Module d'Young K. Wolski

Mars 2004 Le module d'Young et la limite d'élasticité sont les deux caractéristiques principales des matériaux de structure fonctionnant dans le domaine élastique (ski, éléments de structure de bâtiment, bras de suspension, pâle d'hélicoptère, aile d'avion,… tous pouvant être assimilés à des poutres aux extrémités libres ou encastrées).

Le dimensionnement des structures repose sur la vérification des conditions de : - rigidité : le changement de forme de la structure ne peut pas dépasser une certaine valeur seuil, fixée dans les cahiers de charges, - solidité : la contrainte imposée doit être inférieure à la limité d'élasticité du matériau. Le but de cet exercice est de montrer que la valeur numérique du module d'Young peut être déduite du potentiel d'interaction entre les atomes. Par la suite, nous tenterons de minimiser la masse d'une structure à rigidité imposée et d'optimiser le module d'Young des composites. 1. Le potentiel d'interaction U de 2 atomes distants de r dans une liaison iono-covalente s’écrit :

������������ ==+−= ����

���

�� (1)

On suppose que ces atomes forment une molécule stable avec une énergie de liaison de - 4 eV pour une séparation de 0,3 nm.

- calculer A et B, - tracer les courbes U(r) et F(r).

On dispose de deux conditions pour calculer les constantes A et B : 1° on connaît l' énergie de liaison de - 4 eV pour une séparation de 0,3 nm

��� ��

��� +−= donc

��� ������ ������������������ �� +−= (2)

2° la force totale (qui est la dérivée de l'énergie par rapport à la distance) au point d'équilibre est nulle (c'est-à-dire les forces : attractive et répulsive, s'équilibrent)

������

����� +−+− ⋅⋅−⋅⋅=+−∂

∂=∂∂= �� ������

��

��

���� donc

��� �����

������ ⋅−⋅= �� (3)

(2) et (3) donnent

A = 7,21*10-20 [J*nm2] B = 9,46*10-25 [J*nm2]

-1,20E-08

-7,00E-09

-2,00E-09

3,00E-09

8,00E-09

1,30E-08

0,2500 0,3000 0,3500 0,4000

(dF/dr)(r-r0)

F( r )

Fig. 1. F(r) - force en [N] en fonction de la distance entre les deux atomes en [nm] (dF/dr)(r-r0) – développement autour de r0. U(r) est une courbe de plus classiques avec un minimum d'énergie à r = 0,3 nm.

2. En se rappelant la loi de Hook (cours MMCE) dans son expression la plus simple, analyser le comportement de cette liaison en "traction-compression" uniaxiale,

En élasticité linéaire �

� ��

�

���

� −⋅= avec F [N] force (4)

S [nm2] section r-r0 [nm] allongement r0 [nm] longueur initiale E [GPa] module de Young On peut aussi écrire σ=ε*E avec σ [MPa] contrainte (5) ε [MPa] déformation On supposera que cette liaison se comporte de façon linéaire autour du point d'équilibre r0.

- déduire de cette analyse l'expression du module d'Young, - calculer sa valeur numérique, est-elle raisonnable?

Supposons un matériaux ayant cristallisé dans un système cubique simple avec une distance r0 entre les atomes. Imaginons un plan de type (200) qui sépare ce cristal en deux parties. Chaque liaison coupée par ce plan assure la cohésion sur une section de r0 * r0 . Par ailleurs, nous connaissons l'expression de la force entre les atomes (cf. éq.(3)) :

�������

���������

�����

��

�

��

���

−− ⋅−

⋅= (6)

En écrivant le développement limité autour de r0 on obtient :

�����������

����������

����������� ���

�

��

��

��

��

����

�����

−⋅⋅⋅

+⋅⋅

−=−⋅=−−

= (7)

������������������������ ��

����

�

�������

��

−⋅⋅=−⋅==

(8)

En admettant cette linéarité entre la force et l'allongement, on peut utiliser la loi de Hook (4) :

����

������

����

�

�

��

��

�

��

�

���� −⋅=

−⋅=

et on obtient

������� ����������

��������

�������

�����

���

�

�� =⋅

⋅−=

−⋅= =

����

�

���� ,

ce qui est élevé mais raisonnable. A titre de comparaison le module de Young de l'acier "au carbone" vaut 210 GPa.

- évaluer la contrainte de rupture, en considérant un modèle simplifié du matériau, de type cubique simple, est-il raisonnable? pourquoi? Nous venons de considérer notre liaison autour du point d'équilibre, où pour une déformation donnée (par exemple de 1%, c'est-à-dire ∆r = 0,003 nm), la force peut être exprimée : - soit par la formule exacte (6), - soit par la formule approchée (8). L'écart à la linéarité pour une déformation de 1% est déjà de 7,5% L'écart à la linéarité pour une déformation de 0,1% est de 0,5%, on peut donc admettre la loi de Hook et évaluer la contrainte pour cette faible déformation à partir de l'équation 5 à

σ=ε*E= 0,001*473000 [MPa] = 473 MPa, ce qui est raisonnable.

Par contre, la rupture n'interviendra que pour une déformation à priori largement supérieure à 1%. La condition de rupture peut être écrite sous forme :

, ��������

���������

�����

��

�

��

=⋅

−⋅

=−−

�����

���� (9)

����������

����������

������

��

�

��

=⋅⋅

+⋅⋅

=−−

������ , d'où

r = 0,353 nm. Il s'agit d'une déformation de 17,6%, ce qui serait énorme pour le domaine élastique. La force correspondante à r = 0,353 nm peut être calculée à partir de l'équation (6), on obtient F = 2,39*10-9 N ce qui correspondrait à une contrainte nominale (par rapport à la section initiale 0,3*0,3 nm2) de 26,5 GPa! Les mécanismes de plasticité ne le permettront pas. 3. On revient dans le domaine de l'élasticité linéaire et on considère une poutre encastrée de section carrée e2, de longueur l et fléchissant librement d'une hauteur f, sous l'effet d'une force ponctuelle F (cf le schéma ci-dessous) :

f

F

lf

F

l�

La RdM nous donne l'expression de ce fléchissement : �

��

��

� � ⋅

⋅⋅= . (11)

Dans ce problème sont imposés par le cahier de charges : la longueur l = 1m, la charge F = 300 kG, la flèche maximale f = 5 mm, et la forme de la section (carrée, mais e reste à déterminer). On recherche un matériau (parmi ceux du tableau ci-dessous) permettant de minimiser la masse de la poutre.

E (GPa) ρ (kg/m3) Béton E20 20 2400 Bois (contreplaqué) 5,5 800 Acier au carbone 210 7800 Aluminium (7075) 72 2810

Corrigé Données l = 1m F= 300 kG S = e*e (section carré "e" à optimiser) f = 5mm (flexion maximale autorisée par le cahier des charges)

- exprimer la masse de la poutre en fonction des paramètres du cahier des charges d'une part et du matériau d'autre part, Corrigé Exprimons la masse de la poutre : ρ⋅⋅= �� � (12)

L'expression (11) nous permet d'exprimer : ��

� � ⋅

⋅⋅=

�

��

(13)

A partir de (12), (13) on obtient : ��

�

��

� �

ρρ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

⋅=�� ��

avec : (14)

- le premier terme qui dépend du cahier des charges - le second terme qui ne dépend que des propriétés du matériau.

- quelle est la combinaison de propriétés de matériaux qui permet de minimiser la masse pour une rigidité imposée? Corrigé C'est le second terme ci-dessus qui est à minimiser pour minimiser le poids de la structure.

- quel est le meilleur matériau pour l'application considéré, discutez le classement obtenu, Corrigé

Reprenons le tableau de l'énoncé et calculons le terme �ρ :

E (GPa) ρ (kg/m3) �ρ Béton E20 20 2400 536 Bois (contreplaqué) 5,5 800 341 Acier au carbone 210 7800 538 Aluminium (7075) 72 2810 331

Bois et aluminium constituent des très bons candidats, mais le bois n'est pas toujours imputrescible et l'aluminium risque d'être trop cher pour les applications terrestres, par contre Al sera excellent pour les structures en aéronautique. L'acier et le béton perdent le match mais ils survivront dans le BTP.

- calculer la masse et la section de la poutre de masse minimale, Corrigé En utilisant les unités SI pour tous les paramètres de la formule (14) on peut la réécrire :

���

� �

ρρ ⋅=⋅⋅⋅

= ������� �

.

Pour la poutre en aluminium (attention au facteur de conversion de GPa en Pa)

������������������������������

���

� =⋅⋅=⋅= ρ

�!��� �����"���������� =⋅=⋅= ρ

��

Vérification

�!���������� ������ �

"�����������

�

�

�

=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=��

� �

- comment augmenter le module d'Young du matériau choisi? Utiliser des matériaux composites, par exemple à fibres longues, ou un composite à renforcement par particules (plaquette, wiskers) de type Al-SiC.

4. Rigidité d'un composite à fibres longues On considère un composite unidirectionnel à fibres longues. Une fraction volumique fv de fibres de module Ef est insérée dans une matrice de module Em. Donnez l'expression du module Ecomp du composite dans le cas simple où la sollicitation est parallèle aux fibres. Corrigé

Force

Af – surface des fibres en coupeAm – surface de la matrice en coupeAcomp = Af + Am – section totale

Ef – module des fibresEm – module de la matriceEcomp = ?

Force

Af – surface des fibres en coupeAm – surface de la matrice en coupeAcomp = Af + Am – section totale

Ef – module des fibresEm – module de la matriceEcomp = ?

� Conditions aux limites (curieusement les étudiants ont souvent du mal à les poser et à les justifier) : 1° La déformation des fibres, de la matrice et du composite est la même : ��� εεε == (15) 2° La force totale appliquée est transmise en partie par les fibres et en partie par la matrice,

ce qui donne : ��� ��� += (16) d'où :

��� ��� ⋅+⋅=⋅ σσσ

��������� ������ ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ εεε

en utilisant la condition (15) ������ ������ ⋅+⋅=⋅

��

�����

��

�����

+⋅+⋅

=

Réponses : (1) : A= 7,2.10-20 J.nm2; B = 9,4.10-25 J.nm10; Fcritique = 2,39.10-9N; rcr = 0,353 nm, (2) : E = 473 GPa, (3) : Aluminium, m = 16,06 kg, e = 75,6 mm, (4) : Solution à donner en fin de TD.