Applications des mathematiques:

Moteur a combustion interne

Mathematiques

Appliquees et

Genie Industriel

Resume Dans cet exemple, on presente le moteur a combustion interne eton calcule son travail en utilisant les integrales curvilignes ainsi quele theoreme de Green.

Domaines du genie Electrique, Mecanique

Notions mathematiques Integrales curvilignes, Theoreme de Green

Cours pertinents Calcul II

Auteur(es) N.Khattabi

Sommaire

1 Introduction 2

2 Resolution 3

3 Conclusion 4

References 4

Moteur a combustion interne MAGI

1 Introduction

Figure 1: Un moteur acombustion interne.

Les moteurs a combustion interne (ou a explosion) transforment l’energiechimique stockee dans un carburant en travail grace a l’expansion dugaz durant la combustion. Ils sont principalement utilises pour la pro-pulsion des vehicules de transport : avions a helice, automobiles, motos,camions et bateaux.

Dans le present exemple. on s’interesse aux moteurs dits a 4 temps.La figure ci-dessous, tiree de la reference [3], montre la sequence desmouvements qui se produisent dans chacun des quatre cylindres d’unmoteur a combustion interne. Chaque piston monte et descend et estrelie au vilbrequin par une bielle. Soit P (t) et V (t) la pression et levolume a l’interieur d’un cylindre au moment t, ou a 6 t 6 b indique

la duree d’un cycle complet. Le graphique montre comment P et V varient au cours d’un cycle d’unmoteur a quatre temps.

Figure 2: Un schema du moteur acombustion interne.

P

VO

1 2

3

4

5

C

Figure 3: Un graphique des variations de P et V aucours d’un cycle.

Pendant l’admission (de 1 a 2), un melange d’air et de carburant a la pression atmospherique est admisdans le cylindre, la soupape d’admission etant ouverte, pendant que le piston se deplace vers le bas.Le piston comprime ensuite rapidement le melange, les deux soupapes etant fermees, c’est la phase decompression (de 2 a 3). Le volume diminue et la pression augmente. En 3, c’est la phase de l’explosion,une etincelle enflamme le carburant, faisant augmenter tres rapidement la temperature et la pressiontandis que le volume reste presque constant jusqu’en 4. Alors, les soupapes etant fermees, la pressiondu gaz chaud repousse brutalement le piston vers le bas, c’est la phase moteur (de 4 a 5). Finalement,pendant la phase de l’echappement, la soupape d’echappement s’ouvre ; la pression et la temperaturediminuent et l’energie mecanique emmagasinee dans le volant tournant pousse le piston vers le haut,forcant le reste des gaz inutiles a s’evacuer par la soupape d’echappement. La soupape d’echappement seferme, la soupape d’admission s’ouvre. On est de retour en 1 et le cycle recommence. Dans cet exemple,nous allons montrer une facon de calculer le travail effectue sur le piston durant un cycle moteur a quatretemps.

2

Moteur a combustion interne MAGI

2 Resolution

Soient x(t) la position du piston au temps t a partir de son point le plus haut (x = 0) au sommet ducylindre et A l’aire d’une section horizontale du piston. Dans ce cas, le volume est V (t) = Ax(t). Onnote que la force sur le piston est : −→

F = AP (t)−→i . (1)

Par definition, le travail d’un champ ~F le long d,une courbe C est :

W =∫

C1

−→F ·

−→dr

ou C1 est donnee par −→r (t) = x(t)−→i + y(t)

−→j + z(t)

−→k avec a 6 t 6 b. C1 est donc une courbe dans

l’espace R3. Rappelons que C est une courbe parametree dans le plan P − V de la figure 3.

Il s’ensuit que :

W =∫

C1

−→F ·

−→dr.

Par definition de l’integrale curviligne et en remplacant ~F dans l’expression (??), on a :

=∫ b

aAP (t) x′(t)dt,

Or V = Ax, on deduit :

=∫ b

aP (t)V ′(t)dt,

Par definition de dV , on retrouve donc :

=∫C

PdV.

Soient A1 l’aire de la grande region (3− 4− 5), A2 l’aire de la region plus petite (1− 2) ainsi que B1

et B2 les parties de la courbe C qui definissent ces regions.

On a alors :

W =∫C

PdV =∫

B1

PdV +∫

B2

PdV.

Grace au theoreme de Green, on deduit que la premiere integrale est l’aire de la grande boucle et ladeuxieme integrale est egale a moins l’aire de la petite boucle. On obtient le signe negatif parce que B2

est parcourue dans le sens contraire de l’aiguille d’une montre.

Par consequent :

W =∫C

PdV = A1 −A2.

3

Moteur a combustion interne MAGI

3 Conclusion

Dans cet exemple, on a presente le moteur a combustion interne avec le graphique qui montre avec uneboucle C les variations de P et V au cours d’un cycle, on a ensuite calcule son travail et montre quece dernier est simplement la difference des aires des deux boucles formees par C. Comme l’indique lafigure 3, c’est la partie de la courbe C1 du point 4 a 5 qui a le plus d’impact sur la quantite de travailfait par le moteur. Les ingenieurs essaient donc en general d’augmenter la pression au point 4, le rendrela courbe 4-5 moins convexe, et de diminuer la pression au point 5, au debut de l’echappement. Enparticulier, les moteurs Diesel ont une plus grande pression au point 4 et sont donc les plus efficaces desmoteurs conventionnels.

References

[1] STEWART, James. Analyse, concepts et contextes : Vol 2. Fonctions de plusieurs variables. Paris :De Boeck Universite, 2001. BIBLIO POLY : QA 303 S8314 v.2 2001

[2] La figure 1. [En ligne]. http ://cesifs.emse.fr/BULLES/BELLECOMBE/BULLES-3/Science/Pages/moteur.html Page consultee le 20 mai 2009.

[3] La figure 2 : STEWART, James. Analyse, concepts et contextes : Vol 2. Fonctions de plusieursvariables. Paris : De Boeck Universite, 2001. BIBLIO POLY : QA 303 S8314 v.2 2001

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