Modèle de plasticité et d'endommagement pour le comportement du béton

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Modèle de plasticité et d'endommagement pour lecomportement du bétonLudovic Jason aa CEA Saclay DM2S/SEMT/LM2S , Bat 607, F-91191, Gif sur Yvette E-mail:Published online: 05 Oct 2011.

To cite this article: Ludovic Jason (2004) Modèle de plasticité et d'endommagement pour le comportement du béton,Revue Française de Génie Civil, 8:9-10, 1177-1189, DOI: 10.1080/12795119.2004.9692646

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Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 9-10/2004, pages 1177 à 1189

Modèle de plasticité et d’endommagementpour le comportement du béton

Ludovic Jason*

* CEA SaclayDM2S/SEMT/LM2SBat 607F-91191 Gif sur Yvette

[email protected]

RÉSUMÉ. Les modèles d’endommagement ou de plasticité, s’ils sont utilisés séparément, nesont pas suffisants pour décrire le comportement du béton de manière satisfaisante. En effet,ils ne peuvent reproduire les pentes de déchargement à partir desquelles est généralementdéfini l’endommagement expérimental du matériau. Pour les problèmes couplés, nécessitantune estimation la plus exacte possible de la dégradation mécanique de la structure (et doncde son endommagement), la capacité de la loi constitutive à évaluer le déchargement estessentielle. Une relation élasto-endo-plastique a été développée afin de combiner lesavantages et limiter les inconvénients des deux approches. La formulation est tout d’abordtestée en traction uniaxiale. Un essai de compression cyclique permet de valider l’intérêt dumodèle et de mettre en avant les améliorations apportées (comportement volumique). Enfin,un essai dit de confinement « passif » souligne la nécessité d’une approche combinée pour ladescription du comportement d’une structure composite (tube d’acier et béton).

ABSTRACT. Elastic damage models or elastic plastic constitutive laws are not totallysatisfactory to describe the behaviour of concrete. They indeed fail to reproduce theunloading slopes during cyclic loading which define experimentally the value of the damagein the material. When coupled effects are considered, the capability of the numerical modelto reproduce the unloading behaviour is essential, as an accurate value of the damage isneeded. An elastic plastic damage formulation is so proposed to circumvent thedisadvantages of both approaches. It is first tested on uniaxial tensile loading. It is thenapplied on one cyclic compression to highlight the improvements of the presented law(volumetric behaviour). Finally, a « passive » confinement test is proposed to underline theimportance of using a plastic – damage approach for the simulation of a composite structure(steel tube with concrete).

MOTS-CLÉS : modélisation, comportement, béton.

KEYWORDS: model, behaviour, concrete.

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1178 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 9-10/2004

1. Introduction

Dans certains cas, évaluer l’endommagement d’une structure (directement lié à sadégradation mécanique) est essentiel. Pour les problèmes couplés, cela devientmême fondamental puisqu’une erreur sur cette variable induit directement uneestimation inadéquate de la grandeur associée (couplage entre l’endommagement etla perméabilité (Picandet et al., 2001), le fluage (Omar et al., 2003) etc.). A titred’exemple, dans (Picandet et al., 2001), une loi expérimentale est ainsi proposéeentre l’endommagement du matériau et sa perméabilité au gaz. L’endommagementest mesuré à partir de la pente de déchargement lors d’essais cycliques. Pour ce casprécis, et plus généralement pour la modélisation d’environnements sensibles,comme les enceintes de confinement de centrales nucléaires pour lesquelles le tauxde fuite, directement fonction de la perméabilité, doit être maîtrisé, le modèlenumérique doit être capable de reproduire le déchargement du matériau si une erreursur la variable couplée souhaite être évitée. Les modèles d’endommagement (Mazarset al., 1989) ne sont pas appropriés. Une contrainte nulle correspond à unedéformation nulle et l’endommagement est ainsi surestimé. Une loi élasto-plastique(Grassl et al., 2002 ; Menétrey et al., 1995) n’est pas non plus adaptée car la courbede déchargement suit la pente élastique. Une alternative consiste donc à combiner lesdeux approches et proposer un modèle élasto-endo-plastique. L’adoucissement dubéton et la diminution du module élastique sont ainsi reproduits parl’endommagement tandis que la plasticité est responsable du développement desdéformations irréversibles. Avec cette formulation, il devient possible de simuler ledéchargement expérimental (figure 1). Basée sur un modèle d’endommagementisotrope associé à une surface seuil de plasticité à écrouissage positif, une loi decomportement est proposée puis validée sur trois applications : un chargement detraction uniaxiale, un essai de compression cyclique (développement dedéformations irréversibles et comportement volumique) puis de confinement dit« passif » (tube d’acier rempli de béton).

2. Formulation du modèle

Plusieurs possibilités existent pour combiner les effets de l’endommagement etde la plasticité dans une seule et même relation constitutive. Historiquement,l’endommagement a d’abord été couplé avec la plasticité pour les métaux dans lesmodèles dits de « rupture ductile » (Lemaitre et al., 1984, par exemple). La créationde vides était alors expliquée par le développement de déformations plastiques.L’application de cette approche aux bétons a été proposée par Oller et al. (1990),Meschke et al. (1997) ou Kratzig et al. (2004). Dans ces modèles, l’évolution del’endommagement est pilotée par les déformations plastiques. Cette solution peutsembler difficilement applicable dans le cas de la traction simple par exemple où lesdéformations plastiques sont généralement faibles et où l’endommagement estdominant.

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Figure 1. Pente de déchargement, réponses schématiques expérimentale, desmodèles d’endommagement et des modèles de plasticité

De plus, on peut difficilement expliquer comment les déformations plastiques sedéveloppent dans le béton avant la microfissuration. En effet, une hypothèseclassiquement retenue est de considérer que les déformations irréversibles sont lerésultat du glissement des microfissures et de la friction interne. Un tel phénomènenécessite donc la formation préalable d’une fissuration avant le développement de laplasticité.

Une seconde approche qui convient à la fois à la traction et à la compressionutilise le concept de la contrainte effective. La surface seuil de plasticité n’est plusécrite en terme de contraintes totales mais devient fonction de la contrainte effective(contrainte du matériau non endommagé) (Simo et al., 1987 ou Ju, 1989). Simo etal. (1987), Hans et al. (1992), Yazdani et al. (1990), Fichant et al. (1999), Mazars etal. (1989), Faria et al. (1998) ou Jefferson (2003) utilisent cette approche avec desmodèles d’endommagement isotropes ou anisotropes combinés à l’élasto plasticité.La loi de comportement présentée ici est basée sur le concept de contrainteseffectives car il permet de séparer simplement l’endommagement et la plasticité. Unecontrainte non endommagée σ‘ est donc introduite telle que :

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(1 ) 'Dσ σ= − [1]

Dans notre cas, la contrainte effective vérifie les équations de plasticité et enparticulier, ( ', ) 0F σ κ ≤ où F est la surface seuil plastique et κ les variables internes

associées. L’endommagement est ensuite fonction des sollicitations élastiques(Hansen et al., 1992 ou Faria et al., 1998 par exemple). Plus précisément,

/( ( ))etD D Max ε= . Avec cette évolution, les conséquences de chaque phénomène

sont découplées. La plasticité est uniquement responsable du développement desdéformations irréversibles et des effets associés (comportement volumique,transition ductile – fragile). L’endommagement est à l’origine de l’adoucissement ducomportement mécanique global et de la diminution de la raideur. La plasticitén’intervient donc pas dans le développement de la fissuration: deux phénomènessimulent deux effets. Cette hypothèse de « découplage » permet de plus de simplifierl’implantation et la calibration de la loi de comportement (Jason, 2004).

2.1 Surface seuil de plasticité

Dans notre cas, la surface seuil a été choisie pour remplir trois objectifs. Toutd’abord, des déformations irréversibles doivent apparaître pendant l’application duchargement mécanique (vérifié a priori par toutes les lois de plasticité). Ensuite, lecomportement volumique doit être correctement simulé avec l’apparition d’unchangement contractant vers dilatant observé en compression simple. Cette conditionempêche l’utilisation de lois du type Von Mises uniquement fonction du secondinvariant et pour lesquelles la réponse volumique est élastique. Enfin, une attentionparticulière est apportée à la simulation du confinement. Pour des niveaux depressions hydrostatiques conséquents, des effets plastiques apparaissentexpérimentalement (diminution du module élastique, Sfer et al., 2002). Cela supposeune fonction fermée selon le premier invariant (existence d’un seuil plastique enconfinement) et élimine les équations de type Drücker – Prager.

La surface seuil choisie dans cette contribution dépend des trois invariants de

contraintes normalisés ( , ,ρ ξ θ ) et d’une variable d’écrouissage kh comprise entre 0

et 1 (définition d’une surface limite pour kh = 1) (Etse et al., 1994)

3/ 2

' ' ' ' '' 1 3arcsin( )

3 2 ( ' ' )3

ij ji ij jk kiii

c ij jic

s s s s s

r s sr

σξ ρ θ= = = − [2]

avec σ‘ij et s’ij respectivement les composantes du tenseur des contraintes effectiveset déviatoriques. rc représente un des paramètres du modèle.

F est définie à partir de trois fonctions k̂ (écrouissage), cρ (invariant

déviatorique) et r (fonction de forme déviatorique)

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2 '2

2

ˆ( ', ) ( )( ')

( ')h ck k

Fr

ρρ= −σ σσ

σ[3]

Le système d’équations caractéristique du problème de plasticité (Pérez-Foguetet al., 2000) est résolu avec une méthode itérative associée à un algorithme deNewton – Raphson. La figure 2a montre l’évolution de la surface seuil en fonctionde la valeur du paramètre d’écrouissage en compression simple. La figure 2bsouligne la non symétrie de la loi plastique en fonction de l’angle de Lode (en

compression simple 6

πθ = , traction simple 6

πθ = − et chargement hydrostatique

0θ = ). Enfin, la figure 2c illustre les surfaces limites pour deux valeurs de θ.Lorsque le paramètre d’écrouissage kh prend sa valeur maximale égale à 1, la surfacen’évolue plus et le niveau de contraintes effectives reste constant.

Figure 2. Evolution de la surface seuil plastique et surfaces limites

2.2. Endommagement

Le modèle d’endommagement est celui initialement développé dans (Mazars,1984). Il décrit le comportement du béton en introduisant une grandeur scalaire Dquantifiant l’influence de la microfissuration. Pour définir le développement del’endommagement, une déformation équivalente εeq est calculée à partir du tenseurde déformations élastiques εe.

1 'e −= σε E [4]

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avec E-1 l’inverse du tenseur d’élasticité et :

32

1

( )eeq i

i

ε ε +=

= < >∑ [5]

avec <εei>+ les déformations élastiques principales positives. εeq caractérise

l’extension du matériau durant le chargement (allongements positifs).

La fonction de charge g est définie par :

( , ) ( )e eg D d D�= −ε ε [6]

où la variable d’endommagement D prend la valeur maximale atteinte par d

�� durant

l’histoire du chargement / ( ,0)tD Max d=��

. d

�� est définie par une loi d’évolution qui

distingue les réponses du matériau en traction et en compression à l’aide de deuxcouples de scalaires (αt , Dt) pour la traction et (αc , Dc) pour la compression.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e et t eq c c eqd D Dα ε α ε

�= +ε ε ε [7]

Les expressions des différents paramètres sont données dans (Mazars, 1984).L’évolution de l’endommagement est finalement déterminée par les conditions deKuhn – Tucker :

0, 0, 0g D gD≤ ≥ =��

��

Une fois la variable d’endommagement connue, la contrainte « réelle » estcalculée à partir de l’équation :

(1 ) 'D= −σ σ ��

2.3. Qualité numérique

La capacité à reproduire un comportement expérimental n’est pas le seul point àpartir duquel la qualité d’un modèle doit être jugée. La robustesse de la méthode derésolution est aussi fondamentale. Dans l’optique de tests structuraux utilisant desmaillages fins et complexes, l’efficacité de l’algorithme itératif influence directementles temps de calcul et donc la faisabilité d’une étude. Un opérateur tangent cohérent(OTC) a donc été développé pour l’algorithme de Newton – Raphson en s’appuyantsur la méthodologie développée dans (Pérez-Foguet et al., 2000).

La figure 3 illustre la convergence du modèle d’endommagement seul et de la loide comportement complète. Ces résultats témoignent clairement de l’amélioration dela convergence obtenue avec l’OTC développé dans cette étude. Dans les casextrêmes, utiliser l’opérateur tangent cohérent divise par plus de huit le nombred’itérations requis pour converger par rapport à une matrice de résolution élastique(« élastique » sur les courbes). Une étude annexe a aussi montré que, pour ce cas testparticulier, le temps de calcul était diminué de 80 % avec l’OTC (Pijaudier-Cabot etal., 2002).

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Figure 3. Convergence en compression simple de la loi d’endommagement seule (a)et de la relation élasto-endo-plastique (b). Comparaison entre l’opérateur tangentcohérent et la matrice élastique

3. Validation

3.1. Traction uniaxiale

La traction uniaxiale est l’un des tests élémentaires les plus significatifs lorsquel’on s’intéresse à la fissuration. C’est en effet lorsque le matériau est soumis à cetype de sollicitations que les premières fissures apparaissent. La réponse numériquedu modèle est comparée aux résultats expérimentaux de Gopalaratnam et al. (1985)dans la figure 4. Le modèle est capable de reproduire la position du pic descontraintes (déformations et amplitude). Le comportement post-pic est aussicorrectement simulé, même si résultats expérimentaux et numériques ne sont pasexactement identiques. Il est à noter que la plasticité ne joue un rôle que pour desdéformations de l’ordre de 0.0003. Le matériau s’endommage après le pic decontraintes puis « plastifie » lorsque les déformations sont suffisamment grandes.L’endommagement reste donc le phénomène dominant lors de l’essai de traction. Enconclusion, le modèle permet de simuler un essai de traction uniaxiale.

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Figure 4. Traction uniaxiale, comparaison expérience-simulation

3.2. Compression cyclique

La seconde application élémentaire utilisée pour valider le modèle est un essai decompression cyclique. Les résultats expérimentaux sont issus de (Sinha et al., 1964).La figure 5a illustre la réponse du modèle sans effet de plasticité. Avec cette relation,une contrainte nulle correspond à une déformation nulle. Aucun effet irréversiblen’est simulé. La figure 5b montre la courbe contrainte – déformation obtenue avec laloi de comportement complète. L’endommagement produit l’adoucissement tandisque la plasticité est responsable du développement des déformations irréversibles.Les pentes de déchargement expérimentales et numériques sont identiques.

Figure 5. Compression cyclique. (a) Réponses axiales des modèlesd’endommagement et (b) d’endommagement-plasticité

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Figure 6. Compression cyclique. (a) Réponses volumiques des modèlesd’endommagement et (b) d’endommagement – plasticité

Les figures 6a et 6b illustrent les différences en terme de réponse volumique.Avec le modèle d’endommagement simple, les déformations volumiques restentnégatives. Au contraire, l’introduction de la plasticité génère un changement decomportement contractant vers dilatant observé expérimentalement (Sfer et al.,2002).

3.3. Confinement passif

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mesures.

Dim. (mm) Acier Béton

D e L Es (Pa)σe

(MPa)E (MPa) f’

c (MPa)

150 4 450 21 1010 279.9 2.18 1010 22

Tableau 1. Géométrie et caractéristiques du CFT

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Figure 7. Simulation du comportement du CFT. (a) Modèle complet et(b) d’endommagement seul

Expérimentalement (Susantha et al., 2001), au début du chargement aucun effetde confinement n’apparaît. Les déformations transversales dans le béton sont plusfaibles que dans l’acier, à cause d’une différence dans les coefficients de Poisson(0.2 contre 0.3 pour cette simulation). Le béton est donc soumis à de la tractiontransversale. Lorsque la charge appliquée augmente, la plasticité est responsabled’une modification du coefficient de Poisson apparent du béton. L’expansion latéraledu matériau devient progressivement plus grande que celle du tube d’acier. Unepression radiale se développe et un effet de confinement apparaît. L’évolution de lacontrainte radiale en fonction de la déformation axiale est donnée dans la figure 8a(loi incluant la plasticité). La figure 8b montre les déformations transversales dans lebéton εc et dans l’acier εs. Comme observé expérimentalement, le béton est d’abordsoumis à des contraintes radiales de traction puis de compression. Le changementdans le signe de la charge appliquée apparaît dès que εc devient plus grand que εs.

Figure 8. Comportement radial du CFT. Modèle complet (endommagement etplasticité)

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Figure 9. Comportement radial du CFT. Modèle d’endommagement seul

Au contraire (figures 9a et 9b), avec la loi d’endommagement seul, comme εc esttoujours plus petite que εs, le béton est uniquement sollicité en traction radiale.Aucun confinement passif n’est présent et c’est pour cette raison que le pic de chargeaxiale est si peu approprié par rapport à l’expérience.

4. Conclusions

Un modèle a été proposé pour la description du comportement mécanique dubéton. Avec cette loi, l’endommagement est responsable de l’adoucissement dumatériau et de la diminution du module de déchargement tandis que la plasticitéreproduit le développement des déformations irréversibles. En compressioncyclique, le modèle sait simuler quantitativement les déformations plastiques en casde déchargement et proposer une pente (donc un endommagement) correcte parrapport à l’expérience. Il reste fidèle au comportement caractéristique du béton :élasticité linéaire puis non linéarité à écrouissage positif puis négatif. Lecomportement volumique est reproduit avec un passage contractant vers dilatant dûaux effets de plasticité. Enfin, dans le cadre d’une application structurelle (tubed’acier rempli de béton), les améliorations apportées par la formulation ont été misesen évidence : introduire la plasticité est nécessaire pour reproduire l’effet deconfinement passif lié à la modification du coefficient de Poisson apparent. Enconclusion, la loi de comportement a été appliquée avec succès et pourrait doncreprésenter un outil approprié pour simuler l’endommagement expérimental dans lecadre de problèmes couplés (endommagement-perméabilité par exemple).

Remerciements

L’auteur remercie EDF et l’Union Européenne (projet MAECENAS FIS5-2001-00100) pour leur soutien financier dans le cadre de cette recherche. Ledéveloppement du modèle numérique a été réalisé conjointement avec le Laboratoirede Calcul Numérique de l’UPC (Barcelone) dirigé par A. Huerta et grâce aux

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données initiales fournies par R. Crouch (Université de Sheffield). L’auteur remercieparticulièrement G. Pijaudier-Cabot et les membres de l’ERT Rupture et Durabilitédes Ouvrages (R&DO) au sein de l’Institut de Recherche en Génie Civil etMécanique (GeM) à Nantes pour leur aide dans la réalisation de ces travaux.

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