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1- Centre de masse (ou centre d'inertie)

Dans le cadre de la conception d'un montage d'usinage,on choisit d'utiliser un profil en L inégal dela famille « nlm 01440 ». La référence utilisée est : nlm 01440-09 x 600.

Q1- Quelle est la masse de cette équerre ?Masse volumique : = 7,2 kg/dm3

Q2- Donner, dans le repère O ,x ,y ,z , laposition du point G, centre de masse de cetteéquerre.Pour cela :– scinder l'équerre en deux volumes simples (à

préciser sur le croquis ci-contre)– donner les coordonnées des centres de masses

des deux volumes simples dans le repèreO ,x ,y ,z

– calculer les coordonnées de G

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x

yO

z

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2- Centre de masse (ou centre d'inertie) Profil en U fonte grise (NORELEM)

Répondre aux mêmes questions que l'exercice 1 pour le profil en U défini ci-dessous :Avec : NLM 01680-11 600 => B=315 – H=200 – S=36 – L=600

3- Rappels :

31- VecteursDans un repère R 0,x , y ,z orthonormé direct, on donne quatre points :

A (1, 2, 4) B (3, 2, 6) C (3, 2, 0) D (3, 5, 0)Déterminer :

– les cordonnées des vecteurs AB et CD– conclusion sur les vecteurs AB et CD

32- TorseursDans un repère R 0,x , y ,z orthonormé direct, on donne les éléments de réduction de 3torseurs :

{1}= {R1∣−312 ∣M 1∣10

205 ∣}

A

{2}= {R2∣XYZ∣M 2∣LMN∣}

C

{3}= {R3∣053∣M 3∣−5155 ∣}

B

Avec A (-1, 1, 1) - B(-2, 3, 0) - C(5, 4, -6)Déterminer {}={1}{2}{3} au point C et les valeurs de X,Y,Z,L,M,N pour que{}={0}

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33- Coordonnées de pointsSoit les points A, B, C, D dont les coordonnées exprimées dans le repère (en mm) O ,x ,y ,z sont :OA=10x10yOB=10x−10yOC=5x10y−10zOD=5y−10z

Q1- Placer les points sur le dessin ci-dessous :

Q2- Écrire les coordonnées de ces points en utilisant la notation ci-dessous :

OA=∣ OB=∣ OC=∣ OD=∣

Q3- Donner les coordonnées de DC , CD , BA , BC

DC=∣ CD=∣ BA=∣ BC=∣Q4- Donner les valeurs des normes des vecteurs ci-dessous :

∥DC∥= ∥OC∥= ∥BC∥=

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z

y

10

5

0

-5

-10

-5-10 5 10

z

x

10

5

0

-5

-10

5 10

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4- Montage d'usinage (extrait BTS 2004)On se propose d'étudier la forme des torseurs représentant les efforts transmissibles par les élémentsde mise en position et de maintien d'une pièce (carter de boîte automatique de vitesse) sur un de sesmontages d'usinage.

Ces actions mécaniques seront exprimées dans une base B indiquée ci-dessous :41- Le maintien enposition de la pièce est assuré par trois crochets de bridage. Le contact entre les crochets et la pièceest considéré comme parfait. Chacun de ces crochets provoque un effort de bridage de 1500 N.Exprimer le torseur représentant l'action mécanique en I de serrage d'un crochet dans la base B :

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42- Exprimer au point A dans la base B, le torseur représentant les efforts transmissible par laliaison appui plan de la pièce sur le montage (la liaison est supposée parfaite) :

43- Exprimer au point B dans la base B, le torseur représentant les efforts transmissibles par laliaison « centrage court » entre la pièce et le montage (la liaison est supposée parfaite) :

44- Exprimer au point C dans la base B, le torseur représentant les efforts transmissibles par laliaison « locating » entre la pièce et le montage (la liaison est supposée parfaite) :

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5- Extrait BTS 2000 - Étude d'une brideLe poids de la bride est négligé, le chargement extérieur est défini par les torseurs :(unités : composantes des forces en N, composantes des moments en mmN)On donne l'effort de bridage :

{T pièce /3}= {Qpièce /3∣13253643

0 ∣MQ pièce /3=0}x ,y , z Q

On cherche x1, y1 et y2 :

{T 2 /3}= {O2/3∣x1y10 ∣M 02/3=0}x ,y , z O

{T 7/3}= { P7 /3∣ 0y20 ∣MP7/3=0

}x ,y ,z P

Travail demandé :Déterminer les inconnues par la méthode de votre choix (les résultats sont demandés avec uneprécision de 10 %)

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Aide à la résolution

{T P3}= {1325 03643 0

0 0}x , y ,z Q

{T 23}= {X 1 0Y 1 00 0}x ,y ,z O

{T 73}= { 0 0Y 2 00 0}x ,y ,zP

On choisit d'écrire les éléments de réductions des trois torseurs au point O

1- {T P3} {T P3}= {1325 03643 0

0 0}x , y ,z Q

MOP3=

soit : ∣∣∣

∣∧∣

∣=∣

∣ donc : {T P3}= {1325

3643 0 }x ,y ,z O

(Unités : N et mmN)

2- {T 73} {T 73}= { 0 0Y 2 00 0}x ,y ,zP

MP 73=

soit : d ∣∣∣

∣∧∣

∣=∣

∣ donc {T 73}= { 0

Y 2 0 }x ,y ,z O

3- Les trois torseurs s'écrivent donc dans la base x , y ,z

{T P3}= {1325 3643

0 }O

{T 23}= {X 1 0Y 1 00 0}O

{T 73}= { 0 Y 2 0 }O

(Unités : N et mmN)

4- Si on fait l'hypothèse que la bride est en équilibre si :{T P3}{T 23}{T 73}=0 , on peut écrire les ....... équations suivantes :

(1)

(2)

(3)

5-

{T P3}= {1325 03643 0

0 0}Q

{T 23}= { 0 0 0}O

{T 73}= { 0 0 0}P

(Unité : N)

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6- Dispositif de bridageOn considère le dispositif de bridage ci-dessous :

On définit les points suivants (exprimés dans le repère ) B ,x ,y ,z :

A∣x A=−75y A=−20

zA=0 ∣ B∣x B=0y B=0zB=0∣ C∣xC=−40

yC=22zC=0 ∣

21- Schéma Q1- Établir le schéma cinématique minimal du mécanisme de bridage.On connaît l'intensité de la force en A de la pièce sur la bride (portée par y ) : F12 = 7 500 N.

On cherche à évaluer l'ensemble des actions mécaniques appliquées sur la bride

22- Action mécanique en A de la pièce sur la bride :(remarque : dans tout l'exercice qui suit, les frottements sont négligés, ainsi que l'action duressort sur la bride)

Q2- On donne le torseur des actions mécanique de la pièce sur la bride exprimé en A dans la base

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x

Y

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x ,y , z : {T 12}= {X 12 L12

Y 12 M12

Z12 N12}x ,y ,zA

; donner, en justifiant votre réponse, les

coordonnées de ce torseur qui sont nulles.

23- Action mécanique en C du tirant sur la brideOn fait l'hypothèse qu'au point C et dans la base x ,y , z , le torseur des actions mécaniquespeut s'écrire sous la forme :

{T 52}= { 0 0F52 00 0}x ,y ,z C

Q3- Justifier l'écriture de ce torseur et donner ses coordonnées dans la base x ,y , z .

24- Action mécanique de B de 8 sur 2

Q4- Quelle est la nature de cette liaison ?

Le torseur des actions mécaniques en B de cette liaison est de la forme :

{T 82}= {X 82 L82

Y 82 M82

Z82 0 }x ,y ,zB

Q5- Justifier l'écriture du torseur ci-dessus.

25- Équilibre de la bride (torseur)Q6- Écrire les trois torseurs ci-dessus au point B.

Q7- Dans l'hypothèse où la somme des trois torseurs associés aux actions mécaniques sur la brideserait nulle, écrire toutes les équations résultant de cette égalité.

Q8- Calculer toutes les inconnues.

26- Équilibre de la bride (Équation de moments)Q9- Déterminer l'effort de serrage en C nécessaire pour obtenir l'effort de bridage en A donné.

Q10- Déterminer l'effort exercice par le montage sur la bride au point B. (utiliser la méthode devotre choix : équation de moments ou somme des forces nulle)

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7- Dispositif de bridageL'effort de bridage est fourni par un vérin hydraulique de diamètre 25 mm alimenté par une pressionmaximum de 6 Mpa.

Le montage permet de brider deux types de pièces pour lesquelles l'orientation de la surface entre lapièce et la bride est différente (voir les dessins ci-dessous).Hypothèses :

– le vérin 2 est positionné verticalement, un embout sphérique est en contact avec la bride 1 en F– la liaison de centre J entre l'axe 4 et la bride 1 est considérée sans frottement– le bout de la bride en contact avec la pièce 5 est un cylindre (le contact entre la bride et la pièce peut être

assimilé à un glisseur appliqué en H.

H J

F

8

18

Pièce 3

Vérin 2 Axe 4Bride 1

y

z

65

110

1- Action mécanique en F du vérin 2 sur la bride 1(remarque : dans tout l'exercice qui suit, les frottements sont négligés, ainsi que l'action duressort sur la bride)Q1- Prouver que l'effort fourni par le vérin hydraulique est environ 3 000 NQ2- On donne le torseur des actions mécaniques ddu vérin sur la bride exprimé en A dans la base

x ,y , z : {T 21}= {X 21 L21

Y 21 M 21

Z21 N21}x ,y ,zF

; donner, en justifiant votre réponse, les

coordonnées de ce torseur qui sont nulles.

Q3- Calculer l'effort maximum appliqué à la pièce lors du serrage dans le cas ci-dessous :Il est demandé d'utiliser au choix une des méthodes ci-dessous :

– graphiquement– grâce à une équation de moments– en utilisant des torseurs

2- Action mécanique en H de la pièce 3 sur la bride 1On fait l'hypothèse qu'au point H et dans la base x ,y , z , le torseur des actions mécaniquespeut s'écrire sous la forme :

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{T 31}= { 0 0F31 00 0}x ,y ,zH

Q4- Justifier l'écriture de ce torseur et donner ses coordonnées dans la base x ,y , z .

3- Action mécanique en J de l'axe 4 sur la bride 1Q5- Quelle est la nature de cette liaison ?Le torseur des actions mécaniques en J de cette liaison est de la forme :

{T 41}= {X 41 L41

Y 41 M 41

Z41 0 }x ,y ,z J

Q6- Justifier l'écriture du torseur ci-dessus.

4- Équilibre de la brideQ7- Écrire les trois torseurs ci-dessus au point J.Q8- Dans l'hypothèse où la somme des trois torseurs associés aux actions mécaniques sur la brideserait nulle, écrire toutes les équations résultant de cette égalité.Q9- Donner tous les efforts inconnus en fonction des coordonnées des points et de F32.Q10- Faire l'application numérique.

5- Changement de pièceLe second type de pièce est monté sur le montage.

H

F

8

18

Pièce 3

Vérin 2 Axe 4Bride 1

30°

y

z

65

J

110

Q11- Quelle est la conséquence du changement sur l'action mécanique de la pièce sur la bride ?

Q12- Calculer l'ensemble des actions mécaniques appliquées à la bride 1

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