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Méthodes de prévision (STT-3220). Section 6 Autocorrélations partielles Version: 16 décembre 2008. Identification des ordres dans les modèles ARMA( p,q ). Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q . - PowerPoint PPT Presentation
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Méthodes de prévision (STT-3220)
Section 6
Autocorrélations partielles
Version: 16 décembre 2008
STT-3220; Méthodes de prévision2
Identification des ordres dans les modèles ARMA(p,q)
Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q.
Ceci correspond à l’étape d’identification d’un modèle, dans la procédure de Box et Jenkins.
Deux outils sont fondamentaux à cette fin: les autocorrélations (ACF) et les autocorrélations partielles (PACF).
STT-3220; Méthodes de prévision3
Définition intuitive des autocorrélations partielles
Supposons que l’on dispose de trois variables aléatoires, X, Y et Z.
Souvent, la corrélation entre X et Y pourrait être attribuable au fait que:– X et Z sont corrélées;– Y et Z sont corrélées.
L’autocorrélation partielle cherche à quantifier la dépendance entre X et Y en retirant la dépendance avec Z.
STT-3220; Méthodes de prévision4
Corrélations partielles dans un contexte de séries chronologiques
Considérons un processus stochastique que l’on présume SSL et tel que .
Comme dans le transparent précédent, la dépendance entre Zt et Zt+k pourrait être grandement attribuable à la dépendance de ces variables aléatoires avec Zt+1, Zt+2,…Zt+k-1.
On voudrait calculer la corrélation conditionnelle:
tZ
11 ,,, ktttkt ZZZZcorr
0tZE
STT-3220; Méthodes de prévision5
Définition formelle de la corrélation partielle
Soient Zt et Zt+k. On note et les meilleures prévisions linéaires de Zt et Zt+k, respectivement, au sens de l’erreur quadratique moyenne, fonctions linéaires de Zt+1,Zt+2,…Zt+k-1.
On définit autocorrélation partielle:
tZ ktZ ˆ
21
11
ˆvarˆvar
ˆ,ˆcov
ˆ,ˆcorr,,,corr
ttktkt
ttktkt
ttktktktttkt
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZZZZZ
STT-3220; Méthodes de prévision6
Calcul des autocorrélations partielles
Soit le processus SSL tel que . 1. On formule le modèle de régression:
2. On multiplie par Zt+k-j, j positif:
On prend l’espérance:
tZ 0tZE
kttkkktkktkkt aZZZZ 2211
jktktjkttkkjktktkjktkt ZaZZZZZZ 11
kjjj
kjjj
kkk
kkk
1
1
1
1
STT-3220; Méthodes de prévision7
On forme le système d’équations suivant pour j = 1,2,…,k:
Le système devient:
Il suffit de résoudre ce système avec la règle de Cramer; l’autocorrélation partielle de délai k est kk.
021
2012
1101
21
21
21
kkkk
kkkk
kkkk
kkk
k
k
STT-3220; Méthodes de prévision8
Règle de Cramer pour le calcul des kk
Par la règle de Cramer:
01
10
det
|11
|
2|11
1|20
det
k
k
kk
k
k
kk
STT-3220; Méthodes de prévision9
Propriétés générales des kk
1. C’est par définition une corrélation, donc on a que
2. Puisqu’il n’y a pas de variables intermédiaires entre Zt et Zt+1: 11 = (1).
3. On trouve que:
.1,1 kkk
11
12
11
11det
21
11det
2
2
22
STT-3220; Méthodes de prévision10
Estimation des kk
L’estimateur de kk, que l’on pourrait noter , est obtenu en remplaçant dans l’acétate 8 les (k) inconnues par les r(k).
Les estimateurs ainsi obtenus sont convergents en probabilité sous des conditions générales pour kk. La raison essentielle de ce résultat est que r(k) est convergent pour (k).
Si est un bruit blanc:
kk
kk
tZ
n
10,ˆ Nkk
STT-3220; Méthodes de prévision11
Identification d’un ARMA(p,q) avec l’ACF et la PACF
Si processus est AR(p):– Nombre infini d’autocorrélations.– Nombre fini d’autocorrélations partielles. En fait
pour un AR(p): kk = 0, si k > p.
Si processus est MA(q):– Nombre fini d’autocorrélations. En fait, pour un
MA(q), on a que (k) = 0, si k > q.– Nombre infini d’autocorrélations partielles.