Microeacuteconomie

Alexandre Nshue M Mokime

Kinshasa Juin 2012

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Contenu du cours

Introduction

1 Analyse du comportement du consommateur 11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur 12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute 121 Les preacutefeacuterences du consommateur 122 La fonction drsquoutiliteacute 123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes 131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande 132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande 133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu 141 Analyse de Slutsky 142 Analyse de Hicks

15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences 151 Les substituts parfaits 152 Les biens compleacutementaires 153 Les biens neutres 154 Les biens indeacutesirables 156 Les preacutefeacuterences concaves

16 Vendre et acheter 17 Choix intertemporels

2 Analyse du comportement du producteur 21 Analyse de la production 211 Analyse de la production dans le court terme 212 Analyse de la production dans le long terme

22 Analyse des coucircts 221 Analyse des coucircts agrave court terme 222 Analyse des coucircts agrave long terme

23 Gestion optimale 231 Gestion optimale dans le court terme 232 Gestion optimale dans le long terme

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme 241 Lemme de Shephard 242 Lemme de Hotelling

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3 Marcheacutes et formation des prix 31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite 311 La firme concurrentielle 312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute 313 La demande globale ou du marcheacute 314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite 315 Le modegravele simple du marcheacute 316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre 317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix 318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee 319 Modegravele du marcheacute avec inventaire 3110 Concurrence et bien-ecirctre 3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel

32 Le monopole (pur) 321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur 322 La marge ajouteacutee du monopoleur 323 Le bien-ecirctre en situation de monopole 324 Pratique de la discrimination

33 Monopole naturel 34 Concurrence monopolistique 35 Marcheacute des facteurs 351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone 352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier

36 Oligopole et duopole 361 Le modegravele de Stackelberg 362 Le modegravele de Cournot 363 La coalition

37 Theacuteorie des jeux 4 Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre 41 Impocircts et eacutequilibre individuel 411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur 412 Impocircts et eacutequilibre du producteur

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite 421 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif 422 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite

43 Impocirct eacutequilibre et production de monopole 44 Octroi drsquoune subvention

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5 Biens publics et externaliteacutes 51 Biens publics 511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics 512 Fourniture efficace des biens publics 513 Fourniture des biens publics par le vote

52 Les externaliteacutes 521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production 522 Correction des externaliteacutes neacutegatives 523 Exemple drsquoune externaliteacute positive

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Introduction

Qursquoest-ce que la science eacuteconomique Drsquoaucuns deacutefinissent la science eacuteconomique comme lrsquoeacutetude de lrsquoallocation des ressources rares de lrsquohomme pour la reacutealisation drsquoobjectifs alternatifs Cette deacutefinition est certes correcte mais demande quelques preacutecisions pour que le champ drsquoapplication de lrsquoeacuteconomie soit bien circonscrit Et si tel nrsquoest pas le cas on risquerait bien de la confondre drsquoautres disciplines telles que la science politique ou la meacutedecine car le problegraveme drsquoallocation des ressources revecirct un caractegravere geacuteneacuteral et se rapporte lrsquoexistence mecircme de lrsquohomme Lrsquoeacuteconomie peut ecirctre deacutefinie comme une discipline des sciences sociales dont lrsquoobjet drsquoeacutetude est lrsquoallocation des ressources rares (ou limiteacutees) de lrsquohomme la satisfaction de ses besoins multiples et concurrents Elle srsquointeacuteresse essentiellement aux activiteacutes de production de distribution et de consommation des biens ainsi qursquoaux institutions aux cadres reacuteglementaires et lrsquoenvironnement facilitant ces activiteacutes En tant que discipline scientifique lrsquoeacuteconomie se propose drsquoexpliquer les deacuteterminants des comportements des agents eacuteconomiques et de clarifier les relations qui existent entre les variables eacuteconomiques Pour cette fin elle utilise agrave la fois des analyses theacuteoriques et empiriques Les analyses theacuteoriques ont un caractegravere deacuteductif puisque se construisant sur un corps drsquohypothegraveses caractegravere geacuteneacuteral les analyses empiriques par contre se fondent sur des donneacutees statistiques reacuteelles Toutefois ces deux types drsquoanalyse ne srsquoexcluent pas en ce que les analyses theacuteoriques servent de fil conducteur aux analyses empiriques et ces derniegraveres permettent de valider les theacuteories existantes Lrsquoanalyse eacuteconomique procegravede de deux approches positive et normative Lrsquoapproche positive consiste agrave dire ce qui est alors que lrsquoapproche normative parle de ce qui devrait ecirctre Autrement dit une analyse qui se fonde sur lrsquoapproche positive procegravede de la description drsquoune situation particuliegravere ou drsquoun pheacutenomegravene donneacute alors qursquoune eacutetude qui se fonde sur lrsquoapproche normative propose une explication de ce qui devrait ecirctre fait pour que lrsquooptimum ou lrsquoeacutequilibre eacuteconomique soit reacutealiseacute Il importe de noter que les matheacutematiques sont devenues le langage privileacutegieacute des analyses eacuteconomiques Elles permettent non seulement de reacuteduire la subjectiviteacute dans les analyses et prises de position mais aussi de rendre rigoureuses les analyses En effet avec la clarteacute et la logique qursquoelles apportent les matheacutematiques permettent de rendre coheacuterent et rigoureux le raisonnement deacuteveloppeacute Pour se rapprocher de plus en plus de la reacutealiteacute les eacuteconomistes font usage de la modeacutelisation ou des modegraveles Ces derniers sont des scheacutemas simplifieacutes ou des maquettes que construisent les eacuteconomistes ndash lrsquoaide des eacutequations ndash afin de se faire une ideacutee plus ou moins preacutecise sur un pheacutenomegravene eacuteconomique donneacute Ils facilitent ainsi la mise en eacutevidence des aspects les plus saillants drsquoun pheacutenomegravene eacuteconomique ou des principales relations qui existent entre les variables eacuteconomiques

Qursquoest-ce que la microeacuteconomie La microeacuteconomie eacutetudie comment les agents eacuteconomiques ndash pris individuellement ndash prennent leurs deacutecisions de production ou de consommation et elle srsquointeacuteresse aux relations qui existent entre celles-ci Ces deacutecisions individuelles ainsi que leurs interrelations se reacutepercutent au niveau macroeacuteconomique dans ce sens que les agreacutegats macroeacuteconomiques ne sont rien drsquoautre que des sommes de grandeurs microeacuteconomiques On peut agrave juste titre consideacuterer la microeacuteconomie comme lrsquoeacutetude des arbres et la macroeacuteconomie comme lrsquoeacutetude de la forecirct

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Du point de vue de la probleacutematique il y a lieu de noter que la microeacuteconomie srsquointeacuteresse essentiellement aux problegravemes drsquoallocation des ressources par les individus alors que la macroeacuteconomie srsquointeacuteresse aux problegravemes de reacutegulation du cours de lrsquoactiviteacute eacuteconomique La theacuteorie du consommateur propose une explication des choix que devrait opeacuterer un individu compte tenu de toutes les contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoaction alors que la theacuteorie keyneacutesienne du multiplicateur se propose drsquoexpliquer comment est-ce qursquoune politique budgeacutetaire expansionniste peut relancer lrsquoeacuteconomie par une action sur la demande globale La probleacutematique de base de la microeacuteconomie est la recherche de lrsquooptimum et celle de la macroeacuteconomie est la reacutealisation drsquoun eacutequilibre global jugeacute satisfaisants aux yeux de tous les acteurs de lrsquoeacuteconomie

La modeacutelisation en eacuteconomie Les pheacutenomegravenes eacutetudieacutes par la science eacuteconomique ne sont pas si transparents qursquoils ne peuvent le paraicirctre aux yeux des observateurs peu avertis ils sont inextricablement entremecircleacutes entre eux que lrsquoon ne peut preacutetendre les saisir de maniegravere parfaite Ce faisant lrsquoanalyste ndash eacuteconomiste se doit de les appreacutehender travers des grilles de lecture ou drsquointerpreacutetation qui se fondent sur les signaux les plus distinctifs que le monde reacuteel eacutemet Compte tenu de lrsquoobjectif poursuivi par lrsquoeacutetude ou par la recherche lrsquoanalyste doit se faire une repreacutesentation simplifieacutee et adeacutequate de la reacutealiteacute pour bien la comprendre bien lrsquoexpliquer et au besoin preacutevoir les eacutevegravenements

Pour eacutetudier les pheacutenomegravenes qui retiennent leur attention les eacuteconomistes se servent de plus en plus des modegraveles eacutelaboreacutes partir des corps drsquohypothegraveses deacutecrivant ndash de maniegravere ideacutealiseacutee ndash les comportements des agents eacuteconomiques et les meacutecanismes selon lesquels fonctionne le systegraveme eacuteconomique Ainsi un modegravele peut se deacutefinir comme un scheacutema simplifieacute ou une maquette de la reacutealiteacute et ce titre il nrsquoest pas senseacute ecirctre une copie conforme de la reacutealiteacute Sa valeur ne provient pas essentiellement du nombre de possibiliteacutes de veacuterification empirique qursquoon peut lui coller mais plutocirct de sa capaciteacute agrave reacutesister aux critiques et agrave toutes les tentatives envisageacutees pour la remettre en cause Il convient de distinguer les modegraveles formulation litteacuteraire des modegraveles formuleacutes lrsquoaide drsquoeacutequations Alors que certains modegraveles se construisent sur une suite logique de propositions qui ne sont pas exprimeacutees en termes matheacutematiques il y en a drsquoautres qui se construisent essentiellement sur des eacutequations qui mettent en relation diffeacuterentes variables et diffeacuterents agents eacuteconomiques Le cocircteacute fort de ces modegraveles matheacutematiques est de focaliser lrsquoattention sur un ensemble bien deacutefini de variables et de les mettre en musique afin de tirer les conclusions qui deacutecoulent des hypothegraveses formuleacutees au deacutepart de la reacuteflexion

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Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

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Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

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La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

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Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

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Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

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Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

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x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

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La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

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Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

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Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

23

Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

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Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

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15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

27

152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

28

x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

29

x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

31

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

32

Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

33

Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

34

C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

35

ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

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Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

37

c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

38

Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

39

2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

75

Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

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Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

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c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

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La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

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Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

109

Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

110

Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

111

5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

112

lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

1 Chiang A 1974 Fundamental Methods of Mathematical Economics 2iegraveme eacuted Mc Graw Hill New

York 2 Quandt RE et Henderson J 1982 Microeacuteconomie Formulation matheacutematique eacuteleacutementaire eacuted

Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

Publishing New Delhi 6 Malinvaud E 1969 Leccedilons de theacuteorie microeacuteconomique eacuted Dunod Paris 7 Redslob A 1995 Lrsquoeacuteconomie en pratique 3iegraveme eacutedition Litec Paris 8 Simon C et L Blume 1998 Matheacutematiques pour eacuteconomistes eacuted De Boeck Bruxelles 9 Varian HR 1997 Introduction agrave la microeacuteconomie eacuted De Boeck Bruxelles 10 Varian HR 1995 Analyse microeacuteconomique eacuted De Boeck Bruxelles

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

120

Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

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Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

122

La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

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Contenu du cours

Introduction

1 Analyse du comportement du consommateur 11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur 12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute 121 Les preacutefeacuterences du consommateur 122 La fonction drsquoutiliteacute 123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes 131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande 132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande 133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu 141 Analyse de Slutsky 142 Analyse de Hicks

15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences 151 Les substituts parfaits 152 Les biens compleacutementaires 153 Les biens neutres 154 Les biens indeacutesirables 156 Les preacutefeacuterences concaves

16 Vendre et acheter 17 Choix intertemporels

2 Analyse du comportement du producteur 21 Analyse de la production 211 Analyse de la production dans le court terme 212 Analyse de la production dans le long terme

22 Analyse des coucircts 221 Analyse des coucircts agrave court terme 222 Analyse des coucircts agrave long terme

23 Gestion optimale 231 Gestion optimale dans le court terme 232 Gestion optimale dans le long terme

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme 241 Lemme de Shephard 242 Lemme de Hotelling

3

3 Marcheacutes et formation des prix 31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite 311 La firme concurrentielle 312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute 313 La demande globale ou du marcheacute 314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite 315 Le modegravele simple du marcheacute 316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre 317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix 318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee 319 Modegravele du marcheacute avec inventaire 3110 Concurrence et bien-ecirctre 3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel

32 Le monopole (pur) 321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur 322 La marge ajouteacutee du monopoleur 323 Le bien-ecirctre en situation de monopole 324 Pratique de la discrimination

33 Monopole naturel 34 Concurrence monopolistique 35 Marcheacute des facteurs 351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone 352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier

36 Oligopole et duopole 361 Le modegravele de Stackelberg 362 Le modegravele de Cournot 363 La coalition

37 Theacuteorie des jeux 4 Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre 41 Impocircts et eacutequilibre individuel 411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur 412 Impocircts et eacutequilibre du producteur

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite 421 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif 422 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite

43 Impocirct eacutequilibre et production de monopole 44 Octroi drsquoune subvention

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5 Biens publics et externaliteacutes 51 Biens publics 511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics 512 Fourniture efficace des biens publics 513 Fourniture des biens publics par le vote

52 Les externaliteacutes 521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production 522 Correction des externaliteacutes neacutegatives 523 Exemple drsquoune externaliteacute positive

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Introduction

Qursquoest-ce que la science eacuteconomique Drsquoaucuns deacutefinissent la science eacuteconomique comme lrsquoeacutetude de lrsquoallocation des ressources rares de lrsquohomme pour la reacutealisation drsquoobjectifs alternatifs Cette deacutefinition est certes correcte mais demande quelques preacutecisions pour que le champ drsquoapplication de lrsquoeacuteconomie soit bien circonscrit Et si tel nrsquoest pas le cas on risquerait bien de la confondre drsquoautres disciplines telles que la science politique ou la meacutedecine car le problegraveme drsquoallocation des ressources revecirct un caractegravere geacuteneacuteral et se rapporte lrsquoexistence mecircme de lrsquohomme Lrsquoeacuteconomie peut ecirctre deacutefinie comme une discipline des sciences sociales dont lrsquoobjet drsquoeacutetude est lrsquoallocation des ressources rares (ou limiteacutees) de lrsquohomme la satisfaction de ses besoins multiples et concurrents Elle srsquointeacuteresse essentiellement aux activiteacutes de production de distribution et de consommation des biens ainsi qursquoaux institutions aux cadres reacuteglementaires et lrsquoenvironnement facilitant ces activiteacutes En tant que discipline scientifique lrsquoeacuteconomie se propose drsquoexpliquer les deacuteterminants des comportements des agents eacuteconomiques et de clarifier les relations qui existent entre les variables eacuteconomiques Pour cette fin elle utilise agrave la fois des analyses theacuteoriques et empiriques Les analyses theacuteoriques ont un caractegravere deacuteductif puisque se construisant sur un corps drsquohypothegraveses caractegravere geacuteneacuteral les analyses empiriques par contre se fondent sur des donneacutees statistiques reacuteelles Toutefois ces deux types drsquoanalyse ne srsquoexcluent pas en ce que les analyses theacuteoriques servent de fil conducteur aux analyses empiriques et ces derniegraveres permettent de valider les theacuteories existantes Lrsquoanalyse eacuteconomique procegravede de deux approches positive et normative Lrsquoapproche positive consiste agrave dire ce qui est alors que lrsquoapproche normative parle de ce qui devrait ecirctre Autrement dit une analyse qui se fonde sur lrsquoapproche positive procegravede de la description drsquoune situation particuliegravere ou drsquoun pheacutenomegravene donneacute alors qursquoune eacutetude qui se fonde sur lrsquoapproche normative propose une explication de ce qui devrait ecirctre fait pour que lrsquooptimum ou lrsquoeacutequilibre eacuteconomique soit reacutealiseacute Il importe de noter que les matheacutematiques sont devenues le langage privileacutegieacute des analyses eacuteconomiques Elles permettent non seulement de reacuteduire la subjectiviteacute dans les analyses et prises de position mais aussi de rendre rigoureuses les analyses En effet avec la clarteacute et la logique qursquoelles apportent les matheacutematiques permettent de rendre coheacuterent et rigoureux le raisonnement deacuteveloppeacute Pour se rapprocher de plus en plus de la reacutealiteacute les eacuteconomistes font usage de la modeacutelisation ou des modegraveles Ces derniers sont des scheacutemas simplifieacutes ou des maquettes que construisent les eacuteconomistes ndash lrsquoaide des eacutequations ndash afin de se faire une ideacutee plus ou moins preacutecise sur un pheacutenomegravene eacuteconomique donneacute Ils facilitent ainsi la mise en eacutevidence des aspects les plus saillants drsquoun pheacutenomegravene eacuteconomique ou des principales relations qui existent entre les variables eacuteconomiques

Qursquoest-ce que la microeacuteconomie La microeacuteconomie eacutetudie comment les agents eacuteconomiques ndash pris individuellement ndash prennent leurs deacutecisions de production ou de consommation et elle srsquointeacuteresse aux relations qui existent entre celles-ci Ces deacutecisions individuelles ainsi que leurs interrelations se reacutepercutent au niveau macroeacuteconomique dans ce sens que les agreacutegats macroeacuteconomiques ne sont rien drsquoautre que des sommes de grandeurs microeacuteconomiques On peut agrave juste titre consideacuterer la microeacuteconomie comme lrsquoeacutetude des arbres et la macroeacuteconomie comme lrsquoeacutetude de la forecirct

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Du point de vue de la probleacutematique il y a lieu de noter que la microeacuteconomie srsquointeacuteresse essentiellement aux problegravemes drsquoallocation des ressources par les individus alors que la macroeacuteconomie srsquointeacuteresse aux problegravemes de reacutegulation du cours de lrsquoactiviteacute eacuteconomique La theacuteorie du consommateur propose une explication des choix que devrait opeacuterer un individu compte tenu de toutes les contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoaction alors que la theacuteorie keyneacutesienne du multiplicateur se propose drsquoexpliquer comment est-ce qursquoune politique budgeacutetaire expansionniste peut relancer lrsquoeacuteconomie par une action sur la demande globale La probleacutematique de base de la microeacuteconomie est la recherche de lrsquooptimum et celle de la macroeacuteconomie est la reacutealisation drsquoun eacutequilibre global jugeacute satisfaisants aux yeux de tous les acteurs de lrsquoeacuteconomie

La modeacutelisation en eacuteconomie Les pheacutenomegravenes eacutetudieacutes par la science eacuteconomique ne sont pas si transparents qursquoils ne peuvent le paraicirctre aux yeux des observateurs peu avertis ils sont inextricablement entremecircleacutes entre eux que lrsquoon ne peut preacutetendre les saisir de maniegravere parfaite Ce faisant lrsquoanalyste ndash eacuteconomiste se doit de les appreacutehender travers des grilles de lecture ou drsquointerpreacutetation qui se fondent sur les signaux les plus distinctifs que le monde reacuteel eacutemet Compte tenu de lrsquoobjectif poursuivi par lrsquoeacutetude ou par la recherche lrsquoanalyste doit se faire une repreacutesentation simplifieacutee et adeacutequate de la reacutealiteacute pour bien la comprendre bien lrsquoexpliquer et au besoin preacutevoir les eacutevegravenements

Pour eacutetudier les pheacutenomegravenes qui retiennent leur attention les eacuteconomistes se servent de plus en plus des modegraveles eacutelaboreacutes partir des corps drsquohypothegraveses deacutecrivant ndash de maniegravere ideacutealiseacutee ndash les comportements des agents eacuteconomiques et les meacutecanismes selon lesquels fonctionne le systegraveme eacuteconomique Ainsi un modegravele peut se deacutefinir comme un scheacutema simplifieacute ou une maquette de la reacutealiteacute et ce titre il nrsquoest pas senseacute ecirctre une copie conforme de la reacutealiteacute Sa valeur ne provient pas essentiellement du nombre de possibiliteacutes de veacuterification empirique qursquoon peut lui coller mais plutocirct de sa capaciteacute agrave reacutesister aux critiques et agrave toutes les tentatives envisageacutees pour la remettre en cause Il convient de distinguer les modegraveles formulation litteacuteraire des modegraveles formuleacutes lrsquoaide drsquoeacutequations Alors que certains modegraveles se construisent sur une suite logique de propositions qui ne sont pas exprimeacutees en termes matheacutematiques il y en a drsquoautres qui se construisent essentiellement sur des eacutequations qui mettent en relation diffeacuterentes variables et diffeacuterents agents eacuteconomiques Le cocircteacute fort de ces modegraveles matheacutematiques est de focaliser lrsquoattention sur un ensemble bien deacutefini de variables et de les mettre en musique afin de tirer les conclusions qui deacutecoulent des hypothegraveses formuleacutees au deacutepart de la reacuteflexion

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1

Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

9

La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

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Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

11

Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

16

La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

17

Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

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Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

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Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

24

Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

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15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

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152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

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x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

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x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

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x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

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Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

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C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

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ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

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Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

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c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

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Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

39

2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

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Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

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Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

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La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

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Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

95

La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

96

Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

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Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

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Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

111

5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

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lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

1 Chiang A 1974 Fundamental Methods of Mathematical Economics 2iegraveme eacuted Mc Graw Hill New

York 2 Quandt RE et Henderson J 1982 Microeacuteconomie Formulation matheacutematique eacuteleacutementaire eacuted

Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

Publishing New Delhi 6 Malinvaud E 1969 Leccedilons de theacuteorie microeacuteconomique eacuted Dunod Paris 7 Redslob A 1995 Lrsquoeacuteconomie en pratique 3iegraveme eacutedition Litec Paris 8 Simon C et L Blume 1998 Matheacutematiques pour eacuteconomistes eacuted De Boeck Bruxelles 9 Varian HR 1997 Introduction agrave la microeacuteconomie eacuted De Boeck Bruxelles 10 Varian HR 1995 Analyse microeacuteconomique eacuted De Boeck Bruxelles

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

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Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

121

Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

122

La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

3

3 Marcheacutes et formation des prix 31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite 311 La firme concurrentielle 312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute 313 La demande globale ou du marcheacute 314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite 315 Le modegravele simple du marcheacute 316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre 317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix 318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee 319 Modegravele du marcheacute avec inventaire 3110 Concurrence et bien-ecirctre 3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel

32 Le monopole (pur) 321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur 322 La marge ajouteacutee du monopoleur 323 Le bien-ecirctre en situation de monopole 324 Pratique de la discrimination

33 Monopole naturel 34 Concurrence monopolistique 35 Marcheacute des facteurs 351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone 352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier

36 Oligopole et duopole 361 Le modegravele de Stackelberg 362 Le modegravele de Cournot 363 La coalition

37 Theacuteorie des jeux 4 Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre 41 Impocircts et eacutequilibre individuel 411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur 412 Impocircts et eacutequilibre du producteur

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite 421 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif 422 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite

43 Impocirct eacutequilibre et production de monopole 44 Octroi drsquoune subvention

4

5 Biens publics et externaliteacutes 51 Biens publics 511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics 512 Fourniture efficace des biens publics 513 Fourniture des biens publics par le vote

52 Les externaliteacutes 521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production 522 Correction des externaliteacutes neacutegatives 523 Exemple drsquoune externaliteacute positive

5

Introduction

Qursquoest-ce que la science eacuteconomique Drsquoaucuns deacutefinissent la science eacuteconomique comme lrsquoeacutetude de lrsquoallocation des ressources rares de lrsquohomme pour la reacutealisation drsquoobjectifs alternatifs Cette deacutefinition est certes correcte mais demande quelques preacutecisions pour que le champ drsquoapplication de lrsquoeacuteconomie soit bien circonscrit Et si tel nrsquoest pas le cas on risquerait bien de la confondre drsquoautres disciplines telles que la science politique ou la meacutedecine car le problegraveme drsquoallocation des ressources revecirct un caractegravere geacuteneacuteral et se rapporte lrsquoexistence mecircme de lrsquohomme Lrsquoeacuteconomie peut ecirctre deacutefinie comme une discipline des sciences sociales dont lrsquoobjet drsquoeacutetude est lrsquoallocation des ressources rares (ou limiteacutees) de lrsquohomme la satisfaction de ses besoins multiples et concurrents Elle srsquointeacuteresse essentiellement aux activiteacutes de production de distribution et de consommation des biens ainsi qursquoaux institutions aux cadres reacuteglementaires et lrsquoenvironnement facilitant ces activiteacutes En tant que discipline scientifique lrsquoeacuteconomie se propose drsquoexpliquer les deacuteterminants des comportements des agents eacuteconomiques et de clarifier les relations qui existent entre les variables eacuteconomiques Pour cette fin elle utilise agrave la fois des analyses theacuteoriques et empiriques Les analyses theacuteoriques ont un caractegravere deacuteductif puisque se construisant sur un corps drsquohypothegraveses caractegravere geacuteneacuteral les analyses empiriques par contre se fondent sur des donneacutees statistiques reacuteelles Toutefois ces deux types drsquoanalyse ne srsquoexcluent pas en ce que les analyses theacuteoriques servent de fil conducteur aux analyses empiriques et ces derniegraveres permettent de valider les theacuteories existantes Lrsquoanalyse eacuteconomique procegravede de deux approches positive et normative Lrsquoapproche positive consiste agrave dire ce qui est alors que lrsquoapproche normative parle de ce qui devrait ecirctre Autrement dit une analyse qui se fonde sur lrsquoapproche positive procegravede de la description drsquoune situation particuliegravere ou drsquoun pheacutenomegravene donneacute alors qursquoune eacutetude qui se fonde sur lrsquoapproche normative propose une explication de ce qui devrait ecirctre fait pour que lrsquooptimum ou lrsquoeacutequilibre eacuteconomique soit reacutealiseacute Il importe de noter que les matheacutematiques sont devenues le langage privileacutegieacute des analyses eacuteconomiques Elles permettent non seulement de reacuteduire la subjectiviteacute dans les analyses et prises de position mais aussi de rendre rigoureuses les analyses En effet avec la clarteacute et la logique qursquoelles apportent les matheacutematiques permettent de rendre coheacuterent et rigoureux le raisonnement deacuteveloppeacute Pour se rapprocher de plus en plus de la reacutealiteacute les eacuteconomistes font usage de la modeacutelisation ou des modegraveles Ces derniers sont des scheacutemas simplifieacutes ou des maquettes que construisent les eacuteconomistes ndash lrsquoaide des eacutequations ndash afin de se faire une ideacutee plus ou moins preacutecise sur un pheacutenomegravene eacuteconomique donneacute Ils facilitent ainsi la mise en eacutevidence des aspects les plus saillants drsquoun pheacutenomegravene eacuteconomique ou des principales relations qui existent entre les variables eacuteconomiques

Qursquoest-ce que la microeacuteconomie La microeacuteconomie eacutetudie comment les agents eacuteconomiques ndash pris individuellement ndash prennent leurs deacutecisions de production ou de consommation et elle srsquointeacuteresse aux relations qui existent entre celles-ci Ces deacutecisions individuelles ainsi que leurs interrelations se reacutepercutent au niveau macroeacuteconomique dans ce sens que les agreacutegats macroeacuteconomiques ne sont rien drsquoautre que des sommes de grandeurs microeacuteconomiques On peut agrave juste titre consideacuterer la microeacuteconomie comme lrsquoeacutetude des arbres et la macroeacuteconomie comme lrsquoeacutetude de la forecirct

6

Du point de vue de la probleacutematique il y a lieu de noter que la microeacuteconomie srsquointeacuteresse essentiellement aux problegravemes drsquoallocation des ressources par les individus alors que la macroeacuteconomie srsquointeacuteresse aux problegravemes de reacutegulation du cours de lrsquoactiviteacute eacuteconomique La theacuteorie du consommateur propose une explication des choix que devrait opeacuterer un individu compte tenu de toutes les contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoaction alors que la theacuteorie keyneacutesienne du multiplicateur se propose drsquoexpliquer comment est-ce qursquoune politique budgeacutetaire expansionniste peut relancer lrsquoeacuteconomie par une action sur la demande globale La probleacutematique de base de la microeacuteconomie est la recherche de lrsquooptimum et celle de la macroeacuteconomie est la reacutealisation drsquoun eacutequilibre global jugeacute satisfaisants aux yeux de tous les acteurs de lrsquoeacuteconomie

La modeacutelisation en eacuteconomie Les pheacutenomegravenes eacutetudieacutes par la science eacuteconomique ne sont pas si transparents qursquoils ne peuvent le paraicirctre aux yeux des observateurs peu avertis ils sont inextricablement entremecircleacutes entre eux que lrsquoon ne peut preacutetendre les saisir de maniegravere parfaite Ce faisant lrsquoanalyste ndash eacuteconomiste se doit de les appreacutehender travers des grilles de lecture ou drsquointerpreacutetation qui se fondent sur les signaux les plus distinctifs que le monde reacuteel eacutemet Compte tenu de lrsquoobjectif poursuivi par lrsquoeacutetude ou par la recherche lrsquoanalyste doit se faire une repreacutesentation simplifieacutee et adeacutequate de la reacutealiteacute pour bien la comprendre bien lrsquoexpliquer et au besoin preacutevoir les eacutevegravenements

Pour eacutetudier les pheacutenomegravenes qui retiennent leur attention les eacuteconomistes se servent de plus en plus des modegraveles eacutelaboreacutes partir des corps drsquohypothegraveses deacutecrivant ndash de maniegravere ideacutealiseacutee ndash les comportements des agents eacuteconomiques et les meacutecanismes selon lesquels fonctionne le systegraveme eacuteconomique Ainsi un modegravele peut se deacutefinir comme un scheacutema simplifieacute ou une maquette de la reacutealiteacute et ce titre il nrsquoest pas senseacute ecirctre une copie conforme de la reacutealiteacute Sa valeur ne provient pas essentiellement du nombre de possibiliteacutes de veacuterification empirique qursquoon peut lui coller mais plutocirct de sa capaciteacute agrave reacutesister aux critiques et agrave toutes les tentatives envisageacutees pour la remettre en cause Il convient de distinguer les modegraveles formulation litteacuteraire des modegraveles formuleacutes lrsquoaide drsquoeacutequations Alors que certains modegraveles se construisent sur une suite logique de propositions qui ne sont pas exprimeacutees en termes matheacutematiques il y en a drsquoautres qui se construisent essentiellement sur des eacutequations qui mettent en relation diffeacuterentes variables et diffeacuterents agents eacuteconomiques Le cocircteacute fort de ces modegraveles matheacutematiques est de focaliser lrsquoattention sur un ensemble bien deacutefini de variables et de les mettre en musique afin de tirer les conclusions qui deacutecoulent des hypothegraveses formuleacutees au deacutepart de la reacuteflexion

7

1

Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

9

La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

10

Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

11

Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

16

La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

17

Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

18

Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

23

Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

24

Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

25

15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

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152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

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x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

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x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

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Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

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C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

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ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

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Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

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c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

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Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

39

2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

75

Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

95

La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

96

Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

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Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

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Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

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5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

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lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

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Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

120

Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

121

Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

122

La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

4

5 Biens publics et externaliteacutes 51 Biens publics 511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics 512 Fourniture efficace des biens publics 513 Fourniture des biens publics par le vote

52 Les externaliteacutes 521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production 522 Correction des externaliteacutes neacutegatives 523 Exemple drsquoune externaliteacute positive

5

Introduction

Qursquoest-ce que la science eacuteconomique Drsquoaucuns deacutefinissent la science eacuteconomique comme lrsquoeacutetude de lrsquoallocation des ressources rares de lrsquohomme pour la reacutealisation drsquoobjectifs alternatifs Cette deacutefinition est certes correcte mais demande quelques preacutecisions pour que le champ drsquoapplication de lrsquoeacuteconomie soit bien circonscrit Et si tel nrsquoest pas le cas on risquerait bien de la confondre drsquoautres disciplines telles que la science politique ou la meacutedecine car le problegraveme drsquoallocation des ressources revecirct un caractegravere geacuteneacuteral et se rapporte lrsquoexistence mecircme de lrsquohomme Lrsquoeacuteconomie peut ecirctre deacutefinie comme une discipline des sciences sociales dont lrsquoobjet drsquoeacutetude est lrsquoallocation des ressources rares (ou limiteacutees) de lrsquohomme la satisfaction de ses besoins multiples et concurrents Elle srsquointeacuteresse essentiellement aux activiteacutes de production de distribution et de consommation des biens ainsi qursquoaux institutions aux cadres reacuteglementaires et lrsquoenvironnement facilitant ces activiteacutes En tant que discipline scientifique lrsquoeacuteconomie se propose drsquoexpliquer les deacuteterminants des comportements des agents eacuteconomiques et de clarifier les relations qui existent entre les variables eacuteconomiques Pour cette fin elle utilise agrave la fois des analyses theacuteoriques et empiriques Les analyses theacuteoriques ont un caractegravere deacuteductif puisque se construisant sur un corps drsquohypothegraveses caractegravere geacuteneacuteral les analyses empiriques par contre se fondent sur des donneacutees statistiques reacuteelles Toutefois ces deux types drsquoanalyse ne srsquoexcluent pas en ce que les analyses theacuteoriques servent de fil conducteur aux analyses empiriques et ces derniegraveres permettent de valider les theacuteories existantes Lrsquoanalyse eacuteconomique procegravede de deux approches positive et normative Lrsquoapproche positive consiste agrave dire ce qui est alors que lrsquoapproche normative parle de ce qui devrait ecirctre Autrement dit une analyse qui se fonde sur lrsquoapproche positive procegravede de la description drsquoune situation particuliegravere ou drsquoun pheacutenomegravene donneacute alors qursquoune eacutetude qui se fonde sur lrsquoapproche normative propose une explication de ce qui devrait ecirctre fait pour que lrsquooptimum ou lrsquoeacutequilibre eacuteconomique soit reacutealiseacute Il importe de noter que les matheacutematiques sont devenues le langage privileacutegieacute des analyses eacuteconomiques Elles permettent non seulement de reacuteduire la subjectiviteacute dans les analyses et prises de position mais aussi de rendre rigoureuses les analyses En effet avec la clarteacute et la logique qursquoelles apportent les matheacutematiques permettent de rendre coheacuterent et rigoureux le raisonnement deacuteveloppeacute Pour se rapprocher de plus en plus de la reacutealiteacute les eacuteconomistes font usage de la modeacutelisation ou des modegraveles Ces derniers sont des scheacutemas simplifieacutes ou des maquettes que construisent les eacuteconomistes ndash lrsquoaide des eacutequations ndash afin de se faire une ideacutee plus ou moins preacutecise sur un pheacutenomegravene eacuteconomique donneacute Ils facilitent ainsi la mise en eacutevidence des aspects les plus saillants drsquoun pheacutenomegravene eacuteconomique ou des principales relations qui existent entre les variables eacuteconomiques

Qursquoest-ce que la microeacuteconomie La microeacuteconomie eacutetudie comment les agents eacuteconomiques ndash pris individuellement ndash prennent leurs deacutecisions de production ou de consommation et elle srsquointeacuteresse aux relations qui existent entre celles-ci Ces deacutecisions individuelles ainsi que leurs interrelations se reacutepercutent au niveau macroeacuteconomique dans ce sens que les agreacutegats macroeacuteconomiques ne sont rien drsquoautre que des sommes de grandeurs microeacuteconomiques On peut agrave juste titre consideacuterer la microeacuteconomie comme lrsquoeacutetude des arbres et la macroeacuteconomie comme lrsquoeacutetude de la forecirct

6

Du point de vue de la probleacutematique il y a lieu de noter que la microeacuteconomie srsquointeacuteresse essentiellement aux problegravemes drsquoallocation des ressources par les individus alors que la macroeacuteconomie srsquointeacuteresse aux problegravemes de reacutegulation du cours de lrsquoactiviteacute eacuteconomique La theacuteorie du consommateur propose une explication des choix que devrait opeacuterer un individu compte tenu de toutes les contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoaction alors que la theacuteorie keyneacutesienne du multiplicateur se propose drsquoexpliquer comment est-ce qursquoune politique budgeacutetaire expansionniste peut relancer lrsquoeacuteconomie par une action sur la demande globale La probleacutematique de base de la microeacuteconomie est la recherche de lrsquooptimum et celle de la macroeacuteconomie est la reacutealisation drsquoun eacutequilibre global jugeacute satisfaisants aux yeux de tous les acteurs de lrsquoeacuteconomie

La modeacutelisation en eacuteconomie Les pheacutenomegravenes eacutetudieacutes par la science eacuteconomique ne sont pas si transparents qursquoils ne peuvent le paraicirctre aux yeux des observateurs peu avertis ils sont inextricablement entremecircleacutes entre eux que lrsquoon ne peut preacutetendre les saisir de maniegravere parfaite Ce faisant lrsquoanalyste ndash eacuteconomiste se doit de les appreacutehender travers des grilles de lecture ou drsquointerpreacutetation qui se fondent sur les signaux les plus distinctifs que le monde reacuteel eacutemet Compte tenu de lrsquoobjectif poursuivi par lrsquoeacutetude ou par la recherche lrsquoanalyste doit se faire une repreacutesentation simplifieacutee et adeacutequate de la reacutealiteacute pour bien la comprendre bien lrsquoexpliquer et au besoin preacutevoir les eacutevegravenements

Pour eacutetudier les pheacutenomegravenes qui retiennent leur attention les eacuteconomistes se servent de plus en plus des modegraveles eacutelaboreacutes partir des corps drsquohypothegraveses deacutecrivant ndash de maniegravere ideacutealiseacutee ndash les comportements des agents eacuteconomiques et les meacutecanismes selon lesquels fonctionne le systegraveme eacuteconomique Ainsi un modegravele peut se deacutefinir comme un scheacutema simplifieacute ou une maquette de la reacutealiteacute et ce titre il nrsquoest pas senseacute ecirctre une copie conforme de la reacutealiteacute Sa valeur ne provient pas essentiellement du nombre de possibiliteacutes de veacuterification empirique qursquoon peut lui coller mais plutocirct de sa capaciteacute agrave reacutesister aux critiques et agrave toutes les tentatives envisageacutees pour la remettre en cause Il convient de distinguer les modegraveles formulation litteacuteraire des modegraveles formuleacutes lrsquoaide drsquoeacutequations Alors que certains modegraveles se construisent sur une suite logique de propositions qui ne sont pas exprimeacutees en termes matheacutematiques il y en a drsquoautres qui se construisent essentiellement sur des eacutequations qui mettent en relation diffeacuterentes variables et diffeacuterents agents eacuteconomiques Le cocircteacute fort de ces modegraveles matheacutematiques est de focaliser lrsquoattention sur un ensemble bien deacutefini de variables et de les mettre en musique afin de tirer les conclusions qui deacutecoulent des hypothegraveses formuleacutees au deacutepart de la reacuteflexion

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1

Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

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La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

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Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

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Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

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Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

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Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

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La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

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Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

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Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

23

Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

24

Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

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15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

27

152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

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x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

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x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

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Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

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C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

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ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

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Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

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c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

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Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

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2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

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Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

95

La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

96

Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

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Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

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Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

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5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

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lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

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Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

120

Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

121

Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

122

La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

5

Introduction

Qursquoest-ce que la science eacuteconomique Drsquoaucuns deacutefinissent la science eacuteconomique comme lrsquoeacutetude de lrsquoallocation des ressources rares de lrsquohomme pour la reacutealisation drsquoobjectifs alternatifs Cette deacutefinition est certes correcte mais demande quelques preacutecisions pour que le champ drsquoapplication de lrsquoeacuteconomie soit bien circonscrit Et si tel nrsquoest pas le cas on risquerait bien de la confondre drsquoautres disciplines telles que la science politique ou la meacutedecine car le problegraveme drsquoallocation des ressources revecirct un caractegravere geacuteneacuteral et se rapporte lrsquoexistence mecircme de lrsquohomme Lrsquoeacuteconomie peut ecirctre deacutefinie comme une discipline des sciences sociales dont lrsquoobjet drsquoeacutetude est lrsquoallocation des ressources rares (ou limiteacutees) de lrsquohomme la satisfaction de ses besoins multiples et concurrents Elle srsquointeacuteresse essentiellement aux activiteacutes de production de distribution et de consommation des biens ainsi qursquoaux institutions aux cadres reacuteglementaires et lrsquoenvironnement facilitant ces activiteacutes En tant que discipline scientifique lrsquoeacuteconomie se propose drsquoexpliquer les deacuteterminants des comportements des agents eacuteconomiques et de clarifier les relations qui existent entre les variables eacuteconomiques Pour cette fin elle utilise agrave la fois des analyses theacuteoriques et empiriques Les analyses theacuteoriques ont un caractegravere deacuteductif puisque se construisant sur un corps drsquohypothegraveses caractegravere geacuteneacuteral les analyses empiriques par contre se fondent sur des donneacutees statistiques reacuteelles Toutefois ces deux types drsquoanalyse ne srsquoexcluent pas en ce que les analyses theacuteoriques servent de fil conducteur aux analyses empiriques et ces derniegraveres permettent de valider les theacuteories existantes Lrsquoanalyse eacuteconomique procegravede de deux approches positive et normative Lrsquoapproche positive consiste agrave dire ce qui est alors que lrsquoapproche normative parle de ce qui devrait ecirctre Autrement dit une analyse qui se fonde sur lrsquoapproche positive procegravede de la description drsquoune situation particuliegravere ou drsquoun pheacutenomegravene donneacute alors qursquoune eacutetude qui se fonde sur lrsquoapproche normative propose une explication de ce qui devrait ecirctre fait pour que lrsquooptimum ou lrsquoeacutequilibre eacuteconomique soit reacutealiseacute Il importe de noter que les matheacutematiques sont devenues le langage privileacutegieacute des analyses eacuteconomiques Elles permettent non seulement de reacuteduire la subjectiviteacute dans les analyses et prises de position mais aussi de rendre rigoureuses les analyses En effet avec la clarteacute et la logique qursquoelles apportent les matheacutematiques permettent de rendre coheacuterent et rigoureux le raisonnement deacuteveloppeacute Pour se rapprocher de plus en plus de la reacutealiteacute les eacuteconomistes font usage de la modeacutelisation ou des modegraveles Ces derniers sont des scheacutemas simplifieacutes ou des maquettes que construisent les eacuteconomistes ndash lrsquoaide des eacutequations ndash afin de se faire une ideacutee plus ou moins preacutecise sur un pheacutenomegravene eacuteconomique donneacute Ils facilitent ainsi la mise en eacutevidence des aspects les plus saillants drsquoun pheacutenomegravene eacuteconomique ou des principales relations qui existent entre les variables eacuteconomiques

Qursquoest-ce que la microeacuteconomie La microeacuteconomie eacutetudie comment les agents eacuteconomiques ndash pris individuellement ndash prennent leurs deacutecisions de production ou de consommation et elle srsquointeacuteresse aux relations qui existent entre celles-ci Ces deacutecisions individuelles ainsi que leurs interrelations se reacutepercutent au niveau macroeacuteconomique dans ce sens que les agreacutegats macroeacuteconomiques ne sont rien drsquoautre que des sommes de grandeurs microeacuteconomiques On peut agrave juste titre consideacuterer la microeacuteconomie comme lrsquoeacutetude des arbres et la macroeacuteconomie comme lrsquoeacutetude de la forecirct

6

Du point de vue de la probleacutematique il y a lieu de noter que la microeacuteconomie srsquointeacuteresse essentiellement aux problegravemes drsquoallocation des ressources par les individus alors que la macroeacuteconomie srsquointeacuteresse aux problegravemes de reacutegulation du cours de lrsquoactiviteacute eacuteconomique La theacuteorie du consommateur propose une explication des choix que devrait opeacuterer un individu compte tenu de toutes les contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoaction alors que la theacuteorie keyneacutesienne du multiplicateur se propose drsquoexpliquer comment est-ce qursquoune politique budgeacutetaire expansionniste peut relancer lrsquoeacuteconomie par une action sur la demande globale La probleacutematique de base de la microeacuteconomie est la recherche de lrsquooptimum et celle de la macroeacuteconomie est la reacutealisation drsquoun eacutequilibre global jugeacute satisfaisants aux yeux de tous les acteurs de lrsquoeacuteconomie

La modeacutelisation en eacuteconomie Les pheacutenomegravenes eacutetudieacutes par la science eacuteconomique ne sont pas si transparents qursquoils ne peuvent le paraicirctre aux yeux des observateurs peu avertis ils sont inextricablement entremecircleacutes entre eux que lrsquoon ne peut preacutetendre les saisir de maniegravere parfaite Ce faisant lrsquoanalyste ndash eacuteconomiste se doit de les appreacutehender travers des grilles de lecture ou drsquointerpreacutetation qui se fondent sur les signaux les plus distinctifs que le monde reacuteel eacutemet Compte tenu de lrsquoobjectif poursuivi par lrsquoeacutetude ou par la recherche lrsquoanalyste doit se faire une repreacutesentation simplifieacutee et adeacutequate de la reacutealiteacute pour bien la comprendre bien lrsquoexpliquer et au besoin preacutevoir les eacutevegravenements

Pour eacutetudier les pheacutenomegravenes qui retiennent leur attention les eacuteconomistes se servent de plus en plus des modegraveles eacutelaboreacutes partir des corps drsquohypothegraveses deacutecrivant ndash de maniegravere ideacutealiseacutee ndash les comportements des agents eacuteconomiques et les meacutecanismes selon lesquels fonctionne le systegraveme eacuteconomique Ainsi un modegravele peut se deacutefinir comme un scheacutema simplifieacute ou une maquette de la reacutealiteacute et ce titre il nrsquoest pas senseacute ecirctre une copie conforme de la reacutealiteacute Sa valeur ne provient pas essentiellement du nombre de possibiliteacutes de veacuterification empirique qursquoon peut lui coller mais plutocirct de sa capaciteacute agrave reacutesister aux critiques et agrave toutes les tentatives envisageacutees pour la remettre en cause Il convient de distinguer les modegraveles formulation litteacuteraire des modegraveles formuleacutes lrsquoaide drsquoeacutequations Alors que certains modegraveles se construisent sur une suite logique de propositions qui ne sont pas exprimeacutees en termes matheacutematiques il y en a drsquoautres qui se construisent essentiellement sur des eacutequations qui mettent en relation diffeacuterentes variables et diffeacuterents agents eacuteconomiques Le cocircteacute fort de ces modegraveles matheacutematiques est de focaliser lrsquoattention sur un ensemble bien deacutefini de variables et de les mettre en musique afin de tirer les conclusions qui deacutecoulent des hypothegraveses formuleacutees au deacutepart de la reacuteflexion

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1

Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

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La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

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Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

11

Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

16

La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

17

Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

18

Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

23

Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

24

Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

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15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

27

152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

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x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

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x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

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Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

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Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

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C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

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ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

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Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

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c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

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Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

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2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

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Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

95

La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

96

Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

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Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

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Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

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5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

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lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

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Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

120

Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

121

Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

122

La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

6

Du point de vue de la probleacutematique il y a lieu de noter que la microeacuteconomie srsquointeacuteresse essentiellement aux problegravemes drsquoallocation des ressources par les individus alors que la macroeacuteconomie srsquointeacuteresse aux problegravemes de reacutegulation du cours de lrsquoactiviteacute eacuteconomique La theacuteorie du consommateur propose une explication des choix que devrait opeacuterer un individu compte tenu de toutes les contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoaction alors que la theacuteorie keyneacutesienne du multiplicateur se propose drsquoexpliquer comment est-ce qursquoune politique budgeacutetaire expansionniste peut relancer lrsquoeacuteconomie par une action sur la demande globale La probleacutematique de base de la microeacuteconomie est la recherche de lrsquooptimum et celle de la macroeacuteconomie est la reacutealisation drsquoun eacutequilibre global jugeacute satisfaisants aux yeux de tous les acteurs de lrsquoeacuteconomie

La modeacutelisation en eacuteconomie Les pheacutenomegravenes eacutetudieacutes par la science eacuteconomique ne sont pas si transparents qursquoils ne peuvent le paraicirctre aux yeux des observateurs peu avertis ils sont inextricablement entremecircleacutes entre eux que lrsquoon ne peut preacutetendre les saisir de maniegravere parfaite Ce faisant lrsquoanalyste ndash eacuteconomiste se doit de les appreacutehender travers des grilles de lecture ou drsquointerpreacutetation qui se fondent sur les signaux les plus distinctifs que le monde reacuteel eacutemet Compte tenu de lrsquoobjectif poursuivi par lrsquoeacutetude ou par la recherche lrsquoanalyste doit se faire une repreacutesentation simplifieacutee et adeacutequate de la reacutealiteacute pour bien la comprendre bien lrsquoexpliquer et au besoin preacutevoir les eacutevegravenements

Pour eacutetudier les pheacutenomegravenes qui retiennent leur attention les eacuteconomistes se servent de plus en plus des modegraveles eacutelaboreacutes partir des corps drsquohypothegraveses deacutecrivant ndash de maniegravere ideacutealiseacutee ndash les comportements des agents eacuteconomiques et les meacutecanismes selon lesquels fonctionne le systegraveme eacuteconomique Ainsi un modegravele peut se deacutefinir comme un scheacutema simplifieacute ou une maquette de la reacutealiteacute et ce titre il nrsquoest pas senseacute ecirctre une copie conforme de la reacutealiteacute Sa valeur ne provient pas essentiellement du nombre de possibiliteacutes de veacuterification empirique qursquoon peut lui coller mais plutocirct de sa capaciteacute agrave reacutesister aux critiques et agrave toutes les tentatives envisageacutees pour la remettre en cause Il convient de distinguer les modegraveles formulation litteacuteraire des modegraveles formuleacutes lrsquoaide drsquoeacutequations Alors que certains modegraveles se construisent sur une suite logique de propositions qui ne sont pas exprimeacutees en termes matheacutematiques il y en a drsquoautres qui se construisent essentiellement sur des eacutequations qui mettent en relation diffeacuterentes variables et diffeacuterents agents eacuteconomiques Le cocircteacute fort de ces modegraveles matheacutematiques est de focaliser lrsquoattention sur un ensemble bien deacutefini de variables et de les mettre en musique afin de tirer les conclusions qui deacutecoulent des hypothegraveses formuleacutees au deacutepart de la reacuteflexion

7

1

Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

9

La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

10

Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

11

Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

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La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

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Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

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Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

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Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

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Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

25

15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

27

152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

28

x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

29

x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

31

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

32

Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

33

Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

34

C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

35

ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

36

Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

37

c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

38

Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

39

2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

75

Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

95

La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

96

Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

109

Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

110

Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

111

5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

112

lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

1 Chiang A 1974 Fundamental Methods of Mathematical Economics 2iegraveme eacuted Mc Graw Hill New

York 2 Quandt RE et Henderson J 1982 Microeacuteconomie Formulation matheacutematique eacuteleacutementaire eacuted

Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

Publishing New Delhi 6 Malinvaud E 1969 Leccedilons de theacuteorie microeacuteconomique eacuted Dunod Paris 7 Redslob A 1995 Lrsquoeacuteconomie en pratique 3iegraveme eacutedition Litec Paris 8 Simon C et L Blume 1998 Matheacutematiques pour eacuteconomistes eacuted De Boeck Bruxelles 9 Varian HR 1997 Introduction agrave la microeacuteconomie eacuted De Boeck Bruxelles 10 Varian HR 1995 Analyse microeacuteconomique eacuted De Boeck Bruxelles

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

120

Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

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Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

122

La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

7

1

Analyse du comportement du consommateur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du consommateur se propose drsquoexpliquer comment se forme la demande individuelle des biens A cet eacutegard elle postule que tout individu est rationnel dans son processus de prise de deacutecisions Ceci suppose donc qursquoil est soumis un ensemble

drsquoaxiomes eacutetablissant ou caracteacuterisant son comportement - axiome de comparaison - axiome reacuteflexiviteacute - axiome de transitiviteacute Il faut noter que ces axiomes garantissent lrsquoexistence de la fonction drsquoutiliteacute du consommateur Les preacutefeacuterences variant drsquoune personne une autre les biens eacutetant oneacutereux et les individus nrsquoayant pas le mecircme niveau de revenu la theacuteorie suggegravere qursquoun consommateur rationnel est celui qui dans son ensemble budgeacutetaire ou ensemble de consommation arrive agrave identifier et agrave consommer le panier de biens lui procurant le maximum de satisfaction

11 Analyse des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur Dans lrsquoanalyse du comportement du consommateur il srsquoavegravere important de deacutefinir en premier lieu ses possibiliteacutes drsquoaction compte tenu de son revenu et des prix en vigueur sur le marcheacute Une personne qui dispose drsquoun revenu moneacutetaire de 100 ne peut pas se permettre drsquoacheter un bien qui 101 UM ou plus Par contre il peut se permettre drsquoacheter ndash au mecircme moment ndash deux uniteacutes drsquoun bien qui coucircte 30 UM et une uniteacute drsquoun autre qui coucircte 40 UM Pour bien eacutetudier les choix ou deacutecisions du consommateur il faut degraves le deacutepart savoir ce qursquoil peut faire sur le marcheacute avec le pouvoir drsquoachat que lui confegravere son revenu moneacutetaire Ce revient eacutetudier lrsquoensemble des eacuteleacutements qui restreignent la liberteacute drsquoaction du consommateur La premiegravere contrainte qui srsquoimpose lui est une contrainte financiegravere car les biens eacuteconomiques sont par deacutefinition des biens oneacutereux La nature peut eacutegalement imposer des contraintes au consommateur selon que le bien qursquoil souhaite consommer est disponible des moments de temps preacutecis (crsquoest le cas des fruits saisonniers) ou agrave des endroits preacutecis (crsquoest le cas du sable utiliser pour la construction)

Drsquoautres contraintes aux possibiliteacutes drsquoaction du consommateur peuvent reacutesulter des mesures prises par lrsquoEtat ou les collectiviteacutes publiques En effet la leveacutee drsquoune taxe sur la vente drsquoun bien la fixation des quotas dans la consommation de certains biens et lrsquointerdiction de consommer certains biens sont autant de mesures qui ne vont pas sans conseacutequence sur lrsquoaptitude drsquoun individu assouvir ses besoins Il srsquoavegravere donc important de deacutefinir lrsquoensemble de faisabiliteacute ou des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur crsquoest-agrave-dire lrsquoensemble des paniers de biens qui lui sont accessibles car crsquoest lrsquointeacuterieur de cet ensemble qursquoil faudra rechercher le meilleur des paniers (de biens) ses yeux

Qursquoentend-on par ensemble budgeacutetaire Par ensemble budgeacutetaire EB on entend lrsquoensemble des paniers de biens que le consommateur peut se procurer compte tenu de son revenu et des prix des biens sur le marcheacute Autrement dit crsquoest lrsquoensemble des paniers de biens financiegraverement reacutealisables ou accessibles au consommateur Consideacuterons le tableau ci-apregraves

LL

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

9

La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

10

Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

11

Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

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La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

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Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

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Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

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132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

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x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

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Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

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14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

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Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

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Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

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15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

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152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

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x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

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x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

31

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

32

Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

33

Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

34

C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

35

ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

36

Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

37

c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

38

Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

39

2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

68

Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

75

Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

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La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

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Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

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372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

107

Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

108

45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

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Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

110

Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

111

5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

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lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

1 Chiang A 1974 Fundamental Methods of Mathematical Economics 2iegraveme eacuted Mc Graw Hill New

York 2 Quandt RE et Henderson J 1982 Microeacuteconomie Formulation matheacutematique eacuteleacutementaire eacuted

Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

Publishing New Delhi 6 Malinvaud E 1969 Leccedilons de theacuteorie microeacuteconomique eacuted Dunod Paris 7 Redslob A 1995 Lrsquoeacuteconomie en pratique 3iegraveme eacutedition Litec Paris 8 Simon C et L Blume 1998 Matheacutematiques pour eacuteconomistes eacuted De Boeck Bruxelles 9 Varian HR 1997 Introduction agrave la microeacuteconomie eacuted De Boeck Bruxelles 10 Varian HR 1995 Analyse microeacuteconomique eacuted De Boeck Bruxelles

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

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Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

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Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

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La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme

8

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2 Prix du bien 2

Deacutepense totale Revenu Observation

x1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 M

12 10 21 5 225 200 Inaccessible 11 10 20 5 210 200 Inaccessible 10 10 20 5 200 200 Accessible 9 10 18 5 180 200 Accessible 8 10 18 5 170 200 Accessible 8 10 17 5 165 200 Accessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

Il ressort de ce tableau que les paniers accessibles aux consommateurs sont ceux qui suscitent une deacutepense infeacuterieure ou eacutegale au revenu et les paniers inaccessibles sont ceux qui entraicircnent une deacutepense totale supeacuterieure au revenu alloueacute la consommation de lrsquoindividu De maniegravere formelle on peut deacutefinir lrsquoensemble budgeacutetaire EB comme suit Soit un individu qui est supposeacute acheter n biens et dont le revenu est m Si les prix des biens sur le marcheacute sont p1 p2 hellip pn son ensemble budgeacutetaire se deacutefinit en compreacutehension de la sorte

EB = (x1 x2 hellip xn) Rn+ telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

Le panier de biens (x1 x2 hellip xn) peut ecirctre repreacutesenteacute par un vecteur colonne X [ce qui veut dire que X = (x1 x2hellip xn)] et les prix peuvent ecirctre repreacutesenteacutes par le vecteur ligne P Avec cette notation lrsquoensemble budgeacutetaire peut ecirctre deacutefini de la sorte

EB = X Rn+ telle que m ge PX

Lrsquoappartenance des paniers ou vecteurs de biens lrsquoensemble Rn

+ laisse entendre que les quantiteacutes de biens ne peuvent ecirctre que supeacuterieures ou eacutegales agrave zeacutero (contrainte de non neacutegativiteacute) Au regard de cette deacutefinition on peut dire que crsquoest lrsquoensemble des paniers qui ne coucirctent pas plus que le revenu de lrsquoindividu crsquoest-agrave-dire qui coucirctent moins ou exactement m Si le nombre de biens est de deux la contrainte budgeacutetaire srsquoeacutecrirait

m ge p1x1 + p2x2 Pour repreacutesenter graphiquement lrsquoensemble budgeacutetaire il faudra chercher tracer sa frontiegravere supeacuterieure A cet effet lrsquoineacutegaliteacute large de la contrainte sera remplaceacutee par le signe drsquoeacutegaliteacute (m = p1x1 + p2x2) et ensuite il sera question drsquoidentifier lrsquoordonneacutee lrsquoorigine et lrsquoabscisse lrsquoorigine Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine x2

0 est obtenue en renvoyant dans m = p1x1 + p2x2 la valeur x1 = 0 Celle-ci est eacutegale au rapport du revenu sur le prix du bien 2 soit mp2 et srsquointerpregravete comme eacutetant la quantiteacute maximale du bien 2 que lrsquoindividu peut acheter sur le marcheacute compte tenu de son revenu Lrsquoabscisse lrsquoorigine x1

0 est obtenue en supposant que x2 = 0 Elle donne la quantiteacute maximale du bien 1 que lrsquoindividu peut acqueacuterir sur le marcheacute compte tenu de son revenu crsquoest-agrave-dire mp1 En reliant lrsquoordonneacutee lrsquoabscisse lrsquoorigine par un segment de droite on obtient la frontiegravere supeacuterieure de lrsquoensemble budgeacutetaire qursquoon appelle droite de budget En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient lrsquoeacutequation de la droite de budget

x2 = (mp2) ndash (p1p2)x1 La pente de la droite du budget est neacutegative parce que lrsquoaccroissement de la quantiteacute acheteacutee de x1

(x1) doit se faire accompagneacute drsquoune baisse de x2 (ndashx2) pour que la deacutepense de lrsquoindividu soit maintenue constante Tout en admettant que les prix des biens sont constants prenons la variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) de m

m = p1x1 + p2x 2 = 0 (ou dm = p1dx1 + p2dx 2 = 0)

9

La variation totale (ou la diffeacuterentielle totale) est eacutegale agrave zeacutero car le revenu est constant En arrangeant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on arrive agrave eacutetablir que

x2x1= ndashp1p2 (ou dx2dx1= ndashp1p2) La pente est bel et bien neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des biens 1 et 2 Ce rapport de prix qursquoon appelle aussi prix relatif srsquointerpregravete comme le taux de substitution du marcheacute en ce qursquoil renseigne sur le nombre drsquouniteacute de bien 2 qursquoil faut sacrifier pour accroicirctre la quantiteacute du bien tout en respectant le revenu m Lrsquoensemble budgeacutetaire drsquoun individu qui est appeleacute acheter les biens x1 et x2 sur le marcheacute respectivement aux prix p1 et p2 se preacutesente de la maniegravere ci-apregraves x2

mp2

Pente = ndash p1p2

A B

EB D F H 0 mp1 x1

Les paniers de biens A D F et H sont financiegraveres accessibles puisqursquoils appartiennent lrsquoensemble budgeacutetaire EB alors que le panier B ne lrsquoest pas Les paniers A D et F donnent lieu agrave des deacutepenses infeacuterieures au revenu m le panier H donne lieu agrave une deacutepense eacutegale agrave m et le panier B entraicircne une deacutepense supeacuterieure agrave m (il est drsquoailleurs en-dehors de lrsquoensemble EB) Si le revenu de lrsquoindividu est eacutegal 200 et que les biens 1 et 2 coucirctent respectivement 10 UM et 5 UM lrsquoordonneacutee et lrsquoabscisse lrsquoorigine de sa droite de budget seront

x2

0 = mp2 = 40 et x10 = mp1 = 20

La pente de sa droite de budget est eacutegale ndash2 (le taux de substitution du marcheacute est eacutegal agrave 2) Ainsi pour disposer drsquoune uniteacute en plus de x1 lrsquoindividu devra sacrifier 2 uniteacutes de x2

Qursquoentend-on par ensemble de consommation Puisque les biens rechercheacutes ne sont pas toujours disponibles sur le marcheacute et que lrsquoEtat peut reacuteglementer la consommation drsquoun bien ou drsquoune gamme de biens la contrainte financiegravere du consommateur il peut se greffer drsquoautres contraintes Le contingentement de la consommation drsquoun bien ou la leveacutee drsquoune taxe par lrsquoEtat modifie les possibiliteacutes de consommation et donne lieu un ensemble de faisabiliteacute diffeacuterent de EB Ainsi lrsquoensemble de consommation contient les paniers de biens accessibles lrsquoindividu compte de son pouvoir drsquoachat et de toutes les contraintes auxquelles il est censeacute faire face contraintes imposeacutees par lrsquoEtat contrainte de disponibiliteacute des biens contraintes naturelles Lrsquoensemble de consommation est dans ces conditions un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire Ils se confondent lorsque seule la contrainte financiegravere deacutetermine les possibiliteacutes de consommation de lrsquoindividu Soit le tableau ci-apregraves

10

Bien 1 Prix du

bien 1 Bien 2 Prix du

bien 2 Deacutepense

theacuteorique Revenu Deacutecision de lrsquoEtat Observation

X1 p1 x2 p2 D = p1x1 + p2x2 m Personne ne peut

consommer plus de 7 uniteacutes de x1

8 10 18 5 170 200 Inaccessible 8 10 17 5 165 200 Inaccessible 7 10 16 5 150 200 Accessible 6 10 15 5 135 200 Accessible

On constate que pour tous les paniers la deacutepense theacuteorique est infeacuterieure au revenu mais les deux premiers paniers ne sont pas accessibles parce que contenant plus de 7 uniteacutes du bien 1 (non respect de la norme fixeacutee par lrsquoEtat) Lorsque lrsquoEtat deacutecide que la consommation du bien 1 ne peut pas deacutepasser x1

0 quantiteacute infeacuterieure la quantiteacute maximale que lrsquoindividu peut acheter (mp1) son ensemble de consommation se preacutesentera comme suit x2

mp2

Cette partie de lrsquoensemble budgeacutetaire nrsquoest plus accessible lrsquoindividu

EC

0 x1

0 mp1 x1

Lrsquoensemble de consommation EC repreacutesenteacute ci-dessus est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB La partie compleacutementaire de EC dans EB correspond la partie qui nrsquoest plus accessible lrsquoindividu la suite du contingentement imposeacute par lrsquoEtat On peut eacutegalement srsquoimaginer ce qui se passerait si lrsquoEtat deacutecide de lever une taxe t sur le bien 1 lorsque la quantiteacute demandeacutee de celui-ci deacutepasse la quantiteacute x1

0 La taxe eacutetant une charge les entreprises vendant le bien 1 devront revoir agrave la hausse le prix du bien pour les quantiteacutes supeacuterieures agrave la norme fixeacutee par lrsquoEtat Ainsi pour une consommation du bien 1 infeacuterieure ou eacutegale la norme la deacutepense totale de lrsquoindividu D sera donneacutee par

D = p1x1 + p2x2 En revanche pour une consommation du bien 1 supeacuterieure agrave la norme elle sera donneacutee par la somme

D = p1x1

0 + (p1 + t)( x1 ndash x10) + p2x2

Dans ces conditions la pente de la droite du budget sera ndash en valeur absolue ndash eacutegale agrave p1p2 pour les quantiteacutes du bien 1 infeacuterieure agrave x1

0 et elle sera de (p1 + t)p2 Cette situation srsquoillustre bien travers le tableau ci-apregraves

Bien 1 Prix du bien 1

Bien 2

Prix du Bien 2

Deacutecision de lrsquoEtat Deacutepense avant taxe

Deacutepense apregraves taxe

Observation

x1 p1 x2 p2 Si la consommation de x1 deacutepasse 7 uniteacutes il faudra supporter une taxe de 2 UM

10 10 19 5 195 201 Inaccessible 8 10 17 5 165 167 Accessible 7 10 16 5 150 150 Accessible 6 10 15 5 135 135 Accessible

11

Il ressort de ce tableau que pour les paniers contenant une quantiteacute du bien 1 supeacuterieure agrave la norme la deacutepense apregraves lrsquointervention de lrsquoEtat sera supeacuterieure la deacutepense avant lrsquointervention Le panier de biens (x1 x2) = (10 19) qui initialement eacutetait accessible ne lrsquoest plus Graphiquement la situation se preacutesentera de la sorte x2

mp2

pente = p1p2

EC pente = (p1 + t)p2

0 x1

0 x1

Lrsquoensemble de consommation EC est un sous-ensemble de lrsquoensemble budgeacutetaire EB car tous les points de EC appartiennent agrave EB mais lrsquoinverse nrsquoest pas vrai Ainsi lrsquoeffet de lrsquointervention de lrsquoEtat est de reacuteduire lrsquoensemble de faisabiliteacute du consommateur

12 Preacutefeacuterences du consommateur et fonction drsquoutiliteacute

121 Les preacutefeacuterences du consommateur Le consommateur est supposeacute avoir des preacutefeacuterences lrsquoeacutegard des paniers de biens appartenant son ensemble budgeacutetaire EB ou ensemble de consommation EC Ainsi il doit ecirctre capable de dire si le panier X est preacutefeacutereacute ou faiblement preacutefeacutereacute (ou est au moins aussi deacutesirable que) au panier Y ou inversement Autrement dit il doit ecirctre en mesure drsquoeacutetablir un certain preacuteordre dans ses preacutefeacuterences pour qursquoil soit coheacuterent Cette coheacuterence est le fait des trois axiomes eacutevoqueacutes plus haut

Axiome de comparaison X et Y appartenant agrave EC soit X est preacutefeacutereacute agrave Y soit Y est preacutefeacutereacute agrave X soit les deux simultaneacutement Cet axiome suggegravere que le consommateur doit se prononcer sur sa consommation crsquoest-agrave-dire comparer deux paniers de maniegravere agrave deacuteterminer lequel il preacutefegravere

Axiome de reacuteflexiviteacute X appartenant agrave EC X est au moins aussi deacutesirable que X Ce deuxiegraveme axiome est eacutevident et suggegravere qursquoun panier de biens preacutesente des particulariteacutes qui deacuteterminent sa valeur relative aux yeux du consommateur

Axiome de transitiviteacute X Y et Z appartenant agrave EC si X est preacutefeacutereacute agrave Y et Y preacutefeacutereacute agrave Z alors X est preacutefeacutereacute agrave Z Ce troisiegraveme axiome assure la coheacuterence des choix du consommateur Il lui interdit de se contredire dans son processus de prise de deacutecisions

La courbe drsquoindiffeacuterence Si le consommateur se trouve en face de deux biens substituables x1 et x2 on peut identifier ou constituer ndash selon une certaine regravegle ndash un ensemble de paniers (x1 x2) permettant au consommateur de reacutealiser un mecircme niveau de satisfaction Admettons que la situation de deacutepart de lrsquoindividu corresponde au panier A du tableau ci-dessous

12

Panier Bien 1 Bien 2 Observation

x1 x2

A 15 10 Niveau de deacutepart B 17 09 Mecircme satisfaction que A C 20 10 Satisfaction supeacuterieure agrave A D 10 09 Satisfaction infeacuterieure agrave A

Le panier B procure au consommateur la mecircme satisfaction que le panier A parce que le panier B contient un peu plus drsquouniteacutes de bien 1 et un peu moins drsquouniteacutes du bien 2 que le panier A Le passage de A agrave B qui ne modifie en rien le niveau de satisfaction traduit un meacutecanisme de substitution entre bien Pour avoir un mecircme niveau de satisfaction lrsquoindividu deacutecide de baisser la quantiteacute consommeacutee

du bien 2 (x2 = ndash1) et drsquoaccroicirctre celle du bien 1 (x1 = 2) On peut donc dire qursquoaux yeux de lrsquoindividu une uniteacute de bien 2 eacutequivaut agrave deux uniteacutes du bien 1 Le panier C procure au consommateur une plus grande satisfaction que le panier A car ils contiennent la mecircme quantiteacute du bien 2 et le panier C contient plus drsquouniteacutes du bien 1 Autrement dit le passage du panier A au panier C suppose un accroissement de niveau de vie ou de satisfaction car la quantiteacute

consommeacutee du bien 2 nrsquoa pas changeacute (x2 = 0) et celle du bien 1 a augmenteacute (x1 = 5) Le panier D procure une satisfaction moindre que le panier A car il contient moins drsquouniteacutes des deux biens En partant de cet ensemble drsquoobservations il est possible de repreacutesenter graphiquement le lieu geacuteomeacutetrique des diffeacuterents paniers de biens qui procurent au consommateur un mecircme niveau de satisfaction Ce lieu geacuteomeacutetrique est appeleacute courbe drsquoindiffeacuterence en ce que lrsquoindividu ndash du point de vue de la satisfaction ndash est indiffeacuterent entre les paniers de biens qui forme la courbe Pour des biens imparfaitement substituables (le cas envisageacute ci-dessus) la courbe drsquoindiffeacuterence est convexe par rapport lrsquoorigine des axes Cette allure est justifieacutee par le meacutecanisme de substitution qui srsquoopegravere lorsque lrsquoon passe drsquoun panier de biens un autre sans modifier le niveau de satisfaction de lrsquoindividu x2 x2

A A x2

B B U0

0 x1

A x1B x1

Les paniers A et B qui sont sur une mecircme courbe drsquoindiffeacuterence procure lrsquoindividu un mecircme niveau

de satisfaction (U0) Le passage de A agrave B correspond agrave une diminution de la quantiteacute du bien 2 (ndashx2) et

une augmentation de la quantiteacute du bien 1 (x1) Il faut noter que deux courbes drsquoindiffeacuterence ne correspondant pas un mecircme niveau drsquoutiliteacute ne peuvent jamais se couper En effet comme nous lrsquoavons fait remarquer avec lrsquoaxiome de transitiviteacute les choix drsquoun consommateur rationnel doivent ecirctre coheacuterents Il ne peut pas dire que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B et dire au mecircme moment que le panier C est preacutefeacutereacute au panier A alors qursquo ses yeux le panier B eacutequivaut au panier C De mecircme il ne peut pas soutenir que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B alors que le panier A eacutequivaut au panier C et ce dernier eacutequivaut au panier B Cette contradiction apparaicirct clairement dans le graphique suivant

13

x2 A B C 0 x1

Au regard de leurs compositions respectives (x1A x1

B et x2A x2

B) on dit que le panier A est preacutefeacutereacute au panier B Cependant le panier C qui se trouve au point de croisement des deux courbes drsquoindiffeacuterence eacutequivaut agrave la fois aux paniers A et B ce qui est une contradiction

Lrsquoutiliteacute marginale et le taux marginal de substitution Le niveau de satisfaction de lrsquoindividu deacutependant des quantiteacutes de biens consommeacutees on peut eacutetablir la relation suivante

U = U(x1 x2) Etant donneacute que ce sont les quantiteacutes de biens qui deacuteterminent le niveau de satisfaction une variation de la quantiteacute de bien consommeacutee entraicircne une variation de la satisfaction Lrsquoeffet de lrsquoaccroissement drsquoune uniteacute (ou drsquoun accroissement infiniteacutesimal) du bien 1 ou bien 2 sur lrsquoutiliteacute ou la satisfaction totale de lrsquoindividu est appeleacute utiliteacute marginale du bien

Bien 1 Utiliteacute totale Utiliteacute marginale

x1 U Umx1 11 27 ndash 12 31 4 13 33 2

Lrsquoutiliteacute marginale du bien 1 est donneacutee par le rapport des variations de lrsquoutiliteacute totale et de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 soit

Umx1 = Ux1 (ou Umx1 = dUdx1) Il ressort de lrsquoobservation que dans un processus de consommation la valeur relative ou lrsquoutiliteacute marginale drsquoun bien eacutevolue de maniegravere deacutecroissante (loi de Gossen) Lrsquoanecdote utiliseacutee pour rendre compte de cet eacutetat de choses est celui drsquoune personne en provenance dans lieu deacutesertique et qui deacutesir eacutetancher sa soif en prenant de lrsquoeau Lrsquointeacuterecirct qursquoil va accorder au premier verre sera plus grand que celui qursquoil va accorder au second verre et ainsi de suite Tout le long drsquoune courbe drsquoindiffeacuterence le niveau de satisfaction est constant crsquoest-agrave-dire eacutegal agrave U0 Prenons la variation totale ou la diffeacuterentielle totale de U0

U0 = Umx1x1 + Umx2x2 = 0 (ou dU0 = Umx1dx1 + Umx2dx2 = 0) En ameacutenageant les termes de cette relation on arrive lrsquoexpression suivante

ndashx2x1 = Umx1Umx2 (ou ndashdx2dx1 = Umx1Umx2)

14

Cette expression qui mesure la pente de la tangente meneacutee en un point de la courbe drsquoindiffeacuterence est appeleacutee taux marginal de substitution Etant donneacute qursquoil correspond au rapport des variations des quantiteacutes de biens consommeacutees on le considegravere comme eacutetant lrsquoexpression des preacutefeacuterences relatives des biens aux yeux du consommateur Lorsqursquoil ajuste les quantiteacutes de biens consommeacutees pour maintenir inchangeacute son niveau de satisfaction le consommateur se rapporte lrsquoutiliteacute marginale des biens qursquoil ajuste La perte drsquoutiliteacute enregistreacutee lorsqursquoil diminue la quantiteacute consommeacutee du bien 2 doit ecirctre exactement compenseacutee par le gain drsquoutiliteacute reacutesultant de lrsquoaccroissement de la quantiteacute consommeacutee du bien 1 pour rester sur la mecircme courbe drsquoindiffeacuterence x2

x2

A A x2

B B U0

0 x1A x1

B x1

Le passage du panier A au panier B qui suppose une modification des quantiteacutes consommeacutes des deux biens se traduit aussi par une baisse de la pente de la tangente meneacutee la courbe drsquoindiffeacuterence (baisse du taux marginal de substitution) Pour comprendre cet eacutetat de choses il y a lieu de se rapporter agrave la loi de Gossen (loi de la deacutecroissance de lrsquoutiliteacute marginale) Par construction le taux marginal de substitution TmS est donneacute par le rapport des utiliteacutes marginales des biens soit

TmS = Umx1Umx2

Lorsque lrsquoon passe du panier A au panier B le bien 2 devient relativement rare (ce qui accroicirct son utiliteacute marginale) et le bien 1 devient relativement abondant (ce qui diminue son utiliteacute marginale) Il ne peut donc srsquoen suivre qursquoune baisse du taux marginal de substitution

122 La fonction drsquoutiliteacute Il est souvent commode drsquoutiliser une fonction drsquoutiliteacute pour caracteacuteriser le comportement du consommateur Celle-ci est deacutefinie dans lrsquoensemble de consommation EB et est agrave valeur dans

lrsquoensemble Rn+ telle que Xest preacutefeacutereacute agrave Y si et seulement si U(X) U(Y) Crsquoest un outil permettant de

syntheacutetiser le comportement drsquoun consommateur rationnel mais il ne faut pas lui donner une interpreacutetation psychologique quelconque Sa force reacuteside dans le fait qursquoelle soit ordinale1

1 Les premiers eacuteconomistes avoir eacutetudieacute le concept drsquoutiliteacute le consideacuteraient comme une grandeur cardinale Or dire le vrai on ne peut attacher une valeur particuliegravere un index drsquoutiliteacute et lui faire subir des opeacuterations arithmeacutetiques

15

Si la fonction drsquoutiliteacute U() est monotone2 et qursquoelle respecte les trois axiomes de comportement il est possible de caracteacuteriser un mecircme comportement de consommation par une transformation

monotone de la fonction U() Si U(X) U(Y) pour le consommateur on devra neacutecessairement veacuterifier

que f(U(X)) f(U(Y)) si la fonction f() est une transformation monotone de la fonction U() car la fonction drsquoutiliteacute eacutetablit une relation drsquoordre entre paniers de biens La fonction drsquoutiliteacute est concave en ce que lrsquoutiliteacute totale augmente jusqursquo un certain seuil (point de saturation) avec la quantiteacute de biens consommeacutes mais agrave un rythme deacutecroissant Ceci parce que lorsqursquoun bien devient relativement abondant son utiliteacute ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen) Utiliteacute U = U(x)

0 x x

Le point x est un maximum parce qursquoil procure la fonction drsquoutiliteacute une valeur qursquoaucun autre point de lrsquoensemble de faisabiliteacute ne peut lui procurer Lorsque la consommation de lrsquoindividu va au-delagrave de x son niveau de vie ou de satisfaction baisse Le point x eacutetant un maximum son utiliteacute marginale est eacutegale agrave zeacutero et pour toutes les quantiteacutes venant apregraves x lrsquoutiliteacute marginale devient neacutegative Une fonction drsquoutiliteacute U() est dite laquo well behaved raquo lorsque sa deacuteriveacutee premiegravere est non neacutegative et sa deacuteriveacutee seconde est neacutegative crsquoest-agrave-dire lorsque

U() 0 et U() 0

123 Problegraveme eacuteconomique du consommateur Le problegraveme eacuteconomique de base du consommateur est celui de la maximisation de lrsquoutiliteacute que lui procure un panier de biens compte tenu des contraintes qui restreignent sa liberteacute drsquoactions En lrsquoabsence de toute intervention de lrsquoEtat le problegraveme srsquoeacutecrit formellement comme suit

Max U(x1 x2hellip xn) telle que m ge p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn

avec x1 x2hellip xn ge 0

Pour que ce problegraveme ait une solution finie il faudrait que la fonction drsquoutiliteacute soit continue dans son domaine de deacutefinition et que lrsquoensemble de consommation (ensemble de faisabiliteacute) soit fermeacute et borneacute (crsquoest-agrave-dire un ensemble convexe)

2 Une fonction monotone est une fonction qui croicirct ou deacutecroicirct toujours dans son domaine de deacutefinition

16

La reacutesolution du problegraveme eacuteconomique drsquoun consommateur rationnel consiste trouver un compromis entre ce qursquoil veut (lrsquoutiliteacute rechercheacutee) et ce qursquoil peut (possibiliteacutes drsquoaction deacutetermineacutees par lrsquoensemble de consommation) Nous allons consideacuterer ndash dans les lignes qui suivent ndash que le consommateur se trouve en preacutesence de deux biens pour illustrer les diffeacuterentes meacutethodes de reacutesolution de son problegraveme drsquooptimisation

Max U(x1 x2) telle que m ge p1x1 + p2x2

avec x1 x2 ge 0

Reacutesolution graphique du problegraveme La reacutesolution du problegraveme du consommateur par la meacutethode graphique consiste agrave eacutegaliser la pente de sa droite de budget la pente de sa courbe drsquoindiffeacuterence Les pentes de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite du budget sont respectivement

ndashdx2dx1 = Umx1Umx2 et ndashdx2dx1 = p1p2 En eacutegalisant ces deux pentes on obtient la condition drsquoeacutequilibre du consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2 Traccedilons dans un mecircme plan la droite du budget du consommateur et un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence3pour deacuteterminer le panier de biens qui lui permet de reacutealiser son eacutequilibre x2 A C G

x2 H E F U2 U1

U0

0 x1 x1

Lrsquoobjectif du consommateur est de situer sur la courbe drsquoindiffeacuterence la plus eacuteleveacutee possible Etant donneacute que les paniers qui constituent la courbe drsquoindiffeacuterence U2 tels que G et F nrsquoappartiennent pas son ensemble budgeacutetaire il ne pourra pas les acheter Les paniers A et H sont financiegraverement accessibles mais ils procurent une satisfaction infeacuterieure agrave celle procureacutee par le panier E qui est aussi un panier accessible Le panier (x1 x2) correspond la solution optimale du problegraveme en ce qursquoil est le seul panier de lrsquoensemble budgeacutetaire qui permet au consommateur de reacutealiser la plus grande satisfaction possible crsquoest-agrave-dire drsquoatteindre la courbe drsquoindiffeacuterence U1 Au point E la pente de la droite du budget est eacutegale la pente de la courbe drsquoindiffeacuterence

3 On appelle carte drsquoindiffeacuterence un ensemble de courbes drsquoindiffeacuterence

17

Reacutesolution algeacutebrique du problegraveme Le problegraveme du consommateur peut ecirctre reacutesolu selon une approche algeacutebrique lrsquoaide de deux meacutethodes agrave savoir la meacutethode de substitution et la meacutethode du multiplicateur de Lagrange

Meacutethode de substitution Cette meacutethode consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en reacutesolvant la contrainte par rapport agrave une des variables et en renvoyant le reacutesultat obtenu dans la fonction-objectif En reacutesolvant la contrainte budgeacutetaire par rapport agrave x2 on obtient

x2 = (m ndash p1x1)p2 Si on rentre dans la fonction-objectif avec cette relation le problegraveme devient

Max U = f[x1 (m ndash p1x1)p2] Prenons la condition du premier ordre de la maximisation

dUdx1 = Umx1 + Umx2(dx2dx1) = 0 ou Umx1 + Umx2(ndashp1p2) = 0 En ameacutenageant les eacuteleacutements de cette derniegravere relation on obtient la condition drsquoeacutequilibre drsquoun consommateur soit

TmS = Umx1Umx2 = p1p2

Meacutethode de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste transformer un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte en un problegraveme drsquooptimisation libre en se servant drsquoune fonction auxiliaire appeleacutee Lagrangien Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte afin que dans le processus drsquooptimisation soit prise en consideacuteration la sensibiliteacute du comportement par rapport au desserrement de nrsquoimporte quel eacuteleacutement de la contrainte Le Lagrangien du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur srsquoeacutecrit de la sorte

L = U(x1 x2) (p1x1 + p2x2 m)

ougrave repreacutesente le multiplicateur de Lagrange En diffeacuterentiant le Lagrangien par rapport aux xi on obtient les conditions du premier ordre

Lx1 = Umx1 p1 = 0 Umx1 = p1

Lx2 = Umx2 p2 = 0 Umx2 = p2 En divisant la premiegravere condition du premier ordre par la deuxiegraveme condition ce qui eacutelimine le multiplicateur de Lagrange on obtient

Umx1Umx2 = p1p2 La fraction de gauche repreacutesente le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 et celle de droite le taux de substitution eacuteconomique aussi appeleacute prix relatif des biens La maximisation implique lrsquoeacutegaliteacute de ces deux taux Il faut toutefois noter que ceci ne se veacuterifie que si les preacutefeacuterences sont convexes crsquoest-agrave-dire si les courbes drsquoindiffeacuterence qui rendent compte du comportement du consommateur sont convexes par rapport lrsquoorigine des axes

18

Il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres ou solutions au coin crsquoest-agrave-dire des solutions telles qursquo lrsquoeacutequilibre la quantiteacute demandeacutee drsquoun bien est eacutegale zeacutero Crsquoest le type de reacutesultats que lrsquoon obtient geacuteneacuteralement lorsque les preacutefeacuterences du consommateur sont concaves ou lorsque les biens qursquoil demande sont parfaitement substituables

13 Fonction de demande et eacutelasticiteacutes La fonction de demande renseigne sur la relation entre la demande drsquoun bien et les prix des biens et le revenu du consommateur En regravegle geacuteneacuterale la demande drsquoun bien diminue lorsque son prix augmente et vice-versa Nous allons montrer drsquoougrave proviennent ces conclusions

131 Variation du prix eacutequilibre du consommateur et demande Lorsque le prix du bien 1 baisse alors que celui du bien 2 est maintenu inchangeacute et que le revenu du consommateur demeure le mecircme on assiste un pivotement vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget Ce deacuteplacement suppose un eacutelargissement des possibiliteacutes drsquoaction du consommateur (accroissement du pouvoir drsquoachat) Le consommateur devrait cet effet ameacuteliorer son niveau de vie en passant sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure (passage de U0 agrave U1 et passage de U1 agrave U2) x2 E2 E1 E0 U2 U1 U0 0 x1

Prix du bien 1

p1

p1 p1 0 x1

A partir de lrsquoeacutevolution des prix et des quantiteacutes consommeacutees par lrsquoindividu on arrive eacutetablir une relation de sens inverse entre la demande du bien 1 et son prix

19

132 Variation du revenu eacutequilibre du consommateur et demande Les effets drsquoun accroissement du revenu du consommateur sont lrsquoeacutelargissement de son ensemble budgeacutetaire (la droite de budget se deacuteplace parallegravelement vers lrsquoexteacuterieur) et le deacuteplacement de sa position drsquoeacutequilibre (accroissement des quantiteacutes consommeacutees des deux biens) Le deacuteplacement parallegravele vers lrsquoexteacuterieur de la droite de budget tient au fait que le revenu a augmenteacute et que les prix des biens nrsquoont pas changeacute x2 E2 Courbe revenu - consommation E1 U2 E0 U1 U0 0 x1

Revenu

m

m

m

0 x1

A lrsquoaide du graphique ci-dessus on arrive montrer qursquoun accroissement du revenu du consommateur entraicircne un accroissement de la quantiteacute demandeacutee du bien 1

133 Exception aux lois eacutenonceacutees Bien de Giffen et bien infeacuterieur

Bien de Giffen En regravegle geacuteneacuterale lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que sa demande augmente Il est pourtant possible drsquoobserver un comportement opposeacute En effet il est possible qursquoapregraves diminution du prix drsquoun bien que le consommateur deacutecide drsquoutiliser le surplus de pouvoir drsquoachat dans le financement de la consommation drsquoun autre bien Dans ces conditions le bien dont le prix a diminueacute est consideacutereacute comme un bien de Giffen

20

x2

E E 0 x1

Il faut quand mecircme noter que des situations de ce genre quoique theacuteoriquement envisageables sont peu probables dans la reacutealiteacute Il nrsquoy a pas de raison valable pour que la demande diminue lorsque le prix diminue

Bien infeacuterieur Consideacuterons une personne qui consomme deux biens savoir la viande de bœuf et le poisson chinchard Si la suite drsquoun accroissement de son revenu on assiste une diminution de la quantiteacute consommeacutee de chinchard et lrsquoaccroissement de la quantiteacute de viande consommeacutee on conclue que le chinchard est un bien infeacuterieur et la viande de bœuf un bien supeacuterieur Graphiquement les choses se preacutesentent comme suit x2 E1 E2

0 x1

Cette situation montre que la relation de sens positif entre la quantiteacute consommeacutee drsquoun bien et le revenu du consommateur nrsquoest pas toujours veacuterifieacutee Pour certains biens les accroissements du revenu du consommateur se traduisent par une baisse des quantiteacutes consommeacutees On les qualifie ainsi de biens infeacuterieurs par rapport aux biens qui les remplacent dans le panier de consommation

21

Fonctions de demande classique (ou marshalienne4) et eacutelasticiteacute La solution au problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur donne lieu des fonctions de demande classique dont les arguments sont le revenu du consommateur et les prix des biens sur les marcheacutes soit

xi = xi(m pi hellip pn) Si le bien est normal tout accroissement du revenu devrait se traduire par une hausse de la quantiteacute consommeacutee du bien tout accroissement de son prix pi devrait se traduire par une baisse de la quantiteacute consommeacute et les effets des variations des autres prix sur la demande deacutependent du type de relation qui relie le bien i autres biens relation de substitualiteacute ou relation de compleacutementariteacute Srsquoil y a une relation de compleacutementariteacute la demande diminuera si le prix du bien j augmente et elle augmentera en cas de substitualiteacute

Etant donneacute que lrsquoon connaicirct les facteurs explicatifs de la demande il y a lieu de chercher mesurer lrsquoimpact drsquoune variation drsquoun des deacuteterminants de la demande sur la quantiteacute de bien demandeacutee On serait tenteacute de faire le rapport de la variation de la quantiteacute demandeacutee sur la variation du facteur explicatif la variation du prix par exemple Mais la chose devient compliqueacutee en ce que les uniteacutes de mesure des quantiteacutes et des prix ne sont pas concordantes Pour contourner cette faiblesse les eacuteconomistes se servent du coefficient drsquoeacutelasticiteacute qui nrsquoest rien drsquoautre que le rapport des variations relatives de la demande et du prix (ou du revenu) Le coefficient drsquoeacutelasticiteacute mesure la sensibiliteacute de la demande la variation drsquoun de ses arguments Ainsi lrsquoeacutelasticiteacute-revenu mesure lrsquoeffet drsquoune variation de m sur xi lrsquoeacutelasticiteacute-prix lrsquoeffet drsquoune variation de pi sur xi et lrsquoeacutelasticiteacute croiseacutee lrsquoeffet drsquoune variation de pj sur xi

Elasticiteacute-revenu xi m = (dxidm)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (dxidpi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (dxidpj)(pjxi) Si lrsquoon est en preacutesence de donneacutees discregravetes les trois coefficients drsquoeacutelasticiteacute seront donneacutes par les relations suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m = (xim)(mxi)

Elasticiteacute-prix xi pi = (xipi)(pixi)

Elasticiteacute croiseacutee xi pj = (xipj)(pjxi) Pour eacuteviter les complications dans le calcul de lrsquoeacutelasticiteacute partir des donneacutees discregravetes Samuelson a suggeacutereacute les formules suivantes

Elasticiteacute-revenu xi m 21

21

xx

mm

m

x

Elasticiteacutendashprix xi pi 21

21

xx

pp

p

x ii

i

Elasticiteacute croiseacutee xi pj 21

21

xx

pp

p

x jj

j

4 Ces fonctions sont dites marshaliennes car elles ont eacuteteacute proposeacutees par lrsquoeacuteconomiste A Marshall

22

14 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Slutsky La variation du prix drsquoun bien entraicircne deux effets (1) modification du taux drsquoeacutechange ou prix relatif des biens et (2) modification du pouvoir drsquoachat du consommateur Pour ce faire il faut toujours deacutecomposer la variation du prix en deux effets Lrsquoeffet de la premiegravere modification est appeleacute effet de substitution et celui de la deuxiegraveme est appeleacute effet de revenu effet de substitution en ce que le changement du prix relatif doit amener lrsquoindividu revoir la composition de son panier de biens et effet de revenu en ce que lrsquoensemble budgeacutetaire de lrsquoindividu change Lorsque le prix du bien 1

diminue en passant de p1 agrave p1 la droite de budget pivote autour de lrsquoordonneacutee lrsquoorigine Ce mouvement se traduit par un changement de la pente de la droite de budget et se deacutecompose en deux eacutetapes la rotation de la droite autour du choix initial (E0) et ensuite le deacuteplacement parallegravele vers le haut de la droite en direction du nouvel eacutequilibre E1 x2

Droite de budget initiale Nouvelle droite

mp2

x2

0 E0 E1

0 x10 mp1 mp1 x1

Soit m le revenu associeacute agrave la droite de budget apregraves rotation La contrainte budgeacutetaire apregraves rotation et la contrainte initiale srsquoeacutecrivent respectivement de la sorte

m = p1x1 + p2x2 et m = p1x1 + p2x2 Retranchons la deuxiegraveme de la premiegravere pour avoir la relation suivante

m ndash m = x1p1 ndash p1 ou m = x1p1 Cette eacutequation indique la variation du revenu nominal neacutecessaire pour que le panier initial soit

accessible au nouveau prix relatif Ainsi lrsquoeffet de substitution xS1 est la variation de la demande du

bien 1 quand le prix et le revenu deviennent p1 et m soit

xS1 = x1(p1 m ) ndash x1(p1 m)

Lrsquoeffet de revenu est la variation de la demande du bien 1 lorsque le revenu passe de m agrave m et que le

prix du bien est maintenu au niveau p1

xm1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m )

La somme des deux effets donne la variation totale de la demande

x1 = x1(p1 m) ndash x1(p1 m)

23

Effets prix de substitution et revenu Cas des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs Eu eacutegard la nature des biens de Giffen et des biens infeacuterieurs il faut noter que lrsquoanalyse des effets pour ces deux types de biens est assez particuliegravere En cas de diminution du prix du bien 1 pour les biens de Giffen et les biens infeacuterieurs lrsquoeffet de substitution est positif et lrsquoeffet revenu est neacutegatif Il faut toutefois noter que pour les biens de Giffen lrsquoeffet revenu lrsquoemporte sur lrsquoeffet de substitution si bien que lrsquoeffet prix est lui-mecircme neacutegatif alors que pour les biens infeacuterieurs lrsquoeffet revenu est infeacuterieur lrsquoeffet de substitution x2 x2

E

E E E 0 x1 0 x1 Bien de Giffen Bien infeacuterieur

15 Effet prix effet de substitution et effet revenu Analyse de Hicks Lorsque le prix drsquoun bien diminue on srsquoattend ce que lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur srsquoeacutelargisse et qursquoil passe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Il est cependant possible de voir lrsquoindividu garder le mecircme niveau de satisfaction apregraves diminution du prix drsquoun des biens x2

E E

E

0 x1 Prix

p1 p1 xd

h xd

m

0 x1

Comme lrsquoindique le graphique ci-contre selon Hicks lrsquoeffet de substitution correspond au

passage du point E au point E et lrsquoeffet revenu

correspond au passage de E agrave E Du fait de la variation drsquoun des prix le taux de substitution du marcheacute change Ainsi lrsquoindividu srsquoajustera premiegraverement de sorte agrave rester sur sa courbe drsquoindiffeacuterence initiale Ensuite il srsquoajustera en fonction de son pouvoir drsquoachat additionnel A partir de cette analyse Hicks propose la fonction de demande compenseacutee (ou hicksienne) Dans cette fonction le revenu est remplaceacute par le niveau drsquoutiliteacute rechercheacute ou reacutealiseacute U Comme le montre le graphique agrave gauche la demande compenseacutee est moins sensible que la demande classique (ou marshalienne) aux variations du prix Ceci srsquoexplique par le fait que malgreacute la baisse du prix du bien 1 le consommateur reste sur sa courbe drsquoindiffeacuterence de deacutepart (ou initiale)

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Consideacuterons un individu qui dispose drsquoun revenu de 500 UM et qui chaque matin consomme une bouteille de Coca-cola car celle-ci coucircte 500 UM Si le prix de la bouteille passe agrave 50 UM selon lrsquoanalyse classique la demande de Coca-cola devrait passer agrave 10 bouteilles or il est impossible sinon absurde qursquoune telle consommation soit reacutealiseacutee En toute rigueur on peut voir le nombre de bouteilles passer de 1 agrave 2 ou agrave 3 (tout au plus agrave 4) Un tel comportement peut ecirctre caracteacuteriseacute par une fonction de demande compenseacutee

Deacuterivation algeacutebrique des fonctions de demande compenseacutee Par une approche duale le problegraveme du consommateur peut ecirctre preacutesenteacute en termes drsquoune minimisation de la deacutepense pour reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction

Min m = p1x1 + p2x2 +hellip + pnxn telle que U(x1 x2hellip xn) ge U

avec (x1 x2hellip xn) EC La solution de ce programme donnera lui aux mecircmes valeurs drsquoeacutequilibre que celles obtenues apregraves reacutesolution du programme de maximisation car les deux sont en dualiteacute Cependant les fonctions de demande que lrsquoon obtient ici diffegraverent des fonctions de demande marshalienne en ce qursquoelles ont pour arguments les prix des biens et le niveau drsquoutiliteacute U

xhi = xh

i(U pi hellip pn) Pour cette fonction de demande que lrsquoon appelle fonction de demande compenseacutee il nrsquoest pas possible de calculer lrsquoeacutelasticiteacute-revenu car le revenu m nrsquoest plus un argument de la fonction de demande Il convient eacutegalement de remarquer les effets-prix ne sont pas de mecircme ampleur Comme signaleacute ci-dessus en regravegle geacuteneacuterale la courbe de demande hicksienne (ou compenseacutee) a une pente plus raide que la courbe de demande marshalienne (ou classique) Ceci parce que dans le premier programme lrsquoensemble budgeacutetaire eacutetait fixeacute alors que dans le second il est changeant et le problegraveme est celui de reacutealiser un niveau donneacute de satisfaction p1 xd

m xdh

p1

e E

0 x1e x1

Le point E correspond la fois la solution du problegraveme de maximisation de lrsquoutiliteacute et la solution du problegraveme de minimisation de la deacutepense Pour un prix supeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera supeacuterieure agrave la demande classique car il faut maintenir inchangeacute le niveau de satisfaction En revanche si le prix tombe agrave un niveau infeacuterieur agrave p1

e la demande compenseacutee sera infeacuterieure agrave la demande classique

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15 Quelques cas particuliers de preacutefeacuterences

151 Les substituts parfaits Deux biens x1 et x2 sont qualifieacutes de parfaitement substituables si le consommateur est disposeacute agrave les substituer un taux constant Admettons qursquoun eacutetudiant pour preacutesenter son interrogation de microeacuteconomie a besoin drsquoun stylo peu importe la couleur de celui-ci Puisqursquoil nrsquoaura pas utiliser au mecircme moment deux stylos on pourra lui donner un stylo de couleur bleue ou un stylo de couleur noire Dans ces conditions le stylo de couleur noire est un substitut parfait du stylo de couleur bleue et le taux drsquoeacutechange est de un contre un Repreacutesentons par x1 le nombre de stylos de couleur bleue et par x2 le nombre de stylos de couleur noire Si la couleur nrsquoimporte pas on peut consideacuterer les paniers suivants comme procurant au consommateur un mecircme niveau de satisfaction ou drsquoutiliteacute

Panier A B C D E F G H I

x1 4 3 5 6 2 7 1 0 8 x2 4 5 3 2 6 1 7 8 0

x1 + x2 8 8 8 8 8 8 8 8 8

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences du consommateur dans ce cas preacutecis est une droite de pente ndash1 Ceci parce que les deacuteplacements le long de la courbe drsquoindiffeacuterence exigent des sacrifices ou pertes en x2 eacutegales aux accroissements de x1

x2

8

J K

0 8 x1

Il se deacutegage du tableau et du graphique que pour lrsquoindividu ce qui importe crsquoest drsquoavoir au total 8 stylos Le panier K qui contient moins de 8 stylos procure une satisfaction infeacuterieure aux paniers A B hellip I et le panier J qui contient plus de 8 stylos procure une satisfaction plus grande que les paniers A B hellip I Dans ces conditions on peut eacutecrire la fonction drsquoutiliteacute de lrsquoindividu de la sorte

U(x1 x2) = x1 + x2 A partir de ce cas particulier on deacuteduit que lorsque deux biens sont parfaitement substituables la courbe drsquoindiffeacuterence associeacutee aux preacutefeacuterences du consommateur est une droite Crsquoest la constance de la pente de la courbe qui constitue la caracteacuteristique principale des substituts parfaits Admettons qursquoaux yeux drsquoun autre consommateur un stylo de couleur bleue eacutequivaut exactement deux stylos de couleur noire Comme le montre bien le tableau ci-dessous dans ce deuxiegraveme cas ce qui importe ce nrsquoest plus le total de stylos mais plutocirct le total de stylos selon les exigences en termes de couleur car le taux drsquoeacutechange est de ndash2

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Panier A B C D E F G

x1 4 5 6 0 1 2 3 x2 4 2 0 12 10 8 6

x1 + x2 8 7 6 12 11 10 9

2x1 + x2 12 12 12 12 12 12 12

La courbe drsquoindiffeacuterence repreacutesentant les preacutefeacuterences de ce deuxiegraveme consommateur est une droite de pente ndash2 Ceci parce qursquoil faut sacrifier 2 uniteacutes de x2 pour avoir une uniteacute additionnelle de x1 pour un mecircme niveau de satisfaction

x2 12

0 6 x1

Dans ce deuxiegraveme cas la courbe drsquoindiffeacuterence est aussi une droite On peut donc dire que la forme geacuteneacuterale de la fonction drsquoutiliteacute lorsque les biens des substituts parfaits est la suivante

U(x1 x2) = ax1 + bx2

Les utiliteacutes marginales des deux biens sont constantes Umx1 = a et Umx2 = b Par conseacutequent le taux marginal de substitution est aussi constant TmS = ab La position drsquoeacutequilibre du consommateur ne sera pas deacutetermineacutee par la condition de tangence qursquoon a mise en eacutevidence plus haut On va se servir cet effet de lrsquoapproche graphique

x2

D Droite de budget F

0 E x1

Les points D E et F sont des points financiegraverement reacutealisables puisque appartenant lrsquoensemble budgeacutetaire Le consommateur reacutealise son eacutequilibre au point E car ndash de tous les points qui lui sont accessibles ndash crsquoest le point qui lui procure le plus de satisfaction On est donc en preacutesence drsquoune solution frontiegravere x1 = mp1 et x2 = 0 Le consommateur nrsquoachegravetera que le bien 1 parce qursquoil coucircte moins cher

27

152 Les biens compleacutementaires Deux biens x1 et x2 sont compleacutementaires dans un processus de consommation si lrsquoon ne peut pas consommer lrsquoun sans lrsquoautre et cela dans des proportions fixes Crsquoest le cas drsquoune personne qui consomme neacutecessairement une tasse de theacute avec deux morceaux de sucres ou une paire de chaussure avec une paire de chaussette Si on lui donne 2 tasses de theacute il faudra neacutecessairement lui adjoindre 4 morceaux de sucre pour qursquoil puisse assurer convenablement sa consommation De mecircme il faut accompagner 2 paires de chaussures de 2 paires de chaussettes pour qursquoil accroisse sa satisfaction

Panier Tasses de theacute

Morceaux De sucre

Utiliteacute Observation

x1 x2

A 1 2 Mecircme niveau Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre B 1 3 Mecircme niveau Il y a un morceau de sucre en trop C 1 4 Mecircme niveau Il y a deux morceaux de sucre en trop D 2 2 Mecircme niveau Il y a une tasse de theacute en trop E 3 2 Mecircme niveau Il y a deux tasses de theacute en trop F 2 4 Supeacuterieur Le nombre de tasse correspond aux morceaux de sucre

Il ressort de ce tableau que le niveau de satisfaction deacutepend de la correspondance entre le nombre de tasses et de morceaux Pour accroicirctre le niveau de satisfaction il faut accroicirctre simultaneacutement et dans les mecircmes proportions les quantiteacutes consommeacutees des deux biens (crsquoest le cas du panier F) Les paniers B C D et E procurent lrsquoindividu un mecircme niveau de satisfaction que le panier A parce que contenant un peu trop de sucre ou un peu trop de tasses de theacute Par un raisonnement analogue on peut identifier les paniers de biens qui procurent lrsquoindividu la mecircme satisfaction que le panier F

x2

4 C F U1 2 A U0 D E

0 1 2 3 x1

Pour ce type de biens la courbe drsquoindiffeacuterence prend la forme drsquoun laquo L raquo majuscule et la fonction

drsquoutiliteacute srsquoeacutecrit comme suit U = min ax1 bx2 Les coefficients a et b renseignent sur la maniegravere de combiner les deux biens et lrsquoexpression laquo min raquo laisse entendre que crsquoest le bien qui est relativement rare (par rapport aux exigences du consommateur) qui deacutetermine le niveau de satisfaction

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x2

D U2 x2 E F U1 H U0

0 x1 x1

Les paniers de biens D et H sont financiegraverement accessibles tout comme le panier E Mais pour le consommateur le meilleur des choix se trouve reacutealiseacute en E car ce panier procure une plus grande satisfaction Le panier F qui eacutequivaut au panier E nrsquoest pas financiegraverement reacutealisable parce que contenant trop drsquouniteacutes du bien 1

153 Les biens neutres Un bien est neutre aux yeux drsquoun consommateur si la quantiteacute disponible de ce bien nrsquoinfluence aucunement son niveau de satisfaction Admettons qursquo une reacuteception le protocole preacutesente un diabeacutetique ndash lors drsquoun premier service ndash un panier de 19 bouteilles de boisson sucreacutee Le diabeacutetique ne consommera aucune bouteille compte tenu de son eacutetat de santeacute Si ndash lors drsquoun deuxiegraveme service ndash le protocole lui preacutesente un autre panier contenant cette fois 30 bouteilles de boisson sucreacutee son niveau de satisfaction nrsquoaura pas changeacute Ainsi la boisson sucreacutee est un bien neutre ses yeux Sa situation ne pourra srsquoameacuteliorer que si on lui preacutesente un panier contenant du soda Plus important sera le nombre de bouteilles de soda plus eacuteleveacutee sera sa satisfaction Si lrsquoon repreacutesente le nombre drsquouniteacute du bien neutre par x2 et le nombre de bien deacutesirable par x1 la courbe drsquoindiffeacuterence de lrsquoindividu sera une droite parallegravele lrsquoaxe des ordonneacutees La satisfaction augmentera que si lrsquoon augmente la quantiteacute de x1

x2 U0 U1

0 1 2 x1

Dans ce cas le consommateur reacutealise son eacutequilibre en consacrant tout son revenu lrsquoacquisition du bien deacutesirable (solution frontiegravere) Ceci parce que le niveau de satisfaction est deacutetermineacute par x1 et que celui-ci est maximiseacute au point x1 = mp1

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x2 U0 U1 U2 U3 mp2

0 mp1 x1

154 Les biens indeacutesirables Un bien indeacutesirable est un bien que le consommateur nrsquoaime ou ne souhaiterait pas consommer Admettons que pour des raisons de santeacute un parent soit obligeacute de faire boire reacuteguliegraverement agrave son enfant du jus de carotte alors que celui-ci ne lrsquoaime pas Pour lrsquoenfant ce jus est un bien indeacutesirable et il ferait tout ce qursquoil peut pour eacuteviter de le consommer Conscient des goucircts de son enfant le parent peut ndash pour seacuteduire son enfant ndash lui proposer en accompagnement du chocolat (bien qursquoil aime) On peut donc dire que lrsquoenfant sera precirct prendre facilement un verre de jus si on lui donne par la suite un petit pot de chocolat Srsquoil faut lui donner deux verres de jus comment devrait-on ajuster la quantiteacute de chocolat pour que sa satisfaction soit la mecircme que celle reacutealiseacutee avec un verre de jus et un petit pot de chocolat Il faudra simplement lui donner un deuxiegraveme pot de chocolat Dans ces conditions les courbes drsquoindiffeacuterences du consommateur auront une pente positive x2 U0 U1 U2

0 x1

La satisfaction de lrsquoenfant srsquoaccroicirctrait si lrsquoon maintient inchangeacute le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et maintient inchangeacute le nombre de pots de chocolat ou si lrsquoon diminue le nombre de verres de jus et augmente le nombre de pots de chocolat

156 Les preacutefeacuterences concaves Il existe de ces biens que lrsquoindividu ne peut pas consommer au mecircme moment compte tenu de leur nature ou de ses goucircts Crsquoest le cas de la combinaison poisson saleacute ndash gacircteau aux fraises Dans de telle situation la courbe drsquoindiffeacuterence du consommateur est concave par rapport lrsquoorigine des axes

30

x2

Droite de budget E

0 F x1

Le point E qui est un point de tangence entre une courbe drsquoindiffeacuterence et la droite de budget ne correspond pas agrave un choix optimal pour le consommateur car il est possible pour lui drsquoacheter le panier F qui se situe sur une courbe drsquoindiffeacuterence supeacuterieure Lrsquoeacutequilibre qui est donc reacutealiseacute au point F est une solution au coin en ce que x1 = mp1 et x2 = 0

16 Vendre et acheter Jusque-lagrave nous avons supposeacute que le revenu moneacutetaire du consommateur m eacutetait donneacute alors qursquoen eacuteconomie selon Harrod rien nrsquoy est obtenu pour rien Dans cette section du chapitre nous aurons discuter du comportement du consommateur en supposant que son revenu est le fait drsquoune dotation initiale en bien 1 et bien 2 (w1 w2) qursquoil vend sur le marcheacute aux prix en vigueur (p1 p2) Sa contrainte budgeacutetaire reste la mecircme agrave savoir

m = p1x1 + p2x2 Il faut cependant noter que m est eacutegal agrave la valeur sur le marcheacute de la dotation initiale de lrsquoindividu soit

m = p1w1 + p2w2 Ceci nous permet drsquoeacutetablir que

p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 ou p1(x1 ndash w1) + p2(x2 ndash w2) = 0 Compte tenu de cette derniegravere eacutegaliteacute si (x1 ndash w1) gt 0 il faudrait neacutecessairement que (x2 ndash w2) lt 0 et vice-versa Lrsquoeacutegaliteacute peut eacutegalement se veacuterifier si au mecircme moment (x1 ndash w1) = (x2 ndash w2) = 0 On dira que le consommateur est vendeur net du bien i si (xi ndash wi) lt 0 et acheteur net si (xi ndash wi) gt 0 Il y a lieu de comprendre que lrsquoindividu devra sacrifier une quantiteacute donneacute drsquoun des biens pour financer lrsquoacquisition de lrsquoautre Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire de lrsquoindividu La pente de la droite du budget est neacutegative et elle est eacutegale au rapport des prix des deux biens (p1p2) Lrsquoordonneacutee lrsquoorigine est eacutegale agrave (p1w1 + p2w2) p2 et lrsquoabscisse lrsquoorigine est eacutegale (p1w1 + p2w2) p1

31

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

La dotation initiale (w1 w2) est un point de la droite de budget car crsquoest partir drsquoelle que lrsquoon deacutetermine le revenu individuel Si les prix des deux biens ne changent pas et que la dotation initiale de lrsquoindividu diminue la droite du budget se deacuteplacera parallegravelement vers lrsquointeacuterieur Par contre elle se deacuteplacera vers lrsquoexteacuterieur si la dotation augmente alors que les deux prix demeurent les mecircmes

Bien 2

w2

0 w1 Bien 1

Si le prix du bien 1 alors que la dotation initiale et le prix du bien 2 nrsquoont pas changeacute la droite du budget aura agrave roter autour du point de la dotation initiale La nouvelle droite aura une pente qui sera plus prononceacutee que lrsquoancienne droite de budget

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 Dotation initiale

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

32

Admettons que les preacutefeacuterences de lrsquoindividu soient convexes On va ajouter au graphique une courbe drsquoindiffeacuterence pour caracteacuteriser lrsquoeacutequilibre individuel Comme on peut srsquoen convaincre dans cette premiegravere situation lrsquoindividu est vendeur net du bien 2 et acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2

w2 E

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Le graphique suivant caracteacuterise la situation drsquoun vendeur net du bien 1 et acheteur net du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2) p2 E

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2) p1 Bien 1

Que se passerait-il si le prix du bien 1 augmente La situation devrait se deacuteteacuteriorer pour lrsquoindividu qui est acheteur net du bien 1

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2

w2 E E ʹ U1 U0

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

33

Par contre la situation du vendeur net du bien 1 (acheteur net du bien 2) devra srsquoameacuteliorer en ce qursquoil disposera de plus drsquoargent pour financer lrsquoacquisition du bien 2

Bien 2 (p1w1 + p2w2)p2 E ʹ

U1 E U0

w2

0 w1 (p1w1 + p2w2)p1 Bien 1

Offre de travail Le niveau de vie drsquoun individu deacutepend certes de sa consommation C mais aussi du temps de relaxation ou de loisir dont il dispose l Dans ces conditions on peut dire que son problegraveme eacuteconomique consistera maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent la consommation et le loisir sous sa contrainte budgeacutetaire Cette derniegravere est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacute entre le revenu salarial de lrsquoindividu et sa deacutepense pour disposer de C

Max U(C l) telle que wL = pC

avec C l ge 0 L repreacutesente le temps de travail w le taux de salaire horaire et p le prix du bien C Compte tenu du fait que L = L0 ndash l (L0 eacutetant le temps disponible) le problegraveme drsquooptimisation de lrsquoindividu peut srsquoeacutecrire comme suit

Max U(C l) telle que w(L0 ndash l) = pC

avec C l ge 0 Reacutesolvons ce problegraveme en utilisant la meacutethode de Lagrange

Z = U(C l) + λ[w(L0 ndash l) ndash pC] Prenons les conditions du premiegravere ordre on arrive agrave eacutetablir que

U ʹl = λw U ʹC = λp

Il vient donc qursquo lrsquoeacutequilibre lrsquoindividu devra eacutegaliser son taux marginal de substitution du loisir par la consommation agrave son salaire reacuteel U ʹlU ʹC = wp En drsquoautres termes il eacutegalise son taux marginal de substitution agrave la pente de sa droite de budget

34

C wL0p

E

0 L0 l

Il est possible de deacuteriver graphiquement la courbe drsquooffre du travail en analysant les effets drsquoune variation successive du taux de salaire sur lrsquoeacutequilibre de lrsquoindividu Chaque fois que w aura agrave augmenter la droite du budget de lrsquoindividu va pivoter autour du point L0 Dans un premier temps lrsquoaccroissement du taux de salaire amegravenera lrsquoindividu revoir la baisse son temps de loisir pour tirer parti de cette majoration du salaire horaire Apregraves la deuxiegraveme majoration il se dira que lrsquoaugmentation du salaire horaire est si substantielle qursquoil preacutefegraverera accroicirctre son temps de loisir pour tirer profit du surplus de revenu en sa disposition C Salaire wL0p w3 w2

U2 E U1 w1 U0

0 L0 l L1 L3 L2 L

17 Choix intertemporels Dans cette analyse nous supposons que lrsquoindividu vit sur deux peacuteriodes 1 et 2 et qursquoil a la possibiliteacute de srsquoendetter tout comme de precircter A la date 1 lrsquoindividu dispose drsquoune dotation ou drsquoun revenu m1 et sa consommation est noteacutee par c1 Si cette derniegravere est eacutegale agrave m1 son eacutepargne sera nulle Par contre si c1 est infeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera positive et si c1 est supeacuterieur agrave m1 son eacutepargne sera neacutegative

c1 = m1 m1 ndash c1 = 0 Lrsquoagent nrsquoeacutepargne pas

c1 lt m1 m1 ndash c1 gt 0 Lrsquoagent deacutegage une capaciteacute de financementPrecircteur

c1 gt m1 m1 ndash c1 lt 0 Lrsquoagent ressent un besoin de financementEmprunteur

Si c1 = m1 agrave la date 2 la dotation ou revenu m2 financera inteacutegralement la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode c2 Par contre si c1 lt m1 lrsquoindividu gagnera la date 2 un montant eacutegal

(m1 ndash c1)(1 + i)

35

ougrave i repreacutesente le taux drsquointeacuterecirct nominal Ce qui fait que sa consommation la deuxiegraveme peacuteriode sera eacutegale agrave la somme de la dotation et du produit du placement effectueacute agrave la date 1

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i) A partir de cette relation on peut deacutefinir la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de la maniegravere suivante

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 Admettons que c1 gt m1 Dans ce cas lrsquoindividu devra srsquoendetter drsquoun montant eacutegal Si c1 ndash m1 pour financer son besoin en argent Il vient donc qursquo la date 2 il devra rembourser le principal et payer les inteacuterecircts attacheacutes lrsquoemprunt qursquoil a contracteacute Il ne pourra plus allouer tout son revenu en 2 au financement de c2 Cette derniegravere sera donneacutee par

c2 = m2 ndash (c1 ndash m1)(1 + i) A partir de cette relation on eacutetablit eacutegalement que

c2 + c1(1 + i) = m2 + m1(1 + i) ou c2(1 + i) + c1 = m2(1 + i) + m1 La premiegravere relation exprime la contrainte budgeacutetaire en termes de valeurs futures et la deuxiegraveme en termes de valeurs preacutesentes ou actuelles Repreacutesentons graphiquement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle de lrsquoindividu Si c2 = 0 il vient que

c1 = m1 + m2(1 + i) (abscisse lrsquoorigine) Si c1 = 0 il vient que

c2 = m2 + m1(1 + i) (ordonneacutee lrsquoorigine) Pour avoir la pente de la droite on va deacuteriver c2 par rapport agrave c1 On va avant tout reacuteeacutecrire la contrainte budgeacutetaire

c2 = m2 + m1(1 + i) ndash c1(1 + i) La deacuteriveacutee est dc2dc1 = ndash (1 + i) La droite a une pente neacutegative et constante c2

m2 + m1(1 + i)

Dotation

m2

m1 m1 + m2(1 + i) c1

36

Equilibre individuel emprunteur et precircteur Admettons que les preacutefeacuterences en termes de consommation de lrsquoindividu soient normales Sa fonction drsquoutiliteacute srsquoeacutecrira

U = U(c1 c2) Les preacutefeacuterences sont convexes car si lrsquoindividu deacutecide drsquoaccroicirctre c1 il devra neacutecessairement reacuteduire c2 et vice-versa Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre sera deacutefini au point de tangence de la courbe drsquoindiffeacuterence et de la droite de budget c2 m2 + m1(1 + i) m2 E c2 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Ce graphique repreacutesente la situation drsquoun individu qui srsquoendette au temps 1 pour assurer sa consommation Il vient ainsi qursquoau temps 2 sa consommation sera infeacuterieure son revenu ou sa dotation m2 Par contre dans le graphique ci-apregraves il srsquoagit drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2 c2 m2 + m1(1 + i) c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Effet drsquoune hausse du taux drsquointeacuterecirct Si le taux drsquointeacuterecirct augmente la pente de la droite de budget sera plus prononceacutee Mais il faut noter que la droite aura pivoter autour du point de dotation Pour un emprunteur cette hausse nrsquoest pas chose inteacuteressante Il se verra dans lrsquoobligation de revoir la baisse sa consommation

37

c2 m2 + m1(1 + i) m2 c2 E E U1 U0 m1 c1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un individu qui precircte de lrsquoargent au temps 1 cette hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il convient mecircme de signaler qursquoil aura tendance accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i) E U1 c2 E U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Inflation et taux drsquointeacuterecirct reacuteel Jusque-l les prix nrsquoont pas eacuteteacute pris en consideacuteration alors que nous savons qursquoen regravegle geacuteneacuterale les prix tendent agrave croicirctre au fil du temps Supposons que le prix de la consommation agrave la date 1 est eacutegal agrave lrsquouniteacute et le prix de la consommation la date 2 est p2 Avec ce changement la contrainte budgeacutetaire intertemporelle devient

p2c2 + c1(1 + i) = p2m2 + m1(1 + i) La valeur de c2 devient

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)p2 Dans ces conditions la pente de la droite de budget srsquoeacutecrit

dc2dc1 = ndash (1 + i)p2

38

Puisque le taux drsquoinflation est le taux de croissance des prix drsquoune peacuteriode une autre on peut eacutecrire

p2 = p1 + πp1 p1 eacutetant eacutegal lrsquouniteacute il vient que p2 = 1 + π Ce qui nous donne

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + i)(1 + π) Deacutefinissons le taux drsquointeacuterecirct reacuteel r de la sorte

1 + r = (1 + i)(1 + π) En reacutesolvant cette derniegravere relation par rapport agrave r on obtient

r = (i ndash π)(1 + π) Si π est faible le deacutenominateur de lrsquoexpression ci-dessus sera proche de lrsquouniteacute Par conseacutequent on eacutetablit que

r = i ndash π5 En se servant du taux drsquointeacuterecirct reacuteel on peut exprimer la consommation de la deuxiegraveme peacuteriode comme suit

c2 = m2 + (m1 ndash c1)(1 + r) Cette relation suggegravere que lrsquoindividu prend ses deacutecisions en tenant compte non pas du taux drsquointeacuterecirct nominal i mais plutocirct du taux drsquointeacuterecirct reacuteel r Si lrsquoinflation est supeacuterieure au taux drsquointeacuterecirct nominal le taux drsquointeacuterecirct reacuteel sera neacutegatif et les individus preacutesentant une capaciteacute de financement auront du mal effectuer des placements car drsquoune peacuteriode une autre ils auront perdre de leur pouvoir drsquoachat srsquoils effectuaient des placements Tout compte fait cette analyse nous montre que derriegravere lrsquoeacutequilibre qui se forme sur le marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier il y a plusieurs facteurs explicatifs des comportements des intervenants tant du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande de capitaux Les deacutecisions sont prises en fonction des dotations ou revenus disponibles chaque peacuteriode du taux drsquointeacuterecirct et de lrsquoeacutevolution des prix dans le temps Lrsquoanalyse peut encore ecirctre enrichie si lrsquoon tient compte du risque associeacute un placement

5 Cette relation est connue sous le nom de relation de Fischer

39

2

Analyse du comportement du producteur

a theacuteorie neacuteoclassique du comportement du producteur se propose drsquoexpliquer comment une firme ou producteur devrait organiser sa production afin de maximiser le profit qui deacutecoulerait de son activiteacute Le profit eacutetant donneacute par la diffeacuterence entre la recette et le coucirct de production

le problegraveme eacuteconomique du producteur ou de la firme pourrait ecirctre poseacute comme un problegraveme de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct ou un problegraveme de minimisation du coucirct sous une contrainte de production Si la firme se trouve en face de trois technologies qui lui coucirctent un mecircme montant elle devra choisir celle qui donnerait lieu agrave une plus grande production Si elle est en preacutesence de trois technologies qui donnent lieu agrave un mecircme niveau de production elle devrait choisir celle qui coucircte le moins La theacuteorie postule cet eacutegard qursquoune firme rationnelle est celle qui utilise les facteurs de production (inputs) jusqursquoau point ougrave leur productiviteacute marginale en valeur sera eacutegale agrave ce que le facteur lui coucircte Aussi elle avance qursquoune firme rationnelle exploite toutes les possibiliteacutes drsquoaffaires que lrsquoeacuteconomie ou le marcheacute lui offre afin de maximiser son profit

21 Analyse de la production La production est lrsquoactiviteacute de lrsquohomme qui consiste combiner certains biens appeleacutes inputs selon une technologie donneacutee afin de geacuteneacuterer un bien ou un ensemble de biens (appeleacutes outputs) Produire est une activiteacute qui relegraveve des ingeacutenieurs les eacuteconomistes srsquointeacuteressent aux aspects eacuteconomico-financiers du processus de production Qursquoest-ce que les facteurs rapportent la firme et qursquoest-ce qursquoils lui coucirctent Est-ce que lrsquoactiviteacute de production telle que organiseacutee eu eacutegard lrsquoeacutetat du marcheacute pourrait rapporter suffisamment drsquoargent la firme Lrsquoanalyse de la production se construit essentiellement autour de la fonction de production qui par deacutefinition est lrsquoexpression algeacutebrique de la relation technologique entre lrsquooutput de la firme et les inputs qursquoelle utilise pour venir bout de sa production Si lrsquooutput est repreacutesenteacute par y et les n inputs par xi (avec i = 1 2 hellip n) la fonction de production peut sous une forme geacuteneacuterale srsquoeacutecrire

y = f(x1 x2hellip xn) La fonction f() deacutecrit la technologie utiliseacutee par la firme pour geacuteneacuterer son output Etant donneacute que les inputs sont des deacuteterminants du niveau de production la variation de la quantiteacute utiliseacutee drsquoun input devrait entraicircner une variation de la production Cet effet qursquoon appelle rendement factoriel ou productiviteacute marginale est donneacute par le rapport des variations de la production et de lrsquoinput dont la variation a eacuteteacute agrave la base de la variation de la production

Pmxi = ΔyΔxi Consideacuterons une firme qui en utilisant 10 uniteacutes du facteur x1 produit 20 uniteacutes drsquooutput Si en augmentant drsquoune uniteacute la quantiteacute utiliseacutee du facteur x1 et que cet accroissement entraicircne un accroissement de la production de 5 uniteacutes on conclut que la 11iegraveme uniteacute du facteur x1 a une productiviteacute marginale eacutegale 5 Si lrsquointervention drsquoune 12iegraveme uniteacute du facteur nrsquoentraicircne pas de modification de lrsquoeacutechelle de production on conclut que cette derniegravere uniteacute du facteur a une productiviteacute marginale nulle Et si apregraves intervention drsquoune 13iegraveme uniteacute on constate que la production diminue de 2 uniteacutes on conclut que cette derniegravere uniteacute a eu une productiviteacute marginale neacutegative

LL

40

Lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction continue et deacuterivable le produit marginal est donneacute par la deacuteriveacutee de y par rapport lrsquoinput concerneacute soit

Pmxi = dydxi = f i ()

Pour une fonction Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy le produit marginal de x1 est ba xaxPmx 2

111 et celui

de x2 par 1212 ba xbxPmx

Lorsque la productiviteacute marginale drsquoun facteur devient neacutegative cela suppose que la firme en fait un mauvais usage ou un usage excessif et qursquoil faudrait en reacuteduire lrsquousage Un autre concept important dans lrsquoanalyse de la production est le produit moyen de lrsquoinput i noteacute PMxi Ce dernier est donneacute par le rapport de lrsquooutput sur la quantiteacute utiliseacutee du facteur et renseigne sur la contribution moyenne de chaque uniteacute de xi dans la production soit

PMxi = yxi Pour la fonction de production Cobb-Douglas retenu ci-dessus les produits moyens des deux facteurs

sont donneacutes respectivement par ba xxPMx 21

11 et 1

212 ba xxPMx

Il est possible que les uniteacutes de mesure de lrsquooutput et de lrsquoinput i soient discordantes Pour bien analyser la sensibiliteacute de la production par rapport lrsquoinput xi il est preacutefeacuterable de calculer lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur Lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi est donneacutee par

y

x

dx

dy

PMx

Pmx i

ii

ixy i

Compte tenu des reacutesultats obtenus ci-dessus on eacutetablit que pour une technologie Cobb-Douglas lrsquoeacutelasticiteacute de la production par rapport au facteur x1 est eacutegale agrave a et pour x2 elle est eacutegale agrave b Il est important de mener lrsquoanalyse de la production en fonction de lrsquohorizon temporel car dans le court terme il existe certains facteurs de production qui demeurent constants alors que dans le long terme tous les facteurs deviennent variables Cet eacutetat de choses ne va pas sans conseacutequences sur lrsquoanalyse et les principales conclusions sur lesquelles on devrait deacuteboucher Ainsi nous proceacutederons lrsquoanalyse de la production en fonction des deux horizons temporels Dans la suite de lrsquoexposeacute nous allons supposer que la firme pour produire utilise deux facteurs x1 et x2 Le premier repreacutesente le facteur travail et le deuxiegraveme repreacutesente le facteur capital

211 Analyse de la production dans le court terme Dans le court terme on note que le facteur capital est fixe car ce nrsquoest pas du jour au lendemain qursquoune firme peut revoir ses eacutequipements ou sa capaciteacute installeacutee Seul le facteur travail peut varier dans le court terme Ainsi les variations de la production sont dues aux variations de x1 mais cela ne veut pas dire que x2 cesse drsquoecirctre un deacuteterminant de y Lrsquoutilisation du facteur variable devrait se faire en tenant compte de la capaciteacute installeacutee crsquoest-agrave-dire du facteur fixe Il ne faudrait pas le sous-utiliser ni lrsquoutiliser de maniegravere abusive On eacutecrit la fonction de production comme suit

)( 21 xxfy

41

En partant de lrsquoobservation et suivant lrsquoanalyse effectueacutee par David Ricardo on eacutetablit que la production dans le court terme eacutevolue selon lrsquoallure drsquoune lettre S allongeacutee En effet lrsquoobservation montre que dans un premier temps le produit marginal du facteur variable est positif et eacutevolue agrave un rythme croissant Apregraves un certain moment il demeure positif mais il eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant Apregraves un certain seuil il devient neacutegatif et rejaillit neacutegativement sur lrsquoeacutechelle de production

)( 21 xxfy Zone I Zone II Zone III

0 xi

PMxi

0 xi Pmxi

Il ressort de ces deux graphiques superposeacutes qursquoune firme rationnelle ne peut pas organiser sa production dans la zone III car dans cette zone le produit marginal du travail est neacutegatif Il en est de mecircme pour la zone I car dans cette zone le produit marginal est supeacuterieur au produit moyen du travail Ceci suppose que dans la zone I le facteur fixe est sous-exploiteacute or la rareteacute des ressources nous impose de ne pas gaspiller Lrsquoutilisation du facteur fixe devient optimale lorsque le produit marginal du travail atteint son maximum et devient eacutegal au produit marginal

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Pmx1 = PMx1 lorsque PMx1 atteint son maximum Par deacutefinition PMx1 = yx1 Ce dernier atteint son maximum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave x1 est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

021

11

1

1

x

yPmxx

dx

dPMx

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que 11 xyPmx

La zone II est qualifieacutee de zone de validiteacute drsquoune fonction de production en ce qursquoelle nrsquoest pas caracteacuteriseacutee par une sous-utilisation du facteur fixe ni par une sur-utilisation anti-eacuteconomique de ce dernier Dans cette zone on veacuterifie que le produit marginal de x1 est positif et eacutevolue agrave un rythme deacutecroissant soit

f i () gt 0 et f i () 0

42

Selon la theacuteorie neacuteoclassique ces deux conditions sont lrsquoexpression mecircme de la reacutegulariteacute drsquoune fonction de production Si ces conditions sont veacuterifieacutees on dit que la fonction est laquo well behaved raquo Compte tenu de la deacutefinition donneacutee ci-dessus de lrsquoeacutelasticiteacute ainsi que des graphiques ci-dessus on dit que le facteur fixe est sous-utiliseacute lorsque lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooutput par au facteur variable est supeacuterieure un (zone I) et on dit qursquoil connaicirct une sur-utilisation eacuteconomiquement toleacuterable lorsque lrsquoeacutelasticiteacute est comprise entre zeacutero et un (zone II appeleacutee zone de validiteacute) Lorsque lrsquoeacutelasticiteacute devient neacutegative on parle drsquoune sur-utilisation anti-eacuteconomique (zone III)

212 Analyse de la production dans le long terme Dans le long terme tous les inputs deviennent variables Ainsi la firme agrave une plus grande marge de manœuvre en termes de possibiliteacute de combinaison des facteurs Si les deux sont substituables la firme peut reacutealiser un mecircme niveau de production en se servant de plusieurs combinaisons drsquoinputs Le lieu geacuteomeacutetrique de ces diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs est appeleacute isoquant x2

(x2x1)

A

x2

A A (x2x1)

B x2

B B y0

0 x1A x1

B x1

Les combinaisons A et B ne sont pas identiques mais puisque eacutetant sur le mecircme isoquant elles donnent lieu agrave une mecircme production soit y0 Le passage de A agrave B se traduit par une diminution de la quantiteacute utiliseacutee de x2 et un accroissement de la quantiteacute utiliseacutee de x1 Ces variations nrsquoont pas alteacutereacute ou accru lrsquoeacutechelle de production car lrsquoajustement des quantiteacutes des deux facteurs srsquoest fait en fonction de la productiviteacute marginale de chaque input Etant donneacute que sur lrsquoisoquant le niveau de production est constant on peut eacutecrire

y0 = f(x1 x2) La diffeacuterentielle de cette relation donne

dy0 = Pmx1dx1 + Pmx2dx2 = 0 Apregraves arrangement on arrive agrave deacutefinir le taux marginal de substitution technique (TmSt) comme eacutetant le rapport des productiviteacutes marginales des deux inputs soit

2

1

1

2 TmStPmx

Pmx

dx

dx

Pour une technologie Cobb-Douglas drsquoexpression 21ba xxy le taux marginal de substitution technique

est donneacute par

1

2

x

x

b

aTmSt

43

Geacuteomeacutetriquement le taux marginal de substitution technique peut srsquointerpreacuteteacute comme la pente meneacutee un point preacutecis de lrsquoisoquant Lorsqursquoon passe de A B on constate que la pente de lrsquoisoquant deacutecroicirct Ceci tient au fait que le facteur x2 en devenant relativement rare voit son produit marginal augmenter et le facteur x1 en devenant relativement abondant voit son produit marginal diminuer drsquoougrave une baisse du TmSt

Elasticiteacute de substitution Lorsque lrsquoon passe de A B on observe eacutegalement un changement du rapport des facteurs (x2x1) ou de la combinaison des inputs Ceci tient au fait que le passage de A agrave B se traduit par un changement du TmSt crsquoest-agrave-dire un changement du rapport des productiviteacutes marginales des facteurs Pour calculer la sensibiliteacute du rapport des facteurs par rapport au TmSt Hicks a proposeacute le concept drsquoeacutelasticiteacute de substitution Ce dernier srsquoeacutecrit comme suit

ln

)ln(

)(

)( 12

12

12

TmSt

xx

xx

TmSt

dTmSt

xxd

Prenons le logarithme neacutepeacuterien du TmSt de la Cobb-Douglas lnlnln1

2

x

x

b

aTmSt En calculant

lrsquoeacutelasticiteacute de substitution on obtient 1 Crsquoest justement la principale faiblesse que preacutesente la fonction Cobb-Douglas En 1961 Solow ndash Minhas ndash Arrow ndash Chenery ont proposeacute une autre fonction de production appeleacute SMAC ou CES (Constant Elasticity of Substitution) pouvant donner lieu agrave des eacutelasticiteacutes de substitution diffeacuterentes de 1 Cette forme fonctionnelle qui se fonde sur deux opeacuterateurs matheacutematiques (barycentre et moyenne harmonique geacuteneacuteraliseacutee) srsquoeacutecrit

)1(1

21

xaaxy

ougrave repreacutesente ρ le paramegravetre de substitution Pour la CES lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

En fonction de la valeur prise par le paramegravetre ρ la valeur de lrsquoeacutelasticiteacute peut changer Si ρ = 0 lrsquoeacutelasticiteacute de substitution sera eacutegale 1 ce qui renvoie agrave une technologie de type Cobb-Douglas

Rendements drsquoeacutechelle Lorsque lrsquoon srsquointeacuteresse lrsquoeffet drsquoune variation eacutequi-proportionnelle de tous les facteurs de production sur lrsquooutput on procegravede lrsquoanalyse des rendements drsquoeacutechelle Ces derniers peuvent ecirctre croissants constants ou deacutecroissants Soit m un scalaire par lequel on augmente les quantiteacutes utiliseacutees de tous les facteurs On dira qursquoune technologie est caracteacuteriseacutee par

(1) des rendements constants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) = my (2) des rendements croissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) lt my (3) des rendements deacutecroissants lrsquoeacutechelle si f(mx1 mx2) gt my

Dans la situation (1) on observe un accroissement de la production dans les mecircmes proportions que les inputs alors que dans la situation (2) il y a accroissement plus que proportionnel et dans la situation (3) il y a accroissement moins que proportionnel

44

Rendements constants Rendements croissants

x2 x2

A A A B 2y A B B 3y B y y

0 x1 0 x1

Rendements deacutecroissants

x2

A A B 15y B y

0 x1

Il convient de remarquer qursquoune fonction de production est dite homogegravene de degreacute k lorsqursquoen multipliant tous les facteurs de production par un scalaire m on obtient une expression de la forme

f(mx1 mx2) = mk f(x1 x2) Dans ces conditions une technologie rendements drsquoeacutechelle constants doit ecirctre homogegravene de degreacute 1 une technologie rendements drsquoeacutechelle croissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute supeacuterieur et une technologie rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants doit ecirctre homogegravene drsquoun degreacute infeacuterieur de lrsquouniteacute Theacuteoregraveme drsquoEuler Le theacuteoregraveme eacutetablit que pour une fonction de production homogegravene de degreacute m on veacuterifie lrsquoeacutegaliteacute ci-apregraves

my = xi f i () (avec i = 1 2) On peut donc deacutemontrer que le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute drsquoune fonction de production est la somme des eacutelasticiteacutes de lrsquooutput par rapport tous les inputs ou facteurs qursquoelle utilise Il suffit de diviser cette derniegravere relation drsquoEuler par y pour srsquoen convaincre

ixy

n

i

ii

y

fxm

Pour la fonction de production Cobb-Douglas noteacutee 21ba xxy m = a + b La nature des rendements

drsquoeacutechelle deacutependra de la valeur prise par les diffeacuterents paramegravetres On aura des rendements drsquoeacutechelle

Ces trois graphiques illustrent les concepts de rendements drsquoeacutechelle constants croissants et deacutecroissants A correspond agrave la combinaison (x1

A x2

A) B agrave (x1B x2

B) A agrave (2x1A 2x2

A) et B agrave (2x1

B 2x2B) Si en multipliant par 2 la quantiteacute

utiliseacutee de tous les inputs on constate que lrsquooutput est lui-mecircme multiplieacute par 2 on parle de rendements drsquoeacutechelle constants Si lrsquooutput est multiplieacute par 3 (qui est supeacuterieur agrave 2) on est en preacutesence de drsquoeacutechelle rendements croissants Par contre si lrsquooutput est multiplieacute par 12 (qui est infeacuterieur agrave 2) la production est ponctueacutee par des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants

45

constants si a + b = 1 des rendements drsquoeacutechelle croissants si a + b gt 1 et des rendements drsquoeacutechelle deacutecroissants si a + b lt 1

22 Analyse des coucircts Pour produire son output y la firme doit acheter les inputs x1 et x2 sur le marcheacute des facteurs respectivement aux prix w1 et w2 Ainsi on peut deacutefinir le coucirct de production comme eacutetant la somme des deacutepenses engageacutees par la firme pour geacuteneacuterer lrsquooutput y On eacutecrit

C = w1x1 + w2x2 Puisque les inputs x1 et x2 concourent la reacutealisation de lrsquooutput y on peut eacutegalement exprimer le coucirct de production comme une fonction de y On eacutecrit alors

C = C(y) Lrsquoimpact drsquoune variation de y sur le coucirct est appeleacute coucirct marginal En preacutesence de donneacutees discregravetes le coucirct marginal est donneacute par le rapport suivant

Cm = ΔCΔy Lorsqursquoon se trouve devant une fonction de coucirct continue et deacuterivable on peut calculer le coucirct marginal en calculant la deacuteriveacute de C par rapport agrave y soit

Cm = dCdy Si lrsquoon srsquointeacuteresse au coucirct de production drsquoune uniteacute drsquooutput il faut deacuteterminer le coucirct moyen CM Ce dernier nrsquoest rien drsquoautre que le rapport entre le coucirct total de production et la quantiteacute drsquooutput geacuteneacutereacute soit

CM = Cy Etant donneacute que lrsquoanalyse de la production a eacuteteacute envisageacutee en fonction de lrsquohorizon temporel nous envisagerons aussi lrsquoanalyse des coucircts en deux temps La fixiteacute drsquoun facteur dans le court terme a des conseacutequences sur la structure des coucircts et mecircme sur les deacutecisions agrave prendre par la firme en termes de production

22 Analyse des coucircts agrave court terme A court terme le facteur x2 est maintenu constant alors que le facteur x1 est variable Ainsi la fonction de coucirct srsquoeacutecrira

2211 xwxwC

Les prix des inputs eacutetant fixeacutes par le marcheacute on distinguera deux composantes du coucirct total agrave savoir le coucirct variable et le coucirct fixe Le coucirct variable Cv correspond au produit w1x1 et le coucirct fixe Cf au produit 22 xw Ainsi la fonction de coucirct total peut aussi srsquoeacutecrire

C = Cv + Cf = g(y) + Cf

Le coucirct fixe ne deacutepend pas de lrsquoeacutechelle de production alors que le coucirct variable deacutepend du volume de la production y

46

Le coucirct marginal que nous avons deacutefini ci-dessus comme le coucirct supporteacute par la firme pour geacuteneacuterer une uniteacute additionnelle drsquooutput est donneacute par

Cm = dCdy = g(y) La deacuteriveacutee du coucirct total est eacutegale agrave celle du coucirct variable car la deacuteriveacutee du coucirct fixe est nulle Ceci montre que la courbe repreacutesentative du coucirct variable aura la mecircme allure que celle de la courbe de coucirct total Le coucirct moyen eacutetant le rapport du coucirct total avec le volume de production y on arrive agrave eacutetablir que le coucirct moyen est eacutegal agrave la somme du coucirct variable moyen et du coucirct fixe moyen soit

CM = Cy = CvM +CfM Comment tracer les courbes de coucirct variable et de coucirct total Il faudrait connaicirctre lrsquoallure des courbes selon que y varie Prenons la deacuteriveacutee de C par rapport agrave y ce qui donne

1

1

Pmx

w

dy

dC

Compte tenu de lrsquoeacutevolution de la production dans le court terme (rendements croissants constants et puis deacutecroissants) les courbes de coucirct total et de coucirct variable auront dans un premier une pente positive mais deacutecroissante et ensuite une pente positive et croissante Ainsi les courbes de coucirct total et coucirct variable auront lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Coucircts C = Cv + Cf Cv Cf 0 y

Compte tenu de lrsquoeacutevolution du coucirct total on comprend que la courbe de coucirct marginal sera dans un premier temps deacutecroissante ensuite croissante Il en est de mecircme pour la courbe de coucirct moyen car

1

1 CfMPMx

w

y

CCM

Eu eacutegard lrsquoeacutevolution du PMx1 on eacutetablit que dans un premier temps le coucirct moyen deacutecroit tout en eacutetant supeacuterieur au coucirct marginal et dans un deuxiegraveme temps il croicirct tout en eacutetant infeacuterieur au coucirct marginal Ceci suppose que les deux courbes se croisent en un point preacutecis au point ougrave le coucirct moyen atteint son minimum

47

Preuve de lrsquoeacutegaliteacute Cm = CM lorsque CM atteint son minimum Par deacutefinition CM = Cy Ce dernier atteint son minimum lorsque sa deacuteriveacutee par rapport agrave y est eacutegale agrave zeacutero En deacuterivant et en annulant on obtient

02

y

CyCm

dy

dCM

En arrangeant les eacuteleacutements de ce dernier rapport on arrive agrave eacutetablir que yCCm Le graphique

ci-apregraves preacutesente les courbes repreacutesentatives du coucirct marginal du coucirct moyen et du coucirct variable moyen Prix Coucircts Cm CM CvM = g(y)y 0 y

Fonction de coucirct agrave long terme Puisque dans le long terme tous les facteurs sont variables le coucirct fixe est absorbeacute par le coucirct variable et la fonction de coucirct devient

C = C(y) En courte peacuteriode la dimension ou taille de la firme est deacutetermineacutee par le coucirct fixe Ainsi dans le court terme la production est contrainte par le facteur fixe en ce que lrsquoutilisation du facteur variable deacutepend du facteur fixe La courbe de coucirct de long terme est une courbe enveloppe des courbes de coucirct de diffeacuterentes sous-peacuteriodes qui forment la longue peacuteriode Coucircts CLT CCT3 CCT1 CCT2 0 y

48

Dans le long terme le coucirct moyen sera donneacute

2

2

1

1

PMx

w

PMx

w

y

CCM

et sa courbe repreacutesentative aura une concaviteacute tourneacutee vers le haut Il faut noter que cette courbe de coucirct moyen de long terme est une courbe enveloppe qui ramasse plusieurs courbes de coucirct moyen de courtes peacuteriodes Coucircts CMLT CMCT1 CMCT3 CMCT2 0 y

La courbe de coucirct marginal aura la mecircme allure que celle qursquoelle avait dans le court terme eacutetant donneacute que la courbe de coucirct total a lrsquoallure de la lettre S renverseacutee Elle coupera la courbe de coucirct moyen lorsque cette derniegravere atteint son minimum

23 Gestion optimale Le problegraveme eacuteconomique de base de la firme est celui de maximiser son profit

Max π R ndash C(y) = py ndash C(y) En deacuterivant le profit par rapport agrave y et en annulant la deacuteriveacutee on obtient le critegravere agrave observer par la firme pour ecirctre efficace sur le marcheacute

p = Cm Ceci suggegravere que la firme devrait bien organiser sa production pour tirer meilleur parti du prix pratiqueacute sur le marcheacute (scale efficient) Puisque y = f(x1 x2) on peut aussi eacutecrire le problegraveme comme suit

Max π R ndash C(y) = pf(x1 x2) ndash [w1x1 + w2x2] Ce problegraveme peut eacutegalement ecirctre appreacutehendeacute en termes de maximisation de la production sous une contrainte de coucirct soit

Max f(x1 x2)

telle que C ge p1x1 + p2x2

avec (x1 x2) R2+

49

Ce programme peut par une approche duale prendre la forme drsquoun problegraveme de minimisation

Min C = p1x1 + p2x2

telle que f(x1 x2) ge ydeg

avec (x1 x2) R2+

Dans les lignes qui suivent nous aurons agrave deacutefinir les regravegles agrave observer par une firme qui se veut techniquement efficace et qui voudrait faire une entreacutee reacuteussie sur le marcheacute dans lequel elle aura agrave vendre son output

231 Gestion optimale dans le court terme Puisque x2 est fixe dans le court terme le problegraveme de maximisation du profit peut srsquoeacutecrire

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et en annulant la deacuteriveacutee on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 Le produit pPmx1 donne le produit marginal en valeur du facteur x1 crsquoest-agrave-dire le produit marginal du facteur x1 valoriseacute au prix auquel lrsquooutput est vendu p On peut eacutetablir que

pPmx1 = w1 Cette relation suggegravere que la firme arrecirctera drsquoengager des uniteacutes additionnelles du facteur x1 lorsque le produit marginal en valeur du facteur sera eacutegal agrave ce que le facteur coucircte agrave la firme On peut encore eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on doit observer lrsquoeacutegaliteacute

Pmx1 = w1p Ceci laisse entendre que la firme reacutemunegravere le facteur en fonction de sa productiviteacute marginale Cette derniegravere correspond donc au salaire reacuteel crsquoest-agrave-dire au rapport salaire sur prix La mecircme conclusion peut ecirctre obtenue en se servant drsquoune approche graphique La fonction de profit peut ecirctre eacutecrite comme suit

][ 2211 xwxwpy

En reacutesolvant cette relation par rapport agrave y on obtient lrsquoisoprofit qui est une eacutequation qui met en relation y et x1 afin de reacutealiser un mecircme niveau de profit

1122 x

p

w

p

xwy

En deacuterivant y par rapport agrave x1 on obtient la pente de la droite drsquoisoprofit qui est positive et eacutegale w1p On peut ainsi dans un plan (x1 y) repreacutesenter des droites parallegraveles repreacutesentant diffeacuterents niveaux de profit Si on ajoute au graphique la courbe de production juste pour la partie correspond agrave la zone de validiteacute on peut tirer la mecircme conclusion que celle tireacutee ci-dessus

50

y Droites drsquoisoprofit

)( 21 xxfy

0 x1 x1

La quantiteacute agrave utiliser du facteur x1 est celle qui eacutegalise la pente de la fonction de production (Pmx1) agrave la pente de la droite drsquoisoprofit (w1p)

232 Gestion optimale dans le long terme Dans le long terme le problegraveme de maximisation du profit srsquoeacutecrit comme suit

][)( 221121 xwxwxxpfMax

En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave x1 et x2 et en annulant les deux deacuteriveacutees on obtient

pPmx1 ndash w1 = 0 ou pPmx1 = w1 pPmx2 ndash w2 = 0 ou pPmx2 = w2

Ces reacutesultats montrent que la firme devrait engager les deux facteurs en fonction de leurs productiviteacutes marginales En faisant le rapport des productiviteacutes marginales en valeur des deux facteurs on arrive agrave eacutetablir que pour ecirctre techniquement efficace (technical efficient) la firme doit eacutegaliser son taux marginal de substitution technique au prix relatif des facteurs soit

2

1

2

1

w

w

Pmx

PmxTmSt

Graphiquement cette condition drsquoeacutequilibre est eacutetablie en faisant un rapprochement de la pente de lrsquoisoquant avec la pente de lrsquoisocoucirct Ce dernier est lrsquoensemble de combinaisons drsquoinputs qui coucirctent exactement C agrave la firme

51

x2 x2 E y2 y1 y0

0 x1 x1

En se servant de cette condition drsquoeacutequilibre on peut deacuteriver les fonctions de demande des inputs Celles-ci prendront respectivement les formes geacuteneacuterales ci-apregraves compte tenu des deux programmes repris ci-dessus

xi = xi (C w1 w2) et xi = xi (ydeg w1 w2)

La premiegravere fonction eacutetablit que la demande est fonction de lrsquoenveloppe budgeacutetaire alloueacutee agrave la production et des prix des facteurs alors que la deuxiegraveme a pour arguments le niveau de production attendu et les prix des facteurs On peut aussi compter p le prix de lrsquooutput parmi les deacuteterminants de la demande drsquoinput

Consideacuterons la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy Les productiviteacutes marginales des deux

facteurs eacutetant ba xaxPmx 21

11 et 1

212 ba xbxPmx lrsquoeacutequilibre on devrait veacuterifier que

121

1 wxpax ba

21

21 wxpbx ba

En multipliant la premiegravere relation par x1 et la deuxiegraveme par x2 on arrive agrave eacutetablir que

11xwpay

22xwpby

Par conseacutequent les fonctions de demande des deux inputs seront donneacutees par

1

1w

payx

2

2w

pbyx

Taille optimale de la firme Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoune firme utilisant deux facteurs de production x1 et x2 Dans le court terme le facteur x2 est fixe alors que x1 est variable Pour reacutealiser la production y0 dans le court terme la firme doit utiliser la quantiteacute du facteur x1

CT compatible agrave la norme fixeacutee par 2x

52

x2

Isoquant

2x

x2 E Isocoucirct

y0 0 x1

CT x1 x1

Il se deacutegage de ce graphique que la reacutealisation de y0 dans le court terme coucircte plus cher que si lrsquoon se trouvait au point E point qui peut ecirctre envisageacute dans le long terme Si la firme avait la possibiliteacute de faire varier le facteur x2 elle lrsquoaurait fait mais sa fixiteacute le lui interdit Ceci montre que dans le long terme la firme a la possibiliteacute de srsquoajuster de maniegravere maximiser son profit alors que dans le court terme crsquoest le facteur fixe qui deacutetermine les possibiliteacutes de production Ainsi dans le court terme la firme est dite rationnelle lorsque le choix de sa taille correspond agrave la quantiteacute x2 Nous avons qualifieacute

le coucirct de long terme drsquoenveloppe de celui de court terme car on veacuterifie toujours que CCT CLT

Sentier drsquoexpansion de la firme Autant que lrsquohomme est appeleacute croicirctre la firme est appeleacute croicirctre et prendre des dimensions plus importantes pour offrir davantage des uniteacutes de son output sur le marcheacute Dans le graphique ci-dessous on considegravere que le budget dont dispose la firme pour reacutealiser sa production croicirct ce qui lui permet aussi drsquoaccroicirctre sa production Durant ce processus drsquoexcroissance de la firme elle est appeleacutee agrave observer les regravegles drsquoune bonne gestion Ainsi elle est tenue de respecter le critegravere drsquoefficaciteacute technique TmSt = w1w2 x2

Sentier drsquoexpansion

E

E E

0 x1

On deacutefinit le sentier drsquoexpansion de la firme comme eacutetant la courbe ou droite faite des diffeacuterentes combinaisons drsquoinputs permettant la firme de reacutealiser son eacutequilibre pour diffeacuterents niveaux de budget alloueacute agrave sa production Elle peut ecirctre repreacutesenteacutee par une fonction appeleacutee eutope et qui met en relation x2 et x1 partir de la condition drsquoefficaciteacute technique

53

Pour une technologie Cobb-Douglas 21ba xxy lrsquoeacutequilibre on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute suivante

2

1

1

2

w

w

x

x

b

aTmSt

Ainsi on peut eacutecrire lrsquoeutope comme suit

12

12 x

w

w

a

bx

Si lrsquoon veut passer de la fonction de coucirct donneacutee par la somme des deacutepenses engageacutees pour disposer des deux inputs une fonction de coucirct qui deacutepend du niveau de lrsquooutput y on se sert de lrsquoeutope Gracircce ce dernier il est possible drsquoexprimer la fonction de coucirct et la fonction de production comme des fonctions univarieacutees et ensuite par substitution exprimer C comme une fonction de y En consideacuterant la fonction de production de type Cobb-Douglas ci-dessus on arrive agrave eacutetablir que le coucirct total est donneacute par

11xwa

baC

En renvoyant lrsquoeutope dans la fonction de production on obtient

12

1 ba

b

xw

w

a

by

A partir de cette derniegravere relation on tire x1 soit

1

21

1

ba

b

ba

w

w

b

ayx

Enfin en renvoyant cette derniegravere expression dans la fonction de coucirct univarieacutee on arrive au reacutesultat rechercheacute soit

)(1

11

2 baba

b

yww

w

b

a

a

bayC

Si a = b = 1 on aura lrsquoexpression suivante

2)( 2

1

21 ywwyC

Comment exprimer le coucirct en fonction de y lorsqursquoon est en preacutesence drsquoune fonction de production de type Leontief noteacutee y = min [x1 x2] Puisque pour cette fonction on veacuterifie que y = x1 = x2 on eacutetablit alors que C = (w1 + w2)y Qursquoen est-il pour une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables noteacutee y = x1 + x2 Le taux de substitution eacutetant de 1 contre 1 la firme devrait utiliser le facteur qui coucircte le moins cher Si w1 gt w2 la firme utilisera exclusivement x2 x1 eacutetant eacutegal agrave zeacutero on aura y = x2 et C = w2x2 ou C = w2y En revanche si w1 lt w2 la firme utilisera exclusivement x1 et la fonction de coucirct srsquoeacutecrira C = w1x1 ou C = w1y En agreacutegeant on eacutecrira C = min [w1y w2y]

54

Offre de la firme Alors que la fonction de production met en relation lrsquooutput y et les quantiteacutes drsquoinputs utiliseacutees pour le geacuteneacuterer la fonction drsquooffre met en relation lrsquooutput et le prix auquel il est vendu sur le marcheacute Dans certaines circonstances elle peut mettre lrsquooutput en relation avec son prix ainsi que les prix des inputs qui ont concouru agrave la production Mais bien sucircr les deux fonctions (production et offre) expriment une mecircme reacutealiteacute car ce qui est offert sur le marcheacute crsquoest ce qui a eacuteteacute preacutealablement produit

Seuil de fermeture seuil de rentabiliteacute et offre dans le court terme La deacutecision drsquooffrir un bien sur le marcheacute deacutepend du niveau du prix auquel il est vendu ainsi que de la structure des coucircts La firme devra observer le critegravere p = Cm Si le prix du marcheacute est pf soit un niveau de prix qui permet agrave la firme de ne couvrir que son coucirct variable la firme pourrait arrecircter de produire car la perte qursquoelle va enregistrer sera identique agrave celle qursquoelle connaicirctrait si elle ne produisait pas Si le prix se situe au niveau de pr un niveau de prix qui permet de couvrir toutes les charges productives on dira que la firme est au niveau du seuil de rentabiliteacute car elle ne reacutealise ni beacuteneacutefice ni perte Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs pr que la firme pourra offrir son bien sur le marcheacute On conclut ainsi que la courbe drsquooffre de la firme correspond agrave la partie ascendante de la courbe de coucirct marginal en partant du seuil de rentabiliteacute Prix Coucircts Cm CM pr pf CvM = g(y)y 0 y

Consideacuterons une firme dont la fonction de coucirct est donneacutee par C(y) = y2 + y + 1 Son coucirct fixe est Cf = 1 son coucirct variable est Cv = y2 + y son coucirct variable moyen est CvM = y + 1 et son coucirct marginal est Cm = 2y + 1 Quel est son seuil de fermeture et quel est son seuil de fermeture Pour deacuteterminer le seuil de fermeture il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CvM et pour deacuteterminer le seuil de rentabiliteacute il faut partir de la double eacutegaliteacute p = Cm = CM A la lumiegravere des informations disponibles pour deacuteterminer le seuil de fermeture on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct variable moyen soit 2y + 1 = y + 1 Il vient ainsi que y = 0 En renvoyant cette valeur dans le coucirct marginal on obtient le seuil de fermeture soit pf = 1 Pour avoir le seuil de rentabiliteacute on eacutegalise le coucirct marginal au coucirct moyen soit 2y + 1 = y + 1 + 1y En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient y = 1 Ainsi le seuil de rentabiliteacute de la firme est pr = 3 Pour avoir la fonction drsquooffre il faut eacutegaliser le coucirct marginal au prix soit 2y + 1 = p En reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction

ys = ndash 05 + 05p Si p = 1 lrsquooffre sera eacutegale 0 Par conseacutequent la recette sera R = 0 le coucirct total sera C = 1 et le profit sera π = ndash1Si p = 3 lrsquooffre sera eacutegale 1 Il vient alors que la recette sera R = 3 le coucirct total sera C = 3 et le profit sera π = 0 Par contre si p = 5 lrsquooffre sera eacutegale 2 Ainsi la recette sera R = 10 le coucirct total sera C = 7 et le profit sera π = 3 Crsquoest pour des niveaux de prix supeacuterieurs au seuil de rentabiliteacute que lrsquoactiviteacute rapporte la firme

55

Offre dans le long terme La fonction drsquooffre de long terme est obtenue en renvoyant dans la fonction de production les fonctions de demande des inputs xi = xi(y0 p w1 w2) avec i = 1 et 2 On obtient ainsi une fonction ayant la forme geacuteneacuterale suivante

y = f(p w1 w2)

Pour la fonction de production Cobb-Douglas 21ba xxy les fonctions de demande des deux inputs

sont donneacutees par 1

1w

payx et

22

w

pbyx En renvoyant ces deux fonctions dans la fonction de

production et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient la fonction drsquooffre de long terme

1

2

1

1

ba

b

ba

a

s

w

pb

w

pay

Il y a lieu de noter que les courbes drsquooffre de court et de terme sont toutes des fonctions croissantes du prix auquel lrsquooutput est vendu mais la pente de la courbe drsquooffre de court terme est plus prononceacutee que celle de la courbe drsquooffre de long terme Ceci srsquoexplique par le fait que dans le long terme le nombre drsquointervenants sur le marcheacute du cocircteacute de lrsquooffre est si important que les perspectives de profitabiliteacute sans trouvent affaiblies Conseacutequence lrsquooffre devient moins sensible aux variations du prix de lrsquooutput y OCT OLT

p

24 Changement de lrsquoenvironnement et ajustement de la firme Sous ce point nous allons lrsquoaide du lemme de Shephard et du lemme de Hotelling discuter du comportement que devrait adopter une firme rationnelle selon que certains eacuteleacutements de son environnement changent Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun de ses inputs augmente Comment devrait-elle se comporter si le prix drsquoun des outputs qursquoelle vend voit son prix augmenter

241 Lemme de Shephard Pour produire le bien y la firme combine deux inputs selon une technologie donneacutee Ainsi sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2)

56

Les inputs sont substituables Le coucirct de production de la firme qui est une fonction de lrsquoeacutechelle de la production qursquoelle entend reacutealiser ydeg est eacutegale la somme des deacutepenses qursquoelle a engageacutees pour disposer des diffeacuterents inputs intervenants dans son activiteacute de production Les inputs eacutetant acheteacutes sur le marcheacute des facteurs on peut eacutecrire la fonction de coucirct comme suit

C = C(ydeg w1 w2) On peut eacutegalement eacutecrire la fonction de coucirct de la sorte

C = min w1 x1 + w2 x2

Proprieacuteteacutes de la fonction de coucirct

(i) La fonction de coucirct est non deacutecroissante par rapport aux prix des inputs Si w w il vient

alors que C(w ydeg) C(w ydeg) (ii) La fonction de coucirct est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix des inputs En

multipliant tous les prix par un scalaire m on multiplie le coucirct par le mecircme scalaire C(mw ydeg) = mC(w ydeg) pour tous m gt 0

(iii) La fonction de coucirct est concave par rapport aux prix des facteurs crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun input srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct moins que

proportionnellement Autrement dit on doit veacuterifier que C () 0 et C () 0 La concaviteacute est une proprieacuteteacute qui peut paraicirctre surprenante et pourtant lrsquointuition sous-jacente est tregraves claire Lorsque le prix drsquoun facteur srsquoaccroicirct le coucirct de production srsquoaccroicirct mais une firme qui affiche un comportement drsquooptimisation reacuteduira lrsquousage fait de ce facteur au profit des facteurs qui lui sont substituables et qui ont vu leurs prix ne pas changer sur le marcheacute des facteurs

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Inp

uts

Inp

uts

Inp

uts

w1 5 10 w1 8 10 w1 8 7

w2 2 5 w2 2 5 w2 2 7 Coucirct 50 90 70

Comme le montre le tableau ci-dessus lorsque le prix drsquoun input augmente le coucirct de production augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan drsquoutilisation des inputs que de ne pas le faire En diminuant la quantiteacute utiliseacutee du facteur pour lequel le prix a connu une hausse et en le substituant par le facteur dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme supporte un coucirct de 70 alors que si elle affichait un comportement passif elle supporterait un coucirct de 90

Preacutesentation du lemme de Shephard Soit xi(ydeg w1 w2) la demande du facteur i par la firme Si la fonction de coucirct est continue et diffeacuterentiable par rapport agrave wi alors

0()

)( 21

ii

w

Cwwyx

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une demande neacutegative Puisque la demande du facteur i est une fonction deacutecroissante de wi la deacuteriveacutee seconde de la fonction de coucirct par rapport agrave wi sera neacutegative soit

0()()

2

2

i

i

i w

x

w

C

57

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de coucirct minimum est bel et bien concave Coucirct

22

11 xwxwC [Fonction de coucirct passif]

C = C(ydeg w1 w2) [Fonction de coucirct minimum]

w1 w1

Ce graphique montre que la fonction de coucirct minimum est concave et se situe en dessous de la courbe repreacutesentative de la fonction de coucirct passif crsquoest-agrave-dire la fonction de coucirct qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquoinput 1 change

Preuve du lemme de Shephard Soit X = (w1 w2) le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production de ydeg aux prix W = (w1 w2) On peut deacutefinir la fonction de coucirct superflu ou de surcoucirct

g(W) = C(W ydeg) ndash WX Puisque C(W ydeg) est le coucirct le plus faible agrave supporter par la firme pour produire ydeg la fonction g() sera toujours non positive Lorsque W = W g(W) = 0 Etant donneacute que cette derniegravere valeur est un maximum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

)21(0)()(

ix

w

yWC

w

Wgi

ii

Ainsi le vecteur des inputs qui minimise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de coucirct par rapport aux prix des inputs

242 Lemme de Hotelling Consideacuterons une firme laquo multiproduct raquo crsquoest-agrave-dire qui produit et vend sur le marcheacute deux biens aux prix p1 et p2 Son problegraveme de base consiste agrave maximiser son profit En supposant que les coucircts de production des deux biens soient nuls sa fonction de profit srsquoeacutecrit

(P) = max p1y1 + p2 y2

Proprieacuteteacutes de la fonction de profit

(i) La fonction de profit est non deacutecroissante par rapport aux prix des outputs Si pj pj pour

tous les outputs alors (P) (P)

(ii) La fonction de profit est homogegravene de degreacute un par rapport aux prix (mP) = m(P) pour tout m gt 0

58

(iii) La fonction de profit est convexe par rapport au vecteur des prix crsquoest-agrave-dire que chaque fois que le prix drsquoun output srsquoaccroicirct le profit srsquoaccroicirct plus que proportionnellement

Autrement dit on doit veacuterifier que () 0 et () 0

Situation initiale

Comportement passif

Comportement rationnel

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

Ou

tpu

ts

p1 8 10 p1 10 10 p1 10 13

p2 4 5 p2 4 5 p2 4 2 Profit 100 120 138

Il ressort du tableau ci-dessus que lorsque le prix drsquoun output augmente le profit de la firme augmente Cependant on constate qursquoil serait rationnel pour la firme de modifier son plan de production des outputs pour tirer meilleur parti de lrsquoaccroissement du prix observeacute sur le marcheacute En augmentant la quantiteacute produite du bien pour lequel le prix a connu une hausse et en reacuteduisant la quantiteacute offerte du bien dont le prix nrsquoa pas changeacute la firme gagne 138 alors que si elle affichait un comportement passif elle ne gagnerait que 120

Preacutesentation du lemme de Hotelling Soit yj(p) lrsquooffre de lrsquooutput j par la firme Si la fonction de profit est diffeacuterentiable par rapport agrave pj avec j = 1 2 alors

210()

)(

j

ppy

jj

Cette deacuteriveacutee est positive car on ne peut pas avoir une offre neacutegative Puisque lrsquooffre est une fonction croissante du prix la deacuteriveacutee seconde de la fonction de profit par rapport pj sera positive soit

0()()

2

2

j

j

j p

y

p

Les signes de ces deux deacuteriveacutees montrent que la fonction de profit est bel et bien convexe par rapport aux prix des outputs

Preuve du lemme de Hotelling Soit Y le vecteur des outputs qui maximise le profit de la firme aux prix P = (p1 p2) Deacutefinissons la fonction de perte

g(W) = (P) ndash PY

Etant donneacute que (P) est le profit le plus eacuteleveacute que la firme peut reacutealiser la fonction g() sera toujours non neacutegative Lorsque P = P g(W) = 0 Puisque cette derniegravere valeur est un minimum pour la fonction g() sa deacuteriveacutee doit srsquoannuler

210)()(

jy

p

P

p

Pgj

jj

Par conseacutequent le vecteur des outputs qui maximise le coucirct de production est donneacute par le vecteur des deacuteriveacutees de la fonction de profit par rapport aux prix des outputs

59

Profit = (p) [Fonction de profit maximum]

= p1y1 + p2y2 [Fonction de profit passif]

p1 p1

La fonction de profit maximum est convexe et se situe au-dessus de la courbe repreacutesentative de la fonction de profit passive crsquoest-agrave-dire la fonction de profit qui traduit un comportement passif de la firme alors que le prix de lrsquooutput 1 change sur le marcheacute

60

Annexe Diffeacuterentes fonctions de production

La fonction Leontief La fonction Leontief6 est une fonction facteurs ou inputs compleacutementaires Elle srsquoeacutecrit comme suit

y = Min x1a x2b Les paramegravetres a et b sont des coefficients techniques qui deacuteterminent la maniegravere dont les facteurs de production doivent ecirctre combineacutes pour que lrsquoactiviteacute productive de lrsquoentreprise ou de lrsquoeacuteconomie se reacutealise de la meilleure faccedilon qui soit Cette fonction de production est homogegravene de degreacute un car un accroissement eacutequi-proportionnel des deux facteurs entraicircne une variation dans les mecircmes proportions de lrsquooutput Il faut noter qursquoen raison du caractegravere discontinu de la fonction de production il est impossible de deacutefinir les productiviteacutes marginales des facteurs capital et travail pour une technologie Leontief

La Cobb-Douglas La fonction Cobb-Douglas a eacuteteacute introduite en 1928 par deux ameacutericains agrave savoir Charles William Cobb et Paul Douglas Pour eacutecrire cette fonction de production ils sont partis du constat selon lequel la part relative du capital et la part relative de la main-drsquoœuvre dans le PIB ameacutericain eacutetaient plus ou moins stables agrave travers le temps Soit la fonction de production ci-apregraves

y = f(x1 x2)

ougrave x1

et x2 repreacutesentent respectivement le capital et le travail que la firme utilise pour produire le bien y La diffeacuterentielle totale de y srsquoeacutecrit

dy = f1dx1 + f2dx2 En divisant la relation par y et en faisant quelques manipulations on obtient la relation suivante

2

222

1

111

x

dx

y

xPmx

x

dx

y

xPmx

y

dy

Cette relation peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

2

2

1

1

2

2

1

1 21 x

dxb

x

dxa

x

dxe

x

dxe

y

dyxyxy

car fixi y repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de y par rapport agrave xi En inteacutegrant les membres de droite et de gauche de cette eacutegaliteacute on obtient lrsquoexpression suivante que lrsquoon appelle fonction Cobb-Douglas

y = Ax1

ax2b

Cette fonction est beaucoup utiliseacutee pour cause de la simpliciteacute qui caracteacuterise sa manipulation Mais fort malheureusement elle preacutesente un inconveacutenient majeur elle a une eacutelasticiteacute de substitution qui est toujours eacutegale lrsquouniteacute et pourtant il est possible drsquoavoir des valeurs de lrsquoeacutelasticiteacute de substitution diffeacuterentes de lrsquouniteacute

6 Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Wassily Leontief Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1973

61

La Constant Elasticity of Substitution (CES) La fonction CES que lrsquoon appelle aussi SMAC (des noms de Solow7 Minhas Arrow et Chenery) a eacuteteacute proposeacute en 1961 dans le but de faire face agrave la faiblesse que preacutesente la Cobb-Douglas Deux opeacuterateurs matheacutematiques ont eacuteteacute utiliseacutes pour lrsquoeacutecrire savoir le barycentre et la moyenne harmonique

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndash1

repreacutesente le paramegravetre de substitution Selon la valeur prise par ce dernier la fonction CES correspond plusieurs autres fonctions de production Lrsquoeacutelasticiteacute de substitution est donneacutee par

1

1

(i) Si = ndash 1 la fonction CES devient une fonction de production agrave facteurs parfaitement substituables

(ii) Si = 0 la fonction CES devient une fonction de production de type Cobb-Douglas

(iii) Si = la fonction CES devient une fonction de production de type Leontief Sous la forme preacutesenteacute ci-dessus la fonction de production CES est neacutecessairement homogegravene de degreacute un Pour faire face agrave cette faiblesse A Walters a proposeacute une geacuteneacuteralisation de la CES en 1963 que lrsquoon appelle la VES (Variable Elasticity of Substitution) Cette forme fonctionnelle srsquoeacutecrit

y = a1x1ndash + a2x2

ndash

ndashh h est un paramegravetre positif qui repreacutesente le degreacute drsquohomogeacuteneacuteiteacute de la fonction

7 Robert M Solow et Laureacuteat du Prix Nobel drsquoEconomie de 1987

62

3

Marcheacutes et formation des prix

ar deacutefinition le marcheacute est une rencontre meacutethodique de lrsquooffre et de la demande Il est caracteacuteriseacute par la rencontre de deux forces savoir lrsquooffre et de la demande et par leur interaction de maniegravere deacutefinir un prix permettant la transaction ou aux transactions drsquoavoir

lieu Ainsi le prix drsquoeacutequilibre est un accord ou un compromis entre offreur(s) et demandeur(s) Selon la nature on distingue trois types de marcheacutes agrave savoir le marcheacute des biens et services le marcheacute du travail et le marcheacute des capitaux (marcheacute financier et marcheacute de change) Le fonctionnement drsquoun marcheacute deacutepend du nombre drsquointervenants sur celui-ci aussi bien du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande Lorsqursquoil nrsquoy a qursquoun seul offreur (monopole) ou qursquoun seul acheteur (monopsone) sur le marcheacute celui-ci a la possibiliteacute de fixer le prix (price maker) alors que srsquoil y a plusieurs offreurs (polypole) et acheteurs (polypsone) un agent eacuteconomique aura du mal agrave fixer seul le prix auquel les transactions auront se solder Dans ces conditions crsquoest lrsquointeraction entre offre et demande globales qui fixe le prix drsquoeacutequilibre et les intervenants se rangent derriegravere ce prix (price taker) Le tableau ci-apregraves preacutesente les diffeacuterents types de marcheacute que lrsquoon peut rencontrer eu eacutegard au nombre drsquointervenants8

No

mb

re

drsquoa

che

teu

rs Nombre drsquooffreurs

Un seul Quelque Plusieurs

Un seul Monopole bilateacuteral Monopsone contrarieacute Monopsone

Quelque Monopole contrarieacute Oligopole bilateacuteral Oligopsone

Plusieurs Monopole Oligopole Concurrence

Avant drsquoenvisager lrsquoanalyse de diffeacuterents types de marcheacutes il faudrait noter que les objectifs des consommateurs et des firmes ainsi que leurs comportements drsquooptimisation ne changent pas quel que soit le type de marcheacute dans lequel ils se retrouvent En concurrence parfaite ou imparfaite une firme rationnelle recherche un profit maximum et un consommateur rationnel cherche agrave maximiser lrsquoutiliteacute que lui procurent les biens acheteacutes

31 Marcheacute de concurrence pure et parfaite Un marcheacute de concurrence pure et parfaite est un marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques fondamentales ci-apregraves

- Atomiciteacute du marcheacute Les intervenants sont si nombreux sur le marcheacute (polypole et polypsone) que chacun se voit comme une goucircte drsquoeau dans la mer Autrement dit ils sont si petits que personne ne peut se preacutevaloir drsquoun quelconque pouvoir en ce qui concerne la fixation du prix du bien sur le marcheacute

- Parfaite mobiliteacute des intervenants (fluiditeacute du marcheacute) Les diffeacuterents intervenants aussi bien

du cocircteacute de lrsquooffre que de la demande ont la liberteacute drsquoentrer tout comme de sortir du marcheacute Ceci nrsquoinflue guegravere sur le fonctionnement du marcheacute car retirer ou verser un tonneau drsquoeau dans la mer ne modifiera aucunement le nivellement de lrsquoeau

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Sont consideacutereacutees comme concurrentes les firmes qui offrent un

produit ou un bien de mecircme nature (identiques ou fortement substituables)

8 Cette cateacutegorisation a eacuteteacute proposeacutee par Stackelberg

PP

63

- Circulation parfaite de lrsquoinformation Lrsquoinformation circule parfaitement crsquoest-agrave-dire qursquoelle est la porteacutee de tous les intervenants Ainsi lorsqursquoune firme pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui a eacuteteacute fixeacute par le marcheacute elle perd automatiquement sa clientegravele

En situation de concurrence pure et parfaite tous les intervenants sont des price taker en ce qursquoaucun drsquoentre eux ne peut de lui-mecircme fixer le prix auquel se solderont les transactions Par un meacutecanisme de tacirctonnement piloteacute par le commissaire priseur (un agent fictif ou une main invisible) les forces du marcheacute vont interagir de maniegravere agrave conduire agrave une position drsquoeacutequilibre Il y a lieu de noter qursquoen reacutealiteacute il nrsquoexiste pas de marcheacute de concurrence pure et parfaite crsquoest un marcheacute ideacuteal vers lequel il faudrait tendre Il devrait ecirctre reacutegi par un ensemble de principes et regravegles qui organisent les relations entre firmes (le droit de la concurrence) et un ensemble de regravegles qui organisent les relations entre firmes et consommateurs (le droit du commerce) Le droit de la concurrence vise agrave lutter sinon limiter les monopoles et la concentration des firmes Il y a concurrence imparfaite lorsqursquoau moins une des caracteacuteristiques de concurrence pure et parfaite sus-eacutevoqueacutees nrsquoest pas observeacutee Les atteintes agrave la concurrence pure et parfaite peuvent ecirctre les suivantes

- Atomiciteacute du marcheacute Cette caracteacuteristique peut disparaicirctre lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme sur le marcheacute ou lorsque les firmes se concentrent au sein drsquoun cartel ou drsquoune autre forme drsquoentente Aussi la concurrence pure et parfaite cesse drsquoecirctre de mise lorsque les consommateurs se regroupent dans des associations ou ligues afin drsquoinfluencer les meacutecanismes de fixation du prix sur le marcheacute

- Fluiditeacute du marcheacute Lrsquoexistence des barriegraveres (techniques juridiques ou eacuteconomiques) agrave

lrsquoentreacutee tout comme la sortie fait que le marcheacute ne soit plus concurrentiel

- Homogeacuteneacuteiteacute du produit Lorsque les firmes arrivent agrave diffeacuterencier leurs produits la concurrence cesse drsquoecirctre pure et parfaite

- Circulation parfaite de lrsquoinformation La concurrence pure et parfaite disparaicirct lorsqursquoil y a

asymeacutetrie de lrsquoinformation ou lorsqursquoelle est partielle ou encore lorsqursquoil y a des publiciteacutes mensongegraveres

311 La firme concurrentielle Dans un reacutegime de concurrence pure et parfaite chaque firme considegravere le prix comme une donneacutee (price taker) crsquoest-agrave-dire indeacutependant de ses propres actions si bien que les actions de tous les intervenants deacuteterminent le prix du marcheacute Soit pe le prix du marcheacute La demande srsquoadressant une firme concurrentielle ideacuteale se deacutefinit comme suit

0 si p pe

yd(p) = quelconque si p = pe

infin si p pe

Une firme concurrentielle est libre de fixer son prix de vente et de produire la quantiteacute qursquoelle deacutesire Cependant si son prix est supeacuterieur agrave celui du marcheacute pe personne nrsquoachegravetera son produit En revanche si elle pratique un prix infeacuterieur agrave pe elle aura autant de client qursquoelle veut Crsquoest pourquoi on dit qursquoune firme concurrentielle est confronteacutee une demande infiniment eacutelastique (crsquoest-agrave-dire tregraves sensible aux variations du prix)

64

312 La maximisation du profit et lrsquooffre du marcheacute La firme concurrentielle doit deacuteterminer sa production y de maniegravere maximiser son profit crsquoest-agrave-dire en reacutesolvant le programme drsquooptimisation ci-apregraves

Max π = py ndash C(y) ougrave C(y) est sa fonction de coucirct Les conditions du premier et du second ordre de lrsquooptimisation du profit sont

p ndash Cm = 0

ndash C (y) 0 Ceci implique que le prix sera eacutegal au coucirct marginal (p = Cm) et la fonction drsquooffre sera une fonction

croissante du prix parce que C(y) 0 La courbe drsquooffre de la firme correspond la partie croissante de la courbe de coucirct marginal situeacutee au-dessus de la courbe de coucirct moyen Prix Coucircts Cm CM CvM 0 y

La fonction drsquooffre donne pour diffeacuterents niveaux de prix la production qui maximise le profit de la firme Par conseacutequent la fonction drsquooffre ys(p) doit satisfaire la condition suivante

Rm = p = Cm

Graphiquement les choses se preacutesenteraient comme suit Recette coucirct R = py C = C(y) 0 y

65

La fonction drsquooffre de la branche ou du marcheacute est simplement la somme des fonctions drsquooffre des firmes individuelles Si ys

i(p) est la fonction drsquooffre de la iegraveme firme et si la branche compte n firmes la fonction drsquooffre globale sera donneacutee par

ySG = ys

1(p) + ys2(p) + hellip + ys

n(p) = sum ysi(p) (i = 1 2 hellip n)

Graphiquement on fait une addition horizontale des courbes individuelles drsquooffre pour avoir la courbe drsquooffre du marcheacute Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les firmes souhaiteraient offrir sur le marcheacute Prix ys

1 ys2 y

sG = ys

1 + ys2 (Offre globale)

Quantiteacute

Si les n firmes ont la mecircme structure de coucircts crsquoest-agrave-dire des fonctions de coucirct identiques elles auront des fonctions drsquooffre identique car elles doivent toutes respecter le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre le coucirct marginal et le prix en vigueur sur le marcheacute Dans ces conditions lrsquooffre globale est donneacutee par le produit

ySG = nys

i(p) Admettons que sur le marcheacute on compte 20 firmes ayant la mecircme structure de coucirct C = y2 + 2y + 1 Le coucirct marginal eacutetant Cm = 2y + 2 on peut deacuteriver la fonction drsquooffre individuelle en eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y soit

ysi = ndash1 + 05p

Lrsquooffre agreacutegeacutee est obtenue en multipliant cette fonction par le nombre de firmes soit

ysG = ndash20 + 10p

Autant que lrsquooffre individuelle est fonction croissante du prix du bien lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee est aussi une fonction croissante du prix

313 La demande globale ou du marcheacute La demande individuelle du bien y est deacutetermineacutee en reacutesolvant un programme de maximisation de lrsquoutiliteacute sous une contrainte budgeacutetaire Si on compte sur le marcheacute m consommateurs ou demandeurs du bien il faudra deacuteterminer la demande de chacun yd

j(p) et puis faire la somme de ces demandes individuelles pour obtenir la demande globale ou du marcheacute yd

G(p)

ydG = yd

1(p) + yd2(p) + hellip + yd

m(p) = sum ydj(p) (j = 1 2 hellip m)

Pour obtenir la courbe de demande du marcheacute on fait la somme horizontale des courbes individuelles de demande Pour diffeacuterents niveaux de prix on identifie la quantiteacute totale de biens que les individus souhaiteraient acheter sur le marcheacute

66

Prix yd

1 yd

2 yd

G = yd1 + yd

2 (Demande globale) Quantiteacute

Si les m consommateurs ont la mecircme structure de preacutefeacuterences crsquoest-agrave-dire des fonctions de demande identiques la demande globale est donneacutee par le produit

ydG = myd

j(p) Supposons que sur le marcheacute il y ait 40 consommateurs ayant des fonctions de demande identiques yd

j = 2 ndash 025p La demande globale ou agreacutegeacutee sera donneacutee par

ydG = 80 ndash 10p

314 Lrsquoeacutequilibre du marcheacute de concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre est un eacutetat ou une situation dans laquelle diffeacuterentes forces interagissant sur un mecircme lieu arrivent se contrebalancer Pour ce qui est drsquoun marcheacute on dira qursquoil est en eacutequilibre lorsque les intentions des offreurs correspondent agrave celles des demandeurs Autrement dit un marcheacute se solde en eacutequilibre lorsque le prix en vigueur permet aux deux parties en preacutesence de reacutealiser leurs plans de consommation ou drsquooffre sans ecirctre rationneacutees Dans ces conditions un prix drsquoeacutequilibre est un prix tel que la quantiteacute demandeacutee est eacutegale agrave la quantiteacute offerte Soit ys

i(p) la fonction drsquooffre drsquoune firme (i = 1 2 hellip n) et ydj(p) la fonction de demande drsquoun individu

(j = 1 2 hellip m) Un prix drsquoeacutequilibre est alors une solution de lrsquoeacutequation

sum ydj(p) = sum ys

i(p) On peut eacutegalement deacutefinir le prix drsquoeacutequilibre comme eacutetant le prix qui annule la demande exceacutedentaire E sur le marcheacute soit

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] = 0 Ce prix est unique du fait de la transparence qui caracteacuterise le marcheacute ainsi que de lrsquoatomiciteacute et de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute du produit Il convient de signaler que les meacutecanismes qui caracteacuterisent un marcheacute concurrentiel sont efficaces car en preacutesence drsquoun deacuteseacutequilibre (offre supeacuterieure la demande vice versa) ils entrent en interaction de maniegravere agrave ramener le marcheacute agrave lrsquoeacutequilibre (eacutequilibre stable) Si le prix est trop eacuteleveacute lrsquoexcegraves drsquooffre devrait conduire sa diminution et srsquoil est trop bas la rareteacute du bien sur le marcheacute entraicircnera son accroissement

67

Prix Offre p1 E pe p2 Demande ye Quantiteacute

Pour le prix p1 la quantiteacute offerte est supeacuterieure agrave la quantiteacute demandeacutee Ceci suppose un rationnement de lrsquooffre en ce que les firmes nrsquoarrivent pas eacutecouler leurs produits sur le marcheacute comme elles lrsquoauraient souhaiteacute On a ainsi

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] lt 0 Dans ces conditions pour eacutecouler les invendus les firmes seraient appeleacutees agrave revoir agrave la baisse le prix auquel elles souhaiteraient vendre le bien En revanche si le prix du marcheacute est p2 la quantiteacute demandeacutee est supeacuterieure celle offerte On parle ainsi drsquoun rationnement de la demande en ce que les consommateurs achegravetent moins que ce qursquoils auraient voulu

E [ydG(p) ndash yS

G(p)] gt 0 La rareteacute qui va en reacutesulteacute devrait deacuteboucher sur un ajustement agrave la hausse du prix auquel le bien sera vendu sur le marcheacute Si en cas de deacuteseacutequilibre entre offre et demande globales les forces du marcheacute arrivent interagir de sorte restaurer lrsquoeacutequilibre on conclut qursquoelles sont efficaces

315 Le modegravele simple du marcheacute Le modegravele du marcheacute sous sa version statique se propose de deacuteterminer la position drsquoeacutequilibre du marcheacute drsquoun bien crsquoest-agrave-dire le prix pe auquel les transactions devraient se solder pour que les demandeurs et offreurs soient tous satisfaits Il se preacutesente comme suit

ydG = D(p) avec D(p) lt 0

ysG = S(p) avec S(p) gt 0

E (ydG ndash ys

G) = 0 (condition drsquoeacutequilibre) La premiegravere eacutequation eacutetablit que la demande est une fonction deacutecroissante du prix la deuxiegraveme que lrsquooffre est une fonction croissante du prix et la troisiegraveme que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacutee sur le marcheacute lorsque la demande exceacutedentaire E (diffeacuterence entre demande et offre globales) est nulle De maniegravere speacutecifique le modegravele du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

E (ydG ndash ys

G) = 0

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Les paramegravetres b et j mesurent lrsquoimpact drsquoune variation du prix sur la demande et lrsquooffre globales Si le prix est nul la demande globale sera eacutegale agrave a et lrsquooffre globale eacutegale ndashc Le paramegravetre a peut ainsi srsquointerpreacuteteacute comme la quantiteacute maximale que peuvent consommer les demandeurs Le signe neacutegatif de lrsquooffre eacutetablit que pour offrir le bien les offreurs srsquoattendent ce que le prix franchisse un certain seuil (seuil de rentabiliteacute) En se servant de la condition drsquoeacutequilibre on arrive eacutetablir que le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est

jb

cape

La quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute sera deacutetermineacutee en renvoyant dans la fonction de demande ou drsquooffre agreacutegeacutee le prix drsquoeacutequilibre pe On aura ainsi

jb

bcajye

Si le marcheacute est caracteacuteriseacute par les fonctions de demande et drsquooffre globales ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

le prix reacutealisant lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute est pe = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee est ye = 30 Chaque firme offre 15 uniteacute du bien et reacutealise un profit eacutegal agrave 125

316 Changement de lrsquoenvironnement et eacutequilibre Le changement drsquoun paramegravetre caracteacuterisant le comportement drsquoune des cateacutegories drsquointervenants (offre ou demande) sur le marcheacute devrait entraicircner une modification de la position drsquoeacutequilibre Un accroissement de la valeur du paramegravetre a ou du paramegravetre c devrait entraicircner un accroissement du prix drsquoeacutequilibre alors qursquoun accroissement de la valeur du paramegravetre b ou du paramegravetre j devrait deacuteboucher sur une diminution du prix drsquoeacutequilibre Le graphique ci-dessous montre qursquoun accroissement du paramegravetre c entraicircne un deacuteplacement vers la gauche de la courbe de drsquooffre La demande nrsquoayant pas changeacute le prix drsquoeacutequilibre devrait srsquoaccroicirctre pendant que la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute diminue Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

69

La mesure de lrsquoimpact de cette variation de c sur le prix drsquoeacutequilibre est eacutegale 1(b + j) et la mesure de lrsquoimpact sur la quantiteacute drsquoeacutequilibre est eacutegale ndashb(b + j) Ainsi si le paramegravetre c croicirct le prix drsquoeacutequilibre augmentera et la quantiteacute diminuera En revanche si c diminue le prix diminuera et la quantiteacute drsquoeacutequilibre va augmenter Crsquoest du reste ce qui ressort du graphique suivant Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Une diminution de la valeur de a devrait deacuteboucher sur un deacuteplacement vers le bas de la droite de demande avec comme conseacutequence une baisse du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre Lrsquoimpact drsquoune variation de a sur le prix est eacutegal agrave 1(b + j) et lrsquoimpact sur la quantiteacute est eacutegal j(b + j) Prix Offre E pe Demande ye Quantiteacute

Il faut toutefois noter que lrsquoimpact drsquoun accroissement de la valeur du paramegravetre a devrait ecirctre analyseacute en tenant compte de lrsquohorizon temporel Lrsquoimpact serait diffeacuterent selon qursquoil srsquoagit de lrsquoinfra-courte peacuteriode ou du court terme Lorsque la valeur de a augmente la droite de demande se deacuteplace parallegravele vers lrsquoexteacuterieur ce qui traduit un accroissement de la demande Puisqursquoen infra-courte peacuteriode les firmes ne peuvent pas ajuster agrave la hausse leurs plans de production la quantiteacute offerte du bien ne va pas changer La rareteacute relative du bien qui va en reacutesulter devrait entraicircner une hausse sensible du prix drsquoeacutequilibre (passage de pe agrave pe)

70

Prix Offre pe E E E pe Demande ye Quantiteacute

Crsquoest apregraves un certain temps que lrsquoajustement des plans de production pourra ecirctre envisageacute conseacutequence la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute va augmenter (passage de E agrave E) Toutefois le prix drsquoeacutequilibre final sur supeacuterieur au prix drsquoeacutequilibre initial quoique infeacuterieur au prix qui a preacutevalu en infra-courte peacuteriode Revenons agrave la structure du marcheacute retenue ci-dessus soit

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Si la suite drsquoune vague drsquooptimisme la demande globale devient yd

G = 100 ndash 10p en infra-courte peacuteriode la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute ne va pas changer alors que le prix va croicirctre de maniegravere assez consideacuterable En renvoyant la quantiteacute ye = ye = 30 dans la nouvelle eacutequation de demande globale on arrive agrave trouver le nouveau prix soit pe = 7 Pour avoir le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre dans le court terme il faut reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations suivant

ydG = 100 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 6 et ye = 40

317 Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix Etant donneacute que lrsquoeacutequilibre nrsquoest pas toujours reacutealiseacute sur le marcheacute (yd

G ndash ysG ne 0) sous sa version

dynamique le modegravele du marcheacute deacutetermine la trajectoire suivie par le prix et permet de dire srsquoil diverge ou converge vers sa position drsquoeacutequilibre Le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix srsquoeacutecrit de la sorte

ydG(t) = D(p(t)) avec D(p) lt 0

ysG(t) = S(p(t)) avec S(p) gt 0

dpdt g(ydG ndash ys

G) (eacutequation drsquoajustement du prix) Le paramegravetre g est un coefficient drsquoajustement qui renseigne sur les neacutegociations envisageacutees par les offreurs et demandeurs pour deacuteboucher sur un compromis en termes de prix

71

De maniegravere speacutecifique le modegravele dynamique du marcheacute srsquoeacutecrit

ydG = a ndash bp

ysG = -c + jp

dpdt g(ydG ndash ys

G) En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans lrsquoeacutequation drsquoajustement on arrive une eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre drsquoexpression

)()( cagpjbgdt

dp

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation diffeacuterentielle du 1er ordre qursquoon obtient le sentier temporel du prix

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p est eacutegal agrave une constante k Dans ces conditions la deacuteriveacutee de p par rapport au temps sera nulle et lrsquoeacutequation drsquoajustement du prix deviendra

g(b + j)k = g(a + c) Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Cette solution correspond la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement rendre lrsquoeacutequation homogegravene Dans ces conditions lrsquoeacutequation drsquoajustement devient

0)( pjbgdt

dp

En ameacutenageant les termes de cette derniegravere relation on arrive agrave la relation suivante

)( dtjbgp

dp

Puisque le membre de gauche est eacutegal agrave celui de droite il y a lieu de les inteacutegrer tous les deux

)( dtjbgp

dp

On obtient ainsi

ln p = -g(b + j)t + Cste avec Cste qui repreacutesente la constante drsquointeacutegration La solution compleacutementaire pc sera

pc = Ae-g(b + j)t ougrave A = eCste La solution compleacutementaire est fonction de la variable temps t

72

Solution geacuteneacuterale et solution finie La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation est donneacutee par la somme des deux inteacutegrales ou solutions obtenues ci-dessus soit

p(t) = pc + pp = Ae-g(b + j)t + [(a + c)(b + j)] Pour avoir la solution finale ou finie il faut disposer drsquoune information sur la valeur de y au temps t = 0 pour pouvoir deacutefinir le paramegravetre A Si t = 0 on aura

p(0) = A + [(a + c)(b + j)] Par conseacutequent A = p(0) ndash [(a + c)(b + j)] = pe et la solution finale sera drsquoexpression

p(t) = [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe

Convergence de la trajectoire du prix La trajectoire du prix sera convergente ou dynamiquement stable si au passage du temps le prix converge vers sa position drsquoeacutequilibre pe Il faudra ainsi veacuterifier que

Lim [p(0) ndash pe]e-g(b + j)t + pe = pe t +

La convergence suppose une reacuteduction au passage du temps de lrsquoeacutecart entre le prix initial et le prix drsquoeacutequilibre [p(0) ndash pe] Prix pe Temps

Consideacuterons le modegravele du marcheacute ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = -20 + 10p

dpdt 2(ydG ndash ys

G) On arrive agrave eacutetablir que

dpdt + 40p 200 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = Aendash40t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par p(t) = 5 + Aendash40t Si p(0) = 7 la solution finie sera p(t) = 5 + 2endash40t Ce sentier temporel du prix est convergent car sa limite lorsque t tend vers lrsquoinfini est eacutegale 5

73

318 Modegravele de la toile drsquoaraigneacutee Dans ce modegravele il est supposeacute que lrsquooffre lrsquoeacutepoque t est fonction du prix de la peacuteriode preacuteceacutedente soit pt ndash 1 alors que la demande est fonction du prix courant pt soit

ysGt = S(pt ndash 1)

ydGt = D(pt )

De maniegravere speacutecifique le modegravele srsquoeacutecrit yd

Gt = a ndash bpt ys

Gt = -c + jpt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt ) = 0 En renvoyant les fonctions drsquooffre et de demande dans la relation drsquoeacutequilibre du marcheacute on arrive une eacutequation de reacutecurrence du premier ordre drsquoexpression

bpt + jpt ndash 1 = a + c ou 1 capbjp tt

Crsquoest en reacutesolvant cette eacutequation aux diffeacuterences finies qursquoon obtiendra la trajectoire suivie par la variable prix dans le temps

Solution particuliegravere La solution particuliegravere est obtenue en posant que le prix p aux dates t et t + 1 est eacutegal agrave une constante k Ainsi lrsquoeacutequation deviendra

cakbjk

Il vient ainsi que k = (a + c)(b + j) et la solution particuliegravere srsquoeacutecrira

pp = (a + c)(b + j) Comme pour le modegravele du marcheacute avec ajustement du prix cette solution correspond agrave la valeur drsquoeacutequilibre du prix sur le marcheacute pe

Solution compleacutementaire Pour avoir la solution compleacutementaire il faut premiegraverement prendre la forme reacuteduite de lrsquoeacutequation soit

01 tt pbjp

On va poser que pt = Agt Ainsi on aura pt + 1 = Agt + 1 et lrsquoeacutequation reacuteduite devient

Agt + 1 + (jb)Agt = 0 En reacutesolvant par rapport agrave g on obtient g = -(jb) La solution compleacutementaire sera degraves lors

pc = A[-(jb)]t et le sentier temporel du prix sera

pt = A[-(jb)]t + pe

74

Si t = 0 le sentier temporel devient p0 = A + pe Par conseacutequent on eacutetablit que A = p0 ndash pe et la solution finale srsquoeacutecrit

pt = (p0 ndash pe)[-(jb)]t + pe Le terme [-(jb)]t donne lieu au pheacutenomegravene de la toile drsquoaraigneacutee avec les diffeacuterentes possibiliteacutes drsquooscillation de la trajectoire du prix Les oscillations seront explosives uniformes et amorties si respectivement j gt b j = b et j lt b Crsquoest du reste ce qui ressort respectivement des graphiques ci-apregraves Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

Prix Offre E pe pe Demande ye Quantiteacute temps

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Admettons que lrsquoon soit en preacutesence drsquoun marcheacute preacutesentant les caracteacuteristiques ci-apregraves yd

Gt = 80 ndash 10pt ys

Gt = ndash20 + 10pt ndash 1

E (ydGt ndash ys

Gt) = 0 En partant de la condition drsquoeacutequilibre on eacutetablit que

10pt + 10pt ndash 1 = 100 ou pt + pt ndash 1 = 10 La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-1)t La solution geacuteneacuterale est donneacutee par pt = 5 + A(-1)t si p0 = 7 le sentier temporel du prix sera pt = 5 + 2(-1)t Dans ces conditions le sentier temporel du prix nrsquoest pas convergent Il y a des oscillations uniformes car au passage du temps le prix ne prend que deux valeurs soit p = 3 et p = 7

319 Modegravele du marcheacute avec inventaire Ce modegravele repose sur les trois hypothegraveses suivantes

La demande et lrsquooffre sont des fonctions du prix courant

Les ajustements du prix se font par un processus de prix simuleacute par les vendeurs Au deacutebut de chaque peacuteriode les vendeurs fixent un prix en tenant compte de leurs inventaires de stocks

Lrsquoajustement du prix est inversement proportionnel au changement observeacute dans lrsquoinventaire des stocks

Speacutecifiquement le modegravele srsquoeacutecrit

ydGt = a ndash bpt

ysGt = -c + jpt

pt + 1 = pt ndash g(ysGt ndash yd

Gt) (g gt 0) g est le coefficient drsquoajustement du prix induit par lrsquoinventaire de stock De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 ndash [1 ndash g(b + j)]pt = g(a + c ) La reacutesolution de cette eacutequation de reacutecurrence de premier ordre donne lieu au sentier temporal ci-apregraves du prix

pt = (p0 ndash pe)[1 ndash g(b + j)]t + pe Lrsquoexpression [1 ndash g(b + j)]t donne des indications sur la stabiliteacute dynamique du sentier temporel Soit le modegravele du marcheacute suivant

ydGt = 80 ndash 10pt

ysGt = -20 + 10pt

pt + 1 = pt ndash 15(ysGt ndash yd

Gt) De maniegravere condenseacutee le modegravele peut srsquoeacutecrire sous la forme

pt + 1 + 29pt = 150

76

La solution particuliegravere est pP = 5 et la solution compleacutementaire pC = A(-29)t Ainsi la solution geacuteneacuterale est pt = 5 + A(-29)t Si p0 = 7 la solution finie est pt = 5 + 2(-29)t Le sentier temporel est divergent en ce qursquoil est ponctueacute par des oscillations explosives

3110 Concurrence et bien-ecirctre Admettons que la demande du marcheacute yd

G(p) est geacuteneacutereacutee par la maximisation de lrsquoutiliteacute du consommateur repreacutesentatif sa fonction drsquoutiliteacute eacutetant drsquoexpression U(y) + x Le bien y est celui qursquoon eacutetudie et le bien x repreacutesente laquo tout le reste raquo On peut interpreacuteter x comme lrsquoargent qursquoil reste agrave deacutepenser pour acheter drsquoautres biens une fois reacutealiseacute lrsquoachat optimal du bien y Pour un niveau de prix pe lrsquooffre ys

G(p) est eacutegale agrave la demande ydG(p) et la quantiteacute eacutechangeacutee du bien

est ye associeacute au couple (pe ye) Pour tous les consommateurs qui pensaient pouvoir acqueacuterir le bien agrave un prix supeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe entraicircne une certaine satisfaction en ce qursquoils deacutepensent moins que preacutevu La diffeacuterence entre le prix qursquoils eacutetaient disposeacutes payer et le prix drsquoeacutequilibre correspond agrave un surplus Suivant Pareto ce surplus est un indicateur de bien-ecirctre en ce que lrsquoargent qui nrsquoa pas eacuteteacute deacutepenseacute peut ecirctre utiliseacute pour financer lrsquoachat drsquoautres biens De mecircme pour toutes firmes qui pensaient vendre le bien sur le marcheacute agrave un prix infeacuterieur agrave pe la reacutealisation de pe constitue un gain en ce qursquoelles gagnent plus que preacutevu Le surplus drsquoune firme correspond ainsi lrsquoeacutecart entre le prix drsquoeacutequilibre et le prix auquel elle eacutetait precircte ceacuteder son bien sur le marcheacute Ce surplus est aussi un indicateur de bien-ecirctre Prix A Offre SC pe E SP Demande B 0 ye Quantiteacute

Le surplus des consommateurs SC est donneacute par le triangle AEpe et celui des producteurs SP est donneacute par le triangle EBpe Au regard du graphique ci-dessus on constate que le surplus des consommateurs est donneacute par la diffeacuterence entre lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction de demande inverse et le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre soit

ey

eedG ypdyypSC

0

)(

Le surplus des producteurs est quant agrave lui donneacute par la diffeacuterence entre le produit prix ndash quantiteacute drsquoeacutequilibre et lrsquointeacutegrale aux bornes [0 ndash ye] de la fonction drsquooffre inverse

)(

0

ey

sGee dyypypSP

77

Analytiquement on eacutecrit SC = U(y) ndash py et SP = py ndash C(y) Le problegraveme de la reacutealisation du bien-ecirctre peut ecirctre poseacute en termes de maximisation du surplus total SC + SP En conseacutequence le prix drsquoeacutequilibre concurrentiel est le seul agrave pouvoir maximiser le surplus total Si le prix p0 preacutevalait sur le marcheacute le surplus total serait donneacute par la surface AFGB qui est infeacuterieur agrave la surface AEB Ceci prouve que pe est un prix ideacuteal Prix A Offre p0 F pe E G Demande B 0 ye Quantiteacute

Pour le marcheacute caracteacuteriseacute par les eacutequations ci-apregraves

ydG = 80 ndash 10p

ysG = ndash20 + 10p

Le prix et la quantiteacute drsquoeacutequilibre sont respectivement pe = 5 et ye = 30 Le surplus des consommateurs est donneacute par

30

0

45150)108( dyySC

Le surplus des producteurs est donneacute par

45)102(150

30

0 dyySP

Le surplus total est ainsi eacutegal agrave 90 Si le prix du marcheacute eacutetait eacutegal agrave 6 la quantiteacute eacutechangeacutee serait eacutegale 20 Il y aurait rationnement de lrsquooffre en ce que pour ce niveau de prix les offreurs sont disposeacutes agrave vendre 40 uniteacutes du bien Le surplus des consommateurs serait

20

0

20120)108( dyySC

Le surplus des producteurs sera

60)102(120

20

0 dyySP

Ainsi le surplus total devient eacutegal agrave 80 Ceci montre bel et bien que seul le prix drsquoeacutequilibre pe = 5 permet de maximiser le surplus total

78

3111 Leacutequilibre de long terme sur un marcheacute concurrentiel Lexistence dun profit au sein dune branche ou drsquoune industrie va attirer de nouvelles uniteacutes de production eacutetant donneacute quen concurrence parfaite la liberteacute dentreacutee est garantie agrave tous les potentiels intervenants du marcheacute Larriveacutee de nouvelles firmes va accroicirctre la quantiteacute globale offerte sur le marcheacute Il en reacutesultera un abaissement du prix deacutequilibre et par conseacutequent un amenuisement du profit de chaque firme Dautre part lentreacutee dans la branche de nouvelles uniteacutes peut ou pas provoquer un effet sur le prix des facteurs variables Sil ny a aucun effet la baisse de prix sera exclusivement responsable de la disparition du profit Leacutequilibre final sera reacutealiseacute lorsque le coucirct moyen sera eacutegal agrave la recette moyenne et que le profit sera nul cest-agrave-dire lorsque

RM = Rm = CM = Cm = p Revenons au marcheacute caracteacuteriseacute par les relations

yd

G = 80 ndash 10p ys

G = ndash20 + 10p La fonction de coucirct ndash type des firmes eacutetant C = y2 + 2y + 1 on peut eacutegaliser le coucirct marginal au coucirct moyen afin de deacuteterminer lrsquooffre individuelle et le prix qui sera en vigueur sur le marcheacute Une fois celui-ci deacutetermineacute on le renvoie dans la fonction de demande du marcheacute pour avoir la quantiteacute eacutechangeacutee Si lrsquoon veut deacuteterminer le nombre drsquooffreurs dans le long terme il suffira de faire le rapport quantiteacute drsquoeacutequilibre sur quantiteacute offerte par firme Puisque Cm = 2y + 2 et CM = y + 2 + 1y lrsquooffre individuelle sera eacutegale agrave 1 Si on renvoie cette quantiteacute dans la fonction de coucirct marginal ou dans la fonction de coucirct moyen on trouve un prix eacutegal agrave 4 Ainsi en rentrant dans la fonction de demande globale on trouve la quantiteacute de bien eacutechangeacutee sur le marcheacute soit ye = 40 Lrsquooffre individuelle eacutetant ys

i = 1 on conclut que dans le long terme le nombre drsquooffreurs est passeacute de 20 40

32 Le monopole (pur) Une firme est en situation de monopole lorsque sur le marcheacute elle nrsquoa pas de concurrents A cet eacutegard elle est price maker puisque le prix deacutepend de son bon vouloir Elle peut soit fixer par voie drsquoautoriteacute le prix auquel se solderont les transactions ou offrir une quantiteacute relativement faible du bien de maniegravere agrave ce que la speacuteculation qui va srsquoen suivre fasse grimper le prix Ainsi le prix est fonction de la quantiteacute y du bien

p = p(y) avec pacute(y) lt 0 Les monopoles trouvent leurs origines dans trois types de situations Un monopole peut ecirctre deacutecreacuteteacute par les deacutecideurs politiques pour des raisons de strateacutegie de deacuteveloppement ou de politique eacuteconomique (monopole leacutegal) tout comme il peut reacutesulter drsquoune situation eacuteconomique particuliegravere ou des exigences techniques seacutevegraveres notamment lrsquoimportance du coucirct de deacutemarrage des activiteacutes ou drsquoentreacutee dans la branche (monopole naturel) Aussi un monopole peut reacutesulter drsquoune avanceacutee technologique (monopole drsquoinnovation)

79

Une diffeacuterence majeure entre monopole et concurrence parfaite est que le prix diminue agrave mesure que les ventes augmentent Consideacuterons la fonction de demande inverse p(y) = a ndash by Dans ces conditions la recette du monopoleur sera donneacutee par

R p(y)y = ay ndash by2 et sa courbe repreacutesentative sera concave Elle atteint un maximum pour y = a2b La pente de la recette qui correspond agrave la recette marginale sera donneacutee par

Rm = a ndash 2by Alors qursquoen concurrence pure et parfaite le prix est eacutegal la recette marginale en situation de monopole le prix est supeacuterieur agrave la recette marginale

P gt Rm Pour des valeurs de y infeacuterieures agrave y la recette marginale sera positive et elle sera neacutegative pour des valeurs supeacuterieures agrave y Recette R = p(y)y 0 y

a p = p(y) 0 y y Rm = dRdy

80

321 Lrsquoeacutequilibre du monopoleur La fonction de profit du monopoleur srsquoeacutecrit de la sorte

= py ndash C(y) = yp(y) ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation permet de deacuteterminer lrsquoeacutequilibre du monopoleur crsquoest-agrave-dire le critegravere respecter pour qursquoil ait un profit maximum

ddy = p(y) + yp (y) ndash Cm = 0 Il vient ainsi qursquo lrsquoeacutequilibre le monopoleur doit veacuterifier que

Rm = p(y) + y p (y) = Cm Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en superposant dans un mecircme graphique les courbes de recette et de coucirct du monopoleur Pour la quantiteacute de bien qui maximise le profit soit lrsquoeacutecart en la recette et le coucirct de production on veacuterifie une eacutegaliteacute de pente pour les deux courbes Recette coucirct C = C(y) R = p(y)y 0 ym y

Le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait eacuteteacute pratiqueacute sur un marcheacute concurrentiel La caracteacuteristique fondamentale drsquoun monopole du point de vue de lrsquoanalyse est qursquoun monopoleur dispose drsquoun pouvoir de marcheacute dans le sens ougrave la quantiteacute de bien qursquoil est en mesure de vendre varie de faccedilon continue en fonction du prix qursquoil fixe Ceci est opposer au cas de la firme concurrentielle dont les ventes tombent agrave zeacutero si elle pratique un prix supeacuterieur agrave celui du marcheacute Ceci est du reste eacutevident puisque la firme concurrentielle est price taker alors que le monopoleur est price maker Pour deacuteterminer la fois le prix pratiqueacute par le monopoleur et la quantiteacute de bien qursquoil offre on va superposer dans un mecircme graphique les courbes de demande inverse de recette marginale et de coucirct marginale Il faut noter que la courbe de coucirct marginal dans sa phase ascendante correspond agrave la fonction drsquooffre de la firme

81

Prix

A Cm = Offre pm Em pc Ec Rm Demande = p(y) ym yc Quantiteacute

Le monopoleur produit la quantiteacute ym qui correspond lrsquoeacutegaliteacute de la recette marginale et du coucirct marginal et il vend le bien sur le marcheacute au prix pm Si lrsquoon eacutetait en concurrence parfaite le prix

pratiqueacute serait pc et la quantiteacute produite du bien serait yc Puisque pm pc et que yc ym il vient que le surplus des consommateurs et le surplus collectif en concurrence parfaite sont supeacuterieurs agrave ceux reacutealiseacutes en situation de monopole Prix

A aCm Cm pm Em pc Ec Demande ym yc Quantiteacute

Nous avons vu que le niveau de production pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal correspond agrave un optimum de Pareto Comme la courbe de recette marginale du monopoleur se situe toujours en dessous de la courbe de demande il est tout fait eacutevident qursquoun monopoleur produise une quantiteacute infeacuterieure agrave la quantiteacute efficace selon Pareto En conseacutequence une situation de monopole est inefficace au sens de Pareto Admettons qursquoune firme en situation de monopole ait une fonction de coucirct noteacutee C = y2 + 2y + 1 et se trouve confronteacutee agrave une fonction de demande noteacutee p(y) = 8 ndash 01y Sa fonction de profit srsquoeacutecrira

π Rm ndash Cm = (8 ndash 01y)y ndash (y2 + 2y + 1) La condition du premier ordre nous permet drsquoeacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre

(8 ndash 02y) ndash (2y + 2) = 0 Il vient alors qursquoelle va offrir la quantiteacute ym = 272 et pratiquera le prix pm = 7728 Pour une mecircme structure de coucirct et une mecircme structure de la demande sur le marcheacute une firme concurrentielle pratiquerait un prix pC = 5 et la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute serait yC = 30 Dans ces conditions le monopoleur reacutealise un profit eacutegal agrave 718176 alors qursquoune firme concurrentielle reacutealise un profit eacutegal 125 comme on lrsquoa eacutetablit preacuteceacutedemment

82

322 La marge ajouteacutee du monopoleur Eu eacutegard agrave sa position sur le marcheacute (price maker) le monopoleur utilise son prix de vente comme une arme strateacutegique Il pratique geacuteneacuteralement un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence pure et parfaite crsquoest-agrave-dire un prix supeacuterieur agrave son coucirct marginal La diffeacuterence entre le prix qursquoil pratique et le coucirct marginal est qualifieacute de marge ajouteacutee (markndashup) On peut degraves lors eacutecrire

p = aCm

ougrave a 1 repreacutesente la marge ajouteacutee Chaque fois que le coucirct marginal srsquoaccroicirct le prix pratiqueacute par le monopoleur aura agrave augmenter

Etant donneacute que Rm = p(y) + y p (y) = Cm on eacutetablit facilement que

Rm = p[1 + (eyp)ndash1] = Cm ougrave eyp repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport au prix Ainsi la marge ajouteacutee par la firme est donneacutee par

a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Dans le graphique ci-apregraves la marge ajouteacutee correspond agrave la distance AB soit lrsquoeacutecart entre le prix pratiqueacute par le monopoleur et son coucirct marginal Prix coucirct Cm pm A Mark-up B Demande Rm Quantiteacute

Dans lrsquoexemple consideacutereacutee ci-dessus pour une quantiteacute de bien ym = 272 le monopoleur pratique le prix pm = 773 et son coucirct marginal est Cm = 744 Ainsi la marge ajouteacutee est a = 10389 A partir de ce reacutesultat on peut deacuteterminer lrsquoeacutelasticiteacute de la demande compte tenu du fait que a = [1 + (eyp)ndash1]ndash1 Il vient ainsi que lrsquoeacutelasticiteacute eyp sera eacutegale agrave environ ndash27 Pour srsquoen convaincre on peut partir de la fonction de demande inverse et calculer lrsquoeacutelasticiteacute en tenant compte du prix et de la quantiteacute drsquoeacutequilibre

323 Le bien-ecirctre en situation de monopole Du fait que le monopoleur pratique un prix supeacuterieur agrave celui qui aurait preacutevalu en concurrence parfaite et qursquoil offre une quantiteacute moins importante de bien en regravegle geacuteneacuterale les situations de monopole rapporteacutees agrave des situations de concurrence parfaite se traduisent par des pertes en bien-ecirctre La diffeacuterence en termes de surplus correspond agrave la perte segraveche ou charge morte du monopole Le graphique ci-dessous illustre le concept en consideacuterant que le coucirct marginal est constant

83

Prix A pm B pC E D Cm Demande Rm

ym yc Quantiteacute

En situation de concurrence le surplus des consommateurs est eacutegal agrave la surface ADpc alors qursquoen situation de monopole il est donneacute par la surface ABpm Ainsi la surface EBD repreacutesente la perte segraveche ou la charge morte du monopole soit la perte en termes de surplus collectif qursquoenregistre la socieacuteteacute si lrsquoon se rapporte une situation de concurrence parfaite Si lrsquoon relacircche lrsquohypothegravese drsquoun coucirct marginal constant la courbe de courbe marginal sera croissante Et comme lrsquoindique le graphique ci-dessous la perte segraveche ou charge morte du monopole sera eacutegale agrave la somme des triangles A et B Prix coucirct Cm pm pc Ec B

Demande Rm ym Quantiteacute

Pour lrsquoexemple retenu le surplus des consommateurs est donneacute par

722

0

36450025621)108( dyySC

et celui des producteurs par

722

0

18728)22(025621 dyySP

Le surplus total eacutetant de 85517 en situation de monopole on conclut que la perte segraveche ou la charge morte du monopole est eacutegale agrave 814483

A

84

324 Pratique de la discrimination 9 Le monopoleur peut diffeacuterencier son produit (marque preacutesentation) pour le vendre plus cher agrave certains consommateurs et reacutecupeacuterer ainsi une partie du surplus du consommateur Il peut vendre le mecircme produit agrave des prix diffeacuterents sur des marcheacutes ou segments de marcheacute seacutepareacutes et caracteacuteriseacutes par des eacutelasticiteacutes diffeacuterentes Lorsque la discrimination des prix est possible le prix du bien vendu par le monopoleur sera plus eacuteleveacute sur le segment du marcheacute caracteacuteriseacute par une demande faiblement eacutelastique et moins eacuteleveacute sur le segment du marcheacute ougrave lrsquoeacutelasticiteacute est grande

Discrimination du premier degreacute Il est possible pour le monopoleur puisqursquoeacutetant le seul offreur sur le marcheacute de vendre son bien agrave lrsquoacheteur qui est disposeacute payer le prix plus eacuteleveacute qui soit pour lrsquoacqueacuterir Cette faccedilon de fixer le prix de vente correspond une forme discrimination en ce que crsquoest le mieux offrant en termes de prix qui acquiert le bien Crsquoest ce que lrsquoon observe en cas de vente aux enchegraveres Il y a lieu de noter qursquoavec ce type de discrimination le surplus du consommateur est annuleacute

Discrimination du deuxiegraveme degreacute Le monopoleur peut eacutegalement fixer le prix de vente de son bien en tenant compte de la quantiteacute de bien demandeacutee par acheteur Pour lrsquoacheteur qui cherche se procurer une plus grande quantiteacute il peut deacutecider de revoir la baisse le prix par uniteacute Srsquoil le fait il procegravede une sorte de discrimination On parle dans de telles circonstances drsquoune tarification non-lineacuteaire Cette discrimination tient au fait que la firme nrsquoa pas drsquoinformations exactes sur le comportement des acheteurs (quantiteacute chercheacutee)

Discrimination du troisiegraveme degreacute Selon qursquoil peut segmenter son marcheacute en compartiment le monopoleur peut vendre le mecircme bien agrave des prix diffeacuterents Bien sucircr la segmentation nrsquoest possible que si la sensibiliteacute de la demande par rapport au prix nrsquoest pas la mecircme dans les diffeacuterents segments du marcheacute Contrairement agrave la discrimination de deuxiegraveme degreacute ici la firme perccediloit directement des signaux sur le comportement de la demande ou les preacutefeacuterences des consommateurs Admettons que le monopoleur peut segmenter son marcheacute en deux compartiments La demande nrsquoeacutetant pas la mecircme dans les compartiments on aura

p1 = p1(y1) et p2 = p2(y2) Le profit du monopoleur est donneacute par la diffeacuterence entre son profit et son coucirct de production soit

π R1 + R2 ndash C(y) = y1p1(y1) + y2p2(y2) ndash C(y) Il faut noter que la quantiteacute totale est donneacutee par la somme des quantiteacutes vendues sur les deux segments du marcheacute soit y = y1 + y2 En deacuterivant la fonction de profit par rapport agrave y1 et y2 on obtient

Rm1 = p1 + y1p1 = Cm Rm2 = p2 + y2p2 = Cm

On peut eacutegalement eacutetablir que

Rm1 = p1[1 ndash (e1)ndash1] = Cm

Rm2 = p2[1 ndash (e2)ndash1] = Cm

9 Cette analyse de la discrimination a eacuteteacute proposeacutee par Pigou

85

Supposons que p1 soit supeacuterieur agrave p2 Puisque le coucirct marginal est un on arrive agrave dire que

p1p2 = [1 ndash (e2)ndash1][1 ndash (e1)

ndash1] gt 1 Il vient ainsi que la demande est moins sensible aux variations du prix dans le premier segment que dans le second segment du marcheacute Supposons que e2 = ndash5 et e1 = ndash2 On aura ainsi

[1 ndash (e2)ndash1] = 08 [1 ndash (e1)ndash1] = 05 et [1 ndash (e2)

ndash1][1 ndash (e1)ndash1] gt 1

Somme toute si le monopoleur peut segmenter son marcheacute en n compartiment il maximisera son profit en observant le critegravere de lrsquoeacutegaliteacute entre la recette marginale par segment Rmi et son coucirct marginal Cm soit

Rmi = Cm (i = 1 2 hellip n) Les diffeacuterences de prix seront justifieacutees par les diffeacuterences de sensibiliteacutes de la demande par rapport au prix Les prix les plus eacuteleveacutes sont pratiqueacutes sur les segments les moins sensibles aux variations du prix et les prix les moins eacuteleveacutes sur les segments les plus sensibles

33 Monopole naturel La theacuteorie du bien-ecirctre explique les situations de monopole naturel par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par la firme ainsi que la technologie agrave utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas agrave la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetrer le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit certains exploitants de srsquoy engager Dans ces conditions si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question pour satisfaire lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral

86

Prix Cm CM Demande yCM yCm Quantiteacute

34 Concurrence monopolistique Il est possible de rencontrer des marcheacutes preacutesentant agrave la fois des structures ou caracteacuteristiques presque identiques agrave celui de concurrence parfaite et agrave celui de monopole sans pour autant correspondre lrsquoune de ces deux situations Un tel marcheacute est un marcheacute de concurrence monopolistique Un nombre important de demandeurs et un nombre important drsquooffreurs interviennent comme en situation de concurrence pure et parfaite mais ici il y a au moins un offreur (ou un groupe drsquooffreurs) qui ndash par la diffeacuterenciation de son produit ndash arrive agrave se constituer une part de marcheacute propre lui et dispose ainsi drsquoun pouvoir de marcheacute comme si on eacutetait en monopole En effet lorsqursquoune firme arrive diffeacuterencier son produit elle jouit drsquoun droit exclusif de vendre son produit dans les conditions qursquoelle fixe elle-mecircme Autrement dit elle est capable drsquoaugmenter son prix sans pour autant perdre la totaliteacute de ses clients La demande adresseacutee aux concurrents de la firme deacutepend ainsi du degreacute de ressemblance entre les produits qursquoils proposent et celui de la firme

La concurrence monopolistique est probablement le type de marcheacute que lrsquoon rencontre le plus Mais fort malheureusement crsquoest eacutegalement le type de marcheacute le plus difficile analyser Les situations de monopole pur et de concurrence parfaite sont beaucoup plus simples et sont des fois utiliseacutees comme premiegravere approximation pour des modegraveles eacutelaboreacutes de concurrence monopolistique Etant donneacute que la diffeacuterentiation du produit est lrsquoeacuteleacutement qui justifie le pouvoir de marcheacute drsquoune firme cette derniegravere pour eacutelargir sa part de marcheacute ou occuper une place de choix sur le marcheacute peut faire de la publiciteacute En ventant son produit la firme srsquoattend ce que sa clientegravele soit fideacuteliseacutee et qursquoelle augmente au fil du temps afin qursquoelle accroisse terme son profit Il faut toutefois noter que la publiciteacute a deux effets sur le profit un effet positif parce qursquoelle devrait entraicircner un accroissement de la recette et un effet neacutegatif parce qursquoelle accroicirct les coucircts supporteacutes par la firme Il faudrait ainsi que les deux effets soient bien compareacutes pour que la publiciteacute ait reacuteellement un impact positif sur le profit Lrsquoaugmentation de la demande deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute et de lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport agrave la publiciteacute (pourcentage drsquoaugmentation de la demande suite une augmentation de 1 de la publiciteacute) Par contre lrsquoaugmentation des coucircts deacutepend de la quantiteacute de publiciteacute du coucirct unitaire de la publiciteacute et de lrsquoaugmentation du coucirct variable induite par lrsquoaugmentation de la demande

87

Nous pouvons exprimer la quantiteacute de bien vendue sur le marcheacute par la firme comme une fonction de la deacutepense publicitaire Cp soit y = y(Cp) Le coucirct total de la firme a deux composantes ici drsquoune part le coucirct supporteacute effectivement pour produire et le coucirct de la publiciteacute soit C = C(y) + Cp Dans ces conditions le problegraveme de la firme peut ecirctre preacutesenteacute comme suit

Max π R(y) ndash C = py(Cp) ndash C(y(Cp)) ndash Cp En prenant la condition du premier ordre on arrive agrave eacutetablir que

(p ndash Cm)dydCp = 1 Le terme de gauche de cette eacutegaliteacute est appeleacute marge de contribution de la publiciteacute et la diffeacuterence entre le prix p et le Cm correspond agrave la marge ajouteacutee (mark-up) appeleacutee aussi marge increacutementale Le profit sera maximiseacute si un investissement suppleacutementaire en publiciteacute drsquoune uniteacute moneacutetaire occasionne une marge de contribution drsquoune uniteacute moneacutetaire Une augmentation de la deacutepense publicitaire sera envisageacutee si la marge de contribution est supeacuterieure agrave un et inversement On peut eacutegalement eacutetablir que

(p ndash Cm)eypub = Cpy eypub repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute de la demande par rapport la publiciteacute On peut aussi dire que le profit est maximiseacute lorsque le rapport de la deacutepense publicitaire sur les ventes est eacutegal agrave la marge increacutementale multiplieacutee par lrsquoeacutelasticiteacute des ventes par rapport la publiciteacute En concurrence pure et parfaite il nrsquoy a pas lieu de faire de la publiciteacute car la marge increacutementale est eacutegale agrave zeacutero Du reste en concurrence pure et parfaite le produit est homogegravene et lrsquoinformation circule parfaitement que faire de la publiciteacute nrsquoa pas de sens Il en est de mecircme pour les situations de monopoles car le monopoleur est le seul agrave offrir le bien sur le marcheacute et toute la demande srsquoadresse lui

35 Marcheacute des facteurs Lrsquoanalyse du marcheacute des facteurs se propose drsquoeacutenoncer les principes et regravegles observer par une firme qui demande des inputs devant concourir agrave la reacutealisation de sa production La situation en concurrence parfaite ne preacutesentant aucune particulariteacute dans un premier temps nous caracteacuteriserons lrsquoeacutequilibre du marcheacute lorsqursquoil nrsquoy a qursquoune seule firme qui achegravete le facteur Ensuite nous parlerons du marcheacute financier sur lequel la firme peut srsquoendetter pour faire face certaines de ses deacutepenses

351 Marcheacute agrave un seul acheteur monopsone Supposons que pour produire la firme utilise une fonction de production de la forme y = f(x) On admet que la fonction est monotone f(x) gt 0 et que le produit marginal est deacutecroissant f(x) lt 0 Puisque eacutetant le seul acheteur du facteur x sur le marcheacute le prix de celui-ci sera une fonction croissante de x soit w = w(x) Dans ces conditions la firme est un price maker et son problegraveme srsquoeacutecrit comme suit

Max π R(y) ndash C(y) = pf(x) ndash w(x)x La condition du premier ordre qui veut que la recette marginale soit eacutegale au coucirct marginal conduit agrave la relation ci-apregraves

pPmx = w(x) + xw(x) pPm(x) est la valeur de la production suppleacutementaire pouvant ecirctre obtenue avec une uniteacute suppleacutementaire du facteur x Il srsquoagit de la recette marginale du facteur x Pour maximiser son profit la firme choisit la quantiteacute x qui eacutegalise le revenu marginal et la deacutepense marginale du facteur La relation ci-dessus peut eacutegalement srsquoeacutecrire comme suit

88

pPmx = w(1 + 1e) ougrave e repreacutesente lrsquoeacutelasticiteacute drsquooffre du facteur Consideacuterons une forme speacutecifique de la fonction drsquooffre inverse du facteur x

w(x) = a + bx Le coucirct total est C(x) = ax + bx2 et le coucirct marginal est donneacute par

Cmx = a + 2bx Dans le graphique ci-apregraves on repreacutesente lrsquoeacutequilibre sur le monopsone w Cmx = a + 2b w(x) = a + bx

Rmx = Cmx

w a Rmx = pPmx

x x

On constate que sur le monopsone le prix payeacute par la firme pour disposer du facteur x est infeacuterieur agrave son coucirct marginal Si la firme ne prenait pas en compte lrsquoimpact de sa demande sur le prix de x elle choisirait x tel que

pPm(x) = w(x) Elle choisirait une quantiteacute de x plus importante La prise en compte de son pouvoir de monopsone lrsquoa inciteacute agrave reacuteduire sa demande de faccedilon agrave faire baisser le prix w(x) Le pouvoir de monopsone provoque une reacuteduction de la quantiteacute eacutechangeacutee sur le marcheacute et une reacuteduction du prix de x

352 Marcheacute des fonds precirctables ou marcheacute financier Le marcheacute des fonds precirctables est le lieu de rencontre des agents eacuteconomiques qui ressentent des besoins en argent (emprunteurs ou demandeurs de capitaux) et des agents qui deacutegagent des capaciteacutes de financement (precircteurs ou offreurs de capitaux) La formation de lrsquoeacutequilibre sur ce marcheacute se fait par la rencontre de lrsquooffre et de la demande Lrsquooffre de capitaux deacutecoule de lrsquoarbitrage que les individus font entre le preacutesent et le futur (choix intertemporels) en fonction du taux drsquointeacuterecirct en vigueur sur le marcheacute En admettant que les individus vivent sur deux peacuteriodes 1 et 2 ils seront qualifieacutes de precircteurs nets si leurs consommations agrave la date 1 sont infeacuterieures agrave leurs revenus de la peacuteriode La partie non-consommeacutee de leurs revenus sera placeacutee sur le marcheacute des fonds precirctables afin de geacuteneacuterer un surplus qui agrave la peacuteriode 2 leur permettra de consommer plus Le graphique ci-apregraves preacutesente la situation drsquoun individu qui precircte au temps 1 et arrive agrave consommer pour un montant supeacuterieur agrave son revenu ou sa dotation en 2

89

c2 m2 + m1(1 + i)

c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

Pour un precircteur drsquoargent au temps 1 la hausse du taux drsquointeacuterecirct sera beacuteneacutefique dans ce sens qursquoil pourra accroicirctre davantage sa consommation au temps 2 Il aura tendance agrave accroicirctre ses placements au temps 1 la suite de cette hausse du taux drsquointeacuterecirct

c2 m2 + m1(1 + i)

E

U1 c2 E

U0 m2

c1 m1 m1 + m2(1 + i) c1

On peut ainsi preacutesenter la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux comme une fonction croissante du taux drsquointeacuterecirct i Elle repreacutesente les montants qursquoun individu est precirct agrave offrir en fonction du taux drsquointeacuterecirct qursquoil peut obtenir Taux drsquointeacuterecirct

Offre de capitaux

90

Capitaux

La courbe drsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux est du mecircme type que les autres courbes drsquooffre rencontreacutees jusqursquo preacutesent Agrave chaque point de la courbe drsquooffre drsquoeacutepargne correspond un point drsquoeacutequilibre de lrsquoeacutepargnant On peut aussi deacutefinir lrsquoeacutelasticiteacute de lrsquooffre drsquoeacutepargne ou de capitaux par rapport au taux drsquointeacuterecirct Les emprunteurs ou demandeurs de capitaux sont disposeacutes payer un taux drsquointeacuterecirct aux eacutepargnants precircteurs de capitaux Comment expliquer ce comportement Les fondements logiques de ce comportement se trouvent dans les proprieacuteteacutes du capital physique que le capital financier permet de constituer et en particulier dans sa productiviteacute Le capital physique est constitueacute de biens produits dans lrsquoimmeacutediat afin de concourir apregraves un certain deacutelai agrave la production drsquoautres biens On appelle investissement la deacutecision de creacuteer du capital aujourdrsquohui pour geacuteneacuterer plus de revenus demain Dans ces conditions on peut eacutetablir que la demande de capitaux est justifieacutee par la neacutecessiteacute drsquoinvestir Ceux qui demandent des capitaux font un arbitrage entre ce que les capitaux vont leur coucircter et le surplus de revenus qursquoils vont geacuteneacuterer (analyse de la valeur nette actualiseacutee VAN des projets drsquoinvestissement) Si le surplus geacuteneacutereacute lrsquoemporte sur le coucirct du capital la deacutecision drsquoinvestir sera prise et les capitaux seront demandeacutes sur le marcheacute des fonds precirctables En drsquoautres termes la deacutecision drsquoinvestir sera prise si la VAN est positive et elle ne sera pas prise si la VAN est neacutegative

N

t ttt CRiVAN

0)()1(

Rt repreacutesente les recettes attendues sur la peacuteriode allant de t = 0 agrave t = N et Ct les coucircts supporteacutes par la firme pour produire sur le mecircme horizon temporel Moins important sera le coucirct du capital plus les agents eacuteconomiques qui investissent pourront demander des capitaux Taux drsquointeacuterecirct

Demande de capitaux

Capitaux

La demande de capitaux est une fonction deacutecroissante du taux drsquointeacuterecirct Lrsquoeacutequilibre sur le marcheacute des fonds precirctables lorsque la demande globale ou agreacutegeacutee de capitaux correspond lrsquooffre globale ou agreacutegeacutee drsquoeacutepargne

91

Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux

i E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

K Capitaux

Il bien retenir que derniegravere ces courbes drsquooffre et de demande de capitaux il y a des choix intertemporels En effet ce nrsquoest pas de maniegravere hasardeuse qursquoun agent eacuteconomique deacutecide de faire un placement sur un marcheacute financier ou de srsquoendetter

Effet drsquoeacuteviction Srsquoil srsquoajoute sur le marcheacute de nouveaux demandeurs de capitaux la courbe de demande agreacutegeacutee de capitaux devrait se deacuteplacer ver la droite ce qui devrait entraicircner un accroissement du taux drsquointeacuterecirct drsquoeacutequilibre La deacutecision drsquoinvestir eacutetant prise en fonction de la VAN un accroissement du taux drsquointeacuterecirct peut rendre neacutegative une VAN qui auparavant eacutetait positive Une partie des projets drsquoinvestissement autrefois accepteacutes devrait ecirctre reacutecuseacutee ce qui conduit une sorte drsquoeffet drsquoeacuteviction Taux drsquointeacuterecirct

Offre agreacutegeacutee de capitaux E

ie E

Demande agreacutegeacutee de capitaux

Ke Capitaux

36 Oligopole et duopole Un oligopole est un type particulier de marcheacute de concurrence monopolistique ougrave lrsquoon rencontre un nombre restreint de firmes Lrsquoanalyse des marcheacutes oligopolistiques porte essentiellement sur deux points agrave savoir la diffeacuterenciation du produit et lrsquoentreacutee dans la branche Par souci de simpliciteacute on nrsquoanalysera que la situation dans laquelle on ne rencontre que deux offreurs un duopole

92

361 Le modegravele de Stackelberg Dans le modegravele de Stackelberg on considegravere que lrsquoune des firmes fait office de leader sur le marcheacute et lrsquoautre fait office de suiveur ou follower Le follower aligne son comportement sur les deacutecisions prises par le deacutecideur lesquelles deacutecisions peuvent se rapporter agrave la quantiteacute de bien ou au prix de vente du bien sur le marcheacute Lrsquointeraction strateacutegique dans ce modegravele est un jeu seacutequentiel

Leadership en quantiteacute Dans une situation de leadership de quantiteacute le follower cherche agrave maximiser son profit tout en deacutefinissant sa production en fonction de la quantiteacute offerte par le leader Ce dernier cherchera agrave maximiser son profit tout en tenant compte du fait que son choix affectera celui du follower Le prix du marcheacute est une fonction deacutecroissante de la quantiteacute de bien offerte sur le marcheacute

y = y1 + y2 On eacutecrira alors

p = p(y) = p(y1 + y2) ougrave y1 et y2 repreacutesentent respectivement les quantiteacutes de bien offertes par la firme 1 (leader) et par la firme 2 (follower) Le problegraveme du follower srsquoeacutecrit de la sorte

Max 2 = p(y1 + y2) y2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre suivante

Rm2 = p(y1 + y2) + y2(dpdy2) = Cm2 Il faut noter que le choix du follower est fonction de lrsquooffre du leader soit

y2 = f(y1) Cette fonction que lrsquoon appelle fonction de reacuteaction donne des indications sur le comportement du follower eu eacutegard au choix opeacutereacute par le leader Le problegraveme du leader srsquoeacutecrit comme suit

Max 1 = p(y1 + y2) y1 ndash C1(y1) avec y2 = f(y1)

En substituant la fonction de reacuteaction dans la fonction-objectif du leader le problegraveme devient

Max 1 = p[y1 + f(y1)] y1 ndash C1(y1) La condition du premier ordre du leader sera ainsi

p[] + y1p[1 + f (y1)] = Cm1

Illustration Consideacuterons que la demande du marcheacute soit drsquoexpression p = a ndash b(y1 + y2) et que les coucircts de production des deux firmes soient nuls Ainsi le problegraveme du follower srsquoeacutecrira de la maniegravere suivante

Max 2 = p(y1 + y2) y2 = ay2 ndash by1y2 ndash by22

93

La condition du premier ordre donne lieu agrave la fonction de reacuteaction ci-apregraves

2

12

b

byay

En revanche le problegraveme du leader srsquoeacutecrira

Max 1 = p(y1 + y2) y1 = ay1 ndash b y12 ndash by1

21

b

bya

En prenant la condition du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir que

2

1b

ay

En renvoyant ce reacutesultat dans la fonction de reacuteaction du follower on arrive agrave deacutefinir la quantiteacute de bien qursquoil offre

4

2b

ay

Par conseacutequent on aura

y = y1 + y2 = 3a4b et p = a4

Leadership en prix Dans une situation de leadership de prix le follower cherche agrave maximiser son profit tout en tenant compte du prix fixeacute par le leader Autrement dit le follower cherchera agrave eacutegaliser son coucirct marginal au prix deacutefini par le leader Son problegraveme srsquoeacutecrira alors

Max 2 = py2 ndash C2(y2) La condition du premier ordre donne lieu la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm2 Crsquoest partir de cette condition qursquoon trouvera la quantiteacute de bien offerte par le follower Lrsquooffre du leader sera

y1(p) = D(p) ndash y2(p)

En supposant que le coucirct marginal du leader est constant et eacutegal agrave sa fonction de profit srsquoeacutecrira

Max 1 = p[D(p) ndash y2(p)] ndash [D(p) ndash y2(p)] = (p ndash )[D(p) ndash y2(p)] Crsquoest en prenant la condition drsquoeacutequilibre (eacutegaliteacute de la recette marginale avec le coucirct marginal) que le leader deacutetermine sa production

94

Prix Offre du follower

Demande du marcheacute

p Demande adresseacutee au leader

Rm1 Cm1

y1 y Quantiteacute

Illustration La fonction de demande est donneacutee par D(p) = a ndash bp et les fonctions de coucirct des deux firmes sont

C1 = y1 et C2 = y222 Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du marcheacute tout en supposant que la firme 1 est le leader qui

fixe le prix du bien sur le marcheacute La fonction de coucirct marginal du follower est Cm2 = y2 En lrsquoeacutegalisant au prix p on obtient sa fonction drsquooffre soit

y2(p) = p Dans ces conditions on aura

y1 = D(p) ndash y2(p) = a ndash (1 + b)p En reacutesolvant par rapport agrave p on obtient

1

1

b

yap

En prenant la condition drsquoeacutequilibre du leader (Rm1 = Cm1) on arrive agrave deacuteterminer son offre soit

2

)1(1

bay

362 Le modegravele de Cournot Dans le modegravele de Cournot chacune des deux firmes deacutefinit son comportement en anticipant les actions du concurrent Il srsquoagit donc drsquoun jeu simultaneacute On dira alors que lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute si les anticipations faites par les deux firmes sont conforment agrave la reacutealiteacute Le problegraveme de maximisation du profit de la firme 1 se preacutesentera comme suit

Max 1 = p(y1 + ay2 ) y1 ndash C1(y1)

ougrave ay2 repreacutesente lrsquoanticipation de lrsquooutput de la firme 2 par la firme 1 Pour chaque anticipation il

existe un niveau optimal drsquooutput de la firme 1

95

La relation entre le choix optimal de la firme 1 et son anticipation est donneacutee par la fonction

y1 = f1(ay2 )

Cette fonction de reacuteaction est quelque peu similaire agrave ce que nous avons vu plus haut agrave la seule diffeacuterence qursquoici la reacuteaction deacutepend de lrsquoanticipation Par un raisonnement analogique on eacutetablit que la fonction de reacuteaction de la firme 2 sera drsquoexpression

y2 = f2(ay 1 )

La solution drsquoeacutequilibre (y1 y2) est obtenue en reacutesolvant le systegraveme agrave deux eacutequations et deux inconnus que forment les fonctions de reacuteactions des deux firmes sous lrsquohypothegravese ougrave les anticipations sont identiques aux reacutealisations y2 Courbe de reacuteaction f1(y2)

y2 E

Courbe de reacuteaction f2(y1)

y1 y1

363 La coalition Il est possible que les firmes en preacutesence sur le marcheacute se rassemblent et fixent leurs prix et outputs de maniegravere maximiser les profits du cartel qursquoelles auront ainsi mis sur pied Lrsquointeraction strateacutegique ici est un jeu coopeacuteratif Le problegraveme du cartel srsquoeacutecrira de la sorte

Max = p(y1 + y2)[y1 + y2] ndash C1(y1) ndash C2(y2) En prenant les conditions du premier ordre de la maximisation on arrive agrave eacutetablir qursquo lrsquoeacutequilibre on devra veacuterifier que

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm1(y1)

p(y1 + y2) + p()[y1 + y2] = Cm2(y2) Ceci suppose qursquo lrsquoeacutequilibre les coucircts marginaux des deux firmes seront identiques Il faut toutefois noter que dans la pratique les choses ne sont pas si faciles que ccedila ne semble le paraitre Geacuteneacuteralement les firmes faisant partie drsquoune coalition ont tendance ne pas respecter ce critegravere

37 Theacuteorie des jeux Pour mieux saisir les interactions strateacutegiques entre entreprises sur un marcheacute oligopolistique il srsquoavegravere important drsquoutiliser la theacuteorie des jeux pour voir une face cacheacutee de lrsquoiceberg crsquoest-agrave-dire des situations qui ne ressortent pas directement des cas eacutetudieacutes preacuteceacutedemment

96

Afin de simplifier lrsquoexposeacute nous allons consideacuterer des jeux agrave deux joueurs et chacun ayant la possibiliteacute drsquoutiliser deux strateacutegies Lrsquoindividu A ndash qui apparaicirct en ligne ndash peut jouer haut ou bas et lrsquoindividu B ndash qui apparaicirct en colonne ndash peut jouer gauche ou droite Les jeux seront repreacutesenteacutes par des matrices de paiements (payoff matrix) Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 1 2 0 1

Bas 2 1 1 0

Du point de vue du joueur A la strateacutegie bas est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie haut Pour le joueur B la strateacutegie gauche est preacutefeacutereacutee agrave la strateacutegie agrave la strateacutegie droite Ainsi chaque joueur a une strateacutegie dominante La strateacutegie drsquoeacutequilibre consiste pour A agrave jouer la strateacutegie bas et pour B agrave jouer la strateacutegie gauche (2 1)

371 Equilibre de Nash Les eacutequilibres avec strateacutegies dominantes nrsquoexistent pas toujours Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 2 1 0 0

Bas 0 0 1 2

Si B choisit gauche A jouera haut et si B choisit droite A jouera bas Dans ces conditions le choix optimal de A deacutepend des choix de B De mecircme si A joue haut B jouera gauche et si A prend bas B jouera droite Il nrsquoapparaicirct pas de strateacutegie dominante Un eacutequilibre de Nash est une paire de strateacutegies pour laquelle le choix de A est optimal compte tenu du choix de B et pour laquelle le choix de B est optimal compte tenu du choix de A Ainsi la strateacutegie haut ndash gauche est un eacutequilibre de Nash tout comme la strateacutegie bas ndash droite Il est possible de rencontrer un jeu pour lequel il nrsquoexiste pas un eacutequilibre de Nash Consideacuterons la matrice de paiements ci-apregraves

Joueur B Gauche Droite

Joueur A

Haut 0 0 0 -1

Bas 1 0 -1 3

Si A joue haut B devrait jouer gauche et si A joue bas B devrait jouer droite Par contre si B joue gauche A jouera bas et si B joue droite A jouera haut Devant de telles complications les individus sont appeleacutes agrave opter pour des strateacutegies mixtes en lieu et place des strateacutegies pures Ils doivent associer des probabiliteacutes leurs choix strateacutegiques crsquoest-agrave-dire deacutefinir des freacutequences optimales avec lesquelles ils vont utiliser les diffeacuterentes strateacutegies possibles

97

372 Dilemme du prisonnier Lrsquoeacutequilibre de Nash nrsquoest pas neacutecessairement efficace au sens de Pareto Consideacuterons deux prisonniers A et B qui ont commis un deacutelit ensemble Ces prisonniers sont interrogeacutes seacutepareacutement crsquoest-agrave-dire dans deux salles diffeacuterentes Les deux ont la possibiliteacute de nier le fait ou de le reconnaicirctre (avouer) Si lrsquoun nie et que lrsquoautre avoue celui qui avoue est libeacutereacute et celui qui nie fait 6 mois de prison Si les deux nient ils feront un mois de prison (pour des raisons administratives) et srsquoils avouent ils passeront trois mois de prison La matrice de paiements de ce jeu srsquoeacutecrit comme suit

Joueur B Avouer Nier

Joueur A

Avouer -3 -3 0 -6

Nier -6 0 -1 -1

Si A avoue B devrait avouer Si A nie B aura tout inteacuterecirct agrave avouer Donc pour B la strateacutegie dominante est avouer Si B avoue A devrait aussi avouer le fait Si B nie A se devra drsquoavouer Il vient donc que la strateacutegie avouer ndash avouer est un eacutequilibre de Nash Mais cet eacutequilibre nrsquoest pas optimal au sens de Pareto car la strateacutegie nier ndash nier est plus inteacuteressante du point de vue du bien-ecirctre

98

4

Interventions de lrsquoEtat et eacutequilibre

a fonction-objectif de lrsquoEtat eacutetant celle de maximiser le bien-ecirctre collectif il se voit dans lrsquoobligation drsquointervenir dans le fonctionnement de lrsquoeacuteconomie Il peut offrir un bien neacutecessaire pour la collectiviteacute tout comme il peut soutenir la demande dans un secteur donneacute LrsquoEtat peut

eacutegalement intervenir en eacutedictant les regravegles de jeu respecter par les acteurs de lrsquoeacuteconomie Pour ce faire il doit disposer des moyens drsquoaction conseacutequents lrsquoimpocirct eacutetant sa principale source de revenu et il doit veiller ne pas creacuteer un climat deacutefavorable au deacuteroulement de lrsquoactiviteacute eacuteconomique Puisque lrsquoimpocirct repose sur une assiette fiscale qui est composeacutee de biens ou drsquoactiviteacutes eacuteconomiques il est tout agrave fait eacutevident que la leveacutee drsquoun impocirct par lrsquoEtat modifiera lrsquoeacutequilibre individuel et lrsquoeacutequilibre du marcheacute Mais bien sucircr lrsquoeffet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre diffegravere en fonction du type de marcheacute en preacutesence et du type de preacutelegravevement envisageacute impocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) ou forfaitaire

41 Impocircts et eacutequilibre individuel

411 Impocirct et eacutequilibre du consommateur Soit un individu qui consomme deux biens y1 et y2 Son revenu m eacutetant donneacute et les prix de vente des deux biens eacutetant respectivement p1 et p2 le problegraveme auquel il est confronteacute se preacutesente de la sorte

Max U(y1 y2)

telle que m ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 Les conditions du premier ordre de la maximisation de lrsquoutiliteacute conduisent la condition drsquoeacutequilibre selon laquelle le taux marginal de substitution entre biens TmS doit ecirctre eacutegal au rapport des prix des biens soit

TmS = p1p2

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Un impocirct speacutecifique est un impocirct preacuteleveacute sur un bien preacutecis Il peut ecirctre preacuteleveacute sur chaque uniteacute vendue du bien y1 pour un montant fixe t (impocirct lrsquouniteacute) ou pour un montant proportionnel au prix de vente dudit bien sur le marcheacute t = ςp (impocirct agrave la valeur) Admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct speacutecifique de t uniteacutes moneacutetaires par uniteacute du bien y1 consommeacutee Il srsquoen suivra un changement de lrsquoensemble budgeacutetaire du consommateur car deacutesormais pour disposer drsquoune uniteacute de y1 il faut srsquoacquitter drsquoun prix p1 + t Dans ces conditions le problegraveme du consommateur devient

Max U(y1 y2)

telle que m ge (p1 + t)y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 En prenant les conditions du premier ordre on arrive la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmS = (p1 + t)p2

LL

99

Cette derniegravere condition eacutetant diffeacuterente de la condition drsquoeacutequilibre avant la leveacutee de lrsquoimpocirct on conclut que lrsquoimpocirct speacutecifique modifie lrsquoeacutequilibre individuel A preacutesent admettons que lrsquoEtat legraveve un impocirct la valeur sur le bien y1 Le problegraveme du consommateur deviendra

Max U(y1 y2)

telle que m ge (1 + ς)p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0 La condition du premier ordre nous donne la relation ci-apregraves

TmS = (1 + ς)p1p2 Cette condition est diffeacuterente de celle avant intervention de lrsquoEtat La leveacutee de lrsquoimpocirct ayant conduit un accroissement du prix du bien 1 sur le marcheacute lrsquoeacutequilibre du consommateur devrait changer on devrait srsquoattendre une reacuteduction de lrsquoensemble budgeacutetaire et une baisse de son niveau de vie

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Un impocirct forfaitaire ne deacutepend pas de la quantiteacute de bien vendue (ou acheteacutee) ou du prix auquel le bien est vendu Il srsquoagit drsquoun forfait fixeacute de maniegravere discreacutetionnaire par lrsquoEtat Supposons que le montant de lrsquoimpocirct forfaitaire soit de T Le problegraveme du consommateur srsquoeacutecrit

Max U(y1 y2)

telle que m ndash T ge p1y1 + p2 y2

avec y1 y2 ge 0

Les conditions marginales donnent lieu la mecircme condition drsquoeacutequilibre que celle obtenue avant leveacutee de lrsquoimpocirct soit

TmS = p1p2 Il se deacutegage de ces quatre situations consideacutereacutees que la condition initiale ne diffegravere pas de celle apregraves preacutelegravevement de lrsquoimpocirct forfaitaire Crsquoest la raison pour laquelle on dit souvent que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique Ceci peut ecirctre prouveacute par une analyse graphique y2

mp2

E

Eacute E˝ U1 U2

yacute1e y1e mp1 y1

100

La situation de deacutepart est donneacutee par le point E La leveacutee de lrsquoimpocirct speacutecifique entraicircne un pivotement de la droite de budget lequel pivotement deacutebouche sur un eacutequilibre reacutealiseacute au point Eacute avec un niveau de satisfaction U2 Si lrsquoEtat deacutesire collecter la mecircme recette fiscale par un impocirct sur le revenu (impocirct forfaitaire) la droite du budget initiale se deacuteplacera parallegravelement vers le bas tout en passant par le point Eacute Sur cette nouvelle droite de budget (en tirets) il est possible drsquoobtenir un point drsquoeacutequilibre plus inteacuteressant que Eacute tel le cas du point E˝ qui correspond un niveau de satisfaction supeacuterieur U2

412 Impocircts et eacutequilibre du producteur Le problegraveme de base du producteur est celui de la maximisation de son profit soit

Max π = py ndash C(y) ougrave p est le prix de lrsquooutput y et C(y) la fonction de coucirct total En optimisant la fonction de profit on obtient la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

p = Cm Une firme est dite efficiente sur le marcheacute (scale efficient) si elle veacuterifie cette derniegravere condition drsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire si elle exploite correctement les opportuniteacutes lui offertes par le marcheacute

Leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct de t par uniteacute vendue du bien y la fonction de coucirct du producteur deviendra C = C(y) + ty et son problegraveme deviendra

Max = py ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation deacutebouche sur lrsquoeacutegaliteacute suivante

p = Cm + t A lrsquoeacutequilibre le prix doit ecirctre mecircme de couvrir le coucirct marginal Cm et la taxe t Admettons preacutesent que lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct proportionnel au prix de son output Sa fonction-objectif devient

Max = py ndash C(y) ndash ςpy

ou

Max = (1 ndash ς)py ndash C(y) La condition du premier ordre de la maximisation nous conduit agrave la relation suivante

(1 ndash ς)p = Cm Ceci suggegravere que seule la fraction (1 ndash ς) du prix reacutemunegravere les efforts de la firme en tant que producteur On peut donc montrer que le prix du bien devrait croicirctre apregraves leveacutee de lrsquoimpocirct

p = Cm(1 ndash ς)

101

Leveacutee drsquoun impocirct forfaitaire Si lrsquoEtat preacutelegraveve un impocirct forfaitaire sur la firme sa fonction de coucirct total deviendra C = C(y) + T et son problegraveme srsquoeacutecrira

Max = py ndash C(y) ndash T La condition marginale est

p = Cm On peut donc conclure que lrsquoimpocirct forfaitaire est preacutefeacutereacute lrsquoimpocirct speacutecifique ( lrsquouniteacute ou la valeur) car la condition drsquoeacutequilibre du producteur est ici identique la condition de deacutepart

42 Impocirct eacutequilibre et bien-ecirctre en concurrence parfaite Lrsquoeacutequilibre reacutealiseacute en concurrence parfaite correspond un eacutetat efficace en ce qursquoil maximise le bien-ecirctre collectif mesureacute par la somme des surplus des consommateurs et des producteurs Sous ce point nous analysons lrsquoimpact de la leveacutee drsquoun impocirct lrsquouniteacute sur lrsquoeacutequilibre du marcheacute

421 Fiscaliteacute et production de concurrence parfaite Admettons que la taxe sur les ventes soit drsquoun montant t par uniteacute Le coucirct total de la firme sera donneacute par la somme du coucirct de production reacuteelle et de la charge fiscale soit

C = C(y) + ty ougrave C(y) repreacutesente le coucirct de production et ty la charge fiscale La condition du premier ordre de la maximisation est

Cm + t = p ou Cm = p ndash t La fonction drsquooffre qui est deacuteriveacutee de la fonction de coucirct marginal Cm se preacutesente comme suit

ySi = y(p ndash t)

ou

yS

i = y(ps) avec ps = pd ndash t La fonction drsquooffre agreacutegeacutee est donneacutee par la somme des fonctions drsquooffre individuelles

YS = sum yi(p ndash t) = YS (p ndash t) ou YS = YS(ps) Lrsquooffre globale est ainsi fonction du prix net encaisseacute par les vendeurs (ps = pd ndash t) Lrsquoeacutequilibre du marcheacute est deacutetermineacute lrsquoaide de la relation suivante

E = Yd(p) ndash YS(p ndash t) = 0

ou

E = Yd(ps + t) ndash YS(ps) = 0

102

422 Effet de lrsquoimpocirct sur lrsquoeacutequilibre concurrentiel et le bien-ecirctre collectif La leveacutee drsquoune taxe ou drsquoun impocirct par uniteacute de bien vendu sur le marcheacute entraicircne une modification de lrsquoeacutequilibre de la recette reacutealiseacutee par les offreurs et de la deacutepense engageacutee par les demandeurs Le prix payeacute par les demandeurs pd est supeacuterieur agrave celui perccedilu par les offreurs ps soit

pd = ps + t

ou

ps = pd ndash t avec t qui repreacutesente le montant de la taxe imposeacutee par lrsquoEtat et ps la reacutemuneacuteration des efforts conjugueacutes par la firme pour produire le bien Prix

Offre SC

pd A Perte segraveche de lrsquoimpocirct t pe bull E ps SP B Demande

y ye Quantiteacute

La leveacutee de la taxe t a reacuteduit au mecircme moment le surplus des consommateurs et celui des producteurs Le triangle ABE donne la mesure de la perte en termes de bien-ecirctre qursquoa occasionneacute lrsquoimpocirct (perte segraveche de lrsquoimpocirct) La recette fiscale est donneacutee par le rectangle pd-A-B-ps et les charges respectives des consommateurs et des producteurs dans le financement de lrsquoimpocirct sont donneacutees par pd-pe et pe-ps

Illustration Soit une industrie composeacutee de 100 firmes ayant la mecircme structure de coucircts

Ci = 01yi2 + yi + 10

La demande qui leur est adresseacutee est de la forme

Yd = 4000 ndash 400p Deacuteterminez lrsquoeacutequilibre du marcheacute Qursquoadviendra-t-il si lrsquoEtat impose une taxe speacutecifique de t UM Si t = 09 quelle sera la charge respectivement supporteacutee par les offreurs et par les consommateurs En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant en y on obtient

y = ndash5 + 5p avec p 1

Recette fiscale

103

La fonction drsquooffre globale est donneacutee par

YS = 100yi = ndash500 + 500p En eacutegalant lrsquooffre de la branche la demande du marcheacute on arrive deacuteterminer le prix drsquoeacutequilibre et la quantiteacute de biens eacutechangeacutee

pe = 5 et Ye = 2000 Lorsque lrsquoEtat intervient sur le marcheacute la fonction de coucirct total de lrsquoentreprise-type devient

Ci = 01yi2 + yi + 10 + ty

En eacutegalisant le coucirct marginal au prix et en reacutesolvant par rapport agrave y on obtient

y = 5(p ndash t) ndash 5 La fonction drsquooffre globale srsquoeacutecrit

YS = 100yi = ndash500 + 500(p ndash t) avec p gt 1 En eacutegalisant lrsquooffre et la demande on obtient

p = 5 + 5t9 Si t est eacutegal agrave 90 centimes on aura p = 55 et Y = 1800 Comme conseacutequence le prix srsquoest accru alors que la quantiteacute vendue a diminueacute Auparavant un consommateur payait 5 UM pour disposer drsquoune uniteacute du bien et lrsquooffreur recevait 5 UM par uniteacute de bien vendue Avec le changement intervenu le consommateur devra payer 55 UM pour avoir une uniteacute du bien Les 50 centimes additionnels repreacutesentent la part de la taxe unitaire qui est reacutepercuteacutee sur les consommateurs Le prix net encaisseacute par lrsquoentreprise est ps = 55 ndash 09 = 46 Ainsi lrsquoentreprise prend en charge 40 centimes de la taxe

423 Impocirct et production de monopole Soit la fonction de coucirct du monopoleur que lrsquoon eacutecrit de la sorte

C = C(y) Admettons que lrsquoEtat exige une taxe speacutecifique de t sur les ventes par uniteacute de bien du monopoleur La fonction de profit deviendra

= yp(y) ndash C(y) ndash ty La condition du premier ordre de la maximisation donne lieu agrave la relation suivante

Rm = p(y) + ypacute(y) = Cm + t Calculons la diffeacuterentielle totale de la recette marginale du monopoleur Rm

R˝(y)dy = C˝(y)dy + dt Apregraves arrangement de cette derniegravere relation on obtient

dydt = [R˝(y) ndash C˝(y)]ndash1 0

104

La leveacutee drsquoun impocirct speacutecifique sur les ventes du monopoleur entraicircne la diminution de la quantiteacute vendue et la hausse du prix Prix

A Cm + t Cm pm Em Rm Demande ym Quantiteacute

Illustration Soit un monopoleur confronteacute agrave une courbe de demande ayant la forme suivante

p = 100 ndash 4y Son coucirct total est donneacute par

C = 50 + 20y Caracteacuterisez lrsquoeacutequilibre du monopoleur Quelle sera sa position drsquoeacutequilibre si lrsquoEtat instaure un impocirct speacutecifique de 8 uniteacutes moneacutetaires sur son output La fonction de profit du monopoleur est de la forme

p(y)y ndash C(y) = 80y ndash 4y 2 ndash 50 En rendant eacutegaux le coucirct marginal et la recette marginale on obtient

100 ndash 8y = 20 Ce qui donne ye = 10 p(ye) = 60 et le profit est eacutegal agrave 350 Si le monopoleur suivait la regravegle de concurrence parfaite on aurait

100 ndash 4y = 20 Ce qui donnerait y = 20 p = 20 et le profit serait eacutegal agrave -50 Il vendrait une quantiteacute plus importante agrave un prix plus bas et obtiendrait un profit neacutegatif Si lrsquoEtat legraveve un impocirct de 8 UM par uniteacute drsquooutput vendue par le monopoleur sa fonction de profit deviendra

= 72y ndash 4y2 ndash 50

En prenant la condition du premier ordre on obtient y = 9 p(y) = 64 et = 274 La leveacutee de lrsquoimpocirct a entraicircneacute une diminution des ventes une hausse du prix de 4 UM et une baisse du profit de 76 UM

105

43 Octroi drsquoune subvention Lorsque lrsquoEtat constate que la consommation drsquoun bien est ndash du point de vue de la santeacute publique par exemple ndash neacutecessaire pour la collectiviteacute il peut envisager un ensemble drsquoactions pour stimuler cette consommation Lrsquoun des moyens qursquoil peut utiliser est lrsquooctroi drsquoune subvention la consommation Avec une offre inchangeacutee lrsquoaccroissement de la demande rechercheacute par lrsquoEtat aura comme conseacutequence lrsquoaccroissement du prix pratiqueacute sur le marcheacute Cette hausse de prix devrait normalement exclure certaines personnes de la consommation du bien mais il ne sera pas ainsi car lrsquoEtat va prendre en charge une partie du prix de maniegravere ce que la charge supporteacutee par uniteacute de bien consommeacutee soit infeacuterieure au prix initial

Prix Offre

peacute Eacute pe E Sbv pef A Nouvelle demande Demande initiale

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Comme dit plus haut lrsquoaccroissement de la demande du bien ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircnera une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes devraient ecirctre exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu agrave accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre

que la nouvelle quantiteacute drsquoeacutequilibre est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pef [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

Initialement le marcheacute est caracteacuteriseacute par les relations suivantes

yd = a ndash bp ys = ndashc + hp

avec a b c et h gt 0 La reacutesolution donne lieu au prix drsquoeacutequilibre

pe = (a + c)(b + h) Lrsquooctroi de la subvention modifie la structure du modegravele Ce dernier devient

yd = a ndash b(p ndash sbv) ys = ndashc + hp

106

avec sbv qui repreacutesente le montant de la subvention Le nouveau prix drsquoeacutequilibre du marcheacute sera

peacute = (a + bsbv + c)(b + h) Le prix payeacute par le consommateur pef est donneacute par la diffeacuterence peacute ndash sbv soit

pef = (a + c ndash hsbv)(b + h)

44 Reacuteglementation et eacutequilibre individuel Autant que la leveacutee drsquoun impocirct modifie la position drsquoeacutequilibre des individus la reacuteglementation de lrsquoactiviteacute eacuteconomique par lrsquoEtat modifie la position drsquoeacutequilibre de certains agents eacuteconomiques Analytiquement les effets de la reacuteglementation peuvent ecirctre appreacutehendeacutes par les shadow prices ou shadow cost

441 Reacuteglementation et eacutequilibre du producteur Par un controcircle seacutevegravere de lrsquoactiviteacute lrsquoEtat sape lrsquoefficaciteacute qui accompagne la concurrence et impose aux entreprises drsquoecirctre inefficientes sur le marcheacute (scale inefficient) et drsquoecirctre techniquement inefficaces (technical inefficient) Cet eacutetat de choses est souvent agrave la base de la corruption de la fraude et de lrsquoeacutevasion fiscale Le problegraveme eacuteconomique du producteur peut ecirctre poseacute en termes de maximisation de la production y = f(x1 x2) sous une contrainte de coucirct C soit

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

avec x1 x2 ge 0 La reacutesolution de ce programme conduit la condition drsquoeacutequilibre ci-apregraves

TmSt = Pmx1Pmx2 = w1w2 Une firme est techniquement efficace si elle eacutegalise son taux marginal de substitution technique TmSt au taux de substitution eacuteconomique (prix relatif des facteurs de production x1 et x2) Lorsque lrsquoEtat intervient de maniegravere deacutemesureacutee la firme se voit soumise agrave de nouvelles contraintes qui lui empecircchent de veacuterifier cette condition drsquoeacutequilibre Supposons que la reacuteglementation de lrsquoEtat impose la firme en plus de sa contrainte de coucirct une contrainte noteacutee g(x1 x2 y) ge 0 Le problegraveme du producteur devient

Max y = f(x1 x2)

telle que C ge w1x1 + w2x2

g(x1 x2 y) ge 0

avec x1 x2 ge 0 Le Lagrangien du problegraveme se preacutesente de la sorte

L = f(x1 x2) ndash (w1x1 + w2x2 ndash C) ndash g(x1 x2 y)

avec et qui sont des multiplicateurs de Lagrange ou des shadow prices

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Les conditions marginales du premier ordre sont

dLdx1 = Pmx1 ndash w1 ndash g1 = 0 Pmx1 = w1 + g1

dLdx2 = Pmx2 ndash w2 ndash g2 = 0 Pmx2 = w2 + g2 On aura ainsi

22

11

2

1

gw

gw

Pmx

PmxTmSt

Si la reacuteglementation de lrsquoEtat est souple les coucircts marginaux qursquoelle fera supporteacutes aux firmes seront neacutegligeables g1 = g2 = 0 Dans ces conditions on veacuterifiera que

TmSt = w1w2 Par contre si elle est inefficace g1 g2 ne 0 et on aura

TmSt ne w1w2 Les firmes ne pouvant plus maicirctriser leurs coucircts elles deviennent peu compeacutetitives sur le marcheacute et voient leurs contributions au PIB diminuer

442 Asymeacutetrie de lrsquoinformation et reacuteglementation de lrsquoEtat La theacuteorie de lrsquoasymeacutetrie de lrsquoinformation (theacuteorie du principal et de lrsquoagent) est souvent utiliseacutee pour expliquer les faiblesses qui accompagnent la reacuteglementation de certains segments ou de certaines activiteacutes eacuteconomiques par lrsquoEtat En effet lrsquoEtat qui est appeleacute intervenir dans lrsquoeacuteconomie pour faire opposition agrave des situations deacutesagreacuteables du point de vue de la collectiviteacute ne dispose pas toujours des informations requises pour bien orienter son action correctrice Dans ces conditions il est possible que la reacuteglementation envisageacutee puisse renforcer lrsquoinefficaciteacute au lieu de la contrecarrer Selon la theacuteorie du principal et de lrsquoagent le gouvernement (le principal) cherche infleacutechir les comportements des firmes (agent) ou les amener agrave prendre certaines deacutecisions en matiegravere de prix et drsquoinvestissement conformeacutement aux impeacuteratifs de lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral Mais puisque le principal ne dispose pas de la mecircme information que lrsquoagent il y a lieu de se poser la question de savoir quelle est la meilleure reacuteglementation compte tenu de lrsquoinformation dont dispose le principal et quels sont les reacutesultats sur lesquels deacutebouchera la reacuteglementation Est-ce que lrsquoagent reacuteagit conformeacutement aux attentes du principal Souvent lrsquoEtat intervient sur les marcheacutes en reacuteglementant les prix pratiqueacutes par les firmes de maniegravere proteacuteger les consommateurs Lrsquoideacuteal serait que les firmes pratiquent des prix efficaces crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux leurs coucircts marginaux (prix de concurrence parfaite) Mais puisque lrsquoEtat nrsquoa pas une connaissance parfaite des coucircts des firmes il peut le fixer agrave un niveau trop bas et partant contraindre les firmes quitter la branche ou encore les amener proposer drsquoautres produits des prix plus eacuteleveacutes La meilleure faccedilon de proceacuteder serait drsquoasseoir la reacuteglementation sur un compromis entre le principal et lrsquoagent

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45 Monopole naturel appropriation et gestion des entreprises publiques

451 Monopole naturel Les situations de monopole naturel srsquoexpliquent par la preacutesence des coucircts fixes tregraves eacuteleveacutes dans certains secteurs de lrsquoeacuteconomie chemins de fer eacutenergie etc En effet si les dimensions requises par lrsquoentreprise ainsi que la technologie utiliser pour bien exploiter une activiteacute ne sont pas la porteacutee de tous les exploitants voulant œuvrer dans la branche lrsquoefficience dans lrsquoexploitation ne sera pas fonction du nombre drsquointervenants mais plutocirct du nombre drsquointervenants pertinents Si seule une firme peut œuvrer de maniegravere satisfaisante dans un secteur ou une branche de lrsquoeacuteconomie autant mieux la laisser faire que de lui adjoindre drsquoautres firmes ne pouvant pas exploiter convenablement lrsquoactiviteacute Sur ce il nrsquoest pas toujours aiseacute de dire que des situations de monopole reacuteduisent toujours le bien-ecirctre ou lrsquoefficience tout est fonction du type drsquoactiviteacute et des coucircts drsquoinstallation Si lrsquoEtat ne dispose pas drsquoune telle information il peut se proposer de mener des politiques anti-monopoles et renforcer lrsquoinefficience alors qursquoil est censeacute lui faire opposition Aussi il faudrait noter que la politique de concurrence peut comporter des effets positifs sous forme drsquoun regroupement ou drsquoune restructuration des firmes drsquoune branche pour rendre cette derniegravere plus compeacutetitive et accroicirctre sa contribution agrave la formation ou agrave la croissance de la production inteacuterieure Lrsquoeacutecole autrichienne a seacutevegraverement critiqueacute la conception selon laquelle les monopoles rapporteacutes aux marcheacutes de concurrence parfaite procurent un niveau de satisfaction sociale moindre en ce que la comparaison des structures de diffeacuterents marcheacutes est une œuvre deacutenueacutee de tout sens et que la concurrence implique un changement continu des structures Ceci est drsquoautant plus eacutevident puisque certaines situations de monopole ne sont pas le fait du hasard mais plutocirct le produit de lrsquoinnovation introduite par une firme ayant bien eacutevalueacute et bien peacuteneacutetreacute le marcheacute dans lequel elle œuvre Il convient de remarquer que certains secteurs coucircts fixes tregraves importants nrsquooffrent des beacuteneacutefices que dans le tregraves long terme ce qui interdit agrave certains exploitants de srsquoy engager Ainsi si lrsquoactiviteacute est jugeacutee trop importante pour la collectiviteacute lrsquoEtat peut se faire monopoleur dans la branche en question

452 Appropriation et gestion publiques des firmes Alors que souvent lrsquoappropriation des firmes par lrsquoEtat est consideacutereacutee comme deacutepourvue de sens en termes drsquoefficience eacuteconomique il arrive des fois que lrsquoEtat intervienne dans lrsquoeacuteconomie en tant que proprieacutetaire drsquoentreprises notamment par le moyen de la nationalisation Cette derniegravere mesure srsquoexplique souvent par

- le besoin de disposer drsquoinstruments de planification ou de politique eacuteconomique - le soutien des secteurs en deacuteclin et la preacuteservation ou protection de lrsquoemploi - le renforcement du rocircle de lrsquoEtat dans lrsquoeacuteconomie de maniegravere assurer un passage du

capitalisme au socialisme La theacuteorie eacuteconomique du bien-ecirctre social justifie la nationalisation ou lrsquoappropriation publique des firmes par lrsquoexistence des situations de monopole naturel Ces derniegraveres situations eacutetant caracteacuteriseacutees par des rendements drsquoeacutechelle croissants (les coucircts unitaires tendent baisser quand lrsquoeacutechelle de production augmente) lrsquoallocation optimale des ressources ne saurait ecirctre reacutealiseacutee en concurrence Et puisque tout monopoleur produit moins qursquo lrsquooptimum de Pareto et pratique des prix plus eacuteleveacutes que ceux du reacutegime concurrentiel son action peut entraicircner une perte en termes de bien-ecirctre social A cet eacutegard lrsquoEtat peut recourir la nationalisation de la firme ou peut lui imposer la pratique des prix peu reacutemuneacuterateurs crsquoest-agrave-dire des prix eacutegaux aux coucircts marginaux tout en lui payant des subventions pour couvrir les pertes reacutesultant des prix pratiqueacutes

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Il se pose ainsi un problegraveme fondamental drsquoarbitrage entre efficience eacuteconomique et eacutequiteacute sociale lequel problegraveme se situe au cœur du deacutebat nationalisationprivatisation Faut-il promouvoir lrsquoefficaciteacute ou lrsquoeacutequiteacute sociale ou encore quel compromis pour les deux

Tarification au coucirct marginal Lrsquoobjectif poursuivit par lrsquoEtat est la maximisation du bien-ecirctre collectif ou surplus total ST soit la somme des surplus des consommateurs et des producteurs ST = SC + SP Au sens de Pareto la maximisation de ce surplus total ou du bien-ecirctre nrsquoest reacutealisable que lorsque le prix est fixeacute au niveau du coucirct marginal (p = Cm) pourvu qursquoil nrsquoy ait pas drsquoexternaliteacutes et que la concurrence regravegne Ceci revient agrave dire que les consommateurs payent un prix qui couvre toutes les ressources utiliseacutees dans la production drsquoune uniteacute additionnelle de bien

En situation de monopole ce critegravere pareacutetien de lrsquoefficaciteacute nrsquoest pas veacuterifier en ce que le monopoleur

pratique un prix toujours supeacuterieur au coucirct marginal (p Cm) et ne reacutealise pas la production qui aurait eacuteteacute offerte en situation de concurrence parfaite Sur ce srsquoil srsquoagit drsquoun monopole public crsquoest-agrave-dire drsquoune firme devant œuvrer pour la reacutealisation du bien-ecirctre collectif il faudrait revoir les critegraveres de fixation du prix de vente du bien

Lrsquoune des faccedilons drsquoagir serait de demander lrsquoentreprise publique en situation de monopole de pratiquer une tarification au coucirct marginal crsquoest-agrave-dire de pratiquer ne correspondant pas agrave son pouvoir de price maker Ainsi lrsquoentreprise devrait encourir une perte puisque son activiteacute ne reacutepond plus aux exigences de la profitabiliteacute mais plutocirct lrsquoimpeacuteratif de la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Mais pour ne pas voir lrsquoentreprise fermer ses portes il faut que lrsquoEtat lui accorde une subvention de maniegravere agrave couvrir la perte reacutesultant de cette tarification au coucirct marginal Il faut noter que lrsquoapplication de la tarification au coucirct marginal se heurte des difficulteacutes pratiques aussi bien en ce qui concerne lrsquoeacutevaluation des coucircts marginaux que la deacutetermination du montant de la subvention et la prise en ligne de compte des fluctuations de la demande lesquelles ne vont pas sans conseacutequences sur la reacutealisation et la profitabiliteacute de lrsquoactiviteacute La neacutecessiteacute de subvention entraicircne un recours lrsquoimpocirct lrsquoemprunt ou agrave la creacuteation de monnaie ce qui ne manque pas drsquoengendrer des coucircts en bien-ecirctre et des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie La tarification au coucirct marginal donne lieu agrave une offre efficace mais pour les situations de monopole naturel au niveau de prix correspondant le monopoleur nrsquoarrive pas couvrir toutes les charges productives Si le monopoleur pratique un prix eacutegal agrave son coucirct moyen de production il ne reacutealisera

plus de perte mais son offre ne sera plus efficace (yCM yCm)

Gestion agrave lrsquoeacutequilibre Toujours pour des raisons de maximisation du bien-ecirctre collectif les entreprises du portefeuille de lrsquoEtat en situation de monopole peuvent pratiquer une gestion lrsquoeacutequilibre crsquoest-agrave-dire pratiquer des qui couvrent exactement leurs charges de production A cet effet on doit veacuterifier lrsquoeacutegaliteacute du prix p avec le coucirct moyen CM soit

p = CM Cette faccedilon de faire paraicirct agrave certains eacutegards plus inteacuteressante que la tarification au coucirct marginal Dans ce cas lrsquoEtat ne devra pas payer des subventions aux entreprises publiques pour couvrir des pertes et il eacutevitera de creacuteer des distorsions sur drsquoautres segments de lrsquoeacuteconomie par la leveacutee drsquoun impocirct la contraction drsquoun emprunt ou la creacuteation de la monnaie Bref tout en preacuteservant lrsquointeacuterecirct geacuteneacuteral par ce critegravere de fixation du prix lrsquoEtat veille lrsquoeacutequilibre de ses finances et nrsquoaffectera pas neacutegativement lrsquoenvironnement eacuteconomique geacuteneacuteral

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Tout compte fait la gestion publique se fait souvent de maniegravere ne pas garantir lrsquoefficaciteacute eacuteconomique mais plutocirct en fonction de lrsquoeacutequiteacute sociale Ainsi lrsquoanalyse de lrsquoinfluence de lrsquoappropriation publique se fait en termes de comparaison de lrsquoefficience allocative sur le marcheacute avec lrsquoefficience interne (de lrsquoentreprise)

Controcircle externe des entreprises publiques Pour surveiller la gestion des entreprises publiques par les mandataires des organes de controcircle externe sont preacutevus Il existe une multipliciteacute de controcircles Tout drsquoabord les entreprises publiques sont soumises au controcircle des ministres de tutelle Contrairement aux entreprises priveacutees le controcircle des comptes des entreprises publiques nrsquoest pas effectueacute par les commissaires aux comptes mais par la Cour des comptes qui est un organe au service du Parlement Ce dernier peut lui-mecircme proceacuteder agrave un controcircle des entreprises publiques Au sein de chaque assembleacutee peuvent ecirctre constitueacutees des commissions de controcircle qui ont pour fonction de reacutecolter des informations et de reacutediger un rapport

111

5

Biens publics et externaliteacutes

e chapitre traite des biens publics et des effets externes Dans la premiegravere section nous deacutefinissons le concept de bien public expliquons comment se deacutetermine la quantiteacute optimale drsquoun bien public et preacutesentons le critegravere de la fourniture optimale drsquoun bien public Dans la

deuxiegraveme section nous expliquons le concept drsquoexternaliteacute et parlons de la correction des effets externes neacutegatifs et de la promotion des effets externes positifs par lrsquoEtat

51 Biens publics Par deacutefinition les biens priveacutes sont agrave usage exclusif en ce que leur consommation diminue les quantiteacutes disponibles pour les autres Ils sont ainsi caracteacuteriseacutes par une rivaliteacute dans leur consommation On les qualifie parfois de biens laquo reacuteductibles raquo Certains biens nrsquoont pas ces proprieacuteteacutes tel le cas de lrsquoeacuteclairage public dans les rues La quantiteacute drsquoeacuteclairage est fixe et la consommation de cette quantiteacute drsquoeacuteclairage par un individu nrsquoaffecte en rien la quantiteacute disponible pour la consommation des autres Par conseacutequent lrsquoeacuteclairage public est un bien sans rivaliteacute et agrave usage non-exclusif Les biens qui ne reacutepondent pas au principe de la rivaliteacute entre consommateurs sont des biens publics Ceux qui ne possegravedent ni la caracteacuteristique de rivaliteacute ni la caracteacuteristique de lrsquoexclusion par le prix sont des biens publics purs qualiteacute de lrsquoenvironnement seacutecuriteacute publique hellip Il nrsquoexiste pas de concurrence entre les agents qui utilisent un bien collectif Lrsquoair que nous respirons sur terre en constitue un bon exemple chacun peut respirer sans empecirccher quiconque de lrsquoimiter et sans reacuteduire la consommation drsquoair des autres individus La theacuteorie eacuteconomique distingue les biens collectifs purs des biens collectifs mixtes Un bien collectif est pur srsquoil remplit simultaneacutement trois conditions en premier lieu il est impossible drsquoen reacuteserver lrsquoutilisation certains et de lrsquointerdire drsquoautres il y a impossibiliteacute drsquoexclusion Par exemple la deacutefense du territoire beacuteneacuteficie tous ses habitants alors que lrsquoutilisation du reacuteseau autoroutier peut ecirctre interdite agrave certains du fait du droit de peacuteage dont il faut srsquoacquitter pour lrsquoemprunter Toutefois dans cet exemple preacutecis il est utile de preacuteciser que degraves lors qursquoun individu peut srsquoacquitter de ce droit personne ne peut srsquoopposer ce qursquoil utilise le reacuteseau En second lieu tous les individus ont la faculteacute de consommer ce bien collectif il est par exemple permis agrave chacun de deacuteambuler agrave sa guise sur une voie publique Enfin la satisfaction procureacutee par la consommation drsquoun bien collectif pur ne deacutepend pas du nombre des usagers elle est identique pour tous Les biens collectifs ne sont pas caracteacuteriseacutes comme drsquoaucuns pourraient le penser par leur gratuiteacute Comme tout bien ils ont un coucirct Dans un grand nombre de cas crsquoest lrsquoEacutetat ou aux collectiviteacutes publiques qursquoincombent la production et le financement de ces biens Crsquoest par le biais de lrsquoimpocirct que lrsquoEacutetat finance la mise disposition de ces biens collectifs Le coucirct engendreacute par cette production nrsquoest pas inteacutegralement supporteacute par le consommateur car ces biens non marchands lorsqursquoils sont factureacutes le sont prix coucirctant et nrsquointegravegrent pas les principes de la tarification priveacutee qui inclut le profit du producteur Le problegraveme de la tarification des biens publics suscite des controverses lorsque lrsquoutilisation drsquoun bien collectif engendre des effets externes en agissant sur le niveau de satisfaction des autres agents comme crsquoest le cas pour les biens collectifs dits mixtes On peut rencontrer des externaliteacutes positives tout comme des externaliteacutes neacutegatives Par exemple la satisfaction drsquoun individu qui dispose drsquoune encaisse moneacutetaire ou drsquoun teacuteleacutephone deacutepend du nombre de personnes qui en possegravedent et avec

CC

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lesquelles il peut faire des transactions ou entrer en contact Dans ce cas preacutecis on parle drsquoune externaliteacute positive la satisfaction de lrsquoagent srsquoaccroicirct avec lrsquoaugmentation du nombre drsquousager de la monnaie ou drsquoutilisateur de la teacuteleacutephonie Par contre si un individu utilise les transports en commun pendant les heures de pointe chacun repreacutesente une gecircne pour les autres usagers et tous voient diminuer leur satisfaction agrave emprunter le transport en commun La tarification optimale du bien collectif devra alors permettre une internalisation crsquoest-agrave-dire une prise en compte des coucircts et des avantages sociaux de maniegravere agrave orienter les individus vers une utilisation socialement utile des biens collectifs La difficulteacute ici est renforceacutee par lrsquoexistence des distorsions qui existent entre le niveau de satisfaction individuel de lrsquoagent utilisateur et le niveau de satisfaction collectif de la communauteacute qui profite de ces biens Crsquoest donc le poids relatif de ces externaliteacutes lieacutees agrave la consommation qui commande en partie la fixation du prix des biens collectifs

511 Deacutetermination de la quantiteacute optimale des biens publics Soit une eacuteconomie faite de deux individus qui consomment un bien priveacute x La demande de lrsquoindividu A est xd

A et celle de B est xdB Puisqursquoils achegravetent normalement des quantiteacutes diffeacuterentes du bien mais au

mecircme prix la demande totale de ce bien Xd est donneacutee par la somme des demandes individuelles soit Xd = xd

A + xdB La courbe de demande totale est obtenue en additionnant horizontalement les

courbes de demandes individuelles Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien priveacute

Prix XS xd

A xdB

p1

p E

p2

Xd

0 X Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre du marcheacute est p car il permet drsquoeacutegaliser lrsquooffre la demande Ce prix est un indicateur du beacuteneacutefice marginal que chaque consommateur retire de la consommation drsquoune uniteacute du bien x Etant donneacute que la courbe drsquooffre XS est deacuteriveacutee de la courbe de coucirct marginal le beacuteneacutefice marginal obtenu par chaque individu p est eacutegal au coucirct marginal de production Cm soit p = Cm Consideacuterons maintenant un bien public G Etant donneacute que la quantiteacute totale du bien G est utiliseacutee par chaque consommateur de maniegravere non-exclusive et que le prix payeacute par la socieacuteteacute pour disposer de G est eacutegale agrave la somme des prix payeacutes par chaque individu la courbe de demande totale est obtenue en additionnant verticalement les courbes de demande individuelles Du point de vue de la socieacuteteacute ou de la collectiviteacute la quantiteacute optimale est celle qui correspond agrave lrsquoeacutegaliteacute du beacuteneacutefice marginal social et du coucirct marginale social Le beacuteneacutefice marginal social est la somme des beacuteneacutefices marginaux de tous les individus qui partagent lrsquoutilisation du bien public G

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Deacutetermination de la quantiteacute optimale drsquoun bien public

Contribution Gd

Gd

B GS Gd

A

gA + gB E

gB

gA

G Quantiteacute

Le coucirct marginal est eacutegal la contribution drsquoun individu au financement de G Pour la collectiviteacute le coucirct marginal appeleacute coucirct marginal social est donneacute par la somme des contributions individuelles soit gA + gB

512 Fourniture efficace des biens publics Consideacuterons une eacuteconomie dans laquelle circulent deux biens x un bien priveacute et G un bien public Nous supposons que le prix du bien x est eacutegal agrave un et que la socieacuteteacute est faite de deux individus Ces derniers disposent chacun drsquoun revenu Ri et doivent deacuteterminer leur contribution marginale gi agrave lrsquoacquisition du bien public Si lrsquoindividu contribue agrave hauteur de gi sa consommation du bien priveacute sera

xi = Ri ndash gi La fonction drsquoutiliteacute individuelle est noteacutee Ui(G xi) avec Uacute() 0 Le coucirct de production du bien public est C(G) Par conseacutequent la socieacuteteacute pourra acqueacuterir le bien public si la somme des contributions marginales permet de couvrir C offert si gA + gB ge C

G =

non-offert si gA + gB C Au sens de Pareto la fourniture drsquoun bien public sera efficace si la somme des contributions individuelles est telle que gA + gB ge C et que

UA(G RA ndash gA) UA(0 RA)

UB(G RB ndash gB) UB(0 RB) Dans le cas contraire il serait malvenu que les individus financent la fourniture du bien public Le problegraveme classique qui se pose pour la fourniture du bien public est celui du passager clandestin (free rider) Du fait qursquoils ne peuvent ecirctre exclus de la consommation des biens publics certains consommateurs peuvent ecirctre tenteacutes drsquoen eacuteviter le coucirct en se comportant en passagers clandestins A cet effet lrsquooffre des biens publics risque drsquoecirctre insuffisante Dans un eacutequilibre de marcheacute un agent rationnel nrsquoaura pas inteacuterecirct participer la production autant qursquoil le pourrait en effet lrsquoavantage qursquoil perccediloit du bien public est largement indeacutependant de sa contribution tandis que le coucirct qursquoil supporte est directement lieacute agrave sa contribution

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Il convient eacutegalement de signaler que la non-reacuteveacutelation des preacutefeacuterences complique lrsquoestimation de la demande des biens publics Pour maximiser le bien-ecirctre social il importe de deacuteterminer lrsquoinstitution la plus qualifieacutee pour estimer la demande et comparer les coucircts et beacuteneacutefices de la fourniture des biens publics

513 Fourniture des biens publics par le vote Lrsquoexistence des biens publics est souvent consideacutereacutee comme un argument deacutecisif en faveur de lrsquointervention de lrsquoEtat Mais quand bien mecircme lrsquoon eacutetablit lrsquoincapaciteacute des forces du marcheacute geacuteneacuterer une quantiteacute efficiente de biens publics on ne peut pas se contenter de dire que lrsquoEtat fait mieux que les priveacutes Crsquoest cette preacutetention qui peut ecirctre contesteacutee drsquoautant plus que le problegraveme de la production des biens publics ne soit pas un problegraveme technique mais plutocirct un problegraveme qui concerne les preacutefeacuterences des agents Souvent on recourt au vote pour deacuteterminer la quantiteacute de bien public agrave offrir Il faut cependant noter que ce mode drsquoallocation pose quelques problegravemes Les choses commencent bien mal pour un Etat deacutemocratique dans la mesure ougrave la base sur laquelle reposent les deacutecisions de lrsquoEtat est le vote ce dernier eacutetant lui mecircme un bien public pur Ceci ne doit pas ecirctre compris dans le sens qui plairait aux apocirctres de la volonteacute geacuteneacuterale mais dans le sens technique Le problegraveme du vote la majoriteacute est qursquoil mesure seulement les preacutefeacuterences ordinales pour le bien public alors que les conditions drsquoefficaciteacute requiegraverent une comparaison des dispositions payer Supposons qursquoil y ait trois individus devant deacutecide de la fourniture drsquoun bien public par vote Si deux des trois individus votent pour la fourniture lrsquooption sera drsquoacqueacuterir ledit bien Mais si la somme des contributions marginales est infeacuterieure au coucirct de fourniture le vote perd son sens Pour contourner cette faiblesse un autre type de vote est proposeacute celui qui implique que les individus deacuteclarent leurs dispositions agrave payer pour le bien public la regravegle eacutetant que le bien public sera fourni si la somme des dispositions agrave payer deacuteclareacutees est supeacuterieure ou eacutegale agrave C(G) Mais ce type de vote nrsquoest pas lui-mecircme lrsquoabri des deacuteboires Si lrsquoun des votants estime que lrsquooffre du bien public lrsquoarrangera plus que les autres il peut deacuteclarer un montant arbitrairement eacuteleveacute pour influencer la deacutecision drsquooffrir le bien Ceci peut ecirctre eacuteviteacute si on impose aux individus de payer exactement ce qursquoils ont deacuteclareacute ecirctre precircts agrave payer Enfin signalons que le vote peut conduire un paradoxe Supposons qursquoil y ait trois individus A B et C et trois niveaux de fourniture du bien public 1 2 et 3 A preacutefegravere 1 agrave 2 et 2 agrave 3 B preacutefegravere 2 agrave 3 et 3 agrave 1 C preacutefegravere 3 agrave 1 et 1 agrave 2 Dans ce cas il y a une majoriteacute pour preacutefeacuterer 1 agrave 2 une majoriteacute pour preacutefeacuterer 2 agrave 3 et une autre pour preacutefeacuterer 3 agrave 1 On se trouve ainsi dans une impasse Seules les autoriteacutes publiques sont capables de trancher

52 Les externaliteacutes Outre la fourniture des biens publics lrsquoEtat intervient parfois pour corriger des distorsions engendreacutees par les externaliteacutes neacutegatives et soutenir certaines activiteacutes produisant des externaliteacutes positives Il y a externaliteacute lorsque les actions drsquoun individu ont une influence directe sur lrsquoenvironnement drsquoun autre individu Il y a eacutegalement externaliteacute lorsqursquoun eacutechange eacuteconomique affecte un tiers et que cet effet nrsquoagit pas par lrsquointermeacutediaire du systegraveme de prix On distingue notamment externaliteacute neacutegative situation dans laquelle le tiers est leacuteseacute et externaliteacute positive situation dans laquelle le tiers se retrouve mieux loti Dans le secteur de la consommation il y a une externaliteacute lorsque lrsquoutiliteacute drsquoun consommateur est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre consommateur et dans le secteur de la production il y a externaliteacute lorsque lrsquoeacutechelle drsquoactiviteacute drsquoune firme est directement influenceacutee par les actions drsquoun autre agent

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La preacutesence drsquoexternaliteacutes a pour conseacutequence geacuteneacuterale de rendre inefficaces les eacutequilibres de marcheacutes comme nous lrsquoavons deacutej dit Cet eacutetat de choses pousse eacutetudier des modes alternatifs drsquoallocation des ressources Pour rendre efficace une allocation en preacutesence drsquoexternaliteacutes il faut envisager une correction des prix auxquels sont confronteacutes les individus

521 Exemple drsquoune externaliteacute neacutegative de production Supposons qursquoon ait deux entreprises A et B Lrsquoentreprise A produit un bien chimique x qursquoelle vend sur un marcheacute concurrentiel Cette production de x impose un coucirct e(x) lrsquoentreprise B qui est une pecirccherie en ce que lrsquoentreprise A deacuteverse dans la riviegravere des produits toxiques qui tuent les poissons La pollution cause un preacutejudice lrsquoentreprise B Soit p le prix du bien x Les profits des deux entreprises sont

A = px ndash C(x)

B = ndashe(x) Pour simplifier lrsquoexposeacute on ignore le profit reacutealiseacute par lrsquoentreprise B La quantiteacute drsquoeacutequilibre xe est donneacutee par p = Cacute(xe) Cette production est trop importante du point de vue social Lrsquoentreprise A ne tient compte que des coucircts qursquoelle srsquoimpose elle-mecircme (coucircts priveacutes C(x)) et ignore les coucircts qursquoelle impose lrsquoentreprise B Autrement dit elle ignore le coucirct social de son activiteacute coucirct priveacute plus coucirct imposeacute lrsquoautre entreprise Pour deacuteterminer la production efficace du point de vue de la socieacuteteacute il faut internaliser lrsquoeffet externe A cet eacutegard on va supposer que les deux entreprises ont fusionneacute Dans ces conditions le profit devient

= A + B = px ndash C(x) ndashe(x) et la condition de maximisation du premier ordre de ce problegraveme est

p = Cacute(x) + eacute(x)

La quantiteacute x xe est une quantiteacute efficace elle est caracteacuterise par le fait que le prix est eacutegal au coucirct marginal social Pour faire bref en preacutesence drsquoune externaliteacute lrsquoallocation est Pareto-optimale lorsque le prix est eacutegal au coucirct marginal social et non lorsqursquoil est eacutegal au coucirct marginal priveacute

Prix coucircts

CmS = Cacute(x) + eacute(x) CmP = Cacute(x) pe E E Prix du marcheacute 0 x xe Quantiteacute

La courbe de coucirct marginal social CmS repreacutesente le suppleacutement de coucirct imposeacute agrave la socieacuteteacute par la production du bien chimique x Elle se localise au-dessus de la courbe de coucirct marginal priveacute CmP parce que lrsquoentreprise A ignore le coucirct marginal externe CmE = eacute(x)

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522 Correction des externaliteacutes neacutegatives Pour faire face aux effets externes neacutegatifs lrsquoEtat peut eacutedicter une reacuteglementation approprieacutee par exemple les usines doivent eacutelever la hauteur de leurs chemineacutees les avions ne doivent pas survoler les zones habiteacutees hellip Mais il nrsquoest pas facile de deacutefinir des normes exactes et de mesurer les coucircts et avantages de la reacuteglementation Crsquoest pour cela que plusieurs eacuteconomistes suggegraverent le recours la taxation pour rapprocher les coucircts priveacutes des coucircts sociaux

- Taxe agrave la Pigou Etant donneacute que le choix de lrsquoentreprise A repose sur un prix incorrect une taxe correctrice peut lui ecirctre imposeacutee de maniegravere agrave parvenir agrave une allocation efficace On appelle taxes agrave la Pigou des taxes correctrices de ce genre Admettons que lrsquoentreprise A soit soumise agrave une taxe t sur sa production La condition de premier ordre de la maximisation du profit devient

p = Cacute(x) + t En fixant la taxe agrave un montant eacutegal agrave eacute(x) lrsquoEtat conduira lrsquoentreprise A choisir x = x Le problegraveme devient degraves lors de la connaissance de la fonction du coucirct de lrsquoexternaliteacute e(x) Prix Coucircts

xd CmS = CmP + t

CmP = Cacute(x)

p E

pe E CmE = eacute(x)

A B

0 x xe Quantiteacute

Le prix drsquoeacutequilibre pe est deacutetermineacute par les forces du marcheacute sans tenir compte du fait que la production du bien x impose agrave la collectiviteacute un coucirct marginal externe CmE sous forme de pollution Au point E le coucirct marginal externe est donneacute par la distance xeA En imposant la taxe t lrsquoentreprise A lrsquoEtat lrsquoincite ramener sa production au niveau optimal x pour lequel le prix est eacutegal au coucirct marginal social Avec cette intervention le niveau de la pollution a eacuteteacute reacuteduit on est passeacute de xeA agrave xB

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523 Exemple drsquoune externaliteacute positive Autant qursquoil est possible que le comportement drsquoun individu rejaillisse neacutegativement sur le niveau de vie ou lrsquoactiviteacute drsquoun autre individu il est possible drsquoavoir un effet externe positif Par le fait qursquoune personne soit scolariseacutee elle peut directement exercer une influence positive sur son environnement ou sur les personnes qui y vivent Comme les effets externes positifs ne produisent pas de deacutesagreacutement mais plutocirct des changements beacuteneacutefiques du point de vue de la collectiviteacute ils ne seront pas agrave corriger mais par contre agrave promouvoir LrsquoEtat par des subventions peut soutenir certains comportements individuels contribuant agrave la reacutealisation du bien-ecirctre collectif Par une reacuteglementation lrsquoEtat peut eacutegalement favoriser de tels comportements

524 Beacuteneacutefices marginaux priveacute externe et social Par beacuteneacutefice marginal priveacute on entend lrsquoavantage ou le gain que retire un individu de lrsquoacte qursquoil pose ou qursquoil a poseacute Par contre le beacuteneacutefice marginal externe crsquoest le gain qursquoune tierce personne retire de lrsquoacte poseacute par un autre agent eacuteconomique Le beacuteneacutefice marginal social est le beacuteneacutefice que la collectiviteacute tire de lrsquoacte poseacute par un individu de maniegravere isoleacutee pour reacutepondre ses inteacuterecircts personnels Ainsi le beacuteneacutefice marginal social est eacutegal agrave la somme du beacuteneacutefice marginal priveacute et du beacuteneacutefice marginal externe soit

BmS = BmP + BmE Dans ces conditions lrsquoeacutequilibre qui sera reacutealiseacute sur le marcheacute de par lrsquoaction des priveacutes exclusivement ne sera pas celui rechercheacute par lrsquoEtat pour toute la collectiviteacute Prix

Offre

ps Eacute pe E Sbv pd A Demande collective (BmS = BmP + BmE) Demande = BmP

ye yeacute Quantiteacute

Lrsquoeacutequilibre initial est reacutealiseacute au point E qui correspond au prix pe et agrave la quantiteacute ye Etant donneacute que la consommation du bien produit un effet externe positif lrsquoEtat souhaitera voir la demande du bien srsquoaccroicirctre dans la collectiviteacute Or tout accroissement de la demande ndash agrave offre inchangeacutee ndash entraicircne une hausse du prix soit le passage de pe agrave peacute Par un effet drsquoeacuteviction par le prix certaines personnes seront exclues de la consommation du bien En effet du fait que le prix a eu accroicirctre certains demandeurs ne seront plus capables drsquoacheter le bien drsquoougrave la neacutecessiteacute de voir lrsquoEtat accorder des subventions La figure ci-dessus montre que la

quantiteacute drsquoeacutequilibre collectif est yeacute le prix effectivement payeacute par les individus est pd [ pe] et le montant de la subvention est donneacute par la distance EacuteA

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Reacutefeacuterences bibliographiques

1 Chiang A 1974 Fundamental Methods of Mathematical Economics 2iegraveme eacuted Mc Graw Hill New

York 2 Quandt RE et Henderson J 1982 Microeacuteconomie Formulation matheacutematique eacuteleacutementaire eacuted

Dunod Paris 3 Jacquemin A et H Tulkens 1990 Fondements de lrsquoEconomie Politique eacuted De Boeck Bruxelles 4 Lecaillon J 1993 Analyse microeacuteconomique eacuted Cujas Paris 5 Madnani GMK 1991 Mathematical Economics Microeconomic theory 2iegraveme eacuted Oxford amp IBH

Publishing New Delhi 6 Malinvaud E 1969 Leccedilons de theacuteorie microeacuteconomique eacuted Dunod Paris 7 Redslob A 1995 Lrsquoeacuteconomie en pratique 3iegraveme eacutedition Litec Paris 8 Simon C et L Blume 1998 Matheacutematiques pour eacuteconomistes eacuted De Boeck Bruxelles 9 Varian HR 1997 Introduction agrave la microeacuteconomie eacuted De Boeck Bruxelles 10 Varian HR 1995 Analyse microeacuteconomique eacuted De Boeck Bruxelles

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Annexe Optimisation et conditions drsquooptimaliteacute Le problegraveme drsquoallocation des ressources de lrsquohomme ses fins multiples etou concurrentes peut ecirctre appreacutehendeacute comme un problegraveme drsquooptimisation matheacutematique Nous parlerons dans cette annexe des problegravemes drsquooptimisation et de leurs reacutesolutions Nous preacutesenterons les contions classiques drsquooptimisation et les conditions de Khun-Tucker

Optimisation libre et optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation consiste deacutefinir dans un ensemble de faisabiliteacute la valeur drsquoune variable ou drsquoun ensemble de variables permettant drsquoatteindre un objectif preacutecis Pour ainsi dire un extremum est un point ideacuteal en ce qursquoil reacutepond au mieux une norme ou exigence

Optimisation libre Un problegraveme drsquooptimisation libre consiste optimiser une fonction-objectif sans que celle-ci ne soit soumise agrave une contrainte ou agrave un ensemble de contraintes

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

Optimisation sous contrainte Un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste optimiser une fonction-objectif en tenant compte drsquoune contrainte ou drsquoun ensemble de contraintes speacutecifiant la rareteacute des ressources de lrsquoagent eacuteconomique

Optimiser y = f(x1 x2 hellip xn)

telle que g(x1 x2 hellip xn) = C Ce problegraveme peut srsquointerpreacuteter comme un problegraveme de recherche drsquoun compromis entre lrsquoobjectif poursuivi et les possibiliteacutes de reacutealisation de lrsquoagent ou opeacuterateur eacuteconomique

Conditions classiques drsquooptimisation Avant de preacutesenter les conditions classiques drsquooptimisation nous rappellerons le concept de deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point donneacute de son domaine de deacutefinition et le concept de deacuteveloppements en seacuteries de Taylor Soit y = f(x) une fonction deacutefinie dans un domaine preacutecis La variation de y qui reacutesulte drsquoune variation de x agrave concurrence de t est de f(x + t) ndash f(x) On deacutefinit la deacuteriveacutee de cette fonction au point x par

0

( ) ( ) ( )limt

df x f x t f x

dx t

si cette limite existe On dit alors que la fonction est diffeacuterentiable en x Consideacuterons une fonction lineacuteaire F(t) deacutefinie par

F(t) = f(x) + tf (x)

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Cette fonction est une bonne approximation de f au voisinage du point x puisque

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim 0t t

f x t F t f x t f x tf x

t t

En conseacutequence on peut eacutecrire

f(x + t) f(x) + tf (x)

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x) Ces expressions sont appeleacutees les deacuteveloppements des seacuteries de Taylor respectivement drsquoordre 1 et drsquoordre 2

Theacuteoregraveme de Rolle et conditions du premier ordre Soit une fonction y = f(x) deacutefinie et continue sur [a b] et deacuterivable dans] a b [ Si f(a) = f(b) = 0 alors il

existe au moins une valeur c de]a b [qui veacuterifie f (c) = 0

Deacutemonstration

Si la fonction est constante on veacuterifiera pour tout point de [a b] que f (x) = 0 Ce qui correspond agrave la proposition avanceacutee Si la fonction nrsquoest pas constante elle prend des valeurs positives ou neacutegatives Pour simplifier supposons qursquoelle prend des valeurs positives Si c correspond au maximum on doit

veacuterifier que x [a b] f(c) f(x) La deacuteriveacutee de la fonction au point c est donneacutee par

0

( ) ( )( ) lim

t

f c t f cf c

t

Etant donneacute que la deacuteriveacutee drsquoune fonction en un point existe que si et seulement si sa limite approcheacutee par la gauche est eacutegale agrave sa limite approcheacutee par la droite on aura

0

( ) ( )( ) lim 0

t

f c t f cf c

t

Deacuteveloppement des seacuteries de Taylor et conditions du second ordre Soit la fonction y = f(x) Son approximation drsquoordre 2 autour du point x est donneacutee par la relation

f(x + t) f(x) + tf (x) + 05t2f (x)

Condition du second ordre pour un maximum

Si x est un maximum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit lrsquoeacutegaliteacute suivante

f(x + t) ndash f(x) = 05t2f (x)

car f (x) = 0 Par conseacutequent on aura comme condition du second ordre pour un maximum

f (x) 0

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Condition du second ordre pour un minimum

Si x est un minimum il vient que f(x + t) ndash f(x) 0 et on eacutetablit par un raisonnement analogue agrave celui utiliser pour la condition du second ordre drsquoun maximum que la condition du second ordre pour un minimum est

f (x) 0 Tout compte fait les conditions classiques drsquooptimisation sont

Pour un maximum f (x) = 0 et f (x) 0

Pour un minimum f (x) = 0 et f (x) 0 Par conseacutequent en formalisant un problegraveme eacuteconomique on doit veiller agrave ce que la solution agrave un problegraveme de maximisation ou de minimisation devra respecter ces conditions

Conditions de Khun-Tucker Les conditions classiques donnent lieu des solutions inteacuterieures crsquoest-agrave-dire des valeurs optimales toujours diffeacuterentes de zeacutero et pourtant il est possible drsquoavoir des solutions frontiegraveres soit des situations dans lesquelles lrsquoagent eacuteconomique reacutealise son eacutequilibre pour des valeurs nulles des variables de deacutecisions Pour tenir compte de telles situations Khun et Tucker ont proposeacute des conditions plus pertinentes que les conditions classiques Consideacuterons les trois graphiques ci-apregraves pour preacutesenter les conditions de Khun-Tucker Figure a Figure b Figure c

y y y

y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 x x 0 x 0 x

f (x) = 0 f (x) 0 f (x) = 0

x 0 x = 0 x = 0

Il ressort de ces trois graphiques qursquoun maximum peut ecirctre une solution inteacuterieure ou une solution frontiegravere Par ailleurs la condition du premier ordre peut correspondre agrave une deacuteriveacutee neacutegative (cfr figure b) En syntheacutetisant ces trois situations on arrive aux conditions de Khun-Tucker soit

f (x) 0 x 0 et xf (x) = 0

Interpreacutetation des conditions de Khun-Tucker Consideacuterons le problegraveme drsquoune firme qui produit son output lrsquoaide de n inputs Sa fonction de production srsquoeacutecrit

y = f(x1 x2 hellip xn)

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La fonction-objectif de la firme srsquoeacutecrit

Max = p f(x1 x2 hellip xn) ndash wixi p repreacutesente le prix de lrsquooutput et wi les prix des inputs utiliser par la firme Les conditions de Khun-Tucker pour ce problegraveme de maximisation sont

pfi () ndash wi 0 x 0 et xif () = 0

Si la productiviteacute marginale en valeur du iegraveme facteur pfi () est infeacuterieure au prix du facteur wi la valeur optimale du facteur sera xi = 0 Par contre xi sera supeacuterieur agrave zeacutero si la productiviteacute marginale en valeur du facteur est eacutegale au prix du facteur

Meacutethode de substitution La meacutethode de substitution consiste reacutesoudre la contrainte en fonction drsquoune des variables de deacutecisions soit en prenant x2 comme une fonction de x1 x2 = h(x1) Cette nouvelle expression est renvoyeacutee dans la fonction-objectif de maniegravere ramener le problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre On aura ainsi

Max y = f[x1 h(x1)] On se rapportera agrave la condition du premier ordre de maniegravere agrave deacuteterminer x1 et en rentrant dans la fonction h() on deacutefinira x2

Meacutethode du multiplicateur de Lagrange La meacutethode de Lagrange consiste ramener un problegraveme drsquooptimisation sous contrainte un problegraveme drsquooptimisation libre en passant par une fonction auxiliaire appeleacutee fonction de Lagrange ou Lagrangien Le Lagrangien du problegraveme preacutesenteacute ci-dessus est

L = f(x1 x2) [c ndash g(x1 x2)]

avec qursquoon appelle multiplicateur de Lagrange Il donne la mesure de la sensibiliteacute du comportement optimisant par rapport un desserrement drsquoun eacuteleacutement de la contrainte du problegraveme

En deacuterivant la fonction de Lagrange par rapport aux variables de deacutecisions et par rapport agrave on obtient un systegraveme drsquoeacutequations donnant les valeurs optimales xi des variables de deacutecision

Meacutethode drsquoeacutegalisation des pentes Une autre approche de reacutesolution drsquoun problegraveme drsquooptimisation sous contrainte consiste eacutegaliser les pentes de la fonction agrave optimiser et de la contrainte Prenons la diffeacuterentielle totale de f() ainsi que celle de g()

dy = f1dx1 + f2dx2 = 0 dg = g1dx1 + g2dx2 = 0

Les pentes des courbes repreacutesentatives de f() et g() sont respectivement

ndashd x2dx1 = f1f2 et ndashd x2dx1 = g1g2 Crsquoest en eacutegalisant ces deux pentes ndash tout en se servant de la contrainte ndash que lrsquoon pourra deacuteterminer la solution optimale du problegraveme