td de vibrations des systemes discrets + solution

7/25/2019 td de vibrations des systemes discrets + solution

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TRAVAUX DIRIGESDE VIBRATIONS DES SYSTEMES DISCRETS

MS122

2007-2008

Systmes rductibles 1 degr de libertExercice 1

On veut vrifier leffet dune charge inertielleadditionnelle sur la rponse de la suspensiondun petit vhicule. A ce stade, on simplifie leproblme en ne considrant qu un bras desuspension, comme reprsent sur la figure ci-dessous.

Le corps OA reprsente le bras de suspension,

articul par un pivot en O et libre en A. En B, onattache lensemble ressort-amortisseur, raideurK, amortissement visqueux C (lamortisseurtransmet une force F= - C VB , VB vitesse de B ).

c k

l

OB

A

-F y

OA=L OB=l

Les liaisons sont parfaites, le bras de suspension est indformable et son moment dinertie relatif laxe z passant par O est not IO. Les cotes utiles sont indiques sur le dessin. On ne considre queles petits mouvements reprsents par autour de la position dquilibre statique = O.

1retude. Mouvements libres du bras de suspension (F = O )

1- crire les quations du mouvement du bras OA, en supposant


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2

3- crire la solution si lamortissement est annul.

4- AN : en reprenant les valeurs prcdentes augmentes de M = 0,5 MKSA,

L = 0,5 m, dterminer les solutions de 2 et 3.

3me

tude. Comparaison.

On se donne les conditions initiales suivantes : t = 0 : = 0,1 rad , vitesse nulle

Prsenter les 4 solutions, dans un tableau de synthse, des mouvements libres, avec et sans masse

additionnelle, avec amortissement critique calcul dans la premire tude et sans amortissement,pour les donnes numriques prcdemment dfinies. Tracer lallure des rponses dans les 4 caspendant les 50 premires millisecondes.

4me

tude. Mouvement forc.

Dire comment on peut exploiter les tudes prcdentes quand le systme est excit par une forcequelconque F agissant sur la roue en A.

Exercice 2

On cherche dterminer la valeur optimale du coefficient damortissement visqueux C du systmede fermeture automatique dune porte battante dauditorium reprsente sur la figure ci-dessous.

K, C

L

L

Les dimensions utiles de la porte sont les suivantes :

Largeur L = 1.2 m Masse M = 85 kg

1 - Calculer le moment dinertie I de la porte par rapport son axe de rotation et montrer quil vaut40.5 kg.m

La charnire (axe de rotation) de la porte est pourvue :

dune raideur la torsion K = 22 Nm/rad qui exerce un couple rsistif proportionnel langle

douverture de la porte dun coefficient damortissement C dterminer et qui exerce un couple rsistif proportionnel

la vitesse angulaire douverture de la porte.

2 Par application du thorme du moment dynamique, tablir lquation du mouvement de la porte.

3 Ecrire cette quation sous la forme : 2002 0 + + = .

4 - Exprimer la pulsation propre 0 et calculer sa valeur. En dduire la valeur de la frquence propre.

5 - Exprimer le facteur damortissement .

On souhaite que la porte se referme sans oscillation sous les actions combines des couples

exercs par K et C.6 Quelle valeur minimum faut-il donner ?

7 - Calculer la valeur numrique de C ralisant cette condition.


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3

8 - Considrant cette valeur de C, dans quel rgime libre le mouvement se situe-t-il ?Rappeler alors lexpression (t) du mouvement de la porte.

La position initiale de la porte 0= 70, sa vitesse initiale est 0 = 0.3 rad/s

9 - En dduire lexpression exacte de (t)

10 A quel instant t1 la position de la porte atteint-elle (t1) = 3 ? On ne demande quune valeurapproche.

On conserve les valeurs prcdentes de K et C, Mais pour assurer une meilleure isolation phonique,la porte est couverte dun revtement spcial, rparti uniformment, qui augmente la masse de laporte de 10%. On note 0 la nouvelle pulsation propre, et le nouveau facteur damortissement.

11 Situer 0 par rapport 0 et calculer sa valeur.

12 Situer par rapport et calculer sa valeur.

13 Quel type de rgime libre la nouvelle porte prsente-t-elle ?

14 Rappeler et reprsenter la forme (t) du mouvement libre de la nouvelle porte.

Exercice 3

Une boue cylindrique de diamtre D = 1.35 m, de masse M = 1250 kg,flotte la surface de leau (0= 1026 kg/m 3).

Sous laction des mouvements de la surface, la boue peut rentrer enoscillations suivant un mouvement vertical.

Le rappel lastique de cet oscillateur est fourni par la poussedArchimde .

Soit X la distance entre la partie infrieure de la boue et la surfacemoyenne de leau.

On donne lacclration de la pesanteur g = 9.81 m/s

DX

1 - Exprimer la pousse (X).

2 En dduire lexpression de la raideur quivalente k du systme. Donner sa valeur numrique.

3 Exprimer la pulsation propre doscillation de la boue (0). Donner sa valeur numrique ainsi quecelle de la frquence propre f0 correspondante.

La force rsistive de frottement visqueux exerce par leau sur la boue peut tre approche parlexpression

Fv= 0.S.C.v

o S est la section de la face infrieure de la boue, C un coefficient de viscosit surfacique et v lavitesse verticale

On considre dsormais la position relative x = X - Xst, o Xstest la position dquilibre statique de laboue

4 Ecrire lquation sur x du mouvement libre vertical de la boue.

5 On donne C = 3.5 m.s-1. En dduire le rgime des oscillations libres de la boue. On note lefacteur damortissement.

6 Calculer lexpression et reprsenter la fonction x(t) pour une vitesse initiale nulle et une positioninitiale gale x0.

Exprimer lamplitude et la phase du mouvement en fonction des conditions initiales et du facteurdamortissement .

7 Quelle priode de houle fait entrer le systme en rsonance ?


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4

Exercice 4 : Acclromtre

Pour dterminer les caractristiques vibratoires dune structure, on utilise un acclromtrepizolectrique compression (figure 1)

Cristal piezo lectrique

Masse sismique

Ressort

Base

Figure 1

c

k

m

( )t ( )x t

Figure 2

La structure prsente au point de mesure une acclration (t) horizontale.

On fixe donc lacclromtre rigidement (vissage ou collage) et en position horizontale.Le systme structure/acclromtre peut tre alors modlis par la figure 2, o k et c sontrespectivement la raideur quivalente et le coefficient damortissement quivalent de lacclromtre.Le dplacement de la masse sismique m est not x(t).

1 Justifier quen se plaant dans le repre li la structure, anime dun mouvement vibratoiredacclration (t), lquation du mouvement de la masse sismique m de lacclromtre scrit.

mx cx kx m+ + =

On note o2= k / m la pulsation propre de lacclromtre

= c / 2 m o son facteur damortissement

2 Dduire de 1 lexpression de lacclration (t) de la structure en fonction de x(t), de ses drives,et de et o.

Sous leffet du dplacement x(t) de la masse sismique, le cristal pizo-lectrique dlivre une tensionlectrique proportionnelle u(t) telle que :

u(t) = x(t).

On suppose que la structure tudie est en vibration harmonique avec

(t) = () cos(t)

3 Donner alors lexpression de la tension mesure la sortie de lacclromtre. On prciseralamplitude U() et la phase ().

4 La fonction de rponse en frquence ou sensibilit dynamique de lacclromtre est dfinie par

A() = U() / ()

Exprimer A().

La courbe de la figure 3, fournie par le constructeur de lacclromtre, reprsente en dcibels(dB) la fonction A().


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5

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 10 100 1000 10000 100000

Frequence (Hz) (Echelle Logarithmique)

A() (dB) =

10

A( )20log

A(0)

Figure 3

Sachant que lacclromtre est exploitable sur la bande de frquence o la sensibilitdynamique est constante, donner une valeur approche de la limite suprieure du domainedutilisation de cet acclromtre

On sintresse aux caractristiques de lacclromtre au voisinage de la rsonance.

La figure 4 fait un gros plan de la sensibilit dynamique A() autour de la frquence de rsonance.

-2

0

2

4

6

8

10

12

5000 15000 25000 35000 45000

A() (dB)

Frquence (Hz) (Echelle linaire)

Figure 4

5 A partir de la figure 4, en utilisant la mthode de la largeur -3dB, donner des valeursapproches de la pulsation propre o et de lamortissement .


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6

Exercice 5 : Etude dynamique dune passerelle pitonnire

On cherche valuer les caractristiques vibratoires fondamentales de la passerelle pitonnire dela figure 1 en utilisant un modle un degr de libert (figure 2)

Figure 1

L

m

ck

Figure 2

Dans cette tude, on considre deux tapes. La premire intervient lorigine du projet de

construction, en phase de conception. La deuxime qui intervient aprs la construction, consiste vrifier exprimentalement les caractristiques dynamiques de la structure.

Etape 1 : Phase de conception prliminaire

Dans cette premire phase, on se propose de modliser la passerelle pitonnire comme unsystme vibrant un degr de libert.

Il sagit premirement de dterminer des valeurs approche des masse et raideur dynamiques (m, k).Pour cela on utilise les caractristiques des matriaux constitutifs (bton arm) et la gomtrie de lapasserelle

On choisit en outre, pour reprsenter cette dernire, un modle de poutre dformable en appuisimple ses deux extrmits (figure 2). A partir des caractristiques gomtriques de la passerelle etdes constantes du bton arm, on obtient pour la poutre modle les donnes suivantes :

- Masse par unit de longueur

- Module dYoung E

- La longueur L

- Le moment quadratique de section droite : I

Le point dont on cherche dterminer le dplacement dynamique x(t) est le centre de la passerelle.

1 Pour dterminer la masse dynamique m, c'est--dire celle qui rgit la vibration ( ne pasconfondre avec la masse statique M = L), on utilise la thorie de la statique des poutres et onvalue une nergie cintique maximum par lexpression suivante :

217

70cE LV=

o V est lamplitude de la vitesse doscillation de la poutre.

En dduire la masse dynamique m de la passerelle

2 - Pour dterminer une valeur approche de la raideur dynamique k, on fait encore appelle lastatique des poutres. On considre le dplacement statique Xstdu centre de la poutre soumise

son poids dynamique. Il est donn par :417

35 48stL

X gEI

=


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7

En dduire lexpression de la raideur k.

3 Donner ensuite lexpression de la pulsation propre 0 en fonction du rapport :

4

EIR

L=

.

4 Application numrique : On donne R = 2.53 et48 35

9.9417

x=

En dduire une valeur approche de la frquence propre f0 de vibration de la passerelle.

Etape 2 : Phase de vrification exprimentale :

Aprs construction de la passerelle, lingnieur dynamicien installe un acclromtre au centre de lapasserelle pour en vrifier les caractristiques dynamiques.

Il utilise vrin pneumatique pour placer la structure hors de sa position statique et la relcherinstantanment.

Lacclromtre enregistre le signal suivant.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5

Acclration(m/s)

Tem s s

5 En terme damortissement quel type de structure constitue la passerelle ?

6 En utilisant le dcrment logarithmique entre 0 et 2.5 s, mesurer le coefficient damortissement de la structure. (On donne ln(2) = 0.7)

7 Mesurer ensuite la frquence propre de la structure. Le calcul tudi ltape 1 est-il correct ?

8 - Rappeler pour le cas de cette structure, lexpression du dplacement libre x(t). On note d lapseudo pulsation.

9 En dduire celle de lacclration (t) et donner un ordre de grandeur de lamplitude maximum dudplacement de la structure pendant lessai.

La passerelle est destine subir le passage de pitons dont la marche engendre une excitationdamplitude P et de frquence fondamentale F = 2 Hz. (2 pas/s). On note = 2 F. La masse despitons est nglige.

10 Rappeler lexpression de lamplitude du dplacement forc induit par cette excitation (on neconsidre que la composante fondamentale). Calculer un ordre de grandeur de cette lamplitude

11 Comment la prise en compte de la masse des pitons modifierait-elle ces rsultats.


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Excitateur Dynamique

Pour tudier les caractristiques dynamiques dune structure, on utilise excitateur constitu dunmoteur lectrique dont laxe porte un disque perc dun trou une distance r de son axe de rotation(figure 1).

x

Moteurr

Support rigide

Structure (M, k, c)Structure (M, k, c)

La structure a une masse M trs suprieure la masse de lexcitateur. Ses caractristiqueslastiques sont notes k pour la raideur et c pour lamortissement visqueux.

On note m la petite masse te du disque.Lensemble est fix la structure par un support rigide de sorte que la force dinertie verticale induitepar la rotation du disque est intgralement transmise la structure

On note :

x(t) la position verticale de laxe du moteur,

x(t) la coordonne verticale du trou,

l'angle entre le rayon passant par le trou et la verticale,

la vitesse de rotation du moteur, = ,

lacclration de rotation du moteur, = .1. Calculer la composante verticale de lacclration au niveau du trou x '(t) .

2. Le trou devant tre considr comme un retrait de masse, en dduire la force dinertie verticaleF(t) subie par la structure :

3. Montrer que lquation diffrentielle du mouvement systme moteur-structure scrit finalement :2(M m')x cx kx m'r( cos t sin t) + + = +

4. Quelle est la pulsation propre de lensemble excitateur-structure ? Peut-on dire que lon tudiebien les proprits de la structure ? Pourquoi ?

Dans la suite on considre le rgime stationnaire c'est--dire lorsque le moteur a atteint une vitessede rotation constante (et donc = 0).

5. Simplifier lquation du mouvement et la mettre sous la forme : 2 2o o ox 2 x x A cos t+ + = .

Identifier et A o

6. Calculer lexpression de lamplitude X() du dplacement de la structure en fonction de lafrquence.

7. Vers quelle valeur tend X() lorsque >> o.

Les courbes jointes reprsentent X(/2), mesur lorsque r = 5 cm et m = 10 g.

(Noter que les chelles sont diffrentes sur les deux graphes)

8. Dduire de 7 que la structure a une masse M = 500 kg.

9. Mesurer une valeur approche de oet en dduire celle de k.


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9

10. Mesurer lamortissement et en dduire la valeur de c.

Remarque : les questions 1 3 ne sont pas ncessaires la suite du problme.On utilise le rsultat de la question 3 pour les suivantes.Les questions 9 et 10 peuvent tre traites indpendamment des prcdentes


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Etude vibratoire dun ascenseur

Un ascenseur est constitu dune cabine de masse M suspendue untreuil par lintermdiaire dun cble. La raideur k du cble dpend de salongueur variable L.

On donne M = 1000 kg

Pour le cble, la section droite est S = 3.14 cm2

, la masse est ngligeableet le module dYoung est E = 1,03 x 1011Pa.

On donne ES/M = 180 SI

Evaluation des caractristiques propres du systme

1. Si lon suppose une rpartition uniforme de la contrainte dans lasection droite du cble, montrer que lallongement du cble sous leseul effet du poids de la cabine scrit

=stMgL

LES

2. En dduire la raideur k du cble en fonction de L3. Exprimer la frquence propre 0du systme en fonction de L.

L

M

x

Dans un immeuble de 10 tages, la longueur du cble varie de 36 m 1 m

4. Donner les valeurs numriques de lintervalle critique des vitesses de rotation du treuil.

5. Comment cet intervalle est-il modifi par la prsence de passagers ?

Evaluation des efforts sur le cble

A chaque dmarrage ou arrt du treuil, une vibration libre verticale de la cabine apparat. Onsouhaite tudier cette vibration pour connatre leffort subi par le cble.On considre un arrt alorsque la cabine se dplace la vitesse constante v0. Le cble a la longueur L.

6. Si on nglige lamortissement, rappeler lexpression gnrale de x(t) le dplacement vibratoirede la cabine.

7. Prciser son amplitude X en fonction de v0.

8. En dduire la contrainte dynamique maximum max subie par le cble en fonction de sonallongement relatif maximum X/L.

Cas doscillations forces

On envisage une perturbation sismique qui transmettrait la cabine, par lintermdiaire du cble,une force harmonique verticale de frquence angulaire .

9. Si on considre un amortissement faible de la structure du cble, rappeler lexpression xp(t) dumouvement permanent de la cabine.

10. Dcrire et commenter en fonction de lamplitude de ce mouvement permanent.Les 3 parties sont indpendantes et certaines questions peuvent tre traites indpendamment du reste.


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Systmes rductibles 2 ou 3 degrs de libert

Exercice 1 Oscil lations forces du systme 2ddl asymtrique

c1

k1

M1

x

c2

k2

M2

F 1 F 2

Les dplacements sont compts partir de la position dquilibre statique

1 - Etablir les quations du mouvement des masses M1 et M2

2 - Donner la solution dans le cas d'une excitation harmonique telle que :

F1 = f .sint et F2 = 0.

Exercice 2 - Oscillations forces d'un systme pendulaire mobile

F(t)

2L

K

1 - En utilisant les quations de Lagrange, tablir lesquations du mouvement du modle de systmependulaire ci-contre.

2 Linariser ces quations et donner leur solution dansle cas d'une excitation harmonique.

y

x

k1

c1 M

k2

Exercice 3 Roue rayons

Une roue 4 rayons quipe de son moyeu est modlise par lesystme ci-contre. Celui-ci est constitu dune couronne de momentdinertie I par rapport son centre, lintrieur de laquelle est attacheune masse ponctuelle M par lintermdiaire dun ressort de raideur k1et dun amortissement visqueux de coefficient C1dans la direction Oxet dun ressort de raideur k2 dans la direction Oy. La couronne estanime dune vitesse de rotation constante. Les coordonnesgnralises sont les coordonnes x et y de la masse M dans lerepre tournant li la couronne.

1 - Calculer lnergie cintique de lensemble (masse + couronne) et dcomposer cette nergieen nergie cintique relative T2, nergie cintique mutuelle T1 et nergie cintiquedentranement T0.

2 - Calculer lnergie potentielle et la fonction de dissipation.

3 - Ecrire les quations de Lagrange.


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Exercice 4 - Couplage gyroscopique.

x1

y1

z1

y

x

z

(S)

(S1)

(S2)

Le systme est constitu de deux armatures S1 et S2 etdun gyroscope S. Le solide S2 peut tourner librementautour de laxe Oz1 du repre Ox1y1z1 li au bti. Le solideS1 est articul autour de S 2 et peut tourner librementautour de laxe Oy li S2. Le gyroscope S peut tourner une vitesse constante autour de son axe Ox solidaire

de S1et orthogonal Oy.Les deux armatures et le gyroscope ont le mme centredinertie O.

La position du systme est repre par les angles :

= (y1, y) et = (z 1, z).

On note J et C les moments dinertie respectifs de S parrapport son axe de rvolution et un axeperpendiculaire, C1 et A 1 les moments dinertie respectifsde S1par rapport Oz et aux deux axes perpendiculaires

Ox et Oy, C2 le moment dinertie de S 2par rapport Oz 1.

On note enfin K1 la raideur la torsion de la liaison S 1/S2 et K 2 la raideur de la liaison S 2/Bti.1.

1 - Calculer les nergies cintique et potentielle de lensemble (S1+S2+S)

2 - En utilisant les quations de Lagrange, crire les quations diffrentielles du mouvement.

3 - Linariser ces quations et mettre en vidence les deux matrices symtriques et la matriceantisymtrique dite de couplage gyroscopique.

On pose : i 1 2ii 1 2 1 2 1 2 1 2

K -G x y

II I

= = = = =

4 - Montrer que les frquences propres du systme vrifient lquation :( )

22

2 22

y 1x

y

=

5 - En dduire leffet du couplage gyroscopique sur le systme.

Exercice 5 Principe de labsorbeur dynamique passif par masse accorde

On considre un portique simple constitu dun solideindformable de masse m1 et de deux lamesidentiques, de masse ngligeable devant m1.

Tous les encastrements sont supposs parfaits et lessollicitations extrieures sont reprsentes par uneffort e1(t) dirig suivant laxe x.

Dans ces conditions et pour la bande de frquencetudie, le systme se comporte comme un systme un degr de libert schmatis sur la figure ci-contre(x1(t) dplacement de m1).

Les caractristiques du portique sont les suivantes :

m 1

x

L, b, h

c1

k1

m1

x

e1(t )

x1(t )

Matriau : Acier : Masse volumique = 7840 kg/m 3 Module d'Young E = 2. 1011Pa


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13

Dimensions : Mobile m1 : 50.8 x 50.4 x 135 mm3

Lames : Longueur L = 150.4 mmLargeur b = 50.4 mmEpaisseur h = 4.5 mm

A Etude thor ique

Lorsquune force statique F est applique la masse m1, ledplacement d rsultant est donn par la relation suivante :

3 3FL bhd avec I

24EI 12= = .

0 - En dduire la raideur k1du portique

d

x

Fx

1 Etude du portique seul

1.1 Quelle est la frquence propre f1 du systme ? Calculer sa valeur numrique en Hertz.

1.2 Expliciter la fonction de rponse en frquence H() (dplacement/effort) en fonction de lapulsation propre 1 et de la masse m 1 . Tracer lallure du graphe du module de H( ).

2 - Etude du portique muni dun absorbeur dynamique

Dans toute cette partie, lamortissement sera nglig ( C1= 0).

x

k1

m1

m2

k2

k1

m1

x

x1(t)x2(t)

m2

k2

Afin de limiter les dplacements de m1 la rsonance, on rajoute un absorbeur dynamique que lonmodlisera par un systme masse-ressort (m2,k2).

2.1 Ecrire les quations du mouvement.

2.2 Dterminer lquation g(2) = 0 dont les solutions sont les carrs des deux pulsations propres1et 2( 1 < 2) du systme. Expliciter g(2) en fonction de m1, m2, = m 1/m2 et de 1 et 2,pulsations propres respectives des systmes (m1, k1) et (m2,k2) seuls. On suppose 1< 2

Tracer lallure de la courbe g(2).En considrant les signes de g(12) et g(22), en dduire que :

1< 1 < 2 < 2.

2.3 Expliciter les fonctions de rponse en frquence (dplacement/effort) H11() et H21(). Calculerla valeur a de qui annule H 11().

fa= a/2est la frquence danti -rsonance du systme.

Tracer lallure des modules de H11() et H21()

2.4 Quelle relation doivent vrifier 1et

2 pour que labsorbeur dynamique donne un dplacement

de la masse m1 nul pour la frquence f = f1 = 1/2?

La valeur de k2 tant fixe, quelle valeur donner m 2 pour obtenir le mme rsultat ?


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2.5 Labsorbeur est dimensionn de faon ce que les relations du 2.4 soient vrifies. Expliciteralors 1 et 2. Sachant que k2 = 150000 N/m, calculer numriquement les deux frquencespropres F1 = 1/2 et F 2 = 2/2.

B Etude exprimentale

Dans toute cette partie, lamortissement est pris en compte.

1 - Etude du port ique seul

1.1 - On reprend le calcul du A-1.

Montrer que 1H(f ) 1

H(0) 2=

.

En supposant suffisamment petit devant 1 pourque lon puisse confondre la frquence dersonance et la frquence propre f1, dduire dudiagramme de Bode de H(f) (NdB = 20 log 10H(f))obtenu exprimentalement , les valeurs effectives

de f1et .-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

dB

Hz

20 log10(|H(f)|)

Diagramme de Bode de H(f)

2 - Etude du portique muni dun absorbeur dynamique

Labsorbeur utilis exprimentalement na pas exactement les caractristiques dfinies dans la partieanalytique.

On mesure le diagramme de Bode en amplitude et en phase de H11(f).

Dterminer les deux frquences de rsonance et la frquence dantirsonance.

Dterminer le niveau N en dB de H11 lantirsonance.

En dduire le rapport du dplacement de m1 sans absorbeur celui avec absorbeur lorsquelexcitation est harmonique de frquence f1. Conclure quant lefficacit de labsorbeur.

Conclure sur la validit de la modlisation simplifie de la Fig. II-4.

Exercice 6 - Modle d1 btiment 2 tages

Une structure plane deux tages est reprsente sur la figure 1. Elle modlise un btiment reldont seul le comportement dans le plan de la figure 1 est analys. Il peut sagir par exemple dtudierla rponse du btiment un sisme.

O1x

O2

B1 B2

A1 A2

d

x

Fx

y

Figure 1

Les lments A1A2et B 1B2sont des planchers indformables, de masse M, les lments O 1A1, O2A2,A1B1, A2B2 sont des poteaux lastiques, de longueur l, de section circulaire constante caractrisepar un moment quadratique I, et labors dans un matriau de module dYoung E, dont on nglige lamasse devant celle des planchers.


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Les conditions aux limites sont supposes correspondre des encastrements parfaits en O1, A1, B1,O2, A2, B2. Dans ces conditions, le dplacement d du plancher A1A2 sous leffet dune force Fapplique en A1 est dcrit par :

3Fld

24EI=

1.1 - En supposant quon ne sintresse quaux vibrations libres de ce btiment associes la

flexion des poteaux dans le plan (x,y), expliquer comment on peut schmatiser, en ngligeanttout effet de la pesanteur, le comportement vibratoire de cette structure par un systme de deuxmasses relies par deux ressorts linaires de raideur constante.

1.2 - Prciser la valeur des masses en fonction de M, la raideur des ressorts en relation avec l, E, Iet les conditions aux limites de ce modle.

1.3 - Faire un schma.

2 - On considre un systme massesressorts (m, k) tel que reprsent figure 2. Aucune pesanteurnagit, les ressorts ont une masse ngligeable et on observe les petits mouvements du systmecart de sa position dquilibre stable et relch. On note x1 et x 2 les dplacements des masses

relativement cette position statique selon la seule direction x.

k

m

x

m

k

Figure 2

2.1 - Ecrire les quations du mouvement libre des deux masses ;

2.2 - Calculer les pulsations de chacun des deux modes propres.Les exprimer en fonction de 0 k /m = ;

2.3 - Calculer les modes propres ;

2.4 - Reprsenter par un schma des conditions initiales correspondant lexcitation du seul modepropre la plus basse frquence.

3 -Appl ication au btiment : On se donne les valeurs suivantes :

M = 893 kg l = 2,8 m I = 36.10-6 m 4 E = 2.1011MKSA

Calculer la raideur k utilise en 2 ; calculer les frquences des deux modes propres. Les comparer la frquence propre dun btiment similaire qui naurait quun seul tage. Commenter.


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7 - Etude dune poutre suspendue

k

k

O

A

By

x

a

P

G

Certains systmes complexes peuvent tremodlis simplement par la figure ci-contre.

Le modle est constitu dune poutre droiterigide suspendue lastiquement par sesextrmits (exemples : le chssis dune voiture,

un plancher, un lment de construction, tablierde pont).

La poutre de longueur 2L homogne de masseM, prsente un moment d'inertie Iz par rapport laxe z.

Elle est suspendue en ses extrmits A et B un bti fixe par des supports lastiques identiques, demasse ngligeable et de raideur k. Une masse m, considre comme ponctuelle, est fixe sur leplateau une distance a du centre dinertie.

1 - Oscillations libres.

La masse m est repre par GP = a; on suppose les dplacements verticaux de faible amplitude etles dplacements horizontaux ngligeables.

1.1 - Calculer l'nergie potentielle du systme en fonction de yGet , respectivement dplacementvertical du centre d'inertie et rotation de la tige autour de l'axe z. En dduire la positiond'quilibre statique.

1.2 - On note yG et ' les carts par rapport cette position d'quilibre statique. Calculer lesnergies cintique et potentielle du systme (tige AB + masse m) en fonction des variablesyG' et '. En dduire les matrices dinertie et de raideur.

1.3 - Dans le cas o la masse m est au centre de la poutre, prciser les frquences propres, les

modes propres et la configuration du systme hors quilibre.2 - Excitation harmonique.

On impose en P une force sinusodale : 0 FF F sin( t)y=

2.1 - Ecrire les quations du mouvement.

2.2 - Quand la masse est au centre du plateau, calculer les dplacements des extrmits A et B.

8 - Etude dune plate forme suspendue

Une plaque rectangulaire ABCD de cots 2a et 2b, demasse M repose sur le sol par l'intermdiaire de 4ressorts identiques de raideur k.

On appelle Oxyz le repre li la plaque lorsque lesressorts ne sont pas dforms.

Sous l'action de la pesanteur, la plaque prend uneposition d'quilibre statique qui conduit unecompression identique des 4 ressorts. On note I et J lesmoments d'inertie de la plaque par rapport aux axes Gx etGy o G est le centre d'inertie de la plaque.

On se propose d'tudier les petits mouvements autour decette position d'quilibre.

zy

y

x

xG

O

A

BC

2b

2a

D

Position

d'quilibre

Position

ressorts non

dforms


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17

Les mouvements sont reprs par trois paramtres :

le pompage z (dplacement vertical du centre d'inertie de la plaque),

le tangage et

le roulis

et composent la rotation de la plaque : Q

: Q x y= +

.

On suppose que les mouvements de translation suivant

x et y ainsi que les rotations d'axe Oz

sontbloqus par la nature de la suspension.

1 - Dterminer 0 0 0(z , , ) la position d'quilibre statique du systme.

2 - Exprimer les dplacements verticaux des sommets de la plaque.

En dduire l'nergie potentielle du systme plaque/ressorts pour une position quelconque( , , )z .

Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :2 2 2U cz dz e f = + + + .

Retrouver partir de cette expression la position d'quilibre statique.

3 - On introduit les carts par rapport la position d'quilibre statique :

0z' z z= , 0' = , 0' = .

Montrer que l'nergie potentielle peut s'crire sous la forme :2 2 2

0U U dz' e ' f '= + + + .

Montrer qu'il s'agit en fait une proprit gnrale des systmes pesants suspenduslastiquement et non d'une consquence de la gomtrie particulire de la suspension.

4 - Dterminer les matrices de raideur et d'inertie.Montrer que les mouvements de pompage, roulis et tangage sont les modes propres du systme.

Dterminer les pulsations propres associes.

5 - On place en A et B une surcharge m.

Dterminer la nouvelle position d'quilibre statique.

Est-ce que l'nergie potentielle exprime en termes d'carts a chang ?

Que peut-on dire des nouveaux modes propres du systme ainsi perturb ?

Que se passe-t-il si l'on place les deux masses en B et C ou une seule masse en A ?

6 - Expliciter les frquences propres dans le cas o les deux masses sont en A et C.

7 - Outre les deux masses places en A et C, on exerce en A une force de la forme : F F t z= 0 c o s .

Calculer la puissance fournie au systme et en dduire les efforts gnraliss associs auxvariables z', ' 'et . Ecrire la solution d'oscillations forces correspondante.


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Excitation priodique

Exercice 1 :

Une structure un degr de libert (k,c,m) est excite par un chargement priodique f(t) partir desa position au repos.

I. Analyse de lexcitation

La fonction priodique, de priode T est dfinie de la faon suivante :

0

2 t T Tf(t) f sin pour 0 t f(t) 0 pour t T

T 2 2

= =

1. Donner sa reprsentation en fonction du temps.

2. Reprsenter f(t) en sries de Fourier sous la forme :

0 n nn 1 n 1

2 nt 2 ntf(t) a a cos + b sinT T

= = = +

Calculer an et b n pour tout n>0 et expliciter les termes de la srie jusqu n=7 ; (on pourra poser2

T

= ). Tracer pour 01 rad/s et f = = lexpression de f(t) en srie de Fourier jusqu n=3, n=5,

n=7.

II. La structure est non amortie.

(On pose0

2 3 3 k

T 4 4 m

= = = ).

Dterminer la rponse de la structure aux quatre premiers termes non nuls de lexcitation en rgimetabli. Tracer x(t) avec k=1N/m pour f(t) reprsente par Fourier jusqu n=1, n=3, et n=5.

III. La structure est amort ie.

(On pose 02m

c3

= ). Dterminer la rponse de la structure aux quatre premiers termes non nuls de

lexcitation en rgime tabli. Tracer x(t) avec k=1N/m pour f(t) reprsente par Fourier jusqu n=1,n=3, et n=5.

Exercice 2 : Vibrations priodiques dun moteur monocyl indre

On considre le moteur monocylindre reprsent sur la figure 1. Lorsquun tel moteur est malquilibr, son fonctionnement engendre une force priodique qui provoque la vibration du blocmoteur. Pour ltude de ces vibrations forces, il faut connatre la nature exacte de la forceperturbatrice ; en particulier, il est important de connatre sa priode relativement la priodenaturelle du systme.

Partie 1 : Etude des forces excitatrices

Dans lanalyse de la force perturbatrice, on peut avec une prcision suffisante reprsenter la biellepar deux masses lmentaires, lune (M1) situe au niveau du vilebrequin, lautre (M2) au niveau du

piston. Toutes les autres masses non quilibres et en mouvement peuvent aisment tre rduites ces deux mmes points, seuls finalement tre pris en considration.


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19

Dans ce modle un degr de libert, lacomposante horizontale des forcesperturbatrices est nglige. Donc seuleintervient leur composante verticale.

On note :

l: la longueur de la bielle,

langle de la bielle avec la verticale r: le rayon du vilebrequin

: la vitesse angulaire du vilebrequin

1 - Soit F1 la force dinertie lie au mouvementde la masse M1, justifier quelle vaut

21 1F M r cos t=

Soit u(t) la position de la masse M2 mesure parrapport la position du piston au point morthaut (position la plus haute du piston).

2 Exprimer u en fonction de , r, l et .

3 Exprimer par ailleurs en fonction de t(Relation holonome).

4 - Par un dveloppement limit au 1erordre decos , en dduire finalement que u(t)scrit :

Bloc moteurAxe vi lebrequin

Pivot

Bielle

Piston

Figure 1

( )2

2ru(t) r 1 cos t sin t2l

= +

5 Montrer alors que la force dinertie verticale due la masse M2 scrit :

22 2

rF M r cos t cos2 t

l = +

6 Ecrire la force dinertie globale (F1+ F2) subie par le bloc moteur comme la somme de deuxtermes de frquences diffrentes.

Partie 2 : Etude de la vibration permanente

On note M la masse totale du moteur, k la raideur de ses supports lastiques (" silent blocks ").Lamortissement est nglig.

7 Exprimer la frquence naturelle de vibration 0 du moteur.

8 - En utilisant le rsultat de la partie 1 en dduire lexpression de deux vitesses critiques de rotationdu moteur (1, 2).

9 Ecrire lquation diffrentielle du mouvement vibratoire du bloc moteur lorsque le vilebrequin estanim de la vitesse angulaire . On notera x la position du bloc par rapport sa position larrt.

10 Donner sans dmonstration lexpression de la vibration permanente du bloc moteur. Elle estcompose de deux termes correspondants ceux obtenus la question 6.

Application numrique :

On donne :

M = 20 kg, M1= 0.2 kg, M 2 = 0.7 kg

= 5000 tours/min


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20

r = 5 cm, l = 15 cm

11 Calculer la raideur k des supports pour que soit gale 5 fois la frquence naturelle 0.

12 - Quelle est alors lamplitude maximum du mouvement vibratoire du bloc moteur.

Excitations Quelconques Transforme de Laplace

Exercice 1 :

1.1 - Rappeler l'quation du mouvement d'un systme 1 ddl amorti, soumis une force F(t)quelconque.

1.2 - crire la transforme de Laplace de cette quation.

Une machine de 200 kg est installe sur une surface lastique de raideur quivalente k = 2105 N/m,sans amortissement. Au cours de son fonctionnement, la machine est soumise une force constantede 2000 N pendant 3 s.

1.3 - crire l'quation du mouvement de la machine et sa transforme de Laplace

1.4 - Exprimer la force F(t) en utilisant l'chelon de Heavyside et calculer sa transforme de

Laplace.1.5 - En dduire x(s), transforme de Laplace de la position de la machine.

1.6 - Dcomposer x(s) en fractions simples.

1.7 - En dduire x(t).

1.8 - A quoi se rduit cette expression aprs l'excitation (t > 3s).

1.9 - A quelle condition le rgime permanent rsultant de la force F est-il limin ?

1.10 - Dcrire le mouvement et donner son amplitude maximum.

Exercice 2 :De nombreux systmes et structures mcaniques sont sujets des excitations par l'intermdiaire deleur support.

On modlise une suspension de voiture par un systme 1ddl sous-amorti (m, k, c)

L'excitation est fournie par le passage d'une butte et rsulte en une impulsion rectangulaire devitesse de dure t0.

2.1 - crire l'quation du mouvement vertical de la voiture rsultant de cette excitation.

2.2 En utilisant les proprits de la TL, en dduire le mouvement vertical du chssis.

Exercice 3 (Juin 200)

L'objectif du problme est une modlisation simple de la rponse d'une automobile aufranchissement d'un ralentisseur. Cette rponse est tudie du point de vue du passager, c'est diredans un repre li au vhicule.

L'automobile est modlise par une poutre homogne de masse M et de longueur 2L, supporte ses deux extrmits par des suspensions identiques caractrises par une raideur k et unamortissement c.

Les roues et les pneumatiques sont supposs indformables et de masse ngligeable en sorte queles variations de la route sont intgralement transmises aux suspensions.

Ce modle induit deux degrs de libert. On choisit comme coordonnes gnralises ledplacement vertical z du centre d'inertie G de la poutre et la rotation de la poutre autour de G,compts partir de la position d'quilibre statique. Dans un souci de simplification, on considre,dans un premier temps, une route plane.


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21

1 Dterminer les matrices d'inertie,de raideur et de dissipation dusystme.

2 En dduire les pulsations propreszet

AN : M = 1500 kg, k = 2 104 N/m.

3 Dterminer et reprsenter lesmodes propres associs.

x

ck

zr2L

v

z

G

B A

0

h

4 Discuter ces rsultats en expliquant l'influence de l'amortissement.On prend c = 2000 kg/s.

On considre maintenant que les variations de la hauteur zr(t) de la route se traduisent par les effortsFA(t) et FB(t) transmis au chssis par l'intermdiaire des suspensions respectivement en A et B.

5 Montrer que le vecteur des efforts gnraliss s'crit :

( )( )

z A Bz

A B

F FQ

F FQ

+ =

Prciser les coefficients z et

6 crire les quations du mouvement et les mettre sous la forme : 2i i i i i i i iq 2 q q Q+ + =

Prciser les expressions de z, , z, et en fonction des paramtres du systme.

On suppose que les efforts F A(t) et FB(t) transmis au chssis sont directement proportionnels lahauteur zr(t) de la route, c'est dire qu'on pose : F(t) = zr(t).

Le ralentisseur de hauteur h franchi par l'automobile est modlis par une distribution de Dirac dehauteur h : zr(x) = h (x)

On prend comme origine des temps l'instant o la premire roue rencontre le ralentisseur. On notet0= 2L/v. On suppose toutes les conditions initiales nulles

7 Exprimer les fonctions d'excitation des deux extrmits du chssis FA(t) et FB(t).

8 En dduire les efforts gnraliss rsultants : Qz(t) et Q(t) et reprsenter leur allure. Calculerleur transforme de Laplace : Qz(s) et Q(s)

9 A partir des quation tablies 6), expliciter les transformes de Laplace z(s) et (s) desfonctions z(t) et (t) qui dcrivent le mouvement du chssis sous l'effet du franchissement duralentisseur.

10 Calculer les fonctions z(t) et (t) et comparer leur allure. Discuter en fonction de v.

Formulaire :

Les racines de 0s2s 22 =++ sont : s 1 = - + i d et s 2= - - i d

o 2d 1 =

= 21d21 ss

1

ss

1

i2

1

ssss

1

))((

Transformes de Laplace :

( )

)()()( sfeatuatf

as

1e

eat

as

at

as


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22

Analyse Modale d'un systme 3 degrs de libert

1 - Dterminer les pulsations et modes propres du systme 3 ddl de la figure suivante.

m m m / 2

x1 x2 x3

k2k 2k k

2 - Montrer l'orthogonalit des modes propres.

3 - Normaliser les modes propres par rapport la matrice d'inertie.

4 - Dcomposer le vecteur y = [1 4 -2] sur la base des modes propres normaliss.

Le troisime bloc du systme est soumis la force f(t) reprsente ci-dessous. On prend m = 10 kget k = 1000 N/m

f(t)

4000

t(s)1.2

5 - Ecrire la matrice modale et les quations dcouples du mouvement en fonction descoordonnes principales.

6 - En utilisant la transforme de Laplace ou l'intgrale de convolution, rsoudre ces quationspour obtenir les expressions des coordonnes principales en fonction du temps

7 - En dduire les expressions des coordonnes gnralises en fonction du temps.

8 - On rajoute un amortissement proportionnel tel que C = (c/k) M. Dterminer les nouvellesquations dcouples en coordonnes principales. Calculer les coordonnes gnralises enfonction du temps.


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23

Annales

Annale : Dcembre 2002

Question prliminaire

Pour le pendule simple (P), OA, de la figure 1, dans le rfrentiel galilen plan

orthonorm direct (o, x, y), de masse m, de longueur l, plac dans le champ dela pesanteur dacclration g gx=

, (g>0), avec liaison parfaite en O, montrer

que le potentiel de la pesanteur V peut scrire, lorsque |(t)|


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24

2 2 221 2 32T m l = + +

4 Ecrire les quations de Lagrange du systme (S) sous la forme :

M K 0 + = (1)

en identifiant la matrice de raideur K, lorsque la matrice des masses M scrit :

M = m l23

1 o

=

3

1 0 0

1 0 1 0

0 0 1

5 On pose 2k

m , > 0 et 2

g

l

. crire le systme diffrentiel (1) sous la forme :

2 X 0 + = (2)

o X est une matrice identifier.

6 - On cherche les solutions de (2) sous la forme :i t

e X

= avec [ ]T

1 2 3X X , X , X= ; iX , 1 i 3 ;

et on pose : s =

Montrer que lquation aux pulsations propres de (2) admet la solution 23

s2

= + , et qualors

[ ]T X 1, 0, 1= est une colonne propre possible.

7 Dans la suite on prend = 0.

Montrer qualors deux autres valeurs de s sont s2 = 2 et s 2 = 1/2. Quels sont les colonnes propres

possibles associes ?

8 On dsigne par L la matrice orthogonale :

1 1 12 3 6

1 233

1 1 12 3 6

L 0

=

Reprsenter schmatiquement les modes propres du systme (S).

De quelles quations diffrentielles dcouples sont solutions les Q i(t) (1 i 3) dfinis par le

changement de variables :

LQ = (3) [ ]T 1 2 3Q Q , Q , Q=

9 Aux forces extrieures de pesanteur, on ajoute les forces extrieures (S) dfinies par les forces

dexcitation :

1F( t )y applique en A 1,

2F ( t ) y

applique en A 2,

3F ( t ) y

applique en A 3 .


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25

Ecrire les quations du systme (S) sous la forme :

2 X (t) + = (4)

on identifiera

10 Par le changement de variables (3), crire lquation (4) sous la forme :

2

Q D Q (t)+ =

(5)o lon identifiera la matrice diagonale D et la colonne (t) .

11 Trouver la solution de lquation (5) correspondant aux donnes : (> 0 donn)

F1(t) = cos t, F2(t) = 0, F3(t) = cos t.

(0) 0 = (0) 0 =

N.B. On dsignera par 1 2 3Q Q ,Q , Q = cette solution.

12 Que devient Q lorsque 2 = ?

Etudier la limite quand t , de Q (t) lorsque 2 = .

Interprtation physique.

Septembre 2003

x

y

g

O

G2

AEquilibre statique tel que :

q = q0

1

2

3

4

5

6

G1

G3

= = =

1 1 2 2

OG G G G A lu

= 3AG l x

Donnes :

1 : Tube indformable, M1= Masse, I 1= Mt dinertie /Oz, G 1= Centre de masse

2 : Piston + Tige, M2= Masse, I 2= Mt dinertie /G 2z, G2= Centre de masse3 : Charge inertielle, pouvant se dplacer paralllement x exclusivement, par une liaison glissire

sans frottement ; G3 = Centre de masse

4 : Ressort linaire de raideur k2


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27

Figure 2

O

2l

h

G0

[A] [A]

[A]

O C

2a

h

Y

AB

A0 B0

G

x

y

[S] est constitu de trois amortisseurs de type [A] dcrit ci-dessus et de deux barres AB et OC . Lesparamtres du systme sont :

( ) x,O'C compt autour de

z ,

( )x,GB

compt autour de

z ,

0Y G G compt selony .

Les amortisseurs placs en A0A et B0B sont encastrs en A0 et B 0, les liaisons en A, B, G, C et Osont des rotules parfaites.

Barre AB : homogne, de masse , de longueur 2hde centre dinertie G, milieu de AB

Barre OC : homogne, de masse m, de longueur 2a.

La masse des amortisseurs [A] est ngligeable devant m et et la pesanteur est nglige.

Dans toute la suite du problme, , , y, sont supposs petits avec :Y = l + y (,


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28

4 Montrer que =6k

, est une pulsation propre de (1)

et donner le mode propre associ.

5 Etablir les quations de Lagrange sur et y/a sous la forme :

+ =

M' K ' 0 (2)

6 On pose =

2 k et on suppose dans cette question =2m

3.

Calculer les modes propres de (2). On cherchera les pulsations propres sous la forme : = m . ;m rel.

B Deuxime partie : Vibrations forces du systme [S] sans amortissement ( = 0; = 2m/3)

Dans cette partie, la seule excitation extrieure est une force

applique en G, donne par :

( t )y =

, (t) = cos t ; , rels donns > 0

7 Ecrire les quations des vibrations forces de [S] et les rsoudre en posant = s

8 Rsoudre les mmes quations lorsque s = 1. On cherchera sous la forme :

(t) = 0 t sin t o 0 est un rel dterminer.

C Troisime partie : Vibrations forces du systme [S](0 ; = 2m/3)

9 Ecrire les quations de Lagrange (3) des vibrations libres du systme [S] amorti.

10 En posant =6k et 3 =

,

calculer la solution partielle de (3), relative , note 0(t) lorsque :

0(0) = 0, 0d

(0) 1dt

= < .

11 La seule excitation extrieure est un couple moteur (t)

agissant sur la barre AB, applique enG et donne par :

(t) (t) z =

, (t) = 0cos t ; = s

Calculer la rponse Q1(t) sous la forme :

0

t

1 1 0(u) cos (t u) du(t) =

Prciser 1.

12 Calculer 1(t) lorsque = .

Que se passe-t-il lorsque Q 0 ?


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30

10 En dduire 2 vitesses de roulement caractristiques du mouvement de

On donne la courbe de la fonction de transfert H2 avec = /0

Avri l 2006

On tudie le modle conservatif dcrit par la figure ci-dessous.

2k

2m m 3m

kkx1 x2 x3

Dans ce problme et les dplacements sont seulement horizontaux et la pesanteur nest pas prise encompte.

Partie 1 : Oscillations libres

On note x1, x2, x3 les positions respectives des 3 mobiles par rapport leur position dquilibrestatique.

1 - Ecrire les nergies cintique et potentielle, T et U.

2 Identifier les matrices de raideur K et dinertie M

On adoptera les notations :

: pulsation des mouvements libres harmoniques,

o k m = et = /0

3 Ecrire lquation matricielle du mouvement libre en fonction de B = 2.

4 En dduire lquation du 3me degr en B dont les racines donnent les pulsations propres du

systme.On donne les racines de cette quation en valeurs approches :

B1 ~ 0.3, B 2~ 0.9, B 3 ~ 2


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31

5 En dduire les 3 pulsations propres du systme (1, 2, 3) en fonction de 0.

6 Quelles quations faut-il crire pour obtenir les modes propres (V1, V2, V3)

En rsolvant ces quations, on obtient en valeurs approches :

1 2 3

1 1 1

V 1.4 V 0.7 et V 2.4

2 0.5 0.2

7 Rappeler les relations entre les modes propres Vi, Vjet les matrices dinertie M et de raideur K.

8 A laide des valeurs approches, vrifier numriquement lorthogonalit des modes V1et V 2.

Partie 2 : Cas du dplacement impos

On impose au mobile de masse 3m un dplacement de la forme : x3(t) = X3sin( t). Le systme serduit donc 2 degrs de libert x1 et x2.

Le dplacement x3rsulte de lapplication ce mobile dune force extrieure inconnue note F(t).

9 En utilisant les matrices K et M trouves en 2, crire lquation matricielle du mouvement forc.

10 Montrer que cette quation se rduit :1 1

32 2

0x x2m 0 3k 2k

kX sin tx x0 m 2k 3k

+ =

11 Quelle est alors la forme gnrale de x1(t) et x2(t) ?

12 En dduire, en fonction de la frquence dexcitation , les expressions des fonctions detransfert H1() = X1/X3et H 2() = X2/X3. Tracer leur allure.

13 En utilisant le rsultat de la question 9, donner lexpression de la force F(t).

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

dB

Pulsation rduite beta

20*log10(abs(H1(x)))20*log10(abs(H2(x)))


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Universit P. et M. Curie Master 1re anne MIS-MFE Anne 2006-2007

Dynamique des systmes discrets

Tous documents et calculatrice interdits, dure 2h

Rponse vibratoire de la guitare aux basses frquences 1

Aux frquences infrieures environ 300 Hz, le comportement vibratoire de la caissedune guitare acoustique, et donc le spectre des sons quelle met, peu tre tudi laide

du modle reprsent sur la figure ci-dessous.

x2x1

k1

m1 m2

F(t)

Cavit

A1A2

caisse rigide et immobile

Fig.1 Modle de la guitare

Une partie de la table de bois de masse m1et daireA1, sur laquelle sont fixes les cordesest suppose vibrer comme un piston dont le dplacement est not x1. Llasticit de la tablesoppose au dplacementx1 par une force k1x1(le ressort quivalent est reprsent fix surle dos de la guitare par commodit).

On considre une masse dairm2situe au niveau de louverture circulaire, daireA2, quirelie lair ambiant la cavit de la guitare. Le mouvement de cette masse est dcrit par x2.

La variation de pression p lintrieur de la cavit est relie sa variation de volumeV =A1x1+ A2x2 par la relation

p= V, avec >0.

Ces variations de pression p sopposent aux mouvements des masses m1 et m2 par desforces A1pet A2p, respectivement.

On supposera de plus que des amortissements visqueux gnrent des forces c1x1 etc2x2 qui sopposent au mouvement de m1 etm2, respectivement.

1. Adapt de Simple model for low-frequency guitar function, O. Christensen and B.B. Vistisen, JASA

68, 1980

1


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Premire partie : mouvement libre du systme deux degrs de libert

1. Faire le bilan des forces qui sexercent sur les masses m1 et m2 et en dduire deuxquations du mouvement (on ne cherchera pas faire un schma quivalent).

2. On note 1,0 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m1 lorsquequil ny a pas de cavit (caisse ouverte). Donner lexpression de 1,0.

3. On note 1 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m1 lorsquelouverture est bouche (A2= 0). Donner lexpression de 1.

4. On note 1,1 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m1 lorsquelouverture est bouche (A2= 0) et lorsque lon suppose ngligeable llasticit proprede la table (k1= 0). Donner lexpression de 1,1.

5. On note 2 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m2 lorsque lonbloque le mouvement de la masse m1 (x1= 0). Donner lexpression de 2.

6. Montrer que les quations du mouvement se mettent sous la forme

MX+CX+KX = 0,

avec Xt = (x1,x2) et

M =

1 00 1

; C =

c1/m1 0

0 c2/m2

; K =

21

21,1

1

22

2

2

,

o lon a not =A2/A1.

7. Calculer les pulsations propres

et + du systme non amorti.

8. On note X= (Xi1,Xi2)les coordonnes du vecteur propre pour le mode i. Pour chacundes modes propres, dterminez le rapporti=

Xi1Xi2

en fonction de

et +et des autrespulsations caractristiques.

9. La mesure sur une guitare instrumente fournit les valeurs suivantes pour quelquesfrquences caractristiques du systme : f1 =

12

= 184 Hz ; f2 = 22

= 126 Hz ;f

= 2

= 103 Hz et f+= +2

= 198 Hz. Le calcul partir de ces frquences donne

|1|= 0.05 ; |2|= 0.2.

Dterminez les signes des i et reprsentez la forme des modes propres.

Deuxime partie : mouvement forc du systme deux degrs de libert

Les cordes de la guitare exercent une force F(t) sur la table, comme reprsent sur la

figure.10. Ecrire les quations du mouvement forc du systme sous la forme matricielle.

11. Calculer les dplacementsx1(t) etx2(t) lorsque F(t) =Fcos(t).

12. Les vibrations tudies ci-dessus constituent une source acoustique dont lamplitudeest proportionnelle

U=A1x1+ A2x2.

On suppose dautre part quune corde pince fournit une excitation vibratoire F(t)dont le spectre discret contient les frquences fn = nf0, i = 1 10, associes auxcoefficients de FourierCn.

Donner sans dmonstration lexpression du mouvement des masses m1 et m2 excitespar la corde vibrante. En dduire lexpression de U.

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td de vibrations des systemes discrets + solution