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Notes du mont Royal

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’ÏAflN’ITOY E12 TA APXIMHAOYË FEPI EQAIPÂZ. (El ùuAivôpv,iæà7àëMæ,Wyvâmm.

.EVTOCII ASCALOSNI TAE» IN AR’,CHIMED I 8 171qu0 8 DE SPHAERA ET’

cylindro,atq; alios quofdam,Commentaria,nunc primum 86’Græce 86Latine in lucem edita.

Cum Cet]: Mètz’cfl. gratictzgepriuilcgio

iad guingucnm’um. a

z I’BLÆSILEAE,g i IounnerchrudgiM cxcudificz’ta a

’ *An.MDXLIIlI.

ÏM’A GNI F I C o DOMINO SEV ER me’BONERÔ Æ 3,4LITz, IN, CAMIENETZAc OGRODZBNETZ SHAEREDI, CASTELLANO BYERENSI,

A Barge-auto Zupprtriomc magna 4’Procur4t0ri CdeduicnjÎ,(9fç, ia iDomino apatronofizo défi-ruandfls’z’mo, Thonm Ve;

naturimjêjè cbfizmcndatt

, Mnes , qui ad fummos honefiarum artium gr»i ’ dus ufiy afcen dere Prudent ,- ordinis cum primis

l rationem ut habeant, contenduntzquôd nimirîî

A. l contempta ordinis ratione, omnia pafsimi con,, Z fundi fit necefÎe. Non minus autem in literarum

’ fiudij s,quàmflin alij s rebus uniuerfis, ipfa parians.

» rerum,ordinë efle uoluit,Natura.Vt enim à (un:y u... "www" a-.. I ’ me teâo domum ædifi’care qui coeperit,negle&a*

fundamenti ratiene, firùfira 86 eleum,que’d autem, 86 eperam iniumittfic qui ueræ philefephiae campos fpadofifsimos ingreiïi,unius’ dunta)xat agri floribus conter] ti,pedes fifiuirgnec ipfam fegetem ac meHemlin,

r A

«ærftfwfl A : ’

l

mgr?! legerint,aut7fàltem apis in morem degui’tauerint, deâes inter ne;p ,re..quomodo recenferi poiTint,non equid’e’ uidee. Sed ad hæc gradétim;

fufp’enfisq; interim pedibus çencedendum die, iampridem à maioribustnei’tris accepim us. Neque tem ere fibi quifquam de cendi preuinciâlufur ’pet-hac in parte , qued periculo non caret doâor . Non rare eni m arro.Ïgantier comitatur doâorem, fiepe etiam fui cemplacëtia,Græcis QZNw’n’æ

ne catatQuæ duo,maxime ubi doâoris animum occuparint, i pfum fia"tim non tam pericul-o nanas gloriæ , quam ludibrid uulgi exp entre con;fueuerunt. Diicipulus etiî abieâus uideatur mundo,ip fum rame quia bu:"militas animi comm’e’datDee,fecurê 86extra periculum ambulat. Et quiidem me: omnia,ut ordinis decorum,lîue ut Græci loquanturàfiæaàpèzrimp!’ànofiris fludfis minime cupiam excludi, fed potins ceni’tantifsime fèruandam elfe nobis m’oderationem illam in decoro ordinis,qu’æ 86à Græcis obid uocatur (limfz’æiEt reé’te profeâô hæc ita die à doâis

reniflant-4. In elementis enim,ubi ordinis ratio fibi minus confiante cent-igerit,fequi uidemus in aërelfulminajn terra commetiones,in mari inun.

I dationeszdenicp co-ntempto ordine,exp erimur in urbibus 86 familijs (e,- ,ditieinesjn corporibus ægritudines t 86 ut une uerbe cempræhendama millier à in animabus nofiris regnabunt peccata . C um tantet fit inlrerum-

èmm’um natal-a, illaordinis ebferuatie,in mais fludijs abfoluèndis CarÊr . prdinis ratio anobis conturbareturt’» Centurbaretur aure, fi fecus quam;

a a fandamentisad fummal Contenderemus. Nemenim iàcrum illum; 0m;1 mû difciplinarum circulü abfolueritunquâ , qui minutas aliqui faflidiës,

. l ’ lfummasj’tantum aliqui Conaturartes. Ad fumma côtemplanda,nifi per i

f8 . a gradus?

l

.EPîST. NVNCVPATORIA.

I tu,,.-- J

gradus quofdammon admittitur animus.SenfiHe hoc idem Plate uideâ. l , iltut, cum ueiiibulo Schelæ fuæ inlcriber’et , Aywyèirgu’ïÊ’Êa’lslg sic-i749. lQua

unes (enrêna lignificareuoluit,inutiles eHe ad percipiendas. liberales difçiplinas,qui nulla Mu fices præfertim,86 Geometriæ principia pofuifient.trempe "qued hæ di’fciplinæ,imagines rerü , quæ humanis filtem fludijswcapi poiÏunt,oculiSrnun di (ubi) cere 86 poflint 86 ualeant.lpià cërtêytwueqgiæ mentem noPtramyIuo ordine quàm longilïimë tandem à rebus caducis abducit, ut iam non in terra inferné,fed Coele potins fupernê,inhgrerecupiat à ac rebus iplîs deleâari , quæ ut fummë bena funtjita nullamvun; pquam perm urationem admittüt.Quid qued magna pars ASacræpiËriptu 7ræ obfcura nobis erit,- niii Geometricaproportioneexpendat eapius le»

i dionTempli Hierefolymitanifabrica, nonne maxima cura586 diligentiatraditurc’quæ omnia,nifi Geometrica proportione i-etuata, imparati’ i

inCulti uulgi cognitionem remorentur o.portet.Præteralia, nantofibi.’dio præcipiti diuinus ferme , de confiruendis columnis f adeoutomniæGeometrica ratione ce nflaren t,i’tylebaflagma-ta’,bafes que (p, 86 (piræ; g

’ deinde,ac plinthus ipfa qualis eHè deberent , cum ipfis cymes s, lËfëijs ",Tce tris z, Ptrijs , canaliculis , epiflilij’s, quæ omnia qu àm longer 86-

lata,quàm alta 86 profundaefient,per Geometricas rationes fpiritus diai hinusylfapientiflimê commeni’trauit: quæ res animum hominisnon tan)" v

tumin admirationenifed etiam in cognitionem OpiHcis rerum;indu*ceêjvv 44re equidem euidentiflimê qu’can’t.Clar’uit in’hiice difciplinis apud ’

cu’fas olim Archimedes,qui nefcias an doâior,anlpatriæ"falutis fuerit a;mantier.ls quia icripferat quædaquuæ acutioracu’m elTent,q’uàm urina, ades flatim Capere poHent,Eutocius Aicalonita ,home fua- tempefiate ut’l .deâus, itaingenio fœcüdus et fait,86 habitus efl ab omnibus,ut iam nô: a lai mm erito de eo dixerit quidam,aôvz’x:9- 8’81: imite crû-229.Verëenim élis linea-Î; 4

d’us in omnibusillis explanâdis’Jn quibus ebfcurior alioqui uidéri pourrat Archimedes.Eius feripta uiri, nun quam anteh acin lucëleditafu’b tui g a a lnominis potiflimïî tutela ’publiCare’ placuit i en qued dignus tugquidenï .. ’

es,cuius uirtuti hæc quoq; laus acçedat,ut nominis tui fama,p’er felpro’fèl ’ l

n . x . . .’ n UV w , .3... .41 ail,-&oïclariifimaficceflione tantr feripteris longe reddatur clamer: tu qued.

. y Q , cræ.u A574. 1,", pi , fiai”mer erga te,atq: adeo erga familier tua umueriamfyncerr pparlràmarzcgumeàî v.tu exraret armorial-diables rationë huius faëh’ mei. Solee enim nô infréquë’

ter’âdmirarijn magnisrebus obeundis pruden tiâ’ tUam,in pifliculis pro a.pulÎandis animifertitudinë,fidem in promifiis,’induf’triâ 86ing’enij’acri” L

moniâ in cenfilijs,in cenficiundis autë negociî s celèritat’e’.’Quærcum ne) ’

ré excellâtes fint in une homme; uirtutes 5 nifi à doâiisimogquopizî; pré i 1’

dignitate expli’Cari nô peiTunïtreas in præfentia attigifle filtïbnjihi uifum’

efi: fàtiS.ltaque uiue diu feelix,æue4fup crante Sibyllas g airnisêpeannorfumî 53;

: INefiorauince.Vale.ex Norimberga,adCalendJanuariLAn;

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ne Salutisïnoflnæ M D x L tri-1;. A

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À ,mgqoiàqvtaæilh won 50’066." me u Mnœyewoiikm refleurir. and? me amputa; yvfum,onnôusur ù Ëmæeallw; aida irradia ai a: B’y, êMBÂËiM Titi: 7563: à B- yaiviow Maxaya’m, «je si..’-mlqsâ’œ 251.7598) 10X65: caudal: à 4H19 èmëo’b’kfiww a2 u’ofl,œ’y.’e’aà gifleur: 5’211: à ne?!

il nibglcdâœ trine-Bien ü 4 l tV cirerait 7&7qu â aïe (N)a"; 3617337va 6’. «je êpaâflîx»

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minemçadhüc-cvo’mperifïèmquippiarhdighîî «3?: ,

pofuiffeg’idép àb 21’s prétermiflum intelligerem

11’611 fifôpter thèo’fènàâtum , quæ illi: habentur,»Ë

faêilitâfeni 5 quæ fifi fidfll’s doârina indigent ex».

Eiüifiêîfiinia,,86 infiruâiflima in primis chgiçà5

- ...- - ’ » . I tiône,aggrefïus. fumptzo". uîrib.ea quæ injlh’s 0b»,fcurà, 8è Ëèffpëâü difficilia’ continenturdeclarærç .n adduâuszad hoc rime:

gisflüôd iieminem fortêi-Linshanc comprghenfifonem defcenfurum cerne renigqaüôdrreru’m ifiarü difiîcultate detem’tus fim. Simgl ççiam. Sçcçatgg

Êufiîjlllu’dïmècum reputaps,Deo coadiu-tore nos corrim’odè aqudum A

11R a mfiîm1!"

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2.15.7 * Ray me; 1 1’117: A); c 3.1.13. 1; l , 7 ,D EaC L A R111 o T- t KM 1 NÏO’R Vv M.

R mm av M 5 RÏA N..s. caquægab’ ipfd-exponenflgvfunt ’theorematalutronfuemm dû qmtiibusCieotnetr’is in equ. IHache, (amans quoqa appelleîtiones quibus’ipfè par licentiî1;qu dt: pgimôççrmingignes [ubppfitionumïôfipfàs qugqækfuppofitïo’ iles iü îiiitiô [Etîbçndi Uültdeçlara’rg" gît primitif - 4 ’

Œa’fdam eflë’ifi 15121110” Clirùa’sïlinéas,quç I. termines l’angenflbmguelomnis inrçandïe’lm partemuàlzgüg. 7

ue1val1’qu1’di n alteramh a-bcnt,. Hammam quad, diëîum.,efi:Planüfiïêfîtsfiinfiçllee

grimas (pas appellàt in plagoîçuçuas. liùeas.Çh1afireg gdtfèttendpmgfigèuruasfifi; .éclinegs appellalîï 11,011 [impliflçlftersimulâmesgriècqnïèassaùteaéêqtçæ’toijtinüitëg , ’

têtu habent nofi fraâamiüçrür’n’ èa -s omnis impliciter,quæ fila-plat: î (imamôg ’ . îii direâum ptôdùtàhtut,cüfuàâ"ùqcàt,Vnàth aùï’tehflmcamï 1:11ng eqüqm’n’g ’

triode condexam,àquâqis fiüë exRaisiplùribm-Çonneâatur; ïfi’ug aga-irais . ,exreâl’sêicmu-ismnam ramencaerxça COfiIiÇlçionÇpèflfilatfigptuaflè0’; 3.3:

a.

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l l Hic: déefiunùïghartain Exempiàarigidien;- g; æ, 1 . ., . . ..-- g .. ,... .’(,,,.’:’17:..:’ ,, , 2:. W ..*”i155 abc d ;Vcrüm quoniamsut-l fupradlâuîeflr; umaslmeajwocat non que; un

c’ümfe’réütialm habent (Glas;ucrunjetiàm’gasqùægx mais campgnuntmga; aga-13;? . erarcolleâio earuvmquæin eaçlçmzçagaç.habçnçgt:gngpggçflçggmïmjgqadgmë t ,

ma, qgæ m eadem cana fit, duo ùtmnq; punâaznoçaïi, ira. un linea rafla. quæ illapurifiât iùnxeritgin;neutram pfiOl’iSlit ’fics: pattern caïdat,fedx’pfî coaptetur.

Propterea dixitJi-neam in eànd’é ca;

nain effaüocarün

qua .lùieæ méfie, .1

Perduqqçæqaç’, . æ ,. . - . Il : ï .ius punâaduâç,aüt 01111118111. eafdem partes cadant reâæ-Imeæ,aut earum qu? dam in ca fderg,partcs.quædam fuper cana , Sir-nulle! in al terâ.part em.Eafdem ue-

to lice: interpretari, 86 in fuperficr’èbus; ’ )-’ Deinde ex ordifie nommât félidüfrg-;SC rhomb’ùm folidù’, âpét’te dé-

clarans fignificau’bnem’ nemiflüm.”P:dft hçcpèritfonœ qùafdam fumigqüç fixât .

Ci oppôrtlilfæ ad demonfltàtione’s raquâtes , qui quidem ex ipfo Renfü confeflè: V 7 y:

habentur : nihilominus (amen demonflrarïex communibùs Conceptionibus,-ôc7 èx his quæ dçmôfirata (un: in Elememis. péflimr. EH autem perjfion’um primai

huiÎuImodi: Linearum omnium , quæ, eifdem t’érmn’m’s comme a; ireâaim cfiê’ 11

breuiflîmam . Elfe: enim I 1 l(Mafia termi g p ’j ’ . "Ê- natahæcab:ôCalteraiçê ; » . v

linea q’uædam acb,eifeiê

v contenta terminis a b, p6 «’ Ruhr fibi conçedi ipfanî

ab minoré eflèip’làacb.’ .

Dico igitur,quod hoqçâ Auerum exifia’t , petitü efh

noteturitacpinipfâacb; 4 .utCunqg-pünâum cava-ü I . H . v, *

4 gàntura ç,çb,confiat ergo, ipfaàaqeb efïeîpfiàbmaioreSÇItèm fumanturin

. w:v

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b tém; ut a hot manifeflùm fi

l ’ defiôtagbficofdemtermia b . .- nos habëte’s bos a,f, 81 inèàg - ’ * . 1, . . . ; ’

b .«bdemcàuaaôç quoniam rota ’ * b " ’

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DE SPEAERAJET CYLINDR’O. quifisa mbiinei’s alia utcunqa punâæd c,8(1’ungantur a d,d c, c e;e b.Ûr’m’liteÎr’fam

hl’ccôfiat duas a d,d c eÏTemaiores a c.ô(duas c e, e b marbres: b . Quarehæ a d,gcicèçbçïb 1111;th maigres arum ipfa a b.81’milirer autemîôé fi aliapunâa manne,

(liai fumpta notauerimus,ôéîuqxerimus raflais ad punâa nunc fum pta; muentmus ipfaç item maiores a b.athoç aflîdue faciendo, quæ magis acéefïerint ad lin:am a b creéîç mamies inuem’emur. quart confiait exhis,ea’m a 0b eïïe ipfa a b maiorem’, cum poflîmùs in téta ipfa punâum notare, ôé 1’ pfàm ’iungentçs lineam

, ex mais compofi’tamfit eam talcmchfiè lineam oflendamus,quæ éadem rationeipfaàb fifobetur mamr.ficqa èm’m inconueniensrefijn demonflrationibus toriiquæ confeiïahabentur, huiufmodiaffitmer’e conceptiones. ’ 4f ; Pôfl hæé ditit,fè filmera hoczçajrum quæ tofdem termirios habeât linearum,

illas ’eflè inæg ualés,qyæ; in eafdèm caltas extite’rinc Co qup fuprà diâum fait me;

b’ du. 1611 o am autemdixitin hoc inæqualçs elTe,h0c qüod eft in eafd’em canas’Ïcflè: denim etiam" quam alterg alteram , aut totam compleéh’tu’r, au: eius partem«compleâitur: partem autem habet communem- 8C compleâente’m complexa maiôi’em elfe! Intelligantur au-

min plane duæline’æ abc , à I V ’ ’ "d

"àghfcbmplexa efl ab ipfà v5. î b l’ ) j x I. p,

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à b . bikfijaiorèshlîsàfghk..VÇI a

lbab’ê-ce hosa,f.dx’coiflas-in: . V gn- . I . à .-abcdef cofdem’ tettfix’fidâ

b agnates effe,ôé qgæcomprg ’

flâné-17e compræhçnfamaios - . 4 à . . .v .beûJùr’xgantur itacp’bh, cf, * ï f A v f ,.Afiquniamsigr’açurfiimelli» b ’b ’arçum? Mg h;a-;Va;d1mgm ; làfekum ipfius a’b h, iridié céfif’n’tutæ fünthæ a g,gb,

’ ., 4b5171i; a b b,c,cîmuni pofita 11E.- Hæ igitur a g,ghv,h f,,m,1’notes flint his a b,b h,h f.

b b,l;1f,mç’noresffunt his b c,c-5mm faut intus rurfus fuperunam b f cô-&itùèæ. 61111:6 magis ergo a b,b c,c fmaioreE-funt his a g,g h,;bf. Verum hæcd,

b dimaiores. faut hac e f.ô( hæ de, cf, (un: ipfa d f maioresjnultd magis ergo ha:vabzcadîcflfunt’hisaghfmaiores. * * - ï * V v b ’ ï

Declaratx’om’s enim gratialfupb’dflàfitut aiiæbh’neæ fifiu’lièer -prædi&1’s,uelù

Î b ’ti hæ’ïa b c d cg fg h k e.Dico cômpræliehdcnt’enî efle maiorëglntewligantur enim.

àï’aifig h ereâæ in l; ng’o’niahi * .b igitür çurfus f 1,1 maiçrëê -v b.Iuntfg, adieâ’x’s ramifiant-bus afigghïhæNa-lglhamiètes ’ lfun: "a fi-Egçg’h, Verum au 11;

V main-aï (un: his a b,b mu! vramagis aga a b"-,b li mais;res film his à f, fg,g h. adné, ’

fiât-:Çommmi h ksèru’nt ab g

il? hahk Initâérçsfum; la C1:

cïk.-Multo magis ergo maid»* L’as; aub-çkshisgfghk,adiea, b

fia cq’mm’uniëk gérant. hæa b c k ém’agg’èfeèhîs a fg h k e. Vèrüm in; c kit maies

’ marnai-11s ngd «malta mîa r *s;.er’gôhæ’a bfc.d:ç.;maiores«ft-1fn; æfrg h k e.-

L.Ë1,a W v Aa z Et-

4« ’ à ÆEVToc’IrIN’ARCn: mon"Etfi’ circumferentfæ fine uel comprendentes uelcomprenfæ ,Ëàut

idem licet in fpiceremam fi panifiai côtinuata in eifd’em notentur,86 inieadem iùngantur, reâe: fumentur lineæ ex reâis compofitæ,quib us accommodabitm: [medic’ïa demonfiran’o,his quæ ex geais componun ’ 1 "btur quelles illæfuerint fa ais adieâismnde 86 on! 6n.nemh’neam in continuatione puhâOrum dei? 6 6 6fientiâ habentem notato .Quodaüt conuenien’z

ter inæqualitatem linearum non folum ’er 110e* quôd in eadem cauæ fint, denotauit : uerum ad; 6 ’ 6

didx’tetiam hocaoportere alteram ab altera com-.præh endi,86 àb èa quæ eofdem habeat terminosreâa.nam n1’fi hoc fuen’t, nô erit hoc une]; uer’ü,

omnino lineas tunc inæquales eITe’mti confpiCeI2relicet in figuris infrafcriptl’s .7 nam linea a b Cid. 86 a e f d,cofdem termines habent,86 in eandemcauæ funt: nec tamen confiat,utra earü maltera.maior. nain potefi efle ut æqùales fint, 86 poHi’ntutræq; in eàdem canât intelligi,86 eofdem termi.nos habere.ambæ autem contra’riaflinter (e pofi -tione c6fl1’t’ut’æ,ut utrauis earam qnæ fun: diâæ’

jpfi’ a g h d:et1’ta1’ncognitùm e’fl fi ïnæqnalitas

aut æqualif’as earam hoc pacoto fequ;tur. quare

» opportune adieâum efl, am; totam alteram com t , -prçhendx’ ab altera re’âa oportere,quæeofd’e’ ter.- «v *9

m :1

minos habeat:aut partem quidem com præh endispartem autem puni ea combine:-nem habereificuti in his a g h kd, 86 361m n x dm his enim qùædâfiïl .duntur,quædam communes funt,ut1"a l m n; V * I ’ H -;, il " f 7 4 If w " ’ J Ë

Opportunê autem admodum 86 illud ad inæquàlitati’s iuedïëïün’iaïfïumptümb

.efiàoporrere lineas eofdem’termiiïosîhabere’..’Si enim non fuëfifïuüdgnecpalteÇ-r’;

alteram compræhendere poterie. -Qùomodo" igitnrinæqualeïsï êfifdpùifi cafuzjïâwquâdoqa eruntlæ’qnale’s; 86 ’çontiïngït’eflîeï camp-ræhënfam alfqüàndôycïôpréendéll!’

,eemaibreml. Vtàutëhocde; n b ( ’ m ’ , "Il .6 w en 4 «ç 1 : . -- z; v ’télaretur, intelÎigàntur inplaz v J 3 ’

no dine reâæ, a b, .b c,cbtu.«(am angulum ad .bco’nn’nenv

’ tes: 86 fùmatuîr in b fic punâŒ v

utcunq; d.iungantur a d,a c.Quoniam igitura d , maiorefi ipfa ab , ponatur ab ’æI-qualis ipfi d e , 86 diuidaî ’an

in duo æqua punâo f, 861’110.gatur fc. Quoniâî igitur bd’uæ

af,fç majores funt ac, 86 æ.qualis a f efÏ ipfi Fe, ’eritef,fc6 4v

:1. xmaior ipfa a c, adieé’ca eorum a b,erunt hæ d’f,’fc maioresbisTbl’âfidîïqüàïë

b ac intell’eôa ana eiTe,86 in eadem çana,àltera ueroed fc ComîpfàéhîéfiîâVabbâîfiefg’v

quæ eofdem termines non habeatgnon folum comlgmghendenksÎ fimaiotï’çâê

præhenfàmerum ofienditur mihofelTe. , I v I H t - ,, w eErin 11’ nefs ex plurib us reâis com pofi’tis hoc’x’demliçetinfi;1’*cjer nÏanï intélflli”;

,gantùr i n plano duæÏreé’rèæ bien b gobie: 86”püéhtfn d quodCUnëpueëntÏngàt,86

gatur a d.Rurfus ponatürdteaæqnalis 1’ pfi a«b:,-86’e-a1çl,1’uidatür duo æqua

’ rem, fie. Süto’ quatuor magnitudinesla b 7b c,d e,e f. 86a binaiorem ad.

. n ; 86 item ducatur

.ipfa ag, ipfam k n"ififà gl, ipfam n C

L ieflüfuit,eas oporzxtare ,eofdem habe- v

r . i I a . i lDE ’SPHAERÀ ETg’CYiLIN DRO. 4-";’86 f,86lducatur a g ad angulos reâos ad i pfam a 86 iungatur f g. 86 ponaturf h a’æqUah’s 1’ p53 ga ’55 item diuidatur h in duo æqua ’punâo k 5 86 ducatur g! ad an-

’gulos reâos’ ad ip. . a , " k a131m f g, 861’ungatutï I "kl. item k m pona .tut æqualis ipfii gl,(86 ’diuida’t’ur ml in ’ l

duo .æqua punâo

al Ç ad angulos te.dos; ad ipfam kLetiügatur n c. Ex pre. 4demonflratis igiturcôfiat, df maioremeflèipfaab586fk

ipfal c. quare ettotâlinea, d fkn c , ma:ioremfipfei ab gl c .Opportunê ergo ad

L...-

re terminos, in his , . . . Il ., . I . Iquæ elfe debeant ifieëquales . Potefi autem qui bæc confidei’aritjdem de fuperfi-ciebus-demonffrare omnibus , quando cum bisqua: prædiëjàe finit COnditionib,

vfupeËfiCies fumfitæ; eofdem terminos cum planis habuerintég

UVN’SECVNDVM THEORlEMàAùçw H aW? e 4 vTuero-Aaclfibi ipfi’ lupetcomipofitum, excedetipfiim dsüidelicet fiç:cum’ip..

- a fum ab ruperpartiCulare autlfuperpartiensï configëiifelïeipfius d; Si aut’e’fit au b multiplex i pfius d,aut multiplex fupei’particulafislg aut multiplex fuperpartiens,ablato ab ipfo b icaqualki d,i’eliquum c a fiipëmbit d; ita amon- a’mplius ne? 7

- lacelle fiffiimi multiplex ipfi,ueiu’rn ut opoiteat inde pênere à b’ æqu-le ipfi,a’ Cl, 86 eandem accommodare demonfiiation’em ; Et compo.nentïiïipfi f h ad fg minorem proportionem habef,quâtî1 abad b c.nâïfi prîmum’ ad fetïîdum minorem habeat’propoftio’ném ,,quâm tertilî

ad quartum, componendo eadeni proportio EfeqùituflOflëdetur au.

b Clbïabeat" proportionem 5 quâm d e ad e f. Dico igitur compon’e’dqï - c i

a chab’eije. ad b8 c maiorem proportionem , quam dlfad e f. Fiat enim I vfient c b adb a,ita"fe*,ad fEcôuerfo igitur ,’ fieutja- b’ ad b" c, ira h f ad » v * feaf;rna’ioireml aiîf habet a b ad bîrcdprloportionë, quam d e ad e Rigiï h f I

habet and e;fmaioremproportionna,quam d e ad e f. qluare h f maior. -eritipfa d e, 86 totum h e maius’tdtod f. 86 pidptërea’ «h e» habet adef l a . èmaioremfipiro’portionem’, quam dfa’d .fe; ’Verü ficufh eiad à; ira a C7

. .adeb,per coinp’ofitio’nenidgitùr ac ad c b maiorembabet probolrtioï:ngm,quânï d f ad e fAt ueroa cf habeat-ad, c maiorem pi’oportio’n’e’; - gsciâmâmïld f ad f e’: Dico diuidehdo”, quod’abha’bebît ad b c manteau . *propoiztionelmlquâm d e ad et"; Rürfus en’l’m-fim’iliteri filfaciamiis" fil A a y -

. punch. ad’c:a,ïita’ fe’ad e h’ fié: in Hem-maior dfaqùar’eÎ ça-mmuùi e f 1* l à

ablata,erit h gfmaiusïd e’fqua’re ha fhabebit ad f e, quç efl finît a b adb c,, .

g . a. a V Aa .3 i diuio’.l

...6 EvIocu in» ARscïHJL-in. il. .-ïdiuidendo maiorë proportionê,quâm de ade f.,86.c’6ponendo,86-itern ’diuidefl» l V

t do eadem:pioportio fequeï.Ex eifdem aüt euerfa proponio confianhabeatenima c maiorem ad b c propoiçiohem , quam d f ad f e. Dico qued euertendo c a habe

a bitad ab proportionem minorem,quâm fd ad d e. Quoniâ enim ac habetadb c Amaiorem proportionem , quam d f adf e: 86 diuidenti a b babebit ad b c maiorem

. proportionem,quâm d ead e fiEconuerfo b c ad b a habebitrminorem’proportio 6nem,quam fead e d z 86 côponenti, c a ad a b minorem habebit,quâm fd ad d e.

in TERTIVM THVEOREMA. - 2k .1 ; id: y «.4V T ab ipfo k ducatur æqualis ipfi’ h , quæ fit r w h - . l Lp k mshtm fieripotefl piodùc’la k l ad q,86 po.

fita h aequali ipfi’ k q:86 (êtro qUidzem k,interual.

Io autem k q defcripto,circulo uideliceth m’n,c5 ’

flaçkmæqualemeflèipfikq.hoceflipfih. a v V l l hN Laius ergo n c figura: multiangulæaôl æquila 4. ’ A 1V l f j i

teræ.4Angulo enim rec’io in &fquiquartam pro, ; n .4 4 4 4 b4 ,porti’onem adduâo , 86 feâione per parem diûi» . . r 4 a. ’ a , 4 g.fionem faâaareflo,confiatquodcircumferen. . , . . ’ria fe’fquiquarta in pariter pares numero difiri’:

buetur circumferentias . anre reflet u; uni ex4 illis circumferençijs fubtenfa fuerit,j ’et figura!

multiangulæ 86 æquilate’ræ 86 parilateræ latus u. . vnum .Nam fi angulo [ab x g ngæqualem feceri’:

mus angulum fub pgd,iungentes ab ip’fo pin l a . l: au . .g,86 producamusufqaadgh,çqualemiplîangu» v 1 v: lJoli-Libpgd,confiatiphelTeæqUalemipiipog86r; 0 , w A.attingere circulumLaniam enim ipfa xg sa, 4 *"9’ ».qualis efi ipfi g d.nam ipfa g communis eflznæqual-es; enim. camipl’eduntuuîgifigp - ,go bafi’s x p æqualis eflipfi p d..86angul-us fub p xg , rdâus cum fir,æqüatur an: agalop d .g».qu’ar’e contingit i pfutt; p .Quon-iam enim quinad anguli teëiifignt

86quifub pgd,dghæquales: 4 Il - ,« g- Q; . ., l«.86eficommunisdg,quareghv. 1 . p; j. v.æqualisel’tipfigpfiüpfap dïpl A; I a. ’ v i4 . ’ i j a; V - a , 1,. ,fi bd.Ifemiplàxpipfipdoflëa a afa efl elïeequalisquare ipfa h p A

1 exil’titfiguræ m’ultiâgulæ æqùi à a v

lateræ 86 parilateræ [arusjdelèiïl’ b

pise circa circulum . Quod autê 4 a lfimilis figurçinfcriptç fiat,inde pIC’Onfiat. Cum enimipfa hgfit »’æqualisipfi’g p, 86 ipfa cg ipfi «a a

g,n,æquedifiansefihpiptfiiç n. 4 ’eadem ratione 86 i pla po, iplîn k.Quare angulus fub c n k3.qualis efl angulo (ab o p h.qua .. ,

7re circïifcripta figura dt infcriiptæfiîmilis." -

Camenimangulusadkc, 1 ç, ’« 4 ,, . , il il g;a maior fitangulo-fub -cgt,ifiangulo fub Cguç,4confiituamüs’ æqualeïin angulumI fub I le r,ipfok intelleâo- interipfal m,triangulus.lîk r- fi’miliseritv triangule cg-t;îer

en: fléau k ad k l, fic cg ad gr; quam m 1: ad kl; maiorem proportionem habet-5’ quam cgad gr.

. l

Ü’in.

l

saunait ETzCILlNDRiog- ,4 q 66-7.,- 4-.314Nks and VMt 17115 panama. f tu . 4Repterhoïçjminusefl circumfèriptum utroq; fimul,Quo. lamenim circuli) l

feriptum, ad ihfcrip’tum mihorem habet proportiôiïem , düânlurrùrntp ad. .. eirculum , multo magis ergo circumfcriptum habet ad circulum minorëpropo’râ .

ticnem,quârh utrumq; fîmul ad çirculum. tiare; rcumfcriptùm minus cil urina hque lîmul circulo, communi ablato;erîîè iequua eircum refidua ,fpacio laminera. 4 * l

g ç Q f1 N ocrayyn THEORBMÀ; j l ’Erpëdiculares’ igiturâ uertice ad a b c duâælfunt fuper eàâJh’telligatùt enini

l , onus fiorfumfiç eflo uertep; eius g, centriîbalîs eius 11586 ab hadaiungatuf . l f 6’ Îha,86ag,gh. Dicopquodgaperpendiculariseûjw 5 f f il ’ad ipfam de. quoniam enim’ghperpendiculaï; . . . 6risefi ad Circuliplanum,86omniaiecundi’iéani ’ . Ê ’ 7

4 plana. quare triangulusg h a ereâus cil ad ’ I(En :86fiat ere’ebca fupèr communem feâioneni,

lplânorum h a, in und planorum ipfa d e. quark: " -pipfa d é, fliper ipfam g h a planü fiat, ad angulosmâtas z quare 86 fuper ipfam,g a,Similiter ofiendenim illæ,quæ ad c,b,iunâæ (une à lieriice pei

- pendiçulares CIÎ fi’nt fuper d f,e ESciendum afin

quodin’præmilïa opportunê addiuîmfiiit hoc, v,oporrere o’mnino pyram idem i nfçripram habëzVmelbafim æquilareram . non enim aliter à uerticé’

l ad bafis laiera diras: poilent elfe amirales; Intantinet: efi additum i, elle ballai æquilaterani.’

, prgptelea urcunq; fixait, idem fequetur.p aux on sur Taa’onçmn. .

l . Aiores igitur funt trianguli a b"d,b de, hi4 . a ; r a angulo ad c. Quoniarn enim angulus ad . l .

dëfolidus dl,- anguli fub’a d b,b d,c maiores’ [uni l « l .. p z 1angulo (ab ad c,d 86fiâ uerticelad feâionem. ba, ’ . Q î l a , 4 , l ’ i l[isinduoæquaçiùnxerimus de perpendicularem fuper a ç,erit angulus fub adbmaior angulo (akb? d e. Confliruatur itaqa angulo fubtad b angulus , fub a dfææqualis z polka d aduali iplî d é,iung.atur a f. Quoniam igitur dus: duabus à:

Satàlcsaêiangnvhis..angüla,ôtiriafii - . - »- . l’[mails d triangqu adf arqualis; . 4 a. l fgagman ipfo ade:4q.ùare triana. h

- gglgslabd ipfo aide maioreif, Simi. "flammée triâg’üluêàbcè’lïefo daci .

maior ,8 Igitur dudad b b c , ipfo l

adb maiores funt. -in DECIMVerHEOREMA;l "Vcatureninigfeconüng’ens"

Dcirculum,86æquediflansip’ ; *il Hic, circuinferentia,abc,in daci j;

.èxquadiuifa punâo b;Quod emmi a -a ficlduâa aequ’edifiané fiafîplî a c,d;

Çvfienfdem’rduâisâeenrr’o h,hishal; v p V 4 Z I l r I.. bdfiùlggsioniamenimadïefi æ” l z , 4 , il J ’ Ï .F:fqîualïsipfidc,86dh communié élis l 1’ la 8 v ï a *’ diraiduabusaequales,etbalîsahba. ,. il 4, 1., I 4 - la fil: gigigubêfiàùgulusangùlo æqualfs. SHËËaEIŒman-ülî gbwdsdbf fiai. 1111131, * 46

I g t .7 l- .. 4.; N âçenüîo, .il

n..u,.:.’ A lx l , . ll

x-il.

a" I B-VTocn’in amen. Il!!!âCentro ad sontaëlum duâaefi hb. quatereliquus angulus ’ldgb. reliquodf b 5aï ü»alis.efl.hideirco .ipfa gd,ipfi df cit æqualis; quareipfa fg æquèdifiâïù z l

i*iac.. j A. . g g «.,P Circumf’cribentes itaque linultiang’ula’pcirca 4 il .portionernv,’fimilitercircumfer’êtijs circumceptis, ’ j ’ * 3 l il vin duo eèqua di’uilîs,duâis lineis côtingentibusï’ H ’ l lfumemus quædam refidua minora fpacio h. deinfcripçis quidem Qfienfum efiin Eleni’en’tisgtr’i’ * ’ l

angulos portionibus infcripros maiores eflë di.midio portionumillarum.Idcirco polTibile fait, pdiuidendo in duoæqua circumferentias , 861e;âas dacendogrelinqui quçdam refidua fpaeio da"to minora . In circumfcripn’s attehî nondum hoc il l l

’ , el’r ofienfumgin Elementatione. Qu’oniâ le f v4 p’ræmiflîa hoc dixit I, quod efl ipfuin collegilre par" l" l v *

fextum Th eorema,colligendum 86 ofiëdendum l lç uodcon’tingens auferar triangiiltrm maiorem. ldimidia ea in qua fit portionezueluti in eadern de A

-fcriptione,quodgdf triangulus maiorîei’rdimif l L vdio fpacio compræhenfo fub a dgdc,.86’eiréuinfe f g .. l ’rendaabic. duëiisenim eifdem,quoniam ganga; l 4 Ç , llus db fell redîuæefiüpfà dfmafor ipfabf,86iip :3 l ’ , . . I. f.fabfaëquatmiplîfdnammracp earam applica, p” L 1’; il * 7 il V.rurJgityrd fmaiorpellipfa fgquaretriangulù’sd b1 füian’gulolb fc mais: eiêif’titù la:

nam in eadem funtlaltitudineïmultomagis igitur maior ëfl llfpacioïb-d’fi: eom’pïa;44a 4 ;henfo.EademzratiOne 86 d bgmaior ei’: hg" a; citrate tôtu’m dfggjniaius efif dimif ï , ’ Ï

.dio fpacio’adccbmpræhe’nfoa’ à l ’ . il l ri l4 , v 55111 ,T’HJE’ brl’lgl’ÎE”M-iAÎ ’ H

’ Ntelli aturitaq; circulo b circumfcriptum,’ 4infcrip’tum;86 circula a cirQîfirià’4p p pruine imfleeirc’umièripto ipfibrquemadmcsc’iùm-aut’em ’feireulo datol’îtfigul’ë’lf

infcrîbendaf polygonia5 finiililslinde’fcrip’rae” al’teri’ëiiculq, à diâum füititï

, ’Çêr’nentarijs elementoruni; il irEulo autem dato’éiréunifcribere figurampplgkgoï

V hiaiiidîmileïm Circun’ifcriptæ alteri Circuld,ùôndüm ’habemus abfalïquo traditüeïqu’od nuncldicendunieùNam circules b’ infcripràë Émilis cirçüloainfCriptafiïitï’,’

86 area a? circumferipvt’æi mais inferiptia fait ipfi almandin ratibTheôræàædôtz acil timing: circumfcriptæ’ ipfi’ la; Efgüoniam’fiâüræreüilineæ’ciiculisa,b*ëireu’ i

faiptæ’ fluides funtgeandemjhabebünf propdî’tiohem 5 lqluâlmlillæl qua es: eçaaïa;

potentia.talequidem deinfcriptis oflenfum gain vEleniema-tïoneéd’e Circumfëriàl

Ptis.autemno,lîdums0fien-, il il * l 7mdetur autemrficint’elligantur l ’ ’l V l lenim ,feo’rfuin’ cireuniferiptæ" ’

p 86 infcn’p tgfifgurç reâilineç,’

86 à centris circulorum iügantut ke,k m",lhl,l nj. Confiat iâ

l le ml’n,eX’ mais elle cit cuo ,

"mm circa cireumfcriptas figu l l. ras multiangulas defcfiptogrum : 86ad &inuiceni:haberi4potentiaficutfigurgdùïcünï»

A feriptæ. Et quoniam contai garai: kana!!!Infantdimidiîafiàulôruiïieditî’quifunrinpalygôniîà;réunifié?

V, g m .6 I , A n

l

4 4 a a s P. un RpAwflET «cru-un 1.40; l * a- , l4 4.4,fint-fîrnilia, iconfia’tipfos quoqqèppæquales elle. At me quiad m, n, habeii-

g 4 p.44tur;’anrguli reéli (antiquare’ trianguli k e4mqlh’n.funt.æquianguli.86el’t ficutqùa

I dratum k,e ad; quadratum [h 15 lie circumfcriptæ inter le figuræ «Ergolîcut quadra’ . " tarin klm,ad quad’ratum’l’n; fiefigùrae 4cireumfcriptæ inter fe habent. Triangu’ü s

lus igitur kd tgeandem propôrtionem hab et. ad reâil’ineam figuram circulob cita cumfcriptam ,quam triangulus k d t, ad trianguluni fr a. Quoniam enim reâilie ’ ’’ neæ figura: Circulis a,h infcriptaé fehab’ent ad inuitemfieuti quæ ex centro para ’

ria , hoc ePt ipiàta adgpote’ntiæhôc effrdad if longitudine: hoc efi fieuttrian.gulus k d t, adi fum f r l. Fait autem ipfutn k t déquale circum (tripto ad circultî,ad circuluni a. il igitur ficut kt d,ad circa circulum b Clefcriptumbita triangülüs

ktd,ad4triangu1um f’rl. - 4 ,4! Il 4 , l Ï ’ 4 - ’ ’-v Igitur pèrmùtatimprifina habet adcylindtüni minorem proportionë , quam l

multiaiigulum eirçülo inl’criptum ad-4cirçültim4bl’i’ quot! el’t inconueniens gnan:-

fifacianius fiéutfuperficies prifmatis ad fuperfiéiehi ’chindri; fic inferiptum éirculo4bhaberi,adfquidpiam aliud,’erit id minus: encule B,ad qüo’dl infèriptum habet -

44 imaidrem proportionemqüâm ad circùluin ; hôte éli- Îuperfi’cies prififiatis ad in,

4 perficie’ni cylindri maiôrem habet propôrtiônêmsquâm infeiiptum ad circulum; I .* 4 ana-earam flambera iniüôr’etnyquod admittiüon potefii v

) - 4 in ÎXIIiI THEÔREMA; 4l ,qua èâd miam d maiorem propdrtionem h aber , quâm polygonium infèriptîî

41tiicülô a adfüpérficiem pYramidis infcriptæ cono .nam quæ ex ,c’entro éirculi,gantas éoni-nfiaiôrém habet propdru’onem, quam "quæhâ centré ad ùnum latus.

gay-gommas; perpendicularis 5 ad perpendicularem dù’âam audace coni ad 1I ipiîuspdlygohij .Intelligatur enimvfeorfuliîi 4defcriptio in rationali, 86 poly-

goüiu’ni Eh kinfcriptutri CÏù’Çülo a,86â centro a ad ununi latus h k polygonij du.

Cam.- péjrpëtiqgcùlqris à g. Cdnfiatiam quod fuperficie’s "contenta fub perimetro

’polygoriij,86 a g,efif duplaI-polygoniolng 4 ’ 4 a * "4 Lefliattititéni püéïuml uerticenieiïe coin, et -4 ; . 4 4 .gal-fiaiadgaaaa lgefl perpendicularissfu- a.» r 4 l "

l (a,h. k;,uti;ô&efifumjéfl,’ in liminaire «qui: 44 ghéotem’atiâ:Qgioniamigituriniêriptümpo- *

amarina-t aequilaterumsôéednus eifaëgüim A îa :awriaèiünfémeïsëuâæauadunirmqmd A a

das! PôlYgïo’ïùn Perpendïcülaçtêsipfis?’ vgaga! lvgg6fiâËÎ? ùnâgüæq; earam poteflquae; -

l Îafis,&4quaŒaËUMangf propret hoc ’ 44 fulîpërinietrdpolyigï’ofnih 86 [Lib . .- ’

- [gal-duplam luperfi’cieip4yramidis--;.qjiod é-4 a 4’ . .- .4 4’ nimfub üfiôqLiocplâtere, 86 Tub Iëei’ËelïdlËulr- 4 r u

[and «a; émaux! latas ipfiilij, épiai 84644àër... ; i 2qualisiiifilg’sdirinlüm dl magma reçüëdïîfiï’l l 7 -’ ’ -

- ciliaire” fitüi a gâdg’ 1,44m polygçsnazüi; 4 . 4.

’ ad’fuPeiîHÇieîmpjirainidl’s , fumptaèômüflf 3414 4 r 4

l a 4t-Çitiudm4elgetirtierri ipfitçispplgigofifi chié-ta gn ,54 g; -4l :æqnedifiatëjplîin 1 , fier fiait: a ni ad m l4; ficaag ’

ad-gn*:ipfa uerô dg ad g unididreiii propordd a? yet,qüâm,àd gr; nanilg’mai’omitipfam; igag. igitur iaifiâdnil , liée en Cadjd mandai

.Rroporüofiéni habet; quâmag ad guima- flâna paya-55mm; ad emmi-dis

7, lf.;.e 4 444 - a;

l

19.1 "avr o c l 1 Il N A item: L I ne i." -4 A n 4 au :ch T4HEo4REMA4. Ï]. . l j taf":

. V T quoniam contentum fubb 3,3 g,æquatur côtento fub b d,d F, 86 Cohtentôz.4 fub a d,86 fubutraq; fimul d flal’gàcü-d ffitæquedil’tans ipfi a g.4è1uoniâenims.

df,4el’t æquedifiâs ipfi a g, efi: ficutb a ad a g, ficb d ad d4f, au]; idcitco côtentü hi!) .extremis’b a,d fiæquaturcontento fub medijs-b d, a g. Vetum côienmtn fub ba,d4f,aequatur contento fub b d,d f, 86 côtento (ab a d, d f, pet primumlTheoremalibri &eundi Stoichiofeos . Igitur contentai-n (ab b d, ag,æ4qu4atur contente) full-4 lb. d,df.86 contente fub a d, d fgadieëio communi contente fubd a, a g, erit con;tentum fub b 4d,86 a gram contento fub a d,ag:quod ef’t co’ntçhturnsfub 5353 4,: 4 4æquale erit contente fubb d,d E86 tomento fub adad fi 86 it’é côtèntp fub a magie. 4 f

J 4 - ’ 4 lNuXXIll TnanEMA. 4 ’4 - il3 4 4V1tim’dQ auœm latçrâ; polygonii men furetait" quatern and. V’uIt laterazpo’.

4 4 lygonij numerari quaternariô 5 quia cirèulo moto circa diametrü a c datera. 4omnia ferentur fècüdùtn conieasfuperfîfciesmm hoc- fit libi ufui in feÎquehtibuè; 4 INainfilatera pelygoniiquate’rnario non4menfur’e7tur,4quamuis pariilaterutn me;rit,n4on pollinie omniaiferri fécundum coniças .fitpeifieies,»utipettcipipotefi 111135.. x" f 4

4 radians hçxaganî-duolènim ex oppofitolatera eius,i4n m’œm aquedifiâtia;4çonm44 ’get ferri feeundu’m cylindrieas fuperfieies çïquodiquidemfibif mon. efiïtifuiâdfea;

quentia,ut dicîum eih- . 4 4 q 4 4. 4 , .. 4V i 4 IN X5613: iÏAI-IÉOKÈMA, « 4. . j b 4

’ s fa uerokh æqualis ePt diàrriëtro circa-Ha be dî.Si chima pufic’ioq iùùxefiiiïui

ad punâumîin;quo k f contingit circulumab 4c4d,-qüod fit m;»fiiniliter autemipfam q k-zq-uoniam q k efi æqualis ipfi’ rq:f,8’6angizli ad m [unt’reë’ti à. namqa km;-e’fisa’equalis ipfi m f.itemipfa fikiplî qïh-e’ll æqualiüs: igitur q miæqùeldifiansïeffifipaz.

fikuh.86id(’irco’efi ficuth iad fq,’ita k h ad km.ùerun1h fduplalefi’ipfinslqigigiâturkl’rdupla efiipfius q4ml5qwæ’ef’clex Centro’eïrîuliëab cd: 8’ ï f ’ ï’ r r i 2 -:

1, .; .;- i .44. ., Il N. UT 1-; 15.0 avina; j E; 4 4;;’ A- Abe’t’au’tem diani’ete’rcirculi mgaddi*ainetÏruni’cireüli ipfiüsiiip’r’oportibiiëp

quam habet el ad a k. nam fi inmgâtt’nf hæ ’glgc k,angùlis ad klïfac’ii’s ;86 ipfa a k aquediflansipfi l e : triangulusenimï " e42el7t’4æpqüia1fafguïlusf , ’idcïiîréoj dît:

ficut gl ad- lle’l,4ita ek ad k a. uerum ficütfgl adl-e54 icomnisïiungeiites Pari ’uïloîs l ,7-4 cum [triptæ ad diametrum circuli cirçîgiml’cripti."Sieiitautem de adnkçag (mimis;

,iufige’ntesangulosïin fcripti ad. diam-écru CitCüli’îafbrè SiçtitïaùteîmIdiametroazadî

- 4latus;lîc diametros adlatus:quoniam’86fioütmieïadïelgfie maaflakiæperiæqüâv.lîcut omnes iu-ngentes angubs circumièiâiptîilad’ diffa 0mnéë7vi-ungèfitê’s? * fles infcripti ad a k. uerum fiêu’t omnes ad lattis elle; fic Con-tentum fit!) emmurai:86 fub el : hoc ePt quadratnmeius qua: sa: centre m aad qu’adratuni Nef-l;ipfa:4feil æà’ laqualem altittrdinê)’: fumente . fient afiÈMnæddaK-fic contentüfuboininibdsgôb ’tub a k,hoc eft quadratum eius uævex centrô’nad’quadratum’àîk’ *,F"ciëmmufiemi 4l

I altitudine’m rutilas fumente a k. flvigiturlficutsquad’rattim eius;- qixàetex tamtam: 41 4 a lad quadratum et: ira quadratumeius’quæ èxltefitx’rè’n ;ad quadratum; a k5. Igitmeï .3

l 4

Étui: ipfa; uæ ex centro’rn ad ipfamfe" Lita quartât; centre nyad aajkîè Et ’ a?) 4

mutatim, fait qu’aejex centtOîm ,’ adteam quam: tarmacadam dada p 4,anteCedentiumz’fi ’ diametrosipfiüs mfadidiameirum ipfiirs’.-lîi,ïfièïéîll«a"dallia? a 1:4; Il

4 p .4 j L, IN xxxnî: ’TV-HlEÔïR’EMAHW’MI a; Il, 6’ ,Âeauœini’h iümptaéÆcutæqualiieiïièlfiîperenitipfakzipfamëüôèiëfiififi? fi

H4 fan-ahi, &ipfah-iiafamggpiopdfiîtum-efè driabusreais:datisïaazasmédias?proportionales inüenire inaAri’thniet’iièa amlogiatquodlid’emkeilî , 4 4 tâfef’eæqual’ifl, il

ter fuperent.Hoc autem fiethoç’ modo-zSifi’t dtiæreëîlaëda’tæa Açe’ïkinaèqualïe-sf’eëi

ablataabriçifa ab aqaali’ipfi e:k;qya’afitbëdsrç4üdigadsa diuidat’u’rïinâtiia ç’qu-a 6’

dis e,fi86ponatur4g.æqualisipfixeb,864h.æquafisiplî-b gamma? "ghapeafioiafl’ï; m443-

x

»

A usât b maioréfi parraina ipflùs g. Igitur a b main .. .

g gît-g ad làfic’l ad m , malte muon-Tarif ipfa c k (Et

a a flan èff,quéd è fic d,ka ad h k eâd’em proportio-

l . nE-spaAI-zna ET CYLIN’DKO. - 4mn156,11! quod pæpofitum. efi.Dx’co qued a b,babétad c k maidrehi prépor’tionem

quam triplam eius quam habet a b ad g gFiat a. I ’ . vm’m flan: a b ad’g, fic g ad aliam .quandam l; Et, a,

, .quom’am qua fuiparte ab fuperatipfàmg : ipfa * Ag fupetatcadem fui parte ipfam l. pars uero ipfî; t

.Ln’ excédit ïpfam g,quâm ipfaglipfam. LTanto au .

le!!! Ïpfa ab ruperat’ipfam g; quanto gipfam h. , .Igggçir îpfa’Îg maiori exceditipfam h,quamipfam f ’ . . . .quuàtèlmaiorefi ipfa-h a Sirurfus fecerimus fil d . . ’. *

gùôniam faut qùatuor. feâæg b,g,l;m continu;pampértmnàles,habèbica b ad’m pioportl’onem, . ; -a akb-314gçfipliéafiàhqixarèa b habetad c k maie, , tçmvààïëdeËÜënémsqüâmabad gm’pucatgm.

En! XXÏI v 11,151 sa R En a,a. Exudmf mutent-tim (ab e h 5 84 Tub ef,cd,ka .

Qfiénfitm èft æq’ualeqflè contentofub. cl, ..’kaliilgàjjigçïîtiio’ enim facüdq Thçotemate ofienv , r.-

fiÉÆÜ’hàbÉnÈJIÙamICadeh.’quare.contenmpj v. ê " 3 ’ l’y éd 1 "27

, (dhamma èfi æqualç cofitento fub medijsxô- dgain-3:31 aütérï! Tub au: h minusaefi quadratô h à; Cam enim acontenmmfub’l h,aqualé , ’ùadtatô bagui- confiatgc’càfiiütiâa ahpropterea qued triangulusma, ,faâuS:éji: imilis triangule h a LIER énim’ ficut l h ad h a,fi’c a h ad h .k,ôC ideo

x cèàneâtùnàrubzxtre’mis æquale quadratamèdiæ.

- [hm XXX En 1.115.015.145. . ."fifi; Ï Àbebît’ idem c* adam.cùithir’Çùlé ab: Si enim a d e iîïgantur reâæ ad’ .7. ï ahellsàgqigxales «un; 3 pübptera q’uod duëîæ’a d ad contaâus reâæ Lfimt par.

* pendigülarçs magmas; &diùid’ümùr adaptatæ’ in duoæqua ad contaâum. au:’ fiat maiqnéfiirii.éfi fiipe’rfiçieïs ruperficfèi quoniam enim m f facundum *

’ fiçiîem CQÏÏÎCàt-fi fërtüt,fècùndilihacolui’i (obi fuperficiem. feretur, quarta aga,, magiçhçircqld,ëùiü33çj1iæ. éxtçe’ntlzoïfi’f média. frôportionall’s inter f m, 8l dimidlâ

ï. d Étriufiluç finiglgf 93.11111. Similifet &Iüpef ’cïel’ colun’ conf faâæ ab m a,-æqua-

.klifèï il" "1,;rtülüè,’cüidà;qgaê à): tamtam média. proporu’onalis inter reâam m a, 8C

dinüdiàm amura; fimüla b 8mn; Et’ipfa quidem fm màiOripfa m a,ô( ipfà f gd ab maior,igî’tüf media, qùatè 86 füpjerficîes fuPerfici’e. Superficies igfimeOn.

v hmm g,fiiaidf eft. fiiperficîé cônteùtaifub hi au b. ,- - v. V.

. I Xaxxtvxzu ,ÎP:H«EOEEMA. a- a . «d Î. È ’Vlâérficieâ igitëf figüræ kil] maior çfiacirculdgôifæteta quæ :fequûttnf , obfcu.

- xsi: uidççüféollëgîfiè qùôd diâüm efi. Dicatüf àù’tem a patté hoc modd.QLmA

fliacm-dcdircdulüà ëfikæqùalis" fiifi’èrficiei figuraéçqûæ aùtein ex Centrd 1’ pfiüs rime".

Ï Ednfgfitüfiî fiiB h,f Î i éox’itentum aufiéiù fub’r’h h,fg mains CR èôtehtof fùb1.ÇcÏ.-d;dx’lnâ.rii fühzôfi’efifaê fluais ïpfi’ «sa: 115:3 fg fiaicrdx .r Ïgfcùfcircùlüèii

jmaidr’ fifi CirÇùlcS ëüids’ qüaé extentro :pôt’êfl; côfitemùm fub ô d,d à; ’c’oùtentùtïi

m .I aâuçénjfüB c" d,- dx,æqùatür quadrato d a.- Igitür éirculus h,hbc efi fùp’érficiesdèïr. vy ,ètiüifëfîpfiàhàiofëff’ëiféulowcuiusqüæéyé tèïitrd æqüaliè’ëfiifiifi’da;

1

I a. ’ .V . IN: ,XXaiÇJ X; THÉ o R 5101A.- . 1 I * ’. .fpaéia prædiâa fufitjâd indican”, fiait qüadfatùiù [mais e .k,adîquaæ’ ï . . dramm [amis a LSI’ enim füngatür dl k,- çùfn é k fît çqüedifians’ ipfi a Lent

ledaddafitaek ad al. Siçüt :1de ad da; fic é Eâd ac.- igit’tIr ficut e k ad

"J a M a ’ ’ a a d d Bb» a a];a

ah *BüTocxi’INïn’czç"L135L" 04 aura e Fîdac,ôc dimidia ipfius e f ad dimidiam ipfi’us a é. Similitek 86 in amniba 35

’ iungentibus angulos polygonorum ofiendetur, qued eandem inter fa habeantproportionem, quam e k ad a 1.: Ïgititr ficut imam ad aqungfic omnia ad omnia;quatre ficutek ad al, fic: omnis iungentes angulos p01ygon’i circumfcripti , cumdimidia ba (a portionis maioris,ad omnes iunrgèntes , cum dimidia bafe minorisportionis.quare ficut quadratum e k,ad quad taurin akl,fic con-tentum fub e me:omnibus,ad contentaijn fub a [,85 omnibus-.Figuræ enimireâilineæ fi’mile’s fimt Idupla laterum fiçniliuml proportione,ô( prepertionis ek ada ldupla efiq’uadraî; . At1’ ekadaquadfaçum’îa lpîroportie . Côiungçntium autem angulos maiqiiss adcôî

iungenàtes angùlqsàminoris duplaefi ca quæ contençi (ab ek,- ôl omnibùgiad c5tamtam; fub a 1&1 omnibus. Similia enim ôtipfa,cum hab’eantclatera ’ prp’ pôftïo 1;

nana. EÇ cit ficuît e k; ad eam quæ exscentio minp’ris fphæræ; fic a [ad duâàm a,’ acentrq ad alpèrpdndièularem, Si enim à centto adl contaâun’ï iungarur ,«i kéfié fi

r , eritîduëh pçrpéndiçulaëris ad ucrafque e k,al . ü ëfi ficuœ-d ad d a’gïhio’c efiï’e-Jk’acil à ï;

al : fic quæ èx cèntrb ad contaâum dùâaxhoc Cfl«zquæ ç): centre mincira flairât) 3 Îræ,âd cam’ duæ taxidermie ad a! duâa CH: perpendiculariâu V l v i - g -’ ’ i I - d x ’

Citénfiçm 61’: autem, (fut e k ad a l,"ficlquæ. ex centre circbùl’imgad caquiiç à: ccenéro circ’ùli n.lQuor’iiam oflefifum efl,fi’cuc poiy’gonium ad po’lyg’on’iifhi ,qfic

i çircérius: m ad çirculufim inhoc efi- quadratum,’eius;qùæ excentra à). ,iad’qtia’diratüï’

eiusquàe excentre n. A a . , .1 ’ a .- ” ï : ï V a ’g a Ifa a IN XsL 7H E d’RÉÊLÂ." 1:" iVTracp’enim proportio duiàla èfleius quam habèt’latus Cifcuhnïërilàït’i [jaffa i- i L

. * goni ad lattis infèripti.0fl’enfum fifi mina iriïhfôcgqüod eflificïüt’quæ ex défi ,

tro circuli æqualis fliperficiei ciréumfcripti; ad czim’ quêtes; céntro: and mais . lfuperfiçiei infcriptizfic [aruscircumfcrîpti polygoni,ad-Iat’tïs infifiljtizCirculiaùï-teminterfèfumindupla prop’ortioneifuarum femidiametijoiumaSprëifièiéàïr ’ ’ jgitur ad faperficiemflupia’mf ballet proportidnem zain ,qü’a’. habet latus adlarus, d

a 1N ..X-LII’ THiEO-REMA.W4 ’ - va 1-1. ,S Olidum’igitur circumfcriptum rad infçpiptüg mïifieiém fiaBèjtïïfirôçio’rt’iénë ;. .. f "

» l’quàm folidum fruf’cufmad Conunjth. Sien’imf ciËCŒmfèriptum’fOI’idum ad’in’»; 1*

-- fefiptumminoremhabetsquaîm’triplicatam;proîpbitïofiëgfeaquuam habet hâtif Ï a" f,.ôprfad hïabec’ade’min’orem .,-squameiam tiipjlicatam’. tîrènïliïnfcrl’ptùîmgigitufi a

’haberad’infèriptum minoremproportionem,quâm dadl’efil d habet’ademifib’rçmpropbrtionèmquàm fruflum ad conum.Cif’cumfèriptam a la? î,

ergo adinfcriptumgminïo’rzm habetquâmn "- i 7 ï Ï » :1 ’l .. frui’cum’ad conum. 5 * ï n ’ : ’ - i

.ki.V. i

15 v T o c I x. a s’ c A novai-2145 c omnia nüfg’gï fifiin primant trad’ition’isArchimledïs d’è Sphæ’ra &acylindrogf, ’ I .4 i

firiptum;Mil"efio mecham’ce Ifidoriopraè’ccpfôùgf ï r . 5. i

’ « (a ’rinofiroyfim’xfë’ëv . 132.

s dzig

Ï flamba, fiançgqadm

Ï faïpm:

’fiîgëcïipfafm 2’15? fgecô

t grilîïôfifnaæqUËkÏ-quao î

" eïiùshxordeièr’ibatùrfiçit.

1th: 5 ..’:.;.-a

g a de Spbèmg cylindra.

D a" le F: ninas! mini: a: En in!) ne? A v; . sp1 A L10; N I T AE - ce

:;I;î1.*ZII;;E..:N.-.’l]-A 31W M. eIwN 5 s BAC V N13 v M,

x ,4-15»

I VAM. à qlüæ in primé iflai’o-cofitinehtur Théoremataîsfatis fin:

. tfitiniienire eius Efquialterum cylindrum . Sizpponaçùrautem islamsçylihdrus a c, St educaturà c altitude cylin»dri,ô( ponàtur c d dimidia’i pfi’us a c. igitur a d erit fefquiairera ipiîus a c; Siiam inteligamüs cylindrum habent’ê

. bafemcirculpm’ a,saltitudinem uero reâam ad ,ïpfe au ’I IÊIQÈÂÆÏEÈËFÆËMËQÇPIPËDÜEËammcmiôé tylindriin -

cadem baie conflituti,habent fe ad inuicemlficut; eorum Ï - aaltitudines . Si autem cénus fit ac; idiùifa a cin duqæqua’ a .punâo e : firurfus intelligatür çylindrus , qqibafem .113, , 1

.Eeat circulum a , altitudinem autem a e , ont &fquial ,i ter côni a c..Cylindrus enimlqù’i 51mn habeaticircùlùin a;. Bi altitüdihema careé’cam,tri plus efi coni a ciêcduplus .[métra e.quare cotîfiat cylifidt-un’i a e- &fquialœmm e a

’ torii a cçcùius eadëbafe (alunais; in propofi’to ô: in fum .ia’tëëfiiîtî’ettir pfôBlema g Licet aùçë idem fieri , ôl fibafim I

: vcoiîtigerit diuerfam.efl"e,axe manente codcm .uEfio enimd iui’fus confisautïcy’lindrùs. cùiùsbafis ciîrculus f g;altitu. - 4

doîhk reâa acuiùs oints efilinuenire cylindrü fefq’uialtea

,alïl’elc’Jgrâmïî fh.Eritigi,z

fefquialterumiplîL

fiituatui- enfin pataude. a . I,

ëràtumixp:ïôé dæçaidïâ’ a

mietrUm ,unuîn laterum 1-.

citasfimricpxèççrquz;

a ter ipfi fg. nam’ çircuh.

gai, fiaiumdiametforü. l.

- a i l "à nobis exphcataxonfeqüensinde accedit,ut eedem modôhis qüç, . in fecundolibro’theoremata habenturexplicandis, (Indium adhi-ça , beamus. Dicit in pËimo Théoremate:Sumamr daté cdno,ùel cy

fifi lindro , &fquiaker sçylindrüs. Hôc autem dupliciter fieri pictât;L i aut’ièiuata in ambçbus bafeeadem, au: altitudine .Et in: aperti-us fiat qued diââefigifitglligatur roumain cylindras , cuius bafi’s fit Circulus a; altitude ante, a c;ôâ

:- , ni; quihaîbeatalæitudinë æqualem ipfi h k.De’fcrib,atur quadratü fi. ab fg aimé;

.txoî.circuii,ô(produâa ’ ’î v --;,x- » .; I a - . lafgjpçnaturgm dimidia..ipfiuè;ôç côpleatur fiat-

4 . qualem’ lfifihikfl, êrit refquialfeigcsrlindri habenfis blafim circuluni’fg’, aldtudincnï: m

sa?! 4r*wiavv -. s -v...; .. A

fg. A - ’ a;l- 11910 Signet?) fi; conné giridem facieùtes ; ôCtonflitiIentesi’qüadràtumi Êqtfilial; tâtai? PamPerafielogrâmkêé defcribëtes’ciiça- uaûlaws’leiuâxfd; dfëti ”

(Bis g (inAiS

IEÏEH’

tale;

4* ’ nvroenVIÏN ARCH; Lin... un.intellex’erimus ex ipfo cylindrum habentemlaltitudinem hic: hàbçflbiflæluszâçuæ’ Ilfièfquialterum cotai propofiti . ’Quoxiiam enim parallelogrâmum fn efitriplugxy aqùadratix pgôi ÈfquialterIImipflf [,erirf ld’u’plumipfi xp. quam à: Circulusïcw

calo duplus,ôCcylinl’ A ’ , . * . i ’drus cylindre . Veriicylindrqs habensbafem circulüm fg-,alti. tudinèm item il k, triphis eflcqnd cirèaeâr ddem abafim 8C altitu” ïdîné tôflitutoÀâQuar -

ire-À çyiiüd’rus bafiml.

ll’aben’séi’rculumx-O,

altitixdinem uero 3:3quaIem h’k,’fequiak l à. la

. ter ePc.propofito (à: .

n9.Siaqtem (Sport. . V . r. . teatneqabafemme. 5k - - .- .À a: n21 .h , ’que altiwdinemefïhe’e’andem, rurfùsî’hoc digfilidæifiëç; au:

æqualem datqgçxauit axemlacyiifidrus. . 1 I: - i A - ’ - a: i- propôfirlîs à Eflô prias bâtis data cit:

cuius m. Etc "uêe’i’rojcylïnd’rum in... .

uenire fefqüia terum dard Cdno,a-ut . ’ a - -cyiitîdrô, à baie x0, id efi’quiüafiàil: i f »

habeat x0. Sumatur utptæ’diâüm’ -efi,cylindnÏsu’yfefqüialteijédno;au: A, " *

cylindré date;5 eandem habens aCüm prépofito 845m: 6cm ,quadratiî’x o adqüadràtufim t a; fic altitu’dprzu y "

’ ; ad ipfa’m 11.3.Eritigitur c-ylx’ndrçrs1 ab"

XÔ bafehabës altitudinemwr s,ç,qüaîië, A ùîyinâ’haîèsferhabeiitmutuô filé-àiflfü 4 U ’

dines ,ôC faâü erit impefat’ïîSilaüte’m .

bafi’é non fit data, fed axisseadëratiq , L . - uneprolato py,fiefid quddpioponiïgi a. a t k 13"." .

x g y in CompoârTIONEM «fini-Mia je de0c fumpt0,qüdfl;l’am ad eius reælmidnem prôneniüteaqüæ in’pgcbleniâa

Htefunt,refoluri5eadboëterminaragùtopdfteatdaab.-refisdacisduasreiémeî-a diaslpfopdrtio’nales’inüeuire.dixitirieôpdfitidné,dinùefiiâ’türâHatùmaüiindem-

tionem ab ce tradita’m nufqüâ’ adhùél-pefiit’us”inüefiimüëimùitôrùm aütem clàrbî I

mm üirorumfcriptairî mianusmcide-r’unt; in quibus hôqàtoblçma ! V auenimusgxqùibifolam Enjdo’xx” Cnidiîdefctipfiidflëdrépüdiâüimus;jNàmi.. a; Ü y *oemijs quidemdixitî [a perline’ascürüa’s’aeàni inuefiiiremermiij iridemoàfitëtiô; .

,ne,præterid qued non curaislmeis’mamr,trauma;difiunâamprcqurqoin i 4j tatemronfiitüens’,andcontifiüautitùrgqued faneabfuidum ËËQSËdgïIÏÉddÎÇç3 a

i de Eudoxo, uerume’tiamde. quibüfdîquimediôctitetitheômétfiaùefiâfi [tintai aVtautem eorumquæ àd nos pervene’rpnthçsmjngm flamentiaè-p’ . elfiàbèfipoff" a;

fingœrüm uniquùiufq; initieniendimôdüm ifiic’déiiicepS’defcfiBËrthè w a a

. in qz-DrVS" a .P L-Â’Tïîo’flïls; - i . I fi «, Vabusieâisldatisv, düasrerâàs; mediaëiliiâprqpôriidfialeâifi cdùt’inuàfiia;-f .

I portiçnalitateinuenire; Siiiçfduæreïéiæ’datæ-a pérpefidicülaà’ A

i i . i W tzar;

il.

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Laz

ç x3 .

N. ...

,L’.i a

n .8 3M!!! à"? C 5:71. N’ip’ïeof d 44è!maîqù’îbùsopus macquas maïas proportionales l’admire».Prqducantuflnidîrct;

âüad d,c:ôé-Paretur angulus F5311!» 1-th g h a: in) mm 51W? 9359m3 fg? m°*

L . a Ut permaneatæquedlfim; Vz

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f d- .’ .. .- 7M "TTÎ Ï i. . Li? 1’55 i i -.i i .v V si J Â Y V..À-.v - h . ildo. A-

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ipüghæÊiçç’agnefima’acafiindignaV:l .. a r: sa » l s

i musalter-am regulameonfixamip .- a r a ;a glæquçdifiantemipfilfgæuta’; , .

, l a a i Supeyidribüs enim ipfa-d mini 3,1511: , fùpeificiebüs filma».

ne? v.aflîâlibkus,ôl- adaptai.tisipfikhâddiâdsw I , erit (un;.mÔÈUÊîÎpfilIS k; rem pet-î æqqediflâà

fifi îgfiisgiça patati; ’, afiplicettçf

u. anguli qïx’odcuncp, pua...(a; lycôriùgësjciôz régula auingaç .

a fixa-mûridefirifiiiônehaiïetunfi- ï a:àtangtiülüs reflue, perfiônjem- han; ’beur; puta«çd’e,-ôc régula kil pôfiçio A).

l ZK h.»f emnhabeat,puta e aînam his ira cohfecîiq,ptôpô’fitüm effeâtmi eh:mgnliad d ë ,lîlirréâigefitficüt’e braderie dirai) dddhgôz’eb ad ba». V. r ri 3

. . ;.:»-«3,Mi.,oîn. R0 mis-271, N. Ber; au 1c I sï ’ in 0X ï? 5-1? (ai ,ù -- v- j aadùaîàhib’ùlsgç’jfiflttelisifubricàndiÊ: "Il ’ 4 .

i iïlntiduëæ reâæ dit-æ açb,bac:îquizbusïèpüsifit’düasîmediaâ ptopertibnàfleëèëfiiê

Î Mère.difpoxîai1tufita’,ml anïbl’adtahgalümfeâùnïad b,ôCf,ÇÇfiiPËèatüdeï

, ’gagaglelggïammüôliùngamürlagdba”;connatléasLècfüalesefféïâtfifiïûtüô pet v

a. æquàhafecare.punâoènamjcinfqipë dag: altëi’àfn earüîm déferipttfs,’ (ber tari-nib

i fibsralteriqsærànfibit; cum p’efallelbgiam miülfigîo’ith OgGfiiï’rgprôdüÇàntur hæ d à;

v. dragme adêfiggsôz intelligamgreïguîîapùfïfb magma? Wfidamflauùfiiffiï’: V" m’ifizhëôlzmoüeaïqrgdénecabïfcïdahtùâæqüàîleâælâ -1ë&gïëïâè»:-.hoc efieidgîà’îlfîî

. fixa. .i a, a , x . .* i a m 3fifi

V 7*h7 . a x. » .

r a; l B’v’rbè î f in in. en: i113! »l .intelligatur’feëïiopdfitibnem haberqputaf b gi,faËi’isvefiegæqualœusjzfdiè’eü: A

efltDucatu’i ab e perpendicularisad e d, para e h 5’ conflateam’ Ëçaiâeïififambdîn

düoæqua. quoniam: itaq; ’c 013111,. duo æqua ièeatur punâo h,.ôëadditùf; 21’ c gâta!

contentum fub df,cf,cum quadra a a ’ lme!) , æquetur quadrato h fiqua. ., v - , , , v g. ;draço e h. communi adieâo erit c6. h ,4 W etentumfub df,fc: cum quadratis ’ a I T - g ; ” r 4harü ch,h e, æquale quadratis .f h, l . à l. Ê Î 4 .h e.quadratis antem f h,h e æqua’ . , i a ’ s v ’. Îtut quadratUmfe. IgitLtrcontenttî ; I r V . du i - L I i;me, d Efc,cum quadrato c" e,aëqua» L l

.Ïtur’ quadratde fiSimn’licer autem d. , ii ” fiendetur,qu.od’c6rentum fub d g, ’ » . a

g a,cûî quadratd a e, æqu’aï quadratoegàôëaeefi æqualisipfiecjôëip f V V .. fl A arage ipriî e E. Igitur cqntentum. Tub a c - 35 a 7- Il , a, rv a

9d f,- f C, æquatur contenté fub d g,g’ a; Si dût Conténçum Tub extra Ed is fuefit æqua 7

leëofitento’ fub medijs,erlît quatuor lineæ illa: proportionalesfifi igitur fient, ad d g,ita a g ad c flVerumficut f d ad d ggfic-ffc’ ad c b,ôCb aad a gnan (à m’angüa Io, id g dulâa efiic-bsæqùedifiâns ipfi d gsiteni iliaquediflans ipiîdf; Sicut’ ergo

b a ad agita a g. ad cf,ôc c f ad c bçlg’i’tm’inter ab, b,c [unifaâæ’ mediæ proPQru’G

nalesag,cfè " I i . a a *mie-Div: lampants Ennemi; a r. Ë à Int duâë Ë hèddatae a b,b ègquibusôpus d it’düaâ médias pïôfjÎôftionaies inue’ê

ire . Difponantur ita ut ambiant angulum reÇiùm. ad 5,84 iunë’ia ac dei’Cïià d’ batur [uper eam Ëmidrculus a b e”c:8C ducatur a d feétmdum arigulos reâoâ ad

ipiàm b a,ôCitem cf ad ipfambca afipïicetutyëgulamobfliësad agrècaiîsaldgëfgr a, f

iâmoueatur’çixfca b,don’et quai a il)? l » q: r13, 5’- v a: :3” a! a . a! - 1 .3 H’ fob ad ipfum d fit-æqualiseiquæabe’ a ’ - ; .i ;.« a. - a’ la w V: : î

in flhoc efl: ; ei quæ efi inter’ciicumfeg i i .remiam drculi 1.8; ipfam cf. Intelligaî s iÎtàqa’fltçgglaflhabèl’fi :pqfitionem,,puta Ï

quam habet d b,eÎ 5d b æquah’ ipfi-e f;

ut-dic’ium efl. Dico itaq3,a d,cfeife me a idias prôportionales inter a b,b c.Inteldliganturefiimdajeprotraâæôkon . au: ,t z " . , a"): t film:CUfl’CflteS inh.Çonfiàt’ièaqsscumba, tv a ÎW; v 7 1 L

v f h fintçquedifiâteë,quodanguluqlad d a, :- -- ’ I J ne ihefl: refius,8(circulus aeCperfeçf’tuS’ ’* Î filtra- ï v ; tranfibitperh.thoniamigiturdbefii, d , use’iîumfin 2524., .æÇïfinigituËÎdCÔmËIÏËlÏŒEËUÜ, a 3m73 in? .- .. .i 4 1, L "2 Ë ; . ’ Ï ’ Ï a; Ü a icasai)» efl’æqaglgççntemo- fub-ab’ Vermmçcantçnnrmfubr-ediad b æquagms à

* contenta fubv h d,d aman: uuficpîefii æquale’quadrato côtingeigitis’ à pufiâofddu’. I ”

’ âæ. Charentum autem Tub b fifeïyæquatüflëntéfitëfilb h fc’ Q mini aEmfliœœquatunquadratbcdntüigentis dudieæàpuflc’îô aquarewmeniümîfiïh Y ilaid a, æquaçurçontentoa fi’Ib h fifçiglddrcoï ficlîmd h adb fific cfadeda s1VerüQ .

, lieur!) q adhfifi’c ’bzciad cfiôidaadab .namm triangule dh’fidufiæe’fib’cçqm:’ difiîans ipfi d h , itemb a æquedifiansè ipiî f hÆft igitur ficutbrc adçifiita cf adda; a 9v d aad a b:,qubd erat prepefit’tim, Sciemdtîejfiaiïtelmquod ;11uiufm odi appaira; dtus efl idem ferê CumÎillô Taperidii Hamme :fiâm paralielëgfarfiu’ni vb h , idemce quad [mptum faitjn apparatu flaquas; æèlatera prôdüâa h a,h cleademsêës

r ( A au aga.

a i adoneçduâæapunâo’xad purifia de

a naseaux-A ET ïCYLINvDR’O; i qui?.isegulàmbgaadîb.Hdcifoluïn diffeiunt s qued in illo quidem mouebal’tutzareg’ula ’

idonec duâæ à fefiion’e ipfius ac,per’æqualia,puta ab ipfo k repararemui’ æquaa. ldes ’c’oinçideme’ls ad h d,h fi.puta kad,k f; In hac uero moueçur, dom"; d b fi: æqug.

dis ef.in utqaqa autem figuratione idem fequitur; Quod autem n’uné diâum efi,"facilsius in uÎfu pbnitufmam ipfç d b,e f feruabütur æquales,dit;ifa d f, regula parxaeqtualiïa Bér’continua. hoc autem malte facilius efir, quam circino tentare eas quæ

mbipibkad clôt f duâæ erriùt,æqual’es facere’. ’ A L a la

5633;: . f MKOD’VS A’Pio’nigomr. x ,. au. x r a In’t duæ reâægquæ a 13,21; iiqüib.’opus fit duas media’s propartionales inuebi ’

Sreflüæ ira aptentur5ut ambiât angulum reâü ad a . 86 centre b, inferuaIlda ea defqibatur circumferëtia circuli k h [item centrdc»,interUallo a b , defcribatui Ci:k çumfeientiaicirculi m h n,quæ fecet ip I l i ’ a .

[am kh lin punâo h; ôtiungâturh a, I ’ . a - ïh b,b c.IgiË b a C heflparalleldogrâmü,

’ cuius ePc h adiametros.diuidatur h a,” ,jn dudarqua ptmâé x28; centre jx de:

’ ., (cribatur çl’rculus fecans’ ipfas a b, a c,

produâas in punais d e:ita ut punë’raid e fint in eadem linea reâa cum ipfo

. hgquod utiq; flet,cum re’guiamota cit,icah,ôi’fecâteï lès a d, a e, ôCdidUâa,

fifitæquales . fine-enim faâo habea.,bimus.quæfimm ..Ita utique Égutaüb

gademvefi: cumilla Heronis 8C Ph 1’10 i. wis , 8C cenfiateandem demonfltationemadhiberi. l. -

f . v MiODvsïnloCLIsilN 1.1330 DE Phh r . . , , i fifi: , pucherrimusîo. L , ’ A U- i A3; rNeiméulwdùcantùf duæzd’iam’ètri ad angulosmeâos a b,çd,8( lèparentur’. duæ k

d ’ a qjircumfe’r’entiææquales uninad b,bæ exb,b 55.5 perfdltcatur æquedifiâ’s ip. . A

la b, quæ fit fg,ôi iungatur de. D ico quodinter Cg,g h (in: duæ mediaâ prépai-eidnaleshæ f g,g dÇDucatur enim pere lineae k,.«æqluediflaps ipfif àbaÎgÏtUlî’e le ,

æqzùalis empli fg,ôckc ipfi’ gd; . V , r aHocaurem co’nflat,duëiisâ pun ’ - , . « . ’hâbleredià ad’ef, nîahgulicle,ifiïl’id finît çquales..ôi mai ad k,g;

igitur omnia omnibus, pro pite 4.teaêçëluo’di [evæquatur ipfi f. igiz -

eurîeliqua’ck eft çqualis ipfi’ g d.

Qyoniam igitur efi fient dk ad. keLfi’cdg’adgh.-irem]ficutdkad i H

a keiita e kadk c. na ekefl mediaj prdpbrtionalis’harum dik,k c.SiÂ enneige dkadk e,i;a.ek ad kc:

L . dgad g h.ôc en: efl aequàlis.I îifpfikcg ôdpi’a e kipfi-f g,ipfakc4 I

. ipfiz’gd glgitur État c giad g f,ita. g’fadgtdfil d g ad gh.Si item in. - *

h itiîincygeàt-bsfumaumf æquà’lesvcir a 3 a 1 i 1 j n 4 . , 4 . . .A - ’umferemiæ hæ m bibari, 86 pet n ducaturn x æquedif’tanâipfia b , 85 iungatuf" .a

’ 15.

,11 ’giflâflfitmflgfiimacxsÎXümedîâbprepmâfianaleshæ,nx,x:daîPluribUsitamahoer» 5’ ’

wjgik , . . i ’ A I. i Ce patito,

. iJ (

l

a? . E’VTpotcn in ÀÈCHa 1113.11.paâo æquediflantibuà confinais, produâis inter b d, si circumferentiiscdeprgl .henfist ab illis uerfus b, po nendo alias æquales uerfus«c,ôCad pünâafaéîa’iungen

de reâas lineas à punao d,ita utfimiliter fiant ipfisd e,d :m:diuidentur paralldæ’quæ funt inter b d fecundum quædarn punâaui-n propofita-deièriptionegpunâa

N o h: quibus regula applicata iungen-tes reëïassliabebimus quandamilineamv ado deièripramün qua ’fi fumatur quodcunq; punâum,ôtper ipfumaducaturëçt

.quediflans ipfi l b , erunt ipfa duâa , 85 illa quæ abfcinditur ab illa , à: diametrouerfus d,mediæ proportionales , inter lineam ab eadem et diametro uerfus c ab: A

’ fcifamflfpartem eius contehtam à punëio in illa fignato addiametruin. A: . p . a» a ’ ’Ifiisita confiitutis , ’ fint aduæ ,

rèâæ a,h,quibus opus fit duasmediasproportionalpes inuenirez 85 fit circulas,in quo du; diametri fe fecent ad angulos -re’&os c d,e-f. 85 defcribatur-in ip-fo d h f linea , pet punôaxonripnua, uti præ’dicîum efi’, à! fiat fi

crut a adb,itacg ad g ko: 8C iiiâaek, à produâa diuidatlineampunâo 11,8! pet huducatur lm, I ræquediftans ipfi’ e fiper præfcriptaégitur inter c151 h mediç flint

Vpr0portiôales hæm 1,1 dg.Et quo v

niam’eitficutclad 1h, itacg adg’k. Sicutautem c g adgk, itar

[a ad b . Si autem in eadem pré; i ïportione ipfartim clglm, [(1511,côfiituamus inter a b,puta ifias’a.

r

,. PïRopofuit’ïRappuè muerai-Aï

i re cubü , qui haberetad eu»

hum datam pro portionem da,0 tâz 8C fi quæ ad huiufmodi pro! .portionem demonfirandam réquiruntur, inuenerimus, côfiatnos inueniiTe propofi’tiij. Dira.bus’enim mais datis , fi ex illis]duabus, quæ debent eflemediævpropo’rtionales,fecundam inuenerimus, tertiam quoq; deindefacile deprehendemus , Defcri’.batur itaque,uti dicitipfe,femi;

A Circulus a b c, 8C à centro d ducatut d b ad angulos reâosgôcmo Iueatur regula circa a punâum;ita ut anus terminus eius aquo-dam clauulo circumponatur pîï

V fioit; Ef’ro reliqùa pars eius uti *

n, x, illæ fumptàeerunt inter a b 4m

mouva . miam- EN.I ’ v vintrdduâionibhs; iAliî’:.:’.,. d J 1;].

p à

ediae proportionalenquod erat inuenienduhgè

aux cris! i --.

area centrü ,circa ciauulummoueaturinterab c.His conflituti

l

[f :14S, proponaturî dm p

cubes -

"n.n«t AAA -A.:l.:;

:;l&y:i-p;’;.; aw w *

bd.4;e.is..t...A: --: A

4-5.3,:1-1 me; M

au

a

ugl

DEp’sPHAERA ET CYLIN’DRo. tu,cubes inuenire,habentes inter le datam proportionem , 86 fiat picportio b d add eiqualis efiproportio data 81 iam-fia c e.prodücatur ad fiadduCaËia’m régula in; iter b c; donec pars eius intercepta inter reâasï f e,e bàæquali’s fit reâe quæ efi’ interËeéî mb’e,ôé circumferentiani b k c. Hoc enim tentantes, 480regùlarn. dim buen;

p mesa I acfle aiÎequemuii.Fiatiam,etpofitionë habeat, puta a k,ita Ut g h,8( h kçqUavles finîtiDico quod cubas ab ipÎa b d;ad cubum ab ipfa d. h,pr’oportionein habet jpropoiîtamzhoc cit éam bd ad d e.Intelligaturlcirculus perfeau’s,;ôt iun’âa

" i k:dîprotendaturadl, 66 inti atur 1g, cui efi æquedifl’ans ipfa b d , quia kh efi se,- qualis ipiî g hàôc ipfa k dip id l. iungatur ipfa 211,86 l à . QUOniam enim angulus

l ail c, erit reâussqüia efi in femirculo, 86 1 m ei’t perpendicularis, erit igitur fient quadatam 15m ad quadratum m a,hoc CHIC m ad m a, fic quadrati-1m am ad quadra:

p tummgProportione igitur ipfius a m ad m g pofita çôm’uni,erit proportio côpo. lita ex propértionec’ m ad m a , 8c ex proportione am ad in g: hoc efi p’roportio iCm admg , eadem efi: vcompofitae ex’proportione quadratiam’adquadratu’mm ,âCex piop’ortione a m ad m g,q’uæ ei’t eadem ei quam habet cùbùs ab a in adcuâumab m glgitur proportio c m ad m g eadem ’ei’t ei,quâ habet cubas ab a m

ïadcubum ab m g..Verum ficutc m ad m g, fic: d ad fd e. fit’ut aiItem am ad g,a male! ad dab. igitur ficutb d add e , hoc efis ficut data proportio , ira eubUS exb d a

’ ad cubain ex du h; Earum igitur-quæ opus erat medias proportion ales inuenire,. .feetinda fuitd-h .V 85 fi Ëecerimus ficut b d ad d haïra d h ad aliam quandam,erit terra

fia,.inueùta. Ei’t autem aduertëdum,quod hæ’c defcriptio eadem eflkei quam Diordes ifùprà tradiditçhoc folum difi’erens ab ea,quod ille folum lineam quâ’dam pet

’ continua purifia defcribit intermedia ipfi’ a b, in quafumebat g produâa Ce, 8Cv diuidente diâai’n lineam . In hoc autem daturg , per regulam a k,motatn circa a.

quinti-enim gfitidemfiue’i’umatur ut hic pet regulam motam , flue fieu: Diodes,ira difcernus produâarn g ad miügatur kn. Quoniam igitur k h efi æqüalis ipfih g,ôC g nlefi æqUedifians h b, 86 kx æqualis efi ipfi x n,86 ipfax b communisrelié 86 ad’angulOS naos i nain k n’in duo æqua diuiditu’r,ô( ad angulos naos ab

. . ea quæ per’ centrum .À Igitur bafi’s æqualis bafi’ à idcirco rôt Circuit! ferentia k b 5 ipfi

b ri. igitur g efi id quod cit in linea Dioclis , deinonfiratio ea dem. Dix-it enimV. Diocles,qu"od fient e m ad mn,ita m n ad m 21,85 m a ad m’g.Eflautem m n arquailistaipïî m Imam diametros fecat eam ad angulos naos. Bit igitur ficut C m ad m l,fielmadrn mâtin a ad m g. Igitur harïî c m,m gàrnediæ proportionales font! m, tin a. Verum ficutcm adm gîta C d ad d efficutaUtëc m ad m;l,itaamad m gzhocÈd d htôi duatum mediarum, haruni c d,d e recunda e17: d h,*quàm’Pa’ppusv

V e Cie at. . , s I i r i -, g. ilMobdsS?oaLt i ’ - vi SInt-duaê 126i; datæ a b,b c: quibus opus eit duas medias proportionales inuea , faire;Ducaturexbipiàdbesad angulos reâosadabtôfl centro b, interuallo’ »

il autemba.deièribatîur.femi. , A 1 a a. V k 5Circulusdaeziôë abeadc’iü. . d in Ip gatur reâaf, d-tîcatur ad f :1 V

a &zducatur ab ipfo d «en ..iquædam ita,:irt glÏi fit æqüa- I

lisipfihkiHoc enim fieri pari refi:,:ôé ducantutâ punais

giakgpe-rpendicülares ad de, A,iifæaglgkm quoniâ igif défi;

* ficutkîhadvhg, itamb ad b k ,- lâôéipfazkhefiaeqüalisipfin g , u i . pi 2s’igiï ïpfiînibïei’tæqtmlis ipfi-bl : quate- sa: reliqua" tapit-I diTota ergod m , en

- Il V g ü * M Cc z j æqualis

lIignèïm.

,29 I Euro-CJIJN humains; in, ,vdæqualisipfile.etpropterhocficutmdaddl,italead m-e.Ver.um Emthfl’ddddl, lira k m ad g! . Sicut auto)? l e ad m eàitagrl ad miniRurfus quoniam fieütpd m ad a a

v m k,ira km ad m e.Igitur icutd m ad m e , ita quadratuin d b,bocefi quadratuma b ad quadratum h b.nam d b cit æqualis’ipfi a bRurfus quoniam ficus m dîîad

’ d b,ital e ad ebLitem ficutm d ad d b,ita km adh;b.Siqutaut,em le ad: b, italglad;c b.IgiË ficut k m ad h b,itag lad c b.8C permUtatirn , fleur-k m adîg,lgitah’b ad ch.Verum ficutkm ad g-l,ita m d ad d Lhoc efi d m ad m e:hoc ef’t,quadraçuma bradequadratum b,b.lgit’ur ficut quadratum ab ad quadraturn h b, itab h4 ad be ...S,uv*matur harumh b,b cmedia proportion-alis h’æc,x. onniam igiturficutzquadrattum ab ad quadratum b h , itah b ad b c..,Ve"rum quadra turf; a b ad quadrangul-

- h b,babet proportionem a b ad b h duplicatam, 8x h b ad b c.babet- proportionê.’ h b ad x duplicatam. Igitur fiait a b ad b hgita b h ad x. Ver-am fleura b àdxsiftafiad b c. Igitura- b adb h,ficut b h ad adpx,.ô( x ad b c.Cë?fiat autem iquodlhæcquogo,v que eadem efl illi quæâ Diode diâa fumât Pappo; l n ’ ,. . . c . J - .

w a v I pMODqVSyMENEÇI-IMlsfib W« Intduælineæ redise datæ a e, quibus iubemurduas medias proportionales in. N

a uenire.Efio hoc faâum, 86 (imine: b, c. ÔC.anatul’ reâa poiîtione hæÈ tigrerHminata ad d.ôluerfusd fumatur’d fiæqualis ipfi’caôl ducaturad’angulos méiose nh fiquæ ponatur æqualis ipfi b. Quoniâ igitur; tres lineæ a b c redise fiant propor»

A fionales, contentü fub ac æquatur quadrato b. Contentü igitur d: datage , hoc: ïefi a flæquaï quadrato b,boc efi quadrato fh .quo’niâ reââguli "coi-litt: paraboleu

. igiturpunâurn h,per punâuma d; fecundiJm primam deicriptadù’câtur arque) Üdifianteshk,âk.ô(quoniam contentum fub’bcef’t datam, cumiït æqtuale (ont l

tente fub de: contentum igitur fub khi, hf datum, quoniamhypetbèieçigitutv . i; ipfumhinnon coincidentibus cum hiska,afiigiturhdatumzquare&f’datumis; p

Componeturautem fic, Sint duæ rec’îæ datæhæ-d e, ôCpofitioneipfa a gamina; « 5.

nata ada; ôtdefcribaturpera feë’rio reQT ’ . . ’ - . l&anguliconi,çuius axiseit-agfiCreéifi . . v a , . W a . .4 p p gfpecielatus d;q.uæ autem duâæ finytzad r ï - , a: -, V 4. 4-; .-; l iipiàmagadangulos reâospoflïntfpa- v t i . . , a r au; 4 ’ ï

i ciaipfid,appofitaIatitudinëhabëtiaab’ V a , v v , 4 ’ u a L a - , , ; ; g î

fiifasabei-suerfuspunâum’a,deicriba a un? I if turôcefloah,etereë’raak.8(innonèo, , g l» - klm, 4 ,4 a » V.

incidëtibus cum his k-a,af,d’efcribatur v . V a ,, 4 r w - I 4 »feëîioobtufianguli conirâquaduc’iççe a , - ;.. a L i; " a, ,quediitâtes ipfi’ska,af,facient fpaciiî g. V p a n . q î 1

C

uale (patio côtëto fub d e . Scindet aüt e peâionem reâanguli conidiuidat eam’ i I i i a, ’ . A x 7

d in punâo h,8(ducâturhk,h fperpena a, 4, a à 4 g - a .-- diculares i Quoniam igitur quadratum :4 V ’ 4 À a : «b 4: t: 4fh æquaturcontentoifubda,afieritfi» i - a .. V i ru, 4,39.). a acutdad f h,ita fa ad e. Verum ficutd adf h,ita f b ad f a, 81 faqacieiponamrïtaqæ;g b æqualis ipfi’ f h ,86 c æqualis ipfi- a f. eritig’itur fieu; d ad h, ira b aide", étude: ’igitur d b c e funt continue proportionales,quod’erat inueniendü. - ; Alitenidemg. i .

Sint duæ reâæ datæ ambientes anguluqreâum ab ,«b c :uôé’fianteëmügxînediæi

proportionales d b,b e,ita ut quæ c b ad b d,"ea fit bd ad b c,86 b e ad baaflêldücan:tut ad angulos reâos, d fief. Quoniamiigiturefi ficut’ c b ad (limita-bidard b e601: .ten tum igitur fub cbb e; hoc efl côtentuin fub data,ôCb esæquatuërqu’adrato hein 4

4 hoc eitipfiuse f. Quoniam igitur contentum (ab data, êtb-gæquatdnquadisato! - ’i’e f ,igitur f applicatur feâioni reë’tanguli coni- circa axem becohfiitutaeafiufigs

, ’* fus, quoniam ficut a b. adb e,itaîb eadïb d. tontenmmq igitur-[ubabybp

» 4 i’ l ’ 7’ a ’n 4 Le h w übdaÂ

kif * .

a

d r IDE-ASPHAERA-ET CYL-IN-DRO. i 4 n alu. 4Vp» fiïbdatafidb d æquaËquadr-ato e b,boc efi ip [ius eEIgiE fapplieaïfeâioni rafla-4 . ,

guliconicircaaxem bdconiti- a ai ,4 v 1 4 s ia turgEratetiam ap-plicatumalte. 4 il

irixdatæscirca b4 f 4 confiitutæ. igiî: 4. pîaéîumfdatü, etperpendicula î

res, Æ d,f e. igiturpûâa d e4data..Qâponetur aüt fic a, fint duæ t’e-

’ &ædatæ angulü reâü ambien.

ï misa b,b 4286 educantur ab ipfo 4bain infinitif, et defcribatur cit-4 . ;

n cavaxem b c feâio coni reâa’n a- d 44 ’gulisRui-fus circaiakem d b de, - i

A faibatur; feé’îioreâà’guli conf,

- pita ut duëïæzpoifintiuxra ip iama bi, ikëi-iones duâæ fe mutuô

Ecïmbunt». fecentfe in punâof, ’ ’ .u 4 A - g p-, &abipfofzducmtur perpendieulares fd,f e g Quoniam igitur in feâione’ radian.

pi i uli4con.iduâa4e& fe, hoc efld b, tôtentum fub ch, b e erit æquale uadratob d.digital" ficutcb ad bd,itab dadbe’. Rurfus quoniam f-d duâae in feâiong

i reéian liconi,hocefi:,ipfabe:contentumigitur fubdb, b»a,efiæqualequadraa -4 toue b. fi: igitur ficutb dad b e,ita’b ead b’a.Verum ficutd b ad b e,itacbad bd, i 4 *’eflë-fieutçbadbd,itabdadbe;ôéebadba,quod eratinueniendum; ’ 4 MP4... ,4 A; à";

.Ë’rr-DEËYÏPŒEH autem’ièâio redanguliconicum diabeto,inuentoâMilefio me; a I ’ I l 1a athanicolfidorqmagifiro nofiro , cum fit ab eo feriptum in Commentum ca». 4 A 4 p abimilzlîîzcarumHeronis fibifaéium.D4iabetum infir’umentum efl: fimile demeura i "V «dz-55 ’ V W;

tolgfæco Av 4 F l ’ 4 l fait-fun a 4 M .7?» k . À.INVENTIO ARCHITAE, QYEMADMODVM .A *- t, 4" i *( 4 i 4 i Eudcmus nadir. i j m - 4 v Ï A r ’Vnto duæreé’raè N .4 4 .4 a ’ i .r y ’ 4

. ’ idatæadaczquibus I i Iopor’teat diras medi.- asproportioriales in à gnuenire . Defcribaîf cit. ’v ’

- rcamaiorem,puta4ad, Ë ik icircuius abdf, ôtapa-

plicetura bipfi c çquà 4

lis,quç.e ufla concurrat inpu’nâo p,’cum .

L4 ca uæ c’onti ’t«cir4a44

miam in4jpüâogld.Du

x .caturaufem’b "cira:- quedifiansïipfi pelez,

ï fié Lintelligaturtfemièy t

F lindr’us ereâus friper»’ ’æbidîiïemicirculo,etfu

penad femicir’culus’ea p

refluainparallelvograî si 4 4 a

h movaçàllindri dekriv I . . 4 l n . . 4 4 44 " plus; i’citàcpfemicirm n ’ L -44" vCuIzIŒS.4cirÇumdu&us,z Î 1j) p , ï i * I 4 i t v

v ab’lpfilvdl’mpfimê b,term4înodiamettiaquiékemégdiuidetfuëerficiem cylindrià) 4 l --

4a A Il f . c 3V cmo A I .

A.

il.”

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. EVTO’ClIïleN’AKCH; 1.13.311; I .tain in circumuolutione, et in ea defcribet lineam’quandam.Rurfirs fiquieïèçnt’êê! *

a d triangulus a p d Circumferatur contrario iemicirculi motuynfaeiet fuperficiëtoe - .nicam. reâait’aquea d circumuoluta concurrat cum linea cylindrât-al iniquodam a

, punâo , fimul autem 8C ipfum b defcribet femicirc-ulum in fuperficieî coni. habeat .at iam pofitionem inloço côcurf us linearum femicirculu’smotus, ahaner-pua ’d k aï:- »

i a: triangulus in contrariü motus habeat branle d l a. pût-1611m (liai concitrfus efio ik. Bit item femicirculus defcriptus per b , ifie b m E: 86 6&6 b commùnis fiais A

4 4 eius,ôécirculib d fa5ôcpdu4catur ab ipfo k ad planum femicirculi,bdaperpend-ieu. wlaiinàde’titàq; i pfa in ciicumferentia cireùlficum cylindras fit eieëius,incidat,ôé.v *fithl’; 86 duâa ab i ad’a , incidat-in-b-f in punt’l’o h, 8C ipfa al initidatfemicirculloï

b m4 fin punâom. iungantur autem k d;m i,rn h . qüOniam igitur ’"iiîeiqüe fendis t4tirculorum d k a,h m fiefiîereâus fuper fubieâu muplanu’m," eriifleotîum emmua ’nis fecî’tio m h,ad reâos angulos fuper ,plano circuli .lqu-are êt’ad’i’pfamb feredïàif a

el’t ipfa m thitur contenfum fub b h ,11 f,hoc ei’t fubh a, h i,jelf;èqüaleîqùadrato*’

m h . Igiturtriangulus a m i,lîmilis efi utriq; ’horum mi h,m a h:;8Ca-nïgülus i in a te .4aus,item angulusd k’a refluspzigitur k d, m i,funt.aeque’di-fiant’es’ e 84 erit-flûtera;

ad ak,’hoc el’tk’a matira iaàd am , propter triangulorumlfimilitudineiii.-Igitulè ’ 4’

4 quatuorhæ d a,a k,ai; am, funt vconÏfequenter propOrtionales: 86a m eit amatis;:pfi c,quia 5c ipfi a b.Duabus igitur mais ad c datis?duæ aléa immédiat proportion

a; î.

d t nalesinuentæfunt.’ f a v4

tarama; anar-ifü’yïâwlcâ’nç 6’05!!! ’

Î Frfipfiû émahn W-

? Mmaltant I Infim-44’, a! au au amîhflp Il?

l

malaxai»: .06,

4 4V h ’MoDvs 4ElRA’TO’SiTI-ÎENÎISr , 4 p ’ leEgi’PtOIemæo Eratofihenes læ’tari. VetufiifiÎimo’rii aiuùttragoedum thefi-iz

Rd’am introduxilÏe Minoajfepulchium Glauco extruel’ntemi i Cum autem’au-

"(Effet illudecentum undiqà pedum ambitu claudi,dixifl"e,Paruum utiqaginde Tuba:nieciiTegRegq ciron fepulchri dup’lü alto. IVidebituretraflèdaterïbPS enim dupla-r ’

,planum’ fitqua. V l V I p n. d V.1), f i ’l :f un [J H a a! 5. J » Ç v 4reba rautemiainâ 4 ’ a l fi V 4 4 p4Geometris1,quo’nâ l » 44 4 . 4 f . , 4 le a; v4 l vpas folid’umpdatïi " ’ V. i 1:35, v ’ ’ a (in Î. 4’ pTub priflinàifi’gura l - ’ a; l à 44 4. ; q.ad duplum ’augeri 4 ; A i . A p ; 4 4 a 344444.,4p ,pofl’et.etappellabaï:l p A, a l 4 - V h p4.-hoc problema,jcu;j v I , p f. z H 4 , a p54 44bi-duplatio.-Supp0 » ’ 4 in a ç -nëtesenim cubum,; a , 4 A 4 4 xtentabantipl’umadu ci , n f pp g4.444 «4.4:plumreddere.Cun y I a u * 4 4 1H 4 Î p .4 .4disitaqamultotem’ ’ 4 , a. ; . a . - 4 :À4LL4Wpore dubitantibus;Ëipp0trates Chius primus infpexityquodfi duabusvlineis 112i; . 4

. dis,quarum maior effet minons dupla, du; mediæpvroportionalçsiinuemiu-tituti 4tune duplare polie cubum i. quaredubium eiUs in nominusgdubium uflfumçfi. 4T empare aüt qtiodâ pôfi ferunt Delios, iuflbsiper oraculumi, duplam qu’a p dam aaram,in hancdiffitultatem incidilïe. implorantes autem eos qui imamat-191m. l i

’ nem erant in Atademia Geometras , piofiul-are, ut quæfitumrab eis" inuenïtètufi, 4 pCumiaüt illi-diligenterfibiipfis infii’terent ,-ë(«i*"cruraarentur,quo:paâo: duabus raiais datis diras medias proportionales infiitûerent,Archita Tarentiriusl feiturîe’asza v

er femicylindros inuenille Eüd0xus autem l ’er lineas quaezouruæappellantumfg;Ï ,ce: it autem Omnibus bis de cripfille dem] nfiratiuês- uerun-imnpgsfi-e, que;

inumërant,inànu CŒCÊÎCaÔC mâlîïîfilmdfislmêrfigâpïgælçiîquâ:inzbizeuitatefMenqtlga

’ 7 il ’ - * ’ ami: ’s

DE saunerait ET saumon-o." i Ur-ganiïôëhæc di’fFiculter. Excogitata autem eftâ nobis quædam indiumenti lirut’iuè;

ïra;f7acilis, par. quam inuenire poterimus none folum duabus datis mais duastfinediasmerium quodicunq;quisiulTerit.quo inuento, poterimuszuniuerfaliter fo-

A JidUm quodcunqg’datum æq uediflantibus lateribus contefitumjn cubum r’edu- 4cardant ex altera in alteram. figutamltransformarefic fimilem eifacere, 85-ip’l7um’ -

. Eaugîeïre retinendo fimilitudinem; quarre85 aras 85 templa poterimus,8( humide, la85-lfiCCorum imenfuras , puia medimnariî metrum inicubU’m teudcare,85perlatus dimeiiri uafa homm receptiua, capere poilint.Vtile autem 4

’ his fludenti’m - O

v

11611108

autemautem 85

uenttone non.dië’ci infirumenti tibi delta.

4 pfizDenturitaq; duaereâæ a c,d h inæquales: quibuslduas medias proportiônaa4 les inuenire oporteat.85 fiatuamus a; ad angulos reâos fuper aliqùar’n reôamiiputa eh z 85 fuper e h côflituantur tria parallelogramma dein’ceps a fif i,i h .85 du

’ tantur diametri in eisa 4f,l g,i h,quæ erunt æquediltantes. manente autem patati[diagrammomedio Fi,compellatur a ffupra medium,85i h infra,ueluti in lècunwdèffigura, donec punâaa .b;c d fiantin una linea reâa .85 ducatur per punâa’ a bqëgliiaeareâaguæ coincidat aî e h,eduâa ad k.Erit-itaqa- fi’cuta k ad k b,in.paraL

4 lelis a e,fb,,ita ek ad k fin parallelis autem a f hg , ficut f k ad kg.Sicutigitur a kadkb,itae k ad k fl85 k f ad f g. Rurfus’ quoniam b k ad k c in parallelis’ b fic g, fi.tut f g ad k grin parallelis aure b g,c’h, ficut g k ad k h;Sicutergo b kad k’ dira f kad k g,854gkadkh . Verum ficut fk ad k gj ita e kad kf. Igitur fieu: ekad k ira

4 4 fk ad g,485 k g ad k h3Verum’lîcut e k adkfg’itaaead b f.Sicutautem f ad kg,f ita’b-f ad C g, 85 cf g ad d h. Inuentæigitur funt’ duabus a é, d h 5 duæ mediæ bi; u

dg proportionales. ’ ’ a J 4 k 4 a » l a Ù ’ 4à 4 u’ 4 Hæc igitur in fuperficiebusl Geomettitis demonfirata finit . Vt autem 85 in-fimmento poiïimüs duas medias fumere,fabricetur[plinthus ligneus,uel ebur -

4 mastite!æreuleabenatresahanasæqualeSzôÇquàmleuiflimàs;quatummedia.«mima fit,4rel,iq1i14æ* diiaë pellipdifintl f ’** .4 magnitudinibus I85fègifiiri*ènfütàfioîèfi

. 4 fiibîuîsîomnësfibfipfiâéonfëfitiëtesffDëniôfiiaüoautem fimilitèrxperfilcietur .

3-: liiiëâïs’ïüefoeer’tiüë fiimremjasjr’arte intumbendumefl ,5 ut’ fabellarum on ; p

b 4: mina retîfiëaiàïturparallelæühon biantiage’t regularitefiijuitemæoap’tata.In anî j AEthemate aüièmle’firiniirumentuinereumgôé aptatainefl fiIb coronarn ipiîusic’o’liii” , a

ira-.4: .v q H ’ l I w i A * næ’

3434 avr-o en ïthlRC’I-IÀ” 1:13? sa 1:, 4næadnexumîplumbofub ipfo’ei’t de’monflratioecornpendiolius ciprefiafiôêfigu - p

4 ara; poifiip fum uero iuperfcriptio epigrammaJ-lçcautem tibi- (Eribmnurfut-hbbea x ase’a ficut inanathemate habenturt; Duarû aîîtfigurarum feefida .efijn columna v

-d*e.vifcripta: duabus redits datis,duast.medias proportionales in proportion coati!mua inUenire. Denturduæ a e,d h.condu4co itaqstabellas in organoj,done4c pûéhsa bac-d [intinrecfia una.intelliganturfic’ut l”ehabentæin fetunda44figura.:E&igifln’ "* v

4 afiçut a kvadsk b4,in.parallelis a e; b fiitae k ad k 5.51,1; ipfis uero afb gssita-Ekad kgj. 4 i- 34 itur’fi’cute’ k ad k vflita kfad kg. Siam autem-ille inter feyita acadebivfiê’ib fadrïcg. l 41

gimiliterautem o.fiendemus,quodîfitut f b’ad agita c grad dh a egbîlr; I 4logé! h funtproportionalesnxlgïtur duabus datisgduç mediæ inuentèeiuntâgiîëd .4fi datas nôïfintvaequalesipfisa Cid h,facientes illisÇproportionales bas a c,d h,hgtü v .

’ a fmvediïas fumenîus, 85 inducèmus ad illas; 85 fecerimus illud-quodimperatü :fiIiÏt-L.

r-Shiautem pluies medias iubeamuitlinuenire ,ubi tabellas côititue’rimusziriiniïüxfemento una plates, quâm fint mediæinueniendæ,idem confequemur,85 demon

flratio prorfus e11: eadem. I 4 A NMODVS NICOMEDIS IN LIBRO ; p a-delineis çancboidibus. a 4 i h

menti firuâuram ,quo eadem neceiTitas fuppletur: in.quouir iite uidetur4DEfcribit NiComedeslin lib.fibi-fuperl’cripto de Conchoidibusfialeminflux

fupra modum gloriari , muItumép inuentis .Eratofihenis irridere, ueluti- quæ4 fieri non poilint,necp imaginari,ae fimul Geomeqica doârina priuata fint. Hâc

uero partim quôd explete qua: cirCa hocproblema elaborata fun: 54 tradidit: par .4 4tim,uteius ad Eratoiihenem côparatio haberi poiiî’t,in’ter illa côfiripfimus; qua:

fic ferê clefcribitueraginari oportet regulas duas ad angulos reâos inuicem c6.

pafiasjta maman? ruperfiçiesàueluti en: à b,c d, 85in a b. . 7 aimantée; l

in quem 4 . percurrere pofi’it.inipfaueroglcld,ad partemd, ad reâam quædiuiditlantudinem eius,cylmdrulus configatutregulæ , 85 parum excedât fuperfiîciê if9? erï°ïem Katia?» 31m item Raglan: putaiæf pofibreùe qaoddamrïmer’mlhî

aditermmum f, mieÇiuram habentem, para g h, quæ poilît cylindrulodïinferto

’ ’ il 4 ’ I circuniW4

la! ï A Lauùu’ana-ga

«a ,i .

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un s r a AE n a "5 .c tu N n me; 43;, Il f: la ’ I A) ’ n I 1- A: t au , . l, ..3Ifircumucth.ad-1pfumeuero , quæ meumbatm axem confixum par.

vrurfentilinfolme àflî’all’ ex-iflente in regula a b’.ninfita’1’taq; regula Ve fper infeâurâ l ’

.g h,h: cylindrulo adffl’atuto, 8(per e 4 in axe confina) ipfi chelenariïo, fi qin’stomprèndem 1g extremum regulæ ipfam mduerit 1’13, partes a; deindç in partes

- .Ld,punéîum e mm in regula a b cdntinebitur . ac une g h ni kawa. moùebif; .. flaflas cylindrlulum d , [empan rafla regulæ e’ f media in motu intelleâa fècîîdüm’ ï e’fi ad cylindrum’dâü îpfâ ck fupefeminen’tia regulær femper manente

seadçfinÆi fiat]; intelliganàus ad kgtaphium quoddam attin’gïens pauimèntum;Il 4 dèfcribeî’ quædâ linea qualis efillm n,quâ Nicomedés appellat Conchilemprimâ

p,» amenât n.nteruallurh q’uidê eiusvlineæ efi e k; magnitudd regulæ, palus nèfle dg, v slz-Hacïtaq; lineancbntingitofiende’re eam perpetuô minus accederead a b regs

. ’ ’ ’làm., &quOd cmnigxèâa-intex rcgulam.ab, êÇipfam lineam recatiplàm lineam...

l A Primü q uid’em accidens facile comprçhenditur in altéra defcri , donc ,intelligem - , LÏdo regu; am a b polo. c,interuallo d e,linea’c’o’chfli f eh.procedât ab ipfo c duæ ch,

.Ëfiæqualîbus tridelice’t fiais his k h,l flDico uod f m petpendicularis miner efl:pétp’e-ndiculari h g. Cam enim àngulus m l c, jtmaiôr angulg m kgreh’quus relie

4 in duos-reéibsæuta angulus m l fireliquo m k h miner efi a Proptcrca (à an-

a” E

[ m 5*, - . ’murs. r .- 4l . I mîafim;gfintréâf,angflüsàd finàiore 31’1on adti admîmes... âciàafigu’iug

mfxÆÎacæquali’s mi . v oandinjpfakh,hoc’ efijpfalf adh’ëggçâdem habebitpj’oi»

"pandanemfluam x - fmæuare fl ad h:g,hahet minorâptopottienemflgâmÏ 4àdfimdqumihgmaiorheflî afin;

Txfifiv l i v :1 ’ v l ,A ’ ..e . V; ...;;- ,; v; . .: .. 4: .flm I u ln.» a.:3; ,-

J» ’ .. ..1Ç. .f n - ’r -- ç!

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I I flûtent fixitfifie’àfii feâam igÉètà È: &Îifieam ragea ’

à; ’ " V- I x4’ . . -. . P J

v a d id :5: Q EVJ’O-Clî in 1R embuai jà: . »fine" 8c hocquîçædficpatebitlpfà gnian duâ’a àut Çflëélüédifiâsgipfiçabâamlngfiï.

’ Eficîîqtiusææqueqmgs,pma fg 11:8(fiatficüt dg àdgï EJçàaüçàdâlwiaïm qùandâsiàu a

. ta k. æ cana c,interùallo,k,circumferéntia défaipta &éet’fgïjnlauiiâôfgôëgtmga’

tut c REG igitur fiâutdg ad gcgl’tal ad fauterai-n ficutïdfgaad e adk:lied èfl ad îpfaih E: flIgiË d défi ëqiîalisïîpfi l f, qued-défie nô pardi :gîëpjaxtçtegenim

fe’fÎë ad lineam A: üÇeAxgô’nôh fit ipfa dada æguedifians , (laçant; dpaf gæquèdifiansfl’sfià b,- tha f g. ipfa igitqr fig çoncupretçünflmearquargmq! "tô magis 1’15, a in n.Cü igitür hæfc infirgmentoTacddeqçia.çblliganpurgflmadpro:

; ppfitumütilitasitâdemçnfirabftur,’ ’ ’ Rürfigsd’àfi’gülo’addato,8lpullao extracdgcerecg,&faéetêvéaamçqùafehiîda a. d

" tæ. ducatur perfièndicularis a panade ad ipfam ab,’quæififë.hï;:& addatur, ’ IêteÇoîd hgqualis datam-8C poloaléfiïxtèruallo. h datai reguhùéfo dekrîbat-aê’ Î. . "

’ . w(d

f.X

V Conchdis Îinéâ prima e d Econcurriti

r rat in gal iufigatur cg. Igiturkgefl’æqualis du ..- «a, à. demôifîfitifid v’sgxdçntmgduægteéîæ c la! a; ?

. .falllelqî’gïljâüjffiùmga b c1,;&diuidatmàïürçàcpçlîîarüm madames. taquaptinâis;

’ d,c;ec iufiâa’ d l educatm , accôcurrât’ cum bidieçuâaingugagzgïçcfigM; ac b adlarlgtIIOS radios ipfa e fisc prodüçattir (piaf flquæ fit æquàlià 1’.de a (1,181 l’un

gatufxipfà’ fg,;ô( ci çquedifians gifla: :138: angülçs cimente ce qui fub k4: h a par! .&ofdatô,dedUCaçur ipfa f h’k’,faÇiens ipzfam h k adgk’ æqmlçæipfitf. Plot au, t a J

tem quq madofièçi.pomr,. ofienfirméfi pet linéam câçhilèmiôc ipfa k1 iqngatur, a z I 2’ 81 educ’àtuwt’èoncur’ràt’iisiîàhedüéîæih pïîâom; D’icô itàcp,,qüèél emmura

ad k c,itak’c1ad m mon a ad àLQuoriiamgnim b c diuidiçur in druoàejqüa put; - f ’ac e, 86 addittîlç si liéscôte’mum ergo (ab b 19kg; cum quadrato c é,æ"qüatùr-qufaj. w a

, drato ekî ,’ quadrato a f commuai adieâo, contentum fub .b k,kc, quïadjta» , ..* gris ç c , e f, floc" efi quadrette ç fiæqüatur quadrati; k c,c f hoc ejfi’ qefafigfràt6*k

Et quoniam ficutma ’ad adbsita m lad kLSLicçr: amen; m l ad k!j,itâhçàc»gjçk agi»;tur ficut m a ad a E51’tab cad c k.8(efia d dimidia ipîîùsabaëi çg :efindïuplaipfiüë

7’ b c. quoniam sa gipfi’u’s a d?Erifjgitürfiîütgtfi’â’ad’d à, ha g ciadaîkçï; Vamp fiait ; d

g c ad c k ,ita f h ad h. k.cum g gaz ch fintaâèqçîedifiantels . Igituxvèompdnenti fia ”car m d ad Id agita f k ad k h). sagpdfitafefiautjëmipfa d a .æquïaIiS [Un k,’ïçum . , -,fitæqualisipfidaclgiturîpfamfdæqualisèfiipfiflç.quarelqu;adratümdefiæejiïa 4

du, (4

gaur ipfî ag,pçtptædembnfi1;âitum,çëcufî « .

1 . A: L 1abiçqtesangùlumâièèâum,qui; lbus opofitéa’tcluasmcdi’as continue. jar101m111231321165’l’nueînûtæ86(315ml)leatulfpaèv ’ ’ a

dl

J

a . D E -sv P BARRA; 821’- 62er 1 N’D a a; I «(- a,IqquadratloszEfl autem’çontentum. fub b m, 84 m a,eam quidam daaèquak

quadrato md quadfatô. a A Ç V I a td l autem f k ofienfiirfn’éfllàè.

quai: effacon-Çténtùm rab. a ’ 3 ’ -ahk,kc,cumquadratd cf; * ’ l . .. I.-qd9;1iam qüadratumfâdx t a a dadiranuîrquadratojcfmî x a . . ’

’ ipfaad (uppbiî’ta èfiâzrquaj , a . a v ,. ’ld .klg’hsiuçfreïpficfglgitïüf quad. d 4 I ’

(au!) mmaaqüàturcona "Jentofiih 1219km Sicuter-vgambëdbksfitafkc adl ’ .

- m. Vera ficùtbm ,ad b k, a.dipaCIad c 1;.- Igi’ttir fient le

ad: kana çlé ad am. Bit au

.çemifiçütlcad çk,ita ma , . a. aadangimr ficuçlcadck, à. W 5 A l : Çàdiktackàdam-ÆCamadal, * ’’ qÇderat demonfirandîî. d f i. abfinal). igiturreâis dans, . - . " - -* ” . 1..duæmcdiæçontinuæprô. a d n ’ . fportiçnalésiîhuentæ ruât.

« . J.’l. mon.

m

z» . mm SÉCVNDvM FrHË’o un; V, m a a. T Campqnennjficüt ip fa d,b ad h gîta ta ad a ç s hoc efi qüàdr’atü éb,àd qua." a

a 4 î . * dratü h a. Sic’üt enim id rationalig dèfüiph’qtze’; quotiïain in triangülôfreéian

( gala ch 213113113qu reflô ad bàfem flafla èfibè tâti’pêdicùlaiiSsdiIÎinâi üianguliïad pçtpefidimlarë (un: inuicë (Miles, 8l totifiééirto fifiùt ca ad à b5 in b à ad a ç,

’ (b, ad b e, citrate ficut. q’uadra’tîi c a; ad quadratü à b5itaquâdfàttî Ë b’ éd "quadrige "

à . - çd I

0?. l»n, a.

fient âaùadratïît a,’ad qùàdi’âtû’b àfitàïfpfâ c5 ad ipïàin à ë,’ a énimpfltfia ad’tïéftl’aifi 5ita qùà’d’rïatumz Érimàé gËàdratufi feéùxfdàë. Sièütl et:

’ * di’c a adx a aira quadfàtççm’ç b ad qùaadra’çumfl’ë.’ adam aütëm ’râfiônè ôfie’ü’di

quad fiëütéâad êè,îfà..;quàdfàtüüi .âbiëïdëîiâdfàtüifib é-Ptôptçrifimflîfüdir

nëmaml’m t’r’ïâügùlorumlèfi rurfiussfisüt àzèâdë’Bsitâ bi ë, ad E ,é s hoc anima: qtfa’.

dratlttmlafsàd quadrâçum’ Ç’ hanap-(à âdç’âjdïgâfii cé.;Sicüf àütéiiiqiiadràtumac

ad quadgatum c b,fic" qüadfàîütri â Bsâdjqüadtatüm b e; ; lgiiürgficïgt à c ad cana- f

.: .«N. . . .- m. ! 1’ 55Lf....:.’»::,-Au;.a--Z 2.-, .. .746,- .ad quadrafum Car Pqfigaldejmçcps, matas ofiendere conu b kf,

.

a: ’ Baffe en in marcha; gym-su. 71”? ’ , Iæqîxalem êfiëp’dt’tiopifphgræ b afiexpdnens conü’ffigquiîbafïm habeat»

l (aperficiei porti’onl’saôC axltitudinë æqualem 61’ quæ ex Centre (phvaeræfdülrittciùüf

n efTe æ ualem fruflo f a b h folido, ficut ofienfuin fait in primo libro.Vérumd-féij-*endum efl:,1’n primo libre non effe’ ofien fum’tale fruflum eflë æqualelcoù-oitalitèrj finfiptofed illi qui effet com præhenfus âcom’ fupflfi’cie’fii (apnfièïe fphçricahi’lil

nore hæmifphærio,quod proprie in Diffinitfonib.uidébamrfiuflü fêlidum’vapîr’ Ipellare;Dix-it miszruflum autë folid umuoco,cum fphærâzcdonulsdfècetgqui han

A beatuerticem ad fphæræ centrumfiguramrcom præhmfim dàPfilr-pe’rficîecogjînq I’ tra conum. Figura enim nunc propofi’ta continetyrâ "tonka fupèrficièghàbeîlftîé -

uérticem ad centrùm fphæræ, 81 fphæn’ca fiiperficiefed non a compraahenfatus à cono. Qyodautem fic talis figùra fit æqualis (duo dhàbènn’ âbafiml æqualémfuperfi’cîei fphærièæ com pleâenu’ portiofiem, altitudihem me aqualeifi fei,ex centra fphætæfic depionflrabitur par ca quæ’in primu’ [flirôvloçfièrifa and; la?tellïgatur enim &orfum fphærafié facetur plane quodam mon pèr’æïætfdnj » , *Io circa diametrum b d,ce’ntrun’i fphæræ 21:85 intelli atùr cénusbafî’mfiabèiiscïîf x 4

adam circa diametrum b dmem’cem-pu’nâum a . ngponïatùritètn’çoniisîemmi? -bafisfit æquah’s fùperficx’ei fphæraê, altitudo ea quæ cxkfphæræ tenue! îgi-ïtdnüfif

’ ille efi æquah’s 1’ [phæræ . nam quadruplas efi com bâfein h abentis7x’fia7ximùùiî

in f ph æra circulum , a,hïtpdl’neïm ucrob’eandem ,a cuius quidèmlphæra-kfidfièftfaf

aïe quadruplaExponantur «item alij duo conf hi f g, querùmf baïèm’habca’tfîæâ-

qualem fupcrficiei portionis b3; d, altitudinem uero tarin quæ éxïtèrùro fphætàêë’g aéro bafem habeat æqualem fupçrficieiportionis b ; &alb’tüdidëm éar’id’êlë a l aGongs igi un: f eft acqûaîis’ früfi’o’ tüitîs u’ertex e17: a,&ffüpeffities fphærica quggg a - a

’ 4 fêcürid’um ’b.c Œblliam igiturvbafië è efi aqùàliëbafibùà-cbfiëfüfi if

ihzeademîaltitudïnmgitùrre COfiüS,h9Cefiipfà f hdæragtfl’éæqüalis’dcôfiis fg;Vçrü**échus foflehftvx-s: efi’ æquah’ç eïflë fifufto" ’,quo’d e Ë’cùndum b cd félidé, ife’ftiÏcïefiŒa

’ ,habe’nt’i-algilcürfeliquùs g conflsïæqualis cfiïrëh’çïlttæ’ bbttibnfib afémha’benti

- . .fie’tëfi-idiem quæ facundunfib h- dpartio’liemgaltïtûdiüèm (actes éamïjcfüaà’cxfcîe titré? ,

» l Deinde rurfus dixit , Aeqùalis efiigitur confis n , hoc efi frufium b h f d figura:b hfd.quon1’am enim addùâus cfi (omis n æquah’s èonto cùius bafi’s afin-imamscirca b fidiam etrulm ôÇalu’tudô h k: conusaute’m cuius ba’fi’s efitadèm, altitudg

uero e k,æqualx’s efl sono «5130,86 cpno habentibafim eandemgaltitüdinem perd. eh .Hab’ent enim fe ad.;’nu1’cï’em,-fiaiçi déqrum altitudiînes: ablato çô’mmüni coup,

ce qui Eafîm h abat eandem, altitudinem uero e h’, rauqua b h fk’figùra erftæqua)lis cane harem habenu’ ciyculuq) circa diametrum b dflaltitudintfnîautem hèk: ho;efl cône n,hoc 6H ba h fftufio. Inducës hac? ex collegfiïs cor . a ’ . ’ ’ .

. tolariü,perficit Theqre’ma--. Deinceps peralrelrâdèrfnôfira (a l3 É a ’ ’ 1 ï .’tionem côduciç extremâ pattern theorematis , hg; efiquod a K ’ ’ b5"

* b a f portio fphæræ efi æqualis «and b kf. a: probéede’nszdi; v a

citzaSicut ergo k h ad h c,1:ta h d ad dlc,8( tata k dadd’hsficur V vd h ad dc. Quom’â’ enim ficutk-h ad h C,l’tahwd ad d c: 86 par

mutatim ,ficut k h ad h ad’,1’ta h cad c d, 8l comdponentî . fi tut .k dad h, d,.italh,dya,cl iphœ efik. hast h ablîratxènimæficut k h, . a, la. x . , a L 1

adb; gamma d axait aucçgnh caqua f ,.:pfi’ W "a * aSicût exigé . éd. llïdàitaàelad ÇCÇySÂCùt et

rmm]:diad’acbutëntuïü’fiibkliÂbd:îcîdyadtàtt’iàâsàdcôcend , a z .

tâtiîéfiâb à a, à; (Initidfig’ant’uf 61,113.11 habituai pqfitæhæ kad; f T a; a.a ci: witafi’cùr kl? adb glaira à.e.*adeacu«.’Ditc;o;»g,üJcssî a? du; . .a n :1 * ’

quàdièatùiiïk d,a.d jcê’te’ntquubilçhm agita: Wagram Lad . ’ diad ,cômièntumfiæb mais Qllëiiîâïeiiim*èfivfiéütkîfi badaud» lui-itafafcad ÇC.& égmbpnèhtx’gficüi Ï: dad’db, iad-bail CE. grimé éÏ’è :qüardratùniêkà

I . . v A l 4 h J " . ad

DE aad-1ERE- ’E 1"ch LIN bio; .4 5L4,"ad*quadra’tu’uü Ali- d, ficufquadi’atüm’ a c, adiquadratum c a; Rurfus ’quoniafiagŒÎ

ficutk hadrh dçj’ltaae ad é c; Vërumficut-kh ad hvd,ita"conéentüm lfiJb k la, la dad

quadratum hdJumptah d altitùdl’ne’ communiLSicut autem d e ad e c,ita (butaitcum fub axe,e aad quadratum e Ç,fumptarurfus altitudine cômuni e c.ASlcut ergo

’ bontentum fabqkahgl] d, ad quadratum 1h d,fi’ckc’ontentum fub a c,c-1c; ad quadratü l

bacaOflén-fumrel’c antan 7 ficut qüadratumlh d,ad quadratum d k, fié quadratumand quadratum a ,cv:I.g1’tur ptr-æquamficut contentum «fub k h, h d’ad quadra. v

, k d, fic contentum fub aïe; e c ad quadratüm a c: ôé aconuerfo,qùod au:

-* demonflranduma r l . a v 4 I , ’ .1(Paf 4- IN TERTIVM THEORËMA; -æ :,Icut,àuteni (liai circuli ad I1’nuicem,ita quadratum a (Lad quadratum d b,bdŒ

Sgfiipfa a cadl’l’vpfam c b ; Sicüt enim in ipfa rationalis defcripu’dne , quoniâ in l

triangule» reflangulo ad b dada dt perpendicularis , ab anguld rafle d c me,’ diaproportlonalx’s , inter balîs 13mm trianguli ad perpedicularem inuicë fanaiêëtou’. lîmllesl.quare l-îcu).i b c ad c d,- 1’ta b d ad d a. igitur &Iearum quadfata . Venî a

,ficutkquadratumb a, ad quadratum c d, ita prima b C ad tertiam ca. SicutÎ ergo b a?adeasita quadratum b d ad quadrati? d aaPropoaio autem a c adc b efi data,qua ètagpuncîum c e17: datam . quoniam rapponitur fphæra , igiçur diametros 21’th a bdatai, &proportio a-c ad c b efi; data;Si magnitudo data in proportioîïë datam di-midalîurflltl’àjqæpartlum ell data.qùare 1’ pfa a c data,ô( adaty’mmam in communi

fcc’tione lineis polîtione datis,datum CR cpunëîum à, l Ia l [N leVARTVMv TEE o REMÀR "p , I , Il,. Àdë rationequafuprà ex apparatuficutld ad dkn’ta k 15 ad huât dq ad qbsË’ .

:.-’.. in præredenti enim colleë’câfuerat hoc modo :Qyom’â efîvlîcutlutraq; fimulçl

la. d,d q add q,ita r q ad’q b.86diu1’demi5lîcut k d ad-q d,1’ta r b ad b q : a: panama

mafia: kd,hoc.ell.k b ad blaira dqad q b.Rurfusl quoniam 2P: ficutl q ad ’q d,italutraqâfi’mulk b,b q ad q bsDx’uidenn’, 8C permutatimficut l dad dk; ita d q ad»

q b. Erat autem 8( ficut d qadq bain k bd ad b 1-;S1’cut ergo l d add k,ita d q ad q b,’ , 86 kb.ad b r . Totaigitur r l ad kl, ficut kl ad 1d .Sicut enim aliam ad unum , ira

antecedentia omnia fimul,ad fequenïtx’a fimul omnia. Sicut ergo r l ad l d, «aj dratmm r l ad quadratumfll k. Qyoniam enim 2P: ficutrl ad l k, ira kl adl d. I tu: .q igitüffprirrlaad tettiam,jta quadratum primæad (ecundæquadraHImEfi: 1’ gitur? .

fiant 1: l ad l d , in quadratum r l ad quadratum l k. Verum ficuqquadratumï l ad’»uadyatum l k, fra quadratum l kad quadratum l d. Saut enim propôrtionalesè,icut ergo r] ad 1 d,ita quadratuml k ad quadrâuîm l. d . ponatur b f aeqüalis’ipfi

» kb. Quod enim extra r cadçt”, mariifeflïi efi’ . ngnx’am ficut d q ad q b,ita k baals ql b r . Eït mît d q maiOr ipfa q b-.1’g1’f1’plàk b maior efiipfab r. igitùr’féxtrïa rè’adefé;

Quoniam autemproportiozdlad l q,ei’ipfi’us r1 ad l ql, 81 ipfi’qs rÏl adl d pro a.

l porno data. Ogonüm enim ficut utraq; [îmul k b, b q ad b’q, hardi: fqvadq b ,itadI lq adq d;.euerte’nti, ficu’qq f ad f bâta qll ad l d.Et éconLIerfoficùt bifrad gîta l dad

q ’* lq.*Proportîo autem b f ad fefl data ,. quoniam fpfa f blæqualisvefl ci quæ ex cëü-I) V tro fphæræ datæjp fa uero b qctewrml’nis eius b q datis,per fuppofifipnë fphgtïfa dl;l dira; plano par a ;c duâo;ôé ipfad .b ad angulos refloïs ipfi’ a c exiflëtéèData aman:

iddrco rota q 5,84 proportio q f ad f :b. data, quareôc proportio 4d l a adl-q dataxRAùËlkfldfiquoniam.ptopottio portionum’efi datam]: sont! a c,ad conum art c mage-.12»:(in data.quare 85,ptoportio,l qad q:r datalnamçiè habent inuicemfl-îcùt eorùmalaëcitadines, TotiuSergo rl ad lq proportiozlt data; ’Clqonfain’ igitur uhflül-Cfi battît.

a; 15-13. dsadl qefl proportio dataieritrladl drpropmtioidata. nam quæ habentïadniæ . -’v dem ,proportionem datam,h’abët quoquèïntetfe proponibpemdatam. (111011172igitur. 13’013ququ rl ad ;l q. coniungitur,ex proportione r l adl d,b; ldadl q. .quodquidèmxcôpofitio prdpordonügluzfiàçur, ("adapta medialdMelutîân Stcichifflî

v " l l a ’ l a a» a 97’.

nm

l

305g. .q t E V. T Q C I”! 3 ’ A à C: :Lj-hm. M. Il u ffüinebaturç’çonfiat, Quoniam aritJemindeartt’crîzlatÈQdeammçdo,85mm nagaïka

memem-expleat diâum d’ami dompræhendilpotefi his qui in Pappum &Theozï .mm 86 Archadl’uni incidentant; mandas compôfitidnibtfâ nonldémcnfinaduè’à;fed induâione hoediaum conmrudnt. Nallmîxjgirîxr’iüconuefiieærs, fi papal» *. vlulum in ratiOneuerlâti. hocipfum. manifefir’uà feeèrîmus. Dièdiigi ,quo’dlîëfu :z l

, mantur duoânumeiri,’ ne! duæma’gflitudin’es’; quibusîaliqufslmediùsîtejzmînuscô à;

filmatur , proportio prias fumprorüm hume-tordu: , uel: magnitudiqùm rom-æ: apodium ex propor’tione primi ad «mediqm ,. &medij ad terrifiai îpropdrîîone.Cë::memorandum rame prias,quom’odo’ proportio dicàtur ex proportionibuscoimrâzaponi.Sicut enim in libre Elemenmrumj :qüariddqüafitita’tes proportionunj infeip fait multiplièatç fadant quandam .quamitatémgqüâtitaitej uidelic’et d iâaJêcÏçg

dum-eïi numerü quo denoml’natur propomb data, urf dicunt alfriïêc Nitfonfagchus hi primode Mufica, 8K Héronas in Commando ùfflrrîthmèticàm’jmrdbî

* duaionem a Idem autemlel’ra,’ac fi diCatur.Ieodem nUmero multiplieato in ter "7 la?

num fequentem prop ordom’s producr’ antetedentem, ôê proprïezrnagis ln «plicibus (umerurqumtitasa In fuperparticularihus aütem ôCvfup’erpattt’en’tiibddË’

non iam quâritarem liiml datur, cuqîllîht imitas indidlfibilx’s . Quarevin’illfsfunftasl

en diuidjendaquanquâ hoc minime côueniat Arith mretic-æfedfrariocmatfiu æïôcvî Acomputatiuæ attribuatur.D1’uiditür’ autem finiras in partem,aurlpartes5ââquibwë

’ proportio denominabirur;quemadmodumfit 511C apertiusrdieatdr; *l’efqurîal;te*r;ae:quantitas ad unitatem addigunitatis dimidiumsôcfefquitertiærad uniraremïreïr-a -riam.Quare fleuri fuprà diâum el’r,çonl’cat proortionis quantitatem inlrermînüv A

feguentemmulriplicatâ produèereantecedentëzzNouem enim adire-mana: 4 7 l l" porno fafquialtCIGfiUI’Œ quadras cit uniras :81 dimidium, hæ’ç multiplicata’ïnfè q

. natrum,producitfnouènariüa486m alijs quoepïlicenhovc infiàr’oere;HisïgaùçemïçadeÎ "’

. L çlaratis,redeundum efi’ adïpropzolîrgm. .1 Sunro igitur duo daïæmùmeriîalbfùmà’ ’ ’ l

ffurlmediusintereoshc,olÏendëdum quod proportio- . * * l g 4 v a ï f ’ v lba, ad beomponitùrex proportion’e a ad c,86p’ropor l l d ’’ (ionelcadb .,Su’ma’tur enim quantifias aad carquæfi’lz’ï 4m à

, dsôcel’u’s qua: elle ad b fit e; igitur c multiplicans d;

vproducit a:.etipfeb multiplicansieprodudtc,zipllèîüe , I . a.. rodmuln’plicanse producatvf.D1’c”otquod fefiquïaxr u r ...... , m - v. a

drag proportionisaad bac! eflf’rnüldplicanszb prolan, il. 1 fi ’Îl dudt’ana’m bmultipliéans flfaciat g. moniamigïiâr . . a. s a . .. r; r L ’ l

turb muldplitansf facitg1 86 multiplicansè prbduân 4 v a ç 2 ’ a; " l ”cit à: erit ficutfïad e,1’tag ad C.’R,urfus qUor’rîîdsmult; l- r . t: à - v 4 a

Beau; daci]: êt-multiplicans clfacit a::’*er17tlîèurae à. "

ad gîta f ad a. Igiryrpermutafimàficm ead filtrai bard l Vactât eçOI’iuerfo-ficmlfade, ira aadïo..Verumafitutfa., - v’ v -aide oflenfumell elfe, ira g ad çzlgitul’ficutïgâidîfgïfiàf Ï .1: f. ï r r .

a.adlc.quarefiaefiaèquale lipfi’. gaVerum? b mrrlarfsplie à l ’

cans-frproddcit gg’igx’turïb mùltiplioans-fproïduciça. 1 . I v a a a a A.- qùare eritfquâtiras proportionisaad szË efl;ïlîprbdüâus e- ’ 1d id ajmultïpl . lhoc’ elt et quanrirare proportionis aad chl’mqiîrîàmïiraremafirdlpôrfionîs rcïadf. " a

l turpropoftio a ad b compon’itur ex.proportione’aadlc; &eârip’ropoîrtiovfi’esqar 15.5.-

1 " , ngderat demonflrandum.. ’I autem»,exenàjplo;quoèp boeïgqüojdfdlidiîxmefifianmanifefium,inCidatinterduodënïrrfitâé’bljlnüfrnedius qxuaïteïrfixusaîDicOitaqa; l q a

qIIQdîduodeçim ad duo proportiozefl .éonàïpéfira exllpropqrtidnggduodecim A a;quatuor,ô( quatuor adduofld; el’rproportio-îfe’igrtupla compônicurex tripla,-.duoïè; a a l

" deçim ad quattJo: , 8! dupla quatuoradiduo I enim qualifiâtes prop’ortïço’fi " È a

4H13;

" muicemlmultipqic’emdsgïhoc efiltrîal’ncduofiefitïfeiriquiaefi’qua’htîtasduddè Q ; v dg

«W ’ n .v f . fi; * ..l ;

& l j z

DE SPHL-A-ERK ETMCYLINDRO. 4’31* ad duo proportionis quæ efl fextupla, qued prbpôfi’tünjn fixera: déclarare. Si autëg qui inèidit mon fuerit maior minore , æminor maidrê , fed àùtètônuerfo,aut ma. ionaùt’minor utroqa, 8C hoc mode prædiâa tômpéfi’tïé confiqüémr; Npm’ inter

nouemôC-lèx cadat medius duodecimfltrôq; illorütü maior.Dicoi’g1’tür qued ex" sfubÎëfquitertiaquæ eflanouem ad dup’de’cl’m proportiOnè , 85è): dupla quæ efi

dugdadm ad fèx,çomponitur (ëfqùîalteræqüç èflnèuedm ad féx.QùaliEitàs’ (enim

l . quæ efi nouem , ad duodecim ’ëfi trçs qüattæ , hoc efi dimidium a; quarta. Qüâ’., fimauçem-quæ efirduofdedrjfi ad feX,èfi binaflu’s; Si’igitUr multiplicaüefimüs bi .

a .naviuqi-indimidiùm séqüartam», fit-îîliit’aë 8C dimidiüm s quæ-qüantitaë éfi rail a

d quialtcrçpropqrtiqniàgüam habénf fiôüém ad (èx.Sl’militer autem fi ihtet noué d «t 84 ("e-x quatuormediù’s incidat,’ex dupla fefqüiqùartà 86 fubfefqm’altefa édmponi

tut fafquialtera, Rürfits enim qüàhfltàtem duplæ fèfq ùiqüarîtæ’, quand ùOuem,’

(and quatuormultiplicemus,in quantitatem fablèTqüiàltë’ræfluæ ’eIÏ duæ tertiæ’,86a . habebimus ünüm 86 dimidium,quo’d efi quantifia fèfqüiàlteræ,ùtdi&Um efi. ôÊ *

- Emiliterin ômnibusteadçm râtidaccommodatur .; Côü a. ,fiatautém ëxadiâis5qüôd fiduôrüm-hùniérorum datorü » Ï

authàagnitudipürfi nénfire’rittmus medius ,fed plates "Ta tetmjfii fumafitut, èxtremorum propqgçfio compo a

mita: eX’omüiüm intétmëdmrum proportionibus , «inti»pienddâ’ primo,ôc procédendo ad ultimum , fècundum.

I ondinem fe feqùéhtiùm. DÜObUS enim terminis a b inci 4. dantplures-üno CdDîcôQüod prôportx’o-a ad b côponi’

’mnaexp’r’pîplo’flîôfie à ad ëôé c ad d,ôC d ad b . Quoniam 22--

a . mm a adb êéï’npôflitùt à ad d,ôcd ad-bguti diâum dl!a d füprîâàôÇa ad d camponitur ex aad gageai! ngl’tur aad

a b5; répartit) com-panifiât ëx-ea quæ dt a ad c; aad d,d ad . î a ’a . Egimilitef aütèmôéînfèliquis oflendetur. H p d ’ w J . ... v 4 képi m raftiôtiali dixit: Vert": fieu: r1 ad ld-ofiëî’um-efi", . 4. ’ * d b

jtàgfleqüàdtaçüm b d ad quadratü d ngniam enim v dV minium eflïsficüt r lad 1 d,ita quadratum’lk ad-quadràtum l d. Sicutàutem qu’a;

L aratühj l k ad quadratum d [fic qüadratüm. bd ad quadratum b q;0îflénfum efÉêfiîflîifiéutk l ad l d,’1’ta bdad d q,.ptqptèrc0mpofitionem; Igl’turficùtfl ad l dira

V quadratum b d adquadt-atum d q; Fiat; autem ficut rLad l q,1’t’a b fad f h,ararnq;punûum h cecidarït , quomodôc’ünq; quidemfi pofituma figqüàniur’nj ad confia

l macadam demonfttptionis A nullum affeflratiani impedir’n’éfifum, Qüôdauteni. ilquemadmôdum’fijkdefcriptione fitponatun (èmpe’rcadefiüte’rb r;’fi’c’ défiai-a;

amQuoniam éfiim fieu: l k ad d k;hoc cit-ad k’b ,jta k1: rad-r. b. Sieur aga mimiad mana omniaad-Omniazficutar l ad r k,1’ta k b â’d. f b .- Maio’tem’ autem, prépa;

f ’ tim-lem habet f1 ad nqaquâm r lad r h igitur. laraâd-rq’maiorein: habet pfopôrtïôà

nemgquâm k" b ad hr,hoc;efi f b ad b r.- lineam f! ad l q,minôrem Baba ptôpôf 7*aa’onemfiuâm hf’ad fr.Si enim fere’rimüâ fictif? l adl qsitab f ad qüahdam aliam

a maiorem f «r,manifefi3îinde efiâqücsdf hxfianfoféûjpfârh b; QUOniâe’fiim ôfi’efi: d

il fixmefificluçl dad dk,ita d q,».adlqzb,ôc;k bad bifiEfi’àüt’em d q maior ipfa tfbjgiîtim-d maior.- efiïpfa dlksôC. kl: ipiâî lm ciliaire-86’ I d ïpra bchTota igitur! q Œâigf

défiipfa q r.:quareôC lifmax’ogipfi h b; I L , . 7Al.;,w’Reliqùumr igifiuf éfl,ficüt’qü2idr’atüm b d,- qüddefl datam? ,- àd’qtfadratuni

3;: K dgqàjtaf q ad Eh]: Quoniam enim portioni bf ad f h ôfieüfijzm fifi eandem pas»;partionem compëüie’xprépçrfiëù-ê quadrati b d ad qüadfatüfii d (1’58! fpfiüs’ b Ë Ç ,

j adfngadem-fiçtô a quæ ëfi’b fadfh citât Coûîpôfjtïaèxfimpôttïdné b’f ad f q; d

aséidexqfadfh;Cçmpôfitaigiturlex,prçpomcsné qtfadfaüib aad qüadfafütfidrq; ,A aéçxbfadfqg-efigadempxaporcianiæqmpafitæ ex»b.fadfq,&ex.qfadfh.Siigi

* - ’ a, I I .b tuf

Ni

d

:337, - a v r. a; 11;: N. A11 141.13.92; 1.1.tut communcm inambabus ptèportionem b. f ad. f q auferamus, reliquaquadxàâu’ b dad quadxatum dq proportioeademkfiei quæ efi q f ad fh.8Ç«efli datüad Ediui’dere panda q,8C facere ficut’q-f ad datam, hoc efiad f ksi-1c, datumghoc cflqgïadræ l

, mm b d adçuadratum d q . Ho: autem .fic fimplicite’r-diâummabet détermina ’-d rionem,adh1’bitislqu’æ ifiichabentur problen’àa’u’s :th efijpfaiagxd b duplamgefiïs!

ipfi’us b..f,8(.1’pfam b f mai orcm cire 1’ pfa f h uQuâtùm autem ad refdlutignemmê

a habet!determinationemfilefijproblçma talez. : d ’ r v , , . a ’ . , ’, 1 af . Duabus recîîx’sdau’s d b,bfgôlipfà d b ’dupla’ipfius b fiât punâç ha-fumzptom’n ’ -

d bqfdiuidere ipfam d b’ p’unâo (1584 facere fiC’utÂquadl-atum d ba ad quadnamm d qg rI M ira-(if ad f h.»Vt;r’aq; enimhæicinfine refoluèntur, a: çomponentur .111 fineaquidë j"

a antedic’ium polliçebaturfe’Qflenfinfiü, in munis autem fctiptis hoc-promiÆflÎumIam- ’uem’fi prCfiZ. Nihil etiam inucnimus Dionyfqd’orü, ne qyl’dpiamquidem bof: ’. d

, attigflîe, uetùmputarç fieri non-pofiè, ut in.limmaafïumptum. Lperueniaçljigtïatqæ b a

iddrco alteram tqtius-problematis uiîamjhgreffum effe, quam deinceps tonka, lbemus;DfocIes quidem a; ipfeinlibrç de Pin’js contredît) ab ipfospélliciçumzfiïzïfi Q)

fe exifiirflnansd Archimedem nonsfeciflè pollicitatiohësôé-ipfe perfièere aggrefiilæ a -a tfi:,ôC eius epicherima deincçps dèfcçibémusQnam’ 8C ipfum ïnullum ha’beçadigafii , "

.fumptâ’ rationèm.Similiterautem cumin Dionyfodorogui aliaxdemonfjlîraatione: L atonifiait problema ». In quodam utiq; uctufic libre. mon enim. à maman. abfiia a ÏnuimUS inquifitfone) incidimùs in ce remata fcrI’pta,quæ quidem ex pltefmapi ,tibus obfëun’tate nuagnafitçnebanturzin figuration: errera multipliçi Çbn’fiiÊüPÇaà l

quæfitorum quidem habebant fuppofitionemr,ain parte autemvgrata.m.Aërchimïc-adl linguam dérîcam fèruabant, 84 confueti’sgArçheè rerum no*minibug’era1açinag I

fcripta;ubi.parabolc feâio renflanguli conf] nb’mînata. efl:,ôÇ hyperbolq afèâ’idçm’

ni ambligonij , (ta ut et 1’ pfisjnte’lligatungtNon igitur ipfiaufum’t, aqyïqudæ inafipfc" ’ J

momifia funt,defcr1’bi [il prpïfeCutulsg.’Vndc fludjofius inflm-bzmesjpfum, ’ ’

dem radanalêptifcriptum fait,profiterberroruminultitudinem, utfuptâdiëëunæ 1 ,a fait,difiicflë inuenientesgpfam ferê mentent denudanîtes-jc’ommunius; ôégapettgfa ’

as quantum Haï parai; diôî95confcripfim,u’s. Vniuerfîaliçerautem prima T1329;rama fcn’b eturgutquodadeeqdiâü efiïldeclarel’f cirtadifiïnitl’gnevs, .î Deindeîëéhis;

.quælin problemate tél’QIuta funt,accommodabuntur-’; a l a , . ’ 1 a . . 1;; f . QV. , Radia dama bdt’erqaltgta à, 6,85 (pétais ad5pr9ponatut; in ab fumenduàIpugg; , ’Ï

aum,puta gita- ut fiç ficuta c ada gîta dfpacdiumad ad quadratumcb. Faéîumgsfit,ls fi a;V v 84-910mm; a .Çipfiabadangulgs raflas, &iunâacsespmducaïjmfl et:,duca,t»liïg;pgifr-

gæquïcldiflans ipfi’labjpfa cvg,Î.8é perb ducatur æquçd.ifianèoi[àîfi.a c ffifàxfihg, Î’ÂÏ V

Ï ’vŒËïÏCnSÇUW .utraqu: harumçç,’ c g, camplbeaturg h Qparallegtag’tagmm-u a aBar ç duçaturk a! ,æquediflans utËI’ujsÎharü t mg E; fifi fitccalnt’mcùmfüb;

muai?- ip’fi d,c Œoniamigiturficuæ a’aaagiiradzad qüadratum am , , a 1; a: a:

Â b” lca ad a gîta cg adgf. Sicutautcmc g advg’fjtà-quadratümqgsadconténmcig,gçf,fgitgr fiat: quadratçrm Çagadcofitcntùm [ab c g; fiai a; ad; quàdra , V 21 a -qb,’h9çî’e&adquadratumk-f.ôcpermutatim:ficufiquadratümcdgaddæhbdefixgâfi Ë

contençum fub Ç g,g m’itaïcontentum fub ç’ggg: iad quadtacümafquadratüc gad CQntenÇlÎa-[uhzc g,g m,ita cgaîdagmalgitur 121d: gant, Î;

, (entant fia!) c g,g f ad ’qklaçl’tatûî fakyenxm fieùtcg’ad. gin, ïpfawfâàfumpp 7 a4-ni altitddx’ne,ita çonçe’ntïi rus ç g, g f, ad c’ontemüïfuhmfggg: fâ.Sîi’cïut;1’giïîlc’çm

v , ac g,g f ad contentü fubzm g,,g fit? mmzmürfub cgàgf ad V Madratumëkagia. r 1par quadtaçlîf f k,çfi,æquale.CQntenté Tubî mg,» gf. Si.igitrqrgçircaaxCÊiiî3fg defcrjbàs ’

turëarabolcperîgaiëa atdufiægæquedïfiantes’iplficapofiîm-Tee idumrgmsi" "a a faibll’tlper khôlerit.pçfitioncdata,;çùmgmfiç’datamagnitudineg., jæcumgç

tïa comme: datam d Jgiçur pugdîum aptatutçpo fîtx’one,datæpâxabolæ.üèfcr a.

baturigimr addifigmsfi, 5461.10, ficuu’ gk..:ngniamrurfüsfpacitpmfla -

. ’ a "’7 a . ’. au:l.

. ’ 13939111511143: Cil-«111413km; , aussi,au fpaddcb :d hoc dt cambium füb h k, kl 5 mutante" fuba b,b g. Si pet bis-.11;-ca immanentes bas h c,c’g’. défiribamr hyperboles trahfi’bit par ka’éx’vconuerfoadm-xi thçoîrelmatië librj (ecün’dx’ Elemento’rutr’i «merum Apôllôfiij :’ 86 étitppofi» ,.

tichedatafilim’ütracy ha’rû , b . è ,hÎcgcgfitdataahïph’üs qùia ’ a r I î

.dem,ôcbpofitïo’nedatüefia a" Defiribatur ut diâümdefl, 4 ’

flafla fiat: bk.I ifkaptarwrhyperbalçpo m’one daa V

, fgltetïiaaptatum efiparabç. .. .l lat, pofitiône datæ . igiturk’d

. I datam éfisôièfipe’rpeqdl’cü . . l V , alaraisaabîpfoakeaddatam po] ’ ’ . 4 L . a n 1 a .’fitîôfie ab .Igitur e datam, d I a - 2 ; 4-Quafliami’gitur fiçutea ad ’ - w a r - -.datarùipfamagitaddatum , Alad qji’adratumd ch .Düçl’lî d . a ï. j a "1’": dîgîtü’f folidorum,quovrübaa à a - a’fës’ bæ,quadratiîe baæ d:al-, a V .

, * çiqüdifies’uerohæeamqtnü a l îé g a . » r a I - - n a 7.’ ËËIÏapropom’one habenïbaà ’ ,. V ï ’ - rÈËïËumaltitudinfbus sqüàâ , c i ’ ’

bx

- W

èëlfdlfda æquah’a flint; Igitürathadratçî e b fiipe’r fpfàm é a,efi æqüaÎe’ d’d’a’to (upéï

A ipfam c a s Vèrüfn quadratum b e,fùpèr ipfàm e 231°: maximum omnium fimilia:(et fumptorum in ipfa b a .Iquandojgfabkéfl dupla ïlàfi é a,üti fdemonfirabitur’;Oportét’ igitut datam fuper datam non mains elfe quadrato ’b é ruper ipfairi ê ad Compënetur, autem fic . Efio data rafla a 15,85 alia itçtfi data a C; a: pradüm dal I

mm d; a omis” fît fècaré ipfam a b airain fieu: ana-pars habeat ad datam a gîta da. d â’d ilüad’raturn Tell’qüæ parfis.- Sûmamr ipfiïIs da b tarda pars a e41»- *

gitùr dÀfupër’ipfam a C ,a’üt maïas CF: quadrato b,c fupet ipfama e a, aùtae’qüaie CL.

aurininüè éqSiqu’idém igitür maïas-emndfi bômpon’etm’, 1mn tefolütiône ô-

fiëfifiÏfiÎ’ËfialSÏ amerri æq uale punâùm é,.éfHCl’et problema . nath ubilfoîidia füfif’

g’qù ïa;b”afes altitudinibüs habenî munîætôt erit fient e a ad a agita dad quadra

iambes àùtem mimis and (apera c,qüadr’ato bè;fupér’ ca . comportant , I568[aaüîàsy’tatuatug a c adangulos macs ad ipfam’ a bgôz ducaturper c æquediflans"gifla bïpfafc: g; Et pet b’ducatùr bfæquedifiâns ipfi a’c.educaî;’ ad g,8,("côm[5Îeïaa Ï

aaçgwaarauçlcgtammüm f h,8( pair ë dücatürk cl; æquèdifiaùs ipfi fg’.Q110n’iîâfii,A’

fifi; dfüper-f Tania cminus éfi’qlfadfàtdéb rapiat ipfam e aiefl’t ficùte a ad a é, .Â frac! lad-minus. guidp’iam qu’adfàtç" e b1,- hoëe’flvquadfatë g k. Efid igitürficüté à

a la fige ivitt-gdâdquadxatum g m , êüpfi’ld fitâe’qüaiêzcdntentùfiifubcfifri; (lité. . *

fiiam-igftuf fiéüf é a ad a gîta d;h0’è efi contefitülîfi Pub çflffi ad qüadrâtùm gît-fifi:

a Vçrum mage; ada , .itacfad fg; Sicut- autem cf ad f g, 5 ita quadraum’i cf au]: ’a éëntexitünflübic f,f”g’.- Ergôquadratum c flac! cdm’ëfitâm rab cr fifg,ica candi?

gaîtîâiïfub fn adéquadramm giflât-été? çrmïtâfinin ficüt qüadratum c f ad défi, -.

- fub cf, ffi,?l’ta’ cdfitêlgtümïfüb ,c g,fg,ïa quad-main g maVérù’üî fi’ëüt’ qua

a ; dÎfaèum cf ad Ïcôylitèfifu’m’ [ab-cf, fa”, ifæëfiadzfn a Sîc’utâate’tfi c f ad En 5 fgïcdin .6 I

nîùïâizaltitudiüeafqfià’pta .15 ira cantenmmafubcafifg, ad; Coqfeji’tüfii. fûts a f, fg; I a

g îi’gihr c’ôfitëntü’riî rab 5c f,- fgs ad côntémüfn (ab fifi: f-g’îïita béâtentam

A [que f5 If g ad qüadratrum m g; .lgmrr qùadramm gin æqüatüf cémenté rua;afin.- Siigitüfrlpér f circa axem fg defcr’ibamùsï parabëlam’, fra ütdùlaæ po"?

iritiuxta; ipfam fü-tranfibicper m ,adefcgipta (je a," a? éfioï pina in" sa; . EfQüofli

n. a La . Batv a A. a

.34. * .1 E-vfr o du 151.511 R c H; 113.4 l, - a ’ d .amh l æqùafur ipfi a’fiboc efi: contentum fub hl: , k l , tontçnto fiiba bi, bnf:fi"péïp7b circa incéinddenges h c, c fdefcripfirünus hikperbole’mfipfa .tranfibit pet k, parconuçrfi’Onémloâaui thédrematis’fecundi aEl’emelntOrum ConicOrüm Apdlpniî; H

Defm’batur, Bi cfiodputa b k fe-- d d " d ’ a Ï ’ - d a " 3’ -, cans parabolem punâo 13,85 ab

Àl’pfo x dgcatur x o p perpendicullan’sad a b, 86 par x’ ducatur æ-

a - - quedif’câs ipfîa b,ipfar a: C que.

° nia (mg; bx k eûhjzperbple , 85V ip fc h c,c f incoïncidentessôc du

’ fiat æquedifiaptes r x , xp’ïpfi’s -v

a abrb f: contentant fub rx 15?chæquale carento fub a b,b’f.qua- Ataro afi- æquale Q f. Si igif abaipaf0; iungatur ad s. radia, tranfi’bitpar o ; perueùerit , 85 6&0 c o L.

’ Qyoniam’igitur ficut 0’ a ad a i c,

ita o b ad b fihoc en c f àdf-f. Sircutautcm cf ad ff, ita f n (ému-ni altitudine fumpta contentum

fubcfgfn,adcéntentumfitbff, A ’- w ïa a ,1fn;Igiturficutoaadac,itaconi d V b ’ ; a’ w 7315 ’ l ltçnuim [ubçfifnadcbnten-tuïn a ;. . j . " . .’fabffiæfn.l.S:cd’tomentumfub - z Â I , r 4«afinCfixæqluale’.’fpîci9d,54-65: . » .’ n d à x hi" 7 .a y». ,..tçntoïfuh;(Lfnçæqùaturquae , a ( d Ï 2j 77’755»diatufmzfx,ïholc6flvquadratum . ; î d Ala..o.,pr’o,.pter:parabolam.V: igi’tÎ . .3 ’ - A V: ,r. a .

d p aad ac, ita fpacx’um d ad quadratum b a .Suùïiptühj CR igitùrpynâîxmd ,vt qüèi

anoblemaïperfiçitpr. m ’ .l .. à l 4 , ’ W , f 4 -. l.Ç (la, d aure-2m "pût b ë exifiëte duplal’pfi’usjae,’ quadratumb a fuper ipfam çà

maximîî fi t omniüfimiliü fumptor’ü fapcr ipfam b a? hoc paéîo demonanabal’tgr; .

I Efiggnim fi’cutïn refôlutionc’rurfus rafla data ad angulos rçâosjp fa acigfia la, ,* a; iumfia c,c:eduçatun, à co’ncufratlineæ æquedl’fi’anti duâæ, perbipfi a CÉÛÏPIÏI

a 62,9. fiôç par punâa c, f ducanturhfic ggæquediflâtes 1’ pfiaa b :ôçprçducatdtcaad. 11,5: baie düçatutçæqueîdiflans k e l pèfpunâurngôé fiatficut e aad a c, itaîcdn’â . ’ N

Àtçntum fub c g, g mac! quadratum ç b. Igitun quadratum «cab fuper jpfanà ç ami; aagggale contente fub c g, g m fuperïpfam .a pigenqgodduorum folidorum ballé-s: ;altimdinibus munie) afiïdütur a; Dico igiturs content-am [ab cg,gîm limer ipfam

t acAmaXimü elfe, omnium fi’mflium fuper man; b a [umptOrüÎ’. Defiriabaçur.per,g,c1’rca axem f g ,parab 01e. ,d ira ütddijréîæ pbŒnt-iuxtaipfam g m,ipfa tranfibifi

par k5ficut in refqlutx’oneIaofignfu-m efi,ô( ipfà Açduâa Concurrçt ipfighgæqufianti d ’amctro feflioniskx üigefimofeptimqthçoremate pfimifh’b ’ Apollopii k ,Î

- Elçme’ntorü conicioriî, Ed-ucaturitacpfic donagrnattjndpunâbïîsgipèf’b C d *ççiacidentesàhas n ’c,c g defen b’atur hyperb de; quæ trâfij a icpèzr k); [-1911 Lingefçlgy f . ,3

dalle diâumkefl. Parueneu’t igituf,’puta b k, ,86 ipfi’ fgïproduéïæ: panaçür gagea, -

qualis, 86 iungaçur x k, 86 prénatal-in o. Cônfiat igiturgqggdgëçmggtpaxabéa Êç

lame-X. canuerfione trigefimi quattfiheptefæfis primflibri Elçmçmxarum (par; a1cammApellonfiiwquqniam badaplaèflipfiüs aadfiç enimaïupgpçofîpumrqfia: 11:99 ’

’efiipfilkfipfius k haôçltgiangulus Q 11k fimilis”ef;tttriangulôxÂkLêéipfa a;ù mît flaflas. k’O’sÔC efiipfîxkduplaip flask ptqùia Épfax fdyplaipfi’gs Kg.- à:

a. , 2.... .À ., ., , fig[v

h 7 ,fub (133th fuper ipfam fa,e&

a gazera]:,Imelligarurigicursc

’ f0. fiib q g,g m propret para a

v n sa as panas ne; ET erra-1:14! D a; a», - a- ,53Pag fifi. æqaediftans ipfi’ k f, igitùr d k dt æqyalx’s ipfi kp. Igitur okp rengageas"hyperbolemsôé çom’unâa 8C céllibrata’ cum incarneideriribus,id duo æqùa’ diuia;

dicùrappliçarur igiturrfpfi hyperbole: 5 pervconuerfi’düê ferti)’ théorématr’s dlŒc’ufiË

dilibri Élémentor’um conicd ’ Î,(fi Appdllonii. Applicabatttrautem ôüpfi parabolæ fecuridam. idem k7 . .Igr’tùr’ parabola

appuëatu’r ipfi’ hjiperbôlæ in .

hypérbole préduâa,puta ad(,82 .(umaturin ab quodlr’bet.pçinâum f, 86 ducatur per f .afy æqucdifiarlsüipfi’ k l,jèpücumt Cam hyperbole ’îdpüâoknôê ducatur per v: ip , ’Ta: 7’ q ’æ’qgedgfrans ipfi’ cg";-

[arëptïer hyperbolen igitur vîijltèincidîe’res , erit zy æquale l a

Îpfilèbiablatocrïédmmuni, a y g f1&2[æqualefgiôddciréo re-- . "fia abgl’pfo c ad q, prôduâa. la d .lpermeabit perf; permearit,ôé. p Ilfitjpüracf q : ôtquôr’riam qua] ’ Ïdrarum u q efl æquale conte?! . I l

hélai : qüadratum t q minuseftwcontento rabe-1 gag-m. Fiatëgïttir qtçadratp t q, æquale c6.

rfiIb c gal, Quom’âefificüt s a ad a c , ira cgaad g’qïltem ficut dg ad g papi ’

’ (à g w cômum’ altitudine um-

’pta, ira côtentü [ab c g,g a) ad

cônentum fub q g,g mzôcad enquale illi quadratùm qït, hoc

. efijpfius b f. Côtentum ergd

æqùale contente fub cg; glu" afùpefipfam ca.Côtentum ue x

d 1m fub cg,ng fuper ipfam c a,

T

r" Iap p « boni garât cunfhyperbole in. R. (Grimm: enim er’ proprerîeaî; q

aaîfaesiuaæmp

(minus eff-çpntentonfub c g, g m fuper ipfàm à a , Quadâuùi. igitur b’ nuper?[am f a, minùs CR quadrato b e fuper ipfam ea’. Sinir’liter’ auféüi’ôfiefidefirr’ï rima, .

mnibus punais fumptis inter punâa,e,a.Verum fum atür inférpûfiëra ë b’Aggrpë çDiÇQJ qqqdëêhoemçsdo quadrati-î b de fuper iplam’ e’ a,iîiaiüë en quad»; .

gâbsïuper ipfirms-aLEifdem enim’præparatx’sidücarrir per s" ipfa à aqùçidmaa a

qfièdifianseflïlgco’ââidéfiæôc ipfar b d’ùÇïaae’lÏqrïëdifiané ipfi ab’îp’er; r’; cqcürrafi

p . U o 81 quo’niârurfirsfirqpret’hfiiperbëlemjpfüfirde hefijgdale’jpfi a-g,rçâa ab 1’pr aad b faudra permeabif per sePermearr’tjt fifi para.

,propter parobpljenz qriadratüd a b æqùatur’ éôtefitô Tub 5bgagent quadratqgar ’b mur-rageantean g agira 4 Frarcontentum [abà; - d î ’ " a’ ’ ’Ee f 2 g’w’,

mmr-fvms;z gap r-1 à ’ - v * l

;

gare: , givre du :41 b1 Il; C’H. J]. in, "a. g:æcjda’lê Quadra’dtd rÎlb,’Qg;orriâï "igirürefl’ limité a adIa c,ditac g’ad

êüté’gîad g’p,ïçacommuniigaaltitudirre fumpta , contenrum fixb icg,gîÆ à» adroita t’e’ùïfùt’ù ÏLtb b’g; * a) ,lhoc efi’a’d qiïadratùm rLbshÔC efiadgquadrafûvb girirrïCjuïë .

Ï dratrtm b s Ïuper ipfam s a,æquatur contente fub dg,g à: fuper ipfarh c a,8( c’en:tentum fub-c g, g m mains contente fub c g,g au, Igitür qçadratumj b e friper camains efl qüadratô b s fuper s a. Si militer autem ofiendet’ur in minibus pirfiâiëinter e b purifia fumpris. Ofienfum efl autem 5C iri omnibrIsi fümptis riflera giflaiin omnibus fumptis inter e b. Omnium igitur in îpfaa b" fimiËteriunipÏrçSrùjîimaximum effquadratum b claper ip (am e a, qu’a’ndo ipÏa b e dupla’fitjpfiuks; e a;

Cognofcered aür efi opus,8( ea quæ fequuntur feçunduni diâam’defcriptioanem . Quoniam enim oflenfum fait quadratum b (fuple’rïfa, &quëdratiiiri b àfixper s a,minuà elfe quadrato b e fuper ea,fi’eri pacifia: fpa’èiô dato,quçodfi’t (in

er datam minus Iguadratca b e fuper è’a; per duo diüifa 11313 a hgprbblerùaEn exryprincipio. oc autem fier,fi’ int’eIlexerimus circa d’iarjtjerrufrp ’qgj’dëfcriptâfparabolam,ita ut deduâ’æ pofliïlifiaxra ipfiim’ in Iran: eniiiigpar’abblaî mari: à; r ’

confia’t qued fecat hyperbolen in alia punëîo’ fuperiorjkè iperpendicularis dutï’ra ab ipfod r ad ipfam a bgiùt’i ififërs’Ï’ej’cfaÏgpunâd d

ira ut puncîum s faciat problema , rôt fiat cipadratunè bis fripera afqüale quad-ragto b s fuper s a ueluti eëi prædiâi’s’ demon’ rationibùs parer ÏQÎyaj’rè çü’ duoprr’r’r.

da poffint in ip’fa b afifumi’quibus’ perfice’rerur quad-fifi; iftfümülibueri’rèui’cp

accipere,a1,1’t punâùm inter e b,aut quodîîr inter e-aïpSI’qiii I’Ïeiiirriqiibdiijter’

e b,ut diâum efigparabola deferipta per purifia g fifi druôb n pynâisfçça teperbolen , id qUod prOpinqui’rrs fueritrpfiff g , hoc” ëfifâiii parâbçlaë ,Linüenïer’ïdv

qued ePc intere b:1reluti d’un innenifs. id qued rebiôt’iudêfifihireiiir idïqüq.

interea,uelutiifiicipfumtinuenitipfum-fi u î i”) z "

mnino per nô; quoniam neèeITariô ipfam inicidir igèîi aéqüËdifiâr’ëin diadietrô:

Vniuerfaliter quidem igitur fic refolqtum efi ,autem 8C uerbis Archimedis .accommbdetur , intelligatgr! UtZÏfi deteripjirrar’idefciiptione diarfiefros fphæræ ifta d b , 86 qùæ ex centroifia Ï’bffi &idaratfïh; DE;fcendirnus igitur in hoc, dixit ,’Secareipfàmd f feeundrir’ii qu’hdçïppaflo’ ,ùÊljfi’iÊ

cutqfad datam,itadatulmad l ’ i’ . . a "* iquadratùqu.Hocautemfimi . ’ î V Î:pliciterdic’rum;habet determi- - d ’ ’ " ’v a a ’ * H

’.nationem.. Si enim datam fix- . I À .per datam mains fuerit quadra- ato d b fuper b f,runc fieri nô parrefl problema,uti oflenfqm fefi. . - . » a ,- A

’SiÎautem æquale puq’âum bfa î V - Il?

debat problema , 8C hoc modo d ". nih,.11,Pert,l’n-Fh3tad Arrfip’medig

PÜÉSÏPÎÉÎÈÏPPOÜÏÎOHCŒL aSpliæxiïeîniüïhèçmodo bondi a” .

üidierëtürgdiù,lPrbpo’rtionem.dal .. . F , 1’ a" ,.ram.Simpli itéreiïim diam-h. bebacdetermiùationem. Addirisautemï-mf’sfprôzf

ËÎËmaribtrSifliçiekiflentibusgfçilicer dupla-d ipfamgbipîfiüàjbdf ” p (si;fard b f maibï’ërid’eîfïe i pfa’ Emma habet amph’üs’d’eter’minationenj tamiquadfi’

d dàçurh’,fùper F hïdaramqriînus efiiqyàd’rarozd’b f a b mais???défrjpiâfh.quodCümieffet,’o&endimus tuncpbfië problema; . i e’ttmc profiléA fiïrëLÂniir’raduerteiidum efi aideur, hæc abp’Pirchïi’r’nedéd &âïfuht,narehisfqüzënos refolui’rùus*.*Primum quid.1em*pofi (tram refo üfiq’nêùniu’elrfi’aIirën’dïi: quédific’iditproférerasdiiiit;Opdrtëtüatamdf&éarèàâz’fareêeficüffiï ;

un ’ l , l Ù h p i au - p p a 3.. l a. u Q à . d 4

t y 1 . a a .d l. l ’ a J1’ - d 44O , . ".vt’ëmîp f . . ki . i . v p mva i . . . h. îl 1 i * J 4

a j itixtal’agt, qtrær 1’.

«a? AV’AW * la " ru v: .

d qualaqaadrato a huDez .

WW’VWY faqev. 2-7-2? .

p DE "spi: Al; R1 réf 6? Liant. 6.85 ’ .. 4451.7ad daiahrhjta datam ad quadratu d q . Deinde dicens tanquam aniaerlalitérdi;diam habeat determinationem : adieâis autem problématibas ab eo inaentisl,hocnel’tzipfam d b duplam elfe iplîus b f,86 iplam b f maiorem ipfa fli,non.ampli’.a: habet determinationem magis particularë . Refur’m’t problema,86 dlcit, quod-efl tale problema hoczDaabus mais datis his db,b .f,86 ipfa d b dupla ip’fius b f,&punâo in b fipfo’h,fecare iplàm d b püâo q,non iam ficat prias ipfam d f diacèfls’Jédd b.- Gport’ere diuidi , propret id qued nos faprâ demonf’trauim’us , quad

. yrâîf’einfpiciebat duo panait fampta elle in d f,qa’æ facerent problemazanam- quie"m inter d bgaltetam aero inter b fgqaoram quad efi inter d b ad propofitiônem

a: pfincipiqpertinebat’; .. a ’ * d . a A:5- .I-Iæcigitar iconfentaneauerbis Archimediëæprdat pôtuiniüæap’ertê delèriplî-

hâlas . anniam autem, urprçdiâü efi, Dionyfodoras nulle paârà defcn’ptis id* ab Archimede prænanciatis incidens : adnixas autem ad inaeni’enda , quaè

. flûta expolj’ra efiènt,aliam aiam-irîgreflîts tafias prablematisæorifctipfit haad’in .

digamma inaeqtionis modam neceillatiam: quem exifiimaai cportere iflis tonne «aère Edelùer,qaaritam pomimasmam 86ipfer1itnia hominum negligentia ma»Ëfiam edembrilisratioaam pattern mûltitudifie erratum deletam habens,- in amuï .fiasqaibwnosincidimasiqiptisferebatür:a I l .a ’ rubanai-S DIONYSÔD’ÔRÏAE .

Atam fph earam-plane ira retâte, ut partîmes eius hâbêarit imam propor-l onem datam. l data fphæra , alias diametros a b 5 86 proportio data

A qtgamîhabeatc d add aaOport’etigitur fphçram plana ereâë ad ipfam a b ferare,fia ut partiotuiasu’er’tex aï,adp0rtionem cuius uertex b,babeat preporfionem ,qaamlhabet cd ad d e. prodacatarb a in 15,86 ponatar a fdimidia ipfias a b. 86 qui

fies-ad ipfamâa la, 86 fut a

maint: media lamperÊiënlalias ifiaramaïfia g:igitarah’maiorïe-fisipfia ’

a g,86 cirça axem f b petf * dîefféribatar parabole; a ’ i

Rama; dedaûæ’ pollinti

-prbp6rci9nem dg-habetad d eghabeat eam faad- a g, 86 fit ipfaa g ad angulos re.

bit pet h,’qaoniam.conatenturnZfi;b . f a,a g en: ç-

ËtiBàËitanî-,Ôéfit para f .1 ’ -Elilij861perébdaca’t’ kb a r * ’ ræquedifitan’sipfi’anhÆÇ ’ ’

Ïecet parabel-am püâo a v

. pergtircazincdinci FI afientes bas fb,Bk’:defcri a, f abatar hyperbole; que]: v .diuidet parabdlefin interfilât lëcet in? paùflot’l, 86

du; rat ab laperpendicalaris ad ab ipfa 1:11:8sz purifia g; l ldacantüflplîa bac;,qae’difiantes g ml x. niam igitur ipfag la efi hyperbole, 86 incointidentes meÏa’bab’ 16,54 æqaedi r tes ipfis’ a g,g n,iflæ m1,! x,er-it’ contenu"! fubfag,g n æqaaleg’

muretin m la x;exofiaaü theoremate librifecandi Elemelntoram’conico’Appflôn’ii’lNeram ipâg n ell- æqaalis. iplî a b , 8*6iplal à ipfi Q Conf

15e la fabS

igitarfablm,amabgelïæqaaiecamentewfabgaçarb.thaia contentartrï a .

35; a E’VTOCILIN- ancra Lasagne»- [ab extremiszæqaatar contento (ab manqua or reâæ prOporti’on-ales .6 a»- Eric igitur ficatqaadratam lm ad quadratü g a, a quadratam-a b ad quadràtangrjl bm.El; quoniam propret parabolen quadratam l macquait" contente (ab fin,ia g . erit ergo ficut f m ad m Lita m l ad a g.Sicaterg.o.prima ad tertiam,ita quadra a ï’tam primé ad quadratam fecandæ , 86 quadratam ficandæ ad qaadratam ter;

x tiæ.Sicat ergo f m ad a g,ita quadratam l m adçqaagdratumg a. Mer-am fient qua-5’ dramml m ad quadratam a ggita ofienfam efi quadratam a b. ad .qaadra’tü b m9.,

Igitat ficat quadratum a b ad quadratani b 4m,ita fin ad 21g; Veiunirficur quadra;tama- b ad quadratam b m, ira circulascaias quæ ex çentro efiçqualisîipfi; a baal-dtcirculam cuius quæ ex centre el’ç æqaalis iplî b m . ,86 fica’tncircailirs quætentro efi’ çqualis i pli a b, ad cirtalam cui as qaærèxçelntro ,efi æqualisiipfib, ;itafm ad a g . Conas ergo bafèmhabens circalam cuius quæ ex centroiefi; æqaalis

a iplî a b,altitadinem uero iplî.a.-g,’æ,q galisve’fi cÔthàbenti 3b aièrîn acinealamæcuiaa

quæ ex centre æqualis ei’t ipfi’b- in,a Iitadinematreroiiplî f in a Namnconiaquorambaies contrario altitudinibfas-afficiiîtar, faut æqualesç VemmÇQÈHShabmlsbfiâxfem circalunicaias quæ ex cent-r9 .âcqualis e17: ipfi-aila; :alçirado autem v ipfifa gagçonambafim habentem eandem , altitudinÇm-ipzfam- a g, fehabet 71km faad,a g,hoc el’t c d ad e d.anniam’ enimlbafèfsi-eafdemhabent; ad inuieam (ébat-hé lbunt ficat altitudineseorurn, (Bonus igitur bal-imzliabgns circulam, cuius qaæ excentro arquah’s el’t ipliab,altitudinem:üeaoæqaâlzmsipfil ’fzagadzebüumzhiabeïïtgjê

harem circulam, cuius-quæ excentre, :æquatufiip’lî?bimii,;altitadilï ueroçipfiiiigEm, relit fieu: ce ad. e de Vera-m? tonus habens baniÎem,;c;r;ulamanimique: exscesn;tro æqaalis elÏ a b, altitudinem iaerosiplîam: fagelt’aiqaalis- fphæ’ræ: :86;’cena a

fim habens circalam cuius .qaægx:acentroiefieæqaalis ïpfi hm isaltïitudi *fm.,efl: aeqaalis portionifphaeræqaias: aertex efi’bêal’titado-aeirqb tian-Æ. gceps ’oflendetarigitarfphera habet ad diffa portidnem,êamvptdEIOÆdbnëgqixam’ habet: e ad e d. 86 diaidenti portio . cuius aertex efl a, altitadosaateïmuarml,flammé?utionemgcaius uertex efi: b,.altitudo ae-ro b m, eam habet propbnridmemëquamad d e ..Planam igitur perdaâam pet ipfam l m ereâanièad; aïbèfeçatiiîphaaram ’11

,proportionem datam:qaod erat faciendam.’ - in 5 N- il: g au; ;j au: , if ’ . ;.a Quod autem clonas bafem habens circalum,Caias quæ excentraiefi æquajidi

’ iplî b m,altitadinem uero i pfam’f m ,æqaat-ar, portioni fpïliærâç cuiüs’ùertexbretv . altitado m h,hoc paâo demôflrabitur. Fiaeenim ficut Emadm agita oirflnadmçha ’

i Igitar conas bafem habens eandem .cam portiofié,altitadiném lieroiipfam Q m; .la æqu’atar portioni. Et quoniam ficatfm ad in amati m ad b;..permtiiatimajtvfia..

car fm ad m o,ita a mad m b; Verum ficat a ni ad in bsita qu’adtataœpgmadqaaî idratam m b: 86 ira circulas calas quæ ex centre efi æqaalis. ipfizpm,,adrçircalü cala,ius qaæex centro efi æqaalis ipl-î m b. . Sicat igitur tiréaltistaiusiâluâe’zex tétra) e11L * I

æqaalis p m, ad cirèùlam caiasqa-èe ex tentro ei’t aeqaalis iplîbenîsitaçmnfad a:

Sic igitur conas bafem habens ciréalam , cuius quæ ex cëtrBIægual-isgcfiipfi mimé.- altitudinemaero ipfam in f , æqaarur donc habenti baiîmcircalamgtaiasgqaâ v,ex centro eflpæqaalis ipfi’ p me , altitudinem aerô iplam niao. hâlai bavfèfsçeobumialà . .p

titadinibas contrarie afficiantur. quare 86 portioni efiæquall’Sa ’ I 4 a) 5’ I

H A a V ’ M.o DV si Dl oc-Lis. r3.- La , ïS Cribit autem 86 Diodes in libro de .Pirijs,priniam, hafeddficêâa Œddïpfiæ Î da ra 86 cylindto Archirriedesdemohfirâaitfi qîadd omnis fpbiæræpiaraioxæqaaâa

tu: cono bafein habenti eandem Cam portimidaltitadinemiaerbrrggflam qaandgî; a lk habentem proportionem ad.perpendicalarern daâà’m’à aerriéëèipalJîËaSLportidn-ïm l

ad bafem,qaâ atracp firnal ea quæ-ex centre; 86 élirai: .p’ênrmutatini’ilmalœtar, adapterario-nem per’pendicalariss ad perpendiculare’tïn prepnfiatatægport’iofiisin figfphæma n , ’

fita-b c,86feeetarplanoqaodam circalzoîdrèaxdianietçamcç dicëîtÏlfiltthî &edianic’ . i

x

m v4

:1 W. r "a

.3l

(

515.8211453;’scrrbçthINrnaor î 33-39 -fiioab,e3:ifiçnte centrq e: ôtfècerimus ficu’ti uçraq; fimul e a ,f a ad fa, ita g f ad f b» k

Item fieu; utçaquç fimul e b,b f ad beI’ta h f ad f aï. Oflenfum efl portionem cbd’ fpbæræfiçqçalçm alfa cenggiius lbafisfi quidemflcirzculüs circa diametrum c d con a

Ï ’ a .Ïfitutüs,aîtîfudo am ipfa f g. Et ’pô’tüôhénîê a dèequalem efi’e (and babfé’nti aie

a dem balëm,altitud1’nemuero a h f. . ’ I V , a, . » ’ ’ .vPropofito itaqa fibi hoc , datam f phæram piano acare; ïta ut portions fphæra: a

Làd’jmüicem habeafnt proportionem datam-,côfirùens èa quæ funt diâa, ait: Pro;’ pŒoïgitŒ data ef’c conf bafis,.cu1’us cit çirculuà circa diamefrüm c d, altitudo. ùe

typât fhsad cenum cuius bafi’sefl adam-altitude bard 1’ pfa f g. Ereni’m hoë dei-"l L monflratum CR: coni , qui in cademdbafèçonfiftunt adihuicet’n fg habem fiait;

. eorum gltg’tudin’es z igitur proportio, h f ad fg data: ô: quiaLefi [leur h f ad f alia u.

- gang fignul e fad f b : diuidëtiflcuf h a ad af.,1’ta e b ad f b.Eadem mimé. ficutg b: ad fb,11ta ipfa cadém radia ad ipfam fa. Fac’hî efi igitur prbblema tale:R’e&aab pqfitifiode data, a; duobuspunâx’s a b (datis,ôd data e b, (acare ipfam a b ’pfiâo

t ’l laçadijcere. bas h a,h g, ira utportio h fad fg fitda’ta. Item firuth a ad à fi’ita da!a a radia ad îpfarrj b.8jcut autem g b.adb f,1’ta ipfadata rèéîaad ipfam f a.Hbc au

a - deinceps cit demonfiratum. Archimedes enim longius hoc ofiendens ,ôificI alterum problema abigit, qued nô démonfirat in libre de fphæra 8C c ,ll’ndro.

à a à. a, Kafka ab .ppfiçidne data,ôl dudbus punais a b daçis,8( prôpom’one flua ha.ban jpfa caad (pl-am d, "diufdereipfàma bpîîâo 6586 adijcere él’ has f a,g.b,ita in fit dfiçdtLÇ ad (Lita fg ad egfltem fit ficut fa ad a agita quçdaîn rafla data ad bbezôë ficut hadbebïta gadem rafla data ad e a faâtim fit. çt ipfi a b ad angulds («les addâagin, ha lé,l b m,&.ipfirçâæ data: ponatur 110an æqüalis a«k,b maôé iùnfiæ hæ k6,

ï èm.èdùéantur ad thudgatùr autem 8C km,ô( dqcatUr pèrl 17151211 n æqUedifiansipfi. abbé; pçr agaçant a e 9 plæquedifians 11de n k. Q110m’am iggtùr cf: ficutfa

ad agita ad b eghgc animfupponitur.ficut,aute1fim bad b esitah a ad a egprq a; Èçefi Emilitudinemçrianguwrü Sicut ergo f aad a a; ira h a ad a e; Igitut fa dt a?

a .7 qualis ipfî h a;eadam ratidne 84 b g ipfi .b l . thu’oniam ’ePç ficut utraqa, fimul h age, ad utrâq; rima! bæb e,1’ta utracpfimülk ai a. csad utramçp fimulal b, b è.: unau,au; çnim gardai prbpertiçnum adm-i e17: ci quç ’efi ac ad e b a Çantehtüm ÎgÎïtm

f2 Iùb intact; fini-luth a,va aï fub qççaqa fimul lb gabsæquatur- contente fub timiqueFut k a,’a :481 arrarq; fimul.m,b;b e. [Ponaiùr ipfi. kî a æ qualis harünucr’a a r,» b f.

a a gniam igitur fifraquïelfimulb a,a e";æqual-is flafla ipfi fa : utraqssautemf, filmai lb; A1,6 in: (plis ipfi e ôt’utraq; fimulk a,a.è æqtialis" ipfi ne : â utraqa Gain! m h , ba .

. èqüa. .is"jpfi1,;fe.,Et dfienfttnjçfiiÇQQtexîtum [LI-b atraqsfimul h a,a a; 86 utraquè fiay V fiiullbgb ’é,eflë æqualècontentç fub utraqg fimulkaia e, 81 utraq; fi’mul m? b, ba;-

.Çomer3tùlmfligitqr (ab fçgg æquawïrzcgmïamqfub r 6,56 s z Proptçx: hé; quandd A

. æ * * - r v ’ à 4 r Gaz:

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A tut-i fibeædmh’sip’faeo, sa

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. 4°; .5; varan axa-V1511 "aux e Man me .1

. 1 . ’ 4-1 a I 5- . L. Il un. d a ’a r caditînte’ra flanc fexterius npfo- g cadet,8( acoueIfaaQuonxam ngçuhfieuè c(Lita fa ade g.Sicut autem e ad .é gara conteqt’um (i113 fe,e-g adaguadratdmïe I .Sicut ergo c ad d ,ita con [entant fub;f:e,ç gad quadragume g.Comen;tumèamen3e - a

’ fub fe,e g oflenfum cit cire æ, V - x - .quale fub r c,c s . EH: igitur (î a

tu: c ad d , ita contentum fubr me s ad quadratum e g. Pana

a [un a b b educamr utrinque, ’85 à punais Etkdüëîâe ad angu. -

loi: réacs hâlé; fr, r y ronfleur, -rafi’t 21’ fifi pîîâis. y t. Œôniam ’ a ’ a d

igiîur pérb datüm, ad pofitio.a ne datam à b duâaefit y, faci.

’b ans angulum .datü’hüncï ab o a

dimidium reâf,ipfa tyï eritpo. ne; fitionédata;Etâdaçisùrfpofir . N; H. tiqnejhæ’fyâfduaæfientaiprimis dt IgiturôC parfilât;

tic-ne; ècgmagmtüdiüé . êtqüa [ôtopter Gmüitüdîne’m rriangulôrzüm e 0b, fait: .

çfl , ficuçt bad b mita [b ad b e18! tôçponemi; fiait: crad o" b,itïa’fe adfèb,:Yerü-’fii, ,,fiçut b0 ad no,y;itabbj’e, ad e r. Igituraper. æquam fitüttô ad a y’,ïita’f e adtfæVèWflf

aficgt, to ad Q y.:, 86k ad è r,- tîtamnœntdmfitb fôdy ;ad thad’ratüùibïjrï Saunas . a.tem f: ad Cf, 4’:an Contentum’ fub figer. ad qtiadfatümr de r ISÎÉÎÎË ’cïrgq coutçnmm

v afub gap yanad quadi’atüm o ygita’éohçentum (ab è fi état! quadîatum ç Fagaçonœntqmi fub t me)!” ad qùadratum o y aira communia [au rac t’adîqüïaa A

:.dtatum eraEt permutatimgficut momentum [ab t 0,0 yiad conifèïiitiüm fgbïfejgç’xt; a a

" ira quadratum o 31,24 qu adratuin ehQua’drlatUt-h autem a Quadràce en quandoqüidem ô! quadratum o b daplun’i ad quad-fatum ab-d’eï’Ïgitur cdfià’

tamtam fub t o,oy,duplum tûlçontenæ fuïb éfaeàrÆémmfm’h autem" Pub fcg’èîz *

- ,oflenfum CR habere ad quadratQm e gcam brépprtiôfiëfia,’ quam-habetipfaîçë ad J iipfamËIEç quadratum; e gæquaturdquadratorx 0;.Ïiiamdüç’rac’p dg ,"x ôëfiàqdalî’s’ i

ùtriqa fanal-1 b,b e. Igimrçonçefngtum (ab. t o, odybabètadguadraâum- ’25 crama; I

pprtijonem5quam habet duplajipfiùs ciad ilpfam d .Prbporfiôauteïmf dÊurplæÎ igfiusyand 1’ planai d data eflj. Iginurcont’enti’fubt 0,0 y5adquadratum axaopropôi’tïô d’ail

tav.ïSi igitçnffecen’mus ficut’d adsduplamx’pfiusacjta ad aliamqüiëîcïl’amàpm’atti ’ ï

d .81 Circaipfirù tïy defcribamus ellipfimï,rid’efië fè’âl’dfl’ê conf acufiâgülîisi’talütd’e’dü a

étain angng fub. x o b ,th èfl infidimidx’o réai-136mm caqua ïüâtau dèfit’i’è’üï «

n’agfi’mili contente, fab’lt y, 86 u tran-fîbit parxpâtonuerfionemduïgëfimiphèëfiëa a

, matisaprfmi’libïi Elenfientorû’ cônicorum. Apolldnij.deûribatuîflâ î ’ j,Punâun’u’gl’tur x applicatur ellip»fipodfitioneida7tæ.Et quoniam’ipfafglëdeflfïdfâaza 2*

goniaus ipfi’ué n, m,parallelogrammum erit contëntum fiib’iiwxafiïagqualeficôfiçën’a

to fub a b,b m; Si igitur per’b circa intointidieïntes lias h kb,b]; m dèfchpfçrihïüs-"Hy: ’ .

ïdataquareïetipfàtyvdatagpôa I " . a a a t - . g çi

a ’Perb01mfipfatranfibit per’x;ôferirëpèfiîçivone qaç’asquiab pùnâumpôfiüënéda

iam efl.ô( art-rag; harum a b,b m.Etîquiahænhk m incoincidèntësïdèfçfîptè (nm;.ôUefioputa x b.x’gitur punâum x aptatuü hypèrbOIaè pofirioné dàîtlàëüAptlâbatuf.

. amerri &dcllipfi’ pofitjone datæ . Igivùr punflùm xdattIm 5 Sclpèg? diculàrfs a5 - ’fpfo geigl’tur e datum.Ec quoniam 2R fitûtmïb ad B é,ita, fa ad’avegôt à e da" ’ A

igitur a datav,ôl eadem rationeipfaïg-b-data: a " d d’1 ” ’ " * ’ l v 5 W lm

Çapmfioniçuç autem hocmodeicutenim-inéadènïdèfiriptiongefiôdatafi’ ,

fla g

. n . .. I . (4 a JÙ

A ’ :1 r b I . 1.

. l 153:3 73.111115 in Pair te au. 114’an . « i541gal-a b;quàm oporfeat diùidefreget altera data ark: prôportÎO’ dafavfit’c id diducatur I

il ipf-î a b ad angulos radios ipfà b mgæqualisipfi alk:86iiungatur k m’,86 ponatur a;tran ara, b s æqualis ipfik a.à pttnâisirfduçanwr adangùlo’ç reâos ’hæ r"y,ft.l Et

ad pané-iam b conflituatur dimidium reâi anguli fub a b o , 86 eduâa b o in u-trâq; parrëgdiuîdat ipfas (t, r yspunâis ty:86 fiat fient d ad duplà’ipfi’us c, ira t y ad

. (pfam u, 86 circa t y defcribaî ellipfîs", ira ut eduëïæ in dimidio reâi pofiî’nt ea quæ

’ adiaceant ipfi u déficientia fiinili cémente fubt y, 86 u. Et pet b circa incoincidentes bas a b,k m defcribzitur hyperbole b x , ficanaellipfim in x:86 ducatur ab x petpandicularis x e ad ipfam a b, 86 educatur in p, 86 pet x ducatur æquediflans ipfi

i a b ipfal xn,86 educantur k a,m b ad l,h:86 ipfa meiunë’ia , educarur 86 concur-ratipfi’ k n in h . Qupniam igiturb un hyperbole, 86 inçginçiderrreshæ h k,k-m,contenaum fub ni x, x p æquarùr contente fub a b,b mëperoâauum theorema fe.candi libri Eleme’rirorum conicorum Apollonij . Idcirco i pfa k e lreâa efi.PonaËiraq; afæqualis ipfi’ h a, 86 ipfa b gipfil b.Quoniâ igif ait ficut dupla ipfi’us cad ip[am d,ira ipfa-u ad t y.SiCut autem ipfa u ad t y,ita contenrum Tub t o , o y ad qua.dratum x o, pet uigefimum th-ebrema primi libri Elemenrorü conicorum A polionij .Et ideo fleur dupla ipfius q ad ipfam d,ita côtenrü fub t 0,0 y,ad quadratü x o .Et quoniam ePr fleur tb ad b o,iËa f b ad b et 86 tomponentiflcut r o ad 0b, ira fead e b. Verum fient b o ad o:y,ita b e ad er.Per ætham igitur,ficut t o ad o,y,ira f e -

n laide r. Sieur ergo chantèrirum’fiib toge yad quadratumr o y, ira cô’nte’nrum’fub Q, .

’netad qiradratum ne r:86.permutatim,ficur contenttim fub to,o y ad cohrenrû fubfies: raidira quadra-mm o y ad quadratum e r; Verum quadrarum o y ad qdadraruinilerduplum elPt , quia 86 quadratum b o ad quadratt’Im b e.nam b e æqualis ef’t’ipfi32.0qu uterq; angulorum ad b 86 o efl dimidium reGi . Igirur’côtenrum (ab to,go ydupelum effmntento fub [6,6 r. quoniam igitur ofienfum efl,’ ficut dupla ip-

t fins; ad ipfarfi d,ita contentum fub t 6,0 y, ad quadratum à: o ’, 86 anteced’enriurhdimidia; Sieur ergo c ad d,ita cbfiÎeùtü fub r ,e,e f; ad quadrarïî’x 6,86 ad q’uadratîî

Ï ggg,c,um x0 æqualis fit i pfi e g5 quia utraq; earam efl-æqualis urriq; fimiull b, b de.Quoniam igitur ei’t fleur utraq; lima! h a, a e,ad utramq; fimulm b;be:ficxutraqa r’fimul k a,a e,”ad utramq; fimul l b; b e, Vtraqa enim earam, proportionUm efi éaædem-proportioni a e ad e b.Contenrum igitur fub urraqgfimulh a,"a f, 86 attaque

z ul l- b,b e æquarur contente fub litt-ad; fimul k a, a e, 86 urracp, fimul m b,b. e;Vietum utriq; fimul h a, a e æqual’is efl ipfa fe: 86 utriq; fi’muH b,b a æqualis ef’t ipfifiegaxrricp fimul k aga e æqualis èfi ipfà r e: utricp fimul ’m’bÏ, b e æqualis ait ipfa’

e fiContentu’m igitur fub fe, e g æquatùr contente fub r e, e s -. Verum fient "c. add",ita contenrum Tub rie, e s ad quadratüm e g a Et fichr cad d, ira Contentumlfubfe,e g,ad quadr’atgm e g. Verum fient ’conrenrum :fub f e, e g ad quadratum ’e g.haie ad e g, 86 idée ficut c ad d, ira f e ad e g. Et quoniam eftfi’cut. m b lad b agira

a h a ad a c,86 h a æquatur ipfi’ fa. Sieur ergo m b.ad b e,ita’f a ad a e. eadem ratione

V au, hi ’

’ fleuri; a a’d a e,ita g ad b e.Reâa igitur data ipfa ab, 86 altera itë’ data k a’,86 pré,»

partione a ad d, fumptum efi in ipfa a b quoddam punâum,puta a, 86 adieâæ rar &æ hæ fa,g b:86 faëia efl: fe’ad e gin data-proportione. Item ficut data m b ad b e; vira f a ad a e.Siéut amerri ip’fa k a data ad ae,ita g b ad b e; qued fueratfaèiendum.

i 7 ’ r ’ . His igitur ira demonfiratiæpotefidata fphæra fecari in pr’oportibnem datam,I * hoçmodog, Bite enim datæ fph’æræ’ diametros fa b’ , proportio autem quam c-t ’ pas fit partes fphæræ inter fehaberer; fitcad d, ieenrrum fphæræ fit c : æ fumarur

in ab punâum f, 86 iadij. riantur g a,hibgiraxutficur c ad d,ita fitg f adf bLItem ut fitficu’tg aad afiitae b data adb f, ut autemh b ad b fiita eadem’data ea ad af. Hoc

Maritem quo paâo fieri poflît,priuë der.nibriflrat"u1n”eitf 86 peripfurhfdücatùr kf l .L V j adiangulosîreâqs ipfi a’b,86per klplanum perduétuni reredi’um ad ipfain a b fg»” a I rdetpiPIàTfiîfpbæraËi-..,Qico iraqa,’eas fpbççræ.perrianfshab’exeinuiœm’(impartis, ’

* i

a: ’ air-roui INiI’AIÇCrH’.’Lr-Bz.-IIÂ .. j .mm quæ efi c ad d.qùom’am enimelî’t fieu: g a ad a f,ira e b adbiËc’ompmieflriÆg. b i

turf g ad fa; ira attaque fimul eïïbyb fiadbf. Grands igitur baiera babës chialait;r circadiametrum k 1,86 altitudinern fg,’æqttamrporfloni fpbaeiæ bafem candela;

1..,

,iuabenti,altitudinemàutemf’a.Rurrùsquoüiaiü Édith Badiaffiaéaàd abat a a?

camponenriflcut li (adb f,- ita utr’aqs finjul e a,Ëa f ad a f (Igirur canas harem ba?bans cirtülüni Citéâdiametftim kgaltituditie’rii ibianifbgqüatürjwrriônifphaéa I A"rac eandem bafemhabémi’; &altirùdiriémïipfam b’f. Qùoniam igitur’dïéîi con;

eadem in baie cônflant’és’,babentur inuicem fiait eorum altitudrneSmo’c en fait:h f ad. 6g,- ho’éle’flrë add;Portidneâigitürfbhæræ inuîéeüi habe’fif prôpoiiiddèni

datam , quôd (marnerai Fatiendtifii; . , fi . : ’ : , .515 a’ a Quo autem macs pér plüfiaüvrfi datam defcribi circa datas idcôiriéidenreshy

perbbleidebeat,-boc’-mddo éfiendemusiqUÔfiiâ fion inde panifiai id déniais Ele4 mentis.Sintduæ reéîaicaàb complexai quem Î r T’ ; , * l. 8’ -’ a w a

cunq; angulümrad’a,86 detttr’ pufiâum quad-j , - v à" .a ’ dam pütad,86piopdqatür perd circaincoinci ’. I , , ï v "9

I (lentes lias c-a,- ab d’efcribefe.hy[jerboîerj.iad. i . , * . a ..i ;gaturard,86ducaturade,86pdriarüripiadaëa r ’ a . . ’ .. , g a ,6 i

qùalisipfia e, 86edu’caturip’er d’ipiadfæquedi v n i a . aflansipfi’ ab, 86-ponat’ttr c’ æqüalis; ibfi af,86 iungaï c d,86 educ’arür’ ad b: 86 qùadr’ârÊ 4c b fit A l ’

Î ’æquale contente fub de,eg:86edu&a ad circa H’ eamdefèribaïhyperbolepar d ,ita ut deduâæ li [jasmin eaquæiuxta e g addëtiafimile cataire” ,

! fubd’e,e g;Dico quodhyperbolætdefcripræ fût Ï., ineointid’e’tes-c a,a’b. Quoniâefii dfei’t æ tien; »

’ idifiâs ipfib a,86 ipfa cf æqüalis’ ipI-Î fa à igit Lcd il

4 .efi çqualis ipfi db.IgiËquadratücbiquadrqphî ’ePr quadrato d c,86 quadrarïî ç baraquai contem-to rubde,eg.lgiïhæca,ab funt’iiicoiflëideiiè’ "

. tes ipfihyperbolæ,per15ririiüm th’edre’mâiëcü? v

dilibri Elemefltqrüm thiC’drüm Apôllôimfi a ,2

ni c 0M P b s11 T I o HEM dirimais.a IN com poiîtione autem prôdticeris’ diamêrrïî . t

Tphæræipfim d b, 86 ponens dimidiumÏeiùs adta .æqtialeipfi b’f, 86’diuidensieaniïinrdataam’ prôpôfçiaiiém [ôünëiôahgâ a

l

bix

Â

v.A métis.

a ,«x- -4 a. à J

4

A . in; 8’? H AE tu a ir- 8361.51 un à. and;dans q,ira ut fitiicur q fadnh .f,ita quadratum b d ad quadratumgd q; 86 éadeni 5p

’parans quæ priusdicit, qued fiat ficururraq; fimul kd,d q ad d q; ira r q 5qu b,86r ponit ipfumrinrer h f. Œod autem hoc fichabe a ’r,feft ôfiend’eridUm .Qùbni;am enim ficut utraque fimul k d,d.qad d q ,ita-r ad q b, diuidenti erit k’d adidzd,fleur rlb.ad-qbsEtpermutarimflcutkd adrb, ira dqrad qb. Veru’md qrnaibr tif ’ .

» ni Ïfàiq b.igitur k b maior r 1),. hoc ei’t f b i pfa b r: qùare punâum tinte-r ipfiirh b 86 «v 4 acaderngod autem. 86 extraihgfimiliter- oflenderur eis quæ in refolu’timiëîpràecéfi

ferunt,in rota rheorematis compofitione.Colligitur’enim,quodïeËficth r’qad rql, t. ’ ira fhad. h;b. (mare componenti,86propterea fit confequens fupradiâiè 5 86 his

quæfünt ii’tic diâa demonfirratio, * , 1 , Ï ’ , "a ’ a i - t - I i. a; 63’ Etper æquam in proportionalitate perturbata, 86c.Perturbat’Ïii préportiona: i

litatemin Elemenris didicimusgqua-ndo tribusmagnitudinibus, 86 alijs humera .thtide-rn fit, ficut antece’fdens adronfequensin primis magnitudinibus , ira in re-tundi’s antecedelns ad coniëquens .’ Sicut autem confequens ad aliud qubddamin primis gîta in (candis-abrié! quoddam ad antecedens . 86ii’ric igitur ofienfumalhficïut antecedens r1 adeonfequens l d,ira antecedens q f ad cônièquèns f hi Si-cut autemîonfequens ld-ad aliud quoddam d q,ita aliudquaddam a f ad antecedans q f.Sequitur igitur,ur oflenfum efi par aquam in quinto Elementorumfi’. a

Cutrladl:q,itabfadfh.s v A * A a . - * .4 a ’ » 6’I ’I’N tQV’IN’T 0.1 v ’ -:. ,y’IÏq’uomam «porrio cf g ei’t fimilis portioni b kl, canas igitur e f o fimiIi’s efi a

a f canez h-rk.Intelligâtur enim defcripriones feôrfurn pofi’ræ,86 iunâaa e g7g f,a gogo fila 1,1 k,h x,x kaQuom’am igitur portidne’s’ e f g,h kl fiii1’iles funt inter fe,erüt

. agi; h 1k æqualesirquare 86eorum dimidia; 86 reâi funrhi, qui ad u,igitur reliquusreliquo æquàlisjgitur magmas uf efi æqùiangulusi trian zguli) l:;y;.k.86 efi fleur gr: ad ü faita l y ad’y k r .Eadem ratiche cum trianguli "il f do

y k x tînt d’inuicem ’ i 1’ . i - aæquianguli, erit fi» . I 1 :eutf uadk’yritaf’ô A ï

I adgk-x,86-ua ad y si;pet æquamigiturfi acutgrüaduodtal-y ad:Yx.86tc5.ponEfiàfient-go ad ou, irala: ad x 1,186 antécêæ

n . dentitîdimidia fût

[manquante pet inguamiæncôpçnen

.. u’,fiçut utraqafimul i

6* f0 ,0" u-,adcu-, hoc

affadi grfic u! rtraq; finiul un xy’ j .

- 3d x Yslho’cfifl 7 YV adyl... Verüm fient

; a guadgu’f, irai! y) ad *

î y:k196ræquanief- . .. . . r , - , 4 ga go, lait wuad ufiitâ’z’ yzad y k:&éônièquefitiufiiduplavfuiit’ é f; Séb- k.- Sicütéri

gazâîtt’adfegita 2 yl-adh k.C.o’1;ioriIni igitur (de E2 h-k axes finît bidp’ôftiônaleëkë

a diametribafiumaigitun éoni’funt firiàilesfsquôd füüat’demohflrâfidüm; - hg . . la. - . Rrçportiorautemam u adeifdat’ajï. moniamîé’nirri partione; fpjfiéèràiiirii datai î ,

iumïaêé diametri bàfitim’damaaltitudiaësisërâdnumèquaiéëf damai; Mgr ï .

w ’ 6- - I n 1H7 il titi? i

. à.

azz.

44 125v anse 1 à: «a «A a è 11-51!!! 8.1113?” I- rut eqrum dimidia data eruntfqüarc 86 quadrata earam; 86 quadratumtèç

tur çdnitflenrbrfub g u,u o :Sié autem. datam iuxta datam applicetu:,façit vlarirudin’ê

da tam’iigîçqrp on data . Vera. 86 u g. , igiturtota diametros fphætædararîidceircq86 eius dimidia s o dagtra.uerum» ’ o udaradgitut propanier s a ad or u data.a86 (à:ponëtimrriuiip fimulvfop u-ad ipfam o u , proportio data,h’oc efl azuiaj’dzug,86 ip[a u gdata igitur 86m u data. Verum 86 e fdata..quare 586propqrtio îû) uvadtefidaï:ta,Eadem autem uriq; diceren-rur in partione: akb e5;86;colligerur préperîtïiozq rad33 bdar’aïEt quiaab data e&,«igirur 86,q tvdatajî- a :4 r; ,. ; aï, s h- . 4 1;-1 Q’ggdgautem fi porrienes datæ funr,earu*m altitudinesi fint 1datæ,.ahte’aîquidë .- l enflait . Verurh ut hoc quoque coordinatibni dater-am ’confequenter colligi m’a li deatur,diç,e;tur..Qroniam enim, poïrtionesl finit datée p’ofitione 86::ma’gnitudine ,

e data",er.itangulusin portionedatus. :Qyzare 86 eiusdimidirumsôfifi intelligîa.mùfiïvünâam C- g,dato ce qui ad u même, erit reliqüusdatus,86rriarnguluse. g aida. irus fpecie. quare proportioe u ad u g data-3cm. 86,.eu-data efi, ,cum fit’ipfiuS a f[dimidiagïgir-ur ug data. Licetaurem 86 aliter. dicere:qiuoniâ e ffeïfi pofiridne data; aPUHËÏO Il Siam cum fit in dut) arqua diuidens c f, adirait efl u gad’angulos ne;

’ fics ipfipoiÏiriQne dam-,86 çirçumferentia portioni’slporfirione dara a IgirurgidatïûeHQErarauœm 86 u datam.guare 86, ipfaug datai 7 » a ’- -’ t a a i «-

.-- -, IIYIAË-il

Quoniam eF ficutziy ad q t,hoc eflquadrarum b aad quadratumb k,ita kh ,ad ipfàm’ d.Qyoniam enim faâum fuir,ficut zy ad k , ira q t ad d:erit permuta

b tarira; ficurz yadq t,ita la kad d.Ve-rum ficutz y ad q E,ita .quadrarum-"ahbrad qu’adrarjirhk. Ççnis enim exifiemibus æqualibusi,bafes eorumaltitudlinibus. recôtr’a,

’ rio affichai . Sieur; arît badas ad inuicêdta quadrata diametrorîi; Siéu-t ergo qua.- idratum b a ad quadrati": bik,ita.h k; êddèEt-permutatim,ficutahàdzh karst 9b add;Quandoq’uidem proportio b aad-9 , ,oflenfa efi eadem prqpotrioni Aduadratiabad guarana 3er item a,d,d,et’ï;b. gadgeadem eficprep errionikbad’d. arepermutatimficutbaadhk,ita9ad dis ’i ’ a» La; du: 2* Va

. v V IN COMPOSJTIONEM CLXÂIONT-I.”tîir");a;zjam” a.Voniam itaqalproportio hales funt ab. , h k admit ficut’qua’dratiim a b ad-

Qiuadrarum la k,itah k ad d. Vniuerfalitef enim fi fint guerrier radiai. sentie:que proportionales,erit quadrarum prime ad quadrarum fetùfldaèÆct-Mfeçüfldæad quarram t Quoniam enim fiant prima ad feeundam ,ira tergiaiad. quartam,eritw

. permutai m ficut prima ad rerriam,ira quadrarùm prima: ad. quidaatfinîfacüdææigitur fic-ut quadratum primæ’ad quadçratum fecundæ , ira [manda ad quarta-m;i

s

i

, a ’ IN, se XTVM TIHE’ïo naira. 4 w 14.45; . .il 4 Voniam k .1 m porrio fimilis dei? portioni ab c ,6 erit ficutrlïfadr mita bpt ad

k » p h.Si enim iuhgarrturhæ m me h, quoniam portiones ufuntfimiles, «une;angun ad b 861 æqua’les: 86 angu-li ad m c (un: reâi,igitur reliquusreliquagôé tri-vanguli film æq’uianguli , 86ei’r ficut ab b ad h c, rital n ad n du Verum ficut’hc ad?p,i ra nm ad n r, pro prer fimilirudinem triangulorum c p.h,86m r mpîenæquameigiturficur b h ad h p, ira l n ad nriquare diuid’enti,fi’cutl p ad p haïralrradrngîî a

Proportio autem e f ad b cdata,igitur utraïawearum data. Quoniamefiim po r!riones f ph ærarum daræ fun: , 86 diametri ba iam datæ-funt, &çabfiitudines’p’or»; .,ticnum . quare ipfà a c data efi, 86 eius dimidiap c dataerir. 86 b rpïrï data iefis’âiamq: ’

biùnt angulum reâumdgiturb e dataÎEadem’ ratione 86 e f datas; square ê a me;

porrio bwcadefdara; .. ï a i ï t . «a» un; î;a i s V1 N CÔMPIOSŒTIO Es EEZX’TLE. . «z; ;«.a.::1 u v

d

* ergoacirculorumquæ. inakm; minimum;fimilesreiiifib * I. Pnim fiçurmrefolurione,:imigantur hach,,’;mÎn,.quiaanguliladictmrfimtre-s a

, âi:86 c. 13,86 mir. funt perpen-diçulares, : arum mediæ proportion-ales tinter, barrea-hafium. quêtçïcritficutprima-bbiadtertiamrp blaira-quadrati: puma àb.pad3qua2; ’

r i. ,,,

., 1) a" vs par. RÉ a A: a; .jr :c a: u N panez: kmdatam Ëcundæ c p . Eadam rational-(Cm! r ad rn,ita quadratum Ï r adduadratür m. Sicut ergo b p ad pac, (ta l r ad tin; 86 lacera circa angulos æqualès raugme-popu’onalia zajggïgurltrl’anguli æquianguli . igitur anaguli ad b l funt æqualessôé de: l.

rumldupli, qui fimtn’n porüqnibüs.. igitur partielles fun: fîmiles; I ,s a IN [SIERI’IMVMa ’1’vaOPLaalvmy a, . a, . ,

- a Reportio igitur utriufquefimul e d,d f ad d f data . Qyoniam enim Nopal?Ptio utriufq; fimul e dgd. f ad d-féfl data,fi magnitude data habeat ad aliquamfui- partem proportionçm datam , 8C ad reliquam babebit prôportl’onCm datam :quare utraq; fimul e d,d f ad cd habet proportionem datam; Quoniamigitur u.traquet d,df ad utr’amq; fi’mul ed,d.f,habenè proportionem data m, habebuntç»tiam’inter fa proportionem datam.Perom’o igitur data’e d ad d f, 863d détraqua.me reli’qua f e dabitur. Quart 8C contentum fub d f,f.b,h’oc efl.quadratum a ESQ-deo a f data eritquare 86 tota ipfa a c.Aliter autem,d1’xeris 1’ pfàma c datam cire;Quoniam enim diametrosdata efl d b pofi’u’one , a: punâum f datam, ut parfît

’ sitôt a date f duâa 2P: acad angulos rafles, erit ipfa a c pofitio’ne datkuerum 8C, circulicircumferentîa:quarç ipfa a cpunâadata, 85 ipfa a f c data dt v Ë . . a .

Et quoniam attaque fît-nul a d, dyf ad d fmaiorem proporn’onem habet,.quâ,mutraq; fimul e d, d b ad d b. Quom’am enim. e d maior CF: Œ dimidia ipfius cæcal

v attaque fimul e d, d f, maior quàvmfefqul’altera ipfi’us d f. Verum uuaquè finaudede b,e& ipfius d b fefqul’altera: igitur ed,’d f ad ipfam d f maiorem. propdrtioqëhabet, quâme d,d b ad dbt Au: aluiter,quonfam ipfa d b efi maior ipfa d flafla au; .

’ gem quædam e dzigl’tur e d habet add fmal’orem proportionem , quam c,d ad d b.. çpmponenu’ uçlfaqafim ul e d,d fad d f, habet maiorem proportionemxfiutracplfi-

mu]. e ad,db ad d b.Côpofitiotheorematjs manifefia dt pet ea qug ifll’c diâa flint.u :IN ,ockTAV-VM’ T-HECREM A. a .

fad’ipram f g minorem habet-prpportionemaquàm d Uplfcatam eam qui dhabetquadtatum b aadquadratum a d: hoc efl .ipfa b f ad fd; Quom’am enim

a in qiangulo reflânguleuâa efl: ab’angulo rzcîQaf papendicularigcum manaa guli ad perpendicularem-fimx’les exifiant,en’t ficütf b ad b ’a,1’ta a b adb d. Et fieu:

prima ad tertiam v, ira quadratum primat ad quadratum fècundæ , 8C quadraturhfecundæ ad quadratum tertïæ7uti fuperius olienfum firit.Sicuf.ergo f b ad b diraquadratumaa b ad quadratum b d a Vèrum ficutb d ad d f , ira quadratu’m b d adquadratum (la. Sicut çm’md prima ad tertiam ,1 [ta q-uadratum prima: ad quadratü

facundæ , Et peræquamficut quadratum b a ad quadrant": 4 ’dama b f ad fd. Colligeçur autem idemôc aliter hocmodo. k .Quoniam enim ficut b fad fdsitaicôtçmum fub fbnb d ad ,4cornentum fub b d,d f, ipfab dcômunj altitudine fumpca. v

. EH autem contentum fub f b, b d æquale quadrato b a. C6tente, autem fub b d,d f çquatur quadratum-d a, Sieur ergoquadratumb-a ad quadratum a d,1’ta b f ad f;d.l - Et quoni

, amh frhabet adf kminoremnprop’om’onêa, quam la b ad b n -lçEYniUErfalitcr enim fi’ finit duæ magnitudines inæqualcs,quibus aliæ «æqualcs ’addantur , maior habet-adminorem A .

» maioremsproporïionem ,quâm campofi’tum ad compati b. ,. . d31111.5qu enim duæ tafia: inçquales a-bsc déquibus addan. - v ’tu; bé,d f æquales .Dico qued a b ad c d maîofgni ’proporz

mm habenquâni a aad cf. Quoniamem’m maior dia bip aA fa.crd,a b adb .e maiorem habet propoqriongmfiu’âm c d ad; ; c f .

b a,hoc CR ad d 1’21ng 85 pomponenti,a e ad euh maiorem v Î I rhabet ptoportiOnem;quàm c f ad f d,cx prædemdnfiratïs’; g v I

a mafia), and. a,h.minqrem 7, ë cf ad c d; quarçpeçmytatim confiabit tes’ipfi;

.I

Z N ’ ’ )1 a d Iu . 3

4s - - a Evæocn IN Mi chai 121.13. n; ’. , VI t .4 .. U .VA.Ô -I .j Vî a . .. I ;.w v. .dîl. me4 441.». A . . ".0. ’ a l .154.V t N Contentumqutur fub. h f «, E g mmus ’efl quadratq f l’as: Entra. fine dei

continuée, ficuti hæ ab gîta ut a habeat ad b minorem:pfepéftibnem,quam b ad ,c,com’entum fubaext’rémi-s minus erit quadrato mediæ’; Si enimfècerim’usfiéut a . a

ad b,ï;a’b ad qüandarn aliam,ipfa au: maior ipfà qfi’qui - .dem debèâtaduèam habereminOrëptoportiônem,quantl - 1 AczôC tune ait côtentum fub a,eam!) maiore’ ipfâdcaæquale - a a v I îlq’u’adratc k.quarecôntent1î fub a cminus èflquadrîatoùb . A a a A I V a a V . .au . a Côntenmm igitür fub h f,Fg ad’quadratum fgmu’nb 4 ’ a A a ’ " d ’- ’ t

Iéna propoftîénem habet , quam quadratum klf ad qua l " I a - . ’dratüm g; Sieur enim b f’ad. f g’ à ita côntençiimïfub h f,

-f g adîqü’adratum fg. Cententum autem fub hfif’g,qua. .v

prôpo’rtfonem sqüâm mimis.

’ quoniam be cf: æqualis ipfi’ d eîerit igitur contaitÎ fubbf,fd minusto’ntento fub b c,dcd ; content’um ’ »

autem Tub b c,c d æquatur quadrato e d . contentum amtemafub b fifd, cum quadratoe flanquant eidem. Et C5!v fiatgquod quanta abfuit àbx’pertitfone ipfum f’m’aiori un" ’ V

efhcontento fubïæqualx’bus . Cum mainte enim ce ’lfluod fit ab intefmedia diuifiqnum,æquatur côtentô fubæqUalibusquare magma fi par çquah’a diuidaturyperïpiî r a a(Hum aliud aqu aliud, contenmmlfub partibuS propiha ’quion’btæ bipartitions mai à d

a ad b eminorë préportl’onemhàbet 5 quam e d ad d f1. ,Vniueflàlitefautem filin! xquatuor termini, puta a b,b c,c d,d-ad tôntëhtü fiib à b,d e minus fitcôtento [ab

6

b c,c dg. tune a b adb c’ habeasmïnerem prOportx’onçm , ë . a. .-*c1 d ad de. 5&9 enim cofitentüm fuis b c,c d’,- æquale contE ’ ï a g l ’to" fub ab,d fi Efil’gx’turficut ab ad b c; Iita c d add f: ôéd’f .

ePc maior dei: igimrcd haberadd enhaibrem proportiov’ a A dnem,guàm ad d f, Quarté abïhabetg ad b c minorem pro. * t a l a z "

v’ pofçiôtiéni,qùàm’cdadde. ’ - I l a Ar Efitïgx’turfic’ut hrb adb k , fia quadratum h-n ad quæ I ’ a îdtat’üm n k;Q1îoniam enim quadratum b’n æquatur c5; ’ d Il

fente fub h bah k.erïît tres reâæ proportionalesficut h b a’ *ad b n,1’ta b n ad b k. ac fi’Cut prîma hb adt’eirtiam b k, ira dquadratumfecundæ ad’q’uadratum [tartiæ , hoc efl qua; g a * adratum b n adquadratum b k , ut1’ fupèriük demovnf’çrattî * * l

Tait. Rurfus quoniam éfl ficut hwb ad b n,1’ta b h,ad b k. Ï a , ÏComponentificut h n ad b ri, (ta En ad b k:ô(»petmuta- L". b5tim, ficut h n ad n k,1’ta b in adblka Igïmi’ fieu: quadratum Q dh n adquadratum n k, ita quadratum n b ad quadratum ,

y * -1 ’x

tlC

Igitur ficut h b ad b k, itaquadr’atum h n ad quadratum n k, a a - ** Quadratum autemhfiadquadratum f k, maioremh ’bètprop’ovr’tioï aman-c y

quadratum h n ad quadràtumîn k. Rurfus duabus inæqüah’bus h fik fadijëia’turf-n" f, ôCper fupradl’âum habet h fàd ïfk,ima1’drè.ri1 prepertionë; quâmêhh fêté! "n le:

g quare ô; earam duplæ . igitur’quadracum h f ad quadraturï: ’f k gï’maiQÏèmï habet

proportioncm , quam I quadratum h n’ad quadratum «n 1;;th efiïhfb’ïad bk,h’o”c

efihb4adbvé,hocefikfadfg. I a ’ d a a d ’-. Igitur h f ad fg maiorem habèt proportidheïm, quâmfefquial’tëraïm éfus;Ïqu;ËE;

A CR k f ad fg . Intelligamur enim afeorfum pofi’tæ refiæ,pufaa b5c3d’iita ut; quadra;

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adratofgüù’nu-s eflzmaius autémadîdeinmaiorem habet ’ * ’ î 1 W

- dL l.

usfeficoténtô Tub partibus femotioribus’; Ïgiturfb a

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baverüficucquadrammnbad que:(hmmubac:«adrecamanrumd’un:«1334:;l - "

lama ,

123...... -grqyjsl r A. i

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d .zquëfiîamîjuatudr teflæ’conkqüenter fufitbrôpôrtiônad

. btfidâd à Mplic’a’tamddemèfhc ad e. Habét autem 8l c3 ad d

betp’roportianem féfqüialtetamfiius quæ èfi à ad szua

ateramaèiusflùamhhàbètèadd»

DE:’SPH.AE ML ET- arLI-Nnndj: . 4-5,,-- daim abad quadr’awm c maidrem habeat proportiona- quârri c ad d. a Dico qued

ab ad d maiorem habet, qùàm .fefquialt’erarri eius quam habet c ad d. Sumaturenim medialincer c d propôrtionalis cambium igituiqüadratlim a b ad que;dratüm é Maiorem proportidfiem habet, qüànfcâd h’d a; - .Vénim qdadra’ti ab ad quadratum c, èfi: proportiô, du» ,pagina quæ éf’Çâ b ad c.Illa uèro qua: CH c ad d, dupla cit a u«maqué ëfifi; ad.é,I’gïtür a b fiabét ad C maidrèm prépar-

tiënèmfluâùic ad é: Bat autem fiéutéad C,ifacïad.b f. Et * f - .

Lest». 5c , è,d:ig1’tuxèbfhab’etad du proportionem», quæ en

ji’rôpôrtidnë,queê èfi à ad duplicatam, Igitur bfa’d d ha,

kali ad dmaiore’ni prôpcsmonem habet; quàm fefquial - . v 1

., mima au) "s.Eb-.ysm-m’.g . l A v’ Vu’to’düatdorférihini, ab tdaDico qüçd prôpbrtidd 5’ z g a

, cçm’pofita à): his’ 5 èx mutante .fub a h,ad quadratum bÇ, ôte): prôfiôüidfiè b add, èadem éfipropom’onicoh

A [zélé ëx (ameuta fub ab,(uperfiipfam.bradquadtatüni abbé? 115m a; Èfio a?»

que cofifehto fub a ,4b æquale k,ô; quæ -vadratdéaèqüaglèllçôc . (v ,fiat’ficùfibàddsîta: a . . c , r a.[rad m.;Ig’itur pré» , au . a a l 1,pèrtidekadmçojniu r . Æ . Mpbniîcxkadllmèùé’ , l a» à, a z » . IM? êenfçfiü.’ fiib’ ab .ad qüadfatum C:êÇ

admis hé: ëfib ad i

k "multi-plicâfisbfac’ia’thp -» . . . l .figaro! multiplfif - .0 ’ H 4 a I ., a «la. . .. a;tans, 1b faciat x18! ’ - Va multiph’cangs d fia;

h dam, QüOüiamîgÏüfc’ônténtulu ÎubabèË’ k, &Ïcmuidpiiéânâ b facitüeïgïtur

a me :éôlàtéîltunî rab ab 5 ruperb; Rurrusquoniam qua-dragua: eau, azimut.tipliëaÎnSd facit ô sôÉifiültilâlic’aps b faèit igifur’o Ævqüadfa’tüdî: Taper mana. a

ré préparât, côtiteritl’ fub à b -, füpér b’I, au quadratücfulàe’ij 51-, ’eâdëüi èfl primer.

l . donignadnd.0;sô;rœtigitüaofiendéreàqudd proportiôkadhiëfl ficütüà’db. ç

Quôüjam fütèqukl multipliëàüâbgproduxit miam; fix. Efl igitur fiéüt kad l; ïitàî aad 2.;Rürfirs. quoniam liii’ulfiplicân’s b d préduxit,ütruflicp X 6km ’

’ Àficiuçàbkad d,ita xado. Veîuni fiéut b.ad d; îta l adzn’jalg’itur ficut l ad agita à adb. ’ a

. aggçur hi k lhfitnt bihi, 151m cum his x 0513:1 éadém fiâtôpoftidnëgp’er ëquamadmira à ad ôJEtéfi: k adm prôpô’rfiioî adam ébfiapôfi’fæ éx.côtena

. iafub a b: ad aquadfatü é,--ôC TeX efa quam hâbêtb add; Itë à âd o éfiëàdexfiproPor

ne propottidni éôntefiti fub à b,fttpCfB;àd-qüadfâtum,è fugua; Igit’urp’ropor ’ °tiorcomPôfit’a’éx pfbpôgfidnè cdntenfl fiibj ab adaçiuadrafii’m é,- îëx b ad d,eadë a

efi: proporfiôiii çdntçtiti fiibxa b fupér b ad. quadra fifi èfüpef damam’f filmait: ’

tala; efi; qudd côtéùt’um’fub abfupétb,æquatttrlqùadfâtô BÏüper a. Qyodiam -nétiimïficutaadlbjta éoiitétifu’hi fub’ab adqùadrâflîfii Eafühiëta b commtàïialtia

Æ r . g . , g fading» .vflvqfw:w4174 - .. ... -

V a .a

418:; I EJYT .016 PI N. 17R C911; "1-13, * 11.2. - ’ . 1 ,tudinéflî quamottermini maint proportionalesædntentum (ab çxtrémiaæqud

. tu; contente fub medijs . Contentum igitur Euh a b’ifupegbfigcluaîtur quadrato a .4 ’

(vinera; a . a .,INHALLTE R. .0’CT»:AV I; - aDlâum efi in præaflumptis , qued fi duarum magnitudinü2-madiumqudd» ï b l

dam fumatur, proportioiexuemi-tatum compomtur ex proportidue primiad medium,ôl medij ad tertium ..Similïter fier, Si fiamulta’mcdia fumâtïurzextremi

tatum,proporcio componin’n: ex proportionibus quas habennhediacofnfequenter colleâa inter feLEt iflic dicit, qued proportio portionisîbadardî poitiènêïb ac d

. c6ponitur exaca quam habet portio ba d ad conü cuius bafis Circulusitirca diam’etram bid,uertfex uero punâum agEt idem cohus ad conum bafem eah’dèmhabê-(Cm uerticem punâum (LE: diâusaconus :ad portionem 4b c,d,portioueuidelicetd ab,ô( ipfa (1le extremis,fumpçis.medijs diâis conis. Verum portioriis bardas!conum b a d efi proportio g h adh.c,pcr corolarium (mundi theorematïsïfCCUndi Ilibri. Dicebatur enim,portionem ad conum in feipfa confiicutum habet: e517 [me .portionam,quam habetutraq; [îmulquæ ex centrokfphæræëcaltitudo reliquæportionis ad altitudinemreliquæ portionis, Proportio autemïcom’ b a’d’ad coï-num b c d ait-quæ ah ad h ;ç»;Qu9niam enim eiufdem bafisexifientes inuicemîiè’ ’habent ficut eorumaltitudines 1’ Coni autem b c d ad portioneiîib-t d, ficut ah ad ’.114Eprofitercorôlariumdiâum conuçrfim fumpltum,iQuareproportio portionisb a d,ad portionem b c d,componitur ex proportionegh ad h gaza h «ad h c rôdah ad hfuProportio autem compofita ex g h ad h c, 85 ah ad h c,cfl fieu; Ïprop’ortiocon tend fub g h, h a ad quadratum h c. nam paralielogramnia æquiangula "ha-abent inuicem proportionem compofitam ex pro’port-iohe latarum.. Prolportio aurem compofita ex proportion; contenti. fub g h, h a adquadratum csh, Bi ex prof.partione a h ad h f eadem efl prépoftiçhi Contenu iu-b gh,h a Eh h a,ad quadratic h in h fîut ofieufum e17: in limma’te ptæaffumpto. Proporciq autem. (entendTub g h,h a in h a, ad quadratumc hip hfiçademnçfi prolporrio’ni -vqua’dr»ati’ah in.

h g,ad quadratum c h in h f.Et hoc quoq; demçnfiratum fait in præaifumpto; ;Proportio igitur portionis ad p0rtionem,eadem efl proportionirvquadrati a ha inh g, ad quadratum ,ch in h f. moniam igitur bfiendere oportet,quo*d- partie adportionemgminorem habet proportionem,quàm duplam eam q me efiëfulôerficigci a’d uperficiem :Ioportet igitur ofi’endere, quod’prqpo’rtio quacrÀrîati-azh in h .gsad

quadratumAcÎh in h fminoremi’habet prop’di’tion’em , quam duplicatam- Cam quâ’

habet fuperficies portionis A b a d, ad fuperfici’em b c d, hoc cit? quamLharbeÀt quædratumab ad quantum-b ic.Vèru’1fifiëut iqüadratIum a b ad ’zq-uadfatum b qua

’ aïhad h c.iOf’œnfum efi enim-hocin theorematibus præc-edentibus; Opottetigils

turofiendefe,quod quadratum a h in h g,”ad quadifiatum. ch inh, fimrifiorcmeha; abat proportionem,quâm eamduplicatam quam habet ah ad h caVeru’m prop’dw

i rionis a. h adh c dupla efi prdporp’o quadratiah ad quadratum h c50fiende’r-eit-gïitumporteta qubadquadratum a h in h g,- aduquadratïi ch in h f ’, ha’betymïh Gram

proportionem,quâm quadratumah° ad quadrïaium h C.Verumfieut quàdmatum ’ .m1.ah ad quadratumh c, fum’ptah’g- communi altitudineg ira quadratum abrita;

ad quadratum ch in hglgifurIoflendere opbrtetifiquod quadtaltum:arhaiuî«hrggza . ai quadratum c h in h f , minorem habeat; propoirtionem ,Ëquâm’idemqiuazaèbh

inh’g,ad quadratum h c.in h Ad qued autem habetidèrfih minoremptopdrtiü a a?nem,ipfum eflmaius . .Oportet igiturofiëdèiïqquad qfladtatumdac’hviuhhfëmaiusèfi quadlfato c hihhg, ho’c efiquod maïotïfitïfh f- quâvm h g... Efiiausemihocmaniæ

feflumainæqualibgzenim bisa-hm cæqualèsfum additæ f a,c agas ditensflâafea quidem nonyindua’çit» rompofitionem ,nçs autemeam îappouemus . Chroma»

Eh maior cit Ma h aggerit quadratumrchin1h4f,maius,eodèmin hagÏ.Q,uaie-quædua

u. a ,æN

.DE-SPHAER’A-ET CYŒINEROÇ: 4-49tiah in h g ad quadratum c h in hi ininOrem habet proportionem , quam idem I,ad quadratum c h in h g . Verum ficutquadratum a h in h g,adquadratuni c hin h,g,ita quadratum a h ad qùadraru’m h c. Igitur quadratum» a h in h g, ad qua;dratum c h in h f, minorem proportionem habet5quam quadrati: a h ad quadra- ’mm h c.Verum proportio quadrati a h,ad quadratum h c, dupla efl eius quæ efÏa h ad h c.Q11adratumigitu1fa h in h g, ad quadratü ch in h f minorem habet pro"partionem, quam éain duplicatam quæ e17: a,h ad h c. Verum pôrtionùm prépottaie e17: dflenfa eadem ei quæ efi quadrati a h in o g h,ad quadrati": c h in h f." Et pro tportiovfuperfic’ierum ea efi,quam habet a h ad h C6 Portio igitur ad portionemha-belt’minorë pro portionê,quam fit ca duplicata,quæ efl fuperficiei ad fupérficië; ’

. t Deinceps autem refoluens reliquam apartem th eorematis , inducit’: Dixi iamqued portiô maior habet ad minorem,maiorem proportionem, quam fefquialte

. barn eius quæ ei’c [uperficiei ad fuperficiem. Verum portionum quidem propoli-. tic ofiëfa d’à eadem illi quam habetquadratum a h in h tg,ad quadratum c h in hf.Proportionis igitur fuperficiei ad fuperficiem fila efl fefquialtera , qua cubus abqhabétzad’rubumb c.nam eius que cil: a b ad b c,illa dupla e17: quæ cit quadrati a bad-quadratüb:c.tripla-uero que efl cubi a b, ad cubum b c. Sicut enim a b ad b à,in; ahadh b,propter iimilitudinem triangulorum a h b,a b c.Si autem fint quam .gr prdpoxdonalea reâæ, folidaquoq; ab eis fimilia inter Te 86 fimilniœr defcriptaLfilm.1unportiomltlia . quare cabus a h ad cubum h b habet proportiOnë fefquialtéram eius quam habet quadratumwa b ad quadratuîn tb c. hoc cil fuperficies ad Tu? "

’ a pgçfifiemt Ver-Inn ficut portioad p0’rtionem,ita quadratum a h in h g, ad quadraa a auna ch in h f. Dico igitur,quod quadratüa h in h g, ad quadratum chin h f, ma- "

ËWW’ÏÎ’T . 1 a! î ’ «"

ioçem paroportionem habet,qua’m Cubus adh ad cubum h b,boc efi quam quadrat1: anhtad quadratutn h b, 8C ipfi’us ah ad h b. nam proportio quadrati a h ad qua.

- ditatum h h,aŒumpta est quæ efi: a h,ad h byeadem CR ei quæéfiicubi ah ad cubtîhgbguam utraq; eiufdem efl tripla.Proportio autem quadrati; a,h ad quadratu-mhabgcu’m prôporrionéa h ad h b,ei’ce’a quæ ei’c quadrati a h ad Contentum’ fub c h,

h,h,quonia enim proportioa h ad h b cadem cit prdportionib h adh; c ; ipfa, b laL i media pro p0rtionali exifieïnte,propo’rtic5 quadrati a h ad quadratum h- b,cü pro) ’l

portigne a h ad h’b eadem 6P: proportioni quadrati a h ad quadratum h’b; cumpartioneb h’ad h cguerum proportio b h adh ceadem efi proportian quadratih,h ad contentum fub b h,h c,fumpta b h communi. dal-citadine. quare prppdrtio’ ,

’ quadrati ah ad quadratum h b, cum pr0po**rti0nea h ad h b; eadem ef’t proportidrai, qdadrati a h ad quadratum h b,cum proportione quadrati bhï ad cantentum’fut; b h,h C.Verum préportio’ quadrati a h ad cdnt’e’ntum fub bill, h c,’ efl compd ’

a tâta ex. proportio ne quadrati a h ad quadratum-h b, a: quadrati b ad contentant ’(ub bu’h,h c,quadrato b h fum’pto media t quare proportio quadrati .a’h ad qua; I V

, , dtatü’h b;c’um proportio’ne a h ad h b ,eadem efl prepertioni quadrati ahaad coiitentü- fub b h,- h c. quadrati aüt a h,ad contentumzfub b h,h c,prdpdttio’ eademefij aproportioni quadrati ahnin hg,ad cententïîifubb h,h c in h gr,fumpta cômum’ a; A

. baladine h g.Dic0 item,quodquadratü a h in h.g,ad’quadratum c h in h ambra ’a habet proportionem , Œ quadratum a h ,inh giadcontentü fub Ici-h,h b. in therd F" quad aïit idem maiorem habet proportionemgdlud minus exifiit. Ofiende’ndu’m;

igitur, quadratü c h inlh f efIè minus contente fub: b h C in-h- ggldë e’fiàcïfi dam

datur,quod quadratü c h ad contentif fub c h, minorem habeat prdpértionê;ë(fg h 1g ad h f. Si enim fuerint quatudr terminisuelu’t’i ii’tic fufithuadratum cÏ h gémi

, tciatum fub c h,h b,8C h g,eth E86 anée’ntü fub eXtremis minusdîf’cdnt’entofubi

medijs,tunc prunus ad facundïi minorem prbportionem habet, quâm.fert1’us ad *v 4 quartum, uti fupra "oi’cenfum fuiLRatiOhabih’ter autëîopbrt’uei’at ofi’endere’,qua

d dratuin c h inh f maius eife contenta fubc h,h b" in h: g.qu0d idem eût ac fidemô-Gg . q fifetiIË

ça - EVTIO’CIIauARIÇH. «LIBrILW-. firetur qued quadratuin’ c h’ ad cbntentum fub c h,h b mindremhabeat

tionemgquâm h g ad h f.Verum ficut quadratum’c h adjcontentum fub ch,’h b,»ita ch ad h b.-Oportet oflendere qued c h ad h bminorem habeat proportionna;quam h g ad hfihoceit h g ad h f maiorem habet*pr0portionem,quâm ch ad h ba.Ducatur ab e k adangulos reâos ipfî e d, 84 ab ipfo b perpendiculariafupra eam .b LReliquum nobis efloflendere,quod g h ad h f maiorem preportion’em habe- q’at,quâm c h ad h b, E9: autem ipfa h æqualislutriqa fimul haa,ke.n’am a fçîquatui;

t tei quæ ex CentresOf’tendendü efi Ergogquo’dg ad utramq; fimul h a,ke inaniméhabeatt prqportiqnem,quâm c had-b’bEt ablata ab ipfa gïh ipiàlc h,ô( ab ipfàfkiç:

yipfa al, æquali ipfi b h, oportebit oi’cendere qued reliquac; g ad reliquam titrât?hammam l maiorem broport-ionem habet,quàm ch adh:b«.-Quoniam enim a?»porte: dfiendtere,quod g h ad utramq; fimul h a, ke maiorem pfoporti’onbrînhafa ’ "

un: quâm Ch ad h b. Et permutatim,g h ad h c maiorem habeatiaroportiommgquam utran fimul h a,keadh b,bo’ce ad l e.Etdiuidenti gbad th maiorem ha»;«bat proportionem, quam utra cpïimul h a,k il ad l’e,hoc cit b h. a Perlmuta tim qué; a tque g c adutramqg fimul th a; klmaiorem habet propdrtionem; quam ch adb: béé; ,Item fient c h ad b h ,ita’b h adh a,hoeefirl e ad a h .onniamïigitur’g’b ad’utramaÏ

a que fimul h a,l kmaiorem habet prçportionem , quam! e adia h .Etvïpfennutatim;(quoniam C g,hoc efi k e ad e il maiorem habetipt’roportionem ; quam utra’que fia:mul k Lb aadh a.diuidenti;k’l adire maiorem proportionefithaabetquâm ipfakili A .

adha,hocleffquodminoreflleipfaha. a - A. , ,1 a. a u ,1.. . i Deinceps autem nos com pofitionemadijciemus. quôniam. le minorait ahi".

’ babebit k la ad le maiorem ptqportionem’quam Ici-ad ab . Ççm’ppnemi habetîlë’ë

sadle maiorem propOrtionem5quamiutraq; fiinul k l,- h a ad h aïlibfadem le add:qualis ipfi bit-igitur g c adb hlmaiorem habetpx’opouionem -, quam utraquefièinqu bah ada h . Permutatim igitur, gr ad utramcp fimuli k l, ah: m aigrem [ire-3:32:.portioriemhabegquarfi bhadh a,hoc eflczh ad h b . Permuta’tim.v.ergov gtc addcïhïmaiorem proportionem habet.rquâm u-traqgrfimul kl, a h adh b. Cam»ponefiti 1? Ïigitur gh adh cmaiorem propbrtionem habet, quàm utraque’iîmul Un b ,h’b; ad;

ghbghoç eH’ï utraq; fimu! a h 1k e ad h b.Ef’c autem k e Jæquah’s i pfi a fligituf pauma a i

.tatim gh ad h fmaiorem .prolpottionem habetquam ch ad hb’."Sicut autem ch adh’bsitagquadratum’ch adjcontentum fub c h,h ngituripfa ad h fmaiorem haber proportionem,quam quadratum ch ad’contentutn Tub c h shb 1E: pet :ptiuàf, g,

i diâa quadratum’c h in h fminusefi côtentd fub c h,h b . Igitur quadràt’um- a hirïh -g;ad’quadi:atum Ch 1’th flmaiorem pxropo’r-tïonem habet,quâm-ip fum quadra;

tum a hein; h g; ad contentumgfub c h,h b in h. g-z hoc efi quadratum a had contenïtum fub c h,hg. Prqpo’rtioautemzquadrati a h ad cohfentumfiîb ch,h bgfum’ perdmediosquadiatd b h 5 Côponitur ex :prgpéttione quadrati a h ad quadratum h tBaquadratib bard çontentum fub b h ,h C.Proportio autem quadrati b h ;a’d:cqna

d . tentum fubbhghuc,» êadem’efi proporüoni b h"adh’c;hoc ei’ça h adb h .Igituf quæ

V dratum anhin g h,adqsuadratum cÈh in h Em-aiorem habet prapbrtionem , quam» quadratum’a h adquadratumh b cum proportione a h ad h b.Prbpo’rtioi alitent? L

décampe (ira exiprdpdrtione quadfati a h ad quadratum-hbôC-ip’faa h ad htbïead’ëei’c proportioni cubizah adeubumh b, hot efigcubi» a b ad c’uburn-îb CrQÙâÊfËàtŒ’

r igitur a,h inh g’. , ad quadratum ch in h flmaiorem habet propor’tionemguâmïcu:busa b ad cubum b’c. Verum propottio quadrati a h in h g,ad quadraturh c h ah fiei’t ofienia eadem die prdporcioni portiqnum. Proportio Ueroïçu’bi a b ad cuir l ahum b coflenfa cf: effezfefquialtera propqrtioni fuperficierïi.’ Portio igitur ad phi ’

. ticnem habet maiorem propgr’tionem,quàm ’fefquiaI-teram eius ’"’ ’ i «quæ ei’t fupetfi’ciei advfupçrfi’ciem. ’ a " a »

( g x7 ’ d h h g

Dg: a; nus R1"; E 1: en: 1; r N n’a-o;- ” 4- si: ,..; :- î, g in N o: NVM. TI-I E o RE Mg.- I I .* T -a , , d ,Ônflatautem, quodipifa b a miner ef’tzipfa a k, quâmdupla potëtiax’a acre

que ex centre, maior quam dupla..Coniüâaenim ab-ipib b ad-cëtrum b0,,86 angulç ad centrum fa Go obtufo b o a,erit’quadra tum a b maius quadratis lare,

, .rum angulum obtufum cofnplexorumrcumép tînt Équalia,quadrato*unius eonî,4 gputa quæ ex centre eius , maius erit quam duplam . Item cum quad’ratum ab fit,gquale quadratis a k,b vbsôd-quadratum a kifit maius quadrato k b, erit quadratïigalba-minus guâm duplam quadrati a k . Et hæc quidem in figura in qua ei’t fignü

V ’jale jaïn altera uerofigura contraria ii’tis conuenienter dicentur. a . . qV a, u Bite-e n æquah’sipfi e! , ôta circulocircah Ediametrürconus efio Uerticem ha:

:benrstpunaum n .Ii’çe autem æquatur, hemifphærio .fecundum circumferentiam"h erf,quQniarn enim cylindrus harem habens circulum circa diametrum h f, ahi6«agrigiinem de, efl triplus coni bafim eandem 85 altitudinem æqualem habentis, 86fefquialter hemifphærij, erit tale hemifpbærium duplum eiufdem coni. EPt autëpagus bafem habens circulum circa diametrum h fletaltitudinem l n,duplus eiuf ’eidemceni. a gitur hemifphærium çquatur cane; harem habenti circulum circa dia

:metrumh fiôéaltitudinemln. ’ ’ t v - * . V .I 1vContentum- autem fub r c,a r, mains efi cémente fub aI-k,k c, quia habet Iatus

t Îuum’m..nus.’l;atereminore alterius maius . Dië’cum ef’t enim fuperius , .quod fi re-

I diuicatur in duo ïnæqualia,alipi.86 alio punfloàcontentum fub partibus pro»- i pinquioribus bipertitioni,maius efi contente fub remotioribus. A: fi diçaï, quia

jlatus minus fuum habeatlatere minore alterius maïas . nain quanto minus hana ,bueriç, tantodifcedetab æquipartitione. « - 1 ’ 1 . a ï - A x

’ Quadratum aüt a r æqùatur contente fub ak,cx.nam dimidiîîefl quadratiab.- Si enim iungatur b 5; , quia in triangule reâangulo duâa efi à reâo angulo pet.i pendicularis b k, 8C trianguli circa cathetum film fimiles inuicem 86 toti , qued,

fub c a,a k continetur,æquatùr quadrato a b. quare 8l contentum fubdimidiaip;fias ç aôé aïkyhoc ei’t c x,a k, æquatur dimidio quadrati ab , ho; efiflquadrato a r.Mains targmlummcp fimul utroq; Gina]; quoniam cdnténtuin Tub é-x,a»k, æÎa

4 quatur quadratb a rzôë contentum Tub a r, r’çglm aius ei’t çontetitoîfubha k,«k c. Si au

L rem inæqualibus æqüalïia addan’tur, tota fient inaèqualia, 82 maius id qued anteafuerit maius . Contentqiàitur fub ar,r cfi’ addatur quadratum ar, 86 c6tento fub ba k,k c contentant fub c x ,a k: fietcontentum fub amie cum quadrato a r,maius -câmemofub a k, k c,cum contera-to fub Gaga kLVeruih cohterüuin fub a r;r à cum

i :qsuadrato a r,æquatur contente fub c a, a r, pet fecundum theoremàv femndi librïElementorû’. Et contentü fub a k,k c,cïitot’ntento fub’c x , a k , æquatur contenta H r

à kik x pet primurn theorema fecüdi libn’ eiufdem. Igitur contentant fubc a, .a a maius ef’t contento fub a k, kx. Côtentç autem fub x k,k’ a;æqùairur contenuî ’

* Ïubïm k,k c. Suppom’tur enim,ficut x c ad c k,ita m a ad aqk. quare cémpônentifi”

un x k,k c ad kc, fic m k. ad k a : 8C contenturn fub extremis , æqùatur ContentdTubmedijs. Côtentum igitur fub x a,a k , æqüatur Cohtento fubm k,kc.V.eru&icontente fub x k,k 35111211118 efl côtentum fub a c,d r. Igitur contentum fub a cg’a r;

’ .maius efi contente (ab m k, k c. quare maiorem proportionem habet ipfaa c . adek,quâmm k ad ar.Quoniam enim lineæ quatuor reâæ a C, c lek m ,a r fimgôèqontentum fub primat a,ô( quarta a r,maius cit contente fub fëcunda a lé, 82 (et; ’üækm:habeb1’tiprima a c,àd feeundam t k,maiorem proportionemï, quâm reniaikmad quartam a r.-Quanî1 autem c a habet ad c 1:,th habet quadràtùm a c. ad ’ V

. , quadratum b c. iunâa enim- b c . Qyia itacp in triangulo’ refiangülô ab angulôerefis eflëdufla cathetus, fit ficut a c ad c b, itac b ad de .n’iQuare fileur prima a tac!

i tertiam çk,ita quadratum prim’æ; a aad qUadratum c b . Sicut autem quadraturna cad quadratum c 19,113 quadratum a b ad qu-adratum’b k,-nam triangulus a b k

i l g a r -ng. :fimiof

12

L..

l l 4 i . . q.fr ; E’VTOCIII’Î IN R1! CH. D135 113.1”; ,a fiinilis cit triangulea b chi’ciigitur ficut a Cadre k; ira quadraturn a b adquadratü

h . b kfit ufer’o ac babetad c k maiorem propôrtioneùafluâm ada’ 1’385 afiîëèç;

dentium’ dimidia3dimidium" quadrati a b,quo:d efi’quadratunj a rï,a’d quadruman-b k,maiorem habet proportionem quam dimid’iaipfi’us m k adipiàm à’r,ho’c euipfa m k ad duplam ipfius a r.Verü quadratum f l æquaturdquadra’tç à n quofiiâ’ipfaa b pofîta efl æqualis’ipfi e fiât ipfa e f ef’t ipfi ra patentia duplaffiami ip’ià’eîl.

æqualis ipfi’ïa r. Etip’fa n l dapla cit ipfi’lIs a r, quia- &:ipfiùsi1,f.’c);gxâre quadra; r

mm f1 ad thadtattIm b k maiorem habet préportion’em,quâm m k adzdupiaïn if) ,d . fias a ’1’, quæ ePt aequalis ipfi l n: marbre-ergo prôpor’t’io’në h’abettirêulüs eirça dian-

merrain h fcdflflitutusgad cireulum- circa diam etrùm -b k, k add il! quart r ,tonus habens bafeiri cirÇ’uhIm circa diametrum h fiUertiçei-Euero"püëîüfiînfifiaa,

Din: ef’t tout") bàièm habqnte" circulum circa diametrum bd erÏtiÇeIfi’xtIéro in pian) n.âum.Si enim karmas ficüt circùÏiIs circa diametrum fih,adiciréuluinx tirèaldia. ameü’ür’n b d,ità ipfirfikm 2d aliam qIIandam’zerit ad minoremipfal nÆtei’it ce;

nus habens bafem-cïiroulumiciréa diametrum fh,-al.titudihem uero reâam minot.rem inu’efitfamfieqüalis ipfi cône nib dzquia-eorum baies altitudifiibuse’ëiltrâ ai:

fidunturEt erit ininor C6110 il hx, quia in eadem baie amblochdnfiituri habeiltur . îyinuicem,uti"e’ôrüih" altitüdIine’s’v’ . crédita-t igitur,quôd hemif ph atrium quad efi le.

V ’ . ièundüm circumferehüàm’e fh,maiusrefi p’Ortiôflequa: dt recum 1 a

a r a dam drmmferentiâm-B au: a a ’

x

’ËVÏ’ÎOCIÏ AÊCAÏLO NITI’ÀÉH Ë Ô E :14 TwÀÏRÏÏ Ïb inferctmdum librum Arèhir’nedis de Sphg’era 5C tylifia» l

i * ’. drokexpofitionè difcurfaMilëfiô’Mëchaaiv u I. r .r d ’ a "Mecs" lfi’ddrë nefirô piæïc’ep’têr’i 4 .7 r b g r:

E VTT o I r A l(La L à N I Æ . ou q7 i ; E N TER. I I Ni M fifnRIÀJTËIlz’Ôa, i Î *

i inemi canula” Jrcbimcditg , 1]: A a

o N S E V» E N s igitur fuitmi-hig intèntüih ineü-mbtdèf. a(identigqui exhis quæ ab Archrimede’ Eripta fuei’üt; clàridribüë 4 a 1

, 5C breüicïr’i difciplina indigentibus ificiderimgôc calqua: meurt; . bque mets diféufiîone indigUerint’ apuré üirib. continua. reddere

r ’ eis, quæ à nabis in 11’er de Sphæraïôé cflifidro (dilata funt; Cf:. 354’775; " a à notumfariê dignïi ébtigeritfs ut à; maioribùs,:&l qü’ib garnplidri j icura cpt! sïeritmobis’ fit infii’tendfizaeritutiqa propôfitüsnobis” déifilceps’Âtchime. V q La

i dis libellas-,cuiüs infiriptiôiefi Circuli menfuiàtioi,;ifi qua üiri prépefitîdnem ses": ’ 15ipfa ruperfcriptione’ perçifiimus.Vuiteniifilôf’tefideiefiui [patio Râ’ilifiçôfitficflï v

cuius æqualis,rem longe ante ipfiim à clariifimis fâhilëfdphis quæiîtam .1 Cdfifiatïenim broc,»id quæfi’tum efie qued I-îippdCrates Chiiüs,ôc Antipfioiï fiudiëïë

inuefligaflëntgeos nabis paraldgifmds inue’iïiërürït,,qüo’s illis télîçqùifitê: cqgfiitôs q a;

ekifiimo qüiGeo’metficam 4VEudemi»bifioiiafi’ibififpexerunt,&mGerià Atifidt’eiieâ»

"acceperïît.Verü ei’t quidem hic libellü9,üti ait Regardes: ifi Archimq dis imamufumuitæ neceiTarius. Ofien’dit enim circïJùIfeiefitiam diafiiëfiôniplam 8C ’ a s. lanusffèptima parte, plus uerô quantum ramdam felïtüagëfiiijàepîimaëgfldezaüæs , ,., dicit, proximê damôfiratuni efizinuentaquide-r’fi fie-ta falis fiiëiî qudiâm - .

’ ’" ":ij 77:[laiteries reèîaglginea,quæ fit’æqual’is circ’umfe-rentiæ daticircufi. -, a. Î

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J .gnv-Îçimw .

Wïfi’ÜTVÏËW t F: -

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a

in au p à m RA au? .CiYLÏI- N n n°6.” M’aa , î m ÉRIMvM; Tua o REMA, ont N a, f Nr V Rimum theorema his qui aliquantulum in mathem àticis-fint- uerfati, nullam

uidetur haberedifficilemperquifitbnem ,-:’cumipfa Arehimedis uerban par»lâm’ expofita fini, êÇconclufidnem’ propofi’tioni réflitüafit bulla parte negleâa

parem.Videtur autem quad’ani re effe addemovnflrationem’abüfus,quç res non-dum fit demonflrata. Nana exponens triangulum reâàfigulumfiicit; HabÏ’eat la-:tuslunumambtens angulum refluai , æqüale éi quæ ex centre reliquum’qlat’us æ,quale circumferentiaè . Verum reâam circumfereritiæ dati circuli æq’ualem fume«,11qu ante ipfum fuerat ofienfum, neq; ab and traditïi. Confiderare ramé Opentet,ziihil [amer id qued deceat7ab Archimede Tcript’um éfïè.nam circuli circumfekentiam effe quafidam magnitudinemmulli promis dubium efi’ . Pute autans: ’

a , hoc eorum quæ ad ünum difla’nt 3ER autem reflet: eiufderri fpeciei , quanqüamA hon utiqala’pipareat, poile circumferentiæ Circulireéiam æqualem præfiare .Vb( tumtameri effe réë’càm quandam ipfi æqualem,â nullo quæfi’t’um eflk. QuÔd igif

et ab Archimedè brépofi’tum efi,tale ’ei’t,trian’g’uluin reâFangulLÏm qui circa redû

i axigulum habuerit latus ünum, èircùmfe’rëtilæ circuli æquale,uti diâurn efi; (Lirai ré profiofi’tum exponens, non tilla utiqa iudicabit’ur abufione. Admirabilis aut’ét magna 8C iflis Uide’bitur ,- qüôd ita fupra magnitudinem quæfi’toru’m datam 86 fa-.

(ileminüentionérri addiderit . Sicüt autem diâur’n’ dimidia inquïfitione opus efl:

:primo theoirematimamltriarïgulus p o r, quod maior fit figura a f6 m,et qùod Kmprimer cirça datam circülum pôtefi’figüra reëîiliheà defcribidta utportiones que

Enter circuli eircumfereqüam 8C laiera areau-arrimé, figura reâilineæ minoresfinit [packs daté , aperte affiliai efl: if: his quæ in primo de Sphæra 8K icylindro

réonfcrip’fimüs; ’ ’

a

a. H .1, , A iN TERTIVM THEOREMA.DE hôc theoremate commenter iubemur, numere quocunqa date radicem qua

. draram inuenire. Hanc autem in numere nô quadrato præcifam inùein’ri monL’efi: parlure. Numerus enim in fe multiplicatus producit quefidam hümërû’ qua»dratumàpatte’sautemifi femüît’iphîâtæm’o’iï’ëï lentnumeruîîedjartë’fgg fifi;

à . modum uercîôïôîfëât’i’adiîëfiîfirôîcî’rfie procuçeütem datam humain inue

me, glial-1rd efi ab Herone iri metricis, diâurîi 8C à Pappo 8C Theonegôi à multiss,qui magnerai Claüdij Btolemàéi cémpôfiftior’iem expôfuerudt; Qiiar’e nô efi

’0’, d us in hoc nôs labofare, tu Iicëat fiudtcsfis illud ab illis petere. Et angulus Ce f,e .Àtert’ia bars réai. Si enim hê’xagoni circumferentiâ bipertientes,eius ditfii’dium

A ad tertiae’ [éparantes iun’xerimus ipfàm e f, erit angulus c ’e f,tertia reëîi. barn ’cirCiî

ferai-n’a ad ç 21mm pta, cum fît dimidia circûferèntiæ magenta duôdêëii’na ci:

i’ çu1i«pars". quare magmas é ë f ,v qui efl ad centrum, èff duo decima pars quatuorteâotum. quare’ eÏPt tertia ufiius reâi. Igitur e f habet ad f c préportionemgüamà q à ,adi 7’32Q1md autem e fût ipfiuà c fdupla,biric mariifef’tum effiSi enim expro

, dueeiites ipfam Ed in a, 85 aeqùalém ei conflitüentës iüfixerimus ab ipfo e, erit an-gulus apüde quæ tertiæ real; 8C angulus ad f dira: tertiæ réai. Igitur trianguli aè-quilateri efi dimidium triafigulus c ef,ôé quia .bàfis équilateri agami ipfi e f 5 bipertîetur punâô ë. igituref efl dupla ipfiüs Habet, autem ipfae c ad a f pro.pdrtidfiem,quam z 6f ad 15 3.011315 éfiim e fpônitùrj o à. Si ipfa m feipfam’ multi;pI-ice’tïuffient 93; 3 â;.Ipfa autem c f cit i f a; . quatre quadratumi’eius erit aga e91:guoniamigitür quadratüm cf aeqüatu’r quadratis harum e c,c f , fi à quadrato ë f

quad dt si 3’5’ 3.5.auferamus quiadratù’rri ipfi’u’s c fiai; 4’ à meringuerai quadratüriî a

e cyquod ei’t’ 7 9’ 2: z 71 Gains lattis quadratumefl à. à f . Et item pars quæd’am mifii;

Jma 8l infenfibilis. Deficit enim potentia horumi 5’ çà præcif’o’ duab.unit’atiibus:i

Multiplicationes autem iubljciunturaDiuidaturitaq; auguras e fc indud æqùÎa";I érafla e g. EH igitur ficutfe ad e c, iça fg adg apex; tertiuin theorema’iëxii IiBri

Gg a. lem méfia:

,.

rag a ’ ELVÎI-Q c; 11.51.1119 5:an 11:11; 1 15. v.- 1: 1. Ë: . * til ’ lementorü Euclidis:ô( côponêtificut utraqa fimul fige c ade gîta f: ad c 315th a

Lmutatim5iîcut utraqg. fîmul f e, ecad f c,ita et adeg. Bit autem utraq; limulèfiffi; ’maor,quam g 7 1ER autem f c,1;;.Igitur attaque fimulfeàe cade e; maiorem!!! -1 1

f1

1.i..,..

.bet proportionem ,quâm :7 1 ad 1 g squame c ad cg maiorem départagera ha;ïb et, quam y 7 1 ad 1 y 3 . Igi tur e c ad gc botentia habet maiorem proportionem; :a; 4. 9 4’; a ad z 3 .1. o 9 ; Concludetur autem hoc ita *. quoniam enim ôflenfum efi; t

1 ïquod et. ad: g maiorem habet proportionem, quam 5 7-1 ad 1 sa. guis peinaittipfàm’ecefle g 7 1,56 ipfam-cg 13è 3,-eritquadtatum ipfi’us e c) 326 cahôëquadrau’t

:c gz 3 4 o 9,cum utran lima! E1111 æqualia sqüadrato i pfius e g, quordreflj; 4huius radix quadrata eft ç 9 1,8C È proximemâ quadratushuius f9 1 È-deei’t à par;.dfo Lina 8C uiginti unitatibus 86 5 pfexagefimis quartis .t Igitu’r e cati c giàabet p93;tentia (proportionë, quam; 4 9 419m a; 4 o 9.longitudi13e tirera, quam ’19 :1;:proxime ad 1 g;.Multiplicatione’s autem fubijiciuntur; * " ’ 3 * i ;’ f; S ,

Rurfus in duo æqua diuidatur angulus g e ë dam fies eadçm ratiche-flaira e àbabebit ad c h maiorem proportionèquam 1 1 6 zËÎa’d 155 3.;Fit en’imper’ bipertitio; .

gnem anguli,ficut e g ad e c,ita h adh c.Et componentificututraiqàtfiniul’ ge, ée . çrad e c,ita gtc ad c h:8( permUtatim,fîcut-utran fimullge,e c adrg chia e é au la (Et.ef’t quidem e c; 7 1 , 86 pars quædamrAt uero’eg-y-9Ë 1, 86 am pli-us quædâ pars nm.ioris.-igiî funt 1 1 ,6 2. à. fifi aüt g c 1; 3.1’gitur 111m; ’fimul g de c ad gie’majior-e’m

. ortionemhabet uam116’zlad173. n A . H5

P 1C1 s .Item h e,habet ad h c maiorem proportionem, quam 1 1 73 à adi i qenim oflenfum cit e c habere ad h c maiorem proportionemfluanï 1 116" 1 ç: à, H1;

’Si quis fuppofuerit eas ’fichabere,erit quadratum e c 1 3 go 5 34,86 êîàquadr’atuï 1 j

uero ch 2 3 4. o 9.Q1adratum ergo eih æquale qüadratis Hart"; e cse’h.2êrîgâ1 5 7 3543;?

«à à cuius-[amuît 1 17 2. 18- proxime;narn deePtâ a præcifa potentia. amurai-ms? ’ . Î;

6 GainultipliCationes uero fubijciuntur. » a * *’ I a" - Ï ’ 1 ü . t Id Ï ï fItem angulus b e c diuidatur in duo aequa,duâa ekJigïtur’e-Ç’adîe k m aimera a tu ;

.proportionë habet,quàm 23 oÀËadi 15; .Ruirfi-Is enim propretibipertitionemiad r 1:53

I t ’ , . - ’ .0gUÂ 1

I ,

L.

k ÎJ

a .41»; à.

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escade c , itah aad c k . Et permutatimx, ficut urtàque fimu1. h e, e c ad h c 3 ira e-cpad-cik. Et quia o’fienfum ei’t ipfam h e effe 1 1 7 2è . attaque ergo fimul h e,e c, ma.

iOr erit ifio 23 3 43; . ac h c .ponit’ung; . Igitur attaque fimul h e 3 ec adh c maie?rem habet proporti’onem, quâm 2 3 34è ad 1 53 . Igitûr me k’ ad te k maiorem habet -

proportionem,quâm 23 3 9 iad 15 3. Item quoniam fupponiï e c 2 3 34 irait quia-- ldratum ipfi’us e c i4 4 s 72 3 à . Quadratum uero ipfi’us ck2 3 4 o 9 . [Ris autem æ,quam quadra-tum k e, quod erit 554 722 3 2-1-3ËJuius latus quadratum efiproxime’ a

ifuBiîciuhtur. 1 s

93’. deefi: ab eius præcifo quadrato unitatibus 4 1 .5. multiplitationes uero

bëËproportionemfluâm 4 6 o ad1 53. Rurfus enim propter bipartitionem anguliifijçuçk e ad e c,ita k l ad 1 c. Et componenti, ficututraq; fimul k’e , e c ad etc, ita k ë"auIQçrfitpèrmutatimÆcut utraqa fimulk e,.e" ciad k c,ita e c ad l c.- si k e ePt 2 3 3 9 î. a&p’arë infuypier quædam.8( è c,2 3 343,85 particulaiinfuPer quæd’a’in. Igitur’ utrai’

targçfimulk 6,21 adik c maiorem proportionem habet , quam 4 6 7 i3 3ad 15 3.;Sicut’amen unaqzfimul k e,e c ad k c,ita e c’ ad c l. Igitur é c ad cl maiorem proportion’e’.

. hàficçpquâm 6 7.3 âad 1 g ngniiamigitqt angulus f e c exiflens tertia pars ré:émelfidungçima’pars quatuor reâorUm,eius dimidium erit g e (espars nigefi’ma-quartamuiu’s item dimidium h-eÎ ç" erit quadragefimabëiaua , arque item huius dt?midium k e c erit nonagefi’mafexta . rurfus’huius dimidium centefimanonage, d 1

zfimîafecunda-Ponatur 51m diciïsangulus c é m aequalis ei,8(educatur fcad m. An. 2*gulus igitur le m .exif’tens, du plus anguli l q,eritnonàgefimaièkta reâorum quamanquarç mâtina erit lacuspolygdnihabentis latera 9 6 circa circulum dei-Grigri: ’ ,Queh-iam igitur elad cl ofienfa en habere:J maiorë proportionem , ’quâm 46,7adm 3.85 efl ipfaa c;dupla ipfi’us ec,ô( lm ipfi’us l c1 Igitur a c ad l m habet’maior’e’;

- a ijpgp’tigngmflu’am 14 6 7 3 à ad 1 53. Ecpuuerfo igitur [in ada iqminorem habet.proportionem, quam 1’13 ad146.7sâv: Et quoniam m efilatusrpolygoni balzane,tisiatera .9 6; igitur ambitus polygoni erit 1 4 6 8 8. nam 9 6 multiplicams in 15

i . nu-meri producin .Igitur ambitus polygoni habetad diametruma c mi-, noremproportionem, quam 1 46 a s ad 4 6 7 3 à 1 Ambitus ergo polygoni erittri-V

* IusIdiametro circuli,-ôéïinfuper 6-67è.hic autem miner efi,quâm pars feptima ipgusdiametri; Hic enim fepties fumptus producit 4 6-7 2 à qui minot efi diametrqunitate; QJIoniam igitur polygoni ambitus minor ei’c quâmtri plus fefquifèpti,mus diametro 5 54 circuli ambitus fit minorambitu polygoni: multo magis igia itùr drCuli circumferentia efi minor,quâm tripla (èfquifiptim a. . , 3 a . . ili l Danceps uero seonf’truens reliquam partem theorematis,dicit: E110 Circulus

cirça’diametrum a c,8C tertia pars reëii angulus bac. Hoc autem erit,fi’à punâo; c fumpta c b’,æ’quaii lateri hexagoni iungamus a b.Narn angulus in circumferen

I n’a hâta goni ad centrum faâus el’t duæ-tertiæ reâi,in circumferentia uero trigoniI é’i’t quatuor tertiæ reâi.Quoniâ igiturangulus a b c ePt repéras7 Bi angulus b a défi

a terfia,re&i,erit angulus a c b duæ tertiæ réai.- Si ergo educeute’s ipfam c b ada ièqualem ei qfumpferimus, ab aiunxerjmusâe a ; flet triangulus æquilateru’syfit

4 quia a b C’athètuse-fi, 86 bipertitür bafim,fierit.a c æqualis ipfi’ c b.Sirurfus fqmpfg

rimusïpfam au 5 6 o,erit ipfa cb 7 s o.Etiquadratum a c 2 43 3 6 o o. &quadratumÏ K ipfius c b 6 o s 4 o o.Etfi au eramus quadratum-c b à quadrato a grelinquetur qua

’ 812111111 a b 1 s 2652 o 6.cuius latiIsquadratum13 ç 1 proximerexceditenim prend -fum fêla unitate . propterea dixit ipfam a b minoré habere ad 4b ç’proportiouem;

’ , quâm 1351ad 7 s o. multiplicatiqnes ueto.fubijciuntur. w. 4. z I ,7 Ia ; Diuidaturinduo yçqua angulus!) a gangqu a (11101115 igitur angulus 7b a g

..

.4 ï

DE,11’11115’1111w sfcrLINDRor f 14-711:gulih et erit fieu: h e ad e c,ita h kad c k.,Etcomponen’ti, ficututraque fimul h e11-

? Item diuidatür angulus k e c in duo æqua,du&a e I. Îgitu’r e é ad e’l maiorëhaa’i

’3th3,» i i

Q

i 561 EXIT onc-11 1117436 11.1111818111. 11.

. gale g a c;ig’itur angul usg c b eft æqualis angulo g alc.’ 86 angulus, 34ng (amiante.

æquatur ahgulo g c b, nam in eadem circumferemzià; 60nfil’tunïtiitemî æquatur’an ’1

nis el’treëïüszigiturrreliquus g fa, reliquo axe g æqualis’ -. igitur triâgqli a 86 g - Ïfilm indican Équianguli,86 fimiless Igitur ficut a gadgc, itac g ad gf,’86 a aad C i

. Nana triangulorum fitniliûlatera æqups angulos 90111151121111, fiant proportionaliagfiçut. agqa.dcf,ita attaque fimul casa b ad c b,86 a g ad gic,quia emmanguÎlusb a ein duo arqua diuiditur,dut°ta a feritficutb a ad a gîta b cade permuÎtatim ,v-fi’cututraq; fimul b a , a cadlbc , ita a c ad: f. efi a b minot, 631 3 ï 11, 186 au;156 c,86 b C78 qigitur utraq; fimula bath mindrem habetad prop’ortiqnjém’, x

. quâm 29 1 1 ad7 s à. igitur a c ad c habet minorem ’propo’rtio’nerügquàrfi 2 115,851 6’

I7, s carient autem a c ad c f,ita a g ad g c.’1’gitur a g adg Çzmino’remhabèt proportio»: f

’neîm,quàm2 911 ad7 8 9.132: his igiferit quadratum a g s 47 3 9 21.qu-adratum gag6p s 4o oLEt quadratum la cefieis;æqualè’.]5rit igitur ipfum 9 1o à 23 2’1,cuiüs lattis;

dttçtragonicum.proximetnamgéxœdit præsidium Iguadratumpnitatibus 36 3 g,Eadem ratiôrie dicit a; ad hab erg proportionerri ,: quâm 3 3 9 621; ad N91; qtr’riultiplicatiohesaUtemÎdbiîcïuhtùfs ,Ï f ’ l’ ï u - l I V’ I l * l " ’ l P f

7 ...3.1

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j ’ "Diuidatur in duo æqua angulus ç’a’g,duëîa* h. propter 51452166611611 l 65

’ anguli 86 fimilitudinem trianguijrum;86,1519pçrtiohalitatem;laterum commi- 1nenti,86permu’tatim,ficutIUtraqa-fimul’gaza ëàç’l gag, ira a h ad hc. 86quppbrièbaàtut a c miner quam 2 9 1 1. ipfa a c’ mih’or 11112111139 1’ 34â.igitür utracpzfi’mul gaz ac .

miner ePt quâm 5 9 2 4 à. ipfa ueroiglt: e’fl 7 8.19. utraq’a’ fimùl’g a; a-c ad gc’ mi; . .

noremhabet propbrttonësqu’àm 5 9 2.4 âad 7 g fluate 86 ah ad h c trimmer-111516 I

portionem habeat]; 59 2 4 î ad 7 si ô,quare a adhèminorë propiortiôfiem habet Iquam 4’ 55’ î ad 6 quam utraq; utriuftpefifpars hortim quàd’ru’pli ipfà a h adh c

1 minorem preportionem habet, quâ’mî g 23 ad’2fl4’ 641.9161316 hottenim diÇit3qUod

attaque atriufiâefi 714,.Erquomam à h ïeit s 236111 quadratumeius 33-2 3-4 2 9;.Eitautemh c 2 4:9, eius quadratunï 57,66 6.86 ’el’t ’iiÎtis’ quadrati-s ath,h 1c æquale que!”

dratüa C.Erit igitur 3 3 s a 4 219,’çuius latus tquadratïum cit 1 s 3 s namhuius qua- jdfatum eXcedigùerum quadratümiu’fiitatibus :321 propêquare a ciadh (fruitièrehabetpropërtionemquàm 1 a 3 à ad 2 4 amulriplicationes aéro fubijciuntur.’

A Item in duo æqua diuidâtùr angulus h a c duëîâ- k a. Rurfus pro pter biparti.tionem anguli 586ifimilitudiiië triangulmû, 86 tptdpôrtidnalitatem laterû,et tome Ipon’éti. 86 pe’rmu’tatim, ficütutracp fimul h 21,11- ad ,c h ,ita a kad k c. Verü 11111113 a

fimulshaa, a cm-inor efl: , quam; 6 6’ râ’. rQuoniaiïi enim h a fup’pohi’Ë 1 s 231; 86a:

1 3’33 T9; .Efl autem h c 249 . Igiturutraqa fi’mullh a,alc adh chabetminqrem pro, ’i

partionem, quam 3 6 6 1 à ad 24’ a, quarre 86 a k adk c minore-m habet proportio

nem,quàm36611-91;ad24o. r i ’ ’ a ’ ’ - ’ r

1 V Vo l *igitur a k ad k c minorem proPortidnem habet,quâm 1 o o 7 dd66186 quadratuma k1 o1 46 4 9. quadratum uero k c e34 3 ç 6 z quibus- iaequatur quadratum a c.igia

, tut erit 1 o ds 4 o 5,:quorum latuls 21411111121111.7111 cit 1. do 9 à proximênamreius quadra

» habet,quâm 1 o 09 à ad 6 6 .multiplicatidisies autem fu’bijcientur; A - V . Iv v 1 Item diuidatur in duo æqua angulus k a c duâa a l-eadèm ratiche; ficututraqa-fimulk a , acad k c, ita al add; 86efl ak minor quàm 1 à 07, 86an miner qué!!!

tum fuperat præcifum’un’itatibus 1 2 86 2-; gitur ac ad c kminoremlproportionê I l

I.

5

C

t l.1 o o 9 â586 k c 6 6.Igitur utracp (1111qu aga-aad k C minorem proportionêhabet5 Q ’ 72 o 1 6-;- ad 6 6.1gitur-al ad l c minorem proportionem habet, quàm 29 1 6èad 6 à;

v Et,quor1iam a l r fupponitur elfe 2 o 1 6è erit eius quadratum4 o 6 49 2 8 à. Etipfa ’l c ePt 6 6,cuius quadratü el’c 4 3 5 6 :r æquale uero i plis ambobus fimul quadrati-1m i l .

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1) ET ÎAEÔNVÈPOÂNDËR’ÀLIIBTÏS. a- 3’72

. ” il 64 6 6 â 245?; cuius radia: quadrata cit 2 q 1 à prOximêmam quadratum ei’US ex’

1 l N 1 ’ 4 . . » 2. u ."imam 2 o 1 7’45 ad 6 6.mult1plicationes autem fuchientur;1 -Quo’niam igitur a chabetad clrminèrë proportionem, quam 2 o 1 7 à ad 6 6.Ec6tuerfoigitur c l ad Ca habet maiorem proportionem,quàm66 ad 2 o 175;.et quoniêîcircüferëtia c b efi fexta parsicirculize’rit igiï ipfa g c pars duodecimaget ipfa h g uia

. gelîmaquarta,86 ipfa k c quadragefi’maoâaua, 86 ipfal cnon agefimafexta . Ain;, bitus ergo polygoni ad diametrum circuli maiorem proportidnemhabet, quam

6 3 36ad 2 o 17 â.Hæc autem funttripla. etiam fupererant 2 s 4 , qui quidem min

redit præcifum unitatibus 1’73 50’. quarre a c ad cl habet minarem aproportionem;

nor eft decem ièptuagefimis primis,quarum una efiz 7 3 proximflè, Harum decuà ,plus elÏ27 711111116 margis ergo circumferëtia circuli maior ePt diameti’orfuaàquâm’

tripla Taper decies partiens feptuagefi’mas primas.Quemadm’odum igiturnu’ïneriab eo pofi’ti partiuntur,mediocriter declarati funt. Sciendum quad Apollénius Pergçus Mocyntocio demonfirauit idë, per alios hUmerosnducens ad maie.rem prdpinquitatemid quidem diligëtius faë’tum 86 exquifitius uidetur; nihil aurem confert ad Archimedis propofitum. Diximus etiim,eum’ in liée li hello "pro;

h pofuifiëfiè inuenturum propê propter uitæ utilitates. Quare nequ-e Sporus Nicehusrperèipituroppdrtunê lÀrch’imedem aêéufire 1;. qued non taquin-té ab e’o" «a;

dïtum" fit cui réâæ linea: circulitcircumferentia fit æqualis .Ex quib. i ’p le in Cerij’s

dliCitgpræêêptorem fuum Philonem ad numerOs diligentiores remharle adduxifièquam Archime’des. Omnesfenim extordinejhab’entur, 86 uidena1,111 eiüs propofitum 115 cognouifle; Vtimtur ramé multiplicationibùs myriadiï,diuifi’onibuis,quibus nantit facile afTequiV induâum , 86’rjatiôuibus ma gnis;

fSi quisruerouolue’ritomfiino adminuta margis hic rem adduc’eie,’ uraturlicethis.quæ inracompofîtione mathematica à Claudio Ptolemæo tradita funt,uel quæ’fe-Pquutitur ex illis par partes ’86mi11u1ifiî’mum calculum , 86 per reâa’s in circule fi 2 ,7

tas.Ef ego lutièghOCiam feÇierm,nifi qued [æpe dixi gintellexiflëm , quôd per eaquæ diffa funt,non poteft ad exquifi’tiflïmü perueniri,ut inueniatur redira linea; 1

quæ fit circüferentiæ circuli dati çqualis.Quanquam pica-111116111113 ac- , , A ..

fere’habuerit eam.Et quæ ab Archimède funt hic - -

diâa,fufliciant; ’ i

ËfiTocn ÀSCALÀONIÎÎ’ÂÉ. COMMENTAR il v,I in Circuli menfurationem; éditione afiEripta Milefid "

Mechanico Ifi’doro noflro præceptori.’

ËVTOC111NPR1MVM* :11 mon E1111 A13 6111513011 13.511114

hum drclyinchirr. ,

a!

un1.

1; Ô M E N. T V M1 ipfum3ôgehero’fiflime Petre,commune gra; ùitatis 86 leuitati-sefi’e geùusyëc Arifioteles aiTerit,86 Ptolem’eus1 eum fequutu81TimæiIsnuÏetto àpiid Platonemsmoîjïëtùm 0mm:

”.. dicitgrauitate producianâtkflfilmat leditatem priuaiioÎnëquan:dam elTe; quorum OpinioneSIiçet difciplitiarü fiuc’h’ofi’slegere5

5 a .7 à h » 86e); Ptolemaëilibrd quemde M’omentiszcojhfcripfit,86 exnam.t l 11111111112 ArifloteliSyôÇéxEŒimæolîlatdùis; 86 ex-his qui illos expofuerütg

dénichinœde’s 11615411 hoc fibroscësêurum pbndeiis figura: plana: exifiim at ida’ex quo

.’ ’ L ’ Ï , H11 Îufpenfàl

. 1

àf un 54941:6;

y»

J

gai" V. ’ ’ a V tr: o Lcrîîr 1:11 1111-613; 1.13a à à a .

. fufpeniâ’maiiet æquedifiâs horizonti,duorum ueroîuel plutitlrmplaflorütmmî .poinderis’,h,oc efl: grapitatisààquo libra fufpenfà fiai: horizonti æquedifiîsfitta fit triangulus a b c, 86in medio eius punâ’umquoddam d ,â quofufpçn am:maneat æq uediftâs horizonti.-Conitatigiï quod partes ab C’fibi ipfisL-æquepôdé 7

a

rabunt,86nullatëè . 1 - . a,v dit altera magis ad ’ A

horizôtem.Simili:

x a

ter Xautem 86 polira; Alibraa’b,86fufpen la: ilfis ex ea magnitudi, ,nib.aib,fi’fufpëfali- y et .5braexc habeatparï l » . b . . , .-q A V «test-ab æquepondeï . l 1- . i q . g ,1 . . . :1 gratites,manebit æ» :1. » -, r. a a ’ .ta... ,quedifiâshorizoti il 4 ’ sa , 4 :14 lti,’86 erit centrum a, a p A mm, a. a 4 i 4:,JN i.fuïpenfiOnis ma; , A . - :.. , ë v . 1. . . nitudinum a bpüé’tum C; Bene’ uidetur Gemitiusde Àrthimede 11111141111611 4

fi amamdæ’y a ’ Î s petitiones appellat. mm æqualiagrauia ex-æqualibus difiantiîs autl’ôç 1» a; .. «mima - gitudinibus æquepOnderare dégommait; :86 quæfum tonnenienterÆt funt clan" A ’ ’* "ra omnia,hiquui eamoderaté infpiciunt. i ’ l I -. 5 j ; i . , .

’ , . V r ,Aequalibus’inquit, 86fimilibus planisinuicempicoaptatisôr861eotü,centragra;uitatis inuicemcoaptabuntur. Ormes enimeorür partes-coaptabüturüriæqualfü

1 ’ ruera 86 fi’milium centra grauitat’is erunt fimiliterfita . Intelligantur amem,vutii1714fubieâa defcriptione trianguli ab c, d e finæquales 86 fimiles . 8.6 centrum grauire lmis îpÎÎUS a b c Erg, ipfius uero def fith:86 iunganturva.g,b g,C gsdëh, e,h,fh;àDito igitur, quodïper æqualia diuidarit angulos lineæ duâæabripfog uel-h 911m 1

fidèldangulosÆiat a. - n L" v t ’enimfiçutefadbcj. r . 1 "l 4 V Ï a 1’01 ,. 3.: Il ïtaehadhk,86fhad P ’ l i Il ’ l Il l M’T a ’ hl,86dh.adhm.;Et-iungâtur m k,k LI m.

- , eritiamkl m triangulus Emilisvytriangulïo

- d e f. Quoniam enim, el’t ficut eh ad h k1ita

1 hfad hlzeritefeque lâ diflansipfi’kl,86fimi i a a, l l W

liter mkïipfi’e’d, 86ip ’ t Ï. , - , . il * ’ 1’ « gla d fipfi’l m . Igitur triangulus de f. (1111111ng triangul01klmE igitur litut de l

4 ad m k7ita e fad k [,86 fd adl m.’Supponitur autempropter’fi1îailïtud1nem1113ng; 4 » .q * gulorl’LeiTe ficut d e adab,ita e’fad b c,86 dïf ad 66191111112411? latera’a b c æqualiala 1

a teribus k l mgquare aptaturhunumquodcpunicuicp. Igitur triangulusa b e, i Zig jmilis 86æqualis triangulok[mequare-coaptabûut’centrumîipfiusalbain m jipfi’us kl m . Ipfo autem g CoaptaÈQlÏn ha a lateillîaï’b C céàptabumur . à- I îf6 ag ,b g, cg in ipfas h k,:h 1:, ms: 86îfacientïan’gulos .aqul (æqualessj gulisi’n. a

aira MOI?fi ,

et?" "1 11-17731

tri ingulo ab» c. quare 86 in 17pr d cf; Sam emimïîe’æde’m rèâæîliqu

de f586adklmiuné’tëæfuerïuntg t: 1 la - 1 h a: "ï;Cuiufcunq; figuræ cuius ambitusimeaderdgtauaëcôhfiïfi w rgrauitatïs

,Întra figuramcontinerinecesze efi’o’QuaS arpetlîatïl’mfieadcm. .asïlïn-e’àssiam En)1 811m cit à nobi’sin pro’œmijsde,Sphæragâç123111111de ,Qgeniamï’enimfigaura,.quaa ’

&

’ in AECLVEPONDERALI-BVS. : a du," habet ambitumin’eadem eau m,partes omnis plani( inter ambitum fuum com-pleâx’tut , 86 angulos . Con lat. ’ ’ * -qued 8C centrum graüitatl’sintra . aipfam figuram conti’ng’tuf. in qui

xbufdamenim figuris çentrùm’ efi: , ( .

and, in quibufdam îh limbô. In . (kmicirculo enim a b C centrum a ” ......;-.L’figmiæ efi g; in hyperbole" autemde f, cëtrumfiguræ efl extrâ , ubi l

a diametri Concurrùntx’nuicemfi’cuthabeth . ,I-Iç’c enim diâa film a

4 d. in feduhdo libre" Conicorum A-a .çnllonij,Verütam en et infigùra

l a b c,8é in d cf, centrum granita-tiSzâ quo uidelicetfi’gura fufpen» v -

fa maneat æquedl’ftans horizôti,w J elïirïtra ambitum . nam fiforetm ambitü, ah’q’u’id çxtrà in alteram partein tendes

q g--**T- c a a: a

ret,quod non fupponitur. . Kr. j 4 1 IN .SEC-VNDVM.’ . , a r 4 v’ -Sto centrïi grauiratis d, fifi efiè potef’c. Qyéd’enim fit in a b,cfienfum e’Pc. mm A a

Efuprà dié’curh efl,qu0d dua-rum magnitüdx’niim centrum efi, à quo libra fu-N apenfa partes habet çqueponderavntesfié æqüedjfiâs manet horizonu’. quare cm

. tram magnitudinum a b d’un] jpfa a b; v ’ , ; l -

’ IN OyVINTVMr - 4 I* - .- V: enim qued ab ipfo a bmaius ei’cipfo c, ira ut æqueponderet, aut mon.Hocdx’âü raflé intelligere oportet , non utputa qued magnitudo a b fit o.

mm’no maior c: Ted pofita maipr, autfecundum æqueponderâtiam. Potefl enimb fieri,quodminor"magnitude magis ponderet quâm maior, par longitudinem li»;1 liliaqüælmaiôr-admpdumaexifiat, ôtproportionem-faciat inæqualemEt auferae,

tuf ab ipfo a b miçus,excèflu,quo a b maïas dt ipfo c , ita ut æq’uzponderent : iraA, ut reliquum’; putaaafi’t cômenfurat-um. 1’ pfic .» Opodrtert ,inquit, auferre ab 1’ pfo a b

magnitudinem quandam b:puta qued faciat reliquum a commen furatum ipfi c,d v &maiusjipfum a ipfo c facundum æquepondelîati’onem .v Hôc autem fieri poteft

pâma quæ in principip libri decimi Elemento’rum’ Euclidis diëia fuertint , 86 in

tertio Sphæ’ric’orum Theodofiy’; la n 4 . * - a tA ’ au»: VNDECIMÀVM. d .. .. ET l’anganttfr 112:3; f, 14,le .-cadçntiam ipfæ- iâxgaripfâm b c. Quoniâ enim

ipïàbb’ efl æquah’s ipfiz’ c,ôë ipfà d b 1pr dCaérlÏfiCütd b ad o b,ita d c adz c.

86 diux’de’ntifldut d o" ad 0’ b,ita dz adz c. VeriIm ficüt d d ad o b, ira a ead e b. ni: e a,efl iux’tajpfam à daSicut aùtem d z ad 2a ita a f ad fc .’Igitur figura e ad eb, ira.

à f ad chgitur d éfi æqu’edifiané ipfi’ b,c. Similitçr autem ofilendëtur 8C reliquat;a r ’ Ipfé- ad cadqmfiis «(angulos ab ipfis a m, m k,kf-, f c’defcripmà , Emacs ipfî’

d a d ccam habentprëportionem, quam habet é a ad a ’m . eoêfleâæ fantæqüalesfl:Queniamï epimtn’angüh’a d sa f m funt fimiles 5 habebunt inuiCem ptéporu’oa

d 129cm a c ad a m duplicatam.Qyçniam.ueto nuncfupponitUerfàm ait ipfiUS andv t gphdmplam efl’e,niangulqs a ,d c habebiævad triangùlttma’ fin, ficùt &xdeéim ad A

Î a , 86ad triangulos brunis ahan), 11114,11: fifcbdefcriptosgpfopoïrticinëhabet, Ï. m &xdecim ad (111:1:qu.Ægitmçptop-ottidfialitefart ,fiéüur’iangulùs’ a Bégàd,

, çrfanguï’os ab a m, m k, kf, f c, fignl’lé-S’ipfiflàd Ç; ira ipfi triatigüli ad ipfu’m a (m. v

. Hue dt ca ad am; Sun: enimfi’miles 5 844m bafibûs æqùall’büs , 8c prOptefea in a » -. * a :tticem æqùaksaquiahabçm ad inuicegti fiât!” Cérümhafeïfi. YÊr’üm c a adammaç; ’

. Æ ’ ’Vn ’ f "k h à, (crêta, x

-t’ota’mî proportiorië habet î, 63 urflad r h. Pro’portiojanima c ad macadamportioni u r ad r p .Si animintalh’gantur u r,;c d. aduâæ à concurrentes in;paralv ’

v ’ lalas , erit Ûcut u r ad r p,fi,c c d ad d au . Varumficut ad ad dm,1’ta c a adam. fieu;

ergo r a ad a mita u r ad; p, Habat autem u r adsrp maiorem proport-ionë,Îquâmu r ad r h . Igitur c a ad. a m habafmax’oram pro portionam,quàrfi uir. ad th. Quodfané afia non potafimam lineæ rafla: duâæ par: q iuxtaripfamd a,1’n aadamarunt

, centra hac fcilicat in altarâ [33155,55 tandët uïd’alicatlin illud-omnis magnitudinagpofi’tummam centrum parallalo. ’8l non æquapondarabunt: quod aI’c commune

grammorum pofitum afl r, ôCtriangulorum q.; 2 à - . a . . ;Si enim aducas ifias c d g,f a g,b a g,con&at quod in idem punfliî uan-iuntaadu

ais animib a g; fag, 86 concqrrantibus inuicamin punâo g,ô(1’pîfaçd concurret -in idem. E17: autem ficutbg ad ga,itaf g ad g a, 8(b f ad a a;ôéf,cad-a d,8çvè g ad

t gl’ gagna-Æ

d g.Er1’.t1’am trianguli b d c centrum grauitan’ain ipfa’ h m . quoniam ipjfa ab ait a ., tarrialpars b h.Efio triangulusla b ’cgôc 1E,

.gantur ab angulis ad bipartitionas’ Iatarü ït raâæaa,br fic d. Igl’tur cantrùm’, raufta. ,41’s trianguliabecfigfitjmanife . fliquod. aomnas uiap’guli funt inuicam ’æqualas . ’ d A

a quoniam omnas rada: ab angulisadbiæv ’..Îparti-tîonas latërumiunâæ parg’ tranfè.

a , ungnalar’ùfdë plura centra axiPcant. Quo 4miamautem add b,b me c,c fi fa çqualesfaut, trianguli arum æqualas,qu1’habant- r vùartt’cam’ punâum g, ba (es uarodiâas ra A e ,.

fias . anr-a erg b tri-âgulu-s,duplus afi: tri ’ v 7 r K aangulogba,.quaraôiagipfius.g a.Siigtf. f; K À r

. ritur parg iuxta ipfam b, c duxarim-gs ipfam I.h k, arita h dupla ipfius h b. Quara uniuarfalitar, fivum’r latus trianguli- facefurjtà.ut’portio a’d uerticem fit d upla portioni ad bafimgôc parfumptùm punâu’m ducat r

tut æquadifiansjpfi’ bafizt’n ipfa dadaarftcanrrumgrauiça. .

. i :Ltisltriangulüllius. d I a n

a g x-rlxrèfiàva r. A , hcon, I.N*:,.4SI.EÇ’VN D V M ’

r V-l ;;.«xkEjQ.hVÙE;P.Ô:N D E .R AN T [DVMv " b a, :« . V . . a2fr’cbzîmaclisg’" a 5

r

il...

r

j Droit itaq; in probofitl’ona primidthaoramatis:S’ùpponâtur [pâti

dia a b,c d conter] ta a rafla 86 rafliona raflangùli échigner;a; à mus iùxta raë’ram datam apbpilrc’ara . hoc aüt non h’catt’nda par adÏA’

qu iflic de

V M diligenterez: qua: in primo libro’Ïhàbaüru’rparcdrrimug;v 86 inf ac’îu difficilia fatis daclaratzarirnus:nacafîariü’duximusï85 quæin libra facûdo obfèürl’edi’âa faut, pro modo apr’icaratr, d

mnflrata funtinuahira;Quoniâ’aüt’ofianfumafi’fib’i,’tralutiïfi libra: -

de Sph ara 85 chindrô dixit,quod figurah uiufmodl’ air fafiuiœrtl’a bébé"

’ l

a bafem,8( altitùdfnamïçum portiona eandèmîplano ùaro axifiëfélrêâilinaoziëîï’ " 7

w quitam’o,"trianguli’æqualapofïumus l’uxta rafla datam applicaras[confia’tquocî’ d I 4

ôCfiguris hùiufmodi.Œ1æ mon: apparatu’ diëîa funt,lomnia Clara par quartukfiï * lmacramaprt’miiflortimulibriç v j» »,

L212.)- .:V-’.-.. à; 4A A: y.

m a and: r’Lænzn,’

t ,r . .” tu . ç - l du E. "EFQVEP’O nanan 11mm; :: a z. Wh ,9-- ï’ C’ t- j A SECVNDVàMp * » V .n- A" Nfac’undo thaorematé prædicr’t quædam daclarantia,quo payât: in [calqua ra’ flanguliçoni figura cognitæ poflîtx’nfcrib’iEt dicit,hæc,ofiandenda fît-min ordînibus. Quom’am igitur diâum ob feurü efi, nacaffa afi pauca quædam de ao di . t

r 5 tara ex Confus Apollonij muera . Efiofigura coranta fub parabola ab c, 86 rafla.d 3a csardas fit diamatar b d; Confiat quod narrez: portionis afl punüum b .Vartices,

"aéro appallatApollonius,tarminos,qui fun: ad raflas diamatrorum.Siviamiunç ’tsarimus bas a’b3b c , aritrrfâgulus a b c,qûir bafam habaatvcfî portiona aand’ê,8( a:

:ütudl’nam æqualam:duââ a punâo b ad ipfàm a cparpandicularë. Sic enim ouïemm b daPt axis,fi’ fumantes uerticas portionïi a’b,b c,1’p fos a,f, 85 par ipfos duxa

h rimus parallala’s ipfi’ b d,puta a gÆo,’ crût 1’ pfç diametri portioùü a,b,b c. Ofiëfum

d :afi enim in*parabola,quod omnas duâæ æquadr’flâtes iuxta diamatrü funt dia:’metrifaâionisœrüt iam a5fuerticas Portionüt 8C quæ par a,fapp11’catç æquadifiâ’e .

’ tas ipfi’s a b,b catit 5C a l f iuxta ipfam a C.Quon1’an’1itaq; a h,fkfunt1’nu1’cëæque ’ l a a t

:ldifiâresfic axr’flantas diametri æqUalasæqualiïi portionü, 8c coaptatæ inuicë uni a a win faxto Conïcorü’ of’rëfum afi: 86 quoniâïe gh ait æquadifià’s ipfi’ b d;ar1’t ficutb g d -

ï ïadgaàita d h ad h a.EPc aüt b g’çqualx’s ipfi’ g a. nâ’ag fecat aâîn duo æqua æquadi ,t

"fiâta’m applicatç’ c6tînganti.ig1’tur d h efi’çqualis ipfi’ h a.Etaadam rationa d k ipfi . V O a«ko aû’æqualis. Tota’ uaro a d afi æqualt’s totl’ d c.igt’tur d h eflaquall’s ipfî d k: et ex - l

hoca’lipfil f;Quara uarifiïmê diâïi aliquod rada iügës ucrticas portiomî, æque» diffas arirbafi’ portionis, ôé in duo arqua diuidaË à diametro portionis; Iunganfi

Ë .. ü , - I: d’an la V d b qI il l , A?(a e l Ir) V’z5 Î Il )j,- r .85 o rÎ. . w

ul 4’V3 ’IAsa ..d P Ï.qüëtpae,ab,b fifcôldiuidîturifi duoæqüapîïéüsman,xso,ôCrdtICafiËparpfiçI » , ’ a «

’. &arm,n,x,o-iuxta-ipfambdifiæpmrfim,gqxzqusïo. iungâturalp,pa,at,.ttb,i . - "a b q-,qf;fs,s ç:ôc ba fla q,p* .’b* la ’d zssCôflatiâ.’ ex ü’a’s ante. damôfiratis2qUodtqueç

. . tafia: p sfunt’ æquadt’ftanta’s ipfi’a c: 8C quodt [à dt qualîsfiqôë P, d.iPfi.d S’DÎCOÏ

. quodhæfacâtipfarnxbdia humeras-.confëcluanrar-.imparfië:êhQS635ÇÜÉŒSÂ? fiât; t

. : et; j. z; a ’ I V ,1 I . b . A - 7iI

Û.

,6297 a l ELVTio en IN" ARC a; me. in.

us d h:quare 86 ipfius a l . Igitur quadrarü a d quadruplum erit quadrato a l. Sieurautem’qù’adra’tuma d ad quadratum a l, ira oflenfum el’t elfe b d ad b -l.quareb,d

I quadrupla afi: ipfi’us b [igitur d l tripla efl i plias b l-.Cuius igitur b-l’ali unum,eius

unumà illis erit ,3 1 "la, 5515! quinqua, 86 ,dd feptem : quoniam’ag marimba Aipfi’ g b,86 e h efiæ’quadifians ipfi’ b d,erit ah æqualis h d .igitur. d a dupla . cg 11,5?

erit dl tria: 86 eadam ratione cuius b lfuarit quatuor,eius erit ipfa dl duodecim .86 ,quoniam en el’c æqualis iplî f1 b,, 86 e’If iplÎ If 1,86 h uiplî u d,igitu1: alduplaalt ip

(ius l f,hoc ce: iplîu’s t a. igitur quadratûm al quadruplum afiquadrator a.igitur ’b l quadrupla ait ipfiusb ,a.fquare l a tripla afl ipfi’us- a b.quorum igitur ififal b eftquatuor,arit ipla bpa unumzet quorum ipfa l a «raja: ipfa l d’duodacitnïRurfus v ’.quoniama m eff æqualis iplî m e,86 a k-ipfik g,86 afipfi fh :erüt igitur a fifhrh a, ru d rhuicem æqualesquUorum igitur a d elt qUaruor.eorum f d ait tria,hoc,afi iÉlZa’p Idrquor’um igitur quadratum and afi: faxdecim 5 horum quadratum pld dinar auet’ngquorum igitur b d afl fedecim,eorum ait nouem b 51,86 rafi’dua’d d fapæmfi. ,Quoniâ igitur oflenfum el’t , quorum b dafl fadacim,eorü b’ aeffa unum 586 ,a,l’tria,86 ;dd faptem:erit igitur reli’düal quificp. Diuiditur ergo i pfab d ab æquay *dril’tant’ibus in humeros confa’qumtar impar’es , aa quæ ad uerticem portionis gelï

parte ab unitate danominata. Çôflatligitur ex defcriptiona ,quod duâæïàldiamatris in numéros ab unitate côfequentar difpofitos excref chum» Gui us enim ait-t aunum,aius efi al du0586p,d tria,86 a d quatuor . Cum enimïfint omnias arquedig-RantesJècâ’tu’r in æquali-arAppellaturautem abArchÎirneda figura la p e t b qf s et

.cognitaa infcripta. » - . ,7 I . ’ i y - v l ’I q I I . ’l m -TiERrTlIVlM.r,*1 A . . lSImilas portionum facilionas coni Apollonius diffiniuit in fèxtolxbro Conico

V rumillasn’n quibus fi ducantur in utfaquaqua æquadiflanta’s bali væquales nu V a 3.V mero æquediftantes,86 halas ad ab fcifas ab aquediflantibus uerfus uerticemïpar l

tes diametrorum in eadam proportione arüt, 86 ébranlée ad abfcifas, 86 quod para:bôlæ’ ofmnes funt Emilas inuicem. Figura uero cognitæ inferipta g’quid lit, diâiî

ait in præfumpro limmata. Hoc autem fimilitar diuideraidiametros efitur portio’nes earam eandem habeant pro portionam. Rafiduum uero thaorematis air da; ’

qrum ex prædiâa figura. t î n I J l v - . -’ m QJVARTVM. *’ , Nfcribatur reâilinaa figuraÏcognitæ in v portiona 5 ira ut cireumcifæ partes En: .1 ,. a

, r minores ipfo k. hoc autem manifel’rum ail ex prædiâis,in facundo Stichiolîs. a j

ordinationis,86 in primo de Sphæra 86 cylindra; î A4 ç qui - IN.QV1NTV.M. a a, g j v 1T quoniam h fgï ait parallelogrammum, magnum enim hæ k filg flint

Eæquales.Sunt enim portionïî æqualium diametri, 86 æqualiter ab. axa diffa»tes a b d, 86 fim’iliter diuiduntur à centris h i, eritficut k li ad h f,ira li ad ig,86 par,mutatini. 86 idcirco h fel’r æqualis iplî g. un autem 86 æquedifians ai; na omnesdiametri parabolæ fun: æquadil’ranteszigitur ipfum h f g iL afiparallalogrammrî.

«n 4. . q and SECVNDAM» gPARTEM 0.le T1; V. ’Rit itatp’ magnitudinis Çomp’ofi’tæ ex utrifqaga k b,b lcportionibusc’an’trum J

grauitatis q,86 compofi’tæax utrifq; a k b,b l c triangulis,éfl centrum c;586c., Il -iOfie’nfur’n al’Cîenirn’ in præfum pro;;1Uoniam.hmiungans centra portionuimbi.

partitur ab ipfab d punâo q,erim it ipfi fg æqÙediflans :r 86 g h bipartiturpugnau t.quara t afi-eenltrumlgrauitatîis magnitudi’zrisscompofirïæ ex triangulis a lob, ’ Ï

b le. 03mm igitur triangulus b a c maiorem proportionam’habétLad triangu;los aklbgbllçàë ad portioifes586 reliqua...Quoiîiam* enim ofianfumrefl, triangu; a la?li a b c centrum grauiratis elfe e286 triangulorum’a bk, b le centrum t,manifa&ïiefi quod «filmai-ah b l-qcentrium" grauitariâefl in: eldiuifapuriâo Rfec’undiî a "1

l . A V Il V mu-r ’x

A a ne AEQÇVEPOIE’IDÏERALIBVSsl ’ a rasai mgçuam proportionaquamhabat triangulus a b a, ad triangulos a kb,b l ,cl.quo

niarn am triangulus a b c maiorem prppOrtionë li abat ad triangulos, ak b,b kgad portionas- : Anam portionas funt triangulis maioresscôltat quod facuaritnusipfam et i n proportionê quam habet triangulus ad. portionas, punâïi radiionis ame: fuperius æ fit quuod erit cantrü totius portiôis,propter rut-nua afieâionë;.

w Il IN SEXvTiVM.’ a ri;4 . rriEntrum portionis ait omnino uinu’m , 86 propinquiu’s uerticiportioni’s,ôfi’ centra infcriptarum reâilinearum .- Nam trianguli a b e centrum grauitatië’

p aitil fifcontingat e, ipfa bÏd,ita diuifa ut a b fit duplaipfîus a d.C6fiat quod omniacentra infèriptarum reâilinearum radent inter punch h a.86 quanto plurium la:tentai fuarit infcriptum cognitæ,tanto’magis ipfi h appro, inquat. Confiat itaq;elfe non potel’t,ut lineaintar centrum infcripti cogn ta: reôilinei, 86lcentr1’î -

. ’ portionis intercepta fit maiOr e h,pote& autem minot elfe non folum ipf a h gue-

rumomnialia data. l , - a r .. ’ *. Ï a. rit-saiirinvm , ,’ .3 1 Il ,Â ’Nfcribaturitatyin portione a b creâiline’ü, fimile ai quod efi in portione d a

l Inca fimiliter cognitæ. Similitar enim cognitæ infidbiturfluando feâionesparabolae a b ç æqualas fiant ipfi a fg, ita ut latara c0gnitæ ’infcripti iplî portioni

v "ab cæfingt numero æquales reâilinai laterib.infcripti iplî a f g.quoniam enim pur! 4dia b 86 fifunt uertiees fimilium portionum,erunt ita eognitæ infcripta Emilia; L

.. î, a i a, plus! ocrairv’lvi; . .pv. T quoniam ait ficutb h ad h d; ira k m, ad m f. nam portionas cum lînt fimi- r. . Ï les,hababunt centra diuidentia diametros in aafdem portionas. 86 com ponë

- fi,lîègt b d ad d h,ita kfad f m:86 permutatim; ficutb’d ad kf,ita d h ad mfiElt au

tant b d quadrupla ipfi’usk &th - v " * a l-anirn in fine ofienditu’r,ubi el’t li: a

l :gnum hoc f . Côlaq’uehter alité

* illud nos offendemus. Efio-para .a isola abfc,c’uiusîdiametros b d, 86

dudatur .ordinata au," 86 iungà; pl 3m a bi 86 diuidatur a b induo gai»

’ :qua punâo 1’386 dutacurpçr f æ-

;quadilians i plî b dipfa a f. igitur Vafiel’r diametros portionis a .4agaça punais a fducantur ordia . a .para hæïa g f h,Œoniam itague

a taf. afi: æqualis fb,erit a b dupla ipi p b,86 ad iplÎus fh:ho’c afi ipçA [ius a g.anre uadratum a d al? l

quadruplum a quadratum agi 4 - d il a.Î uaratd b quadrupla ail: iplîus bÏ g longitudinev. ngniam igitur b d ait dupla ipEus b h,arit b h duplaipfi’us bg,.86 ipfa h gpæqualis ipfi g b:86 ipfa h gæqualis etir -am iplî a f. quia ipfum e g fh al’t parallalogrammum .I itur i pfa bdal’t quadrupla

l iplîus f a. i 86 quoniam ipfa b d e’l’t. quadrupëa iplîus b l; etenim hoc efl: ’oflenfum.nam ol’tenfurn afi: in ’fumpto , ipfam b d utriqa harurn bg,a:fafl"a qua.IdruPl’amtquare b gafi æqual-is iplÎ af:-86 idçirco ifiic ipfa’b f iplî k fæqualis,86 bd-

a luttait]; aarum quadruplaugitur ipfab fal’t tertia pars ipfi’us f d. quoniam enim b d’afilquadruplaiplîus f. Clitoruni igituripfa b d ait qUatuor, eorum ipfa b fel’t a. aknurhgf86 quorum b d afi’çluodecimp,aorumipfa b efl.tria..Eflautam b f tripla ipfius fxtqporumjgitur b Tefitria,ipfa (a; efi.unum,Totaig’itur bxefl quatuorzhér

- . v guimautam arat b d duodedmzigiturbzç ait tarda parsiplîus b d . Triplus’autana a

G i .- A i il tri-«4.

s ça». .. 1’; vï’r o en" in] ac a. "il 13.88611;«triangulus. a b cramasan . Oi’renfum animait ab ed,in ao quot! faiplîtde Cbfii iraflanguli feâio’na, q’uod omnis figura côtenta à rafla, 86 ramone radianguli (à,

rusait fefquitertiatriangulilbafem eandem habentis,86 altitudinê æqualemqüa,ra portio a c, el’t faiquitartiaitriâguli ab 686 diuïd’enti, trianthltIs a b c ail tri phisportionË ak b,b 1c;86el’t d b tri plaiplî’US ad. igitur ipfab h ça fefquitertia .ipfiUShùd5quoderat demofirandumqutmiam enim b d efirtripla ipfius e ,. Chiorum i, i ’gaur b d ait quindecim, eorum a d efl: quinq; z quorum uerode ait quincpœorum

fil] eafi unum :86 iota h d fax, (cilicetfaxcupla ipfius h a. Quorû igittIr b d guinde.

H le IIAN’NOIN*VMI.THEQREMA. l i îf il V Ont-1m ,theorema ualde-obfcurîi, exponemus iuxta’loquentes quam clarë’

ïNpoterimus.Ovuoniam enim ifiæ a b,b e, b d,b e fun: propertîorlales ,86 diuiV .denti,86pern1matim,êrüt a c,c d,d e in aadem’plroportione .; Quoniamjgitura b,lb c,btd,b a in aadem funt proportione, 86 dise ac,çd, d agefl fientai-n primismagnitudinibusanteeedans, 86 madium ad faquenszita in facundis magnitudinibanztacadans,86 médium ad laquens . Sieur ergo utrgq; fimül a c,c diho’ç ell,d a adèle;

. tim,eor’u1ndjh aft Fex:86 reliqua h b, nouem.quare b h ait fefquialtera ipfius bd;

Îita utraq; firnul a b,b aad d- b; Sicutaüt utracp fimul a b,b c ad d bzita duplautlriufli que limul a:b,b’le adduplani iplîuë b’dfiqui’a partes eandem fui-s tînultiplicibus

banc proportiOnem.’Sicut ergota d ad d a, ira duplum utriufq; flan ul’a b,b "c adiplum d-b.Rurfus q-Lîoniam iflæ c b ,bl d,b a inl’eaïdem (unit proportionaJ86 me aï;

; çd,da. elÏ autem par prædiéia’ (leur ad add a , ita utraqa-fi’mul a b,b d ad b e.Erat

il

ll

,ÂautëfiCLit a d ad da,ita duplam utriufcphfi’mul a b,b d”aÎddùp’lum ipfius b d ; Sieur p ’ v:

largo unum ad umî,ita omnia ad omhiaLSieut ergo à d ad d e,ita antetedëtia ad: (aÎquenda. Sunt autem antac-edentia duplü utriulqî; a b,j;b tzar utraq; ab, b d,boc ail; . ili’ïduæ a b,tres E b,86una b d:fe-quëtia uaro dinluih,b-d, 86’folajb a). Ell igitur ficu’t i l

a d ad d e,.ita refila compofi’ita ex dupla iplîus ab;&triplae b,86 folaîd’b ad compo

fitam ex dupla bd 86 folaba. Enquoniam compolîta ex dupla a bf,86 quadruplé aa c d,86quadrupl’o d b,et duplo b c,maiorafi: compofi’ta ex duplo a 86 triplo c b,

1 ’ ’ 86fola d b z maius autem habet adidarn maiorem proportionern, quam minus :maiOram ergo proportionem habet compofita ex duplo utriufquerlimul a b,b a, ’86 quadruplo utriufque fimul c b,b d,ad compofitain ex duplo d b, 86 fola e b, EËcompofita ex duplo ab, 86 ex triplo c b,86 fola db,ad*compôfitam ex duplo b de: l

a fola e b. Verumficut côpofita exlduplo a b ,86 tripla c b,86fola b d, ad com poliraex duplo b d,86 fola a b :ita ofiëfum ait elfe a d ad d a. «Igiîtîur eôpofita ex dupla-u, I Vtriufqalîmul a b,b e,86 quadrupla utriu,fqafin1ul(cb,bÎd,ad coinpofitaniex duplab d,86 fola a b,maiorë proportionem hab’çnŒ adad cl a. Si igiïuoluerimus facera- leâdem proportionëiplîus ad ad quandâ alia m,ërit illa minoré? d eÂfit aiit digi-E fient a d ad d o,ita compofita ex dupla a b,bfe’, 86 quadrupla utriuf’qgifi’inUI’C,

b d,ad compolîtam ex dupla b d,86 folà e b. Et ecôuërfofigitiu el’tficut o’d add a;ira compolîta ex dupla b d ,86 fola a b, ad com pofitam ex dupla utriufq; fi’rnul a la;b a, 86 quadrupla urtiulqg firnul c b,b d:f86 componëti, ficut o a ad d a,ita coin polÎta ex dupla ab,86 quadrupla c lb,86 faxcupla ipfius b d, 86 tripla ipfius b crad râpé

. ma exdupla utriufrË fi’mul a b,b a, 86quadrupla’ utriufq; fimul c-b,b dflpfa enim n lb d (axias fun": pta a V ,quatar inprimis,bis in facundis , 86 ipfa b a ter rampa: bisinterprirnasJamelinter facundas :Supponiturautem 86 a d’habere ad g h ,eani ; j leproportionem, quam habetcompofi’ta exquin’cupla utriurqua fiinul b’a,86decri.pla utriuÇqùefimul cb,b d,ad com polîtafn ex dupla a b,86 quadruplait B, fexcu’aî

I pla b d,86 tripla b c,86 el’t proportionalitas indireâa ; Par æquam igitur, fleur o a"ad g h,ita eôpofi’ta axrquincupla utritîfqa fim’ul a b,be, &decuplac b,b d,ad cornepofitam ex dupla utriufque fimul ab,*b a,86 quadrupla c b,bldrHuius autemtdèli l r

. feriptæ proportionalitatis Conditio fic lietmmifefia; (morflerai enim in pr’i’mîiè- p j

il? . " i . ’ a f . - ma’ . . I

i Ilil

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F ne 31370.,leFOVNDERAILJIBVTS. - avar. ’Ëagnîtudinibus lieur antecedës o a, ad con faquans a d,.ita in facundis magnitu-dinibujs antecéd’a’s cômpofi’ta ex duplaa b , 86 quadrupla b c , 86.fëxcupla b d, 86ftriplab a, ad eo’nlEquenrem- compofiram ex du pla utriufqg a b, b a, 86’quadru’»

plaùr’riufq; (aux! c b,b’d.Sicutautem in primis magnitudinibus confaquens i. .* a’d,habat ad quoddam aliud, ad ipfam g hzira in facundis magnitudinibus a:

IIi’ud quidcompo’lîra ex quincupla urriufq; ab, b a, 86 decupla utriuiq; fîmul c b, A

. aad eôpofi’ram ex duplara b,86 quadrupla c b,et [Excupla b d,86 tripla b e.Quo* Sniant autem quineupla utriufqg fimul a b,b e ad duplam dufdam,aam habet pro

purpurin uam quinqg ad duoilhabet autem et decupla-utriufqua limule b,b dfard quadruplam eiufdarn pro portionam, quam quinq; ad duo:quandoquid’ê decramât! quatuor habeat eam provporrionam quam quinq; ad duo . Côpofi’ra igiï’éxiqîuineupla utriufq; limulja b,b a, 86 d’eaupla urriufq; fi’mul c b,b d,ad com pofi’

tamarix urriufq; limul ab, b c,86 quadrupla urriufq; fimul c b, b d, propur-friotriem habetquam quine); ad duo . Ovniarea o ad g h proportionëhabet, quam

Aquinryad duo. Rurfus quoniâofienfum aftfupeï’iusquod o d ad d a proporriohammam a b cum dupla d b ad æqualë compofi’ræ ex ditpla urriufqg a la,

’ aumquadrupla utriufq; c b, b d. Efiauram lieur côfeq-uens in primis magniîü’dirtibus dia,ad aliud quid d e: ira in facundis magnitudinrbus aliud quiddâ c5ex dupla ab, tripla c b,86 fola’d h,ad antacedësmôpolîtam failieer ex e b,86dupla b d. diflièrilitar indira’âa proportio , hoc ait proporrionalirateihdireâauÏg’itur lieur d ad d e,ïta rompofira ex dupla a b,rripla c-b,86 fola b d,ad com poliiam ax’duplautriufryliîmul a b,b a, 86 q’uladru la ’c b,b d. Quara 86 ê conuerfo li-

6m22 d add o, ira compolîta ex dupla urriufq; rmul ab,b c,86 quadrupla utriufq;firnul ab,b d,ad çomp’ofitzî ex dupla a b,86 triplac’ b,et fol’a b d..86 euerrenti, fierté

d aida o , dico «anrecedans ad eXœll’um-dta côpoiîta ex dupla .utriuiq; lima! a b,b a,eam quadrupla b b,b d,ad compofi’tâ ex a b fola,86 triplarb d, 86 duplae b .In

a Fa.nreEa’dëte’ enim altvdupla i plias a b,86 iplîus a b: in eôfaquëra uero dupla ipfiuaa b fola’. quatre fuperfluit in excaiÏîbus dit-pla iplîus a b.Rurfus in anracadëta qua .druplavutriufq; fimul ab,b du’n cohiëquerrte uer’orripla ipfius, c b,86 fola bd:qu’ara fuparreliâa fuir in axèafsibus fêla e’b,86 tripla-ipfîus b d . Ben’a’igitur diâü elÏ

guod en euerrëri lieur de ada o, ira compolîra ex dupla urriufq; fimul a b,b a, 86quadruplaurriufcp limul c b , b d,ad côpOIîrâ ex c b , 86 tri pla i plîus b d, 86 duplaipfiuse’b.Quare ë côuerfo fleur o le adîe d,ita aôpolîra ex c b 86 tripla id b,et duplaëb;ad compofi’tâax dupla utriufq; fimul a b ,b a, 86 quadrupla urriufq; fimul c b,b d’fÉfia’urficut d b ad aliud quiddâ ad ipfum ab ira a b,adblc,etduid’e’ri fleur d a

advenir?! a c ad c b.Eadë aüttratione lieur c daci a b,.ita de ad a b. Sieur ergo tripla25113:5 d,ad’tripla iplîus d’b,’ita duplaipfi’us degad dupla iplîus be. Pattes erîreâ a

. guidé haben’r proportionë,quam earü æquemulriplicianitur lieur unir adunü,itajomnia ante’tedenria ad omnia faquenria.Efi igitur lieur d e ad c,b,iracompoiï .

i ’ télexa (586 tripla"; d86d1upla d e,,ad côpofiram ex a b,86 tripla i plîusb d, 86 duplaâpi’îuslb a. (nm-mm enim ofianfum efi:,ficut in primis magnitudinibus antece:il ans oe ad raqueras d a, ira in lecüdis magnitudinibus compofitaex a b, 86 triplaiplîus bîdà86 dupla ipfiusb e,ad faquens côpolîram ex dupla urriuiq; fimul a la,be, ’86 quadrupla .utriufq; fimul ab,bd. Sieut’au’tam in primismagnitudinibfeade ad aliud quiddarn ad ipfam a b : ira in iëeundis miagnirudinibus aliud.Çjèüiddam c’ompolîta feilicetex ac , ’86-rripla’cd ,6 86:dup!a de-,î.ad antecedenzs

édinpolîram ex c b, 86 tripla d b,86 dupla a b;.;Peîr,æquamigitur in proportionalil tateeindiraâa, Haut oe ad e b, ita;compofita.exëa ÇjÎti’ipla e d, 86 dupla d a, ad côpo

1 - fitarn’ ex’dupla utriufcp’liunulra b,b zegærquadrupla-urriufcp limul a b, b d.86 comi-laquent]: fituto b ad b e;ita courra-cria aga èàôzfifplaè d,adupla. d e, 55 dùpla a,

a b,b a, &qttadrupla amura-Emma bgb..d,ad’eompoïitam ex dupla

* l i a A e ’ - l i unitif

i lx.

X ,

«ce Ë v To c7: r 1141...». RiCrHanL 13.111. v Iutriufcp fiiuul-a-b,be,8t quadruplasutriufçplimule b,bîd. Verumacoampgfitaegç iac la; tripla c d sa dupla d e,ô( dupla utriufcpfimul ab, be,ôC quadruplaurîrîuf Î

I fimul cbèb’d, æqùalis el’c clôpofi’t’æ extripla a b, 8( fextupla c b,86 tripla dlb..lp a

l enim a b bis alÏum ptael’ginde 86 aflumiens ipfama c,8c exquadruplaipfiùslcb,unam facit tertio ipiàm a b. Rurfus ablata à quadrupla iplîus charma manet r

’ pla iplîus c b. Âflumens autem triplamzipfiuq cd,ôc triplam d b, facit fextupla -’l fîus c b. Rurfus ea ablataâ quadrupla ipfiusd b,remanerfolad b:qu,ç alfùmen; idupla iplîus d e, 6C dupla ipfius e b,lacit triplâipfius b d.Bene igitur dicit quedi o b ad e b eam habet proportionë, quam compofita ex tripla ab ù’lextupla c b,8C tripla d h,ad com pofitâ c’x dupla utriufq; fimul a b,bve , 85 quadrupla utriufepfimul Cb,b d.Rurfus;quoniam hæ e d,d c,c a funt in eadem proportiéne, tôt pertohuerfum füppolîtiqnis utraq; fimul,unaquçq; harum e b,b d,b c,b: eritvficut

* e d ad mediam;’ôc ièquentëipfasd c,c a,hoc ei-Ï ad i plfam d a,fiç urraq; fifiiule. b»,ç 4

b d ad utranq; d b,b c,cum utraq; fimul c b,b a.ôC eomponenti fiçut ca ad d*af,*aiçautraqg fimul e b,b d,cum utraqa fimul d b, b c,86 icii.utraçpfimul,cb,b a,àd nuât?d,b,b c,cum attaque fimule b,b a. Verummraqa fimul c b, b d,cum utraq; limait! »

.Ikb,b a,æqualis el’c Utriq; fimul e b,b. a,,ôé;bisrutriey lifnul d b,b c. Semel enim ex: -

’ tremæ fumümr, 8C mediæ bis.At uero utraq; fimul d b, b c, cum c b,b gagnaisIieflutriqs lîmul b, d,b a,.ô( bis e b,eademcaufa.Œare«efi fiente aad, d a: iratomipol ,lita exe b,b a &dupla utriufcplîmul d b,b crad compolîtam exlutrac’plimul

a,ôC dupla iplîùs le b:qu.are 86 dupla ad duplam habet eandemgproportiOhÏ-em. ;Siçut ergo e a ad d agita côpolîra ex dupla utriufcpfi’mul, e b , ba cum quadruplà’.

utriufque fimul e b,b d,ad-eompblîtam ex duplautriufquelîmul a b,b d,86 (in?drupla ipfius e b.quare fieu: e a ad (res quintas ipfi’us da,ita composfita’exdupla-,utriufque fimul e b,b a,.ôé quadrupla utriufque fimul çb,bd,ad treks V quintal-5E6?

, pofitæ ex duplautriulfq; fimul a b,b d,86 quadrupla ipfi’lm . Veriîfièuç gaga’ (res quintas iplîus d a, itafumpta cit b e ad f g.S’icu;t, ergo e b adfg’,ita.cbmpbficaex duplaiutriul’cp fimul e b,b a-,Ïet quadrupla utriufq; Ermul c b d, adztres itas côpofi’tæ ex dupla urtiufque ab,b au quadrupla ipfi’us clb.quon.iâ igitur. ceRenfum efl, fleur autecedensflobbad gonfequensb e,ita intecedens tripla utriuÎqufimul a b, b d,cum fextuplai iplîus bgçad duplam. urfiufqà fimulaerb en quadruAplam. utriufqgcb,’b d.fi’cut autem confequens ipfa e b ad aliud quiddam,’id e115? ad

V» .fg,ira confequens dupla utriufcpvfimul-a b, b e, êçyquadrupla utriufiyfimuladïb; .la c,ad tres quintas (équeutis,hoc cil adtres quintas cpmpqfirae exlduplavutriùfij

a fanal a b,b dzæ qzuadruplaipfiüs cb 4 In dirçfija igiturprô’pqrçiqnalitaçe; page;

:quamflcutob ad fggiça compofita ex tripla agrafai-que Émula,cb ad très quintal? compofit-æ’ex dupla utriufcp. lima! a b , b quadrupla

’ [ius c b.Compolîta auero extripla utriufqyei fimulçayb,b. d ,’ a fextixpîlà c:b,-.ad

Lquintas compofitæ ex duplauttiufcp lima! a b,b d 5185 quadruplaipfiusç b,’ spartionç habetquam quinq; adduo. Nam triplautlçiufque fimü’lêa b; bvdgad

.plam utriulïzp fimul a b ,b d,proport;ionem barber fefquialterâ: (cd. sigfektuplaezib’î.aad quadruplam Ch, eandem-habet, proportionem’fefquialreramèQüdnîâ’ n,anrrecedenria ad’confe’quentia &fquialtera funt,8(.îprgpprtibnë hàibèljlt-l’çâ y

. tria ad duorigitur habebuutfieut qüadraginltaquincpadqigiçta . r . p.h humique Îefiquindecuplumsum autem decembéiok desquintaede Erigfiinçafigi:

un quadraginraguinqgaddecem 0&0 habent proportipnerp,quam cçmpofitaex tripla utriufq; fimula b,b d,c;umfjexçupla e b ad "esquintas combiné rendus-A dt, - p

îpla utriufque fimul-a b,b d cuqujuadrupla c b,qualis garçtiampgjogqtüq o* 4 fgfed quadtagintaquinq; ad deçem 0&0 carne habentpropbrriqqëgfqmm

que ad duozn-am quinqueêô duql’uuc uniufquenoqæ,’qùare;êço, bad fg çà bibi ” z

inpropôrfionemaquamquinqueaddac:o.wigwam-igituréfinfùëfiffiqgèë’

W i, I î si? - p. v I l . - a, iv- V I up ’ l v jl

par; et.qu me N n È a aux-.13 wsf- La,«au "glaj pzupàrtianem habet eam: quam quintp’ad duo, 85:0 b’ad f g’eandëîprbpartionem-,éfië ipfafh duæquifitæi’pfiustetius ab; t » « v ï" ï j " v , n ” » - ’ ’ ï a

i a f v t- t g ."IrlN. To se v: M» T H E 0R? a M A3,". .. 15Q r l G-nfiàtiafii’qüiods’frufii a d et diametros eflipfa fg,, rquoniâ enim fuppë’

- W f I uitur ipfaïf b diametros ipfius portiënissôi ifia: a c,d e bipartitæ abea puni,üiëfgfum æquedil’tantes ei quæ in b? contingit’ feé’cionem,eonl’tatquodômnes

fififiliter ab-illis duâæ æquedil’tantes fine inter illas, flue inter ipfam d e, 8C-uerti’b biperntienturab ipifà gf.8l ideo dixit ipfam fg elTe diametri-Im-fruflif -kF’Verïî fient-cubas aef ad cub’ü ipiîus d g,ita portida b c ad-portionëïd e b ,,.Quo

- I niâ’feâ oflëfumeihab eo qued part-i0 ab-eeit fefquitertia triâgulo a b cet partiadeebelttrinagulo d e b .fitë’fefquitertia erit iîc’utportioa b c ad triangulü a b gîtapartie d e’b ad triangulü cl evb. 85 .permutatimlÎCut portio’ ad portione’m,ita [tian

galas ad triangultîiôé ira quoqa dimidia eorü: lieur portio a b c ad portionë de b5ira triâg’ulusu a f b ad triâgulüïdïg b.quare fi defcribamuS parallelogrâma,erüt du

platriangulorïïi æquiangula, prgpterea-"quod d g 85 a Hum çq uedifiantes . quart:85-pr’o’ portibnemhabebunt compofitam ex proportio’ne laterü a f d g , 85. f b ad

0 Ergleademaüt proportio triangulorum 8C p’ortidnü; Portioïigitur habet ad par.- dénemproportionem compolîtâ,’ex proportioneà-fadd g,8( ex f b adb g.P’rdç

’ ïti’o autem fb-ad b g cit eâd’em eiquæ cit quadratilex a f ad quadratum exd g;

rîbaportiojgiturportionis ad partionemS componiturçexpropOrtio’ne quadratiexafad quadratum exrdig,et ex a f ad d g.pre’po’rtio,quoq; cubiiex a fiad cubunia; componitur ex eifdë,uti oflenfum eftin- expofitionibus de Sphæra 8C cy’Êb’drc’Ei’cergo fient portio ad portionemn,ita cubus ex af ad cubü ex d ggEt quomiam-I folid um’quod balîm habet quadratum exa. fi’altitudinem uero lineam-c6?pdfitamîex dupla i’pfi’us d g;8l iplà a f habet eam proportiénem’ ad cubum ex a fquam dupla ipfius dg cumipiâ af habet adfa, , . Nam in eifdem balîbuvsyexifien

Aria habeat inuicemueluti altitudinesEit autem fieut-d g ad a fiita x n ad m n.8Cfient dupla ipfi’us b g ad a fiitadupla ipfi’us n x ad n m: 8C côponentificut duplan x cum n mâta dupla d g cum a fada ngfiëfum efl: autem, fieu: cabris ex a f adcubum ex d g,ita cubage): tri nL ad Cubume’xn L186 m naine, funt quatuorpro

’ . ortionales. 8C ficut prima ad quartam, itafelidum ex prima ad folidü fibi lîmizv e ex feeunda 86 fimiliter figuratum.Sicut autem cabus ex d g ad folidü qued ba»

l. (in! habeat quadratum ex d g,altitudinëuero reâam, congpofi’tam ex dupla a f,8(ipfa d gâta d g ad-compofitam ex dupla ipfius a f8( ipiâd g.Rurfus enimha»beutur inuiCem ficut eorum altitudinesSicut autem dg adduplam ipfius a fiCËipl’a d ç ira t n, ad compofiram expdupla ipfi’us o n cüipià t n.eit enim ficut a fac!diggitani n ad n x, 86 o n ad n t.8C e conuerfo ficut d g ad a fiita t n ad n 0,.Faëîç i.igitur funt quatuor magnitudines commenter inuicem polîtæ: prima quidem f0 a

0 lidum qued habetbafim,quadratum ex a’fialtitudinem uero reâam compofitîex dupla d g 8Cipfa a f, 81 feCLmda cabus ex a f,tertia cabus ex d g: quarta folidù’

’ a qued habet balîm quadratum d g , altitudinem uero reâam compofitam ex du.pla a f86 ex ipf a d g.8C aliæ quædam reâæ in eadein proportione binæ 8C binæfumptæ,1’pia compofita ex dupla n x,8C fimpla m n,8l feeunda m n : 84 tertia n t,8C quarta compolîta ex dupla o n 81 ex n t. igitur pet æquam flet lient (olidum ba.fim habens quadratum ex a f,8( altitudinem reâam compofitam ex dupla d g 8K ’ipia a fiad folidum balîm habens quadratum ex d g, 85 altitudinem compofitam Ï

’ preâam ex dupla a f 86 fimpla dgzita ipfa coinpofita ex dupla n x,cum m n,ad c5:’ Vpofitam ex duplan o cumfimplant. Verurn fleur folida prædiâa inuicem , iraa ofienfumefl elfe h i ad i k.8icut ergo h i ad i k,ita compofita ex dupla x n,8( lima Vpla mïn, adduplam n os 85 fimplum n t.8Ccomponenti , fieu: hile ad le i, ira com,

’fpofitaex utraq; fimul m n,n t,»,8C dupla utriufq; fimul x 11,11 o, 211d compofitàm in;

4 v ’ a ’ i a" i up

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"eduPla’îplîüs in osââfimpla n t; Sieur autem Îfg,ad (gamma duasïçîu;

tas": utraque enim harum. gh , f k -, elt d uæ quintæ ipfius1îg 5,1" ’* .dia quinra ponitu’r ipfa h k: ira compofi’ta ex quincupla utriuïcpfimtd’m’mb f, I

85decupla utriufque fim-ul x nm o, ad duplam utriufqa fîmulm ngnt,;.er;quadruI Llplam utriul’q; fimul x n,n o.duo enim ex uin 85 quatuor,ex decemduagquin

. (a: exifiunt. Quom’â igitur ol’tenfum cit, icut (gag i k,itagquincuplâ ipfiusïfim, n,’ n-t a 85 deeupla ipfius x nmo,ad duplam iplîua no 85 fi’mplam pt. Rurfus olim? --A. fum efi, uod lieur f g ad fk,ita quincupla utriufq; m n,n :585 decupla xfn, n o addupla ip lus m n,n r, 85 quadruplam iplîus x n,n o: erit fient antetedëa ad duofi:

queutia,ita antecedens ad duo fequentiazficut f g ad f i,ita compolîta ex dupla ipa (ius o 11,85 fimpla n t,et dupla utriufqa fimulm nm t,85 quadrupla ipfius xn,no:,quæ eh çqualiâ compofitçex dupla m met quadrupla x n,et fexcuplajpfiuan o,

a a 85 tripla .iplîus n t. fic enim fumptum efl fuperius.Quoniam igitur quatuor ré.a a; funt côtinuç proportionales h; m n,n x,o n,u t: 85 efilficut n rad t m,ita qua:adam fumpta , hoc cit r i ad fh,hoc cit ad tres quintas ipilîus g f,hoc el’t ipfius m à, -

, 4 t 85 lofienfæ funt in rationali proportionalitate proportionales , erit pet prædia aa zâür f duæquintæuipfius m n , hoc cit, ipfius fb-; v igitur b r efi (res quintæ ipfius

la Eigitur b f ad rf proportionem habet, quam quinqg ad duo.quare,pun&um,rcit centrum grauitatis portionisla b c. iam fumpferiinus centrü gra-uitatis por’tionisbd e in punâo q,erit bq tres qui’ntæ ipfius q g..Faâum el’t itaqaficut rota ’

f b ad toram br,ita ablata b’g ad ablatam b q.utraque enim earum ad utramque lproportionem habet,quam quint]; ad tria. a girur refidua f g ad refi’duam q-rpro.portionem habebit,quam quinq; ad tria.,QJoniâ igitur fi; p ponirurfitut frufiü:3 d,e cad portionëd e b, itam t ad t n:85 ficutm f,ad t n,ita (res quintçipfi’usfg.

hoc eFt ipfa h uel q r adri. erit ergo fient frufium ad portionem,ita q r’ g ’ ad r L85 mutuo affidunturjôc r efl centrum rotius panic; ,

V a nis,igitur ipfum id el’t centrum frufii. , V.EVTOCII ASCALZOANJTAE’ CÔMMENTARUÎ’

, in lècund-um æquelibrantium Archime; A q q 4 I;A Ï ÜndisFinis, À V v. l H a,

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Notes du mont Royal ← · tut, cum ueiiibulo Schelæ fuæ inlcriber’et , Aywyèirgu’ïÊ’Êa’lslg sic-i749. lQua unes (enrêna lignificareuoluit,inutiles eHe ad percipiendas