MODULE 1 : RESOLUTION D’UN PROBLEME DU PREMIER DEGRE : EQUATIONS

Classe : 2nde bac pro Equations du premier degré à 1inconnue

Objectifs :

Traduire un problème à l’aide d’une équation

Résoudre une équation

Critiquer une solution et rendre compte

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Année 2

012-2

013

Module 1 : Résolution d’un problème du premier degré : Equations P R O B L E M E D U 1 E R D E G R E

I. Activités d’approche

Activité 1 :

Enoncé :

Si j'échange les chiffres de mon âge, j'obtiens l'âge de ma fille. Quand cette dernière est née, j'avais

entre 20 et 30 ans. Mais combien exactement?

Remarque : L’objectif de cette activité est d’expliquer à vos camarades la méthode employée

Résolution :

Activité 2 :

Enoncé :

Rechercher sur le net la définition d’une équation du premier degré à une inconnue.

Remarque : Il faudra savoir l’expliquer et il faudra montrer des exemples

Résolution :

Activité 3 :

Enoncé :

Estelle a compté les Pokémons de 6 de ses copains; elle en a trouvé 527.

Elle a pu constater que :

Pierre en a deux fois plus que Paul;

Paul en a deux fois plus que Matthieu;

Matthieu en a deux fois moins que Jean;

Jean en a deux fois moins que Luc;

Luc en a autant que Jacques.

Ta mission : calculer le nombre de Pokémons de chacun !

Résolution :

Activité 4 :

Enoncé :

Enigme 1 :Il y a autant de moutons dans le tiers de mon troupeau que lorsque 20 d'entre eux le quittent pour aller boire. Combien ai-je de moutons dans mon troupeau ?

Enigme 2 : Dans mon porte-monnaie, j'avais une certaine somme. J'en ai dépensé le tiers et y ai remis 2 . Quelque temps après j'ai dépensé le quart de son contenu et il me restait alors 6 . Combien contenait donc initialement mon porte-monnaie ?

Enigme 3 : Dans une salle de permanence d'un collège, un tiers des élèves s'adonne aux mathématiques, un quart a préféré apprendre la leçon de géographie et le reste, 10 élèves, bavarde en attendant que ça sonne.... Combien y a-t-il d'élèves dans la salle ?

Enigme 4 : Après une évaluation, une classe a été répartie en 4 groupes : 15% dans le groupe 1, 40% dans le groupe 2, un quart dans le groupe 3 et le reste, 6 élèves, dans le groupe 4. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?

Activité 5 :

Enoncé :

En allant sur le net, donner toutes les méthodes de résolution possible d’une équation du premier degré à 1 inconnue

II. Activités d’approche (Version prof)

Activité 1 :

Enoncé :

Si j'échange les chiffres de mon âge, j'obtiens l'âge de ma fille. Quand cette dernière est née, j'avais

entre 20 et 30 ans. Mais combien exactement?

Remarque : L’objectif de cette activité est d’expliquer à vos camarades la méthode employée

Résolution :

On note x le chiffre des dizaines de mon âge, et y le chiffre des unités.

On sait que xy-yx est compris entre 20 et 30, puisque cela correspond à la différence des 2 âges.

Or, on vérifie facilement que xy-yx=10*x+y-10*y-x=9*(x-y) est donc un multiple de 9.

J'avais donc 27 ans le jour de la naissance de ma fille.

Activité 2 :

Enoncé :

Rechercher sur le net la définition d’une équation du premier degré à une inconnue.

Remarque : Il faudra savoir l’expliquer et il faudra montrer des exemples

Résolution :

Toute équation d’inconnue « x » pouvant s’écrire, après transformation sous forme ax + b = 0 est une équation du premier degré à une inconnue.

Si a 0, l’équation du 1er degré à une inconnue ax + b = 0 admet pour unique solution le nombre - b

a.

4 x + 6 = 0 ; x x ; x ; … sont des équations du premiers degré dont l’inconnue est x.

L’équation x a pour unique solution x = -

Exemple : Résoudre l’équation suivante : x – 2 ( x + 5 ) = 8 + 3 ( x - 2 )

Activité 3 :

Enoncé :

Estelle a compté les Pokémons de 6 de ses copains; elle en a trouvé 527.

Elle a pu constater que :

Pierre en a deux fois plus que Paul;

Paul en a deux fois plus que Matthieu;

Matthieu en a deux fois moins que Jean;

Jean en a deux fois moins que Luc;

Luc en a autant que Jacques.

Ta mission : calculer le nombre de Pokémons de chacun !

Résolution :

Si on note N le nombre de Pokémons de Jean, on a :

Copains Pierre Paul Matthieu Jean Luc Jacques total

Nombre 2N N N/2 N 2N 2N 527

On en déduit l'égalité : 8,5 x N = 527, par conséquent N = 62 et finalement :

Copains Pierre Paul Matthieu Jean Luc Jacques total

Nombre 124 62 31 62 124 124 527

Activité 4 :

Enoncé :

Enigme 1 :Il y a autant de moutons dans le tiers de mon troupeau que lorsque 20 d'entre eux le quittent pour aller boire. Combien ai-je de moutons dans mon troupeau ? Si x désigne le nombre cherché, on a x/3 = x - 20, d'où 2x = 60; x =30.

Enigme 2 : Dans mon porte-monnaie, j'avais une certaine somme. J'en ai dépensé le tiers et y ai remis 2 . Quelque temps après j'ai dépensé le quart de son contenu et il me restait alors 6 . Combien contenait donc initialement mon porte-monnaie ? Si S désigne la somme cherchée exprimée en euros, avant la seconde dépense, il restait 2S/3 + 2. Après la seconde dépense les 3/4 de ce reste égalent 6. Donc 3(2S/3 + 2)/4 = 6. J'avais 9 .

Enigme 2 : Dans une salle de permanence d'un collège, un tiers des élèves s'adonne aux mathématiques, un quart a préféré apprendre la leçon de géographie et le reste, 10 élèves, bavarde en attendant que ça sonne.... Combien y a-t-il d'élèves dans la salle ? Si x désigne le nombre cherché, on a x - x/3 - x/4 = 10, d'où 5x = 120; x = 24.

Enigme 3 : Après une évaluation, une classe a été répartie en 4 groupes : 15% dans le groupe 1, 40% dans le groupe 2, un quart dans le groupe 3 et le reste, 6 élèves, dans le groupe 4. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ? Un quart correspond à 25% et 15 + 40 + 25 = 80. Donc 6 élèves correspondent à 20% de x, d'où Il y a 30 élèves dans cette classe. En termes d'équation, on serait conduit à écrire : x - 15x/100 - 40x/100 - x/4 = 6, soit 20x/100 = 6.

Activité 5 :

Enoncé :

Aller sur le net à l’adresse suivante :

http://college-lamartine-bischheim.com/redirection.php3?lien=http://membres.lycos.fr/francoisloric

Remarque : Donner toutes les méthodes de résolution possible d’une équation du premier degré à 1 inconnue

III. Méthode de résolution

1. Définition

Une équation du premier degré à 1 inconnue est une égalité comportant 1 inconnue exprimée à l’aide

d’une lettre. Chaque équation est formée de 2 membres qui contiennent chacun 1 ou plusieurs termes.

Exemple : Résoudre l’équation suivante : 12x-7=8x+5

En fait, il faut chercher la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie

2. Méthode pour mettre un problème en équation

Pour mettre en équation un problème, il faut traduire son énoncé par une égalité

Exemple : Léa a 25 ans de moins que son père. A eux deux ils ont 43 ans. Quel âge ont-ils ?

Grandeurs cherchées : Ages de Léa et de son père

Choix de l’inconnue x représente l’âge du père de Léa

Relations entre les grandeurs Léa a 25 ans de moins : x-25

43 ans à eux deux x+(x-25)=43

D’où l’équation : 2x-25=43

3. Résolution d’une équation

Résoudre une équation consiste à écrire successivement des équations équivalentes à celle donnée jusqu’à

obtenir une égalité de la forme x=4

On résout une équation en développant, et réduisant les produits présents dans l’un ou l’autre des membres

de l’équation

On écrit l’équation équivalente à celle obtenue en regroupant les termes inconnus dans un membre et les

termes connus dans l’autre membre

On réduit les termes semblables afin d’obtenir une équation de la forme ax=b

On conclue en donnant la solution de l’équation :

On vérifie la solution

Remarque : Si a=0, on peut dire que :

Si b≠0, l’équation n’admet pas de solution

Si b=0, tout réel x est solution

III Exemples types de résolution d’équations

1. Equation du type : x-4=2

Consigne : on place tous les nombres dans le même membre de l’équation, en changeant le signe du

nombre qui change de membre

x-4+4=2+4

x=6

S={6}

2. Equations du type :

=8

Consigne : dans ce cas, le nombre multiplicateur de x, va diviser le membre de droite sans changer de

signe

x=8X4

x=32

S={32}

3. Equation du type : -8x-4=-5

Consignes :

* on place tous les nombres dans le même membre de l’équation, en changeant le signe du nombre qui

change de membre

* le nombre multiplicateur de x, va diviser le membre de droite sans changer de signe

-8x+4-4=-5+4

-8x=-1

S={

4. Equation du type

+5

Consignes :

* on place tous les nombres dans le même membre de l’équation, en changeant le signe du nombre qui

change de membre, on place toutes les inconnues dans le même membre en changeant le signe

*On met sous le même dénominateur toutes les inconnues

* le nombre multiplicateur de x, va diviser le membre de droite sans changer de signe

S={

Travaux dirigés 1 : Les équations du premier degré à 1 inconnue

EXERCICE 1 :

Résoudre ces équations

a) x + 3 = 6 b) x + 5 = -6 c) x + 3 = -8

d) x - 4 = 2 e) x - 8 = 10 f) x - 1 = -4

EXERCICE 2 :

Résoudre ces équations.

a)3x = 6 b)-x = 8 c)-4x = -5

d) e)

EXERCICE 3

Résoudre ces équations a) 3x - 4 = 8 b) -5x + 7 = 6

c) - 2 = -7.

EXERCICE 4

1. Imaginer une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution x = 3 . 2. Imaginer une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution t = -2 .

EXERCICE 5

Indiquer si les équations suivantes ont les mêmes solutions.

a) x + 2 = 3 4x + 8 = 12

b) x -3 = -5 -6x + 18 =30

c) x + 4 = 7 5x +20 = 7

d) x + 5 = 11

EXERCICE 6

Résoudre ces équations.

a) 3x - 6 ( 3 - 4x ) = 9x - 2 b) 3x - 2x ( x - 1 ) = -2x² +7x -12 c)

d) e) f)

EXERCICE 7

Problème de fleurs Un fleuriste propose à ses clients d'emporter gratuitement un bouquet de cinq roses, quatre iris et six tulipes, dont le prix est 35 €, à condition de trouver le prix unitaire de chaque fleur. Pour cela, il donne les renseignements suivants. Le prix d'un iris est la moitié du prix d'une rose. Le prix d'une tulipe est le triple du prix d'une rose. Pour résoudre ce problème, complète d'abord ce tableau.

Langage courant Langage mathématique

Prix d'une rose x

Prix de cinq roses

Prix d'un iris

Prix de quatre iris

Prix d'une tulipe

Prix de six tulipes

Prix du bouquet

Ecrire une équation. La résoudre.Conclure .

EXERCICE 8

Problème de moyenne Béatrice a eu deux notes en mathématiques . Entre les deux, elle a progressé de quatre points et sa moyenne est de 13 . Quelles sont ces deux notes ?

EXERCICE 9

Une entreprise occupe 320 personnes. Sachant qu'il y a trois fois plus d'hommes que de femmes, calculer le nombre d'hommes et le nombre de femmes employés dans cette entreprise.

EXERCICE 10

Problème d'argent

Je dépense le quart de mon salaire pour mon logement et les deux cinquièmes pour la nourriture.

Il me reste 378 € pour les autres dépenses .

Calculer mon salaire mensuel .

Correction du travaux dirigé 1

EXERCICE 1

a) x = 6 - 3 = 3 b) x = -5 -6 = -11 c) x = -3 -8 = -11

d) x = 4 + 2 = 6 e) x = 8 + 10 = 18 f) x = 1 -4 = -3

EXERCICE 2

a)x = 6/3 = 2 b)x = -8 c)x = (-5)/(-4) = 5/4

d)x = 15 e)x = 14

EXERCICE 3

a) 3x = 4 + 8 donc : 3x = 12 donc : x = 12/3 = 4. La solution de l'équation est 4. b) -5x + 7 = 6 donc : -5x = 6 - 7 donc : -5x = -1 donc : x = 1/5 La solution de l'équation est 1/5.

c) = -7 + 2

donc : = -5 donc : x = -20. La solution de l'équation est -20.

EXERCICE 4

1. L'équation du premier degré à une inconnue qui admet x = 3 pour solution est: x - 3 = 0. 2. L'équation du premier degré à une inconnue qui admet t = -2 pour solution est: t + 2 = 0.

EXERCICE 5

a) OUI b) OUI c) NON d) OUI

EXERCICE 6

a) 3x - 18 + 24x = 9x - 2 donc : 3x + 24x - 9x = -2 + 18 donc : 18x = 16 donc : x = 16/18 = 8/9. La solution de l'équation est 8/9. b) 3x - 2x² + 2x = -2x² + 7x - 12 donc : 3x + 2x - 7x = -12 donc : -2x = -12 donc :x = 6 La solution de l'équation est 6. c) En multipliant l'égalité par 7, on obtient: 2x - 3 = 3x - 14x

donc : 2x + 14x - 3x = 3 donc : 13x = 3 donc : x = 3/13 La solution de l'équation est 3/13. d) En multipliant l'égalité par 12, on obtient: donc : 8(x - 4) = 3 × 5 - 12 × 7x donc : 8x - 32 = 15 - 84x donc : 8x + 84x = 15 + 32 donc : 92x = 47 donc : x = 47/92 La solution de l'équation est 47/92. e)En multipliant l'égalité par 4, on obtient: donc : x - 2 = 5x - 4x donc : x - 5x + 4x = 2 donc : 0 = 2 L'égalité étant impossible, l'équation n'a pas de solutions. f)En multipliant l'égalité par 4, on obtient: donc : 2 × 3 - 7x = 2 × 5(2 - x) - 4 donc : 6 - 7x = 20 - 10x - 4 donc : -7x + 10x = 20 - 4 - 6 donc : 3x = 10 donc : x = 10/3 La solution de l'équation est 10/3.

EXERCICE 7

Problème de fleurs Remplissons le tableau :

Langage courant Langage mathématique

Prix d'une rose x

Prix de cinq roses 5x

Prix d'un iris x/2

Prix de quatre iris 2x

Prix d'une tulipe 3x

Prix de six tulipes 18x

Prix du bouquet 5x + 2x + 18x

On sait d'après le fleuriste que le bouquet coûte 35 euros, et d'apès notre tableau, ce même bouquet coûte: 5x + 2x + 18x. Donc, nous pouvons écrire l'équation suivante: 5x + 2x + 18x = 35. Résolvons cette équation: 25x = 35 Donc x = 35/25 = 1,4. D'où : Une rose coûte 1,40 euros. Un iris coûte : 1,4/2 = 0,70 euros. Une tulipe coûte : 1,4 × 3 = 4,20 euros. Nous pouvons vérifier si notre résultat est juste : cinq roses, quatre iris et six tulipes coûtent, d'après nos résultats: 5 × 1,4 + 4 × 0,7 + 6 × 4,2 = 35 euros. C'est bien le prix annoncé par le fleuriste.

EXERCICE 8

Soit x la première note de Béatrice. Comme entre les deux notes, elle a progressé de quatre points, sa deuxième note est x + 4.

La moyenne de ces deux notes est : Or, nous savons que cette moyenne vaut 13. Nous pouvons donc écrire l'équation suivante:

= 13 En multipliant cette égalité par 2, on obtient: x + (x + 4) = 26 Donc : 2x = 26 - 4 Donc : 2x = 22 Donc : x = 11 Nous pouvons donc conclure : Les deux notes de Béatrice sont : 11 et 11 + 4 = 15. Nous pouvons vérifier que ces deux notes nous donnent bien une moyenne de 13 : (11 + 15)/2 = 26/2 = 13. Notre résultat est donc correct.

EXERCICE 9

Soit x le nombre de femmes dans l'entreprise. Sachant qu'il y a trois fois plus d'hommes que de femmes, nous pouvons donc écrire que le nombre d'hommes dans l'entreprise est 3x. Sachant que l'entreprise occupe 320 personnes, nous pouvons donc écrire l'équation suivante: x + 3x = 320 Donc : 4x = 320 Donc : x = 320/4 C'est-à-dire, x = 80. L'entreprise compte donc 80 femmes et 3 × 80 = 240 hommes. Nous pouvons vérifier notre résultat: 80 + 240 = 320 personnes. Le résultat est donc correct.

EXERCICE 10

Soit x mon salaire mensuel.

Je dépense 1/4 × x pour mon logement, (2/5) × x pour la nourriture et 378 pour les autres dépenses.

Je peux donc écrire l'équation suivante:

1/4 × x + (2/5) × x + 378 = x.

En multipliant cette égalité par 20, on obtient:

5x + 8x + 7560 = 20x

Donc : 5x + 8x - 20x = -7560

Donc : -7x = -7560

Donc : x = 1080

Conclusion: mon salaire mensuel est de 1 080 euros.

Année 2012-2013

Devoir de mathématiques 1

Résoudre les équations suivantes

a) x + 3 = 6 b) x + 5 = -6 c) x + 3 = -8

d) x - 4 = 2 e) x - 8 = 10 f) x - 1 = -4

1. Résoudre dans I R les équations suivantes.

a. -3x = 9

b. x – 7 = 3

c. -2x + 4 = -1

d. 2x + 7 = 5 – 3x

e. 2( 3x – 5 ) = 4x –3

f. 6x – ( 11 – 2x ) = x– 3

L.P Pierre André Chabanne Année 2012-2013

2PMei

Matériels autorisés :

* Règle graduée

* Calculatrice

Consignes :

* Ne rien inscrire sur l’énoncé car celui ci

ne sera pas corrigé

* A la fin de l’épreuve, rendre votre copie et

coller l’énoncé partie exercice

* Tout résultat correct non justifié comptera

pour la moitié des points

* La note finale comportera un point de

présentation au maximum

2. Résoudre l’équation :

2x – 1

3 -

x – 3

4 = 1 +

2x + 2

12

Les dépenses d’une famille ont été les suivantes :

1

4 du salaire pour le loyer

3

5 pour la nourriture et l’habillement

1

20 pour les dépenses diverses.

Il reste alors 100 €. Quel est le salaire mensuel ?

Trois usines se partagent un lotissement de 5000ha. La première a deux fois plus de terrain que la deuxième. La troisième loue sa parcelle 38000 € par mois à 80 € l’hectare. Quelle est la part de terrain de chaque usine ?