MMC_CH1&2

Mécanique des Milieux Continus: MMC

Notation tensorielleTenseurs des déformationsTenseurs des contraintesCritères d’écoulementsEquations générales de l’élasticitéMéthodes de résolutionsProblème de torsionProblème du contact

Objectif de la MMC

MMC étudie les milieux continus – Elasticité: solide– Mécanique des fluides: fluide

MMC calcule: – déplacement, déformation, contrainte– taux de déformation, accélération,etc.

Milieu: élastique, viscoélastique, linéaire, non linéaire, etc.

Hypothèses

Milieux solidesComportements linéaires élastiquesFaibles déformationsSollicitations statiques

Repère du travailRepère fixe de base

x1

x2

x3

),,( 321 eee

x

y

z

1 ENSAM/MMC/Aboussaleh/2007-08

Notation tensorielle

Scalaire: tenseur d’ordre 0Vecteur: tenseur d’ordre 1‘Matrice’: tenseur d’ordre 2, etc.

Dans un espace de dimension 3:

332211 eVeVeVV

3,2,1 avec iVV i Notation tensorielle

3,2,1et 3,2,1 avec

333231

232221

131211

jiTTTTTTTTTT

T ij

Matrice:

Convention d’EinsteinLorsque un indice est répété alors il y’a sommation sur cet indice

jijj

jiji xaxabxxx

aaaaaaaaa

bbb

3

13

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

3,2,1et 3,2,1 jiaxxab ijjjiji

i: indice principale j: indice muet. Il définit l’indice de sommation

ORDRE D’UN TENSEUR = NOMBRE DE SES INDICES PRINCIPAUX

Produit de deux matrices:

Produit scalaire

31132112111111 BABABACBACBAC kjikij

Idem pour les autres termes

iivuvuvuvuvu 332211.2 ENSAM/MMC/Aboussaleh/2007-08

Tenseur Identité: delta de KRONECKER dij

sinon 0

si 1 jiij

3111332211jjii

ijij bb

Tenseur d’ordre 3

Tenseur alternateur eijk

jkijki cbaOrdre 1 Ordre 3 Ordre 2

sinon 0 1 1

impairenpermutatiouneestijksipairenpermutatiouneestijksieijk

Exemple d’application du tenseur eijk

Produit vectoriel

kjijk

jckjk

kjijki

cbecb

cbcbcbcbecbebea

acbea

12332231323212311

1

)(

Calculons

Produit d’alternateur

Autres notations

kljmkmjlilmijkee

jkijkii

ijji

j

iji

j

i

iii

i

ueurotuudiv

xxxugradu

xu

dxdx

,,

,,

,,

;

;

;


CH1:Tenseurs des déformations

Description Lagrangienne et Eulérienne

PoQo

PQ

DoDt

e1

e2

e3

O

iiiiii

iiioiio

dxPQ)edx(xOQexOPedXXOQeXOP

; ; dXQP ; )( ; ioo

Xi: coordonnée LAGRANGIENNE

xi: coordonnée EULERIENNE

Exemple milieu plan 2 dimensions

12

2

2

2

RY

RX

t=0 t

e2

e1

À t = 0 À t 12

2

2

2

by

ax

Tenseur gradient

Interprétation Lagrangienne

Interprétation Eulérienne

jijj

j

ii dXFdX

Xxdx Fij = tenseur gradient

jijj

j

ii dxGdx

xXdX Gij = tenseur gradient

Bijectivité entre Fij et Gij

Notation matricielle du tenseur gradient

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

dXdXdX

FFFFFFFFF

dxdxdx

dXFdx jiji

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

G G G G G G

dxdxdx

GGG

dXdXdX

dxGdX jiji

On déduit:

{dx} = [F]{dX} {dX} = [G]{dx}

GFGF 1queet 0det ; 0det4 ENSAM/MMC/Aboussaleh/2007-08

Tenseur des dilatations Cij

ii

ii

dXdXdSdxdxds

2

2

PoQo

PQ

Do

Dt

e1

e2

e3

O

ematriciellnotation

))((2

FFCdXdXCdXdXFFdXFdXFdxdxds

t

kjjkkjikij

kikjijii

Lagrange ematriciellnotation

))((

1

1

2

GGBdxdxBdxdxGGdxGdxGdXdXdS

t

kjjkkjikij

kikjijii

Euler

Tenseurs des déformations

Tenseur de Green-Lagrange

kjjkkjjkjk

kjjkikijkjjkkjikij

kjkjkjikijjjii

dXdXEdXdXCdXdXFFdXdXdXdXFF

dXdXdXdXFFdXdXdxdxdSds

2)()(

)(22

)(21

)(21

ICE

CE jkjkjk

Tenseur de Green-Lagrange

Tenseur d’Euler-Almansi

)2( )(

)(

*

1

22

jkkj

jkjkkj

ikijjkkj

kjikijkjjk

iijj

EdxdxBdxdxGGdxdx

dxdxGGdxdxdXdXdxdxdSds


Différence entre E et E*

EulerienneionConfigurat

nelagrangienionConfigurat

2

22*

2

22

dsdSdsE

dSdSdsE

Déformations/Déplacement

PoQo

PQ

Do

Dt

e1

e2

e3

O

QQPP

ii

i

duuo

uo

ui: déplacement

Interprétation Lagrangienne

jiijij

jjijijjij

iii

iii

oo

ioiio

uFdXudXdXF

dudXdxuXx

PPOPOPuPPxOPXOP

,

,

)(21

))((2

,,,,

,,,,

,,

jkikijjiij

jkikijjiij

jkkjikkikjkiij

ijijij

uuuuE

uuuuuuFFC

CE


Propriété du tenseur Eij

Eij est symétrique: Eij = Eji

Interprétation physique: Traction simple:

2

)1(RDM

2)(220 ;

2

1111

11

2

111111

22

32

2

1

2

E

dSdsdSdSds

dSEdXdXEdXdXEdSdsdXdXdXdS

jiij

CH2: Notions de Contraintes

Principe du travail virtuel:– Dans tout déplacement virtuel (admissible), le travail

des efforts externes doit être équilibré par une énergie de déformation interne

dVWdVW defV

extV

Tenseur des contraintes de Cauchy sij

le tenseur sij est défini comme suit:

Wdef : travail interne par unité de volume (j/m3)sij: contrainte de Cauchy (N/m2: Pa)

sij = sjj donc tenseur symétrique

ij

def

ij EW

Equations d’équilibre:Soit un milieu continu en équilibre sous les actions:

inertied' force :

surface de force : volumede force :

2

2

tu

tF

i

i

i


Application du principe du travail virtuel pour un déplacement virtuel du donne:

dVutu

dSut

dVuFdVE

iV

i

iS

i

iV

iijV

ij

2

2

Hypothèse des faibles perturbations:(déplacement linéarisé)

L’énergie interne s’exprime dans ce cas:

ij,,21

ijjiij uuE

dVuudVdVEV

ijjiijV

ijijV

ijij ,,21

Par symétrie du tenseur sij on aboutit à:

Intégration par partie:V

jiijijjiV

ij dVudVuu ,,,21

Vijij

Vjiij dVudVu ,,

Théorème de la divergence:

Expression finale de l’énergie interne:

Sjiij

Vjiij dSnudVu

,

Vijij

Sijij dVudSun ,


Principe du travail virtuel donne:

Vijij

Sijij dVudSun ,

dVutudSutdVuF i

V

ii

Sii

Vi 2

2

D’ou on tire:

ijij

iijij

tntuF

2

2

,

Equations d’équilibre dans un repère (x,y,z):

2

2

2

2

2

2

tuF

zyx

tu

Fzyx

tuF

zyx

zz

zyzxz

y

y

yzyxy

xx

xzxyx

Loi de comportementDéveloppement de Taylor au tour de 0 du travail interne:

Or:

3

0

2

0210 klij

klij

ij

ij

ijdef

WWWWW

pq

pq

W


2

0

2

0

2

21

2100

pq

klij

klij

pq

ij

kl

klijpq

ij

ijpq

pq

W

WWW

jqip

pq

ijor modules desTenseur :srésiduelle scontrainte desTenseur :0

0

0

2

0

pqkl

pq

klpqklpq

kl

klpqpq

pq

C

C

WW

En absence des contraintes résiduelles:

Cpqkl: tenseur d’ordre 4 (34=81 termes)

klpqklkl

klpq

pq CW

0

2

Simplification de Cpqkl: (Symétrie de eij)

Hij: Matrice de Hooke (Tenseur d’ordre 2: 62 = 36 termes)

612514413

333222111

; ; ; ;

1,...,6 j, 0

2

iWHCji

ijijkl


Propriétés de la matrice de Hooke H

H est symétrique donc il reste 21 termes indépendant.H est définie positive

Matériaux Isotropes (H se ramène à 2 termes indépendants)

Module d’Young: ECoefficient de Poisson: n

1

23 1

1

23

1--

Coefficient de Poisson = - = - 0 < <2

1

3

1

Acier E = 200 GPaPlastiques E = 1 GPa

Liège = 0Métaux… = 0.25-0.33Caoutchouc = 0.5

3

2

1

1

1

1

Module d’Young E = [Pa]1

1E

1

Module de Coulomb: G

Module de Coulomb G = [Pa]

2G

X1

X2

g = g1+g2

g = 2e12

Loi de HOOKE généralisée

yzyzyzxzxzxzxyxyxy

yxzz

zxyy

zyxx

GGG

E

E

E

12 ; 12 ; 12

1

1

1


Exercice:Montrer que

Loi de Hooke en notation tensorielle

12EG

ji si non et :Attention?

11

ijij

ijllijij E

Loi de HOOKE dans le sens inverse

2 121

;

LAME de tscoefficien lesnt introduisaEn21

2

ijkkijij

ijkkijij

EG

G

Exercices:1) Montrer que

2) Montrer que si n = 0.5 alors DV/V = 0

isotropesmatériaux lespour 211

3

2

1

dx1

dx3

dx2

31

2313

12

32

21

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ij = ji)(M

Tenseur des contraintes en un point M

ij i: direction de la normale

j: direction de la contrainte12 ENSAM/MMC/Aboussaleh/2007-08

CONTRAINTES PRINCIPALES

Le tenseur ij est symétrique, donc on peut le diagonaliser:

I, II, III: sont des contraintes principalesassociées à des facettes principales

III

II

I

0 00 00 0

332313

232212

131211

Détermination des contraintes principales

0

det

332313

232212

131211

ijIIIIII

de invariants dessont , ,0

321

32

2

1

3

Dans le repère principale:

det21

3

2

3322111

I

I

I

ijijjjii

ii

IIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIIII

III

3

2

1

Tenseur Sphérique/Deviateur

Partie sphérique:

Partie deviatorique: sij

iiI31

31

1

ijijij s

ijllijijs 31


Exercice:– Calculer les composantes des tenseurs

sphérique et deviatorique– Quelles sont leurs particularités

PROPRIETES DU VECTEUR CONTRAINTE: T(M,n)

T(M,n)T

Mn

t

n

n: normale à la facette et t tangente à la facette au point M

I

IIIII

T(M,n)T

Mn

t

n I

IIIII

Normale n: n(n1, n2, n3)

Vecteur contrainte T: T(T1, T2, T3)

Tenseur des contraintes ij: ij( I, II, III)

Dans le repère PRINCIPAL

Conditions aux limites sur la surface

Contraintes normale et tangentielle

321 ; ; TnTnTnTn

IIIIIIIIIIII

ijij

22

2

3

2

2

2

1

.

.

n

IIIIIIn

TtT

nnnnT


Le vecteur normal n est unitaire donc:

L’intensité de la contrainte n est:

La norme au carré du vecteur contrainte T est:

12

3

2

2

2

1 nnn

2

3

2

2

2

1. nnnnT IIIIIIn

2

3

22

2

22

1

22 nnnT IIIIII

Calculons la normale en fonction des contraintes:

IIIIIIIII

IInIn

IIIIIIII

IIInIn

IIIIIII

IIInIIn

n

n

n

22

3

22

2

22

1

TRICERCLE DE MOHR

Supposons que les contraintes principales sont ordonnées comme suit:

Or

IIIIII

0 ; 0 ; 0 2

3

2

2

2

1 nnn 000

2

2

2

IInIn

IIInIn

IIInIIn


On déduit:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

22

IIIIIIn

IIIIIIIIn

IIIIIIIIIIn

TRICERCLE DE MOHR

2

2

2

22IIIIIIIIII

n

2

2

2

22IIIIIIII

n

2

2

2

22IIIIII

n

nIIIIII

Exercice: Discuter les cas suivants:– n1 = 0– n2 = 0– n3 = 0

Description du cercle principal: (n2 = 0)

ijij Tn

I

IIIn

T(M,n)

= (I, n)

n(n1, n3)

T(T1, T3)

sincos

3

1

III

I

TT

n1 = cos( ) ; t1 = -sin( )n2 = sin( ) ; t2 = cos( )

tt(t1, t3)


2sin2

2cos22

sincos.

sincos.22

22

IIII

IIIIIIIIn

IIIIn

IIIIn

TtT

nT

Grand cercle de MOHR2

2

2

22IIIIIIII

n

n

III I

2

I

n

( I+ II)/2

T

T

n

R = ( I – III)/2

Conséquences du cercle de MOHR

n

III I

2

I

n

( I+ II)/2

T

T

xy

xy

x

y

xy R = ( I – III)/2

Expressions des contraintes principales:

Expression du cisaillement maximal

Directions principales

2

2

, 22 xy

yxyx

IIII

yx

xy

p arctg2

21

2maxIIII


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