Optimisa t ion pour certaines classes d '6quations d '6volution non lin6aires.

p a r J . L . LIONS ( P a r i s ) .

R ~ s u m d . - Comme darts l ' In troduct ion.

Introduction.

On d6montre ici l'ex, istence de contrOles opt imaux pour certaines classes d'd~aations paraboliques non lindaires, les contr6les pouvant ~tre dans les coefficients ou duns les condit ions aux limites ou dans le deuxibme membre (ou les donn6es init iales - cf. Remarque 4-3).

La classe des 0 p 6 r a t e u r s - ou des sys t i~mes- consid6r6e est la classe

A(u) -t- ~-i'

off les A(u)sour des op~rateurs non lin~aires monotones - cf. [15], [4], [12] entre autres.

2gous 6nongons d 'abord an r6sultat g~n6ral (n o 1), dont nous donnons l 'appl icat ion au~ probl~mes de temps optimal (51 ° 2), seul cas ol;~ l 'uti l isation du th6or~me g~in6ral n 'est pas totalement immediate.

Des exemples sont denn i s aux n o 3 et 4; comme on pourra le constater, les non lin(iarit6s apparaissent duns les conditions aux limites tout aussi bien que dans les opdrateurs diff6rentiels.

Des r~sultats d'existence et unieitd de contr61es opt imaux pour certaines 4ciuations d'~volution lindaires sont dorm,s dans [2] [3] [6], lorsque les con- trSles apparaissent au 2~me membre, clans les conditions aux limites ou les donn~es initiales, mais pus duns les coefficients des op~rateurs.

Lorsque [es contrSies apparaissent aussi duns Ies coefficients des opera- tears, des r6suitats d~existertce sont doun6s duns [10] pour des familles g6n~- rules d 'op6rateurs lindaires.

On peut ~teudre les r~sultats donnds ici h des classes parabol iques p lus larges, comme dans [9]; nous ne l ' avons pas fait pour ne pas mul t ipl ier les difficult~s techniques.

On peat 6galement obtenir des r~isultats d~existence de contr(~les opt imaux pour certaines familles hyperboli~tues non lin~aires; nous reviendrons sur ce point.

276 J . L . LioNs: Opti/misc~tion pour certaines classes dYquations, etc.

Le plan est le suivant :

1. Th~iori~me de fe rmeture

2. Un probl6me de temps optimal

3. Exemple (I)

4. Exemples (II)

Bibliographie.

1. - T h d o r ~ m e d e fe rmeture .

1.1. Rappels.

Soit H un espaee de I-IILBERT sur R, de produit scalaice not(~ ( , ) et de norme eorrespondante 1 I. Soit E nn espace de BA~cAc~ rdflexif, ~galement sur R, avee E C H (ie signe C signifiant toujours iei: avec injection continue), E dense darts H. 0n identif ie H i~ son dual ; si E' est le dual de E, on a alors

E c H c E '

Si e ' e E', e ~ E, (e', e)--(e, e') ddsigne leur produit sculaire; si e '~ H, il coin. eide avee le produit sealaire dans H d'o~ la notation.

Do fagon g~n~rale, X ~tant un espace de BANAOK (sur R, eomme tous les espaces introduits iei), e t p ~tant un nombre avec 1 ~ p ~ o o , Lp(O, T; X) d(fsigae l 'espace des (classes de) fonctions for tement mesurables sur (0, T) valeurs dans X et de norme dans XeLp(O, T).

Si f~Lp(O, T; X), on pent prendre sa d~riv~e

f, d f = ~i

au sens des distributions sur ]0, T[ i~ valeurs dans X. cf. [13.] On se donne maintenant une famille d'espaces de BX~CACH F~, 0 ~ z ~ T,

sdpar~bles et r~flexifs. On posera:

F r = F .

Soit F~ le dual de F~, F'T--F'. Soit ill Itl ~ (resp Itt Itt .,~) la norme dans F~, (resp. dunce darts 84); o , posera: Ill HI ~ = Ill LIL, !ll lit , , ~ = H! Jtl , . 0 n sup-

J. L. Lm~-s : Optimi~,atio~ po~tr certaines classes dYquations~ etc. 277

pose que

L~(O, ~; E ) c tf~ C LdO, ~; H),

L~(O, ~; H ) c G c L d O , ~; E'),

Soit ;(, = fonction caract4rist ique de( 0, "~) sur (0, T). On suppose que f---.- x ; f est une application lin6aire continue de F duns lu i -m6me et de E ' dans lu i - m4me et que la restr ict ion de ;(~f a (0, T) est duns F~ (resp. F~) si f e F (resp. F') l 'application correspondante 6tant continue.

T

Si K e L d - - T, 0) et f e F' , K • f(t) - - f K(t -- a)f(~)da. t

On suppose que K , f e F ' et , g , f lll , ~ l l g l l L,~T, O) ill f ttl , . On d6finit ensui te :

IG= lvlveF~, v'e]?;l, ( W r = W),

espace de BA~A0~ pour la norme Ill v lil~-q-[liv lil *,¢" D4signant par < , >¢ le produit scalaire entre F ¢ e t F~ ( < ~> T --- ~ , >) ,

on fait l 'hypoth6sc

(1-1) Si % ~ W~ a|ors ~ et ~ soar p.p. 6gMes h des fonctions continues (encore notdes ~ et ~) de [0, t] ~ H , avec

< ~', + > ~ - - < % +' > ~ = (~(~), +(z)) - - (~(o), +(o))

On suppose en outre

(I-2) [ l 'ensemble p~rcouru dans H par ~(z), z fix6 duns (0, T), lorsque parcourt F avec ¢~'e LdO, T; H), est dense duns H.

Opdrateur A

On se donne main tenant un op4rateur v ~ A(v) non lindqire de F - * F', con- tinu des sons espaces de dimension finie de F duns F' faible~ et v6rifiant les deux propridt6s suivantes:

(1-3) (eoereivit4) < A(v), v > HJvJtJ - - ~ si / l / v H l - ~ ;

(1-4) (monotonie) < A ( u ) - - A ( v ) , u - - v > s ~ o ~ u , v E F et ~ s e ( O , T)

(on prend tes restrict ions ~t (0, s).)

278 J . L . Lions: Opt i m i sa t i on p o u r c e r t a m e s classes d 'dquat ions , etc.

E q u a t i o n d 'dvolu t ion .

On a ceci:

(1-5)

On se place dans les hypothbses (1-1) ... ( i-4); soient f et uo donn~s dans F' et H. ]:l existe u ~ F , unique, avec u ' e F ' et

A(u) + u' = f,

u( O) = Uo.

La d~monstrat ion de l 'existenee est donn~e dans [9] sous des hypotheses sensi- blement plus g~n~rales; cf. d 'autres g6n~ralisations dans [7], [5]; pour la situation pr~sente, el. [4]. Pour des exemples, trait~s par des m~thodes diff6rentes, cf. [15].

L ' u n i v i t 6 est immediate : Soient u e t v deux solutions ~ventuelles; alors

A(u) - - A(v) + u' - v' = O, u( O) - - v( O) = O,

d'ofi (on prend les restr ict ions i~ (0, S), 0 < S < T):

< A(u) - - A(v), u - - v > s + < u' - - v', u - - v > s = o

Le premier terme est ~ 0 d 'apr~s (1-4); d 'apr~s (1-1), le deuxi~me vaut 1

L u(8) - - v(S)[ ~ d' o~ u(S) = v(S) .

1.2. F a m i l l e ~ d ' opdra t e ur s A .

On va main tenant se donner une f a m i l l e ~ d'op~rateurs non lin(~aires A de F dans F', chaque A ayant des propri~t6s analogues 'h (1-3) (1-4); plus pr~eis~ment:

(H- l )

- I 1 existe une fonction M k ) ~ + o,~ avec k, telle que

< A(v), v > ]Hv!ll ~ ~ M ( L l t v H ~ ), ~ A e ~ , ~ e ] O , T];

par ailleurs, si v e born6 de F~, A(v) parcourt (lorsque v e t A varient, A ~ ~) un born6 de F ' .

On suppose ensuite que (1-4) a lieu pour tout A:

(//-2) < A ( u ) - - A ( v ) , u - v > ~ O ~ u, v e F, ~ A e $$.

Voici main tenant une hypothbse plus technique, expr imant i~ la fois que

J. L. Lions: Optimisation p o.m" certaines alas sea dYquations, etc. 279

est (( ferm6 ~> et <~ compact ~> :

(H-3)

- Soit A,n une suite de ~3, u,, une suite bornOe de W; on peut extraire A~, ul~ de fagon qn% quel que soit z G]o, T] et quel que soit ve : )¢?- - sous espace dense de ]~f, on air

< A~(v), u~ >~ --~ < A(v), u >~,

< Ate(v), v >.: ~ < A(v), v >.~, off_ A e ~ .

On se donne enfin un sous-ensemble B de F' avec

(H-4) B est born~ dans F ' ; en outre si f ~ e B et si u,~ est born~ dans W, on peut extraire f~, .u~ avec ~ f , , u~ ~ ~ <" f, u >~, que soit x E]0, T], et off f e B .

1.3. Ensemble H ( ~ , B ; % Thdor~me de fermeture.

Soit

U - - U A , f

la solution de (1-5) correspondant ~ A e ~ , f e B. Soit z fixd El0, T]. On ddsigne par H(~, B; ~) l'ensemble parcouru dans H par u(z) lorsque A parcourt ~3 et f parcourt B. Le th~or~me de fermeture est le suivant :

T~o~t~M]~ 1-1. - On suppose que ( l - l ) (1-2) et les hypotheses ( H - l ) . . . (//-4) sont satisfaites. Alora l'ensemble H ( ~ , B; ~) eat faiblement fermd dans H.

1.4. Ddmonstration du Thdor~me 1-1.

1). Soit u,,~('c)GH(~, B; ~) avee

(1-6) u,~(-c)--.-;( dans H faible lorsque m ~ c~.

I1 faut montrer que ~(e H(g3, B; ~). Par hypoth~se, il existe A ~ , f ~ e B , tels que u,, soit l~ solution de:

(1-7) A~(u;.) + u;, = f , . , u,.(O) = Uo.

I1 faut montrer qu ' i l existe A e ~ , f e B , tels que, si u est la solution de

(1-8) A(u) ÷ u" - - f, u(O) -- Uo

280 J . L . Lions: Optimisation pour certaines classes d'dquations~ etc.

alors

u(~) = X.

2). On "ca montrer dans un premier point que

(i-9) HI u,~ lil -{- lit u~, III • ~ C

(les C d6signent des constantes diverses). En effet, d'apr6s (1-7):

1 1 < A.,(u,.), u.~>+~tu~(T)i~--~lu.,i~=<M, u~>

d'ofi, uti l isant (//-1)

1 M( IF] u.~ i]J)I t u . ]H--<~ J Uo r ~ + Ill f,~ Ill • Hf u.~ Ill

d' off :

ill u,, iil ~ ' C (car ill f~, !1t * ~ C).

Utilisant la deuxibme partie de (H-l), il en rdsulte que

Am(u~) est born6 dans F', (1-10)

d ~ off

tll u " f[[ • G C (6erivant: u~ ---- f ~ - - A,~(u,~)).

D'ofi (1-9), qui, joint h (1-l), entraine:

(1-11) [ u,,,('~)I~+C.

3). De (1-9) (1-10) (1-11), (//-3) (//-4) on d6duit que l 'on peut extraire une suite u~, A~, f~ telle que

(1-t2)

(I-13)

(1-14)

u ~ u dans F faible

u ~ u ' dams F' faible

Al~.(u~ ) ~ g dans F' faible,

f ~ f dams F' faible et f e B

et les conditions de (//-3) (//-4) 6tant v6rifi~es. D'apri~s (t-12), u~(~:)~ u(z) en par t icul ier dans E ' faible et, comparant

J. L. Lions: O p t i m i s a t i o n pour ce r ta ine s ela,sses d '~quat ions , etc. 281

(1-6), on en d6dui t :

(1-15) u(z) = X.

La seule diff icul t~ est de m o n t r e r que g = A(u). En effet on d*dui t de (1-7)

(1-16) g + u' = f,

dv idemmen t u ( O ) - - u o , et donc on a u r a (1-8) si l 'on m o n t r e que g - - A(u).

4). Posons, pour v fix~e clans ~9 (cf. ( / /-3)):

1 X% = < A~(u~) - - A~(v), u~ - - v >~ + ~I u~(T) - - v(~) l ~

D'apr~s ( / / -2) on a e n par t icu l ie r ,

X ~ o .

Mais

oti

Or, d 'aprbs (1-7):

et d'apri~s (H-4):

D'apr~s (1-13):

D ' a p r ~ s ( / / -3)

X, = Y~ + Y~ + y~ + r~,

1 Y ~ = < A~(u~), u~ > + ,~ I (u~('c)) I ~,

Y~ - - - - < A~(u~), v ~ ,

y 3 __ - - < A~.(v), u~ > ~ + < A~(v), v >~ ,

1 Y~ = - (u~(~), v(~)) + ~ [ v(~) t 2

1

1 Y&--~=<f , u>~-V- 2 1 u01 ~

l ' ~ Y 2 = - - < g , v>~.

y ~ ~ y3 = _ < A(v), u ~ + < A(v), v) >~ .

Annali di Matematiea

282 J . L . Lions: Opt imisation pour certaines classes d;dquations, etc.

Enfin, d'apr~s (1-6) et (1-15):

t

Done ((X~ ~ 0 , donne ~t la l imite:

y ~ + y 2 + y 3 + y ~ O i.e.

1 < f , u > ~ + 2 [ Uo I ~ - < g , v > ~ - - < A ( v ) , u - - v > ~ - - (u(z) , v(~)) +

(1-17) 1

Mais (1-16) etZ(1-1 ) donnent:

< f , u > ~ +

et (1-17) devient :

1 tUo l~= < g , u > ~ + 2iu(~)i ~

(1-18) 1

< g - - A(v), u - - v > ~ + 2 I u(~) - - v(~)] ~ ~ 0.

Geci pour tout v e~fg. Pa r densit~ (cf. (43)), (1-18) a lieu ~ v e W. On utilise alors une variante (triviale) de [12]. On peut prendre dans

(1-18) v - - - - u - ~ , ), ~ 0, ~ queleonque dans W. Divisant le r~sultat obtenu

par k, il vient:

), < g - - A(u - - ~ ) , ~ >~ + ~ I ~(~)J~ ~ O.

Faisant ) ~ 0 et ut i l isant la eontinuit~ faible de A snr les sous-espaces de

dimension finie, on en d~duit:

< g - - A ( u ) , q~ > ~ 0 ~ e W .

Done g - A(u), d'ofi le th~or~me.

2. - Un probl~me de temps optimal.

2.1. Position du probl~me et dnoncd du rdsullat.

Les donn~es sont les m~mes qu 'au n o precedent ; on se donne en outre

J. L. LmNs: Optimisation pour certaines classes d'dquatio~s, etc. 283

un sous ensemble K de H avec

(2-1) K est fa iblement fermd dans

On fair l 'hypoth~se:

(2-2)

H.

I ll existe A ~ ~ , f e B , ~: ~ ]0, T], tel que

t u~, .4 (z) e K.

On pose ensuite

(2-3) ~ =

On va montrer le

in[. % pour les A, f v~rifiant (2-2).

T ~ O R ~ E 2-1. - Sous les hypotheses du Thdor~me 1-1, et si Lp(O, T; E) C F pour un p ~ c~ convenable, il e~iste A e ~ , f e B tels que ud. f(%)e K

2.2. Ddmonstration du Thdor~me 2-1.

Soit x,~ une suite minimisante :

"l~m ~ ~ 0 ,

u.~ , fm(~,~) E K, A,, ~ g3, f,~ ~ B.

U ' r Comme 4ans la 4~monstration du th~ori~me 1-1, Ill mill-[-[]1 u,~ll[, -[-I1[ Am(urn)Ill, 4- "t- i u,,(~.,) ] <~ G, u,, ~ UA ,,f,,. On peut alors, uti l isant Ia d~monstration du th~orbme 1-1, ext ra i re u~ de fa~on que

En outre

u~---~u dans F faible,

A~(u~)---A(u) duns F' faible,

' ~ u ' F ' u~ dans faible,

A e ~ ,

f~ ~ f dans F' faible, f e B,

u ~ ( % ) ~ dans H faible et ~ e K .

A(u) -{- u' : f, u(O) -" uo

et on aura le r~sultat si l 'on montre que u(%)--~. (On prendra UA, f "--•). Or,

284 J . L . LmNs: Opti~nisatio~, pour certaines classes d'dquations, etc.

soit e fix6 queleonque dans E (el. 1-1); on aura le r6sultat d6sir6 si montre que

), = (~ - - U(~o), e ) = O.

Or

c a r

Done

o~

Pon

I - - l i m ( u ~ ( z ~ ) - - u ( % ) , e) - - l i m ( u ~ ( z ~ ) - - u~(%), e)

u~(%) ~ u(%) clans H faible.

"Yo

t : lim f(u'~(t), e)dt-- lim <u'~, hl~> P P

-rp,

e dans (zo, x~)

h~(t)-- i 0 ailieurs.

)/fais h~--~ 0 dans Lp(o, T; E) fort (p fini), done, par hypoth~se, dans F fort et done < u~, h~ >--- . -0, d'ofl le r6sultat.

3. - E x e m p l e (I).

3.1. Notations.

Soit ~ un ouvert de R ~, de fronHbre F assez r6gulibre. 0 n suppose ~ born6. On d6signe par Hx(Q) l 'espaee de So]3oLEv [14] des fonetions v e L~(~) avee

3v Div---~eLz(~2), l ~ . i ~ n , muni de la norme habituelle. Soit b(u, v) une for-

me bilin6aire continue sur H,(~), telle que

(3-1) 2 b(v, v ) ~ l l v l t ~ l < o ) , ~ > 0 , ~ v E H ~ ( ~ ) ;

pour v e HI(Q), on peut d~ifinir 7 v - - trace de v sur I', et yv e H1/2(F). ef. [8] par ex. D'apr~s le th~orbme de SOBOLEV" fract ionnaire

1 1 1 HI/~(r) C Lq(r), - - q 2 2(n- - l ) si n ~ > 3 ,

cLq(P) pour tout q fini si n - ' 2 .

J. L. :LIONS: Optimisation pour certain.es classes d'dquations, ctc. 285

On ddfinit alors

(3-2) V - - { v j v e HI(~), yv e Lp(r) I 2 ~ p < c~,

p donn~, que l 'on muni~ de la norme

II v II v - il v 11H,¢~> 4- It yv [I L~I'>

qui en fai t un espace de BA:~xc]t. S i p ~ q, V coincide avee H1(~2), avec u n e nouve l le norme non h i lber t ienne , mais 6quivalente i~ la norme na tu re l l e de HI(~); s i p ~ q, V C H~(Q) strictement (ce qui n 'a donc l ieu que si n ~_~ 3). On d(ffinit alors /v comme su i t :

F - - i v } v e L g O , T; V), 7veLp(O, T; Lp(P))};

T T 2 \1/5 P \ l i p

0 o

Les espaces F~ (el. N ° 1) sont les espaees ana logues ~ F d~finis sur (0, :). Tous ces espaces sont des espaces de B ~ A c K r~f lexifs et s~iparables.

3.2. La famille ~ .

On eonsidbre l 'ensemble des fonct ions ao v~r i f i an t :

(3-3) t ao est mesu rab le et born~e sur P X (0, T);

( 0 ~ ~o ~,ao(x, t) ~ :¢~ ~ c,c p.p. en ~c et t.

Pour ao donn(fe avec (3-3) consid~irons la fo rme l in~ai re :

T g * f P

V

(3-4) o J r×(o, J T)

VeF~ U fix~ dans F.

Cette forme est con t inue sur F. Done elle pen t s '~c r i r e

(3-5) < A(u), v >, A(u) ~ F'.

On p rend pour ~ la famille des opdrateurs ddfinis par (3-4) (3-4) torsque ao varie avec (3-3).

286 J . L . LIONS: Optimisatio~ pour ccrtaines classes d'dqttations, etc.

Les hypotheses (~V-1) seront v~rifi~es plus loin.

3.3. L'ensemble B.

Soient Bo et B1 deux ensembles born6s et faiblement fermds de L2(O, T; L2(g)=)) et L2(O, T; L~:(F)) respect ivement. La forme

T T

o V

On posera :

(3-8)

f ~ F'.

On prend pour B l 'ensemble des formes d~finies par (3-6)(3-7) lorsque fo, f~ parcourent B o e t B1.

3.4. Probl~me diffdrentiel correspondctnt a un couple A, f.

Pour f ixer les idSes prenons

b(u, v ) = i ( b~j(~v) ~u ~v

(3-9)

h u - - - - ~ , - - b~ i

On va, dans le cas pr(~sent, in terpre ter le Probl~me (1-5). L'dquation (1-5) (~quivaut •:

< A ( u ) + u ' , v>---: <f , v > ~ v e F .

On en d~duit, par des ra isonnements habiiuels, que u est alors solution de:

- ~ u

Au4-~-~ - ' fo , dans ~ X ( o , T)

S u + a o i ' U t p - ~ u = f l sur r X ( o , T)

_ u(x, O) -" uo(x) donn~,

est continue sur F, done peut s '~crire

(3-7) < f, v >,

J. L. LioNs: Optimisa, tion pour ccrtai~ies classes d'dquations, etc. 287

oh:

~v~ ~ ~ d~rivde conorlnale relalive '~, A.

Les conditions dans (3-9) sont prises dans des sens faibles.

3.5. Vdrifioation des hypotheses.

Vdrification de (H-l) .

T

PX(O, T)

hlors ( H - l ) a lieu avec M(k)--- inf. (~, a o ) ( ~ - - 2 ~ o ) ) , ~ k o , avec~ T

Xo---3p --~. En effet, si a - - I]v(t) l l vd t ) , b--- Iv lPdFdt) , on a:

PX(O, T)

par ex.,

< A(v), v > a ~ T bp II! v Ill ~ inf. (~ ao)N, AT: - - - - ' aA-b

Posant a + b - - ~ , on a: N - - - - k - l [ ) J + b ~ _ 2 b k + b p ] . Si bp - ~ > 3 , alors N >

->--)~-~ A- b p - - 3 b 2 ~>- ~. Si b<_ 3(~-~)= )~o, alors N > )~-~[;~--2)~Xo]~ - -2) ,o

d'ofi le rdsultat.

Vdrification de (H-2).

T

< A(u) -- A(v), u -- v > = f b(u - - v, u - - v)dt -t- o

+ f ao( l u I p-2u - - I v I p-2v) (u - - v)drdt FX(O, T)

d'ofi le r6sultat.

Vdrification de (H-3).

On utilise les espaces Hs(~), s non entier. Cf. [11]. L ' in jec t ion de V dans HI-~(.Q), ~ > 0, est compacle et par consequent on peut supposer que % ~ u darts LI(O, T; HI+~(~)) fort (Cf. [8] prop. 4-2, p. 60; Cf. [1] pour un r~sultat plus g~n~ral).

288 J . L . L~o~s: Optimisatio~ pour certaines classes dYquations, etc.

1 Alors " f u ~ u clans L2(O, T; H~/~-~(F)) fort, en fixant ~ avee ~ ~ . On

a alors en particulier

(3-10) yu~---~yu dans L2(O, T; L2(P)) fort.

Soit ao,~ correspondant i~ A,~ darts (3-4). On peut supposer que

(3-11) t a o ~ ao dans L ~ ( r x (0, T)) faible (dual faible de LI(F X (0, T)), avee ~o ~ ao ~ 1 pp.

Prenons enfin pour ~ l 'espace des fonctions une lois continfiment diff~iren- tiabte darts ~2 X [0, T].

V~rifions (H-3) avee z = T, ce qui suffit de fagon ~vidente. La re la t ion : < A~(v), v >- -~ < A(v), v > est immediate. Pour v~rifier que < A~(v), u~ > ~ < A(v), u >, le seul point non trivial est de montrer que

j j aoe I v I P-2vu~dFdt ~ ao 1 v I P-2vudrdt, v e %f. PX(O, T) FX(O, T)

)Iais cela rgsulte maintenant de (3-10) et (3-11)"

Vdrification de (H-4).

On consid(~re main tenant f,~ e B. Soient fo,~ f~,~ correspondants (h l 'aide de (3-6)) "~ f, , . On pent supposer que

fol~ ~ f o darts L,(O, T; L2(~2)) faible, fo~Bo

f ~ f ~ dans L2(O, T; L,(r)) faible, f ~ B ~ .

Alors (H-4) r~sulte anssitOt de ce que u~ --* u dans L2(O, T; L~(g2)) fort et (3-10).

Remarque 3-1.

On n 'a pas utilis~ routes les propri~t~s de u,~ an point (H-4); on ponrrai t plus g~n~ralement supposer que

foeBo "- ensemble born~ faiblement ferm~ de

1 1 1 - - e - - - - , e ~ 0 ~ L~(O, T; Lq,(~2)), q~ 2 n

f~e.B~ : ensemble born~ faiblement ferm~ de

1 1 1 - - ~ L~(O, T; Lq~(r)), q-~ = 2 (n - - ~)

J. L. Lm~s: Optimisat ion pour ccrtaines classes d'dquations, etc. 289

3,6. Conclusions :

On est donc dans les condit ions d 'applicat ions des Thdor~mes 1-1 et 2-1. On notera sur (3-9) que les contr01es a0, fo, /'1 apparaissent respect iyement :

dans un coefficient non lindaire,

dans les condit ions aux limites,

dans le deuxibme membre.

Remarque 3-2.

Le point essentiel darts ce qui pr4c~de est la monotonie de la fonction u --~ I u ] P--~u (d'ofi de nombreuses g6n6ralisations possibles), jo inte au rCsultat de compacitd (3-10).

4 - Exemples (II) .

Nous allons maintenant donner quelques var iantes de l 'exemple du n o 3; nous ne ddtail lerons pas tous les points techniques.

4.1. Opdrateurs d'ordre supdr ieur en les variables d'espace.

Le fair que h soit un op6rateur el l iptique du 2dine ordre n ' in terv ient pas du tout de fa~on esseniielle dans le n o 2.

Voici un exempIe simple. Nous d6finissons

V = t v f v e L~(n), A v e L~(F~), yv ~ Lp(r) I ,

(4-1) ~ $2

p fix4, 2 < p < ~ , A = Sx-~ + "'" + Sx~"

Cette ddfinition a u n sens ca r [11] si v ~ L 2 ( ~ ) et AvEL2(~ ) , alors yv est d6fini et ~//-~/~(F). Mais si alors 7v e L~,(I ~) C L~(F), on a [11] v ~ H2(~) = espaee de SOBOLEV d'ordre 2 (i.e. D~Div e L~(~) ~ i, j). Dope V coincide, alg6briquement. 8~vee

Muni de la norme

V = / v 1 v e H~(n), yv e Lp(r) I .

II v jJ v = il •v It L~<Q) + 11 ~'v II % ( r ) .

c'est un espace de BAlcAc~; II v ]] v e s t 4quivalente a II v I1 ~q~(n) + I] yv 1] Lp~r). On prend maintenant (commc /~ (3-3)):

F = 1 v I v e L~(O, T ; Vy, "¢v ~ Lp(O, T; Lp(r)) t.

AnnaU t~i Matematiea 37

290 J . L . LioNs: Optimisation pour ccrtaines classes d'6quations, etc.

On pose eette lois:

(4-2) f

b(u, v) = | huhvdx. !

d

On d6finit alors A(u) par (el. (3-4) (3-5)):

T

< A ulv> =ofb/ Itl foo/ P.'<( O, r)

as vdrifiant (3-3). Soient Bo, (resp. BI, B~) des ensembles born6s et faiblement ferm6s de

52(0, T; 52(0.)) (resp. L~(O, T; L2(F))). On d6finit f ~ F ' par (ef. (3-6) (3-7)):

T

ff ; (4-4) < f, v > ---- fovdxdt -f- f~vdrdt + G ~n dPdt, ,J

0 fl PX(O, T) rX(O, T)

) = d6r iv6e 'normale sur P, vers l 'ext6rieur de ~ . Lorsque les f~ d6crivent

B~, f d6crit - - par d6finition - - l 'ensemble B. Le probl~me aux limites correspondant/~ (1-5) est, pour un couple A, f donn6:

(4-5)

- 3u , / ~ u + ~ - = f o , dans g t x ( O , T)

- - f f - -~ ( ,Su)+aolu[P-au=f l sur F X ( O ; T),

A u - - f 2 sur F X ( O , T),

u(x, O) -- uo(x) donn6.

Les th6or~mes 1-1 et 2-1 s 'appliquent. Les contr61es sont ici ao, fo, f l , f~.

4.2. Autres types non lindaires.

Dans les exemples (3-9) et (4-5) donn6s jusqu ' i c i , les non lin6arit~s appa- raissent seulement dans les conditions aux limites. On va maintenant donner un exemple off les non lin(iarit6s apparaissent (<h l ' int6rieur)).

On d6finit (Espace de SOBOLEV)

W~(0" ) -- l v l v e Lv(t2) , Div e Lp(t2 ), i - - l , ..., n } , l < p < c%

J. L. LmNs: Optimisation pour certatnes classes dYquations, etc. 291

eomplet pour la norme II v II LgO) ~ ~ II D~v II Lp(O>. On peut d6finir yv -- trace

de V sur I ~, et , (ves t , en particulier, dans Lp(g~). On prend alors

(4-6) V - - - t v l v e W~(9.), y v = 0I;

V est un sous-espace ferm~ de W~(gt), complet pour la norme

11 v II v - ~ I1 D~v 11 Lp(O).

On prend ensuite

(4-7) F -- Lp(O, T; V)

et on consid6re la famille des fonotions a(x, t) v(irifiant

(4-8) -a(w, t) est mesurable et born~e dans ~ X ( 0 , T), avee

I_ 0 < :¢o ~ a(x, t) ~+ ~ <:,c~ p.p.

Pour a donn(ie avec (4-8), on d~finit A (ef. (4-3)) pa r :

(4-9) < A(u), v > -" ~=1 ~ f a I Au t p-2D~uD~vdxdt, fiX(O, T)

u, V ~ F .

Lorsque a varie avec (4-8), A pareour t - - par d~finitiou - - $3. On d6finit f e F ' par

(4-10) I /r < f, v > -- f vdxd t o ~

1 1 1. [ f ~ born6 Bo de Lp, (~2X(O, T)),~o+p--,'-"

Lorsque f parcour t Bo, f - - consid6r~ comme ~l~ment de F' - - parcour t B. Le problbme aux limites correspondant t~ (1-5) est, pour un couple A, fdonn~:

(4-11) i---1 au f p-2 3xd + -~

u = O sur [ ' X ( O , T),

u(x, o) = Uo(X) donn~.

- - / , darts ~X(O, T)

292 J . L . LmNs: Optimisation pour certaines classes d'dquations~ etc.

Les thdor~mes 1-1 et 2-1 s'appliquent. (0n utilisera, entre a, utres, le thdor~me de compacitd de [1]). L'es contrdles sont iei a e t f.

Remarque 4-1.

On peat considdrer des cas off les non lindaritds apparaissent simultand. ment ~ l ' in tdr ieur et sur la fronti~re: it suffit de combiner les exemples du n o 3 et de 4-2 par exemple.

Remarque 4-2.

Tout ce qui a dtd dit s 'dtend ~ des syst~mes (non lindaires).

Remarque 4-3.

On ~ toajours pris la condition initiale Uo fixde. On vdrifiera aisdment que tons les rdsultats (thdoriques et sur les exemples) s 'dtendent au cas off uo varie duns un ensemble bornd et faiblement fermd d'un Banach rdflexif H~ C H, l'injection de H~ duns H dtant compacte.

On peat done aussi considdrer les contr01es duns les conditions initiales.

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