Ondes électromagnétiques dans le vide

physique année scolaire 2018/2019

Ondes électromagnétiques dans le videLes points du cours à connaître

I- Ondes électromagnétiques dans le vide

1. Structure des ondes électromagnétiques

Equation de d'Alembert suivie par les champs électromagnétiques dans le videdans le vide illimité, les équations de Maxwell entraînent

∆ψ = O2ψ =1

c2∂2ψ

∂t2

avec : ψ = Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz.Dans le vide, la vitesse (de phase et de groupe) de propagation des ondes électromagnétiqueest la vitesse de la lumière,

c =1

√ε0.µ0

= 3× 108 m · s−1

Structure d'une onde électromagnétique plane dans le videL'onde électromagnétique dans le vide est transverse : ~B et ~E sont orthogonaux à la directionde propagation.(~E, ~B,~k

)forment un trièdre orthogonal direct.

‖ ~E‖ = c ‖ ~B‖.Tout ce qui précède peut se résumer par

~B =~k

ω∧ ~E

2. Divers domaines des ondes électromagnétiques

3. Ondes monochromatiques

OPPH/OPPM et OPPHHUne onde harmonique (ou monochromatique) est qualiée de plane et progressive quandles surfaces équiphases sont des plans :

OPPH : E = E(r) cos(ω t− ~k ~r)Si en outre l'amplitude est uniforme l'onde est qualiée de plane et homogène :

OPPHH : E = E0 cos(ω t− ~k ~r)

4. Photon

Le photon associé à une OPPMà toute OPPM qui se propage dans le vide illimité,de fréquence ν et de pulsation ω = 2π ν

de vecteur d'onde ~k,on peut associer une particule, le photon, avec

une masse nulleune vitesse c

une énergie : Eϕ = ~ω = h ν

une quantité de mouvement : ~pϕ = ~~k

spé PC*1 page n 1 Lycée Saint Louis


où ~ = 1, 055× 10−34 J · s est la constante de Planck réduite (~ = h2.π

).

5. Etude énergétique

Energie d'une onde électromagnétique plane dans le videLa densité volumique d'énergie électromagnétique eem = ee + em d'une onde électromagnétiqueplane est équipartie entre terme électrique (ee) et terme magnétique (em)

ee =1

2ε0.E

2 = em =B2

2.µ0

=eem2

II- Phénomènes de polarisation (TP cours)

1. Polarisation des ondes planes progressives monochromatiques

Diérentes polarisations d'une OPPMLa polarisation d'une OPPM qui se propage vers les z croissants avec

Ex = E0x cos (ω t) et Ey = E0y cos (ω t− ϕ)

avec E0x et E0y positifs, est :

• elliptique en règle générale (si ϕ 6= 0 [π]),

• rectiligne si ϕ = 0 [π] ou si E0xE0y = 0,

• circulaire si ϕ = π2

[π] et E0x = E0y = E0.

HélicitéDans le cas d'une OPPM qui se propage vers les z croissants avec


avec E0x et E0y strictement positifs,

• si ϕ ∈ ]0, π[, l'hélicité est positive (on parle de polarisation elliptique gauche) ;

• si ϕ ∈ ]−π, 0[, l'hélicité est négative (on parle de polarisation elliptique droite).

2. Polariseurs

Loi de MalusAprès un analyseur qui fait un angle θ avec une polarisation rectiligne, l'intensité est multipliéepar cos2 θ :

I2 = cos2(θ).I1

3. Lames à retard

Axes neutres d'une lame à retardUne onde pénétrant en incidence normale dans un tel milieu, et polarisée suivant l'axe lent oul'axe rapide, ressortira du milieu avec la même polarisation. C'est pour cela qu'on parle d'axesneutres.

Lame à retard (ou anisotrope) :Une OPPM qui se propage vers les z croissants qui pénètre dans une lame anisotrope avec


(avec E0x et E0y positifs), ressort de la lame anisotrope telle que

Ex = E0x cos (ω t) et Ey = E0y cos (ω t− ϕ′)avec

• pour une lame demi-onde (ou "λ2") : ϕ′ = ϕ± π,

• pour une lame quart d'onde (ou "λ4") : ϕ′ = ϕ± π

2.



4. Applications de la polarisation

Loi de Bioton s'intéresse à un faisceau de lumière traversant sur une distance ` une solution de concen-tration C d'une molécule optiquement active. La polarisation de la lumière tourne alors d'unangle

α = θ0.C.`

où θ0 est l'activité optique, caractéristique de la molécule.

5. Détermination d'une polarisation inconnue

III- Propagation d'une onde électromagnétique

1. Propagation dans les conducteurs

Conductivité d'un métal réelPour un métal, la conductivité est complexe :

γ (ω) =γ0

1− j τ ω=

ε0 ω2p

1τ− j ω

2. Propagation dans un diélectrique

Indice complexe du milieu :La relation de dispersion peut se simplier en

k = ±nωc

n (sans dimension) est appelé indice du milieu diélectrique. Il est complexe, on peut écrire :Re (n) = nr et Im (n) = −ni.

Structure de l'onde dans un milieu diélectrique

L'onde plane progressive monochromatique qui se propage avec un vecteur d'onde ~k = k.~uz =nωc~uz est telle que

~B =~k

ω∧ ~E = n

~uzc∧ ~E

AbsorptionSi ni 6= 0 ⇒ n ∈ C, l'onde qui se propage est une onde amortie : l'amplitude de l'onde estatténuée par le terme e−ni

ω.zc . Il y a absorption de l'onde par le milieu de propagation.

3. Interface entre deux milieux

Relation de passage sur un dioptreOn admet qu'à l'interface (z = 0), le champ électromagnétique est continu :

∀t ~Ei (z = 0, t) + ~Er (z = 0, t) = ~Et (z = 0, t)

∀t ~Bi (z = 0, t) + ~Br (z = 0, t) = ~Bt (z = 0, t)

Coecients de réexion et transmissionLes coecients en amplitude sont :

• coecients de réexion tels que :~Er (z = 0, t) = rE

~Ei (z = 0, t)

et ~Br (z = 0, t) = rB~Bi (z = 0, t) ;



• coecients de transmission tels que :~Et (z = 0, t) = tE

~Ei (z = 0, t)

et ~Bt (z = 0, t) = tB~Bi (z = 0, t).

Les coecients en énergie sont :

• coecient de réexion : R = |rE|2 = |rB|2

• coecient de transmission : T = 1−R.



Exercice traité en n de cours

exo 19.1) Modélisation de l'absorption et de la dispersion dans l'eau

1) Données relatives à l'eauLa partie réelle nr de l'indice de l'eau varie de 1,329 à 1,343 d'un bout à l'autre du spectre visible, entre le

rouge et le bleu. L'absorption de l'eau est donnée par le graphique suivant :

1.a) L'eau est-elle un milieu dispersif dans le visible ? Modéliser les variations de la partie réelle del'indice de l'eau grâce à la formule de Cauchy : nr = A+ B

λ2 .1.b) L'indice de l'eau a-t-il une partie imaginaire non nulle ni dans le visible ? Justier.

2) Application à la couleur de la mer2.a) Dans quelle partie du spectre visible l'absorption de l'eau est-elle la plus faible ?2.b) Proposer une interprétation à la couleur de la mer.

3) Arc en cielUn rayon de lumière monochromatique pénètre dans une goutte d'eau assimilée à une sphère homogène

d'indice n sous une incidence i, il subit une réexion à l'intérieur de la sphère avant de sortir.3.a) Faire un schéma.3.b) Calculer la déviation D du rayon émergent par rapport au rayon incident en fonction de i et r,

l'angle du premier rayon réfracté.3.c) Montrer que cette déviation D passe par un extremum lorsque sin2 i = 4−n2

3 .D est extrémale lorsqu'il y a accumulation de lumière : c'est l'arc en ciel (la symétrie de révolution donne

un arc).3.d) Applications numériques pour l'arc-en-ciel : calculer la déviation D lorsqu'elle est extrémale, pour

le bleu et pour le rouge. Expliquez pourquoi l'arc en ciel est coloré.



Techniques à maîtriser

I- Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Établir et citer les équations de propagation.Établir et décrire la structure d'une OPPHH.Utiliser le principe de superposition d'OPPHH.Relier la direction du vecteur de Poynting et la direction de propagation de l'onde.Relier le ux du vecteur de Poynting à un ux de photons en utilisant la relation d'Einstein-Planck.Citer quelques ordres de grandeur de ux énergétiques surfaciques moyens (laser hélium-néon, uxsolaire, téléphonie, etc..) et les relier aux ordres de grandeur des champs électriques associés.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il faut repartir des équations de Maxwell et appliquer ∆ ~E =−−→grad

(div ~E

)−−→rot

(−→rot ~E

)Des équations de maxwell aux ondes électromagnétiques méthode

19.1.1) Longueurs d'onde de quelques ondes radios

1) Déterminer la longueur d'onde λ, le nombre d'onde σ en cm−1 et la norme du vecteur d'onde k pour :1.a) une station grande onde (de fréquence ν = 250kHz) ;1.b) une station FM (de fréquence ν = 100MHz) ;1.c) un téléphone portable (de fréquence ν = 1, 8GHz).

19.1.2) Caractéristiques ondulatoires de l'onde émise par un laser hélium-néonUn laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1, 0mm d'une onde plane pro-

gressive monochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. La puissance moyenne émise est Pe = 1, 0mW .On donne : µ0 = 4.π.10−7H.m−1.

1) Calculer les amplitudes1.a) Emax du champ électrique ;1.b) et Bmax du champ magnétique.

19.1.3) Caractéristiques corpusculaires de l'onde émise par un laser hélium-néonUn laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1, 0mm d'une onde plane pro-

gressive monochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. La puissance moyenne émise est Pe = 1, 0mW .On donne : h = 6, 62.10−34J.s.

1) Déterminer le nombre de photons1.a) n par unité de volume dans le faisceau ;1.b) N de photons émis par seconde par le laser.

19.1.4) Onde sphérique



On s'intéresse à une onde sphérique monochromatique, de pulsation ω et de centre O. Son amplitude est de

la forme : A (~r, t) = a (r) . cos(ω.t− ~k.~r

)1) Donner l'expression du vecteur d'onde ~k dans le repère sphérique en distinguant les deux cas : onde

convergente ou onde divergente.

2) Pourquoi l'amplitude a (r) est-elle proportionnelle à l'inverse de la distance r ?

19.1.5) Les photons émis par le SoleilLe ux solaire sur Terre est 1, 36 kW ·m−2.

1) En déduire la puissance totale rayonnée par le Soleil, situé à 8 min lumière de la Terre.

2) Estimer l'ordre de grandeur du nombre de photons arrivant par seconde sur 1m2, sur la Terre.

3) A quelle distance du Soleil faudrait-il se placer pour recevoir 1 photon par seconde sur 1m2 ?

II- Polarisation des ondes électromagnétiques

Relier l'expression du champ électrique à l'état de polarisation d'une onde.Reconnaître une lumière non polarisée.Distinguer une lumière non polarisée d'une lumière totalement polarisée.


Il faut d'abord faire tourner un analyseur devant la lumière à analyser.- Si la lumière s'éteint, il s'agit d'une polarisation rectiligne,- si l'intensité lumineuse présente un minimum, il s'agit d'une polarisation elliptique,- si l'intensité est constante, il peut s'agir d'une polarisation circulaire ou bien d'une lumière non pola-risée.Pour diérencier ces deux derniers cas, il faut alors introduire une lame quart d'onde devant l'analyseur.En tournant l'analyseur,- si la lumière s'éteint il s'agit d'une polarisation circulaire,- sinon (si l'intensité est constante) il s'agit d'une lumière non polarisée.

Etude de la polarisation des ondes électromagnétiques méthode

19.2.1) Variation de l'intensité lumineuse avec la loi de MalusUn faisceau parallèle de lumière traverse un polariseur xe. Son intensité est notée I0 après ce polariseur.

Le faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur dont l'axe fait un angle θ avec l'axe du premierpolariseur.

1) Déterminer l'intensité lumineuse I sortant du second polariseur (loi de Malus).

2) Initialement, θ = θi, et l'intensité lumineuse sortant du second polariseur est Ii. On fait varier θ dedθ π.

2.a) Exprimer la variation relative dIIi

de l'intensité lumineuse sortant du second polariseur, en fonctionde θi et dθ.

Application : dθ = 1, que vaut dIIi

2.b) si θi = 10 ?2.c) si θi = 80 ?



19.2.2) Modulation de l'intensité lumineuse grâce à un polariseur tournantUn faisceau parallèle de lumière naturelle non polarisée d'intensité I0 traverse un polariseur xe.

1) Quelle est l'intensité I1 après ce polariseur ?Le faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur qui tourne autour de l'axe optique avec une

vitesse angulaire ω.

2) Déterminer l'intensité lumineuse I2 sortant du second polariseur.(On supposera que le second polariseur tourne lentement devant le temps de réponse du détecteur).

3) Montrer que l'on a modulé l'intensité à la pulsation 2.ω.

19.2.3) Détection de lumière au voisinage de l'extinctionUn polariseur et un analyseur sont réglés à l'extinction. On fait tourner l'analyseur d'un angle α.

1) Exprimer l'intensité I2 après l'analyseur en fonction de I1, l'intensité entre le polariseur et l'analyseur,et de α.

2) Pour détecter de la lumière après le polariseur, il faut que l'intensité soit supérieure au bruit, qui vaut5%.I1. Déterminer numériquement en secondes d'angle, l'angle minimum αmin dont il faut tourner l'analyseurpour détecter de la lumière.

19.2.4) Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement

1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique ~E de l'ondeplane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), polarisée rectilignementsuivant l'axe (Oy) se propageant suivant une direction faisant, dans le plan (xOz), un angle de 45 avec l'axe(Oz).

On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.

19.2.5) Décomposition d'une OPPM polarisée rectilignement

Soit une onde plane progressive monochromatique, de pulsation ω et de vecteur d'onde ~k = k.~uz, polariséerectilignement selon un axe qui fait l'angle α avec (Ox).

1) Donner l'expression des composantes Ex et Ey du champ électrique. On prendra E0 comme amplitudede ce champ.

2) Montrer que la superposition de deux OPPM de mêmes caractéristiques polarisées circulairement :Ex = E′0. cos (ω.t− k.z + α)Ey = E′0. sin (ω.t− k.z + α)

et Ex = E′0. cos (ω.t− k.z − α)Ey = −E′0. sin (ω.t− k.z − α)

redonne l'OPPM polarisée rectilignement. On exprimera E′0 en fonction de E0.

19.2.6) Polariseur circulaireOn s'intéresse à un ltre suivi d'un polariseur, lui-même suivi d'une lame quart d'onde avec ses lignes neutres

à 45 de la direction du polariseur.

1) On envoie de la lumière naturelle dans le dispositif. Quelle est la polarisation de la lumière ainsi produite ?On retourne le dispositif donc la lumière naturelle rencontre d'abord la lame quart d'onde puis le polariseur.

2) La polarisation de la lumière produite a-t-elle changé ?



19.2.7) Détection de l'hélicité d'une polarisation circulaireOn s'intéresse à un ltre suivi d'une lame quart d'onde (qui ajoute un déphasage +π

2 sur l'axe vertical),lui-même suivi d'un polariseur, qui peut librement tourner dans son plan. On envoie de la lumière polariséecirculairement dans le dispositif.

1) Pour quelle direction du polariseur obtient-on l'extinction si :1.a) la polarisation est circulaire gauche ?1.b) la polarisation est circulaire droite ?

19.2.8) Caractéristiques d'une OPPMOn se place dans un repère cartésien (Oxyz).Un faisceau laser émet une onde plane progressive (suivant ~u), monochromatique (de longueur d'onde λ),

polarisée rectilignement suivant (Oz).On pose θ = (~ux, ~u).

1) Ecrire, en fonction de E0 (l'amplitude du champ électrique) et de λ, les composantes dans le repèrecartésien (Oxyz)

1.a) du vecteur d'onde ~k,1.b) du champ électrique ~E,1.c) du champ magnétique ~B,1.d) et du vecteur de Poynting ~Π.

19.2.9) Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement

1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique ~E de l'ondeplane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), se propageant suivant l'axe(Ox), polarisée rectilignement, le champ électrique faisant un angle de 60 avec l'axe (Oy).

On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.

19.2.10) Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée elliptiquement

1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique ~E de l'ondeplane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), se propageant suivant l'axe(Oy), polarisée elliptiquement à droite.

Le demi grand axe de l'ellipse, étant suivant (Oz), est trois fois plus grand que le demi petit axe (noté E0).Le déphasage entre les deux axes de l'ellipse est π

2 .

III- Propagation dans un milieu

Décrire le modèle d'un plasma localement neutre sans collisions.Construire une conductivité complexe en justiant les approximations.Associer le caractère imaginaire pur de la conductivité complexe à l'absence de puissance échangée enmoyenne temporelle entre le champ et les porteurs de charges.Traiter le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle.




Établir une relation de dispersion pour des ondes planes progressives harmoniques.Associer les parties réelle et imaginaire de k aux phénomènes de dispersion et d'absorption.Reconnaître une onde évanescente (onde stationnaire atténuée).Dans le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle, repérer une analogie formelleavec les phénomènes de diusion.Connaître l'ordre de grandeur de l'épaisseur de peau du cuivre à 50 Hz.


19.3.11) Conductivité d'un plasma

Une onde électromagnétique de champ électrique complexe ~E = E0 e−j (ω t−k z) ~ux existe dans le plasma.

1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.

2) Montrer que la conductivité complexe du plasma peut s'écrire

γ = j ε0

ω2p

ω

19.3.12) Pulsation plasmaLa conductivité complexe du plasma peut s'écrire

γ = j ε0

ω2p

ω

1) Montrer que ωp a bien la dimension d'une pulsation.

19.3.13) Absence d'eet Joule dans le plasma

1) Montrer qu'il y a absence de puissance échangée en moyenne temporelle entre le champ et les porteursde charges dans un plasma.

19.3.14) Neutralité locale d'un conducteur

1) Montrer qu'un conducteur est localement non chargé.

19.3.15) Propagation dans un métal réel pour les ondes hertziennes

On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement ~E =

E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u qui se propage dans un métal réel.

On admet que la relation de dispersion est :

k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

On suppose que ω 1τ ωp (c'est le cas pour les ondes hertziennes).

1) Montrer que k = ± 1+jδ .

2) En déduire que l'onde est amortie.



19.3.16) Propagation dans un métal réel pour les ondes visibles




k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

On suppose que 1τ ω < ωp (c'est le cas pour les ondes visibles).

1) Montrer que k = ± jδ′ .

2) En déduire que l'onde est évanescente.

19.3.17) Propagation dans un métal réel pour les ondes UV




k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

Supposons que 1τ ωp < ω (c'est le cas à partir du domaine UV).

1) Montrer qu'on retrouve l'équation de dispersion de Klein-Gordon.

2) En déduire qu'il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.

19.3.18) Propagation dans un métal réel pour les ondes X




k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

Supposons enn que 1τ ωp ω (c'est le cas pour les rayonnements X).

1) Montrer qu'il y a propagation sans dispersion ni absorption, comme dans le vide.

19.3.19) Indice optique et vitesse de l'onde

1) L'indice optique correspond-il à une vitesse de phase ou à une vitesse de groupe ?

19.3.20) Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de CauchyOn s'intéresse à un milieu vériant la loi de Cauchy :

n = A+B

λ2

On donne la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe :

vg = vϕ − λdvϕdλ



1) Exprimer la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase, de n, de B et de λ.

2) Comparer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.

3) Que se passe-t-il si le milieu est non dispersif ?

19.3.21) Propagation dans un plasmaOn peut montrer que dans un plasma, la relation de dispersion est de la forme

k2 =ω2 − ω2

p

c2

On se place dans le cas d'une onde de pulsation ω > ωp, la pulsation plasma.

1) Indice du milieu :1.a) Pourquoi a-t-on le droit de parler d'indice ?1.b) Quel est l'indice n (ω) du milieu ?

2) Exprimer les vitesses :2.a) vϕ de phase ;2.b) vg de groupe ;2.c) et les comparer à c.

IV- Interface entre deux milieux

Dans le cas de d'une onde plane progressive harmonique sous incidence normale entre deux demi-espacesd'indices complexes n1 et n2, exploiter la continuité (admise) du champ électromagnétique dans cetteconguration pour obtenir l'expression du coecient de réexion en fonction des indices complexes.Distinguer les comportements dans le domaine de transparence et dans le domaine réactif du plasma.Établir les expressions des coecients de réexion et transmission du champ pour un métal réel. Passerà la limite d'une épaisseur de peau nulle.Dans le cas d'une interface vide-conducteur ohmique dans le domaine optique visible, identier le com-portement du métal dans ce domaine, avec celui d'un plasma localement neutre peu dense en-dessousde sa pulsation de plasma.Associer la forme du coecient complexe de réexion à l'absence de propagation d'énergie dans le métalen moyenne temporelle.Identier l'incidence de Brewster et utiliser cette conguration pour repérer la direction absolue d'unpolariseur.


Les trois OPPM impliquées dans le processus sont

l'onde incidente, de vecteur d'onde ~ki = 2π.n1

λ ~uz, de champ électrique complexe ~Ei = ~E0i.ej.(ωt−ki.z) et

magnétique ~Bi = n1.~uzc ∧ ~Ei ;

l'onde rééchie, de vecteur d'onde ~kr = − 2π.n1

λ ~uz, de champ électrique complexe ~Er = ~E0r.ej.(ωt+kr.z)

et magnétique ~Br = −n1.~uzc ∧ ~Er ;

l'onde transmise de vecteur d'onde ~kt = 2π.n2

λ ~uz, de champ électrique complexe ~Et = ~E0t.ej.(ωt−kt.z) et

magnétique ~Bt = n2.~uzc ∧ ~Et.

Les coecients en amplitude pour ~E sont

• en réexion rE tel que ~E0r = rE . ~E0i,

Coecients de réexion et de transmission dans le cas de l'incidence normaleméthode



• en transmission tE tel que ~E0t = tE . ~E0i.

Les coecients en amplitude pour ~B sont

• en réexion rB tel que ~B0r = rB . ~B0i,

• en transmission tB tel que ~B0t = tB . ~B0i.

On peut dénir les coecients énergétiques suivants :

• en réexion R = 〈Φr〉〈Φi〉 ;

• en transmission T = 〈Φt〉〈Φi〉 .

Les conditions de passage sur les champs électromagnétiques (continus) permettent de déterminer tousces coecients.

19.4.1) Coecients de transmission et réexionOn s'intéresse à une interface en z = 0. Dans le milieu z < 0 l'indice optique est n1 et dans le milieu z > 0

l'indice est n2.L'onde incidente a pour champ électrique

~Ei = E0i e−j (ω t−k1 z)~ux

1) Déterminer la forme des diérentes ondes électromagnétiques.

2) Calculer les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B.

3) En déduire les coecients de transmission et réexion en énergie.

19.4.2) Réexion du diamant

On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B à l'interface entre deuxmilieux d'indices n1 et n2 sont :

rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

Le diamant est transparent, translucide ou opaque.Son indice de réfraction est particulièrement élevé : n ≈ 2, 4.

1) Qu'est-ce qui donne au diamant son éclat caractéristique, dit adamantin ?

19.4.3) Déphasage de π pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur

On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B sont :rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

1) Justier qu'il existe un déphasage de π pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur.

19.4.4) Déphasage de π pour une réexion sur un miroirOn rappelle que k ≈ ±j ωpc pour la propagation dans un métal dans le domaine visible c'est-à-dire si

1τ ω < ωp.

On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B à l'interface entredeux milieux d'indices n1 et n2 sont :

rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB



1) Montrer que le métal se comporte comme un miroir parfait.

2) Justier qu'il existe un déphasage de π pour une réexion sur un miroir.

19.4.5) Interface vide/plasma

On rappelle que k =

√ω2−ω2

p

c pour la propagation dans un plasma.

On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B à l'interface entredeux milieux d'indices n1 et n2 sont :

rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

1) Montrer que le plasma se comporte comme un miroir parfait si ω < ωp.

19.4.6) Polarisation d'une onde rééchie à l'incidence de BrewsterOn considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,

d'indices n1 et n2. Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe ledemi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une

incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.

On notera θ2 =(~uz,~kt

)l'angle de réfraction et −θ1 =

(~uz,~kr

)l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.

On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidentepolarisée rectilignement :

• dans le plan d'incidence r// = tan(θ1−θ2)tan(θ1+θ2) ;

• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥ = sin(θ1−θ2)sin(θ1+θ2) .

1) Montrer qu'il existe une incidence θ1 = θB telle que l'onde est totalement polarisée.

2) Exprimer θB en fonction de n1 et n2 uniquement.

19.4.7) Coecients de réexion et de transmission à l'interface entre deux diélectriquesOn considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,

d'indices n1 et n2. Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe ledemi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une

incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.

On notera θ2 =(~uz,~kt


(~uz,~kr

)l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.

On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidentepolarisée rectilignement :

• dans le plan d'incidence r// = tan(θ1−θ2)tan(θ1+θ2) ;

• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥ = sin(θ1−θ2)sin(θ1+θ2) .

De même, les coecients de transmission en amplitude du champ électrique sont :

• dans le plan d'incidence t// = 4. sin θ2. cos θ1sin(2θ1)+sin(2θ2) ;

• perpendiculairement au plan d'incidence t⊥ = 2. sin θ2. cos θ1sin(θ1+θ2) .

1) En incidence normale, déterminer les coecients de réexion1.a) r// ,1.b) r⊥,1.c) et conclure.

2) En incidence normale, déterminer les coecients de transmission2.a) t//,2.b) t⊥,2.c) et conclure.



Résolution de problème

La dangerosité du Wi-Fi

On s'interroge sur l'eet des émetteurs d'ondes électromagnétiques sur la santé

Les antennes Wi-FiL'antenne tige basique omnidirectionnelle à 2,4 GHz (1/4 d'onde)

ressemblant à un stylo est la plus rencontrée. Elle est omnidirection-nelle, et est dédiée à la desserte de proximité.Référence : Article wikipédia sur le wiLe DAS

Le DAS (Débit d'Absorption Spécique ou SAR en anglais) dontla mention doit gurer obligatoirement dans la notice du fabricant, ex-primé en W · kg−1, représente la puissance absorbée par Kilogrammede tissus et représente généralement un DAS local correspondant àl'absorption d'énergie au niveau de la tête. Elle est mesurée par rap-port à un " fantôme ", qui consiste en une tête moulée en résine etcontenant un liquide aux propriétés d'absorption proches de celle d'unetête humaine. Une sonde plongée dans ce liquide permet de recueillirdes mesures sur le mobile testé à émission maximale et dans diversespositions, selon un protocole validé par le CENELEC (Comité Européen de la Normalisation Electrotechnique).Le consensus adopté par l'ICNIRP (International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection) évalue à4 W · kg−1 le seuil de puissance à partir duquel des eets nocifs peuvent apparaître.

La législation internationale a établi que les téléphones portables doivent impérativement avoir un DASinférieur à 2 W · kg−1 pour pouvoir être commercialisés. Le DAS émis par les appareils WiFi est généralementde l'ordre de 0, 2 W · kg−1. Quant au Bluetooth, avec une puissance d'émission limitée de 1 à 2,5 mW (Classe2 ou 3), l'intensité de son rayonnement est négligeable par rapport à celui d'un téléphone portable.Référence : Site génération nouvelles technologies (disponible à l'adresse www.generation-nt.com/dossier-radiofrequences-sante-mobiles-article-95591-2.html)Niveaux de référence pour l'exposition de la population générale.

Ces niveaux sont donnés pour les conditions de couplage maximal du champ à la personne exposée, assurantainsi une protection maximale.

Domaine de fréquence E en V ·m−1 B en µT densité de puissance en W ·m−2

2 - 300 GHz 61 0,20 10

Référence : Guide pour l'établissement de limites d'exposition aux champs électriques, magnétiques et électro-magnétiquesCommission internationale pour la protection contre les rayonnements non ionisants (ICNIRP)Cahiers de notes documentaires - Hygiène et sécurité du travail - N 182, 1er trimestre 2001 - INRS

exo 19.2) EnoncéQuelle doit être la puissance maximale d'une antenne WiFi pour être sûr qu'elle vérie les normes en

vigueur ?



Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 19.3) Ondes dans un plasma

Un plasma (comme laionosphère) est un mi-lieu ionisé, constitué :

• d'ions positifsquasi-xes ;

• d'électrons decharge −e, demasse me, de den-sité ne, de vitesse~ve.

Le plasma est peudense, de sorte qu'onpourra négliger les in-teractions entre lesparticules chargées.

1) Étude des électrons du plasma

Une onde électromagnétique de champ électrique complexe ~E = E0 e−j (ω t−k z) ~ux existe dans le plasma.

1.a) Montrer que la partie magnétique de la force de Lorentz appliquée à un électron est négligeablepour peu que la vitesse de celui soit faible devant c.

1.b) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'unélectron.

1.c) En déduire la conductivité complexe du plasma.1.d) Montrer qu'il n'y a pas d'eet Joule dans le plasma.

2) Propagation dans un plasma2.a) Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le plasma.2.b) En déduire la relation de dispersion.2.c) Déterminer le comportement du plasma vis-à-vis de l'onde.2.d) Comment se comportent les ondes électromagnétiques vis à vis de l'ionosphère qui peut être

considérée comme un plasma ?

3) En se servant des documents, expliquer pourquoi on pouvait recevoir en France Radio Londres pendantla guerre alors qu'il est aujourd'hui impossible d'écouter les chaines de la FM londonienne à Paris.



exo 19.4) Eet de peau dans un conducteurExtrait du Cahier Technique Schneider Electric n 83 CT 83(e) édition janvier 1977 :Cherchant à faciliter l'interprétation de l'eet de peau, Boucherot proposa en 1905 la notion de coque

ctive dénommée aussi épaisseur de peau ou profondeur de pénétration . Sur le plan de l'eet Joule,tout se passe dans le conducteur comme si la totalité du courant véhiculé l'était dans une couche périphérique ou

coque, d'épaisseur δ, la densité de courant étant uniforme dans cette coque et nulle à l'intérieur : δ = 12π

√10 ρµ f

avec δ l'épaisseur de la coque en m, ρ la résistivité en Ω ·m, µ la perméabilité valant 4π 10−7 pour le vide, f lafréquence exprimée en Hz.

En réalité, la densité décroît suivant une loi ex-ponentielle depuis la périphérie jusqu'au centre duconducteur. A la profondeur δ, la densité est en-core de 1/e = 0, 367 comme le montre la gure.La notion de coque ctive suppose que la densitémoyenne dans la coque est égale à 1/

√2 fois la

densité périphérique.Les pertes réelles par eet Joule sont donc plusélevées, ce qu'on exprime en considérant que la ré-sistance eective en courant alternatif Ra est plusgrande que la résistance vraie en courant continuRc d'où ces pertes supplémentaires. En pratique,le taux d'eet de peau ou coecient d'augmen-tation de résistance ou de pertes supplémentairess'exprime par le rapport : K = Ra/Rc > 1.

Plusieurs formules empiriques ont été proposées, celle de Levasseur est particulièrement simple et conduit à des

erreurs inférieures à 2 % : K =

((34

)6+(Sp δ

)6) 1

6

+ 0, 25 avec S la section du conducteur, p son périmètre, δ

l'épaisseur de peau.

1) Étude théorique de l'eet de peauOn considère un conducteur ohmique de conductivité γ, immobile et parallélépipédique. On se place en

régime sinusoïdal, à la pulsation ω, dans l'ARQS. Le courant circule suivant ~ux, mais la densité de courant variea priori avec la profondeur z dans le conducteur (qui est le demi espace z > 0) :

~j = jx (z, t) .~ux = Jm (z) . cos (ω.t− Φ (z)) .~ux

1.a) Rappeler les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS.1.b) Montrer, grâce aux équations de Maxwell, que jx vérie une équation de diusion.1.c) Pourquoi peut-on utiliser le complexe associé jx (z, t) = Jm (z) .e−j.ω.t pour résoudre l'équation

diérentielle ?1.d) En exprimant δ′ et φ (z), montrer que : jx = Jmax.e

− zδ′ . cos (ω.t− φ (z)).

1.e) Caractériser la densité de courant dans le conducteur, à l'aide des graphes :jx (z, t = 0) (et le comparer au graphique du texte),et jx (z = 0, t), jx (z = δ, t), jx (z = 3.δ, t) sur un même graphique.

2) Notion de coque ctive

2.a) Montrer que la notion de coque ctive développée dans le document impose Pd = 1γ

(|J(0)|√

2

)2

δ.

2.b) Comparer δ′ à l'épaisseur de la coque donnée dans le document.2.c) On considère un conducteur de cuivre (γ = 58× 106 S ·m−1). Que vaut δ′ à 50 Hz ? La comparer

à la valeur donnée par le document.

3) Interprétation dans le cas d'un conducteur cylindrique :On se place maintenant dans le cas d'un conducteur cylindrique de conductivité γ, de longueur ` et de rayon

a.3.a) Exprimer la résistance en continu Rc.3.b) Dans le cas où δ a, que vaut Ra ? Même question pour δ a.3.c) Comparer les résultats asymptotiques trouvés dans la question précédente à ceux induits par la

formule de Levasseur donnée dans le document.3.d) Proposer une modélisation du rapport K = Ra/Rc déni dans le document.3.e) Quand peut-on négliger l'eet de peau ?3.f) Quelle est la forme de conducteur la plus adaptée aux hautes fréquences ?



exo 19.5) Saccharimètre de Laurent

Le polarimètre de Laurent, très précis, est utilisé en chi-mie pour mesurer des concentrations, en particulier desucre.Cet appareil fonctionne à la lumière jaune. Il se composedes pièces suivantes :1 Un polariseur biréfringent a (l'une des images estrejetée sur le côté) ;2 Un diaphragme circulaire p dont la moitié seulementest recouverte par une lame mince de quartz ou de gypseparallèle à l'axe. dite demi-onde pour la lumière jaune(raies D) ;3 Un analyseur c que l'un peut faire tourner au moyend'une alidade mobile sur un large cercle divisé ;4 Une petite lunette de Galilée df servant d'oculaire.Une onde monochromatique se propage selon Ox et tra-verse successivement :

• un polariseur dont l'axe privilégié fait un petit angleα ≈ 1 avec Oy.

• une lame demi-onde dont les axes lent et rapide sontOy et Oz et qui ne couvre que la moitié du faisceau(la partie gauche) et donc l'autre moitié du faisceaune traverse rien à cet endroit.

• un analyseur dont l'axe privilégié fait un angle β avecOz, qui peut varier de −π à +π.

1) Eclairage du polarimètre.1.a) Pourquoi le polarimètre de Laurent est-il utilisé en lumière monochromatique, historiquement celle

du doublet jaune du sodium?

2) Fonctionnement du polarimètre.2.a) Calculer, en fonction de β les deux intensités du faisceau sortant du dispositif, selon qu'il a ou non

traversé la demi-onde.2.b) Pour quelles valeurs de β ces intensités sont-elles égales ?

3) Précision du polarimètre.Pour régler l'égalité des éclairements, on choisit la solution β = 0 (ou β = ±π) et non β = ±π2 , car alors, les

éclairements sont maximums, l'÷il est ébloui et sature, ce qui ne permet pas une estimation correcte de l'égalitédes éclairements. Au contraire au voisinage de β = 0 (ou β = ±π), en tournant l'analyseur de 2.α (environ deuxdegrés) on passe de la plage gauche obscure et la plage droite grise (β = −α) à l'inverse (β − α), l'égalité deséclairements se remarquant par la disparition du diamètre séparant les deux plages.

Remarque : vu son mode de fonctionnement, on appelle aussi le polarimètre de Laurent "analyseur à pé-nombre".

3.a) On se place dans la région où |β| < α, donner une valeur approchée du contraste γ entre les deuxintensités.

3.b) Sachant que l'÷il ne distingue plus rien en dessous d'un contraste 0, 01, à quelle précision peut-onrégler l'appareil sur β = 0 ? Commenter.



exo 19.6) De l'eet de la forme de l'antenne sur la puissance rayonnéeDans tout l'exercice, on sera dans le cadre du rayonnement à grande distance, c'est-à-dire qu'on se placera

à une distance r de l'antenne de taille L qui émet un rayonnement de longueur d'onde λ tels que r λ L eton se placera dans un repère sphérique de centre O, d'axe polaire (Oz).

1) On s'intéresse à une antenne "fouet" parcourue par lecourant i(t) = i0. cos(ω.t) qui a la forme d'un l rectilignede longueur L, d'axe (Oz).On admet que ~B =

−→rot ~A, avec :

~A =µ0

4π ri0 L cos(ω t− k r)~ez

avec k = ωc .

Exprimer :1.a) le champ magnétique rayonné ;1.b) le champ électrique rayonné ;1.c) la puissance moyenne Pl rayonnée.

2) On s'intéresse maintenant à une antenne "bobine" qui ala forme d'un l circulaire de longueur L = 2π a, d'axe (Oz),parcourue par le même courant i(t) = i0 cos(ω t).On admet que ~B =

−→rot ~A, avec :

~A = − µ0 ω

4π r ci0 π a

2 sin(ω t− k r) sin θ ~eϕ

avec k = ωc .

Exprimer :2.a) le champ magnétique rayonné ;2.b) le champ électrique rayonné ;2.c) la puissance moyenne Pc rayonnée.

3) Comparer Pl et Pc. Commenter.

exo 19.7) Calcul des coecients de FresnelOn considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,

d'indices n1 et n2.On s'intéresse à une OPPH incidente polarisée rectilignement de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu

(1), qui occupe le demi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce

plan sous une incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure

d'onde plane. On notera θ2 =(~uz,~kt


(~uz,~kr

)l'angle que fait l'onde rééchie

avec la normale.On admet que, à l'interface, sont continues la partie tangentielle du champ électrique et la partie normale

du champ magnétique.

1) L'OPPH incidente est polarisée rectilignement dans le plan d'incidence.1.a) Ecrire les conditions aux limites : sur le champ électrique et sur le champ magnétique.1.b) Montrer que les coecients de réexion et de transmission en amplitude du champ électrique sont

r// =n2. cos θ1 − n1. cos θ2

n1. cos θ2 + n2. cos θ1=

tan (θ1 − θ2)

tan (θ1 + θ2)et t// =

2.n1. cos θ1


4. sin θ2. cos θ1

sin (2θ1) + sin (2θ2)

2) L'OPPH incidente est polarisée rectilignement orthogonalement au plan d'incidence.2.a) Ecrire les conditions aux limites : sur le champ électrique et sur le champ magnétique.2.b) Montrer que les coecients de réexion et de transmission en amplitude du champ électrique sont

r⊥ =n1. cos θ1 − n2. cos θ2


sin (θ1 − θ2)

sin (θ1 + θ2)et t⊥ =

2.n1. cos θ1


2. sin θ2. cos θ1

sin (θ1 + θ2)



Approche documentaire (DNS)

Vitesse de la lumière et four à micro-ondes

Contrairement à ce que d'aucuns arment, la visualisation des ondes stationnairesdans un four à micro-ondes ne permet pas de mesurer facilement la vitesse de lalumière.

Jean-Michel COURTY et Édouard KIERLIK

Idées de physique c© Pour la Science - n 404 - Juin 2011

De nombreux sites Internet francophones ou anglophones proposent de réaliser une expérience sympathiqueet éclairante avec un four à micro-ondes : visualiser la gure des ondes stationnaires formées dans le four par lesondes électromagnétiques et en mesurer la longueur d'onde, pour en déduire la valeur de la vitesse de la lumière.Cette proposition séduisante repose hélas sur des idées trop simplistes. Il est en eet bien dicile de dépasser lestade qualitatif, en raison de la nature tridimensionnelle des ondes stationnaires - même si, par chance, il arriveparfois que le résultat numérique obtenu ne s'écarte que de quelques pourcents de la valeur attendue...

L'expérience est rapide et facile à faire. Son résultat étonnera petitset grands qui auront passé ensemble un agréable moment en cuisine.Voici la procédure à suivre (en présence d'un adulte). D'abord, retirezle plateau tournant de votre four à micro-ondes et prévoyez quatrecales en carton sur lesquelles reposera une feuille de carton rectangu-laire rigide légèrement plus petite que le four.

Disposez sur cette feuille une tablette de chocolat, ou des marsh-mallow, ou du blanc d'÷uf... Les recettes que l'on peut trouver sontfort variées ; il sut d'utiliser une substance contenant de l'eau etdont l'échauement provoque une transformation visible. En ce quinous concerne, an de répéter l'expérience facilement et pour un coûtmodeste, nous avons opté pour de l'emmental râpé, que l'on saupoudresur la feuille de papier ou de carton (voir la gure 1). Lorsque le fro-mage fond, la matière grasse qui suinte imbibe le papier, ce qui facilitela visualisation.

Enn, mettez en route le four et surveillez ce qui se passe par lafenêtre du four ou en ouvrant régulièrement la porte. Pour le gruyèrerâpé, un chauage de 30 secondes semble convenir. Vous observerezalors que l'échauement par les micro-ondes ne se produit qu'à certainsendroits, et que la distance caractéristique entre deux endroits fondus(ou cuits) est de l'ordre de quelques centimètres (voir la gure 2).Expérience simple, explication simplisteComment interpréter cette expérience ? Les parois métalliques intérieures sont, pour les micro-ondes pro-

duites par le four, comme des miroirs sur lesquels ces ondes se rééchissent. Quelle est la résultante de lasuperposition de toutes les ondes se propageant dans la cavité du four ? La situation est analogue à celle d'unecorde vibrante, où l'onde qui se propage dans une direction interfère avec l'onde qui se propage dans la directionopposée.

Si la fréquence de ces ondes est appropriée, il y a résonance et la corde exhibe le prol caractéristique d'uneonde stationnaire : en certains points, les ventres, la corde vibre avec une amplitude maximale, tandis qu'àd'autres, les n÷uds, elle est immobile (voir la gure 2). Dans cette situation unidimensionnelle, la distanceentre deux ventres ou deux n÷uds successifs est égale à une demi-longueur d'onde, tandis que la longueur totalede la corde est égale à un nombre entier de demi-longueurs d'onde.



Il est alors tentant de faire brutalement l'analogie entre corde vibrante et four à micro-ondes, l'amplitude de lavibration de la corde correspondant à l'amplitude d'oscillation du champ électrique de l'onde électromagnétique.Là où elle est maximale (les ventres), le fromage, qui contient un peu d'eau, est davantage chaué, ce qui faitfondre en premier la matière grasse présente à cet endroit. En mesurant la distance entre deux zones fondueset en multipliant par deux, on obtient la longueur d'onde.

Connaissant la fréquence des ondes créées par le four (2,45 gigahertz), on en déduit la vitesse de la lumièrepar une simple multiplication (la vitesse d'une onde est égale au produit de sa longueur d'onde par sa fréquence) :ainsi, lorsqu'on mesure une distance de six centimètres, on trouve une vitesse de 294000 kilomètres par seconde,résultat assez proche de la valeur correcte (environ 300000 kilomètres par seconde). C'est toutefois oublierque la cavité résonante formée par l'intérieur d'un four à microondes est un volume parallélépipédique à troisdimensions. Il est peu probable que l'onde électromagnétique y forme une onde stationnaire sur une seule desdimensions.

Des ondes 3D, pas 1DAnalysons ce qui se passe dans une section horizontale du four, de forme rectangulaire. Le champ électrique

dans les fours à micro-ondes est vertical. Or, au niveau d'une surface conductrice, la composante du champélectrique parallèle à la surface s'annule. Il s'ensuit que le champ électrique est nul sur tout le périmètre durectangle, lequel constitue donc une ligne nodale (chacun de ses points est un n÷ud).

Cela suggère que pourun mode résonant donné, leslignes nodales forment un ré-seau régulier dans le rectangleet sans doute dans tout le vo-lume. La diculté est alors desavoir comment relier les troisdimensions du réseau (sa pé-riodicité selon la longueur, laprofondeur et la hauteur dufour) à la longueur d'onde durayonnement. Dans le cas d'unfour parfaitement parallélépi-pédique, le calcul - conrmépar les observations des physi-ciens - montre que la relationentre la vitesse de la lumière,la fréquence de l'onde et lastructure spatiale du mode faitintervenir la somme des carrésdes inverses des périodes spa-tiales du réseau.

En pratique, dans un fourde cuisine, la situation est pluscomplexe : les parois du four présentent des irrégularités dues à la présence d'une lampe, d'ouvertures pour laventilation, etc. Les objets présents dans le four pour réaliser l'expérience sont aussi des sources d'absorptionou de déviation des ondes.

En outre, plusieurs modes de résonance peuvent être excités, chacun avec sa propre structure spatiale : avec



un four mesurant 29 × 29 × 19 centimètres cubes, on en dénombre six, dont quatre présentent une, deux outrois lignes nodales (en plus des parois) sur chacune des directions horizontales, lignes qui délimitent autant dezones de ventres. Si tous ces modes sont simultanément présents, dans des proportions variées, aucune structurespatiale simple ne sera visualisée par les parties fondues et il sera très délicat d'estimer la vitesse de la lumière.Des coïncidencesComme on peut le constater sur les photos présentées sur les divers sites Web, il arrive cependant que deux

maxima soient séparés de la distance prévue par la théorie (fausse) unidimensionnelle. Dans ce cas, la mesuresera considérée comme une réussite et la personne qui l'a réalisée s'empressera de mettre la photo et le résultatsur son blog !

Cette conguration s'est produite plusieurs fois lors de nos expériences. En eet, dans certaines conditions,notamment en fonction de la quantité de gruyère, nous avons observé deux bandes parallèles à la paroi du fourselon la largeur, situation qui ressemble à celle d'une onde à une dimension.

En revanche, lorsque la valeur mesurée n'est pas celle attendue, l'échec est mis sur le compte d'un raté del'expérience, d'une mauvaise manipulation ou d'une erreur de mesure. C'est ce qui s'est passé pour tous lescollègues ayant tenté l'expérience avec qui nous avons discuté, et pour nous mêmes avant que nous nous soyonsrendu compte des insusances de l'analogie unidimensionnelle.

Évidemment, dans de tels cas, on n'est pas tenté de poster un billet sur le Web pour dire que cela n'apas marché... Pour en avoir le c÷ur net, nous vous invitons à poster les résultats (photos, chires...) de vosexpérimentations sur notre blog. Tous en cuisine !

exo 19.8) EnoncéOn s'intéresse à un four à micro-ondes modélisé par une cavité parallélépipédique vide délimitée par des

plans inniment conducteurs : x ∈ [0; a]y ∈ [0; b]z ∈ [0; c]

~uz étant orienté vers le haut.

1) Onde électromagnétique1.a) Comment s'écrivent les équations de Maxwell dans le vide intérieur de la cavité ? On notera c0 la

célérité de la lumière dans le vide.1.b) Démontrer l'équation de propagation de l'onde.

2) Champ électriqueOn s'intéresse à un champ électrique complexe

~E = Emax. sin(p π.x

a

). sin

(q π.yb

).ej.ω.t.~uz

2.a) Quelle est la polarisation ?2.b) Pour quels p, q les conditions aux limites imposées par les plans x = 0, x = a, y = 0 et y = b au

champ électrique sont-elles vériées ?2.c) Qu'est-ce qu'impose l'équation de propagation de l'onde pour le champ électrique ?2.d) Vérier que, comme le dit le document, "plusieurs modes de résonance peuvent être excités, chacun

avec sa propre structure spatiale : avec un four mesurant 29× 29× 19 centimètres cubes, on en dénombre six".

3) Champ magnétique

3.a) A l'aide d'une équation de Maxwell, déterminer le champ magnétique complexe ~B.3.b) En déduire le champ magnétique ~B.

4) Étude énergétique4.a) Montrer que la moyenne temporelle de la densité volumique d'énergie électromagnétique dans la

cavité est

< eem >=1

4µ0

E2maxπ

2

ω2

(p2

a2sin2

(q.π.yb

)+q2

b2sin2

(p π.xa

))4.b) En déduire les positions des zones où la densité d'énergie est maximale.4.c) Quelle est la distance entre deux zones consécutives où la densité d'énergie est maximale ?





Problème (DNS)Navigation côtière

Un navire, à l'approche du port, doit nécessairement eectuer une navigation précise an d'éviter les dangersde la côte (rochers, haut-fonds, courants, etc...). Nous allons étudier quelques outils de la navigation côtière.Les deux sous-parties sont indépendantes.

I) Navigation à vuePar temps clair, il est possible de repérer à l'÷il des balises (bouées ou phares). Une boussole appelée compas

de relèvement, pointée sur la balise, indique la direction de celle-ci par rapport au nord magnétique.I.1) Le champ magnétique terrestreI.1.a) Représenter la terre et les lignes du champ magnétique terrestre orientées.I.1.b) Quel est l'ordre de grandeur de l'intensité du champ magnétique terrestre ? À l'aide d'un schéma,

représenter ce vecteur champ en un point de l'hémisphère nord.I.2) La déclinaisonI.2.a) Pour reporter sur la carte la position du navire, il faut ajouter à la valeur magnétique lue sur le

compas, l'angle de déclinaison. En eet le Nord magnétique et le Nord géographique ne sont pas confondus. Onappelle déclinaison en un point, l'angle que fait la direction du Nord magnétique avec celle du Nord géographique.Cet angle est noté positivement dans le sens Nord-Est. La valeur de la déclinaison est-elle constante ? uniforme ?Si ce n'est pas le cas, de quoi dépend-elle ?

I.2.b) Actuellement, en Bretagne, la déclinaison est égale à −4. À l'aide d'un schéma, indiquer lespositions respectives du navire, des balises (1) et (2) sachant que les mesures eectuées sur le navire à l'aide ducompas donnent 49 pour la balise (1) et 94 pour la balise (2).

II) Navigation par temps de brouillardPar temps de brouillard, il n'est plus possible de repérer à vue les balises. Certains phares importants, par

exemple le phare de Cordouan à l'entrée de la Gironde, émettent des signaux électromagnétiques codés que l'onpeut détecter et ainsi positionner le navire par rapport au phare.

II.1) Rayonnement d'un dipôle oscillantL'atmosphère terrestre a les propriétés électriques du vide : ε0 = 1

36.π10−9F.m−1 µ0 = 4.π.10−7H.m−1.Un dipôle oscillant de moment dipolaire ~p(t) = ~p0. cos (ω.t) est placé à l'origine O de l'espace le long de

l'axe Oz. On étudie le rayonnement émis en un point M repéré par ses coordonnées sphériques r, θ, ϕ (cf. guresuivante).

Le champ magnétique créé au point M par le dipôle s'écrit :

~B (M, t) =µ0

4π r c

d2

dt2

[~p(t− r

c

)]∧ ~er

c est la vitesse de la lumière dans le vide.Cette relation est valable pour un dipôle, de taille caractéristique d négligeable devant la longueur d'onde λ

observé à grande distance r :r λ d

II.1.a) En notation complexe ~p(t) = ~p0 ej ω t ; donner alors ~B (M, t) en notation complexe en introduisant

le nombre d'onde k = ωc .

II.1.b) Préciser la zone de rayonnement du phare si celui-ci émet un signal de fréquence 100kHz.Conclure.



II.1.c) Sachant que le champ électromagnétique(~E, ~B

)possède localement la structure d'une onde

plane progressive dans la direction ~er, en déduire l'expression complexe ~E (M, t).II.1.d) Dénir le vecteur de Poynting ~Π (M, t) et préciser sa signication physique. Calculer ~Π (M, t)

en notation réelle, puis sa valeur moyenne dans le temps.II.1.e) Calculer la puissance moyenne 〈dP 〉 rayonnée par le dipôle à travers la surface élémentaire

de largeur angulaire dθ selon ~eθ et dϕ selon ~eϕ, tracée sur la sphère de centre O et de rayon r (r λ).Interpréter physiquement ce résultat ainsi que la dépendance en 1

r du champ électromagnétique dans la zone derayonnement. En déduire la puissance moyenne rayonnée.

II.2) Réception du signalLe navire est susamment éloigné du radiophare pour considérer que l'onde électromagnétique reçue par le

détecteur a localement la structure d'une onde plane progressive à polarisation rectiligne. L'expression complexedu champ électrique peut alors s'écrire ~E (M, t) = E0 e

j(ω t−k x)~ez.II.2.a) À partir des équations de Maxwell, établir les équations de propagation des champs ~E (M, t) et

~B (M, t). En déduire l'équation de dispersion dans le vide.II.2.b) Déterminer le champ ~B (M, t).II.2.c) Calculer la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting en fonction de c, ε0 et E0.II.2.d) Le détecteur est un cadre carré de coté a = 10 cm sur lequel on a enroulé N = 100 spires

de l conducteur. Expliquer pourquoi il apparaît en circuit ouvert une tension électrique aux bornes A et Bdu l enroulé sur le cadre. Vues les dimensions du cadre, que pouvez-vous conclure sur la valeur du champmagnétique en tout point intérieur au cadre ? Quelle doit être l'orientation du cadre pour obtenir une tensionecace maximale ? Déterminer alors cette tension ecace maximale U aux bornes A,B du l en fonction deN , a, ω, c, et E0.

II.2.e) Le navire est à 30 milles marins du radiophare. Celui-ci émet une onde monochromatique defréquence 100kHz avec une puissance moyenne 〈P 〉 = 20 kW. On suppose que les caractéristiques d'émissiondu radiophare sont analogues à celles du dipôle oscillant étudié précédemment. Calculer la valeur ecace Uobtenue entre les bornes A et B. (1 mille marin = 1852 m).


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Ondes électromagnétiques dans le vide