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3ème Partie: Plan

• Processus Stochastiques

• Processus de Markov

• Processus de comptage

• Processus de Poisson

• Processus de naissances pur

• Les processus de naissance et de mort

• Files d’attente• Gestion aléatoire des Stocks

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Processus Stochastiques:

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• Considérons une expérience aléatoire avecΩ sonespace fondamental.

• En associant des valeurs numériques auxéléments de cet espace, on peut définir une

famille de variables aléatoires {X(t), t≥0} indexéepar rapport au paramètre temps t.

• Les valeurs que prend le processus s’appellent« les états » et leur ensemble S espace des états.

• L’ensemble T des valeurs possibles de t s’appelleespace de temps, qui peut être discret oucontinue.

3Mohamed El Merouani


• Dans le cas discret, on notera le temps par net on représentera le processus par{Xn;n=0,1,2,…}

• Lorsqu’on fixe t, X(t) est une variable

aléatoire.• Pour avoir une description complète du

processus, il est nécessaire de donner la loiconjointe des variables aléatoires de lafamille {X(t); t ∊ T }.

• Lorsque t est continue, avoir cette loiconjointe est presque impossible.


www.elmerouani.jimdo.com


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• Sous ces conditions, on suppose que lecomportement du processus s’obtient en l’étudiantdans tout ensemble discret de temps et endéfinissant une loi conjointe dedans, c’est-à-dire,pour (t1, …, tn) avec t1


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Processus de Markov:

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Processus de Markov:

• La forme la plus simple de dépendance entre lesvariables aléatoires d’un processus stochastiqueest la Markovienne.

• Soient un ensemble d’instants (t0,t1,…,tn,t) avect0


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Processus de comptage:

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Processus de comptage:

• Un processus de comptage N(t) est uneffectif à la date t.

• Par exemple: – N(t)=taille d’une population à la date t. – N(t)=nombre de navire qui arrivent à un port dans

l’intervalle de temps [0,t]

Ces processus sont des processus:• à temps continu (le temps t varie

continûment, t∈ ℝ

• à espace d’états discret (un comptage n estun nombre entier), éventuellement infini.


Processus de Poisson:

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• Le processus de Poisson est le processusde comptage le plus élémentaire utiliséfréquemment pour modéliser les

occurrences d’un événement pouvantsurvenir à tout instant avec une probabilitéconstante et indépendamment desoccurrences passées.

• On note N(t) le nombre d’événementssurvenus dans l’intervalle [0,t].




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• On dit qu’un processus stochastique est dePoisson s’il vérifie les hypothèses suivantes:

A- le processus est sans mémoire: l’occurrenced’événements avant la date t n’influe en rien surl’occurrence d’événements après t (donc c’est unprocessus de Markov)

B- le processus est homogène dans le temps: la loide probabilité de l’accroissement N(t+h)-N(t) duprocessus ne dépend que de h et pas de t (etdonc la même que celle de N(h)). On parle parfoisd’hypothèse d’homogénéité temporelle ou destationnarité.



• Un tel processus a une trajectoire enescalier



• L’événement d’intérêt survient aux datest1, t2,…,t5,t6,…à chacune de ces dates, lecomptage N(t) augmente de 1:

N(t)=0 si t


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Processus de Poisson: Loi deprobabilité

• En terme de probabilités, si on considère laprobabilité qu’un événement survienne dans unintervalle d’amplitude t

P(N(t+t)-N(t)=1)en opérant un développement limité au premierordre, et en remarquant que

P(N(t)-N(t)=1)=0on obtient

P(N(t+t)-N(t)=1)= λ∆t+o(t)



on obtient

P(N(t+t)-N(t)=1)= λ∆t+o(t)

où λ est appelée intensité du processus

Les hypothèses A et B impliquent que λ nedépend pas de t.

la notation o(t) veut dire que:

22

0)(

0 → ∆

∆→∆t t

t o

Mohamed El Merouani


• Alors N(t) est un processus de Poisson deparamètre λ, qui vérifie que chaque N(t) suitune loi de probabilité de Poisson de

paramètre λt.P(N(t)=n)=e-λt(λt)n /n!

• On peut démontrer alors que les intervalles

du temps entre deux événements consécutifssont des variables aléatoires i.i.d. suivant uneloi exponentielle de paramètre λ.


Processus de naissances pur

• Le processus de Poisson adapté au cas de lacroissance d’une population pour lequel ilsemble raisonnable de tenir compte de lataille de la population pour modéliser lafréquence des naissances.

• Il faut bien noter qu’on s’intéresse iciseulement à la naissance de nouveauxindividus et non à leur mort et qu’on obtientdonc une modélisation nécessairementcroissante de la taille de la population.




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Les processus de naissance etde mort:

• C’est le cas général dans lequel, onconsidère l’évolution d’une population quiconnaît à la fois des naissances et desmorts.


Files d’attente

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Files d’attente:

• La population de la file d'attente évoluecomme un processus de saut markovien...

• nous nous limitons au cas où il n'y a que

des sauts vers deux valeurs voisines : – naissance ou arrivée (la population augmente

de 1)

– mort ou départ (la population diminue de 1)


Files d’attente:

λn est le taux de naissance (ou d'arrivée) et µn le taux demort (ou de départ).

λ0

µ1

λn-1 λn

µn µn+1

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0 1

n-1 n n+1

Mohamed El Merouani



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Files d’attente, exemple simple:La file M/M/1

• Les clients arrivent dans une file à un seulserveur et reçoivent chacun leur tour unservice d'une certaine durée

• Si un client trouve le serveur libre, il reçoitimmédiatement son service, sinon il attendson tour

• Les clients arrivent un par un selon unprocessus de Poisson = le temps séparant

deux arrivées est une variable exponentiellede paramètre λ.


Files d’attente, exemple simple:La file M/M/1

• La durée du service donné à chaque clientest une variable exponentielle deparamètre µ.

• Ces différentes variables aléatoires sontindépendantes dans leur ensemble.

• La capacité de la file d'attente est infinie etla discipline de service est PAPS (FIFO)

premier arrivé - premier servi.


Définition des paramètres:

• L'intervalle de temps entre deux arrivées estune loi exponentielle de paramètre λ signifieque l'inter-arrivée est de durée moyenne 1/ λet donc que le nombre moyen de clients quiarrivent par unité de temps est λ.

• La durée du service est une loi exponentiellede paramètre µ signifie que le service est dedurée moyenne 1/ µ et donc que le nombremoyen de clients qui sortent par unité detemps est µ quand le serveur est occupé.


Description de la file d’attente:

• Soit N(t) = n >0 le nombre de clients àl'instant t (ils sont en train d'attendre ou d'êtreservis)

• Le temps qui sépare t de la prochaine arrivéesuit une loi exponentielle de paramètre λ ; demême le temps résiduel de service du clienten train d'être servi suit une loi exponentiellede paramètre µ.

• propriété d'absence de mémoire duprocessus de Poisson.




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Description de la file d’attente:

• Le prochain événement modifiant la filed'attente survient au bout d'un tempsaléatoire qui suit une loi exponentielle deparamètre λ+µ

• C'est une arrivée avec la probabilité λ /( λ+µ)• C'est un départ avec la probabilité µ /( λ+µ)

• N(t) est un processus de naissance et de

mort dans lequel λn = λ et µn =µ pour tout n


Comportement asymptotique d’unefile d’attente:

• Que se passe-t-il quand t croît...• Processus de naissance pure : explosion !• Processus de naissance et de mort :

caractérisation difficile... – si le processus, partant d'un état donné, a une

probabilité non nulle de ne jamais y retourner, ilest dit transitoire. La taille de la population tendvers l'infini

– si le processus, partant d'un état donné, y revientnécessairement au bout d'un temps fini en

moyenne, il est dit récurrent positif : il convergeen loi vers une situation d'équilibre stationnaire


Exemples de files d’attente:

• M/M/1 = inter-arrivées et services indépendants etexponentiels, un seul serveur, les autresparamètres étant donnés par défaut

• M/M/k=Les k serveurs sont identiques : si un client

arrive et trouve un serveur libre, il l'occupe. Si tousles serveurs sont occupés, il attend.

• M/M/ ∞=Il n'y a plus d'attente : il y a toujours unserveur disponible.

• M/M/s/s=La capacité est limitée au nombre deserveurs : les clients sont jetés du système si tousles serveurs sont occupés


Files d’attente: conclusion

• Modélisation réaliste des systèmes... Maisrésolution mathématique parfois difficile !

• La file M/M/1 avec ses hypothèses de

Markov fournit une évaluation correcte...Et sa résolution est très facile

• Pour des situations trop complexes, lesoutils de simulation peuvent apporter desinformations sur le comportement dusystème




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Gestion des Stocks

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Gestion aléatoire des Stocks:

• La demande d’un bien peut être unique ourépétitive, constante ou variable (dans le casrépétitif), certaine ou aléatoire, discrète oucontinue. Les modèles de gestion de stock seconstruisent selon le type de demandeconcerné.

• Pour les stocks de fabrication, on considèreen général que la demande est certaine.Mais pour les stocks de distribution, lademande est aléatoire.



• Alors, on modélise le comportement de celle-ci parune loi de probabilité. Pour déterminer cette loi deprobabilité, d’abord on détermine est-ce que la loiest discrète ou continue. Après, et à partir des

représentations graphiques de la demande, onpeut réaliser des tests statistiques pour déterminerla loi qui s’ajuste mieux aux observations.

• Les historiques de la demande et d’autresinformations (comme les prévisions des ventespour les périodes futures) peuvent intervenir dansle choix de la loi de probabilité.



• Une demande répétitive certaine peut être variablesans que cela entraîne des difficultés au niveau dela gestion des stocks du fait même de la certitudedes demandes futures.

• Dans un contexte d’incertitude, la variabilité de lademande se traduit par le changement desparamètres de la loi de probabilité dans le temps.

• Dans un contexte où la demande est très variabled’une période à l’autre, les stocks jouerontpleinement leur rôle régulateur. Ils permettent enparticulier de compenser la faible flexibilité dufacteur travail.




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Les déterminants du stock desécurité:

• On appelle point de commande (noté S c )le niveau de stock à partir duquel unecommande est déclenchée.

• On appelle stock de sécurité (noté S s ) leniveau de stock durant le délai delivraison.

• Nous noterons L le délai de livraison et D L

la demande pendant ce délai.


• Pour préciser la notion de stock de sécurité, ilconvient de distinguer deux cas:

• Si les ventes sont différées en cas derupture, le stock de sécurité S s est égal S c -D L

S s =S c -D L

• S s peut donc prendre des valeurs négativespuisque la demande D L peut être supérieure

au point de commande S c .


• Cette hypothèse constitue une simplificationdans le sens suivant: les ventes sontdifférées, ce qui implique que les unitéscorrespondantes seront livrées dés réceptiondu lot suivant.

• Par conséquent l’entreprise ne supporterapas le coût de détention de ces unités.

• Lorsque les ventes sont perdues, la demandeest modifiée; elle se définit comme une v.a.D’ L présentant les caractéristiques suivantes:


≥

<=′

C LC

C L L

LS DsiS

S Dsi D D

44

que l’on peut encore écrire D’ L=Min(D L, S C ).

• Le stock de sécurité est alors égal à S C -D’ L et il esttoujours positif ou nul.

• Lorsque la demande et le délai sont aléatoire, alorsle coût de rupture lui-même devient aléatoire.

Mohamed El Merouani



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• Par conséquent, deux éléments essentielsinterviennent dans ce type d’analyse;d’une part le coût supporté lorsqu’il y aeffectivement une rupture (vente perdue,procédure spéciale de livraison lorsque lavente est différée, etc…) et d’autre part laprobabilité qu’un tel événement survienne.


• Cette probabilité dépend à son tour dedeux éléments:

– la probabilité que la demande dépasse lestock actuel,

– la probabilité que la demande suivante (ou lelot de production) soit livrée après épuisementdu stock actuel.

• L’évaluation de ces différentes probabilitéssuppose des hypothèses sur les loissuivies par les deux v.a. que sont la

demande et le délai (D L et L).


• De manière générale, les lois classiquesutilisées dans ce domaine se caractérisentpar un ou deux paramètres (l’espérance etla variance).

• La variabilité de la demande estclassiquement représentée par la variance

de la loi de demande ou, ce qui estéquivalent par son écart-type.

• Il y a une relation entre stock de sécuritéet variance de la loi de demande car encas de forte variance, des ruptures destocks sont plus fréquentes.


• Donc lorsque cette variance est élevée, un stock desécurité plus important est nécessaire pour limiter lenombre de ruptures.

• De manière schématique, on peut résumer lesdifférents éléments ci-avant en dressant la liste desdéterminants du stock de sécurité:

a) Les coûts de rupture

b) Les coûts de détention

c) La variabilité de la demande

d) La variabilité des délais de livraison.

• En fait a) et b) ne peuvent être dissociés; un coût derupture n’est pas élevé « en soi » mais simplementcomparé au coût de détention (et réciproquement) carla détermination du point de commande résulteessentiellement de la comparaison de ces deux typesde coûts.




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Lois de probabilité de lademande:

• Lorsque la demande D et le délai delivraison (ou de production) sont des v.a.,alors la demande D L, les dates et duréesde rupture de stocks éventuelles et lescoûts de détention deviennent eux-mêmesaléatoires.

• En effet, le niveau des stocks à un instantt quelconque n’est plus connu avec

certitude.


• Dans un modèle dit “à point de commande”, unerupture peut survenir uniquement pendant ledélai de livraison; c’est donc la variable D L qui

importe ici.

• Cependant dans un souci de simplification, nous

supposerons que D L=D. L où L est exprimé enfraction d’année (si l’année est la période deréférence).

• Cette hypothèse suppose en fait que lademande est régulière dans le temps et qu’enparticulier elle se comporte de la même façon

pendant le délai L que pendant le reste del’année.


• Si le délai L est d’une semaine, cettehypothèse implique que D L suit la mêmeLoi de probabilité que D/52 et que lesdemandes hebdomadaires sontindépendantes.

• Dans la détermination du point decommande, deux paramètres essentielsinterviennent, l’espérance E(D L) et l’écart-type (ou la variance) σ (D L) (ou Var ( D L)).

• La v.a. D L représentant la demande peutêtre discrète ou continue.


• Dans le cas discrèt, nous supposons que lavariable DL prend N valeurs ( N peutéventuellement être infini) d 1 ,d 2 ,…,d N .

• Son espérance est:

• de variance:

• et de fonction de répartition

F(x)=P(D L≤ x)

)d D(Pd ) D( E i L

N

ii L =×∑=

=1

( ) )d D(P) D( E d ) D(Var i L

N

i Li L

=×∑ −==

2

1

52

)d D(P xd

i L

i

∑ ==≤

Mohamed El Merouani



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• Dans le cas continue, la demande D L possèdeune densité f .

• Son espérance est:

• de variance:

• et de fonction de répartition:

∫ ⋅= +∞

∞− dx) x( f x) D( E

L

( ) dx) x( f ) D( E x)Var(D L L

⋅∫ −= +∞

∞−

2

53

∫= ∞ x

- f(t)dt F(x)

Mohamed El Merouani

• Si D L est la demande pendant le délai delivraison et S C le point de commande,l’événement “une rupture de stock se produit”n’est rien d’autre que l’événement {D L>S C }; en

conséquence la probabilité de rupture s’écrit:P(D L>S C )=1-F(S C ).

• Comme précédemment, si D L est discrète, on

aura:

• Si par contre D L possède une densité f ,l’expression correspondante est:

∑ ==>> C i S d

i LC L )d D(P)S P(D

∫=> +∞

C S C L dt )t ( f )S P(D


• De manière analogue, lorsqu’on cherche àévaluer un coût de rupture moyen (uneespérance), il faut connaître le nombre moyend’unités non livrées et appliquer le coût unitairede rupture à ce nombre (que nous noterons E ( N n)). On alors:

( ) ( )i L

S d C in

d DPS d ) E(N C i

=×∑ −=>

( ) ( )dx x f S x) E(N C S

C n ∫ −=+∞

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(dans lecas discret)

(dans le cascontinue)

Mohamed El Merouani

• On peut noter que N n joue un rôle différent selonle comportement supposé de la clientèle en casde rupture.

• Si les ventes sont simplement différées, il s’agit

du nombre moyen d’unités qui seront livrées désréception de la prochaine livraison du

fournisseur ou dés la mise à disposition duprochain lot de production.

• Dans le cas où les ventes sont perdues, N n estle nombre moyen de ventes manquées et lademande peut alors être considérée commenulle pendant la période de rupture.




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Lois usuelles de la demande:

• Les lois de probabilités les plus utilisées dans ledomaine de la gestion de stocks sont la loi dePoisson et la loi normale.

• La loi de Poisson est une loi discrète qui

présente la particularité d’avoir une espéranceet une variance égales à son paramètre λ.

• Cette proprièté est utilisée lorsqu’on cherche àtester si une v.a. suit cette loi (on calcule alors la

moyenne et la variance d’un échantillon de cettevariable pour opérer la comparaison).


• La loi normale est sans doute la plusutilisée des lois continues.

• Dans notre contexte, la modélisation de lademande par une v.a. suivant une loinormale pose cependant un problème (aumoins sur le plan théorique); une variablenormale, quelles que soient les valeurs deses paramètres x et σ, a une probabiliténon nulle de prendre des valeursnégatives.


• En conséquence, on supposera souvent que lademande d’un produit est normale lorsqu’elleporte sur un grand nombre d’unités et qu’elle estrépartie symétriquement par rapport à lamoyenne.

• Lorsque cette symétrie n’est plus vérifiée, une

solution alternative consiste à modéliser lademande par une loi exponentielle négative qui secaractérise par un écart-type égal à l’espérance.


• D’abord, on l’applique pour modéliser lademande, en gestion de stock, lorsque lasymétrie n’est pas vérifiée et lorsqu’on

remarque que son écart-type est égal àson espérance (sa moyenne).

• Mais en général, la loi exponentielle(négative) s’applique pour modéliser lesphénomènes de désintégration. La v.a. Xest alors la durée de vie du phénomène.




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