Montage d'électrotechnique n°38

Commande en couple d'une machine à courant

continu alimentée par un hacheur.

Réglage de la boucle de courant

François Caire

27 février 2010

Table des matières

1 Identication et modèle de la MCC 3

1.1 Choix du type de modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Détermination du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Détermination des grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Détermination du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Réalisation de l'essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Réalisation de la boucle de courant 7

2.1 Rappel : règle d'inversion d'un système du premier ordre . . . . . . . 72.2 Dimensionnement du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Etude en régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Etude en régime dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Limites de fonctionnement 12

4 Inuence du ltre LC 15

4.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Réponse à un signal carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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Introduction

Ce montage, comme son titre l'indique porte sur la commande en couple d'unemachine à courant continu. En eet, l'intérêt d'un tel type de commande peut, dansun premier temps, être illustré par un système simple qui consisterait en un rouleaude papier dont on souhaiterait pouvoir eectuer l'enroulement ou le déroulementvia une MCC, tout en appliquant une force constante sur le papier. Il apparaît alorsdirectement que le couple que nous devons appliquer, étant proportionnel à cetteforce F0 et au rayon du rouleau, variera au cours de l'opération. Le respect du cahierdes charges imposé nécessite d'élaborer une stratégie permettant un asservissementdu couple en poursuite.

D'un autre point de vue, ce montage constitue le point de départ d'un asservis-sement en vitesse de la MCC (bien plus utilisé dans la pratique) mais une simpleboucle d'asservissement portant sur la vitesse ne permettrait le contrôle de la vitessede notre machine qu'en régime permanent ce qui conduirait indubitablement à desdétériorations de la machine durant les phases transitoires.

En eet, le contrôle du couple est réalisé (comme nous le verrons) grâce à uncontrôle du courant de la MCC et permet donc d'éviter de dépasser la valeur no-minale préconisée par le constructeur et ainsi d'éviter les détériorations électriques.

De plus, la Relation Fondamentale de la Dynamique (JdΩ

dt= Ce−Cr) relie directe-

ment le couple à la dynamique de la vitesse de rotation. Il apparaît alors clair quedes uctuations importantes de couple conduiraient à des accélérations destructricespour la machine.

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Chapitre 1

Identication et modèle de la MCC

1.1 Choix du type de modèle

L'identication choisie est de type modèle boîte-noire , bien que nos connais-sances de la structure de la machine à courant continu nous permettraient de déter-miner un modèle de connaissance (ceci est l'objet d'un autre montage). De plus, lebut de l'établissement de ce modèle étant la réalisation de son inversion an d'ap-pliquer un contrôle sur la grandeur de sortie, ce type d'identication, courammentutilisé, semble le plus naturel.

Il faut tout de même garder à l'esprit que, dans le cas général, cette stratégied'identication n'est valable qu'autour du point de fonctionnement choisi puisqueles paramètres du modèle obtenu n'ont aucune réalité physique. Ici, nouschoisirons de placer notre point de repos à la moitié des valeurs nominales (excursionmaximale). Reste à déterminer les grandeurs concernées...

1.2 Détermination du modèle

Nous cherchons ici à représenter notre système physique sous la forme d'unefonction de transfert nous permettant une représentation sous forme de schéma blocdans l'optique de dimensionner un correcteur et d'eectuer une boucle de rétroaction.Il nous faut donc, au préalable déterminer les grandeurs d'entrée et de sortie.

1.2.1 Détermination des grandeurs

Le titre du montage stipule que la machine doit être alimentée par un hacheur.Le type de hacheur choisi est un simple hacheur série puisqu'un autre montageconcerne l'association hacheur 4Q - MCC et que la réversibilité en courant n'est pasessentielle à l'illustration du système réalisé. Le montage réalisé est celui de la gure1.1.

Remarque : Il peut toutefois être intéressant d'eectuer ce montage avec unhacheur 2Q, sans oublier le module de freinage, ce qui permet de contrôler le coupledurant les phases de freinage.

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Figure 1.1 Schéma de câblage

Comme nous le savons le couple d'une MCC est directement relié au courantabsorbé à l'induit. Il est alors clair que le contrôle du couple s'eectuera par uncontrôle du courant absorbé (noté i1) qui constitue donc la grandeur de sortie.

De plus, son contrôle sera eectué par action sur la tension de commande (notéevα) de l'interrupteur commandable (IGBT) de notre hacheur série (hacheur asservien courant) qui constitue donc la grandeur d'entrée et nous eectuerons la commandepar un système de Modulation de Largeur d'Impulsion (une commande par hystérésispeut aussi être envisagée).

1.2.2 Détermination du modèle

Connaissant au préalable la forme du modèle de la MCC, nous pouvons ici fa-ciliter la détermination de la fonction de transfert recherchée. En eet, nous savonsque la fonction de transfert réelle est de la forme :

H(p) = G0.(1 + τemp)

(1 + τep)(1 + τmp)

Où τem est une constante de temps électromécanique, τm une constante de tempsmécanique et τe une constante de temps électrique. Il est donc clair que cette der-nière est bien plus faible que les précédentes et est celle qui régit l'évolution desgrandeurs électriques de la machine (grandeurs d'intérêt ici).

Ainsi, il apparaît que si l'on applique un signal carré de fréquence assez élevée(qcq dizaines de Hz) à notre système, il est tout à fait légitime de négliger lesvariations de la vitesse (grandeur mécanique dont l'évolution est régie par τm) vis-à-vis des grandeurs électriques et d'assimiler notre système à un premier ordre deconstante de temps τe). Attention, ceci n'est plus valable autour du Hertz.

1.2.3 Réalisation de l'essai

Nous avons vu que notre modèle devait être déterminé autour d'un point de

fonctionnement donné : (VN2,IN2

) = (100 V , 5 A) pour la machine utilisée. An

de régler la tension, on règle l'autotransformateur de façon à obtenir une tensionU0 = 200V sur le bus continu et une source de tension continue nous permet dedélivrer une tension Vα = 5V correspondant à un rapport cyclique de 0.5.

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Figure 1.2 Réponse indicielle du sysème

Le réglage du courant, quant à lui nécessite l'utilisation d'une deuxième MCCcouplée à la première et débitant sur un banc de charge réglable. Le réglage de larésistance de charge permet de xer le courant absorbé au repos à la valeur choisie(i1 = 5A).

Nous allons donc réaliser un essai indiciel en appliquant un signal carré de fré-quence 100 Hz autour du point de repos que nous venons de xer. Un générateurbasse fréquence Thandar dont le signal sera sommé à la source de tension continue(utilisation d'une maquette "sommateur") permettra la réalisation du signal d'en-trée.

On obtient les réponses représentées sur la gure 1.2 et on peut donc directementmesurer les paramètres de notre système :

F (p) =G0

(1 + τep)

Avec : G0 = 20A/V ; τe = 3ms

Remarque 1 : l'allure de la réponse présentée montre bien une croissance dupremier ordre mais une décroissance quasimment linéaire. Ceci vient du fait que lehacheur utilisé est un hacheur 1Q et ne permet donc pas de contrôler le courantdurant les phases de freinage. On aurait donc une décroissance exponentielle avecun hacheur 2Q. Ici, il aurait été plus judicieux de réduire l'amplitude de l'échelonan d'obtenir un signal de forme symétrique autour du point de repos.

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Figure 1.3 Réponse indicielle du sysème excité par un créneau basses fréquences

Remarque 2 : la courbe 1.3 montre le même essai eectué à une fréquence beau-coup plus faible (de l'ordre du Hertz). On retrouve bien en zoomant sur le début dela courbe l'allure du premier ordre attendue mais, par la suite, une décroissance ducourant apparaît. Ceci est dû au fait que la vitesse varie alors et notre modèle n'estplus totalement valable.

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Chapitre 2

Réalisation de la boucle de courant

Nous sommes maintenant à même d'inverser le modèle précédemment établi etdonc d'eectuer la boucle de courant permettant une commande en couple.

2.1 Rappel : règle d'inversion d'un système du pre-

mier ordre

An de déterminer comment nous allons réaliser l'inversion du modèle précé-demment établi, il faut se souvenir des quelques règles d'inversion.

Un premier ordre peut être représenté sous forme de schéma bloc comme lemontre la gure 2.1. Ainsi, on se ramène à l'inversion d'un intégrateur avec une

boucle de rétroaction de gain1

G0

. Comme on le voit,l'inversion de la boucle de

rétroaction (négative) est inversée par une boucle de rétroaction positive de gain1

K ′où K' est la valeur mesurée du gain du premier ordre (donc K ′ ' K et K = G0).On fera donc l'hypothèse que K a été bien mesuré et que K = K ′.

L'inversion de l'intégrateur quant à lui se fait par l'introduction d'une boucleet d'un correcteur permettant d'annuler l'erreur statique puisque l'on ne sait pasréaliser de dérivateur pur. Il nous faut maintenant choisir le type de correcteur.

La présence, dans la boucle d'une intégration pure nous informe que le gainstatique sera nul et donc qu'un simple correcteur proportionnel sut. On noteraC(p) = A.

Calculons alors la fonction de transfert ainsi obtenue :Y

Y c.

On a : X =

K

TP.A.(Yc − Y )

Y =K

TP.X

(2.1)

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Figure 2.1 Inversion d'un système du premier ordre

D'où l'on déduit :

Y

Yc=

1

1 +TP

G0.A

(2.2)

On remarque donc que la fonction de transfert obtenue est exactement la mêmeque celle que l'on calculerait en réalisant une boucle de rétroaction unitaire et unecorrection proportionnelle intégrale avec compensation du pôle.

Ainsi, nous choisirons cette dernière solution puisqu'alors, nous n'avons plus be-

soin de boucle de gain1

K ′ , ce qui permet d'obtenir une robustesse plus importante

face aux erreurs de modèle.

2.2 Dimensionnement du correcteur

Nous choisissons donc un correcteur de type proportionnel intégral avec compen-

sation du pôle de fonction de transfert C(p) = K(1 +1

Tp) et le schéma de la gure

2.2 représente la boucle ainsi obtenue.Le choix de K est fait en se basant sur un critère de rapidité du système. Nous

nous xons donc comme objectif un temps de réponse en boucle fermé deux fois plusfaible que le temps de réponse en boucle ouverte.

Ainsi, nous obtenons : K =2

G0

= 0.1 et T = τe = 3ms.

La réalisation du correcteur est eectuée grâce à une maquette à amplicateursprévue à cet eet.

Au nal, nous obtenons le système global représenté sur la gure 2.3.

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Figure 2.2 Boucle de courant

Figure 2.3 Schéma de cablage global

Remarque : la présence d'une intégration dans la boucle (correcteur PI) permet deconsidérer la constante sommée en sortie du correcteur et permettant de xer le pointde repos comme une perturbation constante qui sera donc rejetée par l'intégrateur.Ainsi, il n'est plus nécessaire de la mettre en place. Celle placée en entrée, en revanchedoit être conservée.

2.3 Etude en régulation

La mise en place d'un correcteur PI nous assure, en théorie, une erreur sta-tique nulle puisqu'une intégration est présente dans la boucle. Ainsi, nous vérionsla bonne régulation du courant en appliquant une grandeur d'entrée constante dediérentes valeurs.

Il est aussi intéressant d'étudier la robustesse de notre régulation vis-à-vis desperturbations et des erreurs de modèle.

An d'observer le comportement face à une perturbation, il sut d'appliquerun échelon de charge (et donc un échelon de couple résistant). On observe bien quel'intégrateur présent dans la boucle permet de rejeter ce type de perturbation. Onobserve en revanche que si l'on augmente trop la valeur de la charge, une erreur sta-tique apparaît malgrè la présence de l'intégrateur...ceci sera expliqué dans l'étudedes diérentes limites de fonctionnement.

De même, une mauvaise compensation du pôle (changer la valeur de la constantede temps du correcteur PI) n'a pas d'inuence sur l'erreur statique qui reste nulle,ce qui conrme expérimentalement la remarque faite lors de l'étude de l'inversion

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Figure 2.4 Réponse unitaire du système bouclé

d'un premier ordre.

2.4 Etude en régime dynamique

Appliquons un échelon de commande à notre système an d'observer son fonc-tionnement en régime dynamique.

On observe la réponse de la gure 2.4 où l'on peut visualiser les diérents eets ducorrecteur PI : une première croissance rapide du courant dû à l'eet proportionnelsuivie d'une croissance plus lente que l'on peut attribuer à l'intégration de l'erreur.La valeur du courant mesuré tend alors lentement vers la consigne jusqu'à obtenirune erreur statique nulle.

Or, l'observation de ce bon fonctionnement n'apparaît que pour des fréquences devariations élevées du signal carré de consigne. En eet, lorsque la fréquence diminue,on ne peut plus considérer que la vitesse reste constante mais celle-ci évolue commeune rampe (puisqu'on applique un échelon de couple) ce qui a pour conséquence defaire apparaître une perturbation d'ordre 2 dans la boucle (rampe) sous la forme dela force électromotrice ( E = KΩ) que notre correcteur n'est plus à même de rejeteret il apparaît alors une erreur statique.

Comme on l'avait prévu lors de l'identication, notre modèle de premier ordren'est valable qu'à des fréquences relativement élevées et donc l'inversion du modèlene permet un contrôle ecace qu'à ces fréquences.

Il est toutefois possible de remédier à cette limite en réalisant un estimateur de lafem an d'inverser le modèle à l'aide d'une carte dspace comme le montre le schémade la gure 2.5

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Figure 2.5 Schema bloc avec prise en compte de la fem

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Chapitre 3

Limites de fonctionnement

On a vu que le système réalisé permettait un contrôle du couple sous certainesconditions. D'autres limitations de la plage de bon fonctionnement existent, dûescette fois aux éléments extérieurs à la MCC.

Nous avons notamment remarqué que l'application d'une charge trop importanteconduisait nécessairement à une erreur statique non-nulle. Pourquoi ?

Reprenons les équations du fonctionnement de la MCC en régime permanent.

Pour la MCC1 (convention récepteur), nous avons :

U1 = Ri1 + E + Ldi1dt

(3.1)

qui devient, en régime permanent : U1 = RI1 + Eet

E = K.Ω

C1 = K.I1(3.2)

d'où :

Ω =U1 −RI1

K=U1 −R.K.C

K(3.3)

Or, la valeur de U1 étant limitée à celle disponible sur le bus continu (U0), on

en déduit qu'il existe une valeur de vitesse maximale ΩMAX =U0

K.

De la même façon, pour la MCC2 (convention générateur) :

U2 = −Ri2 + E − Ldi2dt

(3.4)

qui devient, en régime permanent : U2 = −RI2 + E.On a, de plus, U2 = R2.I2 avec R2, résitance du banc de charge.

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Figure 3.1 Caractéristiques et point de fonctionnement avec R2 faible

On en déduit donc directement que E = K.Ω = (R + R2).I2 = (R + R2).C

Ksoit :

Ω = (R +R2).C

K2(3.5)

On est alors à même de tracer les deux caractéristiques dans le plan (C,Ω), leurintersection dénissant le point de fonctionnement en régime permanent du système(Voir gure 3.1.

On observe alors que la limitation de la vitesse conduit à une caractéristisuelimite que la MCC1 ne pourra pas dépasser. Ainsi, si on augmente R2, la pente dela caractéristique de la MCC2 augmente et, pour un couple de consigne donné, ilexiste une valeur de R2 au-delà de laquelle le point d'intersection entre le couple deconsigne et la caractéristique de la MCC2 est au-dessus de la caractéristique limitede la MMC1. Il ne peut donc s'agir du point de fonctionnement qui sera toujourssitué à l'intersection des deux caractéristiques, montrant une erreur sur le couplecomme on peut s'en assurer sur la gure 3.2.

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Figure 3.2 Caractéristiques et point de fonctionnement avec R′2 élevée

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Chapitre 4

Inuence du ltre LC

Selon la fréquence d'excitation choisie (signal carré), des phénomènes oscillantsparasites peuvent apparaître sur la réponse indicielle du système. Ceci est dû à laprésence du ltre LC en amont du convertisseur continu-continu. Pour s'assurer decette armation, on enlève l'inductance (30 mH) et on n'utilise plus que celle duréseau avec une fréquence d'excitation l'ordre de 100 Hz. La comparaison de cescourbes peut être faite sur la gure 4.1.

On observe donc un comportement oscillant avec l'inductance de 10 mH quin'apparaît pas si on s'en aranchit. En eet, la capacité utilisée étant de 470 µF ,on aboutit à une fréquence de résonance proche de 100 Hz pour le ltre considéré.

An d'étudier plus en détail l'eet dû à la présence du ltre L,C il peut êtreintéressant de simuler le système composé du bus continu, du ltre et du hacheursérie sous simulink. Le schéma de simulation est celui présenté sur la gure 4.2.

4.1 Réponse indicielle

Il nous est alors possible de faire varier la valeur de l'inductance ou de la capaci-téan d'observer les eets du ltre L,C sur le courant absorbé au niveau de l'induitde la MCC.

Les valeurs prises pour la fonction de transfert de la MCC sont celles déterminéslors du montage sur la détermination paramétrique du modèle (L et R).

La fréquence de découpage étant très grande, le hacheur est modélisé en valeurmoyenne (simple gain) et le rapport cyclique variable, réalisé à l'aide de sources(step ou pulse generator) est donc directement multiplié à la tension aux bornesde la capacité an d'obtenir la tension de commande de la MCC. De même, parconservation de la puissance, le courant absorbé en amont du hacheur est le courantde l'induit multiplié par le rapport cyclique variable.

Deux simulations ont été eectuées : la première avec L = 1mH et C = 470µFpermet d'obtenir les allures des courant dans la MCC et dans le condensateur res-pectivement sur les gure 4.7 et 4.4.

On observe que le courant de la MCC possède un caractère oscillant et ressemblebien au relevé expérimental de la gure 4.1. La mesure de la pseudo-période des os-

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Figure 4.1 Mise en évidence de l'inuence du ltre LC

Figure 4.2 Schéma de simulation simulink

Figure 4.3 Allure du courant absorbé par la machine (L=1mH)

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Figure 4.4 Allure du courant transitant dans la capacité (L=1mH)

Figure 4.5 Allure du courant absorbé par la machine (L=30mH)

cillations montre qu'elles sont directement reliées au ltre LC puisque f0 =1

2π√LC

qui correspond à la fréquence de résonnance (' 230Hz). On remarque de plus quela valeur moyenne du courant de la capacité est bien nulle et que celui-ci absorbeune grande partie des oscillations de courant.

La même simulation a été eectuée avec L = 30mH. Les gures 4.5 et 4.6montrent l'évolution des grandeurs précédentes. Cette fois, le courant est correcte-ment lissé et se rapproche de l'allure d'un premier ordre.

4.2 Réponse à un signal carré

Maintenant, nous allons simuler la manipulation eectuée expérimentalement.On réalise donc le même montage en utilisant un générateur de signal carré (pulsegenerator) dont on va choisir la période égale (ou de l'ordre) à la période de réson-nance de notre ltre avec L = 10mH et C = 470µF .

Pour une inductance de lissage de 10 mH, on observe la même allure que celleobtenue en pratique, à l'exception des phases de courant négatif ou décroissantpuisque la simulation réalisée équivaut à un Hacheur 2Q. L'allure du courant dans

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Figure 4.6 Allure du courant transitant dans la capacité (L=30mH)

Figure 4.7 Allure du courant transitant dans la MCC (L=10mH , f ' f0)

la MCC obtenu est celle de la gure 4.7.Ensuite, nous pouvons eectuer la même simulation en choisissant une induc-

tance de 0.1 mH (valeur arbitraire censée représenter l'inductance du réseau). Nousobtenons alors la courbe 4.8 ou nous reconnaissons bien le signal obtenu expérimen-talement (premier ordre).

En eet, la diminution importante de l'inductance conduit à une augmentationtout aussi importante de la fréquence de résonance qui se trouve rejetée très loinde la fréquence d'excitation. Ainsi, on observe bien un comportement oscillant maisà une fréquence plus élevé qui ne vient plus perturber la détermination de notremodèle.

Ces essais peuvent aussi être eectués avec des périodes d'excitation multiplesde la période de résonanc, ce qui mènera à la même conclusion.Il est à noter que l'inuence de la variation de la vitesse n'a pas été prise en comptelors de cette simulation d'où les légères diérences obtenues avec les courbes réelles.

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Figure 4.8 Allure du courant transitant dans la MCC (L = 0.1mH , f ' f0)

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Conclusion

Ce montage illustre la marche à suivre an d'eectuer un asservissement devitesse d'une machine à courant continu sans connaissance du modèle a priori (mêmesi on a vu que la connaissance permettait une simplication de l'identication) quiest généralisable à l'asservissement d'une grandeur pour tout type de système.

En revanche, l'observation et l'explication des diérents phénomènes tels quela résonance due au ltre LC ou les limites de fonctionnement sont évidemmentinhérentes au montage choisi et à la machine considérée.

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