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PREMIER MINISTRE
COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE
CEA-R-3431
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MÉTHODE DU BILAN DES TAUX DE COMPTAGED'INDICATEURS RADIOACTIFS POUR LA
DÉTERMINATION DU DÉBIT DE CHARRIAGEDES LITS SABLEUX
par
Guy SAUZAY
DIRECTION DES MATÉRIAUX ET COMBUSTIBLES NUCLÉAIRES
CENTRE D'ÉTUDES NUCLÉAIRES DE SACLAY
Rapport CEA-R-3431
1968 SERVICE CENTRAL DE DOCUMENTATION DU C.E.ALa'
C.E.N-SACLAY B.P. n'2, 91 -GIF-sur-YVETTE-France
CEA-R-3431 - SAUZAY Guy
MÉTHODE DU BILAN DES TAUX DE COMPTAGE D'INDICATEURS RADIOACTIFSPOUR LA DÉTERMINATION DU DÉBIT DE CHARRIAGE DES LITS SABLEUX.
Sommaire :
Les indicateurs radioactifs sont appliqués à la mesure directe du débit de charriage des lits sableux.On établit la formule théorique de mesure : le bilan des taux de comptage varie en sens inversede l'épaisseur de charriage. Parallèlement on fait une étude critique de_ la représentativité de l'indi-cateur, puis on détermine la quantité minimale de traceur qu'il faut immerger pour que les tauxde comptage fournis por un faible nombre de grains "vus" par le détecteur aient une définition sta-tistique correcte. Une expérience de ierrain a permis d'étudier les conditions _ technologiques decelte méthode : seul le dépouillement des résultats est nouveau. L'expérimentation in situ se faitsuivant les procédés classiques avec un très grand soin.
1968 168 pages
Commissariat à l'Energie Atomique - France
CEA-R-343I - SAUZAY Guy
THE "COUNT RATE BALANCE" METHOD OF MEASURING SEDIMENTTRANSPORT OF SAND BEDS BY RADIOACTIVE TRACERS.
Summary:
Radioactive tracers are applied to the direct measurement of the sediment transport rate of sandbeds. The theoretical measurement formula is derived: the variation of the count rate balance isinverse of that of the transport thickness. Simultaneously the representativity of the tracer iscritically studied. The minimum quantity of tracer which has to be injected in order to obtain acorrect statistical definition of count rate given by a low number of grains "seen" by the detectoris then studied. A field experiment was made and has let to study the technological conditionsfor appjying this method: only the treatment of results is new, the experiment itsblf is carried outconventional techniques applied with great care.
1948 168 pages
Commissariat à l'Energie Atomique - France
A. partir de 1968, les rapports CEA sont classés selon les catégories qui figurent dansle plan de classification ci-dessous et peuvent être obtenue soit en collections complètes, soiten collections partielles d'après ces catégories.
Ceux de nos correspondants qui reçoivent systématiquement nos rapports à titre d'échan-ge, et qui sont intéressés par cette diffusion sélective, sont priés de se reporter à la lettrecirculaire CENS/DOC/67/46SO du 20 décembre 1967 que nous leur avons adressée, et qui pré-cise les conditions de diffusion.
A cette occasion nous rappelons que les rapports CEA sont également vendus au numéropar la Direction de la Documentation Française, 3l, quai Voltaire, Paris Te:
PLAN DE CLASSIFICATION
APPLICATIONS INDUSTRIELLES DESISOTOPES ET DES RAYONNEMENTS
2. BIOLOGIE ET MEDECINE
2.1 Biologie générale2.2 Indicateurs nucléaires en biologie2.3 Médecine du travail2, 4 Radiobiologie et Radioagronomie2,5 Utilisation des techniques nucléaires
en médecine
3. CHIMIE3.1 Chimie générale3.2 Chimie analytique3, 3 Procédés de séparation3,4 Eadiochimie
ETUDES DU DOMAINE DE L'ESPACE
5, GEOPHYSIQUE, GEOLOGIE,MINERALOGIE ET METEOROLOGIE
6. METAUX, CERAMIQUESET AUTRES MATERIAUX
6.1 Fabrication, propriétés et structuredes matériaux
6.2 Effets dee rayonnements SUT lesmatériaux
6.3 Corrosion
7. NEOTRON1QUE, PHYSIQUE ETTECHNOLOGY DES REACTEURS
7.1 Neutronique et physique des réacteurs7.2 Refroidissement, protection, contrôle
et sécurité7.3 Matériaux de structure et éléments
classiques des réacteurs
8. PHYSIQUE
3.1 Accélérateurs8.2 Electricité, électronique, détection
des rayonnements8.3 Physique des plasmas8.4 Physique des états condensés de la
matière8. G Physique corpusculaire à haute
énergie8. 6 Physique nucléaire8.7 Electronique quantiqtie, lasers
PHYSIQUE THEORIQUEET MATHEMATIQUES
10. PROTECTION ET CONTROLE DESRAYONNEMENTS. TRAITEMENT DESEFFLUENTS
10.1 Protection sanitaire10.2 Contrôle des rayonnements10.3 Traitement dee effluents
11, SEPARATIOH DES ISOTOPES
12. TECHNIQUES
12.1 Mécanique des fluides - Techniquesdu vide
12, 2 Techniques des températures extrêmes12.3 Mécanique et outillage
13. UTILISATION ET DEVELOPPEMENTDE-L'ENERGIE ATOMIQUE!
13.1 Centres d'études nucléaires,laboratoires et usines
13.2 Etudes économiques, programme
13.3 Divers (documentation, administration,
législation, etc...}
Les rapports du. COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE sont, à partit du n> 2200,en vente à la Documentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction dela Documentation, 31, quai Voltaire, PARIS Vlième.
The C.E.A, reports starting with n" 2200 are available at the Documentation Française,Secrétariat Général dit Gouvernement, Direction de la Documentation, 31, quai Voltaire,PARIS Vllème.
THÈSESPRÉSENTÉES
A LA FACULTÉ DES SCIENCES
DE L'UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
POUR OBTENIR
LE TITRE DE DOCTEUR-INGÉNIEUR
PAR
Guy SAUZAYIngénieur de l'Ecole Centrale des Arts et Manufactures
PREMIÈRE THÈSE
Méthode du bilan des taux de comptage d'indicateurs radioactifs pour ladétermination du débit de charriage des lits sableux
DEUXIÈME THÈSE
Propositions données par la Faculté
Soutenues le 20 Novembre 1967 devant la Commission d'Examen
M.M. NOUGARO Président
BLANC
GRUAT ExaminateursFONTANCOURTOIS
-7 -
A V A N T - P R O P O S
Les travaux présentés ici .ont été effectués dans le cadre des recherches sur l'appli-cation des indicateurs radio-actifs à la sédimentologie poursuivies par la Section d'Applica-tion des Radio-éléments du Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay.
J'assure Monsieur le Professeur NOUGARO de ma respectueuse reconnaissance pourl'honneur qu ' i l me fait en présidant la commission d'examen et pour l 'intérêt qu'il a manifestéenvers mes travaux.
Qu'il me soit permis d'exprimer toute ma gratitude à Monsieur Le Professeur BLANCpour son précieux concours tout au long de cette étude.
Je tiens à remercier tout particulièrement Messieurs HOURS et COURTOIS de la Sec-tion d'application des radio-éléments : par leur aide et leurs conseils, ils m'ont permis de me-ner à bien ce travail.
Que tout le personnel de la S.A.R. reçoive, lui aussi, mes remerciements pour l'aideirremplaçable qu'ils m'ont apportée dans les réalisations techniques et expérimentales.
- 9 -
TABLE DES MATIERES
Introduction
CHAPITRE I - GENERALITES1.1 - Le déplacement
1.2 - L'Indicateur1.2.1 - Déf in i t ion et marquage
1.2.1,1.- Défini t ion de l ' indiscernabilité hydrodynamique de l'indicateur1.2.1.2 - Marquage en surface
. 1.2.1.3 - Marquage en volume ou marquage massique1.2.2 - Quantité d'indicateur1.2.3 - Dépôt de l'indicateur
1.3 •• Formule du débit1.3.1 - Déf in i t ion du débit1.3.2 - Calcul du débit par une méthode d'intégration dans l'espace
1.3.2.1 - Notion d'épaisseur1.3.2.2 - Carottagcs et répartition en profondeur1.3.2.3 - Notion de vitesse moyenne dans une méthode d'intégration dans l'espace
1.4 • Etude de la condition de bon mélange1.4.1 - Définition1.4.2 - Méthode d intégration dans le temps1.4.3 - Méthode d'intégration dans l'espace1.4.4 - Etablissement direct
1.5 - Cas pratique du'charriage des sables
CHAPITRE II - PRINCIPE PHYSIQUE ET EXPLOITATION MATHEMATIQUE DES METHODESDE «BILAN DES TAUX DE COMPTAGE». RECHERCHE DE L'EPAISSEUR DETRANSPORT E
11.1 - Principe
11.2 - Le bilan des taux de comptage
11.3 - Explicitation mathématique11.3.1 - Etablissement des relations11.3.2 - Critique des raisonnements précédents
11.4 - Equation du Bilan11.4.1 - La loi f(z) est une loi polynorr.iale
11.4.1.1 - Théorie11.4.1.2 - Pratique11.4.1.3 -Détermination de l'épaisseur E
11.4.2 - La loi f(z) est une loi exponentielle
11.5 - Equation de mesure11.5.1 - La loi f(z) est une loi polynomiale
H.5.1.1 - ThéorieII.5.2.2 - Pratique
11.5.2 - La loi f(z) est une loi exponentielleH.5.3 - Recherche de l'épaisseur de transportII.5.4 - Valeur du coefficient (3
11.6 - Loi de concentration polynomiale
11.7 - Conclusion sur la recherche de l'épaisseur de transport E
CHAPITRE III - CALCUL DE LA VITESSE DU CENTRE DE GRAVITE
lll.l - Représentation du nuage par les taux de comptage111.1.1 - Calcul du centre de gravité en dépouillement statique111.1.2 - Calcul du centre de gravité en dépouillement dynamique111.1.3 - Calcul de la vitesse du centre de gravité
- 10-
Ml.2 - Représentation du nuage par-lés activités réelles111.3 - Remarqua sur Id nation de vitesse moyenne111.4 - Résumé et formule du débit
CHAPITRE IV- LES ETALONNAGES DES DETECTEURS
IV. 1 • La loi de réponse géomérriqi/e d'un détecteur
IV.2 • Le détecteurIV.3 - Les étalonnages eou-sable
IV,3.1 - Etalonnages en Ir 192IV.3.1.1 - Etalonnage au moyen d'une source planeIV.3.1-2 - Etalonnage au moyen d'une source ponctuelle1V.5.1.3 - Résultats
IV.3.2 - Etalonnages en T.i 182, Cl 51, Au 198
IV.4 - Les étalonnages oir*sobfe
IV.5 - Les techniques de mesureIV.5.1 - Intégrateur S.P.P.3IV.5.2 - Spectrographc monocanalIV.5.3 - Spoctrographc multi-canaux ou analyseur d'impulsion
IV.6 - Résultats et approximations
CHAPITRE V - CALCUL STATISTIQUE DES MASSES D'INDICATEUR
V.l - Généralités
V.2 - Théorie, théorème central limiteV.3 • Mise en œuvre de la théorie précédenta ; calcul des distributions des taux de comptage
et des écarts quadratiquesV.3.1 - Problème de la détection statique
V.3.1.1 - Calcul de la distribution TlsiV.J.I.? - Calcul des distributions TI^n
V.3.1.3 - Calcul des écarts quadratiques moyens "Œsn
V.3,1,4-RésultatsV.3.1*4.1 - Granulométrie uniforme en détection statiqueV.3.1.4.2 - Grunulométrie non uniforme en détection statique
V.3.1.5 - Conclusion sur la détection statiqueV.3,2 - Problème de la détection dynamique
V.3.2.1 - Calcul de la distribution TtjiV.î.2.2 - Calcul des distributions 71 jn
V.3.2.3 - Calcul des écarts quadratiques moyens rj^V.3.2.4 - Résultats
V.3-2.4.1 - Granulométrie uniforme en détection dynamiqueV.3.2.4.2 - Cranulométrie non uniforme en détection dynamique
V.3.2,5 - Influence de la vitesse de la sondeV.3.2.6 - Conclusion sur le problème de la détection dynamique
V.4 - Utilisation d'autres indicateursV.4.1 - Le chrome 51V.4.2 - Le césium 137V.4.3 - Le tantale 182V.4.4 -Généralisation
V.S - JustificationsV.5.1 - Suppression de la statistique de désintégration radio-activeV.5.2 - Suppression de l'enfouissement des grains
V.6 - Tableau général des résultats
V.7 - Conclusion d'ensemble —\
CHAPITRE VI - ERREURS POSSIBLES LORS DE LA MISE EH OEUVRE ET DE L'EXPLOITA-TION DE LA METHODE DU BILAN
VI.1 • Erreurs systématiquesVI.l.l - Les imprécisions dans le principe de la méthodeVL1.2 - La non concordance entre caractéristiques théoriques et pratiques
11-
VI.2 - Erreurs accidentellesV1.J.I - Erreurs de manipulationVI.2.2 - Erreurs de dépouillement
VI.3 • Les causes des erreurs les plus importantes, Jes précautions a prendreVI.3.1 - Erreur sur la loi de réponse géométriqueVI.3.2 -Erreur sur l'activité injectéeVI.3.3 - Erreur sur l'activité retrouvée
VI.4 - Conclus Ion
CHAPITRE Vil - UNE EXPERIENCE : LE CHER
VII. 1 - GénéralitésVIL2 - Les expériences préparatoires en laboratoire
VII.2.1 -L'indicateurVÎI.2.2 - L'électronique
VII.3 - Les expériences de terrainVII.3.1 - Les mesures d'hydrologieVil.3.2 - Les mesures lopographiques, les mesures de repérageVII.3.3 - Les immersionsVII.3.4 - Les détections
VU.4 - Le dépouillement des résultatsVII.4.1 - Corrections ducs à la detection dynamiqueVII.4.2 - Corrections de bordVII.4.3 - Bruit de fond et résumé
VII.5 - Applicotlon do l'équation du BilanVIL5.1 - Calcul des intégrales N(50) et N(250>VII.5.2 - Valeur de l 'activitéVII.5.3 - Emploi de la formule du Bilan
VII.5.3.1 - Détection sur 50 kev.V1I.5.3.2 - Détection sur 250 kev.VIL5.3.3 - Résultats et critiques
VII.5.3-3-1 - L'activité retrouvée est inférieure à l'accïvicé injectée'VII.5.3.3.2 - Encadrement de l'épaisseur EVII.5.3.3.3 - Résumé
VII.5.4 - Calcul des centres de gravité et des vitesses moyennesVII.5.5 - Remarques sur les courbes de distribution des taux de comptage le long du CherVII.5.6 - Calcul du charriage partiel
VI 1.4 . Exploitation de l'équation de mesureVII.7 - Conclusion sur l 'utilisation des sondesVILS - Méthode* hydrauliques
VII.8.1 - GénéralitésVil.8.2 - Méthode de Meyer-Peter et de MullcrVil.8.3 - Méthode de KolinskcVU.8.4 - Conclusion sur les méthodes hydrauliques, comparaison avec la méthode radio-
active du Bilan des taux de comptageVII.9 - Ut lElso t lon du la iriéthode de Hubb.ll et Sayro
VI1.9.1 -PrincipeVll.9.2 - Application aux courbes du Cher
VII. 10 - Conclusion d'ensemble
CHAPITRE VIII • AUTRES APPLICATIONSVIII.I • Problèmes flu'Ioui
VIII.1.1 - Le Stung Sen {Cambodge}VIII.1.2 - La Sienne (fleuve entier de la Manche)
VIII.2 - Problèmes marin»VIII.2.1 - L'embouchure de la SienneVIII.2.2 - Le littoral du RoussilionVIII.2.3 - Le Littoral de la mer du Nord (Dliflfcerque)
VIII.3-ConclusionConclusion GénéraleAnnexe IAnnexe II - Les programmes de calcul statistiqueListe des notations - Liste des références - Liste des figures
- 13-
I N T R O D U C T I O N
Dans cet ouvrage, il est décrit une méthode d'indicateurs radio-actifs de détermina-tion du débit de charriage en calculant séparément l'épaisseur de transport et la vitessemoyenne de déplacement. Cette méthode a donné des résultats intéressants tant en mer qu'enrivière. L'étude de l 'emploi des indicateurs a. nécessité quelques réflexions sur des problè-mes hydrauliques tels que la représentativité et le bon mélange, sur des problèmes de stati-que : le nombre de grains minimum qu ' i l faut immerger. Elle a posé des problèmes qui ne sontpas résolus, telle l 'hypothétique répartition des vitesses des grains de sable à l ' intérieur dulit.
Néanmoins, cette méthode, d'utilisation pratique, donne des résultats valables encomparaison des méthodes classiques de mesure de charriage.
- 15-
CHAPITRE I
GENERALITES ET FORMULE DU DEBIT
1-1 - LE DEPLACEMENT DU 3ABLE
Le mécanisme de ce déplacement est fort complexe, il se fait soit par roulement des grains surle fond, soit par saltation. Un grand nombre de paramètres (force ttactrice, rugosité...), étudiés par leshydrauliciens interviennent dans toutes les théories de ce mécanisme. Notre propos, dans cet ouvrage,n'est pas d'étudier ces paramètres par une méthode d'indicateurs radio-actifs, mais de demander à cesderniers quel est le débit de charriage sans avoir recours à ces paramètres.
1.2- LE TRACEUR
1.2.1 - Définition et marquage
1.2.1.1 - Définition de l'indiscernabilité hydrodynamique du traceur
L'indicateur doit être hydrodynamiquement indiscernable, des grains de sable du lit. On peut dé-finir un échantillon de sable par sa courbe granulométrique, c'est-à-dire par des classes granulométri-ques. L'indicateur doit, au niveau du grain, posséder la même masse volumique et la même forme quele sable. La masse volumique est en général p = 2,66 g/cnP. Quant à la forme du grain, son étudeest qualitative et elle est remplacée par l'étude du diamètre : 'c'est la courbe granulométrique. Afind'obtenir l'indiscernabilité hydrodynamique, les grains d'indicateur auront les mêmes diamètres que lesable. CECI NE VEUT PAS DIRE QUE LES COURBES GRANULOMETRIQUES DOIVENT ETREIDENTIQUES, seule, l'étendue des valeurs du diamètre est conservée : on n'injectera ni des grainsplus fins et plus mobiles, ni des grains plus gros et moins mobiles.
Mais nous voulons que l'indicateur nous permette de déterminer la masse de sable transportée,il faut donc que l 'information délivrée par l'indicateur déplacé, c'est-àrdire par son activité (marquageradio-actif), soit représentative de la masse de sable transportée. Dans chaque classe granulométriqueinjectée, l'activité.doit être proportionnelle à la masse de la classe granulométrique correspondante dusable prélevé sur le terrain. Ceci est très important, car il explique notamment le cas du marquage ensurface.
1.2.1.2 • Marquage en surface
Lors de ce marquage, l'actiyité déposée sur le grain n'est pas proportionnelle à la masse, maisen première approximation à la surface du grain. On marque un nombre de grains dans chaque classetel que l'activité déposée soit proportionnelle au nombre de grains contenus dans ladite classe du sa-ble du terrain. La courbe granulométrique du sable marqué (indicateur) est alors différente de la courbegranulométrique du sable du lit. On trouvera l'explication détaillée d'une telle transformation dans lesarticles de Crickmore et de Courtois et Sauzay (réf. 1.1 et 2.).
• 16-
/.2. Ï.3 - Marquage en volume ou marquage massique
Dans ce marquage, l'activité de chaque grain est proportionnelle à sa masse et par suite lesdeux courbes gramilométriques sont identiques. Un exemple de ce marquage réside dans l'emploi de ver-
re broyé contenant une impureté activable. Dans l'expérience du Cher, nous avons employé du verte àl'iridium (ch. VII).
1.2.2 . Quantité d'indicateur
Qu'elle est la quantité d'indicateur qu'il faut immerger'' En France, à l'opposé des auttespays,
la tendance veut que l'on immerge peu d'indicateur, ceci afin devoir un marquage plus homogène envue d'une utilisation quantitative, afin d'obtenir plus rapidement un mélange correct, afin d'avoir untransport et une manipulation facilités du fait d'une protection plus faible, mais le principal inconvé-nient de cette méthode est le suivant : l'information reçue par le détecteur peut provenir d'un faiblenombre de grains et il n'est pas sûr que ces quelques grains soient représentatifs "de tous les grainsinactifs situés sous le détecteur. Nous verrons au chapitreV un calcul donnant le poids minimum d'in-
dicateur pour une activité de 1 Curie : P, qu ril faut immerger pour que la réponse foutnic par le détec-teur soit valable.
1.2.3 - Dépôt d'indicateur
Un dépôt d'indicateur à l'intérieur du ht serait préférable à tout dépôt en surface car il diminuela distance et le temps nécessaire à l'obtention d'un bon mélange, mais il nécessiterait la connaissan-ce de l'épaisseur de sable déplacée afin de ne pas marquer la partie non mobile du lit, par ailleurs, ilnécessiterait une perturbation imputante du lit, ce qui n'est pas à souhaiter et, de plus, il est techno-logiquement difficile, voire même impossible, aussi, seul le dépôt en surface est utilisé, soit par pointunique ou multiples, soit en lignes, ou même en plaque lors d'expétiences en modèle..
1.3 - FORMULE DU DEBIT
1.3.1 - Définition du débit
De façon classique, on définit le débit comme un flux de masse à travers une section du courantétudié.
L'élément de débit d2Q est égal au produit scalaire de la quantité de mouvement du vecteur V
par le vecteur normal à l'élément de surface traversé, la quantité de mouvement duvecteut V est le pro-duit de la masse volumique p par le vecteur vitesse :
d2Q = p. V. d2s
Supposons que la section considérée soit une surface orthogonale du champ des vitesses et quecette section soit plane :
d2Q = p . V . dx . dz
• 17-
Intégrons sur la section du lit :
Q = p. / /V(x, z) .dx.dz
entre O et E (x) pour la profondeur z
entre O et Lt (largeur de transport) pour la coordonnée en travers du courant fluide x :
/>Lt pE (s)
Q = P . | | V (x, z) . dz . dx
J O J O
En utilisant deux fois la formule de la moyenne :
rQ = p. E (x) . Vm <«) . dx
J O
Vm (x) est la valeur moyenne de la vitesse V à l'abcissc x,
la deuxième application de la formule de la moyenne donne, en supposant que Vm (x) est indépendant
de l'abcïsse x :
Q = p . L t . V m . E m
En résumé, le débit à travers une section est le produit des quantités suivantes :
- la masse volumique,- la largeur de transport Lc ,
- la valeur moyenne de la vitesse Vm sur une verticale dans cette section (indépendante de la
verticale choisie) ,
- la valeur moyenne de la différence entre la surface du lit et le grain marqué le plus enfoui tout
au long de la section Bm.
Vm (supposée constante dans la largeur du lit, c'est-à-dire indépendante de x)
/TEU>
E < x )V(z).d2
E(x).dx
Ces deux termes sont calculés dans une settion
C'est cette formule que nous utiliserons en déterminant séparément Vm et E m .
- 18-
1.3.2 - Calcul du débit par une méthode d'intégration dans l'espace
Dans une telle méthode, nous supposons que le débit est constant sut une longueur importantedu déplacement étudié. Au lieu de calculer une vitesse moyenne et une épaisseur moyenne dans u n esection, nous les calculons sur toute une surface du lit.
Nous écrivons :
. E
où Vm est la moyenne sur route la tache de la vitesse moyenne sur une verticale.
Era est la moyenni" sur route la tache de la différence en tous les points entre la surface du litet le grain marqué le plus «infoui. Em est l'épaisseur débitante,
En faisant cela, nous supposons que le produit des valeurs moyennes ci-dessus (vitesse etépaisseur), calculées sur la surface du lit, est égal à la valeur moyeine calculée sur la surface du pto-duit des valeurs de la vitesse et de l'épaisseur calculées dans une section (paragraphe précédent).
Il nous faut à présent discuter de la signification et du principe de détermination de l'épaisseuret de la vitesse telles qu'elles interviennent dans la formule du débit.
1.3.2.7 - Notion d'épaisseur
Suivant -e mode de déplacement du sable, le lit peut se présenter sous différentes formes : litplat, rides erç flunes sont les principales.
Pour crmepie forme, on peut définir différentes épaisseurs. La première définition est relative àune évaluation de l'ensemble du lit : l'épaisseur du lit est la moyenne sur toute la surface étudiée dela différence en chaque point entre la surface du lit et le grain marqué le plus enfoui, c'est cette épais-seur qui serf à calcule: le débit, pour cette raison nous l'appellerons épaisseur moyenne ou débitanteou de transporc.
Une deuxième définition est relative à une caracrérisrîque de la forme du lit : l'épaisseur estla différence maximale entre la surface du lit et le grain le plus enfoui, cette épaisseur ne donne pasle débit, nous l'appellerons l'épaisseur maximale de transport.
Dans le cas d'un lit plat, les deux notions sont confondues, l'épaisseur est constante en touspoints, égale à l'épaisseur moyenne comme à l'épaisseur maximâle.
Dans les deux autres cas, elles sont différentes, or c'est de l'épaisseur moyenne que nous avonsbesoin pour calculer le débit. De nombreux auteurs (Hubbell et Sayre, Danion, réf. 1.3 et 4) ont cherché
. 19.
à déterminer le débit par des calculs d'épaisseur basés sur un relevé précis des formes du lit, cette mé-thode ne permet pas d'accéder aux grains les plus enfouis comme à tout grain enfoui. Pour notre part,la méthode du bilan exposée au chapitre II permet de calculer une valeur de l'épaisseut, nous précise-rons alors celle qui est obtenue.
1.3.2.2 • Coroltages et répartition en profondeur
Une autre méthode de détermination de l'épaisseur est l'utilisation de catottages. Leur techno-logie n'est pas simple, en outte, ils nécessitent ungtand nombre degcains afin que les renseignementsqu'ils fournissent soient valables. On est obligé de les faire dans des zones de fortes concentrationsen indicateur et par conséquence ils fournissent desrenseignemenrs sur une faible partie de la surfaceétudiée. Ils sont soumis de façon très importanre aux variations locales du mode detransport. Par con-tre, ils fournissent un renseignement très important pour la méthode du Bilan des taux de comptage :ils donnent la loi de répartition de l'indicateur en profondeur C <z) (ch. II).
Dans un article paru en Janvier 1965 dans «Journal of Hydraulics Division» Proceedings ofA.S.C.E., C.J. Galvin fait une étude critique comparée des travaux de Hubbell et Sayte (Sand transportwith radio-active tracers, réf. 1.5) et de ceux de Crickmore et Lean (réf. 1.6, 7 et 8). Il fait remarquerque la distribution gaussienne des hauteurs de rides trouvée par Lean correspond à une répartition desconcentrations possédant un maximum dans le deuxième quart de l'Épaisseur, ceci est vérifié par lesdistributions de concentrations trouvées par Hubbell et Sayrc,
En 1Ç66, Courtois étudiait des déplacements littoraux (réf. L9). La zone étudiée découvrait àmarée basse et permit de faire-des carottages de grande surface sur le flanc des dunes. Il-trouva, luiaussi, cette répartition des concentrations avec un maximum dans le deuxième quart de l'épaisseur..
Nous utiliserons ces résultats au chapitre II lorsque nous calculerons l'a valeur d'un coefficientp de correction.
1.3.2.3 - Notion de vitesse moyenne dons une méthode d'intégration dans l'espace
Dans une telle méthode, nous déterminons la vitesse moyenne du courant fluide à partir de lavitesse du centre de gravité d'un nuage d'indicateur supposé représentatif du mouvement du fluide..
Les utilisateurs de cette méthode supposent que ces deux vitesses sont identiques. Il semble-rait que dans le principe cette hypothèse soit fausse.
DEMONSTRATION :
Soit un élément de volume, il contient une masse d'indicateur .
dA = C.dv
D'après le théorème fondamental de la dynamique :
£ Y 4 ^A = ^ (forces appliquées) (1)
Par définition du mouvement du centre de gravité des particules marquées :
-» dV/^ t*î\I Y. dA = A - G I2)
-20-
Le théorème d'Euler ou théorème des quantité s de mouvement, en mouvement permanent, s'énonce:
• La somme des forces appliquées'aux particules d'un volume est égale au débit de quantité de mouve-«vement de ces particules à travers la surface S entourant le volume donné» et s'écrit :
ITS (forces appliquées) = // V . (C . V . dS) <3>
JJS
(V est le vecteur vitesse en un point de la surface S).
Combinons les équations (1), (2) et (3), on obtient ;
-* / /dVG _
A . -dt
V .(C.V.dS)
Prenons comme volume une tranche du courant fluide entre deux sections droites S} et S2-
Intégrons entre les temps O et T, pendant cet intervalle de temps le tégime est supposé cons-tant, permanent donc la vitesse est indépendante du temps.
Au temps 0, le volume est vide de toute particule marquée, par définition, la vitesse du centrede gravité des particules marquées est nulle.
Au temps T, tout le nuage est à l'intérieur du volume.
nuage
A travers les surfaces SQ et 52» aucune particule marquée n'est passée, il n'y aura donc au-cune variation de la. quantité deynouvement des particules marquées à travers ces surfaces.
L1 integration donne :
PTV2 .C.dS.dt V 2 . ( C . d t ) . d S
Si nous avons J C.dt = Cste indépendante du point de la section Sj
O
f T rrnous obtenons : A . VG = I C.dt , / / V2 . dS
J O JjSi
. 21-
Nous venons d'introduire ici la condition de bon mélange :
1 dA I _ A
C.dt = Cste dont on verra qu'elle s'écrit-—-= | C.dt - ——Q n Q
0 J °
dans la méthode d'intégration dans le temps.
Reportons ceci dans le calcul de la vitesse du centre de gravité :'
V G = I Pc,t.
or Q = / V.dS
V2 .dS
Posons Vm vitesse moyenne dans une senion V.dS
-ds
X est le coefficient de quantité de mouvement. _
On trouve : X . Vm
\ est en général. dans les débits liquides, assez voisin de 1 tout en lui restant supérieur. C'est unefonction lie la répartition en profondeur des vitesses.
AINSI LA VITESSE DU CENTRE DE GRAVITE D'UN NUAGE DE PARTICULES N'EST PASEGALE A LA VITESSE MOYENNE DU COURANT FLUIDE ET NOUS POUVONS DIRE QUE SI LACONDITION DE BON MELANGE EST RESPECTEE NOUS AVONS :
VG = X . Vm
OU X EST LE COEFFICIENT DE QUANTITE DE MOUVEMENT.
En hydrologie, pour un régime turbulent, ce coefficient est égal à I, tandis que pourunrégirieknûnaice théorique, il est égal à 1.ÎO, pour un régime réel de fleuve, il est voisin de 1,01 « la confu-
sion des deux valeurs est acceptable.
Cette confusion est faite systématiquement dès que l'on cherche à déduire la vitesse du fluided'une quelconque mesure de vitesse relative à l'indicateur sans savoir si elle est justifiée.
-22 -
Elle suppose implicitement que la condition de bon mélange est réalisée.
Dans le cas des sables, quelle valeur faut-il donner à X ? Nous n'en savons rien en théorie,car nous ne connaissons pas la loi de répartition des vitesses en profondeur, par analogie au régimeturbulent en hydrologie, nous prendrons \ ~ 1.
1.4 - ETUDE DE LA CONDITION DE BON MELANGE
1.4.1 - Définition
Sous l'action du coûtant fluide, l'indicateur a le même comportement individuel que les particu-les fluides. Il existe une. grande variété de mouvements possibles des particules. Nous dirons que Jemouvement de l' indicateur est représentatif du mouvement du lit si l'ensemble des déplacements desparticules marquées forme un échantillonnage valable de l'ensemble des déplacements des particulesfluides.
1.4.2 . Méthode <f intégration dans le temps
Dans cette méthode appliquée avec succès en hydrologie, le débit est donné pat :
Q = A / /C.dt
si la valeur de cette intégrale est indépendance dans la section de mesure du débit du point où est me-surée la concentration C :
fc Cste
C'est la condition de bon mélange. En hydrologie, elle est vérifiée à 1 % près,
1.4.3 - Méthode d'intégration dans l'espace
Nous venons de voir au paragraphe 1.3.2.3 que la vitesse du centre de gravité est reliée à lavitesse moyenne du fluide par
vG = v2 / vm
si la même intégrale / C.dt est indépendante du point où elle est calculée, c'est la même condition debon mélange. **
1.4.4 .- Etablissement diroct
Etablissons directement la condition de bon mélange à partir de la représentativité du fluide parl'indicateur. •
1°) Reprenons la définition de la représentativité (par. 1.4.1), nous en déduisons que pour défi-nir un échantillon valable des déplacements possibles des particules fluides, il suffit de définir un
-23-
échantillonnage valable des valeurs possibles de la vitesse du fluide, c'est-à-dire qu'il faut détermi-
ner la probabilité qui est ainsi associée à chaque valent de la vitesse.
2°) Détermination de la probabilité d'obtenir une valeur V de la vitesse.
Plaçons un observateur dans une section transvc.sale du courant, en un temps T et dans unesection petite AS où la vitesse est V, il voit passer M particules, dans la section totale il voit Mt
particules avec :
Mt = 1! M. AS
La probabilité pour une particule quelconque passant devant l'observateur d'avoir la vitesse V
est :
p = M / Mt
Dans deux sections, les nombres de particules passantes sont :
PT fT
MI = Vl &.dt et M2 = V2 B.dt
Jo J°
où S est le nombre de particules fluides par cm}, ce nombre est indépendant de la section donc : .
MI / Vi = M2 / V2 = Cste = Mt / (l
donc :
P = ( l .V
La probabilité p d'obtenir la vitesse V est proportionnelle à la valeur de cette vitesse.
3») Application de cette loi de probabilité è l'indicateur.
Soit un lot de M' particules marquées supposées représentatives du fluide. Il possède donc la
même loi de probabilité de la vitesse
Les nombres de particules marquées M'j et M'2 passant le temps T dans les sections Sj et S2
sont proportionnels aux vitesses Vj et V2 aans ces sections.
et : M1! / Y! = M'2 / V2
5'^O.dt et M'2 = V2 &2 (t) dt
où 6'i et 5'2 sont les nombres de particules marquées par cm3 en fonction du temps dans les sec-
tions ASi et AS2.
-24-
Le groupe d'équations ci-dessus donne I 6*(0 . de = Csce
J O
quel que soit le poinc de mesure de ce nombre de particules.
Ce dernier est proportionnel à la concentration en indicateurtelle qu'on s'en sert habituellement,on a donc la condition :
;C.dt = Cste
Remarquons : le temps T est quelconque.
4°) Plus le temps T sera grand, plus Je nombre de particules «vues» en un point de mesure se-ra grand et plus la représentativité du fluide par l'indicateur sera obtenue de façon précise. Le temps Tmaximum est 1s temps total de passage de la vague.
Le raisonnement ci-dessus ne permet pas le calcul de la longueur nécessaire à l'obtention d'unereprésentativité correcte : la longueur de bon mélange.
5°) Nous avons donc établi directement que la condition de bon mélange s'exprime par :
C.dt = Cste
quel que soit le point où la concentration est mesurée.
1.5 - CAS PRATIQUE DE CHARRIAGE DES SABLES
Notre propos est de mettre au point un calcul du débit par la formule :
G = p . L£ . Vm . Em
Cela vient du fait que la méthode d'intégration dans le temps est impraticable.. En effet, il fautun temps considérable pour obtenir le passage complet du nuage, et pendant ce temps, il est rare quele débit soit constant. D'autre part, il est très difficile de calculer l'intégrale de la condition de bonmélange :
/C.C.dt
du fait d'une queue très importante et difficile à délimiter:. Nous voyons cependant que cette conditionest indispensable au calcul de la vitesse moyenne à partir de la vitesse du centre de gravité.
L'emploi de cette formule requiert la connaissante la loi V(z) afin de calculer le coefficient \nous avons déjà signalé qu'il faut aussi connaître la loi de répartition des concentrations C(z) afin decalculer le coefficient de correction |3 (chapitre II).
- 2 5 -
CHAPITRE II
PRINCIPE PHYSIQUE ET EXPLICITATION MATHEMATIQUE DES METHODES DE
« BILAN DES TAUX DE COMPTAGE »
Recherche de l'épaisseur de transport E
ll.l - PRINCIPE (fig. ll.l)
Soit une activité A de traceurs mélangés de façon tout à fait quelconque à un milieu absorbantet diffusant, il est plausible de dire que plus l'épaisseur de mélange sera grande, plus l'activité seraenfouie, plus le rayonnement sera absorbé et diffusé, et un appareil de détection situé au-dessus dumilieu actif recevra moins de particules a, |3 ou Y- II s'en suit qu'une courbe isochocs enveloppe unesurface d'autant plus grande que l'indicateur sera peu enfoui. II n'est pas impensable de trouver unerelation entre le nombre N de particules reçues par le détecteur, l'activité enfouie A et l'épaisseur Ed'enfouissement, cette relation contient d'autres paramètres çels l'étalonnage de la sonde, la réparti-tion de l'indicateur en profondeur, etc...
11.2 . LE BILAN DES TAUX DE COMPTAGE
En chaque point,'il existe un taux de comptage net (bruit de fond déduit) n, fonction de l'acti-vité présente sous le détecteur et de son enfouissement. Si on fait l'intégrale ou Bilan de ces taux decomptage sur toute la tache radioactive, on obtient :
n . ds = £2 (E, A, „.) (1)
11.3 - EXPLICITATION MATHEMATIQUE
11.3.1 - Etablissements des relations
Supposons le détecteur étalonné de la façon suivante : nous connaissons sa réponse f à uneactivité unité uniformément répandue sur l'unité'de surface centrée sous le détecteur et enfouie à laprofondeur z (la position du détecteur par rapport au mélange est parfaitement définie)
f = f (z) c/s pour 1 fi Ci/m2 à la profondeur z.
Pour un indicateur épandu de façon quelconque, on a un taux de comptage élémentaire :
dn = dz'( |jf ( x , y , z ) . C ( x T y , z ) . d x . d y )
-26--27 -
hi%_>
frII
Il"z "id
A v
n
0Ml 3
*=*? S
où f (x, y,z) esc la réponse du détecteur à une activité unité dans l'élément de volume dx, dy, dz, aupoint x0, y0, z0.
Si nous supposons que dans la «sphère d'influencée du détecteur C(x,y,z) esc une fonction uni-quement de z, c'est-à-dire que dans le domaine (sphèce d'influence)
x = x0 H- Sx
y = y0 + Ôy
C (x, >vzl est constant ou :
C(x0 H- E 6 x , y0 + E5y, z) = C (x0 , y0, z)
quel que soit £ appartenant à l'intervalle O < E < 1
On a alors :
dn = dz{C(x,y,z) . Fit (x, y.z) . dx.
JJ 5,, Sy
ou: dn = C (x, y,z> . f (z),dz
ou, si on ne précise pas le point de calcul :
dn = C( ï )* f (z ) ,dz
L'hypothèse précédente est parfaitement justifiée, en effet, la sphère d'influence du détecteura un rayon de 50 cm environ (95 % de l'information reçue provient de cette sphère) et cette distance de50 cm est faible vis à vis des dimensions des nuages radioactifs (plusieurs centaines de mètres).
Le taux de comptage mesuré est :
(2)
Nous appellerons cette équation l'équation de mesure,
Nous considérons tout de même que C est une fonction de x et y au niveau des dimen-sions du nuage. Des variations de concentration existent entre les différents points de la ta-che.
Dans la relation ci-dessus contenant l'épais s cue e au point de mesure, nous connaissons laloi f {z) de réponse géométrique et la valeur n mesurée, les inconnues sont : l'épaisseur e et la loide répartition des concentrations en profondeur C(z).
-28-
En appliquant l'équation (1), on a l'intégrale des taux de comptage sur tout le nuage :
f f (z ) .C(x ,y ,z ) .dx .dy ,dz
"f1
*- Jf ( z ) , t
L'activité du nuage enfouie à la profondeur z est :
Ffe ) -= /C(x,y ,z) .dx.dy|<
Spécifions que Je niveau z — O esc La surface du lie.
Ec l'on a :
fN = f ( z ) . r ( z ) . d z (3) Equation du Bilan
oil F(z) et f(z) ont les définitions ci-dessus et E est l'épaisseur maximum du nuage sur toute latache..
La définition Cl) correspond à la réalisation du Bilan des taux de comptage, lorsque on l'utilisesous la forme (3), on explicite la fonction Q. L'équation (Z) correspond à la réalité de la mesure en•m point.
Les fonctions C(z) et F(z) sont imposées par la réalité. Nous avons la possibilité de choisirle détecteur en choisissant une fonction de réponse géométrique qui permette le calcul de E, quellesque soient les fonctions F(z) et C(z).
11.3.2 - Critique des raisonnements précédents
Nous avons fait implicitement ou explicitement de nombreuses hypothèses dans les raisonne-ments ci-dessus.
Nous avons implicitement supposé que la répartition de l'indicateur est représentative du phéno-mène étudié, c'est-à-dire que nous avons respecté la «condition de bon mélange». Le mode de calculemployé n'a pas besoin de la forme mathématique de cette condition, mais elle est nécessaire pour quel'on puisse accorder au résultat toute la confiance que le calcul lui confère.. Nous avons déjà discutéde cette condition de bon mélange.
Lorsque nous faisons le Bilan, nous supposons que l'activité retrouvée jT(zî.dz est égale àl'activité injectée A. Dans un déplacement de sables, il est certain qu'une partie de l'activité n'est
-29-
pas retrouvée. L'équation (6) au par. II.4.1.2 montre que la confusion entre activité retrouvée et acti-vité injectée conduit à une évaluation de l'épaisseur E pat excès, c'est un facteur allant dans le sensde la sécurité, car il donne une valeur du débit par excès.
Nous avons supposé que les variations de C<x, y, z) sont faibles devant celles de f(x,y,z),c'est-à-dire que l'indicateur est très étalé et que les gradients de concentrations sont faibles. Cettehypothèse parait valable dans les régimes de crues ou de mouvements littoraux où la diffusion est
glande.
11.4 - EQUATION DU BILAN : N = f(i). F (t). dz .
Jo11.4.1 - La lai fU) est une loi polynomials
J/.4./.I - Tfiéorie
nif(z) = 2 f;z'
o
N = ï f: z1 . T (z) . dz
Posons de façon générale que le moment d'ordre t est :
* . T (z) . dz
mi (EF (i) - dz = A
Jo
nid'où: N = ,S f ; .Z
1. . Ai mi
(4)
mais Zjno = 1, nous écrirons donc l'équation (4) sous la forme :
T = N - f°A = £,. zi
Sous cette forme, l'équation (5) est une forme linéaire à ni inconnues 2^., utilisons ni répon-
ses pûlynomiales donnant :
niT; - S fij..Z'.
"I'I ~ I 'I ' mi
ou sous forme matricielle :
j variant de 1 à ni
(T) = (F) - (Zm)
-30-
Ceci représente ni formes linéaires. Nous obtiendrons les valeurs de Zm; si ces formes sontindépendantes, c'est-à-dire si te déterminant des coefficients fj:, i et j variant d e l à ni, est différentde zéroi
Parmi les valeurs Z m f , celle qui nous intéresse est l'enfouissement moyen :
. r (z).
où
r
Cet enfouissement moyen n'est pas L'enfouissement maximum recherché.
11.4.1.2 - Prof îque
Pour des raisons d'ordre technologique, le nombre de détecteurs doit être faible.
1°) Avec un détecteur de réponse linéaire : E{z) = £0 — f^z , on obtient :
N = f0A - tiZn.A (6)
N , fp , f i , A sont connus.
L'équation (6) donne l'enfouissement du traceur : zm.
L'EMPLOI D'UNE SONDE DE REPONSE LINEAIRE PERMET DE DETERMINER L'ENFOUIS-SEMENT MOYEN DE L'INDICATEUR, QUELLE QUE SOIT LA REPARTITION DE L'INDICA-TEUR EN PROFONDEUR, IL PERMET DE DIRE SI LE TRANSPORT SE FAIT EN SURFACEOU EN PROFONDEUR.
2°) Avec deux détecteurs de réponse parabolique :f(z) = f0 + fiz + I2Z • or obtiendra 2m et 2^,2 > cette deuxième information comme la première nenous permet pas d'accéder à l'épaisseur du nuage E.
11.4.1.3 • Détermination de l'épaisseur E
La profondeur moyenne d'enfouissement Zm permet d'expliquer le mode de transport (surface oufond) et il donne déjà une idée valable du débit solide, mais elle est insuffisante pour le connaîtreavec précision. Il faut pour cela relier Zm et Ei
9 (E)
-31-
Pour différentes formes de la loi F (z), on obtient la valeur de la fonction <J). Pour les différen-tes lois adoptées et décrites sut la figure 11.2, on a :
Zm = k.E 2 < E/2m < 3
Nous prendrons : E = 2,5 Zm
On a donc une grande probabilité, si les formes de F(z) restent dans le domaine de celles étu-diées, d'obtenir l'épaisseur E à moins de 25 95 près,
11.4.2 • La toi fz) est une loi exponentielle
'f(z) = f 0 e - a z
M = f
La formule de la moyenne donne :
(7)
Le terme IVi est une fonction de f (2), de F (z) et de E, c'est la concentracion uniforme qui,répartie sur la même épaisseur E donne le même taux de comptage N que la répartition réelle T (z).Nous l'appellerons la concentration uniforme équivalente Fjj, elle est différente de la concentrationmoyenne I*m , par définition, on a :
f(z) . F (z) . dz
f (z) . dz
rm =
Posons p = —^- = g (E). Nous pouvons tracer les courbes f) = gCE) pour diverses lois1 m
F(z) et la même loi f (z). On peut aussi le faire pour différenres lois f (z) correspondant à différentsdétecteurs ou à différents indicateurs.
Exemples : Ir 192 a = 0,154 Ta 182 a = 0,106
Les courbes J3 correspondant à ces deux traceurs sont tracées sut les figures 11.3 et 11.4. Onconstate qu'entre 2 et 20 cm p est une fonction linéaire de E.
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*N
-34-
cnliu
- 3 5 -
L'équation (7) devient :
Dans cette équation":
OCN•
PfoA
d et fQ sont les coefficients d'étalonnage déterminés en laboratoire,
A esc l'activité totale détectée,
N est calculée à partit des mesures faites sur le terrain,
P est une fonction de E connue suivant la forme de concentration adoptée.
On peut' par exemple, dans le cas du tantale 182, connaître l'épaisseur E à :
±3% si 1 < E < 5 cm8 % si 5 < E < 10 cm
20 % si 10 < E < 20 cm .30 % si 20 < E < 40 cm
Remarquons que si -nous avons un renseignement sur la distribution de l'indicateur en proton-.
dent, ces limites d'erreurs sont fortement diminuées.
11.5 - EQUATION DE MESURE : n = j f ( z ) .C (x ) .dz
J °
Cette équation donne le taux de. comptage en chaque point à partir de la loi de répartition de la
concentration en profondeur C (z\,
11. 5.1 - La loi f(i) est une loi polynomial
I/.5.1.J -Tfiiorie
2 f
= S f£ / zi..C(z).. dz
Par similitude avec Zm; on définit zra; par :
• r • rz'. • C C(z).dz = a) = I 2
oit a est l'activité située sous le détecteur.
-36- -37-
Kl
Et : n = 2 f. .z1. . a1 mio
Dans cette equation, nous avons ni inconnues z1 . et l*inconnue
11.5.2 - lo loi f(i) est une loi exponentielle : f(z) = fo e
En un point de mesure, on a n = f0 | e~ a z .C (z ) .dz
n/a - f0 = 2 f. , z i .nu
f0 = n/a - 2 f : . z '! mi
(10)
Cette équation possède n + 1 inconnues» 11 faut donc n + I réponses de ce type avec la mêmecondition d'indépendance qu'au paragraphe 11.4.1.1 : le déterminant d'ordre n + 1 des coefficients f::est différent de zéro.
Nous obtenons donc les valeurs zmj et l'activité a en CHAQUE POINT DE MESURE,
Comme dans l'équation du bilan, seul 1*enfouissement moyen zmi a une signification utile,
Jf.5J.2- Pratique
IL faut au minimum deux sondes donnant l'enfouissement moyen et l'activité en chaque point demesure :
f (z) = f0 - f x
d'où :
L'équation (10) donne :
f0 = nl/a -ti-Sni
_D1BI ~ "2fl
g0 = n2/ a - S1 . ;
- Sofl, =m J. f
n2fl - "I
II esc très intéressant de connaître l'activité en chaque point du nuage car ainsi nous pourronsavoir le centre de gravité des activités réelles du nuage.
En chaque point, nousaurons zmi et s'il n'y a pas de renseignements supplémentaires, noussupposerons que la répartition de l*indicateur en profondeur esc de même forme en tout point et nousprendrons :
Suivons le même raisonnement qu'au paragraphe II.4.2. On arrive à :
an (11)
Cette équation comporte deux inconnues : e et a.
. Deux équations de ce type donneront e et a à condition de connaître les valeurs de 3j et
est variable avec la fonction f(z) ) :
. - -Otz
,-az Otn2 ^ 1 -e "e
32fna =
(12)
(13)
Mais les valeurs 3j et pj sont reliées entre elles, si on choisit (Si et le modèle d'enfouis-
sement, e est déterminé et par suite, pour le même modèle d'enfouissement, ^2 est '"** ;
rP2 = y (Pi , = » mod. d'enf.)
or: P = CM/Cm ' donc: fa/fr = C^/C^
Or, CM est la même fonction de e à travers le même modèle d'enfouissement et des fonctions
f(z) à coefficients numériques différents, donc :
et alors t
L'ensemble des équations (12), (13) et (14) forme un système à trois inconnues :
- l'épaisseur au point de mesure e- 1" activité au point de mesure a- la valeur p2
avec un paramètre Pi .
s Ce paramètre est en réalité une fonction de l'épaisseur dont nous avons vu la signification M
l'utilisation au paragraphe 11.4.2.
-38-
La résolution de cet ensemble donne en CHAQUE POINT DE MESURE l'épaisseur eH'activitéà la condition de connaître la loi de distribution en profondeur..
Nous en déduisons le vrai centre de gravité du nuage.
Pour que ce système ait une solution, il faut et il suffit en théorie que a et Y soient différents;Ceci est réalisable, nous le verrons au chapitre des étalonnages (IV),
11.5.3 • Recherche de l'épaisseur de'tmnsport
Si nous prenons la valeur e maximale, nous obtenons la même valeur E que dans la partie HAde l'équation du bilan. '
Si nous faisons la moyenne sur toute la tache de-! valeurs e trouvées, nous obtenons l'épais-seur moyeme du nuage :
e (x, y) dx dy
Em =
Suivant la méthode de calcul, on accède à une notion d'épaisseur maximale ou à une notiond'épaisseur moyenne. Comme l'indicateur est supposé eue représentatif du transport, l'épaisseur maxi-male est l'épaisseur maximale de transporc et l'épaisseur moyenne est Tépaisseur débitante ou épais-seur de transport.
Nous verrons au chapitre VII que seule l'équation du bilan a pu être appliquée dans l'expérien-ce du Cher. Le lit y est pratiquement plat (peut-être des dunes de 20 cm d'amplitude pour 80 m de Ion-jueur), donc les résultats des deux méthodes doivent être équivalents.
Il est certain que plus le fond est en dunes escarpées, plus il y aura de différence entre lesdeux méthodes, la bonne valeur sera donnée par l'équation de mesure. Un lie plat se satisfait fort biend'une application de l'équation du Bilan.
11.5.4 - Valeur du coefficient [3
Dans les deux exemples donnés au par. 1.3.2.2 , la répartition des concentrations possède sonmaximum dans le deuxième quart de l'épaisseur, nous. choisirons pour le calcul du coefficient P unerépartition équivalente : la. répartition parabolique avec sommet au tiers de l'épaisseur.
"Si on possède queîque renseignement supplémentaire sur la répartition au lieu d'expérience >on peut être conduit à une valeur différente de celle donnée par la îoi ci-dessus.
-39-
11.6 - LOI DE CONCENTRATION POLYNOMIALS
Dans les parties II.4 et 11.5, nous n'avons fait aucune hypothèse mathématique sur les loisC(z) et P(z), mais de façon générale, on peut chercher à mettre ces lois sous forme polynomiale
•C« = 2 c;.zî Hz)ni
11 y a n + 1 coefficients inconnus, auxquels il faut ajouter a et e ou E.,
Pour chaque sonde, on aura :
Nj = Sj (A,E,r;}
nj = £3 j ( a , e ,C j>
Ces relations dépendent, soit de n + 3, soit de n + 2 paramètres. Mais nous avons :
ret I r(z).dz i= A reC(e) = 0T(E) = 0
C(z).dz •= a
c'est-à-dire deux relations.
Il faudra donc, soit n -f- 1, soit n détecteurs de réponses géométriques différentes suivant quel'on emploie l'équation de mesure ou l'équation du Bilan.
On obtient les coefficients des lois de concentration et ainsi on a une forme approchée poly-nomiale de .ces fonctions.
Si nous comparons ce processus arec celui des paragraphes 11.4 et 11.5, nous constatons quenous avons remplacé les inconnues Zmj, ou Zmj, ou Cjj par les coefficients du développement poly-nominai de C(z) ou de F(z). Cette'dernière méthode serait préférable si on pouvait être sûr qu'untel développement est possible. Les deux premières méthodes donnent des résultats imprécis, maisdont on peut chiffrer l'imprécision. Nous avons vu pourquoi les lois de répartition ont les formes choï-.
• sies, elles permettent cette limitation des erreurs.
11.7 • CONCLUSION SUR LA RECHERCHE DE L'EPAISSEUR DE TRANSPORT E
Les différentes études de ce chapitre montrent que, de façon théorique, il est possible d'accé-der à une des épaisseurs de transport que nous avons définies au premier chapitre. Pour réaliser cela,il faut des détecteurs dont lés lois de réponse géométriques correspondent auxnormes décrites ci-dès-,'sus ; il faut aussi étudier d'un point de vue théorique les lois de répartition des concentrations en pro»
•fondeur. Dans le cas d'une répartition en profondeur de forme parabolique avec sommet au tiers, il sem-ble, d'après des exemples, qu'un lit en forme de dunes donne une fonction C(z) ayant un maximum va-riant autour dû tiers de l'épaisseur suivant la position du maximum d'activité sur le flanc de la duae.-Nous pouvons donc affecter la même valeur (3 à C(z) et à TCz), quelle que soit la f"rme du lit. Suj-.vant la méthode, on obtient une épaisseur maximale-ou une épaisseur moyenne.
-41-
CHAPITRE III
CALCUL DE LA VITESSE DU CENTRE DE GRAVITE
Nous appliquons la méthode d'intégration dans l'espace en assimilant la vitesse moyenne dufluide et la vitesse du centre de gravité des particules. Nous avons vu au premier chapitre qu'en agis-sant ainsi nous supposions que le bon mélange est réalisé, que la représentativité est obtenue et quele coefficient X est égal à 1, en fait, il faudrait connaître la loi - si il existe effectivement une répar-tition des vitesses - de réparition des vitesses en. profondeur, nous ne la connaissons pas et nous, nepouvons pas déterminer X.
Il faut donc déterminer le centre de gravité des masses d'indicateur.
lll.l - REPRESENTATION DU NUAGE PAR LES TAUX DE COMPTAGE
Sur le terrain, on mesure des taux de comptage (détection statique) ou des nombres de chocsintégrés (détection dynamique).. Ceux-ci seraient proportionnels à la quantité d'indicateur présente,si, et seulement, si l'effet d'.etrfouissement n'existait pas. On appelle effet d'enfouissement la dimi-nution du taux de comptage donné par une activité constante lorsque son enfouissement varie, par exem-ple une source plane homogène de 1 jJ-Ci/m^ donne un r t f = f(z). En conséquence, le taux decomptage et l'activité présente ne sont pas dans un rapport, constant indépendant de la répartition enprofondeur, il ne peut être pris que comme une représentation approchée de l'activité présente au pointde mesure. Le centre degravité des taux de comptage ou des nombresde chocs'intégrés n'est pas lecentre degravité des masses d'indicateur.
Pour calculer ce centre de gravité, il y a deux méthodes suivant que l'on travaille en dépouil-lement statique par courbes isochocs ou en dépouillement dynamique par intégration jSur le's traversées.
III.1.1 - Calcul du centre de gravité en dépouillement statique
Les données se présentent sous forme d'un «volume » à trois dimensions: deux coordonnées to-pographiques de repérage du point de mesure X et y , la troisième représente le taux de comptage net(bruit de fond dû à la radio-activité naturelle déduit).
-42 -
Dans la pratique, on découpe le volume précédent par des plans horizontaux, on obtient dessections droites S(n) au taux de cotnpage n, de centre degravité gfl et on calcule l'abc is se du cen-tre de gravité de l'ensemble par la relation précédente qui, transformée, devient :
X g n .S(n>.dn
S(n).dn
Mais, en pratique, il est très difficile et même impossible de'trouver le niveau n = 0 etl'on caltcule les intégrales encre les bornes no et nmax-
1 "max
S(n).dn
Cette valeur no est en général voisine du double du bruit de fond. Oa appelle ceci l'effet deseuil. Malesondeswaca Rno (réf. 111.1) a évalué entre autres une limite de l'erreur qu'il est possible<te faire lors du tracé des courbes isoactires (sections droites du « volume 0 et il a estimé l'influencede l'effet de seuil. Sur l'exemple qu'il a étudié, il a trouvé une limite d'erreur de 7 à 8 % sur le débittotal calculé,
. III.1.2 - Calcul do centre de gravité en dépouillement dynamique
Reprenons le même volume, la différence avec le cas précédent provient de ce que-on intègredirectement les taux de comptage sur une traversée pendant destemps Ût, c'est-à-dire des longueursA y (échelle ou intégration graphique sur un relevé d'enregistreur).
On obtient directement l'intégrale :
Jn jA
dy.dn
et par sommation
et soustraction du bruit de fond
sur la longueur y
d/.dn
-43- -
L'intégrale est obtenue SANS EFFET DE SEUIL.
Et, par suite, le centre de gravité a pour abcisse :
/X.I(X).dX
I(X).dX
III.1.3 - Calcul de la vitesse du centre de gravité
Les deux calculs précédents de l'abcisse du centre degravité donnent le même calcul de la vi-
tesse de ce centte de gravité :
"G =
Quotient^de la variation de l'abcisse pendant le temps At.
111.2 - REPRESENTATION DU NUAGE PAR LES ACTIVITES REELLES
ensubsi
Supposons que, par la méthode de l'équation de mesure,on ait pu déterminer l'activité présentechaque point, on a ainsi supprimé.l'effet d'enfouissement. Si on opère en dépouillement statique, il
,-osistera un effet de seuil, car on négligera les activités inférieures à un seuil ao. Si on opère en dé-pouillement dynamique, il n'y aura pas d'effet parasite. De cette façon, on aura le centre de gravité
réel.des masses d'indicateur.
1.11.3 - REMARQUE SUR LA NOTION DE VITESSE MOYENNE
A chaque particule, on peut associer une vitesse v = Ax/ At .
La vitesse moyenne d'un groupe de particules est :
Si on opère en intégration dans l'espace, on a At constant, quelle que soit la particule et :
, _ AI = AXG
G ~ At At
Si' on opère en intégration dans le temps, c'est-à-dire à Aï constant, quelle que soit la parti-
cule, on a :
VG - Ax-tTT5
-44 -
er non pas, comme il est habituel de le faire :
*G - =G ( A t )
Les résultats sont différents!
IM.4 - RESUME ET FORMULE DU DEBIT
Nous avons au chapitre II discuté du jalcul de l'épaisseur £ ec des imprécisions qui l'accom-pagne. Dans ce chapitre-ci, nous avons étudié la vitesse moyenne du charriage, la façon de la calcu-ler. Kappelons qu'elle est tributaire de trois facteurs d'erreurs:
- la condition de bon mélange,
- l'effet d'enfouissement,
- l'effet de seuil.
A ceux-ci, ajoutons les erreurs d'expérimentation et de dépouillement des résultats..
On peut maintenant écrire, car nous connaissons (out :
G = p., L t . V m . E
t/j t/rr,3 m m / j m
Toutes ces nations, qui peuvent paraître parfois abstraites, vont être mises en application dans :l'expérience du Cher - CK, VII.
CHAPITRE IV
LES ETALONNAGES DES DETECTEURS
IV. 1 . LA LOI DE REPONSE GEOMETRIQUE D'UN DETECTEUR
milieu 1
milieu Z
lit = interface
Au paragraphe II.3>..1, nous avons vu que1" on appelait « loi de réponse » du détecteurla variation* du'taux de comptage qu'ilfournit lorsqu'il détecte une activité uni-té répartie uniformément sur une surfaceplane circulaire de 1 m2 centrée sous ledétecteur, variation dcr ce taux avec la pro-fondeur d'enfouissement de la source pla-ne.
f = f(z) c/s pour 1 |1C! à la profondeur z.
Pour une sonde (ou détecteur) donnée, les paramètres sont les suivants :
- la distance D entre le lit ou interface et la sonde,- les milieux 1 et 2,
- le radio-élément constituant la source plane,
- les caractéristiques de réglage de la sonde et du circuit de comptage associé : le seuil S.
IV-2-LE DETECTEUR U,g. IV.l)
Nous n'avons étudié qu'un seul déterteur: la sonde marine adaptée au sclntillomètre S.P.P.3,fabriqué par la société S.R.A.T.
Elle est constituée des éléments principaux suivants :
- une enveloppe étanche en acier inoxydable,
- un cristal à scintillation en lodure de sodium activé au thallium de 1* £ - I" optiquementjoint à :
. un photomultiplicateul (130 AVP Radiotechnique) dont l'amplification est variable (réglagede la tension d'alimentation de l'une des dynodes), ce qui permet de régler la hauteur des impulsionsà la sortie (réglage au moyen d'un potentiomètre),
. un circuit adaptateur d'impédance reliant le 'photomultiplicaceur au câble (7 conducteurs)transmettant la haute tension aux dynodes et les impulsions au circuit de comptage,
. le câble peut avoir de 3 à 150 m.
-46 -
aet
n de S.ft.fl.T.
«Uh:1/1
IV.3 - LES ETALONNAGES EAU-SABLE
Figure IV. 1
Us correspondent aux expériences en rivière et en mer lorsque la sonde est entourée d'eau (mi-lieu semi-infini).
Ce sont les plus nombreux, nous les classerons suivant le radio-élément employé :
• Iridium 192 rayonnement : Y de 0,3 à 0,6 Mev Période T = 74,4 j
• Tantale 182 y de 0,1 à 1,3 Mev 115 j
• Or 198 y àe 0,410 Mev 2,7 j
-Chrome 51 £ et 9 % de Y *v 0,325 Mev 28 j
Dans tous les cas, pour différentes valeurs de la distance D et du seuil S, les réponses obte-nues sont exponentielles :
f = f 0 « - a z
La réponse polynomial, prise comme hypothèse aux paragraphes II.4.1 et U.5.1-, n'est doncqu une approbation d'autant plus mauvaise que le nombre de termes est faible, il faut donc trouver uncompromis entre la précision qui demande un grand nombre de termes donc de détecteurs et la praricuequi reqmert un appareillage simple comprenant aussi peu de détecteurs que possible.
-47-
IV.3.1 - Etalonnages en Iridium 192
Ce radio-element nous a permis de comparer deux modes d'étalonnage :
IV.3.1.1 • Etalonnage au moyen d'une source plane
On aréalisé une source ptane d'activité uniformément répatiie en déposant de l'iridium en solu-tion sur du papier buvard. Ce papier est scellé entre deux feuilles étanches afin de conserver l'humi-dité et d'éviter que l'évaporation entraîne une humidité variable et un marquage non uniforme. La sour-ce, circulaire, a 75 cm de rayon. Elle est déposée sur un lit de sable et elle «çoit des épaisseurscroissantes de sable, tous les deux centimètres, on mesure le taux de comptage pour différentes va-leurs de D et pour différents seuils S. La sonde, horizontale, a son cristal sur l'axe de la source. Cet-te méthode est technologiquement très délicate de mise en œuvre.
Figure IV.2
0 sonde
sable
-48 -
/V.3.T.2 - Efo/onnoge au moyen d'une source ponctuelle
La source ponctuelle est placée dans le sableà la profondeur z et à une distance R de l'axe verti-cal passant par le cristal de la sonde. Le taux de comp-tage obtenu est multiplié par 2TIR pour avoir le tauxde comptage donné par une couronne de rayon R.
En intégrant de O à R, on obtient le taux de comptage que donne la source plane de rayon R,une surface de 1 m2 a un rayon de 56,4 cm, on détermine ainsi le taux de comptage d'une source planede 1 ra^. En faisant varier z, on obtient la loi f(z) pour les valeurs D et S choisies. La figure IV.2représente la cuve où est réalisé ce type d'étalonnage: le chariot porte-sonde permet de réaliser lesvaleurs R et D, les tubes porte-sources permettent de placer la source aux niveaux z = 0, 2, 5, 10, 15,20, 25, 30, 35, 40 cm. La technologie de cette méthode est simple.
IV.3.1.3 • Résultats
Les deux méthodes donnent le même résultat. La source plane nécessite peu de calculs, mais,est d'une technologie délicate, tandis que la source ponctuelle entraîne des calculs longs mais avecune réalisation simple. En conséquence, Jes étalonnages suivants sont faits avec des sources ponc-tuelles.
Les résultats sont portés sur les figures IV.3 et 4. On remarquera que le coefficient «de la loide réponse varie surtout pour les seuils situés dans la zone du pic de l'émission y du radio-élément.
IV.3.2 - Eralonnagos en tentai o 182, chrome 51 et or 198
Les étalonnages sont faits arec des sources ponctuelles.
Les résultats sont portés sur les figures 1V.5 et 6.
IV.4 - LES ETALONNAGES AIR-SABLE
Les seuls étalonnagesdecetype ont été faits avec de l'iridium 192 et de l'or 198 à des finsprécises : l'exploitation d'expériences de terrain et non une étude systématique des lois de réponse!
Ces lois, exponentielles, sont représentées sur la figure IV.7.
1V.5 - LES TECHNIQUES DE MESURE
IV.5.1 - L'intégrales S.P.P.3
• Une première méthode consiste en l'utilisation directe de l'intégrateur fabriqué avec la sonde,mais, les lectures sont fonction de la définition du seuil et celle-ci, pas très-précise, varie avec cha-que appareil.
-49-
Pigsre IV. 3
Etalonnage
/„ et CC pour D = î ci»
en fonction du seuil.
io
-50-
Etalonnage en
fonction tie fa
hauteur d'eau D
I S 0,111
10 -
\
Jew) SO ktv
Figure IV.4
,r!92
\
'SeSo C/SU6/..V
-51 -
OOurce plane circulaire, uniformetitrfsta =.-.
•HT
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Af*-tun\• x,
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Figure IV.%
IV. 5. 2 - Le ipectrogrophe monoconol
Cet appareil trace le spectre d'énergie des photons reçus pour chaque mesure ou ensemble desvaleurs D, z, R. Puis il faut intégrer ce spectre pour différents seuils S, c'est-à-dire pour les éner-gies supérieures au seuil choisi. II faut étalonner le spectrograprie en énergie au moyen de radio-élé-ments de référence (mercure 203 et césium 137).
IV, 5-3 - Le spectrogiophe mulri-canaux au analyseur d'impulsions
Cet appareil permet de remplacer l'intégration graphique du spectre précédent par une intégra-tion calculée. D'autre part, il est beaucoup plus rapide que le précédent appareil. Un tel appareil munid'une sortie des résultats sur bande perforée ou sur cartes permet, de traiter le problème de l'étalon-nage par calculateur. Comme au paragraphe ci-dessus, .l'étalonnage en énergie est fait au moyen desources de référence (mercure 203, césium 137 et cobalt 60).
IV.6 - RESULTATS ET APPROXIMATIONS
11 n'est pas possible de donner ici tous les résultats qui furent obtenus du fait de leur nom-bre. En outre, ces'résultats sont inutilisables pour .une autre sonde que celle que nous avons employéeles valeurs, «et fo peuvent varier de 20 % à 30 S (d'après ce que nousavonspuobserver). H faut doncavant toute expérience étalonner la sonde dans les conditions géométriques de l'expérience.
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C/a AlG7m* Etalonnages
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- 5 4 -
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b
S
- 5 5 -
Pour déterminer la loi exponentielle, il suffira d'étudier deux points :
f j _ f(zj) et f2 = f(z2)
par le calcul, on déduira :
Z1.. LOG (fz) 7_gj LOG(f2/fl)*O " _ Zi ~~ ZT
On a vu que l'on pouvait utiliser une réponse linéaire (approximation de ia téponse exponen-tielle). Cette droite doit être tracée comme .droite des moindres carrés, de la courbe théorique et nedoit pas corresponde an, deux premiers tern.es du développement en séné de l'exponentielle au voi-sinage de l'origine. Nous avons deux exemples de ceci sur la figure IV.8.
Les autres résultats d'étalonnages existent sous forme de rapports internes de la Section d'Ap-plication des Radio-éléments du C.E.N. Sacky. Ces rapports contiennent aussi le détaU des calculs-
effectués.
-57 -
CHAPITRE V
CALCUL STATISTIQUE DES MASSES D'INDICATEUR
Sur le bord de la tache radioactive, le taux de comptage est faible. Cela* provient du fait qu'ila peu de grains radioactifs en présence du détecteur par suite de l 'influence de la diffusion et d'undéplacement aléatoire des grains.. Ce faible nombre de grains entraîne des fluctuations importantes dutaux de comptage : par exemple un grain unique proche du détecteur fera croire à la présence d'une,forte activité, tandis que le même grain situé loin du détecteur indiquera une faible activité. Le pro-blème est le suivant : combien faut-il de grains pour que la plus grande partie de leurs dispositionsrelatives donnent le même taux de comptage. C'est-à-dire : combien de grains faut-il pour que l'unequelconque de leurs distributions géométriques donne le même taux de comptage que la même activitétotale uniformément répartie sous le détecteur (ce taux est la valeur moyenne des taux donnés par tou-tes les distributions possibles des grains).
Décidons de rechercher comme dernier taux de comptage significatif un .taux doublant la valeurdu bruit de fond. En pratique, cherchons combien il faut de grains pour que la valeur double des bruitsde fond habituels : 50 c/s, soit valable. De l'iridium 192 déposé en surface, pour une distance sable-sonde D = 5 cm, pour.une activité de 1 jlCi répartie uniformément sur 1 m^ donne 50 c/s (voir lesrésultats des étalonnages en iridium .192 au par. IV.3..1).
La détection peut être faite de deux façons différentes : soit point par point, soit en traînantla sonde sur le fond. Nous appellerons la première méthode : la détection statique, et la deuxième : ladétection dynamique. Pour des raisons que nous exposerons plus loin (annexe 1), les taux moyens ob-tenus en détection statique et en détection dynamique pour une vitesse de la sonde par rapport au fondde 1 m/s, ont la même valeur; en particulier dans les deux cas., 1 (iCi par irr donne 50 c/s.
V.l - GENERALITES
II y a trois phénomènes aléatoires à prendre en considération :
- le taux de désintégration radioactive,- le diamètre du grain donc son activité,- la position du grain par rapport à la sonde.
La fluctuation du taux de désintégration est donnée par une distribution de Poisson. La distri-bution des activités se calcule à partir de la courbe granulométrique en fonction du marquage utilisé.
Dans le cas de la détection statique, la distribution des grains est celle~.d*un grain placé-auhasard dans un cylindre vertical dont l'axe passe par la sonde, de section circulaire (surface = 1 m >diamètre = 1,128 m).
Dans le cas de la détection dynamique, le volume à considérer est" un parallélépipède rectan-gle de largeur : 1,128 m, de longueur t . lm/s où t est le temps de comptage ; en toute rigueur, il fautlui ajouter à chaque extrémité un demi-cylindre de diamètre : 1,128m. Dans les deux cas, la hauteurest l'épaisseur du mélange.. .
-58-
V.2-THEORIE, THEOREME CENTRAL LIMITE (Ré*. V.l)
A partir des trois fluctuations définies ci-dessus, on détermine la densité de probabilité d'ob-tention du eaux de comptage-d'un grain : NI
dP (Ni)
Pour plusieurs grains : ng, le théorème central limite dit que la densité de probabilité d'ob-tention du taux Hn, somme de n. raux NI
dPOO •
est une loi tendant vers une loi de Gauss quand rij, augmente indéfiniment et cela quelle que soit laloi ïtj , c'esc-à-dire quelles que soient les trois fluctuations définies au par. V.l.
ivn - wnEn variables réduites : c^ = =
La loi de probabilité tend vers une loi de Gauss réduite :dç
Choisissons d'avoir une activité totale indépendance du nombre de grains :
2aj = an T. 1 |iCi
La somme des taux de comptage moyens est donc constante : 5Q~c/s.. Pour obtenir cela, di-visons le numérateur ec le dénominateur du membre de droite de l'équation (1) par n_, nous obtenons ;
2 N! - NINn - Nn =
avec Nn - Nj = 50 c/s et ,
(2)
(3)
La loi donnée pat l'équation (3) es: très importante, car elle nous permettra de caractériser lesdistributions obtenues pour différentes valeurs de n_. On voit déjà que plus le nombre de grains seragrand, moins la distribution des taux de comptage sera étalée.
- 59-
V.3 -MISE EN OEUVRE DE LA THEORIE PRECEDENTE: CALCUL DES DISTRIBUTIONS DESTAUXDECOMPTAGE ET DES ECARTS QUADRATIQUES
Nous avons- les distributions correspondant à la détection statique 7l s[1- les distributions correspondant à la détection dynami que Tï^
V.3.1 - Problème de la détection statique
V.3.1.T - Calcul de la distribution Ttsl
Les trois distributions du par. V.l ont pour lois de probabilité :
fluctuation de désintégration
fluctuation d'activité :
dE (Nsl)
dNj]
dA.Ca)
= EM
AC
fluctuation géométrique en détection statique :
dGs (r, 9. z)dr
= GE
t, 9, z étant les coordonnées cylindriques'du grain par rapport à la sonde.
Entre les variables : taux de comptage = NSJ
activité = -a,
distance = r
il existe des relations.
Soit un grain d'activité unité a = 1, il donnera un taux décomptage Vs fonction des coor-données r, 3, z
Vs - Vs <r( 6,
"si = «1 . VB
(4)
(5)
Nous allons simplifier les calculs (justifications au par. V.5) en supposant que la fluctuationde désintégration est supprimée par la sojnmation pendant un temps assez long du taux de comptage.Nous supposerons que nous n'avons que des grains en surface dusable. Avec ceshypothèses,,ilreste :
la fluctuation d'activité : ACdAJaj
da
la fluctuation géométrique : GES = s = 2 Tirdr
(probabilité d'obtenir un grain à la distance r, dans l'intervalle r, r + dr),
-60-
avec les deux relations :
V f i = Vs ( t )
Nsl = al , vs
La première est donnée par étalonnage : figure V. 1.
Pour le grain d'activité unité, la probabilité géométrique étant .
dr
La probabilité de donner un taux de comptage Vs dans l'intervalle Vs , Vs +- dv s est
dP ( Vs) _ dG5 ( Q jlr^
d V, dr dvs
dvs . dvs
On trouve (fig. V.2) q u e :
1,2 < vs < 920 c/s
- 1 (J. Ci
(6)
Pour le grain d'activité quelconque aj , le taux de comptage est Nsl = aj . V s . La probabi-lité d'obtenir Nsi dans l'intervalle Ns], Nsi + dNs] est, d'après le principe des probabilités con-ditionnelles, le produi' de la probabilité d'obtenir l'activité a] dans l'intervalle ai, a] + da| par laprobabilité d'obtenir comme valeur de Vs la valeur Vs = Ns[/a[ dans l'intervalle V 5 , Vs + dV s
dP(N s l/a i) = dA(ai) . dP (V s = Nsl/^1
La probabilité d'obtenir NSJ dans le même intervalle quelle que so't la valeur de l'activité aj
. cJP I
Mais la probabilité d'avoir l'activité a^ est : dA(ai) — ^C dai
- 6l-
Figure V.l
62
Jo-'
10"
Figure V.2
1 lo do*
La probabilité d'obtenir V — Ngi/ai est :
d P ( V s = Ns ' dv s
D'autre parr, la relation Ngj = 'a[ . Vs donne dNsj = aj . dV s .
-63-
D'ou
Or:
I AC d P ( V s )
d V B
da, (7)
n jjai M -1,3? (relation ô) s'exprime par : 0,431- u,45i vs ^-1,37J P ( V» )
devient i
r rKsl = 0,431 . N^1'37 /AC.a+".37aai ou 7tsl = f(Nsl) / g (a,) da, (S)
Ji ARemarque sur les bornes de l'intégrale / g (a|) daj
7aiPoitons sur deux axes de coordonnées rectangulaires logarithmiques aj et Vs , la fonction
vs = Nsl/al se représente par une droite de pente -1,
NSJ étant un paramètre dont la valeur peut être portée sut
la droite a, = 1. Les valeurs limites de a^ et vs définis-1 sent un domaine. Les droites de pente ~1 coupent ce do-
rnaine en deux points C et D, la valeur N5'j est lue au pointE. A etB sont les valeurs limites de NSJ , l'intervalle desNsl est supérieur à l'intervalle des Vs.
I
K-:-Il faut calculer l'intégrale / g(aj) daj pour toutes les
peuventnons un
valeurs de NSJ, c'est-à-dire pour l'ensemble des droites depente -1 coupant l'axe desNsj entre A etB. Plusieurs cas
se présenter suivant les largeurs relatives de l'activité a^ et du taux de comptage Vs , pre-exemple matérialisé sur ta figure ci-dessous.
Suivant les droites CD, c'est-à-dire:suivant la valeur Nsi, les valeurs li-mites de aj pouvant donner Nsj sontvariables :
a) la droite C D coupe l'axe des NS^
entre A et F.j; l'activité est compriseentre les abcisses de C et D, c'est-à-dire :
al < al max
-64-
b) la droite C D coupe l'axe des NS^ encre Ej et £2 , on a :
v *- als max s min
c) la droite coupe l'axe des NS^ entre E2 et B, on a :
a l m m
Donc, au fur et à mesure que la valeur NSJ augmente, les bornes de l'intégrale sont :
al min Nsl/ vs rain P°ur al min vs min < Nsl < al min vs max
Nsl/ vs min Nsl/ vs max Pour al min vs max < NSJ < &1 max Vs min
*W vs max al max P™r al malc vs min < Nsl < al max Vs max
Prenons un deuxième exemple :
a) la droite C D coupe l'axe desNs^ entre A et Ej , on a :
NS1Vs max * al *• al max
b) la droite C D coupe l'axe des N , entre Ej et £2
„ al rain < al < al max
c) la droite C D coupe l'axe des NS^ entre £2 etl\
"s max
N
N
al
S
Donc, au fur er à mesure que la valeur de N i augmen-te, les bornes de l'intégrale sont :
al min « Nsl/ Vs min P°»r =
al min vs min < Nsl < al max vs min
al min et al max Pour :
al ina.x **s min " "si ^ al min ^s max
Ns l / vsmax « a: raax pour:
al min vs max < Nsl < al max vs max
- 65-
C'est ce cas là que nous trouverons lors des deux exemples du sable de Loke et du sable de
Dunkerque.
Comparons les deux exemples ci-dessus : On trouve que si
al min vs max ^ al max vs min
s min al min
est dans Le premier cas; si l'inggalité est renversée,.on est dans le deuxième
Avec de l'iridium 192 et la sonde employée, on trouve :
s min = M c^s " vs max = 920 c/s pour un grain de 1 fJ,Ci soit:
-ESi = 767
al max _ , ^maxvot : - — t - 1
al min drain
le rapport des activités extrêmes est égal au cube des diamètres extrêmes.
Pout être dans le premier cas, il faudrait un rapport ^gx/dmii, > 9,15-
Ceci correspondrait à une granulométrie extrêmement étalée et non usuelle (fin de la remarque).
Reptenons l'équation (8), l'intégrale fait intervenir la granulométrie du sable et il faudraïtfai-,re une étude spéciale pour chaque granulométrie. Voyons d'abord le problème de façon générale.
Calcul de loi AC :
Cette loi se calcule de la façon suivante :
La probabilité d'obtenir un grain d'activité aj dans l'intervalle aj , aj -t- da^
AC =. dA (a
est égale au produit de la probabilité d'obtenir un gnin de diamètre d dans l'intervalle d, d + d ( d)
pat la variation de la largeur d'intervalle : d ( d)/ daj
ACdP(d) d(d)
d (d) dai
Cette probabilité d'obtenir un grain de diamètre d est égale au produit de la fréquence de ré-partition en poids de 1 gramme (exprimée en fonction du diamètre : m(d) ) par le nombre de grainsde même diamètre d contenus dans 1 gramme, divisé par le nombre réel de grains par gramme.
-66 .
dp (d) nombre de grains de diamètre d par gramme- m (a) • '
d(d) nombre réel de grains par gramme
dA(ai) nombre de grains de diamètre d'par gramme d(d)et : AC = L = m(d) . e —* . <9)
da; nombre téel de grains par gramme daj
Dans cette equation :
m(d) es: la loi de répartition de 1 gramme de sable en fonction du diamètre, c'est-à-dire la courbe m (d)est la courbe différenciée de la courbe granulométrique;
le nombre de grains de diamètre d par gramme est égal à :
6/ 7îd3 p
le nombre réel de grains par gramme est égal à l'intégrale
P"Jnpm(d> d(d)
Nous le posons pat définition égal à : .
«/iup«£ •
et nous avons, ainsi défini un diamètre moyen équivalent quant au nombre de grains.
La loi donnant l'activité en fonction du diamètre est :
a! (d) = kd3
Affectons au grain de diamère dm l'activité unité, on trouve :
et l'équation (9) devient en appelant M(aj) la fonction m(d) où l'on remplace d par ^.(aj
AC = - dm M (ap a i-V3 (10)
dat 3
Reportons l'équation (10) dans L'équation (8), nous obtenons :
g(ai) = dm M(ai) ai-1,30
. o^ . Nsl (11)
67-
gem
Dans l'équaiïon (11), la.coutbe gtanulométrique internent directement par sa dérivée, lechan-ient de variable dans cette dernière (d =• d^ . (a) + W ) donne la loi M(a).
Nous verrons plus tard l'application de cette équation à deux exemples.
V.3.J.2- Calcul des distributions 1tsn
Chacun des n grains a un taux de comptage NsJ et la somme est NEn
On peut remplacer cette somme pat deux autres :
Ns
n
2 NsJ sj
le résultat est le même ; chacune des sommes N • et Ns}t cst un taul de comptage obtenu avec j ou kgrains, pour j + k = ng grains. Choisissons ag = 2' de façon que, partant de
j = k = 1
on continue par :
j = k = 2
j = k = 3
j
n
g
g
g .
4
8
2'
Nous avons ainsi défini un mode de calcul pour ces valeurs de n , toutes les valeurs de ne
s'obtiennent en combinant celles ci-dessus entre elles et avec la valeur 1,
ex.: ng = 33 ] - '32 k - 1
II nous suffira de calculer 1tsn pour n» = 71
Calcul de 1tsn à partir de 1tsj et 1tsk.
l^a probabilité d'obtenir NSR dans l'inie-volle Nsn, N3n 4- dNsn, sacnant que,Nsj appartientl' intervalle N^; , NSJ + dNsj , est, d'après le principe des probabilités conditionnelles !
Nsi) . dP (Nsk = NSI) - Ns;).
La probabilité d'obtenir NBn dans ledit intervalle, quel que soit NSJ, est la somme des valeursde dP (Nsn/Nsp pour toutes les valeuts de N s j . Or, dP(Nsj) = 1C aj dNsj e t :
- Nsj)
«
-68-
d'où: 7C,
Remarques :
<Nsn - NSJ) . dNsj
j + k = n (12)
1°) Cette équation est générale, elle est valable en défection dynamique comme en détectionstatique. Il en est de même des équations (7), '(10) et (13).
2°) Nous voyons qu'il faut partir de 1 grain pout pouvoir faire augmenter progressivement lenombre de grains n..
V.3.1.3 - Calcul des écor/s quadratiques moyens C7
Pour un grain, le théorème de Koenig donne (réf. V.l) :
+ N 2
si "si (B)
où NS^ est la valeur moyenne du taux de comptage N , •
En portant (12) dans (11), on trouve :
Nous avons tous les éléments pour calculer l'écart quadratique C7 * .
Pour plusieurs grains, le théorème central limite donne :
V.3.Ï.4 - Résultats
La remarque du par. V.ï.1.1 nous montre l'étendue des valeurs de NSJ. Elle est très grande,aussi, nous étudierons en premier lieu le cas limite de la granulométrïe uniforme.
V.3.1.4.1 - GRANULOMETRI3 UNIFORME EN DETECTION STATIQUE
Affectons l'activité unité à ce grain unique, et nous aurons :
d'où : K,si ~ dv .0,431
avec: 1,2 < Nsl < 920 c/s
aj = 1 UCi
la valeur moyenne est : Nsl = 50 c/s
Pour deux grains, nous aurons :
-69-
sl
l'activité de chacun de ces deux grains étant moitié de celle du grain unique, nous aurons :
TC5l = 0,215 N^1'37
et: Tts2 = 0,0464 / (Nsl (Ns2 - Nsl) )~ I>37 dNsl (M
les bornes de cette intégrale sont fonction de la position de ^§
par rapport à Nsl max et Nsl „,;,;
Is2 ~ Nsl min
2Nsl min < Ns2 < Nsl max + Nsl min
Nsl ma!c + Nal m;n < Ns2 < 2 Nsl max
Nsl ma
les intégrales doivent être calculées, soit graphiquement, soit par l'utilisation d'un calculateur. Nousavons utilisé la seconde méthode et pour cela on a établi le programme STASTI (annexe 2). 11 donnela courbe de probabilité - ^S2, la courbe cumulée, la valeur moyenne :
Ns2 = 50 c/s
l'écart quadratique moyen : G si — 88,4 c/s
la valeur la plus probable de Ns2 : Ns2p = 3,5 c/ s
-70-
Pourun nombre supérieur de grains, nous avons utilisé directement la formule (12) en la tra-duisant par Je programme STAST2 (annexe 2). On obtient les courbes :
7rs4 ^S8 *al6 V2 ^64 7tsl2S *S256
les courbes cumulées correspondantes
les valeurs moyennes : N = 50 c/ s
les écarts quadratiques moyens Un répondant à la loi théorique ;
<rsn = 125 /(ng)*
les valeurs les plus probables de Nsn ; Nsn
Nou-s avons tracé les couibes Ttsl6 , u^ et HsS4 (fig. V.3)
la courbe f(0g) (ngl y.4)
!es courbes donnant le pourcentage des cas où le taux de: comptage appar-tient à un intervalle A de part et d'autre de la valeur moyenne. Nous avons pris A = 10, 20 40 <7ce pourcentage est tracé avec en abcisse le nombre de grains C%. V.5). Sur ces courbes, nous voyins
-que sinous choisissons de prendre 50 grains, 43 H des cas donnent un tau* décomptage compris entre40 et 60 c/s, 75 H entre 30 et 70 c/s, le maximum de probabilité ayant lieu pour une valeur peu dif-férente de 50 c/ s. Nous remarquons en outre que pour cette valeur n = W, la valeur CTS,0 Mté«leà la valeur de l'écart d'une courbe de Gauss : 68 %. '
Nous avons done 50 grains par M- Ci, soit des grains de 2. 10" 2 [id, il en faut :
5.10' grains / Curie d'iridium 192,
or, il y a fi-d'/tp grains par gramme de sable de granulométrie,
il faut donc (avec p = 2,67 g/ cir^)
P = 70.d3(fflnj kilogramme de sable par Curie d'iridium 192.
V.3.1.4.2 - GRANULOMETRIE NON UNIFORME EN DETECTION STATIQUE
Nous avons choisi comme exemples les sables de la Loire et de la plage de Dunkerquc.
L'étendue its valeurs de Nsn est très grande, nous ne pouvons en conséquence traiter le pro-blème ru gtaph.quemeat, ni par le calcul, pour toute valeur de n avec une précision suffisante. D=tous les résultats obtenus an paragraphe précédent, seule la loi sur l'écart quadratique moyen est va-lable. Pour cela, il faut calculer <TsI.
-71*
Figure V.3
- 72 - • 73-
d*i cal paiiiblif
app«-t«n»nt i 1'in+arvallc N, t Plgare V.S
SABLE DE LA LOIRE (fig. V.6)
Le'calcul de (Jsj réside dans la résolution de l'équation :
- 1,30 d a . ) dNsl
aïec : al min vs min < Nsl < a! max Vg max
0,15 < Nsl < H 350 c/s
à comparer avec :
1,2 < Vs < 920 c/s
L'étendue des valeurs de Nsj ESC bien plus grande que l'étendue des valeurs de Vs ainsi que
nous l'affirmons ci-dessus.
Donnons le principe du calcul de cette équation : sur du papier slog-log», traçons la courbeM (a) déduite de la courbe granulométrique (fig. V.6) ainsi qu'il est dit au par. V.3-1.1-. Portons-y aus-
si la droite
Faisons la somme des ordonnées et portons la courbe obtenue sur du papïei milimétrique. Nousl'intégrons entre les bornes définies au par. V.3.1.1 ec que nous rappelons ici :
/•"l = Nsl/l,2 p max , 15,6 p max
J a l m i n = °-125 J a l m i n J a: = Nsl/920
0,15 < Nsl < 18,7 18,7 < Nsl < 115 115 < Nsl < 14.350
Nous multiplions les valeurs obtenues par N ' r nous traçons la courbe correspondante sur
papier milimétrique et nous intégrons, nous avons trouvé :
(J?, + Sel = 0,144 . dm . 412.000
or, pour le sable étudié, dm = 0,79 mm
donc:
Nsl '
42.400
si= 2.500
= 206 c/s et
Nous voyons que, à même nombre de grains, et par rapport à la granulomérrie uniforme, la gra-:rie étendue a pour effet d'augmenter l'écart <Ts-n, l 'effet de la granulométrie esi d'aplatir lesnulomêtrie étendue a pour
courbes de répartition TIsn
- 74-- 75-
w"5
10
f
E
JO
ae
sa*
*•*e
i i i
«n
0-
(rt
IIa
\
Pouz un même nombre de grains, les écarts <Jsn sont dans le rapport : 206/125 - 1,65
donc, si on veut la même valeur de l'écart pour cette granulométrie que pour la grannlométrie uniforme,pn aura un nombre de grains différent donné par :
en appelant ngj le nombre de grains de la granulométrie uniforme eten appelant n 2 le nombre de grains du sable de Loire.
On obtient :
ng2/ngl = (206/125)2
Si nous admettons le même critère de détermination de la masse P à immerger, quelle que soitla granulométrie (43 % des cas donnant un taux de comptage entre 40 c/s et 60 c/ s), on aura :
P/70.d3 = n Jn , = (2Û6/125)2
m g£ E*
soif P = 191 . d3 kg de sable/ Curie d'iridium 192'm(mm)
SABLE DE DUNKERQUE (fig. V.7)
Opérons sur ce sable de diamètre dffl = 0,17 mm de la même manière, on trouve :
CF2, + N2 " 0,144. d . 1.075,000
= 26.300
cr^ = 2Ï.800
* V . 154/Cn/
Cet écart quadratique moyen est pins faible que celui du sable deLoire. Lerapporc de cet écartà celui de la granulomérrie uniforme est :
154 / 125 = 1,25
Par le même raisonnement, la masse à immerger est :
P / 7 0 . d 3 = (154/125)2
P = 105 . d3 ke de sable / Curie d'iridium 1?2m
(mm)
GENERALISATION :
Si, pour les trois graoulométrics étudiées (uniforme, sable de Loire, sable de Dunkerque), nousportons sur un même graphique les points de coordonnées :
largeur à mi-hauteur de la courbe m(d) _ L(h/2)
-76- • 7 7 -
ces trois points sont approximativement alignés sur la droite (fig. V.8) d'équation :
irsi = 125 + 80 . (L(h/2Vd m )f x
qui permet de calculer l'ordre de grandeur de l'écart Gs pour une granulométrie quelconque.
Mais nous avons vu par deux fois ci-dessus que la masse de traceiir à immergei est donnée par:
P = 70. d? «Tsl/125>2
d'où la loi générale :
P = 70 . dî , (1 + 0,64 Ï^V (19)
kg/Cidi 192) (mm)
Certes, nous ne prétendons pas, d'une loi établie sur trois points, conclure qu'elle est généra-le ; d'autres exemples devront être calculés, mais l'équation ci-dessus est cependant susceptible defournir un ordre de grandeur valable.
V.3.1.5 - Conclusion sur la détection statique
Nous voyons qu'en granulométrie uniforme les résultats sontassezprécis du fait que nous avonspu mener a bien tous les calculs : les distributions de probabilité et les écarts quadratiques moyens.Par contre, en granulométrie non uniforme, seul le calcul des écarts est possible. On en a déduit unordre de grandeur de la masse à immerger. Donc, moins la granulométrie sera étalée et plus les résul-tats seront proches de ceux de la granulométtie uniforme et plus il seront précis.
Seul l'iridium 192 a été étudié, plusieurs indicateurs ferontl'objet d'une étude en détection dy-
namique.
V.3.2 - Problème de la détection dynamique
Dans les généralités (par. V.l), nous avons dit que le domaine où pouvaient se trouver lesgrains détectés par la sonde pendant le temps de comptage, la sonde se déplaçant à la vitesse del m/s,est un volume assez complexe formé d'un parallélépipède et de deux demi-cylindres, le premier a unelargeur de 1,128 m, les derniers ont un diamètre de 1,128 m." Nous allons faire une hypothèse simplifi-catrice; en effet, certains grains, situés aux extrémités de ce volume dans le parallélépipède et lesdeux demi-cylindres, sont détectés pendant un temps appartenant à deux temps de comptage consécu-tifs. Nous supposerons que cette disposition réelle est équivalente à celle obtenue en ne considérantque le parallélépidèdc dans lequel tous, les grains sont entièrement détectés.
V.3.2.1 - Calcul de h distribution 7tdl
Les trois fluctuations du paragraphe V.l ont pour lois :
dE(Ndl>fluctuation de désintégration :
dN,EM
dl
•78--79-
dA(a)fluctuation d'activité •= AC
da
dGj(h, z)fluctuation géométrique - • - = GE
dh
h étant la distance horizontale du grain à la trajectoire de la sonde.
Nous avons vu ci-dessus que le temps de comptage de chaque grain est supposé être supérieur.au temps nécessaire pour qu'il traverse toute la zone de détection de la sonde (2.0,564m à Ira/ s, soit
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1,128 m au maximum).
z est l'enfouissement du grain.
Entre les variables Nj nombres de chocs enregistrés par la sonde,a activité du grain,h distance,z enfouissement»
il existe des relations :
- soit un grain d'activité unité, il donnera un nombre de chocs- Vd fonction de la distance h du grainà la trajectoire de la sonde et de l'enfouissement (rappelons que ce nombre de chocs est une intégra-tion du taux de comptage pendant 1,128 s au maximum);
Vj " Vj (h. z)"Q Q '
- d'autre part : NJJ = aj . v,j
Simplifions les calculs en ne tenant pas compte de la fluctuation de désintégration, par ailleurs,supposons tous les grains en surface (justifications aupar.V.5), c'est-à-dire z — 0. Il reste la fluctua-tion de l'activité et la fluctuation géométrique- (probabilité d'obtenir un grain à la distance h dansl'intervalle dh )
.„ dA(a) „„ dGd(h) 1AC da- CE " dh 0,564
avec la relation : NJJ = aj . Vd (h) (20)
CALCUL DE LA FONCTION Vrf (h)t= 0 x Scmde
A chaque instant, la sonde reçoit un taux de comp- ~— ~^^^ r sOtage Vs(r), or, cette valeur r est âne fonction de h et ^ "~— - ~^^^ *jrde la distance x, c'esc-à-dire du temps c : * ^^^-4^
avec : x = v.t - (h2 - 0.5642) ï
posons h2 - 0.5642
- 8 0 -
et on aura ;
V, (h) = Vs (r) dc
V s ( ( h 2 + v 2 [ t - t 0 ) Z ) * > dt = 2 / V s ( ( h 2 + v2 . t 2 ) * ) dt
J r= 0
la fonction Vs (r) est donnée par la courbe d'étalonnage (fig. V.I).
Un calcul graphique ou le programme IBM STDYPR (annexe 2) permettent de tracer la courbe :
pour une vitesse de 1 m/ s. D'après l'annexe 1, pour une vitesse v le nombre de chocs enregistrés est1/T fois le nombre de chocs enregistrés à 1 m/ s, ceci est bien vérifié par le programme.
CALCUL DE LA FONCTION DE PROBABILITE DU GRAIN D'ACTIVITE UNITE
Dans tout ce qui va suivre, on a fait v = 1 m/ s, nous reviendrons plus tard sur le problème del'influence de la vitesse.
Nous avons :
I dh ( V ,)
. d v d 1,128 dv d
cette loi est représentée sur la figure V. 10.
CALCUL DE LA FONCTION DE PROBABILITE DU GRAIN D'ACTIVITE a
L'équation (7) est valable :
(21)
dP(Ndl> _ AC
dN.da,
cil(22)
La loi de probabilité AC se calcule comme dans le problème de la détection statique et l'équa-tion (10) est valable :
ACda,
= dm (23)
•81-
tt.
?0
• - ^— *-" -"-
\
^^/
J
/
\
/
•-->
/
N
7/
*i\
/•
4
IF
82-
on obtient :
dNdl
V.3.2.2 - Co/cu/ des disfr/butions TC^
Le paragraphe V.î.1.2. esc repris textuellement et on obtient :
(24)
ILdn dNjf 7 tdjCN d j ) Ndj) . dNdj
j + k = n
(25)
V.3.2.3 - Calcul des écorti 'quadratiques moyens (7 jn
Les équations (13) et (13) sont valables :
50 c/s.
J! t26'
V.3.2.4 • Calculs et résultats
Nous allons commencer par le problème de la granulométrie uniforme.
V.3.2.4.1 - GRANULOMETRIE UNIFORME EN DETECTION DYNAMIQUE
D'après les étalonnages en Iridium 192 et comme en détection statique, 1 |lCî pat m2 donne
Le grain unique, ayant pour activité 1 (J.CÎ, a pouf loi de probabilité :
d P ( V d )"dl = d V ,
On obtient Ndi = 44,3 c en un temps supérieur à 1,128 s pour v = I m/s.
- Nous intégrons pendant ts , nous explorons une surface l,128.T.tm2, soit <àl m/s) l,128.tjn2
contenant donc 1,128 grains de 1 (J.Ci donnant l,128.r.44,3 chocs, soit 50.r chocs en t secondes ou50 c/s. Il faut donc :multiplie! les comptages obtenus par 1,128- et l'on obtiendra des taux de comptage en chocs par seconde.
•83-
Dans la suite, nous supposerons cette multiplication faite en Nrf s'exprimera en c/s.
Nous voyons dès maintenant que le temps de comptage n'intervient pas sur lastastique du nom-bre de grains présents dans 1 m2 à partir du moment où il est supérieur au temps nécessaire à l'inté-gration totale d'un grain :
t m i n .= 1,128/v
Nous avons utilisé un programme de calculateur IBM : STADYN, afin d'obtenir les résultatssuivants :
- les courbes T^dn ^e n = 2 à n = 256 grains,
- les courbes cumulées correspondantes,
- les valeurs moyennes Ndn = 44,3 c,
- les écarts quadratiques moyens (S^ dont on trouve qu'ils obéissent à la loi théorique, on a :o
_ , ^ . . . . l ' /27).
- les valeurs les plus probables de Ndn : N^p.
Nous avons tracé :
- les courbes 7td8 , 7rdlg , Ttd32 <fiS- v-l°) •
- la courbe Ndnp = f(ng) (fig. V.U),
- les courbes donnant le pourcentage des cas où le taux de comptage appartient à un intervalleA de part et d'autre de la valeur moyenne. Nous avons pris A - 10, 20, 40, rjd|1. Ce pourcentage esttracé avec le nombre de grains en abcisse (fig. V.12).
Sur ces courbes, nous voyons que si nous choisissons de prendre 16 grains, 43 ît des cas don-nent un taux de comptage compris entre 40 c/s et 60 c/s, 75 % entre 30 et 70 c/s (pour 1 (J.Ci/m2X.Remarquons, en outre, que, pour cette valeur de n , la valeur de (Tdjg est 68 %, c'est-à-dire la. valeurde l'écart d'une courbe de Gauss.
Il faut donc immerger (calcul analogue à celui fait en détection statique) une masse d'indicateur
(28)P = 22,2 . d' kg de sable/ Cuiie d'îr 192m
(mm)
V.3.2.4.2 - GRANULOMETRIE NON UNIFORME EN DETECTION DYNAMIQUE
Comme en détection statique, seul le calcul des écarts quadratiques moyens est possible,
CALCUL DE -tfai
Les calculs donnent ;
- 84 -
Figure V.IO
Lois tie probabilité
•85-
"Onp
Sto .
ie .
«U» CM Figure .V-12
'M
looî
— A. te
-86-
SABLE DE LOIRE (fig. V.6)
Les limites sont données à partir des inégalités suivantes :
al min vd min < Ndl < «! max Vd mait
0,554 < Vd < 225,6
Le calcul s'effectue graphiquement ainsi qu'il est décrit au par. V.3.1.4.2.
On obtient ;
~9 -•)= 21.500
19.000
trdl = 138 c/s
138 / (30)
(31)
Pour conserver la même valeur de l'écart qu'en granulométrie uniforme, il faut que les nombrede grains soient dans le rapport :
ng2/ngl = (138/67,5)2
et la masse à immerger sera :
P = 95,5 dffi kg de sable/Curie d'iridium 192
SABLE DE DUNKERQUE (fig. V.7)
Les calculs sont les mêmes et ils donnent ;
dm = 0,17 mm
<Tdl = 92 c/s
ffdn = 92 / <ng) i
et : P = 42,5 d^ kg de sable par Curie d'iridium 192
GENERALISATION :
Les trois points de coordonnées :
latgeur'à mi-hauteur de la courbe m(d) _ L(h/2)udl '
sont alignés sur la droite d'équation :
ffdl = 67,5 + 70 (fig. V.8)
-87-
De même qu'en détection statique, la conservation du critère de choix du nombre de gtaîns con-duit à la relation ;
P - 22,2.d3.«7dl /â7^2
- e t : P * 22,2 d| < 1 + 1.05 -^V kg / Ci d'Ir 192
C'est ce terme entre parenthèses qui traduit l'effet de la granule me trie.
V.3.2.5 - Influence de la vif esse de la sonde
Tous ces calculs des paragraphes précédents sont faits pour une vitesse v de 1 m/ s. L'an-nexe 1 démontre qu'à la. vitesse r le taux de comptage du grain d'activité unité est ;
( l / v ) V d ( h )
d'où:
dh(v d )dvj 0,564- -dvd
(21 b)
La vitesse v. va intervenir en facteur de proportionnalité dans tous les calculs qui suiventl'équation (21).
La nouvelle valeur moyenne que l'on obtiendra est :
1,128 . 44,3c/s
v . «
La vitesse V n'introduit que des proportionnalités sans influence sur les valeurs maximales etleut position ; et l'on voit entre autre que le nombre de grains nécessaires sera inchangé.
V.3.2.6 - Conclusion sur le problème de la détection dynamique
En détection dynamique comme en détection statique, on trouve que plus la granulométrie estétendue, moins les résultats sont précis.
V.4 • UTILISATION D'AUTRES INDICATEURS : Chrome 51 • Césium 137 • Tantale 182
Pour ces radio-éléments, seule la détection dynamique a été étudiée en utilisant les program-mes STDYPR. et STADYN (annexe 2), c'est-à-dire en granulométrie uniforme.
Nous supposerons que l'effet de granulométrîe est indépendant du traceur étudié et nous pour-'rons déterminer les masses unitaires d'indicateur à immerger.
Le césium 137 n'est pas un indicateur de sédimentologie du fait de sa longue période, nousl'avons cependant étudié pour ses caractéristiques radioactives.
V.4.1 - Le chroma 51
L'énergie de son rayonnement est voisine de l'énergie moyenne de celui de l'iridium 192 :325 kev pour 340 kev; nais il n'a en moyenne que 9 photons dans 100 désintégrations alors que l'iri-dium en a 280; il faudra donc des activités plus fortes en chrome qu'en iridium, c'est-à-dire des mas-ses unitaires d'indicateur plus faibles. Les énergies étant voisines, les nombres de grains nécessai-res (pour le même critère de 43 %) seront proches.
Un microcaiie de chrome par mètre carré donne 2,3 c/s, il faudra donc 20 (iCi pour obtenir50 c/s.
Sur la figure V.13, on constate qu'il faut 17,3 grains pour avoir 43 % des cas dans l'intervallechoisi. Ce chiffre esr voisin des 16 grains trouvés pour I1 iridium. On trouve ff^j = 3,5 c/s pour 1 |J,Ci.
Chaque grain aura 1,12 1-t.Ci et il faudra ironerger :
P = 1,24 d' ke de sable par Curie de chrome 51m e r
et en supposant l'effet de granulométrie indépendant du traceur :
P = 1,24 d 3 ( l + . 1,05
7oi
ID
Figure V.13
.89-
V.4.2 - Le césium 137
Nous avons étudié ce radioélément afin de combler l'écart entre les énergies du groupe chrome-iridium (300 à 350 kev) et celle du tantale 182 (de 100 à 1.250 kev); nous l'étudierons au paragraphe .suivant.
Un microcurie de césium'137 donne 26,7 c/s. 11 faudra donc 1,87 il Ci pour obtenir 50 c/s.
On trouve sur la figure V.13 qu'il faut 12,2 grains pour respecter le critère choisi. L'écart est(Tdl = 32,4 c/s.
Chaque grain aura une activité de 0,153 JlCî et il faudrait immerger en tenant compte de l'ef-fet de granulométrie :
P = 9,1 d3 (1 + 1,05 — )2 kg de sable par Curie de Césium-137.
V.4.3 . Le tantale 182
Une partie de son énergie est supérieure à 1.000 kev, elle est bien plus forte que celle destraceurs précédents.
Un microcurie de ce traceur par mètre carré donne 57,2 c/s. On trouve un écart <Tdl = 62,5 c/s.
La figure V.13 indique qu'il faut 10,4 grains pour respecter le critère choisi. Ces 10,4 grainsont une activité de 0,875 Mc«i soir 0,084 (J.CÎ par grain, et il faut immerger en tenant compte de l'ef-fet de granulométrie :
P = 16,5 dm ( 1 + ii°5: )2 kg de sable par Curie de tantale.
m
V.4.4 - Généralisation
Reprenons le calcul de la masse unitaire P. 11 est le rapport du nombre de grains par micro-curie au nombre de grains par gramme. Le nombre de grains par microcurie est proportionnel au nom-bre de grains nécessaires pour respecter le critère des 43 % : ngn. Comme on veut que ces grains don-nent 50 c/s, ils doivent avoir une activité de :.
50/Nd
et le nombre de grains par microcurïe est :
V • Nd
50
Le nombre de grains par gramme est,-rappelons-le :
Tip720 d~3
m
-90-
On en déduit :
p = • "m k,/Ci
36
Exprimons le produit n . Nj en fonction de (io coefficient d'atténuation de l'eau, deceur de dose (REF. V.2 et 3).
Ce produit est à moins de 15 % pies une fonction linéaire du produit Jlo • I Y •
13,3 |io . IY + 20,6 = ngn . Nd (fig. V.14).
(cra-1) (mR/h/Qà 1m
ChromeCésiumTantaleiridium
17,812,210,416
2,526,757,250
44,5Î265957S5
0,1150,086O.OGÛ0,112
16300590510
1,825,83957,1
On en déduit :
P = 037 d3 ( I J L O . I Y + 1.55)
et en tenant compte de l'effet de granulométrie :
( H O . I Y + 1,55) (1 +• 1,05 kg/ci
Cette équation valable en détection dynamique donne un ordre de grandeur du poids unitaired'indicateur qu'il faut immerger.
Y.5 • JUSTIFICATIONS
Dans ce chapitre, nous avons fait deux glandes hypothèses simplificatrices. Expliquons lesraisons de ces simplifications.
V.5.1 - Suppression de la stastique de désintégration radioactive
La désintégration radioactive est représentée par une loi de Poisson, pour un taux de désinté-gration N, l'écart quadratique (7 est (N)"1" s. Si N = 50, on a <T = 7, cette valeur n'est pas négligea-ble par rapport à la valeur A = 10 que nous avons utilisée. Mais, dans la réalité, on compte pendantplus d'une seconde.
-91-
600
Aoe
2«o
7£«•'
7
r »-."'1cm 1
d«à I «i»tr» )
Figure 14
L o i « . W = ^fi
Lors d*une dérection dynamique faite avec un temps de comptage de 3 st on compte 3.50 — 150cet a — 12,2 donc on a 50 c/s avec CF = 4,1, cette valeur devient très acceptable. On voit que l'ona avantage à augmenter le temps de comptage.
Lors d'une détection statique faite avec un intégrateur de 1,2 s de constante de temps, on a50 c/s avec ff = (50/2,4)ï = 4,6, valeur elle aussi acceptable.
V.S.2 - Suppression de l'enfouissement des grains
Les grains se trouvent sut la surface de 1 m^ pour la facilité de l'étude précédente. En fait, ilexiste un enfouissement des grains, la projection verticale de leurs positions donne la répartition étu-diée dans ce chapitre. Etant enfouis, ils donneront un taux de comptage plus faible et il faudra plusde a grains pour donner 50 c/s (ngr = nombre de grains nécessaires). Nous avons donc fait un cal-cul par excès de la quantité unitaire minimale de traceur.
V.«. TABLEAU GENERAL DES RESULTATS
Loi d'utilisation du tableau :
- écart (T = fjj (effet de la granulome trie)
- masse P = PO (effet de la granulomérrie)2 . d
Type de la détection
Effet de la granulométrie
Radio-élément
f0 en c/s pour 1 HCi/m2
1 + 0,64
statique
L(h/2)
dynamique
L(h/2)1 + 1,05
<TI en c/s
(granulométrie uniforme)
Nombre de grains nécessaires
P
(grannloroétrîe uniforme)
Loi générale de la détection dynamique :
P = 0,37 d3 ( f i n . IV + 1,55;
50
50
70
Irî92 Cr51
50 2,5 26,7 57,2
67,5 3,5 32,4 É2,5
16 17,8 12,2 10,4
22,2 1,24 9,1 16,5
-93-
V.7 - CONCLUSION D'ENSEMBLE
De tout ce chapitre, il faut tirer une conclusion fondamentale : la détection dynamique est plusavantageuse que la détection statique, car elle né ces site beaucoup moins de grains ei par suite des
systèmes d'immersion plus simples, moins perturbateurs du fond, etc...
La deuxième conclusion est la suivante : il est préférable de travailler en enregistrement digi-
tal qu'en analogique. En analogique, on est obligé de travailler avec une constante de temps assez
faible pour ne pas trop atténuer les variations du taux de comptage; par contre, en digital, on peut,
souvent avec intérêt, intégrer pendant un temps assez long (10 s par exemple), en opérant ainsi, oncalcule un élément de l'intégrale du. Bilan (la vitesse étant surposée constante) ; en effet, supposons
que nous ayons 1,6 grains par m2 sur une grande superficie, si, la sonde se déplaçant à 1 m/ s, on in-
tègre pendant 10 s, nous détectons 16 grains, soit 50 c nets, nous pouvons valablement en déduire que
nous avons l/10 (iG par m2, l'enregistrement analogique ne nous autaitpas permis une telle détermination.
• On voit ainsi que, en supposant un faible gradient de taux de comptage, on peut obtenir des renseigne-
ments intéressants sut les taux de comptage inférieurs à50c/s, c'est-à-dire-sur les activités faibles:
inférieures à 1 (J-c! d'mdium 192 par exemple.
-95 -
CHAPITRE VI
ERREURS POSSIBLES LORS DE.LÀ MISE EN OEUVREET DE L'EXPLOITATION DE LA METHODE DU BILAN
D'une part3 il y a toutes les erreurs dites erreurs systématiques qui sont, soit des imprécisionsdans le principe de la méthode, soit une non concordance entre les caractéristiques de l'expérience etles caractéristiques types choisies pour les étalonnages et le choix des coefficients.
Mais, d'autre part, dans toute expérience, il y a les imprécisions de manipulation et les impré-cisions de dépouillement (dites erreurs accidentelles).
Nous nous proposons de rechercher les causes principales d'erreurs. Certaines ont déjà étéétudiées dans les chapitres précédents. D'autres seront reprises en détail au chapitre suivant quandon évaluera un encadrement de l'épaisseur de transport du Cher.
VI.1 - ERREURS SYSTEMATIQUES
VI.1.1 - Les imprécisions dans le principe de la méthode
•Elles ont déjà été étudiées dans les trois premiers chapitres, ce sont .
- la notion d'épaisseur,- la notion de répartition en profondeur et de coefficient |3 ,- la notion de vitesse moyenne et de vitesse du centre de gravité.
Ces trois imprécisions sont difficilement mesurables, cependant, on peut dire que leur impor-tance est faible, en effet : pour E il s'agit de choisir entre deux significations de la valeur cherchéeP varie peu avec la forme de la répartition pour des épaisseurs peu importantes, le rapport entre vi-tesse moyenne et vitesse du centre de gravité est proche de 1 tel qu'on le trouve dansles régimes flu-viaux.
VI.1.2 - La non concordance entre caractéristiques théoriques et pratiques
1°) Rappelons tout d'abord que la loi d'étalonnage n'est qu'une loi approchée, mais l'approxi-mation est très bonne, cependant, .il y intervient l'imprécision sur l'activité qui a servi à cet étalon-nage.
2°) Dans la théorie, on suppose que le marquage du sable- est massique, dans les deux modesde marquage, il intervient, soit une variation dans la loi du marquage, soit une irradiation non homo-gène en pile. . ,
-96-
3") La théorie suppose implicitement que le régime de transport soit en tout point le même pourque la loi de répartition en profondeur soit la même sur toute la tache radioactive.
4") L'étude granulométrique du sable du lit qui sert à la construction de l'échantillon qu'estl'indicateur donne-t-elle le même résultat en tout point du lit ?
VI.2 - ERREURS ACCIDENTELLES
Vi.2.1 - Erreurs de manipulation
1°) II y a les erreurs sur l'indicateur injecté, c'est-à-dire :- la valeur de l'activité injectée,- la décroissance réeHe,
- la valeur de l'activité retrouvée.
2°) L'imprécision sur la position de la sonde par rapport au fond entraine une variation de laloi de réponse géométrique du détecteur.
3°) La dérive électronique due à la température est facilement évaluée : 1 It par degré environpour l'électronique utilisée.
4°) Les erreurs de topographie et de repérage de la position de la sonde.
Au chapitre VII, nous verrons un calcul d'erreur fait sur les cas 1 et 2 ci-dessus.
Vl.2.2 - L«s erreurs de dépouillement
Citons-les pour mémoire : les pertes au comptage pour des taux trop élevés, les effets de seuilet d'enfouissement étudiés au chapitre III, les erreurs d'interpolation, d'évaluation de surface, de con-naissance de la vitesse du bateau, de la valeur du bruit de fond, etc... Parmi celles-ci, la première estfacilement évaluable. Ces erreurs ne sont pas particulières à cette méthode, aussi nous n'insisterons
VI.3- LES CAUSES D'ERREURS LES PLU5 IMPORTANTES) LES PRECAUTIONS A PRENDRE
Nous venons de faire une liste assez longue de toutes les causes d'erreurs. Il était difficiled'ajourer un commentaire sur les plus importantes d'entre elles. Aussi, reprenons-les suivant l'expé-rience que nous pouvons en avoir. Il est bien certain, toutefois, qu'une étude critique de chaque'expé-rience doit être faite pour déterminer et évaluer chaque fois Zes erreurs importantes, chaque expérienceest un cas d'espèce.
VI.3.1 - Erreur sur la loi de réponse géométrique f = f e~ ar
II y a deux erreurs possibles : une sur fo et une sur Ot. L'équation du Bilan nous montre l'in-fluence directe de ces.crreurs :
OtN 1 - e ~°E
-97-
en effet, le rapport (1 - e a ^) /E varie peu et le terme H / f Q doit être aussi bien défini que possi-ble, une variation faible sur le terme OL/ f entraîne une variation très importante de E, aussi, faut-ilfaire des étalonnages les plus précis possible pout limiter cette variation de E.
Vl.3.2 • Erreur sur l'activité injectée
Celle-ci vient du fait que l'on ne sait pas quelle proportion de l'activité injectée on détecte,aussi, suppose-t-on que l'on retrouve tout ; en conséquence, pour la même raison qu'au paragraphe ci-dessus, il faut connaître l'activité A injectée avec une grande précision. On peut obtenir celle-ci enmesurant l'activité de parties aliquotes du traceur qui sera immergé. La prise d'aliquotes faites systé-matiquement permet de connaître l'activité immergée, surtout dans le car, des marquages en surfa-ce faits sur le terrain. Le principe en est le-suivant : le système d'immersion permet le brassage entreune solution radioactive et du sable prétraité, le sel radioactif se dépose en surface du sable ; on prendune aliquote de ce sable afin de connaître l'activité injectée.
VI.3.3 - Erreur sur l'activité retrouvée
Nous pourrions encore l'appeler : erreur sur l'intégrale du bilan ou erreur sur la valeur du bruitde fond.
En effet, avons-nous retrouvé toute l'activité, c'est-à-dire est-ce que notre connaissance dubruit de fond est suffisante pour que l'on puisse déterminer avec précision ïa limite de la zone active?
C'est l'influence d'une variation du bruit de fond sur la valeur de l'intégrale du Bilan qui peutpermettre de conclure.
Supposons dans un premier cas que l'augmentation du bruit de fond de % c/s fasse varier l'in-tégrale N du Bilan de moins de 5 %, il semble valable de dire que l'on a retrouvé une très grande pro-portion de ['activité injectée. Dans le cas contraire, on ne peur pas être très affirmatif, cat tout dé-pend delà valeur de l'activité injectée, de son étalement et de son enfouissement.
Pour limiter cette erreur, on augmentera le nombre des points de détection ou des traversées defaçon à CIÈS bien connaître la zone active, mais cela devra s'accompagner d'une connaissance précisedu bruit de fond pour le cas où son influence serait grande sur la valeur de l'intégrale du Bilan.
VU • CONCLUSION
En opérant avec soin, on augmente la précision des résultats, on diminue les risques d'erreurs.La meilleure'conclusion que l'on puisse donner est un exemple pratique, c'est l'objet du chapitre VII.
-99-
CHAPITRE VII
UNE EXPERIENCE : LE CHER
Cette expérience a pour but la mise en application des théories décrites dans les parties pré-cédentes. Elle fut réalisée entre Avril et Mai 1966. Elle doit être considérée comme une expériencepilote destinée à mettre en évidence les causes d'erreurs possibles et la technologie à mettre enoeuvre.
VII.1 - GENERALITES
Le lieu d'expérimentation choisi fut un bief- du Cher, bief de Roujoux, situé à environ 35 kmen amont du confluent avec la Loire (fig. VII.1) dans la région de Tours. En cette zone, le régimedes crues du Cher n'est pas perturbé par les crues les plus importantes de là Loire.
Ce bief est canalisé et 'il ne reçoit pas d'affluent, d'autre part, il est à peu près rectiligne etses fonds sont à peu près constants à l'exception d'unezone encombrée d'un banc de galets provenantd'anciens, dragages.
VII.2- LES EXPERIENCES PREPARATOIRES EN LABORATOIRE
Avant de partir sur le terrain, il fut nécessaire de préparer l'indicateur et les appareils de dé-tection.
VII.2.1 - L'indicateur
• Le Cher possède des fonds sableux; la granulométrie de ce sable est assez étendue, le sableest grossier. Pour que la quantité d'indicateur à injecter ne soit pas trop élevée, nous avons décidéde n'étudier que le sable de diamètre inférieur à 1 mm (fig. VII.2). L'indicateur utilisé fut du verremarqué dans la masse par l'iridium 192. Il fut broyé de façon-à reconstruire la courbe granulométriqueréelle.
Appliquons le calcul statistique de la partie V. A cette époque', les programmes de calculIBM n'étaient pas encore au point pour la détection dynamique (c'est elle qui fut utilisée), et nous nepossédions encore qu'un ordre dé grandeur valable en granulométrie uniforme.
La formule : P/i = .22 d m ^ . .. (Voir chapitre V)(k&/ Curie) <mm> '
donne: 22 . 0,53 = 2'? kÊ/Curie
- TOT-
o o o • S t
-001-
- 102-
5 I
4l
C°
CE
Jfa-D
«t J L
-•_!_T°
- ot *• o 10o~ «r «• o-
-103-
C'est la quantité que nous avons infectée. Elle ne tient pas compte de l'effet de gtanuloménie.
Le verre ne pouvait pas être irradié sous le volume correspondant aux 2,5 kg que l'on voulaitinjecter* On m donc réparti cette masse dans 75 tubes de 33,3 g de verre chacun. Après l'irradiation,l'activité de chaque tube fut mesurée, et ces tubes furent classés en cinq groupes tels que dans cha-cun des groupes l'activité moyenne et la dispersion de l'activité soient les mêmes. Les quinze tubesd'un même groupe furent mélangés ; une a li quo te de 5 g apermis de déterminer l'activité réelle du grou-pe et d'en suivre la décroissance réelle tout au long des mois d'Avril et Mai (fig. VII.3 : décroissancede l'activité totale injectée). On trouve que la décroissance n'est pas constante pendant le mois deMars : la courbe de la figure VII.3, tracée en coordonnées semilogaritruniques n'est pas une droite.A partir d'Avril jusqu'en Juillet, cette courbe est rectiligne, elle correspond donc à une décroissanceexponentielle de 75,5 j de période, l'iridium 192 ayant 74,4 j de période, on peut dire qu'il ne resteplus que l'irridium, que les impuretés telles le baryum 131 ont disparu.
Vll.2.2 - L'électronique (iig. VII.4)
Deux ensembles furent employés simultanément :
- d'une part, une sonde marine à scintillation (cristal INa 1" £•- 1"),un intégrateur,un enregistreur continu,
- d'autre part, deux sondes marines avec deux hautes tensions,une échelle triple à impression rapide (3s de comptage, 200ms d'arrêt)une imprimante.
Le premier ensemble permet de suivre immédiatement l'évolution du taux de comptage sousle traîneau porte-sondes. Il sett aussi à recouper les inform-ations chiffrées de l'imprimante.
Le deuxième ensemble fournit les infoimatïons nécessaires à l'application de la méthode duBilan des taux de comptage.
Les érudes en laboratoire ont porté sur le deuxième ensemble :
- les pertes au comptage. Tracées au laboratoire, elles sont reportées sur les figures VII.5 etVK.Ê. Le palier obtenu sur la courbe I! est indépendant de la géométrie des sondes, il provient dublo-quage d'une bascule de l'échelle;
- les étalonnages, réalisés ainsi qu'il est dit dans la partie IV, avec les sondes munies detraîneau, donnent les résultats suivants :
Sonde réglée sur 50 Icev f - 3S> e ~0,^0 z
Sonde réglée sur 250 kev g = 6,6e -0,192 z
pour la distance sonde-sablé D — 6 cm.
VII.3 - LES EXPERIENCES DE TERRAIN
VII.3.1 - Les mesures d'hydrologie
Les installations nécessaires furent réalisées avec l'aide de C.R.E.C Les mesures furent dedeux types :
- 104-
Figwre VII. 4
Schéma de I'electron! que
- 105-
Pet*Us o« comptage
en 50
Courbe I
Figure VH.Î
- 106-
Perlea au comptaoean 250 bev
Courbe
Figure Vil. 6
- 107-
- des relevés de hauteurs d'eau sur deux échelles (dont un iimnigraphe) donnant lapente J dela ligne d'eau;
- des jaugeages au moulinet donnant les profils en travels des vitesses de l'eau et en consé-quence le débit liquide.
De la courbe des hauteurs d'eau, nous avons pu déduire la courbe du débit liquide (fig. VI1.7)en utilisant les « courbes d'Etalonnage» de Roche (Réf. VII. 1).
VII.3.2 - Les mesures typographiques, les mesures de repérage (fig. W/.8J
Elles ont consisté en l'implantation par le CREC d'une topographie surles deux rives du Cher.Elle servit ensuite au repérage de l'embarcation et pat là du traîneau porte-sondes. Pour cela, deuxhommes à terre, munis de cercles hydrographiques, visaient le bateau et simultanément relevaient sasituation toutes les seize secondes. On peut ainsi tracer les trajets du bateau donc des sondes.
VII.3.3 - Les immersions
Le Cher ayant 80 rn de large, nous avons réalisé cinq immersions le mène jour (5 Avril 1966),suivant un trapèze en travers de la rivière (fig. VÏI.8). Le système d'injection utilisé cinq fois de sui-te est représenté sûr la figure VII.9. Rappelons que l1 indicateur irradié avait été séparé en cinq grou-pes de 15 tubes, soit 500 g par groupe, donc par immersion. Notons tout de suite qu'une erreur sur l'es-timation de la concentration en iridium du verre irradié, en partie comblée par un retard importait: desimmersions, a conduit à immerger environ 2 Curie au lieu de 1 Curie comme prévu. •
Vll.3.4. Les détection s
On a cherché à réaliser des traversées du Cher aussi rectilignes que possible, et sur la plusgrande largeur de la rivière. On a aussi cherché à conserver entre ces traversées un espacement cons'tant en partant de l'amont (points d'immersion) vers l'aval. La vitesse du bateau, au cours de ces tra-versées, était maintenue constante.
Simultanément aux mesures d'angles de repérage, il fallait les inscrire et noter au moyen de« tops» leur place sur les bandes de l'imprimante et de l'enregistreur.
Avant chaque détection, on vérifiait les seuils (50 et 250 kev) des sondes.
VII.4-LE DEPOUILLEMENT DES RESULTATS
On appelle phase de dépouillement la transformation desrê&ultats bruts fournis par l'impriman-te en des résultats utilisables dans les formules du Bilan ou de l'équation de mesure. Ces transforma-tions sont de trois sortes :
1°) transformer les nombres de chocs bruts obtenus en détection dynamique en taux de compta-ge que l'on aurait obtenus en détection statique;
2°) extrapoler les taux de comptage pour tenir compte de l'activité non détectée sur les bords;
3°) corriger du bruit de fond.
- 110-
VII.4.1 - Corrections dues à la détection dynamique
Dans l'annexe I, il est montré que, pour obtenir un taux de comptage utilisable dans les formu-du bilan :
1°) il faut transformer tout résultat obtenu à la vitesse v m/s en résultat obtenu à 1 m/ s, caron a alors identité entre les nombres de chocs donnés par la détection dynamique et ceux qui corres-pondraient aux taux de comptage en statique..
2°) le nombre Nj (L) de chocs intégrés sur la longueur L à la vitesse 1 m/s est égal au pro-duit de la vitesse v de détection par le nombre de chocs NV(L) intégrés sur la même distance L à lavitesse v.
= v . N v ( D
Ainsi donc, pour chaque résultat de l'imprimante, obtenu sur 3 s, il faudrait apporter une tellecorrection. En pratique, une telle correction serait fastidieuse pour un accroissement'de précision ex-trêmement faible. On a donc préféré supposer, hypothèse justifié par lé dépouillement des trajéctoi-,res du bateau, que sa vitesse était constante pendant l'enregistrement de 5 résultats consécutifs, cor-respondant à un temps de comptage ded5 s sur un temps total de \6 s puisque l'échelle est stoppée
Figure VII.9
-111-
200 ms après chaque comptage. Dans ces conditions, si nj est un des résultats donnépar l'impriman-te, on a :
16 ï - 5 i = îNV(L> = —• S rij = 1.067 S n,
15 i = l i = l .
La vitesse moyenne v du bateau est déterminée sur le plan des trajets du bateau en mesurant
la distance L parcourue pendant ces 16 secondes»
L
16
La connaissance de NV(L) et de v permet de calculer NI (L) pat la relation précédente.
L'intégrale sur la traversée, définie par son abcisse longitudinale X le long du Cher :
IOC) = fn .dx = S v.Nv(L)
correspond au calcul de la première intégrale de l'intégrale double :
N = On.ds = r | n . d x d X = T l C X J - c
$ Jxjx J,
VI 1.4.2 . Corrections de bord
11 s'agit d'évaluer la valeur du nombre de chocs non intégrés par la sonde, du fait qu'elle
n'avait pas dépassé la limite de la tache. Cette valeur va être déterminée en supposant une décrois*
sance linéaire sur la distance Le entre la dernière position de la sonde et la rive-
La longueur Le est déterminée sur les plans des trajets et ne est le dernier taux de comptage
donné par l'imprimante.
La correction à apporter est égale à :
ne.Lele =
II existe une valeur sur chaque bord Icj et Icj.
VII.4.3 . Bruit de fond et résumé
Sur toute la zone étudiée, on a un bruit de fond de 20 c/s, d'où, sur une traversée :
B(X) = 20 . (2LI+L.C! + Lc2)
112.
et, en résumé, sur une traversée, la somme des taux de comptages nets est :
I(X) = I + Icj + Ic2 - B(X)
Pour calculer l'intégrale N des taux de comptages nets sur toute la tache, il nous faut cal-
culer :
N = Jl(X).... dX
La sonde réglée sur 50 kev donnera une valeur N(50)
» » » . 250 kev » » » N(250)
Ce sont ces calculs que nous avons effectués sur chacune des détections complètes de la ta-
che radioactive..
Vil. 5 -APPLICATION DE L'EQUATION DU BILAN
Nous appliquons le paragraphe IL4.2, Pour cela, nous utilisons l'équation exponentielle de ré-
ponse géométrique des détecteurs, deus détectrj-s furent mis en oeuvre.,
Sonde réglée sur 50 kev 39 e~°.160 *
Sonde réglée sur 250 kev 6,6e~°.192z
L'équation du bilan s'écrit :
Le deuxième terme n'est fonction que de la sonde.
Ecrivons-le sous la forme :
KN avec K
VU.S. 1 - Calcul des intégrales N(50) et N(250)
Ces intégrales se calculent graphiquement sur les courbes des figures VII, 11 à 14: IJQ e
On obtient :
16 Avril NC50) = 40 600 000 (c/s) m2 Nf.250) = 8 620 000 (c/s) m2
21 Avril 29, 350 000 5 85P 000
10 Mai 27 200 000 4 260 00025 Mai 24 600 000 4 540 000
Ce sont des coups nets non ctJrtigés de la décroissance.
D e t e c t i o n dv 21
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- 117-
o.loo
0,1»
(290 k»v)
20 Ecn
Figwre V//.I5
prévu.
- l l f i-
VU.5.2 - Valeur de l'activité dig: VII.2)
Comme nous l'avons dit au paragraphe Vn.2.1, l'activité injectée est lieux fois plus forte que
On trouve que :
le 16 Avril A = 1,92 C21 Avril A = 1,82 C10 Mai A = 1,51 C25 Mai A = 1,31 C
VII. 5.3 - Emploi de la formule du Bilan
Ecrite sous la forme du paragraphe VII. 5, on voie que l'on peut tracer les courbes
l - e - Q E -— — ~ - •— tp (E) pour les deux valeurs de OC
- 119-
a = 0,160cm"1 et K = 0,192cm-1
(fig. VI1.15) (fig. VII.16)
La droite Cjp = KK donnera la valeur de. H solution de l'équation..
Vit. 5.3.1 - Détection sur 50 kev
Choisissons a priori [3 = 1,15 (fig. Vil. 17)
a = 0,160 f0 = 39Nous cor. laissons Ct et fo
Le 16 A. N(50) = 4,060 107 c/s
21 A. 2,935 lu7
10 M. 2,720 lu7
25 M. 2,460 107
A = 1,92 106 C K = 1,860 10 "9
1,82 106
1,51 10e
1,31 106
E50'1,960 10 '
2,365 10'
2,725 10'
11 cm
16 cm
13,8 cm
13 cm
VII. 5.3.2- Détection sur 250 kev
Choisissons [3 = 1,20 (fig. VI1.18), nous avons <X = 0,192 et f0 = 6,6.
Le 16 A. N(250) = 8,62 lu6 c/s
21 A. 5,85 10^
10 M. 4,26 IDE
25 M. .4,54 10fi.
VII.5.3.3 - Résultats et critiques
A = 1,92 10*5 C K - 1,26 10 "8
1,82 106
1,31 106
1,31 106
1,33 10 ~8
1,60 10 "8
1,85 10 ~B
E250~ 6,4 cm
11,4 cm
13,4 cm
10,2 cm
Les valeurs EJQ et E^Q ont d;:s variations non négligeables : elles ne coïncident pas le mê-me jour. Elles n'ont pas la même variation dans le temps.
A»loi**
-120- - 121-
Si on examine ces résultats brucs, on constate que E varie entre 6,4etl6cm, soie dans un rap-port 2,5. En /ait, le 16 Avril, on trouve une épaisseur neccement plus faible : les conditions de bonmélange ne seraient-elles pas encore remplies : c'est une première explication. Il y m a une deuxiè-me : entre le 16 et le 21 'Avril, le débit liquide du Cher passait de 115 à 155 mVs, ce qui a entraînéune augmentation du débit solide de charriage, donc de E. 'Après le 21 Avril, le débit a encore un peuaugmenté, puis il a diminué, l'épaisseur E doit donc tester la même au delà du 21'Avril à conditionqu'il n'y ait point d'érosion, ceci paraît très peu probable du fait de la diminution des vitesses etdudébit liquide (Réf. VII.2 .et VU.3Ï.
Reprenons les valeurs ci-dessus, D'apiès ce qui vient d'être dit le 16'Avril, on aurait en pre-
mière approximation :
11 + 6,4E = = 8,7 cm
2
et du 21 'Avril au 25 Mai, les valeurs extrêmes sont 10,2 et 16 cm, soit dans un rapport 1,6. Pour unejournée, c'est le 21 Avril que le rapport est le plus grand 1,4 ; et on pourrait écrire :
E = 13,7 ± 1,7 cm, soïc à 12,5 % près,
ce qui paraît très acceptable. Nous pouvons vérifier sur les figures VII. 17 et VIL 18 que les valeursP choisies sont compatibles avec les valeurs de E obtenues ci-dessus.
Mais il est tout de même très intéressant pour des études futures d'analyser les causes possi-
bles des variations sur E dans la formule du bilan.
D'une paît, les erreurs de calcul sur la mesure de N ;
D'autre part, les erreurs systématiques sur :
1°) l'activité retrouvée qui n'est pas égale à l'activité injectée ;
2°) la distance D entre sable et sonde qui n'estpas en moyenne égale à la valeur nominale dutraineau (6cm), mais varie à cause des irrégularités du terrain;
3") le coefficient p qui est mal choisi.
On pourrait étudier séparément les effets de ces différentes variations.. Nous étudierons le casde l'activité retrouvée, car on peut le faire sans hypothèse aucune sur la valeur de ce qui estjetrouvé.Puis nous traiterons le cas général où toutes ces erreurs interviennent simultanément.
VII.5.3.3.1 - L'ACTIVITE RETROUVEE EST INFERIEURE A L'ACTIVITE INJECTEE
Ceci est insuffisant pour tout expliquer : en effet, le même jour, les deux sondes détectant lamême activité devraient donner la même valeur de l'épaisseur, ce n'est pas le cas. On peut éliminer
l'influence de'l'activité en calculant le rapport :
N(50)
NC250)6,8
1 _ e -0 , lÉOE
!_ e-0,192E
Le 10 Mai, on trouve E = 10,6 cm, les autres jours E serait négatif. La valeur de 10,6 cm estpresque compatible avec les résultats trouvés : il y a 3 cm d'écatt. Si cette valeur de 10,6 cm étaitexacte, cela voudrait dire qu'on a détecté 1,3 Cutie, soit 86,7 4, c'est tout à fait plausible.
- 122-
- 123-
Cependant, le fait que l'on n'ait pu appliquer cette équation qu'une seule fois signifie que l'activitén'est pas la cause d'erreur la plus importante,.
VII.5.3.3.2 - ENCADREMENT DE L'EPAISSEUR E
Cet encadrement est fait à partir d'hypothèses sur les variations possibles de fQ ou g0, A et Pet sur l'évaluation de l'erreur de calcul sur l'intégrale N. Nous supposerons que ces variations sontindépendantes et gaussiennes, nous les définirons par la valeur moyenne de fo, gg, A, (3 , et N et parl'écart type (moitié de la précision). La valeur moyenne est la valeur nominale et on prendre ;
Jfo11,5 14,4 %
ff'N-fË..
f° go N f.
Pour valeur moyenne de l'activité retrouvée, on prendra 92 % de l'activité injectée avec :
Ces chiffres sont arbitraires, mais correspondent à des valeurs des précisions qui paraissentvalables.
a) Détection sur 50 kev.
l _ e - C X E aN
Posons : cp = "r^ =
On a : aAt f] *13,5
Ou en déduit l'encadrement de IJ> par un C7 de part et d'autre qui donne 68 % des valeurs de q>dans l'intervalle obtenu et l'encadrement par deux O" de part et d'autre qui donne 95 % des valeurs de^p dans le nouvel intervalle.
rai
16 Avril
21 Avril
10 Mai
25 Mai
la relation ifJ
m - 2 0 <
5,8
10
8,2
7,5
E
: m - a <
7.5
12
10
9,3
on en i
<
E
E
E
E
déduit les
m + a
12
17,2
15
14,2
: encadrements équivalents
< m + 2 O
15,2 cm m =
20,7 cm
18,5 cm
17,6 cm
en E.
9,5 cm
14,4 'cm
12,2 cm
11,5 cm
b) Détection sur 250 Jtev.
On fait de même, '
16 'Avril
21 Avril
10 Mai
25 Mai
<P
m - 2<7 <
1,3<S,27,95,2
m - a <
3,17,8
9,8
6,7
cmeiits
«
E
E
E
E
C m + ff <
8,8
12,7
15,4
11,5
m + 2 a
14cm
17cm
19,6 cm
15,2 cm
m = 5,45 cm
10,05 cm
12,1 cm
8,9 cm
c) Cependant, le même jour, les encadrements trouvés sontégalement vraisemblables. Mais ilsne donnent pas la même précision* II nous faut définir une autre fonction f à partir des fonctions <petpondérée par les 0*.
l/afyip
ct l'écart c-c " <T^ ( ' ! ' ) -
- i / d2(
i
VKei. '
92)
ru.*tj
l/d^il-t- l/ofya)
Les résultats sont les suivants :
16 Avril
21. Avril
10 Mal
25 Mai
On
16 A.21 'A.
10 M.25 M.
ra_2 CT <
5,6
9,65
9,05
7,6 ,
peut disposer les
m _ CT <
6,9
11,1
10,45
8,95
résultats
{ 68 % des valeurs )( possibles de E )( appartiennent( à l'intervalle
))
E
E
. E
E
< m + CT <
10,6
14,8
14,15
12,45
m -f- 2 CT
12,9 cm m = 8,6 cm
17,25 cm 12,8 cm
16,65 cm 12,2 cm
15 cm 10,5 cm
de la façon suivante :
8,75 ±12,95 ±12,30 ±.10,7 ±
1,85 cm 95 °1,85 cm1,85 cm1,75cm
'. dans 9,25 ± 3,65 cm13,45 ± 3,60 cm12,85 i 3,80 cm11,30 ± 3,70 cm
Etant donné qu'aptes le 21 Avril, l'épaisseur n'a pu ni diminuer ni augmenter, du 21 'Avril au25 Mai, nous aurons, par un calcul similaire au précédent, la valeur moyenne m — 11,8 cm,
66 % des valeurs possibles pour E dans l'intervalle E ~ 12 ± 1,3 cm
95 % « » » » « » ' » »= 12,5 ± 2,6 en
Dans le cas le plus défavorable, mais peu probable, nous aurons au maximum 21 % d'erreur surl'épaisseur E.
124-
VII.5.3.3.3 - RESUME
Avec les hypothèses de répartition gaussienne des erreurs faites sur M, -A, 0 et f définies àpartir de leurs écarts moyens, on obtient :
< râ E = 8,6 cmle 16 Avril ( dans 68 % des cas E = 8,75 ± 1,85 cm
( 95 % E = 9,25 ± 3,65 cm
du 21 Avrilau 25 Mai
dans ^ % des
95 %
E = U'8 cm
E - 12 ± 1,30 cmE = 12,5 ± 2,60 era
Le 16 Avril, l 'erreur maximale (95 %) est de 25,3 7. par rapport à la valeur 9,25 cm ; du 21 'Avrilau 25 Mai, elle est de 20,B % par rapport à la valeur 12,30 cm.
Il est certain que ces encadrements" sont hypothétiques, qu'ils peuvent paraître optimistes etque d'eux dépend l'encadrement de E.
_Pour réduite cet écart, il faut augmenter la précision sur :
- l'intégrale N en ingra entant le nombre des traversées,
- la distance D en améliorant le traîneau,
- l'activité retrouvée en explorant toute la tâche..
Mais il y a une autre possibilité d'augmentation de la précision, c'est d'augmenter le nombredes détections, moins les conditions hydrodynamiques de la rivière changeront et plus les résultatsseront améliorés.
Vll.5.4- Calcul des centres de gravité et de: vitesses moyennes
Dans le chapitre in, nous disons que la vitesse moyenne est définie par :
Vm = V« =
est donné ici par :
I(X) X dX
. KX) dX
Xg est l'abcîsse le long du Cher du centre de gravite <ies taux de comptage:. Comme nous l'avons vudans le paragraphe précité, ce centre de gravité des taux de comptage n'esjpas le centre de gravitédu nuage du fait des effets d'enfouissement et de seuil. Aussi, nous calculerons deux centres de gra-vité : celui des taux de comptage de la sonde réglée sur 50 kev et celui des taux de comptage d=-lasonde réglée sur 250 kev..
- 125-
L'équation ci-dessus donne :
16 Avril
21 Avril
10 Mai
25 Mai
DétectionSur 50 kev
XG = 162 m
268m
433m
580 m
Sur 250 kev
XG = 147m
257m
468m
592m
Moyenne
XG = 155 ni
262 m
450 m
586 m
Ecart
8 m
6 m
12m
6 m
Ecart
5 7.
2,3%
2,7 %
1 %
La foime'dc la courbe de la figure VII. 19, les valeurs des vitesses obtenues, les valeurs dudébit liquide aux différentes dates ci-dessus (fig. VIL7) semblent indiquer que la vitesse de 35 m / jle 16 Avril est beaucoup trop forte* A cette date, l'indicateur ne serait pas encore représentatif dumouvement d'ensemble du lit de la rivière.
VII.5.5 • Remarques sur les courbes de distribution des toux de comptage le long du Cher(fig. Vil. II à 14)
II y a trois remarques à faire :
' Le nuage radioactif se scinde en deux parties dont l'une se déplace plus vite que l'autre, lapartie « f ixe» s'appauvrit au profit de la partie «rapide t.
• Les courbes 1(50) et 1(250) présentent des ondulations dont les crêtes et les creux corres-pondent. Ceci pourrait traduire l'existence de dunes dont la longueur serait de l'ordre de 80 à 100 m,mais dont l'amplitude serait faible, car nous ne les avons pas détectées au sondeur ultrasoa. Si onles suppose de forme triangulaire et en tenant compte de l'activité existant à leur pied, leur hauteurserait d'environ 10 à 20 cm.
• La forme des coutbes isochocs permet d'étudier qualitativement le déplacement du fond. Re-marquons sur la figure VU.20 le coude léger situé à quelques 300 à 350m en aval des points d'immer-sion» En amont de ce coude, le transport se fait en rive gauche. Ceci est un phénomène fréquent dû àla ptésence du coude. D'autre part, la présence du banc de galets empêche un étalement très longvers l'aval de la tâche.
VII.5.6 - Calcul du charriage partiel '
Le débit de charriage est calculé par G = pLc Vm E. Lt est la largeur du transport, nousl'assimilerons à la largeur moyenne du nuage radioactif. On trouve Lt = 60 m.
p est la massé volumique des grains de diamètre inférieur à 1 mm.
0,7 coefficient de remplissage.
0,45 proportion en poids des grains de diamètre inférieur à 1 mm.
d'où: p ' = 0,58
G = 31..Vm.E
- 126-
5 Ovril
Déplacement du Centre de Gravité
XG5Q + XG250
n j» >4 avrif
Courbai iâodiocj
0 poîrrKs d'i
«ch*ll« - L
- 128-
On peut dire d'après le paragraphe VII.5..4 que l'écart sur la valeur de Vm est de l'ordre de 5 %.D'autre part, on peut dire d'après le paragraphe VU.5.3.3.3 que l'écart sur la valeur de E est de 1,85cmle 16 Avril et de 1,30 cm les trois autres jours.
De façon générale :
2;Vm'
\Vm)
MT.) j
Le 16 Avril1.85
8,75= 21,2 % = 21,7 % E = 8,75 cm
Du 21 Avrilau 25 Mai
1.30
12= 10,8 % = 11,9 % E = 12,0 cm
D'où: . le 16 Avril G = 95 t / j ± 20 t / jle 21 Avril 52 t / j ± 6,2 t/j
le 10 Mai 33,5 t/j ± 4 t/jle-25 Mai 33,5 t/j ± 4 t/j
68 % des valeurs possibles de G appartiennent à ces intervalles. On peut dire qu'un intervalle doubledonne 95 % des valeurs possibles de G.
Nous avons vu au paragraphe VI1.5.4 que le 16 Avril il n'y avait probablement pas représenta-tivité du charriage par le traceur. Ceci est valable ici aussi et lavaleur G = 95 t/j est sûrement beau-coup trop forte. Les valeurs trouvées les 21 Avril, 10 et 25Mai sont les valeurs du débit de charriage;.
Nous les comparerons aux résultats des formules hydrauliques de Meyer-Peter et Kalinske.
VII.6- EXPLOITATION DE L'EQUATION DE MESURE
Nous allons tenter d'appliquer les résultats dull.5.2 surl'équation démesure.. Nous allons doncutiliser simultanément les deux sondes. Il faudrait l'appliquer en tous les points de toutes les traver-sées aux taux de comptages nets' déduits des valeurs de l'imprimant comme il est dit au paragrapheVII. 4.1. Ceci est très long, aussi, nous allons appliquer cette méthode aux valeurs intégrées sur lestraversées : 1(50) et 1(250). Nous obtiendrons une valeur approchée de l'épaisseur moyenne du nuage
sur la traversée..
la 1ère sonde donne 1(50) =f a
— -- ( l - e ~ a e )a e
la 2ème sonde donne 1(250) =Y
D'où :1(50) Pi f0 Y / 1 - e"H
1(250)
-129-
6,8- e- 0,160 e
- €-0,192e
Le rapport l(50Vl(250) doit donc erre compris entre 5,65 et 6,8 pour les valeurs nominales de
, P2 «Ci-
Si nous calculons l'écart moyen sut le rapport rK5Q)
gà partir des ,fo go
1(250)
définis lors de l'encadrement de E, nous trouvons ;
= 18,9 %r
Choisissons une valeur quelconque de E : E = 10 cm, on trouve r = 6,4 et en introduisant lavaleur de l'écart :
1(50) 1(50) 1(50) 1(50) 1(50)-2(7 d + ff + 2 ff
1(250) 1(250) 1(250) 1(250) 1(250)
4 5,2 6,4 7,6 8,8
Nous voyons <jue l'intervalle des valeurs théoriques de I(50)/l(250) (5.65 à 6,8) est inférieurà la valeur de l'écart.
En conséqu ence, nous avons fort peu de chances d'obtenir une valeur du rapport dans l'inter-valle théorique, c'est-à-dire que la valeur de l'épaisseur, si on peut la trouver, n'aura aucune préci-sion.* On ne pourra lui accorder aucune confiance.
Dans la réalité, on trouve bien que les valeurs du rapport sont étalées sur un intervalle supé-rieur à l'intervalle théorique.
Rappelons que la connaissance de l'épaisseur aurait permis de calculer l'activité détectée lelong de la traversée.
Mais nous pouvons chercher qu'elle est la droite ides moindres carrés» de l'ensemble des va*leuts du rapport I(5Q)/Ï(250) en fonction de.l'abcisse X
1(50/1(250) = R + P X
Le 16'Avril R = 4,85 P = + 2,9 10"3 m"1 ( J p = 10~3 CTR = 0,45
Le21:Avril 6,80 -2,6 10"3 1,8 10~î 0,94
Le 10 Mai 7,36 -2,3 10~3 1,2 10"3 0,68
Le 25 Mai 6,95 -0,9 10"* 1,65 10" 3 0,92
L'équation théorique ci-dessus montre que I(50)/(250) augmente avec l'épaisseur. Donc, ilsemblerait que le 16 'Avril l'enfouissement serait une fonction croissance de la distance.. Tandis que,
- 130-
pour les deux dates suivantes, la fonction serait décroissante et que, le 25 Mai, l'enfouissement seraitconstant. Mais il serait fallacieux d'accorder une grande importance à ces renseignements, car cesdroites sont construites à partir d'un nombre restreint dépeints (26 points au maximum) et l'hypothèsed'une variation linéaire de l'épaisseur paraît douteuse.
VII.7 - CONCLUSION SUR L'UTILISATION DES SONDES
Que ce soit lors de l'application de chaque sonde séparément ou lors de leur application simul-tanée, nous avons vu l'influence très grande de la distance sable-sonde D. La variation de D donc defo est la plus grande cause d'erreur dans le calcul de l'épaisseur E (par. VIL5.3..3..2). 11 faut en consé-quence réduire au maximum les variations de D,
Si on utilisait la même sonde pour fournir les valeurs des deux détections (50 kev et 250 kev),on aurait pour les deux valeurs f0 et go les mêmes sens de variation, ceci améliorerait déjà les en-cadrements des résultats, d'autre part, l'utilisation d'une seule sonde .conduirait à un traîneau moinsgrand, moins lourd et par conséquence moins perturbateur du fond. Tout cela est possible et a été réa-lisé pour des expériences marines postérieures à Juin 1966. Nous parlerons de ces travaux au chapi-tre vm.
VU.8 . METHODES HYDRAULIQUES
Yll.8.1 - Généralités
Dans le cas du Cher, il semble, d'après les valeurs de la force tractrice limite en fonction dela granulométrie, que l'on a affaire à un triage granulométrique : certains éléments étant trop lourdslourds pour être transportés.. Nous ne pouvons donc pas utiliser des formules faisant l'hypothèse d'undéplacement d'ensemble de plans (Chang), mais nous devons faire appel à des formules globales dontla base est la notion d'énergie :
- la formule de Meyer-Peter basée sur la force tractrice,
- la formule de Kalinske basée sur la turbulence autour des grains..
Mais dans ces deux cas, ces formules ont été établies pour des granulomêtrîes uniformes et, dece fait, les résultats obtenus seront approchés, car la granuloraétrie du Cher est dès étendue :0,3 < d < 2mm.
Vll.8.2 . Méthode de Meyer-Peter at de Muller (Réf. Vil.5)
Nous sommes à la limite des conditions expérimentales des auteurs de cette méthode, dans unezone où la concordance entre la théorie et la pratique n'est pas excellente.
Nous avons pour le sable correspondant au transport partiel (d ,< 1 mm) dans l'eau :
Qs ,ks.3/2 . l 1/3 2/3' '{—) H J - Am p d50 + Bm (_) gG
Q kr g
- 131-
et : G = L, T gG
Lt largeur du tiânspoir
T nombre de secondes en une journée
d^Q diamètre moyen de la courbe granulométrique = 0,6 mm
Am, Bra, fcs/kr. sont des constantes fonctions du lit, bm = 0,24 ks/lr = 065
Qs/Q rapport du débit liquide responsable ^u charriage au débit total est pris égal au rapportde la largeui de la tache radioactive 60 m à la largeur du Cher : 80 m.
J la pente, est faible, 0,2 Vao
g accélération de la pesanteur
H tirant d'eau
gQ débit solide pat seconde et par mètre de largeur, pesé sous l'eau.
Nous allons appliquer cette formule aux différentes classes |rannlométriques (Réf. VH.6).
0,3 d 0,5 mm
0,5 d 0,8 mm0,8 d 1 mm
= 0,4 mm
= 0,65 mm= 0,9 mm
p = 35 %p = 45 %p = 20 %
du verre injecté.
Pour chaque classe, la valeur de Am est donnée par '
0,08Am = • d40 = 0,55 mm
"500,4
0,65
0,9
d'où:
Am = 0,0615
0,0437
0,0357
0,0615 . 1,65 . 0,40 . 10~3
0,0357 . 1,65 . 0,90 . 10~3
G = 60 . 86400 S p . gG
Le calcul donne :
/ 3
Le 16 Avril
Le 21 Avril
Le 10 MaiLe 25 Mai
H = 1,60m1,80 m1,30m1,10m
G = S5t / j
110 t/j49 t/j29 t/j
-132-
Ces valeurs sont en bon accord avec les valeurs trouvées par l'indicateur radioactif, sauf le21 AvrîL Ceci peut s'expliquer : ce jour-là, la hauteur d'eau a atteint la cote 1,80 m pour redescen-dre aussitôt, nous avons donc une capacité de transport élevée pendant un temps bref, et seule unefaible pattie du fond a été soumise a la forte force tractrice correspondante. Cela vient aussi du faitque, le 16 Avril, l'indicateur n'était pas représentatif.
VII,8.3 . Méthode de Kolmske (Réf. VII.7)
Cette méthode est basée sur l'étude des fluctuations de la vitesse de l'eau au fond.
La théorie conduit à la formule :
—3 7,3 iVx di pi p £
gi est le débit de la classe de diamètre dl, occupant la proportion pi de la surface du fond.
Vx est égal à ( To/ p) * où To est la force tractrice moyenne.
OË et 0 sont les vitesses moyennes du fleuve et de la couche limite au niveau des grains.
Un graphique donne Cg/0 à partir de Te/ To où Te esc la force tractrice limite de cha-que classe.
Si nous divisons le sable de granulométrie inférieure à 1mm en trois classes comme au paragra-phe VII.8.2, on a :
P! = 0,117 P2 = 0,093 P$ - 0,030
En finale, on a :
G = 60 . 86400 2gi
Le 16 Avril G = 77 t / j
Le 21 Avril 86 t/j
Le 10 Mai 64 t/j
Le 25 Mai 55 t/j
VII.8.4 - Conclusion sur les méthodes hydrauliques, comparaison avec la méthode radioactive du
Bilan des taux de comptage
Tableau récapitulatif
Méthode « du Bilan» Méthode de Meyer-peter Méthode de Kalinske
Le 16 Avril 95 '±20 t/j 85 t/j . 77 t/jLe 21 Avril 52 ± 6,2 t/j 110 t/j 86 t/jLe 10 Mai 33,5 ± 4 t/j 49 t/j 64 t / jLe 25 Mai 33,5 ± 4 - t / j 29t/j 55 t / j
L'encadrement correspond à un écart quadratique moyen <T de part et d'autre..'La précision vaut 2 (T.
1Î3-
Rappelons d'abord que les méthodes hydrauliques donnent la capacité de transport de la rivière.La première constatation réside dans le désaccord existant entre les résultats des méthodes hydrauli-ques (de 10 % à 50 5). On peut aussi remarquer gué la méthode radioactive donne le plus souvent desvaleurs inférieures aux valeurs hydraulique$, ceci est bien en accord avec la notion de capacitéde transport.
Le 16 Avril, les deux méthodes hydrauliques et la méthode radioactive donnent les inerties ré-sultats, mais la représentativité de l'indicateur est fort douteuse..
Le fait le plus important est le désaccord entre les deux méthodes hydrauliques, il traduit lefait qu'elles sont appliquées à des granulométries étendues, situées dans les zones limites de validitéde ces méthodes. La méthode du Bilan des taux de comptage ne souffre pas de cet inconvénient.
VII.9 - UTILISATION DE LA METHODE DE HUBELL ET SAYRE (Réf. VI 1.8 et 9)
Vll.9.1. Principe
Cette méthode permet de calculer la longueur moyenne des sauts et le temps moyen des reposdes grains de sable. Comme Einstein, Hubell et Sayre font l'hypothèse d'une répartition exponentielledes longueurs de sauts et des temps de repos. Cela conduit à une distribution longitudinale de l'acti-vité représentée par (Activité totale = 1),
f r(X) k,t)
où est une fonction de Bessel modifiée du 1er ordre..
Les valeurs 1/kj et l/k2 représentent les valeurs moyennes des sauts et des repos.. On lesdétermine à partir de la courbe expérimentale de la repartition longitudinale de l'activité, en effet, lavitesse du centre de gravité est donnée par :
le maximum de la courbe a une abcîsse Xo telle que :
I 2 (2 (k 1 Xo.k 2 t ) i )
k2t k 2 t )*
et la valeur du maximum est une fonction normalisée sa fonction de k^ et kj représentée sur la figureVII.21. Le maximum est : f t(X)max
A partir des valeurs de k^ et k2 calculées, on trace la courbe fc(X), et de la concordance oude la non concordance des courbes théorique et pratique, on peut conclure ou nier la compatibilité deshypothèses de répartition exponentielle avec la réalité.
Cette théorie ne permet pas de calculer le débit.
- 134-
VI 1.9.2 • Application aux courbes du Cher
Notons tout d'abord que la théorie ci-dessus suppose une immersion des indicateurs sur toutel'épaisseur de transport avec une répartition uniforme, or, sur le Cher, cinq immersions furent faites ensurface.. Ceci est très important, car cela fait intervenir une longueur de mise en place du traceur in-connue qui introduit une erreur très importante sur l'abcissc du centre de gravité..
Sur chacune des courbes de détection (fig. VIL11 à 14), nous constatons que l'indicateur s'estdivisé approximativement en deux taches, la tache amont se déplace peupar rapport a la tache aval.D'autre part, le rapport des nombres de chocs intégrés sur les deux taches : aval/amont, augmenteavec le temps,. La tache aval est nourrie par la tache amont.
Nous allons étudier la tache aval, en supposant que l'origine des abcisses de son centre degravité est le centre de gravité de la tache amont.
Calcul de la courbe de répartition de l'activité le long du Cher. On a :
1(50) = p aa e
Supposons l'épaissejr constante sur toute la tache :
le 21 Avril e = E = 12 cm
a = 0,0521(50)
Nous traçons les lignes brisées puis les courbes simplifiées a (X) (fig. VIL22), nous avonschoisi cette date car c'est le seul jour où le lissage des courbes donne un résultat valable.
Application :
k2 250 mOn a: VG = - = - =-l6 ,7m/ j
kl 15 j
D' autre part :
3,2
t = 15 j
d'où : — lt(X)
f t<X>max k j ' 0,80
k2t kjr
D'après la courbe normalisée d'atténuation du pic : fc2t = 7 (fig. V1I.21)
d'où: 1/ki = 35,7 m et l/k2 = 2,14 j
Ces valeurs permettent le calcul de la fonction de Bessel et de la fonction de distribution(fig. VII.22). On constate la concordance approchée entre les courbes a(X) et ft(X), en conséquence,on peut conclure à la non incompatibilité des hypothèses de répartitions exponentielles avec la réa-
lité.
_
Sx
eoi
np uoît
ap aastjpvuou
01\
UIJMU
\
l'o
VII. 10 - CONCLUSION D'ENSEMBLE
Cette expérience n'a pas donné des résultats complets; si on a pu appliquer deux fois l'équa-tion du bilan, l'équation de mesure n*a pu l'être pour Tes raisons qui ont été étudiées, entre autres ;la fluctuation de la distance D. Cependant, Les résultats obtenus sont intéressants, ils coïncidentcomme ordre de grandeur avec ceux des méthodes classiques, ett d'autre part, ils présentent le grosavantage de posséder un encadrement, cet encadrement n'estpas une certitude mais une forte présomp-tion de trouver le résultat à l'intérieur de cette fourchette.
Nous pouvons donc dire que :
- un progrès technologique est nécessaire,
- une meilleure connaissance du mécanisme du mélange de l'indicateur au sable du lit, ainsique des lois régissant les concentrations en profondeur est à rechercher..
D'autres facteurs sont intervenus dans cette expérience, facteurs qui ne permettent pas la meil-leure application possible de la. méthode du Bilan, parmi eux, il faut cirer une granulométrîe étalée
donnant une mauvaise statistique de comptage des faibles activités, un fond sableux encombré de cail-loux donnant cette fluctuation de D, un régime hydraulique tr.es varié ne permettant pas de vérifier sil'indicateur était représentatif du transport.
-139-
CHAPITRE VIII
AUTRES APPLICATIONS
VIII.1. PROBLEMES FLUVIAUX
La méthode des bilans des taux de comptage fut appliquée aux résultats de deux expériences
de rivière faites auparavant.
VIII. 1.1 • Le Stung Sen (Cambodge) (Réf. VIII. 1)
Lors des expériences sur cette rivière en 1963, U méthode des bilans des taux de comptage
n'était pas élaborée. Dès lors, sur le terrain, ont été mis en oeuvre pour déterminer l'épaisseur de
transport :
- des carottages par benne preneuse et carottier,
- la méthode du nombre limité de grains (réf. VIII.2).
On avait pu estimer l'épaisseur à 10 cm.
L'application ultérieure de la méthode des bilans, avec une sonde unique de réponse :
, = 51 e-0,154 z
donne les résultats suivants ;
ON l-e-aE
E
si P = 1,15 et avec tt = 0,154 fc - SI N = 3,45 106 c/s
et >A •» 148 mCi d'Ir 192
on trouve : E = 14,5 cm
Cette valeur est du même ordre de grandeur que celle donnée par les autres méthodes.
VIII. 1.2 - La Sienne (fleuve coller de la Manche) (réf. VMI.3)
En 1965, avec le laboratoire de Géologie de Caen, ont été menées des expériences d'indica-
teurs radioactifs dans la Sienne et son estuaire.. On appliqua la méthode des bilans à l'immersion faiteen rivière. L'activité était de 130 raCi d'Ir 192. Il fut trouvé 4,75 106c/s avec une sonde de réponse :
f = 68 e~
- 140-
avec une valeur (3 = 1,15, on trouve E = 11,8 cm
soit un débit G = 21 t/ j pour la période de crues exceptionnelles étudiées.
VIII.2-PROBLEMES MARINS
VIII.2.1 - L'embouchure de [a Sienne (réf. VIII.4)
Dans une deuxième campagne, on a voulu déterminer l'évolution du littoral à la sortie de l'es-tuaire de la Sienne. Les points étudiés découvraient à marée basse, ceci permit d'opérer des prélève-ments du fond par couches successives de 1 cm d'épaisseur et de tracer la courbe de répartition del'indicateur en .profondeur tout en appliquant la méthode du bilan aux détections faites. Les courbes derépartition de l'indicateur Cïg, VIIÏ.l) ont une forme tics ressemblante à une parabole dont le sommetserait au tiers; on a déjà poclé de ces résultats au paragraphe t.3.2 et au paragraphe 11.5.4.
L'application de la méthode du bilan est la suivante :II y a deux points d'immersion, donc deux applications. La sonde est la même de réponse.,
f = 35 e-M54 z
pour de IVAu 198 et une détection à marée basse découvrante.
Dans les deux cas, on a pu tracer la loi donnant la surlace de chaque courbe ïsochocs en fonc-tion du taux de comptage définissant la courbe, on en déduit le nombre de chocs totalN par intégrationde cette courbe.
Point Nord 0 = 1,07 A = 0,94 Ci N = 3 107 c/s
d'où : E = 2,6 cm
Point Sud f) = 1,07 A = 1,21 Ci N = 2,9 107 c/s
d'où : E = 6,6 cm
Les prélèvements faits dans la zone la plus active donnaient 5 cm comme épaisseur des deuxtaches.
La configuration du lit et le régime de transport permettent d'expliquer ces valeurs, pout plusde détails, on se reportera à l'article de G. Courtois (réf. VHI.4).
VI 11.2.2 . Le Littoral du Roussillon (réf. VIII,5)
Deux points d'immersion d'indicateurs radioactifs : Por>Cyprtano et St-Cyprien plage. La mé-thode du bilan a permis d'obtenir l'épaisseur :
14 < E'< 17,3 cm à Poït-Cypriano
12,4 < E < 14,9 puis six jours plus tard
17,4 < E < 19,4 à St-Cyprien plage
- 141-
BOO»
does
ooo
OOO4
otto»
\
•1
•r it <n
5 Z
V'JM
- 142-
Les carottes effectuées simultanément aux détections donnent comme épaisseur :- 15 cm à Port-Cypriano
- 17 et môme 20 cm pour la deuxième détection de St-Cyprien plage.
Le calcul fournit le débit par mette de large :
- 2,3 t/j à Port-Cypriano
- 2 t/ j à St-Cyprien plage.
Ces résultats ont été confrontés par Mîgniot du L.C.H.F.. (Maisons-'AIfort) avec ceux que donnel'estimation théorique du transport faite à partir du bilan énergétique de la houle.
Ce calcul donne 1,8 ra^ soit: 2,7 t/j.
On constateune forte concordance entre les épaisseurs données par les deux méthodes déter-rait! et une bonne concordance entre les débits donnés par l'expérience et par la théorie*
De nouvelles expériences ont depuis été faites sur le même littoral en utilisant une seule son-de donnant simultanément deux détections (50 et 250 fcev). Le dépouillement des résultats est en courset semble dès à présent fournir des résultats concordants entte les carottages et l'épaisseur fourniepat la méthode des bilans.
Vlll.2.3 • Le littoral de la Mer d~u Hard, Dunkerquo
Ceite expérience mise en œuvre par le C.R.E.C. CChatou) en est au début de la phase de dé-pouillement.. Il est encore trop tôt pour se prononcer sur les résultats. Cependant, les premiers chif-fres obtenus sont tout à fait raisonnables.
VIII.3 • CONCLUSION
Dans chacune des expériences décrites ci-dessus, on constate toujours un accord satisfaisantentre les différents résultats : carottages, méthode du bilan ou théorie énergétique. En conséquence,la méthode du bilan est systématiquement utilisée dans toutes les expériences de ter tarn faites avecl'aide de la Section d'Application des Radio-cléments du C.E.N. Saclay, aussi bien en mer qu'en ri-vière..
Cette utilisation systématique est justifiée car cette méthode ne requiert aucune mise en oeu-vre particulière, mis à part l'étalonnage des sondes.
-143-
CONCLUSION GENERALE
Malgré les nombreuses hypothèses que l'on a pu faite tout au long de cet ouvrage, les résultatsfournis par les expériences sont cohérents, ils ont le même ordre de grandeur que les résultats fournispar d'autres méthodes ; la répétitivité de cette cohérence montre que les évaluations faites a priori deformes de lois ou de valeurs de coefficients sont correctes..
La loi, c'est la loi de répartition des concentrations en pro fond eut. Nous abordons là leproblè-me du mécanisme et de la représentation globale du mouvement des grains de sable.
Le coefficient, c'est le coefficient de quantité de mouvement; lié à la répartition des vitessesdes grains de sable à l'intétieur du lit, il fait lui aussi appel à la connaissance du mécanisme du mou-vement du sable. C'esf le problème fondamental de la sédimentologie..
Ce problème se trouve souvent à la base des théories du charriage et des formules correspon-dantes.
Par l'emploi d'indicateurs, nous avons tenté de nous affranchir des hypothèses inhérantes àces théories. Le tésultat est le suivant : les indicateurs ne nous permettent pas d'éliminer totalementce problème du mécanisme du transport, l'observation globale d'un lot departicules(indicateur)ne nousdispense pas de la connaissance du mouvement de chacune de ces particules, mais ces ttaceurs rédui-sent très fortement l'influence de ce problème : en effet, la loi et le coefficient mentionnés ci-dessusn'ont qu'une incidence numériquement faible dans le calcul du charriage par la méthode du Bilan.
Par ailleurs, cette méthode nécessite une mise en oeuvre très simple, elle permet une analyseassez fine des phénomènes se produisant sur le fond du lit, on peut l'appliquer très facilement à touteexpérience d'indicateurs à condition de prendre quelques précautions dans la réalisation du traceurdans l'étalonnage des sondes et lors des détections sur le terrain.
- 145-
Etablissement de la relation existant entre les résultats de la détection dynamique et de la dé-tection statique du même nuage radioactif.
DEFINITIONS
1°) En détection dynamique, la sonde se déplace à la vitesse v et pendant le temps t, c'est-à-dire sur la longueur v..t, elle.intègre un nombre de chocs Nv(v.t.}.
Pour une vitesse de 1 m/s, pendant le même temps et sur la longueur l.t. on aurait N}(t).
Pour une vitesse de 1 m/s, sur la longueur v.t. et pendant le temps t1 = v.t.,.on aurait N}(v.t.)'.
2°) En détection statique, en chaque point, on aurait un taux de comptage n et en'intégrant surla longueur parcourue L, on aurait :
Théorème :
Le nombre de chocs intégrés pendant le temps t, sur la longueur L = V.t. par une sonde traî-née à la vitesse v est égal au quotient du nombre de chocs intégrés par la même-sonde trainee à la vi-tesse de 1 m/s sur la même longueur L = v.t. pendant le temps t1 = v.t., quotient de ce nombre parla vitesse v; il est aussi égal au quotient de l'intégrale des taux de comptage donnés en détectionstatique (point par point), intégrale faite sur la longueur L, quotient de cette intégrale par la vites-se v. •
= v.t.)N v (L=v . t . ) =
DEMONSTRATION
-146-
Lo sonde est fixe ! Le taux de comptage en chaque point est :
iïn = I a(h, *) . v (.SA').. dh. di
JJh.x
SA est la distance de ta sonde S à l'élément'A de surface dh.dx,d'activité a(h,x),
V est te taux de comptage donné par une activité unité située àla distance SA.
Lo sonde est mobile : de vitesse v = v m/ s, le nombre de chocs intégrés sur la longueur L =- v.t. estl'intégrale sur le temps t du taux de comptage en chaque point, ce taux étant fonction de la positionde la sonde :
N V (L = v.t,) = V(SA).a(h ,x) .dh .dx.d t
JJJ t , h ,x
or: L = v.t donc: dL = v . d t ce qui donne :
(TPNV(L = v . t ) = M (SA). a(h,x).dh.dx.—
I l l v
JJjL.h.x.,
mais v est constant et sort du signe somme
NT(L = v.t.) = — | | (SA).a(h,x).dh.dx.dL
JL,h ,x
cette dernière intégrale est le nombre de chocs Nj (L = v.t.) et
NV(L = v.t.) = — N j ( L = v.t.)
la première proposition du théorème est démontrée.
Reprenons la valeur Ni(L = v.t.), on peut l'écrire :
= v.t.) = | ( |f <SA).a(h,x).dx)dL
1 rrC I <SA).a(h,x) .c
L JJ h, x
l'intégrale entre parenthèses est le taux de comptage n et
= v.t.) = n.dL
L
la deuxième proposition dn théorème est démon«6e :
NV(L) = — N j O L ) if..JL
dL
- 147-
ANNEXE 11
LES PROGRAMMES DE CALCUL STATISTIQUE
Ils sont écrits en FORTRAN IV pour IBM 7094 ET 3ËO.
Programmes STAST. (FORTRAN IV 7094)
Au nombre de deux, ils servent au calcul du nombre de grains nécessaires en détection statique..
Dans ces programmes, afin d'en simplifier l'établissement, nous avons supposé que l'activitéde chacun des grains est constante (1/100 [iCi), quel que soit leur nombre. L'activité totale est :
ng/100|XCi
Au chapitre V, nous avons raisonné sur une activité totale de 1 (iCi, il faudra donc multiplierles taux de comptage obtenus par 100/ng et les valeurs des probabilités par ng/100. Les chiffres ob-tenus après transfonnation sont reportés sut les différentes figures et dans les différents paragraphesdu chapitre V.
STAST1 permet de passer de 1 à 2 grains,
STAST2 permet de passer de 2 à 4 puis 8, 16, 32, 64, 128 et 256 grains.
Correspondance entre les symboles des programmes et les grandeurs réelles.
STASTl.
S(J) courbe des probabilités cumulées
PUJ), PIU]) et P2 : Tls2
p "aT valeur moyenne HS2
A taux NS2
B, C taur Nsl
Z écart r/H2 +~
STAST2
P2, PI(J), PI2(J) : Hsn, 7tsn/2, 7Usn
S(J) courbe des probabilités cumulées
T valeur moyenne N sn
P carte de l'écart CTsn
Z écart fJsn
lA taux Nsn
- 148-
Piograrnme STDYPR (FORTRAN IV 360)
II sert à passer de la courbe V (r) à la courbe Vd (h) pour différentes valeurs de la vitesse de lasonde par la relation :
vdOO = 2 dt
La correspondance entre les symboles du programme et les grandeurs réelles est la suivante
R (L) taux de comptage Vs (r)
H(I) distance h
T temps t
A distance r
N . nombre de chocs
Programme STADYN (FORTRAN IV 360)
• II sert au calcul du nombre de grains nécessaires en détection dynamique. De même que dansles programmes STAST., nous avons simplifié et généralisé l'écriture en supposant que tousles grainsont une même activité, .judl que soit leur nombre (l./oo LlCi) et que leur taux de comptage maximumvs< r>max est 1 c/s-
En fait, 1/100 [J,Ci d'Ir 192 donne au maximum 2 c/s
1/100 |JCi d'Au 198 donne au maximum 1,17 c/s
Les résultats du programme sont à corriger d'un facteur
100.1, 128. V s m a x /ng
soit en multiplication pour les taux de comptage ou nombre de chocs,
soit en division pour les probabilités.
Le facteur 1,128 provient de la surface effective détectée (par.. V .3*2,4.1).
La correspondance entre les symboles et les grandeurs est :
P2, PI(J) et PI2&): 1tdn, 7îdn/2 et TCdn
S(J) courbe des probabilités cumulées
T valeur moyennedn
P
Z
carré de l'écart
écart <7dn
'A taux de comptage Ndn
- 149-
*»DR «SAUZAY «1223/DR /006 /T/00. 05/002500ÎJ03 ISJ06. IBJOo GOSIBFTC STAST2C PASSAGE DE 0/2 A 0 GRAINS, TAUX DE COMPTAGE NID>=A(DI POUR 0 GRAINS
DIMENSION SU155) .PIÏ115Û1 ,P[2<115û>READ(5,4D (PKJI .J=1.1150)0=2.00 36 ,<=liBREADI5.40) Stll.P.T,FO,AO..L.Mi'=D*2.A=AO*ÛF=FO»D/2.00 23 J=1.1150P2=0.IF IJ-S75)lltllil6
11 L=L+2C CALCUL DE L'.INTEGRALE DU PRODUIT DES PROBABILITES POURC 2NID/2)MIN < N < N ( 0/2 IMAX-N I D/21MIN
00 l'<t I = liLLL=2*J-I
14 P2=P2+F*PMII«PI(LLIGOTO 20
16 M»H+2DO 19 I=M,1150
C CALCUL DE L'INTEGRALE DU PRODUIT DES PROBABILITES POURC N> N<D/2)MAX-NtD/2)MIN
MM=2*J-119 P2=P2+F*PI (ll*Pt{MMI
C COURSE DES PROBABILITES 0UMULEES20 S(J+1)=S(J)+2.*F»P2
A=A+2.«FC CALCUL DE N.MOV
T=T+2.*F*A*P223 PI2tJl=P2
A-AO*D00 28 J=1.1150PI(J)=PI21U]/S(11SO)A=A»2.*F
'. CALCUL DE L'ECART QUADRATIQUE MOYEN Z2fl P=P+2.*F*PI2(J!«(A-
Z=SQRT(P)WR!TE(6,it2ID,P,T,Z
WRITE (6144) (PI2(J)tJ=l«1150)WRITE(6i43)MR!TE(6i4S) (SiJ) iJ=l,1151)WRITEI6>46)rONTINUErORMAT(5F6.3.2I2tf OPi.MAT(8El0.3)FORMATI4H 0= ,F7 .2 .6HGRAINSi3H P=,FT.2|4H T«FORMAT (1HOIFORMATION P12= »10E11.3)FORMAT !!>H 5= tlOEll.3)FORMAT! 1H1)STOPEND
3DATA
150-
s*DR «SAUZAY «1223/DR /006 /T/00.14/001000SJOB IûJOBS1BJOB GOSIBFTC S-TASTIc PASSAGE OE i A 2 GRAINS,CONSTITUTION DES CARTES DONNEES POUR LEC PASSAGE DE 0/2 A D GRAINS
DIMENSION S(2310>,PI1< 2300 I,PH 11501READ(5,3lS(l),PiT,E,A.FiL,KiM
3 FORMAT(5F6.3iE10.3,2I2,I4)DO 24 J=l,2300
C TAUX DE COMPTAGE N.MIN ET N.MAXB=.010C=9.214P2 = 0.
C TAUX DE COMPTAGE NA=A+.008IF (J-115Û)13.13,16
13 L=L+2DO 16 1=1.LB=B-i-.004
16 P2=P2+F*(a*(A-B)I**EGOTO ZZM=K+2DO 21 I=M,2300
18
21 ^=P2+F*(C* (A-C) I**EC COURLE DES PROBABILITES CUMULEES22 S(J+1»=S(JI+.008*P2
C CALCUL DE N.MOYT=T+.008*P2
24 PI1IJ)=P2As.020DO 29 J=l,2300A-A+.OOS
C CALCUL DE L<ECART QUADRATIQUE MOYEN Z29 P = P+.OOB»PI1(JII'(A-T)*(A-T)
DO J=2i2300i2
40
3«>3536373839
P! (K)=PIKJ»/S<2300)WRITE(6i37|T,P,l'WR!TE{6,38)WRITE(6,35)(PIHJI,J=1,2300)WRITEI6.38)WR:TE(6,36ILSU),J=l,2301lWRITEI6.3S)WRITE(6,34] tPKJI.J-1,11501WRITEI6.3S)WRITE(7,39l tPI(J.I,J= 1,1150]FORMATI5H PI= 10E11.3)FORMATI5H Pi1=10E11;3IFORMATI5H S = 10E11.3)FORMATI5H T = .F5.2,3HP= ,F5.2«3HZ=FORMAT11HÛ) <FORMAT[8E10.3)STOPEND
SDATA
-151-
//SAUZAY JOR SAC*DR****122^"**r)R****0006*T*OOl,0*00] 000*00000**00/ /STOYPRCR EXEC f=ORTHCLG,PARM.FÛRT=iBCO'//FORT:SYSIN DD *C CALCUL DE LA COURBE N<H]
DIMENSION R(61).HI621.SI6MA161)READ(5 ,6 ) !R(L ) ,L=1 ,61 !V = . 4DO 7 M=1>11H ( l l = 0 .V = V + , 1DO 1 1=1,61H( I + H - H C 1 I+.01SIGMA!! 1=0.T=0.DO 2 J=l,150A=SORT(H( I I * *2 .+(V*T)* *2 . )T = T + . O lS = I N T ( 1 0 0 . * A )JF(60-KI*-»'n3
3 MGMAII ]=SIGMA( î I + .02«R I K+l )LOTO 2
4 S IGMA! ! I^SIGMAU 1+0.2 CONT!\UE1 CONTINUE
W R I T £ [ 6 . 8 I V- W R i T E ( 6 . 9 )
W R I T E ( 6 . 5 ) ( H ( I ) > 5 I G M A ! I ) i I - l > 6 1 )7 CONTINUE5 FORMATER H= E10.3,4H N= E10.3)6 FORMAT17E10.3)8 FORMAT(F5 .2 l9 FORMAT(IHO)
STOPEND
/*//GO.SYSIN oo *
- 152-
/ /5AUZAY JOL SAC<'DR*''**1223«**OR**»*0006»T*002. 0*001 000*00000»*00//STADYfl EXEC FORTHCLGtPARM.FORT=>BCD>/ /FORT.SYSIN DD *C PASSAGE DE D/2 A D GRAINS. TAUX DE COMPTAGE NiDI=A<D) POUR D GRAINS
D I M E N S I O N S (210 UP I (200) ,P 12 (200100 36 N = l , 2
READ (5, 46 UMAXRE AD (5,41) (?J (J) iJ=l ,JMAXID=l .DO 36 K=liSREAD15.401SI1 I ,P>T,FO,AO,L,KD=D*2.A=AO*0F=FO*D/2:DO 23 J=ltJKAXP2=0.I F ! J - J M A X / 2 U l i l l i l &
11 L = L+2C CALCUL DE Li lNTËGRALE DU PRODUIT DES PROBABILITES POURC 3N(D/2)KIN < N < N(D/2)HAX-N(D/2IKIN
DO 14 1 = 1. LLL=2*J-I
14 P2=P2+F*PI ( I I * P I ( L L IGOTO 20
16 M = M + 2DO 19 I = M i J M A X
C CALCUL DE L'INTEGRALE DU PRODUIT DES PROBABILITES POURC N> N(D/2)MAX-N<D/2)KIN
MM=2*J-I19 P2=P2+F*PI (II*PI(MM!
C COURBE DES PROBABILITES CUMULEES20 S( J+1)=S(J)+2.*F*P2
A=A+2.*FC .CALCUL OE N.MOY
H 2 I J I - P 2A=AO*DDO 28 J=I..JHAX
23
C CALCUL QE L 'ECART QUADRAT I.QUE MOYEN Z28 P=P+2.*F*PI2( J)«(A-T|»(A-T)
Z=SQRTIP)WRITEI6 .42 ID,P,T.ZWRI ÎE I6 .43 )V J R l T E ( 6 i 4 4 ) (p f2(J) iJ» l ,JHAXI
4041424344l*$4636
WRITE(6.45)(S<JI,J=1»JMAX>WRITE(6,431FORMAÏ{4F6.3.F7.4.2I2)
FORMAT(BE lu.3)FORMATC4H 0= ,F7.2.6HGRAINS.3H P=,F7,2.4H T= ,F7.2,4H Z= .F7.2.//IFORMAT(1HO)FORMATI6H PI2= 10E11.3IFORMATION S = 10E11.J)FORMAT(13)
CONTINUESTOPEND
//GO.SYS1N DD *
- 153-
LISTB DES NOTATIONS
A
Am
activité en un point
activité de un grain (parfois a au ch. V)
ac ci l'île de n grains
activité totale
constante
micro-curie JJ.CÏ
conscaqce
concentration en traceurs au point x,y, z
Cm valeur moyenne de CC-..)
C(z) concentration linéaire
d diamètre des grains (sable ou traceut)
d. diamètre As la classe correspondante
dm diamètre moyen (définition pat. V.3.1.1)
d^Q diamètre défini par la valeur 50 % de la courbe gtanulométrique
D distance sable-sonde
e épaisseui de traceur en un point
E épaisseur de transport
épaisseur de transport, détectionE(250)
fi ^o ' = *oe~z étalonnage c/s pou
£• ËO £ - Soe ~z étalonnage
ga accélération de la pesanteur
gQ débit solide par mètre de largeur
gj débit solide de ta classe dj
G débit solide
cm/ s2
t / j
t/j
- 154--155-
h distance horizontale grain-trajectoire de la sonde
H hauteur d'eau
IY facteur de dose
I intégrale des taux de comptage sur la traversée
1(50) . détection 50 kev1(250} mt grÛ C détection 250 kev
J pente de la ligne d'eau
kr, ks coefficients fonction du lie
L longueur parcourue par Je bateau entre deux tops successifs
Le longueur de correction
L.T largeur de transporc
L(h/2) largeur à mi-hauteur de la courbe granulométrique différentiel
taux de comptage en un point
nombre de grains
nombre de grains nécessaires (43 % des cas)
intégrale du Bilan
détection 50 kevintégrale du Bilan , . „„ ,
détection 250 kev
taux de comptage ou nombre de chocs (1 grain)
taux de comptage ou nombre de chocs (n grains)
taux en détection statique
taux en détection statique
valeur moyenne
nombre de chocs in détection dynamique
nombre de chocs en détection dynamique
valeur moyenne
nombre de chocs intégrés à la vitesse v sur la longueur L
propoltion des classes granulométriques
proportion de la surface occupée par la classe de diamètre dj
N(50)N(250)
NI
NV(L)
P
Psi
raR/h/G à 1 m
c/s
C/S OU i
Q débit liquide
Q débit liquide responsable du charriage
c temps
D vitesse moyenne de l'eau
O p vitesse de la couche limite
v vitesse du bateau et dû la sonde
X coordonnée transversale du fleuve
X coordonnée longitudinale
y coordonnée longitudinale
z, Z enfouissement .= coordonnée verticale
z m» z ml cn^ou-»ssement moyen en un point
z m orne at d'ordie ï de la variable z
valeurs sur toute la tache
(X coefficient d'étalonnage
[3 coefficient de répartition en profondeur
Y coefficient d'étalonnage
F(z) répartition du traceur en profondeur dans l'ensemble du nuage
Tm valeur moyenne
TM concentration uniforme équivalente
X coefficient de quantité de mouveuent
\io coefficient d'atténuation dans l'eau
m/s
- 156-
v s taux de comptage du grain d'activité unité
V j nombre de chocs du grain d'activité unité
p masse spécifique
7Îsn distribution des probabilités (statique)
Tï^n distribution des probabilités (dynamique)
TQ force tractrice moyenne
T force tractrice limite
dyne/c
- 157-
LISTE DES REFERENCES
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE I
Réf. 1.1 The use of irradiated sand for tracer studies in hydraulic models.Ay K.J. CRICKMORE
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G. COURTOIS et G. SAUZAYRapport interne non diffusé.
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Réf. 1.5 Voir réf. 1.3.
Réf. 1.6 The measurement of Sand Transport by Mean of Radio-active Tracers..by M.J. CRICKMORE and G.H. LEAN
Proceedings of Royal Society of London,
Série A Vol. 266 1962.
.Réf. 1.7 The measurement of Sand Transport by the Time Integration Méthode with radioac-tive Tracers.
by M.J. CRICKMORE md G.H. LEANProceedings of Royal Society of London.Série A Vol. 270 1%2.
Ret. 1.8 Methods for measuring Sand Transport Using Radioactive Tracers.
by H.J. CRICKMORE and G.H. LEANRadio-isotopes in Hydrology, Symposium Tokio 1961.International Atomic Energy Agency.
Vienna Austria.
- 158-
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G, COURTOISRapport CEA-N-6Û4 CEN. SACLAY.
CHAPITRE II Aucune référence.
CHAPITRE 1)1
Réf. l l l . l A discussion of errors involved in a quantitative measurement of sediment cran sportby radioisotopes..
Matekmideswar« Rao 5.Rapport interne non diffusé.
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John Wiley and Sons, NEW-YORK.
Réf. V.2 Nucleonics Vol. 21 N° 8 Août 1963.
Réf. V.3 Radiological Health Handbook.Revised Edition I960 {Sept.).U.S, Department of Health, Education and Welfare. Public Health Service.
CHAPITRE VI Aucune référence.
CHAPITRE VU
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ORSTOM. Gauthiers - Villars Paris.
Réf. VII ,2 Formation des dunes et des rides dans les modèles fluviaux.J. CHABERT et J.L. CHAUVIN
Bulletin du Centre de Recherches et d'Essais de Chatou N° 4 1963.
Réf. VU.3 Le début d'entraînement des alluvions à granulométrîe non uniforme./. EGUIAZAROFF
Communication présentée par Mr RAMETTE.Rapport interne du Centre de Recherches et d'Essais de Chatou.
Réf. VII.4 Voir réf. V.l.
Réf. VII .5 Formules de charriage.MEYER-PETER et MULLER
A1RTH. Stockholm 1948.
-159-
Ref. VU.6 Le Rhône à Lyon. Etude de l'entraînement des galets à l'aide de traceurs radio-actifs..
Al. RAMETTE el H. HEVZELLa Houille Blanche. Numéro spécial 'A/1962 Mai-Juin.
Réf. VU.7 Movement of sediment as bed load in rivets.A. A. KALINSKE
Transactions, American Geophysical Union.Vol. 28 N° 4 'August 1947.
Réf. VII.8 Voir réf.. 1.3.
Rot. VU.9 Etude par traceurs radioactifs de mouvements de galets sur le cordon littoral desBas-Champs (Somme).
G. COURTOISRapport CEA-N-665. CEN. SACLAY.
CHAPITRE VIII
Réf. VIII.1 Etude du charriage du Stung Sen au Cambodge.Rapport au comité du Mékong au nom des gouvernements du Cambodge, du Laos, dela Thaïlande et du Viet-Nam.Agence Internationale de l'Energie Atomique.
WP/5/140 II Mars 1964 Vienne 'Autriche.
Réf. V I I I , 2 Possibiliré d'emploi d'un nombre limité de grains radio-actifs dans les études quan-titatives de mouvements de sédiments..
G. COURTOISInternational Journal of Applied Radiations and Isotopes 1964 Vol. 15.
Réf. VII I .3 Contribution des traceurs radio-actifs à l'étude de la dynamique des dépôts del'es-tuaire de la Sienne.
P. G1RESSECahiers Océanographiques, XVIH, 1 (Janvier 1966)..
Réf. VIII.4 Voir réf. 1.9.
" Réf. VIII.5 Etude comparative de deux méthodes radio-actives d'évaluation massique des trans-
ports sédimentaires littoraux.G. COURTOIS el A. MONACO
7ème Congrès International de SédimentologieReading et Edinburg 11-15 Août 1967,
ilaauscrJJ reçu le 5 Décembre 1967
- 161 -
LISTE DES FIGURES
CHAPITRE I Aucune figure.
CHAPITRE II
Fig. II.1 Principe de la méthode du Bilan.des taux de comptage.
Fig. I I .2 Relations E = çS(Zm).
Fig. 11.3 Lois ' (3 = CM/Cm (Iridium 192).
Fig. II .4 Lois » (Tantale 182).
CHAPITRE III Aucune figure
CHAPITRE IV
Fig. IV. 1 Sonde S.R.A.T.
Fig. IV.2 Cuve d'étalonnage.
Fig. IV.3 Etalonnage Ir 192 : f0 et a en fonction du seuil (D = 5 cm)
Fig. IV.4 Etalonnage Ir 192 : D(f 0 ) pour les deux seuils 50 et 250 kev.
Fig. IV.5 Etalonnage en tantale 182.
Fig. IV.6 Etalonnages eau-sablé.
Fig. IV.7 Etalonnages air-sablé.
Fig. IV.8 Approximations linéaires.
CHAPITRE V
Fig. V.I Loi V s(r) .
Fig. V.2 Loi dP(v s) ' / dv s .
Fig. V.3 Lois 7lsl6 , 7Is32 et Ks64.
Fig. V.4 Taux le plus probable : Nsnp(ng).
Fig. V.5 Pourcentage des cas possibles appartenant à l'intervalle Ns ± A.
Fig. V.6 Sable de Loire.
Fig. V.7 Sable de Dunkerque..
Fig. V.8 Effet de la granulométrie..
Fig. V.9 Loi d P ( v d ) / dvd..
- 162-
Fig. V.10 Lois 7ldg , 7îdl(5 et 7rd32..
Fig. V. 1 1 Nombre de chocs le plus probable Nd n D(n_).
Fig. V. 12 Pourcentage des cas possibles appartenant à l 'intervalle Rd ± A.
Fig. V.13 Pourcentage des cas possibles appartenant à l'intervalle Nd ± Nd /5 pour diffé-rents radio-éléments..
Fig. V. 14 Loi générale : n n Nd = A |I o I y + B.
CHAPITRE VI Aucune figure.
CHAPITRE VII
Fig. VI I . 1 Plan de situation.
Fig. VII . 2 Courbes granulométriques.
Fig. VI I . 3 Courbe de décroissance de l'indicateur.
Fig. VII . 4 Photo et schéma de l'électronique..
Fig. V I I . 5 Courbe des pertes au comptage en 50 kev.
Fig. VI 1.6 Courbe des pertes au comptage en 250 kev.
Fig. V I I . 7 Courbes des hauteurs d'eau et des débits liquides.
Fig. V I I . 8 Plan de la topographie.
Fig. VI 1.9 Photo et schéma du système d'injection.
Fig. V I I . 10 N'existe pas..
Fig. VI I . H Détection du 16 Avril.
Fig. VI I . 12 Détection du 21 'Avril.
Fig. VII . 13 Détection du 10 Mal.
Fig. VI 1.14 Détection du 25. Mai.
Fig. V I I . 15 Courbe <p(E) = ( l - e ~ K E ) / E en 50 kev.
Fig. V I I . 16 Courbe (#E) = ( l - e ~ Y E ) / E en 250 kev.
Fig. VI) . 17 Courbe |3 = C M /C m pour de l'iridium 192 en 50 kev.
Fig. VI 1.18 Courbe (3 = CM / Cm pour de l'iridium 192. en 250 kev.
Fig. V I I . 19 Déplacement du centre de gravité..
Fig. VI I . 20 Détection du 14 'Avril : courbes isochocs..
Fig. VII . 21 Courbe normalisée de l'atténuation du pic.
Fig. VIL'22 Détection du 21 yVvril : courbes a (X) et f t(X).
CHAPITRE VIII
Fig. V I I I . 1 Répartition de l'indicateur en profondeur.
