Inventiones math. 51,267-269 (1979) Inventiones mathematicae �9 by Springer-Verlag 1979

Non-existence de certains polygones g6n6ralis6s. II

J. Tits

Coli~ge de France, 11, pl. Marcelin-Berthelot, F-75231, Paris Cedex 05, France

Le but de cet article est d'achever la demonstration du theoreme 2 de [1]. Rappelons de quoi il s'agit.

On considere un entier n>3 , un groupe G e t un systeme (Ui)i~z, avec Ui = U,.+2,, de 2n sous-groupes de G non reduits b, l'dlement neutre. On suppose que ces donnees satisfont aux conditions suivantes, oth Uv, j~ designe le sous- groupe de G engendr6 par les U k, pour i < k et k < j , et off l'on pose [X, Y] = { x y x - 1 y - l l x ~ X , y E Y } (nous nous ecartons ici de la notation adoptee dans [U): (PI) s i i < j < i + n , on a[Ui , Ui]cU~+l,y_l~;

(P2) l'application produit U 1 x ... x U,- , UfL,~ est injective;

(P3) pour i eZ et u e U i - { l } , il existe meUi+,uUi+" tel que mUi=Uzi+,_ j pour tout j ;

qui entrainent aussi

(P2') pour ieZ, l'application produit Ui+lx . . . xUi+, - - ,Uv+1,~+, , J est une bijection

(cf. [1], 1.2), Le thboreme 2, dej/l demontr6 darts [1] pour n impair, affirme que

sous ces conditions, 17 = 3, 4, 6 ou 8.

Une premiere version de ce texte, toute differente et beaucoup plus longue, etait dej/~ entre les mains des 6diteurs lorsque j'ai eu connaissance de [3], off R. Weiss donne une demonstration geometrique tres simple du theoreme 1 de [1] (donc aussi, pratiquement, du theoreme 2). Cela 6tait son interet /t ma demonstration plus compliquee. Toutefois, it efit 6t6 genant de laisser la preuve incomplete de [1] sans conclusion. La presente version reste dans l'esprit de [1] quant au type d'argumentation mais utilise de fagon essentielle une idee de R. Weiss. Plus precisement, la proposition 1 ci-dessous s'inspire de la demonstration du lemme 5 de [3] (comme le lemme 4 de [3] provient des lemmes 6 et 7 de [1]), et l'on verra que cette proposition permet de ramener en quelques lignes le theor+me 2 au lemme fondamental (lemme 5) de [1]. Aucune

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hypoth&e n'est faite ici s u r n et l 'on verra que notre nouvelle approche rend superflus les w167 3 et 4 ainsi qu'une partie du w 2 de [1]; compl6t6e et simplifi6e de la sorte, la d6monstration de [1] devient aussi courte que celle de [3]. D'ailleurs, ces deux d6monstrations, l 'une g6om6trique et l 'autre plus <~alg6brique~, pr6sentent, quant au fond, bien des analogies (cf. par exemple les difficult& particuli6res rencontr6es pour n=12 dans [3] comme dans [1], off ce cas n6cessite le lemme 4). Pr6cisons toutefois que le th6or6me 1 de [3] est plus g~n6ral que le th6or~me 1 de [1].

Signalons enfin que la proposition 2 ci-dessous facilite aussi la d6termination des octogones de Moufangl .

On note n' le plus grand entier <n/2 et, pour x, yeG, on pose X y = x y x -1 et Ix, y] = x y x -1 y-~. La remarque suivante sera souvent utile:

(.) les conditions (P1), (P2'), (P3), donc aussi les cons6quences que nous en tirerons, restent vraies si l 'on change l'indexation des U~ par un 616ment du groupe di6dral {i~--~z+eilzaZ, ~ = 4-1}.

Lemme 1. Pour l<_k<n, le seul OlOment de U1k,, t conjuguO dans U[1,, 1 d un Ol~ment de U[L k-U est l'Oldment neutre.

En effet, soient xeU[k, , 1 et ysU[1, , 1 tels que YxeUIl,k_ u. Posons y = z -1 z' avec zsU[x ' k-11 et z' eU[R ' ,1 (cf. (P2')). On a ~'xeU~k ' ,1 et aussi ~'x =~Yxe~UI1, k-U = U[L k- 11' d'ofi ~'x = 1, vu (P2').

Lemme 2. Soient i, j e Z tels que i + n ' < j < i + n , et soient ueUg, w U j et xeU[i .2-ar Supposons que vx centralise u. Alors u= 1 ou v= 1.

Supposons v 4: 1. Pour simplifier les notations, raisons j = n, ce qui est loisible, vu (.). Soient v', v % U o tels que pour m = v ' v v " on ait mUk=U,_ k pour tout k. Posons y = ~ ( v " - l x ) . On a yemU[o, ,_u=U[1, , r D'autre part, y m = m v " - l x = v' vx. Donc

y(mu) = v'vx u = v ' u e c ~ , , ,1'

Mais, comme j = n > i + n ' , on a aussi mue U,_ i c Ut i+ l , , r I1 r&ulte alors du lemme 1 que "u = 1, d'ofi l'assertion.

Pour i~Z, posons (comme dans [1]) U~*= UI-{1}.

Proposition 1. Soient ueU~ et veU*. Alors, le centralisateur de {u, v} dans Utl ' nl est contenu dans Un, + 1 si n e s t impair et dans U n, Un, + 1 s i n est pair.

En effet, il r&ulte du lemme pr6c6dent que le centralisateur de u est contenu dans U[1,,,+u et (vu(*)) que le centralisateur de vest contenu dans U[~_n,n r Or n-- n' est 6gal fin ' off f in ' + 1 selon que n est pair ou impair.

Proposition 2. Le groupe UI1 ' nl possOde un OlOment contral contenu dans Uk*, avec k = n' + 1 s i n est impair et k = n' ou n' + 1 s i n est pair.

1 II est montr6 dans [2] que les seuls octogones de Moufang sont ceux provenant des groupes de Ree de type 2F 4. Pour cela, on a besoin de la proposition 2 pour n = 8 . Dans une version pr61iminaire de [2] (in6dite mais expos6e dans un cours), j 'obtenais ce r6sultat par des raisonnements ad hoc, sensiblement plus longs que la d6monstrat ion g6n6rale donn6e ici

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Rappelons d ' abord la premi6re assertion du lemme 7 de [1] : (1) le centre de UE1 ,.1 n'est pas r6duit ~t l'616ment neutre.

S i n est impair, notre assertion r6sulte doric de la proposi t ion 1. Nous suppose- rons dor6navant que n=2n' et que la conclusion de l '6nonc6 est fausse. Compte tenu de la proposi t ion 1 et de la remarque 1.2 de [1], cela implique que

(2) pour iEZ, le centre de U~+t,~+, j est contenu dans Ui*,,, Ui*,,,+lw{1}.

Soient xeU* U~' et x'eU* U,*,+I des 616ments centraux de Utl_,, ,, 1 et Url,. j respectivement (cf. (1) et (2)). Posons Ix, x']=y et x=uv, avec ueUg et veU*. C o m m e x' centralise v, on a y=[u, x']eUtx,,, j. De plus, x'q~Uto,,,, ~, donc y• I, en vertu du lemme 2. Le groupe Utl,,_11 centralise x' et est normalis6 par Uo; il centralise donc y=[u, x'], et aussi [U0, y] et [U0, [U o, y]] . Ce dernier ensemble est contenu dans Ut1,,,,_21; 6tant centralis6 par U,_ a, il est r6duit fi {1}, v u l e lemme 2 et (.). Ainsi, [U o, y] est central dans Uto ' ._ 11. D'apr6s (2), cela implique que [U0, y ] = { 1 } (car [Uo, y]cUEl,,,_11 ), c'est-fi-dire que y est central dans ULo, ,_ 1~, de sorte que yeU*_ ~ U*. Faisant subir aux indices la substitution i~-~ n ' + 1 - i (ce qui ne modifie pas l 'hypoth6se (2)), on volt de m6me que y -1 = I x ' , x]eU* U~. Par cons6quent, n ' = 2 , d'ofi n = 4 . Posons y=y'y" avec y'eU* et y"eU*. C o m m e y e t y" centratisent tous deux U 1 et U3, il est de m6me de y'. Mais y' centralise aussi U o e t U 2. Donc y' est central dans Uco ' 3j, en contradic- t ion avec (2). La proposi t ion est d6montr6e.

Le th6or6me 2 de [1] r6sulte aussit6t de la proposi t ion pr6c6dente et du lemme 5 de [1].

Bibliographie

1. Tits, J.: Non-existence de certains polygones g~n~ralis~s, I. Inventiones Math. 36, 275-284 (1976) 2. Tits, J.: Moufang octogons and Ree groups of type 2F 4. To appear 3. Weiss, R.: The nonexistence of certain Moufang polygons. Inventiones Math., 51,261-266 (1979)

Requ le 12 d6cembre 1978