Mémoire d’Actuariat - Pierre VAUJANY

Mémoire d’Actuariat - Pierre VAUJANY

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Résumé

Mots-clés : ALM, Actifs, Générateur de scénarios économiques, Calibrage, Modèle stochastique,Taux nominaux, Best Estimate, Solvabilité II, Swaption, Projection, Risque-neutre, Market-consistency

Le générateur de scénarios économiques (GSE) constitue un socle incontournable dans lescalculs ALM. En effet, que ce soit dans le cas de l’estimation du Best Estimate ou le calcul des indi-cateurs de solvabilité II, l’utilisation de scénarios stochastiques est requise. Ces derniers permettentde diffuser des indicateurs économiques comme une performance d’indice ou le niveau des taux.Des modèles de diffusion sont choisis pour construire des projections de ces données sur une ouplusieurs années. Un modèle stochastique est défini par l’utilisation de processus aléatoire(s) et parses paramètres. L’estimation des variables du modèle s’appuie sur une phase de calibrage basée surla résolution d’un algorithme d’optimisation ou des avis d’expert (étude macro-économique, etc.).L’idée est de répliquer les caractéristiques de titres financiers représentatifs de la classe d’actifsmodélisée. Il est donc primordial de s’interroger sur le choix de modélisation des variableséconomiques et le processus de calibrage associé.

Les taux nominaux constituent un point majeur dans la diffusion d’un portefeuille puisqueces derniers orientent les calculs de valeur de marché des produits de taux (obligations, dérivés detaux, etc.) dans les projections. Ils ont aussi un impact direct sur l’évaluation du passif SolvabilitéII par le biais du taux commercial calculé dans le modèle ou encore l’actualisation des flux. Lechoix de modélisation des taux nominaux et leur calibrage est donc d’autant plus important. Lecontexte économique actuel et les contraintes d’évaluation du passif SII imposent de respecter cer-taines conditions dans les trajectoires de taux. Par exemple, la présence de taux négatifs nécessitede sélectionner un modèle capable d’en diffuser. Par ailleurs pour être cohérent avec le contexte demarché, les scénarios doivent être market-consistent c’est-à-dire que les prix observés sur le mar-ché doivent être reproduits dans les scénarios économiques. Enfin, l’évaluation du passif dans ununivers risque-neutre limite le choix de modèle car ce dernier doit être en capacité de respecter lapropriété de martingalité.

Ce mémoire propose de mesurer l’impact du choix de modélisation des taux nominaux et ducalibrage de ses paramètres en étudiant la sensibilité des indicateurs Solvabilité II à travers deuxmodèles de taux majeurs aux propriétés différentes : le modèle Hull and White à deux facteurs(HW2F) et le Libor Market Model Plus (LMM+).

Le Hull and White à deux facteurs est un modèle basé sur l’absence d’opportunité d’arbitrageen simulant directement le taux court de manière gaussienne. Le Libor Market Model Plus est unmodèle de marché plus complexe qui diffuse le taux forward instantané (LIBOR) de manière « log-normale déplacée » par l’introduction d’un coefficient de déplacement. Ces deux modèles respectentles propriétés de martingalité et de market-consistency si leur processus de calibrage est bien mené.Des taux négatifs sont bien projetés, avec une plus forte occurrence et intensité pour le modèle Hulland White dans ce contexte de taux bas. Des taux explosifs (positifs extrêmes) sont possiblementatteignables à long-terme par le biais du modèle de marché. Enfin, une reproduction des prix desswaptions est plus exacte avec le Libor Market Model Plus grâce à la complexité introduite par cemodèle.

La nappe de volatilité implicite des swaptions (tout comme les prix qui en découlent par lebiais de la formule de Bachelier) présente des irrégularités. Le modèle de taux est par conséquent

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sensible aux données de marché sélectionnées. Afin d’adapter le processus de calibrage aux risquesauxquels est exposée la compagnie d’assurance, le renforcement de la pondération des données demarché les plus pertinentes est à intégrer dans la phase d’estimation des paramètres du modèle.Pour définir ces points les plus représentatifs est à prendre en compte :

− la sensibilité des indicateurs SII à des zones de la matrice de swaption ou encore l’étude desrisques du portefeuille (flux de passif, duration, etc.),

− la liquidité des données de marché (les swaptions ici).

La modification de la pondération des outils utilisés pour le calibrage a des conséquences dansl’estimation des paramètres du modèle envisagé. Dès lors, le choix du modèle et du processus decalibrage aura un véritable poids dans l’évaluation des engagements de la compagnie d’assurance.Une problématique réside finalement à quantifier exactement le poids accordé à chaque point dela matrice.

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Summary

Key words : ALM, Assets, Economic scenario generator, Calibration, Stochastic model, Nominalrates, Best Estimate, Solvency II, Swaption, Projection, Risk-neutral, Market-consistency

The economic scenario generator (ESG) is an essential base in the ALM calculations. Indeed,for the Best Estimate pricing or for the calculation of the Solvency II indicators, stochastic scenariosare required. These scenarios allow to project economic indicators such as an index performance orthe level of interest rates. Models are defined to assess this data over one or more years. A stochasticmodel is defined by the use of a random process(es) and its parameters. The estimation of modelvariables is done with a calibration stage based on the resolution of an optimization algorithm or onexpert opinions (macroeconomic study, etc.). The idea is to replicate the characteristics of financialassets representative of the modelled asset class. It is crucial to question the modelling choiceof economic variables and the associated calibration process.

Nominal rates are essential to price a portfolio since they drive the market value calculationsof interest rate products (bonds, interest rate derivatives, etc.) in the projections. They also havea direct impact on the valuation of the Solvency II liabilities through the commercial rate calcu-lated in the model but also through the discounting of cash flows. The choice of nominal interestrates model and its calibration is therefore all the more important. The current economic contextand the regulation constraints in the pricing of liabilities require some conditions in the scenarios.For instance, the current presence of negative rates implies to select a model capable of projectingthem. Furthermore, the scenarios should be market consistent, meaning that the prices observedon the market must be reproduced in the economic scenarios. Finally, the valuation of liabilities ina risk-neutral universe reduces the choice of model because the property of martingality needs tobe observed.

This thesis deals with evaluating the impact of nominal interest rates modelling and the cali-bration of its parameters by studying the sensitivity of the Solvency II indicators through two majorinterest rate models : the two-factor Hull and White Model (2FHW) and the Libor Market ModelPlus (LMM+).

The two-factor Hull and White model is a no-arbitrage stochastic model which simulates anormally distributed short rate. The Libor Market Model PLus is a market model more sophisticatedwhich simulates the instantaneous forward rate. The introduction of a displacement factor allows adisplaced log-normal distribution of the forward rate. Both models are conformed to the propertiesof martingality and market-consistency if the calibration step is well carried out. Negative interestrates are projected with a higher incidence and intensity with the Hull and White model in thislow-rate background. Extreme positive interest rates can be reached at the end of the projectionwith the market model. Finally, a better replication of the swaptions market data is obtained withthe Libor Market Model Plus thanks to the complextity of its volatility component.

There are irregularities in the implicit volatility of swaptions (as well as in the resulting pricesthrough the Bachelier formula). The interest rate model is sensitive to the selected market data.In order to adapt the calibration process to the risks the insurance company is exposed to, theestimation phase of the model parameters should strengthen the weighting of the most relevantmarket data. Two main factors should be taken into account to define this weighted matrix :

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− the sensitivity of SII indicators to areas of the swaption matrix but also the study of portfoliorisks (liability cashflows, duration, etc.),

− liquidity of swaptions.

Modifying the weighting of the tools used for calibration has consequences in estimating theparameters of the intended model. Hence, the choice of the model and the calibration process willhave a decisive impact on the assessment of risks for the insurance company. In the end, remainsthe challenge to determine a method to quantify exactly the weight assigned to each data.

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Remerciements

Mes remerciements s’adressent dans un premier temps à Thibault JACOB et Sebastien LeDARZ MARANGONI pour la confiance qu’ils ont placée en moi. Je leur suis aussi très reconnaissantpour la pertinence et la qualité de leurs remarques qui m’ont permis de prendre du recul sur montravail.

Je tiens à remercier tout particulièrement Mohamed Ayoub OUAJJOU pour le temps accordéà ma formation et au suivi de mon mémoire.

De manière générale, j’exprime toute ma gratitude à l’ensemble de la Direction des Risquesde Natixis Assurances et tout particulièrement à mes collègues du département Mesure du Risqueet Gestion Actif Passif pour leur professionnalisme et leur envie de partager. Une mention spécialeà Elie MERYGLOD, département MRGAP, qui a contribué à une grande partie de ma formation surles scénarios économiques.

Je n’oublie pas ma tutrice académique Diana DOROBANTU pour son encadrement et l’atten-tion portée à mon travail.

Je suis également très reconnaissant envers mes interlocuteurs du service de la Direction desInvestissements et de l’Ingénierie Financière pour leurs réponses à mes interrogations et pour leurcontribution en données financières nécessaires à mon étude.

Enfin, je remercie les différents experts de Moody’s Analytics pour leur disponibilité et le par-tage de leurs connaissances qui m’ont permis de monter en compétence dans le domaine des GSEet en particulier Kamel MALLAT qui a permis ces échanges .

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Table des matières

Introduction 11

I Générateur de scénarios économiques et taux nominaux 13I.1 Principes du générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A. Classes d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14B. Modèles de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16C. Diffusion des classes d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21D. Intégration du GSE dans le processus ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I.2 Projection des taux nominaux en univers risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A. GSE et Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24B. Principe des projections risque-neutres market consistent . . . . . . . . . . . . . 25C. GSE et projection de taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28D. Diffusion des taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

II Modèle Hull and White à deux facteurs 37II.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A. Le modèle Hull & White à un facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38B. Limites et développement du modèle à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . 39C. Définition du modèle Hull and White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . 41

II.2 Propriétés du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A. Lien avec le modèle Gaussien à deux facteurs (G2++) . . . . . . . . . . . . . . 42B. Expression du taux court et moments d’ordre 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 43C. Prix d’une obligation zéro-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II.3 Etude du calibrage du Hull & White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A. Processus de calibrage et résultats au 31/12/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 45B. Tests de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46C. Impact du paramètre de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III Libor Market Model Plus 55III.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A. Construction du modèle LMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56B. Du LMM au LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

III.2 Propriétés du LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A. Discrétisation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B. Lien avec le modèle Hull and White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 62

III.3 Calibrage du LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A. Processus de calibrage et résultat au 31/12/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B. Tests de Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66C. Impact du paramètre de displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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Quel est l’impact du modèle de taux et de son calibrage sur l’évaluation des indicateurs SII ?

IV Impact du choix de modèle et de son calibrage 73IV.1 Impact du choix du modèle de taux nominaux sur les scénarios économiques . . . . . 74

A. Impact du modèle sur les scénarios de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74B. Impact sur les indicateurs SII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

IV.2 Sensibilité du calibrage aux données de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A. Sensibilité du modèle Hull and White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . 86B. Sensibilité du modèle Libor Market Model Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

IV.3 Adaptation du calibrage au profil de risque de la compagnie . . . . . . . . . . . . . . 94A. Modification de la matrice de poids pour le calibrage . . . . . . . . . . . . . . . 94B. Impact sur les scénarios économiques et les indicateurs de solvabilité . . . . . . 98

Conclusion 103

Bibliographie 106

Table des figures 108

Annexes 108Annexe A : Comparaison des modèles de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Annexe B : Qualité de reproduction des volatilités implicites des swaptions (HW2F) . . . . 111Annexe C : Démonstration de l’écriture de l’EDS du LMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Annexe D : Comportement de la fonction de Rebonato suivant ces paramètres . . . . . . . 113Annexe E : Qualité de reproduction des volatilités implicites des swaptions (LMM+) . . . 114Annexe F : Test de normalité - Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Annexe G : Comparaison de la diffusion des taux nominaux entre LMM+ et HW2F . . . . 116Annexe H : Impact d’un calibrage uniquement à la monnaie pour le LMM+ . . . . . . . . 117

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Introduction

L’élaboration du bilan économique Solvabilité II d’une société d’assurance Vie et autres étudesde gestion Actif Passif reposent sur la construction d’un modèle de projection de l’actif et des enga-gements du passif. La mise en place d’un tel modèle nécessite le développement d’un générateur descénarios économiques (GSE). Les GSE produisent, sur plusieurs horizons temporels, des scénarioscontenant les différents indicateurs de l’économie et permettent de valoriser l’actif, d’évaluer lepassif en Best Estimate et d’assurer la cohérence des interactions actif-passif [1].

Pour diffuser les différents indicateurs de l’économie tels que sont les courbes des taux ou lesperformances des actifs diversifiés (actions, immobilier, etc.), le GSE s’appuie sur des modèles devalorisation financière. A partir de données de marchés ou historiques, il est possible de calibrerles modèles des actifs ou sous-jacents étudiés et de les projeter. Pour chaque catégorie de titresou d’indices est associé un modèle de projection. Il existe un grand nombre de modèles dans lalittérature qui se caractérisent par leurs niveaux de complexité, leur cohérence avec les situationsde marché (exemples : prise en compte des taux négatifs, phénomène de retour à la moyenne, etc).

Les projections Actif Passif ou Asset Liability Management (ALM) s’effectuent dans deux prin-cipaux cadres : déterministe et stochastique. La base d’un scénario déterministe est que la trajec-toire est tout simplement définie d’avance. La construction de ces scénarios se base sur des donnéeshistoriques qui pourraient refléter un comportement de marché comme par exemple le scénario dela crise de 2008/2009. Une unique trajectoire est alors projetée sur la période d’étude. Ces scénariosdéterministes peuvent par exemple être utilisés dans le cadre de travaux d’allocation stratégiquepour tester la résilience de différentes allocations dans des conditions de marché stressées. Les scé-narios stochastiques s’appuient sur l’utilisation d’une modélisation des différents actifs à projeter. Ilne s’agit plus d’étudier les conséquences d’une unique trajectoire mais d’observer le comportementdu bilan dans un nombre fini de scénarios construits sur la base d’un aléa et calibrés suivant deshypothèses de volatilité, de corrélation, etc.

L’évaluation des scénarios repose sur l’utilisation d’une probabilité de référence. On dis-tingue les projections utilisant une probabilité historique (univers de projection appelé « RealWorld/Monde Réel ») de celles qui s’appuient sur la définition d’une probabilité risque-neutre.L’option Real World est employée pour estimer des rendements de portefeuilles d’actifs, obtenirdes distributions de pertes et calculer des quantiles. Cette configuration tient compte de la primede risque de l’actif sous-jacent, c’est-à-dire le surcroît de rendement du titre par rapport au tauxsans risque. A l’inverse, l’approche risque neutre comme son nom l’indique revient à projeter desactifs dont le rendement est égal au taux sans risque (sans prime de risque). Elle est appliquée pourvaloriser des actifs (produits dérivés par exemple) ou des postes du bilan (Best Estimate Liabilitiespar exemple) tout en respectant les caractéristiques de « market-consistency » et de « martingalité ».Dans les compagnies d’assurance et de réassurance, la réglementation Solvabilité II exige l’utilisa-tion des générateurs de scénarios économiques stochastiques risque-neutres market-consistent.

Le niveau des taux d’intérêt est un des facteurs de risque les plus déterminants dans lesétudes ALM. En effet, les taux conditionnent l’ensemble des valeurs des obligations ainsi que dessous-jacents de taux lors de la projection du bilan. De plus, l’actualisation des différentes valeursdes produits de l’actif et du passif se base sur la courbe des taux. Enfin, le comportement des assu-rés et des assureurs et les options liées au contrat épargne (exemple du contrat garantie plancher)sont en partie liés au mouvement des taux et autres indicateurs financiers.

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Dans ce mémoire, nous allons étudier la modélisation des taux en univers risque-neutre.

Le GSE utilisé par Natixis Assurances permet de générer trois types de taux : les taux no-minaux, les taux réels et les taux d’inflation. Le taux nominal représente le taux convenu et payédans le cadre d’un emprunt. L’inflation est la perte du pouvoir d’achat de la monnaie qui se traduitpar une augmentation générale et durable des prix. « C’est en déduisant cette variation de pouvoird’achat de l’intérêt nominal payé ou reçu que l’emprunteur ou l’épargnant pourrait déterminer lesintérêts réels qu’il a payés ou perçus sur son prêt ou sur son épargne » [2].

Le contexte économique actuel et notamment le niveau très bas des taux a remis en cause desthéories et pratiques existantes et a entraîné une réflexion profonde sur les scénarios économiques.Dans ce mémoire, nous étudierons l’impact que pourrait avoir la modélisation des taux nominauxen termes de dynamique de diffusion et de calibrage sur les indicateurs du bilan économique SII.

Après avoir exposé le fonctionnement du GSE et l’intégration des scénarios de taux nominauxdans le processus ALM, deux modèles de taux relativement différents seront présentés : le modèleHull and White à deux facteurs et le Libor Market Model Plus. Enfin, l’impact du choix de modèleet de son calibrage sur les scénarios de taux nominaux et leurs conséquences dans l’évaluation desrisques Solvabilité II d’une compagnie d’assurance.

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Chapitre I

Générateur de scénarios économiques et tauxnominaux

I.1 Principes du générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A. Classes d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14B. Modèles de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

a) Définition des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16b) Simulation des modèles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17c) Calibrage des modèles et validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

C. Diffusion des classes d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21D. Intégration du GSE dans le processus ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I.2 Projection des taux nominaux en univers risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . 24A. GSE et Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24B. Principe des projections risque-neutres market consistent . . . . . . . . . . . . 25

a) Martingalité des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26b) Market consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27c) Ecart de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

C. GSE et projection de taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28a) Courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28b) Composantes de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29c) Options et dérivés de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

D. Diffusion des taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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I.1 Principes du générateur de scénarios économiques

Afin d’établir le bilan économique Solvabilité II, il est nécessaire de projeter les différents fluxdu bilan que sont les contrats (rachat, versement supplémentaire, etc) et les actifs (performance,dividende, réinvestissement, etc.). La projection des actifs se fait par l’intermédiaire de scénarioséconomiques. Un générateur de scénarios économiques (GSE) est donc un outil qui permet deprojeter les différents types d’actifs du bilan d’une compagnie d’assurance sur un horizon d’étude.Il s’appuie sur des modèles mathématiques de diffusion qui sont calibrés à partir de données demarché à date de calcul ou historiques. Les scénarios économiques font partie des nombreux inputsdes modèles ALM et ils sont au coeur des interactions actif passif. Le GSE nécessite un travail defond important en amont de sa configuration :

− les différents indices de projection sont définis et rattachés aux actifs du portefeuille ;

− les modèles de projection sont établis selon le type de projection réalisé (Real World ou RisqueNeutre)

− les différentes données de marché sur les titres sont à récupérer pour permettre le calibragedes modèles et leur diffusion.

FIGURE I.1 – Principes de fonctionnement du GSE

A. Classes d’actifs

Dans un premier temps, il est essentiel de définir les classes d’actifs qui seront projetées par leGSE. Le portefeuille d’actifs d’une compagnie d’assurance est constitué de titres divers avec chacunleurs caractéristiques propres. Il est impossible de proposer une diffusion unique pour chaque ligned’actifs en portefeuille. Toutefois, ces titres peuvent être regroupés en un nombre de classes limité.Chaque classe regroupe des actifs financiers qui partagent des caractéristiques communes et quiseront diffusés de la même manière par le GSE.

Les actifs financiers peuvent se diviser en deux grandes catégories distinctes que sont les actifsdiversifiés et les produits de taux 1. Un actif diversifié correspond à une détention de part d’actions,de fonds, de titres immobiliers, de matières premières, etc. Un actif obligataire est un titre de dette :un émetteur emprunte une certaine somme en échange d’un remboursement à l’échéance, à termeéchu ou à échoir. Des produits plus complexes tels que les puts, calls ou les swaps sont égalementdétenus par les compagnies d’assurance.

1. L’évaluation du niveau de liquidité ou de l’évolution de la qualité de crédit constitue une part importante desprojections en Assurance mais ne seront pas l’objet de l’étude.

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La projection des actifs diversifiés s’effectue par la diffusion de la performance d’un indicerattaché à la classe d’actifs. Cette performance est souvent étudiée comme un sur-rendement parrapport au taux sans risque (rendement obtenu avec un risque de perte presque nul). Une partiedes performances d’un actif diversifié peut être le produit d’un revenu récurrent comme les divi-dendes (part des bénéfices d’une entreprise cédé à ses actionnaires) ou les loyers. La projection deces rendements supplémentaires peut également être ajoutée dans le but de représenter au mieuxle comportement de l’actif sous-jacent.

La projection des actifs obligataires se fait par le biais de la diffusion des taux nominaux pourles obligations classiques et des taux réels dans le cadre des obligations indexées sur l’inflation surla période de projection. Une courbe des taux permet à chaque pas de temps de recalculer les fluxde l’obligation et de déterminer son prix de marché. Pour rappel, sa valeur de marché en t, notéeVm(t), est calculée de la manière suivante :

Vm(t) =T∑

i=t+1

Flux(i)

(1 +R(t, i))(i−t) , (1)

avec le flux de l’obligation à chaque instant représenté par la fonction Flux et R(t, i) la valeur dutaux d’actualisation en t pour la maturité (i-t).

Ce découpage binaire est insuffisant pour rendre compte de la complexité du portefeuilled’actifs. En effet, parmi les actifs diversifiés, il semble évident que des actions n’ont pas le mêmecomportement que des actifs immobiliers. Une action implique souvent une volatilité importanteet des rendements importants tandis que les fonds immobiliers sont caractérisés davantage par desrevenus récurrents sous forme de loyer avec peu de volatilité des prix. Ces deux types d’actifs nepeuvent donc pas être projetés de la même manière dans le générateur de scénarios économiques etn’appartiendront pas à la même classe d’actifs. En effet, une classe d’actifs contient un ensemble detitres aux caractéristiques et aux comportements homogènes. Chez Natixis Assurances, la définitionde 10 classes d’actifs a été validée et utilisée dans les différentes projections. Le tableau suivant estun récapitulatif des classes d’actifs retenues dans les projections ALM dont il sera question dans lasuite de ce mémoire 2.

FIGURE I.2 – Classification d’actifs et modélisations retenues par Natixis au 31/12/2017

2. SVJD : Stochastic Volatility Jump Diffusion, B&S : Black and Scholes, EBK2F : Extended Black Karasinski à deuxfacteurs, LMM+ : Libor Market Model Plus, V2F : Vasicek à deux facteurs

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Un enjeu en amont des scénarios économiques est de créer cette table de données qui détaillele portefeuille d’actifs en associant chaque titre à une classe spécifique et de récolter les informa-tions suffisantes à sa diffusion.

La définition des modèles de projection associés à chacune des classes est essentielle dans leprocessus ALM. Dans la suite, nous allons développer la modélisation des indices économiques.

B. Modèles de diffusion

a) Définition des modèles

Dans le cadre de scénarios stochastiques, la projection des différents indices se fait par lebiais de modèles mathématiques. Un modèle de diffusion se définit d’une manière générale parune équation différentielle stochastique de la forme suivante (EDS au sens de processus d’Itô [3]) :

dXt = f(Xt, t)dt+ g(Xt, t)dWt,

avec : X un processus aléatoire, W un mouvement brownien et f et g deux fonctions telles quele processus {f(Xs, s), s ≥ 0} est un processus FWt -adapté et

∫ t0 |f(Xs, s)|ds < ∞ p.s et telles que

{g(Xs, s), s ≥ 0} est un bon processus local 3.

Les modèles de taux utilisés dépendent de l’objectif recherché. Certains modèles simplescomme le modèle de Vasicek peuvent satisfaire à une volonté de projection simplifiée des taux.Des modèles comme le Libor Market Model sont très complexes et permettent de rendre davantagecompte du contexte de marché. Pour les actifs risqués, le modèle le plus simple est le modèle deBlack & Scholes avec l’utilisation d’une volatilité constante plutôt que d’une dépendance tempo-relle ou stochastique. Si nécessaire pour plus de finesse dans la diffusion des actifs (par exempleles actions directionnelles), des modèles plus complexes comme les modèles de Merton, Heston ouStochastic Volatility Jump Diffusion 4 (SVJD) sont utilisés.

Les modèles disponibles sont exhaustifs et sont plus ou moins adaptés en fonction de laconfiguration du GSE et/ou du profil de risque de la compagnie. Le choix de ces modèles est doncun pilier majeur dans la conception d’un GSE. A noter que les actifs diversifiés sont projetés souventcomme un sur-rendement par rapport au taux nominal projeté ce qui suppose une corrélationentre les différents indices. Pour rappel, la structure de diffusion des différents indicateurs estschématisée comme suit.

FIGURE I.3 – Principes de fonctionnement du GSE

3. On dit que {θs, s ≥ 0} est un bon processus local si il est FWt -adapté et E[∫ t

0θ2sds

]<∞ , ∀t ≥ 0

4. Modèle de Heston et de Merton combiné : volatilité stochastique (CIR) et processus à saut

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Les modèles stochastiques utilisés dans la diffusion d’indices financiers nécessitent l’utilisa-tion de variables aléatoires (pseudo- aléa) et de méthodes d’évaluation.

b) Simulation des modèles stochastiques

Création d’un pseudo-aléa

L’utilisation d’un mouvement brownien dans la diffusion des actifs dans le cadre des pro-jections stochastiques implique la configuration d’un ou plusieurs aléas. Un mouvement brownien(Wt)t≥0 est défini par les propriétés suivantes :

− (Wt)t≥0 est continu et W0 = 0

− ∀t ≥ 0, Wt est normalement distribué de moyenne 0 et de variance t ie Wt ∼ N(0, t)

− ∀t, s ≥ 0 l’accroissement Wt+s −Ws ∼ N(0, t) est indépendant du processus avant la date s.

Afin de construire le mouvement brownien rattaché à la diffusion d’un processus aléatoire, ilest nécessaire de générer un nombre aléatoire de loi normale N(0, 1). Le GSE de Moody’s Analyticsutilise une génération de pseudo aléas développée par Wichmann & Hill (W&H) en 1982 [4].La méthode W&H utilise trois générateurs multiplicatifs. Chaque générateur créé une séquenced’entiers positifs tel que :

Xk,i = (a×Xk,i−1) mod m ,

avec Xk,i la variable produite à la i-ème iétration pour le k-ème générateur, a ∈ N∗ et m ∈ N et X0

la graine de l’aléa.

Les valeurs retenues pour a et m pour les différents générateurs sont résumées dans le tableauconformément à ce qui est précisé par Whichmann & Hill :

Générateur a mX1,i 171 30269X2,i 172 30307X3,i 170 30323

TABLE I.1 – Générateurs de Wichmann utilisés dans le GSE

Le choix des différentes graines utilisés Xk,0 va donc influer sur la projection. Dans le mé-moire, l’ensemble des graines a été prédéfini et gardé stable au cours de l’étude.Finalement, le nombre aléatoire est obtenu en sommant les trois précédents pseudo-aléas de lamanière suivante :

Ri =

(X1,i

m1+X2,i

m2+X3,i

m3

)mod 1

L’aléa finalement créé est distribué uniformément entre 0 et 1 i.e Ri ∼ U(0, 1). Dans legénérateur de Moodys, cette variable aléatoire est générée de telle manière que pour chaque actifou variable projetée les aléas soient indépendants. L’algorithme de Box-Muller [5] est ensuite utiliséafin de transformer l’aléa uniformément distribué en un nombre aléatoire normalement distribué.En utilisant deux variables aléatoires de Wichmann & Hill R1 et R2, il est possible de construiredeux variables N1 et N2 de loi normale N(0, 1) de la façon suivante :

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N1 =√−2× ln(R1)× cos(2πR2)

N2 =√−2× ln(R1)× sin(2πR2)

Cependant, les sorties d’un tel générateur ne sont pas entièrement aléatoires ; elles s’ap-prochent seulement des propriétés idéales des sources complètement aléatoires.

Simulation par Monte-Carlo

L’ensemble des calculs stochastiques effectués dans les études ALM s’appuient sur les estima-teurs de Monte-Carlo. La simulation de Monte-Carlo est une méthode d’estimation d’une quantiténumérique qui utilise des nombres aléatoires. En assurance, l’espérance de la valeur des résultatsou des flux économiques futurs est une donnée essentielle qu’il est possible d’approcher via unemoyenne de ces valeurs sur l’ensemble des scénarios projetés. Le principe de calcul d’une moyennede Monte Carlo de h(X) est décrit par l’algorithme suivant :

Calculer une moyenne de Monte Carlo pour h(X) : E[h(X)]

Choisir une grande valeur de Nfor i = 1...N do

Simuler xi selon la loi de Xend forCalcul de la moyenne : m = 1

N

∑Ni=1 h(xi)

Calcul de la dispersion : σ = 1n−1

∑Ni=1(h(xi)− m)2

Cependant, une limite opérationnelle mais également théorique dans le nombre de scénariosempêche d’obtenir une valeur parfaitement stable des valeurs moyennes observées. Des techniquesde réduction de la variance permettent d’augmenter la précision des estimations qui peuvent êtreobtenues avec un certain nombre de simulations. L’utilisation de variables antithétiques est uneméthode de réduction de la variance utilisée dans le cadre de notre GSE.

Variables antithétiques

Afin d’améliorer la convergence des tests de validation tout en conservant un nombre limitéde scénarios par jeu, les trajectoires générées sont deux à deux antithétiques. Cette propriété s’ex-plique par la symétrie des distributions des variables antithétiques qui engendre une réduction dela variance lorsque les variables sont corrélées négativement. A noter que cette configuration né-cessite la production de variables paires et donc N est ici un entier naturel pair (N2 utilisé par lasuite est donc entier).Si Z = X+Xa

2 avec X et Xa deux variables aléatoires antithétiques avec X =∑N

i=1Xi et Xa =∑Ni=1X

ai alors :

V ar(Z) = V ar(X +Xa

2) =

1

4(V ar(X) + V ar(Xa) + 2× Cov(X,Xa))

Si Cov(X,Xa) < 0, alors V ar(Z) < 14(V ar(X) + V ar(Xa)) qui est la variance que nous aurions

obtenue avec 2N répétitions (d’une seule variable aléatoire) pour estimer Z. Sur un jeu de N scéna-rios, nous aurons N/2 paires de scénarios antithétiques.

Dans le cadre de la validation des scénarios économiques, il est question de construire desécarts-types et donc de calculer des variances. Or, le calcul de variance impose que les variables

18


aléatoires considérées soient indépendantes ce qui n’est pas le cas pour les variables antithétiques.En effet, si Zi = Xi pour i ∈ [1, N/2] et Zi = Xa

i pour i ∈ [N/2 + 1, N ], les Zi ne sont pas indépen-dants. On ne peut donc pas calculer directement V ar(Z) = V ar(

∑Ni=1 Zi). Cependant, les couples

de variables antithétiques sont indépendants.C’est sur les couples de scénarios que nous allons raisonner. Dans la suite, nous allons donc consi-dérer Zi =

Xi+Xai

2 pour i ∈ [1, N/2]. Nous avons alors pour chaque pas de temps :Zmoyen(t) = 1

N

∑N2i=1(Xi(t) +Xa

i (t))

Zecart−type(t) =

√1

N2−1

∑N2i=1

(12(Xi(t) +Xa

i (t))− Zmoyen(t))2

A noter que l’utilisation de variables antithétiques permet d’atteindre un niveau stable pourle calcul du Best Estimate à 1 000 scénarios.

c) Calibrage des modèles et validation

Résolution du problème d’optimisation

Les modèles de diffusion se caractérisent par des variables à déterminer à partir de diffé-rentes informations de marché sur les produits concernés. Il s’agit par exemple de reproduire unedonnée de marché ou un historique de rendement. Le calibrage se fait à partir de produits finan-ciers liquides sur le marché comme les swaps pour les options de taux ou les puts pour les optionsde vente sur les actions. L’objectif est de répliquer au mieux les données de marché par le biais dumodèle. Cette condition revient à résoudre le problème d’optimisation suivant :

Problème d’optimisation : argminα∈Rn

f(X,α) ,

avec f la fonction d’optimisation, α le vecteur des différents paramètres du modèle à estimer et Xles données utilisées pour résoudre le problème.

Remarque : L’ajout d’une ou plusieurs contraintes d’optimisation est souvent le cas. Par exemple,dans le cas de modèle de diffusion n’acceptant pas la génération de nombres strictement négatifscomme le CIR, une condition sur les paramètres du modèle doit être ajoutée au problème d’opti-misation (condition de Feller [6]).

Nous développerons ici uniquement le principe d’algorithme d’optimisation de Levenberg-Marquardt utilisé dans les futurs calibrages réalisés ; le but de ce mémoire n’étant pas d’amélio-rer le processus d’optimisation pour le calibrage des modèles étudiés. L’algorithme de Levenberg-Marquardt est une amélioration de la méthode classique de Gauss-Newton dans la résolution desproblèmes de régression non-linéaire des moindres carrés. La méthode est présentée en détail dansMoré (1977) [7]. Dans le cadre de l’étude, le problème d’optimisation correspond davantage à lastructure suivante :

argminα∈Rn

N∑j=1

ωj

∥∥∥Xdataj (m)−Xmodele

j (m,α)∥∥∥2

, (2)

avec Xj les différents instruments financiers sur lesquels est basé le calibrage, ωj le poids accordéà chaque évaluation, α le vecteur des paramètres à estimer et l’indice j correspond aux différents

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produits financiers étudiés. La mesure ‖...‖2 retenue est la norme euclidienne. A noter qu’il est pos-sible de s’intéresser également aux variations relatives des sous-jacents étudiés plutôt qu’aux écartsabsolus.

L’algorithme de Levenberg-Marquardt (LM) peut être vu comme une régularisation de l’al-gorithme de Gauss-Newton, en particulier lorsque la jacobienne de F n’est pas de rang plein [8].Prenons xk l’itéré courant. Comme pour la méthode de Gauss-Newton, on remplace, au voisinagede xk, le problème de moindres carrés non linéaires par le problème suivant (avec F la fonction-nelle du problème d’optimisation et JF la jacobienne associée à F ) :

minα∈Rn

1

2‖F (xk) + JF (xk)(α− xk)‖22 (3)

mais en ajoutant cette fois-ci la contrainte : ‖α− xk‖2 < ∆k. Le paramètre ∆k > 0 est appelé rayonde la région de confiance. A chaque itération, le problème initial est remplacé par le problèmequadratique composé du problème exposé dans l’équation (3) et de la contrainte précédente. Fi-nalement, en utilisant le lagrangien, on peut montrer que l’algorithme LM peut se résumer par ledescriptif ci-dessous :

Algorithme de Levenberg-Marquardt

Données : F fonction différentiable, x0 point initial, ε > 0 précision demandée.Sortie : une approximation de la solution du problème de moindres carrés :

argminα∈Rn

f(α) = 12F (α)>F (α)

1. k :=0 ;2. Tant que (critère d’arrêt à définir)

(a) Calcul d’une direction de recherche : calculer dk solution de :

(JF (xk)>JF (xk) + λI)dk = −JF (xk)

>F (xk)

(b) xk+1 = xk + dk ;(c) Mise à jour du paramètre λ ;(d) k := k + 1;

3. Retourner xk.

Le modèle est calibré correctement lorsque l’écart entre les valeurs de marché et les valeursrépliquées par le modèle est suffisamment faible pour être acceptable (une exactitude quant à laréplication des données est impossible dans la pratique). Ceci est représenté par la condition 2.dans l’algorithme de Levenberg-Marquardt exposé ci-dessus.

Validation du calibrage

Comme l’expose F. Planchet [9], outre la capacité à reproduire des données de marché avecprécision, le modèle doit refléter le comportement des actifs financiers en captant leurs principalescaractéristiques (représentativité). De même, les différents scénarios générés devront être plau-sibles et raisonnables. Cela passe par l’étude de la forme de la distribution et des corrélations desdifférentes variables du modèle. Par exemple, le contexte économique actuel suggère la modélisa-tion de taux négatifs ce qui ne permet pas de valider des modèles comme le Cox Ingersoll-Ross quidu fait de sa construction ne génère que des taux positifs.

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En fonction de l’univers de projection, différentes propriétés de la diffusion doivent êtreégalement validées. Les projections risque neutres doivent vérifier la martingalité et la market-consistency. Les projections Real World doivent quant à elles reproduire des niveaux de perfor-mances d’actifs. Ces tests seront détaillés dans les parties suivantes.

C. Diffusion des classes d’actifs

La diffusion des actifs s’appuie sur l’utilisation de variables de diffusion qui sont des donnéesrelatives à chaque classe. La qualité de cette donnée est un élément essentiel dans la projection desactifs en termes d’évaluation de la performance mais également pour les management rules 5 liésaux actifs ou encore l’application des chocs S2 de la formule standard.

Les actifs diversifiés sont ici projetés par un indice de performance et le montant total en por-tefeuille et la valeur de marché totale de la poche suffisent à la projection. Des informations sur letype d’actions sont nécessaires dans le cadre de l’application des chocs SII de la formule standard.En effet, Solvabilité II distingue plusieurs types d’actions selon le niveau de risque du titre sous-jacent 6. Des données sur la sensibilité et la duration peuvent être nécessaires pour certaines classesd’actifs diversifiés soumis à des chocs de taux. C’est par exemple le cas des OPCVM Obligatairesdéfinis comme une classe d’actifs diversifiés chez Natixis Assurances (rappel des classifications enFigure I.2).

Les actifs obligataires nécessitent de nombreuses informations. Une obligation se détached’un actif diversifié du fait de la connaissance des flux dès l’achat du titre hormis les évènementsde crédit. En effet, une obligation à taux fixe simple se caractérise principalement par un nominal,une date d’achat et une date de maturité, la valeur de son coupon, le remboursement unitaire i.ele pourcentage du nominal qui est récupéré à maturité. Les informations sur l’émetteur, sa qualitéde crédit (notation Standard & Poors ou Moodys) ou encore le macro-secteur (segmentation réali-sée sur de grands ensembles économiques à partir de critères macro-économiques) sont égalementimportants. Dans le cadre de la formule standard, les informations sur la qualité de crédit ou la du-ration des titres obligataires sont nécessaires. Un découpage de ces actifs entre obligations d’Étatset de sociétés est également pris en compte pour le calcul des chocs de la formule standard. Pourle cas des obligations à taux variable, le taux de référence doit être connu parmi les indices de tauxclassique comme l’EURIBOR, l’OAT 7 par exemple.

Ces informations relatives aux différents titres du portefeuille vont permettre une fois la dif-fusion effectuée par les modèles des indicateurs d’adapter la projection des titres à des spécificitésindividuelles.

D. Intégration du GSE dans le processus ALM

Un modèle ALM est un outil informatique permettant la projection des flux de l’actif et dupassif d’une institution financière. Il propose des prévisions de cash flows et provisions associéesaux portefeuilles de contrats, aux actifs des différents fonds comptables, aux chargements, fraisgénéraux et commissions, aux traités de réassurance, etc. Il prend en compte certaines règles de

5. Décisions validées par le Management et appliquées dans les projections6. Les différents types d’action sont définis dans les article 168 à 172 du règlement délégué7. Obligations Assimilables du Trésor français

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gestion de l’entreprise comme la stratégie d’investissement, la politique de participation aux béné-fices, la politique de distribution des dividendes. L’évolution des pratiques et des normes de gestiondes risques (Solvabilité II) ou encore d’évaluation du compte de résultat (IFRS) place ces modèlesau cœur des processus de pilotage financier de l’entreprise.

En plus des scénarios économiques produits par le GSE, le modèle ALM a besoin de nom-breuses hypothèses et de tables de projection en input pour le calcul des indicateurs de solvabilitédont :

− les tables de scénarios : économiques, mortalité, rachats ;

− les Model Point d’actif : pour chaque titre, Valeur de marché (VM), Valeur Nette Comptable(VNC), rendement, maturité, périodicité. . .

− les Model Points de passif : pour chaque contrat, Provisions Mathématiques (PM), prime, âge,taux garanti. . .

− les caractéristiques des produits : chargements, commissionnement, frais, rétrocessions. . .

− le niveau des provisions générales : Provisions pour Risque d’Exigibilité (PRE), ProvisionsGlobale de Gestion (PGG), . . .

− les données historiques potentiellement utilisées dans le modèle ;

− le paramétrage des lois comportementales (rachats, revalorisations, stratégie financière. . . ) ;

− les informations réglementaires : taux d’impôts, règle de Participation aux Bénéfices (PB) mi-nimum, condition de PRE.

Le processus de calcul du modèle ALM est illustré simplement dans le schéma suivant :

FIGURE I.4 – Schématisation du processus de fonctionnement modèle ALM

Les scénarios économiques permettent de projeter le rendement des portefeuilles d’actifs, etainsi déterminer la participation aux bénéfices reversée aux assurés pour des contrats d’épargne et

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de retraite. Ils permettent également par le biais des taux d’actualiser les différents flux à chaqueinstant de la projection. Certaines options associées à des contrats d’épargne rendent plus com-plexes l’évaluation de ces garanties par l’intervention du contexte économique déterminé par lesscénarios économiques. A titre illustratif, nous allons présenter succinctement deux exemples decomposantes du passif où les scénarios économiques interviennent dans leur estimation.

− Les frais sont relatifs au pouvoir d’achat et à la situation économique. La projection de l’infla-tion permet ainsi de prendre en compte cette donnée dans l’évaluation des frais.

− Dans le cas d’un contrat UC avec une garantie plancher, l’estimation de son prix dépend enpartie des valeurs de marché des titres investis et donc de la projection faite par le GSE deces titres.

Bilan :La construction d’un générateur de scénarios économiques repose ainsi sur la détermination de classesd’actifs à projeter. A ces classes sont attribués des modèles de projection dont le calibrage est nécessaire.Des données de marché sur les titres sont également requises pour une diffusion complète des facteursde risque de marché.Le GSE est au coeur du processus ALM et des interactions actif passif. Nous allons voir maintenantque la directive Solvabilité II requiert une configuration particulière du GSE basée sur les projectionsrisques-neutres.

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I.2 Projection des taux nominaux en univers risque-neutre

A. GSE et Solvabilité II

La directive Solvabilité II, adoptée en 2016, a été élaborée pour améliorer l’évaluation et lecontrôle des risques et modifie en profondeur le régime prudentiel applicable aux organismes d’as-surance. Après Solvabilité I qui prévoyait une marge de solvabilité déterminée de façon forfaitaire(en fonction des provisions mathématiques), la réglementation des assurances passe à des règlesplus complexes intégrant l’évaluation des risques par le biais du Solvency Capital Requirement(SCR) et d’une marge pour risque. Pour rappel, la marge pour risque constitue le coût d’immobi-lisation du capital de solvabilité requis. Le schéma suivant illustre l’évolution du bilan comptablesimplifié de SI vers SII.

FIGURE I.5 – Evolution du bilan de Solvabilité I vers Solvabilité II

Les études ALM reposent sur le calcul de ces données que sont le Best Estimate (BE) et leSolvency Captial Requirement (SCR), exposées dans la Figure I.5. Le Best Estimate correspond àl’évaluation des flux de passif de l’assuré actualisés tout au long de la projection. Dans le cadre de laformule standard, le SCR correspond à l’évaluation du capital requis pour faire face aux différentsrisques identifiés dans la directive Solvabilité II. Il se calcule comme le delta de Net Asset Value 8

entre la situation centrale et une situation stressée dans laquelle un choc sur le risque sous-jacentest effectué. Une notion importante également avec Solvabilité II est la réserve de réconciliation(RR). C’est un élément de fonds propres éligible à la couverture du SCR qui est la résultante del’écart entre les provisions comptables (French Gaap : FG) et la provision économique SII. Son cal-cul peut être résumé de la manière suivante :

RR = (ActifSII −ActifFG)− (PassifSII − PassifFG).

8. Évaluation des fonds propres économiques - défini par la relation MV = NAV + BE

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Parmi les risques les plus conséquents en assurance vie, on retrouve le module de risque demarché. « Le risque de marché désigne le risque de perte ou de changement défavorable de lasituation financière résultant, directement ou indirectement, de fluctuations affectant le niveau dela valeur de marché des actifs, des passifs et des instruments financiers » [10]. Les grands risquesde marché en « Formule Standard » sont les suivants :

− Le risque action : évaluation du capital pour faire face à une baisse des marchés action ;

− Le risque de taux : évaluation du capital dans un scénario de hausse ou baisse des taux ;

− Le risque immobilier : évaluation du capital pour faire face à une moins value latente desactifs immobiliers ;

− Le risque de spread : évaluation du capital pour faire face au risque issu des spreads de créditpar rapport à la structure par terme du taux sans risque ;

− Le risque de concentration : évaluation du capital pour faire face au risque d’expositions à unmême émetteur ;

− Le risque de change : un capital est constitué pour faire face à la variation défavorable ducours de change d’une devise sur laquelle l’assureur est exposée ;

Les différents chocs définis dans le cadre de la formule standard nécessitent que le GSE etle modèle ALM prennent en compte ces éléments en entrée. En ce qui concerne les scénarios éco-nomiques, il est nécessaire de créer des scénarios pour le choc à la hausse et à la baisse des taux.Dans ces scénarios de taux, la courbe des taux est modifiée ce qui nécessite un « recalibrage » desmodèles de diffusion des taux.

La réglementation Solvabilité II exige une valorisation en valeur de marché (market consis-tency) des engagements de l’assureur, aussi bien en modèle interne qu’en formule standard. Lacomplexité de ces engagements et placements, présents au bilan des acteurs du monde de l’assu-rance, impose le recours à un GSE risque neutre afin de pouvoir les valoriser en valeur de marché[11].

B. Principe des projections risque-neutres market consistent

« Dès lors qu’il s’agit de valoriser un passif d’assurance, on ne peut éviter aujourd’hui de setrouver confronté à des assertions péremptoires contenant le terme « risque neutre » ; le recours àla « probabilité risque neutre » est devenu le gage de crédibilité et de sérieux des actuaires inter-venant sur les problématiques de détermination de la valeur intrinsèque (embedded value), d’IFRSet de Solvabilité II. Mais que recouvre cette notion? Sa pertinence est-elle toujours avérée? » [12]

La risque-neutralité implique que tous les actifs, et toutes les stratégies d’investissements,rapportent le taux sans risque. En assurance vie, les contrats épargne notamment en unités decompte évoluent et se voient de plus en plus étudiés comme des options financières. Par exemple,la garantie plancher peut être vue comme l’expression d’une combinaison de puts. Une méthoded’évaluation financière s’appuyant sur le calcul de l’espérance actualisée sous la probabilité risqueneutre et non plus sous la probabilité historique des flux semble légitime.

Le calcul des « valeurs économiques » repose sur l’hypothèse centrale d’absence d’opportunitéd’arbitrage qui conduit à modéliser les facteurs de risque sous une probabilité risque neutre [9]. Entermes mathématiques, un actif S sous la probabilité risque neutre Q suit la propriété suivante :

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EQ [P (t, T )ST |Ft] = St (4)

Avec P (t, T ) le prix du zéro-coupon à l’instant t et d’échéance T appelé « déflateur », ST le prix del’actif à la date T et Ft la filtration associée aux informations de marché en t.

Les projections risque neutres exposées dans le cadre de SII doivent vérifier les propriétés demartingalité et de market consistency que nous allons maintenant développer.

a) Martingalité des actifs

Le test Martingale a pour objet de vérifier qu’à chaque instant de projection t, le prix actualisédes actifs est égal au prix en date initiale. Il s’applique aux différentes classes d’actifs projetés ycompris les prix des obligations zéro-coupons. Le caractère martingale se traduit par la propriétésuivante :

EQ[StDt] = S0 (5)

Avec St le prix de l’actif considéré en date t ; S0 le prix de l’actif en date initiale et Dt le déflateur endate t. Pour N scénarios générés, le calcul de l’espérance peut être approchéé par son estimateur :1N

∑Ni=1 S

(i)t D

(i)t . On note cette somme St. L’exposant (i) représente la i-ème itération de scénarios

diffusés. Ici, la réalisation du test martingale sera effectuée à un niveau de confiance à 95% (lechoix d’un seuil d’erreur de 5% sera conservé dans la suite de l’étude). En effet, en pratique, il estconsidéré qu’un scénario respecte le critère de martingalité si le test statistique suivant est vérifié :{

H0 : St = S0

H1 : St 6= S0.

L’intervalle de confiance associé à la statistique de ce test est défini de la façon suivante :

S0 ∈ [St ±1.96√N×√St] (6)

Graphiquement, le test de martingalité exposé par l’équation 6 sera représenté de la manière sui-vante tout au long du mémoire - cas ici du test de martingalité du prix de l’obligation zéro-coupon30 ans.

FIGURE I.6 – Prix ZC 30 ans - Test graphique de la martingalité en fonction du pas de temps de projection

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Une vérification quant aux niveaux absolus des prix actualisés obtenus tout au long de laprojection doit être effectuée. Toutefois, cette analyse reste subjective en ce sens qu’il n’existe pasde méthode pour quantifier ce niveau.

b) Market consistency

Le critère de market consistency est une exigence explicite de la directive Solvabilité II. Lecaractère market consistent est respecté s’il est possible de retrouver les prix de marché observés àdate de de projection dans l’univers de valorisation. Parmi ces informations de marché, on retrouveles courbes de taux, les prix d’actions, les spreads de crédit obligataires, les prix d’options listées,etc. Cette approche permet de fournir une juste valeur qui soit cohérente avec les valeurs et lerisque de marché. Dès lors, un test de market consistency doit être réalisé sur l’ensemble des prixdes options et sous-jacents.Un test de market consistency peut être construit sur le même principe que le test de martingalitéen vérifiant le problème suivant : {

H0 : Zt = Zmarchet

H1 : Zt 6= Zmarchet .

On peut également construire un intervalle de confiance similaire à celui du test martingalece qui donne un test graphique suivant pour le cas des actions (test sur les volatilités implicites desputs de strike multiplicatif 1.1 9) :

FIGURE I.7 – Test graphique de la market consistency du put de strike multiplicatif 1.1

c) Ecart de convergence

Nous venons de voir que la martingalité et la market consistency doivent être respectéesmême si toutefois dans la pratique, on autorise des seuils d’acceptation pour les différents tests ef-fectués. Dans la théorie, l’égalité entre la valeur de marché des actifs et la somme du Best Estimate(BE) et de la Net Asset Value (NAV) devrait être vérifiée. Cependant, un écart est constaté dans lessimulations. Cet écart est appelé « fuite économique » : VM = NAV +BE + Fuite.

9. Correspond à un strike égal à 1.1 fois le prix du sous-jacent S observé : Strike = S0 × 1.1

27


Afin d’équilibrer le bilan économique, la fuite doit être distribuée sur les différents postesdu passif, c’est-à-dire entre la NAV et le BE. La fuite économique résulte d’une sous/sur-estimationdes flux d’actif dans les projections. La réallocation de la fuite dans le bilan devrait donc impacterà la fois la NAV et le BE, ce qui militerait pour une ventilation de la fuite au prorata du BE etde la NAV. Afin de vérifier la réalité de ce traitement, nous avons analysé l’évolution du BE etde la NAV lorsque le nombre de scénarios augmente. En effet, nous allons par ce biais améliorerla martingalité et donc diminuer la fuite économique. Ainsi, nous avons pu observer comment ladiminution de la fuite affecte le BE et la NAV. Les résultats de cette étude ont montré que la fuiteest bien réallouée au prorata dans la NAV et le BE ce qui sera effectué dans les futures études de cemémoire.

C. GSE et projection de taux nominaux

Nous avons vu que le générateur de scénarios économiques génère différentes projectionsd’une courbe des taux initiale que cherche à répliquer le modèle de projection utilisé. Le GSEs’appuie donc sur la courbe des taux pour construire les différents sous-jacents de taux (courbe deprix des obligations zéro coupon, etc.) et permettre d’en calculer d’autres comme les dérivés detaux (swaption, floor, cap etc.).

a) Courbe des taux

Une courbe des taux correspond à une représentation graphique des rendements offerts parles titres obligataires d’un même émetteur selon leur échéance, de la plus courte à la plus longue.La courbe des taux la plus commune, et qui sert de référence à l’ensemble du marché obligataired’un pays donné, est celle des emprunts d’État [13].

Il existe différents types de courbes en fonction du sous-jacent représenté : courbe des tauxswaps, courbe des taux sans risques, courbe des taux zéro-coupon, etc. La réglementation Solvabi-lité II précise que lorsque le marché des taux swaps est suffisamment liquide, profond et transpa-rent, la courbe des taux swap doit servir de base à la courbe des taux sans risque. Les taux swapsont définis comme la jambe fixe 10 qu’il faut payer (ou que l’on reçoit) annuellement ou semi-annuellement, contre le paiement d’un taux très court, variable (Euribor 6 mois par exemple) surune certaine durée. Les taux swap correspondent donc à l’anticipation du marché des évolutionsdes taux courts [14].

L’EIOPA publie tous les mois une courbe des taux sans risque utilisée pour l’actualisationdes flux futurs afin d’évaluer le Best Estimate dans le référentiel Solvabilité II. Les taux swap sontconsidérés par l’EIOPA comme la meilleure estimation du taux sans risque Euro. Toutefois, les tauxinterbancaires « overnight » (EONIA) sont systématiquement inférieurs à leurs correspondants jour-naliers (EURIBOR) [15]. Cela signifie que les taux courts contiennent un risque de crédit. Le CreditRisk Adjustment (CRA estimé à 0,10% au 31/12/2017) permet justement de le corriger.

L’algorithme de Smith-Wilson permet à la fois d’extrapoler et d’interpoler une courbe destaux. L’algorithme requiert les données suivantes : le Last Liquid Point (LLP), l’Ultimate ForwardRate (UFR) et l’année de convergence. La structure par termes des taux de l’EIOPA est construitesur la base des swaps annuels de 1 an à 10 ans, le point 12 ans, 15 ans et 20 ans. Si l’on considère

10. Part fixe du contrat à payer

28


des maturités manquantes avant le LLP (20 ans au 31/12/2017), la méthode les calculera. L’extra-polation se fait à partir du LLP et converge en taux forward vers l’ultimate forward rate (4,20% au31/12/2017) atteint à l’année de convergence (60 ans au 31/12/2017). Le graphique ci-dessousprésente l’état de la courbe de taux sans risque EIOPA au 31/12/2017.

FIGURE I.8 – Courbe des taux EIOPA au 31/12/2017 sur 30 ans - sans VA

Les organismes d’assurance peuvent appliquer une « Volatily Adjustment » (VA) ou « correc-tion pour volatilité » sur la courbe des taux d’intérêt sans risque. La VA est pertinente à utiliser pourcalculer la meilleure estimation de leurs engagements. Pour chaque monnaie, cet ajustement estfonction de l’écart entre le taux d’intérêt calculé des actifs inclus dans un portefeuille de référencedans cette monnaie et les taux de la courbe des taux d’intérêt sans risque de référence [16].

b) Composantes de taux

Le titre obligataire le plus classique est l’obligation zéro-coupon. C’est un titre de dette carac-térisé par l’émission d’un nominal au moment de l’achat et par la réception d’un montant à date dematurité ou échéance. Il n’y a donc aucun flux financier au cours de la vie du titre et le rendementde ce dernier ne se fait que par différence entre son prix d’émission et son prix de remboursement.Le prix d’un zéro-coupon de maturité T et de prix de remboursement N correspond ainsi à :

P (t, T ) =N

(1 +R(t, T ))(T−t) , (7)

avec R(t, T ) le taux appelé taux d’intérêt instantané composé. Il représente le taux constant actua-riel de rendement pour lequel le zéro-coupon d’échéance T évalué en t rapportera R à échéance.A noter que la limite du taux instantané, noté r, existe et est appelée taux court. Il vaut :

r(t) = −∂ln(P (t,T ))∂T

∣∣∣T=t

. (8)

Les obligations à taux fixe se distinguent d’une obligation zéro-coupon par un flux régulier(souvent trimestriel ou annuel) de coupons fixés à date d’achat. En reprenant l’exemple précédentmais en ajoutant le flux de coupons de valeur c, le prix de l’obligation à taux fixe est :

P (t, T ) =

T−1∑i=t+1

c

(1 +R(t, i))i−t+

c+N

(1 +R(t, T ))(T−t) . (9)

29


Ainsi, une obligation à taux fixe se décompose comme une obligation zéro-coupon à laquelleest ajoutée des flux liés à la distribution d’un taux de coupon. Il existe également des obligations àtaux variables où la valeur du coupon n’est plus fixe et dépend d’un indice de swap comme l’Euriborou l’OAT 10 ans. La prise en compte également d’un spread de crédit dû au niveau de risque dedéfaut de l’émetteur intervient également dans la construction du prix d’un titre obligataire.

FIGURE I.9 – Échéancier de flux d’une obligation classique (coupon + spread)

Dans le cadre d’une évaluation des flux au cours d’une période ce qui est le cas du BestEstimate, il est important d’actualiser ces flux. Le facteur d’actualisation des flux dans les projectionsest appelé « déflateur ». Dans le cadre d’une approche risque-neutre, les flux annuels sont actualisésau taux sans risque (assimilé au Zéro-coupon 1 mois) cumulés sur l’année. Pour un flux Ft en annéet, le flux actualisé Ft est calculé de la manière suivante :

Ft = Ft ×t− 1

12∏i=0

1(1 +R(i, 1

12)) 1

12

.

Les titres obligataires sont caractérisés par la duration et la sensibilité. La duration se définitcomme la durée moyenne de versement des flux d’un instrument financier. Toutes choses étantégales par ailleurs, plus la duration est élevée, plus le risque est grand. Dans le cas des obligationsà taux fixe, le calcul de la duration s’effectue par le biais de la formule suivante pour le cas d’unsous-jacent de flux P [17] :

Duration =1

P

T∑t=1

t× Ft(1 +R(0, t))i

.

La sensibilité représente l’opposé de la variation du prix à une variation unitaire des taux.Elle est également liée à la duration par la relation suivante :

Sensibilite = − 1

P

∂P

∂R=Duration

1 +R.

30


c) Options et dérivés de taux

Les compagnies d’assurance disposent souvent d’options financières de couverture des tauxnotamment à la baisse (cas du floor). Il est important pour la compagnie d’assurance de se couvriren prévision de mouvements de marché (par exemple une baisse des taux). De plus, ces optionsde taux sont également importantes dans l’étape de calibrage des modèles de taux. Pour satisfairenotamment le critère de market consistency, l’évaluation des paramètres du modèle de taux passepar des produits liquides de taux que sont les swaps, swaptions, caps, floors.

Contrat forward

Un contrat forward est simplement un accord entre deux parties pour acheter ou vendre unactif à une date ultérieure, pour un prix fixé à l’avance. Dans le cas des taux, il correspond à l’achatd’un taux fixe, connu dès la date de signature en échange de la vente d’un taux qui prévaudra aumoment où commence le contrat (date de valeur), pour une période donnée (date d’échéance). Cetype de contrat prend fréquemment dans la pratique le taux Libor ou Euribor 11 pour hypothèse. Onnote ce contrat forward : Forward Rate Agreement (FRA). Le flux terminal du FRA pour la période(T1, T2) est donné en pourcentage du nominal par :

X =(R(T1, T2)−K)(T2 − T1)

1 +R(T1, T2)(T2 − T1),

avec T1 < T2 et K le taux fixe échangé contre le taux variable.

Calcul du taux forward instantané : Soit T0 = 0 < T1. . . < TM une série de M+1 dates successiveset τk = Tk − Tk−1 les pas de temps entre deux dates successives (ici supposé constant d’où τk = τ).Pour tout 1 ≤ k ≤M , Fk(t) le taux forward entre les dates Tk−1 et Tk vu en date t ≤ Tk−1 est définicomme :

Fk(t) = F (t, Tk−1, Tk) =1

τ×(P (t, Tk−1)

P (t, Tk)− 1)

). (10)

La formule du taux forward découle d’une propriété de l’absence d’opportunité d’arbitrage(AOA) sur les marchés. Emprunter un montant aujourd’hui pour dans T années revient à empruntersur t années puis de réinvestir le montant récupéré au taux forward en t jusqu’à T. Le schémasuivant permet de décrire visuellement la situation.

FIGURE I.10 – Absence d’opportunité d’arbitrage appliquée au taux forward

La condition d’AOA explicite ici est :

1

(1 + r(t, T ))T−t=

(1 + f(t, s, T ))(T−s)

(1 + r(t, s))s−t,

11. Taux d’intérêt de référence du marché monétaire interbancaire

31


avec le développement limité (1 + x)a ∼0 1 + a× x, on retrouve l’expression présentée dans l’équa-tion (10) avec s = Tk−1 et T = Tk.

Remarques :

− Pour t = Tk−1, on a la relation : Fk(Tk−1) = R(Tk−1, Tk) ;

− Pour τ → 0, on peut définir le taux forward instantané de maturité T comme :

f(t, T ) = limτ→0

Fk(t) = −∂lnP (t, T )

∂T. (11)

Swaption

Une swaption est la contraction des mots « swap » et « option ». L’acheteur d’une swaptionacquiert le droit, mais non l’obligation, d’entrer dans un swap aux conditions définies lors de lanégociation de la swaption, contre le paiement d’une prime. Il permet à une compagnie de se pré-munir contre un risque de taux en lui garantissant la possibilité de recevoir un taux fixe favorablelors d’une situation de taux dégradée. Une swaption est définie en fonction de sa maturité, de sonténor et de son strike (soit une valeur absolue, soit par rapport au prix forward). Les deux matricesci-dessous sont les données de marché des volatilités implicites des swaptions au 31/12/2017. Lavolatilité implicite se définit comme la perception du marché concernant le futur du sous-jacenten termes de volatilité. La première décrit les volatilités implicites des swaptions « At the Money »(ATM) suivant le ténor et la maturité. La deuxième détaille les swaptions de ténor 10 ans en fonc-tion du strike (additif par rapport au prix forward) et de la maturité. Ce sont ces dernières quiseront utilisées comme inputs au calibrage des modèles de taux nominaux au 31/12/2017.

FIGURE I.11 – Matrice de volatilité implicite des swaptions - Données au 31/12/2017

32


Calcul du prix d’une swaption payeuse : Considérons une swaption qui expire en date Tm et si l’op-tion est exercée, les cashflows liés au swap s’effectueront en Tm,Tm+1,. . . ,Tn. Le swap constitue enl’échange d’un taux variable contre un taux fixe K. Le schéma suivant illustre les flux liés à l’exercicede l’option. Si l’option n’est pas exercée, aucun flux ne sera effectué.

FIGURE I.12 – Flux lié à l’achat d’une swaption

Le payoff d’une swaption payeuse à la date d’expiration Tm est le suivant [18] :

Vs(Tm) = Nn∑

i=m+1

P (Tm, Ti)τ(Rswap − SK)+, (12)

avec P (Tm, Ti) le prix de l’obligation zéro-coupon en Tm et d’échéance Ti, τ le pas de temps entredeux instants d’observation du swap, N le nominal sous-jacent à la couverture, SK le niveau detaux fixe échangé (strike) et Rswap la valeur du swap qui est donnée par :

Rm,nt = P (t,Tm)−P (t,Tn)Am,nt

, avec Am,nt =∑n−1

i=m τP (t, Ti+1).

Notons que nos données exposées dans le mémoire ne sont pas les prix des swaptions payeusesmais bien les volatilités implicites de ces dernières. Il faut donc définir un lien mathématique entrele prix des swaptions et leurs volatilités implicites. Du fait des niveaux de taux, les volatilités impli-cites retenues sont normales et calculées à partir de la formule de Bachelier. Le prix d’une swaptionV Bacheliers (Tm) par la formule de Bachelier est la suivante [19] :

V Bacheliers (Tm) = N

n∑i=m+1

τP (Tm, Ti)σ√Tn − Tm [dφ(d) + φ(d)] , (13)

avec σ la volatilité implicite normale, d =Rm,nt −Kσ√Tn−t

et φ la fonction de répartition d’une variablealéatoire gaussienne réduite.

L’évaluation de ces différents sous-jacents s’appuie sur la trajectoire des taux générée. Lesmodèles de taux utilisés dans le générateur de scénarios économiques diffusent différentes pro-jections de la courbe des taux. Le choix de modélisation des taux nominaux sera donc un facteurinfluant dans la diffusion et le pricing des composantes de taux.

33


D. Diffusion des taux nominaux

Les GSE permettent de construire des courbes des taux à chaque pas de temps et pour unnombre défini d’itérations. Il existe trois principales familles de modèle de diffusion :

1. Modèles de simulation directe du taux court (exemple : Vasicek)

2. Modèles fondés sur l’absence d’opportunité d’arbitrage où l’on modélise les prix zéro-coupon(exemple : Heath-Jarrow-Morton)

3. Modèles de marché souvent basés sur la diffusion de taux forward (exemple : Libor MarketModel)

Pour rappel, l’objectif final est en autre de calculer la valeur de marché des titres obliga-taires et le coefficient d’actualisation. Dans le cadre des modèles de diffusion du taux court rt, unerelation existe entre ce dernier et le prix du zéro-coupon. Sous la probabilité risque-neutre Q, lapropriété d’absence d’opportunité d’arbitrage implique que le prix actualisé d’un actif, modélisé parle processus exp

(−∫ t

0 rsds)P (t, T ), t ≤ T , est une Q-martingale pour toutes les maturités T.

Finalement, cela conduit à la formule de calcul du prix du zéro-coupon suivante :

P (t, T ) = EQ[exp

(−∫ T

trsds

)|Ft]. (14)

Afin de projeter les taux nominaux, il faut en premier lieu choisir le modèle de diffusionen prenant en compte l’objectif de cette modélisation et le profil de risque. En effet, d’après uneétude de Planchet F. et Julliard M. [20] , dans le cas du risque de taux, la problématique ne selimite pas à la capacité à reproduire l’épaisseur des queues de distribution. En effet, une analyse encomposante principale a été conduite sur les facteurs de risque qui traduisent la forme de la courbedes taux. Il a été montré que 99% des effets de la courbe sont expliqués par les quatre premièresvaleurs propres : le risque de translation, le risque de pentification, le risque de courbure et lerisque de convexité. Le schéma suivant explique graphiquement chacun de ces facteurs en fonctionde l’horizon de projection.

FIGURE I.13 – Analyse en composante principale des facteurs de risque de taux

34


Le facteur de translation est le plus représentatif quelque soit la maturité et est donc le plusimportant à intégrer dans la modélisation du risque de taux. Une autre conclusion de l’étude enACP des facteurs de risque de taux est que l’ajout d’un deuxième facteur dans la modélisation amé-liore significativement la prise en compte des facteurs de risque. L’intégration de la diffusion destaux longs 12 dans l’expression du taux court a été une solution à cette constatation et est à l’originedu développement de modèles à deux facteurs.

Le groupe de travail de l’Institut des Actuaires sur les générateurs de scénarios économiquesa étudié les différentes propriétés des modèles de taux nominaux actuels dans le cas de scéna-rios risque neutres. Le tableau présentant les résultats est disponible en Annexe A. Les critères decomparaison retenus sont les suivants :

− Popularité

− Nombre d’aléas

− Complexité

− Capacité à reproduire la courbe des taux

− Taux explosifs et taux plafonnés

− Taux négatifs

− Reproduction du smile de volatilité

L’idée dans ce mémoire est d’étudier deux modèles relativement distincts que ce soit au ni-veau de leur construction, au niveau de leurs propriétés (taux explosifs, distribution) ou au niveaude leur complexité. Ainsi, ce sont les modèles de Hull and White à deux facteurs (HW2F) et le LiborMarket Model Plus (LMM+) qui ont été retenus dans la suite du mémoire.

Bilan :La directive Solvabilité II nécessite une évaluation des postes du bilan dans un univers risque neutrestochastique. La configuration d’un GSE qui respecte les critères de market consistency et de martin-galité des différents actifs projetés est également essentielle. Les produits de taux sont réévalués parl’intermédiaire des modèles de projection de la courbe des taux sans risque. Dans la littérature, ces mo-dèles sont variés et différents par leurs propriétés : loi de probabilité de la diffusion, nombre d’aléas,complexité. Une étude complète sur les modèles Hull and White à deux facteurs et Libor Market ModelPlus sera proposée dans la suite de ce mémoire.

12. Taux pratiqués sur les créances à long terme (plus 3 ans environ)

35


36

Chapitre II

Modèle Hull and White à deux facteurs

II.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A. Le modèle Hull & White à un facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

a) Conception du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38b) Propriétés du modèle Hull and White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B. Limites et développement du modèle à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . 39C. Définition du modèle Hull and White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . 41

II.2 Propriétés du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A. Lien avec le modèle Gaussien à deux facteurs (G2++) . . . . . . . . . . . . . 42B. Expression du taux court et moments d’ordre 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . 43C. Prix d’une obligation zéro-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II.3 Etude du calibrage du Hull & White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A. Processus de calibrage et résultats au 31/12/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . 45B. Tests de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

a) Market consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46b) Test de martingalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

C. Impact du paramètre de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

37


II.1 Définition du modèle

A. Le modèle Hull & White à un facteur

a) Conception du modèle

Le modèle de projection des taux nominaux le plus classique est le modèle de Vasicek (à unfacteur). Il définit la diffusion du taux court par le biais de trois paramètres : le niveau de retour àla moyenne b, la vitesse de retour à la moyenne a et la volatilité σ.

drt = a (b− rt) dt+ σ dWt

Le processus de diffusion de Vasicek est invariant en temps et les paramètres sont supposésconstants. Toutefois, le modèle de Vasicek n’est pas capable de reproduire fidèlement la structurepar termes des taux initial mais simplement de s’en approcher par le biais du calibrage des para-mètres du modèle. Pour plus de flexibilité, Hull et White [21], proposent une diffusion du tauxcourt défini par l’EDS suivante. Ce modèle est également appelé modèle de Vasicek généralisé.

drt = (θ(t)− α(t) rt) dt+ σ(t) dWt

Les fonctions θ(t), α(t) et σ(t) varient en fonction du temps et peuvent être utilisées pour ca-librer exactement le modèle aux prix du marché. Le choix de paramètres comme fonction du tempsrend compliqué l’ensemble des calculs comme par exemple le prix des obligations et de leurs op-tions qui n’est plus obtenable analytiquement. Il est toujours tentant de laisser plus de flexibilité auxparamètres, donc d’écrire α(t) et σ(t) au lieu de α et σ. Néanmoins, une conséquence importanteest que la volatilité de la courbe des taux devient en général non stationnaire et évolue de manièretotalement imprévisible. Hull et White eux-mêmes parlent d’un risque de sur-paramétrisation dumodèle si le degré de liberté du modèle est trop important. Le modèle de Hull et White à un facteurutilisé couramment est le suivant :

drt = (θ(t)− α rt) dt+ σ dWt, (15)

avec α, σ > 0 sont des constantes, et θ(t) une fonction déterministe. α représente la force de retourà la moyenne du processus de taux court tandis que σ est la volatilité constante de diffusion.

b) Propriétés du modèle Hull and White

Reproduction de la courbe des taux : L’intérêt du modèle Hull and White est de reproduire exacte-ment la courbe de taux zéro-coupon de marché à l’aide de la fonction déterministe θ ci-dessous.Un inconvénient des modèles de taux court simple comme le modèle de Vasicek ou celui de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) réside dans leur incapacité à reproduire la courbe des taux.

θ(t) =∂fM

∂T(0, t) + αfM (0, t) +

σ2

2α(1− e−2αt), (16)

avec fM (0, .) les taux forwards instantanés du marché pour t=0. A noter que comme le précise J.Hull [21], le dernier terme de l’expression de θ(t) est relativement faible ce qui entraîne que rt suiten moyenne la pente de la courbe des taux forward instantanés.

38


Expression simple de rt : De ce constat, il est possible de simuler les taux courts directement parintégration de l’équation différentielle stochastique (15). La formulation du taux court discrétiséest la suivante :

r(T ) = e−α(T−t)r(t) + fM (0, T )− e−α(T−t)fM (0, t) +σ2

2α2C(t, T ) + σ

√1− e−2α(T−t)

2α×N(0, 1),

avec C(t, T ) = (1− e−α(T−t) + e−2αT − e−α(T+t))

Il est possible également d’introduire une fonction γ(t) telle que l’expression du taux court pour lemodèle Hull and White s’écrive directement :

r(T ) = e−α(T−t)r(t) + γ(T )− γ(t)e−α(T−t) + σ

∫ t

se−α(t−u)dWu,

avec γ(t) = fM (0, t) + σ2

2α2 (1− e−αt)2

Formules fermées : Le modèle Hull and White est aussi pratique du fait de l’existence d’une formulefermée pour l’expression des prix des obligations zéro-coupon. Des formules analytiques pour lavalorisation de produits dérivés de taux existent également mais ne seront pas présentées ici.

P (t, T ) = A(t, T )e−rtB(t,T ) avec

A(t, T ) = P (0,T )

P (0,t))eB(t,T )fM (0,t)−σ

2

4α(1−e−2αt)B2(t,T )

B(t, T ) = 1α(1− e−α(T−t)))

Distribution gaussienne : Le modèle de Hull & White se caractérise par une distribution gaus-sienne. Le processus rt est du fait de sa construction distribué selon une loi normale non centréeN(µHW , σHW ). Il est caractérisé par l’espérance et la variance suivantes :

µHW = E[rt] = e−αtr0 +∫ t

0 eα(s−t)θ(s)ds

σ2HW = V ar(rt) = σ2

2α(1− e−2αt)

(17)

Taux négatifs : Du fait de sa distribution gaussienne, la diffusion du taux court par Hull and Whiteadmet des taux négatifs. Il est possible d’évaluer à chaque pas de temps la probabilité risque neutred’avoir un taux court négatif à l’instant t [18].

Q{rt < 0} = Φ

− γ(t)√σ2

2a2(1− e−at)2

,

avec Φ qui correspond à la fonction de distribution cumulative de la loi normale standard.

B. Limites et développement du modèle à deux facteurs

Nous venons de voir que le modèle Hull and White est un modèle « simple » dans sa concep-tion ainsi que dans sa formalisation et ses propriétés mathématiques. En effet, ce modèle est unmodèle de taux s’appuyant uniquement sur un seul aléa matérialisé par un brownien. Il sembleainsi adapté pour répondre au besoin de diffusion d’un modèle avec un portefeuille d’assurance ba-sique. Cependant comme évoqué dans la partie I.2.D, l’utilisation d’un unique brownien ne permet

39


pas de capter l’ensemble du risque de taux. Le modèle Hull and White à un facteur saisit simple-ment l’effet de translation. L’introduction d’un nouvel aléa permettrait de palier ce défaut.

Au 31.12.2017, nous avons étudié le calibrage du modèle de Hull and White à un facteurpar le biais des données des prix des swaptions à la monnaie et hors de la monnaie dans un pre-mier temps. Comme expliqué dans la partie précédente, par la bonne définition de la fonction θ,ce modèle permet de réécrire la courbe des taux nominaux à t=0. Dans le contexte économiquedu 31.12.2017, le Hull and White à un facteur reproduit bien le niveau des prix de marché desswaptions quelque soit la maturité ou le ténor.

FIGURE II.1 – Niveau des prix répliqués par le modèle Hull and White à un facteur

Le modèle Hull and White à un facteur (HW1F) permet également une réplication du niveaudes volatilités implicites des swaptions à la monnaie. Toutefois, le smile de volatilité de marchéobservé pour les différents tenors en fonction de la maturité n’est pas du tout répliqué par lemodèle HW1F. Ce dernier ne permet pas de capter cette forme et renvoie une valeur de volatilitéimplicite du prix de la swaption décroissante en fonction de la maturité. Les graphiques ci-dessousreprésentent ce constat sur les volatilités implicites pour les ténors 2 ans et 10 ans et 30 ans commeexemple.

FIGURE II.2 – Niveau des volatilités implicites répliquées par le modèle Hull and White à un facteur

40


De plus, le modèle Hull and White à un facteur génère des volatilités implicites des swap-tions indépendantes du niveau de strike de l’option évaluée. Pour rappel, le calibrage hors de lamonnaie du modèle s’appuie sur les données de volatilités implicites de swaption suivant différentsstrikes comme présenté en figure I.11. Cela signifie que la volatilité hors de la monnaie reproduiteest « flat » contrairement à ce que l’on peut observer sur le marché. Une bonne reproduction desdonnées dans ou hors de la monnaie est donc difficile par ce modèle. Pour confirmer ces intuitions,nous avons également calibré ce modèle uniquement avec les données à la monnaie. Les valeursdes paramètres calibrés pour les deux modèles sont quasiment les mêmes (cf tableau ci-dessous).Les données hors de la monnaie ne sont pas nécessaires au calibrage de ce modèle et y rajoutemême une sur-paramètrisation puisque finalement le modèle HW1F ne capte pas les informationsde strike en termes de volatilité implicite.

Paramètre Résultat calibrage ATM Résultat calibrage ATM et OTMα 0,0251 0,0258σ 74, 57× 10−4 75, 56× 10−4

TABLE II.1 – Résultats du calibrage du modèle Hull and White un facteur

C. Définition du modèle Hull and White à deux facteurs

Les limites de ce modèle à un facteur ont conduit au développement d’un modèle Hull andWhite amélioré prenant en compte un deuxième aléa afin de modéliser un deuxième facteur derisque. Le modèle Hull and White à deux facteurs (HW2F) se distingue par l’ajout d’un nouveauprocessus stochastique ut qui entre en compte dans le niveau de retour à la moyenne du tauxcourts. Ce modèle se définit par le système d’EDS suivant :

drt = (θ(t) + ut − art)dt+ σ1dW(1)t

dut = −butdt+ σ2dW(2)t

avec d⟨W (1),W (2)

⟩t

= ρdt (18)

Le processus ut s’interprète comme une composante de l’effet de retour à la moyenne de rt.Le processus ut est lui-même défini comme un processus volatile qui tend vers la valeur 0 avecune vitesse b. Il est donc relativement aisé d’interpréter le rôle des paramètres du modèle Hull andWhite à deux facteurs. En effet, les paramètres a et σ1 s’interprètent comme dans le cas du modèleHW1F. Le paramètre de corrélation a également un rôle important à jouer qui sera développé dansla partie II.3.C.

41


II.2 Propriétés du modèle

A. Lien avec le modèle Gaussien à deux facteurs (G2++)

Le modèle gaussien à deux facteurs noté G2++ se définit par les équations différentiellesstochastiques suivantes :

rt = xt + yt + φt avec

dxt = −a1xtdt+ ε1dZ

(1)t

dyt = −a2ytdt+ ε2dZ(2)t

(19)

La fonction φt est une fonction déterministe du temps qui comme la fonction θt du modèleHW2F permet de reproduire avec exactitude la courbe des taux à répliquer. Un paramètre de corré-lation est également introduit pour le modèle G2++ et correspond à la corrélation entre les deuxbrowniens des processus xt et yt que l’on notera ρ′. Ce modèle a l’avantage, du fait de son écritureadditive, de disposer d’une formule fermée du prix d’une obligation zéro-coupon en fonction desprix observés sur le marché et des paramètres du modèle.

Posons le processus stochastique suivant : χt = rt + γut qui est une combinaison linéaire desprocessus rt et ut définis dans le cadre du modèle Hull and White à deux facteurs. En différenciantle processus χt et en prenant γ = 1

b−a , nous obtenons :

dχt = (θt − aχt)dt+ σ1dW(1)t ,

avec σ1 =√ε21 +

ε22(a−b)2 + 2ρ ε2ε1b−a et dW (1)

t =ε1dZ

(1)t −

ε2b−adZ

(2)t

σ1

En étudiant ensuite un nouveau processus stochastique ψt tel que : ψt = −γut = −utb−a et en le

différenciant, une équation différentielle stochastique similaire à la diffusion d’un modèle Hull andWhite avec un retour à la moyenne nul est obtenue :

dψt = −bψtdt+ σ2dZ(2)t avec σ2 = ε2

a−b

Finalement, étudier le processus rt = χt + ψt + φt qui définit le modèle Hull and White àdeux facteurs revient à observer le comportement de rt = xt + yt + φt qui lui est défini comme unmodèle Gaussien à deux facteurs. Pour résumer, le passage du modèle HW2F au modèle G2++ sefait par le biais des relations détaillées dans le tableau ci-dessous.

Paramètres du Hull and White Expression via composantes du G2++a a1

b a2

σ1

√ε21 +

ε22(a−b)2 + 2ρ ε2ε1b−a

σ2ε2a−b

W (1) ε1Z(1)− ε2b−aZ

(2)

σ1

W (2) Z(2)

ρε1ρ′− ε2

b−aσ1

L’écriture des différents composants de taux comme le prix des zéro-coupons sera plus évi-dente avec l’utilisation de la formulation du modèle G2++. A noter que pour que le modèle G2++

42


soit calibré sur la courbe des zéro-coupons de marché, φ(t) doit vérifier la propriété suivante :

φ(t) = fM (0, t) +σ2

1

2a21

(1− e−a1t)2 +σ2

2

2a22

(1− e−a2t)2 +σ1σ2ρ

a1a2(1− e−a1t)(1− e−a2t) (20)

B. Expression du taux court et moments d’ordre 1 et 2

Il est relativement simple d’obtenir l’expression du taux court rt à partir de la formulationdu modèle G2++. En partant de l’équation (19), il convient que l’expression de rt est obtenue endéterminant l’expression de xt et yt qui sont des processus assimilables à des modèles Vasicek àun facteur avec un retour à la moyenne nulle (ou encore d’un Hull and White à un facteur avec leparamètre θ(t) = 0). L’expression directe de xt à partir de la donnée xs avec s < t est donnée par :

xt = xs e−a1(t−s) +ε1

∫ t

se−a1(t−u)dZ(1)

u

Finalement, le processus de taux court rt est décomposable de la manière suivante :

rt = xs e−a1(t−s) +ys e−a2(t−s) +φ(t) + ε1

∫ t

se−a1(t−u)dZ(1)

u + ε2

∫ t

se−a2(t−u)dZ(2)

u

Pour rappel, le taux court généré par le modèle Hull and White à deux facteurs est par construc-tion normalement distribué. De l’expression précédente découle la formulation de son espéranceconditionnelle :

E[rt|Fs] = xs e−a1(t−s) +ys e−a2(t−s) +φ(t) (21)

Pour le terme de variance conditionnelle, la corrélation ρ entre les deux processus Z(1)t et Z(2)

t

déterminant les processus xt et yt doit être prise en compte.

V ar(rt|Fs) = ε21V ar(∫ t

s e−a1(t−u)dZ

(1)u

)+ ε22V ar

(∫ ts e−a2(t−u)dZ

(2)u

)+2ε1ε2Cov

(∫ ts e−a1(t−u)dZ

(1)u ,∫ ts e−a2(t−u)dZ

(2)u

)La covariance entre deux intégrales de Wiener se résout par la propriété suivante :

Cov

(∫ t

sf(u)dZ(1)

u ,

∫ t

sg(u)dZ(2)

u

)=

∫ t

sρf(u)g(u)du

De ce fait, la variance conditionnelle du processus de taux court est déterminée par :

V ar(rt|Fs) =ε21

2a1

(1− e−2a1(t−s)

)+

ε222a2

(1− e−2a2(t−s)

)+

2ρε1ε2a1 + a2

(1− e−2(a1+a2)(t−s)

)(22)

Les expressions (21) et (22) mettent en avant la contribution de chaque paramètre dansl’évaluation des moments. Ainsi, on peut noter que la variance du taux court sera plus faible lorsqueρ est négatif avec les autres paramètres constants. Logiquement, plus les paramètres de volatilitédes processus sont bas plus le terme V ar(rt|Fs) est faible.

43


C. Prix d’une obligation zéro-coupon

Le fait d’ajouter un facteur supplémentaire à la diffusion du taux court complique la formulefermée du calcul du prix de l’obligation zéro-coupon mais reste encore exprimable notamment enutilisant la formulation du modèle G2++.

P (t, T ) = E[e−

∫ Tt rsds | Ft

]= e−E[

∫ Tt rsds|Ft]+ 1

2V (

∫ Tt rsds|Ft)

Or, E[∫ Tt rsds|Ft] = E[

∫ Tt xsds|Ft] + E[

∫ Tt ysds|Ft] + E[

∫ Tt φ(s)ds|Ft] avec xs et ys des processus

simples dont l’intégrale est connue et φ une fonction du temps facilement intégrable.

Le résultat des intégrales ci-dessus est connu puisqu’il s’agit d’intégrales temporelles de processusde Vasicek.

E

[∫ T

txsds|Ft

]= xt ×B1(t, T ) avec B1(t, T ) =

1− e−a1(T−t)

a1

Le calcul restant (variance de l’intégrale du processus rt) est résolu dans Brigo et Mercurio 2006[18] et le résultat est le suivant :

V (t, T ) = V (

∫ T

trsds|Ft) = V1(t, T ) + V2(t, T ) + 2V1,2(t, T ), (23)

avec : V1(t, T ) =ε21a21

(T − t−B1(t, T )− a12 B

21(t, T ))

V2(t, T ) =ε22a22

(T − t−B2(t, T )− a22 B

22(t, T ))

V1,2(t, T ) = ε1ε2ρa1a2

(T − t−B1(t, T )−B2(t, T ) + 1−e−(a1+a2)(T−t)

a1+a2)

Finalement, à l’instant t de la projection, le prix du zéro-coupon est défini par la formule suivante :

P (t, T ) = A(t, T )e−B1(t,T )xt−B2(t,T )yt avec

A(t, T ) = P (0,T )

P (0,t))e12

(V (t,T )−V (0,T )+V (0,t))

B1(t, T ) = 1a1

(1− e−a1(T−t)))

B2(t, T ) = 1a2

(1− e−a2(T−t)))

(24)

La forme de la formule de prix est similaire à celle du prix du zéro-coupon pour le modèleHull and White à un facteur. L’expression est tout de même plus complexe du fait de l’introductiondu deuxième processus. En effet, le facteur compris dans la partie exponentielle s’apparente à celledu prix ZC du modèle à un facteur.

44


II.3 Etude du calibrage du Hull & White à deux facteurs

A. Processus de calibrage et résultats au 31/12/2017

Le processus de calibrage du Hull and White à deux facteurs se fait dans un premier tempspar le choix de la valeur du paramètre de corrélation des browniens. Pour les projections au31/12/2017, cette valeur a été fixée à −0, 8316 d’après une étude macro-économique de Moo-dy’s Analytics. Le paramètre ρ peut faire parti intégrante du processus de calibrage toutefois ladémarche ici est de rendre ce paramètre semi-statique et de se baser davantage sur des donnéesmacro-économiques. Différentes données de marché sont utilisées pour calibrer le modèle Hull andWhite à deux facteurs :

− courbe des prix des zéro-coupons sur 120 ans

− matrice de volatilité implicite des swaptions (évoqué en Figure I.11) uniquement à la monnaie

− les valeurs initiales des différents paramètres à estimer ainsi que la plage de valeurs acceptéepour chaque facteur

− le paramétrage de l’algorithme de Levenberg-Marquardt (nombre d’itérations, seuil d’accep-tation, etc.)

Les tableaux suivants récapitulent la valeur des différents paramètres du modèle Hull and White àdeux facteurs au 31/12/2017 ainsi ce de l’arrêté 17/09 et 18/03. Ces paramètres font référence àl’expression via le modèle G2++ présentée dans l’équation (19).

09/2017 12/2017 03/2018Paramètres 1er Processusa1 0,4625 0,4888 0,4574ε1 0,0229 0,0216 0,0222

Paramètres 2ème Processusa2 0,0403 0,0401 0,0395ε2 0,0110 0,0101 0,0102

Corrélation : ρ -0,8316 -0,8316 -0,8316

TABLE II.2 – Paramètres du modèle HW2F aux 30/09/2017, 31/12/2017 et 31/03/2018

La situation de marché ayant peu évoluée sur les périodes relevées dans le tableau ci-dessus,les paramètres du modèle HW2F sont relativement stables. Nous constatons bien que le premierprocessus a une vitesse de convergence a1 plus importante que le second a2 ; il y a environ unfacteur 10 entre les deux paramètres. Pour la volatilité, nous constatons que la volatilité induitepar le premier processus est près de deux fois plus importante que le second. Comme attendu, nousconstatons que l’un des processus est dominant par rapport au deuxième afin de matérialiser plusles mouvements à court terme.

Nous avons vu que le modèle Hull and White à deux facteurs génère un taux court distri-bué de manière gaussienne. Le fait d’utiliser les variables antithétiques entraînent une constructionparfaitement symétrique de la diffusion des taux nominaux. Au 31/12/2017, la diffusion des tauxnominaux obtenus est décrite par la figure II.3. Le contexte de taux bas actuel et notamment detaux négatifs à court-terme entraîne la génération de nombreux taux négatifs. Par exemple, près

45


de 25% des taux nominaux 1 an à la maturité 10 ans sont négatifs lorsqu’en moyenne le niveaudu taux 10 ans diffusé sur 1 000 trajectoires atteint 2%. Toutefois, ce modèle ne créé par de tauxexplosifs à long-terme : les taux nominaux sont compris environ dans un intervalle [−5%, 15%].

FIGURE II.3 – Diffusion des taux nominaux par le modèle HW2F au 31/12/2017 par niveaux de quantile

B. Tests de validation

Afin de valider la diffusion des taux nominaux par le modèle Hull and White à deux facteurs, nousavons vu que les tests suivants doivent être validés :

− Reproduction de la courbe des taux initiale

− Market consistency

− Martingalité

a) Market consistency

La courbe des taux sans Volatility Adjustment présentée en Figure I.8 doit être reproduite enmoyenne par le modèle. Du fait de l’introduction de la fonction φ(t) exposée dans l’équation (20),le modèle de Hull and White à deux facteurs a la capacité de reproduire parfaitement la structurepar termes du taux court et par ce biais la courbe des taux sans risque de l’EIOPA.

La propriété de Market consistency des instruments utilisés doit être vérifiée. Pour le cas duprix du zéro-coupon, la reproduction de la courbe suffit pour vérifier la bonne évaluation des prixdes obligations zéro-coupons à chaque instant de la projection. Pour les dérivés, il faut dans un pre-mier temps répliquer les valeurs de marché des produits utilisés dans le calibrage c’est-à-dire dansle cas précis les swaptions. Deux vérifications sont faites : l’une en sortie de calibrage pour vérifierle bon niveau des prix des swaptions et une deuxième évaluation faite en sortie de générationsdes scénarios économiques. Il est question ici de retrouver le prix des swaptions à chaque pas de

46


temps de la projection (ou la volatilité implicite par le biais de formule). Le graphique suivant pré-sente le test de volatilité implicite et de prix pour la swaption de tenor 10 ans effectué pour l’étapede calibrage du modèle HW2F. Des tests sur des ténors complémentaires sont détaillés en Annexe B.

FIGURE II.4 – Résultat du calibrage par le HW2F pour la swaption de tenor 10 ans

De manière générale, la reproduction du niveau des prix des swaptions est bonne via le mo-dèle Hull and White à deux facteurs si la configuration du calibrage permet une analyse fine desdonnées de marché. Un écart est constaté sur les swaptions de tenor court (1 an, 2 ans) pourdes maturités courtes. En ce qui concerne la volatilité implicite, des écarts sont constatés. Pour lesmaturités longues, la volatilité implicite a tendance à être sous-estimée tandis que le phénomèneinverse est observé pour les options de maturité courte.La volatilité implicite est invariante par rapport au strike avec le modèle Hull and White à deuxfacteurs quelque soit la maturité constatée (voir graphique ci-dessous).

FIGURE II.5 – Résultat du calibrage par le HW2F pour la maturité 1 an en fonction du strike de l’option

b) Test de martingalité

Le modèle Hull and White à deux facteurs définit un processus de taux d’absence d’opportu-nité d’arbitrage qui respecte donc en théorie le critère de martingalité. Cependant, le générateur descénarios économiques projette uniquement un nombre fini de scénarios. Dans la majeure partiedu mémoire, le nombre de scénarios est maintenu à 1000 ce qui génère une imperfection dans lamartingalité. Nous représentons ci-dessous le test de martingalité pour les indicateurs de taux surles 30 ans de projection.

47


FIGURE II.6 – Résultats des tests martingales pour les taux nominaux - modèle HW2F

De manière générale, le test de martingalité est respecté : les valeurs estimées sont bien dansl’intervalle de confiance et en valeur absolue la martingalité est écartée au maximum de 5% (à t=30pour le zéro-coupon 30 ans). A noter que sur la figure II.6, nous constatons que l’ensemble des prixcalculés est légèrement supérieur à l’objectif P0 = 1 quelque soit le produit et la maturité. Celasignifie que les taux générés sont en moyenne inférieurs au taux sans risque et que l’actualisationdes prestations au cours de la projection ALM sera plus élevée. La valeur de marché du portefeuillerecalculée serait ainsi supérieure à la valeur théorique et pourrait générer un écart de convergenceet donc la création d’une fuite économique. Pour rappel, la diffusion est intrinsèquement liée aupseudo-aléa utilisé que l’on a conservé entre les différentes situations et modèles étudiés.

C. Impact du paramètre de corrélation

Le paramètre de corrélation ρ entre les deux browniens du modèle Hull and White à deux fac-teurs est un paramètre déterminant dans la diffusion des taux nominaux. Dans un premier temps,on peut considérer une réalité macro-économique à ce paramètre. Dès lors, il serait davantage vucomme un paramètre semi-statique en ce sens qu’il n’est pas intégré dans le processus de calibrage.Une étude macro-économique sur la base de diffusion des taux courts et longs termes pour diffé-rentes économies a permis de calibrer ce paramètre à -0.8316. Toutefois, il est possible d’intégrerce paramètre au processus de calibrage ce qui ajoute un degré de liberté dans l’algorithme et aug-mente la possibilité d’obtenir un minimum local en résultat d’optimisation.

Le paramètre de corrélation ici défini fait partie intégrante de la matrice de corrélation quirelit les différents browniens utilisés dans la projection. Or pour délimiter les valeurs possibles de lacorrélation du Hull and White, la positivité de la matrice nécessaire à la factorisation de Cholesky 13

doit être respectée.

Prenons un exemple avec un nombre réduit de facteurs de risque modélisés : un pour lesactions, deux pour les taux nominaux (modélisé par un HW2F), un pour les taux réels et supposonsdes valeurs théoriques de corrélation entre chacun.

13. méthode retenue pour générer les browniens rattachés aux modèles de diffusion

48


Σdt =dWNom1

t

dWNom2t

dWReelt

dWActiont

dWNom1t dWNom1

t dWReelt dWAction

t1 ρ −0, 2 0, 6

1 −0, 1 0, 41 0, 2

1

dt

Dans le cas exposé ci-dessus, la matrice Σ est définie positive si ρ ∈[

310 −

√43

10 ,310 +

√43

10

]c’est-à-dire : −0, 3557 < ρ < 0, 9557. Dans le cas de notre étude, la condition suivante sur le para-mètre de corrélation doit être vérifiée : −0, 9622 < ρ ≤ 1.

Nous allons ici tester le calibrage et la diffusion du modèle Hull and White à deux facteursen figeant le niveau de corrélation. Pour rappel, le but de cette partie est de tester la sensibilité ducalibrage pour différents niveaux de corrélation. Le vecteur suivant contient les différentes valeursretenues :

ρ ∈ {−0, 9621 ; 0, 8316 ; −0, 5 ; −0, 25 ; 0 ; 0, 5 ; 1} .Le calibrage retenu se fait sur les swaptions uniquement à la monnaie suite au constat de

l’étude menée précédemment. Les résultats de calibrage montrent dans un premier temps que lechoix d’un ρ positif dans le contexte économique du 31.12.2017 n’améliore pas la capacité de re-production des swaptions par rapport au Hull and White à un facteur. En effet, si on calibre lemodèle avec des intervalles de paramètres assez larges et un paramètre de corrélation des brow-niens positif, on retombe sur un paramétrage qui est celui du Hull and White à un facteur (lesparamètres du deuxième Hull and White à un facteur sont nuls). Dès lors, le modèle Hull andWhite perd de son intérêt si ρ est mal défini.

Nous constatons une amélioration du calibrage par les swaptions du modèle Hull and Whiteà deux facteurs lorsque ρ est négatif (écart d’estimation relatif plus faible). Le tableau ci-dessousexprime le niveau d’efficacité du calibrage en fonction du paramètre ρ par le biais de la valeur duResidual Mean Square Error (RMSE) sur les prix des swaptions. A noter que pour ρ = −0, 25, il y aune légère d’amélioration du RMSE sur les prix mais une baisse de l’erreur sur les volatilités.

HW1F (ou HW2F avec ρ ≥ 0) ρ = −0, 25 ρ = −0, 5 ρ = 0, 8316 ρ = 0, 9621

0,268 0,115 0,114 0,0731 0,00939

TABLE II.3 – Niveau du RMSE en sortie de calibrage en fonction de ρ

Dans la suite de l’étude, nous conserverons uniquement les configurations du Hull and Whiteà deux facteurs : -0,5 , 0,8316 et 0,9621 que nous comparerons également à la diffusion d’un Hulland White à un facteur (et donc aussi aux cas de mauvais calibrage du ρ pour un HW2F). Pour lesconfigurations évoquées précédemment, les paramètres du Hull and White à deux facteurs obtenussont résumés dans le tableau ci-dessous. Ces paramètres font référence à ceux de la formule (19).

Paramètres HW1F ρ = −0, 5 ρ = 0, 8316 ρ = 0, 9621

a1 0,0251 0,6033 0,4888 0,389ε1 0,0074 0,0148 0,0216 0,0189a2 x 0,0292 0,0401 0,0479ε2 x 0,0081 0,0101 0,0118

TABLE II.4 – Résultats du calibrage des paramètres des modèles Hull and White

49


Nous constatons que plus le paramètre ρ est grand en valeur absolue plus les paramètresdu deuxième processus matérialisés par a2 et σ2 sont importants. Cela devrait avoir un impact di-rect dans la diffusion avec davantage de scénarios extrêmes à court terme lorsque ρ tend vers sonminimum. Le paramètre a1 baisse avec la diminution du paramètre de corrélation également. Leparamètre de volatilité du premier processus est moins stable : ce dernier augmente avec la baissede ρ excepté pour des valeurs très négatives. Cette information a été vérifiée en étudiant l’évolutiondu paramètre de volatilité du premier processus pour une vingtaine de calibrage en faisant varierρ entre -0,5 et -0,9621.

Ces paramètres ont un impact direct sur la reproduction des swaptions pour les différentsténors étudiés. Les graphiques suivants présentent le tracé des volatilités implicites répliquées pourles configurations étudiées pour 2 ténors différents : tenor 2 ans et tenor 10 ans.

FIGURE II.7 – Niveau des volatilités implicites répliquées par le modèle Hull and White à un facteur

Dans un premier temps, nous constatons que le choix d’un paramètre ρ négatif permet dedavantage prendre en compte l’effet de smile dans les volatilités implicites. En effet, le choix d’unρ négatif permet de mettre en avant le risque de convexité visible par cet effet de courbure notam-ment pour le tenor 2 ans dans le cas d’un ρ proche de -1. Les volatilités implicites sont dès lors bienmieux répliquées que dans le cas d’un modèle Hull and White à un facteur.

La modification de la valeur des paramètres a également un impact direct sur la diffusion destaux nominaux dans le générateur de scénarios économiques. En effet, le mouvement d’un para-mètre du modèle vient impacter la propagation des taux nominaux dans les différents scénarios. Legraphique suivant présente l’impact du calibrage du modèle de Hull and White sur le spectre de ladiffusion des taux nominaux pour 1 000 trajectoires.

50


FIGURE II.8 – Amplitude de la diffusion des taux nominaux 1 an par un HW2F en fonction de ρ

Comme attendu, nous constatons des minimums et maximums plus élevés pour les cas où leparamètre de corrélation est de -0,5 et 0,8316. Cela est dû à une plus forte volatilité des processusdans ces cas précis. La diffusion dans le cas de la corrélation limite montre un spectre moins largedes taux nominaux 1 an notamment à court-terme. La vitesse de retour à la moyenne étant assezforte dans les Hull and White à deux facteurs, nous constatons qu’avec le temps le modèle Hulland White à un facteur génère des scénarios assez extrêmes (faible vitesse de retour à la moyennecomparée au HW2F).

A noter qu’ici sont présentés les niveaux maximum et minimum atteints à chaque pas detemps pour les taux nominaux 1 an. Ces scénarios constituent des cas extrêmes assez coûteux entermes de Best Estimate et ont donc un impact sur les indicateurs SII. Toutefois, une analyse surdes quantiles moins extrêmes comme celui à 95% montre que les niveaux des taux nominaux sontproches quelque soit la configuration.

L’ensemble de scénarios construits à partir des quatre modèles respecte les critères de vali-dation de solvabilité II. La modification des hypothèses des scénarios économiques dans les calculsALM va directement impacter l’évaluation des richesses sous Solvabilité II. Les deux critères retenusdans le graphique suivant sont la Present Value of Future Profit (PVFP) et la Net Asset Value.

FIGURE II.9 – Impact en termes d’indicateurs SII du calibrage de ρ (en Me)

51


De manière général, une baisse de la richesse matérialisée par la NAV ainsi que par la PVFPest constatée du passage d’un modèle HW1F vers un HW2F avec un paramètre de corrélation néga-tif. Cela est dû en grande partie à un effet d’actualisation plus important du fait d’une augmentationdu nombre de scénarios négatifs.Nous constatons que pour les différentes valeurs du paramètre de corrélation testées les indicateurssont différents : la NAV est impactée de plus de 30Me en passant d’un ρ de -0,5 à -0,8316.

Bilan : Le paramètre de corrélation dans le modèle HW2F a un fort impact sur la diffusion des tauxnominaux. Un mauvais choix de valeur pour ρ rend le modèle Hull and White à deux facteurs in-opérant et se rapporte finalement à un modèle un seul facteur. Dans le contexte économique actuel,une valeur négative importante est préconisée.Pour la suite de l’étude, nous retenons une valeur statique du paramètre de corrélation à0,8316 qui est davantage vu comme une donnée macro-économique sur différentes écono-mies établies.

52


Fiche modèle - Hull and White à deux facteurs

Type de modèle de taux : Modèle fondé sur l’absence d’opportunité d’arbitrage et diffusion du tauxcourt - Évolution du modèle Hull and White à un facteur

Facteurs de risque modélisés : Risque de translation et risque de convexité

Équation différentielle stochastique :{drt = (θ(t) + ut − art)dt+ σ1dW

(1)t

dut = −butdt+ σ2dW(2)t

avec d⟨W (1),W (2)

⟩t

= ρdt

Paramètres :- θ(t) : fonction déterministe du temps afin de reproduire la structure par terme des taux initiale- a et b : vitesses de retour à la moyenne- σ1 et σ2 : volatilités des deux processus (court terme et retour à la moyenne)- ρ : corrélation entre les deux processus

Avantages :- Modèle d’absence d’opportunité d’arbitrage et market consistent- Formule fermée pour les prix des composants de taux- Écriture possible sous la forme du modèle G2++- Construction simple et maîtrise des paramètres du modèle

Inconvénients :- Forte diffusion de taux négatifs- Faible capacité à reproduire tout le smile de volatilité des swaptions- Volatilité implicite indépendante du niveau de strike des swaptions- Paramètre ρ à quantifier avec précision

Quantiles des taux nominaux 1 an sur 30 ans de projection au 31/12/2017 pour 1 000 scénarios :

53


54

Chapitre III

Libor Market Model Plus

III.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A. Construction du modèle LMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

a) Définition de l’équation différentielle stochastique . . . . . . . . . . . . . 56b) Modélisation de la variance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57c) Bilan sur le LMM et diffusion des taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . 58

B. Du LMM au LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.2 Propriétés du LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A. Discrétisation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B. Lien avec le modèle Hull and White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . 62

III.3 Calibrage du LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A. Processus de calibrage et résultat au 31/12/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . 64B. Tests de Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

a) Market consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66b) Martingalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

C. Impact du paramètre de displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

55


III.1 Définition du modèle

A. Construction du modèle LMM

a) Définition de l’équation différentielle stochastique

Le modèle Libor Market Model (LMM) défini en 1997 est un modèle de taux utilisé pour lesprojections des taux nominaux en univers risque neutre et market consistent. C’est un dérivé de lafamille des modèles de taux d’intérêt de Heath Jarrow & Morton (HJM). Les modèles HJM défi-nissent un cadre de modélisation de la structure par terme de la courbe des taux compatible avecl’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA). Ici, ce n’est pas la courbe des taux courts ou longs quiest projetée mais les taux forwards instantanés (définis par l’équation (11)). A noter que le LMMdiffère des modèles HJM puisque les taux forwards LIBOR sont ici étudiés de manière discrète etnon continue.

Dans un modèle HJM, le taux forward instantané f(t,T) pour une maturité T fixée, évoluesous une mesure de probabilité donnée Q suivant l’équation :

df(t, T ) = µ(t, T ) dt+ σ(t, T ) dWt. (25)

Pour obtenir des prix martingales pour l’obligation zéro coupon, l’hypothèse suivante sur le driftest nécessaire :

µ(t, u) = σ(t, u)

∫ u

tσ(t, s)ds.

Finalement, l’équation différentielle stochastique peut s’écrire :

df(t, T ) = σ(t, T )×(∫ u

tσ(t, s)ds+ dWt

). (26)

Le LMM est un modèle qui s’appuie sur la diffusion de taux LIBOR forwards Fk(t) dont l’ex-pression a été présentée dans l’équation (10). En reprenant les notations définies précédemment,la dynamique de diffusion d’un taux LIBOR forward est définie de la manière suivante sous saprobabilité forward Qk associée au numéraire P (., Tk), i.e. le prix de l’obligation dont la maturitécoïncide avec celle du taux forward étudié [18].

dFk(t)

Fk(t)= σk(t)dW

kt , (27)

avec σk(t) un vecteur ligne M-dimensionnel constitué des coefficients de volatilité pour les tauxforwards et W k

t est un mouvement brownien M-dimensionnel (vecteur colonne) associé à la pro-babilité forward Qk et lié par la covariance instantanée ρ = (ρi,j)i,j=1..M .

Remarque : Fk(t) doit par définition être martingale sous la mesure forward Qk associée à l’obli-gation zéro-coupon P (t, Tk), puisque c’est, aux constantes près, le prix de l’obligation zéro-couponP (t, Tk−1) actualisé par le prix de l’obligation zéro-coupon P(t,Tk).

Comme montré par J. Hull dans « Options, Futures and other Derivatives » [21], il est possiblede diminuer la dimension du brownien par le biais de la relation des prix des zéro-coupons. A partirde ces informations et de la dynamique des LIBOR forwards (le détail des calculs est effectué enAnnexe D), la formule explicite ci-dessous définit l’équation différentielle stochastique du LiborMarket Model. On note n(t) = inf {n ∈ N, t ≤ Tn}.

56


dFk(t)

Fk(t)= σk(t)×

dZ(t) +k∑

i=n(t)

σi(t)Fi(t)

Fi(t) + 1τ

dt

(28)

Enfin, le brownien Z(t) sera réduit à deux degrés de liberté en l’exprimant comme la com-posée de deux browniens : dZt = β2

1(t)dZ1(t) + β22(t)dZ2(t) avec βi les « factor loadings » qui sont

des vecteurs de corrélations historiques (c’est ici une donnée d’expert et ne fera pas l’objet d’uneanalyse approfondie). A noter que ces facteurs sont liés par la relation : β2

1(t) + β22(t) = 1.

b) Modélisation de la variance stochastique

Les modèles LMM se basent sur l’utilisation d’une variance temporelle matérialisée par unefonction de Rebonato. Afin d’améliorer la bonne reproduction des prix de marché, l’introductiond’un processus de volatilité stochastique modélisée par un processus CIR V (t) couplée avec lafonction de Rebonato gk(t) a été retenue. dV (t) = κ(θ − V (t))dt+ ε

√V (t)dZt

gk(t) = (a+ b(Tk − t)) exp−c(Tk − t) + d

avec σk(t) =√V (t)× gk(t) (29)

La fonction de Rebonato permet de créer une structure temporelle de la volatilité déterministeafin de tenir compte du smile de volatilité observé sur les swaptions. Le paramètre a se voit commeun coefficient de translation qui s’atténue au cours du temps. Une augmentation du paramètrea implique une augmentation de la volatilité déterministe. Le paramètre b donne une vision duniveau de la fonction de Rebonato et influe sur le point de courbure. Le paramètre c impacte ladiffusion temporelle et notamment le point de changement de sens de variation de la fonction.Ce paramètre a donc une forte influence sur la forme générale de la fonction et va permettre dedécrire le point de smile de volatilité des taux. Enfin, le paramètre d se voit comme un paramètrede translation de la fonction et également la limite de la fonction de Rebonato ; la valeur atteintepour (Tk − t) grand. Dans la suite, d sera défini comme nul.Les graphiques présentés en Annexe E montrent le comportement de la fonction de Rebonato enfonction du mouvement des paramètres du modèle tandis que le graphique suivant présente laforme générale de cette fonction vu pour t=0.

FIGURE III.1 – Forme de la fonction de Rebonato en fonction du temps

En ce qui concerne le processus CIR, θ donne la moyenne à long terme de la volatilité destaux forwards, et κ donne la vitesse à laquelle le processus va converger vers cet équilibre. La partie

57


« drift » du processus est équivalent à celui du modèle de Vasicek. Toutefois, il se différencie de cemodèle par la prise en compte du niveau du processus dans la partie « brownienne » de l’EDS. Dece fait, si le niveau de variance V (t) est faible, ε

√V (t) devient faible également ce qui réduit la

part de l’aléa dans la diffusion du processus. A noter que ce modèle n’accepte pas les valeurs néga-tives du fait de l’introduction de la racine du processus dans l’équation. La positivité du sous-jacentmodélisé est maintenue par la condition : 2κθ ≤ ε2.L’introduction du CIR permet d’ajouter de l’aléa à la fonction déterministe de Rebonato qui consti-tue en moyenne le niveau de volatilité. En effet, le CIR diffusé joue le rôle de coefficient multipli-cateur à la fonction de Rebonato. La forme de la diffusion du processus de Cox-Ingersoll-Ross estdécrite par le graphique ci-dessous.

FIGURE III.2 – Diffusion du processus V(t) du LMM+ - modèle CIR

La construction de σk(t) permet d’observer une structure de volatilité qui peut être résuméedans le tableau suivant (inspiré de Brigo et Mercurio [18])

t ∈]T0, T1] t ∈]T1, T2] ... t ∈]Tn−1, Tn]

F1(t)√V1g1(t) x ... x

F2(t)√V2g1(t)

√V2g2(t) ... x

... ... ... ... xFn(t)

√Vng1(t)

√Vng2(t) ...

√Vngn(t)

c) Bilan sur le LMM et diffusion des taux nominaux

Finalement, le Libor Market Model se définit par une diffusion log-normale des taux nomi-naux par le biais du paramétrage de huit facteurs que sont :

− V0, θ, κ et ε les paramètres du CIR

− a, b et c les paramètres de la fonction de Rebonato (d est défini égal à 0)

− ρ la correlation entre le Brownien du CIR Wt et Zt

La forme de la distribution est représentée en figure III.3. Pour construire cette distribution,nous avons repris le calibrage du modèle LMM utilisé au 31/12/2014. A cette période, la courbe destaux sans risque ne contenait pas de valeurs négatives. Du fait de sa construction, nous constatonsbien une forme log-normale dans la distribution des taux nominaux. Aucun taux négatif n’est donc

58


projeté par le biais de ce modèle. Des taux explosifs sont produits que ce soit à court terme ou àlong terme et l’introduction d’un cap à 35% avait été acté pour limiter cet effet. De cette distributionet de l’analyse précédente, nous pouvons conclure que le LMM a les propriétés suivantes :

− Distribution log-normale

− Génération de taux négatifs impossible

− Formation de taux explosifs

− Modèle d’absence d’opportunité d’arbitrage

FIGURE III.3 – Distribution par quantile des taux nominaux 1 an par le modèle LMM au 31/12/2014

B. Du LMM au LMM+

Le contexte économique des taux négatifs a rendu obsolète le modèle de taux LMM puisquece dernier ne diffuse pas de taux négatifs. Une alternative a été de proposer un modèle « shifté »du LMM justement appelé Libor Market Model Plus (LMM+). Le LMM+ se différencie du modèleLMM par l’introduction d’un shift appelé « displacement » et noté δ. En effet, le modèle LMMsuppose une distribution log-normale qui produit donc des taux uniquement positifs. Le modèleLMM+ s’intéresse désormais à la diffusion de la structure par termes des taux forwards instantanésdécalée de la valeur du shift. L’utilisation du displacement permet de diffuser des taux forwardsdans un intervalle [−δ; +∞]. En effet, les taux forwards suivent une loi log-normale « déplacée » cequi implique que Fk(t) + δ > 0 ou encore Fk(t) > −δ.L’équation différentielle stochastique du LMM+ est exprimée de la manière suivante :

dFk(t)

Fk(t) + δ=

k∑i=n(t)

σk(t)σi(t)Fi(t) + δ

Fi(t) + 1τ

dt+ σk(t)× dZ(t). (30)

L’effet du displacement n’est pas uniquement de translater les taux forwards vers un niveaunégatif et générer des taux négatifs. En effet, l’équation (30) montre bien qu’il ne s’agit pas seule-ment de remplacer le facteur Fk(t) par Fk(t)+δ dans l’équation (28). Pour l’ajout d’un displacementà une projection faite par le modèle LMM, on n’obtient pas une simple translation de la distribution

59


des taux mais bien une nouvelle forme. Les points suivants résument l’impact de l’implémentationd’un shift au modèle LMM :

− permettre la génération de taux négatifs

− limiter la génération de taux explosifs

De nombreuses recherches sont actuellement en cours pour objectiver ce paramètre de displa-cement. En effet, ce paramètre est davantage vu comme un paramètre semi-statique dans le sens oùil est considéré comme un input au calibrage du modèle LMM+. Cela assure un calibrage plus aisédes autres paramètres du modèle. Le fournisseur Moody’s Analytics a historiquement choisi un dis-placement à 45%. Cette valeur résulte d’un avis d’expert basé sur des analyses macro-économiquessur différentes économies. Il permet de générer des taux négatifs tout en minimisant l’effet de tauxd’intérêts explosifs pour les différentes économies. Le choix d’une grande valeur du shift impliquela diffusion de taux négatifs sévères voire éloignés d’une certaine réalité de marché.

Parmi les recherches effectuées, nous pouvons citer les travaux de Bennouna M. [22] quipropose dans son mémoire un calibrage du shift pour un modèle DD-LMM (LMM+ avec une va-riance non stochastique - pas de processus CIR dans la diffusion mais simplement la fonction deRebonato). La détermination de ce facteur de déplacement se fait ici par la réplication du smile devolatilité des caplets en considérant un shift δi associé à chaque taux LIBOR forward. Le résultatgraphique sur 30 ans est le suivant :

FIGURE III.4 – Valeur des shift δi pour chaque pas de temps de la projection

Ses résultats ont permis d’identifier une valeur de displacement oscillant entre 0% et 20%environ dans le contexte de l’étude. Le choix de ce paramètre est primordial puisqu’il est en amontdu calibrage qui dépendra bien entendu de la valeur de displacement retenu. De plus, de par saconstruction, il semble que l’impact du displacement est important en termes de diffusion des tauxnominaux. Une étude sera menée sur ce paramètre dans la partie III.3.C.

60


III.2 Propriétés du LMM+

A. Discrétisation du modèle

Un schéma d’Euler est retenu pour la discrétisation du modèle LMM+. Cette méthode consisteà approcher une équation différentielle stochastique en faisant les hypothèses suivantes :

x(tk+1) = x(tk) +

∫ tk+1

tk

b(x(s))ds ≈ x(tk) + (tk+1 − tk)× b(x(tk)).

Pour rappel, l’équation différentielle vérifiée par la dynamique des taux LIBOR pour le modèleLMM+ est développée (30). On pose : Xt(k) = ln(Fk(t)+δ) = f(Fk(t)) puis en utilisant la formuled’Itô, nous obtenons :

df(Fk(t)) =∂f

∂xdFk(t) +

1

2

∂2f

∂x2d 〈Fk〉t

Ce qui donne en remplaçant les valeurs :

dXt(k) = σk(t)×

dZ(t) +k∑

i=n(t)

σi(t)Fi(t) + δ

Fi(t) + 1τ

dt

− 1

2|σk(t)|2dt (31)

Puis en intégrant l’expression ci-dessus entre tm−1 et tm et en utilisant les hypothèses duschéma d’Euler, on obtient la formule de discrétisation suivante pour le LMM+

ln(

Fk(tm)+δFk(tm−1)+δ

)= V+(tm)

(∑ki=n(t) gk(tm−1)gi(tm−1) Fi(tm−1)+δ

Fi(tm−1)+ 1τ

− 12 |gk(tm−1)|2

)∆tm

+√V+(tm−1)gk(tm−1)∆Zm

√∆tm

Avec ∆tm = tm − tm−1 et ∆Zm = Ztm − Ztm−1 qui suit une loi normale centrée réduite puisque ilcorrespond à un accroissement de deux browniens successifs. La fonction V+ est tout simplementdéfinie comme V+(x) = max(V (x), 0) afin que les volatilités produites par le modèle CIR soit for-cément positives. Pour rappel, la condition de Feller suivante permet la positivité de la générationdes volatilités du processus CIR : 2κθ > σ2.

Pour le processus CIR pour la variance, la discrétisation est la suivante :

V (tm) = V (tm−1)− κ(V+(tm−1)− θ)∆t+ ε√V+(tm−1)×Wtm ×∆t (32)

Une fois la construction des pseudo-aléas effectuée, il est possible de simuler le processus CIRpuis les forwards à chaque pas de temps de la projection. Le calcul du prix du zéro-coupon ou destaux courts se fait par inversion de la formule du taux forward exprimée dans l’équation (10).

61


B. Lien avec le modèle Hull and White à deux facteurs

Pour rappel, le modèle Hull and White à deux facteurs (G2++) peut s’écrire comme la sommede trois composantes comme vu dans le chapitre précédent :

rt = φ(t) + xt + yt

On obtient dès lors l’écriture suivante pour le prix des obligations zéro-coupons.

P (t, T ) = e−A(t,T )−B(t,T )xt−C(t,T )yt

En posant Fk(t) = F (t, Tk−1, Tk), en reprenant la relation entre le prix du zéro-coupon etle taux forward à l’instant t entre Tk−1 et Tk (pas de temps égal à τ) , il est possible d’obtenir larelation suivante :

1 + τFk(t) =P (t, T )

P (t, T + τ)= e∆A(t,T,T+τ)−∆B(t,T,T+τ)xt−∆C(t,T,T+τ)yt , (33)

avec ∆A(t, T, T + τ) = A(t, T )−A(t, T, T + τ) (valable également pour les fonctions B et C).

En appliquant la formule d’Itô sur l’expression ci-dessus, la dynamique du taux forwards déplacépeut être exprimée par l’EDS suivante :

dFk(t)

Fk(t) + 1τ

= ...dt+ ∆B(t, T, T + τ)σ1(t)dW 1t + ∆C(t, T, T + τ)σ2(t)dW 2

t (34)

Les facteurs présents devant les browniens W 1t et W 2

t sont des fonctions déterministes dutemps qui peuvent s’apparenter aux facteurs de chargement du modèle LMM+. L’équation dif-férentielle (34) s’apparente donc à celle du LMM+ présentée dans l’équation (30) sans l’aspectstochastique matérialisé par le CIR. Le modèle Hull and White à deux facteurs peut être vu commeun cas très particulier de la diffusion des forwards par un Libor Market Model Plus avec un dis-placement égal à 1

τ . Le parallèle est ici théorique pour autant le passage du LMM+ vers un Hulland White n’est pas aisé (correspondance des paramètres, etc.). Ici, nous diffusons notre modèle àpas mensuel ce qui correspond à un displacement de 1200%. Le graphique ci-dessous présente ladiffusion au 31/12/2017 des taux nominaux par le Libor Market Model Plus avec δ = 1200%.

FIGURE III.5 – Diffusion des taux nominaux par un LMM+ avec un displacement égal à 1τ

62


A noter que pour un displacement à 1200%, le modèle perd sa capacité à être market-consistent puisqu’il ne réplique pas les prix de marché des swaptions observés sur le marché. Legraphique ci-dessous présente le test de validation pour la swaption à la monnaie et de tenor10 ans en fonction de la maturité. La volatilité implicite effective dans la projection est très éloi-gnée des valeurs de marché et des volatilités attendues. Le modèle avec un displacement limiteégal à 1200% génère des valeurs de volatilité implicite près de deux fois plus importantes sur lecourt-terme notamment (de 0,7% à environ 1,5%). Le test de Market consistency réalisé pour lavalidation confirme bien la perte de la propriété de Market-consistency pour ce calibrage du mo-dèle LMM+. Dans ce contexte économique, cette diffusion n’est pas admissible pour les calculs desolvabilité.

FIGURE III.6 – Volatilité implicite reproduite par le modèle LMM+ avec un displacement égal à 1τ

Le constat effectué sur les volatilités implicites est également valable sur les prix du fait de laformule de Bachelier. Le graphique suivant présente l’écart entre le prix attendu (prix de marché)des swaptions de tenor 10 ans et le prix généré dans les scénarios en moyenne (calcul du prix parMonte Carlo sur les 1 000 scénarios).

FIGURE III.7 – Prix des swaptions tenor 10 ans attendus contre prix modélisés par le GSE

63


III.3 Calibrage du LMM+

A. Processus de calibrage et résultat au 31/12/2017

Le processus de calibrage du LMM+ se fait dans un premier temps par le choix de la valeurdu facteur de displacement qui d’après un avis d’expert a été estimé à 45% pour les projectionsde l’arrêté du 31/12/2017. Différentes données de marché sont utilisées pour calibrer le modèleLMM+ :

− courbe de taux forwards à pas mensuel

− matrice de volatilité implicite des swaptions (évoquée en Figure I.11)

− les « factor loadings » (β1, β2) - données à dire d’expert

− les valeurs initiales des différents paramètres à estimer ainsi que la plage de valeurs acceptéepour chaque facteur

− le paramétrage de l’algorithme de Levenberg-Marquardt (nombre d’itérations, seuil d’accep-tation)

Le tableau suivant récapitule les valeurs des différents paramètres du modèle LMM+ au 31/12/2017ainsi que celles de l’arrêté 30/09/2017 et 31/03/2018.

09/2017 12/2017 03/2018Paramètres de Rebonatoa 0,0043 0,0029 0,0059b 0,0036 0,0036 0,0028c 0,0856 0,0895 0,0817

Paramètres du CIRValeur initiale : V0 1 1 1Vitesse de retour à la moyenne κ 0,100 0,100 0,090Niveau de retour à la moyenne θ 0,671 0,749 0,725Volatilité : ε 0,320 0,251 0,236

Corrélation : ρ 0,752 0,983 1000Displacement : δ 45% 45% 45%

TABLE III.1 – Paramètres du modèle LMM+ aux arrêtés 30/09/2017, 31/12/2017 et 31/03/2018

L’impact de la variation d’un paramètre du Libor Market Model Plus sur la diffusion des tauxnominaux est difficile à anticiper et à interpréter. Au regard des valeurs des paramètres du tableauprécédent, nous constatons une certaine stabilité des paramètres du modèle due au fait que lecontexte économique de taux n’a pas été ébranlé pendant cette période. La fonction de Rebonatoétant une fonction déterministe du temps, il est possible de tracer les trois configurations ci-dessus.Le paramètre a de la fonction de Rebonato est assez volatile d’un arrêté sur l’autre mais de manièregénérale, nous remarquons que la composante de Rebonato est plutôt stable du fait du paramètrec qui est très peu impacté.

64


FIGURE III.8 – Fonction de Rebonato pour les différents arrêtés sur 60 ans

La diffusion des taux nominaux 1 an dans les conditions déterminées au 31/12/2017 estprésentée en Figure III.3. Ici, le spectre de la diffusion des taux nominaux 1 an s’établit dansl’intervalle [−5%,+22%]. L’effet de l’introduction d’un paramètre de displacement à 45% montrebien la génération d’un nombre important de taux négatifs. A titre d’exemple, à la dixième périodede projection, dans environ 15% des 1 000 scénarios joués, les taux nominaux 1 an sont négatifs.Globalement, les niveaux de taux produits sont relativement cohérents et représentatifs du contextedes taux bas actuels et d’une certaine réalité financière (critère toutefois très subjectif).

FIGURE III.9 – Diffusion des taux nominaux 1 an via le LMM+ au 31/12/2017

65


B. Tests de Validation

Afin de valider la diffusion des taux nominaux par le modèle LMM+, nous avons vu que lestests suivants doivent être validés :

− Market consistency

− Martingalité

a) Market consistency

La courbe des taux sans Volatility Adjustment présentée en Figure I.8 doit être reproduiteen moyenne par le modèle. Du fait, de sa construction, le LMM+ a la capacité de reproduire à laperfection la courbe des taux forwards instantanés et par ce biais la courbe des taux sans risque del’EIOPA.

Dans l’univers risque-neutre, la propriété de Market consistency des instruments utilisés doitêtre vérifiée. Pour le cas du prix du zéro-coupon, la reproduction de la courbe suffit pour vérifierla bonne évaluation des prix des obligations zéro-coupons à t=0. Pour les dérivés, il faut dans unpremier temps répliquer les valeurs de marché des produits utilisés dans le calibrage c’est-à-diredans le cas précis les swaptions. Deux vérifications sont faites : l’une en sortie de calibrage pourvérifier le bon niveau des volatilités des swaptions et une deuxième évaluation faite en sortie degénérations des scénarios économiques. Il est question ici de retrouver le prix des swaptions àchaque pas de temps de la projection (ou la volatilité implicite par le biais de formule). Les deuxgraphiques suivants présentent des exemples de tests effectués pour chacune des deux étapes devalidation. Un panel plus large de test de calibrage des volatilités implicites des swaptions estdisponible en Annexe E.

FIGURE III.10 – Résultat du calibrage pour le LMM+ pour la swaption de tenor 10 ans

FIGURE III.11 – Résultats des tests de Market Consistency à la monnaie (sortie de la diffusion) au 31/12/2017

66


Le Libor Market Model Plus est capable de reproduire le niveau des prix ou volatilités impli-cites des swaptions en fonction du strike (tenor fixe égal à 10 ans) contrairement au Hull and Whiteà deux facteurs. Ainsi, une vérification du niveau de la volatilité implicite des swaptions reproduitepar le modèle LMM+ en sortie de calibrage est également effectuée. Ci-dessous, l’exemple de laswaption de maturité 5 ans.

FIGURE III.12 – Résultat du calibrage par le LMM+ pour la maturité 5 ans en fonction du strike de l’option

b) Martingalité

Le modèle LMM+ étant un modèle d’absence d’opportunité d’arbitrage, il est en théorie mar-tingale. Au 31/12/2017, les tests martingales sur les composantes de taux suivantes ont été jouéeset vérifiées pour le :

− Déflateur

− Prix des zéro coupon

FIGURE III.13 – Résultats des tests martingales au 31/12/2017

Les résultats des tests de martingalité sont concluants puisque aucun point estimé ne sort del’intervalle de confiance et que l’estimation du prix actualisé dévie très peu de la valeur cible (moinsde 1% d’erreur). On peut toutefois constaté que le prix actualisé des actifs de taux (obligations zéro-coupon de maturités différentes) est pour la plupart du temps sur-estimé. En effet, pour les trois

67


premiers graphiques l’ensemble des points se situent sur ou dessus de la référence P0 = 1. Celasignifie que l’ensemble des flux évalués dans le cadre du Best Estimate sont actualisés en moyenneplus que le taux sans risque.

C. Impact du paramètre de displacement

Dans cette partie, nous allons observer l’impact du choix de valeur pour le displacement.Deux valeurs seront étudiées : displacement à 45% avec ajout d’un floor à -2% sur les taux forwards(situation QRT 31/12/2017) et 10% (valeur mise en évidence dans les recherches actuelles citéesprécédemment). A noter que cette étude se fait dans le cadre de Natixis Assurances et du contexteéconomique du 31/12/2017. Afin de comparer les deux situations, nous avons repris les données enentrée de calibrage du 31/12/2017 (courbe des taux forwards, matrice de volatilité des swaptions,paramètres d’optimisation). Les résultats du calibrage des deux choix de modélisation sont résumésdans le tableau ci-dessous.

Displacement 45% Displacement 10%Paramètres de Rebonatoa 0,0032 0,0187b 0,0036 0,0137c 0,0900 0,0900

Paramètres du CIRValeur initiale : V0 1 1Vitesse de retour à la moyenne κ 0,100 0,100Niveau de retour à la moyenne θ 0,736 0,430Volatilité : ε 0,287 0,148

Corrélation : ρ 1 1

Résultats d’optimisationRMSE Swaptions 8, 12× 10−3 6, 91× 10−3

TABLE III.2 – Calibrage du LMM+ avec displacement 10% et 45%

Le passage à un displacement 10% entraîne l’augmentation des paramètres a et b de lafonction de Rebonato. Ceci peut s’interpréter comme une augmentation du niveau de volatilitéproduit à court terme. La stabilité du paramètre c signifie que la courbure de la fonction sera versle même niveau de maturité (10 ans environ). Cela est dû à la convexité des volatilités impliciteset des prix des swaptions près du point 10 ans. Le graphique ci-dessous présente le tracé desdeux fonctions de Rebonato en t=0 issues des paramètres ci-dessus et souligne les explicationsprécédentes. De manière générale, pour un displacement à 10%, il semblerait que la fonction deRebonato génère des niveaux supérieurs à ceux atteints pour le displacement 45%.

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FIGURE III.14 – Impact du choix du displacement sur la fonction de Rebonato en t=0 associée au LMM+

Pour rappel, il est difficile d’objectiver l’impact des paramètres du modèle LMM+ du fait desa complexité induite en grande partie par le nombre de paramètres. Pour la partie stochastique dela volatilité traduite par le CIR, la modification du displacement modifie grandement le niveau deretour à la moyenne ainsi que la volatilité du sous-jacent. Une baisse de valeur de plus de 40% dela valeur du niveau de retour à la moyenne implique que les valeurs diffusées auront tendance àêtre plus basses. Toutefois, la volatilité est pratiquement divisée par deux ce qui réduit le spectre dediffusion de V (t) modélisé par le CIR. Le niveau des quantiles 5% et 95% à chaque pas de tempsde la projection soulignent bien le constat effectué ci-dessus : le quantile à 95% est bien plus baspour un displacement 10% tandis que le quantile à 5% se retrouve moins impacté du fait du niveaufaible de volatilité.

FIGURE III.15 – Impact du choix du displacement sur la diffusion du CIR associé au LMM+(pas mensuel)

En fonction du displacement, un réel mouvement des autres paramètres obtenus par le cali-brage est constaté. Globalement, le niveau de volatilité déterministe (impliquée par la fonction deRebonato) est plus haut pour le cas du displacement 10% tandis que la part stochastique généréeest davantage supérieure dans le cas du displacement 45%. Ainsi, le modèle apprécie différemmentle contexte de taux ce qui devrait avoir des conséquences sur la génération des scénarios de taux.

La figure suivante fait apparaître l’impact du choix de displacement en termes de diffusion deprocessus des taux nominaux 1 an. Le graphique fait apparaître les points extrêmes de la diffusionque sont le quantile à 99% ainsi que les bornes maximum et minimum des deux diffusions. Nouspouvons constater que comme attendu le shift à 10% réhausse très légèrement la distribution mêmesi l’impact n’est réellement observable que sur les quantiles présentés sur le graphique. La propor-tion de taux négatifs produite par le modèle avec un displacement à 45% est plus importante que

69


celle générée par le displacement 10%. En termes de validation, le choix du displacement impacteà la marge les valeurs des tests de market consistency et de martingalité. Les deux configurationssont donc acceptables en termes de normes SII.

FIGURE III.16 – Diffusion des taux nominaux 1 an - LMM+ avec displacement 10% versus 45%

Nous avons ensuite étudié l’impact du displacement sur les indicateurs de solvabilité pourl’entité BPCE Vie. Les deux schémas de la Figure III.17 montrent les résultats de cette étude : unevariation de 30 millions du sous-module « SCR taux d’intérêt » est constatée au passage d’un displa-cement 45% flooré à un shift de 10%. Les autres modules sont impactés de manière négligeable. Anoter que le SCR souscription reste stable et que l’impact sur les autres risques de marché est d’aumoins un facteur 10 inférieur à celui du risque de taux d’intérêt. Dû aux effets de la diversificationdes sous-modules de marché, le SCR total de marché est impacté de 24Me. Dans ce contexte éco-nomique, l’utilisation d’un displacement à 10% au lieu de 45% entraîne une variation notable duSCR et des fonds propres éligibles au ratio de couverture SII. Le montant de fonds propres éligiblesaugmente avec une diffusion des taux avec le displacement à 10% (conséquence de l’impact BE).Dès lors, une augmentation de moins de 2% est observée pour le ratio de couverture du SCR.

FIGURE III.17 – Impact en termes d’indicateurs de solvabilité du choix du displacement

70


Fiche modèle - Libor Market Model Plus

Type de modèle de taux : Modèle fondé sur l’absence d’opportunité d’arbitrage et la diffusion destaux forwards instantanés

Facteurs de risque modélisés : Risque de translation et risque de convexité

Équation différentielle stochastique :

dFk(t)Fk(t)+δ = drift+

√V (t)gk(t)× dWt et

dV (t) = κ(θ − V (t))dt+ ε√V (t)dZt

gk(t) = (a+ b(Tk − t)) exp−c(Tk − t) + d

Paramètres :- ρ : corrélation entre Zt et dWt = β1(t)dW 1

t + β2(t)dW 2t

- β1(t) et β2(t) : facteurs de chargement- κ la vitesse de retour à la moyenne, θ le niveau de retour à la moyenne et ε la volatilité du pro-cessus CIR rattachée au processus de variance V.- a, b, c et d les composantes de la fonction de Rebonato gk(t)

Avantages :- Modèle d’AOA et market consistent- Formule semi-fermée pour le calcul des prix des produits dérivés de taux (swap, floor, etc.)- Bonne reproduction du smile de volatilité des swaptions à la monnaie et hors de la monnaie- Maîtrise de la diffusion de taux négatifs par le biais du displacement

Inconvénients :- Complexité du modèle et nombre de paramètres à estimer- Maîtrise de l’impact des paramètres sur la diffusion des taux nominaux- Paramètre de displacement δ à maîtriser- Temps de calibrage décuplé du fait de sa complexité (contrainte opérationnelle)

Quantiles des taux nominaux 1 an sur 30 ans de projection au 31/12/2017 pour 1 000 scénarios :

71


72

Chapitre IV

Impact du choix de modèle et de son calibrage

IV.1 Impact du choix du modèle de taux nominaux sur les scénarios économiques . . . 74A. Impact du modèle sur les scénarios de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

a) Calibrage des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74b) Diffusion des taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75c) Validation des scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B. Impact sur les indicateurs SII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78a) Mouvement du Best Estimate en situation centrale . . . . . . . . . . . . . 78b) Impact sur le ratio de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IV.2 Sensibilité du calibrage aux données de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A. Sensibilité du modèle Hull and White à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . 86

a) Impact sur le calibrage du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86b) Conséquences sur les scénarios de taux et l’évaluation du Best Estimate . 87

B. Sensibilité du modèle Libor Market Model Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90a) Impact sur le calibrage du modèle de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90b) Conséquences sur les scénarios de taux et l’évaluation du Best Estimate . 91

IV.3 Adaptation du calibrage au profil de risque de la compagnie . . . . . . . . . . . . . 94A. Modification de la matrice de poids pour le calibrage . . . . . . . . . . . . . . 94

a) Profil de risque de la compagnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94b) Marché des swaptions et prise en compte de la liquidité . . . . . . . . . . 96c) Définition de la matrice de poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B. Impact sur les scénarios économiques et les indicateurs de solvabilité . . . . . 98a) Déformation des scénarios de taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . 98b) Mouvements des indicateurs de solvabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

73


IV.1 Impact du choix du modèle de taux nominaux sur les scénarioséconomiques

La norme Solvabilité II n’impose pas un modèle précis pour chaque indice projeté dans lesscénarios économiques. Le respect des critères de market consistency et de martingalité est toute-fois nécessaire pour considérer ces scénarios valables pour étudier la solvabilité de la compagnied’assurance. Au vu des deux modèles présentés précédemment, nous allons étudier deux configu-rations de modèles de taux et les comparer suivant différents aspects :

− Hull and White à deux facteurs

− Libor Market Model Plus avec un displacement 10%

Ces modèles seront étudiés sans retraitement (floor ou cap) sur les trajectoires de sorties pouvantporter atteinte au caractère risque neutre des diffusions. Dans cette partie, nous conservons la mé-thode de calibrage effectuée actuellement i.e en prenant en compte l’ensemble des données demarché des swaptions à la monnaie et en dehors de la monnaie évoquées en Figure I.11. A noterque les résultats présentés sont sensibles au contexte de taux ainsi qu’aux management rules liéau modèle ALM de Natixis Assurances. L’Institut des Actuaires a mené une étude sur un panel demodèle de taux présentée en Novembre 2018 [23].

A. Impact du modèle sur les scénarios de taux

Nous avons mis en évidence dans les deux parties précédentes la construction et les carac-téristiques de ces deux modèles. Le modèle de Hull and White à deux facteurs (HW2F) permet deprojeter directement le taux court rt tandis que le Libor Market Model Plus (LMM+) diffuse dansun premier temps des forwards. Pour rappel, les deux termes sont liés par la relation suivante :f(t, t) = rt avec f le taux forward comme défini dans l’équation (10).

Nous allons étudier l’impact du choix du modèle de taux nominaux sur les scénarios écono-miques en observant trois étapes :

a) Calibrage des modèles

b) Diffusion des taux dans les scénarios

c) Validation de ces scénarios

a) Calibrage des modèles

Le calibrage de ces deux modèles est basé sur les données de swaption uniquement et lesconclusions suivantes sont liées à ce choix de données. Nous avons vu que le modèle Hull andWhite ne parvient pas à capter la sensibilité des volatilités implicites des swaptions en fonctiondu strike de l’option. A l’inverse, la faculté primaire du modèle LMM+ est de parvenir à calibrercorrectement les swaptions en dehors de la monnaie. Les résultats de calibrage des deux modèlesont été présentés dans leur partie respective. Finalement, le modèle LMM+ atteint un niveau deRMSE (Residual Mean Square Error) meilleur que le modèle HW2F : 6, 91 × 10−3 pour le LMM+contre 7, 31× 10−2 pour le HW2F.

La figure ci-dessous montre le niveau d’erreur d’estimation des volatilités implicites des swap-tions à la monnaie en fonction du tenor et de la maturité de l’option. Globalement, dans le contexte

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économique du 31.12.2017, le modèle LMM+ a tendance à sous-estimer les valeurs des volatilitésexcepté pour le tenor 1 an et les maturités longues (plus de 15 ans). A l’inverse, le modèle Hulland White a tendance à surestimer la volatilité à la monnaie notamment pour une couverture surle court-terme. Dès lors, les deux modèles ne se répliquent pas de la même façon les données demarché lors du calibrage. A noter que la zone courte durée de l’option et du swap est la partie dela matrice la plus dure à capter avec le plus haut niveau d’erreur quelques soit le modèle utilisé.

FIGURE IV.1 – Comparaison des erreurs d’estimation des volatilités des swaptions pour les deux modèles

Finalement, c’est le prix des swaptions qui est en jeu dans le processus de calibrage. Si on seconcentre sur cet indicateur, nous constatons que les deux modèles permettent une bonne repro-duction des données de marché (induites de la volatilité implicite par le modèle de Bachelier).

FIGURE IV.2 – Prix des swaptions de tenor 10 ans répliqués par les modèles en fonction de la maturité

Le choix du modèle impacte donc la market-consistency des scénarios économiques. Ainsi, leLibor Market Model Plus permet dans le contexte actuel une meilleure estimation des indicateursrelatifs aux swaptions et respecte davantage le critère de market-consistency puisqu’il réplique lemieux à la fois le prix et la volatilité implicite des swaptions. Le modèle Hull and White à deuxfacteurs reste pleinement éligible pour la diffusion de scénarios risque neutres market consistent.

b) Diffusion des taux nominaux

Ces deux modèles s’opposent également au niveau de la forme de la diffusion des taux no-minaux au cours de la projection. Nous avons vu que le modèle Hull and White à deux facteurs estun modèle gaussien. A l’inverse, le Libor Market Model Plus est un modèle dérivant du LMM qui

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est log-normale. Le choix d’un displacement à 10% est très loin de la situation évoquée en partieIII.2.B de passage à un modèle gaussien du LMM+ (displacement à 1200%). En effectuant, le testde normalité de Shapiro présenté en Annexe F sur les taux nominaux suivants, notés r(t,T) avec tle pas de temps de la projection et T la maturité du taux. Les résultats confirment bien la théoriepuisque pour le Hull and White, la p-value associée au test est toujours supérieure à 0.05 ce quiimplique que les données suivent une loi normale (avec moins de 5% d’erreur). A l’inverse, les tauxnominaux pour le LMM+ ne sont pas distribués normalement puisque le test renvoie des valeursinférieures au seuil de p-value 0,05 ; le test de normalité est rejeté. Ces tests confirment bien ladifférence de forme de la diffusion des taux par ces deux modèles.

Taux nominaux p-value HW2F p-value LMM+r(2,1) 0,211 2,18E-06

r(2,10) 0,807 1,33E-07r(10,5) 0,91 <2,2E-16

r(10,30) 0,403 <2,2E-16

TABLE IV.1 – Résultats des tests de Shapiro sur les taux nominaux en fonction du modèle utilisé

La Figure IV.3 met en avant l’impact du choix de modèle entre LMM+ et HW2F sur la diffu-sion des taux nominaux 1 an en comparant le spectre des deux diffusions au 31/12/2017. Les tauxnominaux 10 ans et 30 ans sont eux présentés en Annexe G. En effet, bien que les taux nominauxprojetés reproduisent en moyenne la courbe des taux sans risque, la forme de la distribution etdonc les différents scénarios économiques générés sont totalement différents. Nous constatons qu’àcourt terme (jusqu’à 5 ans environ) les taux nominaux 1 an produits par le modèle Hull and Whiteont un spectre de diffusion plus large que le LMM+. Les scénarios de taux sont donc plus volatilessur les premiers pas temps de projection avec le HW2F ce qui génère des situations à court termeplus extrêmes.De plus, le modèle HW2F du fait de sa distribution produit davantage de taux négatifs que le mo-dèle LMM+ dont la génération de taux négatifs est forcée par le biais du shift. Le modèle LMM+a tendance à créer davantage de taux positifs importants à moyen et long terme ce qui diminuel’effet actualisation et renforce la baisse de la valeur de marché des obligations. En effet, la valeurde marché des obligations (et donc le déflateur vu comme une obligation zéro-coupon) est d’autantplus faible que les taux sont hauts. A noter que le choix d’un displacement beaucoup plus grandpourrait entraîner une génération beaucoup plus grande de taux négatifs et se rapprocher du casdu Hull and White.

FIGURE IV.3 – Comparatif des diffusions des taux nominaux 1 an entre LMM+ et HW2F au 31/12/2017

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Un des éléments directement lié aux taux nominaux sont le prix des zéros-coupons ainsi quele coefficient d’actualisation appelé déflateur. Ainsi, le choix du modèle de diffusion va impacterces facteurs. La figure ci-dessous souligne les conséquences du choix du modèle sur le prix du zéro-coupon de maturité 10 ans à deux pas de temps de la projection (rappel : 1000 scénarios sontjoués). En début de projection, comme expliqué précédemment, le modèle Hull and White à deuxfacteurs génère plus de volatilité dans les taux. C’est pourquoi le prix du zéro-coupon 10 ans au boutde 2 ans de projection est beaucoup moins concentré autour de sa moyenne. De manière générale,le modèle Hull and White génère des cas de valorisation très forte des obligations zéro-coupons etdonc du déflateur quand le Libor Market Model Plus est limité par l’effet du displacement et de sadistribution « log-normal déplacé ».

FIGURE IV.4 – Comparatif de la distribution des prix zéro coupon 10 ans dans la projection

La modification de la diffusion des taux nominaux modifie la diffusion de l’inflation. En effet,les taux réels sont diffusés par le biais d’un modèle de Vasicek à deux facteurs tandis que l’inflationdérive de l’écart des taux nominaux et des taux réels. Toutefois, les taux nominaux et taux réels nesont pas diffusés indépendemment ; il existe une corrélation entre ces deux composantes de taux.Si ces indices de taux étaient parfaitement décorrélés, l’inflation générée aurait été gaussienne(somme de processus gaussien indépendant) dans le cas d’une diffusion des taux nominaux par lebiais du Hull and White. Le passage au LMM+ aurait déformé alors la trajectoire de l’inflation engénérant davantage de niveaux d’inflation haut. Mais la corrélation entre taux nominaux et tauxréels atténue l’effet du choix de modèle sur la projection de l’inflation. Pour illustrer ce propos, legraphique ci-dessous montre le spectre de diffusion de l’inflation sur les 30 ans de projection.

FIGURE IV.5 – Comparatif des diffusions de l’inflation en fonction du modèle de taux nominaux

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Pour rappel, l’inflation a un effet direct sur l’évaluation des obligations indexées sur l’inflation(environ 3% du portefeuille de Natixis Assurances) ainsi que sur la valorisation des frais généraux,commissions, etc. Finalement, l’inflation générée suit la même tendance pour les dix premièresannées de la projection. Par la suite, le choix du HW2F comme modèle de taux nominaux a unimpact sur la diffusion avec notamment plus d’inflation négative.

c) Validation des scénarios économiques

Les deux modèles présentés dans ce mémoire sont des modèles d’absence d’opportunité d’ar-bitrage en ce fait que théoriquement les processus actualisés diffusés sont martingales. Dès lors,avec un niveau suffisant de scénarios économiques étudiés, la martingalité doit être approchée.Le choix de 1 000 scénarios permet d’obtenir une validation totale des tests de martingalité surl’ensemble des produits testés pour les deux modèles.

De plus, le calibrage de ces modèles a montré qu’il est possible de reproduire le niveau desprix des swaptions observés sur le marché dans le contexte de taux bas actuel. Ceci implique quela market consistency pour les swaptions est obtenu par le biais de ces modèles. Ils sont doncéligibles à la diffusion de scénarios économiques risque neutre market consistent et donc adaptéspour évaluer le passif d’une compagnie d’assurance en Best Estimate et pour produire des étudesde solvabilité.

B. Impact sur les indicateurs SII

Le choix du modèle de taux nominaux a des conséquences sur les différentes étapes de lagénération de scénarios économiques et aura donc des impacts sur les évaluations SII. La mesurede cet impact sera faite en deux temps :

a) Évaluation de l’impact sur le Best Estimate en situation centrale

b) Déformation des modules de SCR et du ratio de couverture

a) Mouvement du Best Estimate en situation centrale

Les taux nominaux occupent une place centrale dans le modèle ALM et donc le choix dumodèle influence les projections ALM et par conséquent les indicateurs de solvabilité. En effet, lestaux nominaux constituent le rendement sans risque projeté dans chacun des scénarios étudiés etpar conséquent le rendement moyen de tous les actifs en univers risque neutre. Les grandes com-posantes de la stratégie ALM comme le taux servi s’appuient aussi sur ces taux nominaux. Nousavons déjà observé dans les parties précédentes la sensibilité des indicateurs SII au mouvement decertains paramètres comme par exemple le displacement dans le cas du Libor Market Model Plus oule paramètre de corrélation du modèle Hull and White. L’analyse précédente souligne la structuredifférente des scénarios économiques de taux utilisés pour le calcul ALM en fonction du modèleretenu.

Nous avons constaté en partie précédente que le Hull and White à deux facteurs a une doubleconséquence sur les taux nominaux dans le contexte du 31.12.2017 par rapport au LMM+ : plusde scénarios de taux négatifs et une plus grande sévérité des taux bas par rapport au Libor MarketModel Plus. Cela entraîne une baisse du Best Estimate en situation centrale de 43 580 Me

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avec le HW2F contre 43 407 Me en utilisant le LMM+ soit une baisse de 173Me. Deux prin-cipaux effets sont à l’origine de ce mouvement important : l’effet d’actualisation et la revalorisation.

Dans le processus ALM, à chaque pas de temps, les passifs d’épargne encore présents enportefeuille sont revalorisés au taux servi 14 ou au taux garanti (exemple : TMG 15) par le contrat.

PM(t) = (PM(t− 1)− Prestations(t))× (1 +max(TMG,Tauxservi(t)))

Il se déduit de l’algorithme ALM de pilotage des taux à partir entre autres du taux tenant comptedes contraintes commerciales et concurrentielles. Ce dernier se calcule à partir des données sui-vantes : le taux court (zéro coupon 1 an), le taux long (zéro coupon 10 ans), la moyenne sur 5 ansdu taux 7 ans et la moyenne sur 3 ans de la performance du CAC. L’écart entre taux servi et tauxcommercial constitue l’indicateur de déclenchement ou non des rachats conjoncturels.Finalement, la présence de scénarios extrêmes de taux bas dans le cas du modèle Hull and Whiteentraîne une baisse de la revalorisation puisque les taux bas viennent abaisser le niveau des tauxcommerciaux et donc du taux servis.

Avec le Hull and White, une augmentation de près de 300Me de la valeur actuelle desprestations futures est constatée. Cela est dû non pas à une augmentation des cashflows liés auxprestations mais bien à un effet d’actualisation. La concentration et la sévérité de taux négatifsavec ce modèle de taux nominaux entraînent une augmentation des facteurs d’actualisation (lesflux annuels sont actualisés au taux sans risque cumulés). Le calcul d’actualisation suivant est faitpour calculer la valeur actuelle des prestations constituant une part du Best Estimate :

V Aprestations(t) = Prestations(t)×t∏

k=0

P (k, k +1

12),

avec P(x,y) le prix du zéro coupon à la date x d’échéance y.

Le passage d’un modèle HW2F à un modèle LMM+ a aussi un impact sur la Present Value ofFurture Profits (PVFP) : -112 Me avec le HW2F contre -12 Me avec le LMM+. La PVFP peut êtrevue comme la valeur actuelle des résultats nets retranchés des marges prélevées et augmentés desprovisions constituées côté assureur. Il constitue un indicateur de création de richesses. L’améliora-tion de la PVFP est due en grande partie à une amélioration des résultats futurs.

Même si le Best Estimate n’a de sens qu’en moyenne puisqu’il consiste en une évaluation(pricing) du passif par la méthode de Monte Carlo, il est toutefois intéressant d’observer la distri-bution de l’évaluation du passif sur les 1 000 trajectoires. Le graphique suivant présente la part dela création de richesse rapportée au montant global du portefeuille soit le ratio NAV/VM pour lesdifférents niveaux de quantile.

14. Rendement annuel de revalorisation des contrats d’épargne15. Taux minimum garanti ; option présente sur certains contrats d’épargne

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FIGURE IV.6 – Ratio NAV/VM par quantile en fonction du modèle de taux nominaux

Même si la création de richesses est un peu plus importante pour les quantiles supérieurs àla médiane avec le Hull and White, l’augmentation du Best Estimate avec ce modèle est finalementdue à des scénarios extrêmes consommateurs de richesses. En effet, dans le contexte actuel, la dif-fusion de taux très négatifs implique un fort coup de prestations puisque l’actualisation est d’autantplus forte que les taux sont bas. Le graphique ci-dessous présente le spectre de la diffusion du tauxnominal 10 ans entre les quantiles 1% et 5% pour les deux modèles. Il a été également ajouté latrajectoire de taux 10 ans rattaché au scénario où est obtenu le plus faible ratio NAV/VM pourconforter notre analyse (cf scénarios extrêmes du graphique ci-dessous).

FIGURE IV.7 – Scénarios extrêmes des taux nominaux 10 ans pour les deux modèles de taux sur 30 ans de projection

La trajectoire de taux liée aux scénarios les plus extrêmes pour la compagnie correspond bienà des taux négatifs. En effet, les scénarios extrêmes de taux bas sont à l’origine d’un coup extrêmedu Best Estimate à cause de l’actualisation. La génération de taux explosifs avec le LMM+ ne consti-tuent finalement pas des scénarios avec un coût de Best Estimate trop important et ne compensepas l’effet des scénarios de taux négatifs.

Le modèle de taux impacte considérablement la valorisation SII des engagements de l’assu-reur en situation centrale. Désormais, une étude sur la sensibilité des chocs de la formule standard

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au modèle de taux va être menée avec pour objectif final d’observer et de comprendre la déforma-tion du ratio de couverture vis à vis du modèle de taux.

b) Impact sur le ratio de couverture

La déformation de la situation centrale évoquée ci-dessus a également des conséquences entermes de choc SII et donc de SCR plus globalement. Pour rappel, le SCR est calculé sur la basede la formule standard SII. Les deux graphiques à cascade ci-dessous présentent les différentsmodules du SCR pour les deux modèles étudiés. La partie SCR marché est celle qui subit le plus demouvement. En effet, le passage du HW2F vers le LMM+ entraîne une diminution du SCR marchéd’environ 56 millions d’euros. Le module de souscription Vie est très légèrement impacté au globalavec une hausse de 3 millions d’euros. Le module de souscription Santé n’est pas impacté car sonestimation n’est pas obtenue par le biais de scénarios économiques stochastiques ; aucun modèle detaux n’est utilisé pour le calcul. La diversification est plus importante en valeur absolue dans le casd’une diffusion des taux nominaux par un HW2F du fait de l’augmentation des modules du SCR.Finalement, une baisse de 42 millions d’euros du BSCR 16 est observée lors du passage d’unmodèle HW2F au LMM+.

FIGURE IV.8 – Décomposition du SCR en fonction du modèle de taux nominaux

Zoom sur les modules du SCR marché

Le risque de marché représente ici le plus gros risque pour la compagnie notamment le risquede spread, d’action et de taux. Les sous-modules du SCR marché ne sont pas impactés de manièreuniforme par le choix du modèle. En effet, c’est la composante du SCR taux (situation de choc à labaisse des taux) qui représente presque la totalité de l’écart. En effet, hormis des mouvements de1Me pour le module Action Type 1 et de 3Me sur le module Immobilier, c’est la composante deSCR taux à la baisse qui est impactée à hauteur de 77Me. Le choc à la baisse des taux entraîne la

16. SCR = BSCR + Ajustement + SCR opérationnel

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création de davantage de taux négatifs par rapport à la situation centrale ce qui amplifie les effetsnotamment d’actualisation constatés dans la partie précédente. L’augmentation de la plus valuelatente sur les obligations choquées (+400Me) ne permet pas de compenser l’effet d’actualisationdû au taux négatifs car la gestion obligataire d’un assureur Vie suit une stratégie « Buy & Hold (orMaintain) » 17. Ainsi, on observe un delta de NAV de 405Me pour le HW2F contre 328Me pour leLMM+

Pour les autres chocs de marché, le fait d’abaisser la valeur de marché initiale du portefeuillen’entraîne pas une différence dans la détérioration du Best Estimate choquée d’un modèle de taux àl’autre. Même si le choix d’un LMM+ entraîne un écart dans la valeur actuelle des prestations plusimportant entre la situation centrale et celle choquée, cet effet est compensé par la revalorisationdes contrats plus forte avec le Hull and White à deux facteurs.

A noter qu’en situation de choc à la hausse des taux qui ne génère pas de SCR (Delta NAVnégatif), c’est dans le cas du Hull and White à deux facteurs que le choc est le plus « bénéfique ».Pour rappel, ce choc réglementaire de la formule standard consiste en une translation de la courbedes taux nominaux initiale de 100bps vers le haut par rapport à la courbe centrale. Ce nouveaucontexte de taux génère une baisse de marché des produits de taux (obligations, OPCVM taux,etc.) et réhausse la diffusion des taux nominaux par le modèle sous-jacent. Ainsi, le nombre descénarios extrême par le Hull and White baisse tandis que les taux produits par le LMM+ sont da-vantage explosifs ce qui traduit un coût en termes de Best Estimate. Un écart de 98Me est constatéentre le Delta de Best Estimate avec un Hull and White à deux facteurs et celui avec un LMM+.Cette sensibilité prouve que l’impact étudié ici est relatif à la situation économique actuelle de tauxbas. Une remontée des taux importante pourrait modifier les conclusions tenues ici du faitde la baisse de la projection des taux négatifs et donc de réduire l’écart d’évaluation SII dupassif entre les deux modèles de taux.

La diversification des sous-modules du SCR marché par le biais de la matrice de corrélationutilisée pour la formule standard atténue le mouvement du SCR taux.

Ratio de solvabilité

Par le biais du mouvement du Best Estimate central, le choix du modèle de taux a des consé-quences sur la réserve de réconciliation. Pour rappel, la réserve de réconciliation constitue l’écartentre la valorisation comptable et la valorisation SII du passif et de l’actif. Le choix du modèle detaux n’impacte que la valorisation SII du passif (Best Estimate) ; les autres composantes n’étant pasliées à un calcul dans la projection par scénarios. La réserve de réconciliation constitue un élémentTier 1 18 des fonds propres économiques éligibles (FPE) à la couverture du SCR. La baisse du BestEstimate en situation centrale avec l’utilisation du Libor Market Model Plus implique une augmen-tation de plus de 6% des fonds propres éligibles par rapport au niveau des FPE atteints avec lemodèle Hull and White.

17. Stratégie qui consiste à conserver ces actifs jusqu’à leur arrivée à maturité18. Partie jugée la plus solide (le noyau dur) des capitaux propres des institutions financières

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Finalement, les mouvements du SCR et des Fonds Propres Eligibles expliqués précédemmentimpactent le ratio de solvabilité. La baisse du SCR et l’augmentation des fonds propres éligibles enutilisant le Libor Market Model Plus génère un gain de plus de 10 points de ratio de solvabilité.Le graphique ci-dessous résume les deux composantes du ratio ainsi que la valeur de ce dernier au31.12.2017.

FIGURE IV.9 – Ratio de solvabilité en fonction du choix du modèle de taux

Cette analyse et ces résultats ne sont valables que dans le contexte de taux bas actuel. Deplus, l’ampleur des conséquences du choix de modèle de taux est à relativiser par rapport au porte-feuille de la compagnie d’assurance et son exposition au risque mais également aux managementrules utilisés dans les projections ALM.

Bilan :Le choix du modèle de projection des taux nominaux n’est pas neutre dans la diffusion des taux. Eneffet, parmi les deux modèles étudiés, l’impact en termes d’indicateurs SII est relativement important.Dans le contexte actuel, la génération de taux négatifs très fort par le biais du modèle Hull and Whitea un réel coût en terme de Best Estimate mais également de ratio de solvabilité.La valeur des paramètres de chaque modèle a aussi une influence considérable sur les évaluations SIIcomme nous l’avons étudié pour le paramètre ρ du Hull and White à deux facteurs ou le paramètrede displacement δ du Libor Market Model Plus. Le calibrage des paramètres du modèle dépend desinputs de marché retenus. Nous allons désormais voir l’impact du choix de ces inputs sur le calibragedes modèles et par conséquent des indicateurs SII.

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IV.2 Sensibilité du calibrage aux données de marché

Cette partie constitue une analyse de l’impact du calibrage des modèles de taux par rapportau choix des inputs utilisés dans le processus de calcul des paramètres de la diffusion des tauxnominaux.L’étude suivante permet d’observer la sensibilité des modèles en amont de la partie IV.3 et decomprendre les raisons des mouvements de paramètres mais ne se base pas sur des étudesthéoriques.

Les calibrages précédents des modèles Hull and White et Libor Market Model ont été effectuéssur la base de l’ensemble des données de marché disponibles pour le calibrage. L’obtention desparamètres du modèle s’est faite par le biais d’une considération uniforme des matrices de volatilitéimplicite des swaptions. Pour rappel, les paramètres sont obtenus par minimisation de l’erreurquadratique entre les valeurs de marché des prix de swaptions et des valeurs théoriques liées aumodèle. Ce point a été développé en partie I.1.B.c et la fonction d’optimisation Θ2 peut se simplifierde la manière suivante dans le cadre des swaptions :

Θ2(ψ) =N∑i=1

wiW

∥∥∥P (i)s − P (i)

s (ψ)∥∥∥2

(35)

Avec P (i)s le prix de la swaption observée sur le marché, P (i)

s (ψ) le prix de la swaption estimée parle biais du modèle qui a comme paramètre le vecteur ψ , wi le poids accordé à la swaption i étudiéeet W la somme des poids tel que W =

∑Ni=1wi.

Dans l’équation (35), il est visible que le choix des poids accordé aux différentes swaptionsétudiées va avoir un effet sur le résultat d’optimisation et par conséquent sur le calibrage du mo-dèle. Pour le moment, wi a été maintenu à 1 quelque soit la swaption dans la monnaie ou hors dela monnaie. L’objet de cette partie est de mesurer l’impact du choix de ces poids sur le calibragedes modèles de taux nominaux et sur les simulations ALM qui en découlent.

FIGURE IV.10 – Volatilités implicites et prix des swaptions à la monnaie au 31.12.2017

Les prix et volatilités implicites disponibles pour le calibrage à la monnaie sont présentésdans les graphiques ci-dessus. En ce qui concerne les volatilités implicites, nous constatons unefaible volatilité pour les swaptions avec une maturité d’option courte (maturité) et une durée deswap courte (tenor). L’absence de prise en compte de cette partie de la matrice risque d’impacter

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la market-consistency sur ces points précis et également le calibrage. Comme évoqué dans les cha-pitres précédents, il y a un smile de volatilité en fonction de la durée de l’option. Ce constat n’est pasvalable pour l’évolution du niveau de volatilité implicite en fonction de la durée du swap. A noterque le point de courbure du smile se situe autour du point de maturité 10 ans avec des niveaux devolatilité plus importants. Le prix de swaptions est comme attendu croissant en fonction du tenorpuisque plus la durée du swap est longue plus la couverture en taux associée est longue ce qui rendle produit dérivé plus cher. La volatilité implicite d’une swaption découle du prix de l’option par lebiais de la relation de Bachelier, c’est pourquoi nous observons également une concavité du prix del’option en fonction de la maturité avec le point 10 ans environ comme point d’inflexion.

Dans cette partie, au vu de l’analyse précédente, nous allons étudier la sensibilité du calibrageet des scénarios économiques aux poids de considération de certaines zones très réduites de lamatrice de swaptions. Pour cela, les matrices de poids suivantes seront étudiées :

− Matrice 1 : poids uniforme sur la matrice des swaptions à la monnaie (référence)

− Matrice m2 : poids sur la maturité 2 ans uniquement

− Matrice m10 : poids sur la maturité 10 ans uniquement (point de concavité du smile)

− Matrice m30 : poids sur la maturité 30 ans uniquement

− Matrice t2 : poids uniforme sur le tenor 2 ans uniquement (swap sur le court terme)

− Matrice t10 : poids uniforme sur le tenor 10 ans uniquement (swap sur le moyen-long terme)

− Matrice t30 : poids uniforme sur le tenor 30 ans uniquement (swap sur le long terme)

Ces choix sont arbitraires mais chaque configuration testée permet d’étudier des situationdifférentes : niveaux de volatilité différents, tendances variées, couverture long-terme versus court-terme, etc. La figure suivante permet de résumer les situations testées.

FIGURE IV.11 – Zones de la matrice étudiée pour le calibrage des modèles de taux nominaux

Une étude sur les données à la monnaie sera faite ici. En effet, nous avons vu que le modèleHull and White à un facteur ne permet pas de capter les points de la matrice hors de la monnaie. Lepassage d’un calibrage uniquement à la monnaie pour le Libor Market Model Plus a un léger impact.La non prise en compte des données hors de la monnaie impacte que légèrement les paramètresdu modèle sous-jacent. Toutefois, une baisse de 4 millions sur le Best Estimate euros est constatée.Pour la suite de l’étude, nous prendrons la référence du calibrage ATM pour le HW2F et le LMM+.Le détail de cette analyse de passage est faite en Annexe H.

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A. Sensibilité du modèle Hull and White à deux facteurs

a) Impact sur le calibrage du modèle

De manière générale, le modèle Hull and White à deux facteurs est moins bon pour répliquerle smile de volatilité des swaptions par rapport à la maturité de l’exercice de l’option. Calibrer surune maturité ou sur un tenor impacte grandement les paramètres du modèle estimés par l’algo-rithme d’optimisation. Le graphique suivant résume les erreurs quadratiques observés pour les dif-férents choix de matrice développés précédemment. Cette instabilité quant au calibrage du modèlesemble toutefois attendu du fait des divers niveaux de volatilité et donc de prix dans les donnéesde swaptions.

FIGURE IV.12 – RMSE des prix des swaptions pour les configurations testées - HW2F

Finalement, le calibrage sur le tenor est beaucoup plus volatile que celui en fonction de lamaturité. L’explication n’est pas directe mais la tendance croissante des prix en fonction de la ma-turité semble plus simple à reproduire pour le modèle Hull and White que la concavité des prixen fonction du tenor (rappel de la forme des prix en figure IV.10). A noter qu’en termes de RMSE,reproduire les données des tenors 10 ans ou 30 ans entraîne un bon calibrage sur certains pointsprécis mais également une perte d’information qui génère une moins bonne reproduction de l’en-semble de la matrice. L’utilisation uniquement de la donnée du tenor 2 ans ou d’un calibrage sur lamaturité permet contre intuitivement d’obtenir des meilleurs résidus que dans le cas de la matriceréférence (matrice de poids uniforme sur l’ensemble des points à la monnaie).

Bien que le calibrage sur la maturité impacte que légèrement la RMSE, les paramètres dumodèle sont bien différents d’une matrice à l’autre. Le tableau suivant résume les paramètres duHull and White pour les calibrages des matrices m2, m10 et m30.

Matrice de ref Matrice m2 Matrice m10 Matrice m30a1 0,4888 0,4819 0,900 0,900ε1 0,0216 0,0100 0,0187 0,0450a2 0,0401 0,0100 0,0104 0,0186ε2 0,0101 0,0075 0,0094 0,0072Corrélation : ρ -0,83 -0,83 -0,83 -0,83

TABLE IV.2 – Paramètres du HW2F pour un calibrage uniquement sur les maturités

Les résultats de calibrage montrent que pour ces matrices de poids les paramètres de volati-lité des processus obtenus sont plus faibles que pour la matrice de référence (excepté a1 pour un

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calibrage sur la maturité 30 ans). Le niveau des volatilités implicites est davantage modifié par lavaleur des coefficients de retour à la moyenne qui sont globalement plus grands que ceux de lamatrice de référence excepté pour la matrice m2 puisqu’on calibre sur des niveaux de volatilité plusfaible.

Le modèle HW2F se déforme considérablement en fonction du choix de tenor pour la matricede poids. Le tableau suivant présente les paramètres pour les trois cas étudiés. La référence d’uncalibrage sur tous les points de la matrice ATM est également ajoutée.

Matrice de ref Matrice t2 Matrice t10 Matrice t30a1 0,4888 0,7030 0,5113 0,4283ε1 0,0216 0,0169 0,0400 0,0400a2 0,0401 0,0288 0,0487 0,0797ε2 0,0101 0,0083 0,0115 0,0196Corrélation : ρ -0,83 -0,83 -0,83 -0,83

TABLE IV.3 – Paramètres du HW2F pour un calibrage uniquement sur les tenors

Pour le modèle HW2F, il est relativement aisé de comparer ces valeurs et de comprendre lamodification de la structure des taux nominaux. Ainsi, les matrices t10 et t30 ont des volatilitésplus importantes pour ces processus avec des coefficients de vitesse de retour à la moyenne plutôtstables. En effet, ces derniers correspondent à un calibrage sur des volatilités implicites élevées parrapport à la matrice t2 où c’est le tenor 2 ans qui est visé. On s’attend alors à avoir des scénarios pluslarges dans les extrêmes pour la matrice t10 et t30. Le choix de la matrice t2 modifie les paramètresdu modèle avec une baisse de la volatilité et un retour à la moyenne plus rapide pour le processusdominant x(t).

La sensibilité observée sur les paramètres du modèle HW2F confirme bien l’impact du choixde la matrice de poids en inputs. Ces mouvements vont avoir un impact sur les scénarios de tauxnominaux et donc sur la valorisation du passif SII.

b) Conséquences sur les scénarios de taux et l’évaluation du Best Estimate

La modification des paramètres a une conséquence directe sur la diffusion des taux nomi-naux. Par exemple, pour les différentes configurations testées, le graphique suivant représente leminimum des taux nominaux 1 an au cours de la projection. A noter qu’observer les minimumspermet pour le modèle Hull and White de conclure sur la forme générale de la distribution du faitde sa forme gaussienne. Le même aléa est conservé pour toutes le projections.

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FIGURE IV.13 – Diffusion du minimum des taux nominaux 1 an en fonction du choix de la matrice de poids

Parmi les configurations testées, deux semblent se distinguer des autres avec des niveaux detaux atteints au cours de la projection beaucoup faibles. Il s’agit des calibrages sur les tenors 10ans et 30 ans qui sont en fait les deux moins bons calibrages effectués. Les paramètres de volati-lité de ces derniers étant plus importants, il est logique d’obtenir des taux plus extrêmes pour cescas précis. La propriété gaussienne du modèle Hull and White implique que pour un calibrage surles tenors 10 ans et 30 ans les taux nominaux sont donc plus explosifs. Dès lors, l’évaluation dupassif risque d’être extrêmement impactée dans ces deux cas avec une forte augmentation du BestEstimate due à la présence de taux très négatifs et donc d’une forte actualisation des prestations etautres postes du bilan.

A l’inverse, le calibrage sur le tenor 2 ans ou sur la maturité 2 ans génère des taux quelquepeu moins volatiles. Cette baisse de la volatilité devrait générer une augmentation de la Net AssetValue calculée pour ces projections puisque les scénarios de taux dévissent moins de la trajectoirecentrale risque neutre (taux nominaux projetés par le biais des forwards construits sur la base dela courbe des taux sans risque initiale).

Les scénarios économiques générés restent martingales puisque la propriété du modèle ini-tiale est toujours respectée : modèle d’absence d’opportunité d’arbitrage. Toutefois, nous remar-quons un écartement plus important des prix actualisés des zéro-coupons pour le scénario le plusvolatile (Matrice t30). Le graphique ci-dessous représente le prix actualisé du cash (taux sansrisque) et du zéro-coupon 5 ans de la projection pour la matrice de référence, la matrice t30 etla matrice m2. Avec cette dernière, les valeurs obtenues sont proches de celles pour la matrice deréférence. Bien entendu, la market-consistency est déformée par rapport au scénario de référencepuisque seulement certains points de la matrice sont retenus pour le calibrage.

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FIGURE IV.14 – Prix actualisé de zéro-coupons en fonction de la maturité pour différentes matrices

Au vue des analyses précédentes, la forte sensibilité des scénarios économiques au choix dela matrice impacte le calcul du Best Estimate. Le graphique suivant présente la valeur de la NetAsset Value pour les différentes configurations testées par rapport à la valeur de référence (100%)représentée par la matrice de référence avec un poids uniforme sur toute la matrice.

FIGURE IV.15 – Impact du choix de la matrice sur l’estimation de la NAV

De manière générale, la transformation de la diffusion des taux nominaux par le choix dela matrice de poids a un impact important sur l’évaluation du Bilan SII. En effet, excepté pour lecalibrage sur la maturité 10 ans, la Net Asset Value est très volatile suivant le calibrage. A noterqu’un mouvement de 1% de ce poste correspond en valeur à 20Me d’impact. Une chute de la NAVde plus de 20% (soit plus de 400Me) est constatée pour le scénario identifié comme générateurdu plus de scénarios de taux extrêmes : le calibrage du modèle Hull and White avec des poids surle tenor 30 ans uniquement. La sensibilité du Best Estimate est donc très forte par rapport au choixde la matrice de calibrage pour le Hull and White. Il semble tout de même moins sensible au choixde la maturité que du ténor.

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B. Sensibilité du modèle Libor Market Model Plus

a) Impact sur le calibrage du modèle de taux

Le modèle du Libor Market Model Plus permet de mieux s’adapter aux points particuliers dela nappe de volatilité ATM des swaptions comme la zone à très court terme. Au vu de la forme dela surface de volatilité implicite et notamment de la présence d’un smile des prix en fonction de lamaturité, la considération uniquement d’un tenor ou d’une maturité devrait avoir un lourd impact.Choisir de calibrer expressément sur une unique maturité ne permet pas de tenir compte de lapropriété de smile relative aux swaptions. En effet, le graphique suivant montre bien une grandedifférence dans la capacité du modèle LMM+ à calibrer les swaptions si l’on considère uniquementle tenor ou la maturité. Contrairement à ce que l’on a pu observer pour le modèle Hull and White,l’information contenue uniquement sur une maturité donnée n’est pas bien traduite par le biaisdu LMM+. A l’inverse, répliquer le smile en calibrant uniquement sur un tenor entraîne un boncalibrage par rapport à la matrice de référence vu le peu d’informations utilisées dans le processusde calibrage.

FIGURE IV.16 – RMSE des prix des swaptions pour les configurations testées - LMM+

De manière générale, les paramètres sont très sensibles au choix de la matrice de poids.En utilisant uniquement un vecteur de maturité, le smile de volatilité n’est plus capté. Le LMM+perd sa faculté à proposer une tendance non linéaire pour ses prix en fonction de la maturité. Parexemple dans le cas de matrice avec des poids uniformes concentrés sur la maturité 10 ans, leLMM+ sur-estiment les prix pour les maturités inférieurs à 10 ans et sous-estiment les points avecune maturité supérieur à 10 ans.

FIGURE IV.17 – Répartition de l’erreur pour un calibrage uniquement sur la donnée des swaptions de maturité 10 ans

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La tendance expliquée précédemment s’explique en grande partie par le mouvement desparamètres de Rebonato entre le cas d’un calibrage sur une maturité et d’un calibrage sur un ténor.Comme le montre le graphique IV.18, si le calibrage est opéré uniquement sur la donnée de lamaturité, la fonction de Rebonato perd sa concavité en fonction du temps. En effet, la valeur desprix ou des volatilités implicites à répliquer est dans ce cas davantage linéaire ce qui entraîne cesrésultats de calibrage. A l’inverse, une fonction semblable à celle de la matrice de référence estobtenue pour un calibrage sur un ténor notamment du fait de la stabilité des paramètres de lafonction de Rebonato.

Matrice t2 Matrice t10 Matrice t30 Matrice m2 Matrice m10 Matrice m30a 0,0191 0,0001 0,0001 0,0645 0,1506 0,1967b 0,0173 0,0164 0,0160 0,0054 0,0021 0,0001c 0,09 0,09 0,09 0,0436 0,0350 0,0444

FIGURE IV.18 – Paramètres de la fonction de Rebonato en fonction du choix de la matrice de poids et représentation graphique

Nous ne détaillerons pas les valeurs des autres paramètres du LMM+ (CIR) qui sont plusdifficilement interprétables. Cependant, ces derniers sont très volatiles par rapport aux choix desinputs de calibrage et vont impacter fortement la distribution des taux nominaux.

b) Conséquences sur les scénarios de taux et l’évaluation du Best Estimate

Les mouvements importants des paramètres du Libor Market Model Plus observés impactentgrandement la distribution des taux nominaux notamment en ce qui concerne les calibrages surune unique maturité où les scénarios devraient dériver fortement du cas de référence. Le graphiquesuivant confirme bien nos hypothèses puisque dès le quantile à 5% les scénarios de taux nominaux1 an sont très différents notamment pour les matrices m2, m10 et m30.

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FIGURE IV.19 – Diffusion des taux nominaux 1 an en fonction du choix de la matrice de poids - quantile 5%

La différence de calibrage des fonctions de Rebonato est bien répercutée ici avec beaucoupplus de volatilités à court-terme pour les taux nominaux pour le cas des matrices m10 et m30 où lavolatilité du Rebonato est supérieure à 10% sur les premières années. Le quantile à 5% des scéna-rios calibrés sur les ténors est très proche du niveau atteint pour la matrice de référence.Contrairement au modèle Hull and White, le Libor Market Model Plus n’est pas gaussien et lesconclusions faites sur le minimum ne sont pas forcément les mêmes au niveau des quantiles supé-rieurs. Le graphique suivant présente le quantile à 95% de ces taux nominaux 1 an.

FIGURE IV.20 – Diffusion des taux nominaux 1 an en fonction du choix de la matrice de poids - quantile 95%

Nous constatons que dans les scénarios extrêmes de taux, les observations faites sur le quan-tile à 5% sont encore valables. Toutefois, le scénario rattaché au calibrage sur le ténor 2 ans présentedes taux explosifs. C’est le paramètre de la volatilité du CIR qui diffère énormément par rapport àla matrice de référence pour ce calibrage tandis que les autres sont semblables à ceux de référence.En effet, la volatilité ε du CIR atteint les 50% pour ce cas précis contre au maximum 25% pour lesautres cas et 11% pour la matrice de référence. Ce mouvement de paramètre entraîne une explosi-tivté des taux jusqu’à 20% pour 30 ans de maturité dans le scénario du quantile à 95%.

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Tout comme le modèle Hull and White, le Libor Market Model Plus est dans sa conceptionmartingale tant que le nombre de scénarios est suffisant et qu’aucun retraitement n’est effectué surles scénarios de taux (application d’un floor, etc.). Ici, l’ensemble des tests de martingalité sont va-lidés pour les configurations testées. La propriété de market-consistency est pour le coup impactéedu fait que le nombre de points de calibrage est réduit.

Au vue des analyses précédentes, la forte sensibilité des scénarios économiques au choix dela matrice impacte le calcul du Best Estimate. Le graphique suivant présente la valeur de la NetAsset Value pour les différentes configurations testées par rapport à la valeur de référence (100%)représentée par la matrice de référence avec un poids uniforme sur toute la matrice.

FIGURE IV.21 – Impact du choix de la matrice sur l’estimation de la NAV - LMM+

Nous observons ici une déformation des capitaux propres (actif net réévalué) différente decelle observée pour le HW2F. En effet, les résultats sont très peu écartés de ceux de la matrice deréférence pour le cas d’un calibrage sur le ténor notamment pour le cas du tenor 10 ans et 30 ans(écart d’environ 5Me). La baisse de la NAV pour le cas de la matrice t2 est due à l’augmenta-tion de la volatilité du CIR et donc le renforcement de scénarios extrêmes surtout positifs. Dans legraphique IV.19, les scénarios très négatifs pour le cas de la matrice m10 et m30 sont à l’originede la baisse de la NAV observée ci-dessus. A l’inverse, nous avions remarqué que pour le cas d’uncalibrage sur la maturité 2 ans le spectre de la diffusion des taux nominaux était plus étroit ce quigénère finalement cette augmentation de la NAV de près de 400Me.

Finalement, un calibrage ne prenant pas en compte l’ensemble des maturités ne semble paspertinent pour le LMM+. Ce dernier a besoin de l’information du smile pour calibrer correctementla donnée de marché et pas dériver des standards représentés par l’utilisation de la matrice de ré-férence.

Bilan :Le calibrage est particulièrement sensible aux points de la matrice retenue. Le modèle Hull and Whiteréplique davantage les niveaux de volatilité tandis que le Libor Market Model Plus peut répliquer lesspécificités de la matrice ci ces zones sont bien mises en avant dans le calibrage.Le profil de risque ainsi que la liquidité des produits ne sont pas pris en compte explicitement pourl’instant dans l’étape de calibrage. Un renforcement des poids sur les maturités ou tenors reflétant leportefeuille de BPCE Vie pourrait donc être étudié. Une première partie consistera en la définition deces inputs puis l’impact de ces choix sur le calibrage des deux modèles évoqués (Hull and White à deuxfacteur et Libor Market Model Plus).

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IV.3 Adaptation du calibrage au profil de risque de la compagnie

Dans la partie précédente, nous avons mis en avant la sensibilité du calibrage des modèlesde taux aux données utilisées. Cette partie consistait davantage en une compréhension des mé-canismes du calibrage et des mouvements des paramètres en fonction des données sélectionnées.Désormais, nous allons nous intéresser à une conception du calibrage relative au contexte de mar-ché et au profil de risque de la compagnie.

A. Modification de la matrice de poids pour le calibrage

Les différentes matrices de poids testées dans cette partie seront construites sur la base dedeux sources de données :

a) Exposition de la compagnie aux différentes options utilisées

b) Pertinence de la donnée de marché

La première donnée s’appuie sur la compréhension du portefeuille de passifs et d’actifs de la com-pagnie d’assurance. En effet, le Best Estimate sera davantage sensible pour certaines durations ouautres que l’on peut relier aux options de couverture (swaptions, floors ou caps) et que nous cher-cherons à déterminer. Le deuxième concept est à relier directement à l’existence de ce produit surles marchés financiers de part l’étude principalement de sa liquidité. Après une analyse séparéede ces deux points, nous déterminerons une matrice représentative de ces critères à tester. Noustiendrons également compte des conclusions faites dans la partie précédente pour convenir de cettematrice.

a) Profil de risque de la compagnie

Chaque compagnie d’assurance est soumise à divers risques qui sont fonction de leur activitémais aussi de la stratégie qu’elle choisit de mettre en place que ce soit commerciale mais aussi entermes de politique ALM. Parmi les stratégies commerciales, nous allons retrouver le Taux Mini-mum Garanti (TMG) associé à un contrat d’épargne ou encore une garantie supplémentaire Arrêtde travail sur un contrat Assurance Des Emprunteurs (ADE) décès. En termes de politique ALM,l’allocation stratégique c’est-à-dire la décision de bornes d’investissement pour les différentes typo-logies d’actifs est une règle déterminante pour la gestion des risques.

Un indicateur qui permet de cibler les maturités sur lesquelles une compagnie est exposée estla duration du portefeuille. A noter qu’il est possible de s’intéresser à la duration du passif commede l’actif. En assurance, il est important que les flux de sortie de passifs (rachat, sinistres, etc.)s’accompagnent par des sorties de cash et donc d’actifs afin d’effectuer les différents règlements.

Un des enjeux de la gestion actif passif est de bien gérer l’adéquation entre l’actif et le passif.Par exemple, un actif trop court sera synonyme d’un taux de rendement moins attractif alors qu’unactif trop long sera davantage exposé aux risques de crédit et de liquidité. Il est possible d’étudierglobalement le passif et l’actif de la compagnie d’assurance à partir des model points respectifs.Toutefois, les flux seront bien liés à l’interaction actif et non seulement à la duration du produit entant que tel.

Une étude de gap de trésorerie permet de mettre en évidence ces flux d’actifs et de passifs.La méthodologie retenue est de faire une projection déterministe risque-neutre pour évaluer lescashflows de sortie (pas de cashflow en entrée puisque les évaluations risque neutre s’effectuent

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en run-off) aux différents pas de temps de la projection. Pour le passif, les flux correspondent auxdifférentes prestations : décès, rachats partiels ou totaux, contrats à maturité mais également lepaiement de taxe. Pour l’actif, il faut distinguer deux types d’analyse. Tout d’abord, pour les titresobligataires, deux sources de flux existent : les revenus récurrents matérialisés par les coupons etles revenus liés au remboursement de l’obligation arrivée à maturité ou vendue. Pour les actifsdiversifiés, les flux sont à relier aux versements de dividende ainsi que la vente de ces titres. Toute-fois, ces flux d’actifs diversifiés ne seront pas retenus dans le calcul de la duration car il ne constituepas un revenu fixe. Dans la valorisation de ces flux, il est important de prendre en compte l’aspecttemporel pour actualiser les cashflows. Pour ce faire, un taux d’actualisation découlant de la courbedes taux risque neutre sans VA est appliqué à chaque pas de temps.

Finalement, il est possible d’observer les niveaux de flux à chaque pas de temps de la pro-jection et donc d’observer les points les plus sensibles du Best Estimate. En effet, le BE se voitcomme l’actualisation des cashflows de passif lié à l’assuré en moyenne sur le nombre de trajec-toire. L’observation des flux est effectuée en trajectoire CRN qui constitue bien le scénario moyendes scénarios stochastiques par le biais de la propriété de martingalité. L’échéancier des flux ob-servés pour cette trajectoire est représenté sur le graphique avec également une information sur lepourcentage des flux cumulés.

FIGURE IV.22 – Flux d’actifs et de passifs lors de la projection CRN sur 30 ans

Ainsi, la plupart des flux d’actifs et de passif sont concentrés sur les premières années deprojection. 50% des flux de l’actif ont lieu lors des six premières années de projection avec un com-portement assez chaotique tandis que l’écoulement du passif est beaucoup plus uniforme avec unetendance décroissante exponentielle au cours du temps. Globalement, après 10 ans de projectionc’est près de 60% du flux de passif et 80% du flux d’actif qui sont réalisés. Ces mouvements sontdus principalement à l’arrivée à échéance et le remboursement de nombreuses obligations sur cetemps de période et également à une consommation proportionnelle de la provision technique liéeau rachat des contrats et autres prestations. Il est important aussi de tenir compte du restant àl’actif et au passif qui n’est pas écoulé sur les 30 ans de projection. En prenant en compte cetteinformation, il est possible de calculer la duration de l’actif et du passif à relier avec cette étude.

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Duration actif Duration passif6,11 10,02

TABLE IV.4 – Duration de l’actif et du passif du portefeuille étudié

Ces différentes informations donnent une vision de la sensibilité du Best Estimate. Il estpossible d’intégrer cette information dans le calibrage du modèle de taux nominaux en ajustant lespoids accordés aux swaptions.

b) Marché des swaptions et prise en compte de la liquidité

Le principe de market-consistency est de reproduire les prix de marché d’options dérivéesrelatives au processus étudié. Pour résumer, même si en risque neutre les rendements des diffé-rents actifs modélisés ne seront pas diffusés, il est important de représenter une certaine réalitéde marché dans le pricing du Best Estimate. Les données sources des calibrages des modèles dediffusion doivent donc être représentatives du marché. Pour les taux nominaux, nous nous sommesconcentrés sur l’utilisation des prix des swaptions pour calibrer le modèle sous-jacent. Un calibragesur des dérivés comme les caps ou les floors aurait pu être également possible. La liquidité de cesproduits est un des facteurs explicites pour sélectionner les produits représentatifs du marché. Eneffet, même si le Best Estimate est par exemple sensible à une duration 3 ans, si la couvertureassociée à ce contexte n’est pas traitée sur les marchés, il est moins logique de la considérer.

Pour rappel, la swaption est un produit financier OTC (« Over the Counter ») qui ne fait paspartie d’un marché listé. Le prix de ces dernières est donc dépendant de la contrepartie vendeuseet acheteuse qui s’accorde sur celui-ci. De manière générale, les swaptions représentent un marchétrès liquide notamment en ce qui concerne les options à la monnaie. Cette indication nous permetde ne pas faire de la liquidité de ce produit un critère totalement discriminant dans le choix de lamatrice de poids. Cependant, certaines zones de la surface de volatilité des swaptions sont plus oumoins liquides. D’ailleurs, la concavité des prix des swaptions est en partie due à une liquidité trèsforte des swaptions pour des ténors 10 ans ce qui rend le marché plus compétitif ; le prix est alorsplus important. De plus, la donnée de marché montre que la liquidité des swaptions est plus faiblepour les couvertures très long-terme i.e pour des swaptions de tenor plus de 20 ans.

c) Définition de la matrice de poids

A partir des informations recueillies dans les deux parties précédentes, il est possible de re-voir la pondération des swaptions dans le processus de calibrage.

Problématique : Comment intégrer au mieux les différents instruments financiers dans le proces-sus de calibrage pour tenir compte du profil de risque de la compagnie et de la réalité économique?

A cette question, il n’existe pas une réponse unique. En effet, le lien entre le choix de laswaption pour le calibrage et la sensibilité du Best Estimate n’est pas immédiate. Une swaptionpermet de se couvrir dans le futur d’un risque de taux pendant une durée donnée en échangeantun taux variable contre un taux fixe. Au vue des flux mis en évidence dans la figure IV.22, il sembleimportant de renforcer les couvertures permettant de couvrir les flux des dix premières années.

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Un renforcement des poids sur les tenors court-terme notamment mais également jusqu’à10 ans semble nécessaire pour mettre en avant la couverture associée aux flux. La duration duportefeuille est autour des 10 ans et les flux de réinvestissements obligataires au cours de la pro-jection ont pour échéance environ 10 ans (8 ans pour les obligations corporate et 10 ans pour lesobligations souveraines). Le tenor 10 ans doit dès lors constituer le vecteur le plus ciblé dans le pro-cessus de calibrage. De plus, le portefeuille est vu en run-off dans la projection « Centrale RisqueNeutre » (CRN) mais le calibrage du modèle doit être davantage représentatif d’une réalité à dated’observation. Nous pouvons considérer que pour toutes les maturités les mêmes poids devraientêtre observées. Ceci s’accorde aussi également par rapport aux conclusions faites pour le modèleLMM+ pour lequel le calibrage est instable si l’ensemble du smile de volatilité n’est pas bien re-présenté par les poids de la matrice. Enfin, pour les données de swaption long-terme, peu de fluxsont observés puisqu’on s’écarte grandement de la duration du portefeuille. Ces poids ne doiventpas donc être renforcés dans le processus de calibrage du modèle de taux également du fait de labaisse de liquidité du dérivé sur cette zone.

La matrice de poids suivante permet de tenir compte de ces différentes considérations. Toute-fois, objectiver la valeur des poids exacte est difficile. La pondération retenue permet uniquementde reproduire des conclusions plutôt générales. Le choix de poids importants a été retenu pourévaluer facilement l’impact de cette modification.

FIGURE IV.23 – Choix de la matrice pour un calibrage personnalisé des modèles de taux

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B. Impact sur les scénarios économiques et les indicateurs de solvabilité

Dans cette partie, nous allons mesurer l’impact du choix de la matrice définie dans la partieprécédente en termes de diffusion des scénarios économiques mais également en termes de sol-vabilité. Pour cela, nous allons comparer les nouveaux résultats à ceux obtenus en partie IV.2 oùla matrice de calibrage des swaptions était uniformément considérée. Nous pourrons égalementrapprocher ces résultats à ceux obtenus avec la matrice t10 en partie IV.2 (choix d’un tenor corres-pondant à la duration du passif).

a) Déformation des scénarios de taux nominaux

Tout d’abord, la modification des hypothèses de calibrage a des conséquences sur les para-mètres de modèle obtenus. Pour les deux modèles (Hull and White à deux facteurs et Libor MarketModel Plus), les résultats de calibrage sont présentés dans la figure ci-dessous. Une indication surl’impact du choix de la nouvelle matrice est également exprimée.

FIGURE IV.24 – Évolution des paramètres des modèles de taux nominaux avec la nouvelle matrice de poids

Globalement, l’utilisation de la nouvelle matrice de poids dans le calibrage impacte légè-rement les paramètres quelque soit le modèle de taux. Nous constatons une augmentation desparamètres du Hull and White en particulier la volatilité du premier processus qui augmente deprès de 9%. Ceci devrait générer un spectre de diffusion plus large pour les taux nominaux par rap-port à l’utilisation des poids standards pour le HW2F. Pour le LMM+, ce sont surtout le mouvementdes composantes du CIR qui va impacter la diffusion des taux car le paramètre c de la fonction deRebonato reste stable alors que c’est ce dernier qui impacte le plus la diffusion. En termes de qualitéde reproduction des prix des swaptions, une augmentation de l’erreur quadratique moyenne est ob-servée notamment pour le HW2F. Ce résultat est attendu puisque l’on déforme ici l’information demarché pour qu’elle convienne davantage au profil de risque de la compagnie. Le niveau d’erreurreste pour autant très proche de celui atteint pour la matrice avec une pondération uniforme.

Étant donné que le calibrage est désormais sous-pondéré sur les zones de la matrice les moinsconsidérées, la market consistency sur ces swaptions sur ces points devrait être moins bonne. Ainsi,en prenant le tenor 30 ans (très peu de risque couvert par la compagnie d’assurance vie sur 30ans), nous constatons en effet une moins bonne reproduction du prix et des volatilités implicitesdes swaptions à la monnaie.

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FIGURE IV.25 – Volatilités implicites de la swaption tenor 30 ans pour les différentes configurations de calibrage

A l’inverse, pour les points de la matrice pour lesquels les poids sont renforcés, le nouveaucalibrage permet de mieux répliquer ces points. Pour le tenor 10 ans, une légère amélioration del’erreur relative est constaté même si l’impact est très marginal comme le montre le graphique desvolatilités suivant.

FIGURE IV.26 – Prix de la swaption tenor 10 ans pour les différentes configurations de calibrage

La modification des paramètres des modèles influe directement sur la distribution des tauxgénérés. Les conséquences sur la diffusion des taux nominaux sont atténuées par rapport à cellesconstatées en partie IV.2 puisque les paramètres des modèles sont moins impactés ici. En effet,comme le montre le graphique suivant, le spectre de diffusion des prix des zéros-coupons 1 an estquasiment identique entre la matrice de référence et la matrice finale testée ici. Dès lors, le choixde la nouvelle matrice aurait donc très peu d’impact sur la diffusion des taux nominaux. Cela estdu notamment au fait que la meilleure estimation des engagements de la compagnie s’effectue surla base de flux répartis sur la globalité des maturités projetées. Cependant, bien que la déformationdu spectre de diffusion des composantes de taux soit légère avec la nouvelle matrice de poids, celane signifie pas que les scénarios de taux intermédiaires soient identiques. Ce point est cependantdifficile à appréhender directement.

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FIGURE IV.27 – Bornes de la diffusion des prix des obligations zéro coupon 1 an sur la projection

Le mouvement des facteurs de diffusion des taux nominaux pour les deux modèles devraitlégèrement impacter les indicateurs de solvabilité par rapport à ceux obtenus en utilisant unematrice de poids uniforme pour le calibrage.

b) Mouvements des indicateurs de solvabilité

Dans les parties précédentes, nous avons mis en avance la sensibilité importante du calibragedes modèles sur la valorisation des postes du bilan solvabilité II. Les conclusions sur la diffusiondes taux nominaux laissent à penser que le bilan SII ne devrait pas être très impacté par le choixde la matrice de poids associée au processus de calibrage du modèle de taux nominaux. La figuresuivante résume les évolutions des principaux composantes et indicateurs SII en situation centraleentre la matrice de référence (poids uniforme) et la matrice finale.

FIGURE IV.28 – Impact du choix de la matrice sur les principaux indicateurs du passif SII

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Finalement, le choix de la matrice finale (pondération ajustée de la matrice de poids) a deréelles conséquences sur l’évaluation du Best Estimate et autres données du passif SII. En effet,de manière générale, une amélioration de la création de richesses est observée par rapport à lamatrice de référence pour le cas d’une modélisation par un Hull and White. La Net Asset Valueévolue de +15Me dans le cas du HW2F tandis qu’une baisse de 4Me est observée dans le casdu LMM+. L’estimation sur les 1 000 trajectoires des flux des assurés actualisés représentée parle Best Estimate se voit ainsi diminuée du fait de la propriété NAV+BE=VM, la valeur de marchéétant indépendante de la projection (donnée des Model Point d’actifs). Bien que la diffusion sembletrès peu modifiée par le changement de matrice de calibrage, l’évaluation du passif SII est impac-tée. L’écart de convergence du Best Estimate est également stable entre les modèles de taux et lamatrice de pondération utilisée du fait d’une non dégradation de la martingalité.A noter que les mouvements observés ici ne sont pas une vérité générale. Les observations sont àrelier aux spécificités de la compagnie étudiée et aux choix de construction du modèle ALM.

La déformation centrale de l’engagement des passifs d’assurance aura tout d’abord un impactsur la réserve de réconciliation. De plus, l’évaluation des sous-modules de risque du SCR est impac-tée. Le graphique ci-dessous montre l’évolution du ratio de solvabilité et ses composantes lors dupassage de la matrice de référence à la matrice ajustée.

FIGURE IV.29 – Impact du choix de la matrice sur le ratio de solvabilité et ses composantes

Dans le cas du modèle Libor Market Model Plus, la dégradation de l’estimation des richessesen situation centrale impacte le SCR à la hausse notamment dû à un impact de +3Me sur lerisque de taux. Le recalibrage du modèle Hull and White entraîne également une augmentation duSCR par rapport à la situation de référence causée par une hausse des sous modules de risque demarché (plus de la moitié de l’effet étant due au module de risque de taux). De manière générale,au niveau des sous-modules de SCR, les ordres de grandeur sont conservés. La variation la plusnotable est bien entendue celle du choc à la baisse des taux car il semble être le plus sensible auchoix de modèle et de son calibrage. Le ratio de solvabilité est amélioré pour le cas du Hull andWhite du fait d’une augmentation plus importante des fonds propres éligibles à la couverture duSCR par rapport à celle du SCR. Les légers mouvements de SCR et de FPE pour le LMM+ ont desconséquences à la marge sur le ratio de solvabilité : une baisse de 0,2% est observée.

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Bilan :Les modèles de taux par leur différence de conception sont très impactants dans le cas de la quantifi-cation des risques d’une compagnie d’assurance. De plus, la sensibilité des paramètres de ces modèlesaux données utilisées pour le calibrage constitue un élément à retenir. La modification du processusde calibrage des modèles de taux en vue de tenir compte des spécificités des risques d’une compagnied’assurance et de la modélisation de ces derniers semble intéressante. En fonction du modèle utilisé,des avis d’expert, de la source de la donnée, les sensibilités observées peuvent varier. Il semble toutefoisrecommandé de privilégier une approche personnalisée des calibrages des modèles.Finalement, il est important d’avoir en considération l’impact des choix effectués par les compagniesd’assurance en termes de modélisation des actifs et d’indices de valorisation.

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Conclusion

Au travers de ce mémoire, nous avons mis en lumière dans un premier temps les fonction-nalités et l’importance du générateur de scénarios économiques dans le cadre des études ALMet Solvabilité II. Nous nous sommes concentrés sur l’étude des taux nominaux en univers risqueneutre. Le contexte de taux bas actuel implique l’utilisation de modèles générant des taux négatifs.Deux modèles ont été étudiés dans ces conditions : le modèle Hull and White à deux facteurs et leLibor Market Model Plus.

Le modèle Hull and White à deux facteurs est un modèle assez simple avec peu de para-mètres à identifier et à calibrer. Il s’appuie sur la diffusion d’un taux court combiné avec un autreprocessus aléatoire tout en permettant une reproduction exacte de la courbe des taux initiale. Depar sa distribution gaussienne, il génère des taux négatifs relativement importants notamment dansun contexte de volatilité importante sur les taux. Sa définition lui permet d’obtenir des écrituressimples des composantes et des dérivés de taux. L’identification du rôle des différents paramètresest plutôt directe et le mouvement de ces derniers est très impactant. L’utilisation de données danset hors de la monnaie entraîne une sur-information dans le calibrage de ce modèle qui renvoie unevaleur « flat » des volatilités implicites pour les swaptions en fonction du strike.

Le Libor Market Model se présente comme un modèle de diffusion des taux forwards instan-tanés non adapté au contexte de taux négatifs. Toutefois, l’introduction du paramètre de « displa-cement » permet d’en faire un modèle capable de générer des taux négatifs. Le LMM+ se distinguepar sa distribution « log-normale déplacé », par des taux assez explosifs dans les extrêmes ou en-core par sa complexité. Ce modèle combine un processus stochastique CIR couplé à une fonctiondéterministe pour la construction de sa variance. Le choix du displacement qui est plutôt vu commeun méta-paramètre est essentiel dans la construction du modèle. L’efficacité du calibrage ainsi quele Best Estimate et les indicateurs de solvabilité sont intrinsèquement liés au paramètre de dis-placement. Une recherche approfondie sur la mesure macro-économique du displacement seraitintéressante à mener.

L’utilisation en entrée de calibrage d’une information complète des données de marché nesemble pas pleinement pertinente. En effet, les taux nominaux sont à relier aux actifs de taux pré-sents en portefeuille ainsi qu’au passif de la compagnie d’assurance. Il est donc important que lemodèle de taux diffusé reflète les caractéristiques du bilan de la compagnie. Cela se traduit parune adaptation des données en inputs de calibrage notamment par rapport à la sensibilité du BestEstimate tout en prenant en considération la pertinence de la donnée de marché. De plus, les mo-dèles de taux sont extrêmement sensibles à la pondération des données de marché (ici surface devolatilité implicite des swaptions). Il est difficile de convenir d’une construction précise de cettematrice de poids à implémenter dans le processus de calibrage. Déterminer les zones de matriceles plus sensibles au Best Estimate peut s’appuyer sur une étude des flux d’actif/passif ainsi que surune étude de la liquidité de ces options financières. Néanmoins, évaluer les poids exacts semblecomplexe. Il serait intéressant de développer une méthode précise afin d’obtenir cette information.

Lors de ses travaux, il est important pour l’actuaire d’être sensible aux poids du choixdu modèle et de la définition de son processus de calibrage dans les évaluations SII et lesautres études ALM et d’en connaître les limites.

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Table des figures

I.1 Principes de fonctionnement du GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.2 Classification d’actifs et modélisations retenues par Natixis au 31/12/2017 . . . . . . . 15I.3 Principes de fonctionnement du GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.4 Schématisation du processus de fonctionnement modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . 22I.5 Evolution du bilan de Solvabilité I vers Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.6 Prix ZC 30 ans - Test graphique de la martingalité en fonction du pas de temps de

projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.7 Test graphique de la market consistency du put de strike multiplicatif 1.1 . . . . . . . . 27I.8 Courbe des taux EIOPA au 31/12/2017 sur 30 ans - sans VA . . . . . . . . . . . . . . . 29I.9 Échéancier de flux d’une obligation classique (coupon + spread) . . . . . . . . . . . . . 30I.10 Absence d’opportunité d’arbitrage appliquée au taux forward . . . . . . . . . . . . . . 31I.11 Matrice de volatilité implicite des swaptions - Données au 31/12/2017 . . . . . . . . 32I.12 Flux lié à l’achat d’une swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.13 Analyse en composante principale des facteurs de risque de taux . . . . . . . . . . . . 34

II.1 Niveau des prix répliqués par le modèle Hull and White à un facteur . . . . . . . . . . 40II.2 Niveau des volatilités implicites répliquées par le modèle Hull and White à un facteur 40II.3 Diffusion des taux nominaux par le modèle HW2F au 31/12/2017 par niveaux de

quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.4 Résultat du calibrage par le HW2F pour la swaption de tenor 10 ans . . . . . . . . . . 47II.5 Résultat du calibrage par le HW2F pour la maturité 1 an en fonction du strike de l’option 47II.6 Résultats des tests martingales pour les taux nominaux - modèle HW2F . . . . . . . . 48II.7 Niveau des volatilités implicites répliquées par le modèle Hull and White à un facteur 50II.8 Amplitude de la diffusion des taux nominaux 1 an par un HW2F en fonction de ρ . . . 51II.9 Impact en termes d’indicateurs SII du calibrage de ρ (en Me) . . . . . . . . . . . . . . 51

III.1 Forme de la fonction de Rebonato en fonction du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.2 Diffusion du processus V(t) du LMM+ - modèle CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.3 Distribution par quantile des taux nominaux 1 an par le modèle LMM au 31/12/2014 59III.4 Valeur des shift δi pour chaque pas de temps de la projection . . . . . . . . . . . . . . 60III.5 Diffusion des taux nominaux par un LMM+ avec un displacement égal à 1

τ . . . . . . 62III.6 Volatilité implicite reproduite par le modèle LMM+ avec un displacement égal à 1

τ . . 63III.7 Prix des swaptions tenor 10 ans attendus contre prix modélisés par le GSE . . . . . . 63III.8 Fonction de Rebonato pour les différents arrêtés sur 60 ans . . . . . . . . . . . . . . . 65III.9 Diffusion des taux nominaux 1 an via le LMM+ au 31/12/2017 . . . . . . . . . . . . 65III.10 Résultat du calibrage pour le LMM+ pour la swaption de tenor 10 ans . . . . . . . . 66III.11 Résultats des tests de Market Consistency à la monnaie (sortie de la diffusion) au

31/12/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.12 Résultat du calibrage par le LMM+ pour la maturité 5 ans en fonction du strike de

l’option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

107


III.13 Résultats des tests martingales au 31/12/2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III.14 Impact du choix du displacement sur la fonction de Rebonato en t=0 associée au

LMM+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69III.15 Impact du choix du displacement sur la diffusion du CIR associé au LMM+(pas

mensuel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69III.16 Diffusion des taux nominaux 1 an - LMM+ avec displacement 10% versus 45% . . . 70III.17 Impact en termes d’indicateurs de solvabilité du choix du displacement . . . . . . . 70

IV.1 Comparaison des erreurs d’estimation des volatilités des swaptions pour les deuxmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IV.2 Prix des swaptions de tenor 10 ans répliqués par les modèles en fonction de la maturité 75IV.3 Comparatif des diffusions des taux nominaux 1 an entre LMM+ et HW2F au 31/12/2017 76IV.4 Comparatif de la distribution des prix zéro coupon 10 ans dans la projection . . . . . 77IV.5 Comparatif des diffusions de l’inflation en fonction du modèle de taux nominaux . . . 77IV.6 Ratio NAV/VM par quantile en fonction du modèle de taux nominaux . . . . . . . . . 80IV.7 Scénarios extrêmes des taux nominaux 10 ans pour les deux modèles de taux sur 30

ans de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80IV.8 Décomposition du SCR en fonction du modèle de taux nominaux . . . . . . . . . . . . 81IV.9 Ratio de solvabilité en fonction du choix du modèle de taux . . . . . . . . . . . . . . . 83IV.10 Volatilités implicites et prix des swaptions à la monnaie au 31.12.2017 . . . . . . . . 84IV.11 Zones de la matrice étudiée pour le calibrage des modèles de taux nominaux . . . . 85IV.12 RMSE des prix des swaptions pour les configurations testées - HW2F . . . . . . . . . 86IV.13 Diffusion du minimum des taux nominaux 1 an en fonction du choix de la matrice

de poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88IV.14 Prix actualisé de zéro-coupons en fonction de la maturité pour différentes matrices . 89IV.15 Impact du choix de la matrice sur l’estimation de la NAV . . . . . . . . . . . . . . . . 89IV.16 RMSE des prix des swaptions pour les configurations testées - LMM+ . . . . . . . . 90IV.17 Répartition de l’erreur pour un calibrage uniquement sur la donnée des swaptions

de maturité 10 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.18 Paramètres de la fonction de Rebonato en fonction du choix de la matrice de poids

et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91IV.19 Diffusion des taux nominaux 1 an en fonction du choix de la matrice de poids -

quantile 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.20 Diffusion des taux nominaux 1 an en fonction du choix de la matrice de poids -

quantile 95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.21 Impact du choix de la matrice sur l’estimation de la NAV - LMM+ . . . . . . . . . . . 93IV.22 Flux d’actifs et de passifs lors de la projection CRN sur 30 ans . . . . . . . . . . . . . 95IV.23 Choix de la matrice pour un calibrage personnalisé des modèles de taux . . . . . . . 97IV.24 Évolution des paramètres des modèles de taux nominaux avec la nouvelle matrice

de poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IV.25 Volatilités implicites de la swaption tenor 30 ans pour les différentes configurations

de calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99IV.26 Prix de la swaption tenor 10 ans pour les différentes configurations de calibrage . . . 99IV.27 Bornes de la diffusion des prix des obligations zéro coupon 1 an sur la projection . . 100IV.28 Impact du choix de la matrice sur les principaux indicateurs du passif SII . . . . . . . 100IV.29 Impact du choix de la matrice sur le ratio de solvabilité et ses composantes . . . . . 101

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Annexe A : Comparaison des modèles de taux (source IA)

Les tableaux suivants donnent une description des principaux modèles de taux selon diffé-rents critères comme « présence de taux négatifs », « existence de formules fermées », etc.

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110


Annexe B : Qualité de reproduction des volatilités implicites des swap-tions par le modèle HW2F

111


Annexe C : Démonstration de l’écriture de l’EDS du LMM

Cette section reprend la démonstration de l’équation différentielle stochastique du Libor Mar-ket Model. Cette partie s’inspire fortement de la démonstration de Hull dans [21].

La relation pour les taux forwards LIBOR suivante est le point de départ de cette démonstra-tion.

dFk(t)

Fk(t)= σk(t)dW

kt (36)

De plus, on peut également associer une EDS au prix des zéro-coupon P (t, Tk) de la formesuivante :

dP (t, Tk)

P (t, Tk)= ...+ ηk(t)dZ

Avec ηk(t) une fonction négative puisque les prix de zéro-coupon et les taux d’intérêt sont inverse-ment corrélés.

L’univers forward risque neutre défini à l’instant est celui rattaché au prix du zéro-couponP (t, Tn(t)) avec n(t) = inf {n ∈ N, t ≤ Tn}. De ce fait, l’équation (28) s’écrit en univers forwardneutre :

dFk(t) = σk(t)(ηm(t)(t)− ηk+1(t))Fk(t)dtσk(t)Fk(t)dZt (37)

De plus, la relation suivante lie les forwards aux prix des zéro-coupons :

ln(P (t, Ti))− ln(P (t, Ti+1) = ln (1 + τiFi(t))19

En utilisant le lemme d’Itô appliqué à la partie gauche et droite de l’équation ci-dessus etconstatant l’égalité des facteurs devant dZ, nous obtenons la relation suivante :

ηi(t)− ηi+1(t) =τiFi(t)σi(t)

1 + τiFi(t)

Finalement, en couplant cette dernière relation et l’équation 37, le processus suivi par le Fk(t)dans l’univers forward risque neutre est :

dFk(t)

Fk(t)= drift+ σk(t)×

dZt +

k∑i=n(t)

σi(t)Fi(t)

Fi(t) + 1τ

dt

19. Réécriture de l’équation (10)

112


Annexe D : Impact des paramètres de la fonction Rebonato

Influence du paramètre a :

Influence du paramètre b :

Influence du paramètre c :

113


Annexe E : Qualité de reproduction des volatilités implicites des swap-tions par le modèle LMM+

114


Annexe F : Test de normalité - Shapiro-Wilk

Un des tests permettant de vérifier la normalité d’un jeu de données X est le test de Shapiro-Wilk. Il utilise le rapport de deux estimations de la variance. Dans le cas d’une variable normale, cesdeux estimations coïncident et le rapport est voisin de 1, alors que si la variable n’est pas normalele rapport est plus petit que 1.

Voici les différentes étapes pour calculer la valeur W du test de Shapiro-Wilk à partir d’unéchantillon avec n observations : x1, x2, . . . , xn.

1. On trie les observations dans l’ordre croissant : y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yn2. On calcule la moyenne de ces observations : y = 1

n

∑ni=1 yi

3. On calcule S2 qui est la somme des écarts à la moyenne : S2 =∑n

i=1(yi − y)2

4. On calcule b2 (un autre estimateur de la variance des données) :

− On calcule d : di = yn−i+1 − yi− Si n est pair, k = n

2 . Si n est impair, k = n−12 , ce qui signifie qu’on ignore la médiane

dans le calcul de b2.

− b2 =(∑n

j=1(αj × dj))2

où αj sont des constantes dépendant de l’espérance m et de lamatrice de variance/covariance V de la statistique d’ordre associée à un échantillon detaille n de loi gaussienne centrée réduite. Ces valeurs sont renseignées dans les tables deloi.

5. On calcule la statistique finale du test W :

W =b2

S2=

(∑nj=1(αj × dj)

)2∑ni=1(yi − y)2

6. On compare la valeur de W observée avec la valeur de W donnée dans la table des valeursdu test de Shapiro-Wilk. Si Wobs < W0.05, on rejette H0, ce qui indique la non-normalité desdonnées.

Cette statistique de test peut s’interpréter comme le cœfficient de détermination entre levecteur des quantiles générés à partir d’une loi gaussienne et celui des quantiles empiriquesbasés sur les données. Le tracé du premier vecteur en fonction du deuxième s’appelle ungraphe quantile-quantile ou "Q-Q plot", que l’on compare graphiquement à la droite de Henry.

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Annexe G : Comparaison de la diffusion des taux nominaux entre LMM+et HW2F

Cas des taux nominaux 10 ans sur 30 ans de projection :

Comparatif des diffusions des taux nominaux 10 ans entre LMM+ et HW2F au 31/12/2017

Cas des taux nominaux 30 ans sur 30 ans de projection :

Comparatif des diffusions des taux nominaux 30 ans entre LMM+ et HW2F au 31/12/2017

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Annexe H : Impact d’un calibrage uniquement à la monnaie - LMM+

Le LMM+ a la capacité de tenir compte correctement du smile de volatilité des swaptionsmais permet aussi un calibrage des données en fonction du strike de l’option. C’est pourquoi il estintéressant de calibrer ce modèle dans la monnaie (Strike inférieur à la valeur du sous-jacent) ethors de la monnaie (Strike supérieur à la valeur du sous-jacent). Pour effectuer la dernière partiede l’étude, seul le calibrage des données à la monnaie a été effectué. Le passage d’un calibragecomplet (données à la monnaie plus en fonction du strike pour le tenor 10 ans) est détaillé dans letableau ci-dessous.

Calibrage complet Calibrage ATMParamètres de Rebonatoa 0,0187 0,0183b 0,0137 0,0136c 0,0900 0,0900

Paramètres du CIRValeur initiale : V0 1 1Vitesse de retour à la moyenne : κ 0,100 0,100Niveau de retour à la moyenne : θ 0,4300 0,4077Volatilité : ε 0,1477 0,1140

Corrélation : ρ 1 1Displacement : δ 10% 10%

Résultats d’optimisationRMSE Swaptions 0,0104 0,0107

Indicateurs SII (millions d’euros)PVFP -11,64 -9,49Best Estimate 43 407 43 403

TABLE 5 – Impact du calibrage pas dans la monnaie pour le LMM+

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Documents

Mémoire d’Actuariat - Pierre VAUJANY