u c t i o n . E x p o s d d e la m d t h o d e . - - - I) H y p o t h ~ s e de b a s e ; II) C o m p o r t e m e n t d e s l i a i s o n s d ' u n m ~ n t e d t a g e ; III) I~tude d e l ' e n c o m b r e m e n t d ' u n g r o u p e d e n t a r q u a q e . - - Conclus ion . - -

Annexe : Relalion entre une h)i queleon<lue etla lot de BERNOULI.I.

I N T R O D U C T I O N

Dans les systbmes de commutation t616phonique automatique, il est fait appel, de plus en plus, aux dispositifs de marquage, surtout depuis l 'introduction des systbmes Crossbar. Ces dispositifs consistent h contrSler et diriger compl~tement le fonctionnement des commutateurs servant h 6tablir les liaisons entre les abonn6s, commutateurs consli tuant ee qu'on peut appeler le r6seau dc connexion.

Les organes de commande, op6rant ces mar- quages, deviennent de plus en plus compliqu6s, mats cette complexit6 est largement compens6e par le gain r~alis6 darts Ie r~seau de connexion, celui-ei pouvant 6couler plus de trafic, h caract6ristiques 6gales.

I1 s'ensuit, avec ces syst~mes, des calculs d'encombrement beaucoup plus ditl]ciles.

Dans les syst~mes n'uti l isant pas la technique du marquage, on opdrait gdn6ralement de la fa~on suivante. On prenait un commutateur A h l'6tage q, puts ce dernier cherehait un comnmtateur B libre, h l'6tage (q + 1), parrot ceux correspondant h la direction d6sir6e. Les commutateurs B formaient un groupe de N commutateurs 6coulant un trafic Tq+ t ind6pendant stat ist iquement du trafic s'6coulant dans les autres commutateurs du m~me 6rage. Ils lb6issaient h la lot d'ERLAr~G, et la probabilit6 Pq+I de ne pouvoir prendre un commutateur B, h partir ou commntatenr A, disposant de K contacts sen- demen! pour la direction d6sir6e, L'tait :

Pq ~ 1 = E2v(Tq i-*)IElv-~(T,,, *),

avee E, , (7 ' ) = T"lm ! / [ ( ' t + : r / ~ ! + . . . ~ T"'I,, !)],

formule valable m~me dans le cas de l'usage des proc6d6s du ~ grading )), h condition de bien r6partir le trafic sur les divers commutateurs B (excluant tout dispositif de priorit6, notainment pour les lignes communes). Nous y reviendrons ult6rieure- ment, ~propos de l'emploi du grading(*). Dans le cas

oh une bonne r6partition du trafic n'6tait pas r6a- lis6e, on pouvait se borner h prendre la valeur p a r excbs: Pq+l < Ek(tq+l) , oft tq+ 1 6tait le trafic 6cou16, vers la direction d6sir6e, par le groupe du commutateur A, sur ses K contacts.

Les groupes de trafic de base 6tant diff6rents h chaque 6tage, les diverses probabilit6s Q~ = 1 - - pq 6taient pratiquement ind6pendantes, et le taux de perte d'abonn6 h abonn6 6tait :

P = 1 - - ~q (Qq)~_ x l,,,, q

du fait que les Pq 6taient faibles. Les calculs 6taient donc tr~s simples ct rapides,

la lot d'EnLA~G 6tant tabul6e. Avec l'emp]oi de dispositifs de marquage, on

s'arrange pour ne prendre une liaison qu'apr~s avoir v6rifi6 qu'elle mb.ne h une liaison libre, :m moths, dans l'6tage, ou les 6rages suivants.

Nous disons quc l'on effectue une s61eet ion conju- gu6e h n dtages, ou encore un marquage h travers n 6rages, si nous nous imposons le, ou les points d'entr6e au premier 6tage, ainsi que le ou les points de sortie au nedtage, et si nous essayons tous les chemins possibles g6ographiquement pour aller des points de d6part impos6s aux points de sortie impo- s6s. II est 6vident que tous ces cssais n 'out pas besoin d'fitrc fairs effectivement. Ils peuvent s'arr6- ter d~s qu 'un chemin libre a 6t6 trouv6.

Ce proc6d6 permet d'obtenir des 6rages off les groupes de commutateurs ne correspondent plus chacun h un trafic individuel, stat ist iquement ind6- pendant des autres, puisque les directions prises ne correspondent plus forc6ment h des num6ros d'abon- n6s. De sorte que, pour ces 6tages, si l'on regarde un groupe de commutateurs d6termin6, on constate que le fonctionnement de ses liaisons v6rifie plut6t la lot de BERNOULLI que la lot d'EnLANr puisque ces liaisons font, en fair, pattie d 'un faisceau beaueoup plus important , celui constitu6 par les liaisons de l'6tage tout entier. I1 en r6sulte un taux de perte bien inf&ieur avec ce principe de marquage.

* A c t u e l l e m e n t au C. N. 1!',. T., ])I~:PARTEMENT RECIIERCnES SUR LES MACUlNES I~2LECTRONIQUES, (*) Dans une 6tude t ou t e rdcente sur le g rad ing [6], A. •LLDIN propose une fo rmule p lus exac t e [ fo rmule (10 his)

d u p r6 s en t ar t ic le] .

[ ] E n r6gle g6n6rale pou r t o u t renvoi entre crochets au cours du t e x t e d ' u n ar t ic le , prii~re de se r e p o r t e r h I a b ib l i og raph i c c o m p l 6 t a n t l ' a r t i e l e in llne.

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t. 12, n o 11,195~] METttODE DE CALCUL

II revient au m6me de dire qu'h caract6ristiques 6gales pour le r6seau de connexion le principe du marquage permet d'6couler plus de trafic.

Mais les calculs d 'encombrement sont plus difiq- ciles. En effet, dire que l 'on ne prend une liaison que si l 'on est stir de franchir l'6tage suivant, c'est consi- d6rcr, commc cas d 'encombrement , celui off l 'on a s imuhan6ment certaines liaisons libres d 'un m~me 6tage et les liaisons correspondantes, de l'6tage sui- v a n ( , o c e u p 6 e s .

l)aus un marquage h travers u 6tagcs, plus n est grand, plus le nombre de cas d 'eneombrement h 6va- luer [:st grand, et dcvient difficile h exprimer par les m6thodes ordlnaires (le l 'analyse coml)inatoire.

A ce sujet, nous signalons que, pour simplifier ces calculs, il a 6t6 imrodui t la notion de (( (ratio tic(i()). D'apr6s ees fa~ons de volt, une liaison libre esi c(msid6r6c comme occupde si ]es liaisons corres- pondautes consid6r6es dans l'6tage suivan! sont occup6es, i~a cliarge p de ceUe liaison serait done augment6e (Fune charge (( tictivc )), ce qui dispen- serait d'6valuer t ous l e s cas d'cncomlu'emeni d6j~( signal6s. {:cite notion a, malheureusement, deux inconv6nients majcurs : elle n'a pas de fondement v6ritable dans la th6orie des proc"ssus stochastiques, ,.t elle ne fournit pas l 'ordre de grandeur de l 'erreur commise. I I e s t toujours pr6f6rable d 'obtcnir une formule aussi exacte que possible, m4me compliq u6e, quilte, ensuite, h proc6der h toutcs les approxima- lions souhaitables, dans un but (le si~nplilication, mais ('n sachant bien l'or(h'~, de ~ran(lmn' de l 'erreur iul roduil~..

Dans un article i)r6c6dent [5j, nnus avons consi- d6r6 le probl6me (lans le cas de rdscaux (Ic connexion lels que, pour 5tal)]ir une communicalion, nmJs u'essayons que queh]ues liaisons d 'un nffmm 6(age, apl)artenant h u n Ill'Hilt groiIt)(~ de trafic, ll en r6suhait quc l'on l,Ouwdt appliquer h( loi dc HER- NOULLI, an lieu de celle d'l~hu~,N(:, avcc des correc- tions simples. Nous y av(ms pr6scnt6 une m6thodc de calcul qui avail le grand avantagc de supprimer l '6valuation de tous les cas d 'encoud)rement dont nous avons d6jh parl6. Elle n'a 6% l)r6sent6e que dans le cas pr6cis5 ci-dessus. Nous voulons l '6tendre au cas g6n6ral oh nous sommes oblig6s d 'appliquer la loi d'ERLANG OU tout(: autre h,i. I!:n effcl, dans certains syst6mes de conmmta l io . , ml va j , squ 'h tester routes lcs liaisons d 'un mSmc 6t age appar!enant h u n m~me groupe de (ratio.

Nous allons done exposer la !h6orie dans toute sa g6n6ralit6, afin qu'elle puisse ~tre appliqu6e h tous les syst6mes h marquage, en nous efforqant de mettre en 6vidence les prineipes utilis6s. La m6thode repose essentiellement sur une remarque qui permet de passer de la loi de BEnNOULLI h une 1oi quelconque, 6vitant les di~eult6s de l 'analyse combinatoire. En outre, un princlpe de base sera admis, celui relatif "h l 'cxistence d 'un 6(age central plus concentr6, permet tan t de n6gliger l 'influence du fonc- t ionnement m6canique du central sur la nature des tratics 6coul6s, hypoth6se v6rifi6e par l 'exp6rience.

DE L'ENCOMBREMENT 2/13 Nous supposerons toutefols, que, dans un groupe

de trafic, les liaisons sont 6galement charg6es. Nous excluons done, en principe, les syst6mes poss6dant des dispositifs de prior!t6, ou nous consid6rons seulement les syst6mes qui ont des dispositifs tels qu'i]s influent peu h l 'heure charg6e. Nous supposerons, en outre, que les probabilit6s d 'encombrement des organes de comnmnde sont sut~samment faibles devant celles relatives au r6seau lui-m~me pour n6gliger leur influence stir le blocage d 'abonn6 h abonn6.

Dans cette 6tude nous exposerons la th6orie que nous appliquerons ul t6rieurement dans une deu- xi6me 6tude h de~, probl6mes fondamentaux relatifs h la technique du marquage en commuta t ion t616phonique automat ique.

EXPOSI~ DE LA METHODE

I . - - H Y P O T H I ~ , S E D E B A S E .

Nous supposerons, tout d 'abord, qu'il n'est pas fail usage du (( grading )). Dans ces conditions, h une entr6e, ou une sortie, d 'un commuta teur corres- pondra une liaison ct une seule, servant h relier ce commuta teur h un autre de l'6tage pr6c6dent, ou suivant. I1 nous suffira alors de consid6rer l 'occu- pat!on des liaisons et non des commutateurs .

Nous repr6scnterons une liaison de num6ro ]" dans l'6tage i par le symbole X~. Ce symbole peut aussi 61re une variable al6atoire attach6e h la liaison ,'onsid6r6e, el [>renant la valeur I quand la liaison ~-st occup6e, ct la valeur 0 quand elle est libre.

Ddsignons par X une variable al6atoire prenant la valeur 0 quand le r6seau ou l 'ensemble des n 6tages h travers lesquels on effectue le marquage n'est pas bloqu6, et I quand il l'est. Cette variable X est fonction de toutes les variables X~ relatives aux liaisons du r6seau.

Quand une communication s'6tablit ou prend fin, toutes les liaisons prises par cette communicat ion deviennent occup6es ou libres. I1 n 'y a donc pas ind6pendancc, au sens des probabilit6s, entre les variables al6atoires relatives h des liaisons appar- lenant h des 6(ages diff6rents. De m~me, la prise d 'unc liaison X ~, dans le (:as d 'un marquage h travers n 6tages, d6pend de l '6tat de l '6tage suivant (i q- l), et par vole de cons6quence, de l '6tat de l'6tage i lui-mgme. Done les liaisons d 'un mgme 6(age ne sont pas ind6pendantes les unes des autres.

L '6tude de la fonction de r6parti t ion attach6e tt la variable X est done tr6s complexe. Toutefois, elle peut ~tre consid6rablement simplifi6e par les remarques suivantes.

Dans un m~me 6tage i, off le choix des liaisons d6pend de l '6tat de l'6tage suivant, deux liaisons X ~', appar tenant h deux groupes de trafic statistique- ment ind6pendants ne sont pas ind6pendantes ; mais si le r6seau est bien con~u, la corr61ation entre les variables al6atoires consid6r6es peut ~tre faible,

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:3/13

hypoth~se qui ne peut d'ailleurs donner qu'une plus grande valeur au blocage calcul6. Le fonctionnement des liaisons d'un mgme groupe sera donc consid6r6 comme pratiquement ind6pendant de l'&at des autres groupes du mgme &age. Nous supposerons, par suite, ind6pendantes les variables al6atoires attach6es h deux liaisons n'appartenant pas h u n mgme groupe de trafic.

Un groupe de trafic de l'&age i peut se subdiviser dans l'&age (i + 1) en plusieurs groupes de trafic auxquels peuvent acc6der les autres groupes de trafic de l'&age i. Pratiquement, l '&at d'un groupe de trafic de l'&age i peut paraltre ind6pendant de l'&at d'un groupe de trafic de l'&age (i + 1). Comme les diff6rents chemins possibles h consid6rer pour l'6tablissement d'une communication passent par un mgme groupe de trafic dans un &age donn6, nous pouvons finalement consid6rer les variables al6a- toires X~ relatives h des &ages diff6rents et concernant les chemins pr6c6dents comme ind6pendantes les unes des autres. Dans le cas off plusieurs &ages successifs sont travers6s par un mgme et unique groupe de trafic, des pr6cautions sp6ciales sont prendre, comme nous le verrons dans notre dernier exemple sur un r6seau de marquage h six &ages.

Darts la pr6sente m6thode, nous supposerons doric essentiellement que les variables al~atoires X ~ relatives h des dtages dil~drents sont inddpendantes les unes des autres.

Cette hypoth~se fondamentale, qui ne nous 61oigne que tr~s peu de la rdalit6, est d'ailleurs uti- lis6e par tous ceux qui se penchent sur ces probl~mes d'encombrement. En effet, sans cette hypoth~se, le probl~me est g6n~ralement impossible h r~sou- d r e .

Moyennant cette supposition, nous allons pouvoir traiter rigoureusement le probl&ne.

Nous allons, tout d'abord, avoir besoin de la loi qui donne la probabilit6 pour que, dans un groupe de trafic de k lignes d'un &age, ~1 liaisons d6ter- min6es soient occup6es et ~2 liaisons d&ermin6es soient fibres. Nous repr6senterons cette probabilit6 par le symbole [p~'.q~']k.

Apr~s quoi, nous pourrons &udier le probl&ne de l'encombrement.

II , - - C O M P O R T E M E N T D E S L I A I S O N S D ' U N MP+ME P+TAGE.

A . - Principe de base .

Nous d6signerons par le symbolc (p~'. q~')K, la pro- babilit6 d6sign6e ci-dessus, mais dans le cas d'un faisceau isol6 de K lignes.

G6n6ralement, on admet l 'hypoth&e de l'ind6- pendance des appels et la loi exponentielle des conversations. Nous avons alors la loi d'EHLANG, bien connue, d'ofl nous d6duisons l'expression de (p~' . q~')r. Cette loi est bien v6rifi6e par l'exp6rience dans la g6n6ralit6 des cas.

P. LE GALL [ANNALE$ DES T~COMMUNICATION!

Toutefois, notre expos~ sera valable pour une loi quelconque.

Ce serait une erreur de crolre que, dans tous les &ages, nous avons : [f".q"']~ = (P"'.q~)x, comme nous allons le voir.

F

I I

ent rSe I

I I L

co~tratlon brassal~e et concen~ion]

I I

Fro. 1. - - T y p e de r6seau de connex ion .

Beaucoup de rdseaux de connexion peuvent se ramener au sch6ma simplifi6 suivant (fig. t):

Les &ages extrgmes sont des &ages de concentration de trafic. Le trafic une fois concentr6, il s 'agitde mettre en liaison une ligne quelconque du trafic entrant h une ligne quelconque da trafic sortant.

Les &ages du milieu du r6scau servent donc h brasser ce trafic et h op6rer toutes les commutations ndcessaires. Dans le syst&ne pr6c6dent, ces &ages sont constitu6s par les 616ments de s61ection de groupe.

Consid6rons done l'6tage le plus concentr~ du rdseau.

Quand il se prdsente un appel h l'entr6e du r6seau, pratiquement, au taux de perte pros d'abonn6 h abonn6 qui est suppos6 faible, une liaison va gtre prise dans l'&age consid6r6, h condition que cet &age ne soit pas encombr6. Si le r6seau est bien congu, le cas de l'cncombrement, c'est-h-dire de l'occupation simultan6e de toutes les liaisons de cet &age, est possible. Quant h la fin d'une communication, donc h la lib6ration d'une liaison de l'6tage, elle ne d6pend pas de la nature du rdseau. Nous sommes donc, pratiqucment, dans le cas d'un fais- ccau isol6, Comme nous avons suppos6 que les charges des diff6rentcs liaisons de l'6ta_e 6taient 6gales, nous avons bienpour cet &age: (p~,.q~')e.

Soulignons bien que ce raisonnement reste valable mgme si l'6tage consid6r6 comporte plusieurs groupes de commutateurs, contrbl6s par des organes de commande ind6pendants. L'essentiel est que tout le trafic du central s'6coule indiff6- rcmment h travers tous les groupes de commutateurs. Quand un appel se pr6sente, la liaison prise dans l'6tage le plus concentr6 pourra gtre indiff6- remment l'une de n'importe quel groupe. Nous y reviendrons dans un artic'e ult6rieur h propos d'une 6tude exp6rimentale.

Dans le cas off le r6seau n'est pas exactement du type qui vient d'gtre d6crit, il est g6nSralement pos-

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t. 12, n o 11, 1957]

sible de t rouver un 6tage oit l 'on puisse consid6rer le compor tement de ses liaisons comme identiques

celles d 'un faisceau isol6. A insi, en admettant l 'existence d' un gtage plus coneentrg, oh l 'occupation simultan~e de toute les l iaisons est possible, nous pouvons nggliger, pour cet ~tage, la perturbat ion apport~e par le ]onct ionnement et la const i tut ion m~canique du r~seau de connexion.

M I ~ T H O D E D E C A L C U L D E L ' R N C O M B B E M E N T 4/ t3

posons tous les eas 6galement probables, excluant toute priorit6. La probabilit6 de l '6v6nement consi- d6r6 est dans ce cas :

c N-~', v~(:r) IC~. K - - (~x + ~*) '

Nous avons done, en eonsid6yant t o u s l e s eas possibles, correspondant h diverses valeurs de N :

B. ~ Liaisons de l'~tage le plus concentr~.

I) C~as off ii n'est pas falt usage du grading.

Nous allons donner maintenant l 'expression g6n6- rale de (p~'. q~')~, en fonetion des (p'~)~, ou des (q"~)w

Pour cela, nous 6tablirons d 'abord deux relations d 'analyse combinatoire.

Nous avons : X = K ze,

(1) (I + u)~-~'4~'~.,,, ~' Z r~-~, ,~.

En remarquant ]a relation suivante :

l = [ f l + ~ ) - - ~ ] " - Z C ; . ( - I)". '"~.d +'~)~'- ' , m

nous pouvons encore 6erire :

(l + u) ~-I'+~'~ . u ~'

r n ~ O

Et d'apr~s (~):

(1 + ~)~-(~'+~'~.,,.~'

y~ c m )m, g:~-{a, + m~ = .= . ( - 1 Z ,,,N, �9 ~ K - - ( ~ t + m) "

m = 0 N

= E u ~. E C y , . ( - l ) ~ . ~-(~,~''1 K - - (~,t - t m)'

N=~ ~=0

En eomparant avec l'6quation de d6part (i), nous obtenons ]a relation :

~},~, = ~ (,N-- (a t + m) t :~- , , E ( " . ( - - ~)". z-{~,+,,~, (2) ~K-(~,+~,~ ~,

dont les deux membres sont nu]s pour N > K - - ~2. De mgme, 6crivons :

(I + u ) ~ - " , + ~ , ' . u ", = ( i + u ) ~ - ~ , + ~ , ~ . [ ( t + ~) - l i ~*

= Z C~.(-:l)~.(1 + ,,)~-(~'+~ ~ = 0

E C m . ( - - l ) m. E C u u N ~.t K - - (c~, + m)

~tt=O N

l ~'~ C N = E ,N. E C"*~,.(-- , �9 K-I~.~,,,~"

E n e o m p a r a n t avec (1), n o u s o b t e n o n s u n e d e u - xi~me relation :

t .... C N ( ' N - - ~ , := y~ c m . ( _ _ ) ' K--(e',+m)' (3) "'K-(~,+~,I ~,

dont les deux membres sont nuls pour N > K - - ~q. I~valuons maintenant (p~'.q~')~ en fonetion de la

loi P~v (T) donnant la probabilit6 pour que N liaisons quelconques solent occup6es dans le faisceau.

Si, en mgme temps que l '~tat des lignes consi- d6r6es, il y a (N ~ ~a) autres lignes occupies, nous avons C~.y_~.' +~.~ configurations possibles nous concernant sur un total de C~. Rappelons que nous sup-

N = / { ' - - ~Z s

(4) (/,~' q~')~- Z C ~-~, [PN(T)IC~]. �9 " K - - (~t + ~,) ' N = ~ x

E l , d ' a p r ~ s (2), nous p o u v o n s ~,erire :

( P " ' q " ) K ,V �9 1( "Z:j I I ~ = ~

Z P~(T)[C N. ~ C '~ ( - ~ 7 " Cx-I~,+"~

Remarquons que Z e s t nul pour N > K - - ~2- m

Nouspouvons donc 6tendre la sommation jusqu'h N ---= K. Donc :

(P~'"fl')x E C " . ( - l ) m. ~ C ~-(~,+m) ~t~ tT~tr~r N~'~=O K - - ( a t + m y L - - N k - - I I ~ K ] '

D'apr~s (4), nous pouvons 6crire :

r t t = 0

Remarquons que, dans le eas de la lol de B~.a- ~ o w H , c'est-&-dlre si les liaisons 6talent ind6pen- dantes les unes des autres, nous aurions :

(6) (I,~'.q~')K = l,~'.q ~' = t,~'.(I - - / , ) ~'

= Z C m . ( - t)m.l,~' +m flt 1

De m~me, d'apr~s (3) nous pouvons 6crire, en 6tendant encore la sommation jusqu'h N = K :

( p " . q ~ ' ) K =

N = K - a s m=~xt

E PN('I')[C~. Z C ~ , . ( - ~ ) " . C ~ K - ( x j + m ~ N = 0 m = 0

~n =or 1 N = K C N , N - Y, C~" . ( - I ) m. E z_{~,+,,~.~PN(T)ICK].

m = 0 N ~ 0

D'apr~s (4), nous d6duisons une deuxi6me relation :

~n--~ t (7) �9 (i,~,.q~.)K = ~ C~, . ( - - l)m.(q~'+m)w

m = 0

Dans le cas de la loi de BEnNOULH, nous avons :

(s)

(Pa"q~ ' )K = l ' a " q ~' = (~-- q )~"q . . . . E Cam.(--l)m.q a'+m.

Si nous eomparons les relations (5) et (6) d 'une part , (7) et (8) d 'aut re part , nous eonstatons que pour obtenir la valeur de (Pa'.qa')K nous pouvons d'abord supposer que nous sommes dans le eas de la loi de BERNOULLI, d~velopper rexpress ion obtenue par rapport aux probabilit~s d'occupation p ou d'innoc-

�9 Ce signe typographique est utilis6 pour distinguer les formules principales encadr6es sur le manuscrit.

- - 377

5/~3

cupation q, pu i s remplacer les puissances de p ou de q par leurs ~,aleurs exactes (p'),r ou (q")x"

Cette remarque est capitale, comme nous le verrons plus loin. En fait, son existence ne repose nullement sur des relations d 'analyse combinatolre, mais bien sur la nature mgme du calcul des proba- bilit6s, comme le montre l 'analyse matricielle (voir Annexe I).

Pra t iquement c'est (p")~ qui est donn6, soit par le calcul, soit par l'exp6rience.

Dans ce dernier cas l'essai est facile. On observe pendant une dur6e suffisamment longue et correspondant h u n trafic prat iqnement constant la pro- portion du temps pendant lequel m liaisons d6ter- min~es sont occup6es s imuhan6ment. Si l'on fait cet essai s imuhan6ment sur un grand nombre de groupes de m liaisons d6termin6es, la valeur moyenne obtenue donne une valeur sfire pour (p~)g. En outre, le trafic est obtenu h partir de la valeur moyennc des charges p, ces charges n'6tant autres que le trafic moyen, 6valu6 en Erlang, &oul6 par chacune des liaisons. Nous y reviendrons h l 'Annexe III.

Darts le cas de la loi d'ERrxr~c, qui est ufilis6c d'ordinaire, nous rappellerons l'expression de (P'~')K.

Nous awms, d'apr6s (4) :

~ ,~N-,,, 7,~vLv, . f t . t - ' K _ ~ 7 t �9

(/")K = Z ~ . ~ C~ t + T / I ! + . . . + T K / K !

N = K .~-r,, ~ ~- !/TK-S~]. = EK(T ). Y, CK_m.[ t - - N )

N - - m

D'apr~s la relation connue : ] o um.e-~ ' .du ~ m! l 'expression pr6e6dente peut s'derire :

(~')K

o.. d - ( , + Pour m = 0, (9) devient :

I=E,:(T).f~176 + T)~.e-u . , lu ; .

S ' ( ;)"-" ' d'oh : I + e - , .du = E~_m(T)"

Nous avons donc finalexnent : (10) �9 (pra)tr = Eg(T)/EK_m(T) .

Cette expression importante peut se calculer ais6- ment h partir des tables dormant les valeurs de E , (T), celles de CoNNY PALM, par exemple.

Dans le cas off m est net tement plus petit que k et p net tement inf~rieur h 1, nous pouvons avoir une expression approcMe simple.

Dam l'artlcle d~jh cit6 [5], nous avons montr6 que nous avions :

[ _L+, ] 1 - e - r . /~: (Pra) K _ ( K - - m) ! .Tin. ~=K

. [ L, ] �9 1 - - e - r . iv! V ~

( = ) v=E-m+l

P. LE GALL [ANNALES DES TtLf~COMMUNICA:FIONS

Nous pouvons 6crire en premi6re approximation:

(1 ]) (P")K = (K -- m) !. Tm/K ! ;

l 'erreur i'elative commise (n6gative) &ant pratique- o o

m e n t : z = - - e - . T Z T vlv!, expression dont v , - K - - m + l

la valeur num6rique est tabul6e (tables de MOLINA par exemple).

D'apr& l'expression (11), nous voyons que, plus le rapport m l k est faible, plus nous approchons de la loi de BERNOULLI. De sorte que, dans les sys- t~mes de commutat ion off l 'on essaie seulement urie partle des liaisons d 'un groupe de trafic, nous pouvons en premiere approximation appliquer la loi de BEnNOULLI, et en deuxi~me approximation la relation (11). Nous avons 6tudi6 de tels syst6mes dans l'article d6sign6 ci-dessus.

Par contre, dans d 'autres syst6mes, o6 l'introduction de dispositifs d 'entr 'a ide permet d 'essayer toutes les liaisons, d6jh charg6es, d 'un 616ment de s61ection de groupe, il n'est plus possible de faire d 'approximations. Nous devons recourir alors h l 'expression rigoureuse (10).

Une difficuh6 se pr6sente dans le calcul de (P')L, dont la valeur est donn6e par (10), si le groupe de trafic est trop important . Les tables de PALM pour la formule d'ERLANC E , (T), et celles de MouNA pour la loi de PoissoN, se limitent h des faisceaux de 270 circuits et moins, et h des trafics de 200 Erlang (t2 000 C. M.) et moins.

Dans l '&age central des syst~mes r6pondant ~ la figure 1, tout le trafie urbaln, inter et de transit du central s'6coule, en t i t lement brass6, de sorte que l'on a affaire ~ un faisceau homog~ne, 6coulant un trafic qui peut gtre sup6rieur a t2 000 C. M. (communications-minutes).

Dans ce cas, il vaut mieux caleuler les (P")z par r6currence, ou mgme les E , (T).

Dans le cas de la s61ection conjugu6e ~ 2 &ages, oh l'on n'utilise pas de dispositifs d 'entr 'aide, la plus grande valeur de m est celle du nombre total de liaisons (ou c~ mailles ~>) sortant d 'un groupe de s6- lecteurs ou commutateurs de l'6tage ant6rieur. Si K est le notable des groupes pr6c6dents, m varie entre 0 et L I K . Nous ne consid6rons qu'une portion des circuits du faisceau. I1 est indiqu6 de calculerles (P")L, par r6currence, 'h partir de (p~ = 1, par la formule suivante, d6duite de (10):

( i~) (p,, ,-,),. = [ T I ( L - , , ) ] . [ (v~)~ - - EL<T>].

Cette formule suppose que l'on connait E L (T). Or, nous pouvons 6crire :

E~(T) - I + T/l!+ ... + TL/L !

e - r . TL/L~ = e_ T + e -T. T/i! + ... + e -T, TL/z!

oo

= (e - r . TLIL ! ) / [ I - - Z e-T.T']~]. v~L+l

L'expression entre parentheses n'est autre que la formule de PoissoN. Elle se calcule als6ment, des

- - 378 - -

t . 12, n �9 11, 19571

tables donnant le logarithme de L! 11 est, d 'autre part, ais6 d'avoir une valeur sup6rieure du sight s o l n n | c , c a r ]IOUS a v o n s :

oo T,~ Z e - r .

~-z,+] v !

7'~+ ] �9 [ 1 T = e--T. (L + / ) - ~ . t + Z - ~ 2

+

' 6/13 ,m~tnOD~ DE CALCUL DE LEnCOM~R~MEnT

dentes. Une telle eldr6e est appel6e uue ii ligne commune ),. Les liaisons sont dispos6es suivant des permutations cycliques de fa~on h bien r6partir le trafic sur les diff6rentes entr6es de l'6tage suivant. On dit que l'on effectue un ~ grading ,.

Dans certains syst6mes, on ne prend une ligne "/'z ] ~ . . . . commune que quand les entr6es ordinaires sont

prises. La charge d'unc ligne commune peut alors ~tre inf6rieure h eelle d 'une entr6e ordinaire.

L%tude de l 'eneombrement, dans ee eas, est diffieile et nous ne l'aborderons pas.

No,,s ne rctiendrons que l 'autre cas, oh une ligne c,(~nlml]ne c ' s t prise avecla rn~me probabilit6 qu'une entr6c ordinaire, et nots supposerons que, le trafic O, ant bien r6parti sur les entr6es, les prises de ces entrSes sont pratiquement identiques h celles des lignes d 'un faisceau isol6.

Au lieu de consid6rer la prise des liaisons, nous devons, maintenant , nous occuper de la prise des entr6es de l'6tage suivant.

Tout ceci peut s'appliquer 'h l'6tage central, s'il y a, au total, plus de sorties h l'6tage pr6c6dent que d'entr6es h l'6tage suivant.

Nous avons toujou,'s la mglne formule :

( : , q~.),~

appliqu6e, cette fois-ci, attx entr6es suivantes, et non aux liaisons, p est alors la charge des entr6es et K leur nombre. La relation (5) est alors valable. Dans le cas de la loi d'EnLANC, nous appliquerons done aux entr6es la relation (10). Elle est d ' au tan t plus v6rifi6e par l'exp6rience, dans les cas pratiques (voir la r6f6rence 2), que le nombre g de sectionnements de 1'6tage pr6c6dent est plus grand, l.a relation (10) est toutefois un peu optimistc.

Dans unc 6tude toutc r6cente, eL trbs importante sur le grading, dans iccas de la recherche de put hasard, A. E!ldin [6] propose uoe formulc qui pourrait ~,tre plus exacte que la relation (I0) h savoir :

I (P")K = EK (T)'p(g)IEK-~(i), [ EK-m(T) " l" 0 0 h i s ) . v ~ c ~(g) = L E K _ , , , [ ( g _ I ) . T I g ] .

o u , (;st, une constante, g le hombre de seetionnements de l'6tage pr6e6dent et m le nombre de contacts affect6s dans un de ees sectionnements pour 6eou- ler le trafie T. Nous voyons que dans ee cas de grading sym6trique et homog~ne, (p~)~ d6pendralt de g et tendrai t vers l 'expression (10) pour ginfini.

I1 serait tr~s utile de pouvoir faire une 6tude exp6- rimentale, en trafie artifieiel, de fa~on h v6rifier eette formule (10 bis), m~me pour des valeurs quel- eonques de m, ind6pendantes du nombre de contacts par sectionnement, comprises entre 0 at K, et d6terminer la constante a, qui pourrait ~tre alors fonetion du nombre de contacts r6serv6s par seetion- nement, ou mieux, du nombre de moyen fraction- naive, aboutissant i~ une entr6e de l'~tage suivant (nombre moyen d'interconnexion).

En tout eas, d~ns le pr6sent artlele, nous nous bornons h utiliser la re ation (t0), dans le eas du

- - 3 7 9 -

(L + 2) (L + 3)

Le terme g6n6ral de la s6rie entre crochets cst inf6,rieur h (T/L + 1)". La s6rie enlre crochets (',st donc inf6rieure "h :

( " ) ' 1.~ T 2 T - i + ' ~ E~--~-r ~ ' 1 - r / , , + ,

1) ou :

(t3) ~ o

y, e - r . T ' l , , : e - '~ . ' rL I t , ! ) .T I l~ i / , ~ l i "1"] v - I , ~- t

(13) donne uric wdeur sup~ricurc tic l 'erreur rela- t ive commise en remplas la fornmle d'EnLANG E L (T) par celle de PoissoN. G6n6ralement, nous avons p = (T/L)< 0,8. L'erreur est alors inf6- rieure h 0,4. (e -T. TL/L!). Pour cctte charge de (0,8), elle est faible, vu que e -T. TL/IA est faible pour les gros faisceaux.

Une lois E z (T) ,-;tlcul6, nots ,v(,ns, par la relation (12), les valeurs de (P~)z aw, cune bonne approximation. Toutefois, il peut arriver que, pour avoir une valc,ir approch6e de (P='.q~)z, nous soyons oblig6s de calculer les (pm)z avec une tr6s grandc pr6cision, si =2 est suffisamment grand. En effet, la relation (5) est compos6e d'une somme altern6e, dont les coefficients C~ ~, peuvent ~tre tr6s grands. I)ans ce cas, on est r6duit h tabuler la formulc d'EnLANC E , (T) pour la valeur dc T consid(b'~';e, puis "~ utiliser (10), pour calcuh,r (P'~)t"

Dans le cas de l'utilisation de <tispositifs <l'en- lr 'aide, m varieentrc 0 et L. l,'h aussi on tabuh~ E , (T), par la relation de r6currence, valable depuis ,~ = I lEo ( T ) = 1!"

:l n t E,,(T) I t ~ " E , ,_ , (T )

2) Cas de I 'emploi du r162 grading ~.

Jusqu'h pr6sent, nous avons suppos6 qu'il y avait une correspondance bi-univoque entre les liaisons et les entr6es des commutateurs de l'6tage suivant. De sorte que nous avons pu raisonner uniquement sur l 'oceupation des liaisons. A une entr6e, n'aboutissait qu'une liaison et une seule.

Or, il arrive souvent, que l'6tage pr6c6dent, rece- r a n t un seul groupe de trafic sur ses entr6es, 6coule sur ses sorties plusieurs groupes de trafic diff6rents. Un de ces groupes de trafic sortant T aboutit , h l'~t.";e suivant, ~ un groupe de commutateurs bien d6ter- min~, dont le nombre K des entr6es peut gtre plus faible que le nombre de sorties de l'6tage pr6c6dent 6eoulant ce trafic. Dans ces conditions, une entr6e suivante peut gtre reli6e h plusieurs sorties pr6c6-

7/t3 P. LI~ GALL [ANNALRS DES T~LI~OMMUNICATION~

grading, et dans tout ce qui suit, nous ne consid6- plexit6, comme nous l 'avons fait remarquer dans rerons plus le cas du cc grading ~. I1 suflirait, pour l ' introduction, a 6t6 finalement utilis6 dans des sys- entenir compte, de remplacer lesliaisons, ou mailles, t~mes de commutat ion utilisant des commutateurs par les entr6es suivantes, darts nos formules, rotatifs.

C. ~ Liaisons des autres fitages.

Dans les 6tages moins concentr6s, l '6valuation de [P~'.q~']K est plus d61icate. Nous distinguerons deux cas, suivant que l'6tage consid6r6 appart ient ou non au groupe de marquage contenant l '6tage le plus concentr6.

/ x , n

Fro. 2. - - C o m m u t a t e u r Crossbar .

Avant d 'aborder cette 6tude, nous allons faire quelques remarques relatives aux commutateurs employfs. Le commuta teur g6n6ralement utilis6 dans les syst~mes h marquage est du type Crossbar. II a p entrdes et n sorties. La liaison entre la ligne entrante de num6ro Pl et la ligne sortante de nu- m6ro n 1 se fait en 6tablissant le contact du c( point de connexion )) qui se t rouve h l 'intersection de la ligne Pi et de la colonne n I (fig. 2). Dans les sys- t~mes m6caniques, ces lignes et colonnes sont effec- t ivement mat6rialis6es par des barres dont le d6pla-

pt } Fro. 3. ~ Sch6ma s impl i f i6 du c o m m u t a t e u r t~rossbar.

cement 6tablit le contact d6sir6. Dans les syst~mes qui font appel h l'61ectronique, le point de connexion peut gtre, par exemple, une diode command6e h ses bornes par deux polarit6s repr6sentant la ligne et la colonne pr6cddentes.

Nous repr6senterons sch6matiquement ce commuta teur par la figure 3, qui ne repr6sente pas forc6- merit un commutateur physique. On peut, par exemple, avoir deux commutateurs p X n, dont les sorties sont multipl6es. Le commuta teur sch6ma- t ique est alors : (2p) • (n).

De par son principe, le commutateur Crossbar est sans intelligence. Oa est oblig6, pour le faire fonc- tionner, de r marquer ~ la ligne entrante Pl et la ligne sortante n~. ~ D'ofi l ' introduction des syst~mes

marquage. Le principe du marquage, offrant des avantages certains, malgr6 une plus grande corn-

p<

12

FIr 6. - - Groupe de sdlcc teurs ro ta t i f s .

Au commutateur Crossbar pr6c~dent correspond un groupe de p s61ecteurs rotatifs ~ n sorties, mul- tipl6es entre elles (fig. 4).

Nous repr6senterons, de m~me, sch6matiquement, la figure 4 par la figure 3.

A p r o p o s de l 'emploi de ces commutateurs rotatifs, une remarque importante est h faire. Si l~ sont les lignes du iaisceau des m lignes sortantes correspondant fi une direction, ou niveau, k donn6, et s ices lignes sont adjacentes sur le banc des s61ec- teurs du groupe, il est 6vident, de par le principe mgme du commutateur rotatif, que la premiere de ces lignes lk sera prise en priorit6, si elle est libre. Nous supposons, pour cela, que routes les lignes l~ sont essay6es suceessivement avant de passer au niveau suivant, ce qui est g6n6ralement fait, au lieu d'essayer certaines lignes l~, puis les lignes d 'autres niveaux, avant de revenir aux lignes lk restantes. Ces lignes seront donc in6galement charg6es. Par contre, nous supposons essentiellement que les dif- f6rents niveaux d 'un mgme groupe de trafic sont 6galement charg6s, c'est-h-dire que nous ne mar- quons pas ces niveaux dans un ordre d6termin6, syst6matiquement ou, dans le cas contraire, nous ne commen~ons jamais par le mgme niveau. Nous avons donc, dans ces conditions, des in6galit6s de charge, darts un groupe de trafic, uniquement h l'in- t6rieur de chaque niveau, lequel 6coule un trafic ind6pendant de son num6ro.

380

t. 12, n o 11, 1957]

Consid6rons alors un niveau k donn6. II sert h relier deux commutateurs sch6matiques de dcux 6tages adjacents (fig. 5).

n tveau k

M E T H O D E DE CALCUL DE L ' E N C O M B R E M E I N T 8/13

Signalons que la fonction g6n6ratrlce G(s), que nous introduirons plus loin, est done identique, pour s nul, dans les deux cas signal6s, de priorit6 et de non priorit6. Mais ce n'est plus vrai pour les autres valeurs de s. En particulier, les lois relatives

I au nombre de chemins libres ne sont pas les mgmes dans les deux cas.

Ces remarques faites sur les commutateurs, nous allons 6tudier le comportement des 6rages moins concentr6s.

Fro. 5. - - Lignes d ' un n iveau rel iant deux e o m m u t a t e u r s .

D6signons par Pl, P2, .'., P~ les charges dill'6- rentes des m lignes de ce niveau, et par :

P , , = { p x / % / . . . / V,,te

la probabilit6 pour que cc niw~'au soit encombrS. Comme nous essayons toujours consficu/ivcm~,nt toutes ces liaisons, P~, aura la m~mc valeur quc los charges des liaisons s, ient 6gales ou n,m, puisque le niveau b, coule lc mOme trafic dans les deux cas. Sup- posons done, provisoirement, les char~es 6gales.

Nous montrerons plus loin que, t)our 6tudier h: blocage du rgseau, nous pouvons d'abord nous placer dans le cas de la loi de BEnNOULLI, puis d6vc- lopper l'expression obtenue par rapport aux proba- bilit6s d'occupation, ct reinplacer enfin ces proba- bilit6s par leurs valeurs exactes.

Or, dans le cas prfscnt, off nous supposons : Pl = P2 ~- . . . . p m = pk, nous obtenons commc encombrement du niveau k, avec la loi de Br.n- N O U L , i : P ~ = (p~)~.

Dans ce cas, ce niveau est ~quivalent h une seule liaison de charge (pk) ~. Par suite, dans l'expression du blocage d6velopp6e par rapport aux probabilit6s d'occupation, les quantit6s Pa, P2, ..., pm (6gales h ptr) n ' interviendront que par la quantit6 (p~.)~ Done, dans l'expression exacte du blocage, ces quan- tit6s Pl, ..., pm n' interviendront que par la valeur exacte : P m == IPl, P2, ... Pr,,lk, ou par d 'autres expressions de la forme :[(Pl.P2 ... pm).pi.1 ... Pq-], off les pq~ sont relatifs 5 d'autres liaisons de l'6tage consid6r6. Ces derni~res quantit6s ne changeront 6videmment pas, que l'on suppose ou non l'6galit6 des charges des liaisons du niveau k, puisque c'est encore le groupement (Pt ... P~) qui intervicnt. Nous pouvons done conclure.

Darts le cas de l'emploi de sglecteurs rotati[s, pouvant cntra~ner des prioritds internes ~ chaque niveau, mais gt condition que les niveaux d 'un m~me groupe de trafic soient dgalement chargds, toutse passe, pour le calcul de l'encombrement du rdseau, comme s'il n'y avait attcun dispositi / de prioritd.

Cette proprift6 est d'ailleurs 6vidente dans le cas off des niveaux diff6rents 6coulent des trafics diff6- rents : cas des syst~mes n'util isant pas la technique du marquage. Mais dans le cas off plusieurs niveaux 6coulent un mgme groupe de trafic (cas de la s61ec- tion conjuguge), cette propri6t6 n'est nullement 6vi- dente.

Notre m6thode sera done valable dans tous les cas habituellement rencontr6s.

1) ~roupe de marquage central.

Supposons le groupe central B (fig. 1) marqu6 h ses extr6mit6s. I1 contient, en son milieu, l'6tage le plus concentr6 (charge de ses liaisons p,), et chacun de ses 6rages ne poss~de qu'un seul et mgme groupe de trafic. Consid6rons l 'un des 6tages adjacents l'6tage central (charge de ses liaisons p~).

Dans cet 6rage, la loi P , (T) dormant la proba- bilit6 pour que n liaisons quelconques soient occu- p6es, est, en vertu du raisonnement d6jh indiqu6 propos de l'6tage central, la mgme que dans ce dernier 6tagc. C'esl, par exemple, la loi d'ERLANa. Malheureusement, tousles eas d'occupation ne sont pas possibles. Si la liaison entre los deux 6tages se

FIG. 6. - - C o m m u t a t e u r du type concen t ra t ion .

fail par des commutateurs du type concentration h Ke entr6es, nombre sup~rieur aux Ks sorties (fig. 6), il ne pourra y avoir plus de K , liaisons occup6es simuhan6ment dans le faisceau d'entr6e d 'un commutateur.

0C1 ~1 Nous avons done : [p~'.q~']tr :/: (Ps "q, )K. t~valuons [p, ]A-, off nous consid6rons m~ liaisons

d6terrnin6es dans le faiseeau d'entr6e du commutateur de num6ro i. Nous avons : 33 m~ --= al.

i, Dans le eommutateur i, la probabilit6 pour qu'ii

y air Ns communications en eours, est :

Ni ) Ls ' %. qP- oh L, est le nombre de liaisons de l'6tage central. S'il y a M commutateurs polar relier les deux 6tages nous avons : M-----Ls[K, = Le lK , , ota Ls est le nombre de liaisons de l'6tage adjacent. La proba- bilit6 pour qu'il y ait exaetement N, liaisons d6ter- min6es oecupdes dans le faiseeau d'entr6e du eommutateur i, est :

C~j.(r.~, '.q,K'-~')L, IC~I. t?zC{-m{ configUrations pr~c~dentes conte- I1 y a ~ x s - m {

nant les mi liaisons consld6r~es. Done, la probabilit6

- - 381

9113

pour que ces m~ liaisons soient occup6es, dans le cas de N~ conversations t raversant le commuta teur i, est :

c N 6 I'~Ni--ms [ , ,N i nKs--Ni~ I (TNi Ks" ~ K e l m i " ~l's ""]~ /L8 I ~ K e "

Par suite, la probabilit6 cherch6e pour les % liaisons consid6r6es, est, dans le cas de N conversations en eours dans le central :

P v = ~ = C ~ . ~ z ~ - ~ { / x r,,,v ,.,r,-Nx

oh : E N { = N. i

Remarquons que :

c~,.c~,-~!lC~, = ~ , ~ , - - , s e - - t e l ~ ' ~ K s - - m i '

a v e c

mi ,mi "mr

Nous avons done :

p ~ = (,.:,[B~{.,d). (~,~. r - ~)~. y~{ =,~ca-,,,,,,~,_,~,~ I. Ni

Pour 6valuer le signe sonune, consid6rons polyn6me en t :

( t 5 ) F(I) : 7vi( ~ i ~L'Ni--mi" tNi)

= =~[t ~ . (t + t)~.-"q, = t~,.(~ + t)~,-~,.

P. LE GALL

le

Sous la forme (15), nous voyons que la valeur de la sommation, que nous cherchons, n'est autre que le coefficient de t ~ dans le d6veloppement du poly- n6me F(t). C'est done :

Nous en d6duisons :

CN-~I -~ LS - ~t 1"

�9 t,~N_~t ~ f r N oLs--N~

N

OU

6t I 0-6) [v;']Le : [=,(G*~.~,)] x (z',)L,. Cette expression est beaucoup moins simple que

celles d6jh rencontr6es jusqu'ici, car elle fait inter- venir le nombre m~ de liaisons consid6r6es dans lc

Ot I Oil commutateur i. I1 en r~suhe pour [p, "qe ]Le une expression tr~s compliqu6e. Si nous consid6rons, dans le commuta teur i, ml liaisons d6termin6es occup6es, et m liaisons d6termin6es libres, avec Xmi = ~1, et Zni = ~2, on peut mont rerque l'on

peut partir de la loi de B ~ R N o u ~ de la fas sulvante :

~", .q ' . = ~,(p'~'. r = ,,, [ W . ( I - p ) " },

= ~, [ x c ~ : . ( - ~)~,.p~,+~, }. v i n ,

Apr~s avoir d6velopp6 compl~tement cette expression, nous remplacerons un terme tel q u e : m ( p =*+~*) par sa valeur exacte d6duite de (16):

t X(m~+'~r =,(B~'21~,) x ~p , , )~,.

[ A N N A L B S D E S T ~ L f Z C O M H U N I C A T I O N S

Dans le cas g6n6ral les calculs ne semblent done gu@e praticables. Nous nous bornerons h envisager les sch6mas du type pr6sent6 dans notre article pr6- c6dent [5], oft nous ne consid6rons simultan6ment jamais plus d'une liaison par commutateur, dans l'~tage L~.

Dans ce cas, (16) donne :

0f I O(| (17) �9 [P;']z, : (K, IK,) "(P, )L,;

et on trouve :

(18)

O H :

[p;'.~;']L, = x q " , . ( - J'" ~ ,"+"~ ) "L ie Jl, e'

(l,q) , b,2.@2~, 0 t l + n = EC~",.(-- l) . ( K J K ) .(p,+")Z, }

(18) 6tant de la m6rne forme que (5), les remarques ddih /aites d propos du passage par la loi de BsR- NOmJa restent valables pour l'dtage L~.

Dans le cas off l'on eonsid~re deux 6tages adjacents suecessifs Lq et L~,, eorrespondant h des rap- ports de concentration respeetifs LdLq e t L~,IL,,, on a , toujours dans l 'hypoth~se oft l 'on ne consid~rc qu'une liaison par commutateur dans son faisceau entrant :

�9 ~t t .["~'l., ,t.~, = (L,,IL.) ~' • [Pe,]L,, Oil = (Le, IL,,) ~' .{ (LsIL,,)~' x (p,)L,I

~1 0~1 O U : [Pe,]Le, = ( L / L , ) ' , x (p,)L;

De mgme, on verrait que la relation (18) est encore valable, pour l '&age Le.

D'une fa~on g6n6rale, si nous considgrons n ~tages successi]s ad]acents ~t l'$tage central, et une liaison au plus par [aisceau entrant de chaque commutateur, nous pouvons, pour l'$tude du n e ~tage, supposer qu'il est dlrectement adjacent gt lYtage central, avec le rapport de concentration LslLe~.

Nous verrons un tel exemple plus loin, h propos de l '6tude d'un r6seau de marquage h 6 6tages.

2) Oroupes de concentration de trafic. Consid6rons d 'abord l'6tage de liaisons entrant

(ou sortant) du groupe de marquage central. I1 comporte diff6rents groupes de trafic sortant

(ou entrant) des groupes de concentration. Portons notre at tention sur un groupe de trafic d6termin6, comportant L liaisons r6parties en l~ liaisons dans le commutateur , de num6ro i, d'entr~e (ou de sortie) du groupe central. Ces commutateurs ont Ke entr6es et Ks sorties (Ke ~> K,).

D'apr~s le raisonnement d6jh utilis6 pour l'6tage central, la loi donnant la probabilit6 pour qu'il y air n liaisons quelconques occup6es dans le groupe de trafic consid6r6 entrant est toujours prat iquement P• (T), celle utilis6e dans l'6tage central, et en g6n6ral la loi d'ERr.ANG.

Si nous respectons, dans t o u s l e s commutateurs pr6c6dents, la condition :

(20) l, < Ks,

382

t. 12, nO l l , 1957] M~THODE DE CALCUL DE L'ENCOMBREMENT

il s 'ensuit que toutes les combinaisons d 'occupations sont possibles physiquement dans le groupe des L liaisons. Dans ces conditions nous avons :

[p~'.q~']L = (p~,. q~')~.

Le probl~me est donc beaucoup plus simple que celui du groupe central vu au paragraphe pr6c6dent.

On peut appliquer le mgme raisonnement h chaque 6tage des groupes de concentrat ion de trafie, sous r~serve d'appliquer tou]ours la condition (20).

Done, dans tous tes cas, on peat tou]ours appliquer la remarque d~l~t [aite concernant le passage par la loi de Bernoulli.

Nous avons achtv6 l '6tude th6oriqut du co, ,por- t ement des liaisons d 'un r6seau de connexion. Nous avons obtenu des r f suhats simples, sauf dans le ,:as du groupe central h plusiturs 6tagts.

Nous allons ma in t tnan t 6tudi t r le pt'obl6nw, dt l ' encombrcment du r6seau de conntxion en t r t un ou plusieurs points d'entr6e t t un ou plusieurs poinls de sortie, en fonction du compor temcn | des liaisons des diff6rents 6tages. Ce probl~me st ram~ne h celui relalif h u n groupe de marquage (ou tncore de sb~lcc- lion tonjugu6e), l 'encombremenl lolal du rfseau s 'obtenant ais6ment h partir des encombrcmenls partiels des groupts successifs.

I I I . - - i ~ . T U D E D E L ' E N C O 1 V L B ~ t E M E N T

D ' U N G I : t O U P E D~I M A I : t Q U A G E

Rappelons que nous nommons groupe de marquage h m 6rages, ou de s61ection conjugu6e h m 6tages, un groupc o5 nous procb.dons h un marquage h travers ses m 6rages.

A. ~ Fonction fondamentale du groupe.

Nous voulons conna~tre la probabilit6 d'cncombrement entre un point d 'entr6e A d6termin6 t t uu point de sortie B d6termin6. Son compl6ment h un est la probabilit6 de t rouper au moins un chemin libre entre A e t B, 6rant entendu que nous essayons tous les ~'htmins possibles g6ographiquement entre A t t B .

D6signons par ql, "-', , la probabilit6 de t rouper libres n chemins d6termin6s, ct qui n 'exclut pas qu'il y ait d 'autres chemins librts. Posons : S , : : Eql , ..., ,, la sommation 6rant 6t tndue h tous les groupes possibles de n chemins t n t r t A e t B ; n parle entre I e t N, N 6rant le nombrc total de cht- rains possibles entre A et B. S , n'est pas une proba- bilit6, saul SN = q~, ..., N.

D6signons par Q la probabilit6 de t rouper au _,noins un chemin libre.

D'aprbs une relation due h Henri POINCAHI::, nous a v o n s :

(21) Q = E ( -1 )"+1 .S , . ~-- [

Nous appellerons [onction /ondamentale du groupe

10/13

la fonction :

n = N

(2~) �9 :~<.~) = Z (-- I ) , + , . s , . ~ , ,

oh s est une variable r6elle quelconque. Si P e s t la probabilit6 d 'encombrement cherch6c,

nous avons :

�9 5 ( , J ) - Q = l - p .

Pour 6crire que n chemins d6termin6s sont libres, il faut t t i] sufllt d'6crire que les liaisons emprunt~es par ces themins sont libres. Ces liaisons sont au hombre de ni dans l '6tage i (i--:- J, 2, ..., m). l,a probabilit6 pour qu'elles soient librts ts t :

ql, ' ' ' ~ n i '

En p e r t , de l 'hypoth6se d t l ' ind6pendanct des liaisons, au sens des probabilit6s, entre les diff6rents

7~i--m ~,tages, nous avons : ql, "-', , - - ~-1 (ql, .-., n~)- l) 'apr6s la relation de base (5) et les remarques

qui y sont attach6es, l 'expression pr6c6dente peut st calculer d 'abord tn supposant l 'hypoth~se de, ]'ind6,pcndance des liaisons d 'un mgme 6rage, ell d~vt loppant l 'exprtssion obtenue par rapport aux probabilit6s d 'occupation, puis tn les r tmpla~ant par leurs valeurs r6elles.

Finalement, si nous d6signons par p~ la charge des liaisons de l'6tage i, comportant Li liaisons dans It groupe de trafic consid6r6, la fonetion F (s) est un polyn6me entier par rapport aux variables p~, dans le cas de l'hypotb~se de l'ind@endance des liaisons d'un m~me dtage :

('2?, :~(/,, . . . , ,,..,. ) - E A~(.,.).=~(l,,,s~).

Darts le cas rgel, cUe a doric pour expression :

~t

Nous savons done construire cette fonction. Mais nous allons en d6finir une autre, qui s 'obtient h part ir de la pr6c6dente, et qui donne des rensei- gnements importants sur le fonct ionnement du groupe de marquage.

B. ~ F o n e t i o n g d n 6 r a t r i c e du g r o u p e .

Si nous d6signons par p , la probabilit6 pour qu'il y air exactement n chemins libres, le calcul des proba- bilit6s donne la relation :

k f N

p, = Z ( - l ? - , . c ~ - , . & . lt--n

Nous en d6duisons, d'apr~s (22) :

p , = (-- 1)-+1.5 ~ ( l ) /n! .

Consid6rons la fonction g6n6ratrice su ivan te :

n--N

= p . . s . . B-0

Si nous remarquons que P0 = P = I - - 5 ( 1 ) ,

3 8 3 - -

t l / 1 3

n o u s 8 y o n s :

P. L E G A L L

n - N f ;(s) = [ l - a ( 1 ) ] - ~ 5 , . ) ( l ) . ( - . ) . / ~ !,

t t = N = ~- - ~, ~("~(~). [ ( - ~)" /~ !],

= l - ~(1 - s).

Nous appellerons/onction gdndratrice du groupe de marquage la foaction :

(25) �9 ~(s) = t - - ~ ( l - - s).

Nous avons alors :

Thgor~me I. La probabilit~ d'encombrement P du groupe de

marquage a pour ~,aleur :

(26) �9

Et, en outre :

Thdorkme II. La probabilitd pa pour qu'il y ait exactement n

chemins libres, est :

(27) �9 p. = (-- ~)"+'.:~(")(~)/~ ? = ~ . ( - ) (o ) / , !.

La valeur probable du nombre de chemins libres est :

n ~ N

~(,,) = "z w , . = ~ ' ( ~ ) = ,s'(()) = s . n = 0

En g6n6ral, L~ 6tant suffisamment grand, nous avons : [q~]~ = q~.

Nous pouvons donc 6noncer :

Thdor~me I I I . La ,aleur probable E (n), du nombre de chemins

libres est N [ois la probabilitd pour qu'un chemin soit libre, c'est-dt-dire pratiquement : (28)N.r :~ (q~), ot~ N est le hombre total de chemins gdographiquement possibles.

La variance de la loi p~, est:

n~N Var (n) = ~] nZ.pn = ~,, n i l + ( n - - l ) ] . p n ,

= Z n . p ~ +~Z n(n--1).p. , n

L'6cart quadrat ique moyen ~r(n) vaut donc:

[(~(n)]~ = Vat ( n ) - [E(n)] 2 = S, + 2 S , - S~ = ~ " ( i ) + 6 ' (1 ) - [ ~ ' 0 ) ] ,.

Le hombre de groupes de deux chemins 6tant plus difficile h calculer en g6n6ral, i l vaut mieux calculer 2S~ par son expression 6quivalente G" (1). Nous pouvons 6noncer :

[ANNAL]~$ DES T/~Lf~COMMUNIC~TIONS

Thdorbme IV. L'dcart quadratique moyen a(n) de la loi p~ est

donnd par la relation :

(29) �9 [~(n)] 2 = ~"(1) + S, -- S~, ---~ r + N.Tq(q~)- [N.7:~(q~)]~.

Ces lois E(n) et or(n) sont une gfinfiralisation de celles relatives h un faisceau isol6. Elles peuvent ~tre de quelque utilit6 pour l '6tude du comportement des organes de commande, dont on ne t ient pas compte dans la pr~sente 6tude, pulsque nous avons suppos6 n6gligeable, dans un but de simplification, l '6ventualit6 de l 'encombrement de ces organes.

Nous allons maintenant donner quelques indi- cations concernant la recherche de la fonction fondamentale.

C. - - R e c h e r c h e de la f o n c t i o n f o n d a m e n t a l e .

Dans h cas off l 'on ne cherche que la v a h u r de l 'encombrement du groupe, c'est-h-dire la valeur de F (1), il peut arriver que eet eneombrement se eal- cule tr~s ais6ment dans l 'hypoth~se de la loi de BF.aNOULLI. I1 suffit alors de d6velopper cette expression par rapport aux probabilit6s d 'oeeupa- tion, et de remplaeer ensuite ees probabilit6s par leurs valeurs exaetes, exp6rimentales ou caleul6es.

Nous en verrons un exemple typique h propos de la s61ection conjugu6e h deux 6rages.

Si le groupe de marquage comporte-un notable d'6tages assez 61ev6, le calcul du blocage, dans h cas de la loi de BEnr~OULL,, devient rapidement difficile, le nombre de cas possibles d 'encombrement 6valuer devenant tr~s 61ev6.

Aussi, nous pouvons mettre en oeuvre une m6- rhode math6matique, purement m6canique, con- duisant sfirement au r6suhat cherch6. Nous la rappellerons bri~vement, vu que nous l 'avons d~jh expos6e darts l'article pr6c6dent (5), et appliqu6e des cas tr~s difficiles (probl~me du blocage compos6).

Utilisons le symbole X~, d6jh d6fini, pour carae- t6riser une liaison de l'6tage i, et de num6ro ]. Un chemin possible pourra gtre repr6sent6 par :

(X~, ... ~ �9 X . ) .

Consid6rons la fonction :

off le produit est 6tendu h tousles ehemins possibles g6ographiquement entre A et B.

Si nous ddveloppons cette expression en utilisant, chaque /ois que possible, la r@le de rdduction (X~)'~ = X~ (m entier positi/), et sl, ensulte, toutes r~ductlons ef[ectu~es, nous rempla~ons X~ par q~,/(s) devient la /onction /ondamentale dans le cas de la loi de Bernoulli.

Cette remarque importante semble gtre due M. L~E [3], qui appelait d'ailleurs cette fonction f(s), fonction g6n~ratrice du r6seau. Nous avons pr6f6r6 donner ce nom h la fonetion G(s) que nous avons introduite, ear seuh elle poss~de des d~riv~es qui sont des probabilit~s, h un faeteur pr~s. M. LEE,

- - 384

t. 12, n ~ 11, 195"~]

toutefois, ne pensait pas que la r~gle de r6duction permettai t d 'aborder l '6tude des cas compliqu6s, alors que nous avons pr6sent6 une m&hode purement m~canique permettant de trouper l'expression de f(s) dans les Gas les plus g6n6raux, m6thode bas6e sur la remarque suivante :

Si nous avons X ~ X z = X ~ X a = X a X ~ = O, la rggle de r6duction, op6r6e sur Xa, Xz et Xa, donne :

rq(a i x x+ b~ X~ + c i Xa) -+ + +

II s'agit de mener les calculs de fagon h taire appa- raltre constamment des quantit6s en quadrature (dont le produit est nul). Les r6ductions s'op~rent alors eommod6ment.

Comme nous avons vu que nous pouvons passer ais6ment du cas de la loi de BERNOULLI au Gas r6el, nous pouvons traiter ainsi les r~seaux les plus compliqu6s.

Signalons qu'il est conmmde, pour ]'6tude de tels probl~mes, de dessiner des sch6mas oh les COUlmu- tateurs d 'un m~me 6tage sont repr6sent6s par des points, ou nmuds, situ6s sur une in,me verticale, et oft les liaisons reliant les commutateurs sont repr6- sent6es par des branches reliant les nmuds corres- pondants. Nous en verrons un exemple plus loin.

Dans notre expos6, nous avons seulement parl6 du cas oft nous ne consid6rons qu 'un point d'entr6e A et un point de sortie B du groupe de ,narquage. I1 est 6vident que notre m6thode s'applique aussi bien dans le cas g6n6ral de plusieurs points d'entr6e et de sortie. Par exemple, si l'on veut le blucage entre un point d'entr6e A e t plusieurs points de sortie B,, il suffit de consid6rer tousles chemins possibles allant de A h ces diff6rents points B~.

C O N C L U S I O N

MI~TtlODE DE CALCUL DE L~EI~COMBREMENT t2/13

liaison ~ par (( production d 'un 6v6nement ~) pour voir que nous avons 6tudi6 le comportement d 'une variable al6atoire, repr6sentant la production d 'au moins un 6v6nement, variable fonction d 'un tr~s grand nombre d'autres variables al6atoires, assu- jetties entre elles h certaines conditions g6om& triques, et pouvant avoir des lois de r6partition pra- t iquement arbitraires.

Dans un prochain article, faisant suite h la p,6- sente 6rude, nous d6cdrons des exp6riences confir- m a n t l e principe de base 6mis (II, A), et permet- rant de n6gliger la perturbat ion apport6e par la const i tut ion physique du r6seau de connexion, nmyennant certaines pr6cautions importantes (hypoth~se de 1'6rage le plus concentr6). Nous verrons, en outre, comment, h l 'aide de la r~gle 6nonc6e ci- dessus, il est possible d'aborder ais6ment le pro- blame du b!ocage dans les techniques de marquage utilis6es dans les syst~mes de commutat ion t616- phonique h marquage.

Nous examinerons l '6tude de la pr6s61ection, de la s6'ection conjugu6e h deuxou t ro i s &ages, asso- ci6e ou non h des dispositifs d 'entr 'aide, et d 'une s61ection conjugu~e h 6 6rages de commutateurs d6jh examin6e dans un pr6c6dent article [5], dans certains cas simples de ,accordements permet tant des app, oximations non valables dans d 'autres cas.

Nous avons terrain6 cette 6rude th6orique. Nous pouvons la r6sumer dans la r6gle simple suivante :

R~gle. Pour obtenir la probabilitd de blocage d'un groupe

de marquage (ou de sdlection coniugu& g~ n dtages), nous pouvons d'abord nous placer duns le cas de la loi de Bernoulli, d&,elopper l'expression obtenue par rapport aux probabilit& d'occupation, pals remplacer les expressions teUes que p'~ par leurs valeurs exactes, donn&s soit par l'expgrience, soit par la /ormule :

�9 (P~)L~ - dans le eas de la loi d'Erlang, _ . , ( L ) ]

og~ L~ est le nombre de liaisons du groupe de trafic Ti dont ]ont partieles m liaisons eonsiddr&s. Toute/ois, dans le cas du groupe central (un m~me groupe de trafic h chaque &age) ayant plus de deux dtages de commutateurs, Its expressions sont plus compliqu&s, comme nous l'avons vu.

I1 est ~ peine besoin de signaler que le probl~me quc nous avons trait6, de par sa g6n6ralit6, d6borde largement du cadre de la commutat ion t616phonique. I1 suffit de remplacer l'expression (( occupation d 'une

A N N E X E

R E L A T I O N E N T B E U N E L O I Q U E L C O N Q U E

E T L A L O I D E B E R N O U L L I .

Reprenons la relalion de base (4). Nous pouvons l%erire :

(1 b) (f/" r ~ %i" P*,

en posant ~ - ~ IC j

~ij = ~(K--ot,)--i l K,

D6signons par P la matrice colonne dont l'~16ment de la/e ]igne est Pj, et par ]p~ q='l ]a matrice colonne dont l'616ment de ]a i e ]igne est (p~ q~')K. (l b) s'6crit a l o r s :

It, ' = P,

m'l A=, est la matrice carrie d'616ment =i,r pour celui de la i e ligne et de la i e colonne.

En partieulier, nous avons :

IP'[ = Ao.V. Les matrices A o e t A=, n '6tant pas singuli~res,

nous pouvons 6erirc h partir de (2 b) :

lP' q='[ = (A=, 'Ao' ) ' (ao P)

d'ofl, en posant A= . A 7 a = B=,., :

(4b) le* q='] = B=,.o']Pi[ �9

De fa~on plus g6n&ale, on t rouve :

(5b) �9 I P ' r =

- - 3 8 5 - -

a3/a3 = ,L

La matrice B~,.~, ne contient que des quantit6s g6om6triques. Elle contient les relations d 'analyse combinatoire, et est ind6pendante de la loi de proba- bilit6 Pj (T) consid6r6e. Pour expliciter la matrice B~,~ ,, il suffit de consid6rer la loi de BEnNOUr.H.

~crivons, en supposant ~2 > ~ :

p~ q~" = p~ q~'".q*"-*"' = p~ q~".(1 - - p)~'-~",

= r r x ( - 1),./,

= , . ( - t);.,,'+; r

De sorte que (5 b) s'6crit :

= C~,_~,( l/.(p~+~.q~")~. (~t,) ~ (p'~,)~: X ~ -

(6b) est une g6n6ralisation de la formule de base (5) d6montr6e dans le texte .

De m~me, nous t rouvons ais6ment la relation matricielle : lq~[ = Co.P.

D'oft la ,elat ion :

lp' r - . . A 0 . C o ' / . Cette relation est 6quivalente h la formule (7)

d6montr6e dans le texte. Nous voyons bien, h l 'aide du caleul matrieiel, que

les relations de base proviennent de la nature rn~me des probabilit6s. En effet, l '6valuation d 'une quan- tit6 telle que (p~' q~')K revient h exprimer le nombre de eas qui nous int6ressent, dans le eas de N conversations en eours. L'expression ehereh6e est done une [onction lin~aire de la loi P2v (T). Cette propri6t6 est

P, LE GALL [ANNALES DES TfILftCOM~tUNtCAqiOI~S

g6n6rale dans le calcul des probabilit6s, et elle nous permet de nous passer compl~tement de l 'analyse combinatoire, ce qui permet d 'aborder les probl~mes les plus difficiles, oft le d6nombrement exact des cas possibles serait t rop fastidieux.

Manuscri t regu le 27 mars 1957.

BIBLIOGRAPHIE

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COMPTE RENDU DE LIVRE

OBTUS1 (d.), Propagation des ondes 61eotromagn6- tiques de haul~ tr6quenoe. St~ Fse de Documentation Electronique, Fr., (1957) t6 • 25, 320 p , 30 tig. Prix : 3 100 F. [Don de l'auteur.] L'ouvrage est divis6 en cinq parties : Dans la premiere, l 'auteur rappelle, sous la forme

moderne des ~c 6ehelles microscopique et macroscopique ~, les princioales conceptions n6cessaires : champ, ray.on- nement, conductibit6, gyration, etc. ; puis les 6quatlons de MAXWELL et le th6or~me de POYNTIr~% avec leur interpr6tation, dans le cas des champs (c harmoniques monoehromatiques ~, par des param~tres complexes.

La seconde partie traite des ondes guid6es ~ l'ext6rieur ou ~ l'int6rieur des conducteurs (ills, bandes, cavit6s cylindriques h section circulaire ou reetangulaire) d'abord sans pertes, puis en caleulant l'affaiblissement. Les ondes ~( r6elle ~, ~c 6vanescente ~, ~ prineipale ~, (( de surface ~ ; la vitesse de groupe et la notion de fluide 6quivalent sont d6finies. Mention sp6ciale est faite des propri6t6s particuli~res de ]'onde Ho, notamment pour les joints tournants.

Avec la troisi~me partie apparalt le difficile probl~me des milieux anisotropes, et notamment des ferrites : propagation, effets de polarisation rotatoire, bir6frin- gence, r6sonance, fr6quence de eoupure ; et le cas des guides partiellement remplis de ferrites.

Le quatri~me chapitre est consaer6 aux branehements de guides, obstacles intereal6s, coefficients de r6flexion ; puis ~ leur emploi pour les bifurcations, gyroteurs, fihres de fr6quence, isolateurs (transmission nulle entre deux points), ~ eirculateurs ~, eoupleurs directifs, jone- tions hybrides.

Enfin, dans la derni~re partie, l 'auteur aborde le pro- blame de la propagation dans l'espace autour de la surface terrestre. Apr~s avoir rappel6 les formules de la (( transmission libre ~, il discute la r6flexion dans le sol, l'effet des montagnes interpos6es sur le trajet et la courbure des rayons par variation de l'indice de r6frac- tion de Fair. I1 passe ensuite en revue hs lh6ories (r classiques ~ dont il souligne les restrictions ; puis les th6ories plus (r modernes ~ : turbulence, r6flexions mul- tiples, diffraction pure (am61ior6e par lui-mgme dans un travail ant6rieur), irr6gularit6s du sol. I1 indique dans quel domaine, h son avis, chacune est pr6f6rable, et donne quelques exemples avec nomogrammes et v6rifi- cation exp6rimentale d'apr~s les courbes du C. C. I. R. et de la F. C. C.

Ce sommaire suflit h montrer l'originalit6 de l'ouvrage. La pr6sentation et les r6f6rences bibliographiques con- firment que l'auteur expose ses r6flexions et ses travaux personnels sur les questions les plus ditlqciles du domaine des hyperfr6quences ; cette contribution de premier ordre rendra de grands services aux sp6cialistes. I1 faut 6videmment ajouter que le choix des sujets et le niveau tMorique de leur traitement exigent du lecteur une connaissance d6j~ s6rieuse des ouvrages classiques. Par exemple, la distribution des champs 61ectrique et magn6- tique dans les diff6rents types d'ondes guid6es est suppos6e famili~re, et les sch6mas habituels ne sont pas reproduits ; aucune mention n'est faite de la propagation c( ionosph6rique ~, ee qui peut paraltre paradoxal, en raison du titre du livre ; reals, ici encore, le terme . haute fr6quence ~ est 6quivoque ; il faut entendre par 1~ les ondes (~ m6triques et inf~rieures ~, micro-ondes.

P. DAVID.

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Documents

Méthode de calcul de l'encombrement dans les systèmes téléphoniques automatiques a marquage