Partie
Module 2
Fondamentaux d’Analyse
Année universitaire 2009-2010
Cléo BARAS
cleo.baras@ujf-grenoble.fr
IUT1 Réseaux et Télécoms - 1ère année
1 / 130
Partie Introduction
Les Maths en RT
▶ Objectif : Maîtriser les outils mathématiques utiles pour les
réseaux et les télécoms
▶ Les modules :
▶ M1 (S1) : « Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie »
▶ M2 (S1) : « Fondamentaux d’analyse »
▶ M3 (S1) : « Calcul intégral et équations différentielles »
▶ M4 (S2) : « Éléments de mathématiques appliquées »
▶ M5 (S2) : « Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier »
▶ M6 (S3) : « Mathématiques pour le signal discret »
▶ MC1 (S4) : « Algèbre linéaire » (PE)
▶ MC2 (S4) : « Probabilités »
2 / 130
Partie Introduction
Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)
▶ Calendrier : 30 heures
▶ 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30), 1 DS (1h30)
Semaine 43 44 45 46 47 48 49 50
Cours 3h v 3h 1h30 1h30 1h30
TD v 3h 3h 4h30 1h30 3h
TP 3h
DS 1h30
▶ Évaluation
▶ Contrôle continue : coeff 20%
▶ Compte rendu de TP : coeff 30%
▶ DS final : coeff 50%
3 / 130
Partie Introduction
Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)
▶ Encadrants TD
▶ Amélie LELONG, amelie.lelong@gipsa-lab.inpg.fr
▶ Mathieu PARVAIX, mathieu.parvaix@gipsa-lab.inpg.fr
▶ Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr
▶ Documentation
http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM2/
login : n˚ groupe TD
mot de passe : n˚ carte étudiant
4 / 130
Partie Introduction
Objectifs du module
1. Maîtriser la notion fonctionnelle et les outils d’étude des
fonctions :
▶ limites, dérivées, graphe, ...
2. Maîtriser les outils d’approximation de fonctions :
▶ équivalence, développements limités
3. Connaître les fonctions usuelles utilisées en RT et leurs
propriétés :
▶ logarithmes, exponentielles, sinus cardinal
Sans calculatrice...
5 / 130
Partie Introduction
Pourquoi faire ce module
1. Faciliter les calculs en RT
Électronique, Télécom
▶ Éviter d’être bloqué
▶ Avoir les outils/réflexes adéquates
2. Comprendre rapidement des formules complexes à partir des
fonctions mathématiques simples
Électronique, Télécom
3. Développer la rigueur
Informatique
6 / 130
Partie Introduction
Les Maths selon ...
1. Les Maths, c’est comme le ski, çà s’apprend par la pratique
(Luc Alphand)
2. Les Maths, c’est savoir se poser des questions
(Fred & Jami)
3. Un matin un matheux m’a dit tout est possible
Que tous les rêves du monde te seront accessibles ...
(Ridan)
4. ... Ecoute ce message et le dis pas à ton voisin
(Pas Ridan)
7 / 130
Partie Introduction
Plan du cours
1. Généralités sur les fonctions de la variable réelle
2. Limites
3. Continuité et dérivation des fonctions de la variable réelle
4. Étude de fonctions
5. Développements limités
8 / 130
Partie Généralités sur les fonctions
Première partie I
Généralités sur les fonctions
9 / 130
Partie Généralités sur les fonctions
Plan : Généralités sur les fonctions
Définitions
Fonctions
Ensembles
Graphe
Règles de définition
Fonction paramétrée
Catalogue de fonctions
Fonctions "simples"
Fonctions "avancées"
Racines n-ièmes
Fractions rationnelles
Logarithmes
Exponentielle
Opérations sur les fonctions
Exercices type
10 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Fonctions
Définitions : Fonction
Définition : FONCTION
Une fonction f est une relation qui relie chaque élément x d’un
ensemble de départ Ef avec au plus un élément y d’un ensemble
d’arrivée Af . L’élément y se note f (x).
Notation : f :
{
Ef −→ Af
x 7−→ y = f (x)
Définition : IMAGE ET ANTÉCÉDENT
▶ y = f (x) est l’image de x par f
▶ x est un antécédent de y = f (x) par f
Exemple : carre :
{
IR −→ IR
x 7−→ x2
11 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Ensembles
Définitions : Ensemble de définition, image
Définition : ENSEMBLES DE DÉFINITION Df , IMAGE If
▶ L’ensemble de définition Df de f est le sous-ensemble de Ef
constitué par les x qui ont une et une seule image par f :
Df = {x ∈ Ef/f (x) existe }
▶ L’ensemble formé par les images de tous les éléments x de Df
par f est appelé ensemble image If :
If = {f (x) ∈ Af/x ∈ Df}
Exemple : carre :
{
IR −→ IR
x 7−→ x2 , Dcarre = IR, Icarre = IR
+
12 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Graphe
Définitions : Graphe géométrique
Définition : GRAPHE GÉOMÉTRIQUE
Le graphe géométrique Gf de f est l’ensemble des points M du plan
P, d’abscisse x et d’ordonnée y = f (x), tel que x ∈ Df :
Gf = {M(x , f (x)) ∈ P/x ∈ Df}
Exemple : Cube restreint :{
[−3; 3] −→ IR
x 7−→ x3
13 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Règles de définition
Règle de définition et variable muette
Définition : RÈGLE DE DÉFINITION
La règle de définition de f est l’expression de l’image y de x par f
en fonction de x , autrement dit l’expression de f (x)
Exemple : f (x) =
x + 2
3x2 − 5
Remarques :
▶ Dans f (x), x est une variable muette
▶ Pour calculer l’image de n’importe quel réel toto, il suffit
d’utiliser la règle de définition en remplaçant x par toto
Exemple : f (toto) =
toto + 2
3toto2 − 5
14 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Fonction paramétrée
Fonction paramétrée
Définition : FONCTION PARAMÉTRÉE
Une fonction f peut être définie en fonction d’un paramètre P ; sa
règle de définition est alors notée fP(x).
Exemple :
▶ Fonction porte ΠT (t) :
ΠT (x) =⎧⎨⎩ 0 , si t < −T/21/T , si − T/2 ≤ t < T/20 , si T/2 < t
15 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Catalogue de fonctions
Brainstorming
▶ Quelle fonction connaissez-vous ?
16 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "simples"
Catalogue des fonctions "simples"
Fonction f Expression Df If
constante f (x) = c IR IR
identité f (x) = Id(x) = x IR IR
affine f (x) = ax + b IR IR
Monôme f (x) = xn IR IR
polynomiale f (x) = a0 + a1x + ...+ anxn IR IR
Racine carrée f (x) =
√
x IR+ IR+
Inverse x 7−→ 1
x
IR∗ IR∗
Sinus f (x) = sin(x) IR [−1; 1]
Cosinus f (x) = cos(x) IR [−1; 1]
Tangente f (x) = tan(x) =
sin(x)
cos(x)
IR ∖
{�
2
+ k�, k ∈ ZZ
}
IR
17 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "simples"
Exemples d’application
▶ En électronique :
▶ Fonction affine :
U = f (I) = −R.I + E
▶ Fonction carrée :
P = f (I) = R.I2
+
−
I
RU
▶ En télécommunications :
▶ Sinus : s(t) = e(t) sin (2�ft + �)
▶ Racine carrée : TEB = 12 erfc
(√
Eb
N0
)
▶ En réseaux :
▶ Polynôme : P(x) = 1 + x2 + x7
18 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Catalogue des fonctions "avancées"
Rappel sur les fonctions :
▶ Racines n-ième
▶ Fractions rationnelles
▶ Logarithmes
▶ Logarithme népérien
▶ Logarithme à base 10
▶ Exponentielles
▶ Exponentielle
▶ Monômes de puissances réelles
▶ Fonctions puissances
Plus tard :
▶ Fonctions trigonométriques : Arccos, Arcsin, Arctan
19 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Racines n-ièmes
Racines n-ièmes
f (x) = x
1
n = n
√
x avec n ∈ IN∗
▶ Déf. :
▶ Df = IR+ si n pair
▶ Df = IR si n impair
▶ Image :
▶ If = IR+ si n pair
▶ If = IR si n impair
▶ Prop. math. :
▶ n⋅m
√
x = n
√(
m
√
x
)
▶
n
m
√
x = n
√
(xm)
▶ n
√
(x ⋅ y) = n
√
x ⋅ n
√
y
▶ n
√
x/y = n
√
x/ n
√
y
20 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Fractions rationnelles
Fractions rationnelles
f (x) =
Num(x)
Denom(x)
=
a0 + a1x + ...+ anxn
b0 + b1x + ...+ bmxm
▶ Déf. : Df = l’ensemble
des réels x tel que
Denom(x) ∕= 0
▶ Image : dépendante
des limites de f
▶ Pôles/Zéros
21 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
