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Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 1
Thème Fiche Titre de la leçon Niveau Page
EEnncchhaaiinneemmeenntt
dd''ooppéérraattiioonnss
N1 Calculer une expression SANS parenthèses 5e 4e 3e 3-4
N2 Calculer une expression AVEC parenthèses 5e 4e 3e 5-6
NNoommbbrreess
rreellaattiiffss
N3 Utiliser et comparer des nombres relatifs 5e 4e 3e 8-9
N4 Additionner des nombres relatifs 5e 4e 3e 10
N5 Soustraire des nombres relatifs 5e 4e 3e 11
N6 Multiplier des nombres relatifs 4e 3e 12-13
N7 Diviser des nombres relatifs 4e 3e 14
N8 Repérer et placer des nombres relatifs dans un repère
5e 4e 3e 15-16
FFrraaccttiioonnss
N9 Diverses représentations d'une fraction 5e 4e 3e 18
N10 Plusieurs écritures d'une fraction 5e 4e 3e 19-20
N11 Utiliser l'égalité des produits en croix pour déterminer si des fractions sont égales ou non
5e 4e 3e 21
N12 Additionner et soustraire des fractions 4e 3e 22
N13 Multiplier des fractions 4e 3e 23
N14 Diviser des fractions 4e 3e 24
DDiivviissiibbiilliittéé
N15 Décomposer en facteurs de nombres premiers 3e 26
N16 Rendre une fraction irréductible 3e 27
N17 Critères de divisibilité 5e 4e 3e 28
N18 Déterminer si un entier est divisible ou non par un autre entier
5e 4e 3e 29
RRaacciinneess
ccaarrrrééeess N19 Carrés parfaits et notion de racine carrée 4e 3e 30
PPuuiissssaanncceess
N20 Puissance d'un nombre 4e 3e 31
N21 Calculer avec des puissances de 10 4e 3e 32
N22 Utiliser la notation scientifique 4e 3e 33
NN CCYYCCLLEE 44 -- SSOMMAIRE
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 2
CCaallccuull lliittttéérraall
N23 Appliquer une formule 5e 4e 3e 34
N24 Tester une égalité 5e 4e 3e 35-36
N25 Réduire une expression littérale 5e 4e 3e 37
N26 Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple
4e 3e 38
N27 Développer une expression en utilisant la distributivité simple
4e 3e 39
N28 Développer une expression en utilisant la double distributivité
4e 3e 40
N29 Développer en utilisant les identités remarquables *Hors programme 41
N30 Factoriser en utilisant les identités remarquables *Hors programme 42
EEqquuaattiioonnss
N31 Modéliser un problème par une équation 4e 3e 43-44
N32 Résoudre des problèmes du 1er degré de façon exacte ou approchée
4e 3e 45
N33 Résoudre une équation du premier degré 3e 46
N34 Résoudre une équation produit nul *Hors programme 47-48
IInnééqquuaattiioonnss N35 Résoudre une inéquation du premier degré 3e 49 *Hors-programme : cela signifie que la capacité n'est pas attendue en fin de cycle mais peut être abordée avec certains élèves ou dans le cadre d'une activité découverte.
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 3
2- Méthode : Calculer une expression sans parenthèses (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
1- Règles pour calculer une expression sans parenthèses
Règle n°1 : En l’absence de parenthèses, on effectue les additions et les soustractions de la gauche vers la droite.
Règle n°2 : En l’absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions de la gauche vers la droite.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'écrit et à l'oral !
ENCHAINEMENT D'OPÉRATIONS
Calculer une expression SANS parenthèses
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N1
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations.
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 4
3- Méthode : calculer une expression avec des priorités (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
4- Règles pour calculer une expression sans parenthèses avec des priorités Règle n°3 : La multiplication est effectuée avant l’addition et la soustraction !
Règle n°4 : La division aussi !
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'écrit et à l'oral !
Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations.
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 5
1- Exemples
La place des parenthèses a une importance, elles indiquent une priorité.
Règle n°5 : On commence par effectuer les calculs entre parenthèses.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2-Méthode : calculer une expression avec des parenthèses (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
ENCHAINEMENT D'OPÉRATIONS
Calculer une expression avec parenthèses
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N2
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations.
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
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3- Parenthèses doubles
Règle n°6 : On commence par effectuer les parenthèses les plus intérieures.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
4-Méthode : calculer une expression avec des parenthèses doubles (exercice résolu)
Calculer
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations.
– –
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
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Moyen mnémotechnique pour retenir l'ordre des opérations
Méthode en entonnoir pour organiser les calculs
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 8
1- Qu'est ce qu'un nombre relatif ?
1) Exemples de nombres positifs : 14 ans ; 25 mètres ; … 2) Exemples de nombres négatifs : –287 : naissance d’Archimède : 287 ans avant la naissance de J.C. –3° : température de 3° en dessous de 0
Remarque : Le signe + n’est pas toujours noté : (+14) s’écrit 14 ou (+25) s’écrit 25
3) On appelle nombre relatif, tout nombre négatif ou positif.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Représentation des nombres relatifs sur une droite graduée
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
3- Opposé d'un nombre
On obtient l’opposé d’un nombre en changeant son signe.
Exemples :
Remarque : Deux points dont les abscisses sont opposées sont situés à égale distance de l’origine.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
NOMBRES REALTIFS
Utiliser et comparer des nombres relatifs
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N3
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
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A- Compléter avec les symboles <, > ou =
B- Droite-graduée
1. Donner l'abscisses des points A et B 2. Placer les points G et H d'abscisses respectives -3,5 et 4.
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
4- Comparaison des nombres relatifs
Rappel : Ordre croissant (comme croître) : du plus petit au plus grand. Ordre décroissant: du plus grand au plus petit.
Méthode : comparer des nombres relatifs (exercice résolu)
1) Comparer : a) 2,5 et 5,5 b) 1,8 et (-3,2) c) (-1) et (-2,5) 2) Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : (-4,03) ; 2,5 ; (-4,3) ; (-3,4) ; 2,9 1) a) 2,5 < 5,5 b) 1,8 > -3,2 c) -1 > -2,5
Pour des nombres négatifs, la plus grande partie numérique donne le nombre le plus petit !
2) -4,3 < -4,03 < -3,4 < 2,5 < 2,9
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 10
NOMBRES RELATIFS
Additionner des nombres relatifs
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
NOMBRES et CALCULS
55ee || 44ee || 33ee
Pour ADDITIONNER deux nombres relatifs:
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Les nombres ont le MÊME SIGNE LES NOMBRES SONT DE SIGNES CONTRAIRES
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
http://mathix.org/linux
/archives/4469
Effectue les calculs ci-dessous :
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
N4
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 11
NOMBRES RELATIFS
Soustraire des nombres relatifs
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N5
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Opposé d'un nombre
Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0. Exemple : 3 et (- 3) sont opposés car 3 + (-3) = 0
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Soustraire des nombres relatifs
Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT!
Effectue les calculs ci-dessous en détaillant les étapes :
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
3- Méthode : Soustraire des nombres relatifs (+ 5) (+6) (-7) (-1)
= (+5) + opposé de (+6) = (-7) + opposé de (-1)
= (+5) + (-6) = (-7) + (+1) = (-1) = (-6)
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 12
NOMBRES RELATIFS
Multiplier des nombres relatifs
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N6
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Multiplier deux nombres relatifs
Règle des signes : Le produit de deux nombres relatifs est : POSITIF NÉGATIF si ces deux nombres si ces deux nombres sont de même signe sont de signes contraires.
Exemples : 8 × 7 = 56 (-8) × (-7) = 56 1 × 5,9 = 5,9
8 × (-7) = - 56 (-8) × 7 = - 56 -4,6 × 1 = - 4,6
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Calculer : A = 4 x (- 6) B = (- 2) x (- 8) C = (+ 2) x (- 5) D = (- 3) x (+ 8) E = 100 x (- 0,1) F = (- 0,1) x (- 5,5) G = 4 x (- 0,01) Compléter les égalités ci-dessous : 7 x ___ = - 56 (- 8) x ___ = 64 (- 5) x ___ = 35 6 x ___ = - 2,4
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 13
2- Multiplier plusieurs nombres relatifs
Règle des signes : Le produit de plusieurs nombres relatifs est : POSITIF NÉGATIF si le nombre de facteurs NÉGATIFS si le nombre de facteurs NEGATIFS est PAIR est IMPAIR
Exemples :
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Donner le signe des expressions suivantes : A = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) B = (- 8,4) x 7,8 x 3,2 x (- 2,9) x (- 4,9) x (- 9,9) x (- 2,5)
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
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NOMBRES RELATIFS
Diviser des nombres relatifs
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N7
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Règle des signes : Le quotient de deux nombres relatifs est :
POSITIF NÉGATIF si ces deux nombres si ces deux nombres sont de même signe sont de signes contraires.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Parmi les nombres suivants, entoure les nombres négatifs :
Calculer les expressions suivantes en détaillant toutes les étapes:
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
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NOMBRES RELATIFS
Repérer et placer un point dans un repère
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) G1- Se repérer dans l'espace
N8
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Un repère orthogonal
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Se repérer
Pour le point A : Sur l’axe des abscisses, on lit : 3 Sur l’axe des ordonnées, on lit : 2
L’abscisse de A est : 3 L’ordonnée de A est : 2
Les coordonnées de A sont : 3 et 2
On écrit : A ( 3 ; 2 ) On note d’abord l’abscisse ensuite l’ordonnée.
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 16
Donner les coordonnées des points A; B; C; D et E.
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 17
source : http://www.chrismath.fr
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 18
FRACTIONS
Différentes représentations d'une fraction
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N9
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Comme expression d'une proportion a) Ce gâteau est partagé en 4 parts EGALES. Je mange 3 parts sur 4 les 3 quarts
les
du gâteau
b) Pour représenter la fraction
il vaut mieux passer à une représentation linéaire sur une droite
graduée :
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Comme quotient
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 19
FRACTIONS
Plusieurs écritures d'une fraction
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N10
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Fractions égales Les trois parts bleu, verte et rouge représentent des surfaces égales.
On ne change pas une fraction quand on MULTIPLIE son numérateur et son dénominateur PAR UN MEME NOMBRE non nul.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : trouver des fractions égales (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 20
3- Comment simplifier une fraction ?
On ne change pas une fraction quand on DIVISE son numérateur et son dénominateur PAR UN MÊME NOMBRE.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
3- Méthode : simplifier une fraction (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 21
FRACTIONS
Utiliser l'égalité des produits en croix pour vérifier si des fractions sont égales ou non
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N11
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Propriété :
Dire que
revient à dire que a d = b c
Remarque : Cette propriété porte le nom de produit en croix car elle consiste à faire des produits en croix sur les deux fractions égales.
Exemple :
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Méthode : appliquer les produits en croix (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 22
FRACTIONS
Additionner et soustraire des fractions
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N12
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Pour ajouter (ou soustraire) deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur.
Exemples :
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA MAISON
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 23
FRACTIONS
Multiplier des fractions
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N13
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemples :
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 24
FRACTIONS
Diviser deux fractions
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N14
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Pour diviser deux fractions revient à multiplier la première par l'inverse de la deuxième.
Exemple :
Ce qu'il savoir refaire dans les exercices !
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 25
source : http://mathelot.blogspot.fr/2013
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 26
DIVISIBILITÉ
Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
N15
|| 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Définition
Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie.
Remarque : Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : décomposer un nombre en produit de facteurs premiers (exercice résolu)
Décomposer 300 en produits de facteurs premiers. Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : 2, , , 7, 11, 1 , … On commence pas tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est « oui » car 300 se termine par un chiffre pair. Et on a : 300 : 2 = 150 On recommence, en testant si 150 est divisible par 2. La réponse est « oui » et 150 : 2 = 75 On recommence, en testant si 75 est divisible par 2. La réponse est « non » ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 75 est divisible par 3. La réponse est « oui » car 7+5=12 est divisible par 3. Et on a : 75 : 3 = 25 On recommence, en testant si 25 est divisible par 3. La réponse est « non » ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 25 est divisible par 5. La réponse est « oui » et on a 25 : 5 = 5. On recommence, en testant si 5 est divisible par 5. La réponse est « oui » et on a 5 : 5 = 1. C’est fini, on trouve 1 ! La décomposition en facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite.
300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5
Décomposer en facteurs premiers avec la calculatrice CASIO collège
écrire le nombre puis
Décomposer en facteurs premiers avec la calculatrice TI collège
écrire le nombre puis
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 27
DIVISIBILITÉ
Rendre une fraction irréductible
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
N16
|| 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Définition
On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : rendre une fraction irréductible (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Rendre une fraction irréductible avec la calculatrice CASIO collège
puis
Rendre une fraction irréductible avec la calculatrice TI collège
puis
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 28
DIVISIBILITÉ
Critères de divisibilité
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
N17
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Il n'est pas toujours nécessaire de faire une division pour savoir si un nombre est divisible par un autre. On peut utiliser des techniques simples appelés "critères de divisibilité".
Compléter les cases du tableau suivant avec « oui » ou « non », sans poser d’opération (et sans calculatrice):
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 29
DIVISIBILITE
Déterminer si un nombre entier est divisible ou non
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
N18
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Division euclidienne a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0. Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que : a = b q r et r < b q s’appelle le quotient entier et r s’appelle le reste. EXEMPLE On a : 155 = 4 x 38 + 3 et 3 < 4 Dans la division euclidienne de 155 par 4, le quotient entier est 38 et le reste est 3.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Déterminer le quotient et le reste d'une division avec la calculatrice CASIO collège
écrire le dividende
puis puis écrire le diviseur
Déterminer le quotient et le reste d'une division avec la calculatrice TI collège
écrire le dividende
puis puis écrire le diviseur
2- Diviseurs d'un nombre
a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0. On dit que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
b est un diviseur de a signifie qu’il existe un entier k tel que a = b k (a est dans la table de multiplication de k et de b) EXEMPLE
2 est un diviseur de 18 car 18 est dans la table de 2 (18 = 2 x 9)
n’est pas un diviseur de 8 car 8 n’est pas dans la table de car 5 x 9 = 45 et 5 x 10 = 50 13 est il un diviseur de 8021 ? Le reste de la division euclidienne est nul donc 13 est un diviseur de 8021 8021 = 13 x 617
REMARQUES : Tous les nombres entiers admettent au moins deux diviseurs évidents : 1 et le nombre lui-même.
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Déterminer le reste d'une division avec SCRATCH
Déterminer le reste d'une division avec le tableur
= MOD ( ; )
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 30
RACINE CARREE
Racines Carrées et Carrés Parfaits
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N19
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Exemples
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Définition
Soit un nombre positif. On appelle racine carrée de le nombre dont le
carré est égal à . On le note .
Ce qu'il faut apprendre par cœur !
3- Méthode : calculer la racine carré d'un nombre (exercice résolu) Dans chaque cas, trouver le nombre positif qui vérifie l'égalité:
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Calculer la racine carré d'un nombre
avec la calculatrice CASIO collège
Calculer la racine carré d'un nombre
avec la calculatrice TI collège
Calculer la racine carré d'un nombre
avec SCRATCH
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 31
PUISSANCES
Puissances d'un nombre
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N20
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Définition
De façon générale : avec facteurs
Cas particuliers
a1 = a pour tout nombre a a0 = 1 pour tout nombre a 0n = 0 pour tout nombre entier n 1n = 1 pour tout nombre entier n
Attention aux signes !
Ne pas confondre : (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81 et - 34 = - 3 x 3 x 3 x 3 = - 81
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Ecrire une puissance avec la calculatrice CASIO
Ecrire une puissance avec la calculatrice TI
2- Puissance d'exposant négatif
On dit que :
est l’inverse de a.
De façon générale :
Méthode : Utiliser les puissances d’exposant négatif
Ecrire les quotients sous la forme
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 32
PUISSANCES
Calculer avec les puissances de 10
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N21
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Quelques formules
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : Appliquer les formules sur les puissances de 10 (exercice résolu)
Ecrire sous la forme 10n ou 10-n :
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
3- Méthode : Appliquer les formules et donner le résultat sous forme scientifique (exercice résolu)
Donner l’écriture scientifique des nombres :
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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PUISSANCES
Utiliser la notation scientifique
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
N22
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Définition
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : écrire un nombre sous sa forme scientifique (exercice résolu)
Donner la notation scientifique des nombres suivants : A = 8 300 000 B = 0, 000 000 456 C = 0,002 31 D = 147,3 x 105
E = 0,0125 x 10-2
Compter le nombre de déplacements de la virgule
A = 8 300 000 = 8,3 x 106
B = 0, 000 000 456 = 4,56 x 10-7
C = 0,002 31 = 2,31 x 10-3
D = 147,3 x 105 = 1,473 x 107
E = 0,0125 x 10-2 = 1,25 x 10-4
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Compléter le tableau en donnant l'écriture scientifique de chaque nombre ci-dessous.
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
Ecrire un nombre sous forme sientifique
avec la calculatrice CASIO collège
Ecrire un nombre sous forme sientifique
avec la calculatrice TI collège
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CALCUL LITTERAL
Appliquer une formule
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N23
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Méthode : appliquer une formule (exercice résolu)
On considère les deux frises L1et L2
On a: L1 = 6 x a et L2= 2 x a + 9 Calculer L1 et L2 lorsque a = 4 cm. Ici, a est connu, on peut donc remplacer a par 4 dans les deux formules : L1= 6 x a = 6 x 4 = 24 cm L2= 2 x a + 9 = 2 x 4 + 9 = 8 + 9 = 17 cm
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Calculer les expressions ci-dessous pour ; ; et
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
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CALCUL LITTERAL
Tester une égalité
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N24
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Définition
Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le signe d’égalité. Les deux membres d’une égalité doivent être de valeurs équivalentes. Exemples : 3 + 5 = 4 x 2 2 + 4 = - 1
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : tester une égalité (exercice résolu)
On écrit séparément les deux membres. On remplace chaque lettre par sa valeur numérique. On calcule chaque membre puis on compare leurs résultats.
S’ils sont égaux, l’égalité est vraie S’ils sont différents, l’égalité est fausse.
Exemple 1 (5ème) Exemple 2 (4ème, 3ème)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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3- Méthode : tester une égalité avec la calculatrice CASIO (exercice résolu)
EXEMPLE : 5 est-il solution de l'inéquation 3x + 4 = 5x + 3 ?
Tester l'égalité pour
Tester l'égalité pour et
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
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CALCUL LITTERAL
Réduire une expression
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N25
55ee || 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Simplification d'écriture
On peut supprimer le symbole "x" entre un nombre et une lettre ou entre deux lettres. Exemples : s’écrit s’écrit
– s’écrit – s’écrit
Attention : - 2 x ne s’écrit pas 2 ! - on écrit 2a, on n’écrit pas a2
Par convention, on place le nombre avant la lettre.
Nombres au carré, nombres au cube :
Exemples : s’écrit 3²
s’écrit 6²
s’écrit 53
s’écrit ² et se lit « au carré ». s’écrit 3 et se lit « au cube ».
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Réduire une expression Pour réduire une expression on rassemble et on calcule :
les termes constants (nombres sans lettre à côté)
puis les termes en
puis les termes en puis
puis les termes en
Exemple:
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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CALCUL LITTERAL
Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N26
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en produit.
Ce qu'il faut comprendre !
– –
– – –
– – –
Méthode : FACTORISER en utilisant la distributivité simple (exercice résolu)
Factoriser les expressions suivantes puis les simplifier le plus possible :
–
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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CALCUL LITTERAL
Développer une expression en utilisant la distributivité simple
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N27
1
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Développer une expression, c’est transformer un produit en somme ou différence.
Ce qu'il faut comprendre !
– – –
– –
– –
– –
Méthode : DEVELOPPER en utilisant la distributivité simple (exercice résolu)
Développer les expressions suivantes :
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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CALCUL LITTERAL
Développer une expression en utilisant la double distributivité
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N28
|| 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Double distributivité
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : développer en utilisant la double distributivité (exercice résolu)
Exemples:
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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CALCUL LITTERAL
Développer une expression en utilisant les identités remarquables
Compétence Hors programme
N29
HHoorrss
PPrrooggrraammmmee
NOMBRES et CALCULS
1- Les 3 identités remarquables
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : développer en utilisant les identités remarquables (exercice résolu)
Exemples: Développer chaque expression en utilisant la bonne identité remarquable
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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CALCUL LITTERAL
Factoriser en utilisant les identités remarquables
Compétence Hors programme
N30
HHoorrss
pprrooggrraammmmee
NOMBRES et CALCULS
1- Les 3 identités remarquables
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
2- Méthode : Factoriser en utilisant les identités remarquables (exercice résolu)
Exemples: Factoriser les expressions ci-dessous en utilisant les identités remarquables
a) b) c) a) b) c)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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EQUATIONS
Modéliser un problème par une équation
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N31
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Les étapes à suivre pour résoudre un problème avec une équation
1. Vérifier que l'on comprend le texte. 2. Faire un schéma correspondant au problème, SI BESOIN 3. Choisir les inconnues, en général le nombre correspondant à ce qui est demandé dans la
question fait l'affaire. 4. Traduire le texte par des écritures mathématiques. 5. Résoudre la ou les équations obtenues 6. Vérifier que le résultat est vraisemblable 7. Répondre à la question posée.
Exemple :
Le collège Picasso a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, le collège Renoir achète le
même livre 1,20 € de moins, ce qui lui permet d'en acheter de plus.
Quel est le prix d'un livre acheté par le collège Picasso ?
Choix de l'inconnue :
soit p le prix d'un livre acheté par le collège Picasso
Mise en équation (traduction du texte par des écritures mathématiques)
le collège Picasso paie 25p
le collège Renoir paie 30 (p-1,2)
les deux collèges dépensent la même somme, donc 25p = 30 (p-1,2)
Résolution de l'équation:
25p = 30p - 36
25p -30p = 30p -36 -30p
-5p = -36
p = -36÷(-5)
p = 7,2
Vérification :
25 x 7,2 = 180
30 x 7,2 - 36 = 216 - 36 = 180
donc 7,2 est la solution de l'équation
Conclusion :
Le collège Picasso paie les livres 7,2 €.
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !
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Petit Guide pour la mise en équation Étape 1 : quel nombre dois je trouver pour répondre à la question ? Étape 2 : Quelle égalité le texte fournit-il et quels sont les nombres inconnus qui
interviennent dans cette égalité Étape 3 : Je choisis parmi ces nombres celui que je vais prendre comme inconnue Étape 4 : Je traduis les deux membres de l'égalité par une expression algébrique (des chiffres
et des lettres) utilisant l'inconnue.
Paul calcule que s'il achète deux croissants et une brioche à 1,8 €, il dépense 0, 7€ de plus que s'il achète quatre croissants.
Choix de l'inconnue
Mise en équation
Résolution de l'équation
Vérification
Conclusion
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
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EQUATIONS
Résoudre des problèmes du 1er degré de façon exacte ou approchée
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N32
|| 44ee || 33ee
NOMBRES et CALCULS
Problème : Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10 €. Avec cette carte, le prix d’une entrée est de €. Question : Avec la carte d’abonnement, un client du cinéma a payé 2 € en tout. Combien d’entrées a-t-il achetées ?
Méthode n°1 : par essais successifs
On calcule le prix en fonction du nombre d'entrées
1 entrée : 10 + 1 x 4 =1 €
2 entrées : 10 + 2 x 4 =18€
3 entrées : 10 + 3 x 4 =22€
4 entrées : 10 + 4 x 4 =26€
5 entrées : 10 + 5 x 4 = 0€
6 entrées : 10 + 6 x 4 = €
7 entrées : 10 + 7 x 4 = 8€
8 entrées : 10 + 8 x 4 = 2€ Il a donc acheté 8 entrées
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Méthode n°2 : avec le tableur
dans la case B1, on entre la formule de calcul =10+ 4*A2
puis on étire la formule
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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EQUATIONS
Résoudre une équation du premier degré
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N33
|| 33ee
NOMBRES et CALCULS
2- Méthode : résoudre une équation (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Résoudre l'équation
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
But : Trouver x ! C'est-à-dire : isoler dans l’équation pour arriver à : nombre
Pour obtenir « = nombre », on considèrera que la famille des x habite à gauche de la « barrière = » et la famille des nombres habite à droite. Résoudre une équation, c’est clore deux petites réceptions où se sont réunis des et des nombres. Une se passe chez les et l’autre chez les nombres. La fête est finie, chacun rentre chez soi. On sera ainsi menés à effectuer des mouvements d’un côté à l’autre de la « barrière = »
On peut additionner et soustraire de chaque côté de la « barrière = » . On peut multiplier et diviser de chaque côté de la « barrière = »
Ce qu'il faut comprendre !
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CALCUL LITTERAL
Résoudre des équations produits nuls
Compétence Hors Programme
N34
HHoorrss
PPrrooggrraammmmee
NOMBRES et CALCULS
1- Vocabulaire
Les équations produits nuls sont des équations du type : (Expression 1)(Expression 2) = 0
Exemples :
– est une équation produit nul.
– sont des équations produits nuls. Contre- exemples :
– – n’est pas une équation produit nul (à cause du moins). n’est pas une équation produit nul (à cause du 6).
2- Règles
Un produit est nul si, et seulement si, un des facteurs au moins est égal à zéro ».
Autrement dit, a b = 0 si, et seulement si, a =0 ou b = 0.
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !
Ce qu'il faut comprendre !
– – –
3- Méthode : Résoudre une équation produit nul (exercice résolu)
Exemples : Résoudre les équations suivantes
Solutions :
a) –
–
L’équation a deux solutions :
et 2,5
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
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– – –
3- Méthode : Résoudre une équation produit nul (exercice résolu suite)
Exemples : Résoudre les équations suivantes
Solutions :
b) –
–
L’équation a deux solutions : et 0,5
c)
L’équation a une solution :
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
Résoudre les équations produits nuls suivantes :
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances
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INEQUATIONS
Résoudre une inéquation du premier degré
Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) N3-Utiliser le calcul littéral
N35
|| 33ee
NOMBRES et CALCULS
1- Définition
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue . Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de qui vérifient cette inégalité. Il s’agit d’un ensemble de valeurs.
Ce qu'il faut comprendre !
2- Méthode : résoudre une inéquation (exercice résolu)
Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !
As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances