15me Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques

Alger, ALGERIE, 1er Aot 2005

1er jour : 1er aot 2005 Dure : 4 h 30

INSTRUCTIONS

1. Les instruments de calcul et autres documents tels que notes manuscrites ou extraits de livres ne sont pas autoriss en salle dexamen.

2. Seuls les stylos, crayons, rgles et compas peuvent tre utiliss. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercice 1

Montrer que pour a, b, c rels positifs non nuls on a les ingalits :

cbaaccbbacba ++

++

++

+++ 9222111

Exercice 2

Soit S un ensemble dentiers vrifiant la proprit suivante : Toute racine entire de tout polynme non nul coefficients dans S, appartient S.

On suppose que 0 et 1000 appartient S. Montrer que 2 appartient S.

Exercice 3

ABC est un triangle et P un point situ sur lun de ses cts. Construire une droite passant par P et partageant ce triangle en deux surfaces de mme aire.

15me Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques

Alger, ALGERIE, 2 Aot 2005

2me jour : 02 aot 2005 Dure : 4 h 30

INSTRUCTIONS

1. Les instruments de calcul et autres documents tels que notes manuscrites ou extraits de livres ne sont pas autoriss en salle dexamen.

2. Seuls les stylos, crayons, rgles et compas peuvent tre utiliss. ------------------------------------------------------------------------------------

Exercice 4

La partie entire dun rel x est le plus grand entier relatif infrieur ou gal x. Elle est note [x]. Par exemple [11] = 11, [] = 3 et [] = - 4 . On note : {x} = x [x]. Rsoudre lquation : [x].{x} = 2005x.

Exercice 5

No doit mettre 8 espces danimaux dans quatre cages de son arche. Il projette de mettre deux espces dans chaque cage. Il se trouve que pour chaque espce, il y a au plus 3 autres espces avec qui elle ne peut pas partager la mme cage. Montrer quil existe une manire de mettre les animaux dans les cages de sorte que chaque espce partage la cage avec une autre espce qui lui est compatible.

Exercice 6

Soit une fonction f : Z Z telle que : Pour tous a et b dans Z {0}, on a : f(ab) f(a) + f(b). Montrer que pour tout entier a Z {0} on a : f(an) = nf(a) pour tout n si et seulement si : f(a2) = 2f(a).