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Solvabilité II – Risque de réserve
Mesure de volatilité dans les provisions pour sinistres - Approche à 1 an
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Sommaire
Risque de réserve dans le cadre du projet Solvabilité II
Adaptation des méthodes de provisionnement stochastiques
Résultats et perspectives
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Le principe de l’incertitude à un an
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Le principe de l’incertitude à un an
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Le principe de l’incertitude à un an
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Un peu de formalisme avec les notations usuelles
Année de développement j
Exercice i 1 2 … I 1 2 …
I
Année de développement j
Exercice i 1 2 … I 1 2 …
I
augmentation de l’information disponible
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Un peu de formalisme Mack (1993) a proposé le formalisme suivant, sur la charge cumulée
i.e. hypothèse de link-ratio, classique dans Chain-Ladder
i.e. hypothèse d’hétéroscédasticité Et une hypothèse d’indépendance entre années de survenances
Alors on peut utiliser les facteurs de développement pour prédire la charge ultime
Pour prédire la charge ultime, on utilise l’estimateur Chain-Ladder du link-ratio
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Un peu de formalisme Ces estimateurs sont des estimateurs sans biais, et indépendants, Aussi
est un estimateur sans biais, i.e.
Pour le paramètre de volatilité, on peut considérer
qui est également un estimateur sans biais du paramètre de volatilité, i.e.
avec
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Les estimateurs / prédicteurs usuels Pour quantifier l’incertitude d’un estimateur en statistique, on considère
Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé
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Les estimateurs / prédicteurs usuels On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…
L’estimateur naturel de cette quantité est
On distingue trois types de mesures d’incertitude
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Les estimateurs / prédicteurs usuels Pour le mean squared error de prédiction,
Notons que
qui peut alors s’écrire
estimation error process error
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Les estimateurs / prédicteurs usuels Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé
On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…
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Les estimateurs / prédicteurs usuels … ou plus précisément, on cherche à comparer la prédiction faite à deux dates différentes
i.e. avec davantage d’information…
On s’intéresse alors à quantifier l’erreur associée à
i.e. on cherche
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Incertitude d’un estimateur / prédicteur Dans notre modèle de pile ou face, rappelons que
de telle sorte que
dont un estimateur naturel est
En revanche,
dont une estimateur naturel est
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Incertitude d’un estimateur / prédicteur Pour le mean squared error de prédiction conditionnelle, rappelons que
qui peut s’écrire
Un estimateur naturel de cette quantité est alors
i.e. on perd l’estimation de la process error. Mack (1993) proposait d’utiliser une information partielle pour estimer le second terme,
et donc
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Quantifier l’incertitude sans biais Un des problèmes est que la plupart de ces estimateurs sont biaisés. Si on regarde
comme
alors
qui est un estimateur biaisé (cf. inégalité de Jensen).
On peut utiliser le bootstrap pour réduire le biais de cet estimateur.
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Les formules de Mack Mack (1993) a donné des expressions numériques pour ces quantités,
où
Une alternative est d’utiliser des méthodes économétriques, en particulier la régression log-Poisson, qui donne la même prédiction de réserve que Mack (1993), mais propose un traitement différent de l’incertitude associée à cette estimation.
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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs Rappelons qu’un modèle classique en provisionnement est le modèle log-Poisson
(surdispersé), i.e.
où
(avec un effet ligne et un effet colonne). Alors
(par la Delta méthode, i.e. asymptotiquement). Or comme on utilise un lien logarithmique
On en déduit
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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs Cet estimateur est biaisé, mais en boostrapant les résidus, on peut réduire le biais
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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de
survenance
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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de
survenance
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De l’incertitude à un an dans les triangles Merz & Wüthrich (2008) ont proposé d’étendre les formules de Mack en calculant non plus
une incertitude à ultime, mais une incertitude à un an
avec
et
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De l’incertitude à un an dans les triangles Pour obtenir une formule à la Mack, Merz & Wüthrich (2008) font l’hypothèse suivante
qui permet d’utiliser un développement limité
alors
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Extension aux modèles GLMs De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack
(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)
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Extension aux modèles GLMs De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack
(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)
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Extension aux modèles GLMs De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack
(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)
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Contacts
Arthur Charpentier [email protected]
Laurent Devineau – Senior Manager - Responsable du pôle R&D [email protected] 06 87 30 44 30
