Mines-Ponts2011,épreuvephysique1PC

Rapportdujury:

ILespremiersavions(20points)

1. Ledébitd’airestplusimportantsurl’extradosquesurl’intrados,onpeutenconclurequelavitessedel’airestplusimportantesurl’extrados.0,5pt

LethéorèmedeBernoulli(1ptpourhypothèseset1pointpourénoncé)montrealorsquelapressionsurl’extradosestplusfaiblequesurl’intrados;larésultantedesforcedepression(portance)estdirigéeverslehaut.0,5pt

2. Laportancecompenselepoids𝐹! = 𝐶! 0!!!

!𝑆 = 𝑚𝑔d’où𝐶! 0 = !!"

!!!! 1pt

AN:𝐶! 0 = 0,85 1pt3. Lapuissancedumoteurcompenselapuissancedéveloppéeparlatrainéetotale(volàvitesseconstante),d’où𝑃 = 𝐹!,!"!#$%𝑉 =

!!𝐹!𝑉et𝐹! =

!!!!1pt+0,5ptpourlecoeff3/2

AN:𝐹! = 2,16 10!𝑁et𝐶! 0 = !

!!!! 𝐹!AN𝐶! 0 = 0,101pt

4. Ledébitmassiquecalculéàl’entréesurlasectionSest𝐷! = 𝜇𝑣𝑆 = 𝜇𝑣ℎ𝐿1pt5. Alasortiecedébitvaut𝐷! = 𝜇𝑣′𝑆′ = 𝜇𝑣′ℎ′𝐿0,5 ptavecℎ! = !

!"# (!)0,5ptd’où𝑣! = 𝑣 cos (𝛼)

6. Bilandequantitédemouvemententretett+dt,surlesystèmefermé(conformémentauprogramme…)définiàl’instanttparlevolumecomprisentreSetS’:∆𝑝 = 𝐷!𝑑𝑡 𝑣! − 𝑣 1pt

Laseuleforceestlaforce𝐹!/! 0,5pt;onendéduit:

𝐹!/! = −𝜇𝑉!𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑒! + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑒!)1pt

7. Loid’actionetderéaction0,5pt𝐹!/! = −𝐹!/! = 𝜇𝑉!ℎ𝐿𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑒! + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑒! = 𝜇𝑉!𝑙𝐿𝜆𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑒! + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑒! d’oùparidentification𝐶! = 2𝜆𝑠𝑖𝑛!𝛼 et𝐶! = 2𝜆𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼0,5pt+0,5pt8. Onobtientlarelationdemandéeenéliminantαavec𝑐𝑜𝑠!2𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!2𝛼 = 1donc

(1− !!!!)! + (!!

!)! = 1équationd’uncercleouencore𝐶! = −𝐶!! + 2𝜆𝐶!1pt

L’alluredelapolaireestdonclasuivante(casoùλ=0,5)0,5ptpourallure+0,5ptpouraxes+0,5ptpourvaleursnumériques9. 𝐹!estlacomposantede𝐹!/!surOydonc

𝐹! = 𝜇𝑉!𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑒!et𝐶! = 2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼:onabienuncomportementlinéairepourlespetitsangles𝐶! ≈ 2𝛼,1ptetunefonctiondécroissanteàpartirde𝛼! = 𝜋/4.1pt

10. OncalculeCy/Cx=cotan(α);cerapportestplusgrandàfaibleincidence;ilestpréférabled’opéreràincidencefaible.1pt11. Pourperdredel’altitudeilfautdiminuerlaportance,doncdiminuerl’angleα,1pt(enpratiqueouverturedesvoletssurlesailes).

IILapropulsiondesavionscontemporains(21points)

12.

.

0,5pt+0,5pt+0,5pt 0,5pt+0,5pt+0,5pt pourchaquetransfo(qqsoitEA)

Ensupposantquelescompressions(AB)etlesdétentes(CDE)sontadiabatiques(cedevraitêtreprécisédansletexte…)0,5pt

13. LoideLaplaceentreAetB:𝑃!!!!𝑇!

! = 𝑃!!!!𝑇!

!d’où𝑇! = 𝑇!!!!!

!!!! 1pt

AN𝑇! = 464𝐾 = 191°𝐶1ptLapuissanceabsorbéeparlecompresseurestalorsdonnéeparlepremierprincipedanslecasd’unécoulementpermanent(L’hypothèsed’écoulementpermanentdevraitêtreexplicite…)par

𝑃! = 𝐷!Δℎ!" = 𝐷!𝐶!(𝑇! − 𝑇!)1pt+1ptAN𝑃! = 11,1𝑀𝑊1pt

14. Danslachambredecombustionlepremierprincipes’écrit𝐷!Δℎ!" = 𝐷!𝐶! 𝑇! − 𝑇! = 𝑞𝐷! où𝐷! estledébitdecarburant(pouvoircalorifiquenondéfini…)d’où𝐷! =

!!!!(!!!!!)!

1ptAN𝐷! = 1𝑘𝑔/𝑠,1ptcedébitestbiennégligeabledevant𝐷!cequilégitime

l’approximationfaite.1pt

15. Lapuissancerécupéréeparlaturbinepermetdefairefonctionnerlecompresseur,cequis’écritsionnégligelespertes𝐷!Δℎ!" = −𝐷!Δℎ!"1ptdonc𝑇! − 𝑇! = 𝑇! − 𝑇!0,5ptd’où𝑇! = 𝑇! + 𝑇! − 𝑇! AN𝑇! = 962𝐾 = 689°𝑐1pt

LapressionestalorsdonnéeparlaloideLaplaceentreCetD:𝑃!!!!𝑇!

! = 𝑃!!!!𝑇!

!soit𝑃! = 𝑃!!!!!

!!!!

AN:𝑃! = 2,8𝑏𝑎𝑟2pts

16. EntreDetElaloideLaplaces’appliqueencore𝑃!!!!𝑇!

! = 𝑃!!!!𝑇!

!et𝑇! = 𝑇!!!!!

!!!! 0,5pt

AN𝑇! = 717𝐾 = 444°𝑐1pt17. Danslatuyèreadiabatiquelepremierprincipes’écrit𝑒! + ℎ = 𝑐𝑠𝑡𝑒d’oùentrelespointsDetE!!𝑣!,!! + 𝐶!𝑇! = 𝐶!𝑇!1ptennégligeantl’énergiecinétiqueàl’entrée.0,5pt

D’où𝑣!,! = 2𝐶!(𝑇! − 𝑇!) AN𝑣!,! = 700𝑚/𝑠1ptLapousséeestalorsdonnéeparΠ = 𝐷!𝑣!,!(résultatpasàmémoriser!?)ANΠ = 45,5𝑘𝑊1pt

EDCBCombustionn

Turbine TuyèreCompressionsortieentrée

A

ED

CB

AED

CB

AS

T

v

p

IIILeguidagedesavions:l’altimètre(26points)18. 𝑓! 𝑡 = 𝑓! +

!"!!𝑡 avect<to1pt

19. 𝜃 𝑡 = 2𝜋 𝑓! 𝑡! 𝑑𝑡! = 2𝜋 𝑓! +!"!!𝑡′ 𝑑𝑡! = 2𝜋(!

!!! 𝑓!𝑡 +

!"!!!𝑡!)1pt

soit𝜃 𝑡 = 𝜔!𝑡 + 𝜔!𝜔!𝑡!et𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔!𝑡 + 𝜔!𝜔!𝑡!)1pt

aveclesvaleursnumériquesproposées𝑠 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋10!" 𝑡 + !!

!d’oùl’alluredelacourbe

(échellenonrespectée)1ptpourallure+1ptpouraxes

20. τestletempsquemetlesignalàfairel’allerretour0,5ptdonc𝜏 = 2𝑧/𝑐0,5pt,lecoefficientacorrespondàl’atténuationliéeàlapropagationdansl’atmosphère.1ptAN:τ=210-5sà3000m0,5pt

21. 𝑛 𝑡 = 𝑘𝑠 𝑡 𝑟 𝑡 = 𝑘𝐴!a cos 𝜔!𝑡 + 𝜔!𝜔!𝑡! cos (𝜔! 𝑡 − 𝜏 + 𝜔!𝜔! 𝑡 − 𝜏 !)1pt

𝑛 𝑡 =𝑘𝐴!a2 cos 𝜔!𝑡 + 𝜔!𝜔!𝑡! + 𝜔! 𝑡 − 𝜏 + 𝜔!𝜔! 𝑡 − 𝜏 !

+ cos 𝜔!𝑡 + 𝜔!𝜔!𝑡!−𝜔! 𝑡 − 𝜏 − 𝜔!𝜔! 𝑡 − 𝜏 !

𝑛 𝑡 =𝑘𝐴!a2 cos 𝜔!𝜏 + 2𝜏𝜔!𝜔!𝑡−𝜔!𝜔!𝜏! + cos (2𝜔! − 2𝜔!𝜔!𝜏)𝑡 + 2𝜔!𝜔!𝑡! − 𝜔!𝜏 + 𝜔!𝜔!𝜏!

danslepremiertermeonaunefréquenceinstantanéefixe𝑓! =!!!!!!!!

= !"#!!1pt

Etdanslesecondunefréquenceinstantanéevariable𝑓! 𝑡 = !

!!!!!!"= !!!!!!!!!!!!!!!!!

!!=2𝑓! +

!"!!

𝑡 − 𝜏 = 𝑓!1pt

22. Avecδf<<foetτ<<toonpeutapproximer𝑓! ≈ 2𝑓!:onadoncf2>>f11pt(mêmesansapprox).L’informationsurzestcontenuedansf10,5pt,ilsuffitalorsdeplacerunfiltrepassebas0,5ptpournerécupérerquef1.

Ona𝑓! > 2𝑓!=1010Hzet𝑓! =!"#!!≤1MHz1pt;lafréquencedecoupuredufiltredoitdoncêtreunpeu

au-dessusde1MHz0,5pt.L’altitudedel’avionseraalorsproportionnelleàlafréquencedusignalu(t)0,5pt

23. Filtre1:passebasd’ordre11pt,ωc1=103rads-11pt:fréquencedecoupuretropbasse.0,5pt

Filtre2:avecdesvaleursnumériquestrèsimprobables,passebasd’ordre1, ωc2=103rads-10,5pt:fréquencedecoupuretropbasse0,5pt

Filtre3:passebande,1pt[depulsationderésonance𝜔! =!

!!!!= 10!𝑟𝑎𝑑 𝑠!!et𝑄! = 𝑅!

!!!!= 10!:

filtretrèssélectif]quinepeutconvenircarlafréquencef1n’estpasconnue,c’estcequ’onchercheàmesurer.0,5pt

Filtre4:filtrepassehaut1ptd’ordre2,[depulsationdecoupure𝜔! =!

!!!!= 10!,! = 3,2 10!𝑟𝑎𝑑 𝑠!!

et𝑄! =!!!

!!!!= 10!,! = 32]neconvientpasdutout0,5pt

Filtre5:filtrepassebasd’ordre21pt,𝜔! =

!!!!!

= 10!𝑟𝑎𝑑 𝑠!!2pointspouruncalculdelafonction

detransfert(et𝑄! = 1/3):lafréquencedecoupureesttropbasse.Remarque:lafonctiondetransfertestassezpénibleàcalculer.Ennommantv(t)latensionauxbornesdeC5,onpeutécrire:

𝑢 =1

1+ 𝑗𝑅!𝐶!𝜔𝑣 (1)

Attention,onnepeutpasécrirelamêmerelationentrev(t)etn(t)carlecouranttraversantlaseconderésistancen’estpasnul!Laloidesnœudspermetd’écrire:

𝑗𝐶!𝜔𝑣 =𝑛 − 𝑣𝑅!

+𝑢 − 𝑣𝑅!

(2)

Ondéduitdecesdeuxéquations:

𝐻 =𝑢𝑛 =

11+ 3𝑗𝑅!𝐶!𝜔 + 𝑗𝑅!𝐶!𝜔 ! 𝑣

quimontrequelapulsationpropreest𝜔! =!

!!!!.Cettepulsationn’estpaslapulsationdecoupure(

pénibleàcalculer),maiselleenestproche.

Filtre6:filtrepassebasd’ordre2𝜔! =!

!! !!"!!"= 10!𝑟𝑎𝑑 𝑠!!1pt(et𝑄 = !!!!

!!!!!= 0,2):cefiltrelà

convient.