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Lui Intensive

천재의 발상 – 미분 적분 기본강사 최석호

1. 그래프 적분

1. 함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을때,

에 대하여 다음 중 함수

의 그래프로 적당한 것은? [3등급 – 45초]

답 : ②

2. ′ 의 그래프가 다음과 같을 때 그래프를 그리시오.[3등급 – 45초]

*등급 - 제한시간 표시 [3등급 – 90s]3등급에 가장 효과적인 문항입니다. 90초간 생각 후 끝까지 풀지 말고 강의를 들어주세요. 등급 및 제한시간 표시는 강의영상과 차이가 있을 수 있으며 영상보다 교재의 등급 시간을 우선 합니다.

2

3. 모든 실수에서 연속적인 함수 에 대하여 이고, 그 도함수 ′의 그래프가 다음과 같다.

이 때, 다음 중 함수 의 그래프의 개형으로 알맞은 것은?[3등급 – 45초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ①

2. 그래프 미분

1. 아래는 함수 의 그래프이다. 의 도함수 ′의 그래프를 그리시오. [3등급 – 45초]

3

2. 오른쪽 그림은 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 속도 를 나타내는 그래프이다. 는 를 제외한 개구간 에서 미분가능한 함수이고, 의 그래프는 개구간 에서 원점과 점 를 잇는 직선과 한 점에서 만난다. 점 P의 시각 에서의 가속도 를 나타내는 그래프의 개형으로 가장 알맞은 것은? [3등급 – 60초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

3. 의 도함수 ′의 그래프를 그리시오.

4

3. 미분 그래프 해석

1. 함수 의 도함수 ′의 그래프가 아래 그림과 같다. 다음 중 옳은 것은? [4등급 – 60초]

① 는 구간 에서 증가한다. ② 는 구간 에서 감소한다. ③ 는 구간 에서 증가한다. ④ 는 에서 극소이다. ⑤ 는 에서 극소이다.

답 : ③

2. 연속함수 의 도함수를 ′라 할 때, ′의 그래프는 아래와 같다. 다음 중 옳은 것은? [4등급 – 60초]

① 는 에서 미분가능하지 않다. ② 는 에서 극값을 갖지 않는다.③ 는 극댓값을 개 갖는다.④ 는 극솟값을 개 갖는다.⑤ 는 에서 극솟값 을 갖는다.

답 : ④

5

4. 그래프 적분 넓이

1. 미분 가능한 함수 의 도함수 ′의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 이 곡선과 축으로 둘러싸인 두 부분 AB의 넓이가 각각 이고 일 때, 의 값은? [4등급 – 45초]

① ② ③ ④ ⑤ 답 : ②

2. 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 를

라 하자. [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, 두 함수 의 정의역은 ≤≤이다.) [3등급 – 90초]

ㄱ 는 에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ 는 에서 최솟값을 갖는다.

ㄷ

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

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3. 미분 가능한 함수 의 도함수 ′의 그래프가 그림과 같다. 이 곡선과 축으로 둘러싸인 부분 A의 넓이는 이고, 이 곡선과 축 및 직선

로 둘러싸인 부분 B의 넓이는 이다. 일 때, 의 값을 구하시오. [3등급 – 60초]

답 : 14

5. 속도 그래프 1. 수직선 위를 움직이는 점 P가 원점을 출발한 후 ≤ ≤초 후의 속도 가 아래 그림과 같을 때, 다음 [보기]중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4등급 – 90초]

ㄱ 출발 후 초와 초에서 움직이는 방향이 바뀐다. ㄴ 출발 후 초에서 점 P의 위치는 원점에 있다. ㄷ 출발 후 초부터 초 사이에는 가속도가 이다.

① ㄱ ② ㄱㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

7

2. 원점을 출발하여 수직선 위를 초 동안 움직이는 점 P의 초 후의 속도 가 다음 그림과 같을 때, [보기]의 설명 중 옳은 것을 모드 고르면?[4등급 – 90초]

[보기]

ㄱ 점 P는 출발하고 나서 초 동안 멈춘 적이 있었다.

ㄴ 점 P는 움직이는 동안 방향을 번 바꿨다.

ㄷ 점 P는 출발하고 나서 초 후 출발점에 있었다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ②

3. 원점을 출발하여 수직선 위를 초 동 안 움직이는 점 P의 초 후의 속도 가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 [보기]의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

[보기]

ㄱ 출발한 후에 세 번째 멈추었을 때의 점 P의 위치는 1이다.

ㄴ 점 P가 움직이는 방향을 두 번 바꿀 때까지 실제로 움직인 거리는 이다.

ㄷ 출발 한 후에는 점 P는 수직선 위의 좌표

을 통과한 적이 있다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

8

4. 다음은 ‘가’지점에서 출발하여 ‘나’지점에 도착할 때까지 직선 경로를 따라 이동한 세 자동차 A, B, C의 시간 에 따른 속도 를 각각 나타낸 그래프이다.

‘가’지점에서 출발하여 ‘나’지점에 도착할 때까지의 상황에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [3등급 – 75초]

ㄱ. A와 C의 평균속도는 같다.ㄴ. B와 C는 모두 가속도가 인 순간이 적어도 한 번 존재한다.ㄷ. A B C 각각의 속도 그래프와 축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 모두

같다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

답 : ⑤

6. 위치 그래프1. 오른쪽 그림과 같이 원점을 출발하여 수직선 위를움직이는 점 P의 시각 에서의 위치 의 그래프는 삼차함수이다. 일 때 극소이고, 일 때 극대일 때, [보기]의 설명 중 옳은 것 만을 있는 대로 고른 것은? (단, ≦ ≦)[5등급 – 60초]

[보기] ㄱ 일 때 점 P는 처음 멈춘다. ㄴ 점 P는 출발 후 방향을 한 번 바꾼다. ㄷ 일 때의 속도는 양수이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄷ ④ ㄱㄴ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ①

9

2. 원점을 출발하여 수직선 위를 초 동안 움직이는 점 P의 초 후의 위치 의 그래프가 아래 그림과 같다. 다음 중 옳지 않은 것은?(단, 에서 는 미분 가능하다.) [5등급 – 60초]

① 초 후 운동방향이 바뀐다.② 초 동안 운동방향이 번 바뀐다.③ 출발 후 초까지는 수직선의 양의 방향으로 움직인다.④ 출발 후 초 후의 위치와 초 g의 위치는 같다.⑤ 출발 후 초 후의 속력이 출발 후 초 후의 속력보다 빠르다.

답 : ③※ ⑤번 해설 틀렸음. 속도가 아닌 속력이니까 속도에 절대값 씌워야함. 4초 후의 속력이 2초 후의 속력보다 큼. 쏘리

7. 극한 ㄱㄴㄷ총정리1. 에서 와 가 연속이면 도 연속이다. ( × )

∘가 에서 연속이면 는 에서 연속이다. ( × )

2. 두 수열 이 모두 수렴하면 수열 도 수렴한다. ( × ) lim→∞

lim→∞

이 모두 수렴하면 lim→∞

도 수렴한다. (단, ≠) ( ○ )

두 수열 이 모두 수렴하면 수열 도 수렴한다. ( × )

3. 다음 무한급수 중 수렴하는 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?[3등급 – 60초]

[보기]

ㄱ

∞

ㄴ

∞

∙

ㄷ

∞

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ①

10

4. 수열 이 으로 수렴할 때, 수열 이 으로 수렴하지 않으면 수열 은 으로 수렴한다. ( × )

lim→

가 존재하면 lim→

또는 lim→

가 존재한다. ( × )

∞

이 수렴하고 lim→∞

≠이면 lim→∞

이다. ( × )

5. 에서 가 연속이면 도 연속이다. ( × )

에서 가 연속이면 도 연속이다. ( ○ )

6. 수열 이 수렴할 때, 수열 이 발산하면 수열 도 발산한다. ( ○ )

lim→∞

∞ lim→∞

이면 lim→∞

이다. ( ○ )

7. 두 수열 이 수렴할 때, 이면 lim

→∞

lim→∞

이다. ( × )

모든 자연수 에 대하여 ≠이고 lim→∞

lim→∞

이면 lim→∞

이다.( × )

8.

∞

∞

이고 이면 lim→∞

lim→∞

( × )

이고

∞

∞

이면 이다. ( ○ )

9.

∞

이 수렴하면 lim→∞

이다. ( ○ )

이고 lim→∞

이면, 수열 은 수렴한다. ( × ) 가 에서 연속이면 도 에서 연속이다. ( × )

11

10. lim→∞

이 수렴하면 lim→∞

lim→∞

이다. ( ○ )

lim→∞

이 수렴하면 lim→∞

도 수렴한다. ( × )

11.

∞

과

∞

이 수렴하면

∞

도 수렴한다. ( ○ )

∞

과

∞

이 수렴하면

∞

과

∞

이 수렴한다. ( ○ )

8. 돋보기

1. 그림과 같이 원 위의 한 점 A 과 이 원 위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 A에서 축에 내린 수선의 발을 B라 하고, 점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자. 이때 lim

→ PH

AH 의 값은? (단, )[3등급 – 45초]

① ②

③

④ ⑤

정답 : ①

12

2. 그림과 같이 ≥에서 연속이고 ≥ 인 연속함수 에 대하여 색칠한 부분의 넓이를 라 하자. 일 때, lim

→

의 값을 구하여라. [3등급 – 45초]

정답 :

3. 오른쪽 그림과 같이 두 함수 의 그래프가 만나는 점을 M, 점 M을 지나면서 기울기가 인 직선을 이라 할 때, 곡선 위의 점 P 를 지나고 축과 수직인 직선이 곡선 와 만나는 점을 Q , 직선 과 만나는 점을 R라 하자. 점 P가 한없이 점 M에 가까워질 때, QR

PR

의 값은 에 한없이 가까워진다. 이 때,의 값은? (단, ) [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

4. 그림과 같이 삼차함수 는 을 만족시킨다. [보기]에서 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?[3등급 – 75초]

[보 기]

ㄱ lim→

ㄴ lim

→

ㄷ lim

→

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ답 : ④

13

5. 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 에서미분가능한 함수를 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, 이고 는 ≠인 모든 점에서 미분가능하다.) [3등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ ㄴ ㄷ

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ④

9. 그래프의 극한

1. 정의역이 ≤≤인 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, lim

→

lim→

의 값은? [5등급 – 30초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

14

2. 정의역이 ≤≤인 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [5등급 – 45초]

[보기] ㄱ lim

→

가 존재한다. ㄴ lim

→

가 존재한다. ㄷ 인 실수 에 대하여 lim

→

가 존재한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱㄴ ⑤ ㄴㄷ

답 : ⑤

3. 함수 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4등급 – 45초]

ㄱ. lim →

ㄴ. lim →

ㄷ. lim →

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 : ④

15

10. 그래프의 합성 극한 1. 정의역이 ≦≦인 함수 의 그래프가 그림과 같다.[4등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ lim→

ㄴ lim→

ㄷ 함수 는 에서 연속이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

2. 두 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 [보기] 에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 75초]

[보 기] ㄱ lim

→

ㄴ lim→∞

ㄷ 함수 ∘는 에서 연속이다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

16

3. 함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 옳은 설명을 [보기]중에서 모두 고른 것은? [3등급 – 75초]

[보 기] ㄱ lim

→

이다. ㄴ lim

→

이다. ㄷ 는 에서 연속이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱㄴ ⑤ ㄱㄷ

답 : ①

11. 그래프 사칙연산 극한

1. 두 함수 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [보기]의 함수 중에서 에서 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?[3등급 – 75초]

[보 기] ㄱ

ㄴ ㄷ

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ④

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2. 두 함수 의 그래프가 다음과 같다.

다음[보기]중 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초][보 기]

ㄱ lim→

ㄴ lim→

ㄷ lim→

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ②

3. 함수 의 그래프가 다음과 같다.

에서 연속인 함수만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?[3등급 – 75초]

ㄱ ㄴ ㄷ

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ④

12. 그래프 합성

1. 그래프 합성 개념 [3등급 – 60초]

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2. 그래프 합성 개념 [3등급 – 60초]

3. 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

[보기] ㄱ lim

→

ㄴ 함수 는 에서 연속이다. ㄷ 함수 의 블연속점은 개다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ④

4. 함수 와 의 그래프가 다음과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3등급 – 90초]

ㄱ.

ㄴ. 는 에서 연속이다.ㄷ. ≤≤에서 가 불연속인 의 값은 개이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 : ⑤

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5. ′ ′ 을 만족시키는 미분가능한 함수 의 그래프가 그림과 같다. 함수 를 ∘로 정의할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초](단, lim

→∞

∞ lim→ ∞

이다.)

[보 기]

ㄱ 함수 는 열린구간 에서 증가한다.

ㄴ 함수 는 최솟값을 갖는다.

ㄷ ′ 을 만족시키는 실수 가 존재한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ⑤

6. 함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 의 그래프로 옳은 것은? [3등급 – 90초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ⑤

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7. 함수 log

이 그래프의 개형으로 알맞은 것은? [2등급 – 90초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ②

13. 변화율1. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있다. 점 B는 고정되어 있고 변 AB의 길이가 매초 씩 늘어나고, 변 BC의 길이가 매초 씩 늘어날 때, 초 후 삼각형 ABC의 넓이의 변화율은? [4등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ④

2. 오른쪽 그림과 같이 AB BC CG 인 직육면체 ABCDEFGH에서 세 점 PQR가 꼭짓점 B에서 동시에 출발하여 각각 매초 인 속력으로 꼭짓점 ACF를 향해 이동한다고 한다. 직육면체 ABCDEFGH에서 사면체 PBQR를 잘라낸 입체도형을 S라 할 때, 출발한지 초가 되는 순간의 입체도형 S의 부피의 순간변화율은?[3등급 – 60초]

①

②

③ ④ ⑤

답 : ⑤

21

3. 밑면의 반지름의 길이가 cm 깊이가 cm인 원뿔 모양의 그릇이 있다. 이 그릇에 물의 높이가 매초 cm씩 늘어나도록 물을 부을 때, 초 후 물의 부피의 변화율을 구하면? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ①

4. 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 m인 반구 모양의 조형물에 수면의 상승 속도를 m초로 유지하면서 물을 부으려고 한다. 물을 넣기 시작한지 초가 되었을 때, 수면의 넓이의 증가율은

m초이다. 이 때, 상수 의 값은? [3등

급 – 60초]

①

② ③

④

⑤

답 : ③

5. 오른쪽 그림과 같이 두 점 AB가 점 O에서 동시에 출발 하여 점 A는 매초 cm씩 시계반대방향으로, 점 B는 매초 cm씩 시계방향으로 한 변의 길이가 cm인 정사각형 OPQR위를 움직인다. 이 때, 초 후의 선분 AB의 길이를 cm라고 할 때, ′

의 값은? 단 ′

[3등급 – 75초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ①

22

14. 구분구적

1.구분 구적 개념 [3등급 – 60초]

lim→∞

lim→∞

2.

lim→∞

3. 다음 그림에서 두 곡선 와 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법으로 구하려 한다. 구간 를 등분하여 각 점의 좌표를

⋯

이라 할 때, 다음 중 구하는 넓이를 알맞게 나타낸 식은? [3등급 – 60초]

① lim→∞

② lim→∞

×

③ lim→∞

×

④ lim→∞

×

⑤ lim→∞

×

답 : ②

23

4. 오른쪽 그림은 연속함수 의 그래프이다. 구간 에서 함수 의 역함수 가 존재하고 연속일 때, 극한값lim→∞

와 같은 값을 갖는 것은? [3등급 – 60초]

①

②

③

④

⑤

답 : ③

5. ≤≤에 대하여 [보기]중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 이다.) [2등급 – 90초]

[보 기]

ㄱ

ㄴ

∙

ㄷ lim→∞

∙

① ㄱ ② ㄱㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

15. 미분 적분 변수1.

2. lim →

의 값은? ① ② ③ ④ ⑤

정답 : ②

24

3. 다항함수 가

을 만족시킬 때,

의 값을 구하시오. [3등급 – 60초]

답 : 10

4.

16.그래프 차이

1. 삼차함수 와 이차함수 의 도함수의 그래프가 그림과 같다. 라 하고 이라 할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ 에서 는 증가한다.

ㄴ 는 에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

25

2. 오른쪽 그림은 사차함수 의 도함수 ′의 그래프와 삼차함수 의 도함수 ′의 그래프이다. 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ 에서 는 증가한다.

ㄴ 는 에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ ′ ′라 할 때, 방정식

′ 은 서로 다른 부호의 두 실근을 갖는다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ②

3. 원점에서 동시에 출발한 두 점 PQ는 수직선 위를 같은 방향으로 움직이고 있다. 초 후의 두 점 PQ의 위치를 각각 라 하고,

라 할 때, 그림은 ≦ ≦에서 의 그래프이다. 이 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ 에서 점 P의 속도가 점 Q의 속도보다 빠르다.

ㄴ 일 때, 두 점 PQ는 다시 만난다.

ㄷ 출발 후 초 동안 두 점 PQ의 평균속도는 서로 같다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

26

17.그래프 사칙연산

1. 의 그래프를 그리시오.

2. 그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 가 에서 축과 만나고 에서 극값을 갖는다. 함수 에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? 단, [3등급 – 75초]

[보 기]

ㄱ 함수 는 에서 극소이다.

ㄴ 함수 는 구간 에서 증가한다.

ㄷ 방정식 은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

3. 두 다항함수 가 모두 에서 극댓값 을 가질 때, 함수 를 라 하자. 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 75초]

[보 기]

ㄱ 에서 가 극소, 가 극소이면 는 극소이다.

ㄴ 에서 가 극대, 가 극소이면 는 극대이다.

ㄷ 에서 가 극대, 가 극대이면 는 극대이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ③

27

4. 두 지수함수 에 대하여 의 그래

프의 개형은? [3등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ③

18. 적분 압축1. 적분 압축 개념

2. 함수 의 그래프가 다음 그림과 같다. 이 곡선과 축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 각각 일 때, 정적분

의 값은?[3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ②

28

3. 다음 그림은 ≤≤에서 정의된 함수 의 그래프이다. 정적분

의 값은? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④

⑤

답 : ②

4. 다음 그림은 ≤≤에서 정의된 함수 의 그래프이다.

이때, 정적분

의 값을 구하여라. [3등급 – 60초]

정답 :

19.미분 정의식 해석

1. lim

→

lim→

lim→

lim

→

29

2. 이차함수 에 대하여 라 할 때, 옳은 것만을 [보기] 에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

[보 기]

ㄱ lim→

가 존재한다. ㄴ lim

→

′

ㄷ lim→

′

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱㄴ ⑤ ㄴㄷ

답 : ②

3. 함수 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3등급 – 60초]

ㄱ. lim →

이면 lim

→

이다.

ㄴ. lim →

이면 lim

→

이다.

ㄷ. 일 때, lim →

이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 : ⑤

20.식의 그래프 속 의미

1. 그림에서 함수 의 그래프 위의 서로 다른 두 점 PQ의 좌표를 각각 라 할 때,

의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, ) [3등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ①

30

2. 그림은 함수 의 그래프와 직선 이다. 곡선 위에 임의로 두 점을 잡아 그 두 점의 좌표를 각각 라 할 때, [보기]에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ 이면 이다.

ㄴ

ㄷ

① ㄱ ② ㄱㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

3. 폐구간 에서 정의된 함수 가 인 임의의 두 실수

에 대하여

를 만족할 때, 다음 중 함수

의 그래프가 될 수 있는 것은? [3등급 – 60초]

답 : ①

4.

31

21. 그래프 집어가며 찾기1. 삼차함수 와 이차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식

≤ 을 만족하는 모든 양의 정수 의 합을 구하시오.

[3등급 – 60초]

답 : 5

2. 오른쪽 그림은 삼차함수 의 그래프이다. 이 그래프를 이용하여 부등식

≦ 을 만족

하는 정수 의 개수를 구하면? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ③

3. 함수 의 그래프가 [보기]와 같이 주어질 때, 함수 이 에서 연속이 되는 경우만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ④

32

4. 다음 그림은 의 그래프이다.

함수 를

라 할 때, 의 최솟값은? [4등급 – 45초]

① ② ③

④ ⑤

정답 : ②

5. 최고차항의 계수가 인 사차함수 가 모든 실수 에 대하여 를 만족한다. 구간 에서 의 최솟값을라고 할 때, ≤ ≤에서 는 상수함수이다. 이 때, ′의 값은? [2등급 – 105초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ②

22.중간값 정리

1. P역을 출발하여 Q역에 도착한 기차가 있다. 세 지점 ABC를 차례로 통과할 때의 속력은 각각 시속 km 시속 km , 시속 km이었다. 각 구간에서의 기차의 속력에 대한 설명으로 옳은 항상 옳은 것은?[5등급 – 60초]

① 구간 AB에서 시속 km인 지점이 적어도 두 곳 있었다.② 구간 AB에서 시속 km인 지점이 적어도 한 곳 있었다.③ 구간 AC에서 시속 km인 지점이 적어도 두 곳 있었다.④ 구간 BC에서 시속 km인 지점이 적어도 세 곳 있었다. ⑤ 구간 BC에서 시속 km인 지점이 적어도 두 곳 있었다.

답 : ③

33

2. 다음 중 개구간 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는 것을 모두 고른 것은? [4등급 – 60초]

[보 기]

ㄱ cos

ㄴ

ㄷ log

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

23. 그래프 곱이 연속

1. 구간 에서 정의된 함수 의 그래프가 그림과 같다. 함수 가 구간 에서 연속이 되도록 하는 상수 의 합 의 값은? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ④

2. 이차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, [보기]의 함수 중 구간 에서 함수 를 연속이 되도록 하는 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

34

24.제곱 5개 구간 나누기1.함수 lim

→∞

에 대한 설명 중 [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3등급 – 60초]

[보 기] ㄱ 에서 연속이다. ㄴ 에서 극솟값 을 갖는다. ㄷ 에서 미분가능하다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱㄴ ⑤ ㄴㄷ

답 : ⑤

2. 삼차함수 가 극댓값 극솟값 를 가질 때, 함수 를다음과

같이 정의한다. lim

→∞

이 때, 실수 전체의 집합에서 함수 는 에서 불연속이다. 의 개수는? [3등급 – 90초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ④

25. 그래프 상상하기

1. 에서 극댓값을 갖는 모든 다항함수 에 대하여 [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

[보 기]

ㄱ 함수 은 에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ 함수 은 에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ 함수 은 에서 극댓값을 갖는다.

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ⑤

2. 계수가 실수인 삼차함수 가 있다. 방정식 과 ′ 의 근에 관한 <보기>의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

ㄱ. ′ 이 서로 같은 실근을 가지면, 도 반드시 서로 같은 실근을 가진다.

ㄴ. ′ 이 허근을 가지면, 도 반드시 허근을 가진다.ㄷ. ′ 이 서로 다른 실근을 가지면, 도 반드시 서로 다른 두

실근을 가진다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

정답 : ②

35

26. 다항식 제곱

1. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, ′의 값은? [3등급 – 60초]

(가) lim→∞

(나) lim→

① ② ③ ④ ⑤

답 : ③

2. 자연수 에 대하여 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다. [3등급 – 60초]

(가) lim→∞

∘

(나)

의 값은?① ② ③ ④ ⑤

답 : ②

27. 그래프 인수분해1. 그래프 인수분해 기초

2. 그림과 같이 곡선 와 직선 가 세 점 ABC에서 만난다. 다음 중 점 C에서의 곡선 의 접선의 기울기를 나타내는 것은? [3등급 – 60초]

① AB∙BC ② AB∙AC ③ AC∙BC ④ AB

AC ⑤ BCAC

답 : ③

36

3. 그림과 같이 두 함수 의 그래프 에서 접하고 에서 만나고 있다. 함수 는 에서 극솟값 를 갖는다. 이 때, 의 값을 구하시오.[3등급 – 60초]

답 : 52

4. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 와 최고차항의 계수가 인 삼차함수 의 좌표가 , 인 점에서 각각 만나고, ′ ′가 성립한다. 함수 가 에서 극댓값 를 가진다고 할 때, 의 값을 구하시오. [3등급 – 60초]

정답 :

28. 역함수 기울기

1. 미분 가능한 함수 의 역함수 가

lim→

을 만족시킬 때, 미분계수 ′의 값은? [3등급 – 75초]① ②

③

④

⑤

답 : ③

2. 그림과 같이 미분 가능한 함수 에 대하여 그 역함수를 라고 할 때, 다음 중 ′와 같은 것은? [3등급 – 60초]

① ′ ② ′ ③ ′

④ ′ ⑤ ′

답 : ⑤

37

3. 열린 구간 ∞ ∞에서 증가하는 함수 의 그래프가 그림과 같고, 의 그래프 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표가 이다. 함수 의 역함수를 라고 할 때, ′의 값은? [3등급 – 90초]

① ② ③

④ ⑤

정답 : ③

29.움직이는 그림 식 잡기

1. 그림과 같이 좌표평면에서 직선 가 축과 만나는 점을 P라 하고 곡선 와 만나는 점을 Q라 하자. 삼각형 OPQ의 넓이의 최댓값은?(단, O는 원점이다.) [3등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ②

38

2. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD의 두 대각선의 교점의 좌표는 이고, 한 변의 길이가 인 정사각형 EFGH의 두 대각선의 교점은 곡선 위에 있다. 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 축 또는 축에 평행하다.)[3등급 – 75초]

① ②

③ ④

⑤

답 : 21

30. 로피탈

1. lim→

이 성립하도록 상수 의 값을 정할 때, 의 값은?

[level 2 – 60s]① ② ③ ④ ⑤

답 : ④

2. lim→

의 값은?

① ② ③

④ ⑤

답 : ④

3. 함수 에 대하여 lim→

일 때, lim

→

의 값을 구하시오.

답 : 25

4. 함수 에 대하여 lim→

의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

39

31. 편미분

1. 어느 박테리아를 용기에 배양할 때, 배양을 시작한 지 시간 후의 박테리아의 밀도를 나타내는 함수 는 미분가능하며, 다음 두 조건을 만족한다고 한다. (가) 음이 아닌 실수 에 대하여

(나) ′

이 때 시간 후의 박테리아의 밀도의 순간변화율을 구하여라. [3등급 – 60초]

답 : 8

2. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 다항함수 가 모든 실수 에 대하여

을 만족한다고 한다. 이 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?[3등급 – 60초]

[보 기] ㄱ

ㄴ ′ 이면 ′ 이다. ㄷ ′ 이면 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

3. 미분 가능한 함수 가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, ′의 값을 구하시오. [2등급 – 90초] (가) 임의의 실수 에 대하여

(나) ′

답 : ②

32.역함수 적분

1. ≤≤에서 함수 의 역함수를 라 하자.

A라고 할 때,

의 값을 A로 나타내면? [3등급 – 60초]

① A ② A ③ A ④ A ⑤ A

답 : ④

40

2. 함수 의 역함수를 라 할 때,

의 값은? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

정답 : ③

33.다항식 나눗셈

1. 다항식 을 다항식 로 나누었을 때의 나머지를 라 할 때, lim

→∞

의 값은? (단, 은 이상의 자연수이다.)[3등급 – 60초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ③

2. 다항식 을 으로 나누었을 때의 나머지는? [3등급 – 60초]① ② ③

④ ⑤

답 : ④

34.적분 변한 공식

1. 다음 [보기]에서 무한급수 lim→∞

와 같은 값을 갖는 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 75초]

[보 기]

ㄱ

ㄴ

ㄷ

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

41

2. 다음 중 무한급수 lim→∞

의 값과 같은 것은? [3등급 – 60초]①

②

③

④

⑤

답 : ④