Méthodes de prévision (STT-3220)

Méthodes de prévision (STT-3220)

Section 6

Classe des modèles ARMA

Version: 16 décembre 2008

STT-3220; Méthodes de prévision2

Classe des processus ARMA(p,q)

Soit le processus tel que et supposons que . Le processus est autorégressif moyenne mobile d’ordre (p,q) s’il satisfait la relation:

Le processus est un bruit blanc Les paramètres sont

des nombres réels.

tZ 2tZE

0tZE tZ

taaaZZZ qtqttptptt ,1111 ta 2,0 aBB

.,1,;,1, qipi ii


Opérateur retard B (backward shift operator)

Soit le processus . L’opérateur retard B se définit comme suit:

tZ

mttm

tttt

tt

zzB

zBzBzBzB

zBz

21

2

1


Opérateur retard (suite)

On suppose également que de sorte que .

De plus: . L’opérateur retard est linéaire:

IB 0

tt zIz mtt

mt

m zzBzB

.

,

1

1111

ttt

tttttt

zBzzB

BwBzwzwzB


Opérateur retard (suite)

Considérons l’opérateur polynomial B:

On a alors que: p

pBBIBf 10

ptptt

tp

pt

zzz

zBBIzBf

110

10 ,


Opérateur retard (suite et fin)

Somme, produit et produit par un scalaire se définissent de la même façon que pour des polynômes d’une variable réelle.

p

pp

pp

pp

BbaBbabaBfBfBff

BbBbbBf

BaBaaBf

11002121

102

101

2212121 11 BRRBRBRIBRBR


Opérateur « différence » ainsi que « différence saisonnière »

D’autres opérateurs sont utiles: Opérateur différence: Par exemple:

Opérateur différence saisonnière: Soit s. On le définit comme:

Exemple:

BI

21

222

1

2

2

ttt

ttt

tttt

zzz

zBBIzBIz

zzzBIz

ss BI

1212

12 tttt zzzBIz


Réécriture des modèles ARMA à l’aide de l’opérateur retard

Posons:

Il est élégant et économique d’écrire:

Si , on dit que le processus est ARMA(p,q) si

.

,

1

1

qq

pp

BBIB

BBIB

., taBZB tt tZE tZ

.

.,

tt

tt

ZZ

taBZB


Processus autorégressifs; Processus moyennes mobiles

Un processus ARMA(p,0) est souvent noté AR(p):

Un processus ARMA(0,q) est souvent noté MA(q):

pptt

tptptt

BBIBaZB

taZZZ

1

11

,

,,

qqtt

qtqttt

BBIBaBZ

taaaZ

1

11

,

,


Racines communes Considérons un modèle ARMA:

Comme nous allons le constater, la stationnarité et l’inversibilité reposeront sur l’étude des racines du polynôme autorégressif (stationnarité) et du polynôme moyenne mobile (inversibilité).

Cependant, il faudra s’assurer que les deux polynômes n’ont pas de racines communes. Si tel est le cas, on retire simplement les facteurs communs.

Exemple: n’est pas un ARMA(1,1), mais le bruit blanc: .

tt aBXB 5.015.01

., taBZB tt

tt aX


Étude de la stationnarité d’un processus ARMA(p,q)

Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est stationnaire est se questionner si admet une représentation du genre:

On rappelle que: On aimerait faire « disparaître » l’opérateur . On aimerait multiplier par de chaque côté.

tZ

tZtaZ

j jtjt ,0

0jj

., taBZB tt B

B1


Étude de la stationnarité (suite)

Un résultat stipule que pour avoir l’existence de l’opérateur , il faut étudier les racines de l’équation:

Résultat fondamental: existe si et seulement si les racines de

l’équation sont plus grandes que un en module.

B1

0z

B1 0z


Exemple: processus AR(1)

Le processus est: De manière équivalente: L’équation caractéristique est:

La racine de cette équation est: Si on a alors que:

ttt aZZ 1 tt aZB 1

01 zz

01

1111


Stationnarité d’un ARMA(p,q)

Si est un opérateur qui existe, on a alors que l’équation peut être multipliée de chaque côté par l’opérateur , ce qui nous donne:

B1 tt aBZB

B1

jtjtt

tt

tt

aaBZ

aBBZ

aBBZBB

1

11


Inversibilité d’un processus ARMA(p,q)

Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est inversible est se questionner si admet une représentation du genre:

La discussion est en tout point similaire à celle sur la stationnarité. Dans , on veut multiplier de chaque côté par .

tZ tZ

tj jtjt aZZ 1 1j j

tt aBZB B1


Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite)

L’opérateur existe si et seulement si les racines de l’équation sont plus grandes que un en module.

Dans un tel cas:

B1 0z

tt

tt

tt

aZB

aZBB

aBBZBB

1

11


Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite)

On note que dans:

Ainsi:

1

1

j

jjBIBBB

.

,

,

,

1

1

1

tj jtjt

tj tj

jt

ttj

jj

tt

aZZ

aZBZ

aZBI

aZB


Exemple: Inversibilité d’un processus MA(1)

Le processus est: De manière équivalente: L’équation caractéristique est:

La racine de cette équation est: Si on a alors que:

1 ttt aaZ tt aBIZ

01 zz 1

011

11


Remarques Soient l’éqn ,

ou l’éqn avec

En général, les racines de ces équations pourraient être des nombres complexes.

On rappelle que si est racine d’une équation, avec , il en est de même du conjugué, i.e. que sera également racine.

Rappel: le module d’un nombre complexe est donné par la formule:

0z ppBBIB 1

0z qqBBIB 1

biaz 1i

biaz biaz

22 baz


Plan complexe

z = a+bib

| z |

a


Expressions consacrées!

Vous allez souvent rencontrer des expressions du genre:

« Les racines de (…) sont plus grandes que un en module ».

Ou encore: « Les racines de (…) sont à l’extérieur du

cercle unité ».


Cercle unité (dans le plan complexe)

z = a + bi

1


Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un AR(p)

Processus AR(p): Ce processus est stationnaire ssi les racines

de sont plus grandes que un en module.

Ce processus est toujours inversible. Exemple: AR(1) admet

une représentation en terme des valeurs passées et est stationnaire ssi

tt aZB

z

ttt aZZ 1

1


Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un MA(q)

Processus MA(q): Ce processus est inversible ssi les racines de

sont plus grandes que un en module.

Ce processus est toujours stationnaire. Exemple: MA(1) admet

une représentation en terme d’un bruit blanc et est inversible ssi

tt aBZ

z

1 ttt aaZ

1

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