NOTONS SUR LES ECHANGEURS DE CHALEUR

Un changeur de chaleur, comme son nom l'indique, est un appareil destin transmettre-1 la chaleur d'un fluide un autre. Dans les changeurs les plus courants, les deux fluides sont spars par une paroi au travers de laquelle les changes se font par conduction, la transmission de chaleur fluides-paroi relevant essentiellement de la convection. Le rayonnement n'intervient de manire sensible que si existe des diffrences de temprature trs importantes entre un fluide semitransparent et la paroi. Il est donc possible de ne pas en tenir compte dans de nombreux cas pratiques. Ce sera la dmarche adopte ici Dans certains appareils, l'change de chaleur est associ un changement de phase de l'un des fluides. C'est le cas des condenseurs, vaporateurs, bouilleurs, tours de refroidissement, etc... Ce genre d'application sera abord au chapitre VI. Ici nous nous intresserons principalement aux changeurs fluides spars et sans changement de phase.

1. PRINCIPAUX TYPES D'ECHANGEURS A FLUIDES SEPARES Un des modles les plus simples d'changeur que l'on puisse imaginer est constitu de deux tubes coaxiaux. L'un des fluides s'coule dans le tube central et l'autre dans l'espace annulaire, les deux fluides pouvant circuler dans le mme sens ou en sens contraires (figure 1 A). Il est difficile d'obtenir des surfaces d'change importantes avec cette configuration - mme en coudant les tubes (figure 1 B) sans aboutir des appareils trs encombrants. Aussi prfre-t-on disposer un faisceau de tubes dans une enveloppe unique, gnralement cylindrique, appele calandre, l'un des fluides circulant dans les tubes et l'autre l'intrieur de la calandre, autour des tubes (figure2).

Figure 1 : changeur du type double-tube

Figure 2 : diffrentes types dchangeurs a faisceau tubulaire et calendre, daprs la rfrence [4]

Figure 3 : changeur a plaques planes type de Laval, Simple passage contre-courant

figure 4 : surface dchange plaques planes

avec ailettes de sparation brases

C/ radiateur de automobile Figure 5 : surface dchange gaz liquide

Diffrentes variantes de cette formule permettent de multiplier les passages des fluides dans l'appareil (figures V.2 A D). Des chicanes de formes varies, disposes surtout perpendiculairement l'axe de la calandre, rendent le parcours du fluide gui la traverse plus long et sinueux. Elles favorisent la turbulence, ce qui a pour effet d'amliorer les changes (mais aussi malheureusement d'augmenter les pertes de charge). Ce genre de disposition, qui est la plus utilise pour les changeurs liquide-liquide, est dcrit de manire trs complte dans les normes amricaines de la "Tubular Exchanger Manufacturers Association" (T.E.M.A.). La compacit maximum (surface d'change par mtre cube) obtenue avec cette configuration est de l'ordre de 500 m2 /m3 . One autre famille d'changeurs, galement trs utiliss pour certaines applications liquide-liquide (en particulier dans les industries alimentaires) est celle des changeurs plaques, type DE LAVAL ou ROSEMBLAD (figure 3). Dans le cas des changeurs gaz-liquide ou gaz-gaz, la faible densit des gaz impose, si l'on veut rester un niveau acceptable de pertes de charge, que l'on rduise la vitesse de passage des gaz relativement celles pratiques pour les liquides. Rduire la vitesse c'est aussi rduire le coefficient de convection fluide-paroi, ce qui ncessite, volume gal, une augmentation de la surface d'change. C'est ainsi que l'on s'oriente vers des solutions dites d'changeurs compacts pouvant atteindre des compacits allant jusqu' 1000 m2/m3. Pour les changeurs gaz-gaz les surfaces d'change adoptes sont trs souvent constitues de plaques planes spares par des ailettes brases sur celles-ci, les deux fluides circulant alternativement entre les plaques (figure 4). Les ailettes permettent d'augmenter la surface d'change et aussi, par leur disposition en quinconce, de crer des interruptions dans les coulements favorisant la turbulence et amliorant de ce fait les changes thermiques. Dans les changeurs gaz-liquide, il y a ncessit d'obtenir une surface d'change ayant des tendues diffrentes au contact des deux fluides. C'est la raison pour laquelle on utilise surtout des batteries de tubes ailettes (figures 5 A c).

2. CLASSIFICATION SELON LES ECOULEMENTS Une classification des changeurs peut tre tablie d'aprs le sens relatif des coulements des deux fluides. On distingue ainsi notamment : - les changeurs courants parallles : les deux fluides s'coulent paralllement et dans le mme sens. - les changeurs contre-courant : coulements en sens contraires. (Les changes de type "courants parallles" ou "contre-courant" ne sont parfaitement raliss que dans des changeurs trs simples constitus de deux tubes coaxiaux, dans lesquels les deux fluides circulent dans le mme sens ou en sens contraires). - Echangeurs courants croiss, avec ou sans brassage (figure 6 A C) : les deux fluides s'coulent perpendiculairement l'un l'autre. Le fluide non brass est celui dont la veine est divise entre plusieurs canaux parallles distincts et de faible section. Le brassage a pour effet d'homogniser les tempratures dans la section droite de la veine fluide. Sans cela les tempratures varient non seulement avec la direction de l'coulement mais aussi dans la section de veine.

Figure 6 Echangeurs courants croises.

3. DISTRIBUTION DES TEMPERATURES DANS UN ECHANGEUR Les tempratures des fluides voluent pendant leur traverse longitudinale de l'changeur, moins que l'un des fluides ne subisse un changement de phase, auquel cas sa temprature reste constante. Les figures 7 donnent l'allure de quelques distributions de temprature dans des changeurs trs simples. On a port en abscisses l'aire de la surface d'change, variant depuis zro, l'entre de

l'appareil (extrmit o rentre le fluide chaud), jusqu' sa valeur totale S, la sortie du fluide chaud. Les tempratures sont repres l'aide d'indices e signifiant entre et s sortie, c dsignant le fluide chaud et f le fluide froid. On remarque en particulier sur ces figures que : - dans un changeur contre-courant, la temprature de sortie du fluide "le plus froid" peut tre suprieure celle de sortie du fluide "le plus chaud", cette disposition tant l'une des plus favorables pour l'change thermique. - les figures 7 C et D reprsentent un condenseur et un vaporateur idaux dans lesquels le changement de phase commence ds l'entre et se poursuit jusqu' la sortie de l'appareil (ce qui n'est malheureusement pas toujours le cas dans la ralit).

Figure V.7 - Distributions longitudinales des tempratures dans des changeurs un seul passage (type double-tube). 4. ETUDE D'UN ECHANGEUR Dans l'tude d'un changeur on cherche obtenir une puissance d'change donne, avec la plus faible surface d'change et le moins de pertes de charge possible, autrement dit au meilleur cot d'investissement et d'exploitation. Des contraintes d'encombrement, de poids, de corrosion, de normalisation, interviennent, ce qui fait que les paramtres dont on dispose sont gnralement bien plus nombreux que les quations, certains impratifs tant de nature essentiellement

technologique ou conomique, c'est--dire souvent qualitatifs, sinon arbitraires, parfois mme contradictoires, ce qui ncessite des compromis. L'tude complte d'un changeur fait donc appel diffrentes disciplines (thermique, mcanique des fluides, technologie, etc.). Nous n'aborderons ici que l'aspect thermique de l'tude, autrement dit l'valuation des performances thermiques, et en nous limitant de plus au rgime permanent de fonctionnement. Deux mthodes de calcul seront utilises : - celle de la moyenne logarithmique de la diffrence de temprature, souvent appele DTLM, - celle du "nombre d'units de transfert" dite NUT (ou NTU dans les ouvrages de langue anglaise), galement utilise en Gnie Chimique pour le transfert de masse. Nous les examinerons successivement puis les comparerons

5. EVALUATION DES PERFORMANCES THERMIQUES D'UN ECHANGEUR 5.1. Equation de l'change local, travers un lment dS de la surface d'change Si Tc et Tf sont les tempratures des deux fluides au droit de l'lment dS de la surface d'change, le flux d chang entre les deux fluides travers dS s'crira : d = k dS (Tc-Tf) (1)

k : est le coefficient d'change global entre les deux fluides, au niveau de l'lment dS, exprim en W/(m2 C) . Il s'agit d'un paramtre local, qui peut varier le long de l'changeur. Il reprsente la "conductance thermique" interpose entre les deux fluides, et qui comprend principalement trois termes : les deux coefficients d'change fluides-paroi Et un terme de conduction travers la paroi solide. Nous reviendrons plus loin sur l'valuation de ce paramtre.

5.2. Mthode DTLM L'analyse sera faite dans l cas des changes de type courants-parallles ou contrecourant (figures v.7 A et B) . On supposera que l'changeur est sans pertes. Dans ces conditions, le flux de chaleur d transmis du fluide chaud au fluide froid travers l'lment de surface d'change dS s'crira, pour lchangeur courant parallles (figure V.7 A) : d = - c Cpc dTc = Flux perdu par le fluide chaud (dTc < 0) f Cpf dTf (2)

flux gagn par le fluide froid (dTf > 0)

mc et mf sont les dbits massiques des deux fluides (Kg/s), Cpc et Cpf sont leurs chaleurs massiques pression constante (J/Kg.C). On a de plus la relation : d = k dS (Tc-Tf)dj indique. De (2) on tire : dTc = d/(dTc c) et dTc = d/(dTf f) D'o dTc - dTf = d(Tc - Tf) = - d(

+

)

(3)

En liminant d dans (3) l'aide de (l), on obtient : K dS (

+

)

Si l'on admet que le coefficient d'change local k reste constant tout le long de 1'changeur, on peut intgrer l'expression prcdente le long de la surface d'change, pour obtenir, en introduisant les conditions aux extrmits Tce, Tfe et Tcs,Tfs : Ln ( -k S (

+

)

(4)

Mais on peut galement exprimer le flux total chang en fonction des tempratures d'entre et de sortie du fluide (bilan enthalpique global): = c Cpc (Tce Tcs ) = f Cpf (Tfs Tfe ) (5) En remplaant dans (4) les expressions de c Cpc et f Cpf tires de (5), on obtient : =( ( ) )

(6)

Pour l'changeur contre-courant, compte tenu que dTf < 0 (dans le sens de parcours adopt sur la surface d'change, figure v.7 b) on obtiendrait, la place des relations (2)

d = - c Cpc dTc = -

f Cpf dTf

(7)

l'expression (4) est remplace, dans ce cas, par une expression identique, si ce n'est qu' la place du signe +, situ dans le membre de droite, on trouve ici un signe -.

en poursuivant des calculs analogues on aboutit, pour l'changeur du type contre-courant pur, l'expression : =( ( ) )

(8)

Les expressions (6) ET (8) peuvent tre dcrites par la mme formule, si l'on introduit T = TC-TF, (diffrence entre les tempratures des fluides chaud et froid dans une section donne d'changeur) ainsi que les indices a et b pour dsigner les deux extrmits de l'changeur: = Avec TLM TLM = (9) (10)

DTLM est la moyenne logarithmique de la diffrence de temprature globale entre les deux fluides, encore appele "diffrence de temprature logarithmique moyenne" (DTLM). Ainsi, cette mthode de calcul revient crire que la puissance thermique change est proportionnelle l'aire de la surface d'change et la diffrence de temprature moyenne logarithmique, le "coefficient de proportionnalit" tant justement le coefficient d'change global k.REMARQUES

:

1) l'analyse prcdente a t faite sous les hypothses suivantes : - la chaleur massique des fluides reste sensiblement constante pendant leur traverse de l'changeur (dans les calculs pratiques. on value les chaleurs massiques pour des conditions moyennes des fluides dans 1'changeur). Cette hypothse n'est gnralement pas trop loigne de la ralit. - le coefficient d'change global k reste sensiblement constant tout le long de la surface d'change, ce qui suppose que les coefficients de convection fluides-paroi le soient. Ce n'est qu'une approximation, qui peut tre mise en dfaut notamment au voisinage de l'entre des fluides dans l'changeur ou si les proprits des fluides varient beaucoup avec leur temprature. Lorsque cette hypothse n'est pas possible,

il faut alors recourir des mthodes numriques d'valuation des performances, dans lesquelles on fractionne en gnral l'changeur en plusieurs tranches affectes chacune d'une valeur diffrente pour k.

2) si Ta ne diffre pas de plus de 50% de Tb, on peut remplacer la moyenne logarithmique de la diffrence de temprature globale par la moyenne arithmtique, en ne commettant qu'une erreur infrieure 1%. 3) dans les bureaux d'tude, on utilise souvent des abaques fournissant directement en fonction de Ta et de Tb. 4) la formule (v.10), applique aux changeurs contre-courant pur et aux changeurs courants parallles, montre que le premier type d'appareil est plus intressant puisque, pour un transfert donn, dtermin par les 4 tempratures aux extrmits, il fournit le DTLM le plus important, correspondant donc la surface d'change la plus faible. 5.2.1 Autres configuration : courant croiss, configuration mixtes, etc.

Pour les changeurs plus complexes que le type "contre-courant pur", la quantit TLM value selon la mthode prcdente ne reprsente plus exactement la diffrence de temprature moyenne effective. On continue cependant calculer TLM, comme s'il s'agissait d'un changeur contre-courant pur, en corrigeant cependant le rsultat obtenu, par l'introduction d'un facteur F tenant compte de la vritable configuration des coulement On a donc : = TLM (11)

le facteur correctif F est toujours infrieur l'unit, puisqu'on a vu que, toutes choses gales par ailleurs, la configuration "contre-courant pur" est la plus favorable l'change. La littrature fournit les valeurs de F sous la forme d'abaques, pour la plupart des configurations courantes,[1], [2],d'coulements. Ces abaques, dont nous donnons quelques Exemples dans les figures V.8 10, ont tous comme paramtres d'entre les quantits :

P=

R=

(12)

dans lesquelles t et T dsignent les tempratures des deux fluides, selon le schma plac en mdaillon dans chaque figure ( t est gnralement la temprature du fluide circulant dans les tubes et T celle du fluide circulant dans l'enveloppe).

Figures 8 A et B - Facteur de correction F pour deux types d'changeur courants croiss avec une seule passe de chaque fluide, d'aprs BOMMAN, MUELLER et NAGLE, Tr. ASME,

Figure 9 - Facteur de correction F pour un changeur tubes et calandre, avec 1 passe ct calandre et 2, ou un multiple de 2 passes, ct tubes ( mme source que la figure prcdente) -

Figure 10 - Facteur de correction F pour un changeur tubes et calandre, avec 2 passes ct calandre et 4, ou un multiple de 4 passes, ct tubes (mme source que la figure V.8).

5.3. Evaluation du coefficient d'change global Le transfert de chaleur du fluide chaud au fluide froid peut tre dcompos comme suit : - convection fluide chaud-paroi, au prorata d'un coefficient de convection hC, - conduction travers 0.a paroi, au prorata de la conductivit X du matriau et de l'paisseur e de la paroi, - convection paroi-fluide froid (coefficient de convection hf). La figure 11 donne l'allure qualitative du profil des tempratures pour un change travers un lment de paroi plane, ainsi que la reprsentation de cet change par analogie lectrique.

Figure.11 -Echange entre deux fluides spares par une paroi plane : distribution des tempratures et schma analogique

On a dans ce cas :

=

soit encore =KS (Tc-Tf) si lon note k la quantit :

K=K : appele coefficient d'change global.

Cette grandeur est rapporte l'unit de surface d'change. Or, dans la pratique, la paroi d'change n'est pas toujours plane et la surface d'change n'a donc pas la mme tendue au contact des deux fluides. Il faut par consquent rapporter k, soit l'unit de surface d'change du "ct chaud" - on le notera alors kc - soit l'unit de surface du "ct froid", et on le notera kf. De plus, au bout d'un certain temps de fonctionnement de l'appareil, la paroi d'change est recouverte, de part et d'autre, d'un film d'encrassement. Ces dpts de tartre et de salissures ont une conductivit thermique faible relativement celle du mtal et constituent de ce fait deux couches isolantes supplmentaires s'opposant l'change. Il faut en tenir compte, car elles se traduisent par une diminution ds performances thermiques de l'appareil au bout d'un certain temps de fonctionnement. Ainsi/on obtient en dfinitive les expressions de kc ou de k^ comme les inverses de la somme des diffrentes rsistances thermiques (en srie) que rencontre le flux de chaleur sur son passage :-1

Kc =

+Rec+

+ Ref+ (Ref +

)-1

( 14)

Kf=

+Ref+

+ Rec+ (Rec +

)

(15)

Dans ces expressions :

SF : l'aire de la surface d'change du "ct froid" (en m2 ) , Sc: l'aire surface de la d'change du "ct chaud" (en m2 ) , Sm: celle de la surface d'change moyenne (en m2 ) , Rec et Ref : sont les rsistances par unit de surface des films "Dencrassement" dposs du ct chaud et du ct froid de surface d'change. On les exprime en m2. C/W. L'unit de kc et kf est le W/(m2.C). nf et nc sont des coefficients d'efficacit de surface ailete, compris entre 0 et 1 (gaux 1 lorsqu'il n'y a pas d'ailettes).

5.3.1 Ordre de grandeur des rsistances dencrassement R e

Des mesures du coefficient d'change globales la mise en service d'un changeur et au bout d'un certain temps de fonctionnement, permettent, par comparaison, de dduire les valeurs des rsistances dencrassement. Ce genre de mesure a t pratiqu sur un grand nombre d'changeurs pour diffrentes conditions d'utilisation, ce qui a permis notamment la T.E.M.A. de fournir des tableaux de recommandations pour les valeurs des rsistances d'encrassement (fouling factors) [4]. Ces rsistances sont comprises en gros entre 1.10-4 et 20.10-4 m2.C/W. Le tableau suivant permet de situer leur ordre de grandeur dans diffrents cas.

Fluide et conditions

Rsistance d'encrassement On2. CAJ) 1 x 10-4 2 x 10-4 10 20 x 10-4 2 x 10-4 1 x 10-4 4 x 10-4 2 x 10-4 4 6 x 10-4 2 x 10-4

eau de mer, temp.< 5OC eau de mer, temp. > 50C eau de rivire trs sale eau traite pour chaudires vapeur non grasse air "industriel" liquide rfrigrant gasoil essences et krosne

5.3.2. Estimation des coefficients dchange par convection entre la paroi et le fluide hc et hfLa dmarche pratique est la suivante : 1)On value le nombre de PRANDTL de chaque coulement, Pr = cp/ A, partir des proprits du fluide, savoir : - sa viscosit dynamique , exprime en Poiseuille (kg/(m. s)),

- sa chaleur massique pression constante cp, en J/(kg.C), - sa conductivit thermique , en W/(m.C). Ces proprits, ainsi que le nombre de PRANDTL, varient avec la temprature. Il y a souvent lieu de se fixer, pour un premier calcul, une temprature moyenne du fluide dans l'changeur, (Te + Ts)/2 par exemple, ou la moyenne logarithmique de tempratures du fluide, en affinant cette valeur par la suite. Des abaques et des tables fournissent d'ailleurs le nombre de PRANDTL de diffrents fluides en fonction de leur temprature, sans qu'il y ait ncessit de le calculer. On retiendra l'ordre de grandeur du nombre de PRANDTL de l'eau et de l'air, dans des conditions voisines de 20C et de la pression atmosphrique normale : Pr eau = 7 et Prair = 0 , 7 (pour tous les gaz d'ailleurs, 100C et la pression atmosphrique, Pr est voisin de 0,8 et varie peu avec les conditions). 2)On calcule ensuite le nombre de REYNOLDS de chaque coulement :

Re =

,

avec G =

= W et Dh =

Dans ces expressions : - G est la vitesse massique du fluide, exprime en kg/(m2.s), - Dh est le diamtre hydraulique (gal au diamtre, pour une conduite cylindrique), exprim en m, - est le dbit massique, exprim eh kg/s, - s est l'aire de la section droite de la veine fluide (m ), - la masse volumique du fluide (kg/m3), - W la vitesse moyenne dans la veine fluide (m/s), - p le primtre baign par la veine fluide (m). La valeur obtenue pour le nombre de REYNOLDS permet d'identifier le rgime d'coulement: laminaire, turbulent ou de transition. 3) La connaissance des nombres Re et Pr permet de dduire, pour un coulement donn : - soit le nombre de NUSSELT : Nu =

- soit le nombre de STANTON : St =

(St = Nu Re-1 Pr -1) .

Les nombres de NUSSELT ou de STANTON fournissent leur tour, l'un ou l'autre, le coefficient d'change h cherch. La littrature des transferts thermiques, et en particulier celle des changeurs, abonde en corrlations, donnes souvent sous la forme d'abaques, reliant les nombres de NUSSELT ou de STANTON (appel galement en France nombre de MARGOULIS) ceux de REYNOLDS et de PRANDTL, pour diverses configurations d'coulements. (Ces abaques fournissent souvent par la mme occasion les donnes ncessaires l'estimation des pertes de charge de l'coulement). Nous indiquons ici, titre d'exemple, les corrlations utilises le plus couramment pour les changeurs tubulaires. a) Ecoulement dans les tubes " Rgime laminaire : Re < 2100 environ Nu = 1,86 (Re Pr D/L)1/3 (/p)0.14 . (16)

Cette corrlation empirique a t propose par SIEDER et TAXE, pour les coulements en conduite. L et D sont respectivement la longueur et le diamtre intrieur de la conduite, /p est le rapport de la viscosit du fluide sa temprature moyenne, sa viscosit la temprature de paroi (indice p). Le terme (/p)0'14 est une correction destine tenir compte des effets du chauffage et du refroidissement sur la viscosit du fluide et par consquent sur la distribution des vitesses dans la veine (donc sur les coefficients d'change convectif). Cette correction est nglige pour les gaz. Dans le cas des gaz il est recommand d'valuer les proprits du fluide sa temprature de film, qui est une temprature intermdiaire entre celle du milieu de la veine fluide et celle de la paroi (on prend en gnral la moyenne arithmtique de ces deux tempratures).

Rgime turbulent ; Re >10.000 Nu = 0,023 Re0.8 Pr1/3 (/p)-0.14 (SIEDER et TATE) . Ces corrlations sont souvent prsentes sous la forme d'abaques du type : St Pr2/3 (y/pp)-0'14 = f (Re) (18) (17)

Le groupement sans dimension St Pr 2/3 (/p)-0.14 gal encore Nu Re-1 Pr -1/3 (/p)-0'14 et not J' dans les ouvrages, est le module de COLBURN modifi. Avec cette prsentation, l'quation (17) devient: J' = 0,023 (DG/)-0.2 . (19)

La figure12 reprsente le nombre J en fonction de Re pour des coulements en conduite avec diffrents rapports L/D. Les courbes de la rgion laminaire reprsentent, sous une autre forme, la relation (16), celle de la rgion turbulente les expressions (18) et (19). On est trs dmuni en ce qui concerne les donnes pour la zone de transition (2100 < Re < 10.000). Gnralement on se borne raccord, par extrapolation, les graphes des zones laminaire et turbulente, comme la constante sur la figure 12

j'

Figure 12 - Module de COLBURN modifi J', en fonction Du nombre de REYNOLDS, pour des coulements en tubes.

b)Sections de veine non circulaires Les corrlations prcdentes sont encore utilises pour des veines fluides de sections autres que circulaire, l'aide de la notion de diamtre hydraulique. KAYS et LONDON ont catalogu, dans la rfrence [3], les corrlations du type J' = f (Re) tablies exprimentalement pour un trs grand nombre de surfaces d'change compactes : c)Ecoulements en calandre Le problme se complique par la prsence de chicanes qui rendent le parcours du fluide dans la calandre trs sinueux. Parmi les nombreuses formules proposes, les plus utilises, pour le rgime turbulent, sont celles de DONOHUE et de KERN [1], [5], [6]. DONOHUE calcule deux vitesses massiques, longitudinale GL et transversale GT, dans la calandre, au milieu de la veine fluide (figure V.13). Il les combine ensuite en une vitesse massique quivalente Ge = Nu = 0,22 Re0.6 Pr 1/3 (/p)-0.14 avec Nu = h de/ et Re = Ge de/ . et utilise la corrlation de BOWMAN : (20)

La longueur caractristique de Nu et Re est le diamtre extrieur de des tubes du faisceau. Pr, et sont valus la temprature moyenne du fluide dans la

calendre, et p la temprature de la paroi des tubes.

Figure 13 - Reprsentation stylise d'un coulement dans une calandre, d'aprs la rfrence [4].

KERN a observ que, dans les calandres normalises laissant un passage libre d'une hauteur gale environ 25% du diamtre intrieur de la calandre, GT = GL. Il se limite ainsi valuer Re partir de la seule vitesse massique "transversale" :

GT =

(21)

avec : = dbit massique dans la calandre, Di = diamtre intrieur de la calandre, de = diamtre extrieur ds tubes du faisceau, = espacement des chicanes, p = pas des tubes.

La corrlation utilise est la suivante : Nu= 0,36 Re0.55 Pr1/3 (/p)-0.14 (22)

Dans laquelle la dimension caractristique de Nu et Re est le diamtre hydraulique pour l'coulement dans la calandre. Pour un pas de tubes carr (cas de la figure V.14), le diamtre hydraulique est fourni par la relation :

(4 fois la section de veine/primtre du passage situ entre 4 tubes). Le lecteur intress par davantage de prcisions trouvera, dans la rfrence [4], la description d'une mthode de calcul plus labore, due TINKER, tenant compte de manire plus exacte de la configuration relle de l'coulement dans la calandre. Remarques : Ces corrlations doivent tre considres comme des moyens d'estimer l'ordre de grandeur du coefficient d'change global et non sa valeur prcise. On doit les utiliser avec beaucoup de prcaution, comme cela a dj t indiqu lors de l'tude de la convection. Les constructeurs d'changeurs disposent en gnral d'une accumulation de donnes exprimentales sur leurs matriels, qui leur permet de rduire l'incertitude inhrente l'utilisation de ce genre de formules. Quant aux utilisateurs des changeurs, ils ont rarement faire ce genre d'estimation. S'ils ont besoin de connatre le coefficient d'change global d'un

appareil, c'est en gnral pour valuer l'incidence, sur ses performances, de modifications apportes aux conditions de fonctionnement prvues initialement. Mais les, essais d'changeurs fournissent en gnral le coefficient d'change' global sans qu'il soit ncessaire de descendre au niveau de la recherche des coefficients de confection sur la surface d'change. Nous donnons cependant quand mme dans ce qui suit, pour illustrer les notions prcdentes, un exemple d'valuation du coefficient d'change global, pour un appareil faisceau tubulaire et calandre. 6. EFFICACITE D'UN ECHANGEUR La mthode de calcul utilisant le suppose les tempratures des fluides connues aux deux extrmits de l'changeur pour permettre l'valuation de la temprature moyenne approprie. Or, souvent ON connat approximativement le coefficient d'change global K, mais PAS la temprature de sortie des fluides. On est alors oblig de procder par approximations successives, en partant de valeurs initiales approches des tempratures de sortie, judicieusement choisies. C'est assez fastidieux. Il serait souhaitable de pouvoir s'affranchir des diffrences de temprature Ta et Tb : c'est le but de la mthode NUT, atttribue NUSSELT, qui n'utilise que les tempratures d'entre des fluides. Pour ce faire, on introduit la notion d'efficacit de lchangeur dfinie comme le rapport de la puissance thermique rellement change la puissance d'change maximum thoriquement possible avec les mmes conditions d'entre des fluides dans l'changeur (mmes fluides, dbits et tempratures d'entre) : (24)La puissance maximum d'change est obtenue lorsque l'un des fluides subit un changement de temprature gal au gradient de temprature maximum existant dans l'appareil, qui est la diffrence entre les tempratures d'entre des fluides chaud et froid. Dans l'changeur courants parallles ce maximum n'est jamais atteint : au mieux, avec

Figure 14 un changeur trs long et sans pertes, Tfs approchera Tcs mais sans jamais la dpasser (figure 14 A). Par contre, dans la configuration de contre-courant pur, Tfs dpasse couramment Tcs ce qui montre bien que cet change est plus efficace que cpf < cpc, tandis que c'est Tcs

le prcdent. Les figures 14 B et C montrent qu'avec un changeur contre-courant infiniment long et sans pertes Tfs tend vers Tce si : qui tend vers Tfe lorsqu'on cpc < cpf

on en conclut que la puissance maximum d'change serait obtenue avec un changeur idal contre-courant pur, infiniment long et sans pertes. Dans ces conditions, la temprature de sortie du fluide de plus faible capacit thermique (on appelle ainsi la quantit c = cp) serait gale la temprature d'entre de l'autre fluide, le fluide de plus faible capacit thermique subissant un changement de temprature gal au gradient de temprature maximum dans l'appareil Tce Tfe

max = cp)min (Tce Tfe)et lefficacit sexprime sous forme :

(25)

ou

On peut crire : si si cp)min = (26) cp)min =

Ainsi, condition de connatre l'efficacit de 1'changeur, on peut en dduire la puissance rellement change par la relation : = Cmin (Tce - Tfe) avec Cmin = cp)min (27)

On remarque que les seules tempratures intervenir sont celles d'entre des fluides. Il reste donc maintenant valuer E pour diffrentes configurations d'changeur.

6.1Efficacit d'un changeur a courants parallles :A titre d'exercice, tablissons l'expression de E dans le cas d'un changeur courants parallles. Nous nous bornerons indiqu les rsultats pour d'autres configurations d'changeur. Partons de l'expression (4) que l'on peut mettre sous la forme :

= exp -

+(1+ )

(28)

Plaons-nous d'abord dans le cas o Cc = Cmin et modifions le numrateur du premier membre de (28) afin d'y faire apparatre l'efficacit E =

/

Pour cela on remarquons que le bilan enthalpique de l'change, tout la long de l'appareil, fournit : = + Cc/Cf (Tce-Tcs).

Cette expression permet d'obtenir, aprs quelques manipulations :

=(

)+(

) (1 + Cc/Cf).

Remplaons cette expression dans (28) en introduisant celle de . On obtient :

= 1 + (1 + Cc/Cf) = exp [- (k S/Cc) (1 + Cc/Cf) ]On en dduit, pour le cas o Cc = C min :

=

(29)

En intervertissant les rles de Cc et Cf, on dduit l'expression de E dans le cas o Cf = Cmin

=Ces deux formules peuvent tre condenses en une seule expression

(29 bis)

=

(30)

6.2. Expression de E pour d'autres configurations d'coulementsEchangeur contre-courant pur :

=Echangeur courants croiss, un fluide brass, l'autre non brass : Si Cmin = Cbrass on obtient :

=avec Si

= 1 - exp [- (= Cnon brass on a :

/

) k S/

].

(32)

=avec = 1 - exp (-k S/

).

(33)

Ainsi d'une manire gnrale, l'efficacit peut tre reprsente par une fonction du type :

= F (k S/

,

/

, configuration de lcoulement).

(34)

7.METHODE DU NOMBRE D'UNITES DE TRANSFERT N.U.T.:Le groupement sans dimension kS/Cmin est appel nombre d'units de transfert, en abrg N.U.T. Il est reprsentatif du pouvoir d'change de l'appareil (cette notion est d'ailleurs utilise aussi bien en transfert de chaleur qu'en transfert de masse ; voir par exemple, dans la mme collection, l'ouvrage trs rcent de CLAUDEL et al. "Bases du Gnie Chimique"). Des abaques fournissant l'efficacit partir du NUT et du rapport Cmin /Cmax ont t dresss pour la plupart des configurations courantes d'coulement. Ces documents constituent une aide prcieuse au calcul des changeurs. KAYS et LONDON proposent dans la rfrence [3] une importante collection de tels abaques. Ainsi, le calcul d'un changeur par la mthode NUT revient valuer, dans l'ordre r k (comme dans la mthode DTLM), Cc, Cf et Cmin /Cmax NUT = kS/ Cmin, E partir d'abaques du type E = F ( ) par l'quation = E Cmin (Tce-Tfe) .

A / contre courant pur

B / courant parallles

C/ Faisceau tabulaire et calandre avec 2 ou un multiple de 2 passages de tubes et un seul passage dans la calandre

D/ Courant croiss, aucun des fluides n'est brass

E / courants croiss dont un seul des fluides est brass Figure 15 les abaques (A,B,C,D et E) fournissant l'efficacit de diffrents types d'changeurs, d'aprs la rfrence [3]. Les seules tempratures qui interviennent dans ce type de calcul sont celles d'entre des fluides (par leur diffrence, qui constitue le T maximum de l'appareil).

8. COMPARAISON DES METHODES DTLM ET NUTLes deux mthodes aboutissent au mme rsultat. Cependant un certain nombre d'arguments semblent plaider en faveur de la mthode NUT : Les tempratures de sortie des fluides ne figurent pas dans les donnes, simplicit d'emploi. Pour illustrer ces remarques, considrons les deux problmes-type suivants : Problme a) k, Cc, Cf et les tempratures aux deux extrmits de l'changeur sont donns : il s'agit de dterminer l'tendue de la surface d'change ncessaire. Pour ce type de problme les deux approches sont quivalentes. Problme b) S, k, Cc, Cf et les tempratures d'entre sont donns : il faut dterminer les tempratures de sortie des fluides et .

Comparons les deux dmarches sur ce problme : Mthode NUT1) Calcul du NUT et du rapport Cmin /Cmax

Mthode DTLM 1) On se fixe une premire approximation des tempratures de sortie (Tcs)1 et (Tfs )1

2) Evaluation de E par abaque = F (k S/ lcoulement) 3) Calcul de : = Cmin (Tce - Tfe) , / , configuration de

2) on value (DTLM) 1 ( 1re approximation),

3) on dtermine 1 (1re approximation), 4) On en dduit de nouvelles valeurs pour les tempratures de sortie (Tcs)2 et (Tfs )2 Si elles diffrent, on recommence les calculs en 1) avec (Tcs)2 et (Tfs )2 et ainsi de suite jusqua ce que les tempratures de sortie obtenues en 4) ne varient plus.

4) On tire : Tcs et Tfs de : = = Cf (Tfs - Tfe) ou : Cc (Tce - Tfs)

Pour les problmes du type b - assez frquents - la mthode DTLM est videmment la moins intressante, puisqu'elle ncessite une approche itrative 10. CONCLUSION Nous nous sommes limits ici quelques notions sur les changeurs fluides spars et sans changement de phase, vus uniquement sous l'angle de la thermique, il ne faudrait cependant pas oublier que l'tude d'un changeur comprend galement une valuation des pertes de charge, relevant de la mcanique des fluides, que nous n'avons pas traite dans le cadre volontairement limit de ce chapitre, ainsi que des notions sur le dimensionnement et la conduite conomique des changeurs s.

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] WJITHTER P. - Le ptrole, raffinage et gnie chimique. Tome 2, pp. 1033-1141, Ed. Technip, Paris, 1965.Contient des donnes trs compltes sur le calcul et le dimensionnement des changeurs tubulaires, ainsi que d'autres quipements de gnie chimique. [2] GREGORIG R. - Echangeurs de chaleur, Lib. Polytech. Branger, Paris, 1965 (traduction d'ouvrage allemand). Vritable manuel fournissant des donnes sur le calcul, le dimensionnement, la construction et la conduite conomique des changeurs classiques. [3] KAYS W.M. et LONDON A.L. - Compact heat Exchangers, Me Graw-Hill, 1964. Contient une trs importante collection de corrlations d'change et de pertes de charge pour des surfaces d'change compactes. [4] FRAAS A.P. et OZISIK M.N. - Heat Exchangers Design, Wiley, 1965. Ouvrage pratique assez complet sur diffrents types d'changeurs. Contient de nombreuses tables de donnes en annexe. [5] DRUMOND W. - The design of shell and tube heat exchangers, dans Heat Exchangers, Von Karman Inst. Lecture Sries, AGARD, LS-57-72, 1972. [6] APGAN V. et SCHLUNDER E.U. - Heat Exchangers; Design and Theory, Source book. Me Graw-Hill, 1974. Ouvrage faisant le point, S sa parution, des connaissances et des technologies en matire d'changeurs (on y trouve notamment traits : les changeurs en rgime variable, les changeurs milieux diphasiques, etc...). [7] CHISHOLM D. - Developments in heat exchanger technology, Applied Science Publishers, London, 1980.