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Figure : Solar impulse (prototype d’avion monoplace solaire)

LYCEE CHAPTAL

TD 2

PTSI

Séquence 3

CPGE PTSI/PT*

Demie classe

B210 - Modéliser un circuit électrique B211 - Modéliser un convertisseur statique B212 - Modéliser une MCC C7 - Déterminer des grandeurs électriques C8 - Paramétrer un solveur numérique C9 - Choisir des paramètres de simulation E11 - Proposer une architecture fonctionnelle E12 - Proposer une architecture structurelle

2h

Les hacheurs

Sciences Industrielles

pour l’Ingénieur

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Exercice I : Etude du montage hacheur série

1. Présentation Le hacheur série de la figure ci-dessous alimente une charge constituée par une inductance L de 20mH en

série avec un moteur dont la fcem est E’=99V lorsque le rapport cyclique α est de 0,792. On néglige la résis-tance de la source de sortie et la source d’entrée a une fem E constante dans tout le problème. La fréquence de hachage est de f=2,5 kHz et le courant moyen est de 6A. On se place en régime permanent de fonctionnement.

2. Travail demandé Question 1. Tracer l’allure de uC(t) au cours d’une période de fonctionnement.

Question 2. Calculer la valeur de la fem E de la source.

Question 3. Tracer l’allure du courant dans la charge en fonction du temps.

Question 4. Quelle est la valeur de l’ondulation du courant ∆Ic dans la charge ? En déduire la valeur maxi-

male de cette ondulation et pour quelle valeur du rapport cyclique est-elle obtenue ? En supposant que la fcem de la machine à courant continu reste constante ainsi que la valeur moyenne du

courant d’induit, on fera varier la fréquence de hachage à rapport cyclique constant. Question 5. On souhaite se placer à la limite du fonctionnement continu (c'est-à-dire valeur limite pour ne

pas annuler le courant dans le circuit). Quelle est la valeur maximale du courant iC correspondante ? Question 6. Pour quelle valeur de la fréquence obtient-on la limite de fonctionnement continu ?

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Exercice II : Etude du montage hacheur parallèle

1. Présentation Soit le montage fourni ci-dessous où H désigne un interrupteur parfait commandable à l’ouverture et à la

fermeture. On a : • de t0 = 0 à t1 = 2T/3 : H est fermé • de t1 = 2T/3 à t2=T : H est ouvert

On précise les valeurs des composants et de la période : E=48V ; L=25mH ; T=0,5ms.

2. Travail demandé Question 1 : Quel est l’état de la diode D lorsque H est fermé ?

Question 2 : Comment évolue le courant is(t) durant cette phase ? On supposera connue la valeur du

courant à l’instant t0=0 : is(t=0)=Imin=12A. Question 3 : Lorsque l’interrupteur H est ouvert, que vaut la tension uH ? Représenter les allures de

uH et de is(t) pour l’intervalle t1 à t2. Question 4 : Exprimer la valeur moyenne de la tension aux bornes de H, et en déduire la valeur de

Ec. Question 5 : Calculer l’ondulation de is. Pour quelle valeur de 𝛼 est elle maximum ? Donner alors sa

valeur.

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Exercice III : Etude du hacheur inverseur à stockage inductif

1. Présentation Le montage de la figure ci-dessous est un convertisseur statique indirect. Il fonctionne en régime permanent

par l’intermédiaire de l’interrupteur H, unidirectionnel en courant, commandé à l’ouverture et à la fermeture de façon périodique, supposé parfait.

On a :

• de t0=0 à t1=αT : H est fermé • de t1 à t2=T : H est ouvert

On précise les valeurs des composants : E=48V ; L=25mH ; la charge est constituée par la mise en parallèle d’une résistance R=100Ω et d’un condensateur de capacité C=1000μF imposant une tension uC constante pour un rapport cyclique imposé constant. La période de hachage est de T=500μs. La diode D est supposée parfaite.

2. Travail demandé

Question 1 : Quel est l’état de la diode D lorsque H est fermé ? Question 2 : Comment évolue is lorsque H est fermé ? On notera I0 sa valeur à t0.

Question 3 : Lorsque H est ouvert, que vaut le courant iL ? Comment évolue-t-il ?

Question 4 : Représenter uL, uH et iL sur une période.

Question 5 : Calculer l’ondulation du courant sur une période pour α=1/3 et 2/3.

Question 6 : Exprimer u# en fonction de E, u$ et du rapport cyclique α. En déduire u$.

Question 7 : Calculer numériquement la valeur moyenne de uC pour un rapport cyclique de 1/3 et

pour 2/3. Question 8 : Pour un rapport cyclique de 1/3 et pour 2/3, évaluer le courant dans la charge et la

puissance délivrée à celle-ci.

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Exercice IV : Commande d’une MCC par un hacheur série

I. Modélisation de la MCC On s’intéresse à la commande d’une machine à courant continu à l’aide d’un hacheur série. Le moteur est de

type « excitation séparée constante ». Ce moteur doit entraîner une charge à vitesse constante, quel que soit le moment du couple résistant imposé. Pour le fonctionnement envisagé, en régime nominal, on donne :

• résistance de l’induit : R = 0,5 Ω • fréquence de rotation nominale : N =

1500 tr.min-1 • la force électromotrice induite E est de la

forme : E = k. Ω (Ω en rad.s-1) dont la caractéristique E=f(Ω) est donnée ci-après.

• le moment Tp du couple de perte associé aux pertes autres que par effet Joule, est négligeable devant le moment du couple électromagnétique du moteur.

• on négligera l’inductance de l’induit.

a. Constante de la machine

Question 1 : Déterminer la valeur de la constante k de la machine ; préciser son unité. Question 2 : Donner, en précisant vos hypothèses l’expression de Tu, couple utile disponible sur le

rotor.

b. Démarrage en charge

Le moteur entraîne une charge dont le moment du couple résistant est constant et vaut TR = 45 N.m. L’intensité du courant au démarrage vaut ID = 30 A.

Question 3 : Donner le schéma équivalent de l’induit du moteur en fléchant les tensions et le courant. Question 4 : Calculer la valeur de la tension UD qu’il faudra appliquer à ses bornes pour provoquer le

décollage, c’est à dire le début du démarrage.

c. Fonctionnement en régime nominal

Le moment du couple résistant reste constant égal à 45 N.m. Question 5 : Calculer l’intensité I du courant dans l’induit pour ce régime.

Le groupe (moteur + charge) tourne à la fréquence de rotation nominale de 1500 tr.min-1. Question 6 : Calculer la valeur de la fem induite E. Question 7 : Montrer que la tension d’alimentation UM du moteur vaut alors UM = 250 V.

d. Bilan des puissances

La puissance absorbée par l’inducteur de la machine est égale à Pexc = 300 W. On rappelle que le moment Tu du couple utile vaut 45 N.m et que N = 1500 tr.min-1

Question 8 : Calculer la puissance utile Pu du moteur. Question 9 : Montrer que la puissance totale Pabs absorbée par le moteur en régime nominal vaut

approximativement 7,8 kW. Question 10 : En déduire le rendement η de la machine.

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e. Variation de vitesse

En régime nominal, l’intensité du courant absorbée vaut I = 30 A. Question 11 : Montrer que : Ω = 0,67.UM – 10. Question 12 : En déduire que N = 6,39.UM – 95 (N exprimée en tr.min-1). Question 13 : Calculer UM pour avoir N = 1500 tr.min-1.

f. Variation de la charge

Une augmentation de la charge entraîne une chute de vitesse du rotor. Afin de compenser cette perte de vitesse, on agit sur la tension d’alimentation UM du moteur.

Le moment du couple résistant vaut à présent TR = 60 N.m. Question 14 : Calculer l’intensité du courant dans l’induit. Question 15 : Calculer la valeur de la tension UM qui permettra de maintenir N à 1500 tr.min-1.

II. Modélisation de la commande L’induit du moteur est alimenté par un hacheur série ; le montage est alors le suivant :

• La tension d’alimentation du hacheur vaut U0 = 300 V • H est un interrupteur électronique fermé dans l’intervalle [0 ; αT] et ouvert dans l’intervalle [αT ; T] • α est le rapport cyclique et T la période de hachage ; on donne T = 3 ms • La conduction dans l’induit du moteur est ininterrompue

a. Généralités

Question 16 : Citer un composant de l’électronique de puissance pouvant jouer le rôle de H. Question 17 : Justifier le rôle de D et celui de L. Question 18 : Calculer la fréquence de hachage.

b. Exploitation d’un oscillogramme

L’oscillogramme de uH(t) est donné sur le document réponse. Question 19 : Déterminer la valeur du rapport cyclique. Question 20 : Montrer que <UD> = <UM> (valeurs moyennes). Question 21 : Calculer la valeur moyenne de UM ; donner sa valeur numérique. Question 22 : Indiquer l’appareil adéquat (nom, position…) qui permettra de mesurer <uM>. Question 23 : Hachurer, sur le document réponse, les intervalles de conduction de D et de H.

c. Etude en charge

Le moteur appelle un courant sensiblement constant d’intensité I = 30 A. Question 24 : En utilisant l’équation N = f(UM) de la question 12, montrer que :N = 1917. α– 95 Question 25 : Calculer la valeur de α qui permettra d’obtenir une fréquence de rotation égale à

1500tr.min-1

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d. Ondulation du courant

Question 26 : Compléter le document réponse en indiquant le branchement des sondes qui permettront de visualiser simultanément à l’oscilloscope uD(t) et i(t).

Question 27 : Le courant n’est pas parfaitement lissé, il ondule autour de sa valeur moyenne. Sur quelle(s) grandeur(s) doit-on agir si l’on souhaite réduire l’ondulation de i(t) en maintenant α et U0 constant ?

DOCUMENT RÉPONSE

Oscillogramme de uH(t)

Branchement de l’oscilloscope :

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Exercice V : Etude d’une machine d’analyse sanguine

Etude de l’alimentation continue On se propose de valider le mon-

tage permettant d’obtenir la tension négative nécessaire à l’alimentation symétrique des amplificateurs opéra-tionnels (ALI) du circuit de com-mande et de dimensionner l’induc-tance et le condensateur afin de ga-rantir le fonctionnement du montage en régime continu avec une ondula-tion de la tension de sortie maximale imposée.

I. Préliminaires

Dans le cas général, si la valeur du générateur E1 est différente de la valeur du générateurE2, il n’est pas possible d’associer directement en parallèle deux sources de tension. Pour autoriser une telle association, il est nécessaire d’intercaler un étage intermédiaire réalisé à partir d’une source de courant. (Figure 1 ci-dessous).

Figure 1

Question 1. En rappelant au préalable les règles d’interconnexion des sources de tensions et de courants entre elles, préciser quels sont les interrupteurs qui peuvent être fermés au même instant sans risque de dété-rioration. En déduire que seuls deux interrupteurs sont nécessaires dans ce schéma de principe et préciser lesquels. Dessiner le nouveau schéma de principe.

Question 2. En utilisant les figures 1 et 2, définir chacun des éléments (par exemple, E1 est représenté par

VE). Question 3. K1 est utilisé en commutation forcée (c'est-à-dire que l’ouverture et la fermeture de ce composant

sont commandées directement par son circuit de commande). Le composant qui réalise l’interrupteur K3 fonctionne-t-il en commutation forcée ? Quel risque pourrait-il y avoir à utiliser une commutation forcée pour ces deux interrupteurs ?

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II. Obtention de la tension négative

Afin de réaliser une tension négative utilisée pour alimenter les amplificateurs opérationnels présents, nous utiliserons un principe de hacheur inverseur dont le schéma est fourni ci-dessous.

Figure 2

• La tension qui sera utilisée pour l’alimentation négative des amplificateurs opérationnels est la tension𝑉/ − 𝑉1. La résistance R représente la charge de ce montage et correspond àl’ensemble des charges représentées par les alimentations négatives des amplificateursopérationnels.

• La tension VS est supposée continue, ainsi que le courant IS dans la charge R. • Tous les éléments de ce montage sont supposés idéaux, et en particulier l’interrupteur commandé

X et la diode D. • La bobine est supposée idéale, ce qui implique que sa résistance interne est considérée comme

étant de valeur nulle, et que la valeur de L est supposée constante. • L’interrupteur X est un interrupteur commandé. Ce dernier peut ainsi avoir 2 états : l’état fermé

ou l’état ouvert. • La commande de cet interrupteur X est périodique de période T et se décompose en deux parties.

Les figures 3 et 4 illustrent ainsi le fonctionnement du hacheur suivant l’état de l’interrupteur X.

Notations utilisées :

o Valeur instantanée : VE(t) o Valeur continue : VE o Valeur moyenne :<VE>

De 0 à αT : l’interrupteur X est fermé, la diode D est bloquée.

Figure 3

De αT à T : l’interrupteur X est ouvert, la diode D est passante.

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Figure 4

Question 4. Donner l’équation reliant VE(t), VL(t) et VX(t). Question 5. En passant par les valeurs moyennes, en déduire l’équation reliant <VE>et <VX>. Question 6. Donner l’expression de VX(t) pendant la première partie de la période (de 0 à αT). Question 7. Donner l’expression de VX(t) pendant la seconde partie de la période (de αT à T). Question 8. A partir des deux questions précédentes, donner l’expression de la valeur moyenne de VX(t) en

considérant VE et VS constantes. Question 9. Des questions Q5 et Q8, en déduire 23

24= f α . Par une étude simple du signe de la fonction,

montrer alors qu'il s'agit bien d'un hacheur inverseur. Question 10. Application numérique : On pose α=1/2 et VE=12V. Déduire des questions précédentes,

la valeur de Vs. Question 11. Compléter les chronogrammes du document réponse DR1. Question 12. On souhaite obtenir une tension Vs comprise entre 11 et 13V. Donner les valeurs ex-

trêmes du rapport cyclique α.

III. Détermination de la valeur de la bobine L

Cette partie du sujet se propose de déterminer la valeur de la bobine L nécessaire à un fonctionnement continu du montage. On se place dans le cas, où la tension de sortie Vs est constante et ne varie donc pas en fonction du temps.

Afin de se prémunir d’un fonctionnement discontinu du courant dans l’inductance L de ce hacheur, nous souhaitons dimensionner la valeur de la bobine en maintenant l’ondulation du courant iL dans une valeur infé-rieure à 0,25A avec un courant moyen de l’ordre de 2A pour un rapport cyclique α de 50%.

En régime permanent, le courant circulant dans la bobine évolue entre ILmin et ILmax comme représenté sur le

chronogramme ci-dessous. Attention, cette figure n’est qu’indicative sur la forme du courant iL(t) circulant dans la bobine, et n’est donc pas à l’échelle pour le courant moyen.

Figure 5

Question 13. En expliquant votre raisonnement, compléter les chronogrammes des courants iD(t) et iX(t) sur le document réponse DR2.

Question 14. En se référant au montage de la figure 3, donner l’équation d’évolution du courant dans la bobine sur la durée [0, αT], et en déduire l’équation ΔIL=f(VE, α, L et f) avec ΔIL=ILmax-ILmin, et f la fréquence de commutation de l’interrupteur X.

Question 15. Application numérique : On pose α=0,5 ; VE=12V et f=50kHz. Calculer la valeur de la bobine pour obtenir ΔIL=0,25A.

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IV. Détermination de la valeur du condensateur C

On ne considère plus VS constant mais comme une tension périodique. Cette partie du sujet se propose de déterminer la valeur du condensateur C nécessaire pour obtenir une ondulation maximale de la tension de sortie Vs. On fera l’hypothèse d’une ondulation de IS négligeable.

Question 16. Justifier que la valeur moyenne du courant dans un condensateur est nulle, lorsque celui-ci est soumis à une tension périodique.

Question 17. Tracer l’allure du courant iD(t) circulant dans la diode D sur le document réponse DR3. Question 18. En déduire l’allure du courant iC(t) circulant dans le condensateur C. Tracer cette allure

en ROUGE sur le document réponse DR3. Question 19. Après avoir rappelé l’expression du courant iC(t) dans un condensateur de capacité C en

fonction de la tension à ses bornes notée vC(t), tracer en VERT sur le document réponseDR3, l’allure la tension Vs(t).

Question 20. En déduire l’expression de l’ondulation ΔVs de la tension Vs(t). Question 21. Application numérique : On pose α=0,5 ; <IS>=2A et f=50kHz. Calculer la valeur du

condensateur C pour obtenir ΔVs=0,1V.

Document réponse DR1

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Document réponse DR2

Document réponse DR3