Écol

eN

orm

ale

Supé

rieur

ede

Cac

han

—D

épar

tem

ent

EEA

Modulation FM - Principe, performances, mise-en-œuvre

Julien Gori & Kevin Malleron

ENS de Cachan

Département EEA

jgori@ens-cachan.fr

17 avril 2014

Introduction

On a inventé la FM dans l’idée de réduire la bande passante lors de l’émission d’un signal. Bien que lerésultat soit contraire aux attentes, la modulation de fréquence s’est révélée être intéressante à travers d’autresaspects. On va voir dans ce montage le principe de la FM, puis les performances, en faisant en particulierl’analyse spectrale du signal et sa robustesse par rapport au bruit, avant de voire une mise en oeuvre possibled’un système de transmission par modulation de fréquence.

Notions clés

Pour la MF sur GBF il y a trois paramètres a régler :– sine : fréquence porteuse– FM freq : fréquence du signal modulant fm

– Freq dev : excursion en fréquence �f

Sachant que — = �f

fm

Ne pas confondre fréquence instantanée (grandeur dépendante du temps qui décrit les variations temporellesd’un signal modulé angulairement) et fréquence [ spectrale ] qui décrit le signal dans le domaine de Fourier enterme de raies.

Passage entre phase et fréquence instantanée : Fi = d„i

dt1

2úfi

Le spectre s’étend en théorie sur une BF infinie, mais la majorité du signal utile peut se localiser dans uneBF dite de Carson (98%)

Cette modulation est non linéaire, on ne peut donc pas appliquer de théorème de superposition.

Definition de la modulation de fréquence

Soit la signal s(t) :

s(t) = a(t = cos(2fif0t + „t)

– Modulation angulaire : le signal s(t) est modulé angulairement par le message m(t) si sa phase instantanéeest une fonction linéaire de m(t), et l’enveloppe est indépendante de m(t). On distingue deux types demodulations angulaire, à savoir la modulation de phase (PM) et la modulation de fréquence (FM)

– La phase instantanée du signal est définie telle que : „i(t) = 2fif0t + „t

– La fréquence instantanée du signal définie comme la dérivée de la phase instantanée à 2fi près : Fi(t) =f0 + 1

2fid„(t)

dt

1

ENS-Cachan Montage no 13 Auteur

– Pour faire une modulation de fréquence on impose la fréquence instantanée d’un signal telle que la fré-quence instantanée soir proportionnelle aux variations du signal modulant : Fi(t) = f0 + kf m(t) On endéduit alors la forme du signal suivant

SM (t) = A cos(2fif0t + 2fikf

⁄ t

0m(u)d(u))

Atouts de la FM

Le bruit modifie essentiellement l’amplitude d’un signal, ce qui veut dire que pour des modulations analo-giques, la modulation AM sera beaucoup plus sensible au bruit que la modulation FM. L’atout principal estdonc la robustesse au bruit. On peut aussi remarquer que la modulation est à enveloppe constante puisque c’estcelle d’une sinusoïde (indépendante du signal modulant). Cela implique :

– que la puissance est constante. Si la porteuse est d’amplitude A, la puissance du signal est de A2

2 . L’inrérêtest certain pour la conception des emetteurs (dynamique peu importante)

– que la modulation est résistante aux non linéarités, puisqu’on ne créera que de la puissance dans desmultiples de la porteuse (filtrable)

Analyse spectrale

On sait que l’on doit se limiter en bande de fréquence occupé à un certain canal alloué pour le signal FM,il est donc extrèmement important de connaître le spectre du signal.

Signal modulant sinusoïdal Dans ce cas :

m(t) = Am cos(2fifmt)La fréquence instantanée s’écrit donc :

Fi(t) = f0 + kf Am cos(2fifmt)Cette fréquence varie dans un intervalle [f0 ≠ �f, f0 + �f ]

avec �f = kf Am l’excursion en fréquence

Et la phase instantanée est :

2fif0t + kf Am

fmsin(2fifmt)

On pose alors — = kf Am

fml’indice de modulation.

Le signal MF s’écrit donc :

s(t) = A cos(2fif0t + — sin(2fifmt))On peut développer les calculs et montrer que

s(t) = A

n=+Œÿ

n=≠ŒJn(—) cos(2fi(f0 + nfm)t)

où Jn(—) est la fonction de Bessel de première espèce.Le spectre est donc un ensemble de raies distantes de fm et pondérées par la valeur de la fonction de Bessel

à la valeur —. La représentation du module de la TF du signal en fonction de la fréquence est symétrique parrapport à la porteuse et le nombre de raies sont infinies. Toutefois, Jn(—) est une fonction décroissante et onpeut donc considérer le signal MF comme un signal de largeur de bande limitée.

Indice de modulation faible

SM (t) = A cos(2fif0t + — sin(2 ú fifmt)) = A [cos(2fif0t) ≠ — sin(2 ú fif0t) sin(2fifmt)]

Il y a donc des raies à la fréquence porteuse et aux fréquences f0 + fm et f0 ≠ fm. On reconnait le spectred’une modulation d’amplitude à double bande à porteuse conservée.

Matière 2 Sujet

ENS-Cachan Montage no 13 Auteur

Signal modulant quelconque Comme la modulation est non linéaire, on ne peut pas appliquer de théorèmede superposition. On peut toutefois prédire qu’il y aura des raies à toutes les combinaisons arithmétiquespossibles des di�érentes fréquences contenues dans le signal modulant.

Relevé expérimentaux du spectre On utilise le GBF en mode FM analogique et on observe directementle spectre du signal grâce à la fonction FFT en faisant varier l’indice de modulation dans deux cas di�érents,on obtient les tracés suivants :

Figure 1 – FFT d’un signal MF avec porteuse de 100 kHz - �f = 10 kHz et — = 0.5, 1, 5

Figure 2 – FFT d’un signal MF avec porteuse de 100 kHz - fm = 10 kHz et — = 0.2, 1, 5

Largeur de bande utile

Signal modulant sinusoïdal Plus — est grand, plus un grand nombre de raies apparaissent d’amplitudediverses, déduites des fonctions de Bessel. Pour déterminer la largeur de bande utile, il faut déterminer les raiesd’amplitudes significatives.

On peut prendre plusieurs critères, on choisis ici de garder les raies qui contiennent au moins 98% de lapuissance totale du signal FM, c’est à dire :

P = A2

2 = A2

2#J2

0 + 2J21 + 2J2

2 + ...+$

On obtient donc#J2

0 + 2J21 + 2J2

2 + ... + 2J2N

$Ø 0.98

On peut vérifier grâce aux valeurs de la fonction de Bessel que

N(—) = — + 1

On en déduit donc immédiatement

B = 2(— + 1)fm

Ce calcul ne fournit qu’un ordre de grandeur

Matière 3 Sujet

ENS-Cachan Montage no 13 Auteur

Signal modulant quelconque On adopte les même règles que pour le cas sinusOn mesure à titre de comparaison la bande utile pour une modulation en amplitude et une modulation en

fréquence avec des porteuses et des modulantes identiques :

Figure 3 – FFT d’un signal MF puis MA pour une porteuse de 100 kHz, une fréquence modulante de 10 kHzet un faible indice de modulation — = 0.2. La largeur de la bande utile est quasi-identique

Figure 4 – FFT d’un signal MF puis MA pour une porteuse de 100 kHz, une fréquence modulante de 10 kHzet un indice de modulation — = 3. La largeur de la bande utile est plus importante pour la MF

Mise en oeuvre

Nous allons mettre en oeuvre une modulation et démodulation de fréquence et la bruité afin de montrer sarobustesse. On peut à titre de comparaison cablé une modulation d’amplitude et la bruité.

0.1 Modulation de fréquence

Nous nous intéresserons tout d’abord à la démodulation. Nous utiliserons le bloc PLL (boucle à verrouillagede phase) qui contient un VCO, un comparateur de phase et un emplacement pour le filtre de boucle. L’intéretici n’est pas de dimensionner le montage mais bien de justifié les éléments.

Nous commencerons pas regardé la fréquence centrale du VCO, cela fixera notre fréquence porteuse pournotre modulation.

Le filtre de boucle devra lui nous permettre d’avoir une plage de vérouillage supérieur à 20kHz. Nousconseillons un filtre RC passe bas tel que C = 1nF et R = 5, 6k�.

Pour la modulation, un simple VCO compris dans le GBF modulé par un signal audio, avec une fréquencecentrale égale à celle trouver sur le bloc PLL utilisé.

Ce signal FM sera envoyé dans un bloc canal de transmission prévu pour rajouté du bruit. Ensuite on cableraun filtre de sélection du canal. Un filtre passe bande R puis CL parallèle avec R = 680�, C = 1pF et L = 1mH.Ensuite nous irons dans l’entrée de la PLL, la sortie sera entre le comparateur de phase et le VCO.

Matière 4 Sujet

ENS-Cachan Montage no 13 Auteur

Afin d’observer à l’analyseur de spectre du signal audio il faut le translater en fréquence, pour cela il su�tde multiplier le signal démoduler par une fréquence type 50kHz, on peut ainsi observer ce signal à l’analyseurde spectre.

Manipulation : Nous allons e�ectué une simple écoute du signal audio démodulé en augmentant peu à peule bruit. On comparera qualitativement la FM et la AM face au bruit.

0.2 Modulation d’amplitude

On utilise un multiplieur qui va multiplier directement la porteuse (choisir la même porteuse que pour laFM) et un signal audio. la sortie sera directement envoyé dans un bloc simulant le canal dans lequel on peutajouté du bruit, enfin on e�ectuera de la démodulation hétérodyne, on remultiplie le signal par la porteuse eton filtre avec un pase bas avec fc = 20kHz.

Matière 5 Sujet