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Premier cycle ONDES Michel PEREZ AMERINSA — Deuxième année Edition 2009/2010

Michel Perez

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Page 1: Michel Perez

Premier cycle

ONDES

Michel PEREZ

AMERINSA — Deuxième annéeEdition 2009/2010

Page 2: Michel Perez

2

Page 3: Michel Perez

Table des matières

1 Introduction 51.1 Définition d’une onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Les quatres types d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Plan du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Oscillateurs 72.1 Rappel mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Oscillations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Système à deux degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Propagation des ondes mécaniques 153.1 Propagation dans une chaîne d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Equation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Solution générale de l’équation d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Impédance d’une onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Application : ondes dans une tige (sujet 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Ondes sonores 274.1 Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Equation de propagation unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Cas tri-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Puissance et intensité sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 Propagation d’une onde impulsionnelle dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . 354.8 Effet Doppler, onde de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.9 Le mur de la caténaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Ondes électromagnétiques dans le vide 435.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Retours sur les champs électriques et magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Énergie d’une onde électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Energie et intensité lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3

Page 4: Michel Perez

4 TABLE DES MATIÈRES

5.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Ondes électromagnétiques dans les milieux infinis 676.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Milieux conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3 Milieux diélectriques homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Ondes dans les milieux limités 837.1 Polarisation par un ensemble de lames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Application : couche anti-reflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3 Application musicale de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.4 Un peu de musique ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Milieux diélectriques non-isotropes 998.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2 Retours sur les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.3 Milieux uniaxes ou biréfringents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 Interférences et diffraction 1119.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.2 Quelques expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.3 Calcul des figures de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Page 5: Michel Perez

Chapitre 1

Introduction

Qu’est-ce qu’une onde ? Pourquoi et comment se propage-t-elle ? Voila les questions aux-quelles nous allons nous intéresser. A travers de nombreux exemples concrets (vagues, son,corde vibrante...), nous allons essayer de comprendre et de modéliser la propagation des ondes.

1.1 Définition d’une onde

Commençons par une définition simple d’une onde :

Une onde est une modification de l’état physique d’un milieu matériel ou immatériel,qui se propage à la suite d’une action locale avec une vitesse finie, déterminée par lescaractéristiques des milieux traversés.

Ainsi, la condition nécessaire pour observer des ondes est le couplage entre deux élémentsvoisins du milieu ou système Une onde ne transporte pas de matière, mais de l’énergie.

1.2 Les quatres types d’ondes

Quatre grands types d’ondes peuvent être observés dans la nature :– les ondes mécaniques : systèmes de ressorts, corde vibrante. Le couplage entre force et

déplacement donne lieu à la propagation des ondes.– les ondes à la surface d’un liquide : vagues. Le couplage a lieu entre la pesanteur et la

tension superficielle.– les ondes électromagnétiques : ondes radio, lumière. Le couplage entre les champs ma-

gnétique et électrique permet la propagation des ondes.– les ondes matérielles : électrons, neutrons. Toute particule en mouvement peut être

considérée comme une onde. La relation de De Broglie associe à une particule en mou-vement, de quantité de mouvement p, la longueur d’onde λ = h/p (h est la constantede Plank).

1.3 Plan du manuscrit

Dans ce manuscrit, nous avons essayé de partir du plus simple au plus compliqué.

5

Page 6: Michel Perez

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

– Le chapitre 2 introduit les phénomènes de transfert d’énergie nécessaires à la propaga-tion d’ondes par l’intermédiaire des oscillateurs mécaniques ou électriques.

– Le chapitre 3 introduit les ondes mécanques : à partir de la relation de la dynamique,l’équation de propagation d’une onde mécanique sera posée.

– Toujours avec cette même relation de la dynamique, cette fois appliqué à un volume degaz, les ondes sonores seront décrites au chapitre 4.

– Les ondes électromagnétiques seront traitées au chapitre 5 : cette fois, c’est à partir desrelations de Maxwell que la propagation sera modélisée.

– Après avoir introduit le concept de superposition de deux ondes, nous introduironsrapidement les phénomènes d’interférence et de diffraction au chapitre 9.

– L’influence du milieu de propagation sera étudiée au chapitre 6. Nous nous intéresseronsdans ce chapitre à l’interaction entre la matière et une onde électromagnétique.

– Enfin, nous prendrons en compte les limites du milieu de propagation au chapitre 7.Les conditions aux limites permettent de traiter de nombreux problèmes qui vont de latransmission d’une onde à travers une paroi aux instruments de musique.

Page 7: Michel Perez

Chapitre 2

Oscillateurs

On considère une masse reliée à un élément fixe par l’intermédiaire d’un ressort. Le sys-tème n’a qu’un seul degré de liberté. Notons ψ l’écart de la masse à sa position d’équilibre. Larelation fondamentale de la dynamique appliquée à cette masse donne :

Md 2ψ

d t 2 =−Kψ (2.1)

2.1 Rappel mathématique

Soit l’équation différentielle du second ordre :

y ′′+ b y ′+ cy =Acos(ωt )+B sin(ωt ) (2.2)

On commence par résoudre l’équation homogène associée (équation sans secondmembre). Le nombre et la forme des solutions d’une équation différentielle du second ordre àcoefficients constants sans second membre (y ′′+b y ′+cy = 0) dépendent du signe du discrimi-nant de "l’équation caractéristique" de l’équation différentielle ; cette équation caractéristiqueest : r 2+ b r + c = 0.

Si le discriminant est nul, les solutions sont de la forme : (C1 et C2 : constantes)

y(t ) = (C1t +C2)exp

−b2a

t

(2.3)

Si le discriminant est strictement positif, les solutions sont de la forme :

y(t ) =C1 exp (r1t )+C2 exp (r2t ) (2.4)

Avec : C1, C2 : constantes, r1 et r2 : les deux racines de l’équation caractéristique.Si le discriminant est strictement négatif, l’équation caractéristique admet alors deux ra-

cines complexes conjuguées : λ+ ıµ et λ− ıµ, avec λ et µ réels : les solutions sont de laforme :

y(t ) = exp(λt ) [C1 cos(µt )+C2 sin(µt )] (2.5)

7

Page 8: Michel Perez

8 CHAPITRE 2. OSCILLATEURS

M

M

a0

a0 +

FIGURE 2.1: Oscillateur mécanique.

Pour résoudre l’équation complète, on cherche une solution particulière sous la forme :

y1(t ) = α cos(ωt )+β sin(ωt ) (2.6)

On trouve finalement :

α=A(c −ω2)−B bω

(bω)2+(c −ω2)2β=

B(c −ω2)−Abω

(bω)2+(c −ω2)2(2.7)

Exercice: Détermination du mouvement de la masse

On poseω02 =K/M . D’après le paragraphe précédent, on trouve :

ψ(t ) =C1 sin(ω0t )+C2 cos(ω0t ) (2.8)

Pour trouver C et ϕ, on étudie les conditions aux limites : ψ(0) = ψ0 et ˙ψ(0) = 0. Lasolution qui satisfait à ces conditions est donc :

ψ(t ) =ψ0 cos(ω0t ) (2.9)

Exercice: On considère toujours l’oscillateur mécanique décrit à la figure 2.1, mais on rajoutemaintenant une force de frottement visqueuse d’amplitude 2Mλψ. On impose à t = 0 undéplacement ψ(0) =ψ0, décrire le retours du système à l’état d’équilibre.

Page 9: Michel Perez

2.1. RAPPEL MATHÉMATIQUE 9

La relation de la dynamique appliquée à la masse s’écrit cette fois :

M x =−Kψ− 2Mλψ (2.10)

Ce qui se ramène à :

ψ+ 2λψ+ω20ψ= 0 (2.11)

Le discriminant de cette équation différentielle vaut 4(λ2−ω20).

Si λ >ω0 : l’équation caractéristique admet deux solutions : r1,2 =−λ±Æ

λ2−ω20. Le

retours à l’équilibre est donc une relaxation apériodique d’équation :

ψ(t ) =ψ10 exp

−tτ1

+ψ20 exp

−tτ2

(2.12)

avec τ1,2 = (λ±Æ

λ2−ω20)/ω

20.

Si λ <ω0 : l’équation caractéristique admet deux solutions : r1,2 =−λ± Æ

ω20 −λ

2. Leretours à l’équilibre est donc une relaxation périodique (oscillation amortie) d’équation :

ψ(t ) =ψ0 exp

−tτp

!

cos(ωt ) (2.13)

avec τp = 1/λ etω =Æ

ω20 −λ

2.

Exercice: Effectuer un parallèle avec les circuit RLC et retrouver l’équation du courant (Ontraitera le cas ou R2 << L/C ).

L’équation du courant dans un circuit RLC est :

Ld id t+Ri +

1C

i d t = 0 (2.14)

On peut poserω20 = 1/(LC ) et τ = 2L/R, et sachant que q=di/dt :

d 2q

d t 2 +2τ

d qd t+ω2

0q = 0 (2.15)

Compte tenu de la condition R2 << L/C , le discriminant de l’équation caractéristiquevaut −4ω2

0. La solution générale de l’équation du courant est donc :

q(t ) = q0 exp

−tτ

cos(ω0t ) (2.16)

La constante q0 dépend des conditions initiales. On trouve une équation similaire pouri .

Page 10: Michel Perez

10 CHAPITRE 2. OSCILLATEURS

M M

x10

+ ψ1

x20

+ ψ2

K k K

e1

FIGURE 2.2: Oscillateurs mécaniques couplés.

2.2 Oscillations forcées

On reprend maintenant l’oscillateur simple décrit à la figure 2.1. On lui soumet une forceexcitatrice F (t ) = f cos(ωt ). L’équation du mouvement devient :

Md 2ψ

d t 2 =−Kψ+ f cos(ωt ) (2.17)

Exercice: Trouver la solution de cette équation

ψ=ψ0 cos(ωt ) ψ0 =f

M (ω02−ω2)

(2.18)

2.3 Système à deux degrés de liberté

On considère maintenant deux oscillateurs mécaniques couplés comme représenté à lafigure 2.2.

Il faut écrire le système de forces subies par le mobile de la part des ressorts. Ainsi, lepremier mobile est soumis au forces :

F1 =−Kψ1e1 et f1 =+k(ψ2−ψ1)e1 (2.19)

et le deuxième mobile, aux forces :

F2 =−k(ψ2−ψ1)e1 et f2 =−Kψ2e1 (2.20)

Le système d’équation couplées est donc :¨

M ψ1 =−Kψ1− k(ψ1−ψ2)M ψ2 = k(ψ1−ψ2)−Kψ2

(2.21)

Page 11: Michel Perez

2.3. SYSTÈME À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ 11

Exercice: Résoudre le système précédent. A t = 0 ; les deux mobiles sont sans vi-tesse, ψ1(0) = ψ10

, et ψ2(0) = 0. On posera u = ψ1 + ψ2, v = ψ1 − ψ2. On trai-tera le cas suivant : k << K (on rappelle que : cosa + cos b = 2cos

a+b2

cos

a−b2

etcosa− cos b =−2sin

a+b2

sin

a−b2

).

Le système précédent devient :

M u =−K uM v =−(K + 2k)v (2.22)

Ce qui donne :

u(t ) = u01 cos(ω1t )+ u02 sin(ω1t )v(t ) = v0 cos(ω2t )+ v02 sin(ω2t ) (2.23)

Avecω12 =K/M etω2

2 = (K + 2k)/M . On trouve ensuite ψ1 et ψ2 :

ψ1(t ) = (u(t )+ v(t ))/2ψ2(t ) = (u(t )− v(t ))/2 (2.24)

Pour trouver les constantes Ce qui donne finalement :

ψ1(t ) =ψ0/2(cos(ω1t )+ cos(ω2t ))ψ2(t ) =ψ0/2(cos(ω1t )− cos(ω2t )) (2.25)

Dans le cas (2) k << K , on a : ω2 = ω1

p

1+ 2k/K ≈ ω1(1+ k/K). Si on pose Ω =(ω1+ω2)/2 etω = (ω1−ω2)/2, on trouve finalement :

ψ1(t ) =ψ0(cos(Ωt )cos(ωt ))ψ2(t ) =ψ0(sin(Ωt ) sin(ωt )) (2.26)

On va considérer par la suite, l’oscillateur couplé décrit à la figure 3.2. On soumet à laparoie de gauche un déplacement forcé d’amplitude ξ (t ) = ξ0 cos(ωt ).

Exercice: Donner l’équation du mouvement et la résoudre (cas K = k).

Page 12: Michel Perez

12 CHAPITRE 2. OSCILLATEURS

–1

–0.5

0

0.5

1

20 40 60 80 100t

FIGURE 2.3: Oscillateurs mécaniques couplés : k =K/10.

Le déplacement ξ (t ) imposé est similaire à une force f (t ) appliquée sur le premier mo-bile. L’équation du mouvement est donc :

¨

M ψ1 =−K(2ψ1−ψ2)+ f cos(ωt )M ψ2 =K(ψ1− 2ψ2)

(2.27)

On effectue le même changement de variables u =ψ1+ψ2 et v =ψ1−ψ2Comme précédemment, on trouve :

M u =−K u + f cos(ωt )M v =−3Kv + f cos(ωt ) (2.28)

On résout ce système :

u(t ) = u0 cos(ωt )v(t ) = v0 cos(ωt ) (2.29)

Avec :

u0 =f

M (ω02−ω2)

v0 =f

M (3ω02−ω2)

(2.30)

Ce qui donne finalement pour les amplitudes des mouvements des mobiles 1 et 2 :

ψ10 =f

2M

1

ω02−ω2 +

1

3ω02−ω2

ψ20 =f

2M

1

ω02−ω2 −

1

3ω02−ω2

(2.31)

Ces variations sont représentés aux figures 2.4 et 2.5.

Page 13: Michel Perez

2.3. SYSTÈME À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ 13

0

1

2

3

4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2omega

FIGURE 2.4: Représentation de ψ10

0

1

2

3

4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2omega

FIGURE 2.5: Représentation de ψ20

Page 14: Michel Perez

14 CHAPITRE 2. OSCILLATEURS

Page 15: Michel Perez

Chapitre 3

Propagation des ondes mécaniques

Pour illustrer la propagation des ondes mécaniques, on peut utiliser un onduloscope :ensemble de masselottes reliées entre elles par des ressorts (voir figure 3.1. Si l’on écarte de saposition d’équilibre une masselotte située à l’extrémité de l’onduloscope, on observe que laperturbation va se propager le long de la chaîne d’oscillateurs.

Le but de ce chapitre est de modéliser cette expérience pour trouver les types d’ondes(forme, fréquence,...) qui peuvent se propager dans une chaîne d’oscillateurs mécaniques.

3.1 Propagation dans une chaîne d’oscillateurs

On va considérer maintenant une chaîne de N oscillateurs et on va caractériser les ondesqui ont lieu dans cette chaîne.

L’équation du mouvement du nieme mobile est :

M ψn =Kψn−1− 2Kψn +Kψn+1 (3.1)

Cette équation est appelée équation de propagation de la déformation. On comprend in-tuitivement la propagation d’un déplacement de proche en proche grâce au système de ressort

FIGURE 3.1: Onduloscope : les masses (jaunes) sont reliées entre elles par des ressorts.

15

Page 16: Michel Perez

16 CHAPITRE 3. PROPAGATION DES ONDES MÉCANIQUES

M1

ψ1

K

e1

a

M2

ψ2

K

2a

M2

ψ3

K

3a

MN

K

Na

FIGURE 3.2: Oscillateurs mécaniques couplés.

liant les masses entre elles. Ce déplacement est une onde. Attention, il ne faut pas confondrela vitesse de l’onde à celle des masses. On va maintenant essayer de calculer quelle forme cesondes peuvent prendre et comment elles se déplacent.

3.1.1 Solutions harmoniques

L’équation de propagation peut s’écrire :

ψn =ω02(ψn−1− 2ψn +ψn+1) (3.2)

On se base sur les résultats observés expérimentalement sur l’onduloscope 1

1. si l’on regarde une masse, on la voit osciller sinusoïdalement en fonction du temps,2. si on prend une photo de l’onduloscope à un instant donné, la perturbation s’emble être

bien décrite par une sinusoïde fonction de la variable d’espace (x dans notre cas).On va utiliser la notation complexe. On pose :

ψn(t ) =ℜ(ψ∗n(t )) (3.3)

Les deux observations présentées plus haut se traduisent à travers les deux hypothèsessuivantes :

ψ∗n(t ) =A∗n e± ωt et A∗n =A0e± nφ (3.4)

On réinjecte ψ∗n(t ) dans l’équation de propagation (equation (3.2)). On obtient finale-ment :

−ω2 =ω20(e± φ+ e∓ φ− 2) (3.5)

Dans le cas oùω< 2ω0, elle peut alors être mise sous la forme :

cos(±φ) = cos(φ) = 1− 2

ω

2ω0

2

(3.6)

Ce qui donne une relation entreω,ω0 et φ, appelée relation de dispersion :

1. L’onduloscope est une sorte d’échelle de péroquet dans laquelle chaque bareau oscille librement autours d’un axe fixe ;tous les bareaux étant liés entre eux par des petits ressorts

Page 17: Michel Perez

3.1. PROPAGATION DANS UNE CHAÎNE D’OSCILLATEURS 17

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

ω

φ

0 2sin 2ω φ

ω

= 0ω

φω

=

FIGURE 3.3: Représentation de la relation de dispersion : ω/ω0 en fonction de φ. La droite représente le cas oùφ 1.

ω = 2ω0 sin

φ

2

(3.7)

Si a est l’écartement entre deux masses, on a peut poserφ= ka (k est alors appelé nombred’onde). La solution générale de l’équation différentielle de propagation est donc une combi-naison linéaire des deux solutions particulières trouvées plus haut :

ψ∗n =A+e (ω+nka)+A−e− (ω+nka) (3.8)

Et pour ψn(t ) :

ψn(t ) =A+ cos(ωt + nka)+A− cos(ωt − nka) (3.9)

Les fréquences d’oscillation libres de la chaîne d’oscillateurs décrivent une bande de fré-quence allant de 0 à 2ω0/(2π).

Exercice: Que se passe-t-il si ω> 2ω0 ?

Page 18: Michel Perez

18 CHAPITRE 3. PROPAGATION DES ONDES MÉCANIQUES

M

Ψn-1

M

ψn

K

M

K

Ψn+1

θn

L

FIGURE 3.4: Pendules couplés.

Pour répondre à cette question, il faut reprendre l’expression de A∗n :

A∗n =A0e± nk∗a (3.10)

On suppose alors que k∗ est lui-même complexe. On réinjecte alors ψ∗n(t ) dans l’équa-tion de propagation (equation (3.2)). On obtient finalement :

−ω2 =ω20(e± k∗a + e∓ k

∗a − 2) (3.11)

Soit r1,2 = e± k∗a, les solutions de cette équation. On peut écrire :

r 2+

ω2

ω20

− 2

!

r + 1= 0 (3.12)

Si le discriminent ∆ est positif (ω > 2ω0), on a deux racines réelles dont l’une est supé-rieure à 1 (car le produit des deux racines vaut 1). Ceci correspond à deux ondes : l’uneva diverger avec n, ce qui est physiquement inacceptable, et l’autre va s’atténuer avec n.

Exercice: On considère la chaîne de pendules couplés décrits à la figure 3.4. Donner la relationde dispersion des ondes pouvant se propager dans cette chaîne. On utilisera les notations suivantes :ω2

0 =K/M et Ω20 = g/L.

Page 19: Michel Perez

3.1. PROPAGATION DANS UNE CHAÎNE D’OSCILLATEURS 19

Le théorème du moment cinétique appliqué à la nième masse donne :

M L2θn =−M g Lθn −KL2(θn −θn−1)+KL2(θn+1−θn) (3.13)

L’équation différentielle se met sous la forme :

θn =−Ω20θn +ω

20(θn+1− 2θn +θn−1) (3.14)

On cherche une solution de la forme :

θ∗n =A0e nkae ωt (3.15)

On tombe sur l’équation suivante :

e ka +

ω2

ω20

− 2−Ω2

ω20

!

+ e− ka = 0 (3.16)

Ce qui donne directement :

cos(ka) = 1−ω2−Ω2

0

ω20

(3.17)

La relation de dispersion est donc :

ω2 = 4ω20 sin2

ka2

+Ω20 (3.18)

3.1.2 Vitesse de propagation

Si on considère l’onde ψn(t ) =A− cos(ωt −nka), on remarque que cette fonction dépenddu temps et de la position x = na considérée. En fait cette onde s’écrit ψ(x, t ).

Exercice: Déterminer la vitesse ou célérité de l’onde c

A l’instant t et à la position x, le déplacement vaut A− cos(ωt − k x). Elle prendra tou-jours la même valeur en x +∆x et en t +∆t siωt − k x =ω(t +∆t )− k(x +∆x), ouencore∆x/∆t =ω/k. Cette dernière expression donne la vitesse de l’onde :

c =ω

k(3.19)

L’onde est donc le déplacement d’une fonction sinusoïdale le long de l’axe e1 à une vitessevϕ. C’est une onde progressive.

Attention, il ne faut pas confondre la vitesse de l’onde c et la vitesse de déplacementdes masses ψ. Pour mieux comprendre la différence entre ces deux vitesses, on peut prendre

Page 20: Michel Perez

20 CHAPITRE 3. PROPAGATION DES ONDES MÉCANIQUES

l’image du mouvement du bouchon d’un pêcheur au passage d’une vague. La vitesse du bou-chon dans son mouvement vertical est liée à ψ, alors que la vitesse de la vague est liée à c .

3.2 Equation de d’Alembert

Pour donner une description continu du phénomène de propagation à partir de la des-cription discrète présentée plus haut, on va faire tendre l’écart entre les masses vers 0, c’està dire considérer que la distance a est très inférieur à la longueur d’onde λ des ondes qui sepropagent. Dans ces conditions, on a :

ψn+1(t ) =ψ(x=(n+1)a,t ) =

ψ+ a∂ ψ

∂ x+

a2

2∂ 2ψ

∂ x2 + (a2)

x=na,t

(3.20)

ψn−1(t ) =ψ(x=(n−1)a,t ) =

ψ− a∂ ψ

∂ x+

a2

2∂ 2ψ

∂ x2 + (a2)

x=na,t

(3.21)

L’équation de propagation discrète prend donc la forme :

ψn =ω02(ψn−1− 2ψn +ψn+1) =ω0

2a2∂2ψ

∂ x2 (3.22)

Exercice: retrouver la relation de dispertion et l’expression de la vitesse de l’onde dansl’approximation des milieux continus.

On se sert de la définition du nombre d’onde k =φ/a et de la position x = na. En repre-nant les deux hypothèses précédentes (ψ∗n(t ) = A∗ne± ωt et A∗n = A0e± nφ), on retrouvealors la nouvelle relation de dispertion :

ω =ω0ak (3.23)

et l’expression de la vitesse de l’onde :

c =ω0a (3.24)

On obtient finalement l’équation de propagation appelée équation d’Alembert :

∂ 2ψ

∂ x2 −1

c2

∂ 2ψ

∂ t 2 = 0 (3.25)

La vitesse c est la vitesse de propagation des ondes.

Page 21: Michel Perez

3.3. SOLUTION GÉNÉRALE DE L’ÉQUATION D’ALEMBERT 21

3.3 Solution générale de l’équation d’Alembert

Nous allons maintenant essayer de trouver une solution générale à l’équation de d’Alem-bert.

Exercice: Monter que ψ(x, t ) = f (t− x/c)+ g (t+ x/c) est la solution générale de l’équationd’Alembert. On posera u = t − x/c et v = t + x/c.

Page 22: Michel Perez

22 CHAPITRE 3. PROPAGATION DES ONDES MÉCANIQUES

Écrivons la différentielle de la fonction d’onde :

dψ=∂ ψ

∂ xd x +

∂ ψ

∂ td t =

∂ ψ

∂ ud u +

∂ ψ

∂ vd v (3.26)

Dérivons une fois par rapport à x puis t :

∂ ψ

∂ x=∂ ψ

∂ u∂ u∂ x+∂ ψ

∂ v∂ v∂ x=−

∂ ψ

∂ u1c+∂ ψ

∂ v1c

(3.27)

∂ ψ

∂ t=∂ ψ

∂ u∂ u∂ t+∂ ψ

∂ v∂ v∂ t=∂ ψ

∂ u+∂ ψ

∂ v(3.28)

Dérivons une fois par rapport à x puis t :

∂ 2ψ

∂ x2 =1c

∂ u

−∂ ψ

∂ u+∂ ψ

∂ v

∂ u∂ x+∂

∂ v

−∂ ψ

∂ u+∂ ψ

∂ v

∂ v∂ x

(3.29)

∂ 2ψ

∂ t 2 =∂

∂ u

∂ ψ

∂ u+∂ ψ

∂ v

∂ u∂ t+∂

∂ v

∂ ψ

∂ u+∂ ψ

∂ v

∂ v∂ t

(3.30)

Ce qui donne :

∂ 2ψ

∂ x2 =1

c2

∂ 2ψ

∂ u2 − 2∂ 2ψ

∂ u∂ v+∂ 2ψ

∂ v2

(3.31)

∂ 2ψ

∂ t 2 =∂ 2ψ

∂ u2 + 2∂ 2ψ

∂ u∂ v+∂ 2ψ

∂ v2 (3.32)

L’équation d’Alembert se transforme donc en :

∂ 2ψ

∂ u∂ v= 0 (3.33)

Intégrons par rapport à u :

∂ ψ

∂ v=G(v) (3.34)

Intégrons par rapport à v :

ψ(u, v) = f (u)+ g (v) (3.35)

Page 23: Michel Perez

3.4. IMPÉDANCE D’UNE ONDE 23

Ψ(x)

x x+ dx

Ψ(x+ dx )

e1

FIGURE 3.5: La tranche entre x et x + d x est déformée de manière non uniforme.

3.4 Impédance d’une onde

On considère ici une seule onde se déplaçant dans le sens des x positifs : ψ = f (t − x/c).On va exprimer les dérivées partielles de ψ(t , x) par rapport à t et x :

∂ ψ

∂ x=∂ ψ

∂ u∂ u∂ x=−

∂ ψ

∂ u1c

(3.36)

∂ ψ

∂ t=∂ ψ

∂ u∂ u∂ t=∂ ψ

∂ u(3.37)

On a donc une relation liant les dérivés premières de ψ :

∂ ψ

∂ t=−c

∂ ψ

∂ x(3.38)

Reprenons notre chaîne de ressorts avec a << λ. On considère qu’entre la position x et laposition x +∆x on a n ressots (∆x = na). La raideur de n ressorts de raideur K en série estK/n. On a donc :

F =Kn(ψ(x +∆x)−ψ(x)) =

Knψ(x +∆x)−ψ(x)

∆xna =Ka

∂ ψ

∂ x(3.39)

En reprenant les relations liant les dérivées premières de ψ, on donne :

F =Ka∂ ψ

∂ x=Ka

1aω0

ψ=p

KM ψ= Zψ (3.40)

La variable Z =p

KM est appelée impédance, par analogie avec l’électricité. De manièregénérale, l’impédance est le rapport de la cause (tension, contrainte, force) sur la conséquence(intensité, vitesse).

3.5 Application : ondes dans une tige (sujet 4)

On considère un barreau cylindrique de module d’Young E . Le module d’Young est définitpar σ = Eε avec σ , la contrainte et ε la déformation.

La déformation ε d’un solide est donnée par le rapport de son allongement sur sa lon-geur initiale. Un allongement négatif correspond donc logiquement à une contraction. La

Page 24: Michel Perez

24 CHAPITRE 3. PROPAGATION DES ONDES MÉCANIQUES

contrainte est par définition la force exercée de part et d’autre d’une section quelconque d’unmatériau. Par convention, on fixe la contrainte positive dans le cas d’un matériau en traction 2.

On définit ψ(x, t ) comme étant l’écart à la position d’équilibre.Exercice: Établir l’équation liant la déformation ε à une dérivée première de ψ.

ε=x + d x +ψ(x + d x)− x −ψ(x)− d x

d x=∂ ψ

∂ x(3.41)

Exercice: Effectuer la relation de la dynamique et en déduire l’équation de propagation desondes longitudinales dans le barreau. On utilisera le module d’Young E et la masse volumique ρavec profit.

La force exercée sur le côté gauche est égale à −σ(x +ψ(x))S et celle exercée sur le côtédroit est égale à +σ(x + d x +ψ(x + d x))S (voir la définition de la contrainte). Le bilandes forces donne donc :

S [σ(x + d x +ψ(x + d x))−σ(x +ψ(x))] (3.42)

= S

σ(x)+ d x∂ σ

∂ x+

ψ(x)+ d x∂ ψ

∂ x

∂ σ

∂ x−σ(x)−ψ(x)

∂ σ

∂ x

(3.43)

= Sd x∂ σ

∂ x

1+∂ ψ

∂ x

(3.44)

Si les oscillations ont la forme ψ = ψ0 cos(ωt − k x), l’ordre de grandeur de ∂ ψ/∂ xest de 2πψ0/λ. On considère donc que l’amplitude de vibration des particules est trèsinférieur à la longeur d’onde de la perturbation. C’est l’approximation acquoustique.On a alors pour la relation de la dynamique :

ρ∂ 2ψ

∂ t 2 = E∂ ε

∂ x(3.45)

∂ 2ψ

∂ x2 −1

E/ρ∂ 2ψ

∂ t 2 = 0 (3.46)

Exercice: En déduire la vitesse v de propagation des ondes dans l’aluminium de moduled’Young E = 69 GPa et de densité ρ = 2,7 g/cm3. Comparer cette valeur avec celle de lalittérature (v = 6300 m/s).

2. On remarque que, contrairement à la définition des forces (vecteur définissant le module et le sens de la force),contrainte et déformation sont ici des scalaires définis relativement.

Page 25: Michel Perez

3.5. APPLICATION : ONDES DANS UNE TIGE (SUJET 4) 25

v =

s

Eρ= 5055 m/s (3.47)

Cette valeur est inférieure à celle de la littérature car les effet de Poisson ne sont pas prisen compte. Ils sont en fait incompatibles avec l’hypothèse de la propagation d’une ondeplane.

Exercice: Donner l’expression de l’impédance Z du matériau.

L’impédance est donnée par σ = Zψ. 0n a la relation suivante entre les dérivées pre-mières de ψ :

∂ ψ

∂ t=−v

∂ ψ

∂ x(3.48)

D’où :

σ =−Ev∂ ψ

∂ x=−

p

ρEψ=−Zψ (3.49)

Page 26: Michel Perez

26 CHAPITRE 3. PROPAGATION DES ONDES MÉCANIQUES

Page 27: Michel Perez

Chapitre 4

Ondes sonores

4.1 Expérience

Reprenons ici une expérience très simple : on visualise sur un oscilloscope : (i) la ten-sion d’alimentation d’un haut-parleur, (ii) la tension générée par un microphone situé à unedistance d = 34 cm du haut parleur. Le schéma du montage et la tension visualisée sont repré-sentés sur la figure 4.1.

GBF

Oscilloscope

FIGURE 4.1: Mesure de la vitesse des ondes sonores.

Exercice: Sachant que la distance haut-parleur/micro est mesurée avec une incertitude de1 cm et que la précision sur la mesure du temps est de 20 µs, calculer la vitesse du son.

v =dt= 327 m/s (4.1)

∆v = v

∆dd+∆tt

= 22 m/s (4.2)

On a donc v = (327± 22)m/s . La mesure est correcte car la valeur mesurée plus préci-sément est d’environ 340 m/s.

27

Page 28: Michel Perez

28 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

4.2 Equation de propagation unidimensionnelle

Par la suite, nous allons voir comment se propage le son et ce que représente les signauxobservés sur l’oscilloscope.

Nous allons traiter uniquement le cas unidimensionnel : toutes les variables (le déplace-ment ψ ou la vitesse v des molécules d’air, la surpression p,... ne dépendent que du temps t etde l’abscisse x.

Pour décrire la propagation des ondes sonores, on a besoin de trois équations :– la loi de comportement du gaz (loi reliant les variations de pressions aux variations de

volume)– l’équation de conservation de la masse– la relation de la dynamiquePour cela, imaginons une onde sonore qui se propage dans un tube de section constante

S. Nous allons étudier le comportement du gaz qui se situe, au repos entre les position x etx + d x. Soit ψ(t , x), l’écart d’une section de la colonne à sa position d’équilibre.

Ψ(x) Ψ(x+dx)

e1

x x+dx

FIGURE 4.2: Propagation des ondes sonores dans un tube.

4.2.1 Loi de comportement : un peu de thermodynamique

Soient ρ0, P0 et T0 les caractéristiques du fluide au repos. La présence d’ondes induit defaibles variations de ces grandeurs. On pose : µ = ρ− ρ0 et p = P − P0. On admet que ledéplacement d’une onde se fait sans déperdition d’énergie. On utilise donc le coefficient decompressibilité isentropique χS :

χS =−1V

∂ V∂ P

S

(4.3)

On peut donc écrire :

µ= ρχS p (4.4)

On utilise aussi parfois le module de compression κ qui est lié à χS par : κ= 1/χS .

Page 29: Michel Perez

4.2. EQUATION DE PROPAGATION UNIDIMENSIONNELLE 29

Exercice: Dans le cas adiabatique (isentropique), on a PV γ = C s t e. Donner l’expression deχS .

χS =−1V

−VPγ

=1

Pγ(4.5)

4.2.2 Conservation de la masse

On peut exprimer la masse de l’élément de fluide compris entre x et x + d x au repos :

d m = ρ0Sd x (4.6)

Lors du passage de l’onde, ce même élément de fluide (de même masse) va être déformé(voir figure 4.2) :

d m = ρS(d x +ψ(x + d x)−ψ(x)) (4.7)

La conservation de la masse (le nombre de molécules d’air compris entre les deux sectionssituées à x et x + d x au repos reste constant) implique :

ρ0 = ρ

1+∂ ψ

∂ x

(4.8)

Que l’on peut aussi exprimer de la façon suivante :

µ=−ρ∂ ψ

∂ x(4.9)

4.2.3 Relation de la dynamique

La dernière étape consiste à établir la relation de la dynamique à notre tranche de fluide :

d m∂ 2ψ(x)

∂ t 2 =−S [P (x + d x +ψ(x + d x))− P (x +ψ(x))] =−Sd x∂ p∂ x

1+∂ ψ

∂ x

(4.10)

Si les oscillations ont la forme ψ = ψ0 cos(ωt − k x), l’ordre de grandeur de ∂ ψ/∂ x estde 2πψ0/λ. On considère donc que l’amplitude de vibration des particules est très inférieur àla longeur d’onde de la perturbation. C’est l’approximation acoustique. Ce qui donne finale-ment :

ρ0

∂ 2ψ(x)

∂ t 2 =−∂ p∂ x

(4.11)

Page 30: Michel Perez

30 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

4.2.4 Equation de propagation

En combinant les trois relations précédentes : (i) loi de comportement du gaz (équa-tion (4.4)), (ii) conservation de la masse (équation (4.9)), (iii) relation de la dynamique (équa-tion (4.11)), on retrouve finalement l’équation de propagation :

∂ 2ψ(x)

∂ x2 −1

c2s

∂ 2ψ

∂ t 2 = 0 (4.12)

On reconnaît ici l’équation d’Alembert. La vitesse de propagation des ondes sonores estdonc :

cs =1

pρ0χS

κ

ρ0(4.13)

Exercice: Donner l’expression de cs en fonction de γ , R (constante des gaz parfaits, T0(température) et M (masse molaire). Calculer la vitesse des ondes sonores dans l’air à 0C et à25C. On donne Mai r = 29 g/mol, γ=7/5.

cs =

s

γP0

ρ0=

È

γRT0

M(4.14)

A 0C, cs = 331 m/s et à 25C, cs = 346 m/s.

Exercice: Déterminer l’équation de propagation de la surpression p et de la vitessev = ∂ ψ/∂ x dans la colonne de fluide

En combinant la conservation de la masse (équation (4.9)) et la loi de comportement(équation (4.4)), on a :

−∂ ψ

∂ x= χs p (4.15)

En dérivant par rapport à x la relation de la dynamique (équation (4.11)), on retrouve :

∂ 2 p

∂ t 2 =1

ρ0χS

∂ 2 p

∂ x2 (4.16)

L’équation de propagation des vitesses se retrouve simplement en dérivant l’équation depropagation en ψ par rapport au temps :

∂ 2v

∂ t 2 =1

ρ0χS

∂ 2v

∂ x2 (4.17)

Page 31: Michel Perez

4.3. CAS TRI-DIMENSIONNEL 31

4.3 Cas tri-dimensionnel

L’équation de propagation établie dans la section précédente est basée sur un cas particulierde propagation unidimensionnel (dans un tube) : toutes les variables ne dépendaient que dutemps et de l’abscisse x. Nous allons nous intéresser brièvement ici au cas ou le milieu depropagation est illimité.

4.3.1 Equation de propagation

L’établissement de l’équation de propagation repose sur un calcul de mécanique desfluides : au lieu d’utiliser la relation de la dynamique, on utiliser la relation de Navier-Stokesqui est son équivalent pour les fluides. Les détails de ce calcul ne seront pas développés ici, ontrouve finalement pour l’équation de propagation :

∆ψ−1

c2s

∂ 2ψ

∂ t 2 = 0 (4.18)

où∆ est l’opérateur laplacien :

∆ f (x, y, z) =∂ 2 f

∂ x2 +∂ 2 f

∂ y2 +∂ 2 f

∂ z2 (4.19)

4.3.2 Onde Plane

L’équation de propagation tri-dimensionnelle admet comme solutions possibles :

ψ1(x, y, z, t ) =ψ01 cos

ωt −k · r

(4.20)

ψ2(x, y, z, t ) =ψ02 cos

ωt +k · r

(4.21)

r est un vecteur de composantes (x, y, z). k est le vecteur d’onde : sa norme donne lenombre d’onde et sa direction donne le sens positif de propagation de l’onde : l’onde 1 sepropage suivant k alors que l’onde 2 se propage suivant −k. Ces ondes sont appelées ondesplanes car l’ensemble des points équiphases est tel que k · r =cste, ce qui est l’équation d’unplan.

4.3.3 Onde sphérique

L’équation de propagation tri-dimensionnelle admet aussi comme solutions possibles :

ψ3(x, y, z, t ) =ψ03

cos (ωt − k r )r

(4.22)

ψ4(x, y, z, t ) =ψ04

cos (ωt + k r )r

(4.23)

Page 32: Michel Perez

32 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

r est la distance au point O. Ces deux dernières relations sont les équations de propagationd’ondes sphériques de centre O. L’onde 3 correspond à une onde qui diverge de O vers l’infiniet l’onde 4 correspond à une onde qui converge de l’infini vers le point O.

4.4 Impédance

On rappelle que l’impédance de l’onde est défini comme le rapport de la cause (ici, lasurpression p) sur la conséquence (ici, la vitesse v).

Exercice: Donner l’expression de l’impédance d’un milieu portant une onde acoustique.

On utilise le fait que les équations de propagation admettent u = t − x/c comme solu-tion. Cela donne :

∂ ψ

∂ t=−cs

∂ ψ

∂ x(4.24)

avec cs = 1/pρ0χS . On utilise alors la loi de comportement (équation (4.4) et la conser-vation de la masse (équation (4.9)), ce qui donne :

p =È

ρ0

χSv (4.25)

On trouve finalement Z =p

ρ0/χS =pρ0κ.

4.5 Puissance et intensité sonore

On définit la puissanceP de l’onde par unité de surface (en W/m2) :

P = pv = Zv2 =p2

Z(4.26)

L’intensité sonore I (en dB (décibel)) est définit de la façon suivante :

I = 10 log10

PP0

(4.27)

avecP0 = 10−12 W/m2.Voici quelques exemples d’intensité sonore auxquelles l’oreille humaine peut être soumise :

Page 33: Michel Perez

4.6. APPLICATIONS 33

P (W/m2) I(dB)Seuil d’audibilité 10−12 0Chuchotement 10−9 30Conversation 10−6 60Circulation automobile 10−3 90Concert de rock 1 120Avion au décollage 103 150

4.6 Applications

Exercice: Quelle est la fréquence de vibration d’une onde harmonique se propageant dansl’eau (vitesse de phase 1500 m/s) avec la longueur d’onde de 10 cm ?

f =vλ= 15000 Hz (4.28)

Exercice: Calculer le rapport de la vitesse de propagation des ondes sonores dans l’air et dansl’eau (χS(eau) = 6.10−10 Pa et ρai r = 1.3 kg/m3). On donne vai r = 331 m/s et veau = 1500 m/s.Conclure

veau

vai r=È

ρai r

ρeau

s

χS(ai r )

χS(eau)≈ 3,7 (4.29)

On retrouve bien le rapport mesuré !

Exercice: Un bateau A explose. Le détecteur sonar d’un bateau B capte un signal correspon-dant à cette explosion 4 secondes avant que les marins sur le pont de B n’entendent cette explosion.Quelle est la distance qui sépare les bateaux A et B ? Les vitesses de propagation des ondes dansl’air et dans l’eau sont vai r = 330 m/s et veau = 1500 m/s.

d =t2− t1

1/v2− 1/v1= 1700 m (4.30)

Exercice: La vitesse du son dans l’air dans les conditions normales de température et depression est de 331 m/s. Sachant que la densité de l’air est alors de 1.29. g/l. Déterminer la valeurde l’impédance spécifique de l’air dans ces conditions.

Z = ρv = 428 rayl (4.31)

Page 34: Michel Perez

34 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

Exercice: Montrer que dans le cas d’une onde sphérique de la forme p = p(r, t ), l’équationd’onde (4.16) admet pour solution générale :

p =f (r − v t )

r+

f (r + v t )r

(4.32)

La forme tri-dimensionnelle de l’équation d’une onde acoustique est :

∆p =1

cs2

∂ 2 p

∂ t 2 (4.33)

∆ est l’opérateur laplacien :∆= ∂ 2/∂ x2. En coordonnées sphériques, le laplacien d’unefonction f (r,θ,ϕ) vaut :

∆ f (r ) =1r∂ 2

∂ r 2 (r f (r )) (4.34)

L’équation de l’onde vaut donc :

1r∂ 2

∂ r 2 (r p) =1

cs2

∂ 2 p

∂ t 2 (4.35)

La fonction F = r p obéit à l’équation d’Alembert, on a donc :

p(r, t ) =f (t − r/cs )

r+

g (t + r/cs )

r(4.36)

Exercice: Un source acoustique ponctuelle rayonne une onde parfaitement sphérique diver-gente. La puissance acoustique rayonnée par la source est Ps . Quelle est la puissance moyenne parunité de surface, appelée aussi intensité, à 1 m, 10 m et 100 m ? Sachant qu’à 500 m de la source,l’intensité reçu est égale à 10−4 W/m2, à quelle distance de la source ressentira-t-on une intensitésupérieure au seuil de la douleur (1 W/m2) ?

P =Ps

SI1 = 8.10−2Ps I10 = 8.10−4Ps I100 = 8.10−6Ps (4.37)

r =

È

I500

Ir500 = 5 m (4.38)

Page 35: Michel Perez

4.7. PROPAGATION D’UNE ONDE IMPULSIONNELLE DANS UN FLUIDE 35

4.7 Propagation d’une onde impulsionnelle dans un fluide

D’après un exercice tiré de [1].On considère une onde acoustique progressive se propageant dans un tuyau à parois rigides

de longueur infinie, de section constante S = 100 cm2 et contenant un fluide parfaitementélastique (onde 1D, milieu non dispersif). La position le long du tuyau est repérée par l’axe(O x), parallèle à ce tuyau. La masse volumique du fluide au repos est égale à 2× 103 kg/m3.

Les images du déplacement des particules en fonction de la position x, prises au instantst1 = 0.01 s et t2 = 0.02 s sont représentés sur la figure 4.3.

Position x (m)

Dép

lace

men

t u

m)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0

-10

-20

FIGURE 4.3: Déplacement des particules.

Question: Quelle est la vitesse de propagation (célérité) des ondes dans le tuyau ? En déduire lavaleur numérique du coefficient de compressibilité κ et celle de l’impédance acoustique spécifiquedu fluide Z. Sachant que la source a commencé à émettre à l’instant t = 0, déterminer la positionde cette source le long de l’axe O x.

La vitesse de propagation est c = 5/0.01 = 500 m/s. Or, c2 = 1/s q r tρ0χS =p

κ/ρ0,d’où κ = c2ρ0 = 0.5 GPa. L’impédance Z vaut : Z = pρ0κ = 106 rayl. La source setrouve à -1 m.

Question: Représenter le déplacement des particules en fonction du temps à la positionx = 3 m.

Nous sommes en présence d’une onde progressive selon x croissant de forme généralef (t − x/c). Le front avant de l’onde atteint la position x = 3 m au bout de 4/500 =8× 10−3 s, son passage dure 3/500= 6× 10−3 s.

Question: En déduire l’évolution de la vitesse de déplacement des particules à cette mêmeposition, puis celle de la surpression p dans le fluide.

Page 36: Michel Perez

36 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

Temps (s)

Dép

lace

men

t u

m)

0.006 0.008 0.01 0.012 0.014

10

0

-10

-20

FIGURE 4.4: Déplacement des particules à 3 mètres.

On a les relations : v = ∂ u/∂ t et p = Zv

Temps (s)

Vit

esse

v (

m/s

)

0.006 0.008 0.01 0.012 0.014Su

rpre

ssio

n (

kPa

)

0.01

0

-0.01

10

0

-10

FIGURE 4.5: Vitesse et surpression des particules à 3 mètres.

Question: Déterminer l’énergie acoustique totale transportée par l’onde.

L’énergie totale de l’onde est l’intégrale de la puissance instantanée transmise en fonctiondu temps à une côte x donnée :

E =∫ t=0.014

t=0.008ZS

∂ u∂ t

2

d t (4.39)

L’intégration peut s’effectuer sans calcul à partir du graphique donnant la vitesse desparticules :

E = 106.10−2[(2× 10−2)2× 2× 10−3+(0,5× 10−2)2× 4× 10−3] = 9 mJ (4.40)

Page 37: Michel Perez

4.8. EFFET DOPPLER, ONDE DE CHOC 37

4.8 Effet Doppler, onde de choc

Un mobile M émet un signal sonore de période T en se déplaçant sur une droite y = l à lavitesse v. La célérité des ondes acoustiques est c . A l’instant t , l’angle (O x,OM (t )) est notéθ, supposé peu varier pendant une période.

ex

ey

r

r

M(t) M(t+dt)l

Question: A quelle période T ′ le signal sonore est-il perçu par un observateur immobileau point O lorsque M s’éloigne ? Lorsque M se rapproche ? Que se passe-t-il à l’instant où θ=π/2 ?

Le signal émit à t par M tel que OM = r arrive en O à l’instant t ′ = t + r/c . Le signalémit une période après arrive en O à l’instant t ′+T ′ = t+T+(r+δ r )/c . Par différence,il vient :

T ′ = T +δ rc

(4.41)

Pendant une période, le mobile s’est déplacé de vT . Si on admet que vT << r , on a :vT cosθ= δ r , ce qui donne finalement :

T ′ = T

1+vc

cosθ

(4.42)

Si le mobile se rapproche de l’observateur, on trouve après un raisonnement similaire :

T ′ = T

1−vc

cosθ

(4.43)

Quand θ=π/2 : T ′ = T .

Question: Dans le cas où l = 0, à quelle vitesse doit rouler une voiture de pompier dont lasirène émet les notes Sol-La pour qu’une oreille absolue détecte La-Si ?

Page 38: Michel Perez

38 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

On a une augmentation de fréquence, donc la voiture se rapproche. Pour passer de Sol-La à La-Si, on augmente d’un ton (un ton= 6

p2) donc :

f ′ = f

1−vc

−1= f

1+vc

(4.44)

D’où la vitesse v :

v = c

6p2− 1

= 150 km/h (4.45)

Le mobile M est un avion, en vol supersonique à la vitesse v constante. Le bruit émis parM à l’instant t est perçu par l’observateur immobile en O à l’instant t ′. t ′ étant fonction de t ,on pose t ′ = f (t ). A l’instant t = 0, M passe sur l’axe (O, y).

Question: Expliciter la fonction t ′ en fonction de t et tracer un graphe. Que se passe-il quandd t ′/d t=0 ?

On a la relation : t ′ = t +OM/c , ce qui donne :

t ′ = t +1c

p

l 2+ v2t 2 (4.46)

Quand d t ′/d t=0, le son émis par l’avion pendant un instant d t arrive instantanémentdans les oreilles de l’observateur : "BANG"

5

10

15

20

25

–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10t

Question: Calculer l’instant t ′0 où l’observateur perçoit le bang, l’instant t0 où l’avion émetle son perçu à t ′0, et la position de M au moment où l’observateur perçoit le bang (l = 2000 m,

Page 39: Michel Perez

4.8. EFFET DOPPLER, ONDE DE CHOC 39

v = 5000 m/s, c = 340 m/s).

Le bang est émis quand d t ′/d t=0. On calcule f ′(t ) :

d t ′

d t= 1+

v2t

cp

l 2+ v2t 2(4.47)

On trouve t0 :

t0 =−l/v

Æ

v2/c2− 1=−3,71 s (4.48)

Puis t ′0 :

t ′0 =lv

Æ

v2/c2− 1= 4,31 s (4.49)

Question: Quelle est la durée d’émission τ des sons entre t ′0 et t ′0+τ′ ? (AN : τ′=0,1 s).

Il faut inverser la fonction t ′ = f (t ). On trouve :

t =−t ′+(v/c)

q

t ′2− t ′02

v2/c2− 1(4.50)

Le temps τ recherché est donné par : τ = t − t0 pour t ′ = t ′0+τ′. On trouve finalement

τ = 1.1 s. Le son émis pendant 1,1 s est perçu par l’observateur pendant 0,1 s, d’où le"BANG" ! ! !

Question: Soit M0 la position de l’avion au moment où l’onde de choc est perçue en O.Déterminer sinθ0, où θ0 est l’angle entre O x et OM0. En déduire l’ensemble des points recevantl’onde de choc à un instant donné.

On a :

sinθ0 =l

q

l 2+ v2t ′02=

cv

(4.51)

L’angle θ0 est indépendant de l , donc le cône de sommet M et d’angle 2θ0 est l’ensembledes points qui perçoivent l’onde de choc en même temps.

Question: Quel est le lien entre les deux parties de cet exercice ?

Page 40: Michel Perez

40 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

FIGURE 4.6: Utilisation de l’angle du cône de choc pour déterminer la vitesse d’un avion. Ici l’angle 2α = 60, doncla vitesse de l’avion vaut Mach 1,15 ou 1407 km/h (d’après http ://id-net.fr/ brolis/sp/son/mur2.html).

L’angle θ est définit de la même façon dans les deux études : il correspond à la positionde l’avion en t0 :

cosθ=−v t0

Æ

l 2+ v2t02=−

cv

(4.52)

Si on reporte cette valeur dans la formule de l’effet Doppler, on obtient T ′/T = 0, cequi est équivalent pour l’onde de choc à d t ′/d t = 0.

Page 41: Michel Perez

4.9. LE MUR DE LA CATÉNAIRE 41

4.9 Le mur de la caténaire

D’après un article de R. Lehoucq et J. M. Coutry paru dans Pour la Science, 286, août 2001.(Illustration Bruno Vacaro).

La motrice d’un TGV est alimentée en courant électrique par l’intermédiaire du panto-graphe, un bras articulé conçu pour soulever le câble électrique suspendu au-dessus du train(la caténaire). Après le passage du TGV, la déformation imposée par le pantographe engendredes oscillations de ce câble, d’autant plus nocives que la vitesse du TGV est proche de la vitessede propagation des ondes mécaniques dans la caténaire : à cette vitesse l’onde est stationnairepar rapport au train et les déformations de la caténaire détachent celle-ci du pantographe, cequi coupe l’alimentation en électricité. Nous allons essayer de calculer la vitesse limite desTGV compte tenu de ce phénomène. On représente schématiquement le passage de l’ondedans la caténaire par le schéma suivant :

Ψ(x)Ψ(x+ dx ) ex

ey

x x+ dx

α

Caténaire

Question 1 : Les ondes mécaniques observées dans la caténaire sont-elles longitudinalesou transversales ?

Question 2 : On appelle α(x, t ) l’angle que fait la caténaire avec l’horizontale et ψ(x, t ) ladéviation verticale de la caténaire de sa position d’équilibre. On supposera par la suite que αest un infiniment petit d’ordre 1 (sinα≈ α et cosα≈ 1). Donner l’expression reliant α et ψ.

Question 3 : On fait l’hypothèse que la caténaire n’a pas de raideur, aucune force nes’oppose à sa déformation. La seule force à prendre en compte est sa tension qui est tangente à

Page 42: Michel Perez

42 CHAPITRE 4. ONDES SONORES

la caténaire et qui a pour module T (x, t ). Établir un bilan des forces projeté sur l’horizontaleet monter que la tension est en fait une constante que l’on appellera T0.

Question 4 : Soit µ la masse linéique (en kg/m) de la caténaire. Établir la relation de ladynamique sur une portion de caténaire et en déduire l’équation de propagation de l’ondedans le câble. Donner l’expression de la vitesse de propagation cette onde ?

Question 5 : Par un raisonnement purement dimensionnel établir (ou vérifier) l’expres-sion de la vitesse de propagation de l’onde.

Question 6 : Une caténaire de TGV est constituée d’un câble profilé de cuivre pur d’unesection de 150 millimètres carrés, soutenu par un câble porteur en bronze (la densité du cuivreest de 8,9). Elle est mise sous une tension de 2 600 décanewtons. Calculer la vitesse de propa-gation des ondes.

Question 7 : Un bon captage de l’électricité n’est possible que si le TGV ne dépasse pas70 pour-cent de la vitesse de propagation des ondes le long de la caténaire. Est-il possible defranchir la barre symbolique des 500 km/h ?

Question 8 : Le 18 mai 1990, la rame 325 a pu atteindre la vitesse record de 515,3 ki-lomètres par heure. Conformément à ce qu’avaient prévu les ingénieurs, la caténaire ne sesouleva pas plus de 30 centimètres. Quelle a été, selon vous, l’idée des ingénieurs de la SNCFpour permettre un tel record ?

Page 43: Michel Perez

Chapitre 5

Ondes électromagnétiques dans le vide

Nous avons vu précédemment qu’une onde se propage quand deux grandeurs sont cou-plées (pression et déplacement dans le cas des ondes sonores, contrainte et allongement dans lecas des ondes mécaniques...). Nous allons maintenant présenter les ondes électromagnétiques,résultant du couplage entre champ magnétique et champ électrique dans le vide.

Après une présentation des équations de Maxwell replacées dans leur contexte historique,nous reviendrons sur l’origine physique des champs électriques et magnétique en unifiant ceséquations avec la relativité restreinte. Enfin, nous verrons quels types d’ondes pourront sepropager dans le vide.

5.1 Equations de Maxwell

Le couplage entre les champs électriques et magnétiques est décrit par les équations deMaxwell. Mais d’où viennent ces équations ? Et tout d’abord, que sont champs électriques etchamps magnétiques ?

5.1.1 Champs électriques et magnétiques

Les champs électriques et magnétiques ne se manifestent que par leurs effets sur les charges.L’effet des champs sur les charges est introduit très tôt dans l’enseignement car on peut expri-mer cet effet par une expression très simple liant la force F exercée par ces champs (E et B) surune particule de charge q se déplaçant à une vitesse v :

F= qE+ qv∧B (5.1)

Cette formule permet de poser de très beaux problèmes aux étudiants, mais masque unphénomène très important : ces champs sont eux-mêmes créés par des charges (en mouvementou non). C’est justement ce qu’expriment les équations de Maxwell.

5.1.2 Equation de Maxwell-Gauss

En 1832, en se basant sur de nombreuses expérience d’électrostatique, Karl Friedrich Gaussa proposé une loi, appelée maintenant théorème de Gauss qui relie le champ électrique E aux

43

Page 44: Michel Perez

44 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

charges qui lui ont données naissance. Ce théorème indique que le flux du champ électriqueà travers une surface fermée Σ est égal à la charge situé à l’intérieur de cette surface divisé parε0.

ΣE · dS=

Qi nt

ε0avecc ε0 =

136π· 10−9 F/m (5.2)

En reprenant les travaux de Gauss, Maxwell a exprimé cette expression sous une formedifférentielle (forme locale), où ρ est la densité de charge volumique :

div E=ρ

ε0(5.3)

C’est l’équation de Maxwell-Gauss.

5.1.3 Equation de Maxwell-Ampère

On savait depuis le début du XVIIIème siècle que le fer pouvait être aimanté par la foudreet qu’il y avait donc une relation entre l’électricité et le magnétisme. Or, en 1820, le DanoisChristian Oersted découvre que le courant électrique en provenance d’une pile dévie uneboussole placée à proximité. Oersted ne tente pas de quantifier sa découverte ; c’est André-Marie Aampère qui le fera. Une semaine après avoir entendu une description des travauxd’Oersted, il a déjà complété l’essentiel de la théorie de l’électrodynamique, c’est-à-dire desphénomènes impliquant des courants électriques.

Ampère observe même le phénomène de l’induction (courant induit dans un circuit par lavariation du champ magnétique qui le traverse) mais ne songe pas à l’analyser en détail.

Dans sa théorie, Ampère propose une loi 1, appelée maintenant théorème d’Ampère, quirelie la circulation du champ magnétique le long d’un contour Γ au courant enlacé par cecontour :

ΓB · d l=µ0Ienl (5.4)

Comme précédemment, Maxwell a exprimé une forme différentielle de cette équation(forme locale), où j est le vecteur densité de courant volumique :

rot B=µ0j (5.5)

Si l’on prend la divergence des deux termes de l’égalité précédente, on trouve :

div j= 0 (5.6)

car l’analyse vectorielle nous montre que la divergence du rotationnel est nulle.Par ailleurs, si on fait le bilan des charges qui rentrent et qui sortent d’une cube d’arrêtes

d x, d y et d z, on trouve :

1. Théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques, uniquement déduite de l’expérience (1827)

Page 45: Michel Perez

5.1. EQUATIONS DE MAXWELL 45

div j=jx(x + d x)− jx(x)

d x+

jy(y + d y)− jy(y)

d y+

jz(z + d z)− jz(z)d z

=−∂ ρ

∂ t(5.7)

Les deux équations précédentes sont contradictoires ! Maxwell a alors eu l’idée génialede rajouter un terme (que nous appellerons A à l’équation locale d’Ampère pour lever cettecontradiction :

rot B=µ0j+A (5.8)

En prenant la divergence de l’équation précédente, on trouve :

0=−µ0

∂ ρ

∂ t+ div A (5.9)

Maxwell a alors utilisé l’équation de Maxwell-Gauss (équation (5.3)) :

div A=µ0

∂ (ε0div E)∂ t

= div

µ0ε0

∂ E∂ t

(5.10)

Ce qui donne finalement :

rot B=µ0j+µ0ε0

∂ E∂ t

(5.11)

C’est l’équation de Maxwell-Ampère.

Courant de déplacement : quel déplacement ?

Maxwell a baptisé le deuxième terme de cette équation d’un nom tout à fait curieux : lecourant de déplacement (displacement current). En fait, ceci est dû au fait que beaucoup deses idées sur les champs électriques et magnétiques étaient erronées : il croyait par exemple àl’existence d’un milieu (l’éther) dans lequel les champs électriques et magnétiques étaient dessortes de contraintes, par analogie avec la mécanique. Il croyait aussi que les courant de dépla-cement étaient associés à des déplacements de l’éther (d’où le nom). Malgré cela, le formalismede Maxwell reste valide car il était exclusivement basé sur l’expérience.

Alors, pourrait-on dire, pourquoi l’effet d’une variation du champ électrique sur le champmagnétique n’a pas été mis en évidence expérimentalement ? La réponse est que l’effet de cenouveau terme de l’équation de Maxwell-Ampère était beaucoup trop petit pour être observéau XIXème sciècle ! Pourquoi se compliquer la vie avec ce terme : nous allons voir qu’il est àl’origine de la propagation des ondes électromagnétiques !

5.1.4 Equations de Maxwell-Flux

En cette même année 1820, Jean-Bapstiste Biot et Félix Savart déterminent la valeur duchamp créé par une portion dl d’un conducteur parcouru par un courant constant I en unpoint de l’espace situé à r de dl :

Page 46: Michel Perez

46 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

dB(r) =µ0

4πI d l×

r

r 3 (5.12)

où µ0 est une constante appelée la perméabilité du vide(par définition du S.I.(Systèmeinternational d’unités), µ0 = 4π · 10−7 H/m (Henry/mètre).

A partir de l’équation précédente, on démontre que le champ B est à flux conservatif :

div B= 0 (5.13)

C’est l’équation de Maxwell-flux.On peut démonter aussi que la loi de Biot et Savart permet d’obtenir le théorème d’Am-

père, ce qui est remarquable car ces deux découvertes datent de la même année !

5.1.5 Equation de Maxwell-Faraday

La découverte manquée d’Ampère, l’induction, n’allait pas être manquée par l’Anglais Mi-chael Faraday. La découverte principale de Faraday est l’induction électromagnétique : le faitqu’un flux magnétique variable induise un courant électrique dans une boucle de fil fermée.Ainsi, non seulement l’électricité en mouvement peut-elle produire un flux magnétique, maisl’inverse est vrai aussi. Faraday n’était pas mathématicien et ne formalisa pas ses découvertesautant qu’elles auraient pu l’être. Il utilisa cependant les notions de champ magnétique et dechamp électrique, les concevant comme des lignes de force qui s’étendent dans l’espace.

C’est encore Maxwell qui prolongea les travaux de Faraday sur les fondement de l’électro-magnétisme et les décrivit en termes mathématiques :

rot E=−∂ B∂ t

(5.14)

C’est l’équation de Maxwell-Faraday.

5.2 Retours sur les champs électriques et magnétiques

Le génie des équations de Maxwell (et leur créateur) a été de décrire, par un formalisme trèsconcis, une quantité énorme de résultats expérimentaux obtenus dans différents domaines :électrostatique, magnétisme, induction magnétique...

Par contre, jusqu’au début du XXème siècle, ces quatres équations ne sont que l’expressionde nombreux phénomènes expérimentaux : il n’existe aucune théorie en amont pour "unifier"ou expliquer tous ces phénomènes.

Grâce aux travaux de Lorentz, puis d’Einstein, nous allons voir que ces équations sont enfait la conséquence directe de la loi fondamentale de l’électromagnétisme et de la relativitérestreinte avec sa transformation de Lorentz.

Page 47: Michel Perez

5.2. RETOURS SUR LES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 47

5.2.1 Loi fondamentale de l’électromagnétisme

La loi fondamentale et universelle de l’électromagnétisme (appelée aussi loi de Coulomb etformalisée en 1780 par Charles de Coulomb) relie la force F exercée par une particule chargéesur une autre particule chargé (de charges q1 et q2) situés à une distance r :

F=1

4πε0

q1q2

r 2 u (5.15)

u est un vecteur unitaire dont la direction est donnée par la droite reliant les deux chargeset est orienté pour que deux particules de charges opposées s’attirent.

Cette loi est appelée fondamentale car elle est à la base de tout l’électromagnatisme, etuniverselle car elle est valable partout et tout le temps, en d’autre mots, quel que soit leréférentiel.

5.2.2 Le champ électrique

Le champ électrique E est définit directement à partir de la force exercé sur une particulede charge q :

F= qE (5.16)

Le théorème de Gauss est une conséquence directe (après une démonstration assez com-pliquée) de cette définition.

Exercice: A partir du théorème de Gauss appliqué à une particule de charge q ′, retrouver larelation fondamentale de l’électromagnétisme.

En présence d’une seule particule, par symétrie de révolution, le champ électrique estradial (E= f (r )). Le théorème de Gauss est donc équivalent à :

ΣE · dS= E4πr 2 =

Qi nt

ε0(5.17)

A l’aide de la relation F= qE, on retrouve bien la relation fondamentale de l’électroma-gnétisme.

Exercice: A partir de l’expression locale du théorème de Gauss appliqué à une particule decharge q ′, retrouver la relation fondamentale de l’électromagnétisme.

Page 48: Michel Perez

48 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

En présence d’une seule particule, par symétrie de révolution, le champ électrique estradial (E= f (r )). L’expression locale du théorème de Gauss est donc équivalente à :

div E=1

r 2

∂ rE(r )r 2

ε0(5.18)

On intègre cette expression par rapport à r et on retrouve bien la relation fondamentalede l’électromagnétisme.

Exercice: Retrouver l’expression de la circulation du champ E le long d’un contour fermé.

Le champ E est le résultat de la superposition des effets de toutes les charges en présence.Pour une charge i , on sait que Ei = f (ri ). D’après l’expression du rotationel en coor-données sphériques, on a rot Ei = 0. Cela donne bien rot E= 0. Le théorème de Stokesindique que :

lE · d l=

∫ ∫

Σrot E · d l (5.19)

Comme rot E= 0, on a bien une circulation nulle le long d’un contour fermé.

Exercice: Retrouver l’expression de la discontinuité du champ électrique à la traversée d’unenappe orienté perpendiculairement à (O x) de charge surfacique σ .

On applique l’expression locale du théorème de Gauss à un élément de volume de lanappe :

div E=E2− E1

d x=ρ

ε0(5.20)

On en déduit la discontinuité du champ (n est le vecteur normal à la surface) :

(E2−E1) ·n=σ

ε0(5.21)

5.2.3 Le champ magnétique

L’origine physique du champ magnétique apparaît lorsqu’on applique la théorie de la relati-vité restreinte à la loi de Coulomb. Sans rentrer dans les détails, on peut imaginer l’expériencefictive suivante :

Un fil est parcouru par des courants d’électrons et de trous allant en sens opposé à lavitesse v− avec des densités λ+ = λ−. Une charge négative se déplace à la vitesse v− dans le

Page 49: Michel Perez

5.2. RETOURS SUR LES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 49

V -

V -

V +

qV - B

F = qV - ∧ B

FIGURE 5.1: La charge négative est attirée par le fil.

même sens que les électrons du conducteur. Si on se base sur le principe de Coulomb, le filétant globalement neutre, aucune force n’est appliquée sur la charge. Par contre, la théoriede la relativité restreinte, nous dit que pour un observateur placé dans un référentiel qui semeut avec la charge négative, les dimensions d’objets mobiles par rapport à ce référentiel secontractent. Pour la charge négative, on aura donc λ+ > λ−. En appliquant le principe deCoulomb, il apparaît une force qui va attirer la charge négative vers le conducteur. Cette forceest appelée force magnétique.

Exercice: Comparer qualitativement cette force magnétique à la force F = qv∧B.

Le champ B créé par le courant est donné par le théorème d’Ampère. Il est représentésur la figure 5.1. La force F est la force magnétique ; elle est bien orientée en directiondu fil.

Une étude quantitative de la force magnétique nécessite des calculs assez longs mais sansgrande difficulté mathématique 2.

Exercice: A partir des expressions des champ électriques et magnétiques tiré du texte "Chargesen mouvement", retrouver l’équation de Maxwell-Ampère.

2. Voir le texte intitulé "Charges en mouvement"

Page 50: Michel Perez

50 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

On part de l’expression de la force exercée par l’électron 1 sur le 2. Sachant que F= q2E,on a :

E=q2

4πε0

1−β2 ur

s 3 (5.22)

On a l’expression du champ B :

B=1−β2

4πε0c2 q1v1 ∧ur

s 3 (5.23)

Ce qui se transforme facilement en :

B=v1

c2 ∧E (5.24)

rot B=µ0j+µ0ε0

∂ E∂ t

(5.25)

On va calculer le rotationnel de B sachant que :

rot (A∧B) =Adiv B−Bdiv A+(B · grad )A− (A · grad )B (5.26)

On a donc :

rotv1

c2 ∧E

=v1

c2 div E−Edivv1

c2 +

E · grad v1

c2 −v1

c2 · grad

E (5.27)

Les termes div (v1) et (E · grad )v1 sont nuls, il reste donc :

rot (B) =v1

c2

ρ

ε0+

1

c2

∂ E∂ t

(5.28)

Avec v1ρ= j et c2ε0µ0 = 1, on obtient finalement l’équation de Maxwell-Ampère.

Exercice: Comment obtient-on l’équation de Biot et Savart ?

Page 51: Michel Perez

5.2. RETOURS SUR LES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 51

On imagine un fil conducteur de section S comprenant un grand nombre de chargesmobiles de vitesse moyenne v (n est le nombre de charges par unité de volume). L’in-tensité I s’écrit : I = neSv. Sur un élément de volume orienté de longueur dl, on auranSd l charges. La force magnétique appliquée sur ces charges vaut :

F=nSdle I

neS∧B= I dl∧B (5.29)

De manière générale, on a : I dl = qv. On reprend alors l’expression du champ magné-tique avec les approximations suivantes 1−β2 ≈ 1 et s ≈ r , et on trouve :

dB=µ0

4πI1dl1 ∧

u

r 2 (5.30)

Le paradoxe du changement de référentiel

Une charge se déplace à la vitesse v dans un référentiel R. Soit R′, le référentiel dans lequella charge est immobile. On utilise les changements de repères suivants, qui découlent de latransformation de Lorenz, pour exprimer les champs E et B dans les référentiel R et R′ :

E′ = γ (E+ v∧B) (5.31)

B′ = γ

B−v

c2 ∧E

(5.32)

Les notations suivantes sont utilisées : β = v/c et γ =Æ

1−β2. Comme en généralv << c2, on effectue souvent les simplifications suivantes :

E′ = E+ v∧B (5.33)

B′ = B (5.34)

D’après les formules de changement de repère précédentes, le champ magnétique dans lerepère R′ est égal au champ magnétique dans le repère R. Or, (1) dans le repère R′, il ne peut pasy avoir de champ car la particule est immobile, et (2) dans le repère R, il existe obligatoirementun champ magnétique créé par la particule en mouvement. Paradoxe...

En fait l’origine du champ magnétique et d’ordre relativiste. Son existence découle de latransformation de Lorentz qui permet de passer d’un repère R à un repère R′ mobile parrapport à R. Après force calcul, on peut trouver la formule générale de changement de repèrepour les champs E et B. Elle est donnée dans le Berkley (Vol 2, p. 213).

Une tentation, un peu hâtive, consiste à négliger le deuxième terme de la dernière équa-tion en prétextant que : v << c2, ce qui nous ramènerait aux équations de changements derepère (??) et (??). En fait, le champs B est un infiniment petit du deuxième ordre par rapportà E (µ0 = 1/(c2ε0), ce que la formule F = qE+ qv∧B masque complètement en comparant

Page 52: Michel Perez

52 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

des forces dont l’ordre de grandeur est complètement différent. B est donc du même ordre degrandeur que vE/c2. En fait dans notre exemple particulier, on a exactement :

B=v

c2 ∧E (5.35)

Ce qui implique bien B′=0. L’équation de changement de repère (??) est donc erronée.Pour aller plus loin dans les domaines de la relativité et des champs, on pourra consulter lesouvrages de la collection Berkley [10] et le cours de R. Feynmann [3, 4].

5.3 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Nous avons vu que les équations de Maxwell, et/ou la relativité restreinte nous indiquentqu’il existe un couplage entre E et B analogue au couplage force/vitesse de la corde vibrante, aucouplage surpression/vitesse dans les fluides,... Ceci va nous permettre d’établir des équationsde propagation du champ électro-magnétique.

5.3.1 Equation de Maxwell dans le vide

Dans le vide, il n’y a ni charges, ni courants, les quatres équations de Maxwell peuventdonc s’écrire :

div B= 0 (MΦ) (5.36)

rot E=−∂ B∂ t

(MF) (5.37)

div E= 0 (MG) (5.38)

rot B=µ0ε0

∂ E∂ t

(MA) (5.39)

5.3.2 Équations de propagation

Exercice: Sachant que rot (rot A) = grad (div A) −∆A, retrouver les équations de pro-pagation des champs électrique et magnétique dans le vide. Donner l’expression de la vitesse depropagation de ces champs.

Page 53: Michel Perez

5.3. PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE 53

On a :

rot (rot E) = rot

−∂ B∂ t

=−ε0µ0

∂ 2E

∂ t 2 (5.40)

Dans le vide, on a finalement :

∆E− ε0µ0

∂ 2E

∂ t 2 = 0 (5.41)

Le calcul est le même pour B ; on peut le mettre sous la forme :

∆B−1

c2

∂ 2B

∂ t 2 = 0 (5.42)

La vitesse de propagation c = 1/(ε0µ0) est la vitesse de la lumière par définition.

On retrouve la même forme d’équation de propagation que pour les ondes sonores : c’estl’équation d’onde tri-dimensionnelle. Attention, le laplacien est maintenant vectoriel.

5.3.3 Ondes planes progressives

Exercice: En faisant le changement de variable suivant : X = t− (r ·u)/c et Y = t+(r ·u)/c(r = OM, M , un point de coordonnées (x, y, z), et u un vecteur unitaire quelconque), montrerque E(X ,Y ) = f (X )+ g (Y ) ( f et g deux fonctions quelconques) est solution de l’équation d’ondetri-dimensionnelle.

Page 54: Michel Perez

54 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

On peut exprimer X et Y de la façon suivante :

X = t −x ux + y uy + z uz

cY = t +

x ux + y uy + z uz

c(5.43)

Comme E est une fonction de X et Y :

∂ E∂ x=∂ E∂ X

∂ X∂ x+∂ E∂ Y

∂ Y∂ x=−ux

∂ E∂ X

1c+ ux

∂ E∂ Y

1c

(5.44)

∂ E∂ y=∂ E∂ X

∂ X∂ y+∂ E∂ Y

∂ Y∂ y=−uy

∂ E∂ X

1c+ uy

∂ E∂ Y

1c

(5.45)

∂ E∂ z=∂ E∂ X

∂ X∂ z+∂ E∂ Y

∂ Y∂ z=−uz

∂ E∂ X

1c+ uz

∂ E∂ Y

1c

(5.46)

∂ E∂ t=∂ E∂ X

∂ u∂ t+∂ E∂ Y

∂ v∂ t=∂ E∂ X+∂ E∂ Y

(5.47)

Dérivons une deuxième fois par rapport à x, y, z et t :

∂ 2E

∂ x2 =u2

x

c2

∂ 2E

∂ X 2 − 2∂ 2E∂ X∂ Y

+∂ 2E

∂ Y 2

(5.48)

∂ 2E

∂ y2 =u2

y

c2

∂ 2E

∂ X 2 − 2∂ 2E∂ X∂ Y

+∂ 2E

∂ Y 2

(5.49)

∂ 2E

∂ z2 =u2

z

c2

∂ 2E

∂ X 2 − 2∂ 2E∂ X∂ Y

+∂ 2E

∂ Y 2

(5.50)

∂ 2E

∂ t 2 =∂ 2E

∂ X 2 + 2∂ 2E∂ X∂ Y

+∂ 2E

∂ Y 2 (5.51)

L’équation d’onde tri-dimensionnelle se transforme donc en :

∂ 2E∂ X∂ Y

= 0 (5.52)

On voit immédiatement que E(X ,Y ) = f (X ) + g (Y ) est solution de l’équation précé-dente.

Exercice: Trouver l’ensemble des points tels que X ou Y soient constants à un instant donné.En déduire à quoi correspond la solution du type : E(X ,Y ) = f (X )+ g (Y ) ?

Page 55: Michel Perez

5.3. PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE 55

A un instant donné, X ou Y sont constants si OM·u est constant. L’ensemble des pointsM qui vérifient cette équation est un plan de normale u. Tous les points qui sont sur unplan de normale u auront donc le même champ électrique. On appelle ce type d’onde,des ondes planes. X représente une onde qui se déplace dans le sens de u et Y dans lesens inverse de u.

Une onde plane est définie par extension comme une onde pour laquelle la phase estconstante pour tous les points appartenant à un plan donné.

Exercice: On a un champ de vecteur de la forme A(x, y, z, t ) =A(t − (r ·u)/(c)). Donner lesexpressions de div A et rot A.

On pose X = t − (r ·u)/(c). On a :

∂ Ax

∂ x=∂ Ax

∂ X

−ux

c

et∂ Ax

∂ t=∂ Ax

∂ X(5.53)

On a donc pour les expressions de div A et de rot A :

div A=∂ Ax

∂ x+∂ Ay

∂ y+∂ Az

∂ z=−

uc·∂ A∂ t

(5.54)

rot A=−uc∧∂ A∂ t

(5.55)

Exercice: Réécrire les quatre équations de Maxwell en les intégrant par rapport au temps.

Page 56: Michel Perez

56 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

Grâce aux équations précédentes, on a :

−uc·∂ E∂ t= 0 (MG) (5.56)

−uc∧∂ E∂ t=−

∂ B∂ t

(MF) (5.57)

−uc·∂ B∂ t= 0 (MΦ) (5.58)

−uc∧∂ B∂ t= ε0µ0

∂ E∂ t

(MA) (5.59)

On intègre par rapport au temps :

u ·E= 0 (MG) (5.60)

B=uc∧E (MF) (5.61)

u ·B= 0 (MΦ) (5.62)

E=−cu∧B (MA) (5.63)

Pour une onde plane progressive, les champs E et B sont perpendiculaire à la direction depropagation de l’onde, et sont perpendiculaires entre eux : le trièdre (E,B,u) est trirectangleet direct.

5.3.4 Ondes Planes Progressives Monochromatiques (OPPM)

Le cas des ondes monochromatiques est un cas particulier pour lequel la fréquence desondes est constante. On parlera souvent de leur pulsation ω. Comme dans le cas des ondessonores, on utilise avec profit la notation complexe :

E∗ = E∗0 exp

(ωt −k · r)

(5.64)

Exercice: Calculer div E, rot E et∆E et retrouver les quatre équations de Maxwell.

Page 57: Michel Perez

5.3. PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE 57

div E∗ =− k ·E∗ (5.65)

rot E∗ =− k∧E∗ (5.66)

∆E∗ =−k2E∗ (5.67)

On en déduit les quatre équations de Maxwell :

− k ·E∗ = 0 (MG) (5.68)

k∧E∗ = ωB (MF) (5.69)

− k ·B∗ = 0 (MΦ) (5.70)

− k∧B∗ = ε0µ0 ωE (MA) (5.71)

L’équation de Maxwell-Faraday donne facilement la relation entre le champ magnétique etle champ électrique d’une OPPM de pulsationω et de vecteur d’onde k :

B=k∧E∗

ω(MF) (5.72)

La relation de dispersion reste la même que pour les ondes sonores :

k2 =ω2

c2 (5.73)

5.3.5 Polarisation des OPPM

Dans ce paragraphe, nous choisissons une direction de propagation parallèle à l’axe z.L’équation du champ électrique est donc :

E∗ = E∗0 exp[ (ωt − k z)] (5.74)

Ceci peut s’écrire en notation réelle :

Ex = Ex0cos(ωt − k z +Φx) (5.75)

Ey = Ey0cos(ωt − k z +Φy) (5.76)

Si on se place à z fixé, on peut donc écrire (à un décalage temporel près) :

Ex = Ex0cos(ωt ) (5.77)

Page 58: Michel Perez

58 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

Ey = Ey0cos(ωt −ϕ) (5.78)

Plusieurs cas particuliers peuvent se rencontrer : (1) si ϕ=0 ou π, on a une polarisationrectiligne ; (2) si φ = ±π/2, on reconnaît l’équation d’une ellipse (si, en plus, Ex = Ey , on aalors une polarisation circulaire).

5.4 Énergie d’une onde électromagnétique

L’énergie volumique e en présence d’un champ électro-amgnétique est donnée par :

e =ε0E2

2+

B2

2µ0(5.79)

L’énergie W contenue dans un volume dτ est donc :

W =∫

τ

edτ (5.80)

Exercice: Calculer la puissance p rayonnée par les parois du volume τ. On donnera le résultaten fonction d’un vecteur Π= (E∧B)/µ0.

La puissance p est la variation de l’énergie contenue dans le volume τ :

p =−∫

τ

∂ t

ε0E2

2+

B2

2µ0

dτ =−∫

τ

ε02E2·∂ E∂ t+

2B2µ0·∂ B∂ t

dτ (5.81)

D’après les équations de Maxwell :

p =−∫

τ

Eµ0· (rot B−µ0j)−

Bµ0· rot E

dτ (5.82)

Comme div (A∧B) = B · rot A−A · rot B :

p =∫

τ

div Πdτ =∫

SΠ.dS (5.83)

Le vecteur Π est appelé vecteur de Poynting. Ceci nous conduit à postuler que le flux duvecteur de Poynting à travers une surface S (non fermée) est égal à la puissance électromagné-tique transportée à travers cette surface.

Exercice: Calculer de deux façons différentes l’énergie électromagnétique d E qui traverse unesurface S pendant un instant d t et en déduire la vitesse de l’énergie v :

Page 59: Michel Perez

5.4. ÉNERGIE D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE 59

On considère une zone de l’espace dans laquelle se déplace de l’énergie à la vitesse v. Levolume d’énergie qui va traverser une surface S pendant un instant d t est Svd t . Dansce volume, il y a une énergie < e > Svd t , où < e > est la moyenne dans l’espace etdans le temps de e . D’autre part, l’énergie électromagnétique qui traverse une surface Spendant un instant d t est évaluée à l’aide du flux moyen du vecteur de Poynting. Ontrouve finalement :

d E =< e > Svd t =∫

SΠ.dS

d t (5.84)

La vitesse de propagation de l’énergie est donc donnée par :

v =⟨Π⟩< e >

(5.85)

Exercice: Calculer Π dans le cas d’une OPPM qui se propage suivant u dans le vide.

Dans le cas d’une OPPM, on a B= n/c ∧E :

Π=E2

µ0cu=

cB2

µ0u (5.86)

Exercice: Calculer < p >, la valeur moyenne de p dans le vide pour une OPPM. En déduirela vitesse de propagation de l’énergie.

< p >=<∫

SΠ · dS>=

< E2 >

µ0cS =

E20

2µ0cS (5.87)

La densité moyenne d’énergie < e > est donnée par

< e >=ε0E2

0

4+

E20

4c2µ0

=ε0E2

0

2(5.88)

La vitesse de propagation de l’énergie est donc donnée par :

v =< p >< e > S

= c (5.89)

On retrouve bien que l’énergie se déplace à la même vitesse que les ondes. Ce résultatpeut sembler évident, mais nous verrons par la suite que ce n’est pas toujours le cas.

Page 60: Michel Perez

60 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

5.5 Energie et intensité lumineuse

En optique, on a l’habitude de parler d’intensité lumineuse, ce qui n’est autre que la puis-sance moyenne véhiculée par l’onde électromagnétique. L’intensité I vaut donc :

I =<Π>=®

B∧Eµ0

¸

(5.90)

Exercice: Si on note a0 l’amplitude du champ électrique (a0 en notation complexe), donnerl’expression de l’intensité lumineuse dans le cas d’une onde plane progressive monochromatiquedans le vide.

Pour une onde de pulsationω et de nombre d’onde k, l’intensité vaut :

I =<Π>=®

kE2

ωµ0

¸

=kE2

ωµ0=

a20

2p

µ0/ε0

=a0 a0

2p

µ0/ε0

(5.91)

5.6 Applications

5.6.1 Superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques

On considère deux ondes électromagnétiques O1 et O2 planes progressives, monochroma-tiques de même fréquence (nombre d’onde k), polarisées rectilignement et se propageant dansdeux directions u1 et u2 du plan (O xy). u1 et u2, vecteurs unitaires, sont symétriques parrapport à l’axe (O x)(voir figure 5.2). On pose θ= (O x,u1), α= k cosθ et β= k sinθ.

Au point M (r=OM) de coordonnées (x, y, z), les champs électriques de ces ondes ontrespectivement pour composantes :

E1 =

00

E0 cos(ωt −k1r)

E2 =

00

E0 cos(ωt −k2r)

(5.92)

Question: Déterminer les composantes des vecteurs d’onde k1 et k2 et celles des champsmagnétiques B1 et B2 de O1 et O2.

Question: Donner l’expression, en fonction de α, β, x, y et z, du champ électrique ~ε del’onde résultante de la superposition de ces deux ondes.

Page 61: Michel Perez

5.6. APPLICATIONS 61

xz

u2

y

u1

FIGURE 5.2: On superpose deux ondes se propageant suivant u1 et u2.

Question: Décrire l’onde résultante : planéité, uniformité, direction de propagation, vitessevΦ et polarisation.

Question: Calculer en M la valeur moyenne dans le temps < ε2 > du carré du module de ~ε.Quelles sont les surfaces où < ε2 > reste constant ?

Question: La fréquence se trouve dans le domaine du visible. L’œuil étant sensible à < ε2 >,décrire ce que l’on observerait sur un écran placé perpendiculairement à (O x). Donner lapériodicité spaciale i des phénomènes observés.

Question: Calculer en M les composantes du champs B résultant.

Question: Quelle est en général pour un point M quelconque de l’espace la polarisation de B ?En quels points cette polarisation est-elle particulière ?

Page 62: Michel Perez

62 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

Question: Déterminer en M , en fonction de α, β, x, y et z, les composantes du veteur dePoynting résultant P.

Question: Calculer la valeur moyenne dans le temps du flux du vecteur de poynting à traversune portion de plan perpendiculaire à (Oy), puis d’une portion de plan perpendiculaire à (O z).Conclusion ?

Question: Calculer la puissance moyenne < P > qui traverse un rectangle plan de surfaceS perpendiculaire à (O x) et dont les côtés lx et ly sont très supérieurs à la périodicité i définiprécédement.

Question: Calculer la valeur moyenne dans l’espace et dans le temps de la densité d’énergiew. En déduire la vitesse de propagation vg de l’énergie. Quelle relation peut-on établire entre vget vΦ la vitesse de l’onde résultante proposée précédement.

5.6.2 Un deuxième exemple de superposition

Une OPPM électromagnétique de pulsationω se propage dans le vide. Son vecteur d’ondeest :

k1 = k1

cosαex+ sinαez

(5.93)

Elle est polarisée rectilignement, le champ E étant parallèle à (Oy) :

E1 = E0 cos

ωt −k1 · r

ey (5.94)

Question: Représenter graphiquement cette onde. Que vaut k1 ? Quel est le champ magné-tique associé à cette onde ?

Page 63: Michel Perez

5.6. APPLICATIONS 63

La relation de dispersion des OPPM donne k1 = ω/c . Le champ magnétique associé àcette onde est donné par la relation de structure :

B1 =(cosαex+ sinαez)∧E1

c(5.95)

Soit :

B1 =E0

c(− sinαex+ cosαez)cos

ω

t −x cosα+ z sinα

c

(5.96)

xy

z

k1B1

E1 = E0 ey

Une deuxième onde, de même fréquence, amplitude et polarisation, dont le vecteur d’ondeest :

k2 = k2

cosαex− sinαez

(5.97)est superposée à la première. Ces deux ondes sont en phase à l’origine du système de coor-

données cartésiennes utilisé.Question: Représenter graphiquement cette onde et exprimer le champs électrique de l’onde

globale. La superposition des deux OPPM est-elle une OPPM ?

Le champ électrique de la deuxième OPPM est :

E2 = E0 cos

ω

t −x cosα− z sinα

c

ey (5.98)

On peut alors calculer le champ électromagnétique total :

E= 2E0 cos

ωz sinαc

cos

ω

t −x cosα

c

ey (5.99)

Page 64: Michel Perez

64 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

xy

z

k2

B2E1 = E0 ey

Question: Monter (en posant une condition sur α) que le champ obtenu est semblable à celuide l’onde se propageant dans la cavité du LASER ?

Si on pose α=π/2, π/a =ω/c , z ′ = z + a/2 et E ′0 = 2E0, on obtient :

E= E ′0 sin

πz ′

a

cos cπ

at

ey (5.100)

Ce qui correspond bien à une onde stationnaire de mode m = 1.

5.6.3 Orientation des queues de comètes

En observant la comète de Hale-Bopp en avril 1997, on a pu constater que le nuage gazeuxappelé queue, qui accompagne une comète est derrière la comète quand celle-ci s’approche dusoleil et devant quand elle s’en éloigne. Pourquoi ? ? ?

Question: A une onde incidente plane progressive et monochromatique de fréquence ν ,on associe un faiseau de photons. L’onde se propageant dans la direction (O x), les photons sepropagent dans la même direction à la vitesse c. On rapelle qu’un photon de fréquence ν possèdeune énergie hν et une quantité de mouvement de norme p = hν/c (h est la constante de Planck,h = 6,62× 10−34 J/s). On appelle < e > la densité d’énergie de l’onde électromagnétique. Quelledensité pariculaire n de photon peut-on attribuer à l’onde incidente. Exprimer n en fonction de< e >, h et ν .

n =< e >

hν(5.101)

Question: On définit < P > comme étant la pression de radiation de l’onde incidente, c’està dire la pression exercée par les photons lors de la collision avec une surface réfléchissante. Enconsidérant des collisions parfaitement élastiques, évaluer l’accélération d’un photon pendant

Page 65: Michel Perez

5.6. APPLICATIONS 65

le temps d t que dure la collistion, en déduire la force exercée par la surface, puis proposer unerelation entre < P > et < e >.

Pendant le temps d t , la vitesse du photon passe de c à −c . Son accélération est donc :

a =2cd t

(5.102)

La relation de la dynamique donne alors une estimation de la force F1 lié au choc d’unphoton :

mad t = m2c = 2 p = F1d t (5.103)

Le nombre de photons qui percutent une surface S pendant un instant d t est :

N = ncSd t (5.104)

La pression de radiation < P > s’exprime alors par :

< P >=NF1

S= ncSd t

2 p/d tS= 2nhν = 2< e > (5.105)

Question: Proposer une généralisation de l’expression précédente dans le cas d’une incidenceoblique d’angle θ par rapport à la normale.

On a cette fois a′ = a cosθ et N ′ =N cosθ, ce qui donne finalement :

< P ′ >=< P > cos2θ (5.106)

Question: Evaluer la force F projetée suivant (O x) subie par une particule sphérique de rayona placée dans un tel faisceau lumineux.

F =∫

< P > d S cosθ=∫ π/2

0< P > cos3θadθ2πa sinθ=

πa2

2< P > (5.107)

Question: Cette particule a une masse volumique µ. Calculer sa taille limite pour que laforce de radiation due au rayonnement solaire soir égale à la force de gravitation. On donneµ = 3× 103 kg/m3, la constante de gravitation G = 6,67× 10−11 m3/kg/s2, la masse du soleilM = 2× 1030 kg, et la puissance rayonnée par le soleil < PS >= 4× 1026 W.

Page 66: Michel Perez

66 CHAPITRE 5. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

La puissance totale émise par le soleil est :

< PS >=Nd t

hν = nc4πr 2hν = 2< P > cπr 2 (5.108)

L’équilibre des deux forces donne :

πa2

2< PS >

2πr 2c=

4/3πa2µM G

r 2 (5.109)

Ce qui donne finalement pour a :

a =3< PS >

16πµM Gc= 0,2 µm (5.110)

La queue des comètes est constituée de particules de très petite taille (inférieures à0,2 µm) pour lesquelle la force de radiation est plus forte que la force gravitationnelle.Ce qui explique le phénomène observé et présenté au début.

Page 67: Michel Perez

Chapitre 6

Ondes électromagnétiques dans lesmilieux infinis

6.1 Introduction

Pour comprendre et modéliser la propagation des ondes électromagnétiques dans les mi-lieux, on utilisera les équations de Maxwell dans leur forme générale :

div B= 0 (MΦ) (6.1)

rot E=−∂ B∂ t

(MF) (6.2)

div D= ρ (MG) (6.3)

rot H= j+∂ D∂ t

(MA) (6.4)

Les vecteurs excitation magnétique H et déplacement électrique D ont été défini dans lecours d’électromagnétisme. Dans un milieu de polarisation P et d’aimantation M, on a :

D= ε0E+P H=Bµ0−M (6.5)

Exercice: Montrer que les effets de la force magnétique sur les électrons sont négligeables parrapport à ceux de la force d’origine électrique.

On calcule le rapport de ces deux forces :

|v∧B||E|

=|vkE/ω||E|

=

vkω

≈vc 1 (6.6)

67

Page 68: Michel Perez

68 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

6.2 Milieux conducteurs

La particularité des milieux conducteurs est la relation qui existe entre le champ apliqué E(cause) et le courant induit par ce champ (conséquence) j : j=γE. Comme cela a été vu en élec-tromagnétisme, cette relation peut revêtir un caractère générale en considérant γ complexe.Le cas particulier où γ est réel correspond au régime permanent : cas où l’inertie des chargesmobiles est négligeable devant les variations du champ E (approximation des régimes quasipermanents). Cette notion va être approfondi dans les deux exemples suivants.

6.2.1 Milieu métallique

On considère un matériau métallique de conductivité γ dont les propriétés diélectriques etmagnétiques sont celles du vide. On va s’intéresser à la propagation éventuelle d’ondes planesprogressives et monochromatiques de vecteur d’onde parallèle à ez .

Question: A partir de l’équation de la conservation de la charge électrique et des équationsde Maxwell, donner l’équation différentielle décrivant les variation temporelles de ρ (pour lesconducteurs usuels γ ≈ 106 S/m) .

L’équation de conservation de la charge est :

∂ ρ

∂ t+ div j= 0 (6.7)

Dans un milieu métallique, on a j= γE. On obtient donc :

∂ ρ

∂ t+ρ

τ= 0 (6.8)

avec τ = ε0/γ ≈ 10−17 s.

Question: En déduire que l’on est dans l’approximation des régimes quasi permanents sile métal est perturbé par des ondes électromagnétiques allant du visible ( f ≈ 1015) aux ondeshertziennes ( f ≈ 105).

Il faut comparer le temps de réponse précédement calculé (τ = 10−17 s) et la périodedu champ électrique excitatoire (T > 10−15 s). Pour les fréquences indiquées plus haut,l’approximation des régimes quasi-permanents est bien valable. Ce qui signifie que lesélectrons répondent quas-instantanément et collectivement à la perturbation du champélectrique.

Question: Montrer que le vecteur E ne peut pas avoir de composante suivant k = kez (oncalculera rot rot E de deux façons différentes) et en déduire que la charge locale ρ est nulle.

Page 69: Michel Perez

6.2. MILIEUX CONDUCTEURS 69

On s’intéresse à la propagation d’ondes planes progressives et monochromatiques. Nousavons vu que pour tout vecteur A(ωt −k.r), rot A=− k∧A donc :

rot rot E=− k∧ (− k∧E) (6.9)

D’après les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday, on trouve :

rot rot E=−µ0ε0

∂ 2E

∂ t 2 −µ0γ∂ E∂ t=−µ0E(−ε0ω

2+ γω) (6.10)

Soit E⊥ et E‖ les composantes du champ E respectivement parallèles et perpendiculairesà la direction de propagation. Les deux relations précédentes donnent :

−µ0(−ε0ω2+ γω)(E⊥+E‖) =−k2E⊥ (6.11)

La projection de cette relation vectorielle sur un axe parallèle à k donne E‖ = 0 donc levecteur E est perpendiculaire à k= kez. Ceci signifie que Ez = 0 et que Ex et Ey sont desfonctions de z et du temps t . On peut alors calculer la divergence de E :

div E=∂ Ex

∂ x+∂ Ey

∂ y+∂ Ez

∂ z= 0 (6.12)

Or, div E = ρ/ε0, ce qui montre bien que ρ = 0. Le déplacement des électrons se faitlatéralement au déplacement de l’onde, et ce, sans accumulation de charge !

Question: Montrer que l’un des deux termes de l’équation de Maxwell-Ampère est négligeablepar rapport à l’autre. En déduire l’équation différentielle vérifiée par le champ E.

On a une onde plane progressive : E = E0 cos(ωt − k x). On va calculer le rapport desmodules des deux termes µ0j et µ0ε0∂ E/∂ t :

ε0∂ E∂ t

|j|=ε0ωE0

γE0=ε0ω

γ≈ 10−4 (6.13)

On calcule alors rot rot E de deux façons différentes et on obtient :

∆E=µ0γ∂ E∂ t

(6.14)

Question: On s’intéresse à des solutions particulière de l’équation précédente sous formed’OPPM se propageant suivant (O z) et dont le champ électrique est polarisé rectilignementsuivant (O x). Montrer que cette équation est satisfaite pour un vaecteur d’onde complexe sous laforme k =±(1− )/δ . Exprimer δ en fonction des données de l’énoncé et donner l’expression du

Page 70: Michel Perez

70 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

champ électrique en fonction de z et t .

Le champ électrique est de la forme : E(z, t ) = E0 exp[ (ωt − k z)]ex. Pour que cechamp soit solution de l’équation de propagation, il faut que k2 = − µ0ωγ . Ce quidonne : k =±pµ0ωγ exp(− π/4) =±(1− )/δ avec δ =

p

2/(µ0ωγ ).Le champ électrique peut donc se mettre sous la forme :

E= E0 exp

−zδ

cos

ωt −zδ

ex (6.15)

L’onde est atténuée au cours de sa propagation dans le sens des z positifs. Pour γ →∞(conducteur parfait), il n’y a plus d’onde.

–1

–0.5

0

0.5

1

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005z

FIGURE 6.1: Représentation de l’onde pour les valeurs correspondant au cuivre.

Question: Donner la vitesse v de l’onde pour le cuivre (γ = 5.107 S/m) à la fréquence de1 MHz.

L’onde se propage avec une vitesse :

v =ωδ =

s

2ωµ0γ

(6.16)

La vitesse de l’onde dépend de sa fréquence. C’est une onde dispersive. Dans le cas ducuivre, l’onde se déplace à la vitesse de 447 m/s, ce qui est très inférieur à c .

Question: Donner la valeur de l’excitation magnétique H(z, t ) = B/µ0. Pour une valeur de

Page 71: Michel Perez

6.2. MILIEUX CONDUCTEURS 71

z, calculer le déphasage entre E et H ainsi que le rapport de leur amplitude. Comparer ces résultatsavec ceux obtenus pour une onde plane dans le vide.

On calcule d’abord rot E :

rot E=−∂

∂ z

E0 exp

−zδ

cos

ωt −zδ

ey (6.17)

rot E=−E0

δexp

−zδ

cos

ωt −zδ

− sin

ωt −zδ

ey (6.18)

rot E=−E0

δexp

−zδ

cos

ωt −zδ

+ cos

ωt −zδ+π

2

ey (6.19)

rot E=−E0

p2

δexp

−zδ

cos

ωt −zδ+π

4

ey (6.20)

Comme rot E=−µ0∂ H/∂ t , on a :

H=E0

p2

δµ0ωexp

−zδ

cos

ωt −zδ−π

4

ey (6.21)

Les vecteurs E et H sont bien perpendiculaires, mais les champs sont déphasés de π/4(E est en avance). Le rapport de leur amplitude vaut :

|E||H|=δµ0ωp

2=È

µ0ω

γ=µ0

vp

26=µ0c (6.22)

6.2.2 Milieu contenant des électrons libres

L’objectif de ce sujet est d’étudier la propagation des ondes électromagnétiques dans unmilieu contenant des électrons libres, comme par exemple un métal et un plasma.

Un métal contient des cations qui occupent, aux oscillations thermiques prés, des positionsfixes aux noeuds de son réseau cristallin, ainsi que des électrons libres dont le mouvementd’ensemble dans un champ appliqué explique la conductivité électrique des métaux. Un gazionisé, ou plasma, contient les mêmes constituants, à la différence prés que les cations sontcette fois libres. Toutefois, comme les cations sont plusieurs milliers de fois plus massifs queles électrons (mp/me ≈ 1836), on peut considérer valablement que les cations d’un plasman’entrent pas en oscillation sous l’influence d’une sollicitation de haute fréquence (ondes EM).

Dans ces conditions, nous allons comparer le comportement d’un plasma très dilué, tel quel’ionosphère, avec celui d’un métal. L’ionosphère est une région de l’environnement terrestresituée à une altitude supérieure à 50 km. Dans cette région, la haute atmosphère est ionisée defaçon sensible par le rayonnement solaire (principalement par les composantes ultra-violettes

Page 72: Michel Perez

72 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

qui sont plus énergétiques). La densité d’électrons varie avec l’altitude autour d’une valeurmoyenne de 1011 électrons/m3, et chute la nuit. Le plasma reste globalement neutre.

Il existe cependant une différence notable entre métal et ionosphère : dans l’ionosphère, ladensité d’électrons libres est très faible par rapport à celle d’un métal (n ≈ 1028 électrons/m3).Ainsi, on pourra négliger les collisions entre les charges alors que ce n’est pas le cas dans unmétal.

Détermination de la conductivité du métal et de l’ionosphère

Question: Écrire la relation de la dynamique qui régie le mouvement des électrons (de charge−e) sous l’effet d’un champ E, dans les 2 cas, métal et ionosphère. Dans le cas du métal, onfera intervenir une force de frottement due aux collisions des électrons avec le réseau cristallin :F f = −mv/τ′ où v est la vitesse d’ensemble des électrons et où τ′ est une constante qui a lesdimensions d’un temps.

dvd t=−

vτ′−

em

E (6.23)

Dans le cas de l’ionosphère, la force de frottement est nulle (τ′→∞).

Question: Le champ E étant sinusoïdal, donner la relation entre v et E en utilisant lanotation complexe.

On a E= E0 exp( ωt ) et v= v0 exp( ωt ), ce qui donne pour v0 :

v0 =−eE0/m

1/τ′+ ω(6.24)

Question: Dans le cas de l’ionosphère, montrer que l’on obtient une conductivité imaginairepure.

La conductibilité γ est définie par j= γE, mais elle vaut aussi j=−nev. On trouve doncl’expression générale pour γ :

γ =ne2/m

1/τ′+ ω(6.25)

Dans le cas de l’ionosphère, on retrouve bien :

γ =− ne2

mω(6.26)

Page 73: Michel Perez

6.2. MILIEUX CONDUCTEURS 73

Question: Calculer la conductivité dans le cas du métal. Sachant que pour un métal, τ′ est del’ordre de 10−14 s, montrer que l’on retrouve la conductivité réelle de la loi d’Ohm, à conditionde rester dans un certain domaine de fréquences pour l’onde. Montrer qu’il existe un domaine defréquence dans lequel on retrouve la conductivité imaginaire pure de l’ionosphère.

Dans le cas du métal, il faut comparerω à 1/τ′=1014 s−1. Pourω 1014 s−1, on retrouveune conductivité réelle (loi d’Ohm) et pour ω 1014 s−1, on retrouve le résultat del’ionosphère.

Etude de la propagation des ondes dans les deux milieux

Dans le domaine de fréquences où la conductivité du métal est réelle, la propagation desondes a déjà été étudiée (sujet 10). Nous allons donc nous intéresser au domaine de fréquencespour lequel l’expression de la conductivité du métal et de l’ionosphère est identique. Nousconsidérerons que la polarisation du milieu due aux électrons restés liés aux noyaux des ionsest négligeable. Dans cette partie, nous allons considérer la propagation d’une onde dont lechamp électrique est de la forme : E= E0 exp( (ωt − k z))ex.

Question: En utilisant les équations de Maxwell, établir l’équation différentielle du secondordre vérifiée par le champ électrique dans le milieu. On admettra pour cela que ρ = 0 (milieulocalement neutre).

On calcule rot rot E de deux façons différentes et on obtient :

∆E=µ0γ∂ E∂ t+µ0ε0

∂ 2E

∂ t 2 (6.27)

Question: Montrer que la relation de dispersion peut se mettre sous la forme :k2 =ω2/c2(1−ω2

p/ω2) et déterminer la pulsation ωp , appelée "pulsation plasma".

L’équation de propagation implique la condition suivante sur k :

−k2 = ωµ0γ −µ0ε0ω2 (6.28)

Mais comme γ =− (ne2)/(mω), on a finalement :

k2 =ω2

c2

1−

ω2p

ω2

ω2

p =ne2

mε0(6.29)

Question: Dans le cas où ω <ωp , préciser le signe de k2. En déduire l’expression du champE. L’onde peut-elle se propager dans le milieu ? Justifier votre réponse.

Page 74: Michel Perez

74 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

Siω<ωp , k est imaginaire pur, l’onde prend donc la forme :

E= E0 exp(−k z)cos(ωt ) (6.30)

C’est une onde stationnaire amortie qui ne se propage pas ! On appelle cette onde uneonde évanescante.

Question: Même question dans le cas où ω>ωp .

Siω>ωp , on a donc une équation de propagation classique :

E= E0 cos(ωt − k z)ex (6.31)

Question: Dans le cas où l’onde peut se propager, donner l’expression de sa vitesse de phase.La comparer à la vitesse de propagation de l’énergie.

La vitesse de phase est :

vϕ =ω

k=

1−ω2

p

ω2

(6.32)

La vitesse de phase est supérieure à c ! ! ! En fait, on peut calculer la vitesse de propagationde l’énergie grâce à l’expression du vecteur de Poynting Π et celle de la densité d’énergiee . La vitesse de propagation de l’énergie vaut :

ve =Π

e= 2c

Ç

1−ω2

p

ω2

2−ω2

p

ω2

< c (6.33)

Question: Faire un tableau récapitulatif où vous préciserez, dans les différents domaines defréquences mis en évidence pour l’ionosphère et pour le métal, les principaux résultats obtenusrelatifs à la propagation des ondes électromagnétiques. Prendre en compte également les résultatsdu sujet 10 du fascicule de TD.

Page 75: Michel Perez

6.3. MILIEUX DIÉLECTRIQUES HOMOGÈNES 75

ωτ 1 1/τω<ωp ω>ωpOndes Hertziennes métal (IR→UV) Ionosphère (GO)

γ = γ0 γ =− ne2

k = (1− )/δ k = q

ω2p −ω

2/C = k ′′ k =q

ω2−ω2p/C = k ′

E = E0e(−zδ ) cos

ωt − zδ

E = E0e(−k ′′z) cos (ωt ) E = E0 cos(ωt − k ′z)vϕ = 2ωµ0γ0 c Pas de vitesse de phase vϕ =

1−ω2

pω2

Question: Calculer la fréquence fp de l’ionosphère, avec n = 1011 électrons/m3 de massem = 9.11× 10−31 kg. Deux stations radio émettent depuis la Terre sur des longueurs d’onde de1376 m (RMC grandes ondes) et 2,85 m (France Info - modulation de fréquence). Laquelle peutespérer une réflexion sur l’ionosphère pour avoir une plus vaste audience ?

La fréquence fp de l’ionosphère est égale à 2,84 MHz. La fréquence des ondes émises parRMC est de 0,218 MHz. L’onde ne se propage pas, mais rebondit sur l’ionosphère. Cequi n’est pas le cas des ondes émises par France Info (105,6 MHz).

Question: Calculer la fréquence fp de l’argent pour lequel n = 5,8.1028 électrons/m3 et ducésium (métal de couleur rouge) pour lequel n = 0.86.1028 électrons/m3. Conclusions ?

La fréquence fp de l’argent vaut 2,16.1015 Hz. Elle est située dans l’UV. Les ondes situéesdans le domaine du visible sont réfléchies (application : miroirs). La fréquence fp ducésium vaut 8,32.1014 Hz. Elle est située dans le violet (λ= 0,36 µm).

6.3 Milieux diélectriques homogènes

6.3.1 Equations de Maxwell

Les vecteurs excitation magnétique H et déplacement électrique D ont été défini dans lecours d’électromagnétisme. Dans un milieu de polarisation P et d’aimantation M, on a :

D= ε0E+P H=Bµ0−M (6.34)

Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère peuvent donc s’écrire :

div D= ρ (MG) (6.35)

Page 76: Michel Perez

76 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

rot H= j+∂ D∂ t

(MA) (6.36)

Ces équations sont vérifiées dans le cas général et doivent donc être prise comme point dedépart pour tous les problèmes d’électromagnétisme du vide ou des milieux.

6.3.2 Equation de propagation

Dans de nombreux milieux, si le champ électrique n’est pas trop fort, l’approximationlinéaire suivante entre la cause (E) et la conséquence (P) est valable :

P= ε0χeE (6.37)Le paramètre χe est la susceptibilité diélectrique. On a donc la relation générale entre les

champs E et B (εr est la permittivité diélectrique relative) :

D= ε0εr E εr = 1+χe (6.38)Exercice: Sachant que les milieux diélectriques sont non chargés (ρ = 0) et isolants (j = 0),

retrouver les équations de propagation des champ E et B(on négligera les propriétés magnétiquesdu matériau).

Dans un milieu diélectrique linéaire, les équations de Maxwell peuvent s’écrire :

div B= 0 rot E=−∂ B∂ t

div E= 0 rot B=µ0ε0εr

∂ E∂ t

(6.39)

Ce qui nous amène aux équations de propagation suivantes :

∆E−εr

c2

∂ 2E

∂ t 2 = 0 ∆B−εr

c2

∂ 2B

∂ t 2 = 0 (6.40)

On retrouve les mêmes équation que dans le vide en remplaçant ε0 par ε= ε0εr .

Exercice: On définit l’indice n d’un milieu diélectrique par le rapport de la vitesse d’un ondeélectro-magnétique dans le vide sur la vitesse de cette onde dans le milieu. Donner une relationentre n et εr .

La relation de dispersion est alors :

k2 = εr

ω2

c2 (6.41)

Ce qui donne n =pεr .

Page 77: Michel Perez

6.3. MILIEUX DIÉLECTRIQUES HOMOGÈNES 77

6.3.3 Modèle de polarisation

Nous allons tenter de construire un modèle de polarisation d’un milieu diélectrique en uti-lisant les équations simples de la mécanique classique. Ceci constitue une aberration pour lespuristes de la mécanique quantique, mais nous verrons que les résultats obtenus tant qualitatifsque quantitatifs ne sont pas ridicules...

Ce modèle est basé sur l’interaction élastique entre chaque électron et son noyau(constante d’élasticité k =ω2

0 m). Les phénomènes dissipatifs sont pris en compte par l’inter-médiaire d’une force de frottement proportionnelle à la vitesse de déplacement des électrons(f=−mv/τ).

Question: Après avoir effectué un bilan des forces, donner l’équation différentielle qui régitle mouvement des électrons et la résoudre.

L’électron est soumis à la force de rappel élastique, la force de frottement et la force deLorentz due au champ E créé par l’onde.

d 2r

d t 2 =−ω20r−

drd t+

qm

E (6.42)

Cette équation se résout en introduisant un déplacement r complexe r= r0 exp( ωt ) :

r0 =qEm

τ

τ(ω20 −ω

2)+ ω(6.43)

Question: Sachant que le déplacement de N charges q de moment dipolaire p = qr crée unepolarisation P=Np, donner l’expression de la polarisation P.

P=N q2E

τ(ω20 −ω

2)+ ω(6.44)

Question: Exprimer la susceptibilité sous forme χe = χ1− χ2 et donner les expression de χ1et χ2. (on posera Q =ω0τ et χ0 =N q2/(mε0ω

20)

Page 78: Michel Perez

78 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

On a P= ε0χeE, ce qui donne :

χe =χ0

1− ω2

ω20+ ω

Qω0

(6.45)

On obtient donc pour χ1 et χ2 :

χ1 = χ0

1− ω2

ω20

1− ω2

ω20

2+

ωQω0

2(6.46)

χ2 = χ0

ωQω0

1− ω2

ω20

2+

ωQω0

2(6.47)

Question: Calculer la puissance moyenne dissipéeP . En déduire la signification physique deχ2.

P =N < | f | · |v |>=N®

−mτ

dr0

d t

dr0

d t

∗¸

=12

N mτω2 r 2

0 (6.48)

Or :

r0 =ε0χe

N qE0 Q =ω0τ χ0 =

N q2

mε0ω20

(6.49)

Donc :

P =12

N mω0

Qω2ε2

0|χe |2

N 2q2 E0 =12ωε0χ2E2

0 (6.50)

La partie imaginaire de la susceptibilité (χ2) correspond aux pertes d’énergie.

Question: Donner l’allure des évolutions de χ1 et χ2 en fonction de ω.

Les pertes sont maximales à la résonance du système.

Question: Que se passe-t-il si plusieurs types de charges (molécules, ions, électron) peuvent sedéplacer sous l’action du champ électrique ?

Page 79: Michel Perez

6.3. MILIEUX DIÉLECTRIQUES HOMOGÈNES 79

FIGURE 6.2: Modèle de polarisation : représentation de l’allure de la susceptibilité diélectrique (partie réelle : χ1 etpartie imaginaire : χ2.

A chaque type d’oscillateur correspond une zone d’absorption. Entre ces zones, la dis-sipation d’énergie au sein du milieu est faible.

1

0 0i 0e

2

0 0i 0e

Molécules

Ions Électrons

FIGURE 6.3: Modèle de polarisation à résonances multiples : représentation schématique pour le verre.

Question: Donner l’expression générale de l’indice du milieu n. On donne pour les électronsd’un verre f0 = 1014 Hz, Q = 104 et χ0 = 0,01. Tracer l’évolution des parties réelles et imaginairesde n en fonction de la pulsation réduite ω/ω0.

Page 80: Michel Perez

80 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

L’indice du milieu est définit par :

n =pεr =p

1+χe =p

1+χ1+ χ2 (6.51)

Question: Donner la forme générale de l’équation de propagation. Décrire le type de propa-gation dans les quatres cas suivants : (1) n est réel supérieur à 1 ; (2)les parties réelles et imaginairesde n sont de l’ordre de 1 ; (3) n est imaginaire pur ; (4) n est réel inférieur à 1.

De l’équation de d’Alembert, on déduit directement l’équation de propagation :

E= E0 exp

−ω

cℑ(n)z

cos

ωt −ω

cℜ(n)z

(6.52)

(1) onde dispersive dont l’indice varie en A+ B/λ2 (Cauchy) ; (2) onde amortie ; (3)onde évanescente ; (4) onde dispersive de vitesse supérieur à c (la vitesse de l’énergie estinférieure à c ).

–40

–20

0

20

40

6.28e+14 6.3e+14 6.32e+14 6.34e+14omega

FIGURE 6.4: Parties réelles et imaginaires de n.

Question: Discuter la courbe précédente (n = f (ω/ω0))en terme de propagation des ondesélectromagnétique dans ce milieu.

On observe 4 zones : (1) ω/ω0 < 1 : n est réel et supérieur à 1 ; l’onde se propagedans le milieu dont l’indice varie en A+ B/λ2 (Cauchy) ; (2) 1 < ω/ω0 < 1,001 : n estcomplexe, l’onde est amortie ; (3) 1,001 <ω/ω0 < 1,005 : n est imaginaire pur, l’ondeest évanescente ; (4) ω/ω0 > 1,005 n est réel et inférieur à 1 ; l’onde se propage dans lemilieu. La vitesse de l’énergie est toujours inférieure à c .

Page 81: Michel Perez

6.3. MILIEUX DIÉLECTRIQUES HOMOGÈNES 81

6.3.4 Intensité lumineuse

L’intensité lumineuse est la valeur moyenne du vecteur de Poynting projeté dans la direc-tion de propagation :

I =<Π>=®

B∧Eµ0

¸

(6.53)

Exercice: Calculer l’intensité lumineuse d’une onde plane progressive monochromatique quise propage dans un milieu d’indice n

Pour une onde de pulsationω et de nombre d’onde k, l’intensité vaut :

I =<Π>=®

kE2

ωµ0

¸

=kE2

ωµ0= n

a20

2p

µ0/ε0

= na0 a0

2p

µ0/ε0

(6.54)

Page 82: Michel Perez

82 CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX INFINIS

Page 83: Michel Perez

Chapitre 7

Ondes dans les milieux limités

Après le vide et les milieux illimités, nous allons étudier le comportement d’une onde aupassage d’un milieu à un autre à travers deux exemples : d’une part, la polarisation d’une ondeélectromagnétique par réflexion et transmission à travers un ensemble de lames ; et d’autrepart, les vibration d’une corde aux extrémités fixes.

7.1 Polarisation par un ensemble de lames.

7.1.1 Objectifs

L’objectif de cet exercice est (1) d’observer la lumière réfléchie et transmise à travers leslames de verre, en étudiant l’influence de l’angle d’incidence et de la polarisation du faisceauincident ; et, (2) d’interpréter les résultats.

LASER Polariseur Lames de verre

FIGURE 7.1: Expérience de polarisation par un ensemble de lames de verre.

7.1.2 Matériel

– Laser He-Ne émettant un faisceau de lumière non polarisée.– Lames polaroids : le fonctionnement de ces lames sera décrit dans le module Optique.

Pour ces manipulations, on admettra que le faisceau de lumière transmis à incidence nor-male à travers une lame polaroid est polarisé rectilignement. On pourra donc facilementchanger l’orientation de la polarisation, par rotation de la lame autour de la direction dela direction de propagation de la lumière.

83

Page 84: Michel Perez

84 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

– Lames à faces parallèles de verre (n = 1,5) 1, en particulier un ensemble résultant del’empilement d’une dizaine de lames de verre.

7.1.3 Questions préliminaires

A partir des équations de Maxwells et des conditions aux limites qui en découlent, nousallons démontrer les lois de Descartes et essayer d’évaluer les coefficients de transmission etde réflexion de l’onde électromagnétique.

Equations de Maxwell

Exercice: Retrouver les quatres équations de Maxwell décrivant les relations entre champsélectriques et magnétiques dans les milieux diélectriques.

On reprend les équations de Maxwell dans le vide en remplaçant ε0 par ε0εr :

div B= 0 (MΦ) (7.1)

rot E=−∂ B∂ t

(MF) (7.2)

div E= 0 (MG) (7.3)

rot B=n2

c2

∂ E∂ t

(MA) (7.4)

A ces quatres équations, il faut ajouter les conditions de continuité de la composantetangentielle de E et du champ B car µ0 =µ1 =µ2.

Lois de Descartes

Question: A partir des équations de Maxwell et de la continuité de la composante tangentiellede E, donner la relation vérifiée en tout point M0 (r0 =OM0) de l’interface entre les deux milieux

La continuité de la composante tangentielle impose que :

E01T exp

(ωt −k1 · r0)

+E′01T exp

(ωt −k′1 · r0)

= E02T exp

(ωt −k2 · r0)

(7.5)

1. L’indice de l’air est assimilé à celui du vide.

Page 85: Michel Perez

7.1. POLARISATION PAR UN ENSEMBLE DE LAMES. 85

n2

n1i1 i’1

i2

k1

k2

k’1

N

T

FIGURE 7.2: Les rayons réfléchit et transmis sont dans le plan (k1,n).

Question: En déduire que les rayons réfléchis et transmis sont dans le plan (k1,N).

La relation précédente se transforme facilement en :

E01T +E′01T exp

(k1−k′1) · r0

= E02T exp

(k1−k2) · r0

(7.6)

Cette relation doit être vérifiée pour tout point M du plan de l’interface. Ce qui entraîneforcément :

(k1−k′1) · r0 = (k1−k2) · r0 = 0 (7.7)

k1 − k′1 et k1 − k2 sont donc colinéaires à N, ce qui implique que k′1 et k2 sont dans leplan (k1,N).

Question: Donner la relation liant les composantes tangentielles des vecteurs d’onde desondes incidente, réfléchie et transmise.

Sachant que k1 ·T= k1T , k′1 ·T= k′1T et k2 ·T= k2T , la relation précédente implique :

k1T = k ′1T = k2T (7.8)

Question: Donner la relation entre les trois angles d’incidence, de réflexion et de réfraction.

Page 86: Michel Perez

86 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

Sachant que les relations de dispersion des milieux 1 et 2 donnent :

k1 = k ′1 = n1

ω

ck2 = n2

ω

c(7.9)

En comparant les deux relations précédentes, il vient immédiatement :

i1 = i ′1 n2 sin i2 = n1 sin i1 (7.10)

Coefficients de réflexion et de transmission

Pour évaluer les coefficients de réflexion et de transmission, on va se placer dans deux casparticuliers : (1) le champ E est dans le plan d’incidence ; (2) le champ E est perpendiculaire auplan d’incidence.

question : Effectuer un schéma pour chacun des deux cas considérés.

y

x

z

kk11

BB 11

EE 11

k’k’ 11B’B’ 11E’E’ 11

kk22

BB 22

EE 22

y

x

z

kk11BB 11

EE 11k’k’ 11

B’B’ 11E’E’ 11

kk22

BB 22EE 22

FIGURE 7.3: On se place dans deux cas particuliers : (à gauche) le champ E est dans le plan d’incidence ; (à droite) lechamp E est perpendiculaire au plan d’incidence.

Question: Dans le cas où E est dans le plan d’incidence, donner les deux relations liant leschamps E et B incidents, réfléchit et transmis.

E01 cos i1+ E ′01 cos i1 = E02 cos i2 (7.11)

Comme B= n/cEx, on a pour le champ B :

E01n1− E ′01n1 = E02n2 (7.12)

Question: Soit r12 le coefficient liant les champs électriques réfléchit et incident (E′01 = r12E01).Soit τ12 le coefficient liant les champs électriques transmis et incident (E02 = τ12E01). Donner lesexpressions de r12 et τ12.

Page 87: Michel Perez

7.1. POLARISATION PAR UN ENSEMBLE DE LAMES. 87

Le système formé par les deux équations précédentes se résout facilement :

τ12‖ =2cos i1 sin i2

sin i1 cosß1+ sin i2 cosß2=

2cos i1 sin i2

sin(i1+ i2)cos(i1− i2)(7.13)

r12‖ =−sin i1 cosß1− sin i2 cosß2

sin i1 cosß1+ sin i2 cosß2=−

tan(i1− i2)

tan(i1+ i2)(7.14)

Question: Dans le cas où E est perpendiculaire au plan d’incidence, donner les deux nouvellesrelations liant les champs E et B incidents, réfléchit et transmis.

E01+ E ′01 = E02 (7.15)

Comme B= n/cEx, on a pour le champ B :

−E01n1 cos i1+ E ′01n1 cos i1 =−E02n2 cos i2 (7.16)

Question: Donner les nouvelles expressions de r12 et τ12.

Le système formé par les deux équations précédentes se résout facilement :

τ12⊥ =2cos i1 sin i2

sin(i1+ i2)(7.17)

r12⊥ =−sin(i1− i2)

sin(i1+ i2)(7.18)

Question: En utilisant le vecteur de Poynting, donner les expressions des coefficients deréflexion R=P ′

1 /P1 et de transmission T =P2/P1.

La puissance traversant une surface S0 de l’interface entre les deux milieux est :

P = ⟨Π⟩ ·NS0 =12

E2ncµ0

S0 cos i (7.19)

On a donc :

R=E ′01

E01

2

T =

E02

E01

2 n2

n1

cos i2

cos i1(7.20)

Page 88: Michel Perez

88 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

7.1.4 Essais en réflexion

Observer la lumière réfléchie par une lame de verre à une incidence non normale pourdeux orientations de la polarisation de la lumière incidente, respectivement perpendiculaireet parallèle au plan d’incidence. Vérifier que pour un angle d’incidence particulier, l’intensitéréfléchie s’annule pour l’une de ces polarisations.

Noter cette polarisation et évaluer l’ordre de grandeur de cet angle d’incidence remar-quable. Interpréter ces différents résultats en relation avec le cours.

Observation : Pour la polarisation dans le plan d’incidence, le rayon réfléchit s’éteintpour un certain angle.Ceci est revient à poser r12‖ = 0, donc i1+ i2 = π/2. En utilisant n1 sin i1 = n2 sin i2, ontrouve la valeur de cet angle appelé angle de Brewster :

i1B = tan−1

n2

n1

= 56,3 (7.21)

7.1.5 Essais en transmission

Pour l’angle d’incidence remarquable déterminé précédemment, observer la lumière trans-mise à travers une seule lame, puis à travers l’empilement de plusieurs lames. Pour l’empile-ment de lames, constater que cette lumière transmise dépend fortement de la polarisation dela lumière incidente. Repérer la polarisation pour laquelle la lumière transmise est considéra-blement atténuée.

Interpréter qualitativement ce résultat et en particulier l’influence du nombre de lames.Proposer ensuite une méthode quantitative permettant de calculer l’évolution de la lumièretransmise en fonction du nombre de lames pour les deux types de polarisation.

Pour une lumière incidente non polarisée, comment faudrait-il opérer pour rendre obser-vables par l’oeil les modifications subies par la lumière réfléchie ou transmise ?

Page 89: Michel Perez

7.1. POLARISATION PAR UN ENSEMBLE DE LAMES. 89

Observation : Pour l’angle de Brewster, un faisceau polarisé perpendiculairement auplan d’incidence est transmis par une lame avec une intensité moindre qu’un faisceaupolarisé parallèlement.Le faisceau transmis par une lame voit successivement 3 milieux. On calcule la puissancetransmise pour les deux types de polarisation.

E03

E01

‖=

E03

E02

E02

E01

‖= τ23‖τ12‖ (7.22)

Ce qui donne :

E03

E01

‖=

2cos i2 sin i1

sin(i2+ i1)cos(i2− i1)×

2cos i1 sin i2

sin(i1+ i2)cos(i1− i2)(7.23)

On calcule de même :

E03

E01

⊥=

2cos i2 sin i1

sin(i2+ i1)×

2cos i1 sin i2

sin(i1+ i2)(7.24)

La puissance transmise vaut :

P3 =

E02

E01

2 n2

n1

cos i2

cos i1

E03

E02

2 n1

n2

cos i1

cos i2=

E03

E01

2

(7.25)

Si on considère que E01‖ = E01⊥, on peut calculer le rapport des puissances transmises :

P3⊥

P3‖=

E03⊥

E03‖

!2

= cos4(i1− i2) (7.26)

Pour l’angle de Brewster, on obtient finalement :

P3⊥

P3‖= cos4

2i1B −π

2

= sin4(2i1B) = 0,73 (7.27)

Page 90: Michel Perez

90 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

Observation : L’observation précédente est accentué quand on met plusieurs lames em-pilées.Si on met p lames empilées :

P3⊥

P3‖

!

Empilement

=

P3⊥

P3‖

!p

Une lame

(7.28)

Si on met p = 8 lames, on obtient :

P3⊥

P3‖

!

Empilement

= (0,73)8 = 7,7.10−2 (7.29)

La lumière ressort donc polarisée dans le plan d’incidence. On peut arriver aux mêmesconclusions en inversant le polariseur et les lames.

7.2 Application : couche anti-reflet

Sur une surface de verre d’indice n, on dépose une couche uniforme non-absorbante d’in-dice n1 et d’épaisseur e . En incidence normale, les facteurs de reflection et de transmission enénergie sont :

Verre, indice n

Couche anti-reflet Indice n1

I0…

IT

IRR1 T1R2 T2

Air, indice 1

R1 =

n1− 1n1+ 1

2

T1 = 1−R1 (7.30)

R2 =

n1− nn1+ n

2

T2 = 1−R2 (7.31)

Page 91: Michel Perez

7.2. APPLICATION : COUCHE ANTI-REFLET 91

Exercice: Calculer l’intensité transmise IT en fonction de R1, R2, n et d’un déphasage φ quel’on précisera.

Pour calculer l’intensité transmise, il faut d’abord calculer l’amplitude transmise en te-nant compte des réflexions multiples. On a donc besoin des coefficients de réflexion (r1et r2) et de transmission (τ1 et τ2) en amplitude. Ceux-ci sont reliés à R1, R2, T1 et T2par :

R1 = r 21 R2 = r 2

2 (7.32)

T1 = τ21 n1 T2 = τ

22

nn1

(7.33)

L’amplitude totale aT est donc donnée par :

aT = a0τ1τ2+ a0τ1τ2 r1 r2e φ+ a0τ1τ2

r1 r2e φ2+ ... (7.34)

où φ est le déphasage introduit par la double réflexion et la distance en plus parcourue(φ=π+ 2π(2n1e/λ0)). On a donc :

aT = a0

È

T1T2

n

1

1−p

R1R2e φ

(7.35)

L’intensité transmise est donnée par :

IT =naT a∗T

2p

µ0/ε0

=naT a∗T I0

a20

(7.36)

Ce qui donne finalement :

IT =(1−R1)(1−R2)

1+R1R2− 2p

R1R2 cosφ(7.37)

Exercice: Calculer l’intensité réfléchie IR en fonction de R1, R2, n et φ

On évidemment :

IR = 1− IT =R1+R2− 2

p

R1R2 cosφ

1+R1R2− 2p

R1R2 cosφ(7.38)

Exercice: Peut-on annuler l’intensité réfléchi ? A quelle(s) condition(s) ?

Page 92: Michel Perez

92 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

Annuler l’intensité réfléchie conduit à poser :

R1+R2− 2Æ

R1R2 cosφ= 0 (7.39)

Ce qui conduit à :

R1+R2− 2Æ

R1R2+ 2Æ

R1R2(1− cosφ) =Æ

R1−Æ

R2

2+ 2Æ

R1R2(1− cosφ) = 0(7.40)

La seule façon d’annuler cette équation est d’avoir simultanément :Æ

R1 =Æ

R2 ET cosφ= 1 (7.41)

La première égalité est réalisée pour n1 =p

n et la deuxième pour :

e =λ0

4n1=λ

4(7.42)

On appelle alors cette couche une couche quart d’onde.

7.3 Application musicale de la corde vibrante

7.3.1 Ondes stationnaires

Nous allons étudier l’existence et la propagation des ondes dans une corde tendue fixée àses extrémités de longueur L et portée par l’axe x. Nous utiliserons les résultats montrés pourla corde de longueur infinie (exercice sur la caténaire).

Question: Rappeler l’équation de propagation d’une onde transverse dans une corde tendue(tension T ) de masse linéique µ.

La relation de la dynamique projetée perpendiculairement à la corde donne l’équationde d’Alembert :

∂ 2ψ

∂ x2 −1

c2

∂ 2ψ

∂ t 2 c =

s

(7.43)

Question: Quel est l’ensemble des solutions de l’équation précédente ?

Tout combinaison linéaire des fonction f (t − x/c) et g (t + c/c).

Question: On s’intéresse au cas particulier des ondes harmoniques. A partir de la conditionaux limites en x = 0 et en utilisant la notation complexe, montrer que l’onde peut se mettre sous

Page 93: Michel Perez

7.3. APPLICATION MUSICALE DE LA CORDE VIBRANTE 93

la forme ψ(x, t ) = F (x)G(t ). De quel type d’onde s’agit-il ?

L’onde peut se mettre sous la forme :

ψ∗(x, t ) = a∗0 exp[ (w t − k x)]+ b ∗0 exp[ (w t + k x)] (7.44)

avec a∗0 = a0 exp( ϕa) et b ∗0 = b0 exp( ϕb ). La condition aux limite en x = 0 impliqueb ∗0 =−a∗0 . Ce qui donne finalement :

2a0 sin(k x) sin(ωt +ϕa) (7.45)

Question: A partir de la condition aux limites en x = L, quelle restriction supplémentaireobtient-on ?

Cette condition implique que sin(kL) = 0. Ce qui donne :

k = kn = nπ

Lλ=

2Ln

(7.46)

Question: Trouver l’ensemble des fonctions ψ(x, t ) qui satisfait l’équation de d’Alembert etles conditions aux limites.

C’est une combinaison linéaire de toutes les fonctions possibles trouvées à la questionprécédente :

F G =∞∑

n=12a0n sin

2πxn

2L

sin

2πtnc2L+ϕ0n

(7.47)

–1

–0.5

0

0.5

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

–1

–0.5

0

0.5

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

FIGURE 7.4: Modes propres d’une corde fixée à ses extrémités : à gauche n = 1, au centre n = 2, à droite n = 3.

Page 94: Michel Perez

94 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

7.3.2 Analyse harmonique

Question :Montrer que le déplacement ψ peut se mettre sous la forme :

ψ(x, t ) =∞∑

n=1

An cos(nω0t )+Bn sin(nω0t )

sin

nω0

xc

(7.48)

Exprimer An et Bn en fonction de a0n et ϕ0n.

Quels que soient ϕn et G0n, on pourra toujours transformer G0n sin(2πt nc/(2L) +ϕn)en An cos(nω0t )+Bn sin(nω0t ).

Question: Montrer qu’il est nécessaire de connaître la position et la vitesse initiale de la cordeà t = 0 pour déterminer les coefficients An et Bn . 2.

On calcule ψ(x, 0) et ∂ ψ/∂ t (x, 0) :

ψ(x, 0) =∞∑

n=1

An sin

nπxL

(7.49)

∂ ψ

∂ t(x, 0) =

∞∑

n=1

nπcL

Bn sin

nπxL

(7.50)

On reconnaît ici les termes d’une décomposition en série de Fourier. Le cours de ma-thématique nous donne les amplitudes An et Bn :

An =1L

∫ L

−Lsin

nπxL

ψ(x, 0)d x (7.51)

Bn =1

nπc

∫ L

−Lsin

nπxL

∂ ψ

∂ t(x, 0)d x (7.52)

7.4 Un peu de musique !

On va s’intéresser aux notes de musiques émises par une guitare. Ces notes correspondent,en fait, à la superposition de plusieurs harmoniques (voir questions précédentes). On définitla fréquence d’une note par la fréquence de l’harmonique fondamentale. On considère uneguitare dont les cordes en acier (densité 7.8) font 65 cm de longueur.

Question: Pour passer d’une note à la même note à l’octave supérieur, il faut multiplier lafréquence par 2. De plus, la gamme classique comprend 12 notes par octave (d o1, d o1], r e1, r e1],

2. On rappelle que si f (x) =∑∞

1 an sin

n 2πλ0

x

, alors an =4λ0

λ02

0 f (x) sin

n 2πλ0

x

d x

Page 95: Michel Perez

7.4. UN PEU DE MUSIQUE ! 95

mi1, f a1, f a1], s o l1, s o l1], l a1 , l a1], s i1, d o2, ...). Comme l’oreille est sensible au logarithme dela fréquence, par quel coefficient faut-il multiplier la fréquence pour passer d’une note à l’autre ?

Il faut multiplier la fréquence par 21/12.

Question: Quelle est la fréquence de la corde de guitare n1 (la plus grosse) qui donne un mi1(la note l a3 a une fréquence de 440 Hz).

Le l a3 a une fréquence de 440 Hz, le l a2 de 220 Hz, le l a1 de 110 Hz. Pour passer de l a1à mi1, il faut baisser de 5 demi-tons. La fréquence du mi1 est donc de :

f1 =110

2512

= 82,4 Hz (7.53)

Question: De combien le guitariste déplace-t-il sont doigt sur la corde n1 pour passer du mi1au f a1, puis du mi3 au f a3 ?

La vitesse de l’onde sur la corde vaut c = 2L f . On a donc : Lmi1fmi1= (Lmi1

−∆L) f f a1.

Ce qui donne=∆L= Lmi1(1− fmi1

/ f f a1) = 3.6 c m.

De même, on a : Lmi3= Lmi1

fmi1/ fmi3

= Lmi1/4. Ce qui donne, un déplacement de 9 mm

pour passer du mi3 au f a3.

Question: A partir de la question précédente, donner une explication sur l’utilité d’avoirplusieurs cordes sur le manche.

Plus les notes ont une fréquence élevée, plus le déplacement sera petit. La précision desdoigts ne sera plus suffisante pour faire les notes aiguës. Il faut donc “zoomer” dans cedomaine... en rajoutant une (ou plusieurs) cordes dont la fondamentale est plus élevée.

Question: Déterminer la tension nécessaire à la corde n2 (la1) de diamètre D = 0,55 mmpour que celle-ci soit parfaitement accordée ?

T1 = (L fl a1D)2πρ= 60.6 daN (7.54)

Page 96: Michel Perez

96 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

7.4.1 Timbre du piano, de la guitare et du clavecin

Le timbre d’un instrument de musique est la répartition des différentes harmoniques exci-tées. Pour les instruments à cordes, celui-ci ne dépend que des conditions aux limites (la formede l’excitation). Nous négligerons ici l’effet de la caisse de résonance de l’instrument.) 3

Sur le schéma suivant, on peut voir les types d’excitation des cordes du clavecin, de laguitare et du piano.

Question: Commenter.

Pour le piano, le marteau de longueur b va frapper la corde et lui transférer sa quantité demouvement sur toute sa longueur b . On fait donc une hypothèse sur la dérivée premièredu déplacement : ∂ ψ/∂ t (x, 0) = u0 pour a < x < a+ b .Pour la guitare frottée à doigts nus la forme de la corde peut être représentée en prenantcomme conditions initiales ψ(0, x) = 4h/L2x(L− x).Pour le clavecin, la corde est abandonnée sans vitesse suite au pincement ponctuel. Lacorde peut alors prendre la forme d’un triangle.

x

Ψ(x ,0)

Clavecin

h

La

x

Ψ (x ,0)

Guitare

h

LL/2

x

∂Ψ/ ∂ t (x ,0)

Piano

u0

La a+b

FIGURE 7.5: Conditions aux limites des cordes de différents instruments.

Question: Discuter qualitativement de la richesse en harmoniques des différents instruments.

La richesse en harmonique des contions de solicitation de la corde : pour la guitare, onest proche d’une solicitation sinusoïdale, ce qui donnera lieu à très peu d’harmoniques.Pour le clavecin, la fonction triangle peut être reconstruite avec une petite dizaine d’har-monique. Alors que pour le piano, il faut beaucoup d’harmoniques pour reconstruireun signal carré ; son timbre est plus riche.

Question: Démontrer-le à partir du calcul des amplitudes des différentes harmoniques.

3. Il faut alors implorer le pardon aux musiciens car cette hypothèse supprime "l’âme" de l’instrument !

Page 97: Michel Perez

7.4. UN PEU DE MUSIQUE ! 97

Pour le clavecin, les coefficients Bn sont nuls (vitesse initiale nulle). Les coefficients Ansont donnés par :

An =2L

∫ a

0sin

nπxL

x ha

d x +2L

∫ L

asin

nπxL

h(L− x)L− a

d x (7.55)

Finalement :

An =2h

n2π2

L2

a(L− a)sin

nπxL

(7.56)

Pour la guitare, les coefficients Bn sont nuls (vitesse initiale nulle). L’analyse de Fourierdonne les coefficients An nuls pour n pair et pour n impair :

An =32h

n3π3 (7.57)

Pour le piano, les coefficients An sont nuls (déplacement initial nul). Les coefficients Bnsont donnés par :

Bn =2

nπc

∫ a+b

au0 sin

nπxL

d x (7.58)

Finalement, pour b L :

Bn =2u0bnπc

sin

nπaL

(7.59)

On remarque que pour la guitare la décroissance des harmonique se fait en 1/n3, le sonémis par la guitare est alors très pur, presque sinusoïdal à la fréquence du fondamental.Dans le cas du piano, les harmoniques décroissent en 1/n, nettement moins vite quecelles correspondants aux cordes de guitare et de clavecin. Le piano émet des sons dontle taux d’harmonique est très important. Le son du piano présente beaucoup de chaleur,son timbre est plus riche.

Page 98: Michel Perez

98 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES MILIEUX LIMITÉS

Page 99: Michel Perez

Chapitre 8

Milieux diélectriques non-isotropes

8.1 Introduction

Les milieux non-isotopes sont des milieux pour lesquels la propagation des ondes n’est pasla même dans toutes les directions. L’origine physique de cette différence réside dans la struc-ture atomique ou moléculaire des matériaux qui constituent ces milieux (polymères avec leurlongues chaînes marcromoléculaire parfois orienté, cristaux dont l’édifice cristallographiqueprésente une forte anisotropie...). La conséquence de cela est que le champ électrique E n’estplus colinéaire à l’excitation électrique D. Dans un premier temps, nous allons revenir surles équations de Maxwell est ce que cette nouvelle condition implique sur la propagation desondes dans un tel matériau. Nous traiterons ensuite le cas des milieux birefringent qui sont lesmilieux anisotropous les plus simples.

FIGURE 8.1: Certain cristaux dédoublent les faisceaux lumineux à cause de leur anisotropie.

8.2 Retours sur les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell sont bien évidemment conservées, la nouveauté réside ici dansle fait que D 6= εE. Pour les milieux diélectriques (absence de charges et de courants), on a :

99

Page 100: Michel Perez

100 CHAPITRE 8. MILIEUX DIÉLECTRIQUES NON-ISOTROPES

div B= 0 (MΦ) (8.1)

rot E=−∂ B∂ t

(MF) (8.2)

div D= 0 (MG) (8.3)

rot H=∂ D∂ t

(MA) (8.4)

Les vecteurs excitation magnétique H et déplacement électrique D ont été défini dans lechapitre 6. Ils sont liés à E et B par :

D= [ε]E H=B[µ]

(8.5)

où [µ] et [ε] sont respectivement la perméabilité et la permitivité du milieu considéré.Dans un milieu anisotrope, ces grandeurs ne sont plus scalaires mais matricielles ! Nous avonsdéjà vu que dans les milieux diélectriques, seul la permitivité ε différait de celle du vide, laperméabilité µ restant très proche de sa valeur dans le vide µ0. Nous allons ici conservercette hypothèse. Ce qui a pour conséquence que le milieu est isotrope pour la perméabilité etanisotrope pour la permitivité, ce qui donne :

D=

ε11 ε12 ε13ε21 ε22 ε23ε31 ε32 ε33

E H=

Bµ0

(8.6)

Dans un repère (e1, e2, e3) approprié, la matrice des permitivités est diagonale 1, ce quidonne :

D= ε1E1e1+ ε2E2e2+ ε3E3e3 (8.7)

Exercice: En posant l’hypothèse d’une solution progressive aux équations de propagation (dutype t − r · s/v), donner les équations de Maxwell.

1. On appelle e1, e2 et e3 les vecteurs propres et ε1, ε2 et ε3 les valeurs propres de la matrice des permitivités

Page 101: Michel Perez

8.3. MILIEUX UNIAXES OU BIRÉFRINGENTS 101

On a alors :

B · s= 0 (MΦ) (8.8)

s∧E= vB (MF) (8.9)

D · s= 0 (MG) (8.10)

s∧H=−vD (MA) (8.11)

où s est un vecteur unitaire orienté dans la direction de propagation (s est colinéaire auvecteur d’onde k) et v est la vitesse de l’onde selon la direction s.

Exercice: Montrer que les vecteurs E, E et s sont alors dans le même plan.

En utilisant H= B/µ0 et les équations Maxwell-flux et Maxwell-Ampère, il vient :

s∧ (s∧E) =−v2µ0D (8.12)

Comme a∧ (b∧ c) = (a · c)b− (a ·b)c, il vient :

v2µ0D= E− (s ·E)s (8.13)

On en déduit donc que s, D et E sont coplanaires. Insistons sur le fait que le champ En’est plus perpendiculaire à la direction de propagation !

8.3 Milieux uniaxes ou biréfringents

On va s’intéresser maintenant aux types d’ondes qui peuvent se propager dans un milieudiélectrique non-sotrope uniaxe, c’est à dire un milieu pour lequel ε11 = ε22 = ε1 et ε33 = ε3.On a donc pour D :

D= ε1E1e1+ ε1E2e2+ ε3E3e3 = ε1E+(ε3− ε1)E3e3 (8.14)

A partir de cette équation, on voit donc que peuvent se propager deux types d’ondes :1. une onde pour laquelle le champ E n’a pas de composante suivant e3 (E3 = 0). Soient

D′ et E′ les vecteur excitation et champ électrique de type d’onde. Dans ce cas, D′ et E′sont colinéaires entre eux et aussi à s, c’est pourquoi, nous appellerons cette onde “ondeordinaire”.

2. une onde pour laquelle E3 6= 0. Soient D” et E” les vecteur excitation et champ électriquede type d’onde. Nous appellerons cette onde “onde extraordinaire”.

Page 102: Michel Perez

102 CHAPITRE 8. MILIEUX DIÉLECTRIQUES NON-ISOTROPES

Comme dans un milieu uniaxe, seul l’axe e3 est fixé 2, nous choisirons par la suite l’axe e1tel que e1, e3 et s soient dans le même plan.

8.3.1 Onde ordinaire : D′ et E′

Exercice: Montrer que dans ce cas E′ est perpendiculaire à la direction de propagation.

Par définition, D′ = ε1E′ (équation (8.14) avec E3 = 0, D′ perpendiculaire à e3). D’aprèsles équations de Maxwell D′ est perpendiculaire à la direction de propagation de l’ondes, donc E′ l’est aussi.

Exercice: Calculer la vitesse de propagation de l’onde ordinaire et en déduire l’indice dumilieu correspondant à la propagation de cette onde.

D’après la relation (8.13) découlant des équations de Maxwell, on la la vitesse de l’ondeordinaire :

v ′ =1

pε1µ0

=c

noavec no =

È

ε1

ε0=pεr (8.15)

où no est l’indice de l’onde ordinaire dans le milieu considéré.

Exercice: Donner la direction de propagation de l’énergie.

L’énergie se propage selon la direction donnée par le vecteur de Poynting :

Π=E′ ∧B′

µ0=

D′ ∧B′

ε1µ0=

D ′B ′

ε1µ0s (8.16)

L’énergie se propage selon s.

8.3.2 Onde extraordinaire : D” et E”

Exercice: Montrer que D” est donc porté par l’intersection du plan (e3,s) et du plan perpendi-culaire à s.

D’après les relations (8.13) et (8.14), on voit que les vecteurs D”, E”, e3 et s sont copla-naires. De plus, d’après les équations de Maxwell, D” est perpendiculaire à s. Le vecteurD” est donc porté par l’intersection du plan (e3,s) et du plan perpendiculaire à s.

2. On peut montrer qu’il existe un seul vecteur propre lié à la valeur propre ε3, mais une infinité de vecteurs propres liésaux deux valeurs propres identiques ε1

Page 103: Michel Perez

8.3. MILIEUX UNIAXES OU BIRÉFRINGENTS 103

A.O.

γ

s

n

= n ’

n

D’

D’’

n ’’

FIGURE 8.2: D” est donc porté par l’intersection du plan (e3,s) et du plan perpendiculaire à s et D′ est perpendiculaireà D” et à s. L’axe e3 est appelé axe optique. Dans cette figure, e1 et e2 ont été choisis tels que s soit dans le plan (e2,e3).Dans ce cas, D′ est alors porté par e1 et D” est perpendiculaire à e1.

Exercice: Montrer que D′ est perpendiculaire à D”.

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que D′ était perpendiculaire à e3 et à s,il est donc perpendiculaire au plan (e3,s), or D” est dans le plan (e3,s), donc D” estperpendiculaire à D′.

Exercice: Soit γ , l’angle que fait la direction e3 avec la direction de propagation s. Calculerl’indice de la vitesse de propagation de l’onde extraordinaire.

Page 104: Michel Perez

104 CHAPITRE 8. MILIEUX DIÉLECTRIQUES NON-ISOTROPES

D’après les équations de Maxwell, on a :

v2eµ0D”= E”− (s ·E”)s (8.17)

De plus, on a :

D”= ε1E”+(ε3− ε1)E”3e3 (8.18)

On projette ces deux dernières équations suivant e3, ce qui donne :

v2eµ0D3”= E3”− (s ·E”)cosγ (8.19)

et :

D3”= ε3E3” (8.20)

D’autre part, d’après 8.18 :

s ·E”=1ε1

D” · s−ε3− ε1

ε1E”3e3 · s=−

ε3− ε1

ε1E”3 cosγ (8.21)

Ce qui donne :

v2eµ0ε3ε1 = ε1− (ε3− ε1)cos2 γ (8.22)

Et finalement :

v2e =

1µ0

cos2 γ

ε1+

sin2 γ

ε3

!

(8.23)

Exercice: En posant n2o = ε1/ε0 et n2

e = ε3/ε0, en déduire l’indice n” du milieu correspondantà la propagation de cette onde.

L’indice n” vaut donc :

n”2 =1

cos2 γ

n2o+ sin2 γ

n2e

(8.24)

Exercice: Soit ε, l’ellipse qui est l’intersection de l’ellipsoïde d’équation x2

n2o+ y2

n2o+ z2

n2e= 1 et du

plan perpendiculaire à la direction de propagation s. Montrer que n” est donné par la longueur del’axe de l’ellipse ε porté par D”.

Page 105: Michel Perez

8.3. MILIEUX UNIAXES OU BIRÉFRINGENTS 105

Un point M de coordonnées (x, y) appartient au plan perpendiculaire à s si :

y sinγ + z cosγ = 0 (8.25)

Ce point appartient aussi à l’ellispoïde si :

x2

n2o

+y2

n2o

+z2

n2e

= 1 (8.26)

Enfin, ce point appartient à l’axe de l’ellipse ε porté par D” si :

x = 0 (8.27)

car D” est dans le plan (e3,s) et nous avons choisi e1 et e2 tels que e3, e2 et s soient dansle même plan. L’indice n” est finalement donné par la distance OM :

n”2 = y2+ z2 =1

cos2 γ

n2o+ sin2 γ

n2e

(8.28)

Exercice: Montrer que l’énergie de l’onde extraordinaire ne se propage pas selon s.

L’énergie se propage selon la direction donnée par le vecteur de Poynting :

Π=E”∧B”µ0

(8.29)

Or, comme E” n’est pas colinéaire à D”, l’énergie ne se propage pas selon s.

Quand une onde de direction de propagation s arrive sur un milieu uniaxe (oubiréfringent), on décompose les oscillations vectorielles de l’onde incidented’excitation électrique D en deux composantes :– une composante D′′, perpendiculaire à s et dans le plan (e3,s), qui estappelée onde extraordinaire ;

– une composante D′, perpendiculaire à s et à D”, qui est appelée ondeordinaire.

L’onde ordinaire se propage selon s à une vitesse vo donnée par l’équa-tion 8.15 et l’onde extra-ordinaire se propage selon une direction générale-ment différente de s avec une vitesse ve (selon s) donnée par l’équation 8.23.Les directions de D′ et D” sont appelées lignes neutres du milieu.

Page 106: Michel Perez

106 CHAPITRE 8. MILIEUX DIÉLECTRIQUES NON-ISOTROPES

P A

V

Ez

x

y y

x PA

a0

FIGURE 8.3: Mise en évidence de l’effet Kerr. Une cuve contenant du nitrobenzène est placée entre polariseur etanalyseur croisés.

8.4 Applications

8.4.1 L’Effet Kerr

On considère un cuve transparente à faces parallèles remplie de nitrobenzène et dans la-quelle plongent les armatures d’un condensateur plan dont la longueur l des armatures est de10 cm. La cuve est placée entre polariseur et analyseur croisés. L’ensemble est éclairé par unfaisceau parallèle de lumière monochromatique (de longueur d’onde λv ), se propageant selon(O z) (voir figure8.3). L’axe du polariseur est à 45 des axes (O x) et (Oy). Soient uP et uA lesvecteurs unitaires donnant les directions des axes du polariseur et de l’analyseur. Si un champélectrique de module E et appliqué aux bornes du condensateur, le liquide contenu dans lacuve devient biréfringent et est caractérisé par une différence entre les indices des ondes or-dinaire et extraordinaires ∆n = βλv E2 (β est une constante égale à 2.5× 10−12 m/V2). Onsupposera que l’ellipsoïde associée au milieu devenu biréfringent est allongé selon l’axe op-tique.

Exercice: En l’absence de champ électrique entre les armatures du condensateur, indiquerquelle est la nature de la lumière reçue par l’analyseur et préciser l’intensité transmise par celui-ci.

Lorsque E = 0, le milieu est isotrope, la lumière ressort donc de la cuve polarisée rec-tilignement (selon la direction du polariseur). Comme l’analyseur et le polariseur sontcroisés, l’intensité transmise par l’analyseur est donc nulle.

Exercice: Expliquer l’origine physique de la biréfringence du nitrobenzène.

La biréfringence est due au fait que les molécules polaires du nitrobinzène s’oriententsous l’action du champ électrique ET que le milieu n’est pas linéaire (la polarisation n’estpas proportionnelle au champ). Il s’agit d’une biréfringence provoquée par la présenced’un champs électrique : c’est l’effet Kerr.

Page 107: Michel Perez

8.4. APPLICATIONS 107

Exercice: Donner la direction des lignes neutres associées au milieu et préciser l’indice deréfraction associé à chaque ligne neutre.

L’onde ordinaire est polarisée selon (Oy) (indice no) et l’onde extraordinaire est polari-sée selon (O x) (indice n”= ne ).

Exercice: Donner l’expression du déphasage φ entre l’onde ordinaire et l’onde extraordinaireen fonction de β, E et l .

Le déphasage φ entre l’onde ordinaire de nombre d’onde k ′ et l’onde extraordinaire denombre d’onde k” vaut :

φ= l (k ′− k”) = lω

c(n”− n′) = l

2πλv∆n = 2πlβE2 (8.30)

Exercice: Pourquoi le dispositif ainsi réalisé peut-il être appelé lame quart d’onde lorsqueE = 106 V/m ?

D’après les données de l’énoncé, on trouve φ≈π/2. La cuve déphase les ondes de π/2,c’est à dire un quart de longueur d’onde.

Exercice: L’onde issue du polariseur est de la forme aP = a0 cos(ωt )uP. Donner l’expressionde l’amplidude, puis de l’intensité de l’onde issue de l’analyseur en fonction de a0, I0 et φ.

Page 108: Michel Perez

108 CHAPITRE 8. MILIEUX DIÉLECTRIQUES NON-ISOTROPES

Les ondes ordinaire et extraordinaire sont, à l’entrée de la cuve, de la forme :

ao =a0p

2cos(ωt )ey (8.31)

ae =a0p

2cos(ωt )ex (8.32)

A la sortie de la cuve, elles sont de la forme :

ao =a0p

2cos(ωt − k ′ l )ey (8.33)

ae =a0p

2cos(ωt − k”l )ex (8.34)

On projette sur la direction uA de l’analyseur. L’onde est alors de la forme :

aA =a0

2

cos(ωt − k”l )− cos(ωt − k ′ l )

uA (8.35)

Ce qui donne finalement :

aA =−a0 sin

ωt −k ′+ k”

2l

sin

φ

2

uA (8.36)

Pour avoir l’intensité transmise, on élève au carré et on prend la moyenne :

IA= I0 sin2

φ

2

(8.37)

Exercice: Quelle modification faudrait-il apporter au dispositif pour fabriquer un interrup-teur optique ?

Il suffit de doubler la longueur l . Pour un champ E nul, on a IA = 0 et pour un champE = 106 V/m, on a φ= π, ce qui donne IA= I0. Si cette modulation sert par exemple àtransmettre de l’information il faut qu’elle puisse être rapide. Les temps de réorientationde petites molécules sont de l’ordre de 10−8 à 10−10 s selon la viscosité du liquide.

8.4.2 Spectre cannelé

On place une lame de quartz 3 parallèle (i.e. taillée parallèlement à l’axe optique), d’épais-seur e =4 mm, entre polariseur et analyseur croisé. L’axe du polariseur est à 45 des lignes

3. Le quartz est un matériau biréfringent

Page 109: Michel Perez

8.4. APPLICATIONS 109

FIGURE 8.4: Spectre de la lumière issu d’un dispositif contenant une lame de quartz placée entre polariseur et analy-seur croisés.

neutre de la lame. On éclaire la lame avec de la lumière blanche. A la sortie de l’analyseur, onplace un prisme pour analyser la lumière.

Exercice: Interpréter le spectre observé à la figure 8.4

L’intensité issue de l’analyseur est donnée par :

IA= I0 sin2

φ

2

(8.38)

avec φ = ∆n 2πλv

e . Pour certaines longueurs d’ondes l’intensité va s’éteindre, d’où lespectre cannelé observé à la figure 8.4.

Exercice: En observant attentivement le spectre de la figure 8.4, on compte N =50 raies noiresentre le bleu (λB

v = 0.4 µm) et le rouge (λBv R = 0.8 µm). En déduire la valeur de la biréfringence

∆n du quartz.

Entre l’extinction dans la limite du bleu et celle dans la limite du rouge, on compteN=50 extinctions :

φB =φR+ 2πN (8.39)

Ce qui donne :

∆n =N

e

1λB

v− 1

λRv

(8.40)

Ce qui donne∆n = 0.01.

Page 110: Michel Perez

110 CHAPITRE 8. MILIEUX DIÉLECTRIQUES NON-ISOTROPES

Page 111: Michel Perez

Chapitre 9

Interférences et diffraction

9.1 Introduction

Nous avons vu que lorsque deux ondes se superposent, on additionne leurs amplitudes.Cette idée très simple est à la base du phénomène d’interférence.

A travers quelques expériences, nous allons découvrir et tenter de comprendre ce qu’est ladiffraction : phénomène des plus mystérieux et néanmoins fascinant car il ouvre la porte surla physique quantique !

9.2 Quelques expériences

Nous allons présenter dans cette section quelques expériences, ainsi que les images qui enrésultent pour essayer de mieux comprendre ce qu’est la diffraction.

9.2.1 Diffraction par un trou

On réalise le montage décrit à la figure 9.1 : une onde plane issue d’un LASER (longueurd’onde λ = 0.8 µm) éclaire un trou circulaire de 0.1 mm de diamètre . On observe sur unécran placé à une distance L = 2.5 m (L (d ,X ,Y )) “l’ombre” du trou, appelée figure dediffraction.

On constate alors que la figure observée sur l’écran (figure 9.2) présente une allure biendifférente de l’ombre à laquelle on aurait pu s’attendre. D’une part, on observe une tachecentrale dont la taille est beaucoup plus grande que l’ombre portée du trou (quelques cm pourun trou de 0.1 mm). D’autre part, on observe des anneaux circulaires autours du trou.

Si on réalise la même expérience avec un trou carré, on observe un figure tout aussi étrangeavec une tache centrale en forme de carré et des taches “satellites” situés sur les axes du carré(voir figure 9.2).

Pour comprendre comment un si petit trou peu donner lieu à une tache centrale aussigrande, on peut évoquer le principe d’incertitude d’Heisenberg 1 !

1. Le terme “incertitude” est le terme historique pour ce principe. Le nom de principe d’indétermination est parfoispréféré car le principe ne porte pas sur l’ignorance par l’expérimentateur de grandeurs, mais bien sur l’impossibilité de lesdéterminer, et même d’affirmer qu’une détermination plus précise existe.

111

Page 112: Michel Perez

112 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

X

Y

ÉcranPlaque trouéeOnde plane Σ

L

x

y

d

FIGURE 9.1: Expérience de diffraction par un trou circulaire. Une onde plane issue d’un LASER éclaire le trou. Onobserve sur un écran placé à une distance L (d ,X ,Y ) “l’ombre” du trou, appelée figure de diffraction.

Trou circulaire

3 cm

Trou carré

4 cm

FIGURE 9.2: Figures de diffraction résultante de l’expérience décrite à la figure 9.1. On observe une figure beaucoupplus complexe que la simple “ombre” du trou : l’optique géométrie atteint n’est plus valable !

Page 113: Michel Perez

9.2. QUELQUES EXPÉRIENCES 113

On ne peut pas déterminer avec une précision infinie la position r et la vitesse(ou quantité de mouvement p= mv) d’une particule :

∆r ·∆p< h (9.1)

où h est la constante de Planck.

Appliquons ce principe au photon en projetant la relation d’Heisenberg sur une directionex appartenant à la plaque. En le forçant à passer à travers le trou, on impose un ∆x = d , cequi implique pour la quantité de mouvement :

∆px =hd

(9.2)

Or, la quantité de mouvement d’un photon vaut p = hν/c , ou ν est la fréquence du pho-ton. L’angle de déviation maximal à la sortie du trou vaut donc :

tanθ=∆px

p=λ

d(9.3)

On peut dont prédire une tache de taille λL/d = 2 cm sur l’écran. Bien que ce ne soit pasla valeur exacte, on trouve un ordre de grandeur tout à fait correct !

9.2.2 Diffraction par deux trous

On réalise maintenant la même expérience que précédemment, mais en perçant deux trous01 et 02 séparés de 1 mm sur la plaque (voir figure 9.3). On appelle O le milieu de O1O2.

On observe toujours sur l’écran une large tache centrale pourvue d’anneaux, mais cettefois la tache centrale est striée verticalement. Rappelons que les deux trous étaient placés ho-rizontalement. Pour comprendre l’origine de ces stries, on peut se place en un point M (X ,Y )de l’écran et dire que l’amplitude aT

2 de l’onde reçue est la somme des amplitudes des ondesqui proviennent de chacun des trous :

aT = a0 cos(ωt − k01M +ϕ)+ a0 cos(ωt − k02M +ϕ) (9.4)

Ce qui donne :

aT = 2a0 cos[ωt − k(01M +O2M )/2+ϕ]cos[k(O1M −O2M )/2] (9.5)

Connaissant la position des trous et l’écart entre la plaque et l’écran, on peut calculerfacilement les distances 01M et O2M . Ce qui donne pour O1M −O2M :

O1M −O2M =Æ

L2+(X + a/2)2+Y 2−Æ

L2+(X − a/2)2+Y 2 (9.6)

Sachant que L (X ,Y ), on peut faire un développement limité à l’ordre 1 de l’expressionprécédente :

2. a peut désigner ici aussi bien le champ électrique que le champ magnétique.

Page 114: Michel Perez

114 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

X

Y

Écran Plaque trouée Onde plane !

L

x

y

a

1 cm

FIGURE 9.3: Expérience de diffraction par deux trous circulaires placés à une distance a et figure de diffractionrésultante. Les ondes issues des figures de diffraction de chaque trous interfèrent.

O1M −O2M = L

1+(X + a/2)2+Y 2

2L2

− L

1+(X − a/2)2+Y 2

2L2

=aXL

(9.7)

Ce qui donne finalement pour l’amplitude aT :

aT = 2a0 cos[ωt − k(01M +O2M )/2+ϕ]cos[kaX /(2L)] (9.8)

Nous avons vu dans le chapitre?? que l’intensité lumineuse, noté ici I , ou puissance estdonnée par :

I ∝< a2T >= I0 cos2(kaX /(2L)] (9.9)

où I0 est l’intensité au centre de l’écran. Nous remarquons que l’intensité est modulée enfonction de X , comme observé expérimentalement. De plus, nous pouvons calculer l’inter-frange théorique (λL/a = 2 mm) qui est en parfait accord avec celle mesurée sur la figure 9.3.

9.2.3 Diffraction par deux trous : cas des particules

On réalise maintenant la même expérience que précédemment, mais au lieu d’éclairer laplaque par une onde lumineuse on la bombarde avec un faisceau d’électrons (voir figure 9.4).En plaçant un détecteur sensible aux électrons à la place de l’écran, on observe le même type defigure que celle de la figure 9.3. Bien qu’ayant une masse, les électrons se comportent commedes ondes : on peut les faire interférer !

Au cours des dernières décennies, les progrès des cannons à électrons sont tels que l’onpeut maintenant envoyer les électrons sur la plaque un par un. Après une série d’impact sur

Page 115: Michel Perez

9.3. CALCUL DES FIGURES DE DIFFRACTION 115

X

Y

ÉcranPlaque trouéeCanon à électrons

L

x

y

FIGURE 9.4: Expérience des fentes de Young (double slit experiment). Cette fois, on n’éclaire plus la plaque trouéeavec de la lumière, mais avec des électrons, que l’on peut même envoyer un par un.

le détecteur, on remarque sur la figure 9.5 que l’on observe encore une figure d’interférenceavec des franges : ce qui signifie que l’électron interfère “avec lui-même”, ou dit autrement,que l’électron passe par les deux trous à la fois.

Une telle réalité, certes incontestable car prouvée par l’expérience, est très difficile à faireadmettre à notre esprit : comment peut-on être à deux endroit à la fois ? ? ?

Fort de ces résultats, une équipe de brillants chercheurs des années 90 ont voulu “piéger”cet électron qui se trouvait à deux endroits en même temps : il suffit de mettre un détecteur àproximité de chacun des trous pour savoir par lequel il passe, ou pour le prendre en “flagrantdélit de dédoublement”.

La figure 9.6 montre la courbe de diffraction obtenu alors que les détecteurs ne sont pas enservice : on observe bien une figure d’interférence. Par contre, si les détecteurs fonctionnent,on arrive bien à localiser l’électron : il passe soit par un trou, soit par l’autre. Mais, à cemoment-là, on s’apperçoit que la figure de diffraction n’existe plus ! ! ! Le simple fait d’observerpar quel trou passe l’électron, le “force” à se matérialiser dans l’un des deux trou et l’empêcheainsi d’interférer avec lui-même !

Ces résultats sont difficile à concevoir par notre esprit. On peut même dire qu’ils sontimpossible à comprendre ! Ils représentent pourtant la base d’une jeune science qui n’a qu’unpetit siècle : la physique quantique.

9.3 Calcul des figures de diffraction

Nous allons maintenant découvrir comment prédire les figures de diffraction observéeslors des expériences décrite dans la section précédente : (i) tache centrale et anneaux pour ladiffraction par un trou circulaire ; (ii) tache centrale et taches satellites pour la diffraction parun trou carré (ou rectangulaire).

Page 116: Michel Perez

116 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

FIGURE 9.5: Lieu des impacts des électrons sur l’écran lors de l’expérience des fentes de Young réalisée avec desélectrons envoyés un par un. Chaque électron “interfère avec lui-même”.

Page 117: Michel Perez

9.3. CALCUL DES FIGURES DE DIFFRACTION 117

(a) (b)

FIGURE 9.6: Pour savoir par quelle fente passe l’électron, on peut mettre un détecteur à proximité de l’une desfentes. Le détecteur permet bien de préciser par quel fente est passé l’électron, mais sa présence modifie la figure dediffraction qui ne présente alors plus d’interférence !

9.3.1 Principe d’Huygens-Fresnel

Le principe d’huygens-Fresnel permet une analyse quantitative des phénomènes de diffrac-tion. Son énoncé est le suivant :

Soit (Σ), une ouverture plane éclairée par une source ponctuelle S monochromatiquede longueur d’onde λ. On découpe (Σ) en éléments de surface dσ(P ) centrés sur unpoint courant P . Pour le calcul de l’éclairement en un point M : (1) chaque élément desurface dσ(P ) se comporte comme une source ponctuelle fictive, émettant une ondelettedont l’amplitude complexe instantanée en P est proportionnelle à l’amplitude complexeinstantanée de l’onde émise par S en P , et à l’élément de surface dσ(P ) ; (2) les sourcesfictives sont cohérentes.

Ce principe ne découle d’aucune théorie ! Il découle de l’interprétation des expériencesobservées. Nous allons l’utiliser par la suite pour tenter de prédire quantitativement l’intensitéobservée sur l’écran lorsque l’on fait diffracter des objets.

9.3.2 Cas de la diffraction à l’infini

On réalise l’expérience de diffraction à l’infini dite diffraction de Fraunhaufer décrite à lafigure 9.7 : on éclaire à l’aide d’un faisceau LASER une plaque percée d’un trouΣ de surface S.On place ensuite une lentille convergente (de distance focale f ) et un écran situé dans le planfocal image de la lentille. Ainsi, à chaque point M (X ,Y ) de l’écran correspond une directionde propagation u à la sortie du trou. Sur la figure 9.7, on a représenté ce qui est observé surl’écran dans le cas d’un trou rectangulaire.

Page 118: Michel Perez

118 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

Faisceau

LASEREcranLentille

x

y

O

P

H. .

.M.

FIGURE 9.7: L’expérience de diffraction à l’infini.

9.3.3 Calcul de l’amplitude diffractée

L’onde incidente arrive perpendiculairement au trou. Le théorème de Malus indique quela différence de phase entre les points P et M est la même que celle qui existe entre les pointH et M .

Exercice: Préciser les coordonnées du vecteur unitaire donnant la direction de propagation del’onde qui arrive en M (X ,Y ) (on se placera dans le cas où (X ,Y ) f ).

Le vecteur u est le vecteur unitaire parallèle à la direction qui va du centre de la lentilleau point M . Ses coordonnées sont donc : u= (X / f ,Y / f , 1).

Exercice: Donner la différence de marche entre l’onde secondaire qui va de O à M et celle quiva de P à M .

La différence de marche entre ces deux ondes est :

OH =OP ·u=xXf+

yYf

(9.10)

.

Exercice: En utilisant le principe d’Huygens, donner l’expression générale de l’amplitudetotale aM au point M (X ,Y ) résultant de la diffraction due à l’ouverture (Σ) de l’onde incidented’amplitude a0.

Page 119: Michel Perez

9.3. CALCUL DES FIGURES DE DIFFRACTION 119

L’amplitude totale est la somme des amplitudes de chacune des ondes secondaires émisespar tous les points P du trou.

aM =∫

Σa0 exp[ (ωt − kP M )]d xd y (9.11)

Soient x et y les coordonnées de P dans le plan du trou. L’amplitude est alors :

aM = a0 exp[ (ωt + kOM )]∫

Σexp

k

xXf+

yYf

d xd y (9.12)

On pose généralement α=X / f et β= Y / f , ce qui donne finalement :

aM = a0 exp[ (ωt − kOM )]∫

Σexp

2πλ(αx +βy)

d xd y (9.13)

Exercice: Donner l’intensité résultante IM au point M en fonction de I0 = IM (0,0).

L’intensité IM est définie comme : IM ∝< a2M >. Au centre de l’écran, α = β = 0,

l’intégrale vaut alors S et IM est alors donné par :

IM = I0

1S

Σexp

2πλ(αx +βy)

d xd y2

(9.14)

9.3.4 Cas d’un trou rectangulaire

Exercice: Soient a et b les dimensions du trou suivant (O x) et (Oy) respectivement. Calculerl’intensité lumineuse diffractée au point M (X ,Y ).

Page 120: Michel Perez

120 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

L’intégrale calculée précédemment devient :

IM = I0

1ab

∫ a2

− a2

∫ b2

− b2

exp

2πλ(αx +βy)

d xd y

2

(9.15)

On peut séparer les deux facteurs de l’intégrale :

IM = I0

1a

∫ a2

− a2

exp

2πλαx

d x1b

∫ b2

− b2

exp

2πλβy

d y

2

(9.16)

L’intégration se fait alors facilement ( !) :

IM = I0

exp

2πλα a

2

− exp

− 2πλα a

2

2πλα

2

exp

2πλβ b

2

− exp

− 2πλβ b

2

2πλβ

2

(9.17)On reconnaît ici l’expression de la fonction sinus :

IM = I0

sin παaλ

παaλ

2

sin πβbλ

πβbλ

2

(9.18)

9.3.5 Cas d’un trou circulaire

Exercice: Quelle est la figure de diffraction à l’infini d’un trou circulaire de rayon R ? Ondonne

∫ 10

p

1− u2 cos(mu)d u = (π/2)(J1(m)/m) où J1 est la fonction de Bessel d’ordre 1(J1(0) = J1(3,83) = J1(7,02) = J1(10,2) = 0 et J ′1(0) = 0,5).

Page 121: Michel Perez

9.3. CALCUL DES FIGURES DE DIFFRACTION 121

FIGURE 9.8: Figure de diffraction tracée avec Maple.

Page 122: Michel Perez

122 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

> restart;> a:=1; b:=2; m:=0.05; a := 1b := 2m := :05> II:=(alpha,beta)->`if`(sin(alpha*a)^2/(alpha*a)^2*sin(beta*b)^2/(beta> *b)^2>m,m,sin(alpha*a)^2/(alpha*a)^2*sin(beta*b)^2/(beta*b)^2);II := (; )! `if`(m < sin(a)2 sin( b)22 a2 2 b2 ; m; sin( a)2 sin( b)22 a2 2 b2 )> II(1,1); a; b;if(14 sin(1)2 sin(2)2 < :05; m; sin(a)2 sin(b)2a2 b2 )12> plot3d(II(alpha,beta),alpha=-10..10,beta=-10..10, numpoints=2000,> style=PATCHNOGRID, orientation=[0,Pi/2,shading=zgreys ale);> plot3d(II(alpha,beta),alpha=-10..10,beta=-10..10,> numpoints=3000,shading=none);

FIGURE 9.9: Commandes Maple pour tracer la figure 9.8.

Page 123: Michel Perez

9.3. CALCUL DES FIGURES DE DIFFRACTION 123

Par raison de symétrie, la figure est forcément de symétrie circulaire. On ne va calculerl’intensité que suivant une direction. L’amplitude totale diffractée dans la direction u=(0, sinθ, cosθ) vaut donc :

aT =1

πR2

∫ R

−Rexp

(ωt −k ·PM)

2p

R2− h2d h (9.19)

aT =exp

(ωt −k ·OM)

πR2

∫ R

−Rexp

k ·OP

2p

R2− h2d h (9.20)

avec PO= (0,−h, 0), ce qui donne :

aT =exp

(ωt −k ·PM)

πR2

∫ R

−Rexp

− 2πh sinθ

λ

2p

R2− h2d h (9.21)

On pose m = 2πR sinθ/λ et u = h/R, ce qui donne :

aT =exp

(ωt −k ·PM)

π

∫ 1

−1exp[− mu]2

p

1− u2d u (9.22)

Si on exprime l’exponentielle complexe avec les fonctions sinus et cosinus, on remarqueque la partie imaginaire de l’expression est une fonction impaire, qui, intégrée de −R àR, va être nulle, il reste donc :

aT =exp

(ωt −k ·PM)

π

∫ 1

−1cos(mu)2

p

1− u2d u (9.23)

On reconnaît la fonction de Bessel. Ce qui donne :

aT = 2exp

(ωt −k ·PM) J1(m)

m(9.24)

L’intensité vaut finalement :

I = 4I0

J1(m)m

2

avec m =2πR sinθ

λ(9.25)

On a donc I (θ = 0) = I0 et l’intensité s’annule pour sinθ = 1,22λ/(2R), résultatconfirmé en TP !

Page 124: Michel Perez

124 CHAPITRE 9. INTERFÉRENCES ET DIFFRACTION

Page 125: Michel Perez

Bibliographie

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