Méthode des EF étendus - cgeo.ulg.ac.be · 3 Méthode des EF étendus Plan de la présentation Introduction Rappels Problème simple (saut sur la variable primale) Extensions en

Méthode des EF étendus

Une introduction à la méthode des éléments finis étendus

2


Eric Béchet (it's me !)

Études d'ingénieur à Nancy (Fr.)

Doctorat à Montréal (Can.)

Carrière académique à Nantes puis Metz (Fr.)

Puis Liège... Contact :

3


Plan de la présentation

Introduction Rappels Problème simple (saut sur la variable primale) Extensions en 2D / 3D Autre problème (saut sur la dérivée) Autres applications et recherche actuelle Conditions aux limites Références et littérature

4


Notes de cours disponibles à l'adresse

http://www.cgeo.ulg.ac.be/X-FEM

5


Introduction

Calcul par éléments finis « classiques » Géométrie délimitée par les bords des éléments

Limites du domaine de calcul Interfaces entre deux zones

aux propriétés différents Une modification de la géométrie

implique un changementde maillage

Les problèmes évolutifs (temps)peuvent nécessiter un remaillage à chaque pas du calcul

6


Introduction

Techniques de génération de maillage Peuvent être plus coûteuses en temps que le calcul

par éléments finis lui-même Impliquent une interaction homme-machine

fréquente Sont une source potentielle d'erreurs

Humaines Robustesse des algorithmes

7


Introduction

8


Introduction

Idée ici: Minimiser les contraintes sur le maillage utilisé Mais la génération de maillage reste nécessaire

Calcul précis si éléments de plus faible taille

→ Adaptation de maillage

9


Rappels

On se base sur la MEF en partant d'une forme faible :

Discrétisation: On cherche u dans un espace discrétisé (les fonctions tests v font partie de )

uh x =∑i

i N i x , x∈

Trouver u∈H 1(Ω) tel que

∫Ω

a (u , v)d Ω=∫Ω

b(v)d Ω ∀ v∈H 01(Ω)

V h⊂H 1(Ω)

V 0h⊂H 01(Ω)

10


Rappels

Un maillage conforme de l'espace sert à définir les fonctions de forme

FF à support compact Partition de l'unité Interpolation

∑i

N i=1

u x i=i

u x =∑k

k N k pour x∈T j

11


Rappels

FF à support compact Permet d'avoir des matrices creuses (donc peu

volumineuses en mémoire) Partition de l'unité

On sait représenter un champ constant ! Interpolation

Facilité pour imposer des conditions de Dirichlet Utilisation de maillages conformes

Précalcul de nombreuses opérations possible au niveau élémentaire

12


Problème simple

Barre 1D (L, E, S) encastrée soumise à un effort réparti f(x)

On veut déterminer le déplacement u(x) et on veut couper cette barre (penser à une fissure) Avec la MEF standard Avec la méthode des éléments finis étendus

f(x)

L

13


Problème simple

Forme faible, ici cond. limites homogènes

avec

Trouver u∈H 01 tel que

a u ,v =bv ∀ v∈H 01

a u , v =∫0

L

ES ∂ u∂ x

⋅∂ v∂ x dx bv =∫

0

L

f x ⋅v dx

Matrice élémentaire (de raideur)

Vecteur élémentaire (efforts extérieurs)

14


Problème simple

Discrétisation : Éléments finis linéaires, fonctions de forme nodales.

uh x =∑i

i N i x

N 1 x N 2 x N 3 x N 4 x

15


Problème simple

En reportant la forme discrétisée de u et v dans la forme faible, on obtient le système linéaire suivant :

Ici, les coefficients et sont nuls (encastrement)

[k 22 k 23

k 32 k 33]⋅2

3= f 2

f 3

1 4

k ij=∫0

L

ES∂ N i

∂ x⋅∂ N j

∂ xdx

f i=∫0

L

N i⋅ f x dx

16


Cas FEM

Ajouter deux noeuds et refaire le calcul Cela s'appelle « remailler », c'est rapide et

robuste en 1D, moins en 2D et beaucoup moins en 3D

N 1 x N 2 x N 3 x N 4 x

N 5 x N 6 x

17


Cas FEM

Après discrétisation, on obtient :

Les deux parties entourées sont indépendantes On peut faire deux calculs séparés pour

résoudre chaque sous-problème

[k 22 k 23 0 0k 32 k 33 0 00 0 k 44 k 45

0 0 k 54 k 55]⋅2

3

4

5=

f 2

f 3

f 4

f 5

18


Cas FEM

La signification physique des DDL est conservée ( signifie le déplacement au nœud i.)

Il y a bien une discontinuité entre les déplacement aux nœuds 3 et 4

Rien ne change à l'implémentation – seul le maillage et sa topologie sont modifiés

i

19


Cas X-FEM

On ne pas touche pas au maillage On peut par contre modifier/ajouter des

fonctions de formes

N 1 x N 2 x N 3 x N 4 x

20


Cas X-FEM (I)

Possibilité (I) :

N 1 x N 3+ x N 4 x N 2

- x

21


Cas X-FEM (I)

Possibilité (I) :

N 1 x N 3+ x N 4 x

+N 2

+ x

N 2- x

22


Cas X-FEM (I)

Possibilité (I) :

N 1 x N 3+ x N 4 x

+N 2

+ x

N 3- x

+

N 2- x

23


Cas X-FEM (I)

Comment calculer les à partir des ? On introduit la fonction Heaviside :

Ainsi que son complément :

s est la distance à la coupure (ici, )

N j+,- N i

H s={0 si s≤01 si s0

H s={1 si s≤00 si s0

s=x−L2

24


Cas X-FEM (I)

Avec ces notations, on a :

On peut noter que la partition de l'unité est conservée

{N i+ x =N i x ⋅H s

N i- x =N i x ⋅H s

25


Cas X-FEM (I)

On doit séparer les noeuds du maillage Ceux qui ont des degrés de liberté «normaux»

vont dans l'ensemble N Ceux qui ont des degrés de liberté modifiés vont

dans l'ensemble C Le champ u s'exprime alors :

u x =∑i∈N

i N i x ∑j∈C

j+ N j

+ x ∑

k∈C

k- N k

- x

26


Cas X-FEM (I)

Système linéaire On numérote les DDL de façon suivante :

[ 1 2 3 4 5 61 2

-3

-2

+3

+4]

[k 22

- k 23- 0 0

k 32- k 33

- 0 0

0 0 k 22+ k 23

+

0 0 k 32+ k 33

+ ]⋅2

-

3-

2+

3+=

f 2-

f 3-

f 2+

f 3+

27


Cas X-FEM (I)

On arrive de nouveau à séparer les deux parties

La signification des degrés de libertés est partiellement perdue

On doit modifier certaines fonctions de formes et en rajouter d'autres

Il faut deux fonctions Heaviside pour modifier les fonctions de base

28


Cas X-FEM (II)

Sans toucher aux fonctions de base ! (cas II)

N 1 x N 3 x N 4 x

+

N 2* x

N 3* x +

N 2 x

29


Cas X-FEM (II)

Comment calculer les à partir des ? On introduit la fonction Heaviside modifiée :

Avec cette notation, on a :

N j* N i

H *s={−1 si s≤0

1 si s0

N i*x =N i x ⋅H *

s

30


Cas X-FEM (II)

On doit encore séparer les nœuds du maillage Ceux qui portent des degrés de liberté modifiés

vont dans l'ensemble C Les fonctions classiques sont présentes partout

Le champ u s'exprime alors :

u x =∑i∈

i N i x ∑j∈C

j* N j

* x

31


Cas X-FEM (II)

Système linéaire On numérote les DDL de façon suivante :

[ 1 2 3 4 5 61 2 2

*3 3

*4]

[k 22 k 22* k 23 k 23*

k 2*2 k 2* 2* k 2*3 k 2* 3*

k 32 k 32* k 33 k 33*

k 3* 2 k 3* 2* k 3*3 k 3*3*

]⋅2

2*

3

3*=

f 2

f 2*

f 3

f 3*

32


Cas X-FEM (II)

Au niveau matriciel, les deux parties sont liées

A-t-on réellement deux parties séparées ? Assembler la matrice sans tenir compte des

conditions aux limites et déterminer le nombre valeurs propres nulles de cette matrice.

Si il n'y a qu'une seule entité, on aura une seule valeur propre nulle (la condition de Dirichlet manquante pour avoir un système non singulier)

Deux VP nulles -> la barre est bien coupée en deux car on a deux conditions de Dirichlet à imposer afin d'avoir un système non singulier

33


Cas X-FEM (II)

Cas sans coupure sans CL : matrice type

det K s− I =0

K s=k⋅[

1 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 1

]

Une valeur propre nulle.

k=3ES

L

34


Cas X-FEM (II)

Cas avec coupure sans CL : matrice type

K c=k⋅[

1 −1 1 0 0 0−1 2 −1 −1 0 01 −1 2 0 −1 00 −1 0 2 1 −10 0 −1 1 2 −10 0 0 −1 −1 1

]Deux valeur propre nulles – c'est OK

det K c− I =0

35


Cas X-FEM (II)

La signification des degrés de libertés est perdue

On garde les fonctions de base inchangées et on en rajoute d'autres par enrichissement On construit une sorte de base EF hiérarchique

Une seule fonction d'enrichissement pour la coupure (plus simple !)

36


Cas X-FEM

Les cas (I) et (II) sont équivalents (ils produisent exactement les même résultats)

On a en effet une combinaison linéaire entre les fonctions de formes de (I) et (II) :

le cas (II) rentre dans un cadre théorique – utilisation d'une fonction d'enrichissement et synthèse « constructive »

N 2 x =N 2+ x N 2

- x

N 2* x =N 2

+ x −N 2

- x

N 3 x =N 3+ x N 3

- x

N 3* x =N 3

+ x −N 3

- x

37


Définition

Méthode des éléments finis étendus Se base sur les fonctions de forme FEM classiques Rajoute le produit des ces FF par une ou des

fonctions d'enrichissement Ces fonctions d'enrichissement représentent un

comportement particulier de la solution que les FF classiques ne savent pas représenter (ex. discontinuité)

u x =∑i∈

i N i x ∑k∑j∈C

jk* N j x ⋅E k x

E k x

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Plan de la présentation

Introduction Rappels Problème simple (saut sur la variable primale) Extensions en 2D / 3D Autre problème (saut sur la dérivée) Autres applications et recherche actuelle Références et littérature

39


En 2D / 3D

Cas de l'élasticité linéaire Représentation de fissures Notion de Level-sets Propagation de fissures

40


Exemple 2D

Coin soumis à déplacement imposé (Elasticité linéaire)

a u ,v =∫

∇su : D: ∇

sv d

bv =∫

f⋅v d

Trouver u tel quea u ,v =bv ∀v

41


Exemple 2D

Déplacements sans la coupure (FEM standard)

u x =∑ i⋅ N i x N i x Les sont les

fonctions de forme linéaires (lagrange d'ordre 1)

42


Exemple 2D

On impose une coupure Modifications de l'espace

fonctionnel :

Comment sont définis et l'ensemble C ?

u x =∑i∈

i⋅ N i x

∑i∈C

i*⋅ N i x ⋅H *

s

H *s

43


Exemple 2D

lsn x

s=lsn x H *

s=H *lsn x

={x∈ℝ3/ lsn x =0}

lsn x

On défini le plan de coupe à l'aide d'une fonctions de niveau (level-set)On a

est la distance signée à l'interface

On prend simple-ment :

44


Exemple 2D

Définition des degrés de liberté enrichis (ensemble C) Ce sont les noeuds des éléments coupés par

(iso-0 de la level-set )

45


Exemple 2D

Après assemblage et calculon retrouve deux solides indépendants.

La géométrie de peut être quelcon-que.

Aucune modifica-tion du maillage

46


Point délicat

Intégration On doit sous-découper les éléments le long de

l'interface (fonctions non continues à intégrer) Sur chaque petit triangle (en rouge ici), on utilise une

quadrature de Gauss car l'intégrande est polynomial

47


Fissures

Modélisation des fissures Historiquement, première application de la méthode

des éléments finis étendus La fissure se propage, on ne veut pas générer un

nouveau maillage à chaque étape de propagation Une fissure est une coupure

incomplète dans le domaine

48


Fissures

Représentation géométrique de la fissure Elle ne fait pas partie du maillage Sa surface est définie comme précédemment par

une courbe de niveau lsn qui représenta la distance normale a la surface.

Il faut une indication de l'endroit ou s'arrête la fissure dans son plan

Pointe (ou front en 3D ) de fissure

49


Fissures

lst x

On utilise une autre level-set

Elle représente la distance au front de fissure (tangentiellement à la surface)

Les deux level-setsforment une baseorthonormée en pointe de fissure

50


Fissures

={x∈ℝ3/ lsn x =0, lst x ≤0 }

Le lieu de la fissure est défini ainsi :

La zone d'enrichissement C est modifiée

51


Fissures

La zone d'enrichissement C est modifiée Zone d'influence des nouvelles FF

52


Fissures


53


Fissures


Soit elle ne permet pas de couvrir la fissure jusqu'à son extrémité

54


Fissures


Soit elle ne permet pas de couvrir la fissure jusqu'à son extrémité

Soit elle « déborde »

55


Fissures

Il faut faire un traitement spécial en pointe de fissure On doit construire une fonction qui est discontinue

le long de la fissure et continue au delà

56


Fissures

T (s , t )={0 si t≥0H *

(s) si t≤−e

−t H *(s)

e si −e< t< 0

avec {s=lsn(x)t=lst (x)

e

t

s

e devrait représenter quelques couches d'éléments

57


Fissures

Ensemble des nœuds enrichis C' Inclut tous les nœuds dont le support est coupé par

la fissure.

u x =∑i∈

i⋅N i x ∑i∈C'

i*⋅ N i x ⋅T t , s

58


Fissures

Déplacements avec enrichissement en pointe de fissure

59


Fissures

La solution attendue en pointe de fissure est connue Pourquoi ne pas utiliser directement celle ci ? On peut l'obtenir analytiquement pour une fissure

dans un milieu infini → cf cours de mécanique de la rupture

60


Fissures

lsn=0

lst=0

r=lsn x 2lst x 2

=arg {lst x , lsn x }r

On définit une base polaire

=arctanlsn xlst x

61


Fissures

u1=1

2 r2 {K 1 cos

2−cosK 2 sin

22cos}

u2=1

2 r2 {K 1 sin

2−sinK 2 cos

2−2cos}

=E

2 1

=3−4

u3=2

2 r2 {K 3 sin

2 }

On tient compte de la solution asymptotique en pointe de fissure (fissure en milieu infini)

K1 , K

2 et K

3 sont des constantes qui ne dépendent

que des conditions aux limites (ce sont les facteurs d'intensité de contrainte)

62


Fissures

u1=a1r sin

2a2r cos

2a3r sin

2sina4 r cos

2sinCL x

u2=b1 r sin

2b2r cos

2b3r sin

2sinb4r cos

2sinCLx

u3=c1r sin

2c2r cos

2c3r sin

2sin c4r cos

2sin CLx

{f 1=r sin

2f 3=r sin

2sin

f 2=r cos

2f 4= r cos

2sin

f 1

Un peu de manipulation nous montre que:

On peut donc enrichir l'espace fonctionnel avec les fonctions indépendantes:

On peut noter que seule est discontinue.

63


Fissures

f 1 f 2

f 3 f 4

Allure des fonctions d'enrichissement (fissure d'Irwin)

64


Fissures

u x =∑i∈

i⋅ N i x

∑i∈C

i*⋅ N i x ⋅H *

s∑i∈T

∑j∈1..4

ij⋅N i x ⋅ f j r ,

f j r ,

Nouvel espace fonctionnel

Où enrichir ? En pointe de fissure (T) , car le reste du domaine

est déjà concerné par l'enrichissement Heaviside La solution utilisée pour construire les n'est

valable que dans le voisinage de la pointe.

65


Fissures

C

T

Choix des nœuds à enrichir L'ensemble C concerne les noeuds dont le support

est entièrement coupé par la fissure L'ensemble T concerne les noeuds dont le support

contient ou touche la pointe de fissure

66


Fissures

Déplacements avec enrichissement en pointe de fissure

67


Fissures

En choisissant bien l'enrichissement, amélioration du taux de convergence

68


Propagation de fissures

Pour faire se propager une fissure, il faut:

Faire l'assemblage du système linéaire

Résoudre le problème

Calculer des paramètres pertinents (pour lapropagation

Mettre à jour les level-sets lsn et lst La propagation de la fissure se fait selon des

lois bien définies Fatigue Fracture fragile etc...

69



Paramètres pertinents pour la propagation de fissures Coefficients de charge (facteurs d'intensité de

contraintes) liés à la géométrie et aux conditions aux limites.

Paramètre intrinsèque vis à vis du matériau se trouvant juste devant le front de fissure

Comportement du matériau vis à vis de ces FICs : propagation ductile (acier doux) ou fragile (verre, fonte)

Pour la rupture ductile, on exprime souvent le rapport (nombre de cycles de chargement)/(avancement de la fissure)

70



J=∫[ 12 ijij1j− ij

∂ ui

∂ x1]n j d

J 12=∫

[ 1

2 ij

1 ij

2ij

1ij

21j− ij

1 ij

2∂ui

1ui

2

∂ x1]n j d

I 12=2

1−2

EK 1

1 K 12K 2

1 K 22

1

K 31 K 3

2

n j

I 12=∫

[ ij

1ij21j− ij

1 ∂ ui2

∂ x1

− ij2 ∂ ui

1

∂ x1]n j d

=J 1J 2

I 12

Calcul des facteurs d'intensité de contraintes Ils ne dépendent que l'état de contrainte dans le

voisinage de la fissure Intégrales J et d'interaction

(ne pas retenir... cf cours ultérieurs)

71



I 12=∫

V

∂qm

∂ x j kl

1kl2mj− ij

1 ∂ui2

∂ xm

− ij2 ∂ui

1

∂ xmdV

qm=⋅vm

vm

V

vm

=1 =0

Passage d'une intégrale de contour à une intégrale de volume (fissure non chargée)

On a : et vaut 1 à l'intérieur du domaine et tend vers 0 sur la frontière . est la vitesse virtuelle de propagation de la fissure (norme 1)On interpole sur le maillage.

72



Les intégrales d'interaction permettent de calculer les facteurs d'intensité de contraintes Robuste Tire parti de l'invariance de l'intégrale J Cf cours mécanique rupture.

73



dadN

=C⋅ K m

Alliage m C (m/cycle)

Acier 3 10−11

Aluminium 3 10−12

Nickel 3.3 4⋅10−12

Titane 5 10−11

Vitesse de propagation

Exemple : Alliages sous sollicitation cyclique

Loi de Paris pour la vitesse :

74



∂

∂=0 cos

c

2 [ 12

K 1 sinc12

K 2 3cosc−1]=0

c=2arctan14 K 1

K 2

± K 1

K 2

2

8

{

r }=

K 1

42 r {3cos

2cos

32

sin

2sin

32

} K 2

42 r {−3sin

2−3 sin

32

cos

23 cos

32

}

c

– Direction selon la contrainte tangentielle maximale :

– On choisit le qui correspond à maximal (en traction).

75


Mise à jour des level-sets

Il existe plusieurs algorithmes mais l'essentiel est de : conserver la notion de distance signée à l'interface

pour lsn Avoir au voisinage de la pointe de fissure un repère

orthonormé constitué par (lst,lsn)

76



iso-0 lst1 "avant"

iso-0 lsn1

"avant"

iso-0 lst 2 "après"

iso-0 lsn2

"après"

Transport de lsn et lst

77



lsn1 & lst1 "avant" lsn2 & lst2 "après"

lst=lst2

lsn=lsn1

lst=cos ⋅lst 2sin ⋅lsn2

lsn=−sin ⋅lst2cos ⋅lsn2

dx=lst1−lst2

dy=lsn1−lsn2

=atan2dy , dx

Reconstruction de lsn et lst

78



79


Propagation

80


Propagation

81


Propagation

82


Propagation

83


Propagation

84


Propagation

85


Propagation

86


Propagation

87


Propagation

88


Propagation

89


Propagation

90


Propagation 3D

lsn lst lst (sur la surface) vitesse

91


Propagation 3D

92


Propagation 3D

93


Points délicats

Intégration On doit toujours découper les éléments le long de

l'interface... mais on doit changer de quadrature ou augmenter l'ordre d'intégration en pointe de fissure car l'intégrande n'est plus polynomial

94


Points délicats

Conditionnement Si le choix des ddl enrichis est mauvais, possibilité

d'une matrice de raideur singulière Passage de la fissure proche d'un noeud → on impose

de passer sur le noeud. Les fonctions d'enrichissement en pointe de fissure

peuvent induire un mauvais conditionnement (elles se « ressemblent »)

Utilisation d'un préconditionneur adapté

95


Points délicats

Conditionnement

96


Domaine d'application

Représentation valable pour les fissure dans les matériaux fragiles Fissure mathématiquement représentée par une

ligne infiniment fine Front de fissure ponctuel, champs infinis Lois de propagation basées sur des grandeurs

globales (e.g. taux de restitution d'énergie G...) Dans les matériaux ductiles, cela est trop

restrictif

97


Matériaux ductiles

Nouvelles propriétés Forme de la fissure non triviale Propagation se fait par la mise à jour d'une variable

d'endommagement Level-sets utilisées pour représenter à la fois

- la variable d'endommagement d

- le front de fissure (où d=1)

- la frontière entre la zone endommagée (d>0) et le reste du domaine où le comportement est considéré élastique

Notion de Level-set « épaisse » , Thick Level Set

98


Thick Level Set

Γ0

φ≤d≤1

Γ0

Γc

Zone non endommagéeφ≥0 d=0

Zone entièrement dégradéeφ≥l c d=1

Zone endommagée

0≤φ≤lc0≤d≤1

Γ0

Γc

l c

« Fissure »

99


N. Moës, C. Stolz, P.-E. Bernard, and N. ChevaugeonA level set based model for damage growth: The thick level setApproach Int. J. Numer. Meth. Engng 2011; 86:358–380 DOI: 10.1002/nme.3069

100


Problèmes impliquant un saut sur le gradient

101


Interface bi-matériau

Q=10000T=0

Alu, k=230

Acier, k=40

A

A

Problème de thermique

102



={x∈ / ls x =0 }

L'interface est représentée par une level-set :

Cette interface peut être de géométrie complexe ou changeante Pas de correspondance avec le maillage

103



Trouver u∈H 01(Ω) tel que

a (u , v)=b(v) ∀ v∈H 01(Ω)

a u , v =∫

k ∇ u⋅∇ v d bv =∫

f x ⋅v d

Modèle élément finis (de nouveau, CL homogènes)

tel que

104



A AInterface

T

On souhaite représenter correctement le profil de température le long de l'interface Coupe A-A : allure de T théorique

105



InterfaceT

éléments finis

La discontinuité est sur la dérivée de T Si l'interface passe par les frontières entre les

éléments finis, alors la discontinuité fait naturellement partie de l'espace fonctionnel.

106



InterfaceT

La discontinuité est sur la dérivée de T Si l'interface ne passe pas par les arêtes des

éléments finis, alors ...

107



Solution exacte Solution EF standard

Ceci explique la solution approximative

108



u x =∑i∈

i N i x ∑j∈C

j* N j x ⋅F x

F 1x =∣ls x ∣

x

F

L'idée est d'enrichir la discrétisation éléments finis afin de faire apparaître une discontinuité sur le gradient.

Il existe plusieurs possibilités. La plus simple est la suivante:

109



Définition de l'ensemble C des noeuds enrichis Cette fois, seuls les noeuds

dont au moins un élément du support est coupé sont enrichis

En particulier, si l'interface longe les frontières des éléments, il n'y a pas d'enrichissement

110



x

F

F 2x ={∣ls x ∣dans les élements coupés1ailleurs

F 3 x =∑i

∣lsi∣⋅N i x −∣∑i

lsi⋅N i x ∣

F 1 x

F 2 x

F 3 x

Voici d'autres fonctions d'enrichissement

111



F 3 x

F 2 xF 3 x

1 2

QT

F 1 x

En pratique, donne les meilleurs résultats Sur un problème simple, les fonctions et

sont capables de redonner la solution exacte (linéaire par morceaux) lorsque l'interface n'est pas maillée, mais pas .

112



Solution sans enrichissement Solution avec enrichissement

Comparaison des solutions obtenues

113



Solution exacte Solution avec enrichissement

Comparaison des solutions obtenues

114



Solution sans enrichissement Solution avec enrichissement

Comparaison du gradient

115



Solution exacte Solution avec enrichissement

Comparaison du gradient

116



Convergence

117


Recherche et applications actuelles

Discontinuités dans la variable primale Fissures

non linéaire, plasticité propagation dynamique

Suivi de front de solidification hydrogels

Discontinuités dans la dérivée Homogénéisation Interfaces bi-matériau

118



Amélioration de la qualité des algorithmes de propagation de fissures

Applications à d'autres matériaux Plasticité confinée Matériaux piézoélectriques Matériaux composites

119



Interfaçage direct avec la CAO pour la simulation numérique Passage d'une représentation explicite des

surfaces à une représentation implicite par level-sets

Frontières des solides non maillées Imposition des conditions aux limites (dirichlet et

autres) Interfaces matérielles non maillées

120



Applications en dynamique explicite Géométrie non maillée -> pb de pas de temps

critique Propagation de fissure dynamique (changement

d'enrichissement en pointe de fissure -> problèmes de conservation de l'energie)

121



Dynamique explicite : cas sans enrichissement des FF

f(t)

t

122


Problématique des conditions aux limites et de la modélisation implicite des volumes

123


But ici

Libérer les contrainte sur le maillage Interfaces avec l'extérieur du problème (frontières) Et/ou interfaces entre matériaux différents

124


Applications

Utilisation directe des modèles CAO pour l'analyse Génération de maillage « minimaliste »

Utilisation de sets de données « sales »non adaptés à la génération de maillages Imagerie scanner; applications biomédicales

Interfaces mobiles Remplissage de moules Optimisation de forme et optimisation topologique

Problèmes de contact en mécanique

125


Interface CAO

D'une représentation CAO traditionelle (B-rep)

126


Interface CAO

… Vers une représentation implicite (level-set)

127


Conditions aux limites

Comment appliquer des conditions aux limites Neumann/conditions naturelles (en mécanique :

pressions, forces) Par intégration (il s'agit

d'une forme linéaire)

Attention ! l'intégration se fait sur un domaine ΓN (ou

Ω) qui coupe les éléments du maillage

a u ,v=∫

∇su : D : ∇

sv d

b v=∫

f⋅v d ∫N

f⋅v d N

Trouver u tel quea u ,v=b v ∀v

128


Conditions aux limites

Comment appliquer des conditions aux limites Dirichlet/conditions essentielles (en mécanique :

déplacements) Eléments finis « standards »

élimination des DDL etajout d'une contributiondans le membre de droite

Ici, le domaine ΓD sur

lequel appliquer cela est non conforme et doncon ne peut simplement éliminer les DDL – il faut calculer les valeurs à imposer pour chaque DDL concerné... de façon à ce que la condition de Dirichlet voulue soit vérifiée

129


Conditions aux limites de Dirichlet

Exemple 1: un simple laplacien

Trouver u∈V 1={v∈H 1 , v∣D

=uD } tel que

a u , v =bv ∀ v∈V 0={v∈H 1 , v

∣D=0 }

a u , v =∫

∇ u⋅∇ v d

bv =∫N

f⋅v d

130



Exemple 1 DDL concernés : ceux dont le support coupe la

frontière

Matière

Vide

131



Avec deux éléments ? Sans conditions de Dirichlet : 4 ddl , u dispose

d'une certaine liberté dans la partie rouge Si on impose exactement u=0 sur l'interface …

Combien reste-t-il de ddl pour u dans la zone rouge ?

u=0

u1

a1

a2

b2

b3 c

3

c4

u3

u2 u

4

u1

a1

=u2

a2

;u2

b2

=u3

b3

;u3

c3

=u4

c4

132



Exemple complet Nombre de ddl restants dans les zones grises

après imposition de la condition aux limite de Dirichlet :

3 ! L'espace fonctionnel est très appauvri dans les éléments

traversés par l'interface.

Matière

Videu=0

1 11 !

133



On ne peut pas imposer exactement une condition de Dirichlet par élimination dès lors que celle ci est imposée au travers des éléments !

(Une) Solution : utilisation de multiplicateurs de Lagrange, cf. article Babuska 1973 (dans la bibliographie)

134


Multiplicateurs de Lagrange

π(u , v)=u2+v2On veut minimiser

Si on pose une condition supplémentaire :

Méthode 1 : élimination de v :

C'est la méthode utilisée précédemment...

δ π(u , v)=2uδ u+2v δ v=0 ∀δu ,δvu=v=0 π(0,0)=0

g (u , v)=u−v+2=0

π ' (u)=2u2+4 u+4≡π(u , v)

δ π ' (u)=4(u+1)δ u=0 ∀δ uu=−1 π ' (−1)=2→v=1

135



δ~π(u , v ,λ)=0=(2 u+λ)δu+(2 v−λ)δ v+(u−v+2)δ λ ∀δu ,δv ,δλ

Méthode 2 : Introduction d'une variable supplémentaire

~π(u , v ,λ)=π(u , v)+λ g (u , v)=u2+v2

+λ(u−v+2)

{2 u+λ=02 v−λ=0u−v+2=0

⇔{u=−1v=1λ=2

136



En éléments finis , cela donne

−Δ u= f dans Ωu=uD sur ΓD

F (u)=12∫Ω

∇ u⋅∇ u dΩ−∫Ω

fu dΩÉquivalent à minimisersi les conditions du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées.

pour tout u satisfaisant les conditions aux limites sur . En utilisant des multiplicateurs de Lagrange pour les CL, on obtient la fonctionnelle à minimiser:

D

~F (u ,λ)=12∫Ω

∇ u⋅∇ u dΩ−∫ΓD

λ(u−uD)d ΓD−∫Ω

fu d Ω

∫Ω

∇ u⋅∇δ u d Ω=∫Ω

f δ u d Ω ∀δ ude forme faible : trouver u tel que

a(u ,δ u)=l (δu)

=12

a(u , u)−l (u)

137



forme faible associée : ~F (u ,λ)=

12∫Ω

∇ u⋅∇ u d Ω−∫ΓD

λ(u−uD)d ΓD−∫Ω

fu d Ω

=12

A(U , U )−L(U ) U=(uλ )A(U ,U )=(u ,λ)⋅(a b

b 0)⋅(uλ)=a(u ,u)+b(u ,λ)+b(λ , u)

L(U )=l (u)+c (λ)a(u , v)=∫

Ω

∇ u⋅∇ v d Ω

b(u ,λ)=b(λ , u)=−∫ΓD

u⋅λΓD

l u =∫

fu d

c(λ)=−∫ΓD

uD d ΓD

A(U ,δU )=L(δU )

a(u ,δ u)+b(λ ,δ u)=l (δu)b(δ λ , u)=c(δλ)

138



Trouver u∈V ={v∈H 1(Ω)}

λ∈L={μ∈H 1/2(ΓD)

' }tels que

∫Ω

∇ u⋅∇ v d Ω−∫ΓD

λ⋅v d Γ=∫ΓN

f⋅v d Γ ∀ v∈V

−∫ΓD

μ⋅u d Γ=−∫ΓD

μ⋅uD d Γ ∀μ∈L

On a « dualisé » la condition de DirichletCelle ci est maintenant traitée comme une condition de Neumann sur les multiplicateurs de Lagrange

Pour simplifier les notations, posons v=δu ,μ=δλ

139



Les multiplicateurs de Lagrange ont un sens physique

En mécanique, c'est la force à appliquer pour assurer la condition sur la variable primale (les déplacements).

Dans notre cas, c'est le gradient de la solution (flux) à imposer pour assurer u=u

D sur Γ

D.

Le problème obtenu correspond à trouver un point selle (min-max) – La matrice du système linéaire à résoudre est non définie positive (mais symétrique)

140



Construction des espaces discrets

On ne touche pas à l'espace primal (pour u). Il s'agit de l'espace muni des fonctions de formes nodales (fonctions chapeau)

On doit construire un espace discret adéquat pour λ.

Posons que l'espace Lh pour λ soit constituée des

fonctions chapeau construites sur les noeuds de la frontière...

Trouver uh∈V h⊂V={v∈H 1

(Ω)}

λh∈Lh⊂L={μ∈H 1/2(ΓD)

' }tels que ...

141



Matière

Vide

Posons que l'espace Lh pour λ soit constitué des

fonctions chapeau ...

On fait un calcul. On obtient un système linéaire non défini positif de la forme suivante :

(Ah BhT

Bh 0 )(uh

λh)=(

F h

Dh)

∫Ω


λ⋅v d Γ=∫ΓN

f⋅v d Γ ∀ v∈V h

−∫ΓD

μ⋅u d Γ=−∫ΓD

μ⋅uD d Γ ∀μ∈Lh

142



On résoud … Les multiplicateurs

de Lagrangeoscillent.

Plus h (taille caractér.du maillage) diminue, plus cela oscille...

143



Que se passe-t-il ? Les discrétisations pour u et λ sont incompatibles. Elles ne respectent pas la condition de

Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB), ou condition inf-sup qui s'applique ici :

Cette condition est difficile à vérifier analytiquement.

O. Ladyzhensakya, Global solvability of a boundary value problem for the Navier–Stokes equations in the case of two spatial variables. Proc. Ac. Sc. USSR 123 (3) (1958) 427–429.I. Babuska, Error bounds in the finite element method, Numer. Math., 16 (1971), pp. 322-33.F. Brezzi, On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arisingfrom Lagrangian multipliers, RAIRO, Anal. Num., 8, R2 (1974), pp. 129-151

infμ∈Lh

supu∈V h

∫Γ

λhuhd Γ

h1/2‖λ‖0,ΓD

‖u‖1,Ω

≥α>0

144



Vérification numérique de la condition LBB. Il existe un test numérique « simple »; cf Chapelle,

Bathe, 1993 et KJ Bathe 2001 (voir bibliographie) On considère un problème plus général, en ajoutant une

« raideur » k à la condition de Dirichlet (condition de Robin) – si k → , retour au cas précédent

(Ah Bh

T

Bh −1k

M h)(uh

λh)=(F h

Dh)

∫Ω


λ⋅v d Γ=∫ΓN

f⋅v d Γ ∀ v∈V h

−∫ΓD

μ⋅u d Γ−∫ΓD

1kλμ d Γ=−∫

ΓD

μ⋅uD d Γ ∀μ∈Lh

145



Test numérique de Chapelle - Bathe

Ce test revient à calculer la première des valeurs propres non nulles (b

0) du problème aux valeurs propres suivant :

ou A

h doit être inversible

Cela ne dépend pas de k ! On vérifie que b

0 ne tend pas vers 0 pour une séquence

de maillages de densité croissante. Ici, (déf de : cf. slides précédents)

(Ah Bh

T

Bh −1k

M h)(uh

λh)=(

F h

Dh)

=0

1h

(Bh Ah−1 Bh

T )W h=bM h W h

1h

(BhT M h

−1 Bh )W h'=b

' Ah W h'

α

146



Résultats Deux cas :

- aligné avec le maillage

- non aligné Le second cas

ne fonctionnepas du tout.

147


Espaces incompatibles... Espace pour les multiplicateurs de Lagrange trop

« riche » par rapport à l'espace pour la variable primale.

Revient à imposer exactement la condition de Dirichlet

→ Il faut appauvrir Lh




●Du maillage de l'interface, on prend chaque noeud et on le met dans un ensemble N●Si un noeud de N est aussi partie du maillage, le marquer comme vital (ens. V) , l'enlever de N●Prendre chaque arrète incidente et compter les intersections partant des noeuds de fin avec l'interface ●Trier l'ensemble N. La clef est le nombre défini plus haut (plus petit en premier)

●Boucler sur la liste ordonnée (N), ni● Prendre les noeuds de fin, et à partir de ces noeuds, les noeuds connectés de N● Si ni n'est pas NV (non vital), le marquer comme Vital (V) et

tous les autres comme non vitaux (NV)●FinBoucle

2

2

3 4 4 5

4

6 46

4 5 4 4 4

5 4 6

4

5 4 4 4 4 4 4 4 4 3



Ce qui reste, Une distribution quasi-uniforme de noeuds

La densité est presque la même que celle du maillage de volume (surface)

Ça marche en 3D !



Resultat de la décimation Projection des noeuds 3D



Projection des noeuds 3DResultat de la décimation



Construction des fonctions de forme ? Directement sur l'interface

Ça marche

… seulement en 2D


Conditions aux limites de Dirichlet En 3D : on serait obligé de reconstruire une

triangulation de l'ensemble des noeuds VQue dire de :

Interfaces courbes Décalage entre les

triangulations Pb d'intégration

On doit changer l'approche pour le 3D


Conditions aux limites de Dirichlet Autre solution

Prendre la traces des FF de volume – mais il y en a trop !

On combine les FF (en formant des combinaisons linéaires) pour chaque noeud V

A certaines places, une FF de volume peut être liée à plus d'un noeud V.

Il y a une liberté : 100% avec le vert, ou 100% avec le rouge ou n'importe quelle combinaison telle que la somme est 100% (pour conserver la partition de l'unité)



Intérêt de l'utilisation de la trace comme espace des multiplicateurs de Lagrange Intégration aisée Fonctions de forme compactes Partition de l'unité sur l'interface Même algorithmes en 2D et 3D Résultats numériques ?



2D

3D











Composites : encollage parfait Encollage imparfait







165


Interface CAO

D'une représentation CAO traditionelle (B-rep)

166


Interface CAO

… Vers une représentation implicite puis calcul (pas de maillage des surfaces … )

f

167


Conclusion

La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) date d'une dizaine d'année (Moës 1999). Elle est basée sur la méthode de partition de l'unité (Babuska 1997)

Comparée à la méthode des éléments finis classique, elle permet de relaxer les contraintes imposées au maillage pour la simulation de phénomènes physiques divers, par exemple propagation de fissures, interfaces matériaux et bien d'autres. Elle est fréquemment associée à la technique des level-sets (Sethian 1998) pour la modélisation des interfaces

Le but est d'améliorer la FEM, pas de la remplacer, et de conserver ses attraits en y ajoutant des particularités permettant de faire des choses très difficiles ou impossibles par ailleurs.

168


Bibliographie (à compléter!)

Babuska I. « The finite element method with Lagrange multipliers » Numerische Mathematik,20:179-192,1973Babuska I. Melenk J.M. « The partition of unity method » IJNME, 40:727-758,1997Barth T.J. Sethian J.A. « Numerical schemes for the hamilton-jacobi and level-set equations on triangulated domains » JCP 145:1-40,1998Bathe K.J « The inf-sup condition and its evaluation for mixed finite element methods, Computer and Structures 79:243-252, 2001Béchet E. Minnebo H. Moës N. Burgardt B. « improved implementation and robusness study of the X-FEM for stress analysis around cracks » IJNME 64:1033:1056,2005Béchet E. Scherzer M, Kuna M, « Applications of the X-FEM to the fracture of piezoelectric materials, IJNME 77:1535:1565,2009Béchet E. Moës N. Wohlmuth B. « A stable lagrange multiplier space for stiff interface conditions within the extended finite element method » , IJNME 78(8):931-954,2009.Belytschko T. Moës N, Usui S, Parimi C, « arbitrary discontinuities in finite elements » IJNME 50:993-1013,2001Belytschko T. Chessa J. Zi G. Xu J. Th extended finite element method for arbitrary discontinuities, Computational mechanics – Theory and practice » K.M. Mathisen, T. Kvamsdal et K.M. Okstad (dir), CIMNE Barcelona, Spain 2003Breitkopf P (dir) « La méthode des éléments finis – extensions et alternatives » Hermes-Lavoisier, France, 2006Chapelle D. Bathe KJ. « The inf-sup test » Computer and Structures 47:537-545, 1993Daux C Moës N. Dolbow J Sukumar N Belytschko T. « Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method » IJNME 48:1741-1760,2000Dolbow J. Moës N. Belytschko T. « Discontinuous enrichment in finite elements with a partition of unity method » FEAD 36:235-260,2000Gravouil A. Moës N. Belytschko T. « Non planar 3D crack propagation by the extended finite element method and level-sets part II: level-set update » IJNME 53:2569-2586,2002Legrain G. Moës N. Verron E « stress analysis around crack tips in finite strain problems using the X-FEM » IJNME 63:290-314,2005Moës N. Béchet E. Toubier M. « Imposing essential boundary conditions in the extended finite element method »IJNME 67:1641-1669,2006

169


Bibliographie (à compléter!)

Moës N. Cloirec M. Cartraud P. Remacle J.F. « a computational approach to handle complex microstructure geometries » CMAME 53:3163-3177,2003Moës N. Dolbow J. Belytschko T. « A finite element method for crack growth without remeshing », IJNME 46:133-150,1999Moës N. Gravouil A. Belytschko T. « Non planar 3D crack propagation by the extended finite element method and level-sets part I : Mechanical model IJNME 53:2549-2568,2002Osher S, Fedkiw R. « level-set methods and dynamic implicit surfaces » Springer-verlag 2002Moës, N. Stolz C. ,Bernard P.-E. , and Chevaugeon N. A level set based model for damage growth: The thick level setApproach IJNME 86:358–380 2011Mohammadi, S « Extended Finite Element Method for fracture analysis of structures» , Blackwell publishing, ISBN 978-1-4051-7060-4, 2008.Rhetore J. Gravouil A. Combescure A. « an energy conserving scheme for dynamic crack growth with the X-FEM » IJNME 63:631-659,2005Sethian J.A. « level set methods and fast marching methods : evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision and material sciences »Cambridge university press, UK, 1999Sukumar N.Chopp D.L. Moës N Belytschko T. « modeling holes and inclusions by level-sets in the extended finite element method » CMAME 190:6183-6200,2001Sukumar N. Moës N. Moran B. Belytschko T. « Extended finite element method for three dimensional crack modelling » IJNME 48:1549-1570,1999Strouboulis T. Babuska I. Copps K. « The design and analysis of the generalized finite element method » CMAME 181:43-71,2000

Nota :

IJNME = International journal for numerical methods in engineering (Wiley)CMAME = Computer methods in applied mechanics and engineering (Elsevier)FEAD = Finite element in analysis and design (Elsevier)JCP = Journal of computational physics (Elsevier)

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Méthode des EF étendus - cgeo.ulg.ac.be · 3 Méthode des EF étendus Plan de la présentation Introduction Rappels Problème simple (saut sur la variable primale) Extensions en