Modélisation mathématique de la spéléogenèse : une approche hybride à partir de réseaux de fractures discrets et de simulations hydrogéologiques Thèse

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Modélisation mathématique de la spéléogenèse : une approche hybride à partir de réseaux de

fractures discrets et de simulations hydrogéologiques

Thèse de l’Université Montpellier II co-dirigée par Hervé Jourde et Séverin Pistreet sous l’encadrement scientifique de Nathalie Dörfliger

Préparée au sein de l’unité EAU/NRE du BRGM, et du laboratoire Hydrosciences Montpellier

Cofinancée par le Conseil Régional du Languedoc-Roussillon, et l’abondement Carnot 2007 du BRGM

Soutenue par Antoine Lafare, le 23 décembre 2011, à Montpellier

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Introduction• Constat

– Importance stratégique des aquifères karstiques

– Systèmes hétérogènes : exploitation et gestion complexes

– Géométrie des réseaux en grande partie méconnue

– Amélioration des modèles hydrogéologiques passe par une meilleure connaissance de cette géométrie

Introduction I. Spéléogenèse : concepts II. Méthodologie et calage III. 1 fracture IV. 1 strate Conclusion

• Problématique de la thèse– Proposer une nouvelle approche de modélisation de la karstogenèse– Caler cette approche sur la base de travaux issus de la littérature– Avoir la possibilité de s’intéresser à des systèmes de taille importante

• Méthodologie– Réseaux de vides initiaux réalistes– Utilisation de lois analogiques pour la spéléogenèse

Fleury, 2008 (d’après Plan Bleu)

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Sommaire


• Introduction

I. Bases conceptuelles

II. Méthodologie de modélisation

III. Simulations sur une fracture

IV. Simulations sur une strate

• Conclusion et perspectives

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BASES CONCEPTUELLES DE LA SPÉLÉOGENÈSE : DU CONCEPT AU MODÈLE


Déterminismes de la spéléogenèse Modèles existants Synthèse

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Principaux contrôles des processus de karstification


Massif carbonaté

Un flux d’eau

agressive

Un aquifère karstique• Géométrie associée aux processus de karstfication• Propriétés hydrodynamiques

Contrôles géologiques

Contrôles hydrogéologiques


Contrôles géologiques

• La lithologie– Type de roche, pureté,

porosité• Les structures de discontinuités géologiques– Joints de stratification et contacts– Fractures et diaclases– Failles

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• Des horizons préférentiels d’inception– Unités lithostratigraphiques

particulièrement favorables à l’initiation de la karstification

– Contrastes physico-chimiques– Influence des fractures

Filipponi et al. 2009

Bakalowicz 2006


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Contrôles hydrogéologiques• Développement en zone vadose, en zone phréatique, ou en zone

épiphréatique



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Palmer 1991

Contrôles hydrogéologiques• Développement en zone vadose, en zone phréatique, ou en zone

épiphréatique• La géométrie des réseaux est influencée par les conditions de recharge :

Trois grands types de recharge :• Concentrée• Diffuse• Hypogène

À l’origine de géométries distinctes identifiées dans la nature


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• Développement en zone vadose, en zone phréatique, ou en zone épiphréatique

• Contrôle exercé par les modalités de recharge :


• Influence de la position du niveau de base :

Palmer 1991

D’après Fleury 2007

Contrôles hydrogéologiques Déterminismes de la spéléogenèse Modèles existants Synthèse

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Approches existantes de modélisation de la spéléogenèse

Karst : Propriétés hydrauliques hétérogènes (double voire triple porosité/perméabilité, écoulement laminaire/turbulent)

Approches discrètes de modélisation des écoulements, distinguant les écoulements drains / fractures / matrice

Création d’une porosité secondaire par dissolution de la roche sédimentaire

Modélisation des lois physico-chimiques régissant le transport et la dissolution

Approches couplant lois

d’écoulement et de dissolution

Exemples :Liedl et al (Tübingen), Dreybrodt et al (Bremen), Kaufmann (Göttingen)


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Synthèse et proposition d’une approche originale


Déterminismes de la spéléogenèse Domaine Méditerranéen Modèles existants Synthèse

• Karstification = contrôlée par de nombreux processus :• Contrôles géologiques et hydrogéologiques

• Approches de modélisation existantes :• Cinétiques de dissolution• Test des paramètres influents• Géométries initiales peu réalistes• Une seule application à un cas réel (2D)

• Approche originale proposée:• Utilisation d’un modèle structural (mécanique, géostatistique)• Prise en compte simplifiée du processus de dissolution• Approche simplifiée :

• Limiter les variables• Limiter les temps de calcul• Envisager de reproduire la karstogenèse

à plus grande échelle

Dreybrodt et al. 2005

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MÉTHODOLOGIE DE MODÉLISATION : CONSTRUCTION ET CALAGE


Construction de la méthodologie Calage et validation

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La méthodologie est scindée en trois étapes :

1. Génération de l’aquifère fracturé initial• REZO3D• Maillage

2. Simulations d’écoulement et de transport (GW)• Vitesse• Âge

3. Calcul de l’élargissement• Equation analogique



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Le modèle structural REZO3D [Jourde 1999, Josnin et al. 2002], UM2



Interactions entre fractures de la même famille

Interactions entre fractures des deux familles

• Génération du réseau initial de discontinuités= Réseaux 3D comprenant 2 familles orthogonales de fractures + des interfaces stratigraphiques

• Prise en compte de paramètres statistiques mesurables sur le terrain (moyenne et écart type des distributions des longueurs, espacement moyen, caractère butant…)

• Prise en compte des interactions mécaniques entre fractures au travers du concept de Zone Interdite

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Maillage à éléments finis construit à partir de REZO3D



Maillage à éléments finis adapté au logiciel GW

a. Grille permettant de prendre en compte chaque fracture sur un plan fictif

b. Éléments 3D : matrice carbonatée

c. Éléments 2D : plans de fractures et interfaces stratigraphiques

d. Éléments 1D : drains constitués par les intersections entre plans

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Couplage REZO3D - Ground Water [Cornaton 2007], Université de Neuchâtel



• Simuler les écoulements dans les réseaux de fractures générés à l’aide de GW

• Ground Water :• Simulateur (éléments finis) de

l’écoulement et du transport• Calcul de l’âge de l’eau : temps écoulé

depuis l’entrée dans le système

• Scripts d’interface (Python) :• Affectation des paramètres hydrodynamiques• Choix des conditions aux limites et lois d’écoulement• Extraction des variables élément par élément

• Variables extraites pourquantifier l’élargissement :• Vitesse d’écoulement• Âge de l’eau

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Loi analogique d’élargissement



• Bloomfield et al. 2005 représentent le taux d’élargissement comme une fonction polynomiale de l’ouverture et du débit

𝑑𝑎𝑖𝑑𝑡

=𝐺 (𝑎𝑖 ,𝑣 𝑖 ,𝐩𝐺 ) 𝑖=1 ,…,𝑁


=𝑣 𝑖𝑒𝑖=1 ,…,𝑁


=𝛼 𝒗𝒊

𝛽

1+𝛾 𝑨𝒊𝛿 𝑖=1 ,…,𝑁

𝑎𝑖 (𝑡+∆ 𝑡 )=𝑎𝑖 (𝑡 )+𝛼 𝒗𝒊

𝛽

1+𝛾 𝑨𝒊𝛿 ∆ 𝑡 𝑖=1 ,…,𝑁

• Ici, le taux d’élargissement est calculé en fonction de la vitesse d’écoulement de l’eau et de l’âge de l’eau :• L’âge de l’eau : inhibiteur de l’élargissement• 4 coefficients α, β, γ, δ permettent de contrôler le

comportement des processus de dissolution

• α, β affectent l’influence de la vitesse, γ, δ celle de l’âge

• Ces paramètres sont calés par la suite à partir des résultats de travaux de référence

= ouverture élément i = vitesse d’écoulement = âge de l’eau

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Calage des coefficients de la loi analogique de dissolution à partir de travaux de référence



• Calage effectué pour trois configurations simples

• Palmer 1991 : fracture plane (B)

• Dreybrodt 1996 : conduit circulaire (A)

• Dreybrodt et al. 2005 : fracture plane (B)

• Obtenir des jeux de coefficients en accord avec les processus de karstification, tels que décrits dans la littérature

Fracture (B) ou conduit (A) 1D, d’ouverture ou de diamètre initial uniformes

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Exemple de résultats issus des travaux de référence



Dreybrodt et al. 2005• Résultats différents pour la rapidité d’évolution• Mais comportement général commun :

• Élargissement d’abord confiné près de l’entrée de la fracture avec un accroissement lent du débit

• Au-delà d’un seuil : augmentation brutale du débit : « Breakthrough » et élargissement rapide sur toute la longueur de la fracture

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Moyens mis en œuvre pour le calage des paramètres



• Automatisation des traitements• Une erreur (MSE) est calculée (pour le développement des ouverture, et

l’évolution temporelle du débit)

𝑀𝑆𝐸 ( �̂� )=𝐸 [ ( �̂�−𝜃 )2]Erreur quadratique moyenne :

ValeurRéférence

Valeur calculée (approche analogique)

• Comparaisons graphiques

• Analyses de sensibilité : On cherche à minimiser l’erreur (MSE) par rapport aux modèles de référence en modifiant les valeurs des coefficients

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Exemple de comparaison graphique entre référence (Dreybrodt et al 2005) et modèle analogique



• Évolution de l’ouverture de la fracture en fonction de la distance à la zone de recharge, pour différents temps

Seuil « Breakthgough »Q = Qt=0 . 1000

• Évolution du débit moyen au sein de la fracture en fonction du temps

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Comparaison entre simulation de référence (Dreybrodt 2005) et le modèle analogique proposé



Seuil « Breakthrough »Q = Qt=0 . 1000

13000 ans

• Élargissement de la fracture plus rapide à proximité de la zone de recharge• Présence d’un seuil (Breakthrough), atteint plus tôt pour le modèle proposé

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Comparaison entre simulation de référence (Dreybrodt 2005) et le modèle analogique proposé





18000 ans

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Comparaison entre une simulation de référence (Dreybrodt 2005) et le modèle analogique proposé




19000 ans


Reproduction d’un type d’évolution caractéristique des phénomène de spéléogenèse

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Jeux de paramètres α, β, γ, δ déterminés pour chacune des configurations proposées



α β γ δ

Référence Palmer 1991 0.00011 0.048 24.0 0.95

Référence Dreybrodt 96 0.0013 0.015 1250.0 1.0

Référence Dreybrodt 2005 0.00075 0.05 215.0 0.52

• Jeux de coefficients pour la simulation de la spéléogenèse dans une fracture ou un conduit unique.

• Déterminés en fonction des connaissances des processus de karstification décrits dans la littérature [Palmer 1991, Dreybrodt 1996, Dreybrodt et al. 2005]

• Pour des configurations différentes, les coefficients sont adaptés à partir de ces jeux de référence, afin d’obtenir des cinétiques d’évolution conformes à la littérature

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ESSAIS DE SIMULATIONS SUR UNE FRACTURE INCORPORÉE AU SEIN D’UNE MATRICE CARBONATÉE


Différentes conductivités hydrauliques matricielles Condition de flux imposé

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Configuration de simulation



• Configuration inspirée de tests de type benchmark [Bauer et al. 2000, Romanov et al. 2002, Kaufmann 2003] :

• Fracture plane• L = 1000 m, z = 50 m• a0 = 0.02 cm

• Strate carbonatée• L = 1000 m, l = 500 m, z= 50 m• éléments cubiques de côté = 10m

• Différentes conductivités hydrauliques pour la matrice :Km = 10-15 m/s, 10-12 m/s, 10-9 m/s, 10-6 m/s et 10-3 m/s

• Conditions de potentiel imposé en entrée (H1) et en sortie (H2)

50 m

0 m

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Incidence de la conductivité hydraulique matricielle sur la répartition de la charge hydraulique : Km = 10-12 m/s



• 1000 ans : influence de la fracture déjà visible

• Élargissement préférentiel de la fracture près de la limite d’infiltration• diminution de

« l’agressivité » de l’eau simulée par la prise en compte de l’âge

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• 1000 – 2500 ans : gradient régulier et contrôle de la matrice

• 4000 ans : début d’influence de la fracture

• Gradient hydraulique intense dans la fracture, qui se propage vers la limite d’exfiltration

Incidence de la conductivité hydraulique matricielle sur la répartition de la charge hydraulique : Km = 10-6 m/s

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Incidence de la conductivité hydraulique matricielle sur l’évolution de l’ouverture de la fracture



Km = 10-12 m/s Km = 10-6 m/s

1000 ans, 2500 ans, 4000 ans, 5500 ans, 7000 ans

• Km faible : évolution lente et régulière de l’ouverture• Km élevée : évolution plus rapide, avec une forte accélération au-delà de 5000 ans

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Incidence de la conductivité hydraulique matricielle sur l’évolution du débit dans le massif fracturé



• Km supérieur à 10-9 m/s :• Influence de la matrice commence à

apparaître (accélération de l’évolution)

• Une matrice très perméable contrôle l’écoulement durant davantage de temps

• Apparition plus précoce du seuil (« Breakthrough »)

• La matrice perméable favorise le développement de la karstification

Résultats conformes aux travaux [Bauer et al. 2000, Romanov et al. 2002, Kaufmann 2003]

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Configuration de simulation



• Géométrie identique

• Km = 10-6 m/s

• Condition de potentiel imposé (Dirichlet) en sortie : H2 = 0 m

• Condition de flux imposé (Neumann) sur la face supérieure :

1. Flux de 10-9 m/s 2. Flux de 10-7 m/s

Flux imposé

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• 1000 ans : Gradient plus resserré près de la limite d’exfiltration

• Propagation des faibles charges vers la limite d’infiltration

Incidence d’une condition de recharge diffuse (flux imposé) sur la répartition de la charge hydraulique : Flux = 10-9 m/s

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• 1000-2500 ans : faibles charges confinées près de la limite d’exfiltration

• Propagation progressive vers la limite d’infiltration

• Initiation de la fracture d’abord près de la limite d’exfiltration• Les écoulements ont

tendance à se concentrer vers cette limite

• Cohérent avec [Clemens, 1997]

Incidence d’une condition de recharge diffuse (flux imposé) sur la répartition de la charge hydraulique : Flux = 10-7 m/s

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ESSAIS DE SIMULATIONS SUR UNE STRATE CONTENANT DEUX FAMILLES DE FRACTURES


Différentes densités de fracturation Différentes conductivités matricielles Différentes conditions aux limites

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Analyse des processus de karstogenèse en fonction de différentes configurations



• Strate unique• L = 100 m, l = 50 m, z =2.5 m

• Densités de fracturation distinctes (seul le nombre de fractures diffère)

• Conditions de potentiel imposé en entrée et en sortie

• Conductivités hydrauliques matricielles distinctes : Km = 10-6 m/s, 10-5 m/s et 10-4 m/s

5 m

0 m 0 m

5 m600 fractures 300 fractures

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Incidence de la densité de fracturation sur la répartition des charges hydrauliques



• 1000 ans : écoulement contrôlé par la matrice

• 4000 ans : gradient fortement perturbé par les fractures

• 7000 ans : une organisation « mature » des écoulements est en place

600 fractures

300 fractures

Fracturation + dense :Concentration des écoulements dans le réseau

Fracturation - dense :Écoulement matriciel + important (fractures plus espacées)

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• 3000 ans : eau « récente » confinée près de la limite d’infiltration

• 5000 ans : cheminements préférentielsLimite d’exfiltration atteinte

• 7000 ans : diffusion de l’eau « récente » dans la matrice

600 fractures

300 fractures

Incidence de la densité de fracturation sur la répartition des eaux récentes (âge) dans le système

Fracturation + dense :Concentration des eaux récentes dans le réseau connecté

Fracturation - dense :Diffusion plus importante des eaux récentes dans la matrice (fractures + espacées)

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Seuil (« Breakthrough »)Q = Qt=0 . 1000



• Pas d’incidence majeure, ni sur l’évolution de l’ouverture moyenne, ni sur celle du débit

• Le seuil est atteint plus tôt dans le cas du réseau le moins densément fracturé :• Moins de cheminements possibles : les écoulements se concentrent dans un nombre

plus réduit de fractures, ce qui favorise le processus de karstogenèse

Incidence de la densité de fracturation sur les évolutions de l’ouverture moyenne et du débit dans le massif fracturé

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• Influence de la matrice sur les écoulements

• Apparition plus tardive de l’organisation « mature » des écoulements

• Comportement encore plus évident pour Km = 10-4 m/s

Incidence de la conductivité hydraulique de la matrice sur la répartition des charges hydrauliques : 300 frac, Km = 10-5 m/s

Les écoulements à travers la matrice influencent le gradient durant davantage de temps

Limite : pas de prise en compte de la dissolution au sein de la matrice

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• Échelle des âges différente • Influence des fractures plus tardive

• Pénétration plus rapide des eaux récentes dans l’aquifère entier

Incidence de la conductivité hydraulique de la matrice sur la répartition des charges hydrauliques : 300 frac, Km = 10-5 m/s

Pénétration des eaux récentes et donc agressives dans la matrice

Limite : pas de prise en compte de la dissolution au sein de la matrice

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Une conductivité Km plus élevée • Une évolution plus rapide• Débit plus élevé en début de simulation• La matrice contrôle le débit sur une

durée plus importante (2000 ans pour Km = 10-4 m/s)

Incidence de la conductivité hydraulique de la matrice sur l’évolution de l’ouverture moyenne et du débit dans le massif fracturé

Confirmation des résultats obtenus pour une seule fracture quant à l’incidence de la conductivité hydraulique matricielle

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Incidence du type de recharge sur la géométrie du réseau karstique



Changement d’orientation du potentiel imposé :• Gradient hydraulique perpendiculaire

à la direction de fracturation principale

Conditions de flux imposé, de recharge concentrée :• Flux imposé sur la face supérieure• Recharges ponctuelles (potentiel ou flux

imposé)• Limite de sortie linéaire ou ponctuelle à

potentiel imposé

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Distribution des eaux récentes dans le système pour une condition de recharge diffuse latérale (potentiel imposé)



• Pénétration dès 1000 ans dans les fractures connectées à la limite d’exfiltration

• 5500 ans : l’eau récente n’atteint pas la limite d’exfiltration

• Obtention d’un réseau anastomosé (voir description des différentes morphologies [Palmer 1991]

Un réseau de type anastomosé est obtenu avec une condition de potentiel imposé

Gradient perpendiculaire à la direction principale de fracturation

H1

H2

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Distribution de la charge hydraulique pour une condition de recharge concentrée à flux imposé

• 1000 ans : charge importante sur tout le domaine

• 2000 – 3000 ans : les potentiels faibles se propagent vers l’amont

• Flux imposé : le gradient diminue avec l’élargissement des fractures



H2

Flux imposé

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• 1000 ans : écoulement d’eau « récente » contrôlé par la matrice

• 3000 ans : Influence des fractures

• 4000 ans : les écoulements se concentrent dans les fractures

• Morphologie de type ramiforme



Distribution des eaux récentespour une condition de recharge ponctuelle à flux imposé

Un réseau de type ramiforme est obtenu avec une condition de recharge ponctuelle à flux imposé

H2

Flux imposé

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POUR CONCLURE…


Conclusions Perspectives

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Conclusions générales

• Proposition d’une approche originale :– Réseaux de vides initiaux réalistes– Loi analogique simple permettant de reproduire la karstogenèse en fonction de

la vitesse d’écoulement et de l’âge– Envisager la simulation de réseaux de dimensions importantes

• Calage à partir de simulations issues de travaux de référence– Obtention de résultats cohérents– Détermination de jeux de coefficients pour la loi analogique proposée

• Simulations sur une fracture– Résultats sur le rôle de la matrice cohérents avec la littérature

• Simulations sur une strate– Rôle primordial des conditions aux limites hydrogéologiques sur le type de

réseau obtenu



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Perspectives

• Amélioration du couplage REZO3D – GW– Prise en compte de plusieurs strates– Prise en compte du passage d’écoulements laminaires à transitoires

• Amélioration de la loi analogique– Élaborer des validations plus poussées (régression non linéaire)– Identification des coefficients : donner un sens physico-chimique– Utilisation de la distribution fréquentielle des âges

• Simulations en régime transitoire– Rendre compte des fluctuations en termes de recharge

• Simulations permettant d’aboutir à des réseaux karstiques réels



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Merci de votre attention.

Documents

Modélisation mathématique de la spéléogenèse : une approche hybride à partir de réseaux de fractures discrets et de simulations hydrogéologiques Thèse