Modélisation du champ de pesanteur terrestre : approches et enjeux

Isabelle Panet (IGN, IPGP)

Merci à : Gwendoline Métivier, Michel Diament, Olivier Jamet, Yuki Kuroishi, Matthias Holschneider, Valentin Mikhailov, Fred Pollitz.

Potentiel et champ gravitationnel

r

r’

)()(

)( r'r'-r

r'r

dGV

V = - 4 G

V = 0 g = - grad(V)

Champ de pesanteur

& Géoide

ELLIPSOIDE

100 m

Surface de référence pour

la circulation océanique

Reflet de la structure

interne terrestre

Surface de

référence des

altitudes

Image ESA

g = 9.8142627….. m/s2

Aplatissement

Montagnes & fosses

océaniques

Anomalies de

densité internes

Grands réservoirs

Variations

temporelles

des marées

Grandes

constructions

mGals

Figure: Olivier de Viron

Figure: Olivier de Viron

Dynamique du noyau

Origine du

volcanisme

Evolution des chaînes de

montagne

Dynamique des

zones de

subduction

Convection mantellique

& interaction avec la

lithosphère

Cycle sismique

Déformation visco-

élastique terrestre

Evolution des calottes

polaires

Niveau de la mer

Cycle de l’eau &

climat

Réserves d’eaux

continentales

Le champ varie parce que:

Reflet de la structure interne terrestre

Himalaya &

plateau du Tibet

Dorsale

océanique

dorsale

Atlantique

EIGEN-GL04C (Förste et al., 2008)

1 mGal = 10-6 g

Figure: Courtillot et al. (2003)

Courants permanents

Arnault, 2004 (origine: LEGOS)

Gulf Stream

Courant du Labrador

Courant du Brésil

Courant des Aiguilles

Courant de la

mousson

Courant circumpolaire antarctique

Kuroshio

Surface de référence des altitudes

GEOIDE

ELLIPSOIDE

• Les mesures GPS donnent

la hauteur par rapport à

l’ellipsoide terrestre moyen.

Corrigées du géoide, on

obtient les altitudes.

• Mesures moins coûteuses

et sans distorsion à grande

échelle comme l’on peut

observer dans les réseaux

de nivellement classiques.

• Réseau mondial d’altitudes

H h

Hors marées, quelques millimètres de variations sur le géoide

Biancale et al.

Champ variable (mission GRACE)

Echelles de temps et d’espace

Temps

Résolution (km)

1000

100

10

1

n

o

y

a

u

Hydrologie

Humidité des sols,

aquifères, run-off,

neige

Rebond post-

glaciaire

Marées

séculaire

décennal

saisonnier

inter-annuel

subsaisonnier

diurne

10000

Flux

océaniques

à l’échelle

du bassin

Courants

profond

s

Calottes

polaires

Niveau

de la mer

post-sismique

Séismes

silencieux

Atmosphère

co-sismique

« instantané »

Séparation

de sources

Termes

périodiques,

apériodiques,

discontinuités

Aux

échelles

de GRACE…

Temps

Résolution (km)

800

400

1200

inter-annuel

saisonnier

4000

« instantané »

qq mm

qq mm/an

~0.5 mm/an

Ramillien, de Viron,

Tregoning, Panet et al.

Rebond post-glaciaire

• Déformation

visqueuse

terrestre en

réponse à la

dernière

déglaciation

Mouvements du sol

2006 2007 2005

Variation du champ causée par le séisme de

Sumatra (2004)

Scale = 600 km Large co-seismic gravity low in Andaman Sea Post-seismic gravity

increase along the trench

Merci à Olivier de Viron !

Mesures

Caractéristiques des mesures

10

Full spectrum

100

1000

Résolution spatiale (km)

Couverture

régionale

locale

ponctuel

globale

CHAMP (2000)

GRACE (2002)

GOCE (2009)

Topex, Jason

(courants !!)

Gravimétrie aéroportée

Gravimétrie à terre et en mer

Gravimètre

supraconducteur

Gravimètre absolu

Couverture spatiale : données de surface

Données sol, marines &

aéroportées (BGI)

Sous-détermination à

haute résolution (gaps).

.

La mission GRACE (NASA/DLR)

220 km

Alt. 480 km

Lancement : 2002

Fin de mission ~ 2014

Variations temporelles du

champ (400 km / 10j-1mois).

Construction de différences

de potentiel entre les deux

satellites, le long de l’orbite.

La mission GRACE (2002-…)

La mission GRACE (2002-…) Proximité masse

accélération satellite 1 d

La mission GRACE (2002-…) Proximité masse

accélération satellite 1 d

Accélération

satellite 2 d

La mission GRACE (2002-…) Proximité masse

accélération satellite 1 d

Accélération

satellite 2 d

La mission GOCE (2009-…)

Dérivées secondes du potentiel

de pesanteur à partir de mesures

d’accélérations ultra-précises (g

a 10-12 près !)

Lancement 2009, mission ESA.

Altitude 260 km.

GOCE: une vision directionnelle du champ

Vxx

Vyy

Vzz

Dérivées secondes du

potentiel gravitationnel

terrestre – effet de

l’ellipsoïde soustrait.

Repère local North-West-Up

Imager les structures lithosphériques

Géométrie

Construire des modèles

régionaux sur des zones

d’étude

Densifier les mesures

satellitaires avec les

données de surface

Des enjeux

• Construire la meilleure image possible de V et de ses variations temporelles

Optimiser localement le

rapport signal/bruit

Exemple : approches en ondelettes

D2

D1

Model space H = L2()

mean Earth sphere

D3

Each dataset gives information only on specific components of the gravity

potential T, at different spatial scales and locations. They can be efficiently

modelled using wavelets at the corresponding scales and locations.

Such combination also validates the GOCE data/models wrt ground data.

H

Combinaison locale sol/satellite

Ondelettes multipoles de Poisson

Base function

26

e1 e2

Multipolar

sources

Expression analytique en termes de

multipoles (Holschneider et al., 2003):

• Evaluation rapide et précise y

compris à haute résolution

• Fonction 3D harmonique

• Bonnes propriétés d‘approximation

avec un nombre limité de fonctions

Fonctions non orthogonales.

Wavelet spectra

Expression en série de Legendre

m = ordre du multipole (2/3)

Lien échelle a / profondeur :

Holschneider et al., 2003

Multipoles de Poisson

e

Expression analytique

aee

Produits scalaires entre ondelettes :

expression analytique simple.

Ondelettes multipoles de Poisson

A collection of functions of H providing a complete and stable

representation of any element of H

H: Hilbert space of functions square integrable on the sphere, with a

harmonic continuation outside.

A representation that may be redundant.

<BA<sBgs,sAΓi

i 0 with 222

A, B : the framebounds.

Discrete wavelet frames

Discrete frames are built by the discretization of a continuous

wavelet transform.

Poisson wavelet frames: Holschneider & Iglewska-Nowak (2007).

Discrete wavelet frames Generation of spherical harmonics:

Let us replace the wavelets with band-limited functions: (l1, l2). This band

corresponds to the effective part of their spectrum.

Dl = number of spherical harmonics up to degree l,

Nl = number of band-limited wavelets with a component of degree <= l.

Degree

Spectrum

l1 l2

Effective part

Nl > Dl

Wavelets represent the

spherical harmonics up to

degree l.

Regular coverage: Nl/Dl ~ constant

Geometric progression of scales : aj = C . j-1

Successive subdivision of the faces of an icosahedron at the center

of a mean sphere.

Point Grids

30

• Simple computation of the points

coordinates,

• Rather homogeneous

density of points,

• No singularities at the

poles.

Hierarchical meshes

Least-squares solution

The potential is modelled as a sum of wavelets: i

ii T V

Minimize the cost function:

22

1)(KW

VbAC

data vector system matrix

observations misfit A-priori smoothness of the potential

Least-squares solution

If the frame is redundant, a purely numerical stabilization may be

needed. To avoid it: regularize the problem by the selection of the

wavelet functions ( adaptative resolution).

Domain decomposition approach

32

Data space Models space H

Des grandes aux moyennes

échelles

Global scale (down to 1250 km) - GRACE

model (SH)

Europe

(30°x30°)

Medium scale (625 – 80 km) - GOCE

gradients (wavelets)

Vxx

Vyy

Vzz

Vxz

Echelles 200-20 km

Echelles 625-80 km.

Zoom sur la France

Vxx

Vyy

Vzz

Vxz

1 an de données (fin 2009 - fin 2010)

rms: 11.6 mE 12,2 mE 15.2 mE 13.9 mE

Résidus / gradients

rms: 0.8 mGal rms: 2,4 mGal rms: 6 mGals, biais -2,4 mGal

Résidus /données sol

Résidus altimétrie

rms :1,5 mGal

Le modèle

35 km

Europe (30°x30°)

1250 km

625 km

312 km

+

Validation

Rms des différences: géoide (GPS nivelé) – géoide (modèle) : 8.8 cm

Complémentarité avec d’autres

données géodésiques &

géophysiques

Valider les modèles et

les données ?

Densifier les mesures

satellitaires avec les

données de surface

Des enjeux

• Construire la meilleure image possible du champ et de ses variations temporelles

• Que peut-on apprendre sur la dynamique de la Terre interne et de ses enveloppes fluides ?

Optimiser globalement

ou localement le rapport

signal/bruit

Séparer les contributions

superposées (enveloppes

fluides, terre solide)

Cycle sismique Les séismes les plus dévastateurs se produisent dans les zones de

subduction épicentre souvent mal couvert par les réseaux sol.

Intérêt de combiner la

sismologie avec la géodésie

et la gravimétrie spatiale.

Cycle sismique dans les zones à risque.

Relaxation post-sismique & viscosité : un paramètre clé

(déformation sous l’effet de charges, convection, …) encore mal

connu.

Jamais autant d’observations n’ont

été disponibles pour comprendre

les grands séismes !

A complex subduction zone,

with an oblique convergence of

the plates.

Séismes de Sumatra (2004/2005)

Large scale

wavelet

Small scale

wavelet

Multipolar

sources

e1 e2

Earth mean sphere

2004 / 2003

2005 / 2004

GRGS solutions (Biancale et al.)

Signal co-sismique

Variation post-sismique Signal co-sismique + 3 mois de post-sismique

600 km 1000 km 1400 km

Séparation du signal sur la base de ses caractéristiques spatio-temporelles a-apriori par analyse en ondelettes.

Variation post-sismique 2005/09

600 km 1000 km 1400 km

Variation post-sismique 2006/03

600 km 1000 km 1400 km

Variation post-sismique 2006/09

600 km 1000 km 1400 km

Variation post-sismique 2007/03

600 km 1000 km 1400 km

Variation post-sismique 2007/09

600 km 1000 km 1400 km

Transient viscosity Steady-state viscosity ha

viscosity hm

Modèle de relaxation post-sismique

1017 1018 1019 1020 1021

Viscosity (Pa.s)

Dep

th (

km

)

0

200

400

600

800

1000

Modèle basé sur

les données GPS

GRACE :

relaxation du

manteau

Transient viscosity Steady-state viscosity ha

viscosity hm

Meilleur modèle

Modèle de relaxation post-sismique

1017 1018 1019 1020 1021

Viscosity (Pa.s)

Dep

th (

km

)

0

200

400

600

800

1000

Résultats I. Panet et al. (2010)

Modèle basé sur

les données GPS

Gravity

Geophysical

observation

Geodesy

Complémentarité avec…

Apport des

gradients GOCE à

la géophysique

Outils d’analyse

spatio-temporelle

Modélisation

spatio-temporelle

du champ

Perspectives

• Construire la meilleure image possible du champ et de ses variations temporelles

• Que peut-on apprendre sur la dynamique de la Terre interne et de ses enveloppes fluides ?

Modèles locaux

combinés à très

haute résolution

Etude du cycle

sismique

Résolution

adaptative