完全 WKB 解析と multisummability について小池 達也（神戸大学）

2016年 1月 7日超幾何方程式研究会 2016

この講演は R. Schäfke，大木谷佳昭 との共同研究をもとになっています．

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Outline

小さいパラメータ ε を含む二階線形常微分方程式(ε2

d2

dx2− Q(x , ε)

)ψ = 0 (ε > 0, small)

に対する WKB 解の Borel 総和可能性や multisummability について．

§1. 完全 WKB 解析と Borel 総和法

§2. ポテンシャルに ε が含まれる場合の総和可能性

§3. Multisummability

§4. WKB 解の multisummability への証明に向けて

§5. 未解決の事柄2/23

§1. 完全 WKB 解析とBorel 総和法(ε2

d2

dx2− Q(x)

)ψ = 0

(⇐⇒ ε2

{dS

dx+ S2

}= Q(x)

)

WKB 解:

ψ(x , ε) = exp

[∫ xx0

S(x ′, ε)dx ′]

S(x , ε) =1

εS−1(x) + S0(x) + εS1(x) + · · ·

最初の数項は

S−1(x) = ±√

Q(x), S0(x) = −Q ′(x)

4Q(x), S1(x) = ±

[− 5 (Q

′)2

32Q5/2+

Q ′′

8Q3/2

],

この S(x , ε) は（多くの場合）発散級数．

▶ WKB 法 · · · 最初の数項を取り出して漸近解として扱う．(漸近的な関係式の導出)

▶ 完全WKB解析 · · · Borel 総和法により解析的な意味付けを行う.(exact な関係式の導出)

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Borel 総和法 (形式的)級数 f (ε) =∞∑n=1

fnεn = f1ε+ f2ε

2 + · · · に対して

Borel 変換 : (B1f )(y) = fB1(y) :=

∞∑n=1

fn(n − 1)!

yn−1,

Borel 和 : (S1f )(ε) = (L1 ◦ B1f )(ε) :=∫ ∞0

e−y/ε(B1f )(y)dy

▶ B1f が y = 0 近傍で収束するとき Borel 変換可能という．

▶ B1f が Borel 変換可能であり，正の実軸に沿って解析接続され，高々指数増大の場合（つまり Laplace 積分が収束する場合）Borel 総和可能という．

(注)

(n − 1)! =∫ ∞0

e−ttn−1dt = ε−n∫ ∞0

e−(y/ε)yn−1dy (y = s/ε)

=⇒ εn =∫ ∞0

e−(y/ε)yn−1

(n − 1)!dy

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Borel 総和法 (形式的)級数 f (ε) =∞∑n=1

fnεn = f1ε+ f2ε

2 + · · · に対して

Borel 変換 : (B1f )(y) = fB1(y) :=

∞∑n=1

fn(n − 1)!

yn−1,

Borel 和 : (S1f )(ε) = (L1 ◦ B1f )(ε) :=∫ ∞0

e−y/ε(B1f )(y)dy

▶ B1f が y = 0 近傍で収束するとき Borel 変換可能という．

▶ B1f が Borel 変換可能であり，正の実軸に沿って解析接続され，高々指数増大の場合（つまり Laplace 積分が収束する場合）Borel 総和可能という．

(例) f =∞∑n=1

(−1)n−1(n − 1)!εn に対して

Borel 変換 : (B1f )(y) =

∞∑n=1

(−1)n−1yn−1 = 1y + 1

Borel 和 : (S1f )(ε) =∫ ∞0

e−y/ε

y + 1dy

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WKB 解の Borel 総和可能性について述べるためには用語が必要．

▶ Q(x) の零点を変わり点という．

▶ Q(x) の零点 a に対して a を端点とする Stokes 曲線を Im∫ xa

√Q(x)dx = 0

で定義．

▶ 変わり点と Stokes 曲線の例

Q(x) = x Q(x) = x2 − 1

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(ε2

d2

dx2− Q(x)

)ψ = 0

(⇐⇒ ε2

{dS

dx+ S2

}= Q(x)

)

WKB 解:

ψ(x , ε) = exp

[∫ xx0

S(x ′, ε)dx ′]

S(x , ε) =1

εS−1(x) + S0(x) + εS1(x) + · · ·

Theorem 1

Q(x) が多項式のとき，Stokes 曲線上でない x に対して T (x , ε) := εS1(x) +ε2S2(x) + · · · は Borel 総和可能．

▶ x が Stokes 曲線上にあっても Borel 総和可能な時もある．

▶ Q(x) が有理関数のときでも多くの場合に成立．（例えば

Q(x) =1

(x − a1)(x − a2)(x − a3)

の時はわからない．）

▶ Stokes 曲線を横切る時 Stokes 現象が起きる．

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(証明の概要) T (x , ε) の Borel 変換 TB1(x , y) の満たす方程式

∂TB∂x

+ 2√

Q(x)∂TB∂y

+ 2S0(x)TB + TB ∗ TB = 0,

TB ∗ TB(x , y) =∫ y0

TB(x , y − t)TB(x , t)dt

を初期条件TB1(x , 0) = S1(x)

のもとで解く．この方程式の特性曲線は

y + 2

∫ x √Q(x) = (const).

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§2. ポテンシャルに ε が含まれる場合の総和可能性(ε2

d2

dx2− Q(x , ε)

)ψ = 0

Q(x , ε) = Q0(x) + εQ1(x) + εQ2(x) + · · · (finite sum)

(例えばクーロンポテンシャルの場合は ℏ = ε とすればQ(x) = −1x+ ε2

l(l + 1)

x2)

Theorem 2

Qj(x) が全て多項式でその次数を dj としたとき，「全ての j について dj ≤ d0」であれば，と同じ結果が成立．

▶ この定理で変わり点は Q0(x) の零点として，また，Stokes 曲線は

Im

∫ xa

√Q0(x)dx = 0 (a は変わり点)

として定義する．

▶ Qj(x , ε) が x について有理関数のときは，各特異点で 「(Qj(x) の位数) ≤(Q0(x) の位数)」という仮定になる．

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条件「全ての j について dj ≤ d0」が成立しない場合はどうなるか？

(1◦) Schäfke (2011): εdψ

dx= −(x − εx2)ψ + ε2 (ε: small)

点 x を固定し，arg ε を 0 から 2π に変化させたとき

ψ 7−→ ψ + C1eC2/εψ0,

ψ 7−→ ψ + C3eC4/ε3

ψ0.

といった二種類の Stokes 現象が起きる．このことを用いて形式級数解ψ = ψ0(x) + εψ1(x) + · · · が (3, 1)-summable であることを示した．

(2◦) Suzuki (2012), Takei (2015): ε2d2ψ

dx2= (x + ε2x2)ψ

この場合は

ψ+ 7−→ ψ+ + C1eC2/εψ−,

ψ+ 7−→ ψ+ + C3eC4/ε4

ψ−.

といった Stokes 現象が起き，WKB 解は (4, 1)-summable となる．

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問題

▶ Q(x , ε) = Q0(x) + ε2Q2(x) で各 Qj(x) は多項式であり，その次数を dj とし，d2 > d0 > 0 とすると Borel 総和法ではなく multisum を用いる必要があるらしい．Multisummability をどう証明するか？

▶ Multisummabile にならない条件はどう特徴付けられるか？（つまり， Stokes現象はどこで起きるか？）

▶ 接続公式はどのようになるか？

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§3. Multisummability

κ-sum (κ > 0) (形式的)級数 f (ε) =∞∑n=1

fnεn = f1ε+ f2ε

2 + · · · に対してκ-transf. : (Bκf )(y) = fBκ(y) :=

∞∑n=1

fnΓ(n/κ)

yn−1,

κ-sum : (Sκf )(ε) = (Lκ ◦ Bκf )(ε) :=∫ ∞0

e−(y/ε)κ

(Bκf )(y)d(yκ)

積分が収束するためには正の実軸に沿って (Bκf )(y) が解析接続され，∣∣(Bκf )(y)∣∣ ≤ C1 exp[C2|y |κ] ((Bκf )(y) の指数サイズが κ)(例: κ = 2) f =

∞∑n=1

(−1)n−1Γ(n/2)εn に対して

2-transf. : (B1f )(y) =

∞∑n=1

(−1)n−1yn−2 = 1y(y + 1)

2-sum : (S2f )(ε) =∫ ∞0

e−(y/ε)2

y(y + 1)· 2ydy = 2

∫ ∞0

e−(y/ε)2

y + 1dy

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f1 =

∞∑n=1

(−1)n−1Γ(n)εn : 1-summable

f2 =∞∑n=1

(−1)n−1Γ(n/2)εn : 2-summable

では，f = f1 + f2 の “和” は？

▶ (B1f2)(y) =∞∑n=1

(−1)n−1 Γ(n/2)Γ(n)

yn−2 =∞∑n=1

(−1)n−1 2√πyn−1

2nΓ((n + 1)/2)∼ eCy

2

故に L1 ◦ B1f2 は定義できない（積分が収束しない）．

▶ (B2f1)(y) =∞∑n=1

(−1)n−1 Γ(n)Γ(n/2)

yn−1

収束しないので，L2 ◦ B2f1 は定義できない．

f の 1-sum も 2-sum も存在しない．f の和は S1f1 + S2f2 であって欲しい．

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Ecalle の trick: S1f1 + S2f2 = L1 ◦ B1f1 + L2 ◦ B2f2

L1 ◦ B1f1 = L2 ◦ B2 ◦ L1 ◦ B1f1 (OK)

L2 ◦ B2f2?= L2 ◦ B2 ◦ L1 ◦ B1f2= L2 ◦ A2,1 ◦ B1f2 (A2,1 = B2 ◦ L1)

B2 と L1 をそれぞれ積分作用素と考え，その積分順序を交換すると

(A2,1g)(z) =∫ ∞0

A2(ζ/z)g(ζ)dζ

Aα(ζ) :=1

2πi

∫γ

et−zt1/α

dt (α > 0).

この Aα(ζ) は ζ → +∞ のとき次の評価を持つ．

Aα(ζ) ∼ C1e−C2ζβ

(1

α+

1

β= 1, α = 2 の時は β = 2

B1f2 の指数サイズは 2 だったので A2,1B1f2 は well-defined.そこで (2, 1)-sum を S2,1 = L2 ◦ A2,1 ◦ B1f として定義する．

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一般に κ2 > κ1 > 0 に対して (κ2,κ1)-sum を

Sκ2,κ1 f = Lκ2 ◦ Aκ2,κ1 ◦ Bκ1 f

として定義する．ここで Aκ2,κ1 = Bκ2 ◦ Lκ1 は

(Aκ2,κ1g)(z) =∫ ∞0

Aκ2/κ1(ζ/z)g(ζ)dζ

の積分表示を持ち，

Aα(ζ) ∼ C1e−C2ζβ

(1

α+

1

β= 1, i.e., β =

κ2 − κ1κ1κ2

)

なので，Bκ1 f の指数サイズは高々

κ2 − κ1κ1κ2

(> κ1)

でなければならない．

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§4. WKB 解の multisummability への証明に向けて

Q(x , ε) = Q0(x) + ε2Q2(x) (= x + ε

2x2 : Suzuki-Takei)

各 Qj(x)は多項式で，その次数を dj とし，d2 > d0 > 0とする．この場合にはWKB解は ( d2 + 2

d2 − d0, 1)-summable となると予想される．

Theorem 3

x が Stokes 曲線上になければ B1T (x , y) は

{y ∈ C : dist(y ,R+) < δ}

に解析接続され，この領域で次が成立する．∣∣∣T (±)B (x , y)∣∣∣ ≤ C1 exp (C2|y |κ) with κ = d2 + 2d0 + 2.

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(証明の概要) T (x , ε) の Borel 変換 TB1(x , y) の満たす方程式

∂TB∂x

+ 2√Q0(x)

∂TB∂y

+ 2S0(x)TB + TB ∗ TB = 0,

TB ∗ TB(x , y) =∫ y0

TB(x , y − t)TB(x , t)dt

を初期条件TB1(x , 0) = S1(x)

のもとで解く．ただし

S0(x) = −Q ′04Q0

,

S1(x) = −5

32

(Q ′0)2

(Q0)5/2+

Q ′′0

8Q3/20

+Q2

2Q1/20

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▶ ( d2 + 2d2 − d0

, 1)-summable であることを示すには A(d2+2)/d2−d0,1TB1 の解析接続とその増大度を調べなければならない（未解決）．

▶ ψ+ 7−→ ψ+ + C1eC2/εψ− といった Stokes 現象は Q0(x) から定まる Stokes 曲線上でしか起きない．

▶ Qj(x) が有理関数の場合，各極において

(Q2(x) の位数) > (Q0(x) の位数) ≥ 3

であれば定理は成立．それぞれの位数を d0, d2 とすると TB1(x , y) の指数サイズは d2 − d0

d0 − 2となり，( d2 − 2

d2 − d0, 1)-summable になると期待される．

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例えば

Q(x , η) =x4 − 1x3

+ η−2x2 (Q0(x) =x4 − 1x3

, Q2(x) = x2)

この場合は x = 0,∞ が特異点であり，

ordx=0Q2(x) < ordx=0Q0(x) (Theorem 1の場合),ordx=∞Q2(x) > ordx=∞Q0(x) (Theorem 3の場合).

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Q(x , η) =x4 − 1x3

+ η−2x2 の変わり点と Stokes 曲線

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Q(x , η) =x4 − 1x3

+ η−2x2

▶ 緑の点では TB1 の の指数サイズは 4/3.

▶ 青の点では TB1 の の指数サイズは 1.

▶ 赤の点では TB1 の の指数サイズは 1 か 4/3 となり，branch によっては Borel総和可能となり，branch によっては Borel 総和可能ではない．

結果として (4, 1)-summable と期待される．21/23

§5. 未解決の事項

▶ Multisummability の証明の残り（Aκ,1TB1 の解析接続と増大度）．

▶ Q0(x) と Q2(x) 以外の項がある場合．

▶ Q0(x) が位数 2 の極を持つ場合．

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Bibliography

▶ O. Costin, L. Dupaigne, and M. D. Kruskal: Borel summation of Adiabaticinvariants, Nonlinearity, 17 (2004), 1509–1519.

▶ T. M. Dunster, D. A. Lutz and R. Schäfke: Convergent Liouville-Green expan-sions for second-order linear differential equations, with an application to Bessel

functions, Proc. Roy. Soc. Lon, Ser. A, 440(1993), 37–54.

▶ 大谷佳昭: 二階線形常微分方程式に対する WKB 解の multisummability について，修士論文（神戸大学），2014.

▶ 鈴木克彦: ある特異摂動型の方程式の multisummable な WKB 解について，修士論文（京都大学），2012.

▶ Y. Takei: On the multisummability of WKB solutions of certain singularly per-turbed linear ordinary differential equations, Opuscula Math., 35(2015), 775–

802.

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