LYCEEGEORGESDELATOUR ANNEESCOLAIRE2018-2019 PlacedeMaud'huy 57000METZ

NOTEAUXFUTURSETUDIANTS

DELACLASSEPREPARATOIREE.C.E.

VOIEECONOMIQUE

Voustrouverezci-jointunplandetravailquelesdifférentsProfesseursdelaclassepréparatoiredeECEontétabliàvotreintention.

L'effort de préparation que nécessite la réussite à un concours doit commencer dès le mois de juillet. Maissurtoutprofitezdel'étépourvouscultiver.Mettezàprofitvoyage,visitetouristiqueetfaitespreuvedecuriosité.

Laculturegénéraleestimportantepourréussirdanslesétudesquevousallezentreprendre.Nouscomptonssurvouspourarriveràlarentréeenpleineforme.

Consultezlesitedulycéeàl'adresseInternetsuivante:

http://www.lycee-delatour57.fr rubrique:>post-bac>ECE

Pour lesmanuels nécessaires aux deux années, les étudiants de 2ème année organiseront éventuellement unebourseauxlivresàlarentréescolairedansleLycéeSiteMaud'Huy.Vouspouvezégalementvousrenseignerauprèsd'euxsurlavieenClassesPréparatoiresECE.

Jevoussouhaiteboncourage.

LeProviseur

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MATHÉMATIQUES

LeprogrammedeMathématiquessesituedanslasuiteduprogrammedetronccommundeTerminaleES.Il

estcomposéd'algèbreélémentaire,d'algèbrelinéaire,d'analyse,deprobabilitésetdestatistiques.

Nouscommenceronsl'annéeparlarévisiondesfonctionsusuelles(fonctionspolynômes,fonctioninverse,fonction

logarithme,fonctionexponentielle),puisparlessuites.

Lacalculatriceneseraplusutiliséeenclassepréparatoired'autantqu'elleest interditeauxconcours. Il fautdonc

savoirpourlarentrée,vosformulesdedérivéesetsavoirlesutiliseravecaisance.

Pourcommencerl'annéesereinement,profitezdel'étépourfairelepointsurvotresavoirfaireencalcul.Pourcela,

vouspouvezvousréféreràdesexercicesdecollègeetàvotreprogrammedeseconde.Pourlarentrée,revoyez:

! lecalculalgébrique: simplificationde fractions,calculavecdesquotientsouavecdesracines,développement,

factorisation,utilisationdespuissances,identitésremarquables.

! Lesformulesalgébriquesdulogarithmeetdel'exponentiellequevousdevezsavoirutilisersanshésitation.

! L'étudedusigned'uneexpressionalgébrique.

Jointàcedocument,vousestproposéeuneséried'exercicescorrespondantsàcesdifférentspointsqui fontsisouvent

défaut aux nouveaux préparationnaires. Faites en le meilleur usage possible. Commencez dès le mois de juillet en

choisissantlesthèmesdanslesquelsvousavezleplusdedifficultéetfaitesenrégulièrement.

L'idéen'estpasquevousfassieztouslesexercicesmaisdeprendreletempsdecomprendrelesdiversestechniquesmises

enœuvre.Plusvousserezàl'aiseencalcul,plusvotretravaildemathématiquesenclassepréparatoireseraprofitable.

o Aucoursdel'année,untravailsoutenuettrèsrégulierestdemandé.o Lecoursdevraêtreapprisrégulièrementetsu:définitions,énoncésetdémonstrationsdesthéorèmes.o Lesqualitésexigéesàl'écritetàl'oralsont,entreautres:clarté,précisionetrigueur.o Un étudiant sérieux et motivé peut, par un travail soutenu, acquérir le niveau en mathématique suffisant pour

espérerdessuccèsauxdifférentsconcours.o Iln'yapasdemanuelutiliséencours,maiscertainslivresdanslecommercepeuventcompléterlecoursetaideràla

compréhensionetautravailpersonnel.Ilestconseilléd'attendrelarentréepourenacheter.

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Economie,Sociologie,Histoiredumondecontemporain

Lecoursd’EconomieSociologieHistoiredumondecontemporain(ESH)apourobjectifdemettreenlumièrelesprofondestransformationsquiontaffectélessociétéshumainesdepuislesdébutsdel’époquecontemporaine.Pourcela,ilassocietroisapprochescomplémentaires:lascienceéconomique,l’histoireéconomiqueetsocialeetlasociologie.Danslacontinuitédesprogrammesducycleterminaldelasérieéconomiqueetsociale,cetenseignementapourambitiondedévelopperlescompétencesdesynthèse,d’analyseetd’argumentationdesétudiants.Ilsdevrontmaîtriserlesprincipauxconcepts,mécanismesetmodèlesdel’analyseéconomique(enarticulationaveclecoursd’économieapprofondie),savoirmobiliseretmettreenperspectivedefaçonpertinentelesprincipauxphénomèneséconomiquesetsociauxdepuisledébutdu19esiècle.Ils’agira,dansuneperspectivedynamique,d’expliquerlesfaitséconomiquesetsociauxparl’analyseetd’éclairerl’analyseparlesfaits.Laplacedel’E.S.H.

" 6heuresdecoursparsemaine.Coursenparallèleaveclesdeuxheuresd’économieapprofondie." Comptetenudescoefficientsimportantsauxconcoursd’entréedesécolesdecommerce,cecoursestaucœurde

lapréparation." Enplusdesconnaissances,acquisitiondeméthodespropresauxscienceséconomiques,à l’analysehistoriqueet

auxsciencessociales(analysedessociétéscontemporaines)etd’uneréflexionutiledanslerestedelaformation.La démarche qui impose à la fois souplesse et rigueur et «doit conduire les étudiants à nourrir et àmûrir uneréflexionautonomeàproposdesphénomènescomplexes».(BOEN,20juillet1995).

L’organisationdutravailenE.S.H.

" Enplusdes6heuresdecourshebdomadaires,desinterrogationsorales(unekhôlleparquinzaineenESH)." Desdevoirssurveillésenalternanceavecdesdevoirs-exercicesàdomicile." Unaccompagnementducourssousformedeliensinternetàconsulteretàficher." Desexposésd’étudiantssurdesparutionsscientifiquesrécentes." Encomplémentdescours:revuesdepresseetcomptes-rendusdelecture." Lecoursseraassurépardeuxprofesseurs;M.Muller(4heures)etM.Brenneur(2heures).

Quelquesconseilsenvuedelarentréedesétudiantsd’ECE1.

" Il est recommandé de consulter le programme dès juillet-août, de commencer à remobiliser les concepts etmécanismeséconomiquesetsociologiquesfondamentaux.

" Envisagerl’acquisitiondequelquesouvragesderéférenceaucoursdel’année(voirbibliographie)." Se familiariser avec lapresse spécialisée. Repérer les centres de ressources documentaires (bibliothèques, CDI,

internet,…).ConnaîtrequelquestitresdelapressefrançaisecommeleMonde,DossiersetDocumentsduMonde,les Echos, l’Expansion, Courrier International, Alternatives économiques,… Etre attentif aux évènements serapportantauprogrammeétudié(TV5monde).

" Conserverlesmanuelsdepremièreetdeterminaleenhistoire-géographieetenscienceséconomiques(yrelireleschapitressurdesthèmesreprisdansleprogrammeétudié).

- Afin de prendre connaissance du programme d’ESH et du manuel recommandé, de consulter une premièrebibliographie,decomplétervotreficheindividuelle,vousdevezadresserleplusrapidementpossibleauxdeuxadressesci-dessousunmessageélectroniqueenindiquantvotreidentitéetvoscoordonnées.-Veillezàutiliseruneadressemailquiseravalidetoutau longde l’annéescolaire.Veillezégalementàcequevotrenometprénomfigurentclairementdansl’adressedemessagerie.-N’hésitezpasàyposervosquestions.

PourM.Brenneur, prepa.delatour@laposte.netPourM.Muller christophe.muller@aol.com

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ECONOMIEAPPROFONDIE Le cours d’économie approfondie a pour objet de présenter les fondements de l’analyse microéconomique etmacroéconomique. Il constitue pour l’essentiel, et sur de nombreux thèmes, un complément du cours d’économie,sociologie et histoire du monde contemporain. Son contenu est mobilisable dans les épreuves écrites et orales desconcours.Le programme est constitué de quatre modules semestriels. Les deux premiers modules seront étudiés en premièreannée,lesdeuxsuivantsendeuxièmeannée.Le premiermodule, «microéconomie I » a pour objectif l’apprentissagedesmodesde raisonnement et des conceptsmicroéconomiques.Ils’inscritdanslecadredelaconcurrencepureetparfaite.Lesecondmodule,«macroéconomieI»,apour objectif l’apprentissage des principes essentiels de la comptabilité nationale et des modes de raisonnement etconceptsmacroéconomiques.En secondeannée, le troisièmemodule(«microéconomie II»analysera la concurrence imparfaiteet lesdéfaillancesdemarché ainsi que le marché des facteurs de production. Le quatrième module «macroéconomie II» étudiera lesprincipauxmodèlesmacroéconomiquesclassiquesetkeynésiensainsiqueleursprolongementscontemporains.Unebonneconnaissancedesmécanismeséconomiquesvusen1èreetterminaleESpermettrad'aborder leprogrammedansdebonnesconditions.Enparticulier,leschapitressuivantsduprogrammede1èreESdevrontêtremaîtrisés:Thème1:Lesgrandesquestionsqueseposentleséconomistes

− Dansunmondeauxressources limitées,commentfairedeschoix?(notions:utilité,contraintebudgétaire,prixrelatif)

− Queproduit-onetcommentlemesure-t-on?(notions:productionmarchandeetnonmarchande,valeurajoutée)− Quelssontlesgrandséquilibresmacroéconomiques?(notion:équilibreemploi-ressources)

Thème2:Laproductiondansl'entreprise

− Comment l'entreprise produit-elle? (notions: facteurs de production, coût (total,moyen etmarginal), recette(totale,moyenneetmarginale),productivité,loidesrendementsdécroissants).

Thème3:Lacoordinationparlemarché

− Comment un marché concurrentiel fonctionne-t-il? (notions: offre et demande, prix et quantité d'équilibre,preneurdeprix,rationnement,surplus,allocationdesressources)

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CULTUREGENERALE

Lettres:3heures Philosophie:3heuresLecoursdeculturegénéraledispenséenpremièreannéeapourbut:

# derappeleretdepréciserlesgrandsmomentsdelapenséeoccidentalepourrendrepossibleuneconnaissanceetuneréinterprétationdesoeuvresmajeuresquilaconstituent,

# d'approfondirlaméthodologieetlapratiquedeladissertationetdurésumédetexte,# etainsidepréparerlesétudiantsautravailexigéendeuxièmeannéequi,lui,porterasurunthèmeunique.

Leprogrammeestconstituédesrubriquessuivantes:

# l'héritagedelapenséegrecqueetlatine,# lesapportsdujudaïsme,duchristianismeetdel'islamàlapenséeoccidentale,# lesétapesdelaconstitutiondessciencesexactesetdessciencesdel'homme,# l'essortechnologique,l'idéedeprogrès,# lasociété,ledroitetl'Etatmodernes,# lesfiguresdumoietlaquestiondusujetdepuislaRenaissance,# lesprincipauxcourantsidéologiquescontemporains# L’espritdesLumièresetleurdestin.# QuelquesgrandscourantsartistiquesetesthétiquesdepuislaRenaissance.

Lecoursdeculturegénéraleprésupposeuneinformationpréciseetrégulièreconcernantlesgrandsproblèmesduprésent(politiques,sociaux,culturels),lalecturerégulièred'unquotidiencomme«LeMonde»estvivementrecommandée.Livresàposséderpourlarentrée(ilsserontutilisésencoursdurantl'année)

o AUREGAN-PALAYRET:«Dixétapesdelapenséeoccidentale»EditionsEllipses.Livresàlireobligatoirementpourlarentrée(uncontrôleseraeffectué).

o Philosophie:" AlainFINKIELKRAUT,Nousautres,modernes,FolioGallimard." OlivierREY,Unefollesolitude,Lefantasmedel’hommeautoconstruit,Seuil,2006,320p.

o Lettres:

Liresuccessivement,etvousinterrogersurlamanièredontladeuxièmeoeuvresenourritdelapremière: -Sénèque,PhèdreetRacine,Phèdre (NB:L'édition"Pocket",économique,contientlesdeuxversionsdePhèdre) -Sophocle,Oedipe-roietCocteau,LaMachineinfernale -LaBoétie,DiscoursdelaservitudevolontaireetIbsen,Unemaisondepoupée

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ALLEMANDLVIetLVII

ManuelsàacquérirpourLV1etLV2(=langueAetB):

o «Grammaire Allemande en 18 Étapes pour des Révisions Ciblées et Systématiques»,Ellipses,Jean-LucManceau,ISBN:978-2340012790.

o «Lebonverbeallemand»,EditionsOphrys,deMarieMarhuendaetBernardViselthier,ISBN:978-2-7080-1481-7

Il est indispensabled'avoirunbondictionnairebilingueassezépais, doncpasdepoche !Ne vous contentezpasd'uneversionpourlycée/collège.Vouspouvezprendreuneversionmobilesivouspréférez.Pour permettre une progression rapide, une parfaite connaissance des verbes forts (n'importe quelle liste trouvée surInternet)estnécessairedèslarentrée.Vousdevrezdetoutefaçonlesapprendreparcœur,alorspourquoinepasvousyattelertoutdesuite,celavouspermettradegagneruntempsprécieuxpendantl'année?

Unconseil:Lisezdesjournauxetdesrevues,surpapierousurinternet.Quelquesadressesweb: -www.welt.de→Contentez-vousdansunpremierdelirelestitres,lessous-titres... -www.spiegel.de→Lesitede référence,mais languecomplexeet riche.Lisez juste les titres etsous-titesrégulièrement,pourcommenceràdécouvrircequifaitl'actualitéenAllemagne.etsurtout: -www.dw.de

Promenez-vousdanslesdifférentesrubriquesdu"Deutschaktuell/Video-Thema",voustrouverezdesvidéoscourtessurl'Allemagne, parfaites pour vous familiariser avec la langue allemande. Dans ''Deutsch aktuell/ Top-Thema'', voustrouverezdel'actualité,aveclesscriptsdesvidéosenpdf.Dans"Deutschaktuell/Nachrichten",vouspouvezentendrelesinfoslueslentement(Nachrichten→langsamgesprocheneNachrichten),aveclescript,etletouttéléchargeableenmp3.Regardez aussi la télévision allemande sur Internet (site présentant une sélection de liens vers des streams :www.glotzdirekt.de).Lemieuxétantlesmédiathèquesdel'ARDetlaZDF,etd'Artebiensûr(mettezlesreportagesetlesinfosenallemand).

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Pourregarderlesinfostéléviséesspécifiquementallemandes:www.tagesschau.de.Cliquezsur"Videos&Audios"etdansle menu déroulant sur "Startseite Videos & Audios", choisissez la vidéo de la veille (gestern) et cliquez ensuite sur"Tagesschau"de20h(attention,passur"Tagesschauvor20Jahren",sinon,vousallezvoirdesinfosvieillesde20ans!).Encliquant sur "UT" en bas du lecteur, vous activez les sous-titres (UT = Untertitel). Il y a forcément de l'actualitéinternationaledontonparleenFranceetquevouspouvezcomprendre.

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ANGLAISLangueAetBLes épreuves de langue des concours vers lesquels vous vous dirigez supposent un bon niveau de connaissances, tantgrammaticalesquelexicales.Vouspourrezvousypréparerpendantl’étéenvousservantdesdeuxouvragessuivants:

$ Vocabulaire:J.Fromonot,I.Leguy,G.Fontane:LeRobert&Nathan,VocabulaireAnglais,RobertetNathan.

$ Grammaire:J.Marcelin,F.Faivre:Grammairedel’anglais,RobertetNathan.

$ Dictionnairebilinguerecommandé:RobertetCollinsSenior.

Lesdeuxmanuelsserontutilisésenclasseetàlamaisontrèsrégulièrementaucoursdesdeuxannéesdepréparation.Ilestdoncconseillédeselesprocureravantmêmelarentrée.Conseilspourl’été:

- Reprendre lesbasesgrammaticales en faisant lesexercices proposés (envousconcentrantenpriorité sur lespages63à90)vouspermettradegarderuncontactavec la langue toutenvouspréparantàcequivous serademandéen septembre. Sachezqu'il existeun "cahierdevacances"destinéàpréparer l'entréeenprépaECE,éditéchezLEtudiantetdontlechapitreconsacréàl'anglaisproposedesentraînementsefficacesetbienconçus.

- Lalecturerégulièredelapresseanglophoneestessentielle.Plusieursjournauxetmagazinessontaccessiblesenlignegratuitement(Time,TheNewYorkTimes,TheEconomist,The Independent,TheGuardianetc).Profitezdel'étépourcommenceràvousfamiliariseravecceux-cietpourécouterrégulièrementdel'anglais(podcastsdanslarubriqueLearningEnglishsurwww.bbc.co.ukousurwww.npr.org;courtesvidéossurwww.bbc.com/news).

- Avoirfaitunséjourenpaysanglophoneavantd'intégrerlaclassepréparatoireseraunatoutprécieux.Certainssites tels quewww.workaway.infoproposentdesmissionsde volontariatpartoutdans lemonde (baby-sitting,aide à domicile, bricolage, chantier, travail à la ferme, hôtellerie etc. Le gîte et le couvert sont assurés par lafamilleoul'association,seullevoyageestàlachargedujeune).

- Une attention toute particulière devra être portée sur l’apprentissage de la phonologie (prononciation etintonation).Lesliensci-dessousvouspermettrontdevousentraînerdefaçoncibléeetindividuelle.

% Speechshadowing:https://www.youtube.com/watch?v=eNfsPNT1vH0

% 6MinuteEnglish (BBCradioprogramme) :Reading thescriptout loudwhile listening to thespeakers’pronunciationofit.http://www.bbc.co.uk/learningenglish/english/features/6-minute-english/ep-180503

% Tim’sPronunciationWorkshop:http://www.bbc.co.uk/learningenglish/english/features/pronunciation/tims-pronunciation-workshop-ep-27

Bonnepréparationàchacun!

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ESPAGNOLLV1etLV2

Les épreuves de langues, variées, demandent des connaissances précises, un esprit clair et rigoureux. Le savoirrequis n'est pas inaccessible,mais il faut produire, au cours des deux années de préparation,un effort soutenu pourassimiler et dominer les bases de la langue courante parlée et écrite (Système verbal, féminin des adjectifs, pronoms,traductiondeon,devenir,prépositions,casd'emploidusubjonctif,etc...).

UnséiourenEspagne,pendantvosvacancesd’été,esttrèsfortementrecommandé.

Choisissezdepréférenceunséjourdansunefamilleespagnoleetévitez lecontactavecd'autresFrançais. (Il faut

éviterlaCatalogne,laGaliceetlepaysbasquedufaitdeslanguesrégionalesquiysontparlées)

1) CONNAISSANCESLEXICALESLANGUEVIVANTEIETII

Ouvragesàacquérir:

# VOCABULAIREESPAGNOLdeAnnetteVitaliMargot et IncarnitaGarcía Lardenois, Editions Librio–lesétudiantsdevrontapprendretoutlelivrependantl’annéescolaire.

# Enoutre,vousdevrezacheterLACONJUGAISONESPAGNOLEdeAlfredoGonzalezHermoso(Hachetteéducation)

2) CIVILISATIONLVIETLVIIVousvousintéresserezauxproblèmesliésàl'Espagne,àl'AmériqueLatine,ouauMondeContemporain,portantsurlessujetslesplusdivers.Lesconcours(écritetoral)portentsurcetteactualité.LALECTUREREGULIEREDELAPRESSE estessentielle,desquotidienscomme ElPaís ,ElMundo…dontvoiciquelquesliens

http://www.elpais.com/global/http://www.elmundo.es/http://www.abc.es/http://www.larazon.es/http://www.lavanguardia.com/http://www.tiempodehoy.com/

MaisbiensûrdesrevuesTiempoouVocable(CDI),doiventêtreparcouruesfréquemment.

3) GRAMMAIRELANGUEVIVANTEIETIILesépreuvesréclamentuneconnaissancepointuede lagrammaire.LaPratiquede l'EspagnoldeAàZ (Hatier),ou

touteautregrammaire,conviennent.(nepaslesacheter)

4) INTERNETVousvousintéresserez,auxjournauxespagnolsmaisaussilatino-américainscommePágina12(http://www.pagina12.com.ar/diario/principal/index.html)LaNación(http://www.lanacion.com.ar/)Eluniversal(http://www.eluniversal.com.mx/noticias.html)Lajornada(http://www.jornada.unam.mx/)Etregarderezleschaînesenespagnol(RTVE)(l’émissionInformesemanalsorted’envoyéspécialespagnol,maisaussilasérieCuéntamesurl’Espagneàlafindufranquismeetlorsdelatransition)Maisaussipourvousentraînerauxépreuvesoralesleschaînesradio:Cadenarser:http://www.cadenaser.com/player_radio.htmlRadionacionalhttp://www.rtve.es/radio/

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ITALIEN

1) OUVRAGESDEBASEAACQUERIR

Leur utilisation aura pour but de consolider les structures linguistiques acquises dans le secondaire et de permettre àl'étudiantd'acquérirdesélémentsrelevantdeslangagessectoriels:

o Dictionnairebilinguerécent:leRobertetSignorelliouLarousseo Vocabulairedel'italiencommercial,Pocket2006,Collection"Leslanguespourtous"o Bleditalien,Hachette2007o Lesverbesitaliens,parFerdeghinietNiggi,EditionsRobert&Nathan,Paris1998

2) LECTURESUTILES(Ouvragesàemprunteréventuellementdanslesbibliothèques)

Les étudiants y trouveront les notions indispensables à une approche juste et rigoureuse de la société italiennecontemporaine:

o Histoiredel'ItalieduRisorgimentoànosjours,deSergioRomano,EditionsPointsSeuilo Histoiredel’Italie,CatherineBrice,EditionsPerrin2002o Civilisationitalienne,ClaudeAlessandrini,HachetteSupérieur,2007o L’Italiecontemporaine,CarmelinaLettieri,Ellipses,2008

3) PRESSEFRANÇAISE

Lesgrandsquotidiensetlesrevuesproposentrégulièrementdesarticles,voiredesdossierssurl'Italie,leurlecturepermetuneindispensableréactualisationdesconnaissancesexigéesauxconcours("LeMonde","CourrierInternational",etc…).

4) PRESSEITALIENNEIlestvivementrecommandédeconsulterrégulièrement"IlSole24Ore", journaléconomiquequel'ontrouveàprésentdansdenombreuxkiosquesetdelirequelquesarticlesdeshebdomadaires"Panorama"ou"L'Espresso",oudesgrandsquotidiens:"IlCorrieredellasera","Repubblica","Lastampa".Cespublicationssontégalementaccessiblessurinternetàl’adressesuivante:http://www.onlinenewspapers.com/italy.htm

5) INTERNET

Les sites italiens sont très nombreux sur leWeb, ils offrent des informations intéressantes et sont très souvent d'unequalitéremarquable,onpeutyaccéderpar:

o le serveur de l'académie de Nancy-Metz http://www.ac-nancy-metz.fr > enseignement > langues vivantes >italien>l'italiensurleweb

o lesmoteursderecherchecommegoogle,altavista,yahooouhttp://www.virgilio.itouhttp://www.arianna.ito lessitesdesnombreuxInstitutsCulturelsItaliens(Paris,New-York,etc…)o lessitesdesChambresdeCommerceItaliennes(Paris,Lyon,Metz,etc…)

Enfin,n’hésitezpasàséjournerenItaliedurantl’été,sivousenavezlapossibilité:vousjoindrezl’utileàl’agréable!EtregardezlatélévisionitalienneoudesfilmsenV.O.(mêmesous-titrés).

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RUSSE

Afind'aborderlapréparationauxconcoursdansdebonnesconditions,ilimporteradeprocéderàunemiseàjourdevosconnaissancesdèsl'été.

1) Dansledomainegrammatical, il faudrarevoirdesquestionscommelespluriels irréguliers, lesgénitifspluriels,les numéraux, la formation des comparatifs, les particules d'indéfnition, les verbes de déplacement et leurcomposés,etc...Pourcefaire,ilseraitbondedisposerde:o GrammairedeRusse:Entraînementàlagrammairerusse,deViellard-Albret,EditionduCRDP(NANCY)o GrammairedeA.BOULANGER:exercices(couverturebleue)chezOPHRYSetthéorie(couverturejaune).

2) Ilestconseilléégalementderevoirlevocabulairedebase,enutilisantparexemple,l'ouvragedeDUC-GONINAZ:

"Lemotet l'idée "auxéditonsOPHRYS,Aix-Marseille,de lirede laprose russecontemporaine,enparticuliersouslaformedecourtsrécits.Ilenexistedebilinguesetaccentués(Edit.françaises)etéditionsdeMOSCOU.Parailleurs, la lecture d'une revue comme " Les Nouvelles de Moscou" qui est mise à votre disposition au CDI(éditionRusse)vousseratoutparticulièrementprofitable.

3) Vouspouvezaméliorerlacompréhensionetlapratiqueoraleentravaillantsur.desenregistrementsvidéos,soit

d'émissionsdetélévision,soitdefilmsrussesousoviétiquessous-titrés.OUVRAGESDEBASERECOMMANDES

o LeDictionnairerusse-françaisdeCHTCHERBAo LeDictionnairefrançais-russedeGAK&TRIOMPHEparuen1991o LeDictionnairerusse-russed'OJEGOVestunouvrageextrêmementutile,unefoisacquiseunecertaine

pratique.L'acquisitiond'unebonnecartedelaC.E.I.(oud'unpetitAtlasdel'écolier)seraitégalementlebienvenu.Enfin, la lecture attentive de certains "Que sais-je" consacrés à l'U.R.S.S. et à la Russie ne saurait être que vivementencouragée(Histoiredel'URSS,183-Géographie,1079-L'économie,179-Laviesoviétique,1402-LesInstitutions,1590-Laperestroïka,2752).Cf.égalementlesarticlesdel'EncyclopédieUNIVERSALIS.LIBRAIRIESASSURANTLADIFFUSIOND'OUVRAGESENLANGUERUSSEÀPARIS

o LIBRAIRIEDUGLOBE-67,bdBeaumarchais75003Paristel:0142773636o YMCA-11,ruedelaMontagneSteGeneviève-Paris5è

BONTRAVAILDEPRÉPARATION!!

A l’attention des étudiants en classe préparatoire économique et commerciale.

Chers étudiants

Voici quelques exercices pour l’été et préparer au mieux la rentrée en mathématiques. L’expérience montre que la plupart

des étudiants éprouvent des difficultés en calcul algébrique.

Le travail proposé ici doit vous permettre de progresser dans ce domaine. Il est entendu que ces exercices doivent être

réalisés sans calculatrice.

Notez soigneusement les points que vous n’auriez pas compris. Nous en reparlerons à la rentrée.

Marie Girard

Professeur de mathématiques en ECE 1

Quelques symboles mathématiques :

∈ : appartient à. ∉ : n’appartient pas à.

⊂ : est inclus dans. ⊄ : n’est pas inclus dans.

∃ : il existe. ∄ : il n’existe pas.

∀ : quelque soit.

Exemple : Soit 𝐴 = { 2,4, 6, 8}, 𝐵 l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 10 et 𝐶 = [2; 9]. Alors :

4 ∈ 𝐴, 3

5∉ 𝐵, 𝜋 ∈ 𝐶.

𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐴 ⊂ 𝐶.

𝐵 ⊄ 𝐶 car 1 ∈ 𝐵 et 1 ∉ 𝐶.

∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 est pair.

∃𝑥 ∈ 𝐵 tel que 𝑥 est pair.

∄𝑥 ∈ 𝐴 tel que 𝑥 > 8.

Ensembles de nombres :

ℕ est l’ensemble des nombres naturels, c’est-à-dire des entiers positifs : 0,1, 2, 3, …

ℤ est l’ensemble des nombres entiers : …−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, …

ℚ est l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire des nombres qui s’écrivent 𝑝

𝑞 avec 𝑝 et 𝑞 deux entiers et 𝑞 ≠ 0.

ℝ est l’ensemble des nombres réels.

Exemple : 105 ∈ ℕ, −501 ∈ ℤ, −2

5∈ ℚ, √2 ∈ ℝ.

Propriété : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. ce qui signifie qu’un nombre naturel est un nombre entier lequel est un rationnel qui est un réel.

1) Les fractions

Soit 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 quatre réels avec 𝑏 ≠ 0 et 𝑑 ≠ 0 ∶

𝑎

𝑏+𝑐

𝑏=𝑎 + 𝑐

𝑏

𝑎

𝑏∙𝑐

𝑑=𝑎𝑐

𝑏𝑑

𝑎

𝑏𝑐

= 𝑎 ∙𝑐

𝑏=𝑎𝑐

𝑏

𝑎𝑑

𝑏𝑑=𝑎

𝑏 .

Remarque : 𝑎

𝑏∙ 𝑏 = 𝑎

I. Effectuer les additions suivantes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

4

5+3

25 ;

2

3+ 1 ;

7

2+ 2 ;

5

12+11

24 ;

2

15+3

10 ;

1

2+1

3 ;

3

4+2

3.

1

2+1

3+1

4 ;

1

20+1

30+1

42 ; (

2

5+ 2) + (

2

15+ 3) +

3

10 ; (

4

9+ 2) +

2

3+ (2 +

1

12).

𝑎

5+3𝑎

5+6𝑎

5 ; 3𝑥 +

4𝑥

7+𝑥

14 ; 𝑎 +

5𝑎

11+ 3𝑎 +

6𝑎

11 ;

3𝑥

2𝑦+𝑥

3𝑦+5𝑥

2𝑦+2𝑥

3𝑦.

II. Effectuer les soustractions suivantes et donner les résultats sous forme de fraction irréductible :

2

3−1

2 ;

3

4−2

5 ;

15

30−3

12 ;

18

12−15

10 ;

5

12−7

18 ;

17

60−17

75 ;

4

25−11

100.

2 −11

8 ; 7 −

13

15 ;

52

15− 3 ; 4 −

3

4 ; 5 −

17

5 ;

25

6− 3 ;

13

4− 2 .

III. Effectuer les opérations suivantes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

3

9+ (

4

8+10

12) ;

4

7+ (

13

28−5

14) ;

6

15+ (

15

20+15

27) ; 2 − (

7

15−3

30) ;

1

3− (

5

6−3

4) ; 2 − (

7

15−3

30).

(7

9+ 5 +

3

4) − (3 +

1

4+5

6) ;

7𝑎

5−2𝑎

5 ;

9𝑎

7−2𝑎

7 ; 𝑥 −

𝑥

5 ; 7𝑎 −

5𝑎

6.

11𝑎

5− 𝑎 ; 2 +

𝑥

𝑦−𝑥

3𝑦 ;

2𝑥

3𝑎−

𝑥

15𝑎+3𝑥

10𝑎.

IV. Calculer les produits suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

13

5× 5

3

1000× 100

2

3×9

4

3𝜋

4×6

𝜋

21

50×15

7

121

22×4

55

12

20×35

9 144

125×75

16.

5 ∙ (2

3+1

4+3

5) ; 3 ∙ (

6

9+1

5+2

7) ; 6 ∙ (

4

5+2

3+1

2) ; 7 ∙ (

4

14+1

3+7

9) ; 5 ∙ (

5

9−7

15) ; 3 ∙ (

3

4−2

3).

(5 +3

8) (1 +

5

8) ; (4 −

3

5) ∙ (1 −

2

3) ; (

7

15−4

30) ∙ (6 +

3

4) ; (1 +

𝑏

𝑎) ∙ (1 −

𝑎

𝑏).

V. Calculer les quotients suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

5 +14

7 ;

8 +34

5 ;

5 +69

17 ;

5 +47

3 ;

7 +23

19

; 3 +

79

56

; 4 +

14

38

; 3 +

49

16

.

VI. Simplifier au maximum les expressions suivantes :

1

1 +1𝑎

∙1

𝑎 ;

2

23+ 2

;

52

10 +52

; 𝑎 +

1𝑎

𝑎 ;

𝑎

𝑎𝑏 + 3𝑏2

2

∙𝑏

2𝑎 ;

1

12+13

; 1

875−512

.

1

𝑛(𝑛 + 1)+1

𝑛2−1

𝑛 ;

1 −13+

1

1 +13

1 −13+

1

1 −13

;

1 +13−

1

1 +13

1 +13−

1

1 −13

;

1 −13−

1

1 −13

1 +13+

1

1 +13

; 1

1 +1

1 +1

1 + 𝑎

.

.

VII. On vend successivement 1

3, puis

2

9, puis

1

5 de la contenance en litre d’une barrique de vin. Le reste est vendu 1,50 € le litre ; le prix

de vente de ce reste est 66 €. Quelle est la contenance de la barrique ?

VIII. Trois personnes font un héritage. La première a 3

11 pour sa part. Les autres se partagent le reste qui est 32 000 €. Le deuxième

héritier dépense 2

7 de sa part et le troisième

4

9 de la sienne ; il reste alors à ces deux personnages des sommes égales.

Quel est le montant de l’héritage et quelle est la part de chacun des trois héritiers ?

IX. Une montre retarde d’un quart de minute pendant le jour mais par suite du changement de température, elle avance d’un tiers de

minute pendant la nuit. On la règle aujourd’hui à midi ; dans combien de jours aura-t-elle une avance de deux minutes ? On

admettra que le jour et la nuit ont chacun une durée de douze heures.

2) Les puissances

I. Calculer les quatre premières puissances des nombres suivants :

1 ; −1 ; +2 ; −2 ; +3 ; −3 .

II. Calculer :

(−2)322 ; (−5)2(−5) ; (−2

3)2

(−2

3)3

; 3

4(3

4)2

; 32

52(−2

9)2

; (−2

3)4

(−5

2).

𝑎2 ∙ 𝑎4 ; 𝑎4 ∙ 𝑎3 ; 𝑎5 ∙ 𝑎 ; −𝑎3(−𝑎)5 ; (22)3 ; ((−3)2)3 ; ((1

2)2

)

3

; ((−2

5)3

)

2

; ((−3

2)2

)

3

; (− (5

2)2

)

3

.

((−1

3)3

)

3

; [(−3)3 ∙ 52]2 ; [33 ∙ (−1

6)2

]

2

; [(2

3)3

(−3

4)2

]

2

; [(−2) ∙ 103 (−1

5)4

]

2

; [−27 ∙ (2

3)3

(−1

2)2

]

2

.

III. Calculer :

(−𝑎)5

𝑎3 ; (−𝑎)6

(−𝑎)3 ; (−𝑎)9

(−𝑎) ; (−𝑎)2015

𝑎 ; 𝑎3 ∙ 𝑎−5 ; 𝑎−2 ∙ 𝑎−3 ; 𝑎−2 ∙ 𝑎4 ; 𝑎2 ∙ 𝑎−1 ;

𝑎3

𝑎−5 ; 𝑎−4

𝑎−2 ; 𝑎4

𝑎−3 ; 𝑎−3

𝑎−4.

IV. Calculer :

1

(−2)−1 ; −

1

5−1 ; −

1

6−3 ; 1

63 ; (−1)3 ∙ 2−2 ∙ 33 ; (−3)−1 ∙ 62 ∙ 4−2 ; 10−5 ∙ 103 ; (−3)−1 ∙ 62 ∙ 4−2 ; (

3

2)−1

(−1)2 (3

4)3

.

(−5

2)2

(2

3)−2

(−1

5)−1

; (4

7)3

(−2

3)3

(−3

7)−3

; 253 ∙ 27 ∙ 35

306 ;

9−2 ∙ 42

3−3 ∙ 6−2 ; 49−2 ∙ 56 ∙ 23

7−3 ∙ 1253 ∙ 12 ;

42 ∙ (−12)2

(−2)3 ∙ 6−2 ∙ 33 ;

10−5 ∙ 253

(−1)2015 ∙ 2−4.

V. Calculer :

43

28 ;

253

(−5)6 ;

9−1

3−2 ;

465

2128 ;

8−5

64−3 ;

12−4027

144−2014 ;

22𝑛

4𝑛 ;

33𝑛

273𝑛+1 ;

125𝑛+1

53𝑛−1 ;

144𝑛−1

(12)2(𝑛+1).

Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑥 ∈ ℝ : 𝑥𝑛 = 𝑥 × 𝑥 × …× 𝑥⏟ 𝑛 fois

.

Si 𝑥 ≠ 0 ∶ 𝑥−𝑛 =1

𝑥𝑛 et 𝑥0 = 1.

Propriétés : Soit 𝑛 et 𝑚 deux entiers positifs ou négatifs. Soit 𝑥 et 𝑦 deux réels non nuls.

𝑥𝑛𝑥𝑚 = 𝑥𝑛+𝑚 (𝑥𝑛)𝑚 = 𝑥𝑛𝑚 𝑥𝑛 =1

𝑥−𝑛 𝑥𝑛𝑦𝑛 = (𝑥𝑦)𝑛 .

3) Les racines

I. Simplifier au maximum les nombres suivants.

√1000 ; √125 ; √27 ; √350 ; √5√45 ; (√8 )5 ; √273 ; √8√162 .

√(−1)4 ; √(−2)3 ∙ (−18) ; √(2

3)5

∙27

50 ; √(1 − √3)

2 .

II. Démontrer les égalités suivantes.

2 − √3 =1

2 + √3 ; √3 + 2√2 = 1 + √2 ; √5 − 2√6 = √3 − √2.

4) Développer - Factoriser.

I. Développer :

(𝑥2 − 𝑥)(𝑥 + 1) ; (2𝑥2 + 𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ; (2𝑥2 + 3 − 4𝑥)(2𝑥 + 4) ; (4𝑥3 + 5𝑥2 −3

2𝑥) (

𝑥

2−1

4).

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ; (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 3)(5 − 𝑥) ; (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 − 𝑐) ; 𝑏(𝑥 + 𝑎 − 𝑏) − 𝑎(𝑥 + 𝑏 − 𝑎) − 𝑎2 − 𝑏2.

(𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑎 + 𝑏) − (1 − 𝑥)(𝑥 + 𝑎 − 𝑏) − 2(𝑥 + 𝑎 − 𝑏)(𝑥 − 𝑎 + 𝑏) ; (𝑥

2−𝑎

4) (4𝑥 + 16𝑎).

II. Factoriser :

8𝑎2 − 24𝑎 + 32𝑎3 ; 3𝑎2𝑥 − 6𝑎𝑥2 + 12𝑎𝑏𝑥 ; 5𝑎4𝑏3 + 2𝑎2𝑥3 − 3𝑎2𝑏5 ; 𝑎6𝑥4 − 6𝑎5𝑥6 + 9𝑎4𝑥 ; 8𝑥2𝑦3 − 3𝑥𝑦4 + 24𝑥2𝑦5.

15𝑎2𝑏2 − 30𝑎2𝑏3 + 105𝑎2𝑏4 − 75 𝑎2𝑏5 ; 6𝑎4𝑏3𝑐2𝑑 − 2𝑎3𝑏4𝑐 + 8𝑎5𝑏2𝑑3.

III. Factoriser :

(2𝑥 − 3)(5𝑥 − 1) − (2𝑥 − 3)(𝑥 + 1) ; (7𝑥 − 1)2 − (7𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) ; (4 − 3𝑥)(2 + 3𝑥) − 2(1 − 2𝑥)(3𝑥 − 4).

(3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) + (3𝑥 + 1)(𝑥 + 2) − (5𝑥 + 4)(3𝑥 + 1) ; (𝑥 − 8)(4𝑥 − 1) + 𝑥2 − 8𝑥 ; 𝑥2 − 𝑥 + (𝑥 + 1)(1 − 𝑥).

IV. Factoriser :

𝑎2 − 25 ; 4𝑥2 − 1 ; 9𝑥2 − 4𝑦2 ; 25𝑎2 − 16𝑏2 ; 5𝑥3 − 80𝑥 ; 4𝑥2 − 𝑎2𝑦2 ; 49𝑥2 − 25 ; (𝑎 + 1)2 − 𝑎2 ; 9𝑥2 − (𝑥 + 2)2.

𝑎2

9−𝑥2

25 ; 𝑎2

𝑥2−9𝑏2

𝑦2 ; (3𝑥 − 4𝑦)2 −

25

4 ; (𝑥 + 1)2

9−𝑥2

16; (𝑥 + 3)2 − (𝑥 + 1)2 ; (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 ; (2𝑥 + 1)2 − (3𝑥 − 4)2.

(2𝑥 + 3)2 − (1 − 4𝑥)2 ; (3𝑥 − 4)2 − 4(𝑥 + 2)2 ; 4(2𝑥 + 3)2 − (3𝑥 − 2)2 ; 25(3𝑥 − 1)2 − 16(5𝑥 + 3)2 ; (𝑥2 − 16)2 − (𝑥 + 4 )2.

Soit 𝑎 ∈ [0;+∞[, il existe un unique réel 𝑥 tel que 𝑥2 = 𝑎. On note √𝑎 ce réel 𝑥. Propriété :

Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels positifs:

√𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏, √𝑎

𝑏=√𝑎

√𝑏 (𝑏 ≠ 0), (√𝑎)

2= 𝑎.

Soit 𝑎 un réel : √𝑎2 = 𝑎 si 𝑎 est positif, √𝑎2 = −𝑎 si 𝑎 est négatif.

Soit 𝑎 un réel strictement positif, 𝑛 un entier : √𝑎𝑛 = (√𝑎)𝑛

Exemple : √75 = √3 ∙ 25 = √3√25 = 5√3. (√3)2= 3. √(−2)2 = 2.

Attention : √𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏.

√9 + 16 = √25 = 5 alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7 !!!

𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 distributivité (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 première identité remarquable

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 seconde identité remarquable

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 troisième identité remarquable

V. Factoriser :

𝑎4 + 4𝑎2𝑏 + 4𝑏2 ; 4𝑎2 − 12𝑎𝑏 + 9𝑏2 ; 𝑥2 − 𝑥 +1

4 ; 9𝑎2 +

𝑏2

4+ 3𝑎𝑏 ; 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 ; 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 ; 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2.

2𝑥2 − 12𝑥 + 18 ; 9𝑏2 + 6𝑎𝑏 + 𝑎2 ; 64𝑎6 − 16𝑎3𝑏 + 𝑏2 ; 𝑥2 − 2𝑥(𝑥 + 1) + (𝑥 + 1)2 ; (1 − 𝑥)2 + 6𝑥 + 3.

VI. Simplifier :

25𝑥5𝑦3

15𝑥3𝑦 ; 64𝑎4𝑏2𝑐3

48𝑎2𝑏3𝑐 ;

𝑏 − 𝑎𝑏

𝑎 − 𝑎2 ;

𝑎2𝑥3𝑦 − 𝑎𝑦2 + 𝑎2𝑥𝑦

𝑎𝑥2𝑦 ;

𝑏𝑥 − 𝑏𝑦

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 ; 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐

5𝑎 + 5𝑏 + 5𝑐 ; 3𝑥2 − 6𝑥

2𝑥2 − 8 ; 2𝑥 − 6

𝑥2 − 9 ; 8𝑥 − 6𝑥2

4𝑥2 + 10𝑥.

9𝑥 + 3

9𝑥2 + 6𝑥 + 1 ;

16𝑥2 − 24𝑥 + 9

16𝑥2 − 9 ;

16𝑥2 + 24𝑥 + 9

12𝑥 + 9 ;

2𝑥 + 5

4𝑥2 + 20𝑥 + 25 ;

(𝑥 + 7)2 − 𝑥 − 7

𝑥 + 6 ;

(5𝑥 − 3)2 − 4(2 − 𝑥)2

14𝑥 − 14.

(3𝑥 − 12)(1 − 𝑥2)

(2𝑥 − 8)(𝑥 + 1)2 ;

(𝑥 + 3)2 − (5𝑥 − 4)2

36𝑥2 − 1 ;

9 + 12𝑥 + 4𝑥2

2𝑥 + 3 ; 4𝑥2 − 1 − 2(2𝑥 − 1)2

2𝑥 − 1 ;

𝑥2 − 10𝑥 + 9

(𝑥 − 1)2 − (1 − 𝑥)(3 − 2𝑥).

5) Dérivation

Dérivées des fonctions usuelles :

Opérations sur les dérivées : soit 𝑢 et 𝑣 deux fonctions définies et dérivables sur une partie 𝒟 de ℝ,

I. Calculer les dérivées suivantes :

𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 ℎ(𝑥) = −1

𝑥 𝑖(𝑥) = 1 − √𝑥 𝑗(𝑥) =

2𝑥+1

1000 𝑘(𝑥) = 𝑥3√𝑥 ;

𝑙(𝑥) =3−

1

2 𝑥

2014 𝑚(𝑥) = (𝑥3 − 1)2 𝑛(𝑥) = (√𝑥 + 1)

2 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)2√𝑥 .

II. Calculer les dérivées suivantes :

𝑓(𝑥) =𝑥2 + 𝑥 + 1

−2𝑥 + 1 𝑔(𝑥) =

𝑥2+ 3

1𝑥− 5

ℎ(𝑥) =𝑥 + 1

√𝑥 + 4 𝑖(𝑥) = ln(𝑥) −

1

𝑥 𝑗(𝑥) =

e2𝑥

𝑥2 + 1 𝑘(𝑥) = 𝑥e−𝑥+2 ;

𝑙(𝑥) = (𝑥2 + 1)e−𝑥2 𝑚(𝑥) =

e𝑥 − e−𝑥

2 𝑛(𝑥) = e𝑥 ln(𝑥) 𝑝(𝑥) = ln(e𝑥 + 1) .

Fonction Dérivée commentaires

𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏

(𝑎, 𝑏 réels) 𝑥 ⟼ 𝑎 Sur ℝ

𝑥 ⟼ 𝑥𝑛

(𝑛 un entier non nul) 𝑥 ⟼ 𝑛𝑥𝑛−1

Sur ℝ, si 𝑛 est positif

Sur ℝ∗, si 𝑛 est négatif

𝑥 ⟼ √𝑥 𝑥 ⟼1

2√𝑥 Sur ℝ∗

𝑥 ⟼ ln 𝑥 𝑥 ⟼1

𝑥 Sur ]0; +∞[

𝑥 ⟼ e𝑥 𝑥 ⟼ e𝑥 Sur ℝ

Fonction dérivée commentaires

𝑎𝑢 (𝑎 réel) 𝑎𝑢′

𝑢 + 𝑣 𝑢′ + 𝑣′

𝑢𝑣 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢

𝑢

𝑣

𝑢′𝑣 − 𝑣′𝑢

𝑣2 Sur tout intervalle où 𝑣(𝑥) ≠ 0

𝑢𝑛

𝑛 un entier non nul 𝑛𝑢′𝑢𝑛−1 Sur tout intervalle où 𝑢(𝑥) ≠ 0, si 𝑛 est négatif

ln 𝑢 𝑢′

𝑢 Sur tout intervalle où 𝑢(𝑥) > 0

e𝑢 𝑢′e𝑢

6) Etude de variations de fonctions.

Propriété : Soit 𝑓 une fonction définie et dérivable sur un intervalle 𝐼. i. 𝑓 est constante sur 𝐼 si et seulement si 𝑓′(𝑥) = 0 quelque soit le réel 𝑥 dans 𝐼.

ii. 𝑓 est croissante sur 𝐼 si et seulement si 𝑓′(𝑥) ≥ 0 quelque soit le réel 𝑥 dans 𝐼.

iii. Si pour tout réel 𝑥 dans 𝐼, 𝑓′(𝑥) > 0 alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼.

iv. 𝑓 et décroissante sur 𝐼 si et seulement si 𝑓′(𝑥) ≤ 0 quelque soit le réel 𝑥 dans 𝐼.

v. Si pour tout réel 𝑥 dans 𝐼, 𝑓′(𝑥) < 0 alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼.

Méthode : Soit 𝑓 une fonction définie et dérivable sur une partie 𝒟 de ℝ. On souhaite étudier les variations de 𝑓 sur 𝒟.

- On calcule 𝑓′(𝑥) pour tout réel 𝑥 dans 𝒟.

- On étudie le signe de 𝑓′(𝑥) pour tout 𝑥 de 𝒟 en factorisant au maximum l’expression de 𝑓′(𝑥). Puis on en déduit

les variations de 𝑓.

Attention : on donne les variations de 𝑓 sur chacun des intervalles qui composent la partie 𝒟.

Par exemple, il est faux de dire que la fonction 𝑥 ↦1

𝑥 est strictement décroissante sur ℝ∗ ; en revanche, elle est strictement

décroissante sur ]0;+∞[ et sur ] − ∞; 0[.

I. Etudier les variations de chacune des fonctions définies sur l’ensemble 𝐷.

𝑓(𝑥) = 𝑥 − ln 𝑥 , 𝐷 =]0;+∞[ . 𝑔(𝑥) =𝑥

1 + 𝑥2, 𝐷 = ℝ.

ℎ(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 13, 𝐷 = ℝ. 𝑖(𝑥) =1 − 𝑥

1 + 𝑥, 𝐷 = ℝ ∖ {1}.

𝑘(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥, 𝐷 =]0;+∞[. 𝑙(𝑥) = −(1 + 𝑥)e−𝑥 , 𝐷 = ℝ.

𝑚(𝑥) = −(10𝑥 + 27

25) e−5𝑥, 𝐷 = ℝ.

II. Considérons la fonction 𝛼 définie sur ℝ par :

𝛼(𝑥) = e𝑥 −𝑥2

2, 𝑥 ∈ ℝ.

a. Après avoir calculé les variations de la dérivées 𝛼′ de 𝛼, étudier les variations de 𝛼′.

b. En déduire le signe de 𝛼′(𝑥) selon les valeurs du réel 𝑥.

c. Donner les variations de 𝛼.

7) Démontrer une inégalité en étudiant des variations.

Démontrer les inégalités suivantes :

1) 𝑥 ≥ e𝑥 − 1, ∀𝑥 ∈ ℝ

2) ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥, ∀𝑥 ∈] − 1;+∞[.

3) (1 + 𝑥)3 ≥ 1 + 3𝑥, ∀𝑥 ∈ [−3;+∞[.

Soit 𝒟 une partie de ℝ.

On souhaite démontrer une inégalité du type : ∀𝑥 ∈ 𝒟 𝐴(𝑥) ≤ 𝐵(𝑥). Voici une méthode permettant de démontrer cette inégalité. 1. On se ramène à une étude de signe :

Soit 𝑥 ∈ 𝒟, 𝐴(𝑥) ≤ 𝐵(𝑥) équivaut à 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) ≤ 0. 2. On pose pour tout réel 𝑥 de 𝒟, 𝑓(𝑥) = 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥).

3. On dresse le tableau de variations de 𝑓, ce qui permet de déterminer l’éventuel maximum de 𝑓.

Si le maximum de 𝑓 sur 𝒟 est négatif, l’inégalité est vérifiée.

On raisonne de la même façon si on pose pour tout 𝑥 ∈ 𝒟, 𝑔(𝑥) = 𝐵(𝑥) − 𝐴(𝑥) et si le minimum de 𝑔 sur 𝒟 est positif.