Nombres complexes (2)mathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap13_complexes2.pdfNombres complexes (2) Les savoir-faire Le problème de Nabolos Représentation graphique d’un nombre

Nombres complexes (2)

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Les savoir-faire

Le problème de Nabolos

Représentation graphique d’unnombre complexe

Forme trigonométrique d’un nombrecomplexe

Propriétés des modules etarguments

Forme exponentielle d’un nombrecomplexe



Lycée Louise Michel (Gisors)



Les savoir-faire






Les savoir-faire

240. Connaître et utiliser le module d’un nombre complexe.

241. Connaître et utiliser un argument d’un nombre complexe.

242. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique etinversement.

243. Maîtriser la représentation graphique d’un nombre complexepar un point ou un vecteur.

244. Connaître et utiliser la notation exponentielle.



Les savoir-faire







On donne les algorithmes suivants :

Algorithme 1

z ← f (θ)z

′ ← f (θ′)Afficher z × z ′

Algorithme 2

z ← f (θ + θ′)Afficher z

1. Existe-t-il une fonction f définie sur R pour laquelle ces deux algo-rithmes après avoir entré les valeurs de θ et θ′ affichent toujours lesmêmes résultats ?

2. Dans cette question, f est la fonction définie, pour tout nombre réelθ, par f (θ) = cos(θ) + i sin(θ).

a. Qu’affichent l’algorithme 1 puis l’algorithme 2 pour θ =π

3et θ′ = −

π

4?

b. Nabolos affirme que, pour tout réel θ et tout réel θ′, ces deux algo-rithmes affichent le même résultat. A-t-il raison ?



Les savoir-faire






Affixe d’un point

Définition

On appelle plan complexe le plan muni d’un repère ortho-normé (O ; ~u , ~v ).On associe à tout nombre complexe z = x + iy (x ∈ R ety ∈ R) le point M(x ; y), image de z.z est appelé l’affixe du point M et on note M(z).

1

2

−1

−2

1 2−1−2

+

O ~u

~v

M

x

y

Axe des réels

Axe des imaginaires purs



Les savoir-faire






Affixe d’un point

Définition


Affixe du milieu

Soit A(zA) et B(zB) deux pointsdu plan complexe.Le milieu I du segment [AB] a

pour affixe .

1

2

−1

−2

1 2−1−2

+

O ~u

~v

M

x

y

Axe des réels




Les savoir-faire






Affixe d’un point

Définition


Affixe du milieu

Soit A(zA) et B(zB) deux pointsdu plan complexe.Le milieu I du segment [AB] a

pour affixe zI =zA + zB

2.

1

2

−1

−2

1 2−1−2

+

O ~u

~v

M

x

y

Axe des réels




Les savoir-faire






Affixe d’un vecteur


On associe à tout nombre complexe z = x + iy (x ∈ R et

y ∈ R) le vecteur ~w

Å

x

y

ã

, image de z.

z est appelé l’affixe du vecteur ~w et on note ~w(z).



Les savoir-faire










Å

x

y

ã

, image de z.


Propriétés



Les savoir-faire










Å

x

y

ã

, image de z.


Propriétés

• Pour tous points A(zA) et B(zB) du plan complexe, le

vecteur−→AB a pour affixe :



Les savoir-faire










Å

x

y

ã

, image de z.


Propriétés


vecteur−→AB a pour affixe : z−→

AB= zB − zA.

• Pour tous vecteurs ~w(z) et ~w ′(z ′), le vecteur ~w + ~w ′ apour affixe : ;



Les savoir-faire










Å

x

y

ã

, image de z.


Propriétés



AB= zB − zA.

• Pour tous vecteurs ~w(z) et ~w ′(z ′), le vecteur ~w + ~w ′ apour affixe : z + z ′ ;

• Pour tout λ ∈ R, le vecteur λ~w a pour affixe



Les savoir-faire










Å

x

y

ã

, image de z.


Propriétés



AB= zB − zA.

• Pour tous vecteurs ~w(z) et ~w ′(z ′), le vecteur ~w + ~w ′ apour affixe : z + z ′ ;

• Pour tout λ ∈ R, le vecteur λ~w a pour affixe λz.

Exemples

Soit A(1 + 2i), B(3), C(−i),D(−3 − i).

Déterminer l’affixe des vecteurs−→AB,−→CD,

−→AB +

−→CD et 3

−→AB. Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=D_yFqcCy3iE&index=5&list=PLVUDmbpupCaoGOilRpWxvdxFrP03-Toj6&t=0s



Les savoir-faire






Module d’un nombre complexe

Définition - propriété

Soit z = x + iy un nombre complexe et M(z) son pointimage dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé(O ; ~u , ~v ).On appelle module de z, et on note |z|, la distance OM.Ainsi :

|z| =

~u

~v

M

O x

y

|z|



Les savoir-faire







Définition - propriété

Soit z = x + iy un nombre complexe et M(z) son pointimage dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé(O ; ~u , ~v ).On appelle module de z, et on note |z|, la distance OM.Ainsi :

|z| =√

x2 + y2

Exemples

Calculer le module de chaquenombre : z1 = 3 + 3i, z2 = −i

et z3 = 4. Vidéo

~u

~v

M

O x

y

|z|

https://www.youtube.com/watch?v=Hu0jjS5O2u4&list=PLVUDmbpupCaoGOilRpWxvdxFrP03-Toj6&index=8



Les savoir-faire







Propriétés

Soit z un complexe non nul de forme algébrique z = x + iy .

|z|2 = ; |−z| = ; |z̄ | =

~u

~v

M(z)

N(z̄)P(−z)

O x

−y

y

|z|



Les savoir-faire







Propriétés


|z|2 = zz̄ ; |−z| = ; |z̄ | =

~u

~v

M(z)

N(z̄)P(−z)

O x

−y

y

|z|



Les savoir-faire







Propriétés


|z|2 = zz̄ ; |−z| = |z| ; |z̄ | =

~u

~v

M(z)

N(z̄)P(−z)

O x

−y

y

|z|



Les savoir-faire







Propriétés


|z|2 = zz̄ ; |−z| = |z| ; |z̄ | = |z|

~u

~v

M(z)

N(z̄)P(−z)

O x

−y

y

|z|



Les savoir-faire






Argument d’un nombre complexe

Définition - Propriétés

Pour tout z 6= 0, on appelle argument de z, et on note arg(z),

une mesure de l’angle orienté θ =Ä

~u ,−−→OMä

en radians.

Ainsi : cos(θ) =x

|z|; sin(θ) =

y

|z|.

Remarques :

O ~u

~vM

x

y

sin(θ)

cos(θ)

θ

N

1



Les savoir-faire










~u ,−−→OMä

en radians.

Ainsi : cos(θ) =x

|z|; sin(θ) =

y

|z|.

Remarques :

Le nombre 0 a pourmodule 0 mais il n’admetpas d’argument.

O ~u

~vM

x

y

sin(θ)

cos(θ)

θ

N

1



Les savoir-faire










~u ,−−→OMä

en radians.

Ainsi : cos(θ) =x

|z|; sin(θ) =

y

|z|.

Remarques :

Le nombre 0 a pourmodule 0 mais il n’admetpas d’argument.

Tout nombre complexenon nul admet une infinitéd’arguments :

arg(z) =Ä

~u ,−−→OMä

[2π]

O ~u

~vM

x

y

sin(θ)

cos(θ)

θ

N

1



Les savoir-faire







Propriétés


arg(−z) = ; arg(z̄) =



Les savoir-faire







Propriétés


arg(−z) = arg(z) + π [2π] ; arg(z̄) =



Les savoir-faire







Propriétés


arg(−z) = arg(z) + π [2π] ; arg(z̄) = − arg(z)



Les savoir-faire







Propriétés


arg(−z) = arg(z) + π [2π] ; arg(z̄) = − arg(z)

~u

~v

M(z)

N(z̄)P(−z)

O x

−y

y

arg(z)

− arg(z)

arg(z) + π



Les savoir-faire







Propriétés

Soit z un nombre complexe non nul, r un réel strictementpositif et θ un réel.|z| = r et arg(z) = θ [2π] ⇐⇒ z = r(cos(θ) + i sin(θ))Cette écriture est appelée la forme trigonométrique de z.

~u

~v

M

O x = r cos(θ)

y = r sin(θ)r

θ

Remarque : Pour tout nombres complexes non nuls z etz ′, z = z ′ ⇐⇒ |z| = |z ′| et arg(z) = arg(z ′) [2π].



Les savoir-faire







Propriétés

Soit z un nombre complexe non nul, r un réel strictementpositif et θ un réel.|z| = r et arg(z) = θ [2π] ⇐⇒ z = r(cos(θ) + i sin(θ))Cette écriture est appelée la forme trigonométrique de z.

~u

~v

M

O x = r cos(θ)

y = r sin(θ)r

θ

Remarque : Pour tout nombres complexes non nuls z etz ′, z = z ′ ⇐⇒ |z| = |z ′| et arg(z) = arg(z ′) [2π].

Exemple

Ecrire le nombre z =√

3 + i sous forme trigonométrique, puis placer le

point M d’affixe z dans un repère. Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=zIbpXlgISc4&index=10&list=PLVUDmbpupCaoGOilRpWxvdxFrP03-Toj6&t=0s



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés

Soit z et z ′ deux nombres complexes non nuls et n ∈ N.

|zz ′| =

|zn| =∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =

arg(zz ′) =

arg(zn) =

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| =∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =

arg(zz ′) =

arg(zn) =

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =

arg(zz ′) =

arg(zn) =

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =

arg(zz ′) =

arg(zn) =

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =|z|

|z ′|

arg(zz ′) =

arg(zn) =

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =|z|

|z ′|

arg(zz ′) = arg(z) + arg(z ′) [2π]

arg(zn) =

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =|z|

|z ′|


arg(zn) = n arg(z) [2π]

arg

Å

1

z

ã

=

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =|z|

|z ′|



arg

Å

1

z

ã

= − arg(z) [2π]

arg( z

z ′

)

=



Les savoir-faire






Propriétés

Propriétés


|zz ′| = |z||z ′|

|zn| = |z|n∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z|∣

∣

∣

z

z ′

∣

∣

∣ =|z|

|z ′|



arg

Å

1

z

ã

= − arg(z) [2π]

arg( z

z ′

)

= arg(z) − arg(z ′) [2π]



Les savoir-faire






Longueurs et modules

Propriétés

Longueur d’un segment :

Pour tous points A(zA) et B(zB) du plan complexe :

AB =

Inégalité triangulaire :

Pour tous nombres complexes z et z ′ :

|z + z ′| 6

O

M1(z1)

|z1|

M2(z2)|z

2|

|z2|

M(z1 + z2)

|z 1+

z 2|



Les savoir-faire







Propriétés



AB = |zB − zA|



|z + z ′| 6

O

M1(z1)

|z1|

M2(z2)|z

2|

|z2|

M(z1 + z2)

|z 1+

z 2|



Les savoir-faire







Propriétés



AB = |zB − zA|



|z + z ′| 6 |z| + |z ′|

O

M1(z1)

|z1|

M2(z2)|z

2|

|z2|

M(z1 + z2)

|z 1+

z 2|



Les savoir-faire






Angles et arguments

Propriété

Pour tous points A(zA) et B(zB) dans un plan complexe :Ä

~u ,−→ABä

= arg(zB − zA)

~u

~v

O

M(zB − zA)~u

A(zA)

B(zB)

arg(zB − zA)

arg(zB − zA)



Les savoir-faire






Angles et arguments

Propriété

Pour tous points A(zA) et B(zB) dans un plan complexe :Ä

~u ,−→ABä

= arg(zB − zA)

~u

~v

O

M(zB − zA)~u

A(zA)

B(zB)

arg(zB − zA)

arg(zB − zA)

Propriété

Pour tous points A(zA), B(zB), C(zC) et D(zD) du plan com-plexe tels que zA 6= zB et zC 6= zD :

Ä−→AB ,

−→CDä

= arg

Å

zD − zCzB − zA

ã



Les savoir-faire






Une nouvelle notation

Définition

Pour tout réel θ, on notee

iθ = cos(θ) + i sin(θ).

Remarque : Le nombre com-plexe eiθ a pour module 1 etpour argument θ :

∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D



Les savoir-faire







Définition




∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D

Propriétés

Pour tous réels θ et θ′ :

eiθ × eiθ

′

= ;1

eiθ

=

eiθ

eiθ′

= ; eiθ = ;(

eiθ)n

=



Les savoir-faire







Définition




∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D

Propriétés


eiθ × eiθ

′

= ei(θ+θ′) ;

1

eiθ

=

eiθ

eiθ′

= ; eiθ = ;(

eiθ)n

=



Les savoir-faire







Définition




∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D

Propriétés


eiθ × eiθ

′

= ei(θ+θ′) ;

1

eiθ

= e−iθ

eiθ

eiθ′

= ; eiθ = ;(

eiθ)n

=



Les savoir-faire







Définition




∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D

Propriétés


eiθ × eiθ

′

= ei(θ+θ′) ;

1

eiθ

= e−iθ

eiθ

eiθ′

= ei(θ−θ′) ; eiθ = ;

(

eiθ)n

=



Les savoir-faire







Définition




∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D

Propriétés


eiθ × eiθ

′

= ei(θ+θ′) ;

1

eiθ

= e−iθ

eiθ

eiθ′

= ei(θ−θ′) ; eiθ = e−iθ ;

(

eiθ)n

=



Les savoir-faire







Définition




∣

∣eiθ∣

∣ = 1 et

arg(

eiθ)

= θ [2π].

O ~u

~v M(eiθ)

θ A(ei0)

B(eiπ

2 )

1C

D

Propriétés


eiθ × eiθ

′

= ei(θ+θ′) ;

1

eiθ

= e−iθ

eiθ

eiθ′

= ei(θ−θ′) ; eiθ = e−iθ ;

(

eiθ)n

= einθ



Les savoir-faire






Forme exponentielle


Soit z un nombre complexe non nul, r un réel strictementpositif et θ un réel.

|z| = r et arg(z) = θ [2π] ⇐⇒ z = reiθ

Cette écriture est appelée la forme exponentielle de z.



Les savoir-faire






Forme exponentielle


Soit z un nombre complexe non nul, r un réel strictementpositif et θ un réel.

|z| = r et arg(z) = θ [2π] ⇐⇒ z = reiθ

Cette écriture est appelée la forme exponentielle de z.

Exemples

1. Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :

z1 = −2i et z2 = −5. Vidéo2. Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

z1 = ei

π

6 et z2 = 4ei

π

4 . Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=tEKJVKKQazA&index=10&list=PLVUDmbpupCaoGOilRpWxvdxFrP03-Toj6https://www.youtube.com/watch?v=zdxRt5poJp0&list=PLVUDmbpupCaoGOilRpWxvdxFrP03-Toj6&index=11

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