CHAPITRE VII

APPLICATIONS DES DEUX PRINCIPES

La thermodynamique permet, lors de l’évolution d’un système d’un état d’équilibre 1 vers un état d’équilibre 2 de:

- déterminer dans quelles conditions l’évolution de 1 vers 2 est possible,

- connaître les quantités d’énergie échangées (quelle que soit la forme : chaleur ou travail).

Le fait que la transformation soit réversible ou pas n’est en général pas très important car U, H et S sont des fonctions d’état.

On va définir dans ce chapitre des relations générales valables pour tout système thermodynamique.

A) COEFFICIENTS CALORIMETRIQUES

Exprimer les deux principes sous leur forme mathématique permet d’obtenir sans aucune autre hypothèse l’expression des coefficients calorimétriques à partir de l’équation d’état du système.

U, H et S étant des fonctions d’état,

dU, dH et dS sont des différentielles totales exactes.

I- ECHANGE DE TRAVAIL SOUS FORME DETRAVAIL DES FORCES DE PRESSION1°) Expressions de dU, dH, dS1-1) Expressions des coefficients calorimétriques (rappel…) :

dVhdTCQdVdTCQ

prev

Vrev

+=δ+=δ l

( )dVPdTCQWdU vrévrév −+=δ+δ= l

( )dPVhdTCdHdPVQdPVdVPQWdPVdVPdUdH

P

révrévrév

++=+δ=++δ+δ=++=

1-2) Expression de dU

1-3) Expression de dH

1-4) Expressions de dS

dPThdT

TC

dS;dVT

dTTCdS

TQdS

pv

rev

+=+=

δ=

l

2°) dU et dS sont des différentielles totales exactes( )

VVVT

vTP

TTP

VC

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ ll

TTVC

TTTVC

TTT

VT

C

VT

V

VT

V

VT

V

ll

ll

l

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

211

VTPT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=l

3°) dH et dS sont des différentielles totales exactes

( )PPPT

PTV

Th

TVh

PC

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂+∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Th

Th

PC

Th

Th

TPC

TTTh

PT

C

VT

P

PT

P

PT

P

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

211

PTVTh ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

4°) Application au gaz parfait

Vh;P −==l

5°) Expressions de CP et CV

Cas des gaz parfaits : nRCC VP =−

6°) Expressions de dU et dH

On identifie

PVVP

PTVP

TVPrév

TVPPVrév

TV

TPTCC

TVThordV

VPhCC

dVVPhdT

TPhCQ

dVVPdT

TPhdTCdPhdTCdVdTCQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=+=+=δ l

dPVdSTdHWQdUet

TQdScar

dVPdSTdUrévrév

rév

+=δ+δ=

δ=

−=

7°) Application à la détente isenthalpique d’un gaz réelRappel détente de Joule-Thomson (chapitres 1 et 5): la détente adiabatiqueirréversible d’un gaz parfait à travers une parois poreuse est isotherme. Cen’est pas vrai pour un gaz réel. Pour l’air ou le gaz carbonique, T , pour le dihydrogène, T …

( )

)T1(C.nV)T1(

CV

dPdT

0dPTV

VT1VdTCdP

TVTVdTCdH

ParfaitGazpascarVTVTh

C.nCetdPVhdTCdH

pp

PP

PP

P

PPP

αα −−=−−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

=++=

α

Coefficient de Joule Thomson (si >0 T , si <0 T )

II- AUTRES SYSTEMESExemple : Déformation élastique d’une barre

1) Equation d’état (cf poly pour démo)

)F,T(LAE

F)TT(1LL 00 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−α+=

2) Expression des coefficients calorimétriques

dFhdTCQdLdTCQ

Frév

Lrév

+=δ+=δ l

Comme pour le gaz parfait pour lequel on avait une

relation entre P, V et T, on a une relation entre F, L et

T si 2 grandeurs connues alors la 3ème est

fixée.

Analogie :gaz parfait barre élastique

P FV L

3) Energie interne, enthalpie et entropie de la barre

4) Expression des coefficients calorimétriques (démo dans poly)En exprimant que dU, dH et dS sont des différentielles exactes, on aboutit à:

TAELTL

TFTCC

TLTLTh;TAE

TFT

FLLF

FL

02

0

α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=−

α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=l

Dans ce cas : FdLWrév +=δ

( )

( )

dFThdT

TCdS

dLT

dTT

CdS

dFLhdTCdFLQdFLdLFdLFQdHFLUH

dLFdTCdLFQWQdU

F

L

Frévrév

Lrévrévrév

+=

+=

−+=−δ=−−+δ=−=

++=+δ=δ+δ=

l

l

B) MACHINES THERMIQUESMachine thermique = système dans lequel il y a échange de travail et de chaleur. L’objectif est de transformer l’énergie thermique en énergie mécanique ou inversement Ce sont des transformateurs d’énergie.

Nombreux dispositifs domestiques et industriels:- Réfrigérateur- Climatiseur- Pompe à chaleur- Centrales électriques (thermiques ou nucléaires)

Dans la plupart de ces exemples, il s’agit de la transformation d’énergie thermique en énergie mécanique puis en énergie électrique (centrales nucléaires ou thermiques ) ou inversement (frigo, clim, pompe à chaleur…).Nous ne nous intéresserons qu’à la machine thermique (transformations Eméca Ethermique) et pas à la machine électrique (transformations EmécaEélectrique).

Rappel : introduction à la thermodynamique

CENTRALE THERMIQUE

Différente forme d’énergie

Différents procédés de transformation de l’énergie

Différents système de transport d’énergie

Combustion

Générateurde vapeur

Turbine

Condenseur

Alternateur

Energie mécanique

EnergieElectrique

Energie thermique

Energie primaire

Energie thermique

Hypothèses générales :

Sources considérées comme parfaites (thermostats à T = cte).

Dispositifs mécaniques supposés parfait (aucune dissipation thermique).

Fonctionnement par cycle.

Les conversions d’énergie mécanique/thermique sont assurées par un agent de transformation qui sera notre système thermodynamique σ.

D’où:ΔUσ = W + Q = 0ΔSσ = 0

1) Machine monotherme

Système σeffectuant des

cyclesThermostat σ0

T0Q

DispositifMécanique

M W

-W -Q

Impossibilité du moteur monotherme (impossibilité de produire du travail en cycle en utilisant qu’une seule source de chaleur) intérêt très limité !

Par contre la conversion d’énergie mécanique en énergie thermique est possible mais aussi d’un intérêt limité car possible avec un simple patin de frein …

Q et W absorbés par le système au cours d ’un cycle (>0 ou <0)

2) Machine ditherme

Système σeffectuant des

cycles

Thermostat σ1T1

Q1DispositifMécanique

M W-W

-Q1

Thermostat σ2T2

Q2-Q2

Convention :

Q1, Q2 et W absorbés par le système au cours d ’un cycle (>0 ou <0)

Si > 0 : gagné par le système, si <0 perdu par le système.

Supposons que T1 > T2 (σ1 = source chaude, σ2 = source froide.)

Le système σ subissant des cycles, on a :

Premier Principe

Deuxième Principe : ΔS ’= ΔSΜ + ΔSσ + ΔSσ1 + ΔSσ2

= 0 + 0 2

2

1

1TQ

TQ

−−

00 =Δ=Δ σσ S;U

00 21 =++⇒=Δ σ QQWU

Fonctionnement réversible :

Fonctionnement irréversible : 0TQ

TQ

2

2

1

1 <+

0TQ

TQ

2

2

1

1 =+

car ΔS ’> 0

car ΔS ’= 0

Diagramme de RaveauQ1

Q2

D2 Q1= - Q2

D1 Q1= - T1/T2 Q2

I

II

III

IV

22

11

2

2

1

1 QTTQ0

TQ

TQ

−<⇒<+

CAS 1 : Q1> 0, Q2< 0 et admettons que lQ1l > lQ2l l doncdonc on est dans la zone I :

W = - Q1 - Q2 < 0 la machine est un moteur.

Q1 est transformée en partie en travail, le reste est rejeté à la source froide.

Fonctionnement possible seulement si le point de fonctionnement M(Q1,Q2) est « en dessous » de la droite D1.

On peut distinguer quatre cas qui correspondent à différentes zones sur le diagramme.

Impossible

⇒

02

2

1

1 =+TQ

TQ

Q1 et Q2 de signe contraire

T1 > T2

Soit : Q1 > 0 Q2 < 0

21 QQ >⇒

Cas du moteur thermique réversible

1H QQ ≡

00 21 >+⇒< QQW

Définition du CoP(Coefficient of Performance) fournieénergie

utileénergiepaiejequece

obtiens'jquece

=

La machine:- prend de l’énergie sous forme de chaleur à la source chaude.- cède de l’énergie sous forme de chaleur à la source froide . - fournie de l’énergie sous forme de travail.

2B QQ ≡

W

Pour le moteur thermique, le CoP est toujours <1.

Donc le moteur emprunte plus d’énergie à la chaleur à la source chaude qu’il n’en restitue comme travail mécanique même en fonctionnement réversible ... fonctionnement réversible = fonctionnement idéal c’est le CoP max pour T1 et T2 données = CoP de Carnot !

12

12

121

1 TT1

QQ1

QQQ

QW

fournieEnergieutileEnergie

CoP −=+=+

=−

=

=

1TT1CoPTT

12

moteur21 <−= ⇒ >

Pour avoir un bon CoP, il faut une source chaude la plus chaude possibleune source froide la plus froide possible.

En cas de fonctionnement non réversible, le CoP sera inférieur au CoP de Carnot … le CoP de Carnot fixe la limite supérieure !

T en KELVIN !