DDhebergement.ac-poitiers.fr/math/jmagnier/5-JAUNE... · 2019. 1. 29. · *Hors-programme: cela signifie que la capacité n'est pas attendue en fin de cycle mais peut être abordée

Thème Fiche Titre de la leçon Niveau Page

Statistiques

D1 Enquête statistique : vocabulaire 5e 4e 3e 3

D2 Lire et construire un tableau 5e 4e 3e 4-5

D3 Lire et construire un diagramme à bâtons 5e 4e 3e 6

D4 Lire et construire un histogramme 5e 4e 3e 7-8

D5 Lire et construire un diagramme circulaire ou semi-circulaire

5e 4e 3e 9-10

D6 Lire et construire un diagramme à bandes *Hors programme 11

D7 Construire un graphique avec le tableur 5e 4e 3e 12-13

D8 Calculer des fréquences 5e 4e 3e 14

D9 Calculer et interpréter la moyenne d'une série statistique

5e 4e 3e 15-16

D10 Calculer et interpréter la médiane d'une série statistique

5e 4e 3e 17

D11 Calculer et interpréter l'étendue d'une série statistique

4e 3e 18

D12 Déterminer la moyenne, la médiane, l'étendue d'une série statistique avec la calculatrice CASIO

*Hors programme 19-20

D13 Déterminer la moyenne, la médiane, l'étendue d'une série statistique avec la calculatrice TI

*Hors programme 21

Proportionnalité

D14 Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non proportionnalité

5e 4e 3e 22

D15 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant le coefficient de proportionnalité

5e 4e 3e 23

D16 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant les propriétés de linéarité additives et multiplicatives

5e 4e 3e 24

D17 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant la règle de trois (c'est à dire retour à l'unité)

5e 4e 3e 25

D18 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant le produit en croix

5e 4e 3e 26-27

D19 Caractériser graphiquement la proportionnalité 4e 3e 28

Pourcentages

D20 Utiliser et appliquer un pourcentage 5e 4e 3e 29

D21 Calculer une augmentation ou une réduction 5e 4e 3e 30

D22 Calculer un pourcentage 5e 4e 3e 31

Probabilités

D23 Aborder des situations simples liées au hasard 5e 4e 3e 32

D24 Notion de probabilités et vocabulaire 5e 4e 3e 33-34

D25 Calculer la probabilité dans des situations simples 4e 3e 35

D26 Calculer des probabilités dans des contextes divers

3e 36-37

D27 Simuler une expérience aléatoire à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice

3e 38-39

DD CCYYCCLLEE 44 -- SSOMMAIRE

*Hors-programme : cela signifie que la capacité n'est pas attendue en fin de cycle mais peut être abordée avec certains élèves ou dans le cadre d'une activité découverte.

Fonctions

D28 Dépendance entre deux grandeurs 5e 4e 3e 40

D29 Notion de fonction : différentes représentations et notations

3e 41-42

D30 Déterminer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction à partir d'un graphique

3e 43-44

D31 Déterminer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction à partir d'un tableau

3e 45-47

D32 Utiliser et représenter une fonction linéaire 3e 48-49

D33 Utiliser et représenter une fonction affine 3e 50-51

D34 Déterminer par le calcul l'image d'un nombre par une fonction affine ou linéaire

3e 52

D35 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction affine ou linéaire (équation)

3e 53

D36 Fonction et équation 3e 54

D37 Fonction et inéquation 3e 55

D38 Fonctions linéaires et pourcentages 3e 56

Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques en collège dans l'académie de Poitiers page 3

Exemple :

On a demandé aux élèves d’une classe de Cinquième leur couleur préférée. Voici leur réponse : noir, noir, noir , noir, noir, noir, noir, noir, vert, vert, vert, vert, vert, vert, rose, rose, rose, rose, bleu, bleu, bleu, bleu, jaune ,jaune.

Quelle est la population étudiée? les élèves classe de Cinquième

Quel est le caractère étudié? leur couleur préférée

Combien y a-t-il de valeurs prises par ce caractère? 5 valeurs différentes : noir, vert, rose, bleu, jaune

Quel est l'effectif total de cette série statistique? 25 (il y a au total 25 réponses)

Quel est l'effectif de la valeur "vert" ? 6 (il y a 6 élèves qui ont répondu que leur couleur préférée était le "vert")

Réalise un tableau permettant de regrouper ces informations.

couleurs noir vert rose bleu jaune total

effectif 8 6 4 4 2 8+6+4+4+2 = 24

Ce qu'il faut apprendre et savoir refaire dans les exercices !

STATISTIQUES

Enquête statistique : vocabulaire

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D1-Traiter, représenter et interpréter des données

D1

55ee || 44ee || 33ee

ORGANISATION et GESTION de DONNÉES

Voici les notes obtenues à un petit contrôle de mathématiques par les élèves d’une classe de 5e.

RR, R, V, R, R, VV, R, R, V, V, V, V, R, RR, VV, VV, VV, VV, RR, V, V, V, V, RR,

VV, VV, VV, RR, RR, RR.

a) Quelle est la population étudiée?

b) Quel est le caractère étudié?

c) Combien y a-t-il de valeurs prises par ce caractère?

d) Quel est l'effectif total de cette série statistique?

e) Quel est l'effectif de la valeur "vert" ?

f) Réalise un tableau permettant de regrouper ces informations.

As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances


1- Méthode : construire un tableau simple et un tableau à double entrée (exercice résolu)

Exemple : Noé veut connaître les loisirs préférés des camarades de sa classe de 24 élèves. Il fait une petite enquête auprès d’eux et demande à chacun de noter sur un bout de papier son activité préférée. Il obtient les résultats suivants : les réponses des garçons sont soulignées.

Il souhaite organiser ses résultats.

Pour rassembler les données de manière pratique, il va les représenter dans tableau.

On reprend les données récupérées auprès des élèves de la classe, on obtient

On lit très rapidement, que 6 élèves aiment la lecture.

Le tableau ne permet pas de distinguer les réponses données par les filles et les garçons.

Pour faire cette distinction, il aurait pu faire un tableau à double entrée en dissociant filles et garçons

Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !

Construire un tableau à double entrée permettant de compter le nombre d'émoticônes suivant leur couleur et leur humeur.


STATISTIQUES

Lire et construire un tableau


D2

55ee || 44ee || 33ee



Exemple :

Le professeur de SVT a relevé la taille (en cm) de tous les élèves d’une classe de cinquième. 150 – 165 – 169 – 155 – 164 – 149 – 150 – 162 – 160 – 164 – 164 – 170 – 172 – 164 – 135 – 165 – 163 – 160 – 161 - 158 – 155 – 142 – 158 – 150 – 140 – 147 – 175 – 138

Pour représenter ces données, le professeur de SVT souhaite représenter les données dans un tableau. Pour

cela, il va faire un tableau d'effectif par classe d'amplitude 10

Remarque Chaque donnée de la série n’appartient qu’à une seule « classe » : L’écriture 130 ≤ T < 140 est la « classe » des élèves dont la taille T est comprise entre 130 cm et 140 cm. La

valeur 130 cm est comprise dans cette classe et la valeur 140 cm n’est pas comprise dans cette classe.

On peut aussi noter : [130;140[


Pour tester le fonctionnement des machines de conditionnement de bonbons gélifiés, on a réalisé une étude portant sur le poids de 25 sachets étiquetés 100 grammes. Voici les résultats des 25 pesées ( en grammes ) : 100,1 100,2 101,3 99,8 97,2 98,9 99,7 103,1 100,8 97,1 102,6 99,3 100,5 100,2 98,0 100,0 99,6 99,0 100,1 101,5 99,7 98,1 99,9 100,1 101,3 Compléter le tableau en regroupant les poids des sachets en classes d’amplitude 1 gramme et en comptabilisant les effectifs correspondants. Masse en gramme [97;98[

Nombre de sachets



Méthode : construire un diagramme à bâtons (ou à barres)(exercice résolu) Exemple : Mme Dupont possède un cerisier dans son jardin. Chaque année, elle note dans un tableau, la masse de cerise qu'elle récolte.

Année 2011 2012 2013 2014 2015

Masse (en kg) 15 14 9 18 16

Question : Représenter les données de ce tableau dans un diagramme en bâtons.


Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et le reste Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme à bâtons.


INTERPRÉTER et REPRÉSENTER DES DONNÉES

Lire et construire un diagramme en bâtons (à barres)


D3

55ee || 44ee || 33ee



L'histogramme est utilisé dans le cas d'une série regroupée en classe.

Pour construire un histogramme, on porte les classes en abscisse et sur chacune d'elles pris comme base, on construit un rectangle dont l'aire (et non pas la hauteur) est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la classe correspondante. Il ne doit donc pas y avoir de graduations verticales mais une unité d’aire.

Ce qu'il faut comprendre !

2- Méthode : construire un histogramme (exercice résolu)

Exemple : voici une série statistique :

On veut la représenter par un histogramme sur le graphique ci contre :

Rappel : L’amplitude d’une classe est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite.

Construction du premier rectangle : L’effectif est de 4, un élève est représenté par 4 carreaux donc la première classe a une aire de 16 carreaux. La base du rectangle étant de 8 (d’après le dessin), la hauteur doit être de 16/8 = 2.


STATISTIQUES

Lire et construire un histogramme


D4

55ee || 44ee || 33ee





1- Méthode : construire un diagramme circulaire (exercice résolu) Exemple : On a interrogé 80 personnes pour savoir où elles préfèrent passer leurs vacances.

Lieu mer montagne ville campagne total

Nombre de réponses

40 15 20 5 80

QUESTION : Construire un diagramme circulaire représentant les réponses de ce sondage.

On commence par déterminer la mesure de l'angle de chaque secteur angulaire car les angles sont proportionnels aux nombres de réponses de chaque catégorie. Lieu mer montagne ville campagne total

Nombre de réponses

40 15 20 5 80

Angle (en °) 180 72 90 18 360

Remarque : Pour compléter le tableau, plusieurs méthodes sont possibles (coefficient de proportionnalité, produit en croix, …) voir fiches D15, D16, D17, D18 Pour finir, on construit un disque (de rayon quelconque car les dimensions ne sont pas précisées dans la consigne), en respectant les angles des secteurs angulaires déterminés dans le tableau précédents.


STATISTIQUES

Lire et construire un diagramme circulaire ou semi-circulaire


D5

55ee || 44ee || 33ee


= 4,5

la totalité des réponses

représente le disque entier donc

correspond à un angle de 360°


Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et 14 Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme circulaire de rayon 5 cm.


2- Méthode : construire un diagramme semi-circulaire (exercice résolu) Exemple : Ce tableau donne la répartition des buteurs d'une équipe de football.

séb yan raf lolo Autres joueurs

Nombre de buts 40 15 5 5 10

QUESTION : Construire un diagramme semi-circulaire représentant les réponses de ce sondage. Pour faire un diagramme semi-circulaire, la méthode est la même mais dans un demi-cercle et donc un angle total de 180°

Séb Yan Raf Lolo Autres joueurs

total

Nombre de buts 40 15 5 5 10 75

Angle (en °) 96 36 12 12 24 180

la totalité des réponses représente le

demi-disque entier donc correspond

à un angle de 180°

= 2,4

Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et 14 Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme semi-circulaire de rayon 8 cm.




Méthode : construire un diagramme à bandes (exercice résolu)

Exemple :

Les résultats de l'enquête sur les élèves de 5e concernant leurs loisirs sportifs sont rassemblés dans le tableau

ci-dessous :

Valeurs football basket handball tennis Danse total

effectifs 8 6 2 3 6 25

QUESTION : Représenter cette répartition dans un diagramme à bandes de longueur 10cm.

Valeurs football basket handball tennis Danse total

effectifs 8 6 2 3 6 25

longueur 3,2cm 2,4cm 0,8cm 1,2cm 2,4cm 10cm

Si l'on prend une bande de 10cm, la longueur de la bande "football" est


Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et 14 Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme à bandes de longueur 15cm.


x

STATISTIQUES

Lire et construire un diagramme à bandes

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) Hors programme

D6 HHoorrss

PPrrooggrraammmmee



1- Méthode : construire un graphique avec le TABLEUR (exercice résolu)

Exemple : le tableau indique le temps passé par activité lors d'une journée type d'un collégien.

QUESTION : Avec un tableur, représenter les informations de ce tableau dans un graphique.

1. Ouvrir Libre Office Calc

2. Dans une feuille de calculs, on recopie le tableau.

3. On sélectionne le tableau avec la légende et on clique sur Insertion puis Diagramme.


STATISTIQUES

Construire un graphique avec le tableur


D7

55ee || 44ee || 33ee


TTéélléécchhaarrggee ggrraattuuiitteemmeenntt llee llooggiicciieell LLiibbrreeooffffiiccee CCaallcc ::

hhttttppss::////ffrr..lliibbrreeooffffiiccee..oorrgg//ddoowwnnllooaadd//lliibbrreeooffffiiccee--ssttaabbllee//

https://fr.libreoffice.org/download/libreoffice-stable/


4. Une fenêtre s'ouvre "Assistant Diagramme"

5. Choisir le type de graphique (colonne, secteur ou barre)

6. On clique sur suivant. On coche les cases comme indiqué ci-dessous. (Parfois, il faudra plutôt cocher

"Séries de données en lignes")

7. Puis on clique sur suivant et encore suivant. On peut entrer un titre et les légendes des axes

8. Puis on clique sur terminer.


1- Méthode : Calculer des fréquences

On souhaite comparer les résultats d'une classe de 5e à ceux réalisés lors d’une enquête nationale sur 1253 jeunes âgés de 15 à 24 ans. Les tableaux des effectifs ne sont pas adaptés car les effectifs totaux sont différents. La fréquence qui met en rapport l’effectif sur l’effectif total nous permettra de comparer plus facilement les deux sondages.

On peut maintenant comparer les deux populations. On voit par exemple, que dans la classe, la proportion de jeunes utilisant Internet plusieurs fois par jour (7 %) est très faible par rapport au national (44 %).


STATISTIQUES

Calculer des fréquences


D8

55ee || 44ee || 33ee



1- Méthode : calculer une moyenne simple (exercice résolu)

La moyenne d’une série statistique est le quotient de la somme de TOUTES les valeurs par l’effectif total de cette série.

Exemple : voici les notes obtenues par Aurélie en Mathématiques au cours de l'année.

1er trimestre : 10 – 9 – 11 – 12 – 11,5 – 14 – 12

2ème trimestre : 9,5 – 11 – 12,5 – 8 – 13 – 18

3ème trimestre : 8 – 9 – 14 – 12 – 10 – 13 – 11,5

Calculons sa moyenne annuelle :

Remarque :

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite valeur et la plus grande valeur de la série statistique.


2- Moyenne simple avec le TABLEUR Pour calculer une moyenne arithmétique, il existe la fonction MOYENNE qui permet de calculer la moyenne d’une série de valeurs se trouvant dans une plage de cellules. Dans l’exemple suivant, il s’agit de calculer la moyenne d’une série de notes (plage B2:I2) : on additionne les notes et on divise la somme obtenue par le nombre de notes. La formule est =MOYENNE(B2:I2)

Remarque : on aurait pu utiliser la formule =SOMME(B2:I2)/NBVAL(B2:I2) qui calcule la somme des valeurs de la série et qui divise le résultat par le nombre de valeurs de cette plage.


STATISTIQUES

Calculer et interpréter la MOYENNE d'une série statistique


D9

55ee || 44ee || 33ee



3- Méthode : calculer une moyenne pondérée (exercice résolu)


Voici les tailles (en cm) et les poids (en kg) d'enfants âgés de 6ans. Taille : 125 118 121 122 121 121 124 Poids : 32 25 27 29 28 27 31 1. Calculer la taille moyenne de ces enfants 2. Calculer le poids moyen de ces enfants


4- Moyenne pondérée avec le TABLEUR

Pour calculer une moyenne pondérée ou une moyenne de valeurs affectées de coefficients, il n’y a pas de fonction dédiée. Cependant, la fonction SOMMEPROD permet de le faire sans avoir une formule trop compliquée. Dans l’exemple précédent, certaines notes sont obtenues plusieurs fois. On peut donc considérer que ces notes sont pondérées et multiplier chaque note (plage B2:E2) par son effectif (plage B3:E3), ajouter les produits obtenus puis diviser par la somme des effectifs.

La formule est =SOMMEPROD(B2:E2 ;B3:E3)/SOMME(B3:E3)



1- Méthode : déterminer la médiane d'une série statistique (exercice résolu) Exemples : Voici les séries de notes obtenues par 3 élèves : Margot : 5 ; 6 ; 17 ; 9 ; 17 ; 12 ; 12 ; 18 Lucas : 13 ; 13 ; 11; 10 ; 12 ; 8 ; 14 ; 12 ; 13 ; 16 Laura : 16 ; 5 ; 14 ; 13 ; 10 ; 12 ; 12 ; 11 ; 11 QUESTION : Déterminer les valeurs médianes de chaque série.

Pour déterminer les notes médianes, il faut ordonner les séries dans l'ordre croissant. La médiane partage l’effectif en deux.


2- Interprétation

La médiane de la série de Margot par exemple est égale à 12, cela signifie que Margot a obtenu autant de notes inférieures à 12 que de notes supérieures à 12.


STATISTIQUES

Calculer et interpréter la MÉDIANE d'une série statistique


D10

55ee || 44ee || 33ee


Voici les tailles (en cm) et les poids (en kg) d'enfants âgés de 6ans. Taille : 125 118 121 122 121 121 124 Poids : 32 25 27 29 28 27 31 1. Calculer la taille médiane de ces enfants 2. Calculer le poids médian de ces enfants



Méthode : calculer l'étendue d'une série statistique (exercice résolu)

Etendue = Plus grande valeur – Plus petite valeur Exemple : On interroge les élèves d’une classe sur leur taille en cm. Voici les résultats de l’enquête : 174 – 160 – 161 – 166 – 177 – 172 – 157 – 175 – 162 – 169 – 160 – 165 – 170 – 152 – 168 – 156 – 163 – 167 – 169 – 158 – 164 – 151 – 162 – 166 – 156 – 165 – 179

QUESTION : Calculer l’étendue de la série de tailles

Etendue des tailles = 179 – 151 = 28 cm

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !

Voici les tailles (en cm) et les poids (en kg) d'enfants âgés de 6ans. Taille : 125 118 121 122 121 121 124 Poids : 32 25 27 29 28 27 31 1. Calculer l'étendue des tailles de ces enfants 2. Calculer l'étendue des poids de ces enfants


STATISTIQUES

Calculer et interpréter l'ÉTENDUE d'une série statistique


D11

|| 44ee || 33ee



Exemple :


STATISTIQUES

Déterminer la moyenne, la médiane et l'étendue d'une

série statistique avec la calculatrice CASIO Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D1-Traiter, représenter et interpréter des données

D12 HHoorrss

PPrrooggrraammmmee




Exemple : Le tableau suivant donne le nombre de spam reçus aujourd’hui dans les boîtes aux lettres électroniques des élèves d’une classe.


STATISTIQUES

Déterminer la moyenne, la médiane et l'étendue d'une

série statistique avec la calculatrice TI Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D1-Traiter, représenter et interpréter des données

D13


1

2

3

4

5

6

HHoorrss

PPrrooggrraammmmee


Méthode : Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non proportionnalité (exercice résolu) QUESTION : Vérifier si les tableaux suivants représentent une situation de proportionnalité :

Dans un tableau de nombres à deux lignes, on reconnait une situation de proportionnalité lorsque les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre.

Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Explique ta réponse.




PROPORTIONNALITÉ

Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non proportionnalité

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D3-Résoudre des problèmes simples et familiers de proportionnalité

D14

55ee || 44ee || 33ee



Méthode : le coefficient de proportionnalité est un nombre entier ou un nombre décimal

Enoncé : 2 m² de carrelage coûte 40 €. Le prix est proportionnel à la quantité achetée. QUESTION : Compléter le tableau

On détermine le coefficient de proportionnalité qui est égal à 20.

En effet : 40 2 = 20. Ce qui signifie également que 1 m² de carrelage coûte 20 €. Ainsi, les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par 20.

Méthode : le coefficient de proportionnalité sous une écriture fractionnaire

QUESTION : Compléter le tableau de proportionnalité suivant :

3 35 et 35 3 ne donnent pas de valeur exacte. Exprimons le coefficient de proportionnalité sous une écriture fractionnaire :


Compléter les tableaux de proportionnalité ci-dessous : a) b)



PROPORTIONNALITÉ

Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant le coefficient de proportionnalité


D15

55ee || 44ee || 33ee



Méthode : compléter un tableau de proportionnalité en utilisant les propriétés de linéarité additives et multiplicatives. Exemple : Un cycliste a parcouru 50 km en 3 heures. En supposant qu'il roule toujours à la même vitesse, compléter le tableau ci-dessous :

Solution

Comme le cycliste roule toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité entre la distance et le temps.


Compéter les tableaux de proportionnalités suivants en effectuant des calculs sur les colonnes


PROPORTIONNALITÉ

Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant les propriétés de linéarité additives et multiplicatives


D16

55ee || 44ee || 33ee



Méthode : Compléter un tableau en utilisant la règle de 3 Exemple : Pour faire des crêpes pour 5 personnes, on a besoin de 400g de farine, 3 œufs et 1 litre de lait. QUESTION : Quelle quantité de farine sera nécessaire pour 4 personnes ?

Solution

Revenons à l’unité en calculant la quantité de farine nécessaire pour une personne : 400 5 = 80g Pour 4 personnes, il en faut 4 fois plus, soit : 4 x 80 = 320g.

On peut alors trouver la quantité de farine nécessaire pour 2, 3, 4, 5 …. personnes


Dans un magasin, 5 noix de coco coûtent 8 €.

1. Combien coûtent 7 noix de coco ? 2. Combien coûtent 13 noix de coco ?


PROPRTIONNALITÉ

Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant la règle de trois (retour à l'unité)


D17

55ee || 44ee || 33ee



Méthode : calculer une quatrième proportionnelle en utilisant le produit en croix

Exemple : 2,5 kg de pommes coûtent 3 €. Combien coûtent 1,8 kg ?

On présente les données de l’énoncé dans un tableau de proportionnalité :

= 1,8 x 3 2,5 = 2,16 € (conséquence des produit en croix) 1,8 kg de pommes coûtent 2,16 €.

La méthode du produit en croix permet de calculer la 4ème valeur d’un tableau de proportionnalité connaissant les 3 autres.

Pour cela, on commence par multiplier sur la diagonale (le signe « x » fait penser à deux diagonales !) et on divise ensuite sur la colonne (le signe « : » fait penser à une colonne !).


Compléter les tableaux suivants à l’aide du produit en croix.


PROPORTIONNALITÉ

Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant le produit en croix


D18

55ee || 44ee || 33ee



Méthode : Calculer une quatrième proportionnelle avec la calculatrice CASIO



Exemple

On a représenté dans le graphique ci-contre les données du tableau

Propriété

Sur un graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité, lorsque cette situation est représentée par des points alignés avec l’origine.

Voici un graphique représentant la consommation moyenne en essence d’une voiture en fonction du nombre de kilomètres parcourus.

a. En utilisant le graphique, dire s’il y a proportionnalité entre ces deux grandeurs. Justifier la réponse. b. En utilisant le graphique, trouver la consommation approximative de cette voiture pour 100 km. c. Il reste entre 15 L et 20 L dans le réservoir. En utilisant le graphique, trouver un encadrement de la distance que cette voiture peut parcourir sans tomber en panne sèche.



PROPORTIONNALITÉ

Caractériser graphiquement la proportionnalité Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D3-Résoudre des problèmes simples et familiers de proportionnalité

D19

|| 44ee || 33ee



Calculer :

a) 25% de 5000 dollars

b) 30% de 300 enfants

c) 10% de 800 km

d) 50% de 60 euros

e) 6% de 300 m


70% des enfants aiment les mathématiques cela veut dire que : sur 100 enfants, il y en a 70 qui aiment les mathématiques.

70% 70 pour 100 70 sur 100

Toutes les écritures ci-dessus sont égales.

2- Méthode : appliquer un pourcentage Si 70% des enfants aiment les mathématiques : sur un groupe de 30 enfants, combien d'entre eux devraient aimer les maths ? On cherche les 70% de 30 élèves

70% de 30 =

=

=

Dans ce contexte, 21 enfants sur 30 devraient aimer les maths.

Ce qu'il faut connaître et utiliser dans les exercices!

1- Quelques pourcentages à connaître


POURCENTAGES

Utiliser et appliquer un pourcentage


D20

55ee || 44ee || 33ee



Méthode : Calculer une réduction (exercice résolu)


Dans un magasin, un article est affiché à 28€. Lors des soldes, son prix baisse de 15%

Calcule le nouveau prix après réduction.


POURCENTAGES

Calculer une augmentation ou une réduction


D21

55ee || 44ee || 33ee


Remarque : on procède de la même façon pour une augmentation, mais on fait une addition au lieu d'une soustraction.

on a fait 100 - 20

on a fait 100 - 20

pour une augmentation, on aurait fait une addition

pour une augmentation, on aurait fait une addition


Méthode: Rechercher un pourcentage (exercice résolu)


1. Ma facture d'eau est passée de 295€ à 212€. Calculer le pourcentage de réduction ? 2. Ma facture est passée de 212€ à 295€. Calculer le pourcentage d'augmentation ?


POURCENTAGES

Calculer un pourcentage


D22

55ee || 44ee || 33ee



1 - Définition : Situation liée au hasard On dit d’une expérience qu’elle est « aléatoire » lorsqu’elle vérifie trois conditions : – on connaît tous les résultats possibles de l’expérience ; – le résultat n’est pas prévisible ; – on peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions. Exemple : On lance un dé et on regarde la face visible lorsque le dé s’arrête de rouler. – Il y a 6 résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6. – On ne peut pas prévoir le résultat avant de lancer le dé. – On peut refaire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions.


2- Méthode : étudier une situation liée au hasard (exercice résolu)

Sur un jeu de 13 cartes indiscernables, Léo écrit sur chaque carte une lettre du mot « mathématiques ».

Ensuite Léo retourne toutes les cartes et demande à son ami Théo d’en choisir une au hasard. 1) Est-ce une expérience aléatoire ? 2) Quelle(s) lettre(s) a-t-il le plus de chance d’obtenir ? 3) Théo pense qu’il a plus de chance d’obtenir une consonne qu’une voyelle. A-t-il raison ? 4) Théo affirme qu’il a plus d’une chance sur deux de tirer une lettre appartenant à son prénom. A-t-il raison ? 1) Cette expérience est aléatoire, car : – on connait les résultats possibles : M, A, T, H, E, I, Q, U, S ; – le résultat n’est pas prévisible : les cartes sont retournées ; – on peut la reproduire plusieurs fois. 2) Les lettres M, A, T, E apparaissent deux fois. Ce sont ces 4 lettres qu’il a le plus de chance d’obtenir. 3) On compte 7 consonnes : 2M, 2T, H, Q, S et 6 voyelles : 2A, 2E, I, U. Il a raison de penser qu’il a plus de chance d’obtenir une consonne qu’une voyelle. 4) Le jeu contient 5 lettres appartenant à son prénom : 2T, H, 2E. Il a donc 5 chances sur 13 d’obtenir une de ces lettres. 5 est inférieur à la moitié de 13, il a donc moins d’une chance sur deux de tirer une lettre appartenant à son prénom. Théo a donc tord.


PROBABILITÉS

Aborder des situations simples liées au hasard

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D2- Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

D23

55ee || 44ee || 33ee



1- Notion de probabilités Chaque élève lance 100 fois un dé à six faces et note les effectifs d’apparition de chaque face dans le tableau

On regroupe ensuite l’ensemble des résultats de la classe dans un même tableau puis on calcule les fréquences d’apparition de chaque face.

Les fréquences d’apparition sont très proches les unes des autres. Théoriquement, il y a autant de chance d’obtenir un 1, un 2, … ou un 6. En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se rapprocheraient les unes des autres de façon encore plus évidente.

Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un

événement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité.


2- Arbre des possibles

Exemple : Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles :

L’arbre des possibles permet de visualiser les

issues d’une expérience aléatoire.


3- Probabilités


PROBABILITÉS

Notion de probabilité et vocabulaire


D24

|| 44ee || 33ee



4- Événement

Un évènement est constitué par plusieurs issues d’une même expérience aléatoire



Méthode : calculer une probabilité

On considère l’expérience aléatoire suivante : on lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Soit E l’évènement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ». Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ? On construit l’arbre des possibles de l’expérience aléatoire :

Chaque issue à la même probabilité : il y a une chance sur six de sortir un 1, un 2, … ou un 6. On dit qu’il y a équiprobabilité.

Ainsi P(E) =

La probabilité que l’évènement E se réalise est de

.

Il y a donc une chance sur trois d’obtenir un 1 ou un 6 en lançant un dé.


Les quatre couleurs d'un de cartes sont : Cœur, Carreau, Trèfle et Pique. Le joueur A pioche dans un jeu de 32 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As) Le joueur B pioche dans un jeu de 52 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As) Chaque joueur tire une carte au hasard. 1. Calculer la probabilité qu'a chaque jouer de tirer le 5 de Carreau. 2. Chaque joueur a-t-il la même probabilité de tirer du Cœur ? Justifier. 3. Qui a la plus grade probabilité de tirer une Dame ? Justifier.


PROBABILITÉS

Calculer des probabilités dans des cas simples


D25

|| 44ee || 33ee



1- Définition

La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance qu’a un évènement de se produire ».

Exemple : Dire que la probabilité d’un évènement est de 0,8 signifie que cet évènement à 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de se produire.


2- Un peu de vocabulaire

Un évènement dont la probabilité est égale à 0 est un évènement impossible. Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain.

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT ! !

3- Calculer une probabilité


3- Evénement contraire L'événement contraire de A, noté , est l'ensemble de toutes les issues de n'appartenant pas à A. Propriété : p( )= 1 - p(A) Exemple : On lance un dé à 6 faces et on regarde la face du dessus. Les évènements A et B sont contraires : A = « On obtient un 1 » B = « On obtient un 2, 3, 4, 5 ou 6. »


PROBABILITÉS

Calculer des probabilités dans des contextes divers et vocabulaire


D26

|| 33ee



3-Méthode : Calculer une probabilité (exercice résolu)

On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé à six faces et on regarde le nombre inscrit sur la face du dessus. Soit E l’évènement : « La face du dessus est un nombre supérieur ou égal à 3 ». Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ? Nombre d’issues favorables à E = 4 En effet, pour avoir un nombre supérieur ou égal à 3, il faut obtenir un 3, un 4, un 5 ou un 6. Nombre d’issues total = 6 En effet, le dé à 6 faces.

Ainsi

La probabilité que l’évènement E se réalise est de

.

Il y a donc deux chances sur trois d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3.


4-Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre de probabilité (exercice résolu)

Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »



Simuler une expérience aléatoire avec le tableur

Exemple: On lance simultanément deux dés cubiques bien équilibrés et on s'intéresse à la somme des nombres obtenus sur les faces supérieures. a) A l'aide d'un d tableur, simuler 1000 lancers de deux dés. Pour chaque lancer faire apparaître la somme

des résultats. b) Déterminer la fréquence d'une somme égale à 7 sur les 100 lancers. c) En déduire une valeur approchée de la probabilité d'obtenir une somme égale à 7. a)étape 1 : on saisit les titres des colonnes A, B et C dans les cellules A1, B1 et C1 : "1er dé", "2e dé" et "somme des faces"

étape 2 : dans les cellules A2 et B2, on saisit la formule = ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) pour obtenir un

nombre entier compris entre 1 et 6 correspondant à une face pour chaque dé.

étape 3: dans la cellule C2, on saisit la formule =A2+B2 pour obtenir la somme des faces des deux dés.

étape 4: on sélectionne en même temps les cellules A2, B2 et C2, et on étire la sélection vers le bas jusqu'à la lignes 1 001 pour simuler les 1 000 lancers des deux dés. Pour renouveler les 1 000 lancers, on appuie sur MAJ+CTRL+F9 (ou sur F9 seulement selon le logiciel utilisé)

b) Dans la cellule E1, on sait le titre "Nombre de 7". Puis, dans la cellule E2, on saisit la formule

=NB.SI(C2:C1001;7) pour obtenir le nombre de fois qu'apparaît 7 entre les cellules C2 et C1001.

Puis dans la cellule F1, on saisit le titre "Fréquence de la somme 7". Puis dans la cellule F2, on saisit la formule

=E2/1000 pour obtenir la fréquence d'apparition de la somme 7 sur les 1000 lancers.

c) On peut déduire que la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 est environ égale au nombre qui

apparaît dans la cellule F2, soit environ 0,17.


PROBABILITÉS

Simuler une expérience aléatoire avec le tableur ou une calculatrice


D27

|| 33ee



2- Donner un nombre aléatoire à l'aide de la calculatrice Remarque : Ran et Rand sont des abréviations de random qui signifie aléatoire en anglais a- On souhaite obtenir un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 à la calculatrice. Quelle formule faut-il entrer ?

b- Donner une formule sur la calculatrice pour obtenir un nombre entier compris entre 0 et 2.



1- A partir d'une courbe

La courbe ci-dessous donne la température extérieure relevée sous abri pendant 24 heures par un thermomètre, en fonction de l'heure.

À 12 h 00, la température était de 4°C : ainsi au nombre 12, on associe

l'unique valeur 4.

Le point de coordonnées (12 ; 4) appartient à la courbe.

Plus généralement, quelle que soit l'heure de la journée, on peut lui

associer la température correspondante.


2- A partir d'un tableau de valeurs Le tableau ci-dessous donne la pointure française p correspondant à chaque longueur l (en cm) du pied. Quelle que soit la longueur du pied, on peut lui associer une unique pointure. Par exemple, à un pied de 23 cm de longueur, on associe la pointure 36. On dit que la pointure p est donnée en fonction de la longueur l.


3- A partir d'une expression littérale

L'aire A (en cm²) d'un disque de rayon r (en cm) est donnée par la formule A r² À chaque valeur du rayon r, on peut associer l'aire correspondante du disque. On dit que A s'exprime en fonction du rayon r.


4- A partir d'un programme de calcul Un programme de calcul (ou algorithme) peut aussi décrire une

relation de dépendance entre deux grandeurs. Pour un séjour

balnéaire, le coût de la pension à l'hôtel est de 80 € par jour

et par personne, et celui du voyage est de 270 €.

L'algorithme ci-contre (écrit avec le logiciel Scratch) affiche en

sortie le prix p du séjour, en fonction du nombre n de jours

réservés par une personne.


FONCTIONS

Dépendance entre deux grandeurs "en fonction de"

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2) D4-Comprendre et d'utiliser la notion de fonction

D28

55ee || 44ee || 33ee



1- Définition

Une fonction associe un nombre à un unique autre nombre en utilisant toujours la même suite de calculs. Exemple : derrière la table de 7 se cache une fonction : 1 est associé à 7; 2 à 14 ; …


2- Notations

La fonction , qui à chaque nombre x associe le nombre y se note On peut également écrire Ainsi, la fonction peut se noter Exemple : Soit la fonction A chaque nombre , on associe le nombre y tel que La fonction peut aussi être définie par l'égalité appelée expression de la fonction .


3- Vocabulaire

Soit la fonction telle que, au nombre , on lui associe le nombre . est l'image de par la fonction et on a est un antécédent de par la fonction

Remarque Un nombre ne peut avoir qu'une seule image par une fonction. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une fonction.


FONCTIONS

Notion de fonctions


D29

|| 33ee



4- Plusieurs représentations d'une fonction Une expression Soit la fonction telle que

Un tableau de valeurs

De manière générale, un tableau de données de ce type là indique certaines images d’une fonction Cependant, par ce procédé, on obtient que quelques images et la fonction n’est connue qu’en partie On ne peut donc pas tracer avec précision le graphique de la fonction

Une courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative (ou

représentation graphique) d'une fonction est formée de

tous les points M de coordonnées avec ,

pour toutes les valeurs de telle que existe.

Par exemple, donc le point A de

coordonnées appartient à la courbe représentative de la

fonction .



1- Méthode : lire graphiquement l' image d'un nombre


FONCTIONS

Déterminer l'image ou l'antécédent d'un nombre à partir d'un graphique


D30

|| 33ee




2- Méthode : lire graphiquement un antécédent d'un nombre



1- Exemple Le tableau ci-dessous donne la pointure française p correspondant à chaque longueur l (en cm) du pied.

Quelle que soit la longueur du pied, on peut lui associer une unique pointure. Par exemple, à un pied de 23 cm de longueur, on associe la pointure 36.

23 est un antécédent de 36 24 est l'image de 15


2- Dresser un tableau de valeurs avec un TABLEUR Soit la fonction Dresser avec le tableur, un tableau de valeurs de f entre -2 et 4 avec un pas de 0,5



FONCTIONS

Déterminer l'image ou l'antécédent d'un nombre à partir d'un tableau


D31

|| 33ee



3- Méthode : Dresser un tableau de valeurs avec la calculatrice CASIO



4- Dresser un tableau de valeurs avec la calculatrice TI

Exemple : On donne la fonction f définie par .

Appuyer sur la touche

Voici ce qui apparaît à l'écran :

Il faut alors rentrer l'expression de la fonction : ici

(remarque : pour faire le )

Puis appuie sur la touche

Voici ce qui apparaît à l'écran :

On rentre alors la valeur de début, ici -3

puis on appuie sur et encore une fois

On obtient alors le tableau de valeurs :



1- Définition

Une fonction f est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme où est un nombre relatif fixé. Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité. Le nombre relatif est alors un coefficient de proportionnalité.

Exemple : est une fonction linéaire dont le coefficient

– 10 est aussi linéaire car – – Elle est bien de la forme avec


2- Méthode : tracer la courbe représentative d'une fonction linéaire

Propriété :

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère

Exemple rédigé : Représenter graphiquement la fonction

est une fonction linéaire dont le coefficient est -2

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine. Il suffit dont de deux

points pour la tracer.

0 -3

0

On calcule alors son image

Coordonnées des points (0 ; 0) (-3 ; 6)

On place alors les deux points de coordonnées

(0;0) et (-3;-6) dans le repère puis on les relie.

On obtient alors la représentation graphique de

la fonction linéaire définie par


FONCTIONS

Utiliser et représenter une fonction LINÉAIRE


D32

|| 33ee



3- Méthode : déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire

par la donnée d'un nombre non nul et de son image

Exemple: Déterminons la fonction linéaire dont l'image de 8 est -12

Solution

Donc

à l'aide de sa courbe représentative


1. Dans un repère, construire la représentation graphique de la fonction linéaire

définie par

2. Déterminer la fonction linéaire telle que


8 -12


v

1- Définition

Une fonction est affine si elle peut s’écrire sous la forme où et sont des nombres relatifs fixés.

Exemples:

est une fonction affine avec et .

–

est aussi affine car

–

Elle est bien de la forme avec

et –


2- Méthode : tracer la courbe représentative d'une fonction linéaire

Propriété : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ne passant pas par

l'origine du repère

Exemple rédigé : Représenter graphiquement la fonction

est une fonction affine de la forme où et

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par l'origine. Il suffit dont de deux

points pour la tracer.

0 4



Coordonnées des points (0 ; 2) (4 ; - 2)

On place alors les deux points de

coordonnées (0;2) et (4;-2) dans le

repère puis on les relie.

On obtient alors la représentation

graphique de la fonction affine

définie par


FONCTIONS

Utiliser et représenter une fonction AFFINE


D33

|| 33ee



3- Méthode : déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire

par la donnée de deux nombres et de leurs images

Exemple rédigé : Déterminons la fonction affine dont l'image de 8 est -12 et dont l'image de 5 est -9 Etape N°1: on cherche le coefficient a

donc Etape N°2: on cherche l'ordonnée à l'origine b Or par exemple, donc donc D'où

à l'aide de sa courbe représentative


1. Dans un repère, construire la représentation graphique de la fonction affine

définie par

2. Déterminer la fonction affine telle que et



1-Méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire Exemple : Soit est une fonction linéaire de coefficient -3 Calculer l'image de 4; -6 et de 0 : donc l'image de 4 est -12 par la fonction

donc l'image de -6 est 18 par la fonction

donc l'image de 0 est 0 par la fonction


2- Méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine

Exemple : Soit est une fonction affine de coefficient -4 et d'ordonnée à l'origine 5. Calculer l'image de 2; -5 et de 0 : donc l'image de 2 est -3 par la fonction

donc l'image de -5 est 25 par la fonction

donc l'image de 0 est 5 par la fonction



FONCTIONS

Déterminer par le calcul l'image d'un nombre par une fonction affine ou linéaire


D34

|| 33ee



1-Méthode : Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire Exemple : Soit est une fonction linéaire de coefficient -3 Calculer le(s) antécédent(s) de 117 : On cherche tel que c'est-à-dire Il faut donc résoudre l'équation

donc un antécédent de 117 est (-39) par la fonction


2- Méthode : Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction affine

Exemple : Soit est une fonction affine de coefficient -4 et d'ordonnée à l'origine 5. Calculer le(s) antécédent(s) de 25 On cherche tel que c'est-à-dire Il faut donc résoudre l'équation

donc un antécédent de 25 est (-5) par la fonction



FONCTIONS

Déterminer par le calcul un antécédent d'un nombre par une fonction affine ou linéaire (équation)


D35

|| 33ee



Méthode : interpréter graphiquement la solution d'une équation Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€ 1. Soit le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de la dépense pour la saison pour chaque tarif. 2. Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d’entrées. 3. Déterminer le nombre d'entrées pour lequel les deux tarifs sont égaux

1) Tarif 1 : A chaque nombre , on associe le nombre 8 , On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note : Tarif 2 : A chaque nombre , on associe le nombre , On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note : 2)

3) Les deux tarifs sont égaux si . Il nous faut donc trouver la valeur de qui vérifie cette équation.

Il s'agit de l'abscisse du point d'intersection des droites représentatives des fonctions et . Il faut donc lire l'abscisse de ce point sur le graphique: on lit 10. Donc pour 10 entrées, les deux tarifs sont égaux.


FONCTIONS

Fonction et équation


D36

|| 33ee



Méthode : interpréter graphiquement la solution d'une inéquation Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€ 1. Soit le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de la dépense pour la saison pour chaque tarif. 2. Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d’entrées. 3. Déterminer le nombre d'entrées à partir duquel le tarif 2 est plus avantageux

1) Tarif 1 : A chaque nombre , on associe le nombre 8 , On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note : Tarif 2 : A chaque nombre , on associe le nombre , On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note : 2)

3) Le tarif 2 est plus avantageux si . Il nous faut donc trouver la valeur de qui vérifie cette inéquation.

Il s'agit de l'ensemble des abscisses des points où la courbe représentative de la fonction se trouve en dessous de celle de . Il faut donc lire les abscisses de ces points sur le graphique: à partir de 11 entrées (car pour 10 le tarif est le même) Donc à partir de 11 entrées, le tarif 2 est plus avantageux.


FONCTIONS

Fonction et inéquation


D37

|| 33ee



1- Propriétés


2- Méthode : appliquer une augmentation ou une diminution en % (exercice résolu)

1) Le prix d'un blouson qui coutait 160 € est réduit de 35%. Calculer le nouveau prix du blouson. 2) La facture d'électricité de Bertrand a subi une augmentation de 20% sur un an. Il a payé cette année 99 €. Calculer le prix qu'il avait payé l'année dernière.


Un commerçant diminue ses prix de 8%. 1) Un lecteur DVD coûte, avant réduction, 329€. Combien coûtera-t-il après ? 2) Un écran LCD coûte, après réduction, 540€. Combien coûtait-t-il avant ?


FONCTIONS

Fonctions linéaires et pourcentages


D38

|| 33ee


Documents

DDhebergement.ac-poitiers.fr/math/jmagnier/5-JAUNE... · 2019. 1. 29. · *Hors-programme: cela signifie que la capacité n'est pas attendue en fin de cycle mais peut être abordée