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Mcanique Analytique
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MOMENTS ET PRODUITS D'INERTIE
Moment d'ordre n :
Ordre 0 : Masse totale du systme
Ordre 1 : Coordonnes du centre de masse
Ordre 2 : Etude de l'nergie cintique d'un solide en rotation
autour d'un axe fixe.
= DdmMdmxMx
D
iiG =dmr
D
2
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2
ENERGIE CINETIQUE DUN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR DUN AXE FIXE
d2
22
22
2
I21
dmr21
dmr21
rv avec dmv21T
=
=
=
==
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3
MOMENTS DINERTIE (TABLE 1)
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4
MOMENTS DINERTIE (TABLE 2)
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5
MOMENTS DINERTIE (TABLE 3)
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6
MOMENTS DINERTIE (TABLE 4)
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7
EFFETS DU MOMENT DINERTIE (1)
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8
EFFETS DU MOMENT DINERTIE (2)
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9
MOUVEMENT DU SOLIDE ET DE SON CENTRE DE MASSE
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MOMENTS D'ORDRE 2 (1)
Moments du second ordre par rapport aux plans de coordonnes
:
Moments d'inertie du systme, par rapport au trois axes
coordonns:
dmyI 2zx =
dm)zy(I 22x +=
dmxI 2yz = dmzI 2xy =
dm)yx(I 22z +=dm)xz(I 22y +=
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11
MOMENTS D'ORDRE 2 (2)
Moment d'inertie par rapport au point 0 :
Produits d'inertie :
Relations entre moments :
=++= dmOPdm)zyx(I 2222O
xyxzx III +=
)III(21IIII zyxzxyzxyO ++=++=
yxyzy III +=...
= xydmPxy = yzdmPyz = zxdmPzx
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12
TENSEUR D'INERTIE
Tenseur d'inertie :
Dans une autre reprsentation (x') :
!TTI mais dmxxT 3322xjiij +==
dm)xxxx(I)systme(
ii =
=========
z33
zy32
zx31
yz23
y22
yx21
xz13
xy12
x11
II PI PI
PI II PI
PI PI II
ii
'ijji
' xx avec II ==
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EXEMPLE DE CHANGEMENT DE SYSTEME DE COORDONNEES
Rotation d'angle autour de l'axe z :
=+=
+=
zzcosysinxy
sinycosxx
'
'
'
=========
1 0 00 cos sin0 sin cos
33
32
31
23
22
21
13
12
11
)P)(sin(cos)II(cossinIIP
)P(cossin2IcosIsinIII
)P(cossin2IsinIcosIII
xy22
xyij2
j1i
12''xy
xyy2
x2ij2
j21
22''y
xyy2
x2ij1
j1i
11''x
+===+===++===
xy
xy'xy II
P22tg si 0P ==
-
Mcanique Analytique
14
INTERPRETATION GEOMETRIQUE DU TENSEUR D'INERTIE - ELLIPSOIDE
D'INERTIE (1)
Tenseur d'inertie = tenseur du second ordre, symtrique A tout
tenseur symtrique du second ordre, on peut associer une
quadrique quation.
Une quadrique admet trois axes de symtrie orthogonaux, appels
axes principaux d'inertie, au point considr. Si on utilise ces axes
:
Les trois coefficients de l quation de la quadrique sont
positifs, la quadrique est donc un ellipsode.
ijI
1XXI jiij =
1)X(I)X(I)X(I 233322222111 =++
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15
Examinons le rapport qui peut exister entre les moments du
second ordre en un point arbitraire O et ceux au centre de masse G
du systme.
VARIATION DES MOMENTS LORS D'UN DEPLACEMENT PARALLELE DE L'AXE -
THEOREME DE STEINER (1)
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16
VARIATION DES MOMENTS LORS D'UN DEPLACEMENT PARALLELE DE L'AXE -
THEOREME DE STEINER (2)
Dsignons par : les coordonnes d'un point dans le premier systme
les coordonnes du mme point dans des axes parallles ayant
pour origine le centre de masse G (axes centraux) les coordonnes
du centre de masse G par rapport aux premiers
axes.
)x( i
)X( i
)a( i
iii aXx +={ }
0)dm X(car aMaMadm)XXXX(
dmXadmXadmXa2aMaMadm)XXXX(
dm)aX)(aX()aX)(aX(I
i2ii
ii2ii
iiiiO
=+=++=
++++=
)aaa(MII 2G0 += 21dd )dd(MII 1 +=
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17
VARIATION DES MOMENTS LORS D'UN DEPLACEMENT PARALLELE DE L'AXE -
THEOREME DE STEINER (3)
Le moment d'inertie par rapport un axe d vaut le moment
d'inertie par rapport un axe central d1 parallle, augment de la
masse du systme multiplie par le carr de la distance sparant les
deux axes. Il en rsulte, en particulier, que de tous les axes
parallles entre eux, c'est l'axe central d'inertie pour lequel le
moment du systme est le plus petit.
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18
EXEMPLES ET APPLICATIONS (1)
Rectangle homogne (=1) de cts a et b :
Ellipse centrale d'inertie :
0P12
MaI
12MbdyydxdydxyI
xy
2
y
2/a
2/a
2/b
2/b
222
x
==
=== + +
222
2
2
2
bMa12
by
ax =+
x
y
a
bGXA
Y
P (x,y)
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EXEMPLES ET APPLICATIONS (2)
Au point A :
Ellipse d'inertie en A :
Au point B :
Ellipse d'inertie en B :
0P3
Ma4aMII
II
XY
22
yY
xX
==
+=
=
222
2
2
2
bMa12
bY4
aX =+
====
=+=
4MabdydxxyP
3MaII
3Mb
4MbII
2
Y
22
x
M3ab
23ab 2222 =+
x
y
a
bGXA
Y
P (x,y)
-
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EXEMPLES ET APPLICATIONS (3)
Cercle homogne de rayon R : moment d'inertie par rapport un axe
passant par le centre et perpendiculaire au plan
Couronne circulaire : par rapport un axe passant par le centre
et perpendiculaire aux axes
Prisme homogne : Par rapport au plan de base Par rapport au plan
parallle la base, passant par le centre de masse
22O R2
Mdrrd.rI ==
)RR(2
MddrrI 2221
2
0
R
R
3O
1
2+==
3MhI
2
1 =
12MhI
2
2 =
O
R1R2
-
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EXEMPLES ET APPLICATIONS (4)
Cylindre droit homogne de rayon R : Par rapport son axe de
rvolution Par rapport au plan mridien
Tore homogne : Par rapport l'axe de rvolution
2MRI
2
a =
4MRI
2
=
)RR(2
MI 2221a +=
