MODELISATION MULTI PHYSIQUEtsi.ljf.free.fr/ATS/docs/S2I/CI1A/Modelisation_multi...Dessin technique Algorigramme GRAFCET Réponses temporelle et fréquentielle A.1.2.Outils de conception

MODELISATIONMULTI PHYSIQUE

CI1 : Analyse globale et performances d’un systèmeCI1 : Analyse globale et performances d’un système

MODELISATION MULTI PHYSIQUE COURS

Edition 4 - 02/09/2020

Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/17

CHAÎNE D’INFORMATION

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

CHAÎNE D’ENERGIE

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTI

ON

mailto:[email protected]


PROBLEMATIQUE

« Les systèmes techniques sont complexes, et font

intervenir l’ensemble des domaines de l’ingénierie : mécanique, électrique, automatique, thermique, ...

Les outils de simulation doivent pouvoir modéliser l’aspect multi physique de ces systèmes complexes»

ANALYSERANALYSERANALYSERA3 : Analyse fonctionnelle, structurelle, comportementale Système asservi multi physique

MODELISERMODELISERMODELISERB2. Modèle de connaissance et de comportement Représentation d’un Système asservi multi physique



Problématique Edition 4 - 02/09/2020

Lycée Jules Ferry - 06400 s [email protected] 2/17



SommaireA. _______________________________________________________________Généralités! 4

A.1.Modélisation spécialisée 4A.1.1. Outils de descriptionA.1.2. Outils de conception

A.2.Modélisation multi domaine 5

A.3.Modèles de connaissance - Modèles de comportement 6A.3.1. Modèle de connaissanceA.3.2. Modèle de comportement

B. ____________________________________________Modélisations causale et acausale! 8

B.1.Modélisation causale 8B.1.1. DéfinitionB.1.2. ExempleB.1.3. Caractéristiques

B.2.Modélisation acausale 9B.2.1. DéfinitionB.2.2. ExempleB.2.3. Caractéristiques

B.3.Influence du choix des paramètres de simulation 11

C. ___________________________________________________Analogies entre énergies! 12

C.1.Grandeurs caractéristiques 12

C.2.Variables d’état en fonction de l’énergie 12

C.3.Objets énergétique 13C.3.1. GénéralitésC.3.2. Objets énergétiques

C.4.Exemples d’analogies 15C.4.1. Circuit RLC sérieC.4.2. Circuit LRC parallèleC.4.3. Circuit RC série



Sommaire Edition 4 - 02/09/2020




A. Généralités

A.1. Modélisation spécialisée

Les systèmes «simples» sont de nature monophysique : un seul phénomène physique est en jeu (mécanique, électrique, chimique, thermique,...).

Ces systèmes peuvent être décrits à l’aide d’outils dédiés et spécifiques. Il existe donc des outils descriptifs et comportementaux et spécialisés en fonction de la nature du phénomène physique.

A.1.1. Outils de description

La description fonctionnelle, structurelle et comportementale de ces systèmes simples est obtenue à l’aide d’outils dédiés :

Description fonctionnelle Description structurelle Description

comportementaleMéthode APTE

SADT

FAST

Schéma cinématique

Schéma électrique

Dessin technique

Algorigramme

GRAFCET

Réponses temporelle et fréquentielle

A.1.2. Outils de conception

De la même façon, des outils de conception spécifiques existent pour chacun des domaines :

Domaine de la mécanique

Domaine de l’électronique

Domaine des mathématiques

Domaine de l’informatique

Mode leu r vo lumique (Solidworks, Catia, ...)

Logiciels de mécanique des fluides (Fluent)

Conception (Proteus, ...)

Programmation (PL7, Arduino, Flowcode, ...)

Calcul formel (Maple, Mathcad)

Calcul numérique (Scilab, Matlab, ...)

P r o g r a m m a t i o n C , Python, Java, ...



Généralités Edition 4 - 02/09/2020

Notes




A.2. Modélisation multi domaine

Les systèmes complexes actuels, tant dans l’industrie que dans la recherche, font appel à des phénomènes physiques différents, qui sont couplés entre-eux : mécanique, électrique, chimique, thermique, ...

Il est donc nécessaire de pouvoir modéliser leur comportement, en intégrant les interactions entre les différents phénomènes physiques existant : c’est le rôle de la modélisation multiphysique.

La modélisation SysML intègre des diagrammes comportementaux, qui peuvent être simulés : diagramme d’état, diagramme d’activité. Ces diagrammes reflètent le comportement, mais restent essentiellement dans le domaine de la communication.

En CPGE ATS, les outils de modélisation multiphysiques comportementaux utilisés seront Scilab (logiciel libre) et Matlab.




Notes




A.3. Modèles de connaissance - Modèles de comportement

Un modèle est une représentation abstraite et simplifiée de la réalité existante ou souhaitée. En fonction du degré de connaissance des principes physiques qui régissent le système, on adoptera un modèle plus ou moins élaboré.

A.3.1. Modèle de connaissance

Un modèle de connaissance est établi à partir des principales lois de conservation de la physique (mécanique, électromagnétisme, thermodynamique…), soit à partir de relations empiriques. Ces modèles se présentent sous forme d’équations différentielles dont les paramètres représentent des grandeurs caractéristiques du phénomène étudié.

L’objectif est in fine de prévoir le comportement d’un système ou d’un sous-système.

Il est toujours préférable d’établir un modèle de connaissance, mais lorsque le système est complexe, ou lorsque le phénomène physique à modéliser est mal connu, la formalisation d’un tel modèle peut être délicate, voire impossible.

Exemple d’un moteur électrique à courant continu relié à un volant :

Le système suivant fait intervenir le domaine électrique et le domaine mécanique

Le modèle de connaissance est construit par application :

• des lois électriques

• des lois mécaniques

• du modèle de conversion entre l’énergie électrique et l’énergie mécanique




Notes




Loi électrique : u = e+L di

dt+Ri

Loi mécanique : Jdω

dt=Cm

Conversion électro-mécanique : e =KEωm

Cm =KCi

A.3.2. Modèle de comportement

On établira un modèle de comportement lorsque le phénomène physique est mal connu.

On tente de décrire les phénomènes :

• soit avec des équations dont les paramètres sont sans lien avec le phénomène observé,

• soit avec des courbes expérimentales.




Notes




B. Modélisations causale et acausale

B.1. Modélisation causale

B.1.1. Définition

Une modélisation causale permet de modéliser des phénomènes linéaires (absence de saturation, d’hystérésis, ...), à partir d’un modèle de connaissance.

Le schéma blocs répond à l’objectif de créer un tel modèle multiphysique.

Chaque bloc représente un sous-système orienté (dit causal) avec :

• une entrée (la cause)

• et une sortie (l’effet)

• et au sein duquel une expression mathématique relie les différentes variables entre elles à partir d’un modèle de connaissance dans un domaine symbolique (transformée de Laplace) que nous verrons ultérieurement.

B.1.2. Exemple

Exemple du moteur électrique à courant continu relié à un volant, avec frottement dans la liaison :

Transformation des équations dans un domaine symbolique :

Loi électrique : U =E+sLI+RI =E+ (R+Ls)I⇒ I = U−E

R+Ls

Loi mécanique : JsΩ =Cm ⇒Ω =

Cm

Js

Conversion électro-mécanique : E =KEΩm

Cm =KCI



Modélisations causale et acausale Edition 4 - 02/09/2020

Notes




Ecriture sous forme de schéma bloc :

B.1.3. Caractéristiques

Dans une modélisation causale, Ii y a une cause qui génère un effet.

Une modélisation causale est orientée : elle possède une entrée et une sortie. Les équations sont donc également orientées.

Un lien ne fait circuler qu’une variable.

Un schéma-bloc traduit un algorithme de calcul du comportement d’un système, mais ne modélise pas sa structure.

B.1.3.1. Avantages de la modélisation causale

Une modélisation causale permet d’aboutir à des solutions analytiques simplifiées.

Les analyses fréquentielles sont également facilitées.

Elle en nécessite pas la connaissance des symboles technologiques.

B.1.3.2. inconvénients de la modélisation causale

Le modèle n’est pas réversible. Un même effet peut être engendré par plusieurs causes

La démarche de résolution est imposée par la structure du schéma bloc

L’architecture du système n’est pas mise en évidence

B.2. Modélisation acausale

B.2.1. Définition

Récente, la modélisation multiphysique dite acausale se développe rapidement.

Constitué de blocs représentant des composants technologiques, la modélisation n’est plus orientée, et il n’y a plus de lien de cause à effet.

Chaque bloc représente un constituant paramétrable contenant des équations implicites spécifiques au composant, traduisant sa structure interne et son comportement.

Un lien entre 2 constituants fait circuler deux variables : une variable de flux et une variable de potentiel.




Notes




Domaine Potentiel Flux

Mécanique translation

Mécanique rotation

Electrique

Hydraulique

Thermique

Chimique

Force F Vitesse V

Couple C Vitesse angulaire ω

Tension U Intensité I(déplacement de charges)

Pression P Débit Q

Température T Flux d’entropie !S(déplacement de chaleur)

Potentiel chimique µ Flux molaire !n

Analogies multiphysiques

B.2.2. Exemple

Exemple du moteur électrique à courant continu relié à un volant :

B.2.3. Caractéristiques

La caractéristique essentielle de la modélisation acausale est qu’il n’est pas nécessaire de connaître le modèle de connaissance des composants. En revanche il faut maîtriser les paramètres caractéristiques et influants des constituants.

Les connecteurs des blocs définissent la nature du signal (mécanique, électrique, thermique, ...), et les notions de polarité sont respectées.




Notes




Enfin, avec une modélisation acausale, le modèle est réversible. Ceci permet ainsi d’étudier le comportement inverse d’un système, et cette caractéristique est majeure au niveau industriel car le gain de temps est très important.

En revanche, l’analyse fréquentielle demande beaucoup de temps, car il faut faire une simulation pour chaque fréquence.

B.3. Influence du choix des paramètres de simulationCertains logiciels de simulation ne sont pas capables d’optimiser les pas temporels de simulation dans un

modèle multiphysique. C’est alors à l’utilisateur de vérifier que ces pas de simulation sont compatibles avec la dynamique du système modélisé.

On retiendra que la période des pas de simulation est au plus égale à la moitié de la période maximale des signaux simulés. Par exemple, une simulation faisant intervenir un signal de fréquence maximale 100 Hz (donc une période 10 ms) devra être menée avec une période de simulation au plus égale à 5 ms.

Dans les faits, il est recommandé d’adopter une période de simulation au plus égale à 10 fois la période la plus faible des signaux simulés.

Considérons par exemple un circuit LC en régime libre, dont la période est égale à 1 ms. On souhaite simuler le comportement du système sur une durée de 10 ms et visualiser la tension aux bornes du condensateur.

Simulation sur 1000 points :intervalle de simulation 0,01 ms

Simulation sur 20 points :intervalle de simulation 0,5 ms

Simulation sur 10 points :intervalle de simulation 1 ms

Chaque période du signal est découpé en 10






Notes




C. Analogies entre énergies

C.1. Grandeurs caractéristiquesTout composant d’un système multiphysique crée ou consomme de l’énergie. Cette énergie se traduit par une

cause qui engendre un effet.

La puissance du phénomène physique en oeuvre est toujours le produit d’une grandeur potentielle (la cause) et d’une grandeur de flux (l’effet).

Quelle que soit l’énergie, on retrouve les mêmes éléments :

• les accumulateurs d’énergie potentielle

• les accumulateurs d’énergie cinétique

• les dissipateurs d’énergie

La connaissance de ces constantes entre type d‘énergie permet d’appréhender le comportement d’un système par analogie avec une autre énergie

C.2. Variables d’état en fonction de l’énergie

DomaineGrandeur potentielle

(cause)Grandeur potentielle

(cause)Grandeur cinétique de flux

(effet)Grandeur cinétique de flux

(effet)DomaineUnité Unité

Electrique Tension U V Courant I A

Mécanique en rotation Couple C Nm Vitesse angulaire Ω rad.s-1

Mécanique en translation Effort F N Vitesse V m.s-1

Hydraulique / Pneumatique Pression P Pa Débit Q m3.s-1

Thermodynamique Température T K Flux d’entropie !S W.K-1



Analogies entre énergies Edition 4 - 02/09/2020

Notes




C.3. Objets énergétique

C.3.1. Généralités

Il existe deux catégories d’objets énergétiques :

• les accumulateurs d’énergie, qui accumulent l’énergie.

➡ si l’énergie fournie est cinétique, alors elle est stockée sous forme d’énergie potentielle

➡ si l’énergie fournie est potentielle, alors elle est stockée sous forme d’énergie cinétique

• les dissipateurs d’énergie

Par ailleurs, il existe également des objets neutres qui assurent un transfert de puissance sans pertes. Le transfert peut se faire :

• sans changement de nature de l’énergie (la grandeur de flux est transférée en grandeur de flux) : par exemple un réducteur de vitesse par engrenage

• avec changement de la nature de l’énergie (la grandeur de potentiel est transférée en grandeur de flux) : par exemple le convertisseur électromagnétique, qui convertit une tension en vitesse de rotation

C.3.2. Objets énergétiques

Accumulateur d’énergie cinétique

Accumulateur d’énergie potentielle Dissipateur d’énergie

La grandeur de potentiel p génère une grandeur de flux f :

p = X df

dt

La grandeur de flux f génère une grandeur de potentiel p :

f = X dp

dt p = Xf

ElectriqueInductance L

U =L dI

dt

Condensateur C

I =C dU

dt

Résistance U =RI

TranslationMasse M

F =MdV

dt(1)

Ressort

v = 1

KdFdt

(2)Frottement visqueux

F =µV (3)

RotationInertie J

C = JdΩ

dt(4)

Ressort

ω =

1K

dCdt

(2)Frottement visqueux

C =µΩ (3)




Notes




Accumulateur d’énergie cinétique

Accumulateur d’énergie potentielle Dissipateur d’énergie

La grandeur de potentiel p génère une grandeur de flux f :

p = X df

dt

La grandeur de flux f génère une grandeur de potentiel p :

f = X dp

dt p = Xf

Hydraulique

Hauteur de charge

p = lρ

A⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dQdt

(5)

Hauteur de charge

Q =

Aρg⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dPdt

(6)Pertes de charges

ΔP =RhQ(7)

Thermique N’existe pasChaleur spécifique

!S = mc( )dT

dt(8)

Résistance thermique

ΔT =Rth!S (9)

(1) Dans cette expression, M désigne la masse [kg]

(2) Dans cette expression, K désigne la constante de raideur [ N.m−1 ou Nm.rad−1 ]

(3) Dans cette expression, µ désigne le coefficient de frottement visqueux [ N / (m.s−1) ou Nm / rad.s−1( ) ]

(4) Dans cette expression, J désigne l’inertie [ kg.m2 ]

(5) Dans cette expression, l désigne la longueur de la conduite [m], ρ la masse volumique du fluide [kg.m-3] et A la surface de la conduite [m2]

(6) Dans cette expression, A désigne la surface du réservoir [m2] et ρ la masse volumique du fluide [kg.m-3]

(7) Dans cette expression, Rh désigne la résistance hydraulique [ N.s.m−5 ], son expression dépendant du régime (laminaire ou

turbulent) auquel est soumis le fluide

(8) Dans cette expression, m désigne la masse du solide [kg] et C sa chaleur spécifique [J/kg.K]

(9) Dans cette expression, Rth désigne la résistance thermique du corps [ K.W−1 ], dont l’expression dépend de la nature de la

transmission de chaleur (conduction, convection, rayonnement)




Notes




C.4. Exemples d’analogies

C.4.1. Circuit RLC série

Dans ce circuit, la grandeur potentielle (tension) F génère un courant V.

L’énergie est accumulée sous forme d’énergie potentielle dans le condensateur, et dissipée à travers la résistance.

Ce courant V est accumulé sous forme d’énergie cinétique dans l’inductance M

Par analogie, ce circuit est équivalent à une grandeur potentielle (force) F qui génère une vitesse de déplacement V. La vitesse est dissipée à travers un amortisseur de coefficient R, et accumulée sous forme d’énergie potentielle dans le ressort de constante 1/C. La masse accumule quant à elle la force sous forme d’énergie cinétique.

Les simulations Scilab ci-dessous montrent cette analogie :




Notes




C.4.2. Circuit LRC parallèle

On considère maintenant le circuit suivant :

Le générateur de potentiel (tension) F génère un courant V qui est accumulé sous forme d’énergie cinétique dans l’inductance L.

Le courant se répartit ensuite entre :

* un condensateur C qui va accumuler l’énergie sous forme d’énergie potentielle

* une résistance qui va dissiper l’énergie

Par analogie, ce circuit est équivalent à une grandeur potentielle (force) F qui génère une vitesse de déplacement V.

Cette force est accumulée sous forme d’énergie cinétique. La vitesse de la masse se répartit entre le ressort de constante 1/C qui accumule l’énergie forme d’énergie potentielle, et un amortisseur de coefficient R qui dissipe l’énergie. La modélisation acausale de ces circuits donne les résultats suivants :




Notes




1. Circuit RC série

Pour finir, le circuit RC série soumis à une tension ci-dessous a le même comportement par analogie qu’un système {ressort-amortisseur} soumis à une force, ou qu’un système thermique soumis à une température constante :

Les modèles acausaux de ces sytèmes fournissent les mêmes résultats :




Notes




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