MODÉLISATION ALGÉBRIQUE - sofad.qc.ca · Tout au long de votre formation, vous trouverez dans ce guide des outils pour mesurer vos succès et déterminer les moyens à prendre afin

ET G�PHIQUEALGÉBRIQUE

MODÉLISATION

MAT-3051-2

M O D É L I S A T I O N

A L G É B R I Q U E E T G R A P H I Q U E

M A T - 3 0 5 1 - 2

G u i d e d ’ a p p r e n t i s s a g e

Programme de la formation de base diversifiée

Domaine de la mathématique, de la science et de la technologie

Programme d’études : Mathématique

Cours de la 3e secondaire

MAT-3051-2 Modélisation algébrique et graphique

MAT-3052-2 Collecte de données

MAT-3053-2 Représentation géométrique

Modélisation algébrique et graphique

Ce guide a été réalisé par la SOFAD.

Chargés de projets : Robert Longpré (SOFAD)

Nancy Mayrand (SOFAD)

Rédaction : Nicole Perreault

Révision de contenu : Gilles Gascon

Alain Bombardier

Révision linguistique : Michelle Côté

Marie-Pierre Gazaille

Révision docimologique : Julie Gravel

Illustrations : Serge Mercier

Montage infographique : Serge Mercier

Page couverture : Marc Tellier

Lecture d’épreuve : Marie-Pierre Gazaille

Johanne St-Martin

Première édition : Avril 2014

Dans cette production, le masculin est utilisé sans aucune discrimination et uniquement dans le but

d’alléger le texte.

Nonobstant l’énoncé suivant, la SOFAD autorise tout centre d’éducation aux adultes qui utilise ce guide

d’apprentissage à reproduire les activités notées accessibles au http://cours1.sofad.qc.ca/ressources.

© SOFAD

Tous droits de traduction et d’adaptation, en totalité ou en partie, réservés pour tous pays. Toute repro-

duction, par procédé mécanique ou électronique, y compris la microreproduction, est interdite sans l’au-

torisation écrite d’un représentant dûment autorisé de la SOFAD.

Dépôt légal – 2014

Bibliothèque et Archives nationales du Québec

Bibliothèque et Archives Canada

ISBN : 978-2-89493-454-8 (Imprimé)

978-2-89493-546-0 (PDF) Janvier 2016

5© SOFAD

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Structure du guide et consignes d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Matériel complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Soutien à l’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Information complémentaire concernant la formation à distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Évaluation aux fins de sanction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Savoirs essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Situation – Des variables qui ont de l’effet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exploration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Activité 1.1 – Quand l’une varie, l’autre varie aussi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Activité 1.2 – Les représentations à la mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Activité 1.3 – Un modèle à suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Un peu plus loin – Si la tendance se maintien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Exercices d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Activité synthèse – Analyser une tendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Situation – Les fonctions et leur réciproque : tout un défi ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Exploration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Activité 2.1 – Relation, fonction et réciproque : quel trio ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Activité 2.2 – Des propriétés à revendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Activité 2.3 – Place à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Un peu plus loin – La fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Exercices d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Activité synthèse – Analyser deux points de vue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Consignes pour la réalisation de l’activité notée 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Situation – La règle c’est la règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Exploration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Activité 3.1 – Un taux qui varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Activité 3.2 – Quelle est la règle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Activité 3.3 – Une règle sous influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Un peu plus loin – Au mois ou aux deux semaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Exercices d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Activité synthèse – Interpréter deux modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Situation – Des actions pour un monde en changement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Exploration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Activité 4.1 – Plus qu’hier, moins que demain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Activité 4.2 – Que la représentation commence ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Activité 4.3 – Équations, inéquations : même résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Un peu plus loin – Les demis-plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Exercices d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Activité synthèse – Évaluer la faisabilité d’un projet «vert» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Cet apercu contient

- L’introduction

- La situation

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MAT-3051-2 – MODÉLISATION ALGÉBRIQUE ET GRAPHIQUE

6© SOFAD

Situation – Une rencontre qui rapporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Exploration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Activité 5.1 – Faut le voir pour le croire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Activité 5.2 – Comparer pour résoudre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Un peu plus loin – Méthode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Exercices d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Activité synthèse – Analyser deux campagnes de financement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Consignes pour la réalisation de l’activité notée 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

– Des variables qui ont de l’effet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

– Les fonctions et leur réciproque : tout un défi !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

– La règle c’est la règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

– Des actions pour un monde en changement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

– Une rencontre qui rapporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Autoévaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Sources iconographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Fiche de commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

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7© SOFAD

INTRODUCTION

Nous vous souhaitons la bienvenue au cours Modélisation algébrique et graphique. Ce cours

de mathématique est le premier que vous devez suivre en 3e secondaire. Il a pour but de vous

familiariser avec l’algèbre et de vous rendre apte à traiter des situations qui demandent une

représentation à l’aide d’un modèle algébrique ou graphique exprimant une relation.

L’algèbre fait partie de notre vie. Nous en sommes rarement conscients, mais cette branche de la mathé-

matique nous accompagne dans pratiquement tous nos gestes. Ce mélange de lettres et de chiffres,

bien qu’étonnant, est la base de multiples calculs, tous plus importants les uns que les autres. Vous avez

sûrement, sans trop y réfléchir, fait des liens entre la vitesse d’une voiture et le temps pour parcourir

une distance. Entre votre salaire et le nombre d’heures que vous avez travaillées. Ou bien, le nombre de

semaines nécessaires pour perdre quelques kilos. Bien sûr ! Dans ces exemples, chaque phrase peut être

transformée en équation algébrique faite de chiffres, représentant des quantités, et de lettres, repré-

sentant les variables. C’est l’essence même de l’algèbre. Avec ces chiffres et ces lettres, on peut traiter

des informations, on peut construire des graphiques, on peut aussi prendre des décisions éclairées. Les

vertus de l’algèbre sont pratiquement sans limites. À la fin de ce cours, vous serez en mesure de traiter

efficacement des situations-problèmes en utilisant de nouveaux savoirs mathématiques liés à l’algèbre.

Vous aurez aussi quelques occasions de développer vos compétences transversales, notamment celles

associées aux méthodes de travail et à la communication. Savoir se représenter une situation et s’expri-

mer en utilisant un langage mathématique approprié sont des outils précieux dans un monde en perpé-

tuel changement.

Vous êtes maintenant invité à parcourir les cinq situations d’apprentissage de ce guide qui vous permet-

tront d’enrichir vos connaissances et de développer vos compétences en algèbre.

Introduction

Présentation

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8© SOFAD

Structure du guide et consignes d’utilisation

Le présent guide a été conçu pour permettre un apprentissage en mode individualisé, en établissement

ou à distance. Il s’appuie sur l’un des principaux objectifs de l’apprentissage de la mathématique qui

consiste à vous amener à résoudre divers types de situations-problèmes.

Cette orientation rendra votre cheminement des plus agréables, puisqu’elle favorisera chez vous :

• la plus grande participation possible;

• la prise en charge de votre cheminement;

• le respect de votre rythme;

• l’esprit réflexif;

• la mise à profit de votre expérience et de vos connaissances.

Tout au long de votre formation, vous trouverez dans ce guide des outils pour mesurer vos succès et

déterminer les moyens à prendre afin de surmonter les aspects qui vous sembleront plus ardus. Vous

pourrez ainsi progresser continuellement dans votre apprentissage.

Si vous n’y arrivez pas, une personne-ressource pourra aussi vous venir en aide. Les élèves étudiant à

distance pourront obtenir le soutien d’un tuteur, alors qu’un formateur prêtera main forte aux élèves fré-

quentant un centre de formation. Renseignez-vous auprès de cette personne pour connaître les détails

de cet accompagnement.

Les situations d’apprentissage

Le présent guide renferme des situations d’apprentissage dans lesquelles vous serez amené à décou-

vrir de nouveaux concepts ainsi qu’à développer vos compétences. Chaque situation d’apprentissage est

construite sur le même modèle. Elle comporte d’abord une Présentation dans laquelle une tâche vous

est présentée. Normalement, vous n’arriverez pas à résoudre le problème dès le début. Ce n’est qu’à la fin

de la situation d’apprentissage que vous aurez toutes les connaissances et les compétences pour y arriver.

Ensuite vient une section Exploration qui fait un retour sur certains savoirs vus dans les cours précé-

dents. Suivent un certain nombre d’activités d’apprentissage. Dans chacune de ces activités, un sujet est

traité et des questions vous sont posées. Il se pourrait que vous ne soyez pas en mesure de répondre à

toutes les questions, car elles portent sur de nouveaux concepts. Efforcez-vous tout de même d’y trouver

des réponses satisfaisantes; les explications se trouvent immédiatement après. Il est essentiel que vous

cherchiez à comprendre tous les nouveaux concepts qui sont expliqués. À la fin des explications, vous

trouverez des exercices. Les réponses de ces exercices se trouvent à la fin du guide.

La situation d’apprentissage est accompagnée d’une section Un peu plus loin. Cette partie est faculta-

tive, elle permettra d’approfondir vos connaissances. Suit la section Exercices d’intégration portant sur

des concepts abordés dans la situation d’apprentissage. Les réponses à ces exercices se trouvent aussi à

la fin du guide. Une fois ces exercices complétés, il est temps pour vous de réaliser la tâche du début dans

la section Activité synthèse. Finalement, les situations d’apprentissage se terminent avec une Liste des

nouveaux savoirs. C’est une section fort utile pour l’élève qui aime bien trouver les savoirs importants

en un clin d’œil.

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9© SOFAD

INTRODUCTION

Les repères visuels

Tout au long du texte, différents signes et pictogrammes vous guideront dans votre apprentissage. Le

tableau ci-dessous vous indique la signification de chacun de ces pictogrammes.

SoulignementLes mots et les expressions soulignés en pointillés sont

définis dans le lexique à la fin du guide.

Le saviez-vous ?

Un texte coiffé d’une loupe ajoute un complément

d’information : il ne fait pas directement partie de l’ap-

prentissage et aucune question de l’évaluation finale ne

portera sur son contenu.

Astuce Une ampoule coiffe les encadrés qui présentent une

astuce permettant de simplifier le travail ou d’offrir une

autre façon de faire.

Les encadrés coiffés d’une punaise de babillard

contiennent des rappels de notions ou de concepts pré-

alables abordés dans des cours précédents.

À retenir Le trombone fixé sur une feuille de papier au coin re-

levé détermine des éléments à retenir.

Liste des nouveaux savoirsLa pince à papier accompagne les dernières pages de

chaque situation d’apprentissage. Ces pages présentent

un résumé des savoirs essentiels qui y ont été abordés.

AttentionLe point d’exclamation accompagne les paragraphes

auxquels vous devez porter une attention particulière.

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10© SOFAD

Les activités notées

Ce guide est accompagné de deux activités notées présentées dans des cahiers séparés. Le but de ces

activités est de vérifier votre progression véritable. Il est important de les compléter sérieusement et sans

l’aide de personne. Consultez la table des matières pour connaître à quel moment faire chaque cahier. Si

ces cahiers ne vous ont pas été fournis, vous pouvez les télécharger sur le site des ressources pour les

apprenants au : http://cours1.sofad.qc.ca/ressources, sous la rubrique « Formation de base diversifiée ».

Le tableau qui suit vous indique les thèmes qui sont évalués par chacune des activités et à quel moment

vous devez les réaliser.

Situation d’évaluation thèmeS touchéS moment de réaliSation

Activité notée 1Relation

(Situations d’apprentissage 1 et 2)

Après la deuxième

situation d’apprentissage

Activité notée 2Inégalité et inéquation, relation et système

(Situations d’apprentissage 3, 4 et 5)

Après la cinquième

situation d’apprentissage

Une fois que vous avez terminé une activité notée, il est important de la remettre à votre formateur ou de

la faire parvenir à votre tuteur pour fins de correction. Généralement, on ne remet qu’une seule activité

notée à la fois et on doit attendre qu’elle soit corrigée avant de remettre la suivante. Informez-vous

auprès de votre centre ou de votre commission scolaire.

L’autoévaluation

La dernière activité du guide consiste en une épreuve d’autoévaluation dont le but est d’évaluer les

connaissances acquises, de même que les compétences développées. Une grille d’autoévaluation accom-

pagne cette épreuve. Elle vous servira à déterminer les notions que vous maîtrisez et celles pour les-

quelles une révision s’impose avant de vous présenter à l’épreuve de sanction. Des indications sur les

notions à réviser sont fournies à même cette grille.

Avant de vous y attaquer, préparez-vous. Révisez les notions à l’aide des sections Liste des nouveaux

savoirs et assurez-vous d’avoir bien fait les exercices. Il est recommandé de faire cette activité sans

consulter le texte du guide ni le corrigé. Une fois l’autoévalution terminée, comparez vos réponses avec

celles du corrigé et complétez votre étude au besoin.

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11© SOFAD

INTRODUCTION

Le corrigé

Dans l’avant-dernière partie du guide, vous trouverez les corrigés de tous les exercices. Reportez-vous à

ce corrigé pour vous assurer que vous avez bien compris tous les concepts, et ce, avant de passer à l’acti-

vité ou à la situation d’apprentissage suivante. À la fin de cette section se trouve le corrigé de l’épreuve

d’autoévaluation.

Notez qu’il n’y a pas de corrigé pour les questions liées aux explications. Seuls les problèmes numérotés

se trouvent dans le corrigé.

Le lexique

Dernière partie du guide, le lexique est un outil qui vous permet de consulter les définitions, classé en

ordre alphabétique, des mots soulignés en pointillés dans les situations d’apprentissage. N’hésitez pas

à le consulter au fil de vos lectures afin de bien comprendre les termes et expressions qui s’y trouvent.

Matériel complémentaire

Ayez sous la main tout le matériel dont vous aurez besoin :

• ce guide d’apprentissage;

• un cahier de notes où vous consignerez toutes les informations que vous jugerez pertinentes;

• une calculatrice scientifique (recommandée);

• un crayon à mine pour inscrire vos réponses et vos notes dans votre guide, un stylo-bille de couleur

pour corriger vos réponses, un surligneur pour mettre en évidence les idées importantes, une gomme

à effacer, une règle graduée, etc.;

• un dictionnaire, comme ouvrage de référence.

Soutien à l’apprentissage

Que vous suiviez le cours en établissement ou à distance, votre démarche ne se fera pas en solitaire. En

classe, vous aurez le soutien de votre formateur; tandis qu’en formation à distance, vous pourrez compter

sur le soutien d’un tuteur. Ils répondront à vos questions portant sur le contenu, vous guideront dans la

réalisation des activités d’apprentissage, corrigeront vos activités notées et vous transmettront vos notes.

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12© SOFAD

Information complémentaire concernant la formation à distance

Voici quelques suggestions qui vous aideront à organiser votre temps d’étude. La durée de la formation

de ce cours est évaluée à environ 50 heures de travail.

Dès que vous recevez le matériel, établissez un horaire d’étude en fonction de vos obligations familiales

et professionnelles, de même que des exigences du cours. Essayez de consacrer quelques heures par

semaine à l’étude, de préférence en blocs de deux heures, et veillez à respecter votre horaire.

Le tuteur est la personne-ressource à qui vous ferez appel en cas de besoin. N’hésitez pas à l’interroger

si vous éprouvez des difficultés avec la théorie ou les exercices, ou encore si vous avez besoin d’encoura-

gement pour poursuivre votre étude. Notez vos questions par écrit au fur et à mesure qu’elles surgissent

et communiquez avec votre tuteur pendant ses heures de disponibilités. Assurez-vous que le centre vous

ait bien fourni ces informations.

Évaluation aux fins de sanction

Si vous désirez acquérir les unités rattachées à ce cours, vous devez obtenir une note d’au moins 60 %

à l’évaluation finale qui aura lieu dans un centre d’éducation des adultes. Pour vous présenter à cette

épreuve, il est souhaitable que vous ayez également obtenu une moyenne d’au moins 60 % aux activités

notées accompagnant le présent guide. D’ailleurs, certains centres d’éducation aux adultes exigent ce

résultat de 60 % aux activités notées pour vous admettre à l’épreuve officielle.

Informez-vous auprès de votre tuteur ou de votre formateur pour connaître le lieu, les horaires et les

modalités de passations de l’épreuve finale. Informez-vous aussi du matériel autorisé que vous pouvez

apporter.

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13© SOFAD

INTRODUCTION

Savoirs essentiels

Le présent cours vise l’appropriation des savoirs mathématiques suivants.

Situation d’apprentiSSage SavoirS mathématiqueS

1. Des variables qui ont de l’effet • Observation, description, interprétation et repré-

sentation de la dépendance entre les variables d’une

situation

• Représentation d’une expérimentation ou d’une

étude statistique à l’aide d’un nuage de points

2. Les fonctions et leur réciproque :

tout un défi

• Relation, fonction et réciproque

• Représentation et interprétation de la réciproque

d’une fonction

• Description des propriétés d’une fonction en contexte

3. La règle c’est la règle • Détermination de la règle de correspondance

• Description qualitative de l’effet sur le graphique lors

de la modification de la valeur d’un paramètre d’une

fonction affine

4. Des actions pour un monde en

changement

• Relation d’inégalité

• Résolution d’équations et d’inéquations du 1er degré à

une variable

5. Une rencontre qui rapporte • Résolution de systèmes d’équations du 1er degré à

deux variables

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125© SOFAD

3

Au Québec, chaque année, environ 15 000 personnes sont condamnées pour avoir

conduit avec les facultés affaiblies par l’alcool. Le tiers de ces accusés sont des

récidivistes. Depuis plusieurs années, le gouvernement du Québec multiplie les

lois et les sanctions, tant financières que judiciaires, non seulement pour dissuader les auto-

mobilistes à prendre la route après avoir consommé de l’alcool, mais aussi pour pénaliser

ceux ou celles qui en sont à leur deuxième, voire leur troisième délit.

Bien évidemment, la mathématique ne peut pas résoudre le problème engendré par la

consommation excessive d’alcool et la conduite automobile. Par contre, elle peut aider à

comprendre l’importance de certains paramètres dans une équation servant de modèle à

une situation problématique.

Dans cette troisième situation d’apprentissage, vous verrez

comment déterminer le taux de variation d’une fonction

affine à partir d’un graphique, des coordonnées de

deux points appartenant à une fonction affine ou

de sa règle. Vous serez en mesure de trouver

la règle d’une fonction affine à partir de dif-

férents indices. Pour terminer, vous appren-

drez à reconnaître les effets provoqués par le

changement d’un paramètre dans la règle

d’une fonction affine.

La règle c’est la règle

Présentation

CORRIGÉ


126 © SOFAD

Interpréter deux modèles

Le problème de l’alcool au volant concerne tout le monde : hommes, femmes, jeunes et moins jeunes. En

effet, tous peuvent être confrontés à cette situation.

L’alcool et la vitesse sont les principales causes de décès sur les routes du Québec. À elle seule, la consom-

mation excessive d’alcool est responsable de 30 % des décès sur la route.

Les recherches démontrent clairement que l’alcool altère la capacité de conduire un véhicule en toute

sécurité et, par conséquent, augmente les risques d’accident. La vigilance diminue, le temps de réaction

augmente et, par conséquent, la distance de freinage et d’arrêt augmente aussi.

Bien que l’on note une amélioration du bilan routier depuis quelques années, le nombre de personnes qui

meurent sur les routes parce qu’elles ont trop bu ou parce qu’elles ont croisé un conducteur ivre demeure

préoccupant.

Vous êtes inquiet des statistiques que vous lisez en ce qui concerne l’alcool au volant. Une revue scien-

tifique a publié deux tableaux comparant les distances d’arrêt de deux conducteurs, l’un sobre et l’autre

ayant consommé de l’alcool (un taux de 0,08 g/100 ml, soit la limite permise au Québec pour un conduc-

teur exercé). L’expérience a été réalisée à différentes vitesses.

Tableau 3.1

DisTance D’arrêT pour un conDucTeur sobre selon la viTesse Du véhicule

Tableau 3.2

DisTance D’arrêT pour un conDucTeur ayanT consommé De l’alcool selon la viTesse Du véhicule

viteSSe (km/h) diStance (m)

60 94,3

90 101,0

100 103,4

120 107,7


60 106,0

90 118,5

100 123,0

120 131,0

Vous désirez mieux comprendre ces tableaux en réalisant une analyse mathématique.

Votretâche

À l’aide de ces renseignements, vous devez trouver la règle de chacune de ces deux

relations et construire un graphique dans lequel on retrouvera la courbe de ces deux

situations. Pour y parvenir, vous devez, avant tout, transformer les unités de mesure

de la vitesse en m/s. Finalement, vous devez décrire chacune des situations en énu-

mérant leurs caractéristiques.

CORRIGÉ

127© SOFAD

SITUATION – LA RÈGLE C’EST LA RÈGLE

Exploration

Avant d’entreprendre cette nouvelle situation d’apprentissage, un retour sur la résolution d’équations

s’avère important.

Résoudre une équation signifie trouver la valeur de la variable, ce qui fait en sorte que l’égalité est véri-

fiée. Lorsque l’équation se présente sous forme de proportion, une bonne façon de la résoudre est d’utili-

ser la propriété fondamentale des proportions. Par exemple, pour résoudre l’équation suivante :

4 2

3

2 3

2

x x− = +

1. Appliquer la propriété des proportions 4 2

3

2 3

2

x x− = +

x x2(4 2) 3(2 3)− = +

2. Effectuer les multiplications x x2(4 – 2) 3(2 3)= +

x x8 4 6 9− = +

3. Ajouter 4 de chaque côté 8 4 6 9x x+4 +4− = +

x x8 6 13= +

4. Enlever 6x de chaque côté8 6 13x x– 6 – 6x x= +

x2 13=

5. Diviser par 2 de chaque côté 2 13x

2 2=

x13

2=

6. Valider le résultat en substituant la valeur

obtenue dans l’équation de départ4( ) 2

3

2( ) 3

2

132

132− = +

26 2

3

13 3

2

− = +

8 8=

CORRIGÉ


128 © SOFAD

Résoudre les équations suivantes en suivant les étapes présentées dans l’exemple précédent.

a) équation à réSoudre vérification

x x7 2

5

2 4

2

− = − +

b) équation à réSoudre vérification

−−

= −3 4

3

2 1

7

b b

c) équation à réSoudre vérification

x x34

1

22

23

2

− −

−=

+

3.1

CORRIGÉ

129© SOFAD


Certaines expressions algébriques contiennent plusieurs variables. En médecine, par exemple, pour cal-

culer la quantité d’énergie minimale nécessaire à un individu pour maintenir les fonctions essentielles de

son corps (battement du cœur, respiration, maintien de la température corporelle, etc.), on se sert de la

formule de Harris et Benedict :

DER homme

77,607 13,707 492,3 6,673= + + −m t a

DERfemme

667,051 9,740 172,9 4,737= + + −m t a

DER signifie « Dépense énergétique au repos », m re-

présente la masse (kg), t représente la taille (m) et a,

l’âge.

Sachant qu’un homme de 40 ans mesure 1,80 m et pèse

90 kg, on peut calculer cette quantité minimale d’éner-

gie en kilocalories (kcal) en utilisant l’équation suivant :

DER homme

= + + −77,607 13,707(90) 492,3(1,80) 6,673(40)

DER homme

= 1930,5 kcal

Les besoins énergétiques quotidiens varient selon notre niveau d’activité physique.

Ainsi, le DER doit être multiplié par 1,38 si vous êtes une personne sédentaire; il doit être multiplié

par 1,56 si vous pratiquez une activité physique légère; par 1,64 si vous pratiquez une activité phy-

sique modérée; et, enfin, par 1,82 si votre activité physique est intense. À vos calculatrices !

Le saviez-vous ?

Utilisez la formule de Harris et Benedict pour calculer l’énergie minimale dont une femme de 25 ans a

besoin, sachant qu’elle mesure 1,65 m et pèse 55 kg.

Si vous savez qu’un homme pesant 75 kg a besoin minimalement de 1761 kcal pour assurer ses fonctions

vitales, calculez son âge, à partir de la formule de Harris et Benedict, sachant qu’il mesure 1,85 m.

3.2

3.3

CORRIGÉ


130 © SOFAD

Pendant son adolescence, Kevin a pris en note sa taille et sa masse à plusieurs reprises. En regroupant les

données, il obtient la table de valeurs ci-dessous :

masse De Kevin en foncTion De sa Taille

taille (m) maSSe (kg)

1,60 55

1,64 57

1,66 58

1,74 62

1,76 63

1,80 65

1,86 68

1,90 70

a) Représentez graphiquement cette relation.

Titre :

MASSE (kg)

x

y

1,55 1,65 1,75 1,851,45

50

58

66

74

TAILLE (m)

1,5 1,6 1,7 1,81,4

54

62

70

78

b) Déterminez la masse de Kevin lorsqu’il mesurait 1,50 m.

c) Quelle était sa taille lorsqu’il pesait 60 kg ?

3.4

CORRIGÉ

131© SOFAD


Activité 3.1 – Un taux qui varie

But Calculer le taux de variation d’une fonction affine.

Vous le savez déjà, le taux de variation d’une fonction est le rapport entre la variation des valeurs de la

variable dépendante et la variation des valeurs de la variable indépendante. Il peut être positif, si les va-

riables évoluent dans le même sens, ou négatif, si les variables vont dans le sens contraire.

Isabelle travaille dans le domaine de la vente de voitures.

L’entreprise lui verse un salaire de base de 200,00 $/se-

maine auquel s’ajoute 1 % du total des ventes qu’elle

effectue durant la semaine. Sous forme de graphique,

la situation prend l’allure suivante.

représenTaTion graphique 3.1

salaire D’isabelle en foncTion Des venTes De la semaine

SALAIRE ($)

x

y

40 60 80 100200

200

400

600

800

1000

VENTE (milliers de $)

30 50 70 9010

Selon vous, quel type de fonction cette situation représente-t-elle ?

Il s’agit bien sûr d’une fonction affine, puisque la courbe (la droite) ne passe pas par l’origine (0, 0).

On peut utiliser le mot courbe même si, dans les faits, il s’agit d’une droite. En mathématique, le mot

courbe signifie la représentation graphique d’une relation.

Rappel

Puisque les variables varient dans le même sens, cette fonction est croissante sur tout son domaine et,

par conséquent, le taux de variation est positif. L’ordonnée à l’origine est 200.

CORRIGÉ


132 © SOFAD

Il existe une nuance entre l’ordonnée à l’origine et la valeur initiale.

Dans un plan cartésien, on utilise l’expression ordonnée à l’origine pour désigner le point

d’intersection entre une courbe et l’axe des ordonnées. Par exemple, l’ordonnée à l’origine du

graphique 3.2 ci-dessous est 14. C’est à cet endroit que la droite (ou courbe) touche l’axe des

ordonnées (l’axe des y).

Par contre, dans une fonction, on utilise l’expression valeur initiale. C’est la valeur de la variable

dépendante lorsque la variable indépendante est 0.

Graphiquement, la valeur initiale est l’ordonnée à l’origine. Pour cette situation d’apprentissage,

nous utiliserons davantage l’expression valeur initiale pour simplifier la compréhension.

Attention

Isabelle effectue un essai routier avec un acheteur potentiel. Ce dernier semble très intéressé à se pro-

curer le véhicule. À l’approche d’une intersection comportant un arrêt obligatoire, le conducteur freine,

passant de 50 km/h à l’immobilisation complète du véhicule en 20 secondes. La représentation graphique

de la vitesse en fonction du temps prend l’allure suivante.


DécéléraTion Du véhicule en foncTion Du Temps

VITESSE (m/s)

x

y

8 12 16 2040

4

8

12

16

TEMPS (s)

6 10 14 182

2

6

10

14

Pour convertir des km/h en m/s, il faut faire appel à la propriété des proportions. À combien de

mètres par seconde équivalent 50 km/h ? Si 50 km/h = 50 000 m/3600 s, alors cela correspond à

combien de mètres par seconde ?

x50 000 m

3600s

m

1 s=

x

50 000 1

360013,9 m/s=

×=

Attention

CORRIGÉ

133© SOFAD


De quelle manière varie cette fonction ?

Évidemment, cette fonction est décroissante, puisque les variables va-

rient dans le sens contraire. Son taux de variation est, par conséquent

négatif.

L’essai routier se poursuit en périphérie de la ville sur une route se-

condaire. Un panneau de signalisation indique l’approche d’une pente.

Selon vous, que signifie le 8 % inscrit sur ce panneau ?

Le pourcentage indique l’intensité de la dénivellation. Ici, 8 % signifie que pour 100 mètres parcourus

horizontalement, il y a 8 mètres de dénivellation. Par conséquent, plus le pourcentage est élevé, plus la

pente est abrupte.

Calcul du taux de variation à partir d’une représentation graphique

Pour calculer le taux de variation à partir d’une représention graphique, il suffit de déterminer le rapport

de la variation verticale et horizontale de la droite. Par exemple :

représenTaTions graphiques 3.3

x

y

Taux de variation = = 11

1

+1

+1+1

+1

Taux de variation = = – 2–2

1Taux de variation = = 00

2

+ 2

x

y

x

y

+1

+1

–2

–2

1

1

1

1

1

1

1) 2) 3)

Comme vous le constatez, que la fonction soit linéaire ou affine, le taux de variation se calcule de la même

façon.

CORRIGÉ


134 © SOFAD

Pour la cuisson d’un rôti de porc, il est recommandé de le cuire 2 heures par kilogramme de viande et de

rajouter une demi-heure de cuisson, quelle que soit la masse de la pièce de viande. Observez le graphique

suivant.

représenTaTion graphique 3.4 Temps De cuisson selon la masse

+2

+1

TEMPS (h)

x

y

2 3 4 510

1

2

3

4

5

MASSE (kg)

Taux de variation = +2

+1

unités vers le haut

unité vers la droite

Ici, le taux de variation est de 21 ou, plus précisément, de 2 h/kg. Notez que le taux de variation est toujours

accompagné des deux unités de mesure que la situation met en contexte, selon le lien de dépendance.

Quelles seraient les unités de mesure du taux de variation dans les situations suivantes ?


SAL

AIR

E (

$)

x

y

420

16

32

48

TEMPS (h)

3 51

8

24

40

DIS

TA

NC

E (

m)

x

y

420

4

8

12

TEMPS (s)

3 51

2

6

10

VO

LU

ME (

L)

x

y

4 6 8 1020

2

4

6

TEMPS (min)

3 5 7 91

1

3

5

1) 2) 3)

1)

2)

3)

Le premier graphique montre un taux de variation dont les unités sont des $/h. Cette situation pourrait

être rattachée au salaire d’une personne en fonction des heures travaillées. Sur le deuxième graphique,

les unités du taux de variation sont des m/s. Cette situation pourrait être celle d’une course, si le chrono-

mètre est enclenché alors que la course est déjà commencée. Finalement, le troisième graphique montre

une situation où les unités du taux de variation sont des L/min. On pourrait associer ce graphique au

temps requis pour vider un contenant.

CORRIGÉ

135© SOFAD


Alexis est enseignant en éducation physique au secondaire. Son salaire est basé sur son expérience en

enseignement et sur son niveau de scolarité. Cette année, parce qu’il a obtenu un contrat à temps plein,

son salaire sera de 42 000,00 $, quel que soit le nombre de jours travaillé par semaine.

Graphiquement, la situation peut être représentée ainsi :


salaire D’alexis selon le nombre De jours Travaillés

SALAIRE (millier de $)

x

y

146 219 292 365730

20

40

TEMPS (j)

10

30

50

Selon vous, quel est le taux de variation de cette situation ?

Une fonction constante a un taux de variation nul puisque la variation des valeurs de la variable dépen-

dante égale 0. Donc, peu importe la variation des valeurs de la variable indépendante, on obtiendra :

0

73,

0

146, ... 0=

Calcul du taux de variation à partir de deux points

Si vous connaissez les coordonnées d’au moins deux points appartenant à une droite, le taux de variation

se calcule de la façon suivante :

Taux de variation = Écart entre les variables dépendantes

Écart entre les variables indépendantes

Cette opération est symbolisée par la formule suivante, où a représente le taux de variation :

= −−

2 1

2 1

ay y

x x

CORRIGÉ


136 © SOFAD

Par exemple, sachant qu’une droite passe par les points (2, 5) et (3, 8), le calcul du taux de variation

sera :

Si P1(2, 5) et P

2(3, 8)

Alors, = −−

= −−

= =8 5

3 2

3

132 1

2 1

ay y

x x

ou P1(3, 8) et P

2(2, 5)

= −−

= −−

= −−

=5 8

2 3

3

132 1

2 1

ay y

x x

On peut faire le calcul en partant d’un point comme de l’autre. Par ailleurs, ce qu’il faut se rappeler,

c’est de faire la différence entre les valeurs des variables dépendantes au numérateur et la diffé-

rence entre les valeurs des variables indépendantes au dénominateur.

Attention

Si les coordonnées se présentent dans une table de valeurs, il suffit de choisir deux couples et d’effectuer

le même calcul.

Revenons au salaire d’Isabelle. Lorsqu’elle a été engagée, son patron lui a fourni une table de valeurs pour

lui montrer quel pourrait être son salaire selon les ventes effectuées au cours d’une semaine.

Tableau 3.3 salaire D’isabelle en foncTion Des venTes De la semaine

venteS ($) Salaire ($)

0 200,00

10 000,00 300,00

20 000,00 400,00

30 000,00 500,00

40 000,00 600,00

50 000,00 700,00

À partir de cette table de valeurs, on peut choisir n’importe quels couples pour calculer le taux de varia-

tion et utiliser la formule suivante :

= −−

2 1

2 1

ay y

x x

Avec les couples P1(0, 200) et P

2(10 000, 300), on obtient :

= −−

= −−

= =300 200

10 000 0

100

10 000

1

1002 1

2 1

ay y

x x

CORRIGÉ

137© SOFAD


Ce taux représente la portion des ventes (1 %) qui s’ajoute à son salaire de base. Ici, le taux ne porte

pas d’unité parce que les unités de la variable dépendante et celles de la variable indépendante sont les

mêmes : $

$. On peut donc simplifier.

Calculez le taux de variation de cette situation avec le 2e et le 3e couple de la table de valeurs.

Avec les couples P2 (10 000, 300) et P

3 (20 000, 400), vous avez sans doute obtenu :

ay y

x x

400 300

20 000 10 000

100

10 000

1

1003 2

3 2

=−−

= −−

= =

ou 1%

En continuant ainsi avec tous les autres couples, vous obtiendrez toujours le même taux de variation, car

il s’agit de couples appartenant à la même droite.

Calcul du taux de variation à partir de la règle

Dans certaines situations, on ne connaît que la règle de la fonction. Bien sûr, à partir de cette règle, on

pourrait soit tracer la droite, soit trouver deux couples satisfaisant l’équation et, par la suite, calculer son

taux de variation. Mais il existe une façon de trouver le taux de variation directement à partir de la règle.

Par exemple, pour convertir des degrés Fahrenheit (°F) en degrés Celsius (°C), on utilise la règle sui-

vante : C = −5( 32)

9

F ou C = −5

9

160

9

F . C représente la température exprimée en degrés Celsius et F, celle

exprimée en degrés Fahrenheit.

Dans cette règle, la température en degrés Celsius est exprimée en fonction de la température en degrés

Fahrenheit. Lorsque la variable dépendante est exprimée en fonction de la variable indépendante, on dit

que l’équation est de la forme : = +y ax b, où a représente le taux de variation et b, la valeur initiale. Ainsi,

dans l’équation C = −5

9

160

9

F , le taux de variation est 5

9 et la valeur initiale est 160

9

− . Cette fonction est, par

conséquent, croissante sur tout son domaine.

CORRIGÉ


138 © SOFAD

Les façons les plus courantes de représenter une fonction affine sont :

1 y= ax+b, nommée forme analytique, qui met en évidence le côté algébrique et le lien de

dépendance entre les variables.

2 f(x)= ax+b, nommée notation fonctionnelle, qui illustre davantage la notion de fonction et

la variable indépendante.

Astuce

Le prix de vente d’une maison peut être exprimé en fonction

de son évaluation municipale selon la règle :

1,2 15000= +P E .

P représente le prix de vente et E, le montant de l’évaluation.

Quel est le taux de variation de cette fonction ?

À l’aide de la règle, calculez le prix de vente d’une maison évaluée à 275 000,00 $.

Le taux de variation est de 1,2. Si une maison est évaluée à 275 000,00 $, on calcule son prix de vente en

substituant cette valeur dans l’équation.

1,2 15 000= +P E

1,2(275 000) 15 000= +P

= 345 000 $P

Selon l’Office de protection des consommateurs, on ne devrait jamais consacrer plus de 32 % de

son revenu brut pour se loger. Idéalement, la portion du revenu consacré au logement devrait se

situer à 25 % du revenu brut.

Malheureusement, avec la hausse de la valeur des propriétés, plusieurs ménages y consacrent 50 %

et même plus de leurs revenus bruts. Cet état de fait les force donc à s’endetter davantage ou à

empiéter sur d’autres postes budgétaires telle que l’alimentation.

Le saviez-vous ?

CORRIGÉ

139© SOFAD


Il est possible que, dans la règle de départ, la variable dépendante ne soit pas exprimée en fonction de

la variable indépendante. Par conséquent, pour trouver le taux de variation, il faut être en mesure de

le faire. En d’autres mots, il faut isoler la variable dépendante pour obtenir une équation de la forme :

= +y ax b ou = +( )f x ax b.

Par exemple, si l’équation reliant deux variables est + =3 20r s et qu’on veut présenter s en fonction de r,

il faut :

1. Enlever 3r de chaque côté de l’équation r r+ =– 3 – 33 20r s

= −20 3s r

2. Inverser le terme de degré 1 et celui de la constante

pour une écriture de la forme y = ax + b= − +3 20s r ou = − +( ) 3 20f r r

Le taux de variation de cette règle est donc –3 et sa valeur initiale est 20.

Par contre, si l’on veut exprimer r en fonction de s, il faut :

1. Enlever s de chaque côté de l’équation – s – s+ =3 20r s

= −3 20r s

2. Diviser par 3 de chaque côté de l’équation = −

3 3 33 20r s

= −20

3 3r

s

3. Inverser le terme de degré 1 et celui de la constante

pour une écriture de la forme y = ax + b = − +rs

3

20

3 ou = − +( )

3

20

3f s

s

Le taux de variation de cette situation est –1

3 et sa valeur initiale 20

3.

Le taux de variation

Dans une situation de la vie réelle, pour reconnaître le taux de variation, il suffit de trouver le nombre

dont les unités sont formées par les unités de la variable dépendante et celles de la variable indépendante

(km/h, L/min, h/kg, m/s). Par exemple: Si un adjoint administratif saisit au clavier 1200 mots à l’heure, le

taux de variation de cette situation est 1200 mots/h.

CORRIGÉ


140 © SOFAD

Si une fonction affine est représentée par un graphique, on doit compter la variation verticale sur la

variation horizontale lorsqu’on passe d’un point à un autre sur la droite. Il faut aussi tenir compte du sens

du déplacement afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.


––

a = = +

–+

a = = –+–

a = = –

x

y

+

+

•

• Taux de variation positif

• Droite croissante

•

• Taux de variation négatif

• Droite décroissante

•

• Taux de variation négatif

• Droite décroissante

•

• Taux de variation positif

• Droite croissante

++

a = = +

x

y

–

–

x

y

+

–

x

y

+

–

1

1

1

1

1

1

1

1

Si l’on doit calculer le taux de variation à partir des coordonnées de deux points x y( , )1 1 et x y( , )2 2 ,

il faut calculer la variation des valeurs de la variable dépendante par rapport à la variation des valeurs de

la variable indépendante : = −

−2 1

2 1

ay y

x x

Pour trouver le taux de variation à partir de la règle d’une fonction affine, il suffit de présenter la

variable dépendante en fonction de la variable indépendante. On obtient alors une équation de la forme :

= +y ax b, où a représente le taux de variation et b, la valeur initiale.

CORRIGÉ

141© SOFAD

À retenir


Taux de variation dans une fonction affine

Le taux de variation est le rapport entre la variation des valeurs de la variable dépendante et

la variation des valeurs de la variable indépendante. Il est représenté par la lettre a.

Le taux de variation peut être trouvé dans plusieurs contextes :

deScription

verbale

Pour reconnaitre le taux de variation dans une

situation de la vie réelle, il faut trouver la valeur

formée de deux unités de mesure.

Exemple :

Une piscine se vide à 200 litres par

heures.

a = –200 L/h

règle

Pour repérer le taux de variation dans la règle

d’une fonction affine, il faut initialement avoir

présenter la variable dépendante en fonction de la

indépendante. Le coefficient associé à la variable

indépendante est le taux de variation.

Exemple :

S x3

25= − +

a = 3

2−

table de

valeurS

Pour calculer le taux de variation à partir d’une

table de valeurs, il suffit de choisir deux coordon-

nées puis d’utiliser la règle :

2 1

2 1

= −−

ay y

x x

Exemple :

x y

10 30

15 50

20 70

Soit P1(10, 30) et P

2(15, 50)

Alors :

50 30

15 10

20

542 1

2 1

= −−

= −−

= =ay y

x x

graphique

Pour trouver le taux de variation dans un gra-

phique, il faut trouver deux points passant pré-

cisément sur le quadrillage, puis compter la

variation verticale par rapport à la variation verti-

cale.

Exemple :

x

y

1

1+3

+3

+4

+4

3

4

3

4= +

+=a

CORRIGÉ


142 © SOFAD

Exercices de l’activité 3.1

Expliquez, en vos mots, ce que représente le taux de variation de chacune des situations représen-

tées graphiquement ci-dessous. Précisez l’unité de mesure du taux de variation ainsi que le sens de la

variation.

a)DISTANCE (km)

x

y

2 3 410

10

20

30

40

TEMPS (h)

b)VITESSE (km/h)

x

y

2 3 410

40

80

120

160

TEMPS (min)

20

60

100

140

c)SALAIRE ($)

x

y

40 60 80200

400

800

1200

1600

TEMPS (h)

d)COÛT DE LA

FACTURE

($)

x

y

4 6 820

5

10

15

20

VOUME (L)

a)

b)

c)

d)

3.5

CORRIGÉ

143© SOFAD


Un centre commercial a engagé un déneigeur professionnel

pour la période hivernale. Lors d’une tempête, ce dernier fac-

ture 180,00 $ pour 2 heures de travail et, à la tempête suivante,

300,00 $ pour 4 heures.

Calculez le taux de variation de la relation entre le montant fac-

turé et le temps.

Vous avez acheté un téléphone cellulaire. Un fournisseur tente de vous recruter comme client. Le tarif

de base est de 37,40 $/mois, plus 7,00 $/mois pour l’afficheur. Selon votre utilisation d’Internet mobile, la

tarification mensuelle prendra cette allure :

TarificaTion mensuelle en foncTion De l’uTilisaTion D’inTerneT mobile

FACTURE ($)

x

y

0,2 0,3 0,4 0,50,10

30

40

50

60

70

UTILISATION (Go)

(0,1; 49,40)

(0,2; 54,40)

(0; 44,40)

a) Calculez le taux de variation de cette situation.

3.6

3.7

CORRIGÉ


144 © SOFAD

b) Exprimez en vos mots ce qu’il signifie.

c) Quel est le signe de cette fonction ?

Selon une enquête dévoilée par l’Association canadienne

des automobilistes (CAA) en novembre 2010, l’envoi de

messages textes au volant constitue désormais la plus

importante préoccupation des Canadiens en matière de

sécurité routière, surpassant même la conduite avec les

facultés affaiblies.

Source : Société de l’assurance automobile du Québec

Le saviez-vous ?

Trouvez le taux de variation de chacune des fonctions suivantes.

a) = − −2 3y x

b) = +50 100D t

c) = 100y

d) f (x) = 4x + 5

e) f (x) = 28

f) y = 12 – 3x

g) f (x) = 1 – x

h) f (x) = 1 + x

3.8

CORRIGÉ

145© SOFAD


Trouvez le taux de variation de 3 r + 2 s = 8 :

1. Si r est la variable dépendante.

2. Si s est la variable dépendante.

Pour l’achat d’une maison, vous avez versé 52 000,00 $ en mise de fonds. Le reste du montant emprunté,

100 000,00 $, sera remboursé mensuellement par des versements égaux de 1030,00 $, et ce, durant

10 ans. La règle de cette fonction est 1030 52 000= +R t , où R représente le coût réel de la maison ($) et t,

le temps (mois).

a) Quel est le taux de variation de cette relation ?

b) Au bout de 10 ans, quel sera le montant total remboursé ?

c) Comment pouvez-vous expliquer la différence entre le montant emprunté et le montant remboursé ?

3.9

3.10

CORRIGÉ


146 © SOFAD

Activité 3.2 – Quelle est la règle ?

But Trouver la règle d’une fonction affine.

Vous êtes maintenant en mesure de calculer le taux de variation d’une fonction affine à partir d’un gra-

phique, de deux points appartenant à une droite, ou à partir de la règle la modélisant. Dans cette activité,

il faudra trouver la règle à partir de différents indices.

Trouver la règle à partir du taux de variation et de la valeur initiale

Revenons à Isabelle et au salaire qu’elle gagne comme vendeuse de voitures. Elle reçoit 1 % des ventes

qu’elle réalise, en plus d’un salaire de base de 200,00 $ par semaine. La valeur initiale (ordonnée à l’ori-

gine) est donc 200, puisque, même sans faire de vente, on lui assure un salaire de 200,00 $ par semaine.

Le taux de variation est de 1 % (1/100).

Lorsque l’on peut établir la valeur initiale et le taux de variation d’une fonction affine, c’est un jeu d’enfant

de trouver la règle ! Il suffit en effet de substituer ces valeurs dans l’équation de forme : y = ax + b.

Ici, cela donne : y = 1

100x + 200

ou encore : S = 1

100v + 200 où S représente le salaire hebdomadaire d’Isabelle ($)

et v, les ventes effectuées durant la semaine ($).

Cette règle sert de modèle à Isabelle parce qu’elle lui permet de calculer son salaire hebdomadaire en

fonction du montant des ventes qu’elle a récolté durant la semaine.

Un confrère de travail d’Isabelle, employé par l’entreprise depuis plusieurs années,

reçoit 1,5 % des ventes qu’il réalise en plus de son salaire de base de 200,00 $ par

semaine. Selon vous, quelle est la règle de cette situation ?

Comme le taux de variation est de 1,5 % (1,5

100) et que la valeur initiale est

200, alors la règle est : y = 1,5

100x + 200 ou S =

1,5

100v + 200.

Vous auriez aussi pu écrire : = +0,015 200S v ou S = 3

200v + 200.

146

CORRIGÉ

147© SOFAD


Trouver la règle à partir du taux de variation et d’un point appartenant à la droite

Vous vous apprêtez à faire cuire une dinde. Vous savez qu’il faut deux heures de

cuisson par kilogramme de volaille plus un certain temps de cuisson peut importe

la grosseur de votre dinde. De plus, vous savez qu’une dinde de 3 kilos nécessite

6,5 h.

Déterminez les variables dépendante et indépendante de cette relation.

Selon vous, quel est le taux de variation de cette situation ?

Le temps de cuisson dépend de la masse de la dinde. Le temps de cuisson est donc la variable dépen-

dante et la masse, la variable indépendante. Quant au taux de variation, il est de 2 h/kg.

Nous connaissons le taux de variation de cette fonction, mais pas sa valeur initiale. Par contre, nous

connaissons les coordonnées d’un point appartenant à cette droite : (3; 6,5).

Pour trouver la règle de cette relation, il faut substituer les valeurs connues dans la forme = +y ax b afin

de trouver la valeur de la valeur initiale.

Dans un couple de coordonnées (x, y), le premier chiffre représente la valeur de la variable indépen-

dante x et le deuxième, la valeur de la variable dépendante y. Les 2 chiffres sont séparés par une vir-

gule. Pour éviter la confusion, si l’on a des nombres décimaux, on les sépare par un point-virgule. Par

exemple : (2,25; 9,75).

Rappel

Dans le problème plus haut, nous connaissons a = 2, x = 3 et y = 6,5.

Il suffit de remplacer ces données dans l’équation de la forme y = ax + b pour trouver la valeur de b.

6,5 = 2(3) + b

= +6,5 6 b

− = + − +6,5 6 6 6b b

=0,5 b

La valeur initiale est donc 0,5.

CORRIGÉ


148 © SOFAD

Maintenant que nous connaissons le taux de variation et la valeur initiale, il suffit de transposer ces

valeurs dans l’équation de forme : = +y ax b.

Ainsi, = +2 0,5y x

ou, si vous préférez : t = 2m + 0,5 où t est le temps de cuisson (h)

et m, le poids de la dinde (kg).

Que représente la valeur initiale dans cette situation ?

La deuxième valeur du couple (0; 0,5) représente la valeur initiale. Elle indique qu’il faut rajouter 0,5 h

au temps de cuisson, quel que soit la masse de la dinde.

Trouver la règle à partir des coordonnées de deux points

Revenons à la situation de l’essai routier d’Isabelle et de son client. Roulant à 14 m/s, le client freine gra-

duellement pour s’immobiliser complètement en 20 secondes. Ici, la vitesse est exprimée en fonction du

temps. Au temps 0, en début du freinage, la vitesse du véhicule est de 14 m/s et, au temps 20, à l’arrêt

du véhicule, elle est de 0 m/s. Cela signifie que l’on connaît les coordonnées de deux points : (0, 14) qui

représente en fait l’ordonnée à l’origine et (20, 0) qui représente l’abscisse à l’origine.

Comme le taux de variation n’est pas connu, il faut, dans un premier temps, le calculer.

ay y

x x

0 14

20 0

14

20

7

102 1

2 1

= −−

= −−

= − = −

Ici, les unités de mesure du taux de variation sont des m

s ÷ s

ou × =m

s

1

s

m

s2 . Ces unités, en m/s2, sont celles

utilisées pour qualifier l’accélération. L’accélération est donc négative puisque le véhicule ralentit. On

peut alors parler de décélération.

Comme nous connaissons la valeur initiale (ordonnée à l’origine), il suffit de substituer le taux de varia-

tion et la valeur initiale dans la forme : = +y ax b.

On obtient : = − +7

1014y x

ou v t7

1014= − + où v représente la vitesse (m/s)

et t, le temps (s).

CORRIGÉ

149© SOFAD


Vous avez emprunté, sans intérêt, une somme d’argent à un ami. Deux

mois après l’emprunt, votre dette était de 800,00 $ et 6 mois après

l’emprunt, elle était de 400,00 $. Si le rythme du remboursement est

régulier, trouvez la règle mettant en relation le montant de la dette en

fonction du temps.

Réponse :

Deux points sont connus : P1(2, 800) et P

2(6, 400). Avec ces points, on peut calculer le taux de variation :

= −−

= −−

= − = −400 800

6 2

400

4100 $/mois2 1

2 1

ay y

x x

Le taux de variation étant connu, il faut substituer les coordonnées d’un des points et le taux de variation

dans l’équation de forme : = +y ax b.

Avec le point (2, 800) on obtient : = − +800 100(2) b

= − +800 200 b

+ = − + +800 200 200 200b

1000 = b

Si vous utilisez les coordonnées de l’autre point pour trouver la valeur de b, vous obtiendrez le

même résultat. Il peut être approprié de faire une validation de notre équation trouvée avec les

coordonnées de ce deuxième point.

Astuce

Finalement, il faut substituer les valeurs du taux de variation et de la valeur initiale dans l’équation de

forme = +y ax b. On obtient : y x100 1000= − + ou D t100 1000= − + , où D représente le montant de la

dette ($) et t, le temps (mois).

CORRIGÉ


150 © SOFAD

Quelle interprétation faites-vous de la valeur initiale ?

La valeur initiale représente le montant emprunté puisque, au moment 0, la dette était de 1000,00 $.

À ce rythme, combien de temps vous faudra-t-il pour rembourser votre dette ?

Réponse :

Le remboursement total de la dette signifie que D = 0. Il faut donc remplacer la variable dépendante par

0 dans la règle et trouver la valeur de la variable indépendante à ce moment :

D t100 1000= − +

t0 100 1000= − +

t0 1000 100 1000 1000− = − + −

t1000 100− = −

t1000

100

100

100

−−

= −−

10 = t

Il vous faudra donc 10 mois pour rembourser votre dette en totalité.

CORRIGÉ

151© SOFAD

À retenir


La fonction affine

On peut trouver la règle d’une fonction affine à partir de différents indices.

Si l’on connaît a et b

Pour trouver la règle d’une fonction affine à partir du taux de variation a et de la

valeur initiale (ordonnée à l’origine) b :

Il suffit de substituer ces valeurs dans l’équation de forme = +y ax b.

Si l’on connaît a et leS

coordonnéeS d’un point

Pour trouver la règle d’une fonction affine à partir du taux de variation a et des

coordonnées d’un point (x, y) appartenant à la droite :

Il faut substituer ces valeurs dans l’équation de forme = +y ax b, afin de déter-

miner la valeur de b.

Une fois la valeur de b connue, on substitue a et b dans l’équation de forme

= +y ax b.

Si l’on connaît leS coordonnéeS

de deux pointS

Pour trouver la règle d’une fonction affine à partir des coordonnées de deux

points P1(x

1, y

1) et P

2(x

2, y

2) appartenant à la droite :

Il faut calculer le taux de variation avec : = −−

2 1

2 1

ay y

x x

Choisir les coordonnées d’un des deux points et substituer les valeurs de x, y et

a dans l’équation de forme = +y ax b, afin de trouver la valeur de b.

Connaissant a et b, il suffit de substituer ces valeurs dans l’équation de forme

= +y ax b.

Si un graphique offre leS repèreS

néceSSaireS

Pour trouver la règle d’un fonction affine à partir d’un graphique :

Il faut trouver deux points passant précisément sur le quadrillage pour trouver

le taux de variation.

Puis, il faut trouver l’ordonnée à

l’origine équivalente à la valeur

initiale de la fonction.

Exemple :

x

y

1

1

+3

+4

b = –1

3

4=a

3

4= –y 1x

CORRIGÉ


152 © SOFAD


Trouvez chaque règle à partir des indices suivants.

a) La valeur initiale est –2 et le taux de variation, 1

2.

Réponse : b) Le taux de variation est 0,4 et la droite passe par le point (–2, 1).

Réponse : c) La droite passe par les points (1, 60) et (2, 3).

Réponse : Un conducteur roule à 27 m/s et accélère pour effectuer un dépassement. Son accélération est de 1 m/s2.

a) Trouvez la règle mettant en relation la vitesse, au moment de l’accélération (m/s), en fonction du

temps (s).

b) Si le dépassement s’effectue en 7 secondes, quelle est la vitesse du véhicule à la fin du dépassement ?

Exprimez votre réponse en km/h.

Réponse :

3.11

3.12

CORRIGÉ

153© SOFAD


Complétez le tableau suivant :

taux de variation

avaleur initiale

bpointx y( , )1 1

pointx y( , )2 2

règle= +y ax b

3 –1

–5 0

0 8

0 (2, 1)

0 (4, 6)

(0, 0) (–1, –1)

(–5, 7) (2, –7)

(3, 4) (–7, –1)

(–5, 0) (0, –5)

(3, 1) (–3, –1)

Vous désirez ajouter de l’eau dans votre piscine car, en

raison de la canicule, une certaine quantité d’eau s’est

évaporée. Vous évaluez qu’il reste 45 000 L d’eau dans la

piscine et le débit de votre boyau est de 15 L/min.

a) Établissez la règle mettant en relation le volume d’eau

de votre piscine en fonction du temps.

b) Évaluez après combien d’heures votre piscine contiendra 50 000 L d’eau.

Réponse :

3.13

3.14

CORRIGÉ


154 © SOFAD

Vous louez une voiture pour une randonnée à la campagne. L’entreprise de location qui offre ce

service demande 0,20 $ par kilomètre parcouru. La publicité annonce que pour une randonnée de

500 km, il en coûtera 200,00 $.

a) Quelle est la règle qui met en relation le coût de l’expédition en fonction de la distance

parcourue ?

Réponse : b) Quelle est la valeur de la valeur initiale ? Quelle est la signification de cette valeur ?

De plus en plus d’entreprises offrent des véhicules en

location, souvent à petits prix, pour une demi-heure, une

heure, une journée ou plus. Ces voitures sont disponibles

24 heures par jour et 7 jours par semaine. Une pratique

écologique que de disposer d’une voiture à temps partiel !

Le saviez-vous ?

Tous les matins, vous pratiquez la marche rapide pour vous rendre au travail. Après 10 minutes de

marche, vous savez que vous avez parcouru 1,2 km et, après 15 minutes 1,8 km.

a) Trouvez la règle de cette situation illustrant la distance parcourue en fonction du temps.

3.15

3.16

CORRIGÉ

155© SOFAD


b) S’agit-il d’une fonction linéaire ? Expliquez votre réponse.

Vous et votre amie faites des économies pour vous acheter une bicyclette. Au bout de 6 semaines, vous

avez amassé 400,00 $ et après 10 semaines, 560,00 $. Quant à votre amie, elle a économisé 520,00 $ après

6 semaines et 640,00 $ après 10 semaines.

a) Trouvez les règles correspondant à chacune de ces deux situations.

b) Quel était le montant dont vous disposiez, vous et votre amie, au

départ ?

c) Si les bicyclettes que vous voulez acheter coûtent 1000,00 $ cha-

cune, qui d’entre-vous aura amassé l’argent nécessaire en premier ?

Expliquez algébriquement votre raisonnement.

Réponse :

3.17

CORRIGÉ


156 © SOFAD

Activité 3.3 – Une règle sous influence

But Interpréter l’effet du changement d’un paramètre dans une fonction affine.

Modification du paramètre a

Isabelle a étudié la vente et la représentation. Ses parents ont financé une partie de ses études en lui

consentant un prêt sans intérêt. Elle a accumulé 12 000,00 $ de dette qu’elle rembourse par mensualités

de 250,00 $.

Maintenant qu’elle a trouvé un emploi plus stable, elle voudrait augmenter le montant de ses mensualités

afin de rembourser ses parents plus rapidement.

Comme la dette d’Isabelle était de 12 000,00 $ au départ, cette donnée correspond à la valeur initiale de

la situation. Les mensualités de 250,00 $ représentent quant à eux le taux de variation. Par conséquent, la

règle de la relation est : = − +250 12 000y x ou = − +250 12 000D t . D représente le montant de la dette ($)

et t, le temps (mois).

Le taux de variation est négatif,

parce que la fonction est décrois-

sante. Plus le temps passe, moins

la dette est importante. Sur un gra-

phique, on peut représenter la situa-

tion ainsi :


monTanT De la DeTTe à rembourser en foncTion Des mois écoulés (mensualiTés De 250,00 $)

DETTE ($)

t

D

16 24 32 4080

1200

2400

3600

4800

TEMPS (mois)

44 4812 20 28 364

6000

6600

7200

7800

8400

9000

9600

10200

10800

11200

12000

600

1800

3000

4200

5400

156

CORRIGÉ

157© SOFAD


À ce rythme, il lui faudra 48 mois, soit quatre ans, pour rembourser complètement ses parents.

Si Isabelle augmente ses mensualités à 300,00 $, que devient la règle ?

Le taux de variation étant de –300 $/mois et la valeur initiale de 12 000,00 $, la règle devient donc :

= − +300 12 000D t .

À un rythme de 300,00 $/mois, la représentation graphique devient :


monTanT De la DeTTe à rembourser en foncTion Des mois écoulés (mensualiTés De 300,00 $)

DETTE ($)

t

D

16 24 32 4080

1200

2400

3600

4800

TEMPS (mois)

44 4812 20 28 364

6000

6600

7200

7800

8400

9000

9600

10200

10800

11200

12000

600

1800

3000

4200

5400

Selon cette nouvelle situation, après combien de temps Isabelle aura-t-elle fini de rembourser sa dette ?

Quelle est la différence entre ce graphique et celui de la page prédécente ?

CORRIGÉ


158 © SOFAD

Les deux représentations graphiques ont la même valeur initiale b = 12 000 $, mais le taux de variation

est différent pour chacune des droites. Le deuxième graphique décroît plus rapidement. L’abscisse à

l’origine est donc différente dans les deux graphiques. Sur le deuxième graphique, l’abscisse à l’origine

est 40. Cela signifie qu’Isabelle aura réglé sa dette en 40 mois, soit 8 mois plus tôt qu’elle ne l’aurait fait

en remboursant avec des versements mensuels de 250 $. Elle sera donc libérée de son obligation plus

rapidement.

Le paramètre a a donc une influence dans ce cas-ci sur la durée de la dette. C’est logique, puisque, plus

le montant des mensualités augmente, plus vite la dette sera remboursée.

Cet état de fait est vrai pour les prêts sans intérêt, mais il devient encore plus important si le prêt

porte intérêt. Ce type de situation s’apparente à une fonction dite exponentielle, fonction que vous

pourriez étudier dans des cours de mathématique à venir.

Attention

Modification du paramètre b

Au Québec, le taux d’alcool maximal dans le sang d’un conducteur expérimenté est de 0,08 g/100 ml ou

0,8 g/L. Cela signifie 0,08 gramme d’alcool pour chaque 100 millilitres de sang ou 0,8 gramme d’alcool

pour chaque litre de sang. En revanche, pour les conducteurs de moins de 21 ans, c’est « tolérance zéro ».

Mais, pour une même quantité d’alcool consommé, l’alcoolémie peut être dif-

férente d’une personne à une autre. Plusieurs facteurs entrent en ligne de

compte : le sexe, l’âge, le poids, la taille, l’état de santé général, l’absorption de

l’alcool durant un repas ou non, etc.

Samuel est dans un bar avec un ami et ils ont consommé de l’alcool.

L’établissement offre le service d’un alcootest maison. Le test indique un taux

de 0,04g/100ml pour Samuel, tandis qu’il est de 0,05g/100ml pour son ami. Le

« hic » c’est que tous deux ne sont âgés que de 19 ans.

Sachant que l’alcool s’élimine de l’organisme, en moyenne, à raison de

0,015g/100ml par heure, la règle de cette relation est donc : C1 = –0,015t + 0,04

pour Samuel et C2 = –0,015t + 0,05 pour son ami, où C représente la concentra-

tion d’alcool dans le sang en g/100ml et t, le temps écoulé en heures.

Voyons en combien de temps l’alcool sera complètement éliminé de leur orga-

nisme, leur permettant de prendre la route au volant de leur véhicule.

CORRIGÉ

159© SOFAD


Graphiquement, la situation se résume ainsi :


concenTraTion D’alcool Dans le sang en foncTion Du Temps

CONCENTRATION

D’ALCOOL (g/100 ml)

t

C

2 3 4 510

0,01

0,02

0,03

0,04

TEMPS (h)

0,05

C1

C2

Lorsque nous examinons les deux équations de cette situation, nous remarquons que la valeur initiale est

différente. Pour Samuel, b = 0,04, alors que pour son ami, b = 0,05. Les droites n’ont donc pas la même

ordonnée à l’origine sur le graphique. Mais étant donné que les deux équations ont le même taux de varia-

tion a = –0,015, alors, les deux droites qui représentent ces équations sont parallèles.

Selon vous, combien de temps doivent-ils attendre avant de prendre la route avec leur véhicule ?

Étant donné la nature des paramètres a et b, il est difficile de lire précisé-

ment, dans le graphique, l’abscisse à l’origine de chacune des fonctions.

On peut cependant faire une approximation : un peu plus de 3 h pour le

conducteur avec une alcoolémie de 0,05 et plus de 2,5 h pour celui dont

l’alcoolémie est de 0,04.

Par contre, en utilisant les règles, on peut calculer la valeur de l’abscisse

à l’origine (le zéro de la fonction). Il suffit de remplacer la variable dépen-

dante par 0 et trouver la valeur de la variable indépendante à ce moment.

CORRIGÉ


160 © SOFAD

tempS d’attente pour Samuel tempS d’attente pour Son ami

= − +0,015 0,041C t

= − +0 0,015 0,04t

− = − + −0 0,04 0,015 0,04 0,04t

− = −0,04 0,015t

−−

=−−

0,04

0,015

0,015

0,015

t

2 23 = t

Le temps d’attente est de 2 h 40.

0,015 0,052 = − +C t

= − +0 0,015 0,05t

− = − + −0 0,05 0,015 0,05 0,05t

− = −0,05 0,015t

−−

=−−

0,05

0,015

0,015

0,015

t

3 13 = t

Le temps d’attente est de 3 h 20.

Samuel devra attendre 2 h 40 avant qu’il n’y ait plus de

trace d’alcool dans son sang, alors que son ami devra

attendre 40 minutes de plus, soit 3 h 20.

Les services de raccompagnement tels « Tolérance zéro » ont pour mission de sensibiliser la popu-

lation aux dangers de la conduite avec les facultés affaiblies par l’alcool. Ces organismes offrent

un moyen efficace de réduire le nombre d’accidents occasionnés par des conducteurs inaptes à

prendre le volant.

Le saviez-vous ?

Comme vous pouvez le constater, les paramètres a et b jouent un très grand rôle dans les fonctions

affines. Le signe de chacun de ces paramètres influence grandement la représentation graphique d’une

droite.

CORRIGÉ

161© SOFAD

À retenir


Influence des paramètres a et b

En contexte, le taux de variation et la valeur initiale d’une fonction affine ont leur importance.

Une augmentation ou une diminution du taux de variation influence la relation entre la variable

dépendante et la variable indépendante. Quant à la valeur initiale, même si son influence est

parfois moins grande, elle peut jouer un rôle important dans certaines conditions. Elle indique

souvent le point de départ d’une situation particulière.

Taux de variation

a > 0 a = 0 a < 0

Les variables

(dépendante et indépendante)

varient dans le même sens.

La droite est croissante.

La valeur de la variable

dépendante ne change pas.

La droite est horizontale.

La fonction est constante.

Les variables


varient dans le sens contraire.

La droite est décroissante.

x

y

1

1

1

1

+1

+1

+1

+3

y 2 =

3x +

1

y 1

= x +

1

x

y

1

1

1

1 y = 1

x

y

1

1

1

1

–1

+1

+1

–3

y2 = –3x + 1

y1 = –x + 1

Valeur initiale

b > 0 b = 0 b < 0

La droite coupe l’axe des y

au-dessus de l’axe des x.La droite passe par l’origine.


au-dessous de l’axe des x.

x

y

1

1

1

1

y 1 = x

+ 31

2

y 2 = x + 11

2

x

y

1

1

1

1

y 1 =

2x

y2 = – x

12

(0,0)x

y

1

1

1

1

y1 = –2x – 3

y 2 = x – 11

2

CORRIGÉ


162 © SOFAD


Vous avez économisé 500,00 $. De plus, vous déposez 40,00 $ par semaine dans votre compte afin de vous

offrir un voyage dans le Sud. Le forfait tout inclus que vous avez choisi coûte 1220,00 $.

a) Déterminez la règle qui met en relation vos économies en fonction du temps.

b) Représentez graphiquement cette relation.

Titre :

c) À l’aide du graphique, évaluez combien de semaines il vous faudra pour avoir économisé la somme

requise.

d) À l’aide de la règle, vérifiez si la réponse trouvée en c) est correcte.

e) Si vous mettiez 50,00 $ par semaine de côté au lieu de 40,00 $, quelle serait alors la règle ?

3.18

CORRIGÉ

163© SOFAD


f) Analysez l’effet de ce changement sur le temps qu’il vous faudrait alors pour avoir la somme nécessaire.

Réponse :

En l’an 2000, les réserves mondiales de pétrole étaient évaluées à 1300 milliards de barils. En 2010, elles

étaient estimées à 1100 milliards de barils.

a) Trouvez la règle de cette relation.

b) Si le taux de consommation de pétrole par année augmentait de 0,2 milliard de barils, quelle serait

alors la règle ?

c) Dans les règles des questions a) et b), trouvez la valeur de t au moment où les réserves de pétrole

seront épuisées.

3.19

CORRIGÉ


164 © SOFAD

Vous avez décidé d’acheter une voiture hybride usagée. Vous hésitez entre deux scénarios : verser

2000,00 $ en argent comptant avec des mensualités de 400,00 $ ou verser 4000,00 $ en argent comptant

tout en gardant les mêmes mensualités.

a) Déterminez les règles du remboursement en fonction du temps.

b) Tracez, dans le même plan cartésien, la droite relative à chacune des règles établies en a).

Titre :

c) Sachant que la voiture hybride que vous avez achetée coûte 18 000,00 $, quel est l’avantage de verser

un plus grand montant d’argent?

d) Validez algébriquement les résultats obtenus en c).

3.20

CORRIGÉ

165© SOFAD


Un peu plus loin – Au mois ou aux deux semaines

Vous désirez faire l’achat d’un chalet. Le prix demandé est de 109 000,00 $.

Comme vous ne disposez pas de la somme totale, vous prévoyez verser

un montant à l’achat et, ensuite, payer le reste sur une période de 10

ans. Lors de votre visite à la banque, le conseiller vous propose

deux scénarios d’achat. Le taux d’intérêt est identique dans

les deux cas.

Scénario 1 : Un comptant de 25 000,00 $ à l’achat et

des mensualités de 849,16 $ pendant 10 ans.

Scénario 2 : Un comptant de 20 000,00 $ à l’achat et

des paiements de 403,32 $ toutes les deux semaines

pendant 10 ans.

Quel scénario choisiriez-vous ? Pour vous aider à prendre une décision éclairée, répondez aux questions

suivantes :

Trouvez la règle représentant chacune des situations.

Pour chacun des scénarios proposés, trouvez le coût réel du chalet, le montant de l’emprunt et le mon-

tant des intérêts payés.

Réponse :

Et maintenant, quelle est votre décision ?

3.21

3.22

3.23

CORRIGÉ


166 © SOFAD

Exercices d’intégration

À partir des représentations graphiques suivantes, calculez le taux de variation de chacune des droites.

a)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

b)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

c)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1-1

-2

4

3

2

1

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5

-2

4

3

2

1

d)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

a) b)

c) d)

3.24

© SOFAD

CORRIGÉ

167© SOFAD


Exercices d’intégration

À partir des représentations graphiques suivantes, calculez le taux de variation de chacune des droites.

a)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

b)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

c)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1-1

-2

4

3

2

1

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5

-2

4

3

2

1

d)

x

y

-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-4 1-1-2-3-5 2 3 4 5-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

a) b)

c) d)

3.24

© SOFAD

La table de valeurs suivante met en relation la température (°C) et l’altitude (km).

TempéraTure en foncTion De l’alTiTuDe

altitude (km) 1 2 3 4 5 6

température (°C) 8,4 2,0 –4,4 –10,8 –17,2 –23,6

a) Calculez le taux de variation de cette relation.

b) Quelle est la règle correspondant à cette situation ?

c) À quoi correspond l’ordonnée à l’origine dans cette situation ?

Quel est le taux de variation des fonctions suivantes ?

a) = −3

4yx

b) = 20D

c) = − +0,4 2C t

d) − =3 2 3x y

3.25

3.26

CORRIGÉ


168 © SOFAD

Un plombier facture 100,00 $ pour 1,5 heure de travail et 150,00 $ pour 3 heures.

a) Calculez le taux de variation de cette situation.

b) Quelle est la règle représentant cette situation ?

c) À quoi correspond l’ordonnée à l’origine dans ce contexte ?

Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? S’ils sont faux, corrigez-les.

a) Dans la règle = − +2 4D t , le nombre 4 représente le taux de variation.

b) Si la règle d’une fonction linéaire est − + =3 2 3x y , alors le taux de variation est –3.

c) Plus le paramètre a d’une fonction linéaire augmente, plus l’abscisse à l’origine s’approche du 0.

d) Pour calculer le taux de variation à partir des coordonnées de deux points appartenant à une même

droite, il faut toujours calculer la variation de la valeur des variables à partir du 2e point.

3.27

3.28

CORRIGÉ

169© SOFAD


Josiane désire aller camper. Elle hésite entre deux terrains de camping offrant des forfaits différents.

Dans le premier cas, un montant de base de 40,00 $ est exigé et chaque nuit est facturée à 12,00 $. Dans

le second, des frais de base de 15,00 $ sont imposés et chaque nuitée est facturée à 18,00 $. Calculez le

forfait le plus avantageux pour Josiane si elle désire camper 7 nuits.

Réponse :

Vous avez décidé de faire un don à un organisme sans but lucratif militant pour la protection de l’envi-

ronnement. Vous lui avez d’abord offert 40,00 $ et promis de lui verser, par la suite, 15,00 $ par mois.

Considérant votre geste juste et généreux, votre patron décide de faire de même. Il émet alors un chèque

de 100,00 $ et promet de verser, lui aussi, 15,00 $ par mois. Au bout d’un an, calculez la différence entre

vos dons.

Réponse :

3.29

3.30

CORRIGÉ


170 © SOFAD

Justin est un adepte du vélo. Il part de Montréal et désire se rendre à

Saint-Jérôme. Son ami partira du même endroit, au même moment que

lui, mais prendra sa voiture. Sachant qu’une distance de 62 km sépare les

deux villes et que Justin pédale en moyenne à 20 km/h alors que son ami

roulera en moyenne à 90 km/h, calculez la différence de temps entre les

deux arrivées à destination. Présentez une analyse graphique et algé-

brique de la distance restante à parcourir en fonction du temps.

Titre :

Réponse :

3.31

CORRIGÉ

171© SOFAD


Activité synthèse – Interpréter deux modèles

Nous vous présentons la table de valeurs mettant en relation la distance d’arrêt du véhicule de deux

conducteurs : l’un sobre et l’autre ayant consommé de l’alcool (0,08 g/100 ml). Rappelons que ce degré

d’alcoolémie est la limite légale au Canada pour un conducteur de plus de 21 ans. La distance d’arrêt a été

calculée en fonction de la vitesse des véhicules.

Tableau 3.4

DisTance D’arrêT pour un conDucTeur sobreselon la viTesse Du véhicule en Km/h

Tableau 3.5

DisTance D’arrêT pour un conDucTeur ayanT consommé De l’alcool

selon la viTesse Du véhicule en Km/h


60 94,3

90 101,0

100 103,4

120 107,7


60 106,0

90 118,5

100 123,0

120 131,0

Notez que ces tables de valeurs ne sont suggérées que pour une vitesse minimale de 36 km/h.

Votretâche

À l’aide de ces renseignements, vous devez trouver la règle de chacune de ces deux

relations et construire un graphique dans lequel on retrouvera la courbe de ces deux

situations. Pour y parvenir, vous devez, avant tout, transformer les unités de mesure

de la vitesse en m/s. Finalement, vous devez décrire chacune des situations en énu-

mérant leurs caractéristiques.

Transformez les unités de mesures de deux tableaux ci-dessus en m/s (arrondies à l’unité près).

DisTance D’arrêT pour un conDucTeur sobreselon la viTesse Du véhicule en m/s

DisTance D’arrêT pour un conDucTeur ayanT consommé De l’alcool

selon la viTesse Du véhicule en m/s

viteSSe (m/s) diStance (m)

94,3

101,0

103,4

107,7

viteSSe (m/s) diStance (m)

106,0

118,5

123,0

131,0

3.32

CORRIGÉ


172 © SOFAD

Trouvez la règle de la relation de la distance d’arrêt (m) en fonction de la vitesse (m/s) pour chacun des

conducteurs.

Réponse :

Quel est le paramètre qui diffère dans chacune des deux situations ?

Représentez graphiquement ces deux situations, sachant que le domaine débute à 10 m/s.

Titre :

3.33

3.34

3.35

CORRIGÉ

173© SOFAD


Déterminez les caractéristiques de chacune des fonctions.

Finalement, quelle serait la distance d’arrêt de chacun des conducteurs, si les deux véhicules roulaient à

une vitesse de 110 km/h sur une autoroute ?

Réponse :

3.36

3.37

CORRIGÉ

174 © SOFAD

MAT-3051-2 MODÉLISATION ALGÉBRIQUE ET GRAPHIQUE

Liste des nouveaux savoirs

Taux de variation dans une fonction affine

Pour calculer le taux de variation d’une fonction affine à partir d’un graphique, il faut trouver le rapport de

la variation de la valeur de la variable dépendante et la variation de la valeur de la variable indépendante :

a = variation des ordonnées

variation des abscisses

x

y

1

1+3

+3

+4

+4

3

4

3

4= +

+=a

Pour calculer le taux de variation d’une droite à partir des coordonnées de deux points, il faut calculer le

rapport de la différence des valeurs de la variable dépendante et la différence des valeurs de la variable

indépendante : = −−

2 1

2 1

ay y

x xExemple :

Sachant qu’à 16 heures hier, il y avait 4 cm de neige au sol, et qu’à 22 heures, il y avait 34 cm, calculez le

taux de variation de cette situation.

Les coordonnées connues de la situation : P1(16, 4) et P

2(22, 34)

Le calcul du taux de variation ay y

x x

34 4

22 16

30

652 1

2 1

= −−

= −−

= = cm/h

Il y a donc eu une accumulation de neige de 5 cm/h.

CORRIGÉ

175© SOFAD


La fonction affine

On peut trouver la règle d’une fonction affine à partir de différents indices.

Si l’on connaît a et b Il suffit de substituer ces valeurs dans l’équation de forme = +y ax b.

Si l’on connaît a et leS

coordonnéeS d’un point

Il faut substituer ces valeurs dans l’équation de forme = +y ax b, afin de détermi-

ner la valeur de b.

Une fois la valeur de b connue, on substitue a et b dans l’équation de forme

= +y ax b.

Si l’on connaît leS coordonnéeS

de deux pointS

Soit P1(x

1, y

1) et P

2(x

2, y

2). Il faut calculer le taux de variation avec : = −

−2 1

2 1

ay y

x x.

Choisir les coordonnées d’un des deux points et substituer les valeurs de x, y et a

dans l’équation de forme = +y ax b, afin de trouver la valeur de b.

Connaissant a et b, il suffit de substituer ces valeurs dans l’équation de forme

= +y ax b.

Si un graphique offre leS repèreS

néceSSaireS

Il faut trouver deux points passant

précisément sur le quadrillage pour

trouver le taux de variation.

Puis, il faut trouver l’ordonnée à

l’origine équivalente à la valeur

initiale de la fonction.

Exemple :

x

y

1

1

+3

+4

b = –1

3

4=a

3

4= –y 1x

CORRIGÉ

176 © SOFAD

MAT-3051-2 MODÉLISATION ALGÉBRIQUE ET GRAPHIQUE

Influence des paramètres a et b

Une augmentation ou une diminution du taux de variation influence la relation entre la variable dépen-

dante et la variable dépendante. Dans un graphique, le taux de variation influence l’inclinaison de la

droite. Quant à la valeur initiale, elle indique souvent le point de départ d’une situation de la vie courante.

Taux de variation

a > 0 a = 0 a < 0

Les variables


varient dans le même sens.

La droite est croissante.

La valeur de la variable

dépendante ne change pas.

La droite est horizontale.

La fonction est constante.

Les variables


varient dans le sens contraire.

La droite est décroissante.

x

y

1

1

1

1

+1

+1

+1

+3

x

y

1

1

1

1

x

y

1

1

1

1

–1

+1

+1

–3

Valeur initiale

b > 0 b = 0 b < 0


au-dessus de l’axe des x.La droite passe par l’origine.


au-dessous de l’axe des x.

x

y

1

1

1

1

x

y

1

1

1

1(0,0)

x

y

1

1

1

1

CORRIGÉ

Documents

MODÉLISATION ALGÉBRIQUE - sofad.qc.ca · Tout au long de votre formation, vous trouverez dans ce guide des outils pour mesurer vos succès et déterminer les moyens à prendre afin