New Laboratoire de Mathématiques de Besançon (CNRS UMR 6623)pmb.univ-fcomte.fr/2016/pmb_2016.pdf · 2017. 1. 17. · Hassan Oukhaba, Université de Franche-Comté _____ [email protected]

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Les Publications mathématiques de Besançon éditent des articles de recherche mais aussi des articles de synthèse, des actes, des cours avancés. Les travaux soumis pour publication sont à adresser à Christophe Delaunay [email protected] ou à l’un des membres du comité scientifique. Après acceptation, l’article devra être envoyé dans le format LaTeX 2e, de préférence avec la classe smfart. La version finale du manuscrit doit comprendre un résumé en français et un résumé en anglais.

Laboratoire de Mathématiques de Besançon (CNRS UMR 6623)

Publications mathématiques de BesançonA l g è b r e e t t h é o r i e d e s n o m b r e s - F o n d A t e u r : g e o r g e s g r A s

Publications mathématiques de Besançon

Algèbre et théorie des nombres

2016

© Presses universitaires de Franche-Comté, Université de Franche-Comté, 2017

Directeur de la revue : le directeur du laboratoire

Éditeur en chef : Christophe Delaunay

Laboratoire de Mathématiques de Besançon (CNRS UMR 6623)

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2016



2016

Sommaire

K. Belabas et J.-F. JaulentThe logarithmic class group package in PARI/GP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-18

L. BergerLubin’s conjecture for full p-adic dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-24

G. GrasSur le module de Bertrandias–Payan dans une p-extension – Noyau de capitula-

tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25-44J.-F. JaulentSur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45-58

T. Nguyen Quang DoDescente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias-Payan . . . . . 59-79

F. PazukiErratum and addendum to “Heights and regulators of number fields and elliptic

curves” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81-83N. Wicker, C. H. Nguyen et H. MamitsukaSome properties of a dissimilarity measure for labeled graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . 85-94

C. WuthrichThe sub-leading coefficient of the L-function of an elliptic curve . . . . . . . . . . . . . . 95-96

Publications mathématiques de Besançon – 2016, 5-18

THE LOGARITHMIC CLASS GROUP PACKAGE IN PARI/GP

by

Karim Belabas and Jean-François Jaulent

Abstract. — This note presents our implementation in the PARI/GP system of the variousarithmetic invariants attached to logarithmic classes and units of number fields. Our algorithmssimplify and improve on works of Diaz y Diaz, Pauli, Pohst, Soriano and the second author.

Résumé. — (Le groupe des classes logarithmiques dans PARI/GP) Cette note présente notreimplantation dans le système PARI/GP du calcul des invariants arithmétiques liés aux classeset unités logarithmiques des corps de nombres. Nos algorithmes prolongent et simplifient ceuxintroduits par Diaz y Diaz, Pauli, Pohst, Soriano et le second auteur.

Contents1. Introduction 62. Algorithmic preliminaries 82.1. The Smith Normal Form 82.2. Computational algebraic number theory 92.3. Local norms 93. The main algorithm 103.1. Computing e(p/p), f(p/p) and vp(·) 103.2. The group Cl′ 123.3. The group Cl(`) 133.4. The logarithmic class group 144. The bnflog package 154.1. The PARI/GP interface 154.2. Examples 15References 17

Mathematical subject classification (2010). — 11Y40.Key words and phrases. — Logarithmic class group, number fields.

6 The logarithmic class group package in PARI/GP

1. IntroductionClassically the class group and unit group of a number field F are defined using the canonicalfactorization of principal fractional ideals into prime ideals of the ring of integers ZF :

(x) =∏

p

pvp(x), x ∈ F×.

The family of valuations (vp)p determines a natural morphism from the multiplicative groupF× into the free abelian group generated by the prime ideals IF = ⊕p Z p whose kernel andcokernel are respectively the units EF = Z×F and the ideal class group ClF attached to F ;this yields the standard exact sequence

1 −−−−→ EF −−−−→ F× div−−−−→ IF = ⊕p Z p −−−−→ ClF −−−−→ 1,where div(x) =

(vp(x)

)p. Geometry of numbers then shows on the one hand that the ideal

class group is finite and on the other hand that the unit group EF is the direct product of thecyclic subgroup µF of roots of unity contained in F and a free Z-module of rank rF + cF − 1,where rF are cF denote respectively the number of real and complex places of F .The logarithmic class group and units are defined in an analogous way, by replacing theclassical valuations (vp)p by an ad hoc family (vp)p taking other arithmetic parameters intoaccount. Before introducing them, let us fix an arbitrary prime number ` and tensor theabove sequence by Z`, which is flat over Z:

1 −−−−→ Z` ⊗Z EF −−−−→ Z` ⊗Z F× div−−−−→ ⊕p Z` p −−−−→ Z` ⊗Z ClF −−−−→ 1,

where Z` ⊗Z ClF is nothing else than the `-Sylow subgroup of the class group and the kernelZ` ⊗ EF is the direct product of the `-group µ(`)

F of `-primary roots of unity in F and a freeZ`-module of rank rF + cF − 1.We now define the `-adic logarithmic valuations by keeping the ordinary definition vp = vpat places p - `, but we modify them at places p above ` [16]:

vp(x) = −Log`

(NKp/Q`

(x))

deg p ,

where Log` is the Iwasawa logarithm, NKp/Q`is the norm operator attached to the local field

extension Kp/Q` and deg p is a normalization factor chosen so as to yield the local Hilbertsymbol [14]: (

ζ, x

p

)= ζ vp(x)

for ζ ∈ µ(`)F and x ∈ F×, for all finite places p of F . (We shall give an explicit definition for

deg p in the next section together with an algorithm to approximate it.) We finally replacein the last exact sequence the classical valuations vp and the div map by a new div = (vp)p,thereby defining the group of logarithmic units EF and the logarithmic class group ClF forthe prime `:

1 −−−−→ EF −−−−→ Z` ⊗Z F× div−−−−→ ⊕p Z` p −−−−→ ClF −−−−→ 1.

Just as the image PF = div(F×) in IF yields the subgroup of principal ideals, the image PFof div defines the subgroup of principal logarithmic divisors.

Publications mathématiques de Besançon – 2016

K. Belabas and J.-F. Jaulent 7

At this point appears an essential difference compared to the classical case, akin to whathappens in the function field case: if we define the degree of a logarithmic divisor d = ∑

p αppin ⊕p Z` p additively,

deg(∑

p

αp p

)=∑

p

αp deg p,

then the product formula for absolute values shows that principal logarithmic divisors havedegree 0; in other words,

PF ⊂ {d ∈ ⊕p Z` p : deg d = 0} .It is then natural to consider the quotient group, i.e. the subgroup Cl 0

F ⊂ ClF formed by theclasses of degree 0.By `-adic class field theory (cf. [15, 8]), the group Cl 0

F appears as a canonical quotient of astandard Iwasawa module and the group of logarithmic units EF as the subgroup of norms inthe cyclotomic Z`-extension of F . It would follow from a conjecture of Kuz’min (also knownas “generalized Gross conjecture”) that the group Cl 0

F is finite, or equivalently that the groupEF of logarithmic units is the direct product of the cyclic `-group µ(`)

F and a free Z`-moduleof rank rF + cF ; and the Gross-Kuz’min conjecture is equivalent to these statements. TheBaker-Brumer independence theorem shows that those assertions are true when the numberfield F is abelian over Q. More generally, they hold when there exist a subfield K of F ,abelian over Q, such that there is a single place pF of F above each `-adic place pK of K,see [10].Moreover, as suggested by the explicit expression of the Hilbert symbol above, the groupCl 0F is closely related to the wild kernels of K-theory. Precisely, if s ≥ 1 is such that the

field F contains the 2`s-th roots of unity, then the finite group WK2(F ) and the quotientCl 0F ⊗Z Z/`sZ have the same `s-rank (cf. [19]). A similar result holds for the higher étale

kernels WK2i(K), i ≥ 1 (cf. [17]).Last, as for ideals, transition morphisms (norm and extension) attached to a number fieldextensionK/F lead to the definition of logarithmic inertia degrees f(pK/pF ) and ramificationindices e(pK/pF ) for pK ⊂ ZK dividing pF ⊂ ZF , with formal properties analogous to theclassical indices e(pK/pF ) and f(pK/pF ), without coinciding with them. These local indicesare multiplicative and satisfy the product formula

e(pK/pF )f(pK/pF ) = e(pK/pF )f(pK/pF ) = [Kp : Fp].

They are introduced as follows: by multiplicativity, it suffices to define f(pF /p) since we havef(pK/pF ) = f(pK/p) / f(pF /p). Now let F abp be the maximal subextension of the local fieldFp which is abelian over Qp. The classical inertia degree f(p/p) is the degree [F abp ∩Qunr

p : Qp],where Qunr

p denotes the unramified Z-extension of Qp. The logarithmic inertia degree is thedegree [F abp ∩ Qc

p : Qp], where Qcp is the cyclotomic Z-extension of Qp. In particular the

logarithmic indices do not depend on the choice of the prime `.One says that the extension K/F ramifies logarithmically at a finite prime pF whenevere(pK/pF ) > 1 for some pK | pF . As in the classical case, an extension of number fieldsis unramified (in the logarithmic sense) except at a finite number of primes. However alogarithmically unramified extension may ramify in the ordinary sense. Such extensions play



a crucial role in the capitulation for the Bertrandias-Payan module studied in the presentvolume (cf. [9, 11, 20]).This note presents our implementation in the PARI/GP system of the various arithmeticinvariants attached to logarithmic classes and units. The algorithms do not depend on anyconjecture: if the program stops, its output is correct, and it in fact proves that the Gross-Kuz’min conjecture holds for that particular prime ` and number field F .Acknowledgements: we thank Sebastian Pauli for sharing his Magma implementation, JoséVillanueva-Gutiérrez for feedback and examples, and Bill Allombert for many useful discus-sions. This study has been carried out with financial support from the French State, managedby the French National Research Agency (ANR) in the frame of the “Investments for the fu-ture” Programme IdEx Bordeaux - CPU (ANR-10-IDEX-03-02). This research was partiallyfunded by ERC Starting Grant ANTICS 278537.

2. Algorithmic preliminariesWe recall in this section well known facts from computational number theory, to fix nota-tions. The next section will deal with the main algorithms, germane to the computation oflogarithmic objects.

2.1. The Smith Normal Form. —We say that a Z-module of finite type G is known if

– we have a Smith Normal Form description (SNF)G =

⊕

1≤i≤sZ/(di) · gi,

for some generators gi, where ds | · · · | d1 are the elementary divisors of G; if G has a freepart of rank r, then d1 = · · · = dr = 0. If r = 0, then G is finite and its exponent e(G) isd1.

– we can solve discrete logarithm problems in G, i.e. decompose elements x ∈ G as x =∑i≤s xi · gi, where xi ∈ Z/(di).

More generally, let R be a matrix in Ms×t(Z). A Z-module of finite type G is given bygenerators (g1, . . . , gs) and relations R when (g1, . . . , gs) ·X = 0G holds for some X ∈ Zs ifand only if X = MY for some Y ∈ Zt. In that case, there exist matrices U ∈ GLs(Z) andV ∈ GLt(Z) such that UMV is in Smith Normal Form (SNF), i.e.

UMV =(D | 0) when t ≥ s or

(D0

)when t ≤ s,

where D is the diagonal matrix diag(d1, . . . , ds). In both cases, (g1, . . . , gs) · U−1 are SNFgenerators of order ds | · · · | d1. The SNF algorithm applied to R produces U and V inpolynomial time (in s, t and log |R|2).The same technique allows to handle Z`-modules: when R ∈ Ms×t(Z`), there exist U ∈GLs(Z`) and V ∈ GLt(Z`) such that UMV is in SNF. Given MN = M mod `N , the abovealgorithm applied to (MN | `N Ids) produces U and V modulo `N and the matrix U−1

modulo `N describing SNF generators for G⊗Z Z/(`N ), the running time is now polynomialin s, t and N log `.



2.2. Computational algebraic number theory. —The number field F of degree n isgiven by the minimal polynomial T ∈ Z[X] of an integral generating element, in other wordsF = Q[X]/(T ). We write X for the class of X modT ; an element α ∈ F is given by a rationalpolynomial A ∈ Q[X] such that α = A(X). For any α ∈ F we let |α| = ∏

v max(1, |α|v)where v runs through all places of F and |α|v is the attached normalized absolute value. Weassume given a Z-basis of its maximal order ZF . This is in general an expensive invariant,not necessary for all our algorithms, for instance Algorithm 1 and Corollary 3.5; on the otherhand current algorithms to compute the class group of F and the unit group Z×F require it.We further assume that the class group ClF and unit group EF are known in the sense of 2.1.In the context of the class group ClF , the discrete logarithm problem is solved in IF in thefollowing extended sense. The generators classes are represented by integral ideals gi; given afractional ideal a in IF , we can find α ∈ F× so that our ideal decomposes as a product of thegenerators gi multiplied by the principal ideal (α). We refer to [3] for how to handle thesestandard tasks. Practical algorithms to compute ClF and EF require assuming the truth ofthe Generalized Riemann Hypothesis for the unramified Hecke L-functions LF (χ, s), χ ∈ ClF ,and for the Riemann ζ function. But this assumption can be lifted provided the discriminantdiscF is not too large. (The certification process requires time proportional to

√|discF |.)

To each maximal ideal p ⊂ ZF above a rational prime p we attach the completed local fieldFp. There exist an irreducible monic divisor Tp ∈ Zp[X] of T , of degree np = [Kp : Qp] =e(p/p)f(p/p), such that Kp = Qp[X]/(Tp). Given T and a prime p, and for any given p-adicaccuracy k, we can produce in polynomial time O(k log p · n log |T |∞)C

– the prime ideals pi = pZF +πiZF dividing p, together with their ramification indices andresidue degrees, where vpi(πi) = 1 (this is automatic if e(pi/p) > 1 and one of πi or πi+psatisfy this condition in any case);

– for each pi, a p-adic approximation Tpi,k ∈ Z[X] such that Tpi,k ≡ Tpi (mod pk);

see for instance the Round 4 algorithm as finalized in [7]. The older (and much simpler)Round 2 algorithm and Buchmann-Lenstra factorization would also achieve this result, see [2].

2.3. Local norms. —We shall need to compute local norms and their Iwasawa logarithms.We can write any α ∈ F× as A(X)/a for a ∈ Z>0 and A ∈ Z[X] and the representationis unique if a and the content of A are coprime. Since NFp/Qp

(a) = anp , we may focus onα ∈ Z[X].

Lemma 2.1. — Let α = A(X), α 6= 0, where A ∈ Z[X]. For each integer k > vp(NFp/Qp

(α)),

let Nk = Res(A, Tp,k) mod pk ∈ Z then

NFp/Qp(α) ≡ Nk (mod pk).

In particular, vp(Nk) = vp(NFp/Qp

(α))does not depend on k and

Logp NFp/Qp(α) ≡ LogpNk (mod pk−vp(Nk)).

Note that if the size |α| of α is controlled, so is∣∣∣NF/Q(α)

∣∣∣ ≤ |α|n. Thus vp(Nk) ≤ vp(NF/Q(α)

)

is controlled and finally, any k > vp(NF/Q(α)

)satisfies the condition in the lemma. This



allows to approximate vp(α) to any given accuracy from a sufficiently precise approximationTp,k of Tp.

3. The main algorithmWe follow the general strategy of [6], while introducing numerous improvements and simpli-fications along the way. Let ` be a fixed prime number and denote S = {p1, . . . , pl} the setof places of F above `. We rely on the obvious exact sequence of pro-` groups

0 −−−−→ Cl(`) −−−−→ Cl ψ−−−−→ Cl′ −−−−→ 0

where Cl(`) is the subgroup generated by the logarithmic classes of the pi, the group Cl′ isthe `-Sylow subgroup of the quotient of the ideal class group by the subgroup generated bythe ideal classes of the pi, and where

ψ :∑

p

mpp 7−→∏

p-`pmp .

We shall compute the groups Cl(`) and Cl′ independently, by generators and relations, thenbuild up Cl using the exact sequence.

Remark 3.1. — We depart here from [5, 6] which use θ : ∑pmpp 7→∏

p-` p(fp/fp)mp . The

latter has good properties in extensions, which we will not need. When the field is fixed, itmakes no difference: for p - `, the factor fp/fp belongs to Z×` so the kernel and cokernel ofθ and ψ are the same. More substantially, we do not restrict to degree 0 divisors Cl(`)0 andCl 0 at this stage, which would introduce a nontrivial cokernel (as some ideal classes mightnot be representable by degree 0 divisors). This avoids the technical difficulty of having tomodify natural generators so that their degree become zero as in [6, Corollary 18]. This isnot obvious and Corollary 18 is incorrect as stated.

3.1. Computing e(p/p), f(p/p) and vp(·). —We first explain how to compute the loga-rithmic inertia and residue degrees. The algorithm is a straightforward consequence of thefollowing two lemmas:

Lemma 3.2. — Let p be a maximal ideal above a rational prime p. We write e, f , e, frespectively for e(p/p) f(p/p), e(p/p) and f(p/p).

1. We have ef = np = ef .

2. The prime to p part of e and e coincide, i.e. vq(e) = vq(e) for all primes q 6= p.

3. The logarithmic ramification index e and [hp(F×p ) : Zp] have the same valuation at p,where

hp(α) =Logp NFp/Qp

(α)np · (2p)

.

Note that hp(Q×p ) = Zp.

4. We have vp(f) ≤ vp(e). In particular if p - e, then vp(e) = vp(f) and vp(f) = 0.



Proof. — The first three points are proved in [13]. The final one follows from a direct cal-culation using hp or using the abstract definition f(p/p) = [F abp ∩ Qc

p : Qp], where Qcp is the

compositum of all cyclotomic Zq extensions of Qp on all prime numbers q. Thus the p-primarypart of f is the degree over Qp of the intersection L of F abp with the cyclotomic Zp-extensionof Qp. The claim follows by multiplicativity of ramification indices in Fp/L/Qp. �

Lemma 3.3. — Let p be a maximal ideal above the prime p with ramification index e =e(p/p). Let D = DFp/Qp

denote the local different and let k > e/(p−1). Then Logp NFp/Qp(1+

pk) = pbv/ecZp, where v = k + vp(D).

Proof. — For k > e/(p−1), we have 1+pk = exp(pk) and Logp NFp/Qp(1+pk) = TrFp/Qp

(pk).We then use the equivalence TrFp/Qp

pk ⊂ a⇔ pkD ⊂ a for any fractional ideal a ⊂ Qp. �

Algorithm 1 Compute e(p/p), f(p/p)Require: A maximal ideal p = pZF + πZF , vp(π) = 1 above some prime p of ramification

index e = e(p/p) and residue degree f = f(p/p).Ensure: e = e(p/p) and f = f(p/p).1: If vp(e) = 0, set e← e · pvp(f), f ← f · p−vp(f) and stop.2: Let np ← ef and let k ← 1 + be/(p− 1)c > 1.3: Let g0 ← π and let (g1, . . . , gs) be independent generators for the finite abelian group

(1 + p)/(1 + pk); see [4, §4.2.3].4: Let v ← min

0≤i≤svp(Logp NFp/Qp

(gi)), computed using Lemma 2.1.

5: Let v∞ =⌊(k + vp(DFp/Qp

))/e⌋. If v∞ < v, let v ← v∞.

6: Let v ← v − vp(f · 2p). Set e← e · p−v and f ← f · pv.

Proof. — The problem boils down to computing the valuation at p of e(p/p). Using statement(3) in the lemma, this is the non-negative integer w such that hp(F×p ) = p−wZp. We decomposeF×p = πZ × µFp × (1 + pZFp); since hp is additive and hp(µFp) = 0, it is enough to determinethe valuation of hp evaluated at π and on multiplicative generators of 1 + pZFp , i.e. ongenerators of (1 + p)/(1 + pk) and 1 + pk; the latter are handled by Lemma 3.3 yielding thev∞ contribution. �

Remark 3.4. — By Lemma 3.3, if generator g = gi of the p-group (1 + p)/(1 + pk) hasorder d = di, then Logp N(gd) has valuation ≥ v∞. So, when we compute the minimum of thevaluations incrementally for g1, g2, . . . , by decreasing order, we can stop as soon the lowerbound v∞− vp(di) for the valuation of Logp N(gi) becomes larger than the current minimum.We can also restrict to the generators of (1 +p)/(1 +pk) modulo the p-primary roots of unityin Fp. Finally, we compute vp(Logp NFp/Qp

(gi)) as vp(NFp/Qp(gi)− 1) for i > 0.

In comparison, the algorithms of [6, §3.1] need the full set of multiplicative generators of1 + pZFp , whose description is complicated and uses the principal unit filtration up to k =pe/(p− 1). Introducing v∞ thus reduces the size of the generator system by a rough factor p;and we in fact expect to consider only g0 and g1 due to the a priori lower bound v∞− vp(di).



The early abort when vp(e) = 0 also skips the non-trivial part of the algorithm unless pbelongs to the tiny set of (wildly ramified) prime divisors of [F : Q].

Corollary 3.5. — Let ` be our fixed prime and p be a maximal ideal above some prime p.Lemma 2.1 and Algorithm 1 allow to compute the following quantities to any desired `-adicaccuracy in time polynomial in log `, log p, n, log |T |∞ and log |x|

1. deg p = f(p/p) deg` p, where deg` p =

Log` p if p 6= `,

` if p = ` 6= 2,4 if p = ` = 2.

2. For x ∈ F×, vp(x) =

vp(x) if p 6= `,

−Logp

(NFp/Qp

(x))

deg p if p = `.

Remark 3.6. — The logarithmic degree deg` ` may be multiplied by an `-adic unit withoutchanging the structure of Cl. In other contexts, defining respectively

deg` ` = Log`(1 + `) and Log2(1 + 4)will be more convenient. Indeed, with the latter definition, the exponential of deg p wouldalways be a natural number.

3.2. The group Cl′. — Let S be the set of places above `. We compute the S-class groupClF / 〈S〉 =

⊕

1≤i≤s(Z/diZ) · gi,

where each gi has order di and ds | · · · | d1, using the obvious definition by generators (the gigenerating the class group) and relations (the subgroup generated by the classes of elementsof S) and computing the attached SNF, see [4, §7.4.2]. We obtain its `-Sylow subgroup Cl′ byraising each SNF generator gi to the power di`−v`(di). Alternatively, we can first read off theexponent e = `v`(d1) of Cl′ from the SNF description of ClF / 〈S〉, then compute its `-adic SNFby adding gei = 1, i ≤ s, to the relations. The latter method is likely to yield smaller basechange matrices, hence smaller generators. In any case, the generators of Cl′ are representedby integral ideals in ZF , which we may assume to be coprime to `. Indeed, if g ⊂ ZF is anarbitrary generator and (gZ) = g ∩ Z, we can replace g by

g +(gZ · `−v`(gZ)

)ZF = g ·

∏

p|`p−vp(g).

Solving the discrete logarithm problem is a standard extension, see [4, §4.1.3]. The onlything to note is that as described the algorithm will produce huge generators, as the initialclass group generators are raised to huge powers through the necessary linear algebra. Weuse the “group ring representation” from [1, §7] keeping principal ideals in factored form,i.e. as elements in Z[ZF ], and LLL-reducing general ideals along the way; in this mannerthe principal parts, in class groups or S-class groups discrete logarithm decompositions, areobtained in the form α = ∏

i≤r αeii , where the αi are small elements in F (|αi| is controlled)

and the ei are possibly large integers.



Definition 3.7. — For any α ∈ Z[ZF ] given in factored representation we write x ∈ Suppαwhen x belongs to the support of α, i.e. is one of the αi ∈ ZF occuring in the factoredrepresentation.

This factored representation of elements is quite suitable to compute multiplicative or addi-tive functions such as local norms and their `-adic logarithms, or standard and logarithmicvaluations vp and vp.

3.3. The group Cl(`). —We describe Cl(`) by generators (the classes of the `-adic placesS = {p1, . . . , pl}) and relations (derived from div(u) = 0, u an S-unit). Thus the group is givenby the `-adic SNF of the matrix M =

(vpi(uj)

), where the (uj), 1 ≤ j ≤ J = rF + cF + l− 1,

generate the free part of the S-unit group.The (uj) are computed as in [4, §7.4.2], again taking care to use factored representations. Let

δ(u1, . . . , uJ) = maxi

(v`(deg pi) + max

j, α∈Suppuj

v`(NFpi/Q`(α))

),

where Suppuj was defined in the previous paragraph. This quantity accounts for the maxi-mal loss of accuracy when approximating the vpi(uj) by Lemma 2.1 and Corollary 3.5. Forincreasing N > log2 δ, we approximate the vpi modulo `2N

> δ and compute the SNF of Mmodulo LN = `2

N−δ. We may stop as soon as the computed SNF has a single elementarydivisor of largest valuation:

Lemma 3.8. — If the computed SNF of the finite `-group

Cl(`) / Cl(`)LN =⊕

i≤sZ/(`vi) · gi

has a single elementary divisor of largest valuation v1 > v2, then the Gross-Kuz’min conjecturefor the field F and the prime ` holds. Indeed, in this case, we have Cl(`) = Z` · g1 ⊕ Cl(`)0,where Cl(`)0 = ⊕i>1(Z/`vi) · gi has exponent `v2.

Proof. — Cl(`) has Z`-rank bigger than 1 due to the product formula:∑

i≤ldeg pi · vpi(x) = 0,

for any S-unit x. The Gross-Kuz’min conjecture states that this rank is exactly 1. �

Concretely, we apply the SNF algorithm to obtain U ∈ GLl(Z) and V ∈ GLrF +cF +2l−1(Z)such that

U(M mod `LN | `LN · Idl

)V =

(diag(di) | 0

)

is in rectangular Smith Normal Form, and stop when LN = v`(d1) > v`(d2). The gi are givenin terms of the logarithmic classes of the pi by

(g1, . . . , gl) = (p1, . . . , pl) · U−1.

We then delete the trivial gi, s < i ≤ l, such that di = 1. Of course, the algorithm will notstop if the conjecture is false and rkZ`

Cl(`) > 1.



Remark 3.9. — This is the equivalent of Algorithm 14 and Theorem 16 in [6], simplifiedby the fact that we do not need the generators to have degree 0. The system of `-adicαj ∈ F× ⊗Z Z` such that vpi(αj) = δi,j are no longer needed. (Note that the constructiongiven before [6, Algorithm 19] must be modified so that it guarantees that (αj , `) = 1.)

3.4. The logarithmic class group. —We use [4, §4.1.4] to describe Cl by generatorsand relations. The logarithmic classes of the `-adic places {p1, . . . , pl} generate Cl(`), withrelations computed above. Let ⊕i≤s(Z/di) ·ai be the SNF of Cl′ where we chose integral idealrepresentatives ai coprime to ` for the generating ideal classes. Those generators lift naturallyto divisors, still denoted ai, in Cl via

∏pep → ∑

epp. Then di · ai belongs to kerψ, hence toCl(`) and we can write

(d1 · a1, . . . , ds · as) = (p1, . . . , pl) · (−P )

in Cl for some matrix P ∈ Ml×s(Z`), from which we derive the `-adic matrix of relationsbetween the generators (p1, . . . , pl, a1, . . . , as):

(M P0 diag(d1, . . . , ds)

)

We now need to determine the matrix P .

Lemma 3.10. — For each 1 ≤ i ≤ s, writeadii = (αi)

∏

j≤lp∗i,j

j

for some principal ideal (αi) and integral exponents ∗i,j. Let P ∈ Ms×l(Z`) be the matrix(vpj (αi)

). In the group Cl, it holds

(d1 · a1, . . . , ds · as) = (p1, . . . , pl) · (−P ).

Proof. — Since the ideal ai is coprime to `, it follows that ∏p-` pvp(αi) = adi

i and that, in Cl,we have

0 = div(αi) =∑

p-`vp(αi) · p +

∑

j≤lvpj (αi) · pj = di · ai +

∑

j≤lvpj (αi) · pj .

�

Concretely, the decompositionadii = (αi)

∏

j

p∗i,j

j

is computed by solving a discrete logarithm problem in ClF where, as usual, the (αi)i≤s aregiven in factored representation. As in §3.3, we bound the loss of accuracy when estimatingthe vpj (αi) and set

L := max(δ(α1, . . . , αl), v`(e(Cl′)) + v`(e(Cl(`))) + 1

).

Then we compute the SNF of(M mod `L `L · Idl P mod `L

0 0 diag(d1, . . . , ds)

).



Including the kernel and image exponents in the maximum guarantees that the SNF has aunique maximal elementary divisor, allowing to split off the rank 1 Z`-free part and the finiteCl 0F .

4. The bnflog package4.1. The PARI/GP interface. — In PARI/GP [21] version 2.8.1, the above algorithmsare implemented as functions bnflogef and bnflog. All examples below are written in theGP scripting language.• The function bnflogef takes as input a number field F and a prime ideal p and returns thelogarithmic indices e(p/p) and f(p/p). This is an elementary function requiring only basicarithmetic invariants of F , hence the use of the simple nfinit to define the number fieldstructure:

? T = x^6 - 3*x^5 + 5*x^3 - 3*x + 1;? F = nfinit(T); \\ the number field Q[x]/(T)? P2 = idealprimedec(F,2)[1]; \\ a prime above 2? [P2.e, P2.f] \\ ramification index and residue degree%3 = [3, 2] \\ e(P/p) = 3, f(P,p) = 2? bnflogef(F, P2)%4 = [6, 1] \\ etilde(P/p) = 6, ftilde(P/p) = 1

• The function bnflog takes as input a prime ` and a number field F . It returns a vectorof three group structures, given by their elementary divisors: (Cl 0

F , Cl 0F (`), Cl′). This function

requires the class group and units of F , hence the more involved initialization using bnfinit:

? T = x^4 + 13*x^2 - 12*x + 52;? F = bnfinit(T); \\ F = Q[x]/(T), together with class group? F.cyc%3 = [14] \\ Cl_F ~ Z/(14)]? bnflog(F, 2)%4 = [[], [], []] \\ all 3 groups are trivial? bnflog(F, 3)%5 = [[3], [3], []] \\ Cl^0 = Cl^0(3) ~ Z/(3)? bnflog(F, 7)%6 = [[7], [], [7]] \\ Cl^0 ~ Cl’ ~ Z/(7)

4.2. Examples. — • The following two examples exhibit pathologies expected from theexact sequence relating Cl 0

F , Cl 0F (`) and Cl′:

? T = x^4 - 511*x^2 + 65536;? bnflog(bnfinit(T),2)%2 = [[128, 4], [64], [8]] \\ the sequence doesn’t split

? T = x^4 - 26*x^2 + 225;? bnflog(bnfinit(T),2)%4 = [[], [], [2]] \\ coker(psi) = Z/2



• This program fixes a misprint in [6, p. 12], which reports Cl 0 for F = Q(√

1234577,√−3)

to be Z/4Z× Z/4Z (it is cyclic of order 4):

? T = polcompositum(x^2+3, x^2-1234577, 2);? bnflog(bnfinit(T,1),2)%2 = [[4], [4], []]

• The following program proves [12, Proposition 3.4]; the locally cyclotomic 2-tower of F =Q(√−p) is infinite:

? {forprime(p = 2, 5000,

if (p%64 != 63, next);F = bnfinit(x^2+p);G = bnflog(F,2); Cl = G[1]; if(!Cl || Cl[1] % 16,next);print([p,G]))

}[3967, [[16], [16], []]][4159, [[32], [32], []]]

• The following program proves [12, Proposition 3.5]; the locally cyclotomic 2-tower of F =Q(√pq) is infinite:

? {forprime(p = 2, 2000,

if (p % 64 != 1 && p % 64 != 63, next);forprime(q = p+1, 2000, if ((p*q)%64 != 1, next);F = bnfinit(x^2-p*q, 1);G = bnflog(F,2); C = G[1]; if (!C || C[1] % 16, next);print([p,q,G])))

}[127, 1151, [[32], [32], []]][193, 257, [[32], [8], [4]]][193, 1217, [[16], [4], [4]]][449, 577, [[256], [128], [2]]][577, 1601, [[64, 2], [16], [8]]][641, 769, [[16, 2], [16], [2]]][1151, 1663, [[16], [16], []]]

• We now give two examples with large 3-rank (and large class group); factored representa-tions must be used throughout to avoid catastrophic cancellation:

? F = bnfinit(x^2 + 5393946914743);? bnflog(F, 3)%2 = [[3, 3, 3, 3, 3], [], [3, 3, 3, 3, 3]]

\\ This assumes the truth of the GRH:



? F = bnfinit(x^2 + 14138863693162613823739799380212181908);? F.cyc%4 = [693468857222922, 6, 6, 6, 3]? bnflog(F, 3)%5 = [[3, 3, 3, 3, 3], [9], [3, 3, 3, 3]]

The final computation is conditional on the truth of the GRH, since it is not practical tocertify the class group of a field F with such a large discriminant. The total running time forall the above computations is about 4 minutes, 99% of which are spent in the final example.• This program prints the smallest real quadratic field whose Cl 0 has 2-rank equal to 5(and its locally cyclotomic 2-tower is infinite). This fixes a misprint in [18] which erroneouslyreports F = Q(

√3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17) as the real quadratic field with smallest discriminant

with this property (but its 2-rank is 4). This computation requires about 5 hours.

? D = 3*5*7*11*13*17*19;? {

for(d=2, D,if (!issquarefree(d),next);F = bnfinit(x^2-d, 1);G = bnflog(F,2); if (#G[1] >= 5, print([d,G])))

}[4849845, [[4, 2, 2, 2, 2], [], [4, 2, 2, 2, 2]]]

? bnflog(bnfinit(x^2-3*5*7*11*13*17), 2);%3 = [[2, 2, 2, 2], [], [2, 2, 2, 2]]

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[8] G. Gras, Class field theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2003,From theory to practice, Translated from the French manuscript by Henri Cohen.



[9] G. Gras, Sur le module de Bertrandias-Payan – Noyau de capitulation, dans ce volume.[10] J.-F. Jaulent, Normes cyclotomiques naïves et unités logarithmiques, preprint, https://arxiv.

org/abs/1609.01901.[11] J.-F. Jaulent, Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan, dans ce volume.[12] J.-F. Jaulent & C. Maire, À propos de la tour localement cyclotomique d’un corps de nombres,

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(1998), no. 2, pp. 355–397.[16] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques signées des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bor-

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[17] J.-F. Jaulent & A. Michel, Approche logarithmique des noyaux étales sauvages des corps denombres, J. Number Theory 120 (2006), no. 1, pp. 72–91.

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[20] T. Nguyen-Quang-Do, Descente galoisienne et capitulation pour le module de Bertrandias-Payan, dans ce volume.

[21] The PARI Group, Bordeaux, PARI/GP, version 2.8.1, 2016, http://pari.math.u-bordeaux.fr/.

October 6, 2016

Karim Belabas, Univ. Bordeaux, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. CNRS, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. INRIA, F-33400 Talence, France • E-mail : [email protected] : http://www.math.u-bordeaux.fr/~kbelabas/

Jean-François Jaulent • E-mail : [email protected], Univ. Bordeaux, IMB,UMR 5251, F-33400 Talence, France. CNRS, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. INRIA, F-33400 Talence, France



LUBIN’S CONJECTURE FOR FULL p-ADIC DYNAMICAL SYSTEMS

by

Laurent Berger

Abstract. — We give a short proof of a conjecture of Lubin concerning certain families ofp-adic power series that commute under composition. We prove that if the family is full (largeenough), there exists a Lubin-Tate formal group such that all the power series in the family areendomorphisms of this group. The proof uses ramification theory and some p-adic Hodge theory.

Résumé. — (La conjecture de Lubin pour les systèmes dynamiques p-adiques pleins) Nousdonnons une démonstration courte d’une conjecture de Lubin concernant certaines familles deséries formelles p-adiques qui commutent pour la composition. Nous montrons que si la familleest pleine (assez grosse), il existe un groupe formel de Lubin-Tate tel que toutes les séries dela famille sont des endomorphismes de ce groupe. La démonstration utilise la théorie de laramification et un peu de théorie de Hodge p-adique.

IntroductionLet K be a finite extension of Qp, and let OK be its ring of integers. In [5], Lubin studiedp-adic dynamical systems, namely families of elements of T · OK [[T ]] that commute undercomposition, and remarked that “experimental evidence seems to suggest that for an invertibleseries to commute with a noninvertible series, there must be a formal group somehow in thebackground”. This observation has motivated the work of a number of people (Hsia, Laubie,Li, Movaheddi, Salinier, Sarkis, Specter, ...) who proved various results in that direction. Thepurpose of this note is to give a proof of a special case of the above observation, which isreferred to as “Lubin’s conjecture” in §3.1 of [7]. Let us consider a family F of commutingpower series F (T ) ∈ T · OK [[T ]]. We say that such a family is full if for all α ∈ OK thereexists Fα(T ) ∈ F such that F ′α(0) = α and if wideg(Fπ(T )) = q, where wideg(F (T )) denotesthe Weierstrass degree of F (T ), π is any uniformizer of OK and q is the cardinality of theresidue field of OK .

Mathematical subject classification (2010). — 11S82, 11S15, 11S20, 11S31, 13F25, 13F35, 14F30.Key words and phrases. — p-adic dynamical system, Lubin-Tate formal group, p-adic Hodge theory.

20 Lubin’s conjecture for full p-adic dynamical systems

Theorem. — If F is a full family of commuting power series, there exists a Lubin-Tateformal group G such that Fα(T ) ∈ End(G) for all α ∈ OK .This result already appears as Theorem 2 of [4]. Our proof is however considerably shorterthan that of ibid., and does not use the theory of the field of norms. It is very similar to thatof the main result of [8], which treats the case K = Qp. The main ingredients are ramificationtheory and some p-adic Hodge theory. In order to simplify the use of p-adic Hodge theory,we assume that K is a Galois extension of Qp.

1. p-adic dynamical systemsIn this note, we consider a set F = {Fα(T )}α∈OK of power series Fα(T ) ∈ T ·OK [[T ]] such thatF ′α(0) = α and Fα ◦Fβ(T ) = Fβ ◦Fα(T ) whenever α, β ∈ OK . Recall that π is a uniformizerof OK , and that q is the cardinality of the residue field k of OK . If F (T ) is a power seriesand n > 0, we denote by F ◦n(T ) the n-th fold iteration F ◦ · · · ◦F (T ). If F (T ) has an inversefor the composition, this definition extends to n ∈ Z. Recall that the Weierstrass degreewideg(F (T )) of F (T ) = ∑+∞

i=1 fiTi ∈ T · OK [[T ]] is the smallest integer i such that fi ∈ O×K .

By the Weierstrass preparation theorem, if wideg(F ) 6= +∞, then F has wideg(F ) zeroes inmCp .

Proposition 1.1. — There exists a power series G(T ) ∈ T ·k[[T ]] and an integer d > 1 suchthat G′(0) ∈ k× and Fπ(T ) ≡ G(T pd).

Proof. — See (the proof of) theorem 6.3 and corollary 6.2.1 of [5]. �

Proposition 1.2. — There exists a power series LF (T ) ∈ K[[T ]] such that

1. LF (T ) = T + O(T 2);

2. LF (T ) converges on the open unit disk;

3. LF ◦ Fα(T ) = α · LF (T ) for all α ∈ OK .

Proof. — See propositions 1.2 and 2.2 of [5] for the construction of a unique power seriesLF (T ) that satisfies (1), (2) and (3) for α a uniformizer of OK . If β ∈ OK \ {0}, thenβ−1 ·LF ◦Fβ also satisfies (1), (2) and (3) for α as above, so that LF ◦Fβ(T ) = β ·LF (T ) forall β ∈ OK . �The hypothesis that F is full implies that pd = q, so that wideg(Fπ(T )) = q. For n > 1, letΛn denote the set of u ∈ mCp such that F ◦nπ (u) = 0 and F ◦n−1

π (u) 6= 0 and let Λ∞ = ∪n>1Λn.Proposition 1.1 implies that F ′π(T )/π is a unit of OK [[T ]], so that the roots of F ◦nπ (T ) aresimple for all n > 1. The set Λn therefore has qn−1(q − 1) elements.The series Fα(T ) is invertible if α ∈ O×K so that in this case, Fα(z) = 0 if and only if z = 0. Ifu ∈ Λn and α ∈ O×K , then F ◦nπ ◦Fα(u) = Fα◦F ◦nπ (u) = 0 and F ◦n−1

π ◦Fα(u) = Fα◦F ◦n−1π (u) 6=

0 so that the action of Fα(T ) permutes the elements of Λn.Let Kn = K(Λn), so that Λi ⊂ Kn if i 6 n, and let K∞ = ∪n>1Kn. If α ∈ O×K , let n(α) bethe largest integer n > 0 such that α ∈ 1 + πnOK .Proposition 1.3. — If n > 1 and u ∈ Λn, then


L. Berger 21

1. Fα(u) = u if and only if n(α) > n;

2. If n(α) = n, then wideg(Fα(T )− T ) = qn;

3. Λn = {Fα(u)}α∈O×K.

Proof. — If n = 1 and Fα(u) = u, then u is a root of Fα(T ) − T = (α − 1)T + O(T 2),so that α − 1 ∈ πOK . This implies that {Fα(u)}α∈O×

Khas at least q − 1 distinct elements.

These elements are all roots of Fπ(T )/T , whose wideg is q− 1, so {Fα(u)}α∈O×Khas precisely

q − 1 elements. These elements all have valuation 1/(q − 1), and if n(α) = 1, the Newtonpolygon of Fα(T ) − T starts at the point (1, 1), so that it can have only one segment, andwideg(Fα(T )− T ) = q. This implies the proposition for n = 1.Assume now that the proposition holds up to some n > 1 and take u ∈ Λn+1. If n(α) 6 n,then Fα(T ) − T has at most qn roots by (2), contained in Λ0 ∪ . . . ∪ Λn by (1). ThereforeFα(u) = u implies n(α) > n+1. The set {Fα(u)}α∈O×

Ktherefore has at least qn(q−1) distinct

elements, all of them roots of F ◦n+1π (T )/F ◦nπ (T ).

This implies that {Fα(u)}α∈O×K

has exactly qn(q − 1) elements. If n(α) = n+ 1, the Newtonpolygon of Fα(T ) − T starts at the point (1, n + 1), with n + 1 segments of height oneand slopes −1/qk(q − 1) with 0 6 k 6 n, so that it reaches the point (qn+1, 0) and hencewideg(Fα(T )− T ) = qn+1. This implies the proposition for n+ 1. �

Corollary 1.4. — The field K∞ is an abelian totally ramified extension of K, and if g ∈Gal(K∞/K), there is a unique η(g) ∈ O×K such that g(u) = Fη(g)(u) for all u ∈ Λ∞.The map η : Gal(K∞/K)→ O×K is an isomorphism.

Proof. — Take u ∈ Λn and α ∈ O×K . As we have seen above, Fα(u) ∈ Λn, so that the mapu 7→ Fα(u) induces a field automorphism of K(u). By (3) of Proposition 1.3, this implies thatKn = K(u) and that every element of Gal(Kn/K) comes from u 7→ Fα(u) for some α ∈ O×K .The extension Kn/K is therefore abelian, and so is K∞/K. Since Kn = K(u), the extensionKn/K is totally ramified, and so is K∞/K.The map η is surjective because every Fα(T ) gives rise to an automorphism of K∞, and it isinjective because if η(g) = 1, then g(u) = u for all u ∈ Λ∞ so that g = 1. �

In order to prove our main theorem, we study the p-adic periods of η. Corollary 1.4 and localclass field theory imply that the extension K∞/K is attached to a uniformizer $ of OK . Letχ$ : GK → O×K denote the corresponding Lubin-Tate character.

2. p-adic Hodge theoryLet R be the p-adic completion of lim−→n>1OK [[Xn]] where OK [[Xn]] is seen as a subring ofOK [[Xn+1]] via the identification Xn = Fπ(Xn+1) (this ring is defined in [8], where it isdenoted by A∞). We define an action of GK on R by g(H(Xn)) = H(Fη(g)(Xn)). This iswell-defined since Fπ ◦ Fη(g)(T ) = Fη(g) ◦ Fπ(T ). We have R/πR = lim−→n>1 k[[Xn]].

Lemma 2.1. — The ring R/πR is perfect.



Proof. — LetG(T ) be as in Lemma 1.1. The fact thatXn = Fπ(Xn+1) implies thatG◦n(Xn) =G◦n+1(Xn+1)q. Since G′(0) ∈ k×, we have k[[T ]] = k[[G(T )]] and therefore

R/πR = lim−→G◦n(Xn)=G◦n+1(Xn+1)q

k[[G◦n(Xn)]]

is perfect. �

Let E+ = lim←−x 7→xq OCp/π. Choose a sequence {un}n>1 with un ∈ Λn and Fπ(un+1) = un.This sequence gives rise to a map i : R/πR → E+, determined by the requirement thati(Xn) = (G◦1(un), G◦2(un+1), . . .). The definition of the action of GK on R and Corollary 1.4imply that i is GK-equivariant.

Lemma 2.2. — The map i : R/πR→ E+ is injective.

Proof. — It is enough to show that i : k[[Xn]] → E+ is injective. If it was not, therewould be a nonzero polynomial P (T ) ∈ k[T ] such that P (i(Xn)) = 0, and then i(Xn) =(G◦1(un), G◦2(un+1), . . .) would belong to Fp, which is clearly not the case. �

Let K0 = Qunrp ∩K and let A+ = OK ⊗OK0

W (E+) (see [2]; note that A+ usually denotesW (E+), and is denoted by Ainf in ibid.). We have R = OK ⊗OK0

W (R/πR) since R is astrict π-ring, and by the functoriality of Witt vectors, the map i extends to an injective andGK-equivariant map i : R → A+. We write x instead of i(X1) ∈ A+. The GK-equivarianceof i implies that g(x) = Fη(g)(x).Let B+

cris and BdR be some of Fontaine’s rings of periods. Recall that BdR is a field, thatthere is a Frobenius map ϕ on B+

cris, a filtration {FiliBdR}i∈Z on BdR, and an injectivemap K ⊗K0 B+

cris → BdR. There is also an action of GK on B+cris and BdR compatible

with the above structure, and BGKdR = K. Let ϕq = ϕf on B+

cris, where q = pf , extendedby K-linearity to K ⊗K0 B+

cris. We refer to [2] and [3] for the properties of these objects.Let Σ = Gal(K/Qp). If τ ∈ Σ, choose a n(τ) ∈ Z>0 such that τ |K0 = ϕn(τ). The mapτ ⊗ ϕn(τ) : K ⊗K0 B+

cris → K ⊗K0 B+cris is then well-defined and commutes with ϕq and the

action of GK .We say that a character λ : GK → O×K is crystalline positive if there exists a nonzeroz ∈ K⊗K0 B+

cris such that g(z) = λ(g)·z for all g ∈ GK . The following proposition summarizesthe input that we need from the p-adic Hodge theory of characters.

Proposition 2.3. — A character λ : GK → O×K that factors through Gal(K∞/K) is crys-talline positive if and only if λ = ∏

τ∈Σ τ ◦ χhτ$ with hτ ∈ Z>0.If t$ ∈ K ⊗K0 B+

cris is such that g(t$) = χ$(g) · t$ for all g ∈ GK , then t$ ∈ Fil1BdR andϕq(t$) = $ · t$.

Sketch of proof. — If λ : GK → O×K is a crystalline positive character and hτ ∈ Z>0 denotesthe Hodge-Tate weight of λ at τ ∈ Σ, then λ ·∏τ∈Σ τ ◦χ−hτ$ is crystalline and has Hodge-Tateweight zero at all τ ∈ Σ so that it is unramified, and therefore trivial if λ factors throughGal(K∞/K), since K∞/K is totally ramified.Let ωE and tE be the elements constructed in §9.2 and §9.3 of [1] (with E = K and πE = $).We have tE ∈ K ⊗K0 B+

cris and ϕq(tE) = $ · tE and tE ∈ Fil1BdR (proposition 9.10 ofibid). If g ∈ GK , then (in the notation of ibid and where [ · ]LT denotes the endomorphisms


L. Berger 23

of the Lubin-Tate group attached to $) we have g(ωE) = [χ$(g)]LT(ωE) and thereforeg(tE) = g(FE(ωE)) = FE(g(ωE)) = FE ◦ [χ$(g)]LT(ωE) = χ$(g) · FE(ωE) = χ$(g) · tEsince FE is the logarithm of the Lubin-Tate group attached to $. If t$ ∈ K⊗K0 B+

cris is suchthat g(t$) = χ$(g) · t$ for all g ∈ GK , then t$/tE ∈ BGK

dR = K, and this implies the rest ofthe proposition. �

Recall that LF (T ) ∈ K[[T ]] is the logarithm attached to F . Since LF (T ) converges on theopen unit disk, we can view LF (x) as an element of K ⊗K0 B+

cris.

Proposition 2.4. — The character η : GK → O×K is crystalline positive.

Proof. — If g ∈ GK , then g(LF (x)) = LF (g(x)) = LF (Fη(g)(x)) = η(g) · LF (x). �

Corollary 2.5. — We have LF (x) = β ·∏τ∈Σ(τ⊗ϕn(τ))(t$)hτ where hτ ∈ Z>0 and β ∈ K×.

Proof. — This follows from the facts that η = ∏τ∈Σ τ ◦χhτ$ , that χ$(g) = g(t$)/t$ and that

BGKdR = K. �

Proposition 2.6. — We have ϕq(LF (x)) = µ · LF (x) for some µ ∈ πOK .

Proof. — Corollary 2.5 and Proposition 2.3 imply the proposition with µ = ∏τ τ($)hτ , and

not all hτ can be equal to 0 since η 6= 1. �

Corollary 2.7. — We have ϕq(x) = Fµ(x).

Proof. — Proposition 2.6 implies that LF (ϕq(x)) = LF (Fµ(x)). We would like to applyL◦−1F (T ) but we have to mind the convergence and need to proceed as follows. Since η is

nontrivial, there is a τ ∈ Σ such that hτ−1 > 1. We have

(τ ⊗ ϕn(τ))(LF (ϕq(x))) = (τ ⊗ ϕn(τ))(LF (Fµ(x)))

in K ⊗K0 B+cris and hτ−1 > 1 now implies that (τ ⊗ ϕn(τ))(LF (ϕq(x))) is divisible by t$ so

that by Proposition 2.3, it belongs to Fil1BdR. We can then apply Lτ◦−1F (T ) in BdR and get

that (τ ⊗ϕn(τ))(ϕq(x)) = (τ ⊗ϕn(τ))(Fµ(x)) in BdR. This equality also holds in A+, so thatϕq(x) = Fµ(x). �

Theorem 2.8. — There is a Lubin-Tate formal group G such that Fα(T ) ∈ End(G) for allα ∈ OK .

Proof. — By Corollary 2.7, we have ϕq(x) = Fµ(x). This implies that Fµ(T ) ≡ T q modπOK [[T ]]. The Weierstrass degree of Fµ(T ) is qval(µ) so that val(µ) = 1 and Fµ(T ) is a Lubin-Tate power series. By [6], there is a Lubin-Tate formal group G such that Fµ(T ) ∈ End(G).Since Fα(T ) commutes with Fµ(T ), we also have Fα(T ) ∈ End(G) for all α ∈ OK . �

Remark 2.9. — We have µ = $ and η = χ$. Indeed, the extension K∞/K is generatedby the torsion points of G, and is therefore attached to µ by local class field theory, so thatµ = $. This in turn implies that η = χ$.



References[1] Pierre Colmez. Espaces de Banach de dimension finie. J. Inst. Math. Jussieu, 1(3):331–439, 2002.[2] Jean-Marc Fontaine. Le corps des périodes p-adiques. Astérisque, (223):59–111, 1994. With an

appendix by Pierre Colmez, Périodes p-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988).[3] Jean-Marc Fontaine. Représentations p-adiques semi-stables. Astérisque, (223):113–184, 1994.[4] Liang-Chung Hsia and Hua-Chieh Li. Ramification filtrations of certain abelian Lie extensions of

local fields. J. Number Theory, 168:135–153, 2016.[5] Jonathan Lubin. Nonarchimedean dynamical systems. Compositio Math., 94(3):321–346, 1994.[6] Jonathan Lubin and John Tate. Formal complex multiplication in local fields. Ann. of Math. (2),

81:380–387, 1965.[7] Ghassan Sarkis. Height-one commuting power series over Zp. Bull. Lond. Math. Soc., 42(3):381–

387, 2010.[8] Joel Specter. The crystalline period of a height one p-adic dynamical system. Trans. Amer. Math.

Soc., to appear, 2016.

March 30, 2016

Laurent Berger, UMPA de l’ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, IUFE-mail : [email protected] • Url : perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/



SUR LE MODULE DE BERTRANDIAS–PAYAN DANS UNEp-EXTENSION – NOYAU DE CAPITULATION

par

Georges Gras

Résumé. — Pour un corps de nombres K et un nombre premier p on désigne par BPK lecomposé des p-extensions cycliques de K plongeables dans une p-extension cyclique de degréarbitrairement grand. L’extension BPK/K est p-ramifiée et extension finie du composé K des Zp-extensions de K. Le groupe BPK := Gal(BPK/K) est appelé le module de Bertrandias–Payan.Nous étudions l’application transfert jL/K : BPK −→ BPL (comme morphisme de capitulationde classes d’idéaux) dans une p-extension L/K. Dans le cas cyclique de degré p, nous prouvonsque jL/K est injectif sauf si L/K est kummerienne, p-ramifiée, non globalement cyclotomiquemais localement cyclotomique en p (théorème 3.1). Nous donnons une formule explicite (théo-rème 5.2) pour | BPG

L | . | BPK |−1 et montrons de quelle façon son intégralité dépend du groupede torsion TL du groupe de Galois de la pro-p-extension abélienne p-ramifiée maximale de L, enutilisant un logarithme p-adique convenable.

Abstract. — (On the Bertrandias–Payan module in a p-extension – Capitulation kernel) Fora number field K and a prime number p we denote by BPK the compositum of the cyclicp-extensions of K which are embeddable into a cyclic p-extension of arbitrary large degree.The extension BPK/K is p-ramified and is a finite extension of the compositum K of the Zp-extensions of K. The group BPK := Gal(BPK/K) is called the Bertrandias–Payan module. Westudy the transfer map jL/K : BPK −→ BPL (as a capitulation morphism of ideal classes) in ap-extension L/K. In the cyclic case of degree p, we prove that jL/K is injective except if L/Kis kummerian, p-ramified, non globally cyclotomic but locally cyclotomic at p (Theorem 3.1).We give an explicit formula (Theorem 5.2) for | BPG

L | . | BPK |−1 and we show how its entiretydepends on the torsion group TL of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of L, by using a suitable p-adic logarithm.

Ce texte, bien que personnel, résulte d’un travail en lien étroit avec Jean–François Jaulent(Bordeaux) et Thong Nguyen Quang Do (Besançon). L’originalité de la démarche étant quetrois techniques sont proposées (une par auteur) pour aborder le même sujet tout en déve-loppant des conséquences et applications différentes. Ceci nous a semblé nécessaire dans lamesure où toutes ces techniques sont issues de la théorie du corps de classes, mais ont été

Classification mathématique par sujets (2010). — 11R04,11R11, 11R16.Mots clefs. — Class field theory, p-ramification, Bertrandias–Payan module, capitulation of ideal classes, transfer

map, Kummer theory.

26 Sur le module de Bertrandias–Payan dans une p-extension – Noyau de capitulation

formalisées différemment (tant au plan des notions que des notations) selon les grands axesnaturels du corps de classes (classes d’idéaux et d’idèles, corps de classes global p-adique etlogarithmique, cohomologie galoisienne et théorie d’Iwasawa).Ainsi le lecteur est-il invité à comparer ces méthodologies qui ont a priori le même potentielde résultats, mais avec des avantages et inconvénients différents selon le but recherché (allantdu plus concret et numérique au plus abstrait et conceptuel), cette multiplicité étant souventà l’origine de difficultés éditoriales d’antériorité (voir un historique au § 1.2).

Remerciements : je remercie mes deux partenaires pour les nombreux échanges constructifsque nous avons eus.

1. Généralités sur le module de Bertrandias–Payan1.1. Le schéma de la p-ramification abélienne. — En raison de la commodité queconfère un livre, on se réfèrera le plus souvent à [Gr1] (2003) et notamment à l’éditionSpringer 2005, corrigée et augmentée, bien que de nombreuses références soient chaque foisconcernées et seraient à citer (elles le sont dans le livre).Soit K un corps de nombres et soit p un nombre premier. On considère le schéma ci-après([Gr1], § III.2, (c), Fig. 2.2), au sens ordinaire de la notion de classes d’idéaux, dans lequelK est le composé des Zp-extensions de K, HK le p-corps de classes de Hilbert de K, Hpr

K lapro-p-extension abélienne p-ramifiée (i.e., non ramifiée en dehors de p) maximale de K.Pour un corps k quelconque de caractéristique 6= p, on désigne par µk le groupe des racinesp-ièmes de l’unité de k.On désigne par UK := ⊕

v|p Uv le Zp-module des unités locales p-principales 1 pour K, oùchaque Uv est le groupe des unités v-principales du complété Kv de K en v | p, par WK =torZp

(UK)

= ⊕v|p µKv

, et par EK l’adhérence dans UK de l’image diagonale du groupe desunités globales (p-principales) EK de K. On suppose p > 2.On pose WK = WK/iK(µK) ⊆ torZp

(UK/EK

) ⊆ TK := torZp(Gal(Hpr

K /K)) (inclusionsvalables sous la conjecture de Leopoldt pour p dans K), où iK est l’injection diagonale :

WK

TK

BPK

C K

C ∞K

BK'UK/EK

AKCK

HprKKHK BPKRK

K

HKK∩HK

K

1D’une manière générale, dans un groupe de nombres algébriques, les éléments p-principaux sont ceux dontl’image résiduelle est égale à 1 en toute place v | p.


G. Gras 27

1.2. Historique de la p-ramification Abélienne. — Le p-groupe de torsion TK joue unrôle capital dans toutes les questions de type théorie du corps de classes et plus précisementde type théorie de la p-ramification abélienne dans la mesure où il met en jeu de façon subtilele p-groupe des classes C K et le régulateur p-adique des unités RK , sous la conjecture deLeopoldt ; il est lié au groupe de Galois GK de la pro-p-extension p-ramifiée (non complexifiéesi p = 2) maximale de K via une relation de dualité de la forme T ∗K ' H2(GK ,Zp).Il a été longuement étudié selon la chronologie approximative suivante :[Kub] (1957), [Mi] (1978), [Gr2] (1982), [Gr3] (1983), [Ja1] (1983), [Ja2] (1984), [Gr4] (1985),[Gr5] (1986), [Ng1] (1986), [MoNg1] (1987), [He] (1988), [Ja3] (1990), [Th] (1993), [Ja4] (1998),[Seo1] (2011), [Seo2] (2013), [Seo3] (2013), [Gr6] (2014), [MoNg2] (2015), [Gr7] (2015), [Seo4](2015), [Seo5] (2015), [Seo6] (2015), [Gre] (2015), [HM2] (2016).Les sujets essentiels développés dans ce cadre sont les suivants, soit au niveau « fini » d’uncorps de nombres, soit dans le cadre « infini » de la théorie d’Iwasawa :(i) détermination du radical initial dans les Zp-extensions lorsque µK 6= 1, à savoir, trouverles nombres α ∈ K×/K×p tels que K( p

√α) ⊂ K, sachant que α est tel que (α) = ap0 . ap, où

a0 est un idéal étranger à p et ap un produit d’idéaux premiers au-dessus de p ([CK], [Gr4],[He], [MoNg2], [Th], [JaM1], [Seo1], [Seo2]) ;(ii) étude des notions de p-rationalité et p-régularité, la p-rationalité de K étant la nullitéde TK sous la conjecture de Leopoldt, et la p-régularité celle du p-Sylow R2(K) du noyau(dans K2(K)) des symboles réguliers ([Gr1], [Gr5], [GrJ],[Ja4], [JaNg], [Mo], [MoNg1]), ainsique des cas particuliers de ces notions, notamment pour p = 2 (travaux de J.-F. Jaulent,F. Soriano–Gafiuk, O. Sauzet) ; également la notion de groupe des classes logarithmiquesintroduite et étudiée par J.-F. Jaulent et dont la finitude est équivalente à la conjecture deB. H. Gross ([Ja1], [Ja2], [Ja3], [Ja4], [Ja5], et une synthèse partielle dans [Gr1], § III.7) ;(iii) généralisations de la notion de p-tours de corps de classes et structure du groupe deGalois de la pro-p-extension maximale d’un corps de nombres (e.g. [JaS], [JaM1], [JaM2],[Ha], [HM1], [Mai1], [Mai2], [Ng2], [Seo6], [HM2] et de nombreuses références depuis le livrede H. Koch [Ko], sans parler des nombreux travaux ultérieurs de N. Boston et de bien d’autresmathématiciens) ;(iv) obtention de résultats numériques sur le radical initial, sur le groupe TK , et sur lastructure de Gal(Kab/K) où Kab est la pro-p-extension abélienne maximale de K ([Cha],[He], [PV], [Th], [AS], [Gr6]) ;(v) analyse d’aspects conjecturaux lorsque p → ∞ (e.g. [Gr7] conjecturant la p-rationalitéde tout corps de nombres pour p assez grand). Récemment, la notion de p-rationalité et sespropriétés ont été « redécouvertes » par certains auteurs et ont acquis une importance nouvelleen vue d’autres conjectures, dans le cadre des représentations Galoisiennes (cf. [Gre]), ou dela notion d’invariant µ d’Iwasawa des pro-p groupes uniformes (cf. [HM2]).

Les techniques utilisées dans ces travaux sont de nature « classes d’idéaux » ou bien denature « diviseurs », aux sens généralisés des infinitésimaux développés au début par G. Graset J.-F. Jaulent et leurs élèves, ou encore de nature « cohomologie galoisienne et théoried’Iwasawa » développée par T. Nguyen Quang Do et ses élèves, puis reprises plus récemmentau moyen d’autres points de vue de type cohomologique, comme par exemple par S. Seo,souvent indépendamment des travaux précédents.



Dans [JaPMB], [NgPMB] et l’article présent, réunis dans ce volume des PMB, on trouverades compléments et mises au point à ce sujet au moyen de l’étude du module de Bertrandias–Payan dans une p-extension de corps de nombres, étude qui se prête bien à l’utilisationsystématique de ces techniques, les trois auteurs ayant conscience que ces trois approchessimilaires ont pâti jusqu’ici de l’absence de « table de concordance » détaillée, ce qui est sansdoute à l’origine des difficultés d’analyse et de comparaison des publications.

1.3. Le module de Bertrandias–Payan. —On sait que sous la conjecture de Leopoldtdans K (pour p 6= 2 en raison du « cas spécial », cf. [AT], Ch. X, Theorem 1, ou[Gr1], § II.6.3),WK ⊆ torZp

(UK/EK

)fixe l’extension BPK qui est la pro-p-extension maximale de K com-

posée des p-extensions cycliques plongeables dans une p-extension cyclique de K de degréarbitrairement grand (cf. e.g. [Gr1], Corollary III.4.15.8) ; le groupe :

BPK := Gal(BPK/K) ' TK/WK ,qui est le groupe de torsion du groupe CK = Gal(BPK/K), est appelé depuis [Ng1] le modulede Bertrandias–Payan à la suite de l’article [BP].On a BPK = TK pour tout p assez grand car WK 6= 1 pour p > 2 suppose que [Kv : Qp] estmultiple de p− 1 pour au moins une place v | p, ce qui suppose [K : Q] assez grand.Le corps BPK est aussi le composé des p-extensions cycliques de K localement plongeables,en toute place finie v, dans une p-extension cyclique de Kv de degré arbitrairement grand(première preuve dans [AT], Ch. X, § 3, cf. [Gr1], remarque III.4.15.7 (ii)). Ceci est encoreéquivalent à la plongeabilité locale dans une Zp-extension deKv, pour toute place finie v ; pourcela on remarque que le p-groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-p-extension Abé-lienne maximale deKv est isomorphe à µKv

; on peut aussi se reporter au schéma fondamentalsuivant (cf. [Gr1], § III.4.4.1) dans lequel toutes les extensions sont des pro-p-extensions,Hmod

Kétant celle qui est modérée maximale et où Fv est le corps résiduel en v ; les projections dansGal(Hpr

K /K) de torZp(EK ⊗ Zp) = µK et de torZp

(UK) = ⊕v|p µKv

conduisent au corollaireIII.4.15.3 de [Gr1] sur le relèvement de WK dans Gal(Kab/K) :

∏v-p F

×v ⊗ Zp

UK

EK ⊗ Zp

KabHprKH

modKHpr

K

HmodKHKK

De nombreux travaux, comme ceux mentionnés dans l’historique précédent, évoquent le rôlede BP dans la théorie du corps de classes, aussi nous souhaitons montrer ici que l’on disposedepuis longtemps des techniques permettant d’étudier les propriétés de ce module.Soit S un ensemble fini de places de K contenant l’ensemble Sp := {v, v | p} des p-places ; Ssera choisi en fonction de l’extension L/K considérée et en particulier contiendra les placesramifiées dans L/K. Les résultats ne dépendront finalement que de Sp. Notre ensemble Sjouera un rôle différent de celui utilisé dans [JaPMB] et [NgPMB].On pose K×1 = K×1 ⊗Zp, où K×1 est le groupe des éléments p-principaux de K× étrangers à S,IK = IK ⊗Zp, où IK est le groupe des idéaux de K étrangers à S, et PK = {(x), x ∈ K×1 } =PK ⊗ Zp, où PK = {(x), x ∈ K×1 }. On pose EK = EK ⊗ Zp (groupe des unités).


G. Gras 29

Soit iK le plongement (surjectif) de K×1 dans UK = ⊕v|p Uv et soit K×∞ le noyau de iK (groupe

des infinitésimaux étrangers à S de Jaulent, [Ja1], [Ja2], [Ja4]) ; on a facilement iK(EK) = EK .On désigne par PK,∞ le groupe des idéaux principaux (x∞), x∞ ∈ K×∞.On a alors ([Gr1], théoreme III.2.4) :AK := Gal(Hpr

K /K) ' IK/PK,∞, BK := Gal(HprK /HK) ' PK/PK,∞, TK := torZp

(AK).

Tous ces groupes de Galois sont des Zp-modules de type fini.

Remarque 1.1. — De fait, la théorie du corps de classes définit AK = Gal(HprK /K) de la

façon suivante : on a AK = lim←−n

Gal(K(pn)/K) ' lim←−n

(IK/PK,(pn))⊗ Zp ' lim←−n

(IK/PK,(pn)),

où K(pn) est le p-corps de rayon modulo (pn), PK,(pn) := {(x), x ∈ K×1 , x ≡ 1 (mod pn)} etPK,(pn) = PK,(pn) ⊗ Zp ; or on a

⋂

n

PK,(pn) = PK,∞ ([Gr1], Proposition III.2.4.1).

Le fait de pouvoir travailler avec des groupes d’idéaux étrangers à S provient du théorèmed’approximation idélique ou simplement du fait que toute classe d’idéaux contient un repré-sentant étranger à S (e.g. [Gr1], théorème I.4.3.3 et remarque I.5.1.2). On a alors, avec desnotations évidentes au niveau fini des corps de rayons :

Gal(K(pn)/K) ' IK,Sp/PK,Sp,(pn) ' IK,S/PK,S,(pn),

où les isomorphismes avec le groupe de Galois sont obtenus via le symbole d’Artin qui estpar nature défini pour les idéaux de K étrangers à Sp, donc a fortiori étrangers à S.

On définit les mêmes objets relatifs à toute p-extension L de K en utilisant l’ensemble, notéencore S, des places de L au-dessus de S (de même pour Sp). Les objets ainsi obtenus partensorisation avec Zp se comportent comme les objets d’origine en raison de la platitude de Zp.Nous commencerons par le cas L/K cyclique de degré p qui est en un sens universel et quipermet une plus grande effectivité quant au plan numérique.On utilisera à plusieurs reprises les lemmes suivants pour un corps de nombres k (où l’onrappelle que ik est à valeurs dans Uk = ⊕

v|p Uv et que les structures galoisiennes de Uk sontdéduites du fait que l’image diagonale de k×1 y est dense) ; le lemme 1.4, particulièrementimportant, traduit de façon très arithmétique la conjecture de Leopoldt pour le corps k :

Lemme 1.2. — Soit k un corps de nombres vérifiant la conjecture de Leopoldt pour p. Soitε ∈ Ek := Ek ⊗ Zp telle que ik(ε)p

e = 1, e ≥ 0 (i.e., ik(ε) ∈Wk). Alors ε ∈ µk et εpe = 1.

Démonstration. — Caractérisation très classique utilisant l’injectivité de ik sur Ek sous laconjecture de Leopoldt ([Gr1], théorème III.3.6.2 (vi) et [Ja3], théorème 12). �

Lemme 1.3. — Soit L/K cyclique de degré p et soit s un générateur de G := Gal(L/K).(i) Si µK = 1, alors µL = 1 et H1(G,µL) = 0.(ii) Si µK = µpL 6= 1 (i.e., L/K est extension cyclotomique globale de degré p), alorsNL/K(µL) = µK et µ1−s

L = 〈ζ1〉, où ζ1 ∈ µK est d’ordre p, d’où H1(G,µL) = 0.Si µK = µL 6= 1, NL/K(µL) = µpK , µ

1−sL = 1, et H1(G,µL) ' Z/pZ.

(iii) Si ξL ∈WL vérifie ξ1−sL = iL(ζL), où ζL ∈ µL, alors ζL est d’ordre 1 ou p.

On a WGL = WK et W p

L ⊆WK .



Démonstration. — (i) Si µK = 1 et si L contenait ζ1 d’ordre p, on aurait K ⊂ K(ζ1) ⊆ L oùK(ζ1)/K serait de degré égal à un diviseur de p− 1 différent de 1 (absurde).(ii) Ce point sur les racines de l’unité est classique (e.g. [Wa]).(iii) Soit ξL ∈ WL. On a ξpL ∈ WK car si ξw ∈ µLw

est une composante de ξL telle queξw /∈ µKv

alors, comme pour le cas global, µKv6= 1, [Lw : Kv] = p, ξpw ∈ µKv

(Qp(µp∞)/Qp a« même structure galoisienne » que Q(µp∞)/Q car p y est totalement ramifié).Comme WL = torZp

(UL)et que UGL = UK , il en résulte que WG

L = torZp

(UK)

= WK . �

Lemme 1.4. — On a, sous la conjecture de Leopoldt pour p dans le corps de nombres k, lasuite exacte 1→Wk/ik(µk) −→ torZp

(Uk/Ek

) logk−−−→Rk := torZp

(logk(Uk)/Zplogk(Ek)

)→ 0,où logk est le logarithme p-adique usuel ([Gr1], lemme III.4.2.4) ; Rk est appelé, par abus, lerégulateur p-adique normalisé de k (l’écriture logk(Ek) signifie logk(ik(Ek)).

Lemme 1.5. — Soit L/K une p-extension cyclique et soit y′∞ ∈ L×∞ tel que NL/K(y′∞) = 1.Alors il existe y∞ ∈ L×∞ tel que y′∞ = y1−s

∞ (Théorème de Hilbert–Speiser–Nœther dans L×∞).

La preuve est donnée par exemple dans [Gr1] (preuve du lemme IV.3.1), et dans [Ja1].

2. Étude du « transfert » jL/K : CK ' AK/WK −→ CL ' AL/WL

2.1. Généralités. — Faisons un rappel sur le morphisme de transfert AK −→ AL en p-ramification Abélienne ([Gr1], Théorème IV.2.1) :

Lemme 2.1. — Dans une extension L/K quelconque de corps de nombres, le morphismede transfert AK −→ AL est injectif sous la conjecture de Leopoldt pour p dans la clôturegaloisienne de L sur K. Il en résulte l’injectivité de TK = torZp

(AK) −→ TL = torZp

(AL).

De fait, la première preuve de ce résultat a été donnée en 1982 dans [Gr2], théorème I.1,développée dans [Gr3], puis redonnée dans d’autres cadres techniques, comme dans [Ja1],[Ja2], [Ng1], et constitue une propriété classique, caractéristique de la conjecture de Leopoldt,qui pourrait simplifier considérablement l’approche de [Seo3], [Seo4], [Seo6].On suppose désormais p 6= 2. On s’intéresse au noyau de l’application qui s’en déduit :

jL/K : BPK = torZp

(CK) −−−→ BPL = torZp

(CL)

(définitions du § 1.1), dans une p-extension L/K, ultérieurement cyclique de degré p.D’après le lemme 2.1 et la finitude de WL, l’application CK −→ CL a même noyau (AK étantde type fini, ce noyau est sous-groupe fini de CK , donc de torsion). On peut alors travaillersur cette application plus simple notée encore jL/K .Son noyau est aussi un noyau de capitulation de classes d’idéaux puisque (relativement auchoix de S défini au § 1.3) AK ' IK/PK,∞ et AL ' IL/PL,∞ sont des groupes de classesd’idéaux ; aussi en raison de la méthode utilisée, nous parlerons pour jL/K de morphisme decapitulation et pour Ker(jL/K) de noyau de capitulation, comme dans [JaPMB], [NgPMB].


G. Gras 31

2.2. Identification deWK comme groupe de classes d’idéaux. —On a la suite exacte1→ K×∞EK/EK −−−→ K×1 /EK

iK−−−→UK/EK → 1 et les isomorphismes :

UK/EK ' K×1 /K×∞EK ' PK/PK,∞ ' Gal(HprK /HK).

L’isomorphisme UK/EK −→ PK/PK,∞ est donc ainsi défini : à partir de u ∈ UK on prendx ∈ K×1 d’image u par iK (x est défini modulo K×∞) et on considère la classe de l’idéal principal(x) modulo PK,∞, qui ne dépend pas du choix de x.La surjectivité est évidente, et si u conduit à (x) = (x∞) ∈ PK,∞, on a x = x∞εK , εK ∈ EK ,d’où iK(x) = u = iK(εK) ∈ EK . Inversement, à (x) ∈ PK on associe iK(x) (mod EK).On suppose que la conjecture de Leopoldt est vérifiée dans toute extension L deK considérée :

Lemme 2.2. — (i) L’image de WK = WK/iK(µK), dans PK/PK,∞, est formée des classesmodulo PK,∞ des idéaux de PK de la forme (x), où iK(x) = ξK ∈ WK , ce que l’on peutrésumer par l’isomorphisme WK ' {(x), x ∈ K×1 , iK(x) ∈WK}/PK,∞.(ii) Le morphisme de capitulation jL/K est l’extension des « classes d’idéaux » :

IK/{(x), x ∈ K×1 , iK(x) ∈WK} −−−→ IL

/{(y), y ∈ L×1 , iL(y) ∈WL}.

Démonstration. — Le point (i) résulte de la définition de UK/EK −→ PK/PK,∞ appliquéeau sous-groupe de torsionWK ⊆ torZp

(UK/EK

)(sous la conjecture de Leopoldt, en utilisant

les Lemmes 1.2, 1.4). Il en résulte que CK ' AK/WK ' IK/{(x), x ∈ K×1 , iK(x) ∈ WK},

d’où le point (ii) du lemme. �

2.3. Caractérisation du noyau de capitulation (cas cyclique de degré p). — Soita ∈ IK tel que par extension, (a)L = (y) où y ∈ L×1 , avec iL(y) = ξL ∈WL (lemme 2.2 (ii)).

À partir de (a)L = (y), la norme arithmétique NL/K conduit en idéaux à la relation ap =(NL/K(y)), ce qui donne la relation yp = NL/K(y) . εL, εL ∈ EL, ou encore la relationiL(y)p = NL/K(iL(y)) . iL(εL) qui s’écrit par hypothèse ξpL = NL/K(ξL) . iL(εL) ; donc d’aprèsle lemme 1.2 on a εL = ζL ∈ µL ; d’après le lemme 1.3, on a ξpL ∈ WK , par conséquentiL(ζL) ∈WG

L = WK et εL = ζK ∈ µK .Posons a := NL/K(y) . ζK ∈ K×1 . On a donc la relation a = yp ∈ L×p1 que l’on interprète de lafaçon suivante :(i) Cas y = x ∈ K×1 . On a iL(y) = iL(x) = ξL ∈WG

L , donc iL(x) = ξK ∈WK ; comme a = (x)dans K, ceci caractérise la trivialité de la classe de a dans CK (Lemme 2.2).(ii) Cas y /∈ K×1 . Soit s un générateur de G := Gal(L/K). Puisque yp = a ∈ K×1 , on estnécessairement dans un cas kummerien où ys = ζ1 y, ζ1 ∈ µK d’ordre p, et L = K( p

√α),

α ∈ K×1 (de fait on doit prendre pour α un représentant, dans K×1 , de a modulo K×p1 , cequi donne l’extension kummerienne L par unicité du radical). Comme a, donc α, est pardéfinition étranger à S, et que la ramification modérée se lit sur l’idéal (α), il en résulte quel’extension L/K est nécessairement p-ramifiée.

On déduit de ce qui précède qu’en dehors du cas kummerien p-ramifié, il ne peut y avoircapitulation non triviale et on a donc obtenu le résultat suivant remarqué dans [Seo6].



Théorème 2.3. — Soit L/K une p-extension, p > 2. Sous la conjecture de Leopoldt pour pdans L, si µK = 1, le morphisme de capitulation jL/K : BPK −→ BPL est injectif. 2

Démonstration. — Comme L/K est une p-extension, on est ramené au cas cyclique ci-dessusen remarquant que les hypothèses se transmettent à tout corps F utilisé par induction etcompris entre K et L (µF = 1 et conjecture de Leopoldt). �

Une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que Ker(jL/K) soit non trivial est doncque L/K soit kummerienne et p-ramifiée (si L/K est abélienne on a L ⊂ Hpr

K ).Poursuivons l’étude du noyau de capitulation avec la seule hypothèse L/K cyclique p-ramifiéede degré p et par conséquent S = Sp (l’hypothèse kummerienne n’est pas nécessaire pourl’instant car on la retrouvera dans le calcul du noyau).On revient à a ∈ IK tel que par extension, (a)L = (y) où y ∈ L×1 , avec iL(y) = ξL ∈ WL, etyp ∈ K×1 . Il vient y1−s = ζ ′1 où ζ ′1 ∈ µK est d’ordre 1 ou p. Alors ξ1−s

L = iL(ζ ′1).Réciproquement, si ξL ∈WL est tel que ξ1−s

L = iL(ζ ′1), en prenant y′ ∈ L×1 tel que iL(y′) = ξL,il vient iL(ζ ′1) = iL(y′)1−s, d’où ζ ′1 = y′1−sy′∞, y′∞ ∈ L×∞ ; on a NL/K(y′∞) = NL/K(ζ ′1) = 1d’après ce qui précède ; d’où (lemme 1.5) y′∞ = y1−s

∞ , y∞ ∈ L×∞, et on obtient une relationde la forme ζ ′1 = y1−s, ce qui conduit à (y) ∈ IGL = (IK)L car il n’y a pas de ramification endehors de p et (y) est étranger à p. L’idéal (y) de L est l’étendu d’un idéal a de K étrangerà p dont la classe est dans le noyau de jL/K . On a donc démontré à ce stade :

Ker(jL/K)={a ∈ IK , (a)L=(y), iL(y)=ξL & , ξ1−sL ∈ iL(pµK)}/{(x), x ∈ K×1 , iK(x) ∈WK},

qu’il reste à simplifier.

Soit a ∈ IK tel que (a)L = (y), iL(y) = ξL ∈ WL, ξ1−sL = iL(ζ ′1) ; si a = (x) avec iK(x) =

ξK ∈ WK , il vient iL(y) = iL(x) iL(εL), εL ∈ EL, soit ξL = ξK iL(εL) ; donc iL(εL) est de laforme iL(ζL), ζL ∈ µL, d’où ξL ∈WK iL(µL).Réciproquement, si ξL = ξK iL(ζL) ∈ WK iL(µL) (qui implique ξ1−s

L = iL(ζ ′1)), on a iL(y) =iL(x′) iL(ζL) pour x′ ∈ K×1 tel que iK(x′) = ξK , d’où, en idéaux, (y) = (x′)L(y′∞) et (a)L =(x′)L(y′∞), où (y′∞) ∈ PGL,∞ = PK,∞ (lemme 1.2), d’où a = (x) avec iK(x) ∈WK .La classe de a dans le noyau de jL/K est nulle si et seulement si dans l’écriture (a)L = (y),on a iL(y) ∈WK iL(µL).On a donc obtenu une première description du noyau de capitulation dans le cas L/K cycliquep-ramifiée de degré p :

Lemme 2.4. — On a Ker(jL/K) ' {ξL ∈ WL, ξ1−sL ∈ iL(µK)}/WK . iL(µL). Si de plus

µK = 1, on a iL(µL) = 1, {ξL ∈ WL, ξ1−sL = 1} = WK , et le noyau de capitulation est nul

(ce qui redonne le théorème 2.3).

Démonstration. — Il suffit de considérer l’application qui à a, dont la classe est dans noyaude capitulation, associe ξL (qui est définie modulo l’image de µL). �

2Dès les lemmes 1.2, 1.3 et 1.4, le résultat est évident car on a W = W ⊆ torZp(U/E) ⊆ T et BP = T /W

(pour K et L) : donc si pour τK ∈ TK , on a jL/K(τK) = ξL ∈WL, on a ξL ∈WGL = WK .


G. Gras 33

2.4. Étude de Ker(jL/K) dans le cas kummerien p-ramifié cyclique de degré p. —On suppose désormais que ζ1 d’ordre p est dans K. On a (lemme 2.4), la suite exacte :

1→ Ker(jL/K) −−−→WL/WK . iL(µL) 1−s−−−→W 1−sL /W 1−s

L ∩ iL(µK)→ 1,

qui conduit, puisque W 1−sL 'WL/WK et WK . iL(µL)/WK ' µL/µK , à l’énoncé :

Lemme 2.5. — Dans le cas kummerien p-ramifié cyclique de degré p, et sous la conjecturede Leopoldt pour p dans L, on a |Ker(jL/K) | = |W 1−s

L ∩iL(µK) |× |µK ||µL |

, où W 1−sL ∩iL(µK) ⊆

〈iL(ζ1)〉 est d’ordre 1 ou p.Si µK = µL 6= 1, on a |Ker(jL/K) | = |W 1−s

L ∩ iL(µK) |.Si µK = µpL 6= 1 (i.e. L/K est cyclotomique globale), jL/K est injectif.

Démonstration. — En effet, d’après le Lemme 1.3 (iii), on a W 1−sL ∩ iL(µK) ⊆ 〈iL(ζ1)〉, où

ζ1 ∈ µK est d’ordre p. Ainsi il y a injectivité de jL/K si et seulement si L/K est cyclotomiqueglobale ou bien si µK = µL 6= 1 et iL(ζ1) /∈W 1−s

L . �

Ceci peut se caractériser de la première façon concrète suivante (analogue du théorème 2.1de [NgPMB], Proposition 8 et Exemple 12 de [JaPMB]) :

Théorème 2.6. — Soit L/K une extension cyclique, p-ramifiée, de degré p > 2, vérifiant laconjecture de Leopoldt pour p. On suppose que µK = µL 6= 1 (i.e., L/K est kummerienne nonglobalement cyclotomique). Le morphisme de capitulation jL/K : BPK −→ BPL est injectif siet seulement si il existe v0 | p dans K, non décomposée dans L, telle que µLw0

= µKv0pour

l’unique w0 | v0.

Démonstration. — Écrivons WL = ⊕v|pWL,v en un sens évident. On a alors trois cas pour

W 1−sL,v selon que v est décomposée dans L/K ou non, puis que Lw/Kv est une extension

cyclotomique ou non, sachant que µKv6= 1 par hypothèse puisque ζ1 ∈ K. On calcule alors

H1(G,WL,v) pour obtenir W 1−sL,v :

(i) Cas décomposé, i.e., WL,v = ⊕w|v µKv

: on a H1(G,WL,v) = 0 (lemme de Shapiro) etW 1−sL,v = NWL,v qui contient l’image de 〈ζ1〉.

(ii) Cas non décomposé et µpLw= µKv

: on a H1(G,WL,v) = 0 et W 1−sL,v = 〈iv(ζ1)〉.

(iii) Cas non décomposé et µLw= µKv

: on a H1(G,WL,v) ' Z/pZ et W 1−sL,v = 1.

Le théorème en résulte puisque la condition diagonale contraire iL(ζ1) ∈ W 1−sL (jL/K non

injectif) équivaut à W 1−sL,v 6= 1 pour tout v | p ; or seul (iii) conduit à une impossibilité. �

Remarque 2.7. — Il résulte de ceci que lorsque µK 6= 1 (i.e., ζ1 ∈ K), la notion usuellede p-extension cyclotomique globale, locale, résiduelle en caractéristique 6= p (i.e., de K,Kv, Fv), est équivalente à celle de p-extension contenue dans la Zp-extension cyclotomiquecorrespondante.Ainsi, « L/K p-ramifiée et localement cyclotomique en p » (i.e., toute place v - p est nonramifiée et en toute place v | p non décomposée, µpLw

= µKv) équivaut à « L/K partout

localement cyclotomique » ou « logarithmiquement non ramifiée » au sens plus général défini



par Jaulent ([JaPMB], § 3). En effet, si v - p est non ramifiée, c’est le corps de classes localpar relèvement des extensions résiduelles qui sont cyclotomiques, si v | p c’est par hypothèse.Noter que pour toute place finie v décomposée, l’algèbre⊕w|v Lw peut aussi être qualifiée decyclotomique de façon galoisienne car il existe ξL,v ∈ WL,v tel que ξ1−s

L,v = ζ1 et ξpL,v ∈ µKv:

pour cela, prendre ξL,v = (ξv , ξv . ζ−11 , . . . , ξv . ζ

−(p−1)1 ) pour un générateur ξv de µKv

= µLw.

Tout corps de nombres k admet une pro-p-extension Abélienne localement cyclotomique maxi-maleH lc

k , sous-corps deHprk fixe par les groupes de décomposition relatifs des places v | p dans

Hprk /k∞ (où k∞ est la Zp-extension cyclotomique de k) et alors Gal(H lc

k /k∞) est isomorphe augroupe des classes logarithmiques introduit par Jaulent ([Ja4], [Ja5] [JaM1], [JaM2], [JaS]) ;voir aussi [Gr1], § III.7.Dans [JaPMB] et [NgPMB] c’est aussi le vocabulaire adopté systématiquement.

3. Interprétation de Ker(jL/K) 6= 1 via un radical kummerien global

On suppose µK 6= 1 et on pose L = K( p√α), α ∈ K× ; on suppose que L/K est p-ramifiée

non globalement cyclotomique (i.e., µL = µK). On a donc (α) = ap0 ap, où a0 est un idéal deK étranger à p et où l’on peut supposer que ap est un produit d’idéaux premiers au-dessusde p à une puissance < p. On pose ( p

√α)1−s = ζ1 d’ordre p.

D’après le Théorème 2.6, jL/K est non injectif si et seulement si pour toute place v | p, nondécomposée dans L/K, µKv

= µpLwpour l’unique place w | v de L. Dans ce cas, il existe

a ∈ IK dont la classe (d’ordre p dans BPK , donc dans IK/{(x), x ∈ K×1 , iK(x) ∈ WK},et d’ordre une puissance de p dans IK/PK,∞) est dans le noyau de jL/K ; on a (cf. § 2.3)(a)L = (y), avec iL(y) = ξL ∈WL et yp = a ∈ K×1 .Soit v | p fixée non décomposée ; on a, avec des notations évidentes, iw(y) = ξw et iw(y)1−s =ξ1−sw = iw(ζ1) et par conséquent on peut prendre ξw comme radical local, autrement ditLw = Kv( p

√ξv) où ξpw =: ξv ∈ µKv

et il en résulte, par “unicité” d’un radical modulo K×pv ,que ap = 1 et que iv(a) = ξpw (bien que certaines places v|p puissent se ramifier dans L/K ;cf. [Gr1], Proposition II.1.6.3 pour le calcul du v-conducteur).On a iL(y)1−s = iL( p

√a)1−s = iL(ζ1) = iL( p

√α)1−s, d’où, y = p

√a = p

√α . x−1, x ∈ K×1 , ce

qui relie a et a0 via l’égalité :a = a0 . (x)−1.

En résumé α vérifie les conditions nécessaires et suffisantes suivantes :

(1) (α) = ap0 et α = a . xp, a, x ∈ K×1 et iK(a) = ξK ∈WK , ξK ∈W pL.

Noter que iL( p√α . x−1) = ξL et que par conséquent, il existe une puissance pe de p telle que

( p√α . x−1)pe ∈ K×∞ ou encore que a = a0 . (x)−1 est tel que :

(2) ape = (a0 . (x)−1)pe ∈ PK,∞.

On peut donc, à partir de la relation (1), énoncer le résultat suivant, où l’on rappelle quepour un corps de nombres k, µk est le p-groupe des racines de l’unité, k le composé des Zp-extensions, Uk le Zp-module d’unités locales principales en p et Wk = torZp

(Uk). On désigne

par BPk la pro-p-extension abélienne maximale de k composée des p-extensions cycliques


G. Gras 35

plongeables dans une p-extension cyclique de k de degré arbitrairement grand ; on pose BPk :=Gal(BPk/k) :

Théorème 3.1. — Soit L/K une extension cyclique de corps de nombres, de degré premierp > 2. On suppose que L vérifie la conjecture de Leopoldt pour p. Alors le morphisme decapitulation jL/K : BPK −→ BPL est non injectif si et seulement si les deux conditionssuivantes sont satisfaites :(i) µL = µK 6= 1, L = K( p

√α), α ∈ K× et (α) = ap0, où a0 est un idéal de K étranger à p

(i.e., L/K est kummerienne, non globalement cyclotomique (i.e., α /∈ µK .K×p), et p-ramifiée(i.e., non ramifiée en dehors de p)) ;(ii) l’image diagonale de α dans UK est égale à ξK upK , ξK ∈ WK , uK ∈ UK , avec ξK ∈ W p

L(i.e., L/K est localement cyclotomique en toute place v | p).

On pourrait alors obtenir le résultat plus général suivant (cf. [JaPMB], corollaire 11 pour lecas cyclique et [NgPMB], théorème 2.5 pour le cas abélien) :

Théorème 3.2. — Dans une p-extension abélienne L/K de corps de nombres, contenantles racines p-ièmes de l’unité, et satisfaisant à la conjecture de Leopoldt pour le nombrepremier p > 2, le sous-groupe Ker(jL/K) des éléments de BPK qui capitulent dans BPL estd’ordre min

{|µK |, [L∩K lc : K(µL)]}, où K lc est la pro-p-extension localement cyclotomique

maximale de K.

4. Le p-groupe des classes et le régulateur p-adique4.1. Existence de L/K cyclique de degré p telle que Ker(jL/K) 6= 1. —On considèreune extension de Kummer L = K( p

√α ) vérifiant les conditions (i) et (ii) du théorème 3.1,

donc telle que jL/K est non injectif. On a alors (α) = ap0, a0 idéal de K étranger à p, et telque iK(α) ∈ W p

L . UpK . Il y a alors deux cas qui s’excluent : ou bien a0 n’est pas principal et

la classe (au sens usuel) de cet idéal capitule dans L puisque (a0)L = ( p√α ), ou bien a0 est

principal et, modulo K×p, α est une unité ε ∈ EK et L = K( p√ε ) (ε non racine de l’unité).

(a) Dans le premier cas (cf. § 3, relation (2)), il existe a = a0 . (x)−1, x ∈ K×1 , dont la classedans IK/PK,∞ est d’ordre fini et engendre Ker(jL/K) dans BPK ; soit τK ∈ TK correspondantà cette classe dans IK/PK,∞, alors la restriction τK de τK àHK est dans Gal(HK/HK∩K)) etcorrespond à la classe de a dans IK/PK (d’ordre p puisque a = a0 . (x)−1), et par conséquentc’est une classe du sous-groupe C ∞K ' Gal(HK/HK ∩ K) de C K qui capitule (cf. Schéma du§ 1.1).3

(b) Dans le cas d’une unité ε, écrivons iK(ε) = ξK upK ∈ W p

L . UpK . Il vient logK(iK(ε)) =

p logK(uK) ; montrons que logK(uK) définit un élément d’ordre p du régulateur RK : siau contraire logK(uK) = logK(iK(η)), pour une unité η ∈ EK , on obtient logK(iK(ε)) =p logK(iK(η)) qui implique iK(ε) = ξ′K iK(ηp), ξ′K ∈ WK , ce qui conduit (lemme 1.2) àξ′K = iK(ζ ′K) ∈ iK(µK) ou encore à ε = ζ ′K η

p. On aurait donc L = K( p

√ζ ′K ) (absurde).

3D’après [Gr1], corollaire III.2.6.1 (i), on a [HK : HK ∩ K] = |C K |/(LogK(IK) : LogK(PK)), où LogK : IK →⊕v | p Kv

/QplogK(EK), est la fonction logarithme définie dans [Gr1], § III.2.2 et reprise au § 5.3.2.



Par contre dans L, il est clair que logL( p

√iK(ε)) = 1

p logL(iK(ε)) = logL(uK) montre quelogK(uK) devient d’ordre 1 dans RL, et on parlera par analogie de capitulation dans L d’unélément d’ordre p du régulateur de K.

Remarques 4.1. — (i) Dans les deux cas, la capitulation ne concerne qu’une classe ou unitéparticulière en raison de la condition supplémentaire L/K localement cyclotomique en p. Onest donc amené à considérer le sous-ensemble des pseudo-unités localement cyclotomiques :

FK := {α ∈ K×1 , (α) = ap0, a0 ∈ IK et iK(α) = ξpL . upK , ξL ∈WL, uK ∈ UK}

/K×p1 ,

dont le Fp-rang est majoré par r1 + r2 + c où c est le Fp-rang du groupe des classes de K.(ii) La condition iK(α) = ξpL . u

pK est équivalente à iK(α) = ξK u

pK , ξK ∈ W p

L ou encore àp√α ∈ WL . UK , puisque W p

L ⊆ WK (Lemme 1.3 (iii)). Une condition nécessaire mais nonsuffisante est logK(iK(α)) ∈ p . logK(UK) ; elle devient suffisante si WK = W p

L.(iii) La relation |BPK | = |C ∞K |×|RK | montre que si jL/K est non injectif, nécessairement l’undes deux facteurs au moins est non trivial et contribue à la capitulation (points (a) et (b)). Àcomparer au § 7 de [JaPMB], définition et proposition 20 et au complément 2.6 de [NgPMB].

4.2. Exemples numériques. —On prend pour K le corps biquadratique K =Q(√

79, j)contenant le corps Q(j) des racines cubiques de l’unité et le corps Q(

√−237) ; on considère

p = 3. Comme 3 est décomposé dans K en deux idéaux premiers, les deux complétés de Ksont égaux à Q3(j) (voir des exemples analogues dans [JaPMB], § 4).Le nombre de classes de Q(

√79) est 3, celui de Q(

√−237) est 12 :

(i) Prenons l’unité α1 = j ε où ε = 80 + 9√

79 (l’unité fondamentale de Q(√

79) qui est3-primaire et localement un cube en 3). Soit L1 = K( 3

√α1) ; on a bien µL1 = µK 6= 1. On a

α1 . j−1 = 80 + 9√

79 ∈ U3K , ce qui montre que les deux complétés de L1 sont égaux à Q3(ω),

où ω est une racine de l’unité d’ordre 9 ; on est dans le cas µKv= µ3

L1,wpour toute place

v | 3, et les deux conditions du théorème 3.1 sont donc satisfaites puisque iK(α1) = ξK . u3K ,

avec ξK = (j, j) = (ω, ω)3 ; donc jL1/Kest non injectif.

(ii) On considère l’unité α2 = ε = 80 + 9√

79 et L2 = K( 3√α2). Comme α2 est localement un

cube, L2/K est décomposée en toutes les places v | 3. Donc jL2/Kest encore non injectif.

Noter que par la dualité de Kummer, L2 est ici le composé du 3-corps de Hilbert L−2 := HK−

et de Q(j), où K− := Q(√−237), et que comme j /∈ K−, j

L−2 /K− est injectif et le noyau de

jL2/Kest un sous-groupe non trivial de T

1−t2

K , où t engendre Gal(K/K−).(iii) Si l’on prend α3 = 8 + 3

√−237 (qui est 3-primaire) et L3 = K( 3

√α3), on a (α3) = p3

13dans K− pour un idéal premier non principal p13 | 13 car la condition (ii) n’est pas vérifiée ;les extensions K( 3√j), K( 3√jα3), K( 3

√j2α3) sont ramifiées en 3 et, dans K( 3

√α3) (contenue

dans le 3-corps de classes de Hilbert K( 3√ε, 3√α3) de K), 3 est inerte ; or il faudrait une

décomposition de 3 dans l’une d’elles.On voit aussi que la condition log(α3) ∈ 3 . log(UK) n’est pas vérifiée car α3 est 3-primairesans être localement un cube. Dans ce cas, jL3/K

est injectif bien qu’il y ait capitulation d’uneclasse d’idéaux dans L3. Ici aussi on peut écrire L3 comme composé du 3-corps de HilbertHK+ et de Q(j), où K+ := Q(

√79), et les deux composantes de jL3/K

sont injectives.


G. Gras 37

Prenons pour K le corps biquadratique K = Q(√−107, j). Le nombre de classes de K− :=

Q(√−107) est 3 et celui de K+ := Q(

√321) est aussi 3 ; l’unité fondamentale de K+ est

ε = 215 + 12√

321 qui est 3-primaire sans être localement un cube ; on a (59 + 2√

321) = p313

dans le sous-corps réel (β := 59 + 2√

321 est non 3-primaire). Dans le sous-corps quadratiqueimaginaire K−, on a (270+17

√−107) = p3

47, pour p47 non principal, où α := 270+17√−107

est 3-primaire et localement un cube car α2 ≡ 1 (mod (9)). L’extension L = K( 3√α) conduitau même raisonnement qu’en (ii) avec ici échange des sous-corpsK− etK+. On aHK+Q(j) =K( 3√α) etHK−Q(j) = K( 3√ε) ; l’extensionK( 3√β) est ramifiée en 3 mais n’est pas localementcyclotomique.

5. Points fixes du module de Bertrandias–PayanDans cette section, L/K est une p-extension quelconque de corps de nombres (p > 2), degroupe de Galois G, que l’on supposera cyclique de degré p à partir du § 5.2. On supposeseulement que L vérifie la conjecture de Leopoldt pour p, ce qui implique que T GL contientun sous-groupe isomorphe à TK (injectivité du morphisme TK −→ TL, lemme 2.1).On omet le plus souvent les plongements diagonaux iK et iL.Ici il n’y a aucune hypothèse sur la ramification dans L/K ni sur les groupes µK , µL.On a la suite exacte qui définit BPL à partir de TL = Gal(Hpr

L /L) :1→WL/µL −→ TL −→ BPL → 1,

où WL = ⊕v|pWL,v, avec WL,v = ⊕

w|v µLwpour toute place v | p de K.

On a de même la suite exacte :1→WK/µK −→ TK −→ BPK → 1.

5.1. Suites exactes fondamentales. —On a la suite exacte :

1→ (WL/µL)G −→ T GL −→ BPGLθ−→H1(G,WL/µL), (1)

et à partir de 1→ µL −→WL −→WL/µL → 1, on a la suite exacte :

1→WK/µK −→ (WL/µL)G ψ−→H1(G,µL) ν−→H1(G,WL), (2)avec H1(G,WL) = ⊕

v|p H1(G,WL,v).

Dans le cas G cyclique d’ordre p (engendré par s) on aura les suites exactes :

1→ (WL/µL)G −→ T GL −→ BPGLθ−→N (WL/µL)

/(WL/µL)1−s, (1′)

1→WK/µK −→ (WL/µL)G ψ−→NµL/µ1−sL

ν−→⊕v|p NWL,v/W

1−sL,v . (2′)

Remarque 5.1. — Dans le cas G cyclique d’ordre p, les noyaux de la « norme » N = NG

sont ceux de la norme algébrique (ici NG = 1 + s + · · · + sp−1). Or on peut utiliser, parcommodité des calculs, la norme arithmétique NL/K à condition que pour les objets XL etXK , l’application naturelle iL/K : XK −→ XL soit injective puisque iL/K ◦NL/K = NG.C’est le cas ici pour les objets du type Uk, Ek, µk, Wk, Wk = Wk/µk, Ak, Bk = Uk/Ek, Tk,mais non nécessairement pour C k, Ck, Rk, BPk.



On souhaite voir, comme dans [Seo3], [Seo4], [Seo6], à quelles conditions | BPK | divise | BPL |au moyen, par exemple, de la condition suffisante | BPK | divise | BPGL |. D’après (1) et (2) ilvient :

| BPGL | =| T GL | . | Im(θ) || (WL/µL)G | = | T GL | . | Im(θ) |

|WK/µK | . | Im(ψ) | = | TGL || TK |

. | BPK | .| Im(θ) || Im(ψ) | . (3)

En utilisant la formule des points fixes pour TL ([Gr1], théorème IV.3.3), il vient :

Théorème 5.2. — Soit L/K une p-extension de corps de nombres (p > 2) vérifiant laconjecture de Leopoldt pour p. On a la formule suivante (où le premier facteur est entier) :

| BPGL | =∏

q - p eq( ∑q - p

1eqZpLogK(q) + LogK(IK) : LogK(IK)

) · | BPK | ·| Im(θ) || Im(ψ) | ,

où eq est l’indice de ramification de q dans L/K, et LogK : IK →⊕

v | pKv/QplogK(EK), la

fonction logarithme définie dans [Gr1], § III.2.2 (voir aussi le § 5.3.2).

Corollaire 5.3. — On peut trouver une infinité de p-extensions L/K telles que BPGL 6= 1et même telles que | BPGL | =

∏q - p

eq · | BPK | ·| Im(θ) || Im(ψ) | ≥

∏q - p

eq · | BPK | ·1

|H1(G,µL) | .

Corollaire 5.4. — Lorsque l’extension L/K est p-primitivement ramifiée, ce qui est équi-valent à

(∑q - p

1eqZpLogK(q) + LogK(IK) : LogK(IK)

)= ∏

q - p eq ([Gr1], définition IV.3.4),on a | BPGL | ≥ | BPK | si et seulement si | Im(θ) | ≥ | Im(ψ) |.

5.2. Caractérisation de | Im(ψ) | = p pour L/K p-ramifiée cyclique de degré p. —Pour un cadre plus général voir [NgPMB] et [JaPMB].On a | Im(ψ) | ≤ |NµL

/µ1−sL | ≤ p. On écarte donc le cas trivial |NµL

/µ1−sL | = 1, et on

suppose (cf. Lemme 1.3) que µK = µL 6= 1 (i.e., L/K kummerienne non globalement cy-clotomique). On a | Im(ψ) | = p si et seulement si ν = 0 dans (2′) ; or l’image de ζ1 par νest la classe de l’image diagonale dans WL de ζ1 (mod W 1−s

L ). Cette classe est nulle si etseulement si iv(ζ1) ∈ W 1−s

L,v pour tout v | p. Autrement dit (cf. lemme 2.5, théorème 2.6 ouThéorème 3.1) :

Proposition 5.5. — Soit L/K p-ramifiée cyclique de degré p > 2. On a | Im(ψ) | = p si etseulement si | Ker(jL/K) |= p, ou encore si et seulement si | WG

L |= p . | WK |.

Si | Im(ψ) | = p, il suffit d’avoir | Im(θ) | ≥ p pour que l’inégalité | BPGL | ≥ | BPK | soit vérifiée ;or Im(θ) dépend du noyau de l’application ρ : H1(G,WL/µL) −→ H1(G, TL), qui fait l’objetdu paragraphe suivant.

5.3. Calcul de Ker(ρ). —On reprend la suite exacte (1′) en la prolongeant comme suit :1→ (WL/µL)G−→ T GL ' TK −→ BPGL

θ−−−→N (WL/µL)/(WL/µL)1−s ρ−−−→NTL

/T 1−sL .

On est donc dans le cadre de non injectivité de jL/K , L/K étant cyclique de degré p, p-ramifiée, kummerienne non globalement cyclotomique (i.e., µK = µL 6= 1), et localementcyclotomique en p (cf. remarque 2.7).


G. Gras 39

Lemme 5.6. — Sous les hypothèses précédentes, on a H1(G,WL/µL) ' Z/pZ. Un géné-rateur de ce groupe est donné par l’image d’un ξL ∈ WL tel que NL/K(ξL) = iK(ζK), où ζKest un générateur de µK .

Démonstration. — La suite exacte 1→ µL −→WL −→WL/µL → 1 conduit à :

H1(G,WL) −→ H1(G,WL/µL) ν−→H2(G,µL) −→ H2(G,WL).

Or H1(G,WL) = ⊕v|p H1(G,WL,v) = 0 sous les hypothèses précédentes (théorème 2.6) ; donc

H2(G,WL) = 0. D’où :H1(G,WL/µL) ' H2(G,µL) ' Z/pZ.

Comme H2(G,WL) = WK/NL/K(WL) = 0, iK(ζK) ∈ NL/K(WL) et l’existence de ξL (uniquemodulo W 1−s

L µL) est immédiate ; son image dans le groupe H1(G,WL/µL) est d’ordre p carξL /∈W 1−s

L µL. �

5.3.1. Caractérisation de Ker(ρ) en termes d’idéaux. —À ξL ∈ WL tel que NL/K(ξL) =iK(ζK), où ζK engendre µK , l’application ρ associe l’élément τL ∈ NTL défini par l’image deξL dans WL ⊆ TL. Puisque ξL /∈ W 1−s

L . µL, on a τL /∈ W1−sL : la nullité éventuelle de ρ (i.e.,

τL ∈ T 1−sL ) n’est donc pas triviale et concerne TL en entier.

Soit z ∈ L×1 tel que iL(z) = ξL ; alors on a NL/K(z) = ζK x∞, x∞ ∈ K×∞, et l’image de τLdans IL/PL,∞ est celle de l’idéal (z).Comme (x∞) est norme d’idéal et x∞ norme locale en p, on a (principe des normes globalesde Hasse) x∞ = NL/K(y), y ∈ L× := L× ⊗ Zp. Par le théorème d’approximation, on peutsupposer que y ∈ L×1 (le problème venant des idéaux premiers p | p décomposés divisant y) :pour cela écrire x∞ = x1 . x′1

p, x1 ∈ K×1 , x′1 ∈ K×1 ; comme x1 = x∞ . x′1−p est partout norme

locale, il existe t ∈ L× tel que x1 = NL/K(t) = NL/K(t . t′1−s) ∈ NL/K(L×1 ), pour un t′ ∈ L×convenable ; finalement x∞ = NL/K(t . t′1−s. x′1) ∈ NL/K(L×1 ).On doit ensuite étendre l’application iL à L× ; elle est alors à valeurs dans le complété profini⊕w|p L

×w := ⊕

w|p(πZpw ⊕ Uw

)de ⊕w|p L

×w , où πw est une uniformisante en w. L’application

iL est surjective (de noyau L×∞) car iL(L×) est dense dans⊕w|p L×w et le Zp-module engendré

par iL(L×) (qui est égal à iL(L×)) est fermé dans le complété profini qui est un Zp-modulede type fini.Puisque x∞ = NL/K(y), avec iL(y) ∈ UL et NL/K(iL(y)) = 1, il existe αL ∈

⊕w|p L

×w tel que

iL(y) = α1−sL ; si Y ∈ L× est tel que αL = iL(Y ), on a y = Y 1−s y∞, d’où x∞ = NL/K(y∞)

et NL/K(z) = ζK NL/K(y∞) ; comme z ∈ L×1 est défini modulo L×∞, on peut supposer queNL/K(z) = ζK et que, en idéaux, NL/K((z)) = 1, soit :

(z) = B1−s, B ∈ IL.Si on a une autre écriture (z) = B′1−s, B′ ∈ IL, il vient B = B′ . (a)L, a ∈ IK .On aura Ker(ρ) = 〈 ξL 〉 (i.e., ρ = 0) si et seulement si il existe τ ′L ∈ TL tel que τL = τ ′1−sL ,donc si et seulement si il existe un idéal b ∈ IL, de la forme B . (a)−1

L , tel que LogL(b) = 0(voir ci-dessous les rappels sur la fonction Log).



5.3.2. Rappels sur la fonction Log. — Il faut pouvoir étudier (pour un corps de nombres k)les groupes de torsion Tk de façon effective, ce qui est possible en utilisant le logarithme Logkintroduit dans [Gr1], § III.2.2, et qui conduit à la suite exacte (dans laquelle Ak = Gal(k/k)) :

1→ Tk −−−→ Ak ' Ik/Pk,∞Logk−−−→Ak ' Logk(Ik) = ZpLogk(Ik)→ 0,

où l’on rappelle que (logk étant le logarithme p-adique usuel) :Logk : Ik/Pk,∞ −−−→

(⊕v|pkv

)/Qplogk(Ek),

est défini pour tout idéal a de k étranger à p par :Logk(a) := 1

mlogk(a) (mod Qplogk(Ek)),

où m est n’importe quel entier tel que am est un idéal principal (a).En pratique Logk(Pk) = Zp Logk(Pk) est l’image de logk(Uk) = Zp logk(k×1 ) dans le Qp-espace(⊕

v|p kv)/Qplogk(Ek), et le Zp-module Logk(Ik) est connu numériquement dès que le groupe

des classes l’est (au moyen d’idéaux générateurs b1, . . . , br modulo Pk) :Logk(Ik) =

⟨ 1h

logk(b1), . . . , 1h

logk(br)⟩Zp

+ logk(Uk) + Qplogk(Ek),

avec bhi = (bi), i = 1, . . . , r, où h est par exemple l’ordre du groupe des classes de k. CommeH :=

⟨ 1h logk(b1), . . . , 1

h logk(br)⟩Zp

+ logk(Uk) ' Z[k :Q]p et V := Qplogk(Ek) ' Qr1+r2−1

p sousla conjecture de Leopoldt (où r1 + 2 r2 = [k : Q]), Logk(Ik) = (H + V )/V s’identifie à unsous-Zp-module H ′ de H tel que H = H ′ ⊕ (H ∩ V ) (où H− = H ′ et H+ = (H ∩ V ) ⊕ Zp,avec les notations habituelles lorsque k est un corps CM).5.3.3. Calcul effectif de ρ(ξL) ∈ NTL. —On a vu au § 5.3.1 que ρ est nulle si et seulement siil existe b ∈ IL tel que (z) = b1−s avec LogL(b) = 0 ; comme on a obtenu (z) = B1−s, pourun B ∈ IL particulier, on a ρ = 0 si et seulement si il existe a ∈ IK tel que B . (a)−1

L = b, cequi est équivalent à LogL(B) ∈ LogL((IK)L).Soit σL ∈ AL correspondant à l’image de B dans IL/PL,∞, et τL ∈ TL correspondant à cellede (z) ; on a seulement à ce stade τL = σ1−s

L ∈ A1−sL ou encore l’existence de e ≥ 0 tel que :

σpe

L ∈ AGL = jL/K(AK) (1)(d’après la formule de points fixes de [Gr1], théorème IV.3.2 dans le cas L/K p-ramifiée).Par contre, si b = B . (a)−1

L existe tel que LogL(b) = 0 et si σK ∈ AK est l’image de a,on a LogL(σL . jL/K(σ−1

K )) = 0, ce qui est équivalent à σL . jL/K(σK)−1 ∈ TL, ou encore àτL = σ1−s

L ∈ T 1−sL comme attendu (puisque NL/K(τL) = 1, la projection de τL dans AK est

triviale, donc τL ∈ Gal(HprL /LH

prK )).

Il reste à calculer B ∈ IL. Sur un plan effectif, on a besoin d’un renseignement globalcalculable ; or ζK est aussi partout norme locale et ζK = NL/K(t) où l’on peut, par le théorèmed’approximation, supposer t ∈ L×1 et l’idéal (t) de la forme A1−s, A (idéal « ordinaire »)étranger à p. De NL/K(iL(z) . iL(t)−1) = 1 on déduit l’existence de βL ∈

⊕w|p L

×w tel que

iL(z) . iL(t)−1 = β1−sL . Soit Z ∈ L× tel que iL(Z) = βL ; on a z . t−1 = Z1−s. z∞, soit

(B .A−1)1−s = (Z)1−s . (z∞) ; donc NL/K(z∞) = ε ∈ EK ∩ K×∞, d’où NL/K(z∞) = 1 etz∞ ∈ L×1−s

∞ (lemme 1.5), et quitte à modifier Z modulo L×∞ il vient :B .A−1 = (Z) . (c)−1

L , c ∈ IK ⊗ Zp. (2)


G. Gras 41

Comme (Z) . (c)−1L ∈ IL, on vérifie que βL, donc Z et c, peuvent être choisis étrangers à p.

Puisque (z) = B1−s et LogL(z) = 0, il vient (1− s) LogL(B) = 0, d’où :

LogL(B) ∈( ⊕w|p

Lw/Qp logL(EL)

)G=⊕v|pKv/Qp logK(EK).

Numériquement on aura LogL(B) ∈ 1pe.LogL(IK), e ∈ Z, avec a priori e ≥ 0 (relation (1)) ;

comme A et t sont connus, il suffit de connaître Z modulo une puissance de p assez grandepour savoir (cf. (2)) si LogL(B) = LogL(A) + LogL(Z) ∈ LogK(IK) ou non dans la mesureoù LogK(IK) se calcule facilement (cf. § 5.3.2).Or iL(Z) ∈ UL est donné par une résolvante de Hilbert ; par exemple pour p = 3, on a (auproduit près par un élément de⊕v|pK

×v ) : iL(Z) = 1+ξL . iL(t)−1 +(ξL . iL(t)−1)1+s ; il suffit

de prendre Z ′ = 1 + z′ t−1 + (z′ t−1)1+s ∈ L, où z′ ∈ L est tel que iL(z′) approche ξL.5.3.4. Autre formulation du critère de nullité de ρ. —On sait que l’on peut interpréter l’imagede AL (ou de IL/PL,∞) par LogL comme étant AL := Gal(L/L) et que le transfert AK −→AL est injectif (lemme 2.1). Comme la condition nécessaire et suffisante de nullité de ρest LogL(σL) ∈ LogL(AK), où σL correspond à l’image de B dans AL ' IL/PL,∞ (avec(z) = B1−s), il vient :

Une condition nécessaire et suffisante pour que ρ soit nulle est que la projection de σL dansGal(L/L) (où ρ(ξL) = τL = σ1−s

L ) soit dans le transfert de Gal(K/K).

Il paraît clair, en raison des valeurs aléatoires des logarithmes d’idéaux, de t ∈ L× tel queNL/K(t) = ζK et A tel que (t) = A1−s, que numériquement tout type d’exemple est possible.5.3.5. Une condition suffisante de nullité de ρ. —Comme le quotient de Herbrand de TL estnul on a |NTL

/T 1−sL | = | TK |

|NL/K(TL) | . Or la norme arithmétique de TL dans L/K correspond,par la loi de réciprocité d’Artin, à la restriction TL −→ TK des automorphismes, et unecondition suffisante pour que ρ soit nulle est que cette norme soit surjective. D’où le résultatsuivant (sous la conjecture de Leopoldt) :

Théorème 5.7. — Soit L/K une extension cyclique de degré p > 2, kummerienne, p-rami-fiée, non globalement cyclotomique et localement cyclotomique en p (cf. théorème 3.1).Alors une condition suffisante pour que | BPGL | ≥ | BPK | est que L ⊂ K et que Hpr

K /K etL/K soient linéairement disjointes sur K.

On fera le lien avec le point de vue développé dans [NgPMB], lemme 3.1, proposition 3.2.

6. ConclusionLe cas trivial où µK = 1 (théorème 2.3) permet de construire les p-tours p-ramifiées définiespar S. Seo dans [Seo6], lesquelles sont infinies dans le cas où BPK 6= 1 (sous la conjecture deLeopoldt pour p dans toute p-extension de K), mais dans les autres cas se pose le problèmede la propagation des hypothèses faites au premier étage. Une définition plus canonique deces p-tours est proposée dans [JaS] et repris dans [JaPMB] où est aussi posée la question deleur infinitude (cf. [JaPMB], § 8).



Si le p-groupe des classes de K est trivial (ou si HK ⊂ K, i.e., C ∞K = 1) on a (cf. lemme 1.4) :BPK ' RK = torZp

(logK(UK)/Zp logK(EK)

),

qui dépend simplement des propriétés congruentielles du groupe des unités de K et grossomodo du régulateur p-adique normalisé usuel de K.Dans [Gr7] (cf. conjectures 8.9, 8.11), nous avons conjecturé, pour tout p assez grand, la p-rationalité de tout corps de nombres K (cf. § 1.2 (ii)) ; ceci entraînerait la nullité de BPK pourtout p assez grand indépendamment de toute hypothèse (conjecture de Leopoldt comprise).Il serait utile d’étudier la « p-rationalité faible », que nous avons introduite dans [Gr6], et quistipule que BPK est trivial ; pour K fixé, elle n’est distincte de la p-rationalité que pour unnombre fini de p.Mais on peut dire, pour conclure cette étude, que c’est bien l’ensemble des invariants TK quifait la synthèse des propriétés classiques des classes et unités des corps de nombres K.

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18 décembre 2015

Georges Gras, Villa la Gardette, chemin Château Gagnière, F-38520 Le Bourg d’OisansE-mail : [email protected]



SUR LA CAPITULATION POUR LE MODULE DEBERTRANDIAS-PAYAN

par

Jean-François Jaulent

Résumé. — Nous déterminons l’ordre du sous-groupe de capitulation pour le module deBertrandias-Payan dans une `-extension arbitraire de corps de nombres qui satisfait la conjecturede Leopoldt. Nous relions en particulier la question de sa trivialisation au problème des tourslocalement cyclotomiques.

Abstract. — (On the capitulation for the Bertrandias-Payan module) We compute the capit-ulation kernel for the module of Bertrandias-Payan in an arbitrary `-extension of number fieldswhich satisfies the Leopoldt conjecture. As a consequence we relate the existence of extensionswith trivial such module to the classical problem of locally cyclotomic towers.

1. Introduction

Le compositum Kbp des `-extensions cycliques d’un corps de nombres K qui sont localementplongeables dans une Z`-extension de ce corps a été introduit par Bertrandias et Payan dans[2] dans le but d’exhiber une condition suffisante de la conjecture de Leopoldt. Le sous-groupe de Z`-torsion du groupe de Galois Gal(Kbp/K), appelé par Nguyen Quang Do modulede Bertrandias-Payan, mesure, en effet, l’obstruction à ce qu’une pro-`-extension abéliennede K soit globalement plongeable dans un produit de Z`-extensions dès lors qu’elle l’estlocalement.Il est naturel de se demander ce que devient cette obstruction lorsqu’on grossit le corps debase, plus précisément lorsqu’on remplace K par une `-extension L.C’est précisément de ce problème que nous traitons ici.Nous adoptons dans cette étude le point de vue infinitésimal introduit dans [7] : toute `-extension Z`-plongeable étant `-ramifiée (i.e. non ramifiée en dehors des places divisant `),l’extension Kbp/K est contenue dans la pro-`-extension abélienne `-ramifiée maximaleM/K.Son groupe de Galois est donc un quotient de celui XK de M/K. Or ce dernier s’interprète

Classification mathématique par sujets (2010). — 11R37,11R23.Mots clefs. — Class field theory, p-ramification, Bertrandias–Payan module, transfert, capitulation, locally cy-

clotomic extensions.

46 Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan

comme le quotient du Z`-module libre D′K construit sur les idéaux premiers de K qui nedivisent pas ` par le sous-groupe des diviseurs principaux engendrés par les éléments d’imagelocale triviale aux places divisant `, et que nous appelons pour cela infinitésimaux.De façon semblable, le groupe Gal(Kbp/K) s’écrit comme le quotient C bp

K = D′K/P bpK de D′K

par le sous-groupe des diviseurs principaux engendrés par les éléments dont une puissanceest infinitésimale, et que nous appelons par conséquent pseudo-infinitésimaux.Dans ce contexte, le noyau du morphisme d’extension C bp

K → CbpL est formé par les classes

des diviseurs de K qui se principalisent dans L ; et il s’analyse donc comme une capitulation.Le résultat principal de cette étude (th. 9 infra) consiste à le déterminer avec précision.Nota. Quoique personnel, ce travail a été mené en étroite concertation avec G. Gras etT. Nguyen Quang Do que je remercie ici. Une synthèse présentant les différents points devue et résultats suivra prochainement. Mes remerciements vont aussi à Karim Belabas, quia effectué avec pari/gp la plupart des calculs numériques sur les classes logarithmiquesprésentés dans cette étude (cf. [1])

Convention : dans tout ce qui suit ` désigne un nombre premier impair, K un corps denombres arbitraire et L une `-extension de K de groupe de Galois G = Gal(L/K).

2. Bref rappel sur les classes infinitésimalesLe groupe de Galois XK = Gal(M/K) de la pro-`-extension abélienne maximale M d’uncorps de nombres K est interprété par la théorie du corps de classes comme groupe desclasses infinitésimales de K (cf. [7]), i.e. comme le quotient

C ∞K = D′K/P∞Kdu Z`-module D′K = Z`⊗ZId

′K construit sur les diviseurs étrangers à ` par le sous-module des

diviseurs principaux engendrés par les éléments infinitésimaux : le sous-groupe infinitésimalest le noyau R∞K du morphisme de semi-localisation s` : RK = Z`⊗ZK

× → RK`= ∏

l|`RKl,

où RKl= lim←−K

×/K×`n désigne le compactifié `-adique du groupe multiplicatif du complétéde K en la place l.Le groupe d’unités correspondant à C ∞K , autrement dit le noyau de l’épimorphisme R∞K →P∞K est le groupe E∞K des unités infinitésimales de K ; sous la conjecture de Leopoldt (pour` et pour K), il est trivial (cf. e.g. [12], §2.2).Sous cette même conjecture, il suit de là qu’il n’y a pas de capitulation infinitésimale dansune `-extension L/K de corps de nombres de groupe G, autrement dit que le morphismenaturel j∞L/K : C ∞K → C ∞G

L induit par l’extension des idéaux est toujours injectif. En effet,la suite exacte des classes infinitésimales ambiges s’écrit (cf. [7], th. 2) :

1→ Cap∞L/K → P∞GL /P∞K → D′LG/D′K → C ∞G

L /j∞L/K(C ∞K )→ H1(G,P∞L )→ 1

Or, sous la conjecture de Leopoldt (pour ` et pour L), on a P∞L = R∞L (par E∞L = 1), doncP∞G

L = R∞GL = R∞K = P∞K , i.e. P∞G

L /P∞K = 1 et, par suite : Ker j∞L/K = Cap∞L/K = 1.Ainsi :

Théorème 1. — Dans une `-extension L/K de corps de nombres, le morphisme d’extensionentre classes infinitésimales C ∞K → C ∞L est injectif sous la conjecture de Leopoldt pour `


J.-F. Jaulent 47

dans L. En particulier, le sous-module de torsion T ∞K de C ∞K s’identifie à un sous-moduledu sous-module des points fixes T ∞L G de celui de C ∞L .

Ce résultat, aujourd’hui classique, a été prouvé initialement dans [4] (th. I.1), puis redonnédans divers contextes, notamment par [7], [9], [18]. Une preuve figure également dans lamonographie de Gras ([3], Th. IV.2.1). Aucun de ces travaux cependant n’est mentionnédans [20, 21].Nota. Par montée et descente, on voit qu’une classe a qui capitule dans une extension L/Kde corps de nombres vérifie banalement a[L:K] = 1. La capitulation peut donc s’étudierindifféremment sur le module XK ou sur son sous-module de Z`-torsion.Avant d’aller plus loin et d’introduire le module de Bertrandias-Payan, donnons un résultatqui nous sera utile et qui est en quelque sorte la version infinitésimale du Théorème 90 deHilbert :

Lemme 2. — Dans une `-extension de corps de nombres L/K, on a toujours :H1(G,R∞L ) = 1.

Démonstration. — Partons de la suite exacte courte qui définit le sous-groupe infinitésimal :1→ R∞L → RL → RL`

= ∏L|`RLL

→ 1.Prenant les points fixes par G, nous obtenons la suite exacte longue :

1→ R∞K → RK � RK`→ H1(G,R∞L )→ H1(G,RL) = 1,

où le groupe de cohomologie à droite est trivial (c’est le Théorème 90) ; ce qui donne lerésultat. �

Scolie 3. — Dans une `-extension `-ramifiée de corps de nombres L/K qui vérifie la conjec-ture de Leopoldt (pour le premier `), le sous-module de torsion T ∞K de C ∞K s’identifie ausous-module des points fixes T ∞L G de celui de C ∞L :

T ∞GL = j∞L/K(T ∞K ) ' T ∞K .

3. Module de Bertrandias-Payan et classes pseudo-infinitésimalesLe groupe de Galois Gal(Kbp/K) du compositum Kbp des `-extensions cycliques d’un corpsde nombres K qui sont localement Z`-plongeables (ainsi noté parce qu’il été introduit parBertrandias et Payan dans [2]) est décrit par la théorie `-adique du corps de classes commele quotient

Gal(Kbp/K) ' JK/∏

p µKpRK

du `-adifié JK = ∏resp RKp du groupe des idèles de K par le sous-module engendré par les

`-groupes locaux µKpde racines de l’unité et le sous-groupe RK des idèles principaux (cf. [9]

ou [12]). Pour le regarder comme groupe de classes de diviseurs, il suffit d’écrire JK commele produit J ′KRK , où J ′K est le produit ∏res

p-` RKp (en vertu du théorème d’approximationsimultanée) et d’observer que le quotient J ′K/

∏p-` µKp

s’identifie canoniquement au `-groupeD′K . Il vient ainsi :



Proposition & Définition 4. — Le groupe de Galois Gal(Kbp/K) du compositum des `-extensions cycliques d’un corps de nombres K qui sont localement Z`-plongeables s’identifieau quotient

C bpK = D′K/P bp

K

du `-groupe D′K des diviseurs de K étrangers à ` par le sous-groupe P bpK des diviseurs prin-

cipaux engendrés par les éléments pseudo-infinitésimaux, c’est à dire les éléments de RK quisont localement des racines de l’unité aux places au-dessus de `.Nous disons que C bp

K est le `-groupe des classes pseudo-infinitésimales du corps K et que sonsous-module de Z`-torsion T bp

K est le module de Bertrandias-Payan attaché à K.

Le sous-groupe des principaux pseudo-infinitésimaux est ainsi donné par la suite exactecourte :

1→ R∞K → R bpK → µK`

= ∏l|` µKl

→ 1.Et le groupe d’unités E bp

K correspondant à C bpK est donc le sous-groupe µloc

K des éléments deRK qui sont localement partout des racines de l’unité ; sous la conjecture de Leopoldt (pour `et pour K), c’est tout simplement le `-groupe µK des racines de l’unité dans K (cf. [12], §2.2).Dans ce contexte, la suite exacte des classes ambiges prend donc la forme :

Proposition 5. — Avec les notations ci-dessus, le sous-groupe de capitulation du groupedes classes pseudo-infinitésimales dans une `-extension de corps de nombres est donné par lasuite exacte :

1→ Cap bpL/K → P

bp GL /P bp

K → D′LG/D′K → C bp GL /jL/K(C bp

K )→ H1(G,P bpL )→ 1.

Il suit en particulier : |Cap bpL/K | ≤ (P bp G

L : P bpK ), avec égalité en cas de `-ramification.

Ce résultat fournit directement une majoration simple de la capitulation pseudo-infinitésimale :partant de la suite exacte courte qui définit le sous-module principal pseudo-infinitésimal

1→ µlocL → R bp

L → Pbp

L → 1,prenant la cohomologie et comparant la suite obtenue à celle pour K, on obtient par leserpent :

1→ P bp GL /P bp

K → H1(G,µlocL )→ H1(G,R bp

L )→ · · ·En fin de compte, on a donc les deux inégalités (et l’égalité à droite, sous la conjecture deLeopoldt dans L) :

|Cap bpL/K | ≤ (P bp G

L : P bpK ) ≤ |H1(G,µloc

L )| = |H1(G,µL)|.En particulier (voir aussi [6], th. 2.3 et [19] §2) :

Théorème 6. — Sous la conjecture de Leopoldt il ne peut y avoir de capitulation pour lesclasses pseudo-infinitésimales dans une `-extension L/K de corps de nombres si le corps debase K ne contient pas les racines `-ièmes de l’unité ; ni, s’il les contient, lorsque L est unétage fini de sa Z`-extension cyclotomique.

Démonstration. — Si K ne contient pas les racines `-ièmes de l’unité, le corps L ne lescontient pas non plus ; et, s’il les contient et que L est contenue dans la Z`-extension cyclo-tomique Kc de K, le groupe µL est cohomologiquement trivial. Dans les deux cas il suit :H1(G,µL) = 1 ; donc Cap bp

L/K = 1. �


J.-F. Jaulent 49

4. Capitulation pseudo-infinitésimale et ramification logarithmiqueRappelons qu’une `-extension de corps de nombres L/K est dite logarithmiquement nonramifiée lorsqu’elle est localement cyclotomique, i.e. lorsque pour toute place l de K et chaqueplace L de L au-dessus de l, l’extension locale LL/Kl est contenue dans la Z`-extensioncyclotomique locale Kc

l /Kl (cf. [11] ou [12]).

– Aux places modérées (i.e. étrangères à `), la Z`-extension cyclotomique Kcl /Kl coïncidant

avec la Z`-extension non ramifiéeKnrl /Kl, la non-ramification logarithmique coïncide avec

la non-ramification au sens habituel. Une `-extension logarithmiquement non ramifiée estdonc, en particulier, non ramifiée (au sens habituel) en dehors de `, i.e. `-ramifiée.

– Aux places sauvages (i.e. divisant `), en revanche, la notion de `-extension logarithmi-quement non ramifiée diffère substantiellement de celle de `-extension non-ramifiée.

Ce point rappelé, revenons à notre problème et considérons une `-extension arbitraire L/K.Nous pouvons supposer µK 6= 1 et L 6= K[µL ] sans quoi il ne peut y avoir de capitulationpseudo-infinitésimale en vertu du théorème 6 ci-dessus.Notons alors K ′ = K[µL ] et observons que le morphisme d’extension de C bp

K dans C bpK′ est

injectif. Considérons un diviseur aK , d’ordre ` dans C bpK , qui se principalise dans C bp

L , ceque nous écrivons aL = (αL) dans D′L. Il suit : (α`

L) = a`L = (αK), toujours dans D′L, pour

un certain αK dans R bpK . Ainsi α`

L/αK est une unité pseudo-infinitésimale de L, i.e. (sous laconjecture de Leopoldt) une racine de l’unité ζK′ ∈ µK′ = µL . Il vient alors α`

L = αKζK′ etaK , qui est toujours d’ordre ` dans C bp

K′ se principalise dans la sous-extension kummérienneL′ = K ′[

√αKζK′ ] de L, laquelle est logarithmiquement non-ramifiée sur K ′ donc sur K,

puisque l’élément αKζK′ est localement une racine de l’unité aux places au-dessus de ` etune puissance `-ième d’idéal aux places étrangères à `. Itérant ce procédé, nous obtenons(analoguement à [6] §2) :

Proposition 7. — Soient K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unitéet L une `-extension de K, puis L′ le compositum des sous-extensions de L qui sont lo-garithmiquement non-ramifiées sur K (en d’autres termes la plus grande sous-extension deL qui est localement cyclotomique sur K). Sous la conjecture de Leopoldt, la capitulationpseudo-infinitésimale dans L/K se lit dans L′/K :

Cap bpL/K = Cap bp

L′/K .

Ce point acquis, ce n’est donc pas restreindre la généralité que de supposer l’extensionL/K non-ramifiée aux places au-dessus de ` ; auquel cas la trivialité du quotient D′LG/D′Kdonne l’égalité Cap bp

L/K = P bp GL /P bp

K et la capitulation pseudo-infinitésimale s’interprète ainsicomme le noyau du morphisme entre groupes de cohomologie : H1(G,µloc

L )→ H1(G,R bpL ).

Pour calculer le groupe de droite, partons de la suite exacte qui définit R bpL :

1→ R∞L → R bpL → µL`

= ∏l|` µLl

→ 1.Prenant la cohomologie et comparant la suite obtenue avec celle écrite pour R bp

K , nous obte-nons :

1→ H1(G,R∞L )→ H1(G,R bpL )→ H1(G,µL`

)→ H2(G,R∞L ).



Et le groupe à gauche H1(G,R∞L ) est trivial, comme expliqué dans la section 1.

Il suit de là que l’on a H1(G,R bpL ) = 1, sous la condition suffisante H1(G,µL`

) = 1, laquelleest automatiquement vérifiée dès lors que l’extension L/K considérée est localement cyclo-tomique, c’est à dire, suivant la terminologie introduite dans [11], logarithmiquement nonramifiée.Il vient ainsi, sous la conjecture de Leopoldt, qui assure l’égalité µloc

L = µL :

Proposition 8. — Soit L/K une `-extension de corps de nombres logarithmiquement nonramifiée et vérifiant la conjecture de Leopoldt. La capitulation pour le module de Bertrandias-Payan est alors donnée par l’isomorphisme :

Cap bpL/K ' H1(G,µL).

5. Détermination de la capitulation pseudo-infinitésimale

Récapitulant les propositions précédentes, nous obtenons la description complète de Cap bpL/K :

Théorème 9. — Soient L/K une `-extension arbitraire de corps de nombres vérifiant laconjecture de Leopoldt, L′/K sa plus grande sous-extension qui est localement cyclotomiqueet G′ = Gal(L′/K) son groupe de Galois. La capitulation dans L/K pour le module deBertrandias-Payan est alors donnée par l’isomorphisme :

Cap bpL/K ' H1(G′, µL).

Scolie 10. — Lorsque la `-extension L/K est linéairement disjointe de la Z`-extension cy-clotomique Kc/K, la capitulation pour le module de Bertandias-Payan est donnée par l’iso-morphisme :

Cap bpL/K ' Hom(G′, µK).

Démonstration. — L’hypothèse de disjonction linéaire se traduit par l’égalité : µL = µK . �

Corollaire 11. — Soient K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unité,K lc sa pro-`-extension abélienne localement cyclotomique maximale et Kc sa sous-extensionglobalement cyclotomique. Soient L une `-extension cyclique de K vérifiant la conjecture deLeopoldt (pour le premier `), L′ = K lc ∩ L et K ′ = Kc ∩ L. L’ordre de la capitulationpseudo-infinitésimale est alors le minimum de l’ordre du `-groupe de racines µK et du degréde l’extension L′/K ′ :

|Cap bpL/K | = min {|µK |, [L′ : K ′]}.

Démonstration. — Observons d’abord que nous avons par construction K ′ = K[µL] doncµK′ = µL′ = µL. Le groupe quotient G′ = Gal(L′/K) étant cyclique, le premier groupe decohomologie de G′ relatif à µL s’écrit comme quotient

H1(G′, µL) ' NµL/µIG′L


J.-F. Jaulent 51

du noyau de la norme NµL = {ζ ∈ µL |NL′/K(ζ) = 1} par l’image de l’augmentation µIG′L .

Le dénominateur µIG′L = {ζ ∈ µL |NK′/K(ζ) = 1} ' µK′/µK est formé des racines [K ′ : K]-

ièmes de l’unité ; et le numérateur est sa pré-image dans µL par l’application ζ 7→ NL′/K′(ζ) =ζ [L′:K′].Le premier est ainsi d’ordre (µL : µK) = [K ′ : K] ; le second, d’ordre min {|µL|, [L′ : K]}. �Exemple 12. — Soient K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unité etL une extension cyclique de degré ` sur K vérifiant la conjecture de Leopoldt (pour le premier`). Alors :

(i) Si L/K est cyclotomique (i.e. contenue dans Kc/K), la capitulation Cap bpL/K est triviale.

(ii) Si L/K est localement cyclotomique mais non globalement, on a : |Cap bpL/K | = `.

(iii) Si L/K n’est pas localement cyclotomique, la capitulation Cap bpL/K est triviale.

Illustrations numériques. Prenons ` = 3, pour K un corps biquadratique Q[√d,√−3]

contenant les racines cubiques de l’unité ; et notons ε l’unité fondamentale du sous-corps réelde K.

(i) PourK arbitraire et L = K[cos(2π/9)], l’extension L/K est le premier étage de la Z3-tourcyclotomique ; il vient donc : Cap bp

L/K = 1, quelle que soit la valeur de d.

(ii) Pour d = 42, 105, 195, 258 et L = K[ 3√ε], l’extension L/K est logarithmiquement non ra-mifiée (mais non 3-décomposée) et n’est pas globalement cyclotomique ; il suit : |Cap bp

L/K | =3.

(iii) Pour d = 142, 223, 229, 235, en revanche, et L = K[ 3√ε], l’extension L/K est logarithmi-quement ramifiée aux places au-dessus de 3 ; il suit : |Cap bp

L/K | = 1.

Remarques. Lorsque K contient les racines `-ièmes de l’unité, on sait par [10], cor. A.2 ou[12], §3.3 que la trivialité du sous-groupe de Z`-torsion T bp

K du module de Bertrandias-PayanC bp

K équivaut à celle du `-groupe des classes logarithmiques C K ' Gal(K lc/Kc).Dans chacun des exemples L = K[ 3√ε] ci-dessus, le groupe de classes logarithmiques de Kest d’ordre 3, ce qui assure la non-trivialité de T bp

K . La liste fait apparaître toutes les valeursd < 300 pour lesquelles cette condition est remplie et ε n’est pas un cube local aux placesau-dessus de 3.

6. Conoyau du morphisme d’extension dans le cas cyclique localementcyclotomique

Intéressons-nous maintenant au conoyau Cocap bpL/K = Coker j bp

LK du morphisme d’extensionj bp

LK : C bpK → C

bp GL dans une `-extension localement cyclotomique L/K de groupe G.

D’après la proposition 5, la suite exacte des classes pseudo-infinitésimales ambiges nousdonne :



1→ H1(G,P bpL )→ Cocap bp

L/K → H2(G,µL)→ H2(G,R bpL )→ · · ·

ce qui, lorsque G est cyclique, nous conduit à la suite exacte courte :1→ H1(G,P bp

L )→ Cocap bpL/K → (µK ∩NN/K(R bp

L ))/NL/K(µL)→ 1.Examinons successivement les deux groupes à droite et à gauche. Il vient :

Lemme 13. — Dans une `-extension localement cyclotomique de corps de nombres L/K,on a :

H1(G,R bpL ) = 1 .

Démonstration. — Partant de la suite exacte courte qui relie éléments infinitésimaux et élé-ments pseudo-infinitésimaux :

1→ R∞L → R bpL → µL`

= ∏L|` µLL

→ 1,prenant la cohomologie et comparant la suite obtenue à celle écrite pour le corps K, nousobtenons par le serpent la suite exacte :

1→ H1(G,R∞L )→ H1(G,R bpL )→ H1(G,µL`

)→ · · ·où le groupe H1(G,R∞L ) est toujours nul d’après le lemme 2 ; et le groupe H1(G,µL`

) aussidès que l’extension L/K est localement cyclotomique ; d’où le résultat annoncé. �

Lemme 14. — Dans une `-extension cyclique localement cyclotomique de corps de nombresL/K linéairement disjointe de la Z`-extension cyclotomique Kc/K, on a :

(µK ∩NL/K(R bpL ))/NL/K(µL) = µK/NL/K(µL) = µK/µ

[L:K]K .

Démonstration. — Tout le problème est de vérifier l’inclusion : µK ⊂ NL/K(R bpL ). Partons

donc d’une racine de l’unité ζ ∈ µK . L’extension L/L étant localement cyclotomique, sonimage semi-locale s`(ζ) dans µK`

est contenue dans NL/K(µL`). Il existe donc un xL ∈ R bp

L

tel qu’on ait : s`(ζ/NL/K(xL)) = 1 ; et le quotient ζ/NL/K(xL)) = 1 est ainsi dans R∞K .Par ailleurs, ζ, qui est norme locale partout par hypothèse, est également une norme globaleen vertu du principe de Hasse, puisque l’extension L/K est supposée cyclique ; de sorte queζ/NL/K(xL) = 1 est en fait dans R∞K ∩NL/K(RL). Le résultat attendu résulte donc du lemmesuivant. �

Lemme 15. — Dans une `-extension cyclique de corps de nombres L/K, on a :R∞K ∩NL/K(RL) = NL/K(R∞L ).

Démonstration. — La suite longue de cohomologie associée dans le cas cyclique à la suiteexacte canonique

1→ R∞L → RL → RL`= ∏

L|`RLL→ 1

nous fournit la séquence exacte :· · · → H1(G,RL`

)→ H2(G,R∞L )→ H2(G,RL)→ · · · .où le groupe à gauche est nul par le Théorème 90 semi-local. �

Récapitulant ce qui précède, nous obtenons finalement le résultat synthétique suivant :


J.-F. Jaulent 53

Théorème 16. — Soit K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unité, L/Kune `-extension cyclique localement cyclotomique linéairement disjointe de la Z`-extension cy-clotomique Kc/K ; et G = Gal(L/K) son groupe de Galois. Noyau et conoyau du morphismed’extension j bp

LK : C bpK → C

bp GL entre classes pseudo-infinitésimales sont alors donnés sous

la conjecture de Leopoldt par les isomorphismes :Cap bp

L/K ' H1(G,µK) = [L/K]µK et Cocap bpL/K ' H2(G,µK) = µK/µ

[L/K]K .

7. Application aux tours localement cyclotomiquesIl est naturel de se demander si un corps de nombres donnéK, dont le module de Bertrandias-Payan T bp

K est non-trivial, possède ou non une `-extension L avec T bpL = 1.

Lorsque K ne contient pas les racines `-ièmes de l’unité, le théorème 6 répond à la question :

Théorème 17. — Si K est un corps de nombres pour lequel on a µK = 1 mais T bpK 6= 1,

toutes ses `-extensions L vérifient les deux mêmes propriétés : µL = 1 mais T bpL 6= 1.

Démonstration. — D’après le théorème 6 le morphisme d’extension j bpL/K : T bp

K → T bpL est

injectif. �

Regardons maintenant le cas où K contient les racines `-ièmes de l’unité. Il vient alors :

Lemme 18. — S’il existe une `-extension L/K avec T bpL = 1, alors sa sous-extension

localement cyclotomique (i.e. logarithmiquement non ramifiée) maximale L′/K vérifie aussiT bp

L′ = 1.

Démonstration. — D’après la proposition 7, en effet, le morphisme d’extension i bpL/L′ : T bp

L′ →T bp

L est injectif, puisque L/L′ ne contient par construction aucune sous-extension logarith-miquement non ramifiée. �

Il suit de là que la question de la trivialisation du module de Bertrandias-Payan peut s’ap-préhender dans les tours localement cyclotomiques et qu’elle se ramène donc à l’étude de latrivialisation du `-groupe des classes logarithmiques par `-extension logarithmiquement nonramifiée, déjà conduite dans une série d’articles : [13], [14], [15]. Il vient ainsi :

Théorème 19. — Soit K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unité. Sousles conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min, les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe une `-extension L/K qui admet un module de Bertrandias-Payan trivial : T bpL =

1.

(ii) Il existe une `-extension localement cyclotomique L/K qui vérifie : T bpL = 1.

(iii) Le corps K a une `-extension localement cyclotomique L logarithmiquement principale :C L = 1.

(iv) La `-tour localement cyclotomique de K est finie.



Démonstration. — Rappelons qu’il est associé dans [13] à chaque corps de nombres K une`-tour localement cyclotomique K = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · ·K∞ obtenue enprenant pour premier étageK1 le compositum des sous-extensionsK ′/K de la pro-`-extensionabélienne localement cyclotomique maximale K lc/K, qui sont linéairement disjointes de laZ`-extension cyclotomique Kc/K et pour lesquelles on a K lc = K ′Kc ; puis en itérant leprocédé à partir de K1 (cf. [13] §3).Et il est montré (cf. [13], Th. 4) que cette tour est finie si et seulement si le corps K pos-sède une `-extension localement cyclotomique L logarithmiquement principale ; ce qui établitl’équivalence de (iii) et de (iv). Celle de (ii) et (iii) résulte des théorèmes de dualité citésplus haut ([10], cor. A.2 et [12], §3.3), qui assurent que les groupes C L et T bp

L ont mêmerang dès lors que le corps L contient les racines `-ièmes de l’unité. Enfin l’équivalence de (i)et (ii) est donnée par le lemme. �Remarques. Précisons quelques points.

(i) Comme expliqué dans e.g. [8], [9], [12], [16] ou [17], en présence des racines `-ièmesde l’unité la trivialité du `-groupe des classes logarithmiques entraîne la validité desconjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min (dite aussi conjecture de Gross généralisée).Il est donc facile de reformuler le Théorème indépendamment de ces conjectures.

(ii) Il peut arriver que la tour localement cyclotomique K∞/K soit finie comme infinie. Descritères d’infinitude, basés sur le théorème de Golod et Šafarevič, sont donnés dans [13]et [14]. Inversement quelques conséquences de la finitude sont présentées dans [15].

(iii) Sur le problème de la capitulation pour le `-groupe des classes logarithmiques, voir [16].

Exemple. Les calculs sur pari/gp montrent que le corps sextique K = Q[ 3√17,√−3] a un

3-groupe des classes logarithmiques d’ordre 3, donc exactement quatre 3-extensions cycliquesde degré 3 qui sont localement cyclotomiques, parmi lesquelles la cyclotomique K[cos(2π/9)].Pour chacune des trois autres L, on trouve C L = 1. La 3-tour localement cyclotomique deK est ainsi de hauteur 1.

8. Typologie du cas cyclique élémentaireSupposons toujours que K contient le groupe lµ.. ` des racines `-ièmes de l’unité et regar-dons plus spécialement le cas où L est une `-extension cyclique élémentaire (i.e. de degré`) localement mais non globalement cyclotomique, de sorte que nous avons en particulierµL = µK 6= 1.Cette situation est gouvernée par le porisme suivant (à ne pas confondre avec [6] §4.1) :

Définition & Proposition 20. — Soient K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unité, L/K une `-extension cyclique élémentaire localement cyclotomique et aK ∈D′K représentant une classe non-triviale de C bp

K qui capitule dans C bpL . Alors, sous la conjecture

de Leopoldt :

– ou bien le diviseur aK représente une classe non-triviale du groupe logarithmique C K quicapitule dans C L et nous disons que l’extension L/K est de type classe ;


J.-F. Jaulent 55

– ou bien le diviseur aK est logarithmiquement principal, auquel cas on a L = K[√εK ] pourune unité logarithmique εK ∈ EK , et nous disons que l’extension L/K est de type unité.

Démonstration. — Écrivons aK = (αL) dans D′L et a`K = (α′K) dans D′K puisque les hypo-

thèses faites imposent à la classe du diviseur aK d’être d’ordre exactement ` dans C bpK . Le

quotient α′K/α`L est alors, comme déjà vu dans la section 3, une racine (locale partout donc

globale) de l’unité ζK . Remplaçant α′K par αK/ζK , nous obtenons αK = α`L et L = K[√αK ].

Observons maintenant que l’égalité aK = (αL) implique degL aL = degL αL = 0 (cf. [11]), desorte que aK , regardé comme diviseur logarithmique de K, est de degré nul, ce qui permetde considérer sa classe dans le groupe logarithmique C K . Cela étant :

– Si elle est triviale, écrivons aK = div(βK) pour un βK de RK . Il vient alors αK = εKβ`K

pour une unité logarithmique εK et donc L = K[√εK ], comme annoncé.

– Inversement, si l’on a L = K[√εK ] pour une unité logarithmique εK , il suit αK = εKβ`K

pour un βK de RK ; puis a`K = div(αK) = div(β`). Et ak = div(βK) est logarithmique-

ment principal, ce qui achève la démonstration du porisme.

�Exemples. PourK = Q[

√d,√−3] et d = 29, 62, 74, 77, . . . , le corps biquadratiqueK possède

une unique place au-dessus de 3 et un 3-groupe des classes logarithmiques d’ordre 3. Songroupe des unités logarithmiques EK coïncide avec le 3-adifié E ′K = Z3 ⊗Z E

′K du groupe des

3-unités et l’unité fondamentale ε du sous-corps quadratique réel Q[√d] est donc aussi une

unité logarithmique. Le calcul montre que c’est un cube local (au dessus de 3) dans K. Ainsil’extension 3-ramifiée L = K[ 3√ε] est 3-décomposée et donc localement cyclotomique. Elleest, bien sûr, de type unité.Pour illustrer le type classe, considérons le cas des extensions à conjugaison complexe :

Proposition 21. — Soient K, contenant le groupe lµ.. ` des racines `-ièmes de l’unité, uncorps à conjugaison complexe, extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corpsK+ totalement réel, et L une `-extension localement cyclotomique de K provenant par com-position avec K d’une `-extension cyclique élémentaire L+ de K+ autre que la cyclotomique.Dans ce cas, sous la conjecture de Gross-Kuz’min, l’extension L/K est toujours de type classe.

Démonstration. — Notons τ la conjugaison complexe. Le nombre premier ` étant impair,chaque Z`-module galoisien se décompose naturellement en ses composantes réelles et imagi-naires par action des deux idempotents e± = 1

2(1± τ).Par hypothèse, le groupe de Galois Gal(L/K) ' Gal(L+/K+) est réel et le radical corres-pondant Rad(L/K) ' Hom(Gal(L/K), lµ.. ` ) est donc imaginaire. Or, sous la conjecture deGross-Kuz’min, la composante imaginaire du groupe des unités logarithmiques se réduit auxracines de l’unité (cf. [11]). La seule `-extension élémentaire localement cyclotomique de typeunité est donc la cyclotomique, qui a été exclue. �Nota. Dans la situation ci-dessus, la composante réelle du `-groupe des classes logarithmiquesC e+

K ' C K+ est non-triviale par hypothèse. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, les inégalitésdu miroir assurent alors qu’il en est de même de la composante imaginaire C e−

K , laquelle amême rang que le module de Bertrandias-Payan TK+ ' T

e+K . Or, celui-ci s’injecte dans



TL+ ' Te+

L , puisque la capitulation Cap bpL/K ' H1(G,µL) est imaginaire. En particulier, le

`-groupe TL+ est donc toujours non-trivial dans ce cas.

9. Capitulation ultime dans les tours localement cyclotomiquesLes résultats donnés dans la section 6 montrent qu’un corps de nombres K dont le modulede Bertrandias-Payan TK est non-trivial ne peut admettre de `-extension N avec TN =1 que s’il contient le groupe lµ.. ` des racines `-ièmes de l’unité et si sa `-tour localementcyclotomique N/K est finie. Cette tour peut alors être décrite (non canoniquement) parempilement d’extensions cycliques élémentaires K = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn = N de degrésrelatifs [Ki+1 : Ki] = `. L’objet de cette dernière section est de regarder plus attentivementle dernier étage Kn/Kn−1 d’une telle tour.

Soit donc K un corps de nombres avec µK ⊃ lµ.. ` et TK 6= 1, possédant une `-extension L

de degré ` avec TL = 1. Notons G = Gal(L/K) et observons que TK capitule dans L, cequi impose à l’extension L/K d’être localement mais non globalement cyclotomique, donc devérifier µL = µK , et à TK = Capbp

L/K ' Hom(G,µL) d’être d’ordre ` (cf. §3).Par ailleurs, L contenant les racines `-ièmes de l’unité, la trivialité de TL équivaut à celle du`-groupe des classes logarithmiques C L (et implique au passage la validité dans L des conjec-tures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min). En d’autres termes la pro-`-extension abélienne lo-calement cyclotomique maximale Llc de L coïncide avec sa Z`-extension cyclotomique Lc. Ilsuit K lc = Llc = Lc et le `-groupe des classes logarithmiques C K de K est donc exactementd’ordre `.Ce point acquis, nous pouvons observer que toutes ces propriétés se propagent à chaqueétage fini Ln/Kn de la `-tour cyclotomique Lc/Kc construite sur l’extension L/K. En effet,la trivialité du `-groupe des classes logarithmiques C L ' Gal(Llc/Lc) montre que la pro-`-extension (galoisienne) localement cyclotomique maximale de L se réduit encore à Lc, de sorteque tous les C Ln sont identiquement nuls. Par dualité, il en est de même des modules TLn

de sorte que chacune des extensions Ln/Kn vérifie nos hypothèses de départ. En particulier,il vient ainsi :

|TKn | = |C Kn | = ` et |TLn | = |C Ln | = 1à chaque étage fini n ∈ N de la `-tour cyclotomique.Regardons maintenant le sommet Lc/Kc de la tour : Ll extension Lc/Kc est localement cy-clotomique, donc, dans le cas présent, complètement décomposée en chacune de ses places.Comme Lc ne possède aucune `-extension non-triviale complètement décomposée partout,c’est précisément la `-extension (en l’occurence abélienne) complètement décomposée maxi-male de Kc. Et le groupe de Galois Gal(Lc/Kc) ' G est donc la limite projective (pour lesapplications normes) des `-groupes de `-classes C ′Kn

des corps Kn. Autrement dit, il suit :lim←− C Kn = lim←− C

′Kn' G i.e. C Ln = C ′Ln

= 1 pour tout n� 0 ;puis, par un argument classique de théorie d’Iwasawa :

lim−→ C Kn = lim−→ C′Kn

= C ′Kc = 1,de sorte que, contrairement aux modules TKn , les groupes de classes C Kn et C ′Kn

capitulentultimement dans la `-tour cyclotomique à chaque étage assez grandKn+1/Kn, avec apparition


J.-F. Jaulent 57

à chaque fois au niveau supérieur de classes (ambiges) qui ne proviennent pas de l’étageinférieur.À l’opposé, puisqu’il n’y a pas de capitulation pour les modules de Bertrandias-Payan dans la`-tour cyclotomique, tous les TKn sont engendrés par la classe d’un même diviseur aK ∈ D′K ,lequel est logarithmiquement principal pour n � 0. Il suit de là que les extensions Ln/Kn

sont ultimement de type unité.En résumé, il vient :

Théorème 22. — Soit K un corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l’unité avecTK 6= 1, mais qui possède une `-extension L de degré [L : K] = ` avec TL = 1 :

– on a |TKn | = |C Kn | = ` et TLn = C Ln = 1 à chaque étage fini Ln/Kn de la `-tourcyclotomique ;

– on a C Kn = C ′Knpour tout n � 0 avec capitulation dans C Kn+1 = C ′Kn+1 ; et donc

C ′Kc = 1.

Et les `-extensions localement cyclotomiques Ln/Kn sont ultimement de type unité.

Remarque. Le corps sextique K = Q[ 3√17,√−3] présenté à la fin de la section 3 fournit un

exemple simple de la situation décrite ci-dessus. Bien entendu, quoique totalement imaginaire,il n’est pas à conjugaison complexe, cette conjugaison étant incompatible avec le type unité(cf. §7).

Références[1] K. Belabas et J.-F. Jaulent, The logarithmic class group package in PARI/GP, dans ce

volume.[2] F. Bertrandias et J.-J. Payan, Γ-extensions et invariants cyclotomiques, Ann. Sci. Ec. Norm.

Sup. 4 (1972), 517–548.[3] G. Gras, Class Field Theory. From theory to practice, SMM, Springer-Verlag 2005.[4] G. Gras, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d’un corps de

nombres, J. reine angew. Math. 333 (1982), 86–132.[5] G. Gras, Plongements kummeriens dans les Zp-extensions, Compositio Math. 55 (1985), 383–

396.[6] G. Gras, Sur le module de Bertrandias–Payan dans une p-extension galoisienne – noyau de

capitulation, dans ce volume.[7] J.-F. Jaulent, S -classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques, Ann. Sci. Inst. Fou-

rier 34 (1984), 1–27.[8] J.-F. Jaulent, Sur les conjectures de Leopoldt et de Gross, Actes des Journées Arithmétiques

de Besançon, Astérisque 147-148 (1987), 107–120.[9] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des `-extensions (Thèse d’Etat, Université de Franche-Comté,

Besançon), Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Années 1984/86, http://pmb.univ-fcomte.fr/1986.html



[10] J.-F. Jaulent, La théorie de Kummer et le K2 des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bor-deaux 2 (1990), 377–411.

[11] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux 6(1994), 301–325.

[12] J.-F. Jaulent, Théorie `-adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10(1998), 355–397.

[13] J.-F. Jaulent et F. Soriano-Gafiuk, Sur les tours localement cyclotomiques de corps denombres, Archiv der Math. 73 (1999), 132-140.

[14] J.-F. Jaulent et C. Maire, À propos de la tour localement cyclotomique d’un corps de nombres,Abh. Math. Sem. Hamburg 70 (2000), 239-250.

[15] J.-F. Jaulent et C. Maire, Radical hilbertien et tour localement cyclotomique, Japan J. Math.28 (2002), 203-213.

[16] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques et capitulation, Functiones et Approximatio Comment.Math., 54 (2016), 227–239.

[17] J.-F. Jaulent, Sur les normes cyclotomiques et les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min,Annales Mathématiques du Québec (2016), à paraître.

[18] T. Nguyen Quang Do, Sur la Zp-torsion de certains modules Galoisiens, Ann. Inst. Fourier36 (1986), 27–46.

[19] T. Nguyen Quang Do, Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias–Payan, dans ce volume.

[20] S. Seo, On the Tate module of a number field, II, prépublication (2015),http://web.yonsei.ac.kr/sgseo/TGa.pdf

[21] S. Seo, On the universal norm group of the global units and the p-units, prépublication (2015),http://web.yonsei.ac.kr/sgseo/N3.pdf

18 décembre 2015

Jean-François Jaulent, Institut de Mathématiques de Bordeaux, Universitéde Bordeaux & CNRS, 351, cours de la libération, F-33405 Talence CedexE-mail : [email protected]



DESCENTE GALOISIENNE ET CAPITULATION ENTRE MODULESDE BERTRANDIAS-PAYAN

par

Thong Nguyen Quang Do

Résumé. — Étant donné un corps de nombres K et un nombre premier p, le « corps deBertrandias-Payan » associé, BPK , est le compositum de toutes les extensions p-cycliques deK qui peuvent se plonger dans des p-extensions cycliques de degré arbitrairement grand. LaZp-torsion BPK du groupe Gal(BPK/K), appelée « module de Bertrandias-Payan » attaché aucorps K, possède une interprétation algébrique (obstruction à un problème de plongement) etarithmétique (fonctions L p-adiques) intéressante. Pour une extension galoisienne finie L/K degroupe de Galois G, notre but est d’étudier le noyau et le conoyau du morphisme de transfert(ou capitulation) BPK → BPG

L .

Abstract. — (Galois descent and capitulation of Bertrandias-Payan modules) Given a numberfield K and a prime p, the associated “field of Bertrandias-Payan”, BPK , is the compositumof all the cyclic p-extensions of K which are embeddable into cyclic p-extensions of arbitrarylarge degree. The Zp-torsion BPK of the group Gal(BPK/K), called the “Bertrandias-Payanmodule”attached to K, has an algebraic meaning (obstruction to an embedding problem) as wellas an arithmetic interest (p-adic L-functions). For a finite Galois extension L/K with Galoisgroup G, we aim to study the kernel and cokernel of the so called transfer (or capitulation)morphism BPK → BPG

L .

1. La suite exacte de capitulationCe travail, bien que personnel, s’est fait en concertation avec G. Gras et J.-F. Jaulent ([G1],[J1]), dans la perspective d’une synthèse de divers problèmes de capitulation avec ramificationrestreinte. On se concentre ici sur la capitulation du module de Bertrandias-Payan (qui estun objet p-adique) dans une extension finie L/K de corps de nombres. Rappelons d’abordquelques définitions. Il est d’usage d’appeler morphisme de capitulation ou transfert l’homo-morphisme naturel C`K → C`L entre les groupes de classes de K et L induit par l’extensiondes idéaux. Si en outre L/K est galoisienne, de groupe de Galois G, l’étude de la suite exacte

Classification mathématique par sujets (2010). — 11R37,11R34, 11R23.Mots clefs. — Zp-torsion, Zp-ramification, capitulation, embedding problem.

60 Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias-Payan

de capitulation :1→ Ker iL/K → C`K

iL/K−→ C`GL → Coker iL/K → 1constitue l’un des thèmes de la théorie des genres, avec en point d’orgue la formule des classesambiges exprimant le quotient |(C`L)G|/|C`K |. Ce type de problème peut se généraliser auxclasses de rayons, en privilégiant par exemple le point de vue p-adique. Introduisons quelquesnotations générales :

– la lettre K désigne un corps de nombres, la lettre p un nombre premier impair ;

– on note µpn(K) le groupe des racines pn-ièmes de 1 contenues dans K et µ(K) =∪nµpn(K) ;

– on fixe S un ensemble fini de places de K contenant l’ensemble des p-places de K (onomet la référence à K s’il n’y a pas de confusion possible) ;

– on désigne par KS l’extension algébrique maximale de K qui est S-ramifiée, i.e. non-ramifiée en dehors de S, on pose WS

K = ⊕v ∈S µ(Kv), WSK = WS

K/iK(µ(K)) où iKdésigne l’injection diagonale (on écrira simplement WK et WK si S = Sp) ;

– on pose aussi GSK = Gal(KS/K), on définit X SK comme le pro-p-complété de (GSK)ab quiest de Zp-type fini (on écrira simplement XK si S = Sp) ;

– le compositum de toutes les Zp-extensions de K est noté K, on pose XK = Gal(K/K) ;

– enfin, T SK est le module de Zp-torsion de X SK (on écrira simplement TK si S = Sp).

La conjecture de Leopoldt pourK en p dit que le Zp-rang de X SK (indépendant de S contenantSp) est égal à 1+r2, où r2 est le nombre de paires de plongements complexes de K. Rappelonsque l’intérêt de T SK vient de ce que, pour un corps totalement réel K, ce module « contient »les fonctions L p-adiques associées à K. Si L/K est une p-extension (galoisienne) S-ramifiée,on peut étudier le morphisme de capitulation X SK → (X SL )G, ou le morphisme de capitulationT SK → (T SL )G . Dans le cas où S contient les p-places et les places ramifiées de L/K, la solutiondu problème de capitulation pour T SK et X SK est donnée par la conjecture de Leopoldt : si elleest vraie pour L, il est connu que T SK ' (T SL )G et X SK ' (X SL )G ; pour XK et TK , il faut enoutre tenir compte de phénomènes de « primitivité » ou non de la ramification dans S (voir[G3, chap. IV] ; voir aussi les §2.2 et §3.1 ci-dessous).On peut ensuite remplacer le module T SK par le sous-module de Bertrandias-Payan BPK ,qui possède des propriétés plus fines et qui peut être considéré comme un analogue « dualtordu » de la p-partie du noyau sauvage de la K-théorie (voir la fin du §3). Du point de vuedu problème de plongement, BPK mesure l’obstruction entre « Zp-plongeabilité globale » et« Zp-plongeabilité locale partout ». Rappelons les définitions : une p-extension cyclique F/Kest dite Zp-plongeable (resp. infiniment p-plongeable) si elle se plonge dans une Zp-extensioncycmique de K (resp. dans toute p-extension cyclique de K de degré arbitrairement grand) ;localement les deux notions coïncident, mais pas globalement. Introduisons alors :

– le corps, BPK de Bertrandias-Payan de K, c’est-à-dire le compositum de toutes les p-extensions cycliques infiniment plongeables de K (ne dépend pas de S) ;


T. Nguyen Quang Do 61

– le groupe CK = Gal(BPK/K) et BPK = Gal(BPK/K) le Zp-module de torsion de CK(indépendants de S) ;

– le morphisme naturel JL/K : CK → CGL déduit de XK → XGL par passage au quotient etle morphisme jL/K : BPK → BPGL déduit de JL/K par restriction.

On se propose d’étudier la suite exacte de capitulation pour les modules de Bertrandias-Payandans une extension L/K galoisienne S-ramifiée de groupe G :

1→ Ker jL/K → BPKjL/K−→ BPGL → Coker jL/K → 1.

NB : L’idée d’une telle entreprise a germé à la lecture de la prépublication [S], où l’auteurétudie un analogue du problème de la p-tour des classes de K, c’est-à-dire la finitude oul’infinitude d’une tour K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · · obtenue en « empilant » des modules deBertrandias-Payan. Modulo la conjecture de Leopoldt, son résultat central est qu’un certainquotient (assez compliqué) de |BPK | divise |BPK1 | ([S, thm. 3.2]), d’où il déduit principale-ment que la tour est infinie si K ne contient pas µp et BPK n’est pas trivial ([S, coroll. 3.4]).L’un de nous (G. Gras) ayant observé que ces résultats pouvaient s’obtenir facilement parla théorie existante de la p-ramification abélienne, nous avons alors conçu le projet d’étudiersystématiquement la capitulation entre modules de Bertrandias-Payan en utilisant toutes lesvariantes du corps de classes (voir l’introduction de [G1]).

Si K vérifie la conjecture de Leopoldt en p, on sait que CK ' X SK/WSK et BPK ' T SK /WS

K . Ondispose également d’une description cohomologique de T SK et de BPK (voir [N1]) qui serviradans la suite : sous Leopoldt, T SK est isomorphe au dual de Pontryagin de H2(GSK ,Zp), etBPK est isomorphe au noyau de localisation

Ker1S(K,µp∞) := Ker(H1(GSK , µp∞)→ ⊕v∈SH1(Kv, µp∞))

(indépendant de S). Notons que BPK est indépendant de S, mais notre approche du mo-dule des points fixes BPGL fera intervenir la ramification des places de S dans L/K, ce quiprésente à la fois des avantages et des inconvénients (voir en particulier les §3.1 et §3.2 ci-après). La question de l’intégralité du quotient |BPGL |/|BPK |, équivalente à celle du quotient|Coker jL/K |/|Ker jL/K |, est directement liée au problème précédemment cité de la tour desmodules de Bertrandias-Payan (voir l’introduction de [S]).

2. Le noyau de capitulationDans ce paragraphe, on va déterminer le noyau du morphisme de capitulation jL/K dansla configuration décrite dans la section 1. La formulation cohomologique de BPL montreimmédiatement qu’on peut se restreindre au cas où G est un p-groupe, puis, par « dévissage »,au cas où G est cyclique d’ordre p (même si les résultats dans le cas général risquent d’êtremoins commodes à formuler). L’étude se fera en deux temps : dans un premier temps, enutilisant seulement les propriétés fonctorielles de la cohomologie galoisienne ; dans un second,en faisant intervenir des résultats plus fins de la cohomologie S-ramifiée.



2.1. Approche cohomologique. — La cohomologie de µ(L) se calcule facilement à partirde la norme de L/K si G est cyclique. Dans le cas général, notons Lc l’extension cyclotomiqueL∩K(µ(L)) et H = Gal(L/Lc). L’extension L/K est dite cyclotomique si L = Lc. Il est connuque µ(L) est cohomologiquement trivial pour l’action de G/H ' Gal(Lc/K), d’où l’on tireimmédiatement, par inflation-restriction, un isomorphisme H1(G,µ(L)) ' H1(H,µ(L))G =HomG(H,µ(L)).Cas particulier où G est cyclique d’ordre p. On peut écarter le cas où µ(K) (donc aussi µ(L))est trivial. Alors, si µ(K) 6= µ(L), l’extension L/K est cyclotomique de degré p et µ(L) estG-cohomologiquement trivial. Sinon, µ(K) = µ(L) et H i(G,µ(L)) est d’ordre p pour i = 1, 2.

La cohomologie de WSL s’obtient par le lemme de Shapiro. Il dit que, si pour toute place v

de K dans S, une place arbitraire w de L est fixée au-dessus de v, alors, pour tout i ≥ 0,H i(G,WS

L ) ' ⊕v∈SH i(Lw/Kv, µ(Lw)). Les groupes locaux se calculent comme dans le casglobal.

La cohomologie de WSL intervient de deux façons :

(i) La suite exacte 1 → µ(L) → WSL → WS

L → 1 définissant WSL donne par cohomologie

une suite exacte 1 → WSK → (WS

L)G → H1(G,µ(L)) → H1(G,WSL ) → . . . . Si l’ex-

tension L/K est cyclotomique, WSK = (WS

L)G ; dans tous les cas, on a l’isomorphisme(WS

L)G/WSK ' Ker(H1(G,µ(L)) → H1(G,WS

L )). Une conséquence immédiate est quel’ordre de (WS

L)G/WSK est borné par celui de H1(G,µ(L)).

(ii) Supposons que L/K est S-ramifiée, i.e. non ramifiée hors de S. La cohomologie de la suiteexacte 1 → WS

L → T SL → BPL → 1 définissant BPL fournit un diagramme commutatifaux lignes exactes :

(1)

1 // (WSL)G // (T SL )G // (BPL)G θS // H1(G,WS

L) ρS// H1(G, T SL )

1 // WSK

//

OO

T SK //

OO

BPK //

jL/K

OO

1.

En supposant la conjecture de Leopoldt pour L, la flèche verticale du milieu est unisomorphisme d’après les rappels du §1. Par le lemme du serpent, on en déduit immédia-tement que Ker jL/K ' (WS

L)G/WSK ↪→ H1(G,µ(L)). En particulier, jL/K est injectif si

H1(G,µ(L)) ' Hom(H,µ(L)) est trivial.

Cas particulier où G est cyclique. Alors H1(G, ·) ' H−1(G, ·) et, en désignant par s ungénérateur de G, il résulte de (i) et de (ii) que Ker jL/K ' iL(µ(L)) ∩ (WS

L)1−s/iL(µ(L))1−s.Si G est d’ordre p, H1(G,µ(L)) est d’ordre 1 ou p, donc Ker jL/K également.

Théorème 2.1 ([G1, lemme 2.4 et thm. 3.1]). — Soit L/K une p-extension cyclique S-ramifiée, vérifiant la conjecture de Leopoldt en p, de groupe de Galois G = 〈s〉. Alors Ker jL/Kest cyclique, isomorphe à {ξL ∈WS

L : ξ1−sL ∈ iL(µ(K))}/WS

L · iL(µ(L)).



Démonstration. — Il est facile de voir que µ(L)/µ(K) ' µ(L)1−s, WSL /W

SK ' (WS

L )1−s etWSK · iL(µ(L))/WS

K ' µ(L)/µ(K). Comme dans [G1, §2.4], nous pouvons alors écrire la suiteexacte

1→ iL(µ(L)) ∩ (WSL )1−s/iL(µ(L))1−s →WS

L /WSK · iL(µ(L)) 1−s−→

1−s−→(WSL )1−s · iL(µ(K))/iL(µ(K)) ' (WS

L )1−s/(WSL )1−s ∩ iL(µ(K))→ 1,

d’où l’isomorphisme annoncé. �

On peut en tirer des critères d’injectivité de jL/K dans le cas cyclique comme dans le théo-rème 3.1 de [G1]. Pour un calcul de l’ordre de Ker jL/K , donc un critère d’injectivité général,voir le théorème 2.5 ci-dessous.

2.2. Approche kummerienne. —On a vu précédemment que jL/K est injectif si µ(L) =1. On se place dans cette sous-section dans la situation kummerienne (i.e. K contient µp)pour préciser le noyau de capitulation dans le cas où il n’est pas trivial. De toute façon, dansle cas général, puisque p est impair, on peut toujours monter dans K(µp) puis redescendresans problème.Rappel. Dans le cas kummerien, une p-extension cyclique (globale ou locale) est dite cycloto-mique si et seulement si elle est contenue dans la Zp-extension cyclotomique du corps de base.Dans une extension globale L/K, si une place v de K est non ramifiée dans L, l’extensionlocale Lw/Kv est forcément cyclotomique ; si v se décompose totalement dans L, dire queL/K est localement cyclotomique en v signifie que Lw = Kv.Si G est d’ordre p, alorsH1(G,µ(L)) est d’ordre p, et si L/K n’est pas cyclotomique, Ker jL/Kest non trivial si et seulement si Ker jL/K ' H1(G,µ(L)) (voir (ii) juste avant le théorème 2.1).De plus, le théorème 2.1 nous dit que ce cas se produit si et seulement si l’extension L/K n’estpas cyclotomique mais, pour toute place v ∈ S, l’extension locale Lw/Kv est cyclotomique.Par ailleurs, pour toute place v 6∈ S,Lw/Kv est non ramifiée, donc cyclotomique. En résumé :

Théorème 2.2 ([G1, thm 3.1]). — Soit L/K une extension cyclique S-ramifiée de degré p,contenant µp, vérifiant la conjecture de Leopoldt en p, qu’on écrit L = K( p

√α), α ∈ K∗ avec

v(α) ≡ 0 (mod p) pour toute place v 6∈ S. Le morphisme de capitulation jL/K est non injectifsi et seulement si l’extension L/K n’est pas globalement cyclotomique, mais est localementcyclotomique partout. Dans ce cas, Ker jL/K s’identifie naturellement à 〈α〉modK∗p.

Remarques.

(i) Soulignons qu’en toute place de S \ Sp, toute extension cyclotomique locale est nonramifiée, et par suite la non-trivialité de Ker jL/K oblige l’extension à être p-ramifiée.Donc, dans le théorème 2.2 comme dans le théorème 2.3 ci-dessous, on peut prendreS = Sp.

(ii) Une extension comme dans le théorème 2.2 est localement cyclotomique partout si etseulement si l’extension locale Lw/Kv se plonge dans la Zp-extension cyclotomique deKv en toute place v de K. Il en résulte, par le corps de classes, que l’extension L/K estinfiniment plongeable, i.e. qu’elle se plonge dans BPK , le corps de Bertrandias-Payan deK.



2.3. Approche par la cohomologie S-ramifiée. —Cette sous-section sera consacréeà une autre preuve du théorème 2.2, basée directement sur la description cohomologiquede BPK rappelée dans la section 1, et dont l’intérêt sera de permettre d’approcher aussile conoyau de capitulation (voir la section 3). Introduisons la Zp-extension cyclotomiqueK∞ = K(µp∞), avec Γ = Gal(K∞/K) ; notons X∞ = X∞(K) le groupe de Galois sur K∞de la pro-p-extension abélienne maximale de K∞ qui est non ramifiée partout, totalementdécomposée en toutes les p-places (donc en toutes les places finies). Si K vérifie la conjecturede Leopoldt en p, rappelons que la dualité de Poitou-Tate entraîne, indépendamment de Scontenant Sp, un isomorphisme ([N1, thm. 1.1]) :

(2) BPK ' Ker1S(K,µp∞) := Ker(H1(GSK , µp∞)→

⊕

v∈SH1(Kv, up∞)) ' HomΓ(X∞, µp∞).

Cette description cohomologique permet de régler sans effort le problème de capitulation pourune extension cyclotomique L/K (i.e. contenue dans K∞) : en effet, HomΓ(X∞(K), µp∞) =Hom(X∞(K), µp∞)Γ par définition, et la descente donne immédiatement un isomorphismeBPK ' BPGL .La finitude de BPK permet aussi d’en donner une description « effective » en termes de S-unités hyper-S-primaires ([N2, prop. 2.1]) : comme BPK est indépendant de S, choisissons unS « suffisamment gros » pour que le p-groupe des S-classes d’idéaux de K soit nul, ainsi qu’unentier m tel que pm soit supérieur à l’exposant de T SK ; notons ESK le groupe des S-unités deK. Alors(3) BPK ' {x ∈ ESK : x ∈ K∗pm

v pour tout v ∈ S}/(ESK)pm.

Remarques.

(i) Dans (2) et (3), le module BPK , qui est un groupe de Galois, s’identifie asymptotique-ment à un radical kummerien. C’est là une manifestation du phénomène du « miroir »(Spiegelung) en théorie d’Iwasawa.

(ii) NotonsKspl∞ l’extension abélienne deK∞ dont le groupe de Galois est (X∞)Γ. C’est la pro-

p-extension abélienne maximale deK qui est totalement décomposée partout au-dessus deK∞. Pour toute p-extension L/K localement cyclotomique partout, on a L ·K∞ ⊂ Kspl

∞ .

(iii) Le module de codescente (X∞)Γ est appelé groupe des « classes logarithmiques » etnoté C`K par J.-F. Jaulent, qui en donne une description de type non asymptotique, auniveau de K (voir e.g. [J2]). Notons γ un générateur topologique de Γ, κ le caractèrecyclotomique, et X∞(−1) le module tordu (−1)-fois à la Tate. Si K contient µp, on voittout de suite que les groupes X∞(−1)/(p, γ− 1) et X∞/(p, κ(γ)−1γ− 1) sont isomorphescar κ(γ) ≡ 1 mod p, d’où l’on déduit que BPK et (X∞)Γ ont le même nombre minimal degénérateurs. Or, sous certaines conditions de ramification, la formule des classes ambigeslogarithmiques de [J2] permet de fabriquer des exemples où C`L est trivial, donc aussiBPL. Pour une approche par la théorie des genres des classes logarithmiques, voir lesthéorèmes 2.3 et 3.9, et la proposition 3.13 ci-dessous.

Revenons à la description cohomologique (2). Dans une extension L/K galoisienne de groupeG, vérifiant Leopoldt en p, non ramifiée en dehors de S contenant Sp, le morphisme de



capitulation jL/K est induit par la restriction resL/K : H1(GSK , µp∞) → H1(GSL, µp∞). Lasuite exacte d’inflation-restriction-transgression de Hochschild-Serre

1→ H1(G,µ(L))infL/K

−−−−→H1(GSK , µp∞)resL/K

−−−−→H1(GSL, µp∞)GtrgL/K

−−−−→H2(G,µ(L))permet ainsi d’écrire la suite exacte de capitulation sous la forme(4)

1→ H1(G,µ(L)) ∩Ker1S(K,µp∞)→ Ker1

S(K,µp∞)jL/K

−−→Ker1S(L, µp∞)G → Coker jL/K → 1

où le morphisme jL/K est induit par la restriction cohomologique.Dans la situation kummerienne, on prend L = K( p

√α), α ∈ K∗ et l’on se propose de décrire

le noyau Ker jL/K = H1(G,µ(L))∩Ker1S(K,µp∞) par des conditions portant sur αmodK∗p.

Pour les calculs cohomologiques, comme Ker jL/K est au plus d’ordre p, on peut se restreindredans (4) aux sous-modules tués par p, notés (·)[p].Théorème 2.3 ([G1, thm. 3.1]). — Soit L = K( p

√α), α ∈ K∗, une extension cyclique de

degré p, de groupe de Galois G, vérifiant la conjecture de Leopoldt en p. On suppose que cetteextension est S-ramifiée, i.e. que v(α) ≡ 0 (mod p) pour toute place v 6∈ S, et en outre queµ(L) = µ(K) 6= 1 (sinon le noyau de capitulation est trivial). Alors Ker jL/K est non trivialsi et seulement si αmodK∗p ∈ µ(Kv) modK∗pv pour toute place v ∈ S. Dans ce cas, Ker jL/Ks’identifie naturellement au groupe 〈α〉modK∗p.

Démonstration. — On a vu que Ker jL/K = H1(G,µ(L))∩Ker1S(K,µp∞)[p], et sa non trivia-

lité signifie que H1(G,µ(L)) est inclus dans Ker1S(K,µp∞)[p]. Il suffit maintenant de décrire

ce dernier module en termes galoisiens. Comme dans la remarque (ii) ci-dessus, et avec lesmêmes notations, HomΓ(X∞, µp∞)[p] = HomΓ(X∞(−1),Qp/Zp)[p] ' Hom(X∞/(p, γ−1), µp)car K contient µp . L’inclusion précédente signifie alors que Gal(L∞/K∞) est un quotientde X∞, i.e. est partout totalement décomposée. Comme L/K n’est pas cyclotomique à causede l’hypothèse µ(L) = µ(K), cela équivaut à dire que L/K est localement cyclotomiquepartout. �On a ainsi retrouvé le théorème 2.2. On peut utilement extraire de la démonstration la :

Scolie 2.4. — L’extension L = K( p√α), supposée non cyclotomique, est localement cyclo-

tomique partout si et seulement si αmodK∗p ∈ Ker1S(K,µp∞)[p]. Si K contient µpn, on peut

remplacer p par pn dans l’énoncé précédent.

Théorème 2.5 ([J1, thm. 9 et coroll. 11]). — Soit L/K une p-extension (galoisienne), soitLc sa sous-extension cyclotomique maximale, et soit Llc sa sous-extension maximale qui estlocalement cyclotomique partout, avec Glc = Gal(Llc/K). Alors Ker jL/K = Ker jLlc/K 'H1(Glc, µ(L)) ' HomGlc(H,µ(Llc)). Cas particulier : si l’extension L/K est abélienne, alorsKer jL/K est d’ordre égal à min(|µ(K)|, [Llc : Lc]).

Démonstration. — D’après la suite exacte (4), Ker jL/K = H1(G,µ(L)) ∩ Ker1S(K,µp∞) =

H1(G,µ(L))∩Ker1S(K,µp∞)Γ, et c’est cette dernière intersection qu’il faut expliciter. Puisque

L/K est une p-extension, la trivialité de µ(K) entraîne celle de µ(L), donc aussi cellede H1(G,µ(L)), et par suite on peut d’emblée se placer dans le cas kummerien. PosonsH = Gal(Llc/Lc) et Gc = Gal(Lc/K). Par définition de Lc, l’extension L/Lc est linéairement



disjointe de K∞/K, et par définition de Llc, on a Llc · K∞ = L · K∞ ∩ Kspl∞ , autrement

dit H1(G,µ(L)) ∩ Ker1S(K,µp∞)Γ = HomGc(H,µ(L)) = HomGlc(H,µ(L)). Mais le calcul du

tout début de la section 2.1 montre que HomGlc(H,µ(Llc)) = H1(Glc, µ(Llc)), et commeµ(Llc) = µ(L), on a bien Ker jL/K = Ker jLlc/K ' H1(Glc, µ(L)). Le foncteur HomGlc estun foncteur Hom de Glc-modules. Si L/K est abélienne, l’action de Glc sur H par automor-phismes intérieurs est l’action triviale, donc en fait HomGlc(H,µ(Llc)) = HomZ(H,µ(K)) =HomZ(H/|µ(K)|H,µ(K)). En décomposant H en somme directe de groupes cycliques, onpeut se ramener au cas où H est cyclique ; un homomorphisme de HomZ(H/|µ(K)|H,µ(K))est alors déterminé par la donnée de l’image d’un générateur deH/|µ(K)|H, d’où évidemmentla formule cherchée pour l’ordre de Ker jL/K . �

Le théorème précédent règle complètement le problème de la détermination du noyau decapitulation pour les p-extensions.

Complément 2.6. — Dans les hypothèses du théorème 2.3 et en supposant jL/K non in-jectif, G. Gras demande comment la capitulation se répartit entre unités et classes d’idéaux([G1, §4.1] ; voir aussi [J1, §7] pour une question voisine, mais pas identique). La réponsene paraît pas simple. Précisons d’abord le problème dans notre contexte, où nous pouvonsprendre S = Sp d’après la remarque (i) suivant le théorème 2.2. La surjection naturelle deXK sur le p-groupe AK des Sp-classes d’idéaux induit un homomorphisme ψK : BPK → AKdont on notera RK et BK respectivement le noyau et le conoyau. Un dessin galoisien montreimmédiatement que BK = Gal(HK/HK ∩ K), où HK est le p-corps des Sp-classes de Hilbert,et RK est la Zp-torsion du sous-groupe de Sp-décomposition de BPK (qu’on peut baptiser« régulateur p-adique » d’après [G1]). En notant OK et EK respectivement les Sp-entiers etles Sp-unités de K, les formulations cohomologiques (2) et (3) donnent tout de suite : pourm � 0, RK ' Ker(EK/Ep

m

K → ⊕SpK∗v/K

pm

v ) et [U] ∈ BK si et seulement si Upm = aOK ,avec a ∈ K∗pm

v pour tout v ∈ Sp ([N2, prop. 1.4] ; voir aussi [G1, §4.1]). Le noyau de capitu-lation « se partage » alors entre RK et BK au sens suivant : soit Ker jL/K ⊂ RK , et l’on ditque la capitulation dans L/K provient du régulateur ; soit Ker jL/K s’identifie par ψK à unsous-module de BK , et l’on dit qu’elle provient des classes d’idéaux. Pour départager les deuxcas, introduisons les Zp-extensions cyclotomiques K∞ et L∞ et regardons la montée entredeux étages successifs. Comme Ln/Kn et K∞/Kn sont linéairement disjointes, et commeBPKn ' BP∆n

Kn+1, ∆n = Gal(Kn+1/Kn), il est clair que Ker jLn/Kn

s’injecte naturellementdans Ker jLn+1/Kn+1 , et comme ces deux noyaux sont d’ordre p, ils coïncident. Alors :

(a) Si la capitulation dans L/K provient du régulateur, on obtient, par limite inductivedans la tour cyclotomique, un sous-groupe d’ordre p du radical kummerien ψ(K) =Ker1

Sp(K∞, µp∞)∩EK∞⊗Qp/Zp, qui est, modulo la validité asymptotique de la conjecture

de Kuz’min-Gross, un invariant fini de K∞/K ; plus précisément, ce radical est en faitisomorphe à la limite inductive stable des noyaux des projections naturelles X(K∞)Γn →AKn (voir [LMN] ou le lemme 3.15 ci-dessous).

(b) Si la capitulation dans L/K provient des classes d’idéaux, on obtient de même un sous-groupe d’ordre p de B∞ := lim−→n

BKn ⊂ A∞ := lim−→nAKn . Rappelons ici que la conjecture

de Greenberg, en abrégé (CG), prédit que si K est un corps totalement réel, le module



X∞ := lim←−nAKn est fini ou, de façon équivalente (voir [Gb, prop. 2] qui n’a besoinpour cette équivalence d’aucune hypothèse sur K), si le module A∞ est nul. Or, pourK quelconque, l’on a montré dans [N2, §4], que Z∞ := lim←−nBKn est auto-dual (dualitéà valeurs dans Zp(1)) à pseudo-isomorphisme près. Donc, si K est CM, Z+

∞ et Z−∞ sontpseudo-duaux, et (GC) équivaut à la finitude de Z∞ (plus précisément, Z+

∞ = X+∞ est fini

et Z−∞ est nul), ou encore, d’après Greenberg op. cit., à la nullité de B∞. On peut ainsiproposer une version de la conjecture de Greenberg étendue à tout corps de base, en abrégé(CGE) : pour tout corps de nombres, B∞ est nul ([NN, conjecture 2 de l’appendice]).

Il découle immédiatement de (a) et (b) que, modulo (CGE), Ker jL/K provient toujours durégulateur p-adique de RK et s’identifie à un sous-groupe de ψ(K).

3. Le conoyau de capitulationDans ce paragraphe on se propose d’étudier principalement le conoyau Coker jL/K suivantle même schéma que dans la section 2, i.e. en appliquant d’abord les mécanismes foncto-riels de la cohomologie, ensuite des propriétés plus spécifiques à la S-ramification. Commetoujours, L/K est une p-extension (pas forcément cyclique), S-ramifiée, vérifiant la conjec-ture de Leopoldt en p. Le but poursuivi est l’obtention d’une formule des classes ambigesou d’une formule des genres, i.e. d’une expression plus ou moins satisfaisante du quotientqL/K := |BPGL |/|BPK | = |Coker jL/K |/|Ker jL/K |. Le problème étudié par Seo dans [S] re-vient essentiellement à celui de l’intégralité de qL/K .

3.1. Cohomologie de T SL . —Revenons au diagramme commutatif de la section 2.1 :

1 // (WSL)G // (T SL )G // (BPL)G θS // H1(G,WS

L) ρS// H1(G, T SL )

1 // WSK

//

OO

T SK //

'OO

BPK //

jL/K

OO

1.

Comme T SK ' (T SL )G , le lemme du serpent donne immédiatement Coker jL/K ' Im θS =Ker ρS et Ker jL/K ' (WS

L)G/WSK ' ImψS , où ψS prend place dans la suite exacte naturelle

1 → (WSL)G/WS

K

ψS−−−−→H1(G,µ(L))νS−−−−→H1(G,WS

L ) (section 2.1 (i)). On en déduit queqL/K = | Im θS |/| ImψS | = |Ker ρS |/|Ker νS |.

La cohomologie de WSL ayant été calculée dans la section 2.1, l’étape naturelle suivante

consiste à étudier celle de T SL . On rappelle que X SL est le pro-p-complété de (GSL)ab et l’onnote XL son quotient Zp-libre, i.e. XL = X SL /T SL (indépendant de S).

Lemme 3.1. — Si L vérifie la conjecture de Leopoldt en p, alors H1(G, T SL ) ' XLG/XK

(indépendant de S contenant Sp).



Démonstration. — À partir de la définition de XL, on obtient par cohomologie un diagrammecommutatif aux lignes exactes

1 // (T SL )G // (X SL )G // XLG

// H1(G, T SL ) // H1(G,X SL )

1 // T SK //

OO

X SK //

OO

XK //

OO

1.

Si L vérifie la conjecture de Leopoldt, on a déjà vu que T SK ' (T SL )G. De plus, X SL possèdeles propriétés d’une « formation de classes », i.e. X SK ' (X SL )G et H1(G,X SL ) = 1 ([N3, thm.1.4] ; [N4, lemme 1.3]). On en déduit immédiatement l’isomorphisme cherché. �

Le lemme 3.1 permet de décrire explicitement H1(G, T SL ) en utilisant le « logarithme deGras » ([G3, III.2.2]) dès lors qu’on a des renseignements suffisants sur les groupes de classeset d’unités de L. Donnons quelques précisions. Si G est cyclique d’ordre p, le théorème clas-sique de Reiner permet de décomposer le ZpG-module XL en somme directe de ZpG-modulesindécomposables, unique à isomorphisme près : XL ' ZpGa⊕ IGb⊕Zcp, où IG désigne l’idéald’augmentation de l’algèbre ZpG . En adaptant (légèrement) les démonstrations du théo-rème 3.1 de [G2] et de la proposition 3.4 de [N4], on peut calculer a, b et c. Mais pourexpliciter ρS , ce qui manque, c’est de savoir reconnaître quels sous-modules « arithmétiques »de XL sont isomorphes à ceux qui apparaissent dans la décomposition de Reiner.

Inversement, on peut déterminer XL par exemple en tuant H1(G, T SL ) (voir la significationarithmétique d’une telle brutalité dans la section 3.2 ci-dessous). Comme G est cyclique etT SL est fini, H1(G, T SL ) = 1 équivaut à H2(G, T SL ) = 1, ou encore à T SK ⊂ NT SL , où N désignela norme de L/K. Or, d’après le corps de classes, T SK ⊂ NX SL si et seulement si L/K est Zp-plongeable (voir e.g. [N4, prop 1.1]). On va ainsi pouvoir préciser la décomposition de Reineren termes de théorie d’Iwasawa, en considérant L comme le premier étage d’une Zp-extensionde K, soit L∞ = ∪nLn. Si X S∞ est la limite projective des X SLn

, le théorème de structure ditque le quotient sans Λ-torsion de X S∞ s’injecte dans Λr2 , avec un conoyau fini Φ (on sait enfait que Φ est un invariant de L∞/K ; voir les préliminaires au lemme 3.15 ci-dessous). Alors :

Proposition 3.2 (à comparer à [G1, thm 5.7]). — Dans les hypothèses du théorème 2.2,H1(G, T sL ) = 1 si et seulement si L/K est Zp-plongeable et XL ' Zr2

p ⊕ Zp, où r2 désigne lenombre de paires de plongements complexes de K. En particulier, la trivialité de Φ impliquecelle de H1(G, T sL ), ainsi que l’isomorphisme X SL ' ZpGr2 ⊕ T SL ⊕ Zp.

Démonstration. — D’après [N4, prop. 2.2], la G-cohomologie de T SL est isomorphe à celle deΦΓ1 , en posant Γ1 = Gal(L∞/L), et d’après [N4, prop 3.2], le nombre maximal de copiesde ZpG qui sont facteurs directs de X SL est égal à r2 − dimH1(G,ΦΓ1) où dim désigne ladimension d’un Fp-espace vectoriel. La trivialité de H1(G, T sL ) équivaut donc à ce que ZpGr2

est facteur direct de X SL , ce qu’on peut écrire X SL ' ZpGr2⊕YSL où YSLest de Zp-rang 1 d’aprèsla conjecture de Leopoldt pour L. Puisque X SL et YSL ont même Zp-torsion, il s’ensuit queXL ' ZpGr2⊕Zp ; réciproquement, une telle décomposition de XL permet de relever dans X SLle facteur libre ZpGr2 . Cas particulier : la trivialité de Φ entraîne celle de H1(G, T SL ), ainsique la décomposition X SL ' ZpGr2 ⊕ T SL ⊕ Zp ([N4, coroll. 2.4]). �



3.2. Primitivité. — Pour faire le lien avec la section 5.1 de [G1], examinons rapidement cequi se passe, sous les mêmes hypothèses de S-ramification, pour les modules WK , TK , etc.relatifs à Sp. Dans le diagramme commutatif(5)

1 // (WL)G // (TL)G // (BPL)G θ // H1(G,WL) ρ// H1(G, TL)

1 // WK//

OO

TK //

OO

BPK //

jL/K

OO

1la flèche verticale du milieu est injective (sous Leopoldt) mais n’est plus un isomorphisme.Une chasse dans (5) donne immédiatement une suite exacte

1→ Ker jL/K →WGL /WK → TLG/TK → Coker jL/K → Im θ → 1,

d’où l’on tire, en notant ψ et ν les analogues de ψS et νS , WGL /WK ' Imψ et qL/K =

(| Im θ|/| Imψ|) · (|TLG|/|TK |) = (|Ker ρ|/|Ker ν|) · (|TLG|/|TK |) ([G1, formule (3)] ; voir aussila section 3.1).Il reste à comparer plus précisément les deux expressions de qL/K fournies par les diagrammes(1) et (5), ce qui revient à préciser la dépendance de ce quotient par rapport à l’ensemble Sde places de K contenant Sp. On rappelle que l’extension L/K est supposée S-ramifiée et quel’indice Sp est sous-entendu quand S = Sp. Pour toute place v de K dans S, on choisit uneplace arbitraire w de L au-dessus de v, et l’on note K∗v (resp. L∗w) le quotient Zp-libre du pro-p-complété deK∗v (resp. L∗w). Posons T = S\Sp ainsi queW T

L = ⊕w∈T µ(Lw), de sorte qu’on aune suite exacte 1→W T

L →WSL →WL → 1. Alors, par le corps de classes local et l’analogue

local du lemme 3.1, on a H1(Gv, µ(Lw)) ' L∗wGv/K∗v , où Gv = Gal(Lw/Kv). Le résultat

suivant est une interprétation fonctorielle de la formule des points fixes de G. Gras ([G3,thm. III.4.1.5 et thm. IV.3.3]) :

Proposition 3.3. — Pour v ∈ T , notons ev l’indice de ramification de Lw/Kv et ϕv l’au-tomorphisme de Frobenius en v dans XL. On a une suite exacte canonique

1→ TLG/TK → ⊕v ∈T L∗wGv/K∗v

rT−−−→H1(G, T SL ) ' XGL /XK ,où l’image de rT est engendrée par les classes modulo XK des éléments ϕ1/ev

v . En particulier,Ker rT ' TLG/TK .Démonstration. — C’est l’appendice de [MN]. Redonnons-en une démonstration rapide pourla commodité du lecteur. Il résulte facilement du corps de classes et de la conjecture deLeopoldt (voir e.g. [MN, lemme 2.5]) que les modules TL et T SL sont reliés par la suite exacte1 → W T

L → T SL → TL → 1, d’où la suite exacte de cohomologie 1 → (W TL )G ' W T

K →(T SL )G ' T SK → TLG → H1(G,W T

L ) → H1(G, T SL ), qu’on peut encore écrire sous la forme1→ TLG/TK → H1(G,W T

L )rT−−−→H1(G, T SL ). Or H1(G,W T

L ) ' ⊕v∈TH1(Gv, µ(Lw)) d’aprèsle lemme de Shapiro, et il suffit d’appliquer l’analogue local du lemme 3.1 pour conclure. �

Rappelons que l’ensemble de places S deK est appelé primitif (pourK et p) si les morphismesde Frobenius ϕv, pour v ∈ S \ Sp, engendrent un Zp-facteur direct libre de XK , de rang égal



à |T | (voir [G3], [MN]). Par convention, Sp est primitif. En notant ∑ la réunion de Sp etdes places de K qui se ramifient dans L/K, on dit que l’extension L/K est primitivementramifiée si ∑ est primitif. En appliquant la proposition 3.3 ou la formule des points fixes deG. Gras avec S = ∑, on voit facilement que TK ' TLG si et seulement si l’extension L/K estprimitivement ramifiée. Alors :

Corollaire 3.4. — L’extension L/K est primitivement ramifiée si et seulement si les mor-phismes naturels ImψS → Imψ et Im θS → Im θ sont des isomorphismes.

Démonstration. — Si Imψ ' ImψS et Im θ ' Im θS , les deux expressions de qL/K obtenuesau début de la section 3.1 montrent que TK ' TLG. Réciproquement, si TK ' TLG, la suiteexacte obtenue à partir du diagramme (5) au début de la section 3.1 montre que Ker jL/K 'WGL /WK ' Imψ et Coker jL/K ' Im θ. Or Ker jL/K ' ImψS et Coker jL/K ' Im θS en toute

généralité. �

3.3. Sur l’intégalité de qL/K . —À ce stade, faisons le point sur le problème de l’intégralitédu quotient qL/K = |BPGL |/|BPK | = |Coker jL/K |/|Ker jL/K |. Si µ(L) est trivial, la questionne se pose pas. Supposons que G est d’ordre p. Alors Ker jL/K est au plus d’ordre p, et lecorollaire 3.4 dit que, si S n’est pas primitif, Coker jL/K est au moins d’ordre p, donc qL/Kest entier. Si S est primitif, |Coker jL/K | dépend seulement de la ramification dans Sp, cequi est cohérent avec la remarque suivant le théorème 2.2. Il reste donc un seul cas à régler,celui où K contient µp, L/K est p-ramifiée et |Ker jL/K | = p (voir les théorèmes 2.2 et 2.3).Pour abréger le vocabulaire, on dira qu’il s’agit du cas exceptionnel ; alors S = Sp (omisdans les notations). Dans le cas exceptionnel, l’intégralité de qL/K dépend de la nullité deH1(G,WL)

ρ−−−→H1(G, TL) à cause du :

Lemme 3.5 ([G1, lemme 5.6]). — Dans les hypothèses du théorème 2.2, si jL/K n’est pasinjectif (i.e. dans le cas exceptionnel), H1(G,WL) ' H2(G,µ(L)). En particulier H1(G,WL)est d’ordre p, et la nullité de ρ équivaut à Coker jL/K ' H2(G,µ(L)) et entraîne qL/K = 1.

Démonstration. — On a vu que dans les hypothèses du théorème 2.2, si jL/K n’est pas injec-tif, toutes les extensions locales qui interviennent sont cyclotomiques, et donc H i(G,WL) = 0pour i = 1, 2 (ce qui veut dire ici que WL est G-cohomologiquement trivial), et la suiteexacte définissantWL donne par cohomologie Hj(G,WL) ' Hj+1(G,µ(L)). Or Coker jL/K 'Ker ρ. �

Le noyau de ρ : H1(G,WL) → H1(G, TL) est étudié dans le §5.3 de [G1] par une démarcheeffective qu’on peut résumer ainsi : le lemme 3.5 ci-dessus donne un isomorphisme expliciteH0(G,µ(L)) ' H−1(G,WL) qui fournit un générateur spécifique de H1(G,WL) ; le lemme 3.1donne un isomorphisme H1(G, TL) ' XL

G/XK où le quotient du second membre peut être

effectivement décrit par le logarithme de Gras si l’on dispose de données suffisantes sur lesgroupes de classes et d’unités de L (comme déjà signalé au lemme 3.1). La complexité théo-rique de la torsion TL fait qu’on préfère ici étudier l’image de θ, qu’on peut mieux approcherpar des techniques de localisation et de plongement puisque BPK est une obstruction locale-globale à un certain problème de plongement, comme signalé dans l’introduction.



Proposition 3.6. — Dans le cas exceptionnel, le problème de plongement (L/K, ε), admetune solution pour toute classe ε de H2(G,µ(L)), et la localisation locK : H1(GSK , µp∞) →⊕v∈SH1(GKv , µp∞) induit une injection de Coker jL/K dans H2(G,µ(L)).

Démonstration. — On suppose donc, comme dans le théorème 2.2, que Ker jL/K est d’ordrep et que l’extension L/K est kummerienne, non cyclotomique, mais localement cyclotomiquepartout, Sp-ramifiée. On suspend momentanément la convention d’omettre la référence à Spcar l’on aura besoin un peu plus loin de rester dans une situation générale (e.g. dans la pro-position 3.10 ci-après). En utilisant la formulation cohomologique BPK ' Ker1

S(K,µp∞) :=

Ker(H1(GSK , µp∞)locK−−−→⊕v∈SH1(Kv, µp∞)) et la suite spectrale de Hochschild-Serre, on peut

écrire un diagramme commutatif aux lignes exactes, où loc′L est la restriction de locL àH1(GSL, µp∞)G :(6)

1 // Ker jL/K

=

��

// Ker1S(K,µp∞ )

��

jL/K// Ker1

S(L, µp∞ )G

��

// Coker jL/K

f

��

// 1

1 // H1(G,µ(L))infL/K

// H1(GSK , µp∞ )

locK

��

resL/K// H1(GS

L, µp∞ )G

loc′L

��

trgL/K// Im trgL/K

// 1

⊕v∈SH1(GKv , µp∞ ) ' //

(⊕v∈SH

1(GLw , µp∞ ))G

.

Explications : par hypothèse, la première flèche verticale est une égalité, et par définition, lesdeux suivantes sont injectives ; la ligne du bas est la version semi-locale de celle du milieu,mais l’hypothèse que L/K est localement cyclotomique, avec les notations adoptées depuisle début, entraîne que pour toute place w au-dessus de v dans S, le module µ(Lw) est coho-mologiquement trivial pour l’action de Gal(Lw/Kv) et par suite que la restriction semi-locale⊕v∈SH1(GKv , µp∞)→ (⊕v∈SH1(GLw , µp∞)

)G est un isomorphisme.

(i) Montrons d’abord que la transgression H1(GSL, µp∞)GtrgL/K

−−−→ H2(G,µ(L)) dans (6) est sur-jective. On fera appel pour cela aux techniques du problème de plongement galoisien ànoyau abélien (voir e.g. [H], [K]). Rappelons seulement que si A est un G-module, pourtoute classe ε ∈ H2(G,A) le problème de plongement (L/K, ε) consiste à trouver unesur-extension M/L/K galoisienne telle que Gal(M/L) ' A et que l’extension de groupes1 → A → Gal(M/K) → G → 1 soit décrite par ε. Ici, A = µ(L) = µ(K) = µq, etl’on impose qu’en outre toutes les extensions concernées soient S-ramifiées. Comme G estcyclique d’ordre p, il en est de même de H2(G,µq). En outre, l’action de G sur µq étanttriviale, tous les groupes de Galois cherchés Gal(M/K) sont abéliens de degré pq, soit detype (p, q) (correspondant à ε = 0), soit cycliques (correspondant à ε 6= 0). Or le critèrede Hoechsmann (op. cit.) assure que le problème de plongement (L/K, ε) possède une solu-tion si et seulement si ε ∈ Im τL/K , où τL/K est la transgression H1(GSL, µq)G → H2(G,µq),qu’on peut décrire comme suit dans la situation kummerienne (voir [N5, §4.1]). Soit M =L( q√β), avec β ∈ L∗. On sait que L dépend seulement de la classe βmodL∗q ∈ L∗/L∗q,

et que l’extension M/K est galoisienne si et seulement si βmodL∗q ∈ (L∗/L∗q)G. Les

suites exactes naturelles · · · → K∗/K∗q → (L∗/L∗q)Gδ0−−−→H1(G,L∗q) → H1(G,L∗) = 1



et 1 → H1(G,L∗q)δ1−−−→H2(G,µq) → H2(G,L∗) → · · · permettent d’identifier τL/K avec le

composé δ1δ0. Comme G est cyclique, on en déduit que Im τL/K ' (µq ∩N(L∗))/N(µq), oùN désigne la norme de L/K. Mais l’hypothèse que L/K est localement cyclotomique en-traîne que µq est une norme locale partout, et donc, par le principe normique de Hasse, queµq ⊂ N(L∗) et Im τL/K est d’ordre p, autrement dit Im τL/K ' H2(G,µq).Il reste seulement à comparer les deux transgressions τL/K et trgL/K . Examinons pour celala restriction H1(GSK , µp∞)[q] → H1(GSL, µp∞)G[q]. Commençons par un résultat purementalgébrique :

Sous-lemme 3.7. — Dans la situation kummerienne ci-dessus, posons K = K( q√µq) et

∆ = Gal(K/K). On a un isomorphisme naturel ϑK/K de H1(GSK , µp∞)[q] sur l’image de larestriction H1(GSK , µq)→ H1(GSK, µq)∆.

Démonstration du sous-lemme. — La suite exacte de GSK-modules 1→ µq → µp∞q−→µp∞ →

1 donne par cohomologie une suite exacte

1→ µ(K)/µ(K)q ' µqδK−−→H1(GSK , µq)→ H1(GSK , µp∞)[q]→ 1,

où l’application cobord δK est ainsi décrite : si ζ est un générateur de µ(K), δK(ζ) est laclasse du 1-cocycle (σ 7→ σ( q

√ζ)/ q√ζ). Donc, par la théorie de Kummer, Im δK = H1(∆, µq) ↪→

H1(GSK , µq). La suite exacte d’inflation restriction

1→ H1(∆, µq)→ H1(GSK , µq)→ H1(GSK, µq)∆

induit alors l’isomorphisme ϑK/K cherché. �

Introduisons les deux extensions K = K( q√µq) et L = L( q

√µq), qui vérifient G ' Gal(L/K)

puisque L/K n’est pas globalement cyclotomique. Or le sous-lemme donne deux isomor-phismes ϑK/K et ϑL/L dont on vérifie directement, à partir des définitions, qu’ils satisfont àla relation resL/K ◦ ϑK/K = ϑL/K ◦ resL/K . Cela permet d’identifier τL/K : H1(GSL, µq)G →H2(G,µq) à la restriction de trgL/K à H1(GSL, µp∞)G[q]. Les mêmes arguments qu’au débutde (i), en remplaçant K et L par K et L, montrent alors la surjectivité de τL/K.

NB : Le résultat du sous-lemme reste bien sûr valable pour les groupes de Galois absoluslocaux GKv et GKv . Mais il faut prendre garde que pour certaines places v de S, µ(Kv) peutêtre plus gros que µ(K), ce qui empêche d’accéder à Coker jL/K de manière aussi directe qu’àla section 2 avec Ker jL/K .

(ii) Montrons ensuite l’injectivité de f . Pour cela, on peut couper chaque suite exacte longueen deux suites exactes courtes et faire la chasse dans les deux diagrammes ainsi obtenus àpartir du diagramme (6) :

1 // Ker jL/K=��

// Ker1S(K,µp∞)

��

// A

g

��

// 1

1 // H1(G,µ(L)) // H1(GSK , µp∞) // B // 1



et1 // A

g

��

// Ker1S(L, µp∞)G

��

// Coker jL/Kf

��

// 1

1 // B // H1(GSL, µp∞)G // H2(G,µ(L)) // 1.Le lemme du serpent montre, dans le premier diagramme, que Ker g est trivial et Im locK 'Coker g ; dans le second, qu’on a une suite exacte 1 → Ker f → Coker g → Im loc′L →Coker f → 1.Les isomorphismes Coker g ' Im locK et ⊕v∈SH1(GKv , µp∞) ' (⊕v∈SH1(GLw , µp∞))G en-traînent l’injectivité de la flèche Coker g → Im loc′L, donc la trivialité de Ker f . �La surjectivité ou non de f (donc l’intégralité de qL/K dans le cas exceptionnel) est caractériséepar le

Corollaire 3.8. — Gardons les hypothèses et les notations du cas exceptionnel. Alors leconoyau Coker jL/K est trivial si et seulement si, pour aucune sur-extension cycliqueM/L/Kde degré pq, p-ramifiée, l’extension M/L n’est localement cyclotomique partout.

Démonstration. — Rappelons qu’ici L/K est p-ramifiée et S = Sp. D’après l’injectivité de f ,la trivialité de Coker jL/K équivaut à celle de Im f . Considérons une sur-extension cycliqueM/L/K, solution d’un problème de plongement (L/K, ε) correspondant à une classe ε nonnulle de H2(G,µq). Or, ε ∈ Im f si et seulement siM/L est localement cyclotomique partout.En effet, écrivons M sous la forme L( q

√β), avec β mod L∗q ∈ (L∗/L∗q)G. Le diagramme (6)

et la partie (i) de la preuve de la proposition 3.6 montrent que ε ∈ Im f si et seulement siβ mod L∗q ∈ Ker1

S(L, µp∞)[q], et la scolie 2.4 appliquée à M/L montre que βmodL∗q ∈Ker1

S(L, µp∞)[q] si et seulement si M/L est localement cyclotomique partout. �

Exemple d’application. Toujours dans le cas exceptionnel, notons AK le p-groupe des Sp-classes de K, et pareillement pour AL. La norme des classes d’idéaux se factorise à travers(AL)G → AK , où (·)G désigne les co-invariants par G. Supposons que Ker((AL/q)G → AK/q)contient un élément d’ordre q (voir à ce sujet le lemme 3.12). Cet élément correspond par lecorps de classes à une extension M/L cyclique de degré q qui est p-ramifiée et totalementp-décomposée, donc localement cyclotomique partout. De plus, par construction, l’extensionM/K est abélienne non scindée, donc cyclique. Le corollaire 3.8 dit alors que qL/K = 1.

Les résultats précédemment obtenus dans le cas exceptionnel peuvent commodément se ré-sumer en termes de modules d’Iwasawa (ou de classes logarithmiques suivant la terminologiede [J2]).

Notations. Rappelons que K∞ = K(µp∞) est la Zp-extension cyclotomique de K avec Γ =Gal(K∞/K), et X∞(K) le groupe de Galois sur K∞ de la pro-p-extension abélienne maxi-male de K∞ qui est partout totalement décomposée. Dans les tours cyclotomiques K∞/Ket L∞/L, on a un morphisme de co-descente (X∞(L))G → X∞(K), et le morphisme dualHomΓ(X∞(K), µp∞) → HomΓ(X∞(L), µp∞)G, comme G opère trivialement sur µp∞ , n’estautre que jL/K : Ker1

S(K,µp∞) → Ker1S(L, µp∞)G. Désignons par Klc l’extension abélienne

maximale de K qui est localement cyclotomique partout, de sorte que AK := Gal(Klc/K∞) 'X∞(K)Γ.



Théorème 3.9. — Dans le cas exceptionnel, on a qL/K = p−ε, ε = 0 ou 1, avec ε = 1si et seulement si la co-descente naturelle (AL/q)G → AK/q est injective (rappelons queµ(L) = µ(K) = µq).

Démonstration. — C’est une simple ré-interprétation du corollaire 3.8. Avec les mêmes hy-pothèses et la même démonstration que dans la proposition 3.6, on peut identifier Coker jL/Kau dual kummerien de Ker((AL/q)G → AK/q), et la nullité de ce dual signifie exactementque toute solution M/L/K du problème de plongement étudié doit être scindée. �

Le problème initial se ramène ainsi à une question de théorie des genres pour les « classeslogarithmiques ». Notons que la plus grande précision du théorème 3.9 par rapport à l’exemplequi suit le corollaire 3.8 peut s’expliquer ainsi : sous les hypothèses du cas exceptionnel, lesextensions L/K et K∞/K sont linéairement disjointes, donc AK se surjecte sur AK , maisavec un noyau en général non nul. Voir à ce propos les préliminaires du lemme 3.15 ci-après.

Dans la situation de la proposition 3.6, on peut reprendre la même démarche et faire lachasse dans les diagrammes sans ajouter d’hypothèse, pour obtenir une « formule des classesambiges » donnant qL/K même dans le cas exceptionnel, et même si certains paramètresqui vont apparaître ne seront pas très éclairants. En confondant dans une extension localel’inflation H1(Lw/Kv, µ(Lw)) → H1(GKv , µp∞) avec une inclusion, on a la généralisationsuivante de la proposition 3.6 :

Proposition 3.10. — On reprend les hypothèses du théorème 2.2, en supposant seulementque µ(K) = µ(L) (et donc on n’est plus forcément dans le cas exceptionnel). Le quotient qL/Kest égal à | Im locK∩⊕v∈SH1(Lw/Kv, µ(Lw))|·p−ε, avec ε = 0 ou 1. Le cas où ε = 1 se produitprécisément quand : soit L/K ne se plonge dans aucune sur-extension cyclique M/L/K dedegré pq, S-ramifiée ; soit L/K se plonge dans de telles sur-extensions, mais aucune M/Ln’est localement cyclotomique partout.

Démonstration. — On a déjà noté au début de la section 2.3 que si L/K est cyclotomique,BPK ' BPLG, et donc ce cas peut être écarté sans problème. Dans tous les cas (exceptionnelou non), on peut extraire de (6) le diagramme commutatif suivant, où les notations sont cellesde la partie (ii) de la preuve de la proposition 3.6 :

1 // BPGL // H1(GSL, µp∞)G // Im loc′L // 1

1 // BPK

jL/K

OO

// H1(GSK , µp∞)

resL/K

OO

// Im locK

h

OO

// 1.

Le lemme du serpent donne une suite exacte de modules finis 1→ Ker jL/K → H1(G,µ(L))→

Kerh = Im locK ∩ ⊕v∈SH1(Lw/Kv, µ(Lw)) → Coker jL/Kf−−→ Im trgL/K → Cokerh → 1, où

le morphisme f est le même que dans le diagramme (6) et, dans l’expression de Kerh, ona assimilé l’inflation semi-locale à une inclusion. En faisant le produit alterné des ordres,on obtient qL/K = (|Kerh|/|Cokerh|)/(|H1(G,µ(L))|/| Im trgL/K |). Examinons divers cassuivant la nullité ou non de Im trgL/K :

(a) Si cette image est triviale (ce qui entraîne aussi la trivialité de Cokerh), qL/K = |Kerh|/p ;



(b) Si elle est non triviale, elle coïncide avec H2(G,µ(L)), d’où qL/K = |Kerh|/|Cokerh|.Deux sous-cas se présentent : si la flèche f n’est pas nulle, Cokerh est trivial et qL/K =|Kerh| ; si f est nulle, Cokerh est d’ordre p et qL/K = |Kerh|/p.

Il reste à traduire les conditions du cas (b), Im trgL/K 6= 0 et f = 0. Or l’on a vu quela première condition équivaut à la solvabilité d’un problème de plongement associé à ungénérateur de H2(G,µ(L)), et la nullité de f a été caractérisée dans le corollaire 3.8 (où ilsuffit de remplacer Sp par S). �Remarque. Pour faire intervenir des indices de réseaux comme dans la formule classique desclasses ambiges, on peut transformer l’expression de Im locK de la manière suivante : en notant(·)∨ le dual de Pontryagin, la dualité de Poitou-Tate donne Im locK ' (CokerλK)∨, où λKest le morphisme naturel Hom(X SK ,Zp)→ ⊕v∈S Hom(XKv ,Zp), et XKv = GabKv

est isomorpheau pro-p-complété de K∗v . Notons que la théorie globale-locale du groupe de Brauer assurel’injectivité de λK .

Complément 3.11. — En lien avec [J1] et dans la situation générale du début de la sec-tion 3, examinons le morphisme de capitulation JL/K : CK → CLG, en rappelant que CK est lemodule Gal(BPK/K), dont BPK est la Zp-torsion. On a un diagramme commutatif analogueau diagramme (1), mais plus simple grâce aux propriétés de formations de classes résultantde la conjecture de Leopoldt (voir les rappels du lemme 3.1) :

1 // (WSL)G // (X SL )G // (CL)G // H1(G,WS

L) // H1(G,X SL ) = 1

1 // WSK

//

OO

X SK //

'OO

CK //

JL/K

OO

1.

On en déduit que KerJL/K ' Ker jL/K ' (WSL)G/WS

K ↪→ H1(G,µ(L)) et CokerJL/K 'H1(G,WS

L).En particulier, dans le cas exceptionnel, on a KerJL/K ' H1(G,µ(L)) et CokerJL/K 'H2(G,µ(L)) ([J1, thm. 1.6]), et l’on peut se demander si le morphisme naturel Coker jL/K →CokerJL/K coïncide ou non avec f : Coker jL/K → H2(G,µ(L)) de la démonstration de laproposition 3.6. En introduisant la suite exacte tautologique 1 → BPL → CL → CL → 1 etle morphisme naturel hL/K : CL → CGL , les mêmes raisonnements que dans la section 2.1 (ii)et le lemme 3.1 donnent un isomorphisme CokerhL/K ' Ker(H1(G,BPL) → H1(G, CL)),ainsi qu’une suite exacte 1 → KerhL/K → Coker jL/K → CokerJL/K → 1. Cette dernièremontre, d’après le théorème 3.9, qu’il n’y a pas en général coïncidence, et donc Coker jL/Kne peut pas être atteint simplement par des manipulations abstraites d’algèbre homologique,sans intervention de la S-ramification.

3.4. Approche asymptotique. —Dans une p-extension L/K, il serait intéressant d’esti-mer plus ou moins explicitement la taille de Coker jL/K indépendamment du problème del’intégralité de qL/K (et donc indépendamment de la taille de Ker jL/K). En supposant que Lvérifie la conjecture de Leopoldt et G est un p-groupe, donnons quelques conditions de typeasymptotique en théorie d’Iwasawa pour que Coker jL/K soit trivial. Puisque le module deBertrandias-Payan lui-même possède une description de nature asymptotique, c’est au fondune démarche naturelle, et qu’on a déjà appliquée au théorème 3.9.



Revenons à la formulation cohomologique BPK ' HomΓ(X∞(K), µp∞) ' Ker1S(K,µp∞)

(cf. (2)), où K∞ est la Zp-extension cyclotomique de K et Γ = Gal(K∞/K). Comme remar-qué au début de la section 2.3, on peut écarter d’office le cas où L/K est cyclotomique, etsupposer désormais que L est linéairement disjointe de K∞, et donc que Gal(L∞/K) ' Γ×G.

Pour une première description du conoyau de capitulation, on va faire intervenir la théo-rie des genres (à rapprocher du théorème 3.9). Pour toute extension E/F de degré fini, onnote HS

E le p-corps de S-classes de Hilbert de E, i.e. la p-extension abélienne non ramifiéemaximale de E qui décompose totalement toutes les places de E dans S. Par la théorie ducorps de classes, on a Gal(HS

E/F ) ' ASE qui est le p-groupe des S-classes d’idéaux de E , etX∞(F ) = lim←−nA

SEn

(indépendamment de S). On notera DSE le sous-groupe de Gal(HS

E/F )engendré par les groupes de décomposition de toutes les places de S.

Lemme 3.12 ([McS, lemma 6.1]). — Soit E/F une p-extension cyclique, S-ramifiée, degroupe de Galois G = 〈s〉. Le morphisme de co-descente (ASE)G → ASF induit par la normede E/F a pour image Gal(HS

F /F ∩ HSF ) et pour noyau l’image dans (ASE)G du sous-groupe

ASE ∩DSE. En particulier, ce morphisme est surjectif si et seulement si E ∩HS

F = F , et il estinjectif si S contient au plus une place qui ne se décompose pas totalement dans E/F .

Or dans notre situation, en passant à la limite projective dans les tours cyclotomiques K∞/Ket L∞/L, on a un morphisme de co-descente (X∞(L))G → X∞(K) et comme G opère trivia-lement sur µp∞ le morphisme dual HomΓ(X∞(K), µp∞)→ HomΓ(X∞(L), µp∞)G n’est autreque jL/K , dont le noyau et le conoyau sont décrits par la :

Proposition 3.13. — Soit L/K une p-extension S-ramifiée, de groupe de Galois G, vé-rifiant la conjecture de Leopoldt. Notons L∞ et K∞ les Zp-extensions cyclotomiques de Let K, HL∞ et HK∞ les pro-p-extensions abéliennes maximales de L∞ et K∞ qui sont to-talement décomposées partout, avec X∞(L) = Gal(HL∞/L∞), X∞(K) = Gal(HK∞/K∞).On suppose en outre que L et K∞ sont linéairement disjointes. Introduisons le « corpsdes genres » Hg

L∞, le sous-corps de L∞ fixé par IG(X∞(L)) où IG est l’idéal d’augmen-tation de ΛG, avec Λ = Zp[[Γ]]. Alors Ker jL/K ' Hom(Gal(HK∞ ∩ L∞/K∞), µp∞) etCoker jL/K ' Hom(Gal(Hg

L∞/HK∞ · L∞), µp∞).

Démonstration. — Comme L et K∞ sont linéairement disjointes sur K, G ' Gal(L∞/K∞).Notons DS

∞ la limite projective des groupes DSLn

le long de la tour L∞ = ∪Ln. On vérifiefacilement que le corps fixe de X∞(L)∩DS

∞ n’est autre que le compositum HK∞ ·L∞, et qu’ona deux suites exactes 1 → Gal(Hg

L∞/HK∞ · L∞) → X∞(L)G → Gal(HK∞ · L∞/L∞) → 1 et1→ Gal(HK∞ ·L∞/L∞)→ X∞(K)→ Gal(HK∞ ∩L∞/K∞)→ 1 (faire un dessin galoisien).Le résultat cherché s’en déduit par dualité. �Corollaire 3.14. — Supposons que L/K est cyclique, p-ramifiée, qu’il existe au plus unep-place de K qui ne se décompose pas totalement dans L, et qu’une telle place se ramifietotalement dans L∞/L. Alors Coker jL/K est trivial.

Démonstration. — Les hypothèses du corollaire se propageant visiblement dans la tour cy-clotomique, le lemme 3.12 montre l’injectivité de (ALn)G → AKn pour tout n ≥ 0, donc,par passage à la limite et par dualité, la surjectivité de jL/K : HomΓ(X∞(K), µp∞) →HomΓ(X∞(L), µp∞)G. �



Remarque. Si jL/K n’est pas injectif, ce résultat est cohérent avec le théorème 3.9. En effet,si K admet une seule p-place et si celle-ci est totalement ramifiée dans K∞/K, on sait queX∞(K)Γn ' AKn pour tout n ([LMN, coroll. 1.6]), donc le module Ψ(K) introduit dansle complément 2.6 (a) est trivial, et ces propriétés se propagent à L dans les hypothèsesdu corollaire ; de plus, puisque p se ramifie dans L/K, on a (AL)G � AK ce qui équivautà (AL/q)G � AK/q. Dans ces conditions, le critère du théorème 3.9 pour une extensionkummerienne de degré p se lit : Coker jL/K est trivial si et seulement si (AL/q)G → AK/qest injectif, ou encore, si et seulement si (AL)G ' AK , et les assertions du théorème 3.9 etdu corollaire 3.14 deviennent équivalentes via le lemme 3.12. Cependant, puisque Ψ(K) =1, (CGE) entraîne l’injectivité de jL/K d’après le complément 2.6. Donc le réel intérêt ducorollaire 3.14 est en fait de couvrir un cas qui ne relève pas du théorème 3.9.On se place maintenant dans la situation kummerienne (ce qui n’est pas une restrictionpuisque p est impair). Pour une seconde caractérisation de Coker jL/K , introduisons deuxinvariants asymptotiques Φ(L) et Ψ(L) attachés à la Zp-extension cyclotomique de L :

- Comme dans la proposition 3.2, on définit le Λ-module X S∞ = lim←−nXSLn

, ainsi que lemodule fini Φ(L) qui est l’obstruction à la Λ-liberté du quotient sans Λ-torsion de X S∞.Si X∞(L) = Gal(HL∞/L∞) comme dans la proposition 3.13, et si X◦∞(L) est son sous-module fini maximal, on sait que X◦∞(L) est isomorphe au noyau de capitulation asymp-totique Ker(ASLn

→ (ASL∞)Γn), n � 0 et aussi que Φ(L) ' Hom(X◦∞(L), µp∞) (voir e.g.les rappels de [LMN]).

- En supposant à partir de maintenant la validité asymptotique de la conjecture de Kuz’min-Gross, i.e. la finitude de X∞(L)Γn pour n � 0, on dispose de l’invariant fini Ψ(L)introduit dans le complément 2.6 (a), et qui est isomorphe à Ker(X∞(L)Γn → ASLn

) 'CokerASLn

→ (ASL∞)Γn pour n � 0 ([LMN, lemme 1.3 et thm. 1.4]). La descriptionkummerienne de Ψ(L) fait intervenir le module BP∞(L) := lim←−n BPLn . Soit MS

∞ la pro-p-extension S-ramifiée abélienne maximale de L∞ de sorte que X S∞ = Gal(MS

∞/L∞) etsoit T∞ le sous-corps (qui est indépendant de S) fixé par la Λ-torsion T S∞(L) de X S∞. SoitNS∞/L∞ l’extension obtenue en ajoutant toutes les racines p-primaires des S-unités de

L∞, Y∞(L) = Gal(MS∞/N

S∞) (indépendant de S). Notons BPL∞ := lim−→n

BPLn le corpsde Bertrandias-Payan au niveau infini, de sorte que BP∞(L) ' Gal(BPL∞/T∞).

Lemme 3.15 ([LMN, thm. 2.4 et 3.2]). — Posons WS∞(L) = lim←−nW

SLn

, T S∞ la Λ-torsionde X S∞ et ΘS

∞(L) = Y∞(L)⊕WS∞(L). Alors Ψ(L) ' Hom(Gal(BPL∞ ∩NS

∞), µp∞), et l’on aun diagramme commutatif de ΛG-modules aux lignes exactes :

1 // ΘS∞(L)

��

// T S∞(L)

��

// Hom(Ψ(L), µp∞)

=��

// 1

1 // Y∞(L) // BP∞(L) // Hom(Ψ(L), µp∞) // 1

où les flèches verticales sont les projections naturelles (faire un dessin galoisien).

On peut maintenant donner une seconde approche asymptotique du conoyau de capitulation.Bien que la chasse dans les diagrammes reste ici praticable en général, on fera l’hypothèse



simplificatrice que Ψ(L) est nul (ce qui impose, si l’on croit (CGE), la trivialité de Ker jL/Kdans le cas de degré p) pour avoir un résultat agréable à énoncer.

Proposition 3.16. — Soit L/K une p-extension S-ramifiée, de groupe de Galois G, telleque L vérifie la conjecture de Leopoldt et les étages Ln vérifient la conjecture de Kuz’min-Grosspour tout n� 0. En supposant en outre la nullité de Ψ(L) on a un diagramme commutatif

Φ(L)G×Γ τs // H1(G, T S∞(L)Γ) // H1(G, T SL )

H1(G,WSL)

rS

OO

= // H1(G,WSL)

ρS

OO

où le morphisme rS est injectif, ce qui permet d’identifier Ker ρS à Im τS ∩H1(G,WSL) (avec

un léger abus de notation). En particulier, la trivialité additionnelle de Φ(L) entraîne cellede Coker jL/K .

Démonstration. — La nullité de Ψ(L) entraîne un isomorphisme ΘS∞(L) ' T S∞(L)Γ, d’où

H1(G,ΘS∞(L)Γ) ' H1(G, T S∞(L)Γ). Or, par définition de ΘS

∞(L) le co-descendu WS∞(L)Γ '

WSL est un ZpG-facteur direct de ΘS

∞(L)Γ, d’où un morphismeH1(G,WSL)

rS−−→H1(G, T S∞(L)Γ)injectif. Mais on sait que T S∞(L)Γ et T SL sont reliés par une suite exacte de co-descente1 → T S∞(L)Γ → T SL → Φ(L)Γ → 1 ([N4, prop 2.1]), d’où une suite exacte de cohomologieΦ(L)G×Γ τS−−→H1(G, T S∞(L)Γ) → H1(G, T SL ) qui prend place dans le diagramme commutatifde l’énoncé. Le reste est immédiat. �

Remarque. D’une façon générale, on pourrait aussi procéder par co-descente, i.e. en pre-nant les co-invariants par G, comme dans [KM] pour les « noyaux sauvages étales ». Pourtout entier i ≥ 2, ces noyaux W ét

2i−2(K) sont définis comme étant les noyaux de localisa-tion Ker2

S(K,Zp(i)) := Ker(H2(GK ,Zp(i)) → ⊕v∈SH2(Kv,Zp(i))) (indépendamment de Scontenant Sp). Par la dualité de Poitou-Tate, ce sont les duaux de Pontryagin des noyauxKer1

S(K,Qp/Zp(1 − i)) := Ker(H1(GK ,Qp/Zp(1 − i)) → ⊕v∈SH1(Kv,Qp/Zp(1 − i))), quisont des versions « tordues » de BPK . Les résultats principaux de [KM] sur la co-descenteW ét

2i−2(L)G → W ét2i−2(K) ne sont pas de type asymptotique, essentiellement grâce à l’exis-

tence, au départ, d’une suite exacte 1 → H1(G,Két2i−1(L)) → Két

2i−2(OSK) → Két2i−2(OSL)G →

H2(G,Két2i−1(L)) → 1 pour i ≥ 2 (nous n’expliquons pas les notations, pour lesquelles nous

renvoyons à [KM, thm. 1.1]), mais qui n’a pas d’analogue inconditionnelle pour i = 1 (voirla partie (i) de la preuve de la proposition 3.6).

Rermerciements. Je remercie mes deux acolytes, G. Gras et J.-F. Jaulent, pour les nombreuxéchanges instructifs que nous avons eus tout au long de ce projet. Mes remerciements vontégalement à A. Movahhedi pour des discussions utiles sur le corollaire 3.14.

NB : Les références citées ici sont strictement limitées aux besoins du texte. Une bibliographiebeaucoup plus extensive sur la S-ramification abélienne se trouve dans [G1].



Références[G1] G. Gras, Sur le module de Bertrandias-Payan dans une p-extension : noyau de capitulation, dans

ce volume.[G2] G. Gras, Logarithme p-adique et groupes de Galois, J. reine angew. Math. 343 (1983), 63-80.[G3] G. Gras, Class Field Theory. From theory to practice, SMM, Springer Verlag, 2nd edition (2005).[Gb] R. Greenberg, On the Iwasawa invariants of totally real number fields, Amer. J. Math., 98

(1976), 263-284.[H] K. Hoechsmann, Zum Einbettungsproblem, J. reine angew. Math. 229 (1968), 81-106.[J1] J.-F. Jaulent, Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan, dans ce volume.[J2] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théorie des Nombres Bordeaux 6

(1994), 301-325.[K] N. Klingen, Das Einbettungsproblem für algebraische Zahlkörper bei Beschränkung der Verzwei-

gung, J. reine angew. Math. 334 (1982), 91-115.[KM] M. Kolster, A. Movahhedi, Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation, Ann. Inst.

Fourier, 50, 1 (2000), 35-65.[LMN] M. Le Floc’h, A. Movahhedi, T. Nguyen Quang Do, On capitulation cokernels in Iwasawa

theory, Amer. J. Math., 127, 4 (2005), 851-877.[McS] W. McCallum, R. Sharifi, A cup product in the Galois cohomology of number fields, Duke Math.

J. 120 (2003), 269-310.[MN] A. Movahhedi, T. Nguyen Quang Do, Sur l’arithmétique des corps de nombres p-rationnels,

dans « Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1987-88 », Birkhäuser Progress in Math. (1990),155-200.

[N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la Zp-torsion de certains modules galoisiens, Ann. Inst. Fourier 36, 2(1986), 27-46.

[N2] T. Nguyen Quang Do, Sur la torsion de certains modules galoisiens II, dans « Séminaire deThéorie des Nombres Paris », 1986-87, Birkhäuser Progress in Math. (1989), 271-297.

[N3] T. Nguyen Quang Do, Formations de classes et modules d’Iwasawa, dans « Number Theory,Noordwijkerhout », ed. H. Jager, Springer LNM (1984), 167-185.

[N4] T. Nguyen Quang Do, Sur la cohomologie de certains modules galoisiens p-ramifiés, dans « Théo-rie des Nombres », Laval, ed. J-M. De Koninck et C. Levesque, W. de Gruyter (1989), 740-753.

[N5] T. Nguyen Quang Do, Étude kummerienne de la q-suite centrale descendante, Publ. Math. Be-sançon 2 (2012), 123-139.

[NN] T. Nguyen Quang Do, V. Nicolas, Nombres de Weil, sommes de Gauss et annulateurs galaoisiens,Amer. J. Math. 133, 6 (2011), 1533-1571.

[S] S. Seo, On torsion towers of Bertrandias and Payan p-extensions, communication privée, preprint,(2015).

12 février 2016

Thong Nguyen Quang Do, Laboratoire de Mathématique de Besançon, CNRS UMR 6623, Univ. BourgogneFranche-Comté, 16 route de Gray, 25030 Besançon, France • E-mail : [email protected]



ERRATUM AND ADDENDUM TO “HEIGHTS AND REGULATORSOF NUMBER FIELDS AND ELLIPTIC CURVES”

by

Fabien Pazuki

Abstract. — We give a correct version of the Northcott property for regulators of ellipticcurves over number fields.

Résumé. — (Erratum et addendum de "Hauteurs et régulateurs de corps de nombres et decourbes elliptiques") Nous donnons une version corrigée de la propriété de Northcott pour lescourbes elliptiques définies sur un corps de nombres.

1. A correctionA square root is missing in the application of the Minkowski inequality on page 59 of [Paz14].We apologize and correct the statement of Theorem 4.8 page 59 of [Paz14]. We keep thenotation of the original article, the regulator is defined using the divisor L = 3(O).

Theorem 1.1. — Assume the Lang-Silverman Conjecture 4.5 page 58 of [Paz14]. Let K bea number field. There exists a quantity c10 = c10(K) > 0 only depending on K such that forany elliptic curve E defined over K with positive rank mK ,

Reg(E/K) ≥( c10mK

max{hF+(E/K), 1})mK

.

Thus the set of Q-isomorphism classes of elliptic curves defined over a fixed number field Ksuch that E(K) has positive bounded rank mK and with bounded regulator is finite.

Proof. — Let L = 3(O) and let h = hE,L be the associated canonical height on E andconsider the euclidean space (E(K)⊗ R, h1/2) ' (RmK , h1/2). Apply Minkowski’s successiveminima inequality to the Mordell-Weil lattice ΛK = E(K)/E(K)tors viewed as a lattice insidethis euclidean space,

λ1(ΛK) · · ·λmK (ΛK) ≤ mmK/2K Reg(E/K)1/2.

Now apply mK times the inequality of Conjecture 4.5 page 58 of [Paz14] to get

Mathematical subject classification (2010). — 11G50, 14G40.Key words and phrases. — Heights, elliptic curves, regulators, Mordell-Weil.

82 Erratum and addendum to “Heights and regulators of number fields and elliptic curves”

(1) Reg(E/K) ≥ cmK4 max{hF+(E/K), 1}mK

mmKK

,

Finally, if the regulator and the rank is bounded then the height is bounded as soon asmK 6= 0, hence the claimed finiteness. �

It implies the following new statement of Theorem 1.2 page 48 of [Paz14].

Theorem 1.2. — Assume the Lang-Silverman Conjecture 4.5 page 58 of [Paz14]. The setof Q-isomorphism classes of elliptic curves E, defined over a fixed number field K with E(K)of positive bounded rank mK and bounded regulator is finite.

2. The number field analogy and a new questionTo recover the statement without the boundedness condition, the first idea would be toimprove Lemma 4.7 page 58 of [Paz14] (which is still valid and unconditional) to get aninequality of the form mK ≤ c(K) hF+(E/K)1−ε for ε > 0 universal and c(K) > 0 dependingonly on K. For K = Q and under the Generalized Riemann Hypothesis, Mestre has obtainedin II.1.2 pages 217-218 of [Mes86] the inequality mQ � logNE/ log logNE where NE is theconductor of the elliptic curve E (inequality valid for NE big enough). It gives hope that astronger statement than the present Theorem 1.2 could be true.In order to remove the boundedness condition on the rank, another idea would be to provean inequality between the regulator and the rank. In view of the number field case, it wouldplay a role similar to Friedman’s Theorem 3.4 page 53 of [Paz14]. So we formulate it here asa question.

Question 2.1. — Let E be an elliptic curve defined over a number field K. Let mK bethe rank of the Mordell-Weil group E(K) and let Reg(E/K) be its regulator. Can one find apositive quantity c0(K) depending only on K and a strictly increasing function f : N → R+

not depending on E such that the inequality

Reg(E/K) ≥ c0(K) f(mK)

holds?

Such an inequality would indeed imply that if one fixes K, a bounded regulator would forcethe rank to be bounded, exactly as in the case of number fields where a bounded regulatorimplies a bounded degree. This will be the subject of a future work.

References[Mes86] Mestre, J.-F., Formules explicites et minorations de conducteurs de variétés algébriques.

Compositio Math. 58.2 (1986), 209–232.

[Paz14] Pazuki, F., Heights and regulators of number fields and elliptic curves. Publ. Math. Besançon2014/2 (2014), 47–62.


F. Pazuki 83

September 19, 2016

Fabien Pazuki, Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen, Universitetsparken 5,2100 Copenhagen, Denmark. • E-mail : [email protected]



SOME PROPERTIES OF A DISSIMILARITY MEASURE FORLABELED GRAPHS

by

Nicolas Wicker, Canh Hao Nguyen and Hiroshi Mamitsuka

Abstract. — We investigate the problem of comparing different graphs on the same set ofvertices. It is a problem arising when using different biological networks to elucidate cellularprocesses. We wish to see their similarity and difference via connectivity-aware graph dissimi-larity for graphs with the same node set. We extend a previous result and present some resultsconcerning the orders of magnitude of the dissimilarity as the graphs’ sizes grow to infinity.We find that removing an edge playing a very important role in graph connectivity, such as abridge between two fully connected subgraphs, can have a dramatic effect on the dissimilaritycompared to the removal of any "ordinary" edge.

Résumé. — Nous nous intéressons au problème de la comparaison de graphes sur un mêmeensemble de sommets. C’est un problème apparaissant dans l’étude de réseaux biologiques lors-qu’on veut comprendre le fonctionnement de processus cellulaires. L’objectif est de lier leursimilarité ou différence, par une mesure consciente de la connectivité du graphe sur un mêmeensemble de sommets. Nous étendons un résultat antérieur et présentons de nouveaux résultatssur l’ordre de grandeur de la dissimilarité lorsque la taille des graphes tend vers l’infini. Enparticulier, nous montrons que la suppression d’une arête qui joue une grande importance dansla connectivité d’un graphe, comme un pont, peut avoir un effet dramatique sur la dissimilaritépar rapport à la suppression d’une arête « ordinaire ».

1. IntroductionBiological networks are a major source of information for understanding complex biologicalprocesses [8]. One of the ways to elucidate the cellular machinery and to predict interactionand function is to study the similarity and difference in networks of different species or ondifferent conditions. Many statistical models and computational methods have been devel-oped to compare graphs [3, 4, 6]. However, the key idea is that properties of networks aredetermined by its motifs such as paths, subgraphs and graphlets. It is not possible to usethese methods to compare networks for their global property such as network connectivityand robustness.

Mathematical subject classification (2010). — 05C50,15A18.Key words and phrases. — Labeled graphs, Graph spectrum, Dissimilarity, Bridge effect.

86 Some properties of a dissimilarity measure for labeled graphs

We consider the problem of comparing networks taking into account global connectivity [9, 5].This would be useful for various biological tasks. For example, the two networks would beconsidered similar in robustness if they are both not robust in the sense that there exist smallchanges (such as the removal of one edge) that can result in large network topological changes(such as disconnectivity). Two networks would be considered similar in modularity if theyshare many common well-connected subnetworks and bottlenecks. This is the case of biologicalnetworks sharing many modules. These kinds of information reflect global connectivity of thenetworks. To the best of our knowledge, the method in [9] is the first attempt in this direction.The problem setting is as follows. Given graphs Gi = (X,Ei) that all share the vertex set Xwith different edge set Ei, we want to compare them using the graph normalized LaplaciansLi, given for Gi by:

Li(u, v) =

1 if u = v and dv 6= 0,− 1√

dudvif u and v are adjacent,

0 otherwise

where dv stands for the degree of vertex v. Then, the dissimilarity measure we study has thefollowing form:

d(G1, G2) =∑

i,j

(λi − µj)2

(λi + µj)α〈ui, vj〉2 with α ∈ [0, 2),

where L1 = ∑i λiuiu

Ti and L2 = ∑

i µivivTi are eigendecompositions of the graph normalized

Laplacians. The dissimilarity measure in [9] is a special case with α = 1. In the special caseof α = 1, d is the dissimilarity measure of graphs taking into account global information ofgraphs such as clusters and bottlenecks [9, 5].The main purpose is to see the change of d on large graphs in order to quantify the significanceof the differences among large graphs, as the case of biological networks. While derivingformulas for d for all pair of graphs would be difficult, we selected here some canonical casesto show formally how d change, to roughly estimate the differences between graphs underthis measure.The setting of our simulation is as follows. We study two cases. Limiting ourselves to com-paring graphs with minimum difference of only one edge, the worst case is that the edgemakes the most topological change in the graph. It is the case of a bridge between two fullyconnected subgraphs as follows. Define two graphs U and Ub where U is the union of twocomplete graphs Kn and Kn and Ub is equal to U with an additional edge (bridge) connect-ing the two complete subgraphs. In the literature, Ub is sometimes called a barbell graph [2].Without loss of generality, we suppose that this edge is between the nth node and the n+ 1thnode, where 2n is the size of the graphs. To compare with the worst case, we design anothercase of graph Ur which is obtained by removing one edge (not the bridge) from U .In this paper, we generalize the dissimilarity measure found in [9] and motivate this general-ization by theorem 1, then we compare the magnitudes of d(U,Ub) and d(U,Ur) as a functionof n in Theorems 2 and 3.


N. Wicker and C. H. Nguyen and H. Mamitsuka 87

2. ResultsFirst, let us show that adding a parameter α makes sense and essentially can help avoidingall graphs without isolated vertices to be equidistant to the graph with only isolated vertices.The theorem stands as follows:

Theorem 1. — Let G1 be the graph with only isolated vertices, then the most distant graphto it is the bipartite graph with n/2 disconnected edges if α < 1, the set of all graphs withoutany isolated vertices if α = 1 and the complete graph is α > 1.

Proof. — If G2 is any graph, then the dissimilarity can be rewritten:

d(G1, G2) =∑

i,j

µ2j

µαj〈ui, vj〉2 =

n∑

i=1µ2−αi

as all eigenvalues of G1 are equal to 0. If we use α = 1 as in [9], then as∑ni=1 µi = n is constant

all graphs have the same distance to G1. We can thus consider the problem of maximisingthe distance d(G1, G2) with a given α, rephrasing it in terms of β = 2 − α we obtain thefollowing maximisation problem:

maxn∑

i=1µβi subject to

n∑

i=1µi = n, 2 ≥ µi ≥ 0 and µ1 = 0.

The constraint 2 ≥ µi ≥ 0 is necessary as µ1, . . . , µn are eigenvalues of a normalized Lapla-cian [1]. The Lagrangian is then

L(µ, λ, η, ξ) =n∑

i=1µβi + λ

(n∑

i=1µi − n

)+

n∑

i=1ηi(µi − 2)− ξiµi where λ, ηi and ξi

are Lagrange multipliers.

Deriving leads to∂L∂µi

= βµβ−1i + λ+ ηi − ξi.

Let us consider an eigenvalue µi 6∈ {0, 2} then βµβ−1i + λ = 0. This shows that eigenvalues

different from 0 and 2 can only take one unique value which will be denoted z.Then, n = 2x + yz where x is the number of eigenvalues equal to 2 and y the number ofeigenvalues equal to an eigenvalue different from 0 and 2. The function to optimize becomesthen

n∑

i=1µβi = x2β + yzβ

with constraints 2x+ yz = n and x+ y ≤ n− 1 as one eigenvalue is equal to 0. We can thenconsider two cases, either β > 1 or β < 1.If β > 1, 2β > zβ as z < 2. The optimum is then obtained for x = n/2 and y = 0. Thiscorresponds to the simple bipartite graph containing n/2 disconnected edges.



If β < 1, by concavity of function f(w) = wβ, if we consider that: x+ y = k with k ≤ n− 1:

x2β + yzβ =k(x

k2β + y

kzβ)

≤ k(2x+ yz

k

)β

≤ k(n

k

)βas 2x+ yz = n.

This upper bound can be obtained by taking x = 0, y = k and z = nk . Besides, the bound is

maximized for k = n− 1. This corresponds to the spectrum of Kn the complete graph of sizen. If we summarize this in terms of α, if α = 1 all graphs are equally distant to G1. If α > 1the most distant graph to G1 is the complete graph, and if α < 1 the most distant graph isthe bipartite graph with n/2 disconnected edges. Interestingly, this shows that the farthestgraph from G1 can be very different depending upon the value of α with a kind of transitionphase at α = 1. �

Now, we can notice that the dissimilarity behaves nicely when two graphs are concatenatedi.e. when we keep all the vertices and edges of the two graphs. Namely, we have the followinglemma.

Lemma 1. — When two graphs G1 and H1 of equal size and G2 and H2 two other graphsof equal size are concatenated, then d(G1 ∪G2, H1 ∪H2) = d(G1, H1) + d(G2, H2)

Proof. — Let us denote by u11, . . . , u

1n and λ1

1, . . . , λ1n the eigenvectors and eigenvalues ofG1 by

u21, . . . , u

2m and λ2

1, . . . , λ2m the eigenvectors and eigenvalues of G2. Similarly, the eigenvectors

and eigenvalues of H1 and H2 are given respectively by: v11, . . . , v

1m and µ1

1, . . . , µ1m, and

v21, . . . , v

2n and µ2

1, . . . , µ2n.

Then, the eigenvalues of L(G1 ∪ G2) are given by 0, 0, λ12, . . . , λ

1n, λ

22, . . . , λ

2m, as 0 is always

the eigenvalue of a Laplacian and as G1 and G2 are disconnected. Similarly, the eigenvaluesof L(H1 ∪ H2) are given by 0, 0, µ1

2, . . . , µ1n, µ

22, . . . , µ

2m. The eigenvectors of L(G1 ∪ G2) are

denoted x1, . . . , xn+m and those of L(H1 ∪ H2) by y1, . . . , yn+m. The eigenvectors after thefirst two ones are the eigenvectors of L(G1), L(G2), L(H1) and L(H2), completed with m orn 0 respectively. For example, x3 = (u2, 0, . . . , 0).

d(G1 ∪G2, H1 ∪H2) =∑

1≤i,j≤n

(λ1i − µ1

j )2

(λ1i + µ1

j )α〈xi, yj〉2 +

∑

1≤i≤nn+1≤j≤n+m

(λ1i − µ2

j )2

(λ1i + µ2

j )α〈xi, yj〉2+

∑

n+1≤i,j≤n+m

(λ2i − µ2

j )2

(λ2i + µ2

j )α〈xi, yj〉2 +

∑

n+1≤i≤n+m1≤j≤n

(λ2i − µ1

j )2

(λ2i + µ1

j )α〈xi, yj〉2

=∑

1≤i,j≤n

(λ1i − µ1

j )2

(λ1i + µ1

j )α〈u1i , v

1j 〉2 +

∑

n+1≤i,j≤n+m

(λ2i − µ2

j )2

(λ2i + µ2

j )α〈u2i , v

2j 〉2

= d(G1, H1) + d(G2, H2).

�



This result is shared by the edit distance [7] defined by:ed(G1, G2) = |E1 \ E2 ∪ E2 \ E1|

where G1 = (V,E1) and G2 = (V,E2). However, if one considers the normalized edit distance,i.e the edit distance divided by the maximum number of edges, this is no more true. Indeed,if d1 and d2 are the edit distances between G1 and H1 and G2 and H2 respectively. Then,the normalized distances are ned(G1, H1) = 2d1

n(n−1) , ned(G2, H2) = 2d2m(m−1) and ned(G1 ∪

G2, H1 ∪H2) = 2d1+2d2(n+m)(n+m−1) which in general is not equal to: ned(G1, H1) + ned(G2, H2) =

2d1n(n−1) + 2d2

m(m−1) .

Theorem 2. — The dissimilarity D(U,Ub) =(

2n2

)2−α+ 21−α

n2 + o(n−2).

The normalized Laplacians L1 and L2 of U and Ub respectively are given by:

L1 =(Ann 00 Ann

)and L2 =

An−1n B 0 0BT 1 −n−1 00 −n−1 1 B0 0 BT An−1

n

with Amn =

1 −(n− 1)−1 . . . −(n− 1)−1

−(n− 1)−1 . . . . . . ...... . . . . . . −(n− 1)−1

−(n− 1)−1 . . . −(n− 1)−1 1

,

and BT =(

−1√n(n− 1)

, . . . ,−1√

n(n− 1)

).

with m is the matrix size.Spectral analysis of L1. — Eigenvalues are λ1 = λ2 = 0 and λ3 = · · · = λ2n = n/(n− 1).The first two eigenvectors are: u1 = 1√

2n(1, . . . , 1) and u2 = 1√2n(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1). Eigen-

value n/(n − 1) has multiplicity 2n − 2 as the following vectors are linearly independenteigenvectors for it: u∗3 =

(1, −1

n−1 , . . . ,−1n−1 , 0, . . . , 0

), u∗4 =

(−1n−1 , 1,

−1n−1 , . . . ,

−1n−1 , 0, . . . , 0

),

u∗n+1 =(−1n−1 , . . . ,

−1n−1 , 1,− 1

n−1 , 0, . . . , 0), u∗n+2 =

(0, . . . , 0, 1, −1

n−1 , . . . ,−1n−1

), . . . , u∗2n =(

0, . . . , 0, −1n−1 , . . . ,

−1n−1 , 1,

−1n−1

). The orthonormal vectors u3, . . . , u2n are not needed explicitly

in the proof.Spectral analysis of L2. — (computation of µ1, µ2, v1 and v2) The smallest eigenvalue is0 with eigenvector:

v1 = 1√2(n− 1)2 + 2n

(√n− 1, . . . ,

√n− 1,

√n,√n,√n− 1, . . . ,

√n− 1).

Looking for a similar eigenvector, we find

v2 = 1√

2(n− 1)√n− 1 + 1

n

(1, . . . , 1, −(n− 1) 32√

n,−(n− 1) 3

2√n

, 1, . . . , 1, )



for eigenvalue 1 + 1n(n−1) . Eigenvalue n/(n − 1) has multiplicity 2n − 4 as the following

vectors are linearly independent eigenvectors for it: v∗5 =(1, −1

n−2 , . . . ,−1n−2 , 0 . . . , 0

), v∗6 =(

−1n−2 , 1,

−1n−2 , . . . ,

−1n−2

), v∗n+2 =

(−1n−2 , . . . , 1,

−1n−2 , 0, . . . , 0

), v∗n+3 =

(0, . . . , 0, 1, −1

n−2 , . . . ,−1n−2

),

v∗n+4 =(0, . . . , 0, −1

n−2 , 1,−1n−2 , . . . ,

−1n−2

), v∗2n =

(0, . . . , 0, −1

n−2 , . . . ,−1n−2 , 1,

−1n−2

)where each

time n + 1 values are equal to 0. Concerning the rest of the spectrum, lemma 2 tells uswhat v3, v4, µ3 and µ4 are equal to. Before going to the proof of theorem 2, the followinglemma is needed.

Lemma 2. — There are two eigenvectors v3 and v4 of L2 having the form v3 = (1 +4x3(2n)−1/2 + 2x2

3)−1/2(u2 + x3en − x3en+1) and v4 = (1 + 4x4(2n)−1/2 + 2x24)−1/2(u2 +

x4en − x4en+1) where e1, . . . , e2n is the canonical basis of R2n, x3 = −3n−32

2√

2 + o(n−3/2) andx4 = −

√n√2 −

32√

2n + o(n−1/2). The corresponding eigenvalues are µ3 = 2n2 + o(n−2) and

µ4 = 1 + 2n−1n(n−1) − µ3.

Proof. — We will show that there exists x3 that makes v3 an eigenvector satisfying thelemma.Solving the equation L2 v3 = µv3 gives respectively for the first n− 1 lines and the nth line:

1√2n −

n−2√2n(n−1) −

(2n)−1/2+x3√(n−1)n√

1 + 4x3(2n)−1/2 + 2x23

= µ2(2n)−1/2√

1 + 4x3(2n)−1/2 + 2x23

and

− n−1√(n−1)n

√2n

+((2n)−1/2 + x3

) (1 + 1

n

)

√1 + 4x3(2n)−1/2 + 2x2

3

=µ2((2n)−1/2 + x3

)

√1 + 4x3(2n)−1/2 + 2x2

3

.

The last n lines are not considered for symmetry reasons. These equations can be rewritten:1

n− 1 −1 + x3

√2n√

(n− 1)n= µ;(1)

−√n− 1√n

+ (1 + x3√

2n)(1 + 1/n) = µ(1 + x3√

2n).(2)

The two above equations are equivalent to:

x3√

2n =√n√

n− 1−√

(n− 1)nµ− 1 and µ = −√n− 1√n

11 + x3

√2n

+ 1 + 1n.

Then, µ = − n−1n−(n−1)nµ + 1 + 1

n ⇔ n(n− 1)µ2− (n2 +n− 1)µ+ 2 = 0 and taking the smallestsolution yields:

µ3 = n2 + n− 1−√

(n2 + n− 1)2 − 8n(n− 1)2n(n− 1) = 2

n2 + o(n−2)

and x3 = 1√2(n−1)

−√n−1√

2 µ3 − 1√2n = −3n−

32

2√

2 + o(n− 32 ). Consequently, µ4 = 1 + 2n−1

n(n−1) − µ3

and x4 = −√n√2 −

32√

2n + o(n−1/2). �



Finally, we can conclude with the proof of Theorem 2.

Proof of Theorem 2. —

D(U,Ub) =2n∑

i≥3

2n∑

j≥50〈ui, vj〉2 +

2∑

i=1

4∑

j=1

(λi − µj)2

(λi + µj)α〈ui, vj〉2+

2∑

i=1

2n∑

j≥5µ2−αj 〈ui, vj〉2 +

2n∑

i≥3

4∑

j=1

(λi − µj)2

(λi + µj)α〈ui, vj〉2

=4∑

j=2µ2−αj 〈u2, vj〉2 + µ2−α

2 〈u1, v2〉2 +2n∑

i≥3

(n

n− 1

)2−α〈ui, v1〉2+

2n∑

i≥3

(nn−1 − µ2

)2

( nn−1 + µ2)α 〈ui, v2〉2 +

2n∑

i≥3

(nn−1 − µ3

)2

( nn−1 + µ3)α 〈ui, v3〉2 +

2n∑

i≥3

(nn−1 − µ4

)2

( nn−1 + µ4)α 〈ui, v4〉2

= µ2−α2 〈u2, v2〉2 + µ2−α

3 〈u2, v3〉2 + µ2−α4 〈u2, v4〉2 + µ2−α

2 〈u1, v2〉2+(

n

n− 1

)2−α(1− 〈u1, v1〉2 − 〈u2, v1〉2) +

(nn−1 − µ2

)2

(nn−1 + µ2

)α(1− 〈u1, v2〉2 − 〈u2, v2〉2

)+

(nn−1 − µ3

)2

(nn−1 + µ3

)α(1− 〈u1, v3〉2 − 〈u2, v3〉2

)+

(nn−1 − µ4

)2

(nn−1 + µ4

)α(1− 〈u1, v4〉2 − 〈u2, v4〉2

)

Computing the scalar products gives: 〈u1, v1〉2 = [2(n−1)√n−1+2

√n]2

4n[(n−1)2+n] = 1 +O(n−3),

〈u1, v2〉2 = 14n(n−1)(n−1+1/n)

(2n− 2− 2 (n−1)

32√

n

)2= o(n−2), 〈u1, v3〉2 = 0, 〈u1, v4〉2 = 0,

〈u2, v1〉2 = 0, 〈u2, v2〉2 = 0, 〈u2, v3〉2 =

(1+√

2x3√n

)2

1+4x3(2n)−1/2+2x23

= 1 + O(n−3) and 〈u2, v4〉2 =(

1+√

2x4√n

)2

1+4x4(2n)−1/2+2x24

= O(n−3). Besides, ( nn−1−µ2)2

( nn−1 +µ2)α = 1

2αn2 + o(n−2), ( nn−1−µ3)2

( nn−1 +µ3)α = 1 + o(1) and

( nn−1−µ4)2

( nn−1 +µ4)α = 1

2αn2 + o(n−2).Thus, gathering the above results, we obtain that:

D(U,Ub) =µ2−α3 + 21−α

n2 + o(n−2)

=( 2n2

)2−α+ 21−α

n2 + o(n−2).

�

Now let us consider what happens if an edge is taken away from U , this gives Ur. Let usdenote by K−1

n the complete graph of size n with edge between vertices 1 and 2 taken away.Then, Ur = K−1

n ∪Kn.

Theorem 3. — The dissimilarity D(U,Ur) = 21−αn2 + o(n−2).



Proof. — The eigenvectors of Kn are similar to those found in Theorem 2, that is: λ1 =0, λ2 = · · · = λn = n

n−1 , u1 = 1√n

(1, . . . , 1), u∗2 = (1, −1n−1 , . . . ,

−1n−1), u∗2 = ( −1

n−1 , 1,−1n−1 , . . . ,

−1n−1)

and u∗n = ( −1n−1 , . . . ,

−1n−1 , 1,

−1n−1). Then,

L(K−n ) =

1 0 CT

0 1C An−2

n

with

CT =(−√

(n− 2)(n− 1)−1. . . −

√(n− 2)(n− 1)−1

−√

(n− 2)(n− 1)−1. . . −

√(n− 2)(n− 1)−1

).

We remark for L(K−1n ) that 0 is the eigenvalue associated to the eigenvector

v1 = 1√(n+ 1)(n− 2)

(√n− 2,

√n− 2,

√n− 1, . . . ,

√n− 1),

that 1 is the eigenvalue for the eigenvector

v2 = 1√2

(1,−1, 0, . . . , 0),

that n+1n−1 is the eigenvalue for the eigenvector

v3 = 1√2n+1n−1

(1, 1, −2√(n− 1)(n− 2)

, . . . ,−2√

(n− 1)(n− 2))

and that n/(n− 1) for eigenvectors

v∗4 = (0, 0, 1, −1n− 3 , . . . ,

−1n− 3),

v∗5 = (0, 0, −1n− 3 , 1,

−1n− 3 , . . . ,

−1n− 3),

...v∗n = (0, 0, −1

n− 3 , . . . ,−1n− 3 , 1,

−1n− 3).



Then

d(Kn,K−n ) =

∑

1≤i,j≤n

(λi − µj)2


=n∑

j=2

(λ1 − µj)2

(λ1 + µj)α〈u1, vj〉2 +

n∑

i=2

(λi − µ1)2

(λi + µ1)α 〈ui, v1〉2 +n∑

i=2

(λi − µ2)2

(λi + µ2)α 〈ui, v2〉2+

n∑

i=2

(λi − µ3)2

(λi + µ3)α 〈ui, v3〉2 +∑

2≤i,4≤j

(λi − µj)2


=µ2−α3 〈u1, v3〉2 +

(n

n− 1

)2−α(1− 〈u1, v1〉2) +

(nn−1 − 1

)2

(nn−1 + 1

)α (1− 〈u1, v2〉2)+

(nn−1 − n+1

n−1

)2

(nn−1 + n+1

n−1

)α (1− 〈u1, v3〉2).

Computing the scalar products gives: 〈u1, v1〉2 = 1 + O(n−3), 〈u1, v2〉2 = 0 and finally

〈u1, v3〉2 = O(n−3). Besides, ( nn−1−1)2

( nn−1 +1)α = 1

2αn2 + o(n−2) and ( nn−1−

n+1n−1 )2

( nn−1 +n+1

n−1 )α = 12αn2 + o(n−2)

so that:

(3) d(Kn,K−n ) = 21−α

n2 + o(n−2).

Finally,

d(U,Ur) =d(Kn ∪Kn,K−1n ∪Kn)

=d(Kn,K−1n ) + d(Kn,Kn) (by Lemma 1)

=21−α

n2 + o(n−2) (using Equation 3).(4)

�

3. ConclusionTaken together, the three theorems of this article show that it is very different to add anedge between two well connected graphs (complete graphs), and to delete one edge insideone of the complete graphs if α is greater than 1. Indeed, adding an edge that way buildsa bridge and thus modifies the first eigencomponents which have the more impact on thedissimilarity as was shown empirically in our first work [9] and here formally. This propertyis interesting when one looks at graphs from the points of view of flows. If one keeps in mindthat for α = 0 we get the Bregman divergence, this means that α = 1 is the smallest valueto have our dissimilarity behave differently from Bregman divergence. A greater value of αwould enhance this difference. This is confirmed by Theorem 1 showing that the farthestgraph becomes the complete graph which is perfectly connected. Nevertheless, α = 2 is tobe avoided as in that case there is a continuity problem in expression (λ−µ)2

(λ+µ)2 when both



eigenvalues tend to 0. Further work on dissimilarities between graphs would involve workingon unlabeled graphs, coloured graph and multigraphs.

References[1] F.R.K. Chung. Spectral Graph Theory. American Mathematical Society, 1997.[2] A. Ghosh, S. Boyd, and A. Saberi. Minimizing effective resistance of a graph. In Proceedings of the

17th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, Kyoto, Japan,pages 1185–1196, July 2006.

[3] H. Kashima, K.Tsuda, and A. Inokuchi. Marginalized kernels between labeled graphs. In ICML,pages 321–328, 2003.

[4] M. Koyuturk, A. Grama, and W. Szpankowski. An efficient algorithm for detecting frequent sub-graphs in biological networks. In ISMB/ECCB (Supplement of Bioinformatics), pages 200–207,2004.

[5] C. H. Nguyen, N. Wicker, and H. Mamitsuka. Selecting graph cut solutions via global graphsimilarity. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 25:1407–1412, 2014.

[6] N. Pržulj. Biological network comparison using graphlet degree distribution. Bioinformatics,26(6):853–854, march 2010.

[7] A. Sanfeliu and K. S. Fu. A distance measure between attributed relational graphs for patternrecognition. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 13:353–362, 1983.

[8] R. Sharan and T. Ideker. Modeling cellular machinery through biological network comparison.Nature Biotechnology, 24(4):427–433, april 2006.

[9] N. Wicker, C. H. Nguyen, and H. Mamitsuka. A new dissimilarity measure for labeled graphs.Linear Algebra and its Applications, 483:2331–2338, 2013.

December 4, 2015

Nicolas Wicker • E-mail : [email protected], Laboratoire Painlevé, Université deLille 1, 59655 Villeneuve d’Ascq, France, +0(33)320434226

Canh Hao Nguyen • E-mail : [email protected], Bioinformatics Center, ICR, KyotoUniversity, Gokasho, Uji, Kyoto, 611-0011, Japan

Hiroshi Mamitsuka • E-mail : [email protected], Bioinformatics Center, ICR, Kyoto University,Gokasho, Uji, Kyoto, 611-0011, Japan



THE SUB-LEADING COEFFICIENT OF THE L-FUNCTION OF ANELLIPTIC CURVE

by

Christian Wuthrich

Abstract. — We show that there is a relation between the leading term at s = 1 of an L-function of an elliptic curve defined over an number field and the term that follows.

Résumé. — On montre une relation entre le terme dominant de la série L en s = 1 d’unecourbe elliptique définie sur un corps de nombre et le terme suivant.

Let E be an elliptic curve defined over a number field K. We will assume that the L-functionL(E, s) admits an analytic continuation to s = 1 and that it satisfies the functional equation.By modularity [1], we know that this holds when K = Q. The conjecture of Birch andSwinnerton-Dyer predicts that the behaviour at s = 1 is linked to arithmetic information.More precisely, if

L(E, s) = ar (s− 1)r + ar+1 (s− 1)r+1 + · · ·is the Taylor expansion at s = 1 with ar 6= 0, then r should be the rank of the Mordell-Weil group E(K) and the leading term ar is equal to a precise formula involving the Tate-Shafarevich group of E. It seems to have passed unnoticed that the sub-leading coefficientar+1 is also determined by the following formula.

Theorem 1. — With the above assumption, we have the equality

(1) ar+1 =([K : Q] · (γ + log(2π))− 1

2 log(N)− log |∆K |)· ar

where γ = 0.577216 . . . is Euler’s constant, N is the absolute norm of the conductor ideal ofE/K and ∆K is the absolute discriminant of K/Q.

In particular, the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer also predicts completely what thesub-leading coefficient ar+1 should be. One consequence for K = Q is that for all curves withconductor N > 125, and this is all but 404 isomorphism classes of curves, the sign of ar+1 isthe opposite of ar. Of course, it is believed that ar is positive for all E/Q.

Mathematical subject classification (2010). — 11G40.Key words and phrases. — L-functions of elliptic curves, Birch-Swinnerton-Dyer conjecture.

96 The sub-leading coefficient of the L-function of an elliptic curve

Proof. — Set f(s) = Bs · Γ(s)n with n = [K : Q] and B =√N · |∆K |/(2π)n. Then Λ(s) =

f(s) · L(E, s) is the completed L-function, which satisfies the functional equation Λ(s) =(−1)r · Λ(2 − s), see [3]. For i ≡ r + 1 (mod 2) it follows that di

dsi Λ(s)∣∣s=1 = 0. Hence for

i = r + 1, we obtain that

(r + 1) · f ′(s) · dr

dsrL(E, s) + f(s) · d

r+1

dsr+1L(E, s)

is zero at s = 1. Therefore (r + 1) f ′(1) r! ar + f(1) (r + 1)! ar+1 = 0. It remains to note thatf(1) = B and f ′(1) = B · (log(B) + n · Γ′(1)

)together with Γ′(1) = −γ. �

Obviously a similar formula holds for the L-function of a modular form of weight 2 for Γ0(N).More generally, for any L-function with a functional equation there is a relation between theleading and the sub-leading coefficient of the Taylor expansion of the L-function at the centralpoint.Sub-leading coefficients of Dirichlet L-functions have been investigated; for instance Colmez [2]makes a conjecture, which is partially known. However these concern the much harder casewhen s is not at the centre but the boundary of the critical strip of the L-function.

References[1] Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, and Richard Taylor. On the modularity of elliptic

curves over Q: wild 3-adic exercises. J. Amer. Math. Soc., 14(4):843–939, 2001.[2] Pierre Colmez. Périodes des variétés abéliennes à multiplication complexe. Ann. of Math. (2),

138(3):625–683, 1993.[3] Dale Husemöller. Elliptic curves, volume 111 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag,

New York, second edition, 2004. With appendices by Otto Forster, Ruth Lawrence and StefanTheisen.

January 18, 2016

Christian Wuthrich, Room C58 Mathematics Building, University Park, Nottingham, NG7 2RD,UKE-mail : [email protected]


Prix : 40 eurosISSN 1958-7236

Presses universitaires de Franche-Comtéhttp://presses-ufc.univ-fcomte.fr

Publications mathématiques de BesançonA l g è b r e e t t h é o r i e d e s n o m b r e s

2016

Publ

icat

ions

mat

hém

atiq

ues

de B

esan

çon

20

16K. Belabas et J.-F. Jaulent The logarithmic class group package in PARI/GP

L. Berger Lubin’s conjecture for full p-adic dynamical systems

G. Gras Sur le module de Bertrandias – Payan dans une p-extension – Noyau de capitulation

J.-F. Jaulent Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan

T. Nguyen Quang Do Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias-Payan

F. Pazuki Erratum and addendum to « Heights and regulators of number fields and elliptic curves »

N. Wicker, C. H. Nguyen et H. Mamitsuka Some properties of a dissimilarity measure for labeled graphs

C. Wuthrich The sub-leading coefficient of the L-function of an elliptic curve

Revue du Laboratoire de Mathématiques de Besançon (CNRS UMR 6623)

P r e s s e s u n i v e r s i t a i r e s d e F r a n c h e - C o m t éthsmsesghfhqd

Documents

New Laboratoire de Mathématiques de Besançon (CNRS UMR 6623)pmb.univ-fcomte.fr/2016/pmb_2016.pdf · 2017. 1. 17. · Hassan Oukhaba, Université de Franche-Comté _____ [email protected]