MTH1007 Polytechnique Montr eal...Les coe cients sont donn es par les solutions sp eciales. Th eor eme Un vecteur x appartient au noyau N(A) si et seulement si il est combinaison lin

Chapitre 3: Espaces et sous-espaces vectoriels

MTH1007 Polytechnique Montreal

Polytechnique Montreal

13 fevrier 2018

MTH1007 Polytechnique Montreal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 fevrier 2018 1 / 35

3.1 Espaces de vecteurs (1)

Definition

Un espace vectoriel (reel) est un ensemble V muni de deux operations :si u et v sont des elements de V et c ∈ R alors on definit des elements

1 u + v ∈ V .

2 cu ∈ V .

Ces deux operations satisfont a 8 proprietes telles que la commutativite,l’associativite, etc., qui sont donnees a la page 128 du livre.

Remarque : On peut aussi definir des espaces vectoriels ou les scalairessont de nombres complexes c ∈ C.



Definition

Un sous-espace d’un espace vectoriel V est un sous-ensemble W devecteurs de V qui satisfait a deux exigences : si u et v sont des vecteursdu sous-espace W et si c ∈ R alors

1 u + v appartient a W (fermeture sous l’addition).

2 cu appartient a W (fermeture sous la mutiplication par un scalaire).



Remarques

1 Les deux exigences dans la definition d’un sous-espace impliquent que0 ∈W . Autrement dit, un sous-espace vectoriel contient toujours levecteur nul.

2 Par definition, un sous-espace vectoriel W contient toutes lescombinaisons lineaires de vecteurs provenant de W .

3 Reciproquement, si v1, v2, . . . , vn sont des vecteurs de l’espacevectoriel V alors l’ensemble de toutes les combinaisons lineaires desvecteurs vi est un sous-espace vectoriel de V .Ce sous-espace est le sous-espace engendre par les vecteurs vi .

4 Si V est un espace vectoriel alors V lui-meme et Z = {0} sont dessous-espaces vectoriels de V . On les appelle sous-espaces triviaux.



Definition

L’espace des colonnes d’une matrice A de taille m × n est constitue detoutes les combinaisons lineaires des colonnes de A (vues comme desvecteurs). Il est note C (A). C’est un sous-espace de Rm.

Important :

Le SEL Ax = b possede une solution si et seulement si b ∈ C (A).


3.1 Espaces de vecteurs

Exemple : L’espace des colonnes de la matrice A =

1 02 53 6

est

represente par un plan dans l’espace.


3.2 Le noyau de A

Definition

Le noyau d’une matrice A est l’ensemble des vecteurs qui sont solutionsau SEL Ax = 0. On le note N(A).

Theoreme

Si A est une matrice de taille m × n alors N(A) est un sous-espace de Rn.


3.2 Le noyau de A

Definition

Une matrice est echelonnee si le premier element non nul d’une ligne esttoujours situe dans une colonne a droite du premier element non nul de laligne precedente.

Exemple : x1, x4, x5 sont les variables pivots et x2, x3, x6 sont les variableslibres.

[

x1 x4 x5

↓ ↓ ↓

A =

p * * * * *0 0 0 p * *0 0 0 0 p *0 0 0 0 0 0

4×6

[

↑ ↑ ↑x2 x3 x6


3.2 Le noyau de A

Pour obtenir la forme echelonnee d’une matrice quelconque :

1 Appliquer la procedure d’elimination si un pivot est disponible.

2 Si un zero apparaıt a la place d’un pivot mais il existe un element nonnul dans la meme colonne, permuter les lignes pour obtenir un pivot.

3 Si aucun pivot n’est disponible dans une colonne, passer a laprochaine colonne pour appliquer la procedure d’elimination.

Definition

Les colonnes contenant un pivot correspondent aux variables pivots.

Les colonnes ne contenant pas de pivot correspondent aux variableslibres.


3.2 Le noyau de A

Pour resoudre le SEL Ax = 0, c’est-a-dire obtenir le noyau de A :

1 Obtenir la forme echelonnee de A.

2 Poser la premiere variable libre egale a 1 et les autres variables libresegales a 0. Ceci donne la premiere solutions speciale.

3 Resoudre le systeme triangulaire ainsi obtenu pour les variables pivots.

4 Repeter les etapes 2 et 3 pour chacune des autres variables libres.Ceci donne les solutions speciales du SEL.

Si s1, s2, . . . , sp sont les solutions speciales du SEL alors

N(A) = {a1s1 + a2s2 + · · ·+ apsp | ai ∈ R} .

Le noyau de A est constitue de toutes les combinaisons lineaires dessolutions speciales.


3.2 Le noyau de A

Remarques importantes :

Si A est de taille m× n alors elle possede au plus m pivots : il ne peuty avoir plus de pivots que de lignes.

Si m < n (plus de colonnes que de lignes) alors il y a au moinsn −m > 0 variables libres. Dans ce cas, le noyau contient dessolutions non triviales : N(A) 6= {0}.


3.2 Le noyau de A

Definition

Une matrice A est echelonnee reduite si

1 Elle est echelonnee.

2 Chaque pivot est egal a 1.

3 Chaque pivot est le seul element non nul dans sa colonne.

Exemple :

A =

1 * * 0 0 *0 0 0 1 0 *0 0 0 0 1 *0 0 0 0 0 0

4×6

On obtient la forme echelonnee reduite de A en poursuivant l’eliminationde facon a obtenir des 0 au-dessus des pivots, en plus des pivots endessous, puis en divisant chaque ligne par son pivot (si elle en contient un).


3.2 Le noyau de A

Remarque importante :

Si A est inversible alors sa forme echelonnee reduite est la matrice identiteI .

Dans ce cas, la seule solution a Ix = 0 est x = 0 et N(A) = {0}.


3.3 Rang et forme reduite d’une matrice

Definition

Le rang d’une matrice A est le nombre de pivots de la matrice. Il est noter(A).

Remarque :

Si A est de taille m × n alors r(A) ≤ min{m, n}.


3.3 Rang et forme reduite d’une matrice (2)

Remarques :

1 Les r colonnes pivots de la matrice echelonnee reduite R, avec les rlignes pivots correspondantes, forment la matrice identite r × r .

2 Les numeros des colonnes pivots de A et R sont les memes.

3 Une colonne pivot de R n’est pas combinaison lineaire des colonnesprecedentes.

Ceci signifie : les colonnes pivots sont lineairement independantes.

4 De meme, les colonnes pivots de A sont lineairement independantes.

5 Les espaces colonnes C (A) et C (R) sont en general differents.

6 Une definition equivalente de r(A) est :

r(A) = nb. colonnes pivots de A= nb. colonnes lineairement independantes de A.



Solutions speciales

1 Si A est de taille m× n et de rang r alors A possede r variables pivotset n − r variables libres.

2 Les colonnes libres sont combinaisons lineaires des colonnes pivots.

Les coefficients sont donnes par les solutions speciales.

Theoreme

Un vecteur x appartient au noyau N(A) si et seulement si il estcombinaison lineaire des solutions speciales s1, s2 . . . , sn−r .



Definition

Si s1, s2 . . . , sn−r sont les solutions speciales d’une matrice A alors lamatrice noyau correspondante est

N =[

s1 s2 · · · sn−r

].



Matrices de rang 1

Si une matrice est de rang 1 alors

Elle possede une seule colonne pivot et une seule ligne pivot, vT .

Chaque vecteur du noyau est perpendiculaire a vT .

En dimension 3, l’espace des lignes de A, engendre par v, est unedroite perpendiculaire au plan engendre par les solutions speciales,correspondant au noyau N(A).


3.4 La solution complete a Ax = b

Solution a un SEL

Pour resoudre le SEL Ax = b :

trouver la forme echelonnee reduite [R|d] de [A|b]

resoudre pour les variables pivots en fonction des variables libres.

Ceci est possible si et seulement si R et d ont les memes lignes nulles.


3.4 La solution complete a Ax = b (2)

Definition

Une solution particuliere xp du SEL Ax = b (si elle existe) est obtenueen posant toutes les variables libres egales a zero.

Theoreme

Toute solution au SEL Ax = b s’ecrit

x = xp + xn

ou xp est une solution particuliere et xn ∈ N(A).



Matrice de plein rang colonne

On considere une matrice A de taille m × n avec r(A) = n.

1 R =

[In×n

0(m−n)×n

].

2 Chaque colonne possede un pivot.

3 Il n’y a aucune variable libre ou solution speciale.

4 N(A) = {0}.5 Ax = b possede soit une solution unique, soit aucune solution.



Matrice de plein rang ligne

On considere une matrice A de taille m × n avec r(A) = m.

1 R =[Im×m Fm×(n−m)

].

2 Chaque ligne possede un pivot.

3 Il y a n −m variables libres et solutions speciales.

4 N(A) est engendre par les solutions speciales.

5 Ax = b possede soit une solution unique, soit une infinite de solutions.



Matrice de plein rang colonne et plein rang ligne

On considere une matrice A de taille n × n avec r(A) = n.

1 R = I (A est inversible).

2 Chaque ligne et chaque colonne possede un pivot.

3 Il n’y a aucune variables libre et aucune solution speciale.

4 N(A) = {0}.5 Ax = b possede une solution unique.



Matrice qui n’est pas de plein rang

On considere une matrice A de taille m× n avec r(A) = r et r < m, r < n.

1 R =

[Ir×r Fr×(n−r)

0(m−r)×r 0(m−r)×(n−r)

].

2 Certaines lignes et certaines colonnes n’ont pas de pivot.

3 Il y a n − r variables libres et solutions speciales.

4 N(A) est engendre par les solutions speciales.

5 Ax = b possede soit aucune solution, soit une infinite de solutions.


3.5 Independance, base et dimension

Definition

Les vecteurs v1, v2, . . . , vn sont lineairement independants six1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn = 0 implique que xi = 0 pour chaque i .

S’il existe une combinaison lineaire des vi avec des coefficients non nulsqui donne 0 alors ces vecteurs sont lineairement dependants.

Theoreme

Les colonnes d’une matrice A sont lineairement independantes si :

la seule solution de Ax = 0 est x = 0 ;

ou encore, N(A) = {0}.



Theoreme

Les colonnes de la matrice Am×n sont lineairement independantes si etseulement si r(A) = n.

Consequence de ce theoreme :

Theoreme

Si n > m alors n vecteurs de Rm sont necessairement dependants.



Definition

Un ensemble de vecteurs v1, v2, . . . , vn engendre (ou genere) un espacevectoriel V si tout vecteur de V est combinaison lineaire des vecteurs vi .

Definition

Un ensemble de vecteurs {v1, v2, . . . , vn} est une base d’un espacevectoriel V si

1 les vecteurs vi sont lineairement independants ;

2 et les vecteurs vi engendrent V .



Pour une matrice A de taille n × n qui est inversible :

les colonnes sont lineairement independantes ;

C (A) = Rn.

Autrement dit, les colonnes de A forment une base de Rn.

Pour une matrice A de taille m × n :

les colonnes ne sont pas necessairement lineairement independantes ;

les colonnes pivots forment une base de C (A).



Theoreme

Si les vecteurs v1, v2, . . . , vn forment une base de l’espace vectoriel V alorstout vecteur de V s’ecrit de facon unique comme combinaison lineaire desvecteurs vi .

Theoreme

Si {u1,u2, . . . ,un} et {v1, v2, . . . , vm} sont deux bases d’un espacevectoriel donne alors m = n.

Autrement dit, toute base d’un espace vectoriel contient le meme nombrede vecteurs.

Definition

La dimension d’un espace vectoriel V est le nombre de vecteurs dans unebase de V . On note dimV la dimension de V .


3.6 La dimension des quatre sous-espaces

On considere une matrice A de taille m × n et R sa forme echelonneereduite. Soit r = r(A).

Espace des lignes de A : C (AT )

1 C’est le sous-espace de Rn engendre par les lignes de A.

2 A et R ont le meme espace des lignes : C (AT ) = C (RT ).

3 Les r premieres lignes de R (lignes pivots) forment une base deC (RT ).

Les lignes pivots de A forment une base de C (AT ).

4 La dimension de C (AT ) et de C (RT ) est egale au rang r de A.




Espace des colonnes de A : C (A)

1 C’est le sous-espace de Rm engendre par les colonnes de A.

2 En general, C (A) 6= C (R).

3 Les r colonnes pivots de A forment une base de C (A).

4 La dimension de C (A) et de C (R) est egale au rang r de A.




Noyau de A : N(A)

1 C’est le sous-espace de Rn constitue des vecteurs x tels que Ax = 0.

2 A et R ont le meme noyau.

3 Les solutions speciales forment une base de N(A) et de N(R).

4 On a dimN(A) = dimN(R) = n − r .




Noyau a gauche de A : N(AT )

1 C’est le sous-espace de Rm constitue des vecteurs y tels que ATy = 0(autrement dit, yTA = 0).

2 On a dimN(AT ) = m − r .



Theoreme

Pour toute matrice A de taille m × n on a

1 dimC (AT ) + dimN(A) = n.

2 dimC (A) + dimN(AT ) = m.



Theoreme

n vecteurs lineairement independants de Rn engendrent Rn.

n vecteurs qui engendrent Rn sont necessairement lineairementindependants.

Ce theoreme peut etre reformule comme suit en termes de SEL :

Theoreme

Si les colonnes d’une matrice A de taille n × n sont lineairementindependantes alors elles engendrent Rn (c’est-a-dire que C (A) = Rn)et Ax = b possede une solution unique.

Si les colones d’une matrice A de taille n × n engendrent Rn alorselles sont lineairement independantes et Ax = b possede une solutionunique.


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