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Ecole Supérieure du Commerce Extérieur – Première Année

Mathématiques Financières – Chapitre 6

OPERATIONS FINANCIERES A LONG TERME

AMORTISSEMENT DES EMPRUNTS INDIVIS

Travaux Dirigés – Corrigés des exercices

(Rédaction : Pierre Iglésis)

Exercices d'application

Les techniques de calcul à utiliser dans ce chapitre sont à rapprocher des techniques de calcul utilisées

dans le chapitre 3 : Opérations financières à long terme – Capitalisation.

* Exercice 6.1 *

Un emprunt indivis d’un montant de 800 000 € est amortissable au moyen de 12 annuités constantes. Taux

d’intérêt : 9 %.

1. Calculer la dette résiduelle (dette restant à rembourser) après paiement de 7 échéances.

2. Calculer le montant de l’annuité constante de remboursement et présenter la 8ème

ligne du tableau

d’amortissement de cet emprunt.

Solution

1. Dette résiduelle après paiement de 7 échéances

La dette résiduelle est la dette restant à rembourser après le paiement de la 7ème

annuité.

0D 800000

i 0,09

n 12

p 7

soit :

12 7

7 12

1,09 1,09D 800000

1,09 1

ou encore : 7D 434 553,89 €

2. 8ème

ligne du tableau d’amortissement

Calculons l’annuité constante de remboursement :

0C 800000

i 0,09

n 12

soit :

12

800000 0,09a

1 1,09

ou encore : a 111 720,53 €

8ème

ligne du tableau d’amortissement

Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité

en début de période de la période de la période de la période

8 434 553,89 39 109,85 72 610,68 111 720,53


* Exercice 6.2 *

Voici un extrait du tableau d'amortissement d'un emprunt indivis remboursé au moyen de 120 mensualités

constantes de fin de période :

Mois Capital restant dû

en début de période

Intérêt Amortissement Mensualité

1 20 000,00 84,03 212,54

2 212,54

… …

120 212,54

1. Quelle est en années la durée de l'emprunt ?

2. Quel est le taux mensuel de l'emprunt ?

3. Quel est le taux actuariel de l'emprunt (c'est-à-dire le taux annuel équivalent au taux mensuel calculé

précédemment) ?

4. Quel est le montant du premier amortissement ?

Quel est le montant du deuxième amortissement ?

Quel est le montant du dernier amortissement ?

5. Quel est le capital encore dû immédiatement après le paiement de la 60ème

mensualité ?

6. A partir de cette date, la mensualité est réduite à 159,25 €, le taux de l'emprunt restant inchangé. La

durée du remboursement est évidemment augmentée.

Quel sera dans ces conditions le nombre total de mensualités de l'emprunt ?

Solution

1. Durée de l’emprunt : Il y a 120 mensualités, donc la durée de l'emprunt est 10 ans.

2. Taux mensuel : C 20000

I 84,03

d’où : 84,03 t% 20000 soit :

84,03t% 0,00420 0,420 %

20000

3. Taux actuariel

Pour un capital de 1 € placé pendant 1 an au taux annuel i, la valeur acquise est : 1

1 1 i 1 i

Le même capital placé pendant 12 mois au taux mensuel 0,00420, la valeur acquise est :

12 12

1 1,00420 1,00420

On doit donc avoir : 12

1,00420 1 i soit : i 0,05158 5,158 %

4. Premier amortissement

Le premier amortissement m1 est la différence entre la première mensualité et la première part d'intérêt :

m1 = 212,54 – 84,03 = 128,51 €

Deuxième et dernier amortissements

Les amortissements forment une progression géométrique de raison 1 i 1,00420 .

On en déduit le deuxième amortissement m2 et le 120ème

amortissement m120 :

m2 = m1 × 1,004 201 5 = 129,05 €

m120 = m1 × 1,004 201 5119

= 211,65 €

(Remarque : on peut également obtenir le dernier amortissement par le quotient 212,54 : 1,00420)


5. Capital encore dû immédiatement après le paiement de la 60ème

mensualité

0C 20000

i 0,00420

n 120

soit :

120 60

60 120

1,00420 1,00420D 20000 11250,78 €

1,00420 1

6. Date à partir de laquelle la mensualité est réduite à 159,25 €

Il s'agit à présent de rembourser un capital de 11 250,78 € en n mensualités de 159,25 €, le taux mensuel

étant 0,420 15 %.

On a donc l'équation suivante :

n

0,004 20159,25 11250,78

1 1,004 20

n 11250,78 0,004 20

1 1,004 20159,25

n11250,78 0,004 20

1 1,004 20159,25

n

1,004 20 0,703276

En utilisant les logarithmes : n

ln 1,004 20 ln 0,703276

n ln 1,004 20 ln 0,703276

ln 0,703276n 83,987 84 mois

ln 1,004 20

Nombre total de mensualités : 144 mois, soit une durée totale de 12 ans


Exercices d’entraînement – Séance 1

* Exercice 6.3 *

Un particulier obtient auprès de sa banque un prêt à intérêts composés au taux annuel de 4 % (capitalisation

annuelle des intérêts). Il souhaite souscrire à un plan de remboursement à annuités constantes sur cinq ans.

1. Sachant que son revenu annuel est de 96 000 € et que la Loi limite l’annuité de remboursement à 30%

du revenu annuel maximum, déterminer l’annuité de remboursement maximale qu’il peut verser.

2. Déterminer la somme qu’il peut emprunter s’il s’engage à verser tous les ans, sur cinq ans, l’annuité

maximale de remboursement.

3. Dresser le tableau d’amortissement.

Solution

1. Annuité de remboursement maximale : 30% 96000 28800 €

2. Somme qu’il peut emprunter

0C capital emprunté

a 28800

i 0,04

n 5

soit :

5

0

1 1,04C 28800 128212,48 €

0,04

3. Tableau d’amortissement



1 128 212,48 5 128,50 23 671,50 28 800,00

2 104 540,98 4 181,64 24 618,36 28 800,00

3 79 922,62 3 196,90 25 603,10 28 800,00

4 54 319,52 2 172,78 26 627,22 28 800,00

5 27 692,30 1 107,69 27 692,31 28 800,00

TOTAL 15 787,52 128 212,48 144 000,00


* Exercice 6.4 *

Pour les frais d’aménagement d’un nouveau magasin, une société contracte le 1er

janvier 1998 un emprunt

auprès de sa banque, qui lui propose de mettre à sa disposition une somme aux conditions suivantes :

Amortissement de l’emprunt en 10 annuités constantes, la 1ère

venant à échéance dans un an

Montant du 1er

amortissement : 3 283,07 €

Montant du 2ème

amortissement : 3 808,36 €.

1. Calculer le taux de l’emprunt.

2. Calculer le montant de l’annuité de remboursement.

3. Calculer le montant du 10ème

amortissement.

Solution

1. Taux de l’emprunt

La Loi des amortissements (emprunt régi par le système des annuités constantes) permet d’écrire que les

amortissements forment une progression géométrique de raison 1 i . (cf. 4.1.)

Par conséquent : 3283,07 1 i 3808,36

3808,36

1 i 1,1603283,07

soit : 16% de taux d’emprunt

2. Montant de l’annuité de remboursement

Calculons le capital emprunté :

0

er

1

C capital emprunté

m 3283,07 (1 amortissement)

i 0,16

n 10

d’où :

0 10

0,163283,07 C

1,16 1

(cf. 4.2.)

03283,07 C 0,046901

0

3283,07C 70000 €

0,046901

L’annuité (de la première année entre autres) est égale au 1er

amortissement plus les intérêts de l’année

Soit : a 3283,07 16% 70000 14483,07 €

3. Montant du 10ème

amortissement

Les amortissements forment une progression géométrique de raison 1 i 1,16 . En utilisant la relation entre

deux termes quelconques ( 1m et 10m ) d’une suite géométrique (cf. MF1 Chapitre 3 Partie A Paragraphe

3.3.), on obtient : 10 1

10m 3283,07 1,16 12485,39 €


* Exercice 6.5 *

Un emprunt de 8 000 € est remboursé en 3 annuités :

Un versement de 4 000 € à la fin de la 1ère

année

Un versement de 3 000 € à la fin de la 2ème

année

Un versement de x € à la fin de la 3ème

année, qui permet d’éteindre la dette.

Le taux annuel étant de 9 %, dresser le tableau d’amortissement de cet emprunt et déterminer ainsi la valeur

x du troisième versement.

Solution

Tableau d’amortissement



1 8 000,00 720,00 3 280,00 4 000,00

2 4 720,00 424,80 2 575,20 3 000,00

3 2 144,80 193,03 2 144,80 2 337,83

TOTAL 1 337,83 8 000,00 9 338,83

L’amortissement de la 3ème

période est le capital dû au début de la 3ème

année.

La 3ème

annuité est la somme du 3ème

amortissement et des intérêts de la 3ème

année : x = 2 337,83 €


* Exercice 6.6 *

On rappelle :

• Le capital constitué par le versement d’un capital initial et de mensualités constantes de fin de période est

donné par :

Cn C0 1 i n a

1 i n 1

i

.

• Le capital emprunté remboursable par des mensualités constantes de fin de période vérifie :

n

0

1 1 iC a

i

Les parties A et B sont totalement indépendantes.

Partie A

Un particulier souscrit un Authentic Projet PEL (Plan d’Epargne Logement) au taux annuel de 4,25% avec

capitalisation annuelle des intérêts. Il verse, pour une durée de 4 ans, la somme de 15 000,00 €, au titre du

dépôt initial, et s’engage à effectuer des versements mensuels de 300,00 €.

1. Montrer que le taux mensuel équivalent au taux annuel de 4,25% est de 0,347% (arrondi à 3 chiffres

après la virgule par défaut). On utilisera cet arrondi dans la suite de l’exercice.

2. Sachant qu'au bout de quatre ans le particulier bénéficie d'une prime égale au montant des intérêts acquis,

de quel capital dispose-t-il au bout de quatre ans ?

Partie B

Lors d’un prêt consenti en septembre 2006 et dont le remboursement par mensualités constantes de fin de

période a commencé le 30 septembre 2006, le Service des Prêts a adressé à un particulier un tableau

d’amortissement dont un extrait est donné ci-dessous :

Date

Echéance

Capital

restant dû

Amortissement

(ou Capital

amorti)

Intérêts Montant de

l’échéance

30/01/07 63 278,80 581,70 194,30 776,00

28/02/07 62 697,10 583,50 192,50 776,00

30/03/07 62 113,60 585,30 190,70 776,00

30/04/07 61 528,30 587,10 188,90 776,00

Le prêt a été consenti au taux annuel d’intérêts composés avec capitalisation annuelle des intérêts de 3,75%

(soit au taux mensuel d’intérêts composés avec capitalisation mensuelle des intérêts de 0,307%) et doit être

remboursé en 98 mensualités.

Déterminer le montant du prêt.


Solution

Partie A

1. Taux mensuel et annuel équivalents

Appelons ia 0,045 et im les taux annuel et mensuel pour 1 euro équivalents.

La valeur acquise par un capital de 1 € placé pendant 1 an est : 1

1 an aC 1 i 1,0425

La valeur acquise par le même capital de 1 € placé pendant 12 mois est : 12

12 mois mC 1 i

Les deux valeurs acquises étant égales, on obtient : 12

m1 i 1,0425

1

12mi 1,0425 1

Soit : mi 0,00347 ou encore : un taux mensuel de 0,347%.

2. Capital disponible au bout de quatre ans

Au bout de n 4 ans 48 mois le capital initial 0C 15 000 € et les n 48 mensualités d’un montant

constant de a 300 € constituent un capital de : C48 15000 1, 00347 48 300

1,00347 481

0, 00347

48C 33 352,65 €

Le particulier a versé le capital initial 0C 15 000 € et 48 mensualités d’un montant constant de a 300 €

soit : 15000 48 30 29 400 € .

Le montant des intérêts acquis (donc de la prime) est : intérêts ou prime = 33352,65 29400 intérêts ou prime = 3 952,65 €

Le particulier dispose au bout de quatre ans de : capital disponible = 33352,65 3952,65

capital disponible = 37 305,30 €

Partie B

Montant du prêt

Le montant D du prêt remboursable en n 98 mensualités d’un montant constant de a 776 € et consenti

au taux mensuel d’intérêts de 0,00307 € pour un euro vérifie :

98

98 1,00307 1D 1,00307 776

0,00307

D 65 587,77 €


* Exercice 6.7 *

Un particulier emprunte 400 000 € sur 4 ans, remboursables à annuités constantes. Le taux annuel d’intérêts

est 7,5 % et les frais de dossier s’élèvent à 1 500 €. Calculer le coût actuariel net de cet emprunt.

On donne : pour 7,50 %

41 1 t

3,349326t

Pour 7,75 %

41 1 t

3,330642t

Solution

Coût actuariel de l’emprunt

0C 400000

frais 1500

a = annuité de remboursement

n 4

t = taux effectif global pour 1 an et 1€

et

n

0

1 1 tC frais a

t

(cf. 6.)

On calcule l’annuité de remboursement :

0C 400000

i 0,075

n 4

soit :

4

400000 0,075a 119427 €

1 1,075

Finalement :

41 1 t

400000 1500 119427t

41 1 t 400000 1500

3,336766t 119427

Par interpolation linéaire :

Augmentation Diminution

7,75 7,5 0,25 % 3,349326 3,330642 0,018684

0,250,01256 0,168 %

0,018684

3,349326 3,336766 0,01256

Soit : taux effectif global annuel de 7,5 0,168 7,668 %


Exercices d’entraînement – Séance 2

* Exercice 6.8 *

Une entreprise souhaitant emprunter 300 000 € s’adresse à une banque qui lui propose un emprunt

remboursable par annuités constantes au taux de 7,5 %. Le capital restant dû après la 6ème

annuité est de

146 385 €. Quelle est la durée de l’emprunt ?

Solution

Durée de l’emprunt

0

6

C 300000

i 0,075

p 6

D 146385

d’où :

n 6

n

1,075 1,075146385 300000

1,075 1

(cf. 4.4.)

n 6

n

1,075 1,075 1463850,48795

3000001,075 1

n 6 n1,075 1,075 0,48795 1,075 1

n n 6

1,075 0,48795 1,075 1,075 0,48795

n

0,51205 1,075 1,055352

n 1,055352

1,075 2,0610330,51205

En passant aux logarithmes : n

ln 1,075 ln 2,061033

n ln 1,075 ln 2,061033

ln 2,061033n 10 ans

ln 1,075

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* Exercice 6.9 *

Un emprunt d’un montant initial de 1 000 000 € est amorti en 8 échéances annuelles ; taux d’intérêts : 15 %.

La première moitié de la dette contractée est remboursable suivant le système des amortissements annuels

constants, en 4 échéances. Les 4 dernières échéances sont faites d’annuités constantes.

Présenter le tableau de remboursement.

Solution

Tableau de remboursement



1 1 000 000,00 150 000,00 125 000,00 275 000,00

2 875 000,00 131 250,00 125 000,00 256 250,00

3 750 000,00 112 500,00 125 000,00 237 500,00

4 625 000,00 93 750,00 125 000,00 218 750,00

5 500 000,00 75 000,00 100 132,68 175 132,68

6 399 867,32 59 980,10 115 152,58 175 132,68

7 284 714,74 42 707,21 132 425,47 175 132,68

8 152 289,27 22 843,39 152 289,29 175 132,68

TOTAL 688 030,70 1 000 000,02 1 688 030,72

Amortissements constants : 1000000

125000 €8

Annuités constantes

Après les 4 premières années, la dette est de 500 000 €.

0C 500000

i 0,15

n 4

soit :

4

500000 0,15a 175132,68 €

1 1,15


* Exercice 6.10 *

M. POSIERES emprunte un capital de 450 000 € remboursable en 8 ans à 9 % et opte pour la procédure du

remboursement in fine.

1. Dresser le tableau d’amortissement de cet emprunt.

2. Dans le même temps, et dans le but de mieux répartir sa charge d’emprunt, M. POSIERES se constitue un

« fond d’amortissement » à 5 % en versant annuellement sur un compte épargne une somme constante A

de manière à ce que sa charge d’emprunt annuelle soit constante.

Indication : Le « fond d’amortissement » sert à payer le dernier amortissement dans le cas de la procédure

du remboursement d’un emprunt in fine. Se constituer un fond d’investissement revient donc à

verser, dans le cas de M. POSIERES, 8 annuités constantes de placement, ces 8 annuités devant

avoir pour valeur acquise 450 000 € lors du paiement de la dernière.

a. Calculer la somme constante A versée annuellement sur le compte épargne.

b. Quel est le taux effectif de cette opération ?

On donne : pour 11 %

81 1 t

5,146123t

; pour 11,25 %

81 1 t

5,100563t

c. Si vous étiez dans le cas de M. POSIERES et que vous voudriez rembourser votre emprunt en 8

versements constants, auriez vous fait le choix de M. POSIERES ? Quel aurait été votre choix ?

Pourquoi ?

Solution

1. Tableau d’amortissement



1 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

2 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

3 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

4 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

5 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

6 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

7 450 000,00 40 500,00 0,00 40 500,00

8 450 000,00 40 500,00 450 000,00 490 500,00

TOTAL 324 000,00 450 000,00 774 000,00

2.a. Annuité constante A

Le versement des 8 anuités (d’un même montant A) doit permettre à M. POSIERES de disposer d’une somme

de 450 000 € au moment du paiement du dernier amortissement de l’emprunt.

0

8

C A

C 450000

i 0,05

n 8

soit :

81,05 1

450000 A0,05

d’où : 450000

A 47124,82 €9,549109


2.b. Taux effectif

La charge annuelle de M. POSIERES est constituée des intérêts de l’emprunt (40 500 €) et de l’annuité du

fond d’investissement (47 124,82 €) soit : 40500 47124,82 87624,82 €

Le taux effectif t de cet emprunt vérifie :

0C 450000

a 87624,82

n 8

soit :

81 1 t

450000 87624,82t

81 1 t 450000

5,135531t 87624,82

Interpolation linéaire

Augmentation Diminution

11,25 11 0,25 % 5,146123 5,100563 0,04556

0,250,010592 0,058 %

0,04556

5,146123 5,135531 0,010592

Soit : taux effectif global annuel de 11 0,058 11,058 %

2.c. Examen du choix de M. POSIERES

Il faut calculer l’annuité constante dans le cas du remboursement de cet emprunt par 8 annuités constantes. La

comparaison entre cette annuité et la charge annuelle de M. POSIERES (amortissement in fine plus fond

d’amortissement) permettra de savoir quelle démarche est la plus favorable.

0C 450000

i 0,09

n 8

d’où :

8

450000 0,09a 81303,47 €

1 1,09

Conclusion

Nous n’aurions pas fait le choix de M. POSIERES. Nous aurions opté pour le remboursement par annuités

constantes. Annuellement, nous aurions fait une économie de 87624,82 81303,47 6321,35 € .


* Exercice 6.11 *

Un emprunt est remboursable au moyen d’annuités constantes. On relève entre autres, dans le tableau

d’amortissement de cet emprunt, les indications suivantes :

Intérêt contenu dans la 5ème

annuité : 6 263,78 €

Amortissement contenu dans cette même annuité : 5 477,26 €

Amortissement contenu dans la 8ème

annuité : 7 290,23 €

1. Calculer le montant de la dette initiale.

2. Calculer le nombre d’annuités.

Solution

1. Montant de la dette initiale

Tableau d’amortissement



1 8 000,00 3 741,04 11 741,04

5 6 263,78 5 477,26 11 741,04

8 7 290,23

Montant de l’annuité constante (ligne 5) : 6263,78 5477,26 11741,04 €

Calcul du taux d’intérêt

Les amortissements (remboursement à annuités constantes) forment une progression géométrique de raison

1 i . En utilisant la relation entre deux termes quelconques d’une suite géométrique, on obtient :

8 5

8 5m m 1 i

soit : 3

7290,23 5477,26 1 i

3 7290,23

1 i 1,3309995477,26

1

31 i 1,330999

1

3i 1,330999 1 0,1 soit : 10 %

Montant du 1er

amortissement

Les amortissements (remboursement à annuités constantes) forment une progression géométrique de raison

1 i 1,1 . En utilisant la relation entre deux termes quelconques d’une suite géométrique, on obtient :

1 5

1 5m m 1 i

soit : 4

1m 5477,26 1,1 3741,04 €

Intérêt de la première année : 11741,04 3741,04 8000 €

Dette initiale : 8000 10% Dette soit : 8000

Dette 80000 €0,1


2. Nombre d’annuités

Les n annuités constantes d’un montant de 11 741,04 € doivent avoir (à 10 %) une valeur actuelle égale à la

dette initiale (80 000 €) :

0C = 80000

i = 0,1

a = 11741,04

soit :

n1 1,1

80000 11741,040,1

11741,04 puis 0,1

n80000

0,1 1 1,111741,04

n 80000

1,1 1 0,1 0,31862911741,04

En utilisant les logarithmes : n

ln 1,1 ln 0,318629

n ln 1,1 ln 0,318629

ln 0,318629n 12

ln 1,1

L’emprunt a duré 12 ans.


* Exercice 6.12 *

Un commerçant souhaite acquérir un lot d’armoires frigorifiques pour un montant, taxe comprise, de 90 000 €

(livraison et installation comprises).

A – 1ère

Solution

A réception de la facture, le commerçant signe trois effets de commerce de même valeur nominale et

d’échéances respectives 6 mois, 8 mois et 10 mois en règlement de sa dette (taux d’escompte: 6%).

1. Préciser les deux groupes d’effets et écrire l’équation d’équivalence.

En déduire la valeur nominale de chaque traite.

2. Quelle est la somme totale payée par le commerçant ?

B – 2ème

solution

Le commerçant emprunte, à intérêts composés au taux annuel de 6% (avec capitalisation annuelle des intérêts),

une somme de 90 000 € remboursable en 10 mensualités constantes.

1. Déterminer le taux mensuel pour 100 F équivalent au taux annuel de 6%.

(On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.)

2. Déterminer, à l’euro près, le montant de la mensualité constante de remboursement.

3. Quelle est la somme totale payée par le commerçant ?

4. Réalise-t-il un bénéfice ou une perte par rapport à la 1ère

solution en procédant ainsi ? (Justifier la réponse.)

C – 3ème

solution

Le commerçant apprend qu’il aurait pu acheter le même lot d’armoires frigorifiques au Danemark pour une

somme de 596 000 DKK (livraison et installation comprises).

Quel pourcentage d’économie ou de perte aurait-il réalisé en achetant son lot d’armoires frigorifiques à

Copenhague sachant que sa banque prend une commission de 0,5% sur les transactions de devises ?

(Cours du 9 avril 2009 : Danemark 1 DKK 0,1342 €.)


Solution

A.1. Effets de commerce

Effet à remplacer

Paiement comptant A 90000

nA 0 mois

Effet de remplacement

E

nE 6 mois

F E

nF 8 mois

G E

nG 10 mois

Diviseur fixe associé au taux t : D 1200

6 200

Equation d’équivalence : 90000 E E 6

200E

E 8

200 E

E 10

200 200

90000 200 576 E

E 31 250 €

A.2. Somme totale payée par le commerçant

Somme totale =3 E soit : somme totale (solution 1) 93 750 €

B.1. Taux mensuel équivalent

Soit un capital de 1 € placé à intérêts composés :

pendant 1 an à 6% : C1 1,06

pendant 12 mois à 100 i % : C12 1 i 12

d’où : 1 i 121,06

soit : i 1,0612 1 d’où : i 0,00487

Le taux mensuel équivalent est 0,487%.

B.2. Montant de l’annuité constante

0

n

C ia

1 1 i

avec

0C 90000

i 0,00487

n 10 mois

soit : a 9 243 €

B.3. Somme totale payée par le commerçant

Somme totale =10 a soit : somme totale (solution 2) 92 430 €

B.4. Bénéfice ou perte

D’après A : le commerçant a versé au bout de 10 mois 93 750 €.

D’après B : Le commerçant aura payé 92 430 € de « crédit ».

Le commerçant réalise donc un bénéfice de 1 320 €.


C. Pourcentage d’économie ou de perte réalisé

Achat des 596 000 DKK : 596000 0,1342 79 983,20 €

Commission : 0,005 79983,20 399,92 €

Coût total de l’opération : 79983,20 399,92 80 383,12 €

Economie réalisée : 90000 80383,12 9 616,88 €

L’économie représente t% du prix payé soit : t% 90000 9616,88

soit : t 10,685 % t 10,685427

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OPERATIONS FINANCIERES A LONG TERME … · © π – ESCE 2014 – Mathématiques Financières – Chapitre 6 – Travaux Dirigés – Corrigés – page 1/32 Ecole Supérieure du