Optimisation topologique de formes et raffinement de maillage Frédéric GOLAY Laboratoire A nalyse N on l inéaire A ppliquée et Modélisation Equipe Modélisation

Optimisation topologique de formeset raffinement de maillage

Frédéric GOLAY

Laboratoire Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation

Equipe Modélisation Numérique et Couplage

Université de Toulon et du Var

http://www.cfm2003.net/index.htm


Optimisation topologique de forme:Approche « Matériaux fictifs »

duFMin

MdVh0)x(h

élasticité'dpbduSolutionu

Relaxation par homogénéisation (Allaire, Bendsoe,…)Approche Matériaux fictifs: plaque épaisseur h(x) (Bouchitte, Buttazo, Seppecher …)

PourUn chargement F donnéUn volume de matière M donnéOn cherche l’épaisseur h(x) maximisant la rigidité

FF

FF

FF

F

FF

?

?

ObjectifRépartir de façon optimale (sans idée préconçue) un volume de matière donné, afin de concevoir une structure destinée à supporter un chargement.

Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage

Optimisation topologique

•Approche matériaux fictifs

•Relaxation du problème

•Formulation éléments finis

•Validation

Raffinement de maillage

•Principe

•Algorithme

•Première application

•Critères intuitifs

•Calcul d’erreur a posteriori

Résultats

•Cas analytique

•Forces concourantes

Conclusions


Optimisation topologique de forme:Relaxation du problème

duFMin

MdVh0)x(h

élasticité'dpbduSolutionu

Approche

Matériaux Fictifs

2

1:D:w

dlw.FInfV2

1

ww

Formulation Matériaux à blocage

Formulation numériqueElasticité non-linéaireEn contraintes planes avec

p

uu :D: )u(H

dlv.F

dx:D:)u(H vu






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions


Optimisation topologique de forme:Formulation Eléments Finis

Avec les notations vectorielles habituelles

uB u)x(N)x(u T

BDBeK =On doit résoudre le problème fortement non-linéaire

e elt

)u(R e elt

FN e

u 0( ) p

e

ueK e

u eK TT

eK






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions Code de recherche Eléments Finis

dlwFd:D::D: wu

p

uu

Par une méthode de Newton-Raphson dont la matrice tangente élémentaire est

p2u

R

e elt

( ) p

e

ueK e

u eK TT

eK

e elt

e

u( ) 1p

e

ueK e

u eK TT

eK e

ueK T T


Optimisation topologique de forme:Validation

44 2y

1

2x

1h

2x 2y

1p

2y 2x

1p

F

F

F

Fx

y

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1 10 100

Paramètre p

Nor

me

L2

de l'

erre

ur s

ur l'

épai

sseu

r

Maillage 20x20

Maillage 40x40

Maillage 80x80

Ecart relatif <1%






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions La convergence dépend de la qualité du maillage raffinement de maillage


Raffinement de maillage:Principe

e1 e1 e2

e1e1

e2e3

e4

e1e1

e2

e1e1 e2

e3e4e1

e1e1

e2

e1 e1e2

e3

e1 e1

e2

e3

e1

e2e3

e4

e1

Par permutation on se replace dans les cas élémentairesOn transporte les propriétés élémentaires, conditions aux limites, degrés de libertés, …

Approche objet






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Raffinement de maillage:Algorithme

? Un Elt créé ?

Elt conforme ?

Elt à raffiner ?

Boucle sur les éléments

Fin de boucle sur les éléments

raffinement

Essai de découpage

Oui

Non

OuiNon

Oui

Non






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions + Maîtrise de la qualité du maillage+ Optimisation de la numérotation

Raffinement de maillage:Première Application

P=0,2,4

Raffinement

P=4,6

P=6,8,12,16

P=16,20,24,28

Qualité ?Critère ?Stratégie ?

Raffinement

Raffinement






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Raffinement de maillage:Critères intuitifs

Critère 1: L’épaisseur moyenne par élément e

2deh

e

1d

On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis

Critère 2: Par analogie avec la méthode de Zienkiewicz, la différence entre l’épaisseur numérique discontinue calculée et le champ continu l’approchant au mieux

0d, hh dc

iic h)y,x(N)y,x(h

elt e edelt e e

dvhNhdvN N






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Raffinement de maillage:Calcul d’erreur a posteriori

•Méthode hiérarchique•Loi de comportement•Méthode des résidus

eface e

2

u dlD)u(h2

1e

2ece deR 22

e r

2

1

e

2eKerreur

Critère 3: R. Verfürth (2000)






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Résultats :Cas analytique

P=0,2,4 P=4,6,8 P=8,10,12 P=12,14,16

Critère 1: épaisseur

Critère 3: Verfürth

Maillage initial

Erreur






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Résultats :Cas analytique

0

10

20

30

40

50

0 4 8 12 16 20

Epaisseur

Verfürth

Tem

ps

CP

U e

n s

econ

des

Paramètre p

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 4 8 12 16 20

Epaisseur

VerfürthE

rreu

r

Paramètre p






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Résultats :Optimisation forces concourantes

+1

+1

+1

?

ux=0uy=0 x

y

ux=0

+1/2

+1

P=0,2,4399 nœuds130 éléments









•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Temps cpu•Avec le critère de Verfürth 50 s•Avec le critère de Zienkiewicz 65 s•Sur le maillage optimisé 60 s

Résultats :Optimisation forces concourantes






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Conclusions






•Validation


•Principe

•Algorithme




Résultats

•Cas analytique


Conclusions

Mise en œuvre simple

Résolution numérique validée en 2D

Un bon outil initial de dimensionnement

Raffinement validé

Efficacité du critère de Verfürth: erreur répartie, rapidité

Validation de la procédure

SIC: application milieux poreux, diphasique (éléments mixtes)

Optimisation

Raffinement

Perspectives

Nouveaux critères

Optimisation topologique de forme:Formulation Matériaux à blocage

Annexe 1

Inf

Vdx)x(h0h

Théorème du MinMax

SupInf

dlv.Fdxh:D:

2

1vv

Vdx)x(h0hv

On pose s

vw et

vv :D:s

dlw.Fs:D:2

VsInf ww

2

1:D:s,w

ww

On concentre h où l’énergie est la plus élevée

dlv.F:D:

2

VInf vvv

2

1:D:w

dlw.FInfV2

1

ww

L’inf sur s est atteint pour dlw.FV

1s

2

1:D:w

dlw.FV2

1Inf

ww

Inf

Vdx)x(h0h

dxh:D:2

1uu

Sup

v

dlv.Fdxh:D:

2

1vv

InfSup

Vdx)x(h0hv

dlv.Fdxh:D:

2

1vv

Traitement numérique :on relaxe la norme infinie par une p-norme ou une fonction indicatrice,

Optimisation topologique de forme:Formulation faible

Annexe 2

On approche numériquement la fonction indicatrice

d:D:P+22

1dlwFInflim

P+1

wwwp

D’où la formulation variationnelle pour un p donné

dlwFd:D::D: wu

p

uu

onsin01tsi)t(Iavec:D:IdlwFInfdlwFInf www

1:D:w

ww

Documents

Optimisation topologique de formes et raffinement de maillage Frédéric GOLAY Laboratoire A nalyse N on l inéaire A ppliquée et Modélisation Equipe Modélisation