Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

La droite dans R3

La droite dans R3

IntroductionDans cette présentation, nous verrons comment obtenir une équation d’une droite de R3 dont certaines caracté-ristiques sont décrites à l’aide des vecteurs.

Pour décrire une droite de R3, on peut :

• donner un point et un vecteur directeur de la droite;

• donner un point et deux vecteurs perpendiculaires à la droite.

• donner deux points de la droite;

Vecteur position

Un repère d’une droite est constitué d’un point de celle-ci et d’un vecteur directeur (parallèle à la droite).

À partir de l’origine du vecteur directeur, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position.

En considérant que t varie sur l’ensemble des réels, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit :

Remarque :

OX = OP + t D, où t est un nombre réel.

Dans R2 et R3, les vecteurs OX, OP et  D s’expriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle.

Exemple 12.1.1

En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a l’équation vectorielle :

Trouver une équation vectorielle et des équations paramétriques, symétriques et cartésiennes de la droite passant par le point R(3; 4; 5) et parallèle au vecteur D = (2; 6; 3).

S

Soit P(x ; y; z), un point quelconque de la droite, alors le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. Il existe donc un scalaire t tel que :

Les équations paramétriques sont alors :

OP = OR + t D

(x; y; z) = (3; 4; 5) + t (2; 6; 3) = (3 + 2t; 4 + 6t; 5 + 3t)

∆ : x = 3 + 2t

y = 4 + 6tz = 5 + 3t

, où t est un nombre réel.

S

Pour trouver des équations symétriques, il faut isoler le paramètre dans chacune des équations et les égaler. On trouve alors les équations symétriques :

t =x – 3

2=

y – 4

6

donne : 6x – 2y – 10 = 0 (plan parallèle à l’axe des z).

=z – 5

3

SOn obtient les équations cartésiennes en égalant les rapports deux à deux.x – 3

2=

y – 4

6

y – 4

6=

z – 5

3donne : 3y – 6z + 18 = 0 (plan parallèle à l’axe des x).

S

On obtient donc le système d’équations :

C’est une description cartésienne de la droite.

6x – 2y – 10 = 0

3y – 6z + 18 = 0

Il n’est pas nécessaire de prendre les deux autres rapports car ils donnent un troisième plan passant par la même droite.

Remarque :

Exercice

En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a l’équation vectorielle :

Trouver une équation vectorielle et des équations paramétriques, symétriques et cartésiennes de la droite passant par le point R(3; –2; 4) et parallèle au vecteur D = (–2; 2; 3).

S

Soit P(x ; y; z), un point quelconque de la droite, alors le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. Il existe donc un scalaire t tel que :

Les équations paramétriques sont alors :

OP = OR + t D

(x; y; z) = (3; –2; 4) + t (–2; 2; 3) = (3 – 2t; –2 + 2t; 4 + 3t)

∆ : x = 3 – 2t

y = –2 + 2tz = 4 + 3t

, où t est un nombre réel.

S

Pour trouver des équations symétriques, il faut isoler le paramètre dans chacune des équations et les égaler. On trouve alors les équations symétriques :

t =x – 3

–2=

y + 2

2

donne : 2x + 2y – 2 = 0 (plan parallèle à l’axe des z).

=z – 4

3

S

On obtient les équations cartésiennes en égalant les rapports deux à deux.x – 3

–2=

y + 2

2

y + 2

2=

z – 4

3donne : 3y – 2z + 14 = 0 (plan parallèle à l’axe des x).

S

On obtient donc le système d’équations :

C’est une description cartésienne de la droite.

2x + 2y – 2 = 0

3y – 2z + 14 = 0

Équations paramétriques d’une droite de R3

Considérons une droite dont on connaît

un point R(x1; y1; z1) et un vecteur direc-

teur D = (a; b; c).Soit un point P(x; y; z) de cette droite, alors :

(x; y; z) = (x1; y1; z1) + t (a; b; c) = (x1 + a t; y1 + b t; z1 + c t),

où t est un nombre réel.

Remarque :

Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Un point et un vecteur directeur sont donnés

Cela donne l’équation vectorielle :OP = OR + t D, où t est un nombre réel.

D’où l’on tire : ∆ : x = x1 + a t

y = y1 + b t

z = z1 + c t

, où t est un nombre réel.

OP = OR + RP , d’où :

Équations vectorielle et paramétriques

Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Équation vectorielle et équations paramétriques

Définition

Soit R(x1; y1 ; z1), un point d’une droite, et D = (a; b; c), un vecteur

directeur de cette droite. On appelle équation vectorielle de la droite

l’équation :

(x; y; z) = (x1; y1 ; z1) + t (a; b; c) = (x1 + a t; y1 + b t ; z1 + c t) , où t est un nombre réel.

OP = OR + t D, où t est un nombre réel.

On appelle équations paramétriques de la droite les équations :

∆ : x = x1 + a t

y = y1 + b t

z = z1 + c t

, où t est un nombre réel.

En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R3, cela donne :

Équations symétriques d’une droite de R3

Équation symétrique

Définition

Soit R(x1; y1 ; d1), un point d’une droite, et D = (a; b; c), un vecteur

directeur de cette droite. Les équations symétriques de la droite sont :x – x1

a=

y – y1

b, si a ≠ 0, b ≠ 0 et c ≠ 0.

Remarque :

Dans les équations symétriques de la droite, les dénominateurs donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

=z – z1

c

Équations paramétriques d’une droite de R3

pour trouver les équations paramétriques d’une droite dont un point R et un vecteur directeur sont connus

1. Construire le vecteur allant du point R à un point P quelconque.

2. Établir l’équation :

3. Utiliser l’égalité vectorielle pour écrire les équations para-métriques.

Procédure

OP = OR + t D, où t est un nombre réel.

∆ :

x = x1 + a t

y = y1 + b t

z = z1 + c t

, où t est un nombre réel.

Remarque :

Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont l’origine est un de ces points et dont l’extrémité est l’autre point.

Exemple 12.1.2Trouver une description paramétrique de la droite passant par les points P(1; –2; 4) et R(3; 4; 8).

S

Déterminons le vecteur PR en consi-dérant les vecteurs positions des points P et R.

Les équations paramétriques sont alors :

PR = OR – OP

∆ : x = 1 + t

y = –2 + 3tz = 4 + 2t

, où t est un nombre réel.

S

= (3; 4; 8) – (1; –2; 4) = (2; 6; 4)Comme vecteur directeur, on peut considérer PR = (2; 6; 4), ou bien D = (1; 3; 2) qui est parallèle à PR.

On peut choisir l’un ou l’autre des points donnés pour écrire les équations.

Exercice

Le vecteur directeur est :

Trouver une description paramétrique de la droite passant par les points P(3; –1; 5) et R(2; 4; 1).

S

Déterminons le vecteur PR en considérant les vecteurs positions des points P et R.

Les équations paramétriques sont alors :

PR = OR – OP

∆ : x = 3 – t

y = –1 + 5tz = 5 – 4t

, où s et t sont des nombres réels.

S

= (2; 4; 1) – (3; –1; 5) = (–1; 5; –4)

PR = (–1; 5; –4).

On peut choisir l’un ou l’autre des points donnés pour écrire les équations.

ou ∆ : x = 2 –s

y = 4 + 5sz = 1 – 4s

La droite, intersection de plansOn peut décrire une droite dans l’espace en donnant les équations de deux plans concourants.

Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il est plus simple de résoudre le système d’équations linéaires formé de ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois inconnues, on a une variable libre que l’on représente par un paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite d’intersection; on a alors la description en fonction d’un de ses points et d’un vecteur directeur.

Pour connaître un vecteur directeur de la droite, on peut alors effectuer le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans.

Exemple 12.1.3Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans :

∏1 : x – 2y + 3z = 5 et ∏2 : 2x – 3y + 5z = 8

On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est :

Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors :

SS

L1≈L2 – 2L1

1 –2 3 5

2 –3 5 8

1 –2 3 5

0 1 –1 –2

L1 + 2L2≈L2

1 0 1 1

0 1 –1 –2

Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques :

∆ : x = 1 – t

y = –2 + tz = t

On peut conclure que la droite passe par le point R(1; –2; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–1; 1; 1). D

{(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}

ExerciceDonner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans :

∏1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et ∏2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0

On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est :

Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors :

SS

L1≈L2 – 3L1

1 3 –12 28

3 10 –41 92

1 3 –12 28

0 1 –5 8

L1 – 3L2≈L2

1 0 3 4

0 1 –5 8

Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques :

∆ : x = 4 – 3t

y = 8 + 5tz = t

On peut conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–3; 5; 1). D

{(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}

Positions relatives de droites dans R3

Droites parallèles

Caractéristique des droites parallèlesLes vecteurs directeurs sont parallèles :

k R tel queD1 = k D2

Caractéristiques des droites parallèles distinctes• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une

des droites, il ne peut être sur l’autre droite :

• Il n’y a aucun point d’intersection.

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite :

• Les droites ont une infinité de points d’intersection.

Caractéristiques des droites parallèles confondues

si P ∆, alors P ∆2

si P ∆, alors P ∆2

Positions relatives de droites dans R3

Droites non parallèles

Caractéristique des droites non parallèlesLes vecteurs directeurs ne sont pas parallèles :

k R,D1 ≠ k D2

• Les droites ont un et un seul point d’intersection.

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite :

• Les droites n’ont aucun point d’inter-section.

Caractéristiques des droites gauches

si P ∆, alors P ∆2

Caractéristique des droites concourantes

Exemple 12.1.4 aDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

SS

=x – 2

3

y + 4

–2=

z – 5

1∆1 :

x = 8 + 6ty = 12 – 4tz = 7 + 2t

et ∆2 :

Les vecteurs directeurs sont : = (3; –2; 1) et D1 = (6; –4; 2). D2

Ils sont parallèles, puisque : 2 D1 = D2.

Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun, elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun.

En posant t = 0 dans les équations de ∆2, on a le point P(8; 12; 7). En substituant ces coordonnées dans les équations de ∆1. On obtient :

8 – 2

3=

12 + 4

–2=

7 – 5

1Cette double égalité est fausse. Par conséquent, les droites sont parallèles distinctes.

Exemple 12.1.4 bDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

SS

=x – 2

3

y + 4

–2=

z – 5

1∆1 :

x = 5 – ty = –2 + 2tz = –2 – 3t

et ∆2 :

Les vecteurs directeurs sont : = (3; –2; 1) et D1 = (–1; 2; –3). D2

Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout, k D1 ≠ D2.

Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Vérifions si elles ont un point commun.

En substituant les équations de ∆2 dans celles de ∆1, on obtient :(5 – t) – 2

3=

(–2 + 2t) + 4

–2=

(–2 – 3t) – 5

1

On obtient la même valeur en considérant deux autres rapports.

, d’où :3 – t

3=

2 + 2t

–2=

–7 – 3t

1

En considérant les deux premiers rapports et en isolant t, on obtient :t = –3

S

En substituant t = –3 dans les équations de ∆2, on trouve :

x = 5 – (–3) = 8y = –2 + 2(–3) = –8z = –2 – 3(–3) = 7

Les droites se rencontrent au point (8;–8; 7).

Exemple 12.1.4 cDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k , k

Les vecteurs directeurs sont :

SS

= (–2; 1; 4) et D1 = (–1; 2; 3). D2

D1 ≠ D2.

Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun.

En comparant les équations paramétriques, on a :

On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

S

x = 5 – ty = –2 + 2tz = –2 + 3t

∆1 : et ∆2 :x = 3 – 2sy = –4 + sz = –3 + 4s

3 – 2s = 5 – t –4 + s = –2 + 2t–3 + 4s = –2 + 3t

, d’où : –2s + t = 2s – 2t = 24s – 3t = 1

En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient :

1

1 –2

L1

≈ 2L2 + L1

2

2

4 –3 2 L3 + 2L1

–2 1

0

L1

≈ L2 /(–3)

2

6

0 –1 5 3L3 – L2

–2

–3

–2 1

0

2

–2

0 0 9

1

S

Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les droites n’ont pas de point de rencontre. Puisque les droites ne sont ni parallèles ni concourantes, ce sont donc des droites gauches.

ExerciceDéterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.

Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout k scalaire, k

Les vecteurs directeurs sont :

SS

= (2; 4; –3) et D1 = (–3; 5; 2). D2

D1 ≠ D2.

Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun.

En comparant les équations paramétriques, on a :

On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

S

x = 12 – 3ty = –17 + 5tz = –1 + 2t

∆1 : et ∆2 :x = 7 + 2sy = 6 + 4sz = –1 – 3s

7 + 2s = 12 – 3t6 + 4s = –17 + 5t–1 – 3s = –1 + 2t

, d’où : 2s + 3t = 54s – 5t = –23–3s – 2t = 0

En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient :

3

4 –5

L1

≈ L2 – 2L1

5

–23

–3 –2 0 2L3 + 3L1

2 3

0

L1

≈ L2 /(–11)

5

–33

0 5 15 L3 /5

2

–11

2 3

0

5

3

0 1 3

S

1

L1 – 3L2

≈ L2

L3 – L2

2 0

0

–4

3

0 0 0

1

On trouve s = – 2 et t = 3. En substituant ces valeurs dans les équations paramétriques de ∆1 et de ∆2, on trouve (3; –2; 5). C’est le point de rencontre des deux droites.

Positions relatives d’une droite et d’un plan

s

Droite et plan parallèles

Caractéristiques• Le vecteur normal au plan est perpendicu-

laire au vecteur directeur de la droite :

N∏ • D∆

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il est également dans le plan :

• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il n’est pas dans le plan :

si P ∆, alors P ∏

Droite contenue dans le plan

Droite non contenue dans le plan

si P ∆, alors P ∏

= 0

Positions relatives d’une droite et d’un planDroite et plan concourants

CaractéristiquesLe vecteur normal du plan n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de la droite :

• Il existe un seul point commun à la droite et au plan :

Il existe un et un seul point P tel que :

P ∆ et P ∏

N∏ • D∆≠ 0

Exemple 12.1.5Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit scalaire donne :

Le vecteur directeur de ∆ est :

SS

x = 2 – 3ty = –5 + 7tz = –3 – 2t

= (–3; 7; –2). D∆

∏ : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et ∆ :

= (2; 3; 4). N∏

D∆ • N∏

Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants.

Le vecteur normal à ∏ est :

= (–3; 7; –2) • (2; 3; 4) = –6 + 21 – 8 = 7 ≠ 0.

Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient :

2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 04 – 6t – 15 + 21t – 12 – 8t + 9 = 0

7t – 14 = 0t = 2

Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne :

x = 2 – 3 2 = –4y = –5 + 7 2 = 9z = –3 – 2 2 = –7

La droite et le plan se rencontrent au point (–4; 9; –7).

S

ExerciceDéterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit scalaire donne :

Le vecteur directeur de ∆ est :

SS

x = 10 + 2ty = –2 – 3tz = –7 – 4t

= (2; –3; –4). D∆

∏ : x – 2y + 5z – 15 = 0 et ∆ :

= (1; –2; 5). N∏

D∆ • N∏

Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants.

Le vecteur normal à ∏ est :

= (2; –3; –4) • (1; –2; 5) = 2 + 6 – 20 = 12 ≠ 0.

Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient :

(10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = 010 + 2t + 4 + 6t – 35 – 20t – 15 = 0

–12t – 36 = 0t = –3

Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne :

x = 10 + 2 (–3) = 4y = –2 – 3 (–3) = 7z = –7 – 4 (–3) = 5

La droite et le plan se rencontrent au point (4; 7; 5).

S

Exemple 112.1.6

Les vecteurs perpendicu-

laires à ∆ sont :

Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit mixte de ces vecteurs donne :

SS

∏ : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et

∆ : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0.

= (2; –3; 4). N∏

Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants.

Le vecteur normal à ∏ est :

= 36 – 45 + 76 = 67 ≠ 0.

–3

1 –5

4

3

4 –1 –3

2

= (1; –5; 3) et N∆1= (4; –1; –3). N∆2

= 2 (15 + 3) – (–3)(–3 – 12) + 4 (–1 + 20)

Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient :

1

–3

–5L1

≈ 2L2 – L1

4

3

4 –1 –3 L3 – 2L1

2 32

28

–1

La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5).

0

–3 4

2

0 5 –11

2 32

24

–65

–7

L1

≈ L2

7L3 + 5L2

0

–3 4

2

0 0 –67

2 32

24

–335

–7

La dernière ligne donne z = 5 et par substitution, on trouve y = –2 et x = 3.

Les vecteurs perpendicu-

laires à ∆ sont :

ExerciceDéterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.

Le produit mixte de ces vecteurs donne :

SS

∏ : 2x + y – 3z + 16 = 0 et

∆ : 4x + 5y – 2z + 19 = 0 et x + 3y + 2z – 4 = 0.

= (2; 1; –3). N∏

Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants.

Le vecteur normal à ∏ est :

= 50 – 49 = 1 ≠ 0.

1

4 5

L1 – 2L3

= L2 – 4L3

–3

–2

1 3 2 L3

0 –5

0

–7

–10

1 3 2

2

–7

= (4; 5; –2) et N∆1= (1; 3; 2). N∆2

= 1 –5 –7

–7 –10

Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient :

4

1

5L1

≈ L2 – 2L1

–3

–2

1 3 2 2L3 – L1

2 –16

–19

4

La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7).

0

1 –3

4

0 5 7

2 –16

13

24

3

L1

≈ L2

3L3 – 5L2

0

1 –3

4

0 0 1

2 –16

13

7

3

La dernière ligne donne z = 7 et par substitution, on trouve y = –5 et x = 5.

ConclusionOn peut caractériser une droite de R3 en donnant un point de celle-ci

et un vecteur directeur. Cela est suffisant pour déterminer une

description de la droite par des équations.

À partir des équations d’une droite, on peut facilement déterminer

un vecteur directeur et un point de celle-ci. Ces informations

permettent de déterminer les positions relatives de deux droites et les

positions relatives d’une droite et d’un plan.

On ne peut caractériser une droite par un vecteur perpendiculaire,

car il y a une infinité de vecteurs perpendiculaires à une droite. C’est

pourquoi il faut deux équations de plans pour déterminer une droite

dans l’espace. Cependant, à partir de deux vecteurs perpendiculaires,

on peut déterminer un vecteur directeur en effectuant un produit

vectoriel.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 12.1, p.333-342.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 10.3, p. 260-269.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 12.2, p. 342-344.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 10.2, p.269-272.